geo

Elementos

Geométricos

A

B

CD

E

F

convexoconvexo

Polígonos convexosPolígonos convexos

Todos os seus ângulos internos medem menos de 180º

Todos os seus ângulos internos medem menos de 180º

O prolongamento de qualquer lado não intercepta outro ladoO prolongamento de qualquer lado não intercepta outro lado

D

A

B

C

E

CÔNCAVOCÔNCAVO

n = 3n = 3

n = 4n = 4

n = 5n = 5

polígonopolígono

triângulotriângulo

quadriláteroquadrilátero

pentágonopentágono

n n

número de lados

n = 6n = 6 hexágonohexágono

n = 7n = 7

n = 8n = 8

n = 9n = 9

polígonopolígononn

n = 11n = 11

n = 12n = 12

n = 15n = 15

polígonopolígono

undecágonoundecágono

dodecágonododecágono

pentadecágonopentadecágono

nn

n = 20n = 20 icoságonoicoságono

eneágonoeneágono

octógonooctógono

heptágonoheptágono

n =10 n =10

decágonodecágono

O prolongamento do lado intercepta outro lado

O prolongamento do lado intercepta outro lado

Ângulo interno com medida superior a 180º

Ângulo interno com medida superior a 180º

n = 3n = 3

n = 4n = 4

n = 5n = 5

triângulotriângulo

quadriláteroquadrilátero

pentágonopentágono

n = 6n = 6hexágonohexágono

n = 7n = 7

n = 8n = 8

n = 9n = 9

n = 11n = 11

n = 12n = 12

n = 15n = 15

undecágonoundecágono

dodecágonododecágono

pentadecágonopentadecágono

n = 20n = 20icoságonoicoságono

eneágonoeneágono

octógonooctógono

heptágonoheptágono

n =10

n =10 decágonodecágono

vértices do polígono

Diagonal

são os extremos dos lados do polígono

segmento que ligasegmento que liga

dois vértices não consecutivosdois vértices não consecutivos

Lado

segmento que liga

dois vértices consecutivos

vértices consecutivos

são os extremos de um mesmo lado

Número de diagonais que partem de um vértice

Número de diagonais que partem de um vértice

De um dos n vértices partem

uma para cada um dos “n”vértice

dele para ele mesmo e

dele para os dois vértices adjacentes a ele

menos

dv = n - 3

dv = 4 - 3

dv = 1

dv = n - 3

dv = 5 - 3

dv = 2

dv = n - 3

dv = 6 - 3

dv = 3

dv = n - 3

dv = 3 - 3

dv = 0

dv = n - 3

dv = 7 - 3

dv = 4

zero

n - 3 diagonais

dv = (n-3)

A

E

B

C

D

F

Número de diagonais do polígonoNúmero de diagonais do polígono

De 1 vértice partem (n-3)

De 2 vértice partem 2 ( n-3)

Aparentemente o polígono tem n(n-3) diagonais Mas elas foram contadas em dobro. Veja

Ex.: AC e CA são a mesma diagonal

Logo o número total de diagonais é a metade de n(n-3)

(n – 3)

(n – 3)

(n – 3)

(n – 3)

(n – 3)

De 3 vértice partem 3 ( n-3)

De n vértice partem n ( n-3)

De ... vértice partem ..............

(n – 3)

(n – 3)

Do vértice A partem as diagonais AC, AD, AE

Do vértice B partem as diagonais BD, BE, BF

Do vértice C partem as diagonais CA, CE, CF

Do vértice D partem as diagonais DA, DB, DF

Do vértice E partem as diagonais EA, EB, EC

Do vértice F partem as diagonais FB, FC, FD

Duas diagonais de mesma cor são apenas uma.

polígono

de “n”

vértices

(n – 3

2n (n - 3)d =

B

C

DE

F

G

A partir de um dos vértices, dividimos o polígono em triângulos.

A soma dos seus ângulos internos

é igual à soma dos ângulos de todos os triângulos

Soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo Sin

Sin = 180º “vezes” o número de Δs

A

O polígono de “n” lados ficou dividido em n – 2 triângulos.

Δs 6Δs 5Δs 4Δs 3Δs 2

n= 8n= 7n= 6n= 5n= 4

Sin = 180º( n -2 )

Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180º.

A soma dos ângulos de todos os triângulos é 180º ( n -2 )

1

2

3 41

2 3 4

1

2

3

5

1

34

1

2

5

26

Δs n - 2

n = n

Soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo

Soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo Sex

a’

a

b’

b

c

c’

d’d

e’

e(c+c’) = 180º(d+d’) = 180º(e+e’) = 180º

(a+a’)+ (b+b’)+ (c+c’) + (d+d’)+ (e+e’) + ... = 180º n

a+b+c+d+e... + a’+b’+c’+d’+e’... = 180º n

somando

(b+b’) = 180º(a+a’) = 180º

Sex

180º( n - 2 )

+Sex = 180º n

180º n - 360º

+Sex = 180º n

Sex = 360º

Polígono de “n” lados

Sex = 360º

A soma dos ângulos externos de qualquer

polígono é de 360º

Sin

Âex= 360/n

Polígono circunscrito

In = dentro

corda

Ponto de tangênciaPonto de tangência

Polígono inscrito

Polígono inscritoPolígono inscrito

Polígono circunscrito

Contém uma circunferência que tangencia todos os seus lados

Seus lados são cordas da circunferênciaSeus lados são cordas da circunferência

circunscrita

Todo triângulo é inscritível numa circunferênciaTodo triângulo é inscritível numa circunferência

Todo triângulo é circunscritível a uma circunferênciaTodo triângulo é circunscritível a uma circunferência

Circunferência

Triângulo inscrito

Triângulo circunscritoCircunferência

inscrita

Elementos Notáveis do Triângulo

Elementos Notáveis do Trapézio

ApótemaApótema