Elementos en Ecuaciones Diferenciales Parciales

Elementos en ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Pongo en el ciberespacio un cursillo que dicté en la UniversidadNacional de Colombia en 1984, sobre las nociones elementales enecuaciones diferenciales parciales y estoy convecido que puede serde gran utilidad para aquellas personas que estén estudiando lascarreras de física teórica e ingeniería.

§ 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1.1. . Una ecuación diferencial parcial para una funciónINTRODUCCIÓN?ÐBß Cßá Ñ ? ß ? ß ? ß ? ß ? ácon derivadas parciales , es una relación deB C BB BC CC la forma , J Bß Cßá ß ?ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? á œ ! "a b a bB C BB BC CC donde es una función de las variables , enJ Bß Cßá ß ?ß ? ß ? ß ? ß ? ß ? áB C BB BC CC donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas.Una función es de , si en alguna región del espacio? Bß Cßá ß "a b a bsoluciónde sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen laecuación idénticamente en Bß CßáSe puede también considerar un sistema de ecuaciones diferencialesparciales; en este caso se consideran varias expresiones como las dearriba conteniendo una o más incógnitas y sus derivadas parciales.Como en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias una ecuacióndiferencial parcial es de , si las derivadas de mayor orden queorden 8ocurren en son de orden . Las ecuaciones diferenciales parciales seJ 8clasifican también según el tipo de función considerada. En particularJtenemos la ecuación diferencial parcial si es lineal en la funciónlineal Jincógnita y sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-linealque es más general, si es lineal en al menos una de las derivadas deJmás alto orden.Las ecuaciones diferenciales parciales ocurren frecuentemente y en formaenteramente natural en problemas de varias ramas de la matemática,como se presenta en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1. Una condición necesaria y suficiente para que una formadiferencial Q Bß C .B R Bß C .Ca b a bsea una diferencial exacta, es que cumpla la condición de integrabilidadsiguiente: `Q `R

`C `Bœ

Esta se puede considerar como una ecuación diferencial parcial en lasvariables desconocidas y , y cuya solución general está dada porQ R

Darío Sánchez H. Elementos en "ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES" 2

Q œ ß R œ` ``B `C9 9

donde es una función .9 arbitraria

EJEMPLO 2. El problema de hallar un para la ecuaciónfactor integrante diferencial ordinaria de primer orden Q Bß C .B R Bß C .C œ ! #a b a b a besto es, una función para la cual sea una forma. . .a bBß C Q.B R.Cdiferencial exacta, conduce a la ecuación ` Q ` R

`C `B. .œ $a b

Esta es una ecuación diferencial parcial de primer orden para . El.

problema de hallar la solución de la ecuación diferencial ordinaria es asíreducido al de hallar una solución de la ecuación diferencial parcial .a b$EJEMPLO 3. Dadas dos funciones y , la función se dice? œ ? Bß C @ œ @ Bß C ?a b a bfuertemente dependiente de , si existe una función tal que@ L @a b ? Bß C œ L @ Bß Ca b a ba bsiempre y cuando . Dos funciones serán fuertemente@ @ Á !# #

B C

dependientes si su es nulo. Esto es, jacobiano ` ?ß@

` BßCB C

B C

a ba b œ œ !? ?@ @

º ºAsí para dado, esto indica que la ecuación diferencial parcial de primer@orden para , , tiene una solución general? ? @ @ ? œ !B C B C

@ œ L @ Bß Ca ba bdonde es una función diferenciable arbitraria.LPor ejemplo, supóngase entonces y la@ Bß C œ B C ß @ œ #Bß @ œ #Ca b # #

B C

ecuación diferencial parcial C? B? œ !B C

tendrá por solución a .? œ L B Ca b# #

EJEMPLO 4. Dadas dos funciones diferenciables con continuidad y? Bß Ca b@ Bß Ca b, la condición necesaria y suficiente para que ellas formen las partesreal e imaginaria de una función analítica, son0 Bß C œ ? 3@ œ 0 B 3Ca b a blas ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann ? œ @ ß ? œ @B C C B

Este es un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales lineales paralas funciones y . Ellas pueden obtenerse formalmente mediante la? @condición ` ?3@ßB3C

` BßCa ba b œ !

esto según el ejemplo 3 y observando que y son funciones reales, se? @tiene ` ?3@ßB3C

` B3CB B C C

B C B Ca ba b œ œ 3 ? @ @ ? œ !

? 3@ ? 3@" 3º º a b a b


o, .? œ @ ß ? œ @B C C B

EJEMPLO 5. . Para hallar la superficie queProblema de Plateau D œ ? Bß Ca bpase a través de una curva dada en el espacio y cuya área es mínima, estádada por la ecuación parcial siguiente: ˆ ‰ a b" ? ? #? ? ? " ? ? œ ! ÞC B

# #BB B C BC CC

Esta es una ecuación diferencial parcial de segundo orden casi-lineal, lacual determina a la superficie .D œ ? Bß Ca bEJEMPLO 6. La ecuación diferencial parcial definida por una superficiedesarrollable; esto es, una superficie que puede ser aplicada preservandolas longitudes en regiones planas, es .? ? ? œ !BB CC BC

#

Esta es una ecuación diferencial no lineal para la superficie .D œ ? Bß Ca bEJEMPLO 7. Una ecuación diferencial parcial importante en física es la delpotencial o ecuación de Laplace .?? œ ? ? ? œ !BB CC DD

Esta es una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que secumple, por ejemplo para:+Ñ expresar la velocidad potencial de un fluido,,Ñ las componentes del campo de fuerzas de la atracción yNewtoniana -Ñ la distribución de la temperatura de los cuerpos en equilibrio térmico.

EJEMPLO 8. La ecuación de la onda .?? œ ? ? ? œ ? ß - œ -98=>+8>/BB CC DD >>

"-#

representa la aproximación acústica de la velocidad potencial de un gashomogéneo politrópico. Esta es una ecuación diferencial parcial desegundo orden lineal para el potencial .?

EJEMPLO 9. La ecuación diferencial parcial .?? œ ? ? ? œ ?BB CC DD >

"O

llamada la ecuación del y se cumple para la distribución de lacalortemperatura en un cuerpo conductor del calor, siempre que la densidady el calor específico del material sean constantes. Ësta de nuevo es, unaecuación diferencial parcial lineal de segundo orden para .?

El problema objeto de la teoría de las ecuaciones diferenciales es hallarlas las cuales, en todos los casos consisten en determinar elsoluciones, espacio donde ellas se verifican. Así para las ecuaciones diferencialesordinarias (EDO) el espacio donde ellas se verifican es un espaciofuncional de dimensión finita y resolver una EDO es hallar un conjuntofundamental para representar a dicho espacio. En el caso de las


ecuaciones diferenciales parciales (EDP) el espacio de ya no soluciones es de dimensión finita, pero de todas maneras el resolver una EDP esdeterminar el espacio funcional donde ellas se verifican, el cual resultaser un espacio funcional de dimensión infinita; en el caso lineal ladificultad está en la determinación de un conjunto infinito que permita elhallazgo de este espacio, el cual por lo general es un espacio de Hilbert,en los casos más comunes y de utilidad en la física teórica, en esos casosla determinación del espacio solución se ecuentra en la localización de unconjunto ortogonal infinito que permita una generalización de losespacios vectoriales de dimensión finita. Hay muchas teorías conducentesa dicha generalización, empezando por la de independencia lineal parael caso de infinitos elementos, pero que sean numerables. En los casosmás elementales se utilizan las series de Fourier, y la teoría de funcionesortogonales mediante la toría espectral. También se pueden usar técnicasde geometría diferencial o de analisis vectorial como lo podemos observaren la siguiente sección.

1.2. ECUACIONES LINEALES Y CASI-LINEALESLas ecuaciones de primer orden, en general, presentan interpretacionesgeométricas interesantes. Será conveniente entonces restringir ladiscusión al caso de dos variables independientes, pero es claro que lateoría podrá ser extendida inmediatamente a cualquier número devariables. Consideramos entonces ecuaciones de la forma J Bß Cß ?ß ? ß ? œ J Bß Cß ?ß :ß ; œ ! "a b a b a bB C

donde hemos usado las notaciones . Una solución ? œ :ß ? œ ; D œ ? Bß CB C a bcuando la interpretamos como una superficie en el espacio tridimensional,será llamada una de la ecuación diferencial.superficie integral Comenzamos con la ecuación diferencial parcial generada por + Bß C ? , Bß C ? œ - Bß C ? . Bß C #a b a b a b a b a bB C

Notamos que el lado izquierdo de esta igualdad representa la derivada de? Bß C + Bß C ß , Bß Ca b a ba b a b en la dirección . Por lo tanto consideremos las curvasen el -plano, cuyas tangentes en cada punto tienen estas direccionesBß Ces decir, la familia a un parámetro de curvas definidas por las ecuacionesdiferenciales ordinarias , ó, .C .C

.B + BßC .> .>, BßC .Bœ œ + Bß C ß œ , Bß C $a ba b a b a b a b

Así, estas curvas tendrán la propiedad de que, a lo largo de ? Bß Ca bsatisfacen las ecuaciones diferenciales ordinarias , o, .? .?

.B + BßC .>- BßC ?. BßCœ œ - Bß C ? . Bß C %a b a ba b a b a b a b

La familia a un parámetro de curvas definidas por la ecuación serána b$llamadas las de la ecuación diferencial.curvas características Supóngase ahora que a se le asigna un valor inicial en el punto? Bß Ca ba bB ß C Bß C! ! en el -plano. Por el problema de existencia y unicidad para


ecuaciones diferenciales ordinarias a valores iniciales, las ecuaciones a b$definirán unívocamente las curvas características, digamos B œ B B ß C ß > ß C œ C B ß C ß > &a b a b a b! ! ! !

junto con ? œ ? B ß C ß > 'a b a b! !

que será únicamente determinado por la ecuación .a b%El planteo exacto de este problema, llamado problema de conCauchyvalor inicial, será dado para las ecuaciones casi-lineales más generales,un poco más adelante.Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial B? C? œ ?B C !

con las condiciones iniciales para . Las curvas características? œ B C œ "9a bson dadas por la ecuación .C C

.B Bœ

teniendo por soluciones C œ -BA lo largo de tales curvas debe satisfacer la ecuación?

.C C.B Bœ !

cuya solución es .? œ 5B!

Como puede ser diferente de una curva característica a otra curva5característica, es decir, depende de , tenemos la solución general- ? œ 5 - B œ 5 Ba b ˆ ‰! !C

B

donde es una función . Si aplicamos la condición inicial5a b† arbitrariapara , obtenemosC œ "

9a b ˆ ‰B œ 5 B"B

!

o 5 = œ =a b ˆ ‰9 "

=!

y por lo tanto la solución requerida será .? œ C9Š ‹B

C!

La ecuación general casi-lineal puede ser escrita en la forma + Bß Cß ? ? , Bß Cß ? ? œ - Bß Cß ? (a b a b a b a bB C

La solución general define una superficie integral en el? Bß C D œ ? Bß Ca b a bBß Cß D-espacio. La normal a la superficie tendrá por direcciones


a b a b? ß ? ß " (B C ; así que la ecuación se puede interpretar como la condiciónmediante la cual la superficie integral, en cada punto, tiene la propiedadde que el vector es tangente a la superficie.a b+ß ,ß -Así la ecuación diferencial parcial define un campo de direcciones a b+ß ,ß -llamadas las direcciones teniendo la siguiente propiedad:características, la ecuación es una superficie integral si y sólo si en cada puntoD œ ? Bß Ca bel plano tangente contiene una dirección característica.Es sugestivo entonces considerar las curvas integrales de este campoesto es, la familia de curvas del espacio cuyas tangentes coinciden con lasdirecciones características. Estas son llamadas las ycurvas características son dadas por las ecuaciones .B .D

+ BßCßD , BßCßD - BßCßD.Ca b a b a bœ œ )a b

Llamando al valor común de estas , podemos tambiénrazones .>escribirlas en la forma .B .D

.> .> .>.Cœ + Bß Cß D ß œ , Bß CD ß œ - Bß Cß Da b a b a ba b*

Por cada punto pasará una curva característicaa bB ß C ß D! ! !

B œ B B ß C ß D ß > ß C œ C B ß C ß D ß > ß D œ D B ß C ß D ß >a b a b a b! ! ! ! ! ! ! ! !

Una importante propiedad de las curvas características es que: Cadasuperficie generada por una familia a un parámetro de curvascaracterísticas, es una superficie integral de . Más aún, la inversaa b(también es verdadera.En efecto, supongamos que es una superficie integral dada.D œ ? Bß Ca b D

Consideremos la solución del sistema .B

.> .>.Cœ + Bß Cß ? Bß C ß œ , Bß Cß ? Bß Ca b a ba b a b

con para . Entonces para las correspondientes curvasB œ B ß C œ C > œ !! !

B œ B > ß C œ C > ß D œ ? B > ß C >a b a b a ba b a btambién de se tienea b( .D .B

.> .> .>B C B C.Cœ ? ? œ + Bß Cß ? ? , Bß Cß ? ? œ - Bß Cß ? œ Bß Cß Da b a b a b a b6

Por esto la curva satisface la condición de las curvas características ya b*también descansan sobre por definición. Así contiene en cada puntoD Duna curva característica pasando a través del punto. Por lo tanto Dcontiene las curvas integrales. Además, si dos superficies integrales seintersectan en un punto entonces ellas se intersectan a lo largo de la curvacaracterística a través del punto; y la curva de intersección de dossuperficies integrales debe ser una curva característica.En este punto la solución del problema de Cauchy con valor inicial, estoes, el de hallar la solución de satisfaciendo valores iniciales? Bß C (a b a bdados a lo largo de una curva en el -plano, llega a ser evidente.Bß CPodemos tomar como solución a la superficie integral formada por lafamilia de curvas características a través de cada punto inicial en elespacio.


TEOREMA 1.1 a bT<9,6/7+ ./G+?-2C Considérese la ecuación diferencialparcial casi-lineal de primer orden + Bß Cß ? ? , Bß Cß ? ? œ - Bß Cß ? "!a b a b a b a bB C

donde a,b,c tiene derivadas parciales continuas con respecto a .Bß Cß ?Supóngase que a lo largo de la curva inicial los valoresB œ B = ß C œ C =! !a b a biniciales están determinados por , siendo funciones? œ ? = B ß C ß ?! ! ! !a bcontinuamente diferenciables en . Además supóngase que! Ÿ = Ÿ "

.C.= .=! ! ! ! ! !

.B! !+ B = ß C = ß ? = , B ß C = ß ? = Á ! ""a b a b a ba b a b a b a b a bEntonces existe una y solamente una solución definida en alguna? Bß Ca bvecindad de la curva inicial, que satisface la ecuación parcial y lasa b"!condiciones iniciales ? B = ß C = œ ? = "# Þa b a b a ba b a b! ! ! DEMOSTRACIÓN. Consideremos la ecuación diferencial ordinaria .B .?

.> .> .>.Cœ + Bß Cß ? ß œ , Bß Cß ? ß œ - Bß Cß ? "$a b a b a b a b

Por el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferencialesordinarias, podemos determinar una única familia de ecuacionescaracterísticas B œ B B ß C ß > œ B =ß >a b a b! !

C œ C B ß C ß > œ C =ß > "%a b a b a b! !

? œ ? B ß C ß > œ ? =ß >a b a b! !

cuyas derivadas con respecto a los parámetros son continuas y tales=ß >que ellas satisfacen las condiciones iniciales B =ß ! œ B = ß C =ß ! œ C = ß ? =ß ! œ ? =a b a b a b a b a b a b! ! !

Notamos que el Jacobiano ` BßC

` =ß> .= .=>œ!

= > .C

= > >œ!

.Ba ba b ¹ º º ˆ ‰œ œ , + Á !B BC C

! !

esto según la condición . Así por el teorema de la función implícita laa b""ecuación puede resolverse para en términos de en unaa b"% =ß > Bß >vecindad de la curva inicial , obteniendo de una expresión para la> œ ! "%a bsolución dada por Fa b a ba b a bBß C œ ? = Bß C ß > Bß CFa bBß C claramente satisface las condiciones iniciales; pues .Fa b a b a b¸Bß C œ ? =ß ! œ ? =

>œ! !

Más aún satisface la ecuación diferencial . PuesFa b a bBß C "! + , œ + ? = ? > , ? = ? >F FB C = B > B = C > Ca b a b œ ? += ,= ? +> ,>= B C > B Ca b a b œ ? = B = C ? > B > C= B > C > > B > C >a b a b œ ? † ! ? † " œ -= >

puesto que de las ecuaciones = œ = Bß C > œ > Bß Ca b a btenemos .= œ ! œ = B = C ß > œ " œ > B > C> B > C > C B > C >


Además es única. Pues supóngase que es cualquier otraF Fa b a bBß C Bß Csolución satisfaciendo las condiciones iniciales y un puntoa bB ß Cw w

arbitrario en una vecindad de la curva inicial. Consideremos la curvacaracterística B œ B = ß > ß C œ = ß > ß ? œ ? = ß >a b a b a bw w w

donde . En estas curvas estan en ambas superficies puesto= œ = B ß C > œ !w w wa bque aquí pasan a través de la curva inicial por el punto .B = ß ! œ B = ß C = ß ! œ C = ß ? = ß ! œ ? =a b a b a b a b a b a bw w w w w

! ! ! !

Pero si una curva característica tiene un punto común con una superficieintegral ella está colocada totalmente sobre la superficie. Así las curvascaracterísticas se encuentran en ambas superficies y en particular para >wtenemos .F F Fa b a b a b a ba b a bB ß C œ B = ß > ß C = ß > œ ? = ß > œ B ß Cw w w w w w w w w w w w

Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial parcial ?? ? œ "B C

con la condición inicial para . Notamos queB œ =ß C œ =ß ? œ = ! Ÿ = Ÿ ""#

la condición se satisface; puesa b""

.C.= .= #

.B "+ , œ = " Á ! :?/= ! Ÿ = Ÿ "

Resolviendo las ecuaciones diferenciales ordinarias .B .?

.> .> .>.Cœ ?ß œ "ß œ "

con las condiciones iniciales B =ß ! œ =ß C =ß ! œ =ß ? =ß ! œ =a b a b a b "

#

hallamos la familia de curvas características B œ > => =" "

# ##

C œ > = ? œ > =

#

Cuando resolvemos a y en términos de y , obtenemos= > B C

= œ ß > œB

" "CB

C#

#C C# #

y finalmente la solución será

.? œ# CB B

#C

a b Š ‹C#

#

§2. ECUACIÓN GENERAL DE PRIMER ORDEN PARA FUNCIONES EN DOS VARIABLES

Una ecuación diferencial parcial general de primer orden para funcionesde dos variables y sus derivadas , puede ser escrita enD Bß C D œ :ß D œ ;a b B C

la forma J Bß Cß Dß :ß ; œ ! "a b a b


Hemos supuesto que tiene segundas derivadas continuas con respecto aJsus variables .Bß Cß Dß :ß ;Sorprendentemente al resolver una ecuación de primer orden más generalel análisis se reduce a la resolución de un sistema de ecuacionesdiferenciales ordinarias. La geometía, sin embargo, no necesariamente estan simple como para las ecuaciones casi-lineales, donde se hacíareferencia principalmente a las curvas integrales. En el caso general nosreferiremos, como se verá, a objetos gemétricos más complicados,llamados (o ).fajas tiras Supóngase ahora que en algún punto en el espacio,a bB ß C ß D! ! !

consideramos una posible superfice integral y las direccionesD œ D Bß Ca ba b:ß ;ß " de su plano tangente. La ecuación establece que existe unarelación. J B ß C ß D ß :ß ; œ !a b! ! !

entre las direcciones y . Esto es, la ecuación diferencial limitará sus: ;soluciones a aquellas superficies teniendo planos tangentespertenecientes a familias a un parámetro.

En general esta familia de planos será la envolvente cónica (ver la gráfica)llamada el .cono de MongeAsí la ecuación diferencial define un campo de conos teniendo laa b"propiedad de que una superficie será una superficie integral si ysolamente si es tangente a un cono en cada punto. Notamos que en elcaso casi-lineal el cono degenera en una recta. Consideremos por unmomento que tenemos una familia a un parámetro de superficiesintegrales D œ 0 Bß Cß - #a b a bdonde suponemos que tiene segundas derivadas parciales continuas con0respecto a sus variables . Como podemos suponer de laBß Cß -interpretación geométrica de la ecuación diferencial, la envolvente, siexiste, será de nuevo una solución.Para hallar la envolvente de una familia de superficies consideramos lospuntos de intersección de superficies vecinas , y , D œ 0 Bß Cß - D œ 0 Bß Cß - -a b a b?

Restando y dividiendo por ,?-

! œ 0 BßCß- 0 BßCß- --

a b a b??

y pasando al límite cuando , tenemos la envolvente dada por las?- !→dos ecuaciones siguientes:


Š ‹ a bDœ0 BßCß-!œ0 BßCß-

a ba b-$

Si podemos resolver para en la segunda y eliminando en la primera,-tenemos la envolvente expresada como D œ 1 Bß C œ 0 Bß Cß - Bß Ca b a ba bLa envolvente satisface la ecuación diferencial dada. En efecto suponiendo0 œ !- , se obtiene

Š ‹ a b1 œ0 0 - œ01 œ0 0 - œ0B B - B B

C - C CC%

Esto es, la envolvente tendrá las mismas derivadas que un miembro de lafamilia, y la ecuación diferencial es justo una relación entre aquellasderivadas como se verificará.Suponemos conocida una familia a dos parámetros de superficiesintegrales, digamos D œ 0 Bß Cß +ß , &a b a bEntonces podemos hallar soluciones dependiendo de una funciónarbitraria. Pues si consideramos , œ +Fa bdonde es diferenciable, obtenemos la familiaF D œ 0 Bß Cß +ß +a ba bF

! œ 0 0 ++ ,wF a b

será una superficie integral dependiendo de la función .FEsto sugiere que si damos una familia a dos parámetros de superficiesintegrales, podemos seleccionar una familia a un parámetro de aquellassuperficies cuya envolvente contiene una curva dada en el espacio y estoes, hallar una solución para un problema de valores iniciales. Notemosque es enteramente razonable expresar la existencia de una familia a dosparámetros de soluciones. Por supuesto, podemos iniciar con una familiaarbitraria de superficies, digamos D œ 0 Bß Cß +ß , 'a b a bSi logramos resolver para los parámetros y en el sistema formado por+ ,las dos derivadas parciales : œ D œ 0 Bß Cß +ß ,B Ba b ; œ D œ 0 Bß Cß +ß Þ,C Ca by se sustituye y en la ecuación , se obtiene la ecuación diferencial+ , 'a bparcial D œ 0 Bß Cß + Bß Cß :ß ; ß , Bß Cß :ß ; œ ! (a b a ba b a bteniéndose la familia dada como solución. Llamaremos a la familia a dosparámetros de soluciones, de la ecuación diferencial. solución completaSupongamos ahora que tenemos la solución completa yD œ 0 Bß Cß +ß ,a bdeseamos hallar una envolvente conteniendo la curva inicial siguiente B œ B = ß C œ C = ß D œ D =a b a b a bcon tal objeto consideremos las dos ecuaciones K =ß +ß , œ D = 0 B = ß C = ß +ß , œ ! )

=a b a b a b a ba b a b


y K =ß +ß , œ D = 0 B = 0 C = œ ! *= B C

w w wa b a b a b a b a bde donde se obtiene una relación entre digamos en términos del+ß ,ßparámetro : . La envolvente= + œ + = ß , œ , =a b a b D œ 0 Bß Cß + = ß , =a ba b a b ! œ 0 + = 0 , =+ ,

w wa b a bcontendrá la curva inicial. Pues ambas ecuaciones se cumplenidénticamente en por ; la primera como una consecuencia= B = ß C = ß D =a b a b a bdirecta de la ecuación , y la segunda por la derivabilidad de la primeraa b) D = œ 0 B = 0 C = 0 , =w w w w

B C ,a b a b a b a bo ! œ 0 + = 0 , =+ ,

w wa b a bdonde hemos usado la ecuación .a b*Como un ejemplo, consideremos la familia a dos parámetros del planoque están a una distancia unitaria del origen, es decir, los planos respectoa la esfera unitaria. Ellos estan dados por las ecuaciones D œ B C + , "

" + , " + , " + ,È È Èa b a b a b# # # # # #

y se puede demostrar que es una solución completa de la ecuacióndiferencial parcial a b a bD :B ;C " : ; œ !# # #

si deseamos hallar una supercifie integral conteniendo a la curva inicial,dada, digamos por el círculo de radio alrededor del eje , de ecuación"

# D

D œ "ß B œ ß C œ ß ! Ÿ Ÿ #" "# #cos sin) ) ) 1

se obtiene la familia de planos dada por las ecuaciones K ß +ß , œ " + , " œ !a b a bÈ) ) )# # + ,

# #cos sin K ß +ß , œ + , œ !)a b) ) )sin cosde donde se concluyen las relaciones o , + ß , œ ß + , œ% % "'

$ $ #&# #cos sin) )

la superficie integral requerida es entonces la envolvente de la familia D œ B C % % &

$ $ $cos sin) )

Todo está bien si ya tenemos una familia a dos parámetros de superficiesintegrales. Continuamos por consiguiente con un ataque más sistemáticocon el fin de escribir un sistema de ecuaciones ordinarias de solucionescon las cuales deseamos una solución, de la ecuación diferencial parcialdada.Demos una superficie integral teniendo segundas derivadasD œ D Bß Ca bparciales continuas con respecto a y a . En cada punto la superficie seráB C

tangente a un cono de (ver la figura)Monge


Las lineas de contacto entre los planos tangentes a la superficie y losconos definen un campo de direcciones en superficie, llamado el campode y las curvas integrales de este campodirecciones características definen una familia de curvas características.Con el objeto de describir las curvas características, obtenemos primerouna expresión analítica para el cono de Monge en algún punto .a bB ß C ß D! ! !

Este es la envolvente de una familia a un parámetro de planos D D œ : B B ; C C! ! !a b a bdonde y satisfacen: ; o, J B ÞC ß D ß :ß ; œ !ß ; œ ; B ÞC ß D ß :ß ; ""a b a b a b! ! ! ! ! !

y por lo tanto puede ser dada por las ecuaciones Œ a bDD œ: BB ; B ÞC ßD ß: CC

!œ BB ; CC

! ! ! ! ! !

! !.;.:

a b a bˆ ‰a b a b "#

De las ecuaciones obtenemosa b""

.J.: .:: ;

.;œ J J œ ! "$a basí que puede ser eliminada de , y las ecuaciones, definiendo el.;

.: a b"#

cono de Monge, se escriben

Î ÑÏ Ò

a ba b a b a bJ B ÞC ß D ß :ß ; œ !D D œ : B B ; C C

œ"%

! ! !

! ! !BBJ J

CC!

: ;

!

Notemos que dando y las dos últimas ecuaciones definen la línea: ;generatriz del cono, es decir, la línea de contacto entre el plano tangente yel cono. Así en nuestra superficie integral dada, donde cada punto: œ : B ß C ; œ ; B ß C! ! ! ! ! !a b a b y son conocidos, el plano tangente estará dadopor D D œ : B B ; C C! ! ! ! !a b a bjuntamente con la ecuación BB

J JCC!

: ;

!œ

determinándose la línea de contorno con el cono de Monge =BB DD

J J :J ;JCC! !

: ; : ;

!œ

o la dirección característica a bJ ß J ß :J ;J: ; : ;

Se sigue entonces que las curvas características estan determinadas por elsistema de ecuaciones diferenciales ordinarias .B .D

J J :J ;J.C

: ; : ;œ œ "&a b


o .B .D

.> .> .>: ; : ;.Cœ J ß œ J ß œ :J ;J "'a b

Si la superficie integral es todavía desconocida, es claro que las tresecuaciones o no serán todavía suficientes para determinar lasa b a b"& "'curvas características comprendiendo la superficie. Sin embargo, se puedeobtener mayor información sobre el comportamiento de y a lo largo de: ;las curvas características

Œ a b.:.> .> .>B C B : C ;

.B .C

.;

.> .> .>B C B : C ;.B .C

œ: : œ : J : J

œ; ; œ ; J ; J

"(

Retornando a la ecuación y diferenciando primero con respecto a ya b" Bluego con respecto a , tenemosC J J : J : J ; œ !B D : B ; B

J J ; J : J ; œ !C D : C ; C

Así que las ecuaciones pueden escribirse en la formaa b"(

Œ a b.:.> B D.;.> C D

œJ J :

œJ J ;")

donde hemos usado que .: œ ;C B

Tenemos entonces asociado con la superficie integral dada, unaD œ D Bß Ca bfamilia de curvas características en la superficie, tal que las coordenadasB > ß C > ß D > : > ß ; >a b a b a b a b a b, a lo largo de la curva y los números estanrelacionados mediante el sistema de cinco ecuaciones dadas en y .a b a b"' ")Estas cinco ecuaciones diferenciales ordinarias son llamadas ecuacionescaracterísticas relativas a la ecuación diferencial parcial .a b"Supóngase ahora que la superficie está aún por determinar. La discusiónprevia nos permite considerar la ecuación diferencial parcial junto cona b"el sistema de ecuaciones características y como un sistema dea b a b"' ")seis ecuaciones Œ a bJ BßCßDß:ß; œ!ß œJ ß œJ J :

œJ ß œ:J ;J ß œJ J ;

a b .C.> .>; B D

.:

.B .D

.> .> .>: : ; C D.; "*

para las cinco funciones desconocidas . Este sistemaB > ß C > ß D > ß : > ß ; >a b a b a b a b a bes sobredeterminado, sin embargo la primera ecuación J Bß Cß Dß :ß ; œ !a bno es superflua, y no constituye una restricción. Pues, a lo largo de unasolución de las cinco últimas y mediante la regla de la cadena se sigue .J .B .D

.> .> .> .> .> .>B C D : ;.C .: .;œ J J J J J œ

.œ J J J J :J J J J J J : J J J J ; ;J J œ !B : C ; D ; : B : D ; C ; D D ;

Siguiéndose que = constituye una de las cinco ecuacionesJ -98=> integralrestantes.Es claro entonces que si se satisface en un inicial digamosJ œ ! puntoB ß C ß D ß : ß ; > œ !! ! ! ! ! para , las cinco ecuaciones características determinanuna única solución pasando también por el punto yB > ß C > ß D > ß : > ß ; >a b a b a b a b a bjusto con se satisface para todo .J œ ! >


Una solución de puede ser interpretada como una tira (o franja, oa b"*cinta). Esto es, un espacio de curvas junto con unaB œ B > ß C œ C > ß D œ D >a b a b a bfamilia de planos tangentes determinados por las direcciones .a b:ß ;ß "Para fijo, los cinco números se determinan definiendo un> B ß C ß D ß : ß ;! ! ! ! ! !

elemento de la tira, es decir, un punto de la curva y el correspondienteplano tangente.Note que ningún conjunto de cinco funciones puede ser determinadocomo una tira. En efecto se requiere que los planos sean tangentes a lacurva, lo cual se da por la condición .D > .B > .C >

.> .> .>a b a b a bœ : > ; > #!a b a b a b

llamada la En nuestro caso la condición de faja secondición de faja.garantiza por las primeras cinco ecuaciones características.Llamaremos a las tiras que son solución de y susa b"* tiras características curvas correspondientes, .curvas características

TEOREMA 2.1. Si las tiras características tienen un elemento enB ß C ß D ß : ß ;! ! ! ! !

común con la superficie integral , entonces se hallanD œ ? Bß Ca bcompletamente sobre la superficie.

En efecto, dada una solución , considérense las dos ecuaciones?diferenciales ordinarias Œ a b.B

.> : B C

.C

.> ; B C

œJ BßCß? BßC ß? BßC ß? BßC

œJ BßCß? BßC ß? BßC ß? BßC

a ba b a b a ba ba b a b a b #"

para las variables con condiciones iniciales . PorB > ß C > B ! œ B ß C ! œ Ca b a b a b a b! !

los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferencialesordinarias ellas serán unívocamente determinadas por las curvas ,B œ B >a bC œ C >a b junto con la correspondiente curva sobre la superficie integral B œ B > ß C œ C > ß D œ ? B > ß C > ##a b a b a b a ba b a bAdemás se satisfacen las siguientes ecuaciones .C .C

.> .> .>B C B : C ;.Bœ ? ? œ ? J ? J #$a b

.?.> BB : BC ;

B œ ? J ? J #%a by .?

.> CB ; CC ;C œ ? J ? J #&a b

donde , y , .? ! œ ? B ß C œ D ß ? ! œ ? B ß C œ : ? œ ? B ß C œ ;a b a b a b a b a b! ! ! B B ! ! ! C C ! ! !

Suponiendo por otro lado que J Bß Cß ? Bß C ß ? Bß C œ ! #'a b a ba b a bB C

y así J J ? J ? J ? œ !B ? B ?B BB ?C CB


J J ? J ? J ? œ !C ? C ?B BC ?C CC

por lo tanto las ecuaciones y pueden escribirse en la formaa b a b#$ #%

.?.> B D B

B œ J J ? #(a by .?

.> C D Cœ J J ? #)a bdonde se supone que .? œ ?BC CB

Examinemos ahora las cinco funciones ,B œ B > ß C œ C > ß D œ ? B > ß C >a b a b a ba b a b: œ ? B > ß C > ; œ ? B > ß C >B Ca b a ba b a b a b a b, . Ellas determinan las tiras característicaspues satisfacen las cinco ecuaciones características ya b a b a b a b#" ß ## ß #$ ß #( ßa b a b#) #', además de la ecuación finita . Y ellas determinan una única tiracaracterística para el elemento inicial . Pero las tirasB ß C ß D ß : ß ;! ! ! ! !

deseadas están sobre la superficie por definir, así el teorema estáprobado.

Es claro ahora, que con las consideraciones previas, podemos proceder aresolver el problema de Cauchy con valor inicial y el auxilio de estas tirascaracterísticas.

TEOREMA PROBLEMA DE CAUCHY 2.2. ( ). Consideremos la ecuación diferencialparcial J Bß Cß Dß :ß ; œ ! #*a b a bdonde tiene segundas derivadas parciales con respecto a sus variablesJBß Cß Dß :ß ; B œ B = ß C œ C = ß. Supongamos que junto con la curva inicial ! !a b a b! Ÿ = Ÿ " D œ D B ß C ß D, los valores iniciales son asignados por teniendo! ! ! !

segundas derivadas continuas. Supóngase aún que las funcionescontínuamente diferenciables han sido definidas satisfaciendo: = ß ; =! !a b a blas dos ecuaciones Œ a bJ B = ßC = ßD = ß: = ß; = œ!

œ : ;

a ba b a b a b a b a b! ! ! ! !.D .B .C! ! !.= .= .=! ! $!

Finalmente, supóngase que las cinco funciones satisfacen laB ß C ß D ß : ß ;! ! ! ! !

condición .B

.=! J B ß C ß D ß : ß ; J B ß C ß D ß : ß ; Á ! $"; ! ! ! ! ! : ! ! ! ! !

.C.=a b a b a b!

Entonces en alguna vecindad de la curva inicial existirá una y solamenteuna solución de conteniendo la faja inicial, es decir tal queD œ ? Bß C #*a b a b .D B = ß C = œ D = ß D B = ß C = œ : = ß D B = ß C = œ ; =a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b! ! ! B ! ! ! C ! ! !

DEMOSTRACIÓN. Consideremos el sistema de ecuaciones características Œ a b.B

.> .> .>: ; B B.C .:

.D

.> .>: ; C B.;

œJ ß œJ ß œJ :J

œ:J ;J ß œJ ;J$#

con la familia de condiciones iniciales B œ B = ß C œ C = ß D œ D = ß! ! !a b a b a b: œ : = ß ; œ ; = > !! !a b a b para . Del teorema de existencia y unicidad, delproblema de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias,podemos obtener una familia de soluciones dependiendo del parámetroinicial =


B œ \ = ß C œ ] = ß D œ ^ = ß : œ T = ß ; œ U = $$a b a b a b a b a b a bdonde y tienen derivadas continuas con respecto a y a ,\ß] ß ^ß T U = >y además que satisfacen las condiciones iniciales\ =ß ! œ B = ß ] =ß ! œ C = ß ^ =ß ! œ D = ß T =ß ! œ : ß U =ß ! œ ; = $%a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b! ! ! ! !

determinándose así las tiras características surgidas de los elementosiniciales, debemos demostrar que las curvas características de estasfranjas B œ \ =ß > ß C œ ] =ß > ß D œ ^ =ß >a b a b a bnecesariamente forman una superficie. En particular si resolvemos las dosprimeras ecuaciones para y en términos de y , y luego sustituyendo= > B Cen la última, se obtiene la superficie D œ ^ = Bß C ß > Bß C œ D Bß >a b a ba b a bcomo una función de las variables y . Esto se puede dar para algunaB Cvecindad alrededor de cada punto en la curva inicial puestoR ß Ð ß Ña b0 ( 0 (

que, a lo largo de la curva inicial el Jacobiano ` \ß]

` =ß> .= .=>œ!

= > .C

= >œ!

.B; :

a ba b ¹ º º a bœ œ J J Á ! $&\ \] ] >

! !

esto por la condición , dada por hipótesis.a b$$Tenemos entonces definido, en , las ecuacionesR ßa b0 (

Š ‹ a b=œ= BßC ß >œ> BßC ß Bœ\ = BßC ß> BßC ß Cœ] = BßC ß> BßC

Dœ^ = BßC ß> BßC ß :œT = BßC ß> BßC ß ;œU = BßC ß> BßC a b a b a b a ba b a b a b a ba b a b a ba b a b a b a b a b a b $'

Debemos probar que es una solución de la ecuación diferencialD Bß Ca bparcial , es decir, de la ecuacióna b#* J Bß Cß D Bß C ß D Bß C ß D Bß C œ !a ba b a b a bB C

Pero se sabe, que para las tiras características se tiene J Bß Cß Dß :ß ; œ !a bsólo nos resta probar que y, : œ D ß ; œ DB C

Con este objeto consideremos la expresión Y =ß > œ ^ T\ U] $(a b a b= = =

Para > œ !

Y =ß ! œ : ; œ !a b .D .B.= .= .=! !

.C! ! !

por la condición de tira, para los elementos iniciales . Mostremos quea b$!Y œ ! > para todo , lo cual expresa el hecho, de que las tiras característicasquedan suavemente juntas. Para hacer esto, consideremos la derivada deY > con respecto a . `Y

`> => > = => =>œ ^ T \ T\ U]

œ ^ T\ U] T \ U ] U ] T \``= > > > = > = > > = > =a b

œ ! J T J U J J T \ J J U ]: = ; = B D = C D =a b a bdonde hemos usado las ecuaciones características . Tenemos ademása b$#por adición y sustracción de y luego reagrupando términos tenemosJ JD =

`Y`> B = C = D = : = ; = D = = =œ J \ J ] J ^ J T J U J ^ T\ U]a b

œ J J Y œ J Y= D D


puesto que en y . Ahora para fijo, la función satisface laJ œ ! = > = Y=

ecuación diferencial ordinaria .Y

.> Dœ J Y

cuya solución dada por Y œ Y ! /a b J .>'

!>

D

Puesto que para se sigue que para todo es decir> œ !ß Y œ ! >ß

Z= = =œ T\ U]Observemos ahora las cuatro ecuaciones Z = = = = B = C =œ T\ U] ^ œ ^ \ ^ ]

.^ œ T\ U] ^ œ ^ \ ^ ]> > > B > C >>

La primera se sigue de la discusión previa, la segunda es justo la terceraecuación característica, y las últimas dos por diferenciación de lasidentidades .a b$'Las cuatro cantidades pueden ser consideradas como dosT ßUß^ ß ^B C

soluciones, para dos ecuaciones lineales en dos variables desconocidas.Sin embargo, puesto que cerca de el determinantea b0 (ß

º º\ \] ]

Á != >

= >

en virtud de la ecuación las dos soluciones son necesariamentea b$&idénticas, es decir; T =ß > œ ^ B =ß > ß C =ß >a b a ba b a bB

U =ß > œ ^ B =ß > ß C =ß >a b a ba b a bC

0 Š ‹ a b: BßC œ^ BßC

; BßC œ^ BßCa b a ba b a bB

C$)

como queríamos demostrar.Las soluciones contienen la tira inicial. Pues^ œ ^ Bß Ca b ^ B ß C œ ^ B =ß ! ß C =ß ! œ ^ =ß ! œ ^ =a b a b a b a ba b a b! ! !

^ B ß C œ : B ß C œ : B =ß ! ß C =ß ! œ : =ß ! œ : =B ! ! ! ! !a b a b a b a b a ba b a b ^ B ß C œ ; B ß C œ ; B =ß ! ß C =ß ! œ ; =ß ! œ ; =C ! ! ! ! !a b a b a b a b a ba b a besto en virtud de las ecuaciones y . Para demostrar quea b a b a b$% ß $' $)^ œ ^ Bß Ca b así determinado, es única, supongamos que existe otrasolución definida en y contenida en una tira inicial.^ œ ^ Bß C RÐ ß Ñwa b 0 (

Escojamos un punto arbitrario en y resolviendo para y a bB ß C RÐ ß Ñ = >w w w w0 (

en las ecuaciones asociadas se tiene = œ = B ß C > œ > B ß Cw w w w w wa b a bConsideremos ahora los elementos iniciales .B = ß C = ß D = ß : = ß ; =! ! ! !

w w w w w!a b a b a b a b a b

Por lo que se ha supuesto estos elementos están todos colocados sobre lasuperficie integral. Así la unicidad de la tira característica determinada,brinda para estos elementos las ecuaciones B œ \ = ß > ß C œ ] = ß > ß D œ ^ = ß > ß : œ T = ß > ß ; œ U = ß >a b a b a b a b a bw w w w w


y es preciso también considerarlas en ambas superficies. Esto es ^ \ = ß > ß ] = ß > œ ^ = ß > œ ^ \ = ß > ß ] = ß >w w w w w wa b a b a ba b a b a b a by en particular para tenemos>w

^ B ß C œ ^ \ = ß > ß ] = ß > œ ^ = ß >w w w w w w w w w wa b a b a ba b a b .^ \ = ß > ß ] = ß > œ ^ B ß Ca b a ba b a bw w w w w w

Note que tan sólo tenemos una única solución construida en una vecindadRÐ ß Ñ Ð ß Ñ0 ( 0 ( alrededor de un punto en la curva inicial.Debemos tener la solución extendida para incluir la curva completa. Estopuede darse mediante un recubrimiento apropiado de la curva inicialformado por vecindades en donde vale la unicidad.RÐ ß Ñ0 (

Supongamos entonces que la región próxima a la curva inicial es aplicadahomeomórficamente sobre alguna de un -plano tal que la curva inicial?ß @quede aplicada en una porción de la línea . El sistema de> ? œ !

vecindades que tiene por restricción propia, el tamaño de R ?ß @ RÐ ß Ña b 0 (

suponiéndolas circulares. Consideremos ahora un recubrimiento finito Wde por . Esto se puede tener, dado que la curva inicial y también> R ?ß @a bsu imagen son compactas. Las intersecciones de este cubrimiento>tendrán un diámetro mínimo, digamos . (ver la figura). Supongamos<ahora cubierta con un segundo recubrimiento de vecindades > X R ?ß @a bteniendo diámetro máximo de <# Þ

Este recubrimiento tendrá entonces la propiedad de que lasXintersecciones de cualquiera de sus vecindades estará completamentedentro de al menos una de las vecindades del recubrimiento .WSe consideran las soluciones que han sido construidas por las^ Bß CX a bvecindades del cubrimiento . Es claro que ellas definirán una soluciónXdel problema de Cauchy para la curva completa. Todo lo que tenemos quemostrar es que los concuerdan a lo largo de las intersecciones de sus^X

respectivas vecindades. Pero esto es claro por la prueba de unicidad paralas vecindades del primer recubrimiento . Hemos visto anteriormenteWque podemos resolver el problema de Cauchy con auxilio de una integralcompleta. Existe sin embargo otro tipo de soluciones que es tambiénconveniente para este propósito. A saber, en cada punto en ela bB ß C ß D! ! !

espacio, existe una familia a un parámetro de elementosB ß C ß D ß : = ß ; =! ! ! ! !a b a b por medio de cada una de las cuales podemos pasar alas tiras características. Esta familia, a un parámetro de tiras, formará en


general, cierta superficie cónica con una singularidad en el puntoa bB ß C ß D! ! ! , para más detalles ver [2].

§3. METODO DE SOLUCIONES DE LA ECUACION .B .DT U V

.Cœ œ

3.1. METODO DE LAS PROPORCIONESLas curvas integrales del conjunto de soluciones de las ecuacionesdiferenciales de la forma .B .D

T U V.Cœ œ "a b

donde son funciones definidas en un conjunto abierto ,T ßUßV § dH $

continuas y diferenciables , dan origen a una familia dea bT ßUßV À Ä dH

curvas a dos parámetros en el espacio tridimensional. Si podemosobtener de la ecuación dos relaciones de la formaa b" ? Bß Cß D œ - à ? Bß Cß D œ - #" " # #a b a b a binvolucrando dos constantes arbitrarias, entonces variando estas dosconstantes obtenemos una familia a dos parámetros cumpliendo laecuación .a b"En particular, para hallar las funciones y se observa que para? ?" #

cualquier dirección tangencial a través del punto a la superficiea bBß Cß D? Bß Cß D œ -" "a b se satisface la relación `? `? `?

`B `C `D" " ".B .C .D œ !

Si es un adecuado sistema de superficies a un parámetro, la? œ -" "

dirección tangencial a la curva integral a través de cualquier punto a bBß Cß Des también una dirección tangencial a esta superficie. Por lo tanto T U V œ !`? `? `?

`B `C `D" " "

Para hallar (y, análogamente experimentamos con un buen número? ? Ñ" #

de funciones y , de tal manera que se cumpla T ßU ß Vw w w

TT UU VV œ ! $w w w a by tales que exista una función con la propiedad?"

T œ ß U œ ß V œ %w w w`? `? `?`B `C `D

" " " a bes decir, tal que T .B U .C V .D &w w w a bsea una forma diferencial exacta ..?"

EJEMPLO. Hallar las curvas integrales de las ecuaciones .B .D

C BC +D B BC +D D BC.Ca b a b a bœ œ 'a b

En este caso tenemos, en la notación anterior T œ C B C +Dß U œ B B C +Dß V œ D B Ca b a b a bSi por tanteo tomamos T œ ß U œ ß V œ w w w" "

D D DBC

#


Entonces la condición es evidentemente verificada y la función de laa b$ ?"

ecuación tomará la formaa b% ? œ"

BCD

Análogamente si tomamos T œ Bß U œ Cß V œ +w w w

de nuevo la condición se cumple, y la función correspondiente esa b$ ? œ B C +D#

"#

# #a bPor lo tanto las curvas integrales de la ecuación diferencial son losmiembros de la familia a dos parámetros B C œ - Dß B C #+D œ - (" #

# # a bOtro camino para obtener estas ecuaciones, es haciendo uso de laspropiedades de las razones aritméticas, así la ecuación puedea b'escribirse en la forma .B.C

BC.D

D BCa b a b# œ

Esta es una ecuación diferencial ordinaria en la variables y cuyaB C Dsolución es B C œ - D )" a bAnálogamente se pueden hacer combinaciones como ésta B.BC.C

+ BC D D BC.Da b a bœ

la cual es equivalente a B.B C.C +.D œ !

de donde sale de la derivación implicita, que . B C +D œ !ˆ ‰" "

# ## #

obteniéndose la otra solución B C #+D œ - *# #

# a bLas ecuaciones y son justamente las mismas de .a b a b a b) * (

3.2 FORMA Y ECUACIONES DE PFAFFIAN

La expresión ! a b

3œ"

8

3 " # 8 3J B ß B ßá ß B .B

donde los son funciones de algunas o todas las J 3 œ "ß #ßá ß 8 83 a bindeterminadas , es llamada .B ß B ßáB" # 8 forma diferencial de PfaffianAnálogamente la relación ! a b

3œ"

8

3 " # 8 3J B ß B ßá ß B .B œ !

es llamada .ecuación diferencial de PfaffianPara el caso de dos variables se tiene, el estudio de las ecuacionesdiferenciones exactas y se conoce el siguiente resultado.


TEOREMA. Una ecuación diferencial de Pfaffian en dos variables siempreposee un factor integrante.

Los siguientes lemas son de gran utilidad y las pruebas son rutinarias yfáciles de hacer.

LEMA 1. Una condición necesaria y suficiente para que exista entre dosfunciones y una relación de la forma no? Bß C @ Bß C J ?ß @ œ !a b a b a bconteniendo explícitamente a o, a es queB C

.` ?ß@` BßC

B C

B C

a ba b œ œ !? ?@ @º º

LEMA 2. Si es un vector tal que y es una función arbitraria\ \ † <9>\ œ ! .

de entonces .Bß Cß D \ † <9> \ œ !a b a b. .

Note que aquí y es el rotacional de .\ − d <9>\ \$

TEOREMA FUNDAMENTAL. Sea un dominio abierto, una condiciónH § d8

necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ! a b

3œ"

8

3 " # 8 3J B ß B ßá ß B .B œ \ † .< œ !

sea integrable es que .\ † <9>\ œ !

Siendo , y , .\ œ J ßJ ßá ßJ .< œ .B ß .B ßá ß .B ß J − G Ð Ña b a b" # 8 " # 8 3" H

La demostración la hacemos para el caso de tres variables . SeBß Cß Ddesprende de esta demostración un método para calcular la solución deuna ecuación diferencial de Pfaffian en tres variables.

BREVES DE LA DEMOSTRACIÓN. La condición necesaria se obtiene de los lemasanteriores. Para la condición suficiente, considérese constante, en eseDcaso obtenemos la ecuación diferencial T Bß Cß D .B U Bß Cß D .C œ !a b a bque es una ecuación diferencial en dos variables la cual por el teorema deexistencia siempre tiene solución, que será de la forma ? Bß Cß D œ -a b "

donde es una constante dependiente posiblemente de . Así debe- D"

existir una función tal que.

`? `?`B `Cœ T ß œ U. .

teniéndose estonces que `? `? `? `?

`B `C `D `D.B .C .D V .D œ !ˆ ‰.

la cual podemos escribir en la forma .? O.D œ !

siendo O œ V . `?

`D


De la hipótesis se tiene que , así tenemos que\ † <9> \ œ !a b a b a b. .\ † <9> \ œ !

Ahora =. . . .\ Tß Uß V œ ß ß O œ f? !ß !ßOa b a bŠ ‹`? `? `?

`B `C `D

Por lo tanto . .\ † <9> \ œ ß ß O † ß ß ! œ a b Š ‹ Š ‹`? `? `? Ò Ò `? Ò `? Ò

`B `C `D `C `B `B `C `C `B

así se obtiene que ` ?ß5

` BßCa ba b œ !

Del lema 1, se sigue que existe una relación entre y independiente de? OB C D O y pero no de . En otras palabras, puede ser expresada como unafunción de y solamente y de tal forma queO ?ß D ? Da b `?

`D O ?ß D œ !a bes una ecuación diferencial de variable separable cuya solución es dadapor Fa b?ß D œ -con constante. Como es función de y tenemos que la solución será- ? B C J Bß Cß D œ -a bdemostrándose que la ecuación es integrable.T.B U.C V.D œ !

EJEMPLO. Verifiquemos que la ecución diferencial a b a b a bC CD .B BD D .C C BC .D œ !# # #

es integrable y halle la solución.1. :Integrabilidad <9> C CDß BD D ß C BC œ #C #B #Dß #Cß #Ca b a b# # #

y a b a bC CDß BD D ß C BC † #C #B #Dß #Cß #C œ !# # #

2. :Cálculo de la solución Si mantenemos constante tenemosD C C D .B D B D .C œ !a b a bdonde si y sólo si, .B D .B

BD C CD BD C CD.C .C .C œ !ß œ !a b

de donde si y sólo si, P8 B D P8 œ P8Gß œ ? Bß C œ -a b a bŠ ‹C

CD CDC BD

"a b

Así existe tal que.

implica que, =`? " `? " "`B T `B C CD CD

C

CDœ T œ œ. . # #a b

se sigue entonces que O œ V œ œ !. `?

`D CDC BC C

CD CD

C BD#

# #a b a ba bluego y como se sigue que o sea donde laO œ ! .? O.D œ ! .? œ ! ? œ -

solución será si y sólo si, C BD

CDa b œ -ß C B D œ - C Da b a b

donde es una constante.-


3.3 METODO DE CHARPIT. Para resolver la ecuación diferencial parcial 0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! "a b a bdonde como siempre y , Charpit introduce una segunda: œ ; œ`D `D

`B `C

ecuación diferencial parcial de primer orden 1 Bß Cß Dß :ß ;ß + œ ! #a b a bla cual contiene una constante arbitraria y tal que,+a b a b a b+ " # Las ecuaciones y pueden resolverse para dar : œ : Bß Cß Dß + ß ; œ ; Bß Cß Dß +a b a ba b, La ecuación .D œ : Bß Cß Dß + .B ; Bß Cß Dß + .C $a b a b a bes integrable.Cuando tal función ha sido determinada, la solución de la ecuación 1 $a b J Bß Cß Dß +ß , œ !a bconteniendo dos funciones arbitrarias será la solución de la ecuación+ß ,a b" . El principal problema entonces es la determinación de la segundaecuación , para esto veamos el siguiente lema.a b#Pero antes se dice que dos ecuaciones diferenciales y0 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b son cuando toda solución decomparables0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a b es también solución de .

LEMA. Sea y dos ecuaciones diferenciales0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a bde primer orden tales que . Una condición para queN œ Á ! ` 0ß1

` :ß;a ba b

0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ ! Ò0 ß 1Ó œ !a b a b y sean compatibles es que donde Ò0 ß 1Ó œ : ; Þ ` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1

` Bß: ` Dß: ` Cß; ` Cß;a b a b a b a ba b a b a b a b

PRUEBA: Como podemos resolver las ecuacionesN Á !

y 0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a bpara obtener expresiones explicitas para y dadas por (en una variable): ; : œ Bß Cß D ; œ Bß Cß D %9 <a b a b a bAsí la compatibilidad de y se reduce a la0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a bsolución completa del sistema . En este caso la ecuacióna b% 9 <.B .C .D œ !

será integrable. Esta es una ecuación de que es integrable asíPfaffian a b a b9 < 9 <ß ß " † <9> ß ß " œ !

de donde 9 < < 9 < 9a b a b a b œ !D D B C

que es equivalente a < 9< 9 <9B D C D œ &a bSustituyendo las ecuaciones en y diferenciandoa b a b% 0 Bß Cß Dß :ß ; œ !

respectivamente con y con obtenemos las ecuacionesB D 0 0 0 œ !B : B ; B9 <

0 0 0 œ !D : D ; D9 <


de las cuales en realidad se deduce 0 0 0 0 œ !B D : B D ; B D9 9 99 < 9<a b a bPor analogía se puede decir de la ecuación que1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b 1 1 1 1 œ !B D : B D ; B D9 9 99 < 9<a b a bResolviendo estas ecuaciones, hallamos que < 9< 9B D

"N ` Bß: ` Dß:

` 0ß1 ` 0ß1 œ 'š › a ba b a ba b a bSi hubieramos diferenciado las ecuaciones dadas con respecto a y a C Dhabríamos obtenido 9 <9 <C D

"N ` Cß; ` Dß;

` 0<ß1 ` 0ß1 œ (š › a ba b a ba b a basí, restando las ecuaciones y usando la ecuación ya b a b a b' ( ß &reemplazando por , respectivamente se obtiene la condición9 <ß :ß ; Ò0 ß 1Ó œ !

donde Ò0 ß 1Ó œ : ; ` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1

` Bß: ` Dß: ` Cß: ` Dß;a b a b a b a ba b a b a b a b

teniéndose que la condición para que y 0 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 1 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a bsean compatibles es que .Ò0 ß 1Ó œ !

Regresando al método de Charpit para hallar la solución de1 Bß Cß Dß :ß ; œ ! 0 Bß Cß Dß :ß ; œ !a b a b la cual debe ser compatible con y comoÒ0 ß 1Ó œ ! N Á !, siempre y cuando , entonces obtenemos la ecuacióndiferencial 0 0 :0 ;0 0 :0 0 ;0 œ !: ; : ; B D C D

`1 `1 `1 `1 `1`B `C `D `: `;a b a b a b

para la determinación de . Nuestro problema entonces es hallar una1solución de esta ecuación, tan simple como sea posible, envolviendo unaconstante arbitraria , y ésta se hace hallando la integral de las ecuaciones+características de Cauchy (ver § )# .B .D

0 0 :0 ;0 0 :0 0 ;0.C .: .;

: ; : ; B D C Dœ œ œ œ )a b a b a b

Sin embargo las ecuaciones son conocidas como las ecuaciones dea b)Charpit o ecuaciones auxiliares.Una vez la integral está determinada, el problema se reduce a1 Bß Cß Dß :ß ;a bresolver para y las ecuaciones: ; : œ : Bß Cß Dß + ß ; œ ; Bß Cß Dß +a b a by luego integrando se obtiene la solución deseada.

EJEMPLO: Hallar la integral de la ecuación : B ; C œ D *# # a bLas ecuaciones auxiliares son .B .D

#:B #;C # : B; C 0 :0 0 ;0.C .: .;œ œ œ œa b a b a b# #

B D C D

que por métodos elementales de proporciones se reduce a : .B#:B.:

: B ; C; .C#;C.;#

# #

#

œ

que por la teoría de ecuaciones ordinarias nos da


si y sólo si , P8 : B œ P8+; Cß : B œ +; C "!a b a b# # # #

donde es una constante. Resolviendo y para y se obtiene+ * "! : ;a b a b : œ ß ; œš › š ›+D D

"+ B "+ Ca b a b" "# #

así la ecuación llega a ser en este caso.D œ : Bß Cß Dß + .B ; Bß Cß Dß + .Ca b a b ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹"+ + "

D B C

"#

"#.D œ .B .C

cuya solución es { }a b a b" + D œ +B C ,

" "# #

"#

la cual es la solución completa del problema.

3.4. MÉTODO DE JACOBI .Para resolver la ecuación diferencial parcial J Bß Cß Dß :ß ; œ ! "a b a bdonde y dependiendo del hecho de que si es: œ ; œ ? Bß Cß D œ !`D `D

`B `C a buna relación entre y entoncesBß Cß ß D : œ ß ; œ #? ?

? ?" #

$ $a b

donde, denota ? 3 œ "ß # $3

`?`B3

a b a bSi sustituímos las ecuaciones en obtenemos una ecuacióna b a b# "diferencial parcial del tipo 0 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? œ ! %a b a b" # $

en la cual la nueva variable dependiente no aparece.?La idea fundamental del método de Jacobi es la introducción de dosecuaciones diferenciales de primer orden 1 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? ß + œ !ß 2 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? ß , œ ! &a b a b a b" # $ " # $

involucrando dos constantes y de tal manera que+ ,a b a b a b+ % & ? ß ? ß ? Las ecuaciones y pueden resolverse para " $#a b, La ecuación .? œ ? .B ? .C ? .D '" # $ a bobtenida para estos valores , sea integrable.? ß ? ß ?" # $

Cuando estas funciones pueden ser determinadas, la solución de laecuación contiene tres constantes arbitrarias y será la solucióna b'completa de .a b%Como en el método de Charpit, la dificultad radica en la determinación delas ecuaciones auxiliares . Tenemos, en efecto, que hallar dosa b&ecuaciones que sean compatibles con . Es un ejercicio muy fácil peroa b%laborioso mostrar que y 0 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? œ ! 1 Bß Cß Dß ? ß ? ß ? œ !a b a b" # $ " # $

son compatibles si ` 0ß1 ` 0ß1 ` 0ß1

` Bß? ` Cß? ` Dß?a b a b a ba b a b a b" # $

œ !

Ahora y tendrán su solución dada por la ecuación diferencial parcial1 2siguiente:


0 0 0 0 0 0 œ ! (? ? ? B C D`1 `1 `1 `1 `1 `1`B `C `D `? `? `?" # $ " # $

a bque tiene por ecuaciones características de Cauchy a .B .D

0 0 0 0 0 0.C .? .? .?

? ? ? B C D" # $

" # $œ œ œ œ œ )a bSe procede entonces como en el método de Charpit.

EJEMPLO: Para ilustrar el método consideremos el siguiente problema.Determinar una solución para la ecuación diferencial parcial del tipo 0 Bß ß œ 1 Cß ßˆ ‰ Š ‹`? `? `? `?

`B `D `C `D

y aplicar el método para hallar la integral completa de la ecuación #B C œ B #C# #`? `? `? `?

`B `D `C `B

# #ˆ ‰ ˆ ‰Sea y, y tenemos por otra parte`? `? `?

`B `C `D" # $œ ? ß œ ? ß œ ?

0 Bß ? ß ? œ 1 Cß ? ß ?a b a b" $ # $

esto nos conduce a 0 Bß ? ß ? 1 Cß ? ß ? œ J Bß Cß Dß ? ß ? ß ? œ !a b a b a b" $ # $ " # $

según el método de Jacobi se tiene .B .D

J J J J J J J.C .? .? .? .?

? ? ? B C C D" # $

" # $ $œ œ œ œ œ œ

Pero .J œ 0 ß J œ 1 ß J œ 0 1 ß J œ 0 ß J œ 1 ß J œ !? ? ? ? ? ? ? B B C C D" " # # $ $ $

Por lo tanto la solución general saldría de resolver las siguientesecuaciones características .B .D

0 1 0 1 0 1.C .? .?

? ? ? ? B C" # $ $

" #œ œ œ œ

Ahora para el caso particular se tendría #B C? ? #C? œ B ?# # # #

" "$ #

o en forma equivalente , si y sólo si , #B ? ? #? œ B #? ? œ# # # # #

" " "$ $? ?C B C

"# ##

˜ ™aquí y 0 Bß ? ß ? œ #? ? 1 Cß ? ß ? œa b a b˜ ™" $ $ # $"

# "B C

?#

#

así la solución saldría de considerar la ecuación a b) .B .D

%? ? B C C ?.C

#? ! %? B.? .?

" $ ## " #

" "# #

" #$e f œ œ œ œ

De la segunda y de la última tenemos , si y sólo si , C.C œ œC .? .C

? C ?.?#

#

# #

#

de donde ; ahora tomando la primera y la cuarta se tiene+C œ ?#

, si y sólo si , .B .B%? ? B ? B ? B

.? .?%? B" $ $ "

# $ $" "

"# $a b œ œ *a b

por otra parte de la ecuación dada, tendremos , si y sólo si , #? ? B œ + ? B œ"

# # #$ $

+#?

e f"#

por consiguiente sustituyendo en obtenemosa b* , si y sólo si, #? .B

+ ? + BB .? .?# .B

?" " "# $

"$

"$œ œ !

integrando obtenemos de donde sale que B ? œ ," "+ #

# # ""


? œ"+, B# +B ,

É È #

Por otra parte de la ecuación dada despejamon obteniendo?$

? œ$+B #?

#B ?

# #"

# #"

Pero también sabemos que , si y sólo si , esto" " " +#? +B , ,

+B #?

#? B"#

# #"

"# # œ œ

significa que .? œ$+,

Por la ecuación del método de Jacobi se sabe quea b, .? œ +C.C .DÉ +, B.B +

# ,+B ,È #

integrando ordenadamente obtenemos: .É a b, + +#+ , ,

# #+B , C D - œ ?"#

La ventaja del método de Jacobi es que puede generalizarse. Si tenemosuna ecuación del tipo 0 B ß B ßá ß B ß ? ßá ß ? œ !" " # 8 " 8a bdonde denota entonces hallamos funciones? 3 œ "ß #ßá ß 8 8 "3

`?`B3

a bauxiliares con ecuaciones subsidiarias0 ß 0 ßá ß 0# $ 8

.B .B .? .?0 0 0 0 0 0

.B .?" # " #

? ? ? B B B" # " #

8 8

8 8œ œ â œ œ œ œ â œ

envolviendo constantes arbitrarias. Resolviendo éstas para8 "

? ß ? ßá ß ? ?" # 8 determinamos por integración de la ecuación de Pfaffian .? œ ? .B!

3œ"

_

3 3

la solución así obtenida contiene constantes arbitrarias.8

§ .4 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN

En los parágrafos anteriores consideramos la solución de una ecuacióndiferencial parcial de primer orden. Ahora procedemos a discutir lasecuaciones deferenciales parciales de segundo orden.

4.1. EL ORIGEN DE LA ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN. Supóngase que la función está dada por una expresión del tipoD D œ 0 ? 1 @ A "a b a b a bdonde y son funciones arbitrarias de y , respectivamente, y , , y 0 1 ? @ ? @ Ason funciones respectivamente de y de . Entonces escribiendoB C

: œ ß ; œ ß < œ ß = œ ß > œ #`D `D ` D ` D ` D`B `C `B `B`C `C

# # #

# # a bdiferenciando ambos lados de con respecto a y a , hallamos quea b" B C : œ 0 ? ? 1 @ @ Aw w

B B Ba b a b ; œ 0 ? ? 1 @ @ Aw w

C C Ca b a by de aquí se sigue que < œ 0 ? ? 1 @ @ 0 ? ? 1 @ @ Aww # ww # w w

B B BB BB BBa b a b a b a b


= œ 0 ? ? ? 1 @ @ @ 0 ? ? 1 @ @ Aww ww w wB C B C BC BC BCa b a b a b a b

> œ 0 ? ? 1 @ @ 0 ? ? 1 @ @ Aww # ww # w wC C CC CC CCa b a b a b a b

Ahora tenemos cinco ecuaciones involucrando cuatro funcionesarbitrarias, . Si eliminamos estas cuatro cantidades de las cinco0 ß 0 ß 1 ß 1w ww w ww

ecuaciones obtenemos

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ âa b

: A ? @ ! !; A ? @ ! !

< A ? @ ? @= A ? @ ? ? @ @

> A ? @ ? @

œ ! $

B B B

C C C

BB BB B B# #

BC BC BC B C B C

CC CC CC C C# #

BB

la cual envuelve solamente las derivadas y funciones:ß ;ß <ß =ß >dependientes de e . Es por lo tanto una ecuación diferencial parcial deB Csegundo orden. Además si expandemos el determinante en el ladoizquierdo de la ecuación en términos de la primera columna,a b$obtenemos una ecuación de la forma V< W= X> T: U; œ [ %a bdonde son funciones conocidas de e . Por lo tanto laVßWß X ß T ßUß[ B Crelación es solución de la ecuación diferencial parcial lineal de segundoa b"orden . Notamos que la ecuación es de un tipo particular: La variablea b a b% %D no interviene en ella. Como ejemplo del procedimiento del últimoparágrafo, suponemos que D œ 0 B +C 1 B +C &a b a b a bdonde y son funciones arbitrarias y es una constante.0 1 +Si diferenciamos dos veces con respecto a obtenemos la relacióna b& B < œ 0 1ww ww

mientras que si derivamos dos veces con respecto a , obtenemos laCrelación > œ + 0 + 1# ww # ww

así que las funciones las cuales pueden ser expresadas en la forma D &a bdeben satisfacer la ecuación diferencial parcial > œ + < '# a bMétodos análogos se aplican en el caso de ecuaciones de mayor orden. Esfácilmente demostrable que cualquier relación del tipo D œ 0 @ (! a b a b

<œ"

8

< <

donde las funciones son arbitrarias y las funciones son conocidas, y0 @< <

conduce a una ecuación diferencial parcial lineal de orden . Las8ecuaciones diferenciales parciales que consideramos en esta sección sonecuaciones lineales.

4.2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES:


Consideremos ahora la solución de un tipo especial de ecuacióndiferencial parcial lineal con coeficientes constantes. Para tales ecuacionesutilizamos la siguiente notación J HßH D œ 0 Bß C "a b a b a bw

donde denota un operador diferencial del tipoJ HßHa bw J HßH œ - H H #a b a b a b!!w < w

< =<=

=

en donde las cantidades son constantes y .- H œ ßH œ<=` ``B `C

w

La solución más general, es decir, conteniendo el número correcto deelementos arbitrarios, de la correspondiente ecuación diferencialhomogénea J HßH D œ ! $a b a bw

es llamada de la ecuación , justo como en lala función complementaria a b"teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Análogamente algunasolución de la ecuación es llamada . Como en laa b" solución particularteoría de ecuaciones diferenciales ordinarias el siguiente resultado esbásico.

TEOREMA 4.1. Si es la función complementaria y una integral particular? D"de la ecuación diferencial parcial , entonces es la solución generala b" ? D"de la ecuación .a b"La demostración de este teorema es obvia, puesto que las ecuaciones ya b"a b$ ? D son de la misma clase, así la solución contendrá el número"

correcto de elementos arbitrarios. También J HßH ? œ !ß J HßH D œ 0 Bß Ca b a b a bw w

"

Así que J HßH ? J HßH D œ J HßH ? D œ 0 Bß Ca b a b a ba b a bw w w

" "

demostrando que es en efecto, una solución de la ecuación . Esto? D "" a bcompleta la demostración.Otro resultado que es usado intensamente en la solución de estasecuaciones es el siguiente:

TEOREMA 4.2. Si son soluciones de la ecuación diferencial? ß ? ßá ß ?" # 8

parcial homogénea , entonces donde es unaJ HßH œ ! - ? ?a b !w

<œ"

8

< < <

constante arbitraria para todo , es también solución< œ "ß #ßá ß 8 .La demostración de este teorema es inmediata puesto que J HßH - @ œ - J HßH @a ba b a bw w

< < < <

y J HßH @ œ J HßH @a b a b! !w w

<œ" <œ"

8 8

< <

para cualquier conjunto de funciones . Además@<

J HßH - @ œ J HßH - @ œ - J HßH @ œ !a b a ba b a b! ! !w w w

<œ" <œ" <œ"

8 8 8

< < < < < <


Clasificamos el operador diferencial lineal en dos tipos especialesJ HßHa bwque trataremos separadamente. Decimos que:a b a b+ J HßHw es reducible si no puede escribirse como el producto defactores lineales de la forma , donde son constantesH +H , +ß ,w

a b a b a b, J HßH +w es irreducible si no puede escribirse en la forma dada en .Por ejemplo el operador puede ser escrito en laH H œ # w # ` `

`B `Ca b # #

# #

forma y se dice que es , mientras quea ba bH H H Hw w reducibleH H œ # w # ` `

`B `Ca b # #

# # no puede ser descompuesto en factores y en esecaso se dice .irreducible

a b+ : El punto de partida de la teoría de ecuacionesECUACIONES REDUCIBLESreducibles es el siguiente resultado:

TEOREMA 4.3. Si el operador es reducible, el orden en que losJ HßHa bwfactores lineales ocurren no es importante (conmutatividad)PRUEBA: Basta con mostrar que a ba b a ba b! " # ! " # ! " # ! " #< < < = = = = = = < < <

w w w wH H H H œ H H H H a b%œ ! ! ! " ! " " " # ! # ! # " # " # #< = = < < = < = = < < = = < < = < =

# w w w#H HH H H H a b a b a b a bAsí cualquier operador reducible puede escribirse en la forma J HßH œa bw

<œ"

8# a b a b! " #< < <wH H &

TEOREMA 4.4. Si ! " # 9 0< < < <w wH H J HßH es un factor de y es unaa b a b

función arbitraria de la variable simple entonces si 0 !< Á !

? œ /B: B C< < < <BŠ ‹ a b#

!<

<9 " !

es solución de la ecuación .J HßH œ !a bwPRUEBA: Por diferenciación directa tenemos H? œ ? /B: B C< < < < <

B w# #! !< <

< <" 9 " !Š ‹ a b

a b a bŠ ‹H ? œ /B: B Cw w< < < <

B! 9 " !#!<

<

así que a b a b! " #< < < <

wH H ? œ ! '

Ahora por el teorema 4.3 J HßH ? œ H H H H ? (a b a b a b a bœ w w w

< = = = < < < <=œ"

8# ! " # ! " #

El factor que sigue al producto correspondiente al , que está omitido= œ <en el producto de se obtiene que es cero, obteniendo el resultado.à ' (a b a bUsando el mismo método se puede demostrar el siguiente resultado

TEOREMA 4.5. Si es un factor de y es una función" # 9 0< < <w wH J HßHa b a b

arbitraria del simple valor , entonces 0 "< Á !

? œ /B: B< < <CŠ ‹ a b#

"<

<9 "


es una solución de la ecuación .J HßH D œ !a bwEn la descomposición de en factores lineales podemos obtenerJ HßHa bwfactores con multiplicidad del tipo a b a b! " #< < <

w 8H H ) La solución correspondiente a este factor puede ser obtenida por laaplicación repetida de los teoremas 4.4 y 4.5. Por ejemplo, si 8 œ #

debemos hallar soluciones de la ecuación a b! " #< < <

w #H H D œ !

Si hacemos = , entonces< ! " #a b< < <wH H D

a b! " # << < <wH H œ !

de acuerdo con el teorema 4.4 tenemos por solución, si !< Á !

.< 9 " !œ /B: B CŠ ‹ a b#!<

<

B< < <

Para hallar la solución correspondiente a tenemos por lo tanto queDresolver la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden siguiente: ! " # 9 " !< < < < < <

`D `D`B `C

BÎ D œ / B C# !< < a b a b*usando los métodos del §3 vemos que las ecuaciones características son .B .D.C

D/ B C! " # 9 " !< < < < < < BÎ< <

œ œ # ! a bcon solución para las dos primeras dada por " !< < "B C œ -Sustituyendo tenemos .B .D

D/ -! # 9< < < " BÎ< <

œ # ! a bque es una ecuación lineal de primer orden con solución D œ - B - /"

< " # BÎ

!# !

<

< <e fa b9

La ecuación , y también la ecuación tiene por solucióna b a b* ) D œ B B C B C /e fa b a b9 " ! < " !< < < < < <

BÎ# !< <

donde las funciones son arbitrarias.9 << <ßEste resultado es en realidad generalizado por

TEOREMA 4.6. Si es un factor de y si lasa b a b a b! " #< < <wH H 8

<w! Á ! J HßH

funciones son arbitrarias; entonces9 9 9< < <" # 8ß ßá ß

/B: B B CŠ ‹! a b#!<

<

B

=œ"

8="

<= < <9 " !

es una solución de .J HßH œ !a bwUna generalización del teorema 4.5 es dada en el siguiente resultado:

TEOREMA 4.7. Si es un factor de y si las funcionesa b a b" #< <w w7H J HßH

9 9 9<" <# <7ß ßá ß son funciones arbitrarias entonces /B: B BŠ ‹! a b#

"<

<

C

=œ"

7="

<= <=9 "

es una solución de .J HßH D œ !a bw


Estamos ahora en posición de expresar la función complementaria de laecuación cuando el operador es reducible. Como un resultadoa b a b" J HßHw

de los teoremas 4.4 y 4.6 vemos que J HßH œ H H "!a b a b a bw w

<œ"

8

< < <7# ! " # <

y si ninguno de los es cero, entonces la correspondiente función!<

complementaria es ? œ B B C ""! !Š ‹ a b a b

<œ" =œ"

=B

7="

<= < <exp #!<

<

<

9 " !

donde las funciones son arbitrarias. Si9<= <a b= œ "ßá ß 8 à < œ "ß #ßá ß 8algunos de los son ceros, la modificación de la expresión puede ser! a b""por medio de los teoremas 4.5 y 4.7. De la ecuación vemos que ela b"!orden de la ecuación es puesto que la solución de a b a b$ 7 ß7 ßá ß7 """ # 8

tiene el mismo número de funciones complementarias. Para ilustrar elprocedimiento consideremos un caso particular.

EJEMPLO: Resolver la ecuación ` D ` D ` D

`B `C `B `C

% % %

% % # # œ #

En la notación de esta sección, esta ecuación puede ser escrita en la forma a b a bH H H H D œ !w w# #

Así que por la ecuación la solución esa b"" .D œ B B C B C B B C B C9 9 < <" # " #a b a b a b a bHabiendo hallado la función complementaria de necesitamosa b"solamente hallar una solución particular para la solución completa. Esto eshallar por un método similar al que empleamos en la demostración delteorema 4.6 si escribimos D œ H H D "#" < < <

<œ#

8w#a b a b! " #

entonces la ecuación es equivalente a la ecuación lineal de primera b"orden ! " #" " " "

`D `D`B `C

" " D œ 0 Bß Ca buna integral particular, de esta ecuación, podemos calcularla fácilmentepor el método de Lagrange. Sustituyendo valores particulares de enD"a b"# 8 ", obtenemos una ecuación casi homogénea de orden . Repitiendoel proceso, fácilmente llegamos a una ecuación de primer orden para .DPara ilustrar el proceso consideremos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO: Hallar la solución de la ecuación ` D ` D

`B `C

# #

# # œ B C

Esta ecuación puede ser escrita en la forma a ba bH H H H D œ B Cw w

aquí la función complementaria es


9 9" #a b a bB C B Cdonde y son arbitrarias. Para determinar una integral particular9 9" #

escribimos D œ H H D "$"

wa b a bentonces la ecuación para esD" a bH H D œ B Cw

"

que es una ecuación de primer orden con solución D œ B C 0 B C"

"%

#a b a bdonde es arbitraria. Puesto que estamos buscando solamente una0integral particular, podemos tomar . Sustituyendo estos valores de 0 œ ! D

"

en hallamos que la solución de la integral particular esa b"$

`D `D "`B `C %

# œ B Ca bque tiene por solución en la cual es arbitraria.D œ B B C 0 B C 0"

%#a b a b

Tomando obtenemos la integral particular0 œ !

D œ B B C"%

#a bAquí la solución general de la ecuación puede ser escrita en la forma D œ B B C B C B C"

%#

" #a b a b a b9 9

donde las funciones y son funciones arbitrarias.9 9" #

a b a b, J HßH . Cuando el operador es irreducible noECUACIONES IRREDUCIBLES w

siempre es posible hallar una solución con el número completo defunciones arbitrarias, pero es posible construir una solución con algúnnúmero de constantes como deseamos. El método para obtener talessoluciones depende de un teorema que vamos a probar en seguida. Esteteorema es verdadero tanto para operadores reducibles como operadoresirreducibles, pero es en el caso de irreducibilidad que lo utilizamos.

TEOREMA 4.8. J HßH / œ J +ß , /a b a bw +B,C +B,C

DEMOSTRACIÓN. La demostración de este teorema se sigue del hecho queJ HßH - H Ha b a bw < w

<==puede ser descompuesto en términos de la forma y

, H / œ + / H / œ , /< +B,C < +B,C w +B,C = +B,C=ˆ ‰ ˆ ‰a basí que a ba b ˆ ‰- H H / œ - + , /<= <=

< w +B,C < = +B,C=

Un resultado análogo que es usado en la determinación de la integralparticular es:TEOREMA 4.9. J Hß H / Bß C œ / J H +ßH , Bß Ca b a b a b a ba b ˜ ™w +B,C +B,C w9 9

DEMOSTRACIÓN. Se hace directamente utilizando el torema de Leibnitz parala -ésima derivada de un producto<

H / œ - H / H< +B < +B <

œ!

<a b a ba b!9 93

33 3


œ / - + H œ / H ++B < < +B

œ!

<< ! a b

33

3 3

9 9

Para determinar la función complementaria de una ecuación del tipoJ HßH D œ 0 Bß C J HßHa b a b a bw w dividimos el operador en factores. Los factoresreducibles son tratados por el método dado en . Los factoresa b+irreducibles son tratados como sigue: Por el teorema 4.8 vemos que /+B,C

es una solución de la ecuación J HßH D œ ! "%a b a bw

probando que así queJ +ß , œ !a b D œ - + B , C "&! a b a b

<< < <exp

en donde son todas constantes, es también una solución teniendo+ ß , ß -< < <

cuidado de que estén conectados por la relación+ ß ,< <

J + ß , œ ! "'a b a b< <

En esta forma podemos construir una solución de la ecuaciónhomogénea , conteniendo tantas constantes arbitrarias comoa b"%necesarias. La serie no necesariamente es finita, pero si se tiene esto,a b"&es una solución de . La discusión de la convergencia de tal serie esa b"%una dificultad, envolviendo como constante a las parejas y los- + ß ,< < <a bvalores de las variables e .B C

EJEMPLO. Demostrar que la ecuación ` D " `D

`B 5 `>

#

# œ

posee soluciones de la forma ! a b

8œ"

_

8 858 >- 8B /cos %

#

Esto se sigue inmediatamente del hecho que es una solución/+B,C

solamente si y esta relación se satisface si tomamos+ œ ,Î5#

.+ œ „ 38ß , œ 58#

Para hallar la integral particular de la ecuación J HßH D œ 0 Bß Ca b a bw

escribimos simbólicamente como D œ 0 Bß C "("

J HßHa bw a b a bPodemos a menudo expandir el operador por medio del teorema delJ"

binomio y entonces interpretar el operador como integrales.H ß H" w "a bEJEMPLO. Hallar una integral particular de la ecuación a bH H D œ #C B# w #

PRUEBA. Ponemos la ecuación en la forma .D œ #C B"H H

## w a b

Ahora podemos escribir " H " " H H

H H H H H

"

H H# w w w w

# # %

w # $wœ " œ âŠ ‹ a b ˆ ‰ D œ #C B #C B œ C BC # œ B C" " "

H H# # # #

Hw ww #a b a b a ba b a bCuando es hecha en términos de la forma obtenemos0 Bß C +B ,Ca b a bexp


una integral particular de la forma excepto si se tiene"J +ß,a bexpa b+B ,C

J +ß , œ !a b .

EJEMPLO. Hallar la solución particular de la ecuación ` D `D

`B `C#BC#

# œ /

SOLUCIÓN. En este caso , y así que J HßH œ H H + œ #ß , œ "ß J +ß , œ $a b a bw # w

y la integral particular es ."

##BC/

En el caso cuando es frecuente aplicar el teorema 4.9. Si seJ +ß , œ !a btiene que resolver J HßH D œ -/a bw +B,C

donde es una constante, conjeturamos que la solución es- D œ A/+B,B

entonces por el teorema 4.9 tenemos J H +ßH , A œ - ")a b a bw

y es con frecuencia posible obtener una integral particular de estaecuación

EJEMPLO. Hallemos una integral particular para la ecuación a bH H D œ /# w BC

SOLUCIÓN. En este caso y DeJ HßH œ H H ß + œ "ß , œ " J +ß , œ !Þa b a bw # w

cualquier forma J H +ßH , œ H " H " œ H #H Ha b a b a bw w w#

y de la ecuación se recibe quea b") a bH #H H A œ "# w

de donde se tiene que las integrales particulares son y . Así"#B C

"#

BC BCB/ C/ y son las soluciones particulares de la ecuación original.

Cuando la función es de la forma de una función trigonométrica es posiblehacer uso de al menos dos métodos, expresándola como una combinaciónde funciones exponenciales con exponenciales imaginarias, pero es confrecuencia más simple, usando el método de los coeficientesindeterminados.

EJEMPLO. Hallar una integral particular de la ecuación a b a bH H D œ E 6B 7C# w cosdonde son constantes.Eß 6ß7SOLUCIÓN: Para hallar una integral particular, conjeturamos que es de laforma D œ - 6B 7C - 6B 7C" #cos sina b a by sustituyendo en el lado izquierdo de la ecuación original e igualando loscoeficientes se obtiene el sistema 7- 6 - œ !" #

#


6 - 7- œ E#" #

para la determinación de y se sigue que- -" #

- œ œ ß - œ œ" #

! 6E 7 6 E

7 66 7

E6 7E7 6 7 6 7 6

7 !º º º ºº º

#

#

#

#

# % # % # %

#

En esta forma la integral principal será D œ 7 6B 7 6 6B 7CE

7 6#

# % c da b a bsin cos

§5. APLICACIONES A LA FÍSICA

5.1. ECUACION DE PRIMER ORDEN.Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, tienen suaplicación en física matemática, en la ecuación de Hamilton-Jacobi `W `W `W `W

`> `; `; `;" # 8œ L ; ß ; ßá ß ; ß ß ßâß œ ! "Š ‹ a b" # 8

asignada al Hamiltoniano de un sistemaL ; ß ; ßá ß ; : ß : ßá ß :a b" # 8à " # 8 dinámico de generalizadas y el momento conjugado8 ; ß ; ßá ß ;" # 8

: ß : ßá ß : W" # 8. Esta es una ecuación en la cual la variable que depende de está ausente, vemos que las ecuaciones características están dadas por .>

" `LÎ`: `LÎ`: `LÎ`; `LÎ`;.; .; .: .:œ œ â œ œ œ â œ #" 8 " 8

" 8 " 8a b a b a bes decir, ellas son equivalentes a las ecuaciones Hamiltonianas delmovimiento .; .:

.> `: .> `;`L `L3 3

3 3œ ß œ 3 œ "ß #ßá ß 8 $a b

Una forma modificada de la ecuación se obtiene escribiendoa b" W œ [> W"

entonces hallamos que L ; ß ; ßá ß ; à ßá ß œ [ %Š ‹ a b" # 8

`W `W`; `;

" "

" 8

Suponiendo, por ejemplo, que un sistema con segundo orden de libertad,tiene Hamiltoniano L œ &

T: U;

# \] \]

# #B Ca b 0 ( a b

donde , , son funciones de solamente son funcionesT \ Bß Cà Uß ] ß0 (

solamente de . Entonces la ecuación llega a serC %a b "

# B Ca b a b a bT: U; [ \ ] œ !0 (

Entonces una de las ecuaciones características toma la forma .B

T:.:

T : [\B

B"#

w w wB

œ !0

tiene por solución : œ # [\ +B e fa b0

"#

donde es una constante arbitraria. Análogamente podemos demostrar+que ; œ # [] ,C e fa b(

"#


donde es una constante arbitraria, teniendo la misma propiedad. Así,puesto que es una función de solamente, y es función de : B ; CB C

solamente, tenemos W œ [> # [\ + .B # [] , .C' 'e f e fa b a b0 (

" "# #

demostrando que una solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi puedeser algunas veces determinada de un Hamiltoniano de la forma .a b&Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden también surgenfrecuentemente en la teoría de procesos de probabilidad. Una tal ecuaciónes la ecuación de Fokker-Planck dada por `T ` ` T

`> `B `Bœ TB H '" a b a b#

#

en el caso particular se tiene la ecuación diferencial parcial;H œ !ß

`T `T`> `Bœ B T" "

La interpretación física de las variables en esta ecuación; la probabilidadTde que una variable casual tome el valor en el tiempo . Por ejemplo B > Tpuede ser la distribución de probabilidad de la posición de una partículaen el movimiento Browniano limitado armónicamente (o armónico limitado) o la distribución de probabilidad de retención del sonido de una señalBeléctrica en un tiempo . Observamos que la ecuación es válida> 'a bsolamente si la ventaja del proceso tiene una distribución Gaussiana y esun proceso de Markoff. Probablemente la más importante ocurrencia delas ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, es en la teoría denacimientos y procesos de muerte conectada con bacterias. Supóngase,por ejemplo, que en un tiempo hay exactamente bacterias vivas y que> 8a b a b+ >ß > > > La probabilidad de bacterias moribundas en un tiempo es $ . $8a b a b, >ß > > > La probabilidad de reprodución bacterial en un tiempo es $ - $8a b- La probabilidad de número de bacterias permaneciendo constantes enun tiempo es a b a b>ß > > " > >$ - $ . $8 8a b. La probabilidad de que algunas nazcan o mueran ocurriendo en eltiempo es cero.a b>ß > >$Si suponemos que es la probabilidad de que se tengan bacterias enT > 88a bun tiempo , entonces esta suposición nos lleva a la ecuación> T > > œ T > > T > > " > > T >8 8" 8" 8" 8" 8 8 8a b a b a b e f a b$ - $ . $ - $ . $

la cual es equivalente a `T

`> 8" 8" 8" 8" 8 8 88 œ T > T > T > )- . - .a b a b a b a b a b

En el caso general dependerán de y ; si suponemos que la- .8 8ß 8 >posibilidad de la natalidad bacteriológica es proporcional al númeropresente, escribimos - - . .8 8œ 8 ß œ 8 *a bdonde y son constantes y la ecuación se reduce a- . a b) `T

`> 8" 8 8"8 œ 8 " T > 8T > 8 " T >- - . .a b a b a b a b a b a b

y si inducimos una función generada definida por la relaciónFa bDß >

Fa b a b!Dß > œ T > D8œ!

_

88


Vemos que esta última ecuación es equivalente a la ecuación lineal deprimer orden ` `

> `DF FF

œ D " D a ba b- .

cuya solución es demostrada por el lector y se tiene F œ 0 / "!Š ‹ a b. - - . D

"D >a b

de donde se sigue que 0 œa b Š ‹0 . 0

- 0

7

Por consiguiente en el tiempo > F œ š ›. - .

. - -

ˆ ‰ ˆ ‰a b"/ D /

/ D "/

a b a ba b a b- . - .

- . - .

> >

> >

T > D88a b es el coeficiente de en la expansión en serie de potencias de esta

función. Si entonces cuando , así que la probabilidad de- . F Ä " > Ä _

la última expresión es única.

5.2. .ECUACIÓN DE SEGUNDO ORDEN EN FíSICALas ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden surgenfrecuentemente en física. En efecto es por esta razón que el estudio detales ecuaciones son de gran valor práctico. Por el momento noslimitaremos a mostrar estas ecuaciones cuando surgen considerando queel flujo es unidimensional así que la corriente y el voltaje en cualquier3 Ipunto en el cable puede ser completamente determinada por unacoordenada espacial y un tiempo variable . Si consideramos la caída deB >potencial en un elemento lineal de longitud situado en el punto ,$B Bhallamos que - $ $ $I œ 3V B P B "`3

`> a bdonde es la serie de resistencias por unidad de longitud y es laV Pinductancia por unidad de longitud. Si hay una capacitancia a tierra de Gpor unidad de longitud y una conductancia por unidad de longitudKentonces 3 œ KI B G B #$ $ $ Ì

`> a bLas relaciones y son equivalentes al par de ecuaciones diferencialesa b a b" #parciales Ì `3

`B `> V3 P œ ! $a b `3 Ì

`B `> KI G œ ! %a bDiferenciando con respecto a , obtenemosa b$ B

` I `3 ` 3`B `B `B`>

# #

# V P œ ! &a by análogamente diferenciando con respecto a , obtenemosa b% >

` 3 Ì ` I`B`> `> `>

# #

# K G œ ! 'a bEliminando y de y se tiene`3 ` 3

`B `B`>

# a b a b a b% ß & '

P PK PG œ !` 3 Ì ` I`B`> `> `>

# #

#

y P œ V` 3 ` I `3

`B`> `B `B

# #

#


así - + y , ` I `3 `V ` I `3 Ì

`B `B `> `> `B `>

# #

# # V PK PG œ !ß œ IK G

por lo tanto - ` I `V Ì ` I

`B `> `> `>

# #

# # VKI VG PK PG œ !

lo cual es equivalente a Ì ` I ` I

`> `> `Be fVG PK PG VKI œ# #

# #

Hemos así hallado que satisface la ecuación diferencial parcial deIsegundo orden ` ` `

`B `> `>

# #

# #F F Fœ PG VG PK VK (a b a bF

Análogamente si diferenciamos con respecto a , con respecto a ya b a b$ > % Beliminamos y ` I Ì

`B`> `B

#

de la ecuación restante y hallamos que es también una solución de laa b$ 3ecuación a b(La ecuación , es llamada la y otros. Sia b( ecuación telegráfica de Poincaré la corriente que sale de tierra es pequeña, se sigue que y puedenK Ptomarse como cero y la ecuación toma la forma reducidaa b( ` " `

`B O `>

#

#F Fœ ) a b

donde es una constante. Esta ecuación es llamada O œ VGa b" ecuacióntelegráfica; nos referimos a ella como a la ecuación uno dimensional dedifusión.Si miramos a las ecuaciones y , esto es equivalente a tomar y a b a b$ % K Vcomo cero en las ecuaciones en cuyo caso ésta se reduce aa b( ` " `

`B - `>

# #

# # #F Fœ *a b

donde . Esta ecuación es al mismo tiempo referida, en este- œ PGa b"#

contexto, a la ecuación del radio; referiéndonos al caso de la ecuación deonda en una dimensión.Una ecuación diferencial parcial de segundo orden, diferente en caracterde cualquiera de las ecuaciones o , surgidas en electrostática tienea b a b) *por solución el modelo de los operadores de Fourier conocidoampliamente en los cursos de ingenieria y de física (lo mostraremos en§6). Por las leyes de Gauss de electrotécnia conocemos al flujo del vectorelectricidad fuera de una superficie limitada a un volumen y es I W Z %1

veces la carga contenida en . Así si es la densidad de la carga eléctrica,Z 3

tenemos ' '

W ZI.= œ % .1 3 7

Usando el teorema de Green en la forma ' '

W ZI.= œ [email protected]

y recordando que el volumen es arbitrario, vemos que la ley de Gauss esZequivalente a la ecuación .3@I œ % "!13 a b


Ahora es probable demostrar que el campo electrónico es caracterizadopor el hecho de que es derivable de una función potencial por laI Fecuación I œ 1<+.Fa b""eliminando entre las ecuaciones y , hallamos que satisface laI "! ""a b a b F

ecuación f % œ ! "##F 13 a bdonde hemos escrito para el operador que en ecuacionesf .3@ 1<+. †# a brectangulares cartesianas toma la forma ` ` `

`B `C `D

# # #

# # # "$a bLa ecuación es conocida como ecuación de Poisson. En ausencia dea b"#carga, es cero, y la ecuación se reduce a la forma simple3 a b"# f œ ! "%#F a bEsta ecuación es conocida como ecuación de Laplace o la ecuaciónarmónica.Si tratamos con un problema en cual la función potencial no varía con ,F Dhallamos que es reemplazado porf#

f œ "&#"

` ``B `C

# #

# # a by la ecuación de llega a serLAPLACE f œ ! "'#

"F a bde la cual surge una ecuación armónica de segundo orden. El operador deLaplace ocurre frecuentemente en física matemática, y en granf œ# ?cantidad de problemas es útil transformar coordenadas cartesianas aBß Cß Dotro sistema curvilíneo ortogonal dado por las ecuaciones

? œ ? Bß Cß D ß ? œ ? Bß Cß D ß ? œ ? Bß Cß D" " # # $ $a b a b a b a b"(

La transformación Laplaciana en estas circunstancias se efectúa mejorcon ayuda del cálculo vectorial que demuestra que en el sistema ? ß ? ß ?" # $

?Z œ ")" ` `Z ` `Z ` `Z2 2 2 `? 2 `? `? 2 `? `? 2 `?

2 2 2 2 2 2" # $ " " " # # # $ $ $

# $ $ " " #š ›Š ‹ Š ‹ Š ‹ a bdonde 2 œ 3 œ "ß # "*3

# `B `D`? `? `?

# # #`CŠ ‹ Š ‹ Š ‹ a b

3 3 3

§6. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES EN INGENIERIA

6.1. CONCEPTOS BASICOS:Una ecuación diferencial parcial (EDP) para una función con? Bß Cßáa bderivadas parciales , , , , es una relación de la forma? ? ? ? áB C BB CC

J Bß Cßá ß ?ß ? ß ? ß ? ßá œ ! "a b a bB BC CC


donde es una función de las variables yJ Bß Cßá ß ?ß ? ß ? ßá ß ? ß ? ß ? ßB C BB BC CC

además solamente ocurre un número finito de derivadas.NOTACION : , ,? œ ? œ áB BC

`? ` ?`B `B`C

#

Una función es una de , si en alguna región del? Bß Cßá "a b a bsoluciónespacio de sus variables independientes, la función y sus derivadassatisfacen la ecuación idénticamente en Bß CßáSe puede también considerar un sistema de ecuaciones diferencialesparciales; en este caso se consideran varias expresiones, como las dearriba, conteniendo una o más funciones desconocidas y sus derivadasparciales. Como en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinariasuna ecuación diferencial parcial (EDP) es de orden , si las derivadas de8mayor orden que ocurren en son de orden . En esta forma las EDPJ 8pueden ser de primer orden, de segundo orden y de orden superior.Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) se clasifican según el tipo defunción considerada. En particular tenemos EDP lineales si es linealJ Jen la función incógnita y sus derivadas.Las EDP ocurren frecuentemente y en forma enteramente natural enproblemas de varias ramas de la matemática.El problema objeto de las EDP es el estudio de las soluciones. Porsolución de una EDP indicamos a una función teniendo todas lasderivadas parciales que ocurren en la EDP y que cuando se sustituye en laecuación la reducen a una identidad en todas las variables.Por ejemplo la EDP de primer orden donde e son las? œ $B (C B CB

# &

variables independientes y es la función incógnita tiene a?? Bß C œ B (BC J C J Ca b a b a b$ & por solución donde es cualquier funcióndiferenciable en . Así tenemos que C ? Bß C œ B (BC / ßa b $ & C

? Bß C œ B (BC #Ca b $ & $Î#+ son soluciones. En esta forma vemos que lassoluciones se pueden clasificar en soluciones generales y solucionesparticulares.Para la determinación de las soluciones particulares se requiere decondiciones auxiliares las cuales constituyen las llamadas lascondiciones iniciales y las condiciones de frontera. En esta formael problema de las EDP consiste en hallar las soluciones bajo condicionesauxiliares, iniciales y/o en la frontera; obteniendo así los llamadosproblemas de frontera o problemas de valores iniciales.En el estudio de las soluciones de una EDP, se tienen tres preguntasbásicas:". ¿ Existen las soluciones ?#. ¿ Es la solución única ?$. ¿ Es la solución estable ?Para la determinación de una solución particular se usan condicionesespeciales llamadas como ya lo dijimos las condiciones iniciales y/olas condiciones de frontera.


6.2. TIPOS DE CONDICIONES. Se pueden catalogar en cuatro tipos :

1.- : Se desean soluciones donde las funcionesCONDICIONES DE CAUCHY desconocidas y posiblemente sus derivadas , donde son? ! Ÿ > _>

predeterminadas en la frontera cuando . Este tipo de condiciones son> œ !

catalogadas como condiciones iniciales.2.- : La función incógnita es especificada en cadaCONDICIONES DE DIRICHLETpunto en la frontera de la región de interes. Es pues un problemade frontera.3.- CONDICIONES DE NEUMANN : Los valores de la derivada normal y de lafunción incógnita son predeterminadas en cada punto en la frontera dela región de interes .4.- CONDICIONES DE ROBIN : Valores de la suma de la función incógnita y?de sus derivadas normales son predeterminadas en cada punto de lafrontera de la región de interés.Un ejemplo típico ilustrando algunas de estas condiciones es dado por , < < , > ? œ ? ! B : > !BB >>

: , , > GJ ? !ß > œ X ? :ß > œ ! > !a b a bB

: , , GM ? Bß ! œ 0 B ? Bß ! œ 1 B ! B :a b a b a b a b>

Condiciones de Dirichlet son dadas por cuando y condiciones deGJ B œ !

Neumann ocurren en cuando y condiciones de Cauchy se tienenGJ B œ :en cuando .GM > œ !

La ecuaciónE Bß C ? F Bß C ? G Bß C ? H Bß C ? I Bß C ? J Bß C ? œ K Bß Ca b a b a b a b a b a b a bBB BC CC B C

es llamada ecuación diferencial parcial lineal de segundo ordenen dos variablesCuando , la ecuación es llamada EDP lineal homogénea deK Bß C œ !a bsegundo orden.

6.3. CLASIFICACION DE LAS E.D.P LINEALES DE SEGUNDO ORDEN EN DOS VARIABLES.-Una ecuación diferencial parcial lineal homogénea de segundo orden endos variables tiene la formaE Bß C ? F Bß C ? G Bß C ? H Bß C ? I Bß C ? L Bß C ? œ !a b a b a b a b a b a bBB BC CC B Ca b#donde , , , , , y son los coeficientes de la ecuaciónE F G H I L

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE SOLUCIONES : La ecuación tiene laa b#propiedad de que si y son soluciones de , es solución? ? # - ? - ?" # " " # #a btambién de . Más general si , , es una sucesión de soluciones dea b# ? ? á" #

a b a b!# - ? # entonces es también solución de . Esta propiedad puede aún3œ"

_

3 3


generalizarse para una familia de soluciones de indiciada sobree f a b? #- -

un conjunto medible , entonces también es una solución de .> ->

' a b? . #-

En el desarrollo de la teoría general de la EDP lineal homogénea, estassuelen clasificarse como hiperbólicas, parabólicas o elíptica de acuerdo alesquema usado en el estudio de las secciones cónicas. hiperbólicas si > F %EG !#

parabólicas si F %EG œ !#

elípticas si .F %EG !#

6.4. CASO DE LOS COEFICIENTES CONSTANTESUn importante caso se tiene cuando la ecuación toma la formaa b# E? F? G? œ !BB BC CC

donde , , y son constantes. Para tales ecuaciones, podemos siempreE F Ghallar soluciones generales. Para hallar tales soluciones introducimos lasiguiente transformación < œ +B ,C = œ -B .Csuponiendo +. ,- œ Á !

+ ,- .º º

conocida como una transformación conforme, donde y son+ß ,ß - .constantes por determinar. De la regla de la cadena hallamos ? œ ? < ? = œ +? -?B < B = B < =

? œ ? < ? = œ ,? .?C < C = C < =

y, ? œ < ? #< = ? = ? < ? = ?BB << B B <= == BB < BB =

# #B B

,œ + ? #+-? - ?# #<< <= ==

,? œ +,? +. ,- ? -.?BC << <= ==a b ? œ , ? #,.? . ?CC << <= ==

# #

La sustitución de estas expresiones en tenemosE? F? G? œ !BB BC CC

E + ? #+-? - ? F +,? +. ,- ? -.? a b a ba b# #<< <= == << <= ==

G , ? #,.? . ? œ !a b# #<< <= ==

Así tenemosa b a b a ba bE+ F+, G, ? #-+E F +. ,- #.,G ? E- F-. G. ? œ !# # # #<< <= ==

Ahora una elección adecuada de y , puede hacerse de manera que+ß ,ß + . , E+ F+, G, œ ! E- F-. G. œ !# # # #

Si , es , en cuyo casoE Á ! , œ . œ xposible seleccionar , E+ F+ G œ ! E- F- G œ !# #

Esto significa que y son las soluciones de la ecuación+ - E7 F7G œ !#

Por ejemplo si escogemos y + œ 7 œ - œ 7 œ" #

F F %EG F F %EG#E #E

È È# #


en esta forma se recibe que a ba b#+-E F +. ,- #,.G ? œ !<=

se transforma en c da b#7 7 EF 7 7 #G ? œ !" # " # <=

o, dado que / y / ,7 7 œ F E 7 7 œ G E" # " #

se obtiene que - /c da b#G F , + #G ? œ !<=

de donde "

E#

<=c d%EG F ? œ !

Por lo tanto para el caso de las hiperbólicas y elípticas se tieneF %EG Á ! ? œ !#

<=. En estos casos , la cual tiene por solución general a ? <ß = œ J < K =a b a b a by usando la transformación conforme dada tenemos ? Bß C œ J 7 B C K 7 B Ca b a b a b" #

obteniendo la solución general para el caso de las EDP hiperbólicas yelípticas.Para el caso parabólico, el discriminante es cero y se"

E#

<=c d%EG F ? œ !

reduce a la identidad . Aquí hallamos que y así nuestra! œ ! 7 œ 7 œ 7" #

transformación , es degenerada, puesto que , o< œ +B ,C = œ -B .C < œ =equivalentemente, . En este caso se introduce una.+ ,- œ !

transformación distinta la cual también será conforme , < œ 7B C = œ BEntonces , , , y en ese caso se tiene que+ œ 7 , œ " - œ " . œ !

, E? œ ! E Á !==

entonces con solución general? œ !==

? <ß = œ J < =K <a b a b a bEn términos de e esta solución toma la formaB C ? Bß C œ J 7B C BK 7B Ca b a b a bEJEMPLO 1: Hallar la solución general de ? ? œ !BB CC

SOLUCION: Sabemos que , por lo tanto la ecuación es deF %EG œ %#

tipo elíptico. Para hallar la solución, debemos calcular las raíces de laecuación que en el caso toma la formaE7 F7G#

7 " œ !#

con raíces dadas por , . Así la solución general es dada por7 œ 3 7 œ 3" #

? Bß C œ J C 3B K C 3Ba b a b a bEJEMPLO 2: Hallar la solución general de la ecuación ? #? ? œ !BB BC CC

SOLUCION: En este caso la E.D.P es de tipo parabólico puesto queB . La ecuación cuadrática será cuyas raíces# # %EG œ ! 7 #7 " œ !

son . La solución general será dada por7 œ 7 œ "" #

? Bß C œ J B C BK B Ca b a b a b


Esta forma de hallar la solución a una ecuación diferencial parcial linealhomogénea (EDPLH) con coeficientes constantes es conocido como elmétodo de D'Alambert .Para la determinación de una solución particular de una EDPL es comúnutilizar un método llamado y el cual pasamosde separación de variables a describir a continuación:

6.5. : Nos permite determinar laMETODO DE SEPARACION DE VARIABLESsolución de una EDPL bajo el supuesto de que es una? Bß C œ \ B ] Ca b a b a bsolución que en adelante se llamará lo cual permitesolución de prueba la obtención de uno o más problemas de Sturm-Liuoville los cualesconducen a la determinación de e y por lo tanto de . Ilustramos\ ] ? Bß Ca bel método resolviendo la siguiente ecuación: , > ; , 5 œ 5 ! ? !ß > œ ! ? Pß > œ !` ? `?

`B `>

#

# a b a bSOLUCION: Si , podemos escribir la ecuación dada como? œ \X \ X

\ 5X#ww w

œ œ -

lo que conduce al siguiente sistema , \ \ œ ! X 5 X œ !ww # w #- -

cuyas soluciones son , \ œ - B - B X œ - /" # $

5 >cos sin- - -#

Ahora bien, puesto que , ? !ß > œ \ ! X > œ ! ? Pß > œ \ P X > œ !a b a b a b a b a b a bdebemos tener y . Estas son condiciones de frontera\ ! œ ! \ P œ !a b a bpara el sistema , . ( Para se tiene según el\ \ œ ! X 5 œ ! \ww # w #- -

método de Sturm-Liouville que , \ \ œ ! \ ! œ \ P œ !ww #- a b a btiene por solución ). Aplicando la primera de estas\ œ - B - B" #cos sin- -

condiciones resulta . Por lo tanto .- œ ! \ œ - B" #sin-Ahora, la segunda condición de frontera implica que \ P œ - P œ !a b #sin-Si , entonces , de modo que . Para una solución distinta- œ ! \ œ ! ? œ ! ?#

de cero, debemos tener y así la última ecuación se verifica cuando- Á !#

sin-P œ ! . Esto implica ó , - 1 -œ 8 œ 8 8 œ "ß #ß $ßá1

P

Por consiguiente ? œ - B / œ E / Ba b Š ‹# 8

5 > 5 8 ÎP > 8Psin sin- - 1 1# # # #ˆ ‰

satisface la ecuación dada y ambas condiciones adicionales. El coeficiente- - E# $ 8 se reescribe como para enfatizar el hecho de que se obtiene unasolución diferente para cada .8

EJEMPLO 2: Hallar la solución de la ecuación 3a b a b a b a b ‘B ? œ : B ; B ? ">>

` `?`B `B


en donde , y son funciones suficientes suaves y tales que3a b a b a bB : B ; B3a b a b a bB ! : B ! ; B !, > , , bajo las condiciones

:GJ? !ß > ? !ß > œ !? "ß > ? "ß > œ !œ a b a ba b a b! "# $

B

B

: , GM ? Bß ! œ B ß ? Bß ! œ B ! Ÿ B Ÿ "a b a b a b a b: :! > "

SOLUCION: Para hallar soluciones no triviales, supóngase que toma la?forma de producto ? Bß > œ X > \ Ba b a b a bReemplazando por su valor en obtenemos? "a b 3 a b a b a b a b a b a b a b a b ‘B X > \ B œ X > : B ; B X > \ Bww . .\

.B .B

o bien

. .\.B .B

ww ‘a b a b a ba b a b a ba b: B ; B \ B

B \ B X >X >

3œ œ -

siendo cierta constante. De aquí resulta que- . .\

.B .> ‘a b a b a b: B Ò B ; B Ó\ œ !-3

X > X > œ !wwa b a b-

Puesto que entonces satisface la condición si y sóloX > Á ! ? œ X\ GJa bsi , , ! " # $\ ! \ ! œ ! • \ " \ " œ !a b a b a b a bw w

Por el teorema de Sturm-Liouville, hallamos los valores propios para loscuales existen soluciones no triviales, denominadas funciones propias,esto esa b" â âExiste un conjunto de valores propios < < < y las- - -" 8#

correspondientes funciones propias , ,\ B \ B á" #a b a ba b c d a b# !ß " BEn el intervalo las funciones propias son ortogonales, esto3

es, '

!

"8 73a b a b a bB \ B \ B œ !

Resolvemos ahora para cada valor propio la ecuación-8

X > X > œ !ww8a b a b-

La solución general es de la forma X > œ E > F >8 8 8 8 8a b È Ècos sin- -

siendo y constantes arbitrariasE F8 8

Así, hemos obtenido un conjunto infinito de soluciones de la ecuación a b"del tipo ? Bß > œ X > \ B œ E > F > \ B ß 8 œ "ß #ß $ßá8 8 8 8 8 8 8 8a b a b a b a bˆ ‰È Ècos sin- -

Por el principio de superposición de soluciones se obtiene ? Bß > œ E > F > \ B #a b a b a b! È Èˆ ‰

8œ"

_

8 8 8 8 8cos sin- -

Para obtener la solución deseada se supone incialmente que la serie y laserie derivada son uniformemente convergentes, entonces se cumple GMy se recibe ? Bß ! œ E \ B œ B ß • ß ? Bß ! œ F \ B œ Ba b a b a b a b a b a b! !È

8œ" 8œ"

_ _

8 8 ! > 8 8 8 ": - :


Para obtener los coeficientes y multiplicamos los miembros de lasE F8 8

igualdades anteriores por y luego integrando con respecto a 3 a b a bB \ B B8

en el intervalo a , obtenemos! "

E œ B B \ B .Bß F œ B B \ B .B8 ! 8 8 " 8! !

" ""' '3 : 3 :a b a b a b a b a b a bÈ-8

Reemplazando en los valores que hemos hallado para los coeficientes,a b#obtenemos la solución de nuestro problema

NOTA : En los cálculos de y hemos supuesto que las funcionesE F8 8

propias son ortonormales, es decir que .Ø\ B ß\ B Ù œ "8 8a b a b6.6. .OTROS METODOS DE SOLUCION PARA EDPHConsideremos el caso unidimensional del calor donde la distribución dela temperatura en se mantiene en mientras que laB œ ! X Á !"

temperatura en es donde y son constantes ( ), seB œ : X Á ! X X X Á X# " # " #

plantea entonces un problema de EDP del siguiente tipo: , < < , > ? œ + ? ! B : > !BB >

#

: , , > GÞJ ? !ß > œ X ? :ß > œ X > !a b a b" #

: = , < < GÞM ? Bß ! 0 B ! B :a b a bComo , , el método de separación de variables noX Á X X Á ! X Á !" # " #

funciona. Para obviar esta situación se conjetura que la distribución de latemperatura a lo largo de la barra será tal que lim

>Ä_? Bß > œ = Ba b a b

donde es una función independiente del tiempo. Basados en esta= Ba bconjetura vemos que es posible que la distribución de la temperatura? Bß >a b pueda ser expresada como una suma de funciones de la forma ? Bß > œ = B @ Bß >a b a b a bdonde es una función que se va acabando cuando el tiempo crece.@ BÞß >a bNos referimos a como a la solución mientras que @ Bß > = Ba b a bTRANSITORIAes llamada o solución de equilibrio. En esta formaESTADO ESTABLE ? œ = @ ß ? œ @BB BB > BB

ww

por lo tanto se tendría , , = @ œ + @ ! B : > !ww #

BB >

: , GÞJ = ! @ !ß > œ X = : @ :ß > œ Xa b a b a b a b" #

: , GÞM = B @ Bß ! œ 0 B ! B :a b a b a bPasando al límite cuando , vemos que> Ä _ , , para todo @ Bß > Ä ! @ Bß > Ä ! Ba b a b>

entonces obtenemos el problema de Ecuaciones diferenciales ordinarias(EDO) para el estado estable = œ !ß = ! œ X ß = : œ Xww

" #a b a bPor integración sucesiva obtenemos que , , = B œ - B - = ! œ X = : œ Xa b a b a b" # " #

así


, X œ - = : œ X œ - : - Í X X œ -:" # # " # " #a bluego - œ ß - œ X" # "

X X:

# "

En esta forma para el estado estable tenemos = B œ B Xa b Š ‹X X

: "# "

Ahora para el estado transitorio se plantea el siguiente problema de EDP , , @ œ + @ ! B : > !BB >

#

: , GÞJ X @ !ß > œ X : X @ :ß > œ X" " " #X X

:a b a b# "

: GÞM B X @ Bß ! œ 0 BŠ ‹ a b a bX X: "

# "

Por lo tanto vemos que es solución de un problema del calor@ Bß >a bunidimensional homogéneo, el cual se puede resolver por el método deseparación de variables, dado por , , @ œ + @ ! B : > !BB >

#

: , , GÞJ @ !ß > œ ! @ :ß > œ ! > !a b a b : , GÞM @ Bß ! œ 0 B X X X ! B :a b a b a b" # "

B:

6.7. PROBLEMAS NO HOMOGENEOSUn problema es clasificado como no homogéneo, si la EDP y/o lascondiciones de frontera, son no homogéneas. Algunos casos especialesde condiciones en la frontera no homogéneas, independientemente deltiempo fueron considerados en 6.6, mientras que aquí consideraremosun problema más general involucrando EDP no homogéneas ycondiciones de frontera, caracterizadas, en el caso unidimensional delcalor, por el problema

? œ + ? ; Bß > ! B : > !BB ># a b, ,

: , GÞJ

F Ò?Ó œ + ? !ß > + ? !ß > œ > > !F Ò?Ó œ + ? :ß > + ? :ß > œ >œ a b a b a ba b a b a b" "" "# B

# #" ## B

!"

: , GÞM ? Bß ! œ 0 B ! B :a b a bdonde es proporcional al origen de la fuente del calor. Para resolver; Bß >a bproblemas de esta naturaleza de generalidad consideraremos dos casosespeciales.

6.8. .TERMINOS NO HOMOGENEOS INDEPENDIENTES DEL TIEMPOCuando el origen del calor no cambia con el tiempo es llamado casoestable y en este caso se tiene que ; Bß > œ : Ba b a bSi las condiciones de frontera son también independientes del tiempo, esdecir si F Ò?Ó œ X ß F Ò?Ó œ X" " # #

donde y son constantes, entonces el problema es formalizado por X X" #

, , ? œ + ? : B ! B : > !BB ># a b

: , , GÞJ F Ò?Ó œ X F Ò?Ó œ X > ! "" " # # a b


: , GÞM ? Bß ! œ 0 B ! B :a b a bPara hallar la solución, usamos la misma conjetura formulada en 6.6,afirmando que puede ser expresada como la suma? ? Bß > œ = B @ Bß >a b a b a bdonde denota la solución estable y es la solución transitoria. La= B @ Bß >a b a bsustitución en nos conduce aa b" , , = @ Bß > œ + @ : B ! B : > !ww #

>a b a b : , , GÞJ F Ò=Ó F Ò@Ó œ X F Ò=Ó F Ò@Ó œ X > !" " " # # #

: GÞM = B @ Bß ! œ 0 B ß ! B :a b a b a bde donde se deduce que es una solución del problema de EDO= Ba b = œ : B ß F Ò=Ó œ X ß F Ò=Ó œ Xww

" " # #a by satisface el problema de EDPH@ Bß >a b , , @ œ + @ ! B : > !BB >

#

: , , GÞJ F Ò@Ó œ ! F Ò@Ó œ ! > !" #

: , GÞM @ Bß ! œ 0 B = B ! B :a b a b a bentonces es la solución verdadera del problema? Bß > œ = B @ Bß >a b a b a boriginal. Una vez más tenemos el problema reducido a un conjunto desoluciones de ecuaciones cuya técnica de solución realmente ya esconocida.

6.9. .METODO DE EXPANSION DE FUNCIONES PROPIASCuando el origen del calor cambia con el tiempo tenemos el caso noestable, para hallar la solución se generaliza el método de variación delparámetro utilizado para obtener la solución particular de una EDLO nohomogénea, cuando se obtiene la famosa fórmula de Green. Para ilustrarel método hallemos la solución del problema unidimensional del calor nohomogéneo siguiente , , ? œ + ? ; Bß > ! B : > !BB >

# a b : GÞJ

5 ? !ß > 5 ? !ß > œ !6 ? :ß > 6 ? :ß > œ !œ a b a ba b a b" # B

" # B

: , GÞM ? Bß ! œ 0 B ! B :a b a bPor el método de separación de variables se halla la solución de laecuación homogénea ? œ + ?BB >

#

suponiendo como es conocido que es la forma de la? Bß > œ J B K >a b a b a bsolución, de aquí se deduce que satisface al problema S-L siguienteJ Ba b

J J œ !ww -

5 J ! 5 J ! œ !6 J : 6 J : œ !

"" #w

" #w

a b a ba b a b a bDel estudio de los problemas de Sturm-Lioville se deduce la obtencióndel conjunto de valores propios y un conjunto dee f e f- 98 88œ" 8œ"

_ _


funciones propias ortogonales en el intervalo , y tales que! B :

9 - 98ww

8 8œ 8 œ "ß #ßá, . Como en el caso de variación del parámetroafirmamos que ? Bß > œ I > Ba b a b a b!

8œ"

_

8 89

es solución de prueba para ? œ + ? ; Bß >BB >

# a bdonde las funciones de , deben ser determinadas, así> I >8a b ? Bß > œ I > B> 8

8œ"

_w8a b a b a b! 9

y ? Bß > œ I > B œ I > BBB 8 8 8 8

8œ" 8œ"

_ _ww8a b a b a b a b a b! !9 - 9

Por otra parte la ecuación dada toma la forma + ; Bß > œ ? + ?# #

> BBa by sustituyendo obtenemos + ; Bß > œ I > B + I > B# w #

8œ" 8œ"

_ _

8 8 8 8 8a b a b a b a b a b! !9 - 9

+ ; Bß > œ I > + I > B ## w #

8œ"

_

8 8 8 8a b c d a b a b! a b a b- 9

Para un fijo, podemos interpretar como un desarrollo generalizado> #a bde Fourier de , cuyos coeficientes estarán dados por+ ; Bß ># a b I > + I > œ + ; Bß > B .B $w # #

8 8 8 8 8#

!

:a b a b l l a b a b a b- 9 9'donde , , , ,l l c d' a b9 98 8

# #!:

œ B .B 8 œ " # $ á

Denotemos con , , , ,U > œ ; Bß > B .B 8 œ " # $ á8 8 8

#!

:a b l l a b a b9 9'Entonces la ecuación I > + I > œ + U >8

w # #8 8 8a b a b a b-

es una ecuación diferencial lineal de primer orden cuya solución es dadapor , , , ,I > œ - + / U . / 8 œ " # $ á8 8 8

# + + >!

>a b a b’ “' # #8 8- 7 -7 7

(suponiendo , , , ) donde los son constantes arbitrarias.-8 8Á ! 8 œ " # á -

Finalmente, al sustituir obtenemos la solución formalI >8a b ? Bß > œ - + / U . B /a b a b a b!’ “

8œ"

_

8 8 8# + + >

!

>' # #8 8- 7 -7 7 9

Las constantes , , , son determinadas haciendo uso de la- 8 œ " # á8

condición inicial , asía bGÞM

? Bß ! œ 0 B œ - Ba b a b a b!8œ"

_

8 89

y por consiguiente , , , ,- œ B 0 B B .B 8 œ " # $ á8 8 8

#!

:l l a b a ba b9 9'


E J E R C I C I O S

". Verificar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación deLaplace ? ? œ !BB CC

+ ? œ #BC , ? œ B $BC - ? œ / C) ) ) $ # B sin. ? œ B C / ? œ CÎB 0 ? œ B 'B C C) ) )sin sin arctana b % # # %

# ? œ "Î B C D. Demostrar que es solución de la ecuaciónÈ # # #

? ? ? œ !BB CC DD

3. Verificar que satisface la ecuación de Laplace? Bß C œ + B C ,a b a bln # #

? ? œ ! + , ?BB CC y determinar y de manera que satisfaga las condicionesde frontera sobre el círculo y sobre el círculo? œ ! B C œ " ? œ &# #

B C œ *# # .%. Verificar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación? œ - ? -> BB

# #, determinando en cada caso el valor de la constante + ? œ / B , ? œ / $B - ? œ / B) ) ) #> > %>cos sin cos:5. Verificar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación? œ - ? ->> BB

# #, determinando en cada caso el valor de la constante + ? œ B %> , ? œ B $B> - ? œ -> B) ) ) # # $ # sin sin: :

' ? Bß > œ @ B -> A B -> @ A. Demostrar que , donde y son funcionesa b a b a bcualesquiera diferenciables dos veces, es una solución de la ecuación .? œ - ?>> BB

#

Si una ecuación diferencial parcial contiene derivadas con respecto a unade las variables independientes únicamente, puede resolverse como unaecuación diferencial ordinaria, tratando las otras variables independientescomo parámetros.7. Resolver las ecuaciones siguientes, donde ? œ ? Bß Ca b+ ? %? œ ! , ? #C? œ ! - ? œ #BC?) ) ) BB C B

. ? œ ! / ? œ ? 0 ? ? œ !) ) ) BC BC B BC B

8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales parciales+ ? C œ ! , ? œ #BC - ? #? œ /) ) ) B C C

C

. ? œ )BC " / ? BC œ ! 0 ? œ ") ) ) BB CC BC# sin

1 ? œ #B %C 3 ? ? œ 'B/ 4 ? #C? œ %BC) ) ) BC BC C BC BB

5 ? B ? œ B/ 6 ? C ? œ C #B) ) CC BB# %C # sin

9. Determine si el método de separación de variables es aplicable a lasecuaciones dadas. Si lo es, obtenga las soluciones en forma de producto+Ñ ? œ ? ,Ñ ? $? œ ! -Ñ ? œ ? ? B C B C B C

,Ñ ? ? œ ? /Ñ B? œ C? 0Ñ C? B? œ ! B C B C B C

1Ñ ? ? ? œ ! 2Ñ C? ? œ ! 3Ñ ? ? œ ! BB BC CC BC BB CC

4Ñ 5? ? œ ? 5 ! 5Ñ 5? œ ? ß 5 ! 6Ñ + ? œ ? , BB > BB > BB >>#

7Ñ + ? œ ? #5? 5 ! 8Ñ B ? ? œ ! 9Ñ ? ? œ ?# #BB >> > BB CC BB CC, >


:Ñ + ? ? œ ? ;Ñ + ? 1? œ ? 1 , es constante.# #BB CC BB >>

10. Resuelva las ecuaciones dadas sujetas a las condiciones indicadas.+Ñ ? œ 'B ? !ß C œ C ? "ß C œ C " ; , BB

#a b a b,Ñ C? ? œ ! ? Bß " œ B ? Bß / œ " ; , .CC C

#a b a b11. Obtenga la ecuación unidimensional de onda.12. Halle la solución del problema siguiente < < ` ? ` ?

`> `B## #

# #œ - ! B "

: , para todo tGÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !a b a b : , GM ? Bß ! œ 0 B ? Bß ! œ !a b a b a b>

13. Halle la solución del flujo unidimensional de calor dado por elproblema < < `? ` ?

`> `B#œ - ! B "

#

#

: , para toda tGÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !a b a b : GÞM ? Bß ! œ 0 Ba b a b14. Hallar el flujo de calor en una barra infinita.15. Deducir la ecuación bidimensional de onda o de la membranavibrante.16. Halle la solución del problema siguiente ` ? ` ? ` ?

`> `B `C## # #

# # #œ - Š ‹ : sobre la frontera de la membrana para toda GÞJ ? œ ! > !

: , .GÞM ? Bß Cß ! œ 0 Bß C œ 1 Bß Ca b a b a b¹`?`> >œ!

Halle la solución a los siguientes problemas17) , < < , > ? œ + ? ! B " > !BB >

#

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !a b a b :GÞM ? Bß ! œ $ B & % Ba b sin sin1 1

18) , < < , > ? œ + ? ! B : > !BB >#

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? :ß > œ !a b a b : GÞM ? Bß ! œ B : Ba b a b19) , < < , > ? œ + ? ! B "! > !BB >

#

: , , > GÞJ ? !ß > œ "! ? "!ß > œ $! > !a b a b : , < < GÞM ? Bß ! œ ! ! B "!a b20) , < < , ? œ + ? ! B " > !BB >

#

: , , > GÞJ ? !ß > œ X ? "ß > ? "ß > œ X > !a b a b a b" B #

: , .GÞM ? Bß ! œ X ! B !a b "

21) = , < < , > ? + ? ! B " > !BB >#

: , GÞJ ? !ß > œ " ? "ß > œ !a b a b :GÞM ? Bß ! œ Xa b !

22) = , < < , > ? + ? ! B # > !BB >#

: , GÞJ ? !ß > œ X ? #ß > œ Xa b a b" #

GÞM ? Bß ! œ X : a b !


23) = , < < , > ? + ? ! B : > !BB >#

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? :ß > œ !B Ba b a b : GÞM ? Bß ! œ X BÎ:a b a b!

#sin 1

24) = , < < , > ? + ? ! B : > !BB >#

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? :ß > œ XB !a b a b : GÞM ? Bß ! œ Xa b !

25) = , < < , > ? + ? ! B " > !BB >#

: , GÞJ ? !ß > œ X ? "ß > œ Xa b a b! !

: GÞM ? Bß ! œ X B " Ba b a b!

26) = , < < , > ? + ? ! B " > !BB >#

: , GÞJ ? !ß > œ X ? "ß > œ !a b a b" B

: GÞM ? Bß ! œ Ba b27) = , < < , > ? + ? B > !BB >

# 1 1

: , GÞJ ? ß > œ ? ß > ? ß > œ ? ß >a b a b a b a b1 1 1 1B B

: | |.GÞM ? Bß ! œ Ba b28) = , < < , < ? + ? " ! B " > !BB >

#

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !a b a b : GÞM ? Bß ! œa b B

#

29) , < < , > ( constante)? œ ? E ! B : > ! EBB >

: , ( constante)GÞJ ? Bß ! œ X ? "ß > œ X Xa b a b" " "

: ( constante).GÞM ? Bß ! œ X Xa b ! !

30) , < < , > ? œ + ? 'B ! B " > !BB >#

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !Ba b a b : .GÞM ? Bß ! œ /B "a b31) , < < , ? œ + ? + A> ! B > !BB >

# cos 1

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? ß > œ !B Ba b a b1

: GÞM ? Bß ! œ !a b32) , < < , > ? œ ? / ! B " > !BB >

>

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !B Ba b a b : .GÞM ? Bß ! œ !a b33) , < , > ( , son constantes)? œ ? E/ ! B " > ! E ,BB >

,B

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !a b a b : .GÞM ? Bß ! œ " /a b ˆ ‰,B E

,#

34) , < < , > ? œ - ? ! > " > !BB >>#

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !a b a b : , ( constante)GÞM ? Bß ! œ ! ? Bß ! œ @ @a b a b> ! !

35) = , < < , > ? - ? ! > > !BB >># 1

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? ß > œ !B Ba b a b1

: , GÞM ? Bß ! œ " # $B ? Bß ! œ & #Ba b a bcos cos>

36) = , < < , > ? - ? ! > " > !BB >>#

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !a b a b : , GÞM ? Bß ! œ B " B ? Bß ! œ !a b a b a b>


37) = , < < , ? - ? T A> ! > > !BB >># sin 1

: , GÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ !a b a b : , GÞM ? Bß ! œ ! ? Bß ! œ !a b a b>

38) , < < , > ? œ + ? ! B _ > !BB >#

: , cuando , GÞJ ? !ß > œ ! ? Bß > Ä ! B Ä _ > !a b a b : , < < GÞM ? Bß ! œ 0 B ! B _a b a b39) , < < , > ? œ + ? _ B _ > !BB >

#

: , cuando | | , > GÞJ ? Bß > Ä ! ? Bß > Ä ! B Ä _ > !a b a bB

: , < < GÞM ? Bß ! œ 0 B _ B _a b a b40) , < < , > ? œ + ? ; Bß > _ B _ > !BB >

# a b : , cuando | | , > GÞJ ? Bß > Ä ! ? Bß > Ä ! B Ä _ > !a b a bB

: , < GÞM ? Bß ! œ 0 B _ B _a b a b41) , < < , < < ? ? œ - ? ! B + ! C ,BB CC >>

#

: , GÞJ GÞM À? !ß Cß > œ !ß ? +ß Cß > œ !? Bß !ß > œ !ß ? Bß ,ß > œ !

? Bß Cß ! œ B C? Bß Cß ! œ !œ œa b a ba b a b a ba bC C >

42) , < < , < < , > ? ? œ + ? ! B ! C > !BB CC ># 1 1

:GÞJ? !ß Cß > œ !ß ? ß Cß > œ !? Bß !ß > œ !ß ? Bß ß > œ !œ a b a ba b a bB

C

11

: GÞM ? Bß Cß ! œ B Ca b43) , < < , < < ? ? œ ? ! B " ! CBB CC > 1

: GÞJ? !ß Cß > œ ? "ß Cß > œ !? Bß !ß > œ !ß ? Bß ß > œ !œ a b a ba b a bB

C 1

: .GÞM ? Bß Cß ! œ BCa b44) Hallar la solución del problema siguiente: , < < , > ? œ ? ! B _ > !BB >>

: , , cuando GÞJ ? !ß > œ ! ? Bß > Ä ! B Ä _B a b a b : , .GÞM ? Bß ! œ / ? Bß ! œ !a b a bB

>

45) Hallar la solución del problema siguiente: , < < , > ? œ ? ! B " > !BB >>

: , , > GÞJ ? !ß > œ ! ? "ß > œ ! > !a b a b : , GÞM ? Bß ! œ B " B ? Bß ! œ !a b a b a b>

******


§ . EL LAPLACIANO Y EL POTENCIAL(

7.1. EN COORDENADAS POLARESSean y las coordenadas polares para< )

un punto entonces se tiene :: Bß Ca b = , = B < C <cos sin) )

Se sabe que el Laplaciano en coordenadas rectangulares es dado por f ? œ # ` ? ` ?

`B `C

# #

# #

Para obtenerlo en coordenadas polares hacemos uso de la regla de lacadena. En esta forma = + ? ? < ?B < B B))Derivando esto nuevamente con respecto a , se tieneB = + ? ? < ?BB < B B B Ba b a b))

= + + + a b a b? < ? < ? ?< B B < BB B BBB) )) )

= + +a b a b? < ? < ? < ? < ? ?<< B < B B < BB < B B B BB) ) )) )) ) ) )

Así, + + + + ? œ ? < #? < ? < ? ? "<< << < B B < BB BBB

# #) )) )) ) ) a b

Ahora para determinar y se tiene que<B B)

y = < œ B C CÎBÈ a b# # ) arctanentonces = = , = < œ B B

B BB C < <

CÎB

" CÎB

CÈ ˆ ‰a b# #

#

# # )

= = = , = = < C #< <BB BB B<B<< < < < <

" B C #BC$B# $ $ %

# #

) a bSustituyendo en se obtienea b" = + + + ? ? # ? ? ? # ?BB << < <

B< < < < <

BC C C BC#

# $ % $ %

# #

) )) )

De manera semejante se obtiene = + + +? ? # ? ? ? # ?CC << < <

C BC BC< < < < <

B B#

# $ % $ %

# #

) )) )

Sumando se obtiene el Laplaciano en coordenadas polares = + + f ?# ` ? " `? " ` ?

`< < `< < `

# #

# # #)


7.2. : Consideremos las vibraciones de unaMEMBRANA CIRCULAR

membrana circular la cual se ha fijado a lo largo de la frontera = . En< Vese caso tenemos el siguiente problema: Hallar la solución del problema ` ? ` ? " `?

`> `< < `<## #

# #œ - Š ‹ : GÞJ ? Vß > œ !a b : , GÞM ? <ß ! œ 0 < ? <ß ! œ 1 <a b a b a b a b>

PRIMER PASO: Por el método de Fourier se supone que ? <ß > œ [ < K <a b a b a bes la solución de prueba, entonces K " "

- K [ <ww w #

••# œ [ [ œ 5ˆ ‰

Esto proporciona las dos ecuaciones lineales ordinarias ••

K 5 - K œ !ß [ [ 5 [ œ !# # ww w #"<

SEGUNDO PASO: Introduciendo la nueva variable = se tiene = por la= 5< " 5< =

regla de la cadena y [ œ œ œ 5 [ œ 5w ww #.[ .[ .= .[ . [

.< .= .< .= .=

#

#

Sustituyendo y omitiendo el factor común , se obtiene:5#

. [ " .[.= = .=

#

# [ œ !

Esta es la , con = . La solución general esEcuación de Bessel @ !

[ œ - N = - ] =" ! # !a b a bdonde y son funciones de Bessel dadas porN ]! !

, = +N œ = ] N = = =! ! !! #7

7œ! 7œ"

_ _" = " 2

# 7x # 7x! !a ba b a ba b a b

7 7"#7

#7 #7# #7ln

donde = + + + + . Como la deformación de la membrana2 " â7" " "# $ 7

siempre es finita y como no puede usarse y debe elegirselim=Ä!

! !] = œ _ ]a b- œ ! - Á ! - œ "# " ". Si se desean soluciones no triviales, puede tomarse entonces = = .[ < N = N 5=a b a b a b! !

Por , se tiene = . Si = entonces = .GÞJ ? Vß > œ [ V K > ! K > ! ? <ß > !a b a b a b a b a bSi entonces = o sea = esto es = ,K > Á ! [ V ! N 5V ! 5Va b a b a b! 7!

7 œ " # $ á 5 5 7 " # $ á, , , o bien = = , = , , . De aquí que7 V!7

[ œ N 5 < œ N <7 ! 7 ! Va b ˆ ‰!7

son las soluciones que se anulan en . Las soluciones generales de< œ VK >a b son = .K > + > , >7 7 7 7 7a b cos sin- -

De aquí que las funciones = + ? <ß > + > , > N 5 >7 7 7 7 7 ! 7a b a b a bcos sin- -

son las de la onda circular, donde .funciones propias -7 7œ -5


TERCER PASO : Por el principio de superposición de soluciones tenemos que = ? <ß > + > , > N <a b a b! ˆ ‰

7œ"

_

7 7 7 7 ! Vcos sin- - !7

Haciendo = y usando tenemos> ! GÞM

= ? <ß ! œ + N < 0 <a b a b! ˆ ‰7œ"

_

7 ! V!7

Ya hemos mostrado que la colección es un conjunto -e fa bN 5 < <! 7

ortogonal en el intervalo por lo tanto está desarrollado en serieÒ!ß VÓ 0 <a bgeneralizada de Fourier Bessel por lo tanto = = + <0 < N < .<7 !

Ø0 < ßN 5 < Ù

N 5 <#

V N !

V

Va b a bl la b a b! 7

! 7# ##

" 7

7

!!' a b ˆ ‰

Ahora derivando con respecto a tenemos>

= ? <ß > + > , > N <> 7 7 7 7 7 7 !7œ!

_

Va b a b! ˆ ‰- - - -sin cos !7

por tenemosGÞM

= = ? <ß > 1 > , N <> 7 7 !7œ"

_

Va b a b ! ˆ ‰- !7

de donde se obtiene que ., œ <1 < N < .<7 !

#V N !

_

V- !!

7 7#

!#

7a b' a b ˆ ‰7.3. EL POTENCIAL. EL LAPLACIANO EN COORDENADAS ESFÉRICASLas coordenadas esféricas estan dadas por: = , = , = B C D3 ) 9 3 ) 9 3 9cos sin sin sin cos

Si entonces , ,< œ B œ < C œ < œ < D3 9 ) ) 3sin cos sin È # #

En esta forma . Se puede mostrar que en coordenadas9 œ +<- -9> D<

cilíndricas el Laplaciano está dado por = + + + f ? ? ? ? ?#

<< < DD" "< <# ))

A partir de esto obtengamos el Laplaciano en coordenadas esféricas,primero = , = = 3 9D D

D < << D3 3# # #

Derivando nuevamente = = = 3DD

D D <3 3 33 3 3

D# # #

# # #

= = 9DD#< #D<33 3

D$ %


Análogamente = , = = = 3 3< <<

< D< <3 3 3 3

3 3 3<# $ $

# # #

= = , = = = 9 9< <<D D #D<

< D#D #D

# # # % $ %< <

3 3 3 333 3

Ahora = + = + ? ? ? ? ?< < <

< D3 9 3 93 33 9 #

= + + ? ? ? ? ? ? ?<< < < < << < < < <<a b a b33 39 3 93 99 93 9 3 3 3 9 9 9

= + + + + ? #? ? ? ?33 39 3 99 93 9 3 3 9 9# #< << < << <<

Así = + + + ? ? ? ? ? ?<<

< #<D D D #<D33 39 3 99 93 3 3 3 3

# # #

# $ $ % %

Derivando con se tiene = + D ? ? ?D D D3 93 9

= + + + + + ? ? ? ? ? ? ?DD D D D DD D D D DDa b a b33 39 3 93 99 93 9 3 3 3 9 9 9

= + + + ? # ? ? ? ?33 39 3 99 93 3 3 3 3D D< < < #D<# # #

# $ $ % %

Sumando con tenemos? ?<< DD

+ = + + ? ? ? ? ?<< DD< D < D < D

33 3 993 3 3

# # # # # #

# $ %

= + + ? ? ?33 3 993 3" "

#

+ " " " D< <<? œ ? ?

3 33 9#

Así ; = + + + f ? ? ? ? ? œ ? ? ? ? ?#

<< < DD" " # " "< <# # # # #)) 33 3 99 )) 93 3 3 9 3

9sin

cot

Luego = f ? # #" ` `? " ` `? " ` ?

` ` ` ` `3 3 3 9 9 9 9 )# # #

#’ “Š ‹ Š ‹3 9sin sinsin

7.4. : Supongamos la distribución de unPOTENCIAL ELECTRICO EN UNA ESFERApotencial eléctrico fijo sobre una esfera de radio donde ,? Vß ß W V <a b) 9

) 9, son las coordenadas esféricas. Se desea hallar el potencial en todos?los puntos del espacio, los cuales se suponen libres de otras cargas. Esteproblema se plantea por la solución de ` `? " ` `?

`< `< ` `#ˆ ‰ Š ‹< œ !sin9 9 9

sin9

:GÞM ? Vß <ß œ !lim<Ä_

a b9 : = GÞM ? Vß 0a b a b9 9

Por el método de Fourier supongamos que = es la? <ß K < La b a b a b9 9

solución de prueba por lo tanto y deben ser tales queK L

" . .K " . .LK .< .< L . .

#ˆ ‰ Š ‹< œ sin9 9 9sin9


Entonces existe una constante tal que5

" . .K " . .LK .< .< L . .

#ˆ ‰ Š ‹< œ 5ß œ 5sin9 9 9sin9

de modo que " . .L " . .K

. . K .< .<#

sin9 9 9Š ‹ ˆ ‰sin9 5L œ !ß < œ 5

La última ecuación toma la forma + = < K #<K 5K !# ww w

Esta es una ecuación de Euler-Cauchy y tiene por solución de prueba aK < <a b = y estas soluciones son particularmente simples si se toma!

5 œ 8 8 "a b en ese caso + = < K #<K 8 8 " K !# ww w a bteniéndose c da b a b! ! ! " # 8 8 " < œ !!

de donde , y, ! !œ 8 œ 8 "

De aquí se obtienen las soluciones y = K < œ < K <8

8 ‡8

"<a b a b 8"

Para la ecuación diferencial de tenemosL

= " . .L. .sin9 9 9Š ‹ a bsin9 8 8 " L !

haciendo = se tiene = y como[ "[cos sin9 9# #

= = . . .[ .. .[ . .[9 9

sin9tenemos, + = . . L

.[ .[#c d a ba b" [ 8 8 " L !

#

#

o bien, + = a b a b" [ #[ 8 8 " L !# . L .L

.[ .[

#

#

Esta es la ecuación de Legendre y tiene por solución a los polinomios deLegendre = = = , , ,L : [ : 8 ! " # á8 8a b a bcos9De donde se obtiene la solución del problema = , = ? <ß E < : ? <ß :8 8 8 8

8 ‡8

F<a b a b a b a b9 9 9 9cos cos88"

donde = , , , y , son constantes. Por el principio de8 ! " # á E F8 8

superposición de soluciones se obtienen las llamadas: solución interna yla solución externa dadas por = , = ? <ß E < : ? <ß :M 8 I

8œ! 8œ"

_ _

8 8 8F<a b a b a b a b! !9 9 9 9cos cos88"

Por las condición se determinan las constantesGÞM

= , ? Vß œ E V : 0 ? Vß œ : œ 0M 8 I

8œ! 8œ"

_ _

8 8 8F

Va b a b a b a b a b a b! !9 9 9 9 9 9cos cos88"

Como es un conjunto ortogonal entoncese fa b:8 cos9 = , = ~

E V 0 [ : [ .[ 0 [ : [ .[8 8 88 #8" #8"

# V #" "

" "F' 'µ a b a b a b a b88"

donde . Ya que y los límites de integración~0 [ œ 0 .[ œ .a b a bcos sin9 9 9

" " œ œ ! y corresponden a y 9 1 9


= ,E 0 : .8 8#8"#V !8

' 1 a b a b9 9 9 9cos siny F œ 0 : . < V8 8

V #8"# !

8"a b' 1 a b a b9 9 9 9cos sin

7.5. : Se considera el flujo eléctrico en un par deLINEAS DE TRANSMISIONconductores lineales, tales como cables telefónicos o una línea detransmisión eléctrica. Consideremos una carga lineal de transmisiónimperfectamente aislada como se indica en la figura.

Supongamos que fluye una corriente eléctrica desde hasta ella fuente Eextremo en el sentido indicado en la figura. Designemos porreceptor FB 3 la distancia a lo largo del cable; tanto la corriente como la diferenciade potencial entre los dos cables son funciones de de . Designemos/ B >por la resistencia por unidad de longitud de los cables, por laV Kconductancia por unidad de longitud entre los cables, por la# G

capacitancia por unidad de longitud de los cables y por la inductancia# P

por unidad de longitud. Consideremos ahora un elemento de línea detransmisión de longitud . Si la fuerza electromotriz en un punto es?B B/ Bß >a b entonces se calcula la caída de potencial a lo largo de un elementode longitud , teniéndoseB = + + / Bß > 3V B P B / B Bß > "a b a b a b? ? ?`3

`>

Sin embargo, por el desarrollo de Taylor, tenemos = + +/ B Bß > / Bß > B âa b a b? ?` /

`B

donde se desprecian términos de segundo orden y superiores.Sustituyendo este valor en (1) tenemos = + 3V P` / ` 3

`B `>

Si se designa por la corriente que entra en una sección de longitud3 Bß >a b? ?B 3 B Bß > y por ) la corriente que sale de ese elemento, se puedea bescribir = + + 3 Bß > /K B G B 3 B Bß > #a b a b a b? ? ?` /

`>

donde es la corriente que pasa a través del aislador y la/K B G B? ?ˆ ‰` /`>

corriente invertida en la carga del condensador. Mediante el desarrollo deTaylor se tiene = + +3 B Bß > 3 Bß > B âa b a b? ?` 3

`B

Sustituyendo esta expresión en se obtienea b# = + /K G` 3 ` /

`B `>


Las ecuaciones œ / œ 3V P3

3 œ IK G/B >

B >

constituyen un sistema simultáneo de ecuaciones diferenciales parcialesde primer orden. Para obtener la diferencia de potencial, hallamos laderivada parcial a la segunda ecuación con respecto a , obteniendoB

= + K G` 3 ` / ` ` /`B `B `> `B

#

#ˆ ‰

Sustituyendo el valor de se tiene` /`B

= + + ` 3 ` / ` 3`B `> `>

# #

# #PG PK VG VK3 $a b a bAnálogamente se obtiene la ecuación para la corriente = + ` / ` / ` /

`B `> `>

# #

# #PG PK VG VK/ %a b a bLas ecuaciones y se conocen como las a b a b$ % ecuaciones del teléfono.En muchas aplicaciones para las señales telegráficas, la dispersión esKpequeña y el término debido a la inductancia es despreciable, de modoPque se puede suponer . Las ecuaciones toman, en este caso, laK œ P œ !

forma simplificada

a b` 3 ` 3`B `>` / ` /`B `>

#

#

#

#

œ VG

œ VG&

estas ecuaciones se conocen como las oecuaciones de los telegrafistasdel cable.Para frecuencias elevadas los términos con derivadas respecto al tiemposon grandes, pudiéndose encontrar algunas propiedades cualitativas dela solución, despreciando los términos de dispersión y resistencia o seaK œ V œ !, las ecuaciones se reducen a

a b` 3 ` 3`B `>` / ` /`B `>

# #

# #

# #

# #

œ PG

œ PG'

Haciendo = se ve en este caso que tanto la corriente como la@ "

PGÈdiferencia de potencial entre las líneas satisfacen la ecuación de ondaundimensional = ? @ ?BB >>

#

******

E J E R C I C I O S

1. Hallar la solución del problema siguiente + = , < < , > ? ? - ? ! < " > !<< < <<

"<

#

: = , > GÞJ ? "ß > ! > !a b : = , = , < <G À M ? <ß ! ? <ß ! ! ! < "

"ß ! <

!ß < "a b a b "

#"#

>

2. Estudiar las soluciones del siguiente problema


+ + = , ,? ? ? ! ! < << <" "< <# )) 3 1 ) 1

: es finito

, GÞJ

? <ß >

? <ß œ ? <ß ? <ß œ ? <ß a b

a b a b a b a blim<Ä!

1 1 1 1) )

: , GÞM ? ß œ 0 a b a b3 ) ) 1 ) 1

3. Hallar la solución del problema siguiente + + = , ,? ? ? ! ! < << <

" "< <# )) 3 1 ) 1

: es finito

, GÞJ

? <ß >

? <ß œ ? <ß ? <ß œ ? <ß a b


1 1 1 1) )

: ,GÞM ? ß œ a b3 ) ) 1 ) 1cos#4. Hallar la solución del problema siguiente + + , ,? ? ? œ ! ! < << <

" "< <# )) 3 1 ) 1

: es finito

, GÞJ

? <ß >

? <ß œ ? <ß ? <ß œ ? <ß a b


1 1 1 1) )

: = | |,GÞM ? ß a b3 ) ) 1 ) 1

5. Hallar la solución del siguiente problema + ` `? " ` `?

`< `< ` `#ˆ ‰ Š ‹< œ !sin9 9 9

sin9

: = GÞJ ? <ß !lim<Ä_

a b9 : = .GÞM ? "ß "a b96. Hallar la solución del siguiente problema + ` `? " ` `?

`< `< ` `#ˆ ‰ Š ‹< œ !sin9 9 9

sin9

: GÞJ ? <ß œ !lim<Ä_

a b9 : = .GÞM ? "ßa b9 9cos7. Hallar la solución del siguiente problema + ` `? " ` `?

`< `< ` `#ˆ ‰ Š ‹< œ !sin9 9 9

sin9

: = GÞJ ? < !lim<Ä_

a b9 : = .GÞM ? "ßa b cos#98. Hallar la solución del siguiente problema + ` `? " ` `?

`< `< ` `#ˆ ‰ Š ‹< œ !sin9 9 9

sin9

: = GÞJ ? < !lim<Ä_

a b9 : = .GÞM ? "ßa b cos$99. Hallar la solución del siguiente problema + ` `? " ` `?

`< `< ` `#ˆ ‰ Š ‹< œ !sin9 9 9

sin9

: = GÞJ ? < !lim<Ä_

a b9 : = .GÞM ? "ß #a b cos 9

10. Hallar la solución del siguiente problema


+ ` `? " ` `?`< `< ` `

#ˆ ‰ Š ‹< œ !sin9 9 9sin9

: = GÞJ ? < !lim<Ä_

a b9 : = .GÞM ? "ß $a b cos 9

11. Un sólido semi-infinito está inicialmente a la temperatura cero. !

En el tiempo = se le aplica y se le mantiene una temperatura> !

constante > en la cara = . Hallar la temperatura de cualquierY ! B !!

punto del sólido en cualquier tiempo posterior .> !

R/ Se reduce a la solución del problema

ÚÛÜ a b a ba b

`? ` ?`> `B

!

œ 5 B !ß > !

? Bß ! œ !ß ? !ß > œ Yl? Bß > l Q

#

#

12. Una barra de longitud está a temperatura constante . Cuando6 Y!

> œ ! B œ 6, al extremo se le aplica súbitamente una temperaturaconstante , y al extremo se le aisla. Suponiendo que la superficieY B œ !

de la barra está aislada, hallar la temperatura de cualquier punto de laBbarra en cualquier tiempo .> !

VÎMuestre que se llega al siguiente problema

ÚÛÜ a ba b a b

`? ` ?`> `B

!

B "

œ 5 B !ß > !

? Bß ! œ Y? !ß > œ !ß ? 6ß > œ Y

#

#

13. Una cuerda infinitamente larga, con uno de sus extremos en B œ !

está inicialmente en reposo sobre el eje . El extremo se somete aB B œ !

un desplazamiento transversal periódico dado por , . Hallar elE A> > !!sindesplazamiento de cualquier punto de la cuerda en cualquier tiempo.

VÎ ] Bß > a b es el desplazamiento dado por el problema


ÚÝÝÛÝÝÜa b a ba ba b

` ] ` ]`> `B

#

>

!

# #

# #œ + ß B !ß > !

] Bß ! œ !ß ] Bß ! œ !] !ß > œ E A>l] Bß > l Q

sin

14. Una cuerda tensa elástica y flexible tiene fijos sus extremos en B œ !

y . Al tiempo se le da a la cuerda la forma definida porB œ 6 > œ !

J B œ B 6 Ba b a b. ., donde es una constante, y luego se le suelta. Hallarel desplazamiento de cualquier punto de la cuerda en cualquierBtiempo .> !

VÎ Llegue al problema

ÚÝÝÛÝÝÜa b a ba b a ba b

` ] ` ]`> `B

#

>

# #

# #œ + ß B !ß > !

] !ß > œ !ß ] 6ß > œ !] Bß ! œ B 6 B] Bß ! œ !

.

15. Una viga de longitud cuyo extremo está fijo, como se6 B œ !

muestra en la figura se halla inicialmente en reposo.

En el extremo libre se le aplica longitudinalmente una fuerza constante J!

por unidad de área. Hallar el desplazamiento longitudinal de cualquierpunto de la viga en cualquier tiempo .B > !

VÎ El análisis físico lleva al problema

ÚÝÝÛÝÝÜa b a ba b a ba b

` ] ` ]`> `B

#

>

B !

# #

# #œ - ß ! B 6ß > !

] !ß > œ !ß ] 6ß > œ !] Bß ! œ !ß ] !ß > œ !] 6ß > œ J ÎI

16. Una linea de transmisión de inductancia y conductancia por unidad delongitud despreciables tiene un voltaje en su extremo emisor, , dadoB œ !

por =I !ß >

I ! > X! > X

a b œ !

Hallar el voltaje y la corriente sobre cualquier punto > enI Bß > M Bß > B !a b a bcualquier punto > .> !

17. Resolver el problema con valores de fronteraa b+ > , > `Y ` Y

`> `Bœ 5 ß B ! > !#

#

= , , | | < Y Bß ! Y Y !ß > œ Y !ß > Y Bß > Qa b a b a b a b! B !a b, Dar una interpretación del problema en téminos de flujos calóricos.18. Una cuerda tensa y flexible tiene sus extremos sobre el eje en losBpuntos y . En el tiempo se somete a la cuerda a queB œ ! B œ " > œ !

tome la forma definida por , y se le deja libre. Hallar elJ B ! B "a b


desplazamiento en cualquier punto de la cuerda en cualquierBtiempo .> !

19. Un cilindro circular infinitamente largo y de radio unidad tiene unatemperatura inicial constante . En = se le aplica y se le mantieneX > !

una temperatura de en su superficie. Hallar la temperatura de!!G

cualquier punto del cilindro en cualquier tiempo posterior .>20. Una barra aislada semi-infinita que coincide con la parte positiva deleje está inicialmente a temperatura cero. En = se generaB > !

instantáneamente una cantidad de calor en el punto , donde > .B œ + + !

Hallar la temperatura de cualquier punto de la barra en cualquiertiempo .> !

21. Una placa semi-infinita de espesor tiene aisladas sus caras. Los1bordes semi-infinitos se mantienen a en tanto que el borde finito se!!G

mantiene a . Suponiendo que la temperatura inicial es de , hallar"!! !!G !G

la temperatura de cualquier punto en cualquier tiempo.

§8. E X É G E S I S

1- Una ecuación que contiene una o más derivadas parciales de unafunción de dos o más variables libres, es llamada Ecuación DiferencialParcial (E.D.P).El de la derivada de mayor orden es llamado orden el orden de laecuación diferencial2- Las E.D.P se clasifican en: lineales, no lineales, casi-lineales, linealeshomogéneas, lineales no homogénes.3- Una función de dos o más variables es una de una E.D.P desoluciónorden en alguna región , si es una función que admite derivadas8 8Hparciales y satisface a la E.D.P dada, en todas sus variables.4-Cuando se dan condiciones en el borde de la región ( se suponeH Hacotada), se dice que la ecuación está sometida a condiciones de frontera( ) y cuando se dan condiciones con respecto al parámetro , en GÞJ > > œ ! ß

> œ :ß GÞMse dice que la E.D.P está sometida a ( )condiciones iniciales5-Dada una ecuación diferencial parcial lineal homogénea (E.D.P.L.H), si? ? ? ?" # " # y son soluciones entonces es también una solución.Principio de superposición de soluciones (psps). Dado e f? ß ? ßá ß ? ßá" # 8

una familia de soluciones de un EDPLH entonces es solución de!8œ"

_

8 8E ?

EDPLH donde los , son constantes .E a88

6- La ecuación es conocida como la ecuación unidimensional` ? ` ?`B X `>

# #

# #œ 3

de onda. Si se considera el problema


ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜœ a b a ba b a b

¹ a b

` ? ` ?`B X `>

`?`> >œ!

# #

# #œ

GÞJ À? !ß > œ ? 6ß > œ !? !ß > œ 0 B

GÞM À œ 1 B

3

Su solución se determina haciendo uso del método de Fourier y se debenseguir los siguentes pasos:a b a b a b a b+ ? Bß > œ J B † K > Suponer que es solución de prueba y de aquíobtener un sistema de ecuaciones difereciales ordinarias y de unaconstante de proporcionalidad .5a b e f e fa b, 5 ß ? Bß >Haciendo uso de las C.F se determina y familias de-7 7

paramétros y funciones, llamadas .valores y funciones propiasa b a b a b!- ? Bß > œ E ? Bß > Usando el psps se obtiene la solución . Haciendo

8œ"

_

8 8

uso de la condición C.I y mediante el uso de las series de Fourier(métodos de medio rango) se obtienen los coeficientes queE8 determinan la solución deseada.7- para la ecuación de onda. Se considera laSolución de D'Alambertecuación . Se introduce una transformación conforme` ? ` ?

`B `>## #

# #œ -

@ œ B ->ß D œ B ->, usando la regla de la cadena se tiene y .? œ ? ? ß ? œ ? #? ? ? œ - ? #? ?B @ D BB @@ @D DD >> @@ @D DD

#a bDe la EDPLH dada y estos valores de y se obtiene que? ?BB >>

? œ œ !@D

` ?`@`D

# de donde sale que o sea que .? œ 2 @ .@ D ? œ @ D œ B -> B ->' a b a b a b a b a b a b: 9 : 9 :

Las funciones y pueden determinarse con la ayuda de las condiciones9 :

iniciales. Así, si se supone que entonces se tiene que? Bß ! œ 0 Ba b a b .? Bß > œ 0 B -> 0 B >a b c da b a b"

#

8- La ecuación es conocida como ecuación del calor, donde`?`>

# #œ - f ?

f ? ? ? Bß Dß ># es el Laplaciano de que para está dado pora b f ? œ # ` ? ` ? ` ?

`B `C `D#

# # #

# #

En el caso unidimensional se plantea mediante el problema:

ÚÛÜ a b a ba b a b

`? ` ?`> `B

#œ -

GÞJ À ? !ß > œ ? 6ß > œ !GÞM À ? Bß ! œ 1 B

#

#

para representar la propagación de la temperatura a lo largo de unabarra finita. Para hallar la solución de este problema tenemos dosmétodos: el método de Fourier ya esbozado en el numeral 6- y elmétodo de transformada de Laplace, el cual está basado en suponerlas transformadas sobre la variable libre , así>

,L L L LŠ ‹ Š ‹a b a b a ba b a b`? ` ? .`C `B .Bœ = ? Bß > ? Bß ! œ ? Bß >y # #

# #

denotando entonces se obtiene la ecuación diferencialLa b a ba b? Bß > œ ] Bß =

ordinaria


. ] Bß=.B

#

#

a b =] Bß = œ 0 Ba b a bésta se resuelve suponiendo constante por los métodos de EDLO, de=

aquí se determina y la solución será] Bß = œ ? Bß >a b a ba bL? Bß > œ ] Bß =a b a ba bL"

9- El flujo de calor de una barra semi-infinita, está dado por el problemasiguiente

, y son finitos cuando ÚÛÜ a ba b a b

`? ` ?`> `B

#

B

œ +

GÞJ À ? !ß > ? ? B Ä _GÞM À ? Bß ! œ 0 B ß ! B _

#

#

Usando el método de Fourier se obtiene:a b a b a b a b+ ? Bß > œ \ B [ > a b, De donde recibe que y \ B œ =B [ > œ F = /a b a b a bsin + = ># #

de donde las funciones propias son ? Bß >ß = œ F = =B / ß = !a b a bsin + = ># #

a b- Del psps se sigue que ,? Bß > œ ? Bß >ß = .=a b a b'

!

_

0 sea ? Bß > œ F = =B / .=a b a b'

!

_+ = >sin # #

los coeficientes se calculan mediante la condición y lasF = ? Bß ! œ 0 Ba b a b a bfórmulas de la integral de Fourier para las funciones impares.10- : Se trata del problemaFlujo de calor en una barra infinita

y son acotados cuando -

ÚÛÜ a b a b

`? ` ?`> `B

#

B

œ -

GÞJ À ? ? B Ä _GÞM À ? Bß ! œ 0 B ß _ B _

#

#

Para la determinación de la solución se hace uso del método de Fourier:a b a b a b a b+ ? Bß > œ J B † K >a b, Las funciones propias son ? Bß >ß : œ E :B F :B /a b a bcos sin - : ># #

a b- Por psps ,? Bß > œ ÒE : :B F : :BÓ/ .>a b a b a b'

!

_- : >cos sin # #

con ayuda de y las fórmulas de integral de Fourier se determinan losGÞM

E : F :a b a by .11- La ecuación es conocida como la ecuación` ? ` ? ` ?

`> `B `C# ## # #

# # #œ - œ - f?Š ‹bidimensional de .onda

Onda rectangular. Se presenta mediante el problema


sobre la frontera

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ

Š ‹

a b a b¹ a b

` ? ` ? ` ?`> `B `C

#

`?`> >œ!

# # #

# # #œ -

GÞJ À ? œ !

GÞM À? Bß Cß ! œ 0 Bß C

œ 1 Bß C

Se usa el método de Fourier asía b a b a b a b+ Y Bß Cß > œ J Bß C † K > La solución de prueba es en este caso como obteniéndose el sistema

donde œJ J @ J œ !

K H œ ! œ -@

BB CC#

#ÞÞ

- -a b a b a b a b, J J @ J œ ! J Bß C œ L B † U C Para resolver se asume que yBB CC#

resolviendo se llega a que J œ B C78

7 8+ ,sin sin1 1

La familia de funciones propias son dadas por ? Bß Cß > œ F > F > J Bß C78 78 87 78 7878

‡a b a b a bcos sin- -

donde - 178

7 8+ ,œ - É # #

# #a b- Por psps la solución es ? Bß Cß > œ ? Bß Cß >a b a b! !

8œ"7œ"

_ _

78

haciendo uso de C.I, se determinan los coeficientes , y , medianteF F78 78‡

series dobles de Fourier, por ejemplo F œ 0 Bß C B C .B .C78

% 7 8+, + ,! !

, +' ' a bsin sin1 1

12- . Haciendo seLaplaciano en coordenadas polares B œ < ß C œ <cos sin: :

obtiene que f ? œ œ # ` ? ` ? ` ? " `? " ` ?

`B `C < `< < ``<

# # # #

# # ## :

13- La ecuación de la membrana circular obedece al problema

ÚÝÝÛÝÝÜŠ ‹a b

a b a b¹` ? ` ? " `?`> `< < `<

#

`?`> >œ!

# #

# #œ -

GÞJ À ? Vß ! œ !ß ! Ÿ Ÿ #

GÞM À ? <ß > œ !ß œ 1 B

: 1

La solución se halla mediante el método de Fouriera b a b a b a b+ ? <ß > œ [ < K > es la solución de prueba, de donde se obtiene elsistema

••[ [ 5 [ œ !

K K œ !ß œ -5

ww w #"<#- -a b, [ [ 5 [ œ ! La primera ecuación es una ecuación de Besselww w #"

<

cuya solución es , la segunda ecuación tiene por solución[ < œ N 5<a b a b!

K > œ + > , >a b 7 7 7 7cos sin- -

donde , obteniendo las siguientes familias de soluciones-7 7-Vœ -5 œ !7

propias


? <ß > œ + > F > N 5 <7 7 7 7 7 ! 7a b a b a bcos sin- -a b- Por psps ? <ß > œ + > F > N 5 <a b a b a b!

7œ"

_

7 7 7 7 ! 7cos sin- -

haciendo uso de la condición C.I y de la serie de Fourier-Bessel sedeterminan los coeficientes y .+ ,7 7

14- La ecuación es conocida como ecuación de Laplace dondef ? œ !#

f ? œ â# ` ? ` ? ` ?`B `C `D

# # #

# # #

es el llamado Laplaciano. Para coordenadas cilíndricas B œ < ß C œ < ß D œ Dcos sin: :

el Laplaciano toma la forma f ? œ # ` ? " `? " ` ?

`< < `< < ` D?# #

# # # #

#

: ::

Para las coordenadas esféricas B œ ß C œ ß D œ3 ) : 3 ) : 3 :cos sin sin sin cosel Laplaciano esta dado por f ? œ ? # #" ` " ` `? " ` ?

` ` ` `3 3 : : : : )3# # #

#’ “a b Š ‹3 :sin sinsin

15- La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas se plantea medianteel problema

ÚÛÜ

ˆ ‰ Š ‹a b a b a b

` `? " ` `?`< `< ` `

#

<Ä_

< œ !

? <ß œ !ß ? Vß ß œ 0sin9 9 9

sinlim

9

9 ) 9 9

Para determinar la solución se sigue el método de Fouriera b a b a b a b+ ? <ß œ K < L es la solución de prueba, de donde se obtiene el9 9

sistema

ÚÛÜ

Š ‹ˆ ‰

" . .L. .

. .K.< .<

#

sin9 9 9sin9 5L œ !

< 5K œ !

a b a b, 5 œ 8 8 " Escogiendo , la primera ecuación es una ecuación deLegendre cuya solución es y la segunda ecuación es unaL œ Ta b a b9 98 cosecuación de Euler-Cauchy cuya solución es , 0, ,K < œ < K < œa b a b8 "

<8"

obteniendo la familia de funciones propias ? <ß œ E < T8 8 8

8 F<a b a bˆ ‰9 988" cosa b- Por el psps la solución es

? <ß œ ? <ß œ E < Ta b a b a b! !ˆ ‰9 9 98œ" 8œ"

_ _

8 8 88 F

<8

8" cos

La solución en los puntos internos de la esfera satisface la ecuación ? <ß œ E < Ta b a b!9 9

8œ!

_

8 88 cos

Haciendo uso de la condición inicial y las técnicas de series de FourierLegendre se obtienen los coefientes .E8

Para hallar la solución externa a la esfera, ésta conduce a la función


? <ß œ Ta b a b!9 98œ!

_F< 8

88" cos

§9. MISCELÁNEA DE PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar la solución de la ecuación ? C ? œ C #BBB# sin

SOLUCIÓN. Como en el caso de las EDO tratamos primero la homogéneaa b+? C ? œ !ß ? œ /BB

# Bsuponiendo que es solución de prueba si y sólo si!

!# # C œ !

es la ecuación de índices, la cual tiene por raíces a y en este! œ „ 3Ccaso el conjunto es base de soluciones por lo tantoe fcos sinCBß CB ? Bß C œ - C BC - C BCL

" #a b a b a bcos sina b, ? C ? œ C #BUna solución particular para , por el método de losBB# sin

coeficientes indeterminados es ? Bß C œ E #B F #B:a b cos sinderivando se tiene ? œ #E #B #F #BB sin cos ? œ %E #B %F #BBB cos sinsustituyendo en la ecuación dada %E #B %F #B C #E #B #F #B œ C #Bcos sin sin cos sin#a b Í E C % #B F C % #B œ C #Ba b a b# #cos sin sinluego E C % œ !ß • ßF C % œ Ca b a b# #

de donde F œ ß • ß E œ !C

C %#

por lo tanto ? Bß C œ #B: C

C %a b # sinLuego la solución será: ? Bß C œ - C CB - C CB #Ba b a b a b" #

CC %cos sin sin#

2.Resolver el problema de frontera siguiente

ÚÝÛÝÜ a b a ba b`? ` ?`> `B

B B#

œ ß > !

? !ß > œ ! œ ? ß >

? Bß ! œ B ß ! B

#

#

1

1

SOLUCIÓN. Usando el método de separación de variablesa b a b a b a bM ? Bß > œ \ B † X > ? œ \X ß ? œ XB œ entonces de donde así> BBww X \

X \• • ww

existe tal que5

•œX œ 5X\ œ 5\ww

a bMM 5 !ß 5 œ @ \ œ E/ F/ ß @ ! Si de donde # @B @B


Ahora ? œ X\ œ XF/ @ XE/ @B

w @B @B

Así entonces ! œ ? !ß > œ @X > E F E œ FBa b a ba b entonces ! œ ? ß > œ @X > E / / E œ !B

@ @a b a b a b1 1 1

por lo tanto y \ œ ! ? Bß > œ !a bAhora si , entonces ,5 Ÿ !ß 5 œ @ @ ! \ B œ E @B F @B# a b sin cosasí ,? œ X\ œ X > @ E @B F @BB

w a b a bcos sinahora de donde se tiene ! œ ? !ß > œ @X > E E œ !Ba b a b ! œ ? ß > œ F@X > @Ba b a b1 1sinse cumple cuando y para si queremos que sea no nulo se@ œ ! @ ! ?

debe tomar , obteniéndose así la familia@ œ 8 − ™

? Bß > œ F / 8B8 88 >a b # cos

que satisface y .? œ ? ? !ß > œ ? ß >> BB B Ba b a b1a bMMM Por el principio de superposición de soluciones ? Bß > œ F / 8Bßa b !

8œ!

_

88 ># cos

? Bß >a b satisface la ecuación y las condiciones iniciales, y de frontera. Pero B œ ? Bß ! œ F 8B#

8œ!

_

8a b ! cos

los deben ser los coeficientes de la expansión par de medio rango deF8

B ß ! B # 1

Así F œ B .B œ œ!

" "!

#$ $1 1

1 1 1' Š ‹$ #

y para se tiene8 "

F œ 4 W 4 G œ % 8 œ8 5 5 5" " "8 8 8 8

5 55w % "

1 1 1Œ ! ! ˆ ‰a ba b# #

8

1 1cos a bAsí la temperatura es


? Bß > œ %a b !1# 8 8 >#

#$ 88œ"

_" / 8Ba b cos

3. Halle la solución al siguiente problema

ÚÛÜ a b a ba b

? œ % ? ß ! B ß > !? !ß > œ !ß ? ß > œ !? Bß ! œ $

BB ># 1

1

SOLUCIÓN: Por el método de Fourier supongamos quea b a b a b a bM ? Bß > œ K B X > es la solución de prueba, por lo tanto , y •

? œ K X ? œ KX œBB >ww K X

K %X

ww •

si deseamos soluciones no nulas, existe tal que- œ 5#

y •K 5 K œ ! X %5 X œ !ww # #

a b a b a b a b a b a b a bMM ? !ß > œ K ! † X > œ ! • ? ß > œ K † X > œ !Sabemos que si1 1

deseamos soluciones no triviales entonces y K ! œ ! K œ !ßa b a b1y tenemos para se tiene el siguiente problema de Sturm-LiouvilleK

y •K 5 K œ !K ! œ !ß K œ !

X %5 X œ !ww #

#a b a b1La solución de prueba conduce a que satisface a la ecuaciónK B œ /a b !B !

de indices ! !# # 5 œ ! Í œ „ 53

de donde obtenemos que es la base de soluciones, por loe fcos sin5Bß 5Btanto K B œ E 5B F 5Ba b cos sinpero y K ! œ ! œ E K œ ! œ F 5a b a b1 1sinComo deseamos soluciones no triviales y de dondeF œ " 5 œ !sin 1

, ,5 œ 8 Í 5 œ 8 • K B œ 8B1 1 a b sinAhora • •

X %5 X œ ! Í X %8 X œ ! Í X œ E /# # %8 >8

#

Las funciones propias son en este caso ? Bß > œ E / 8B8 8

%8 >a b # sina bMMM Por el principio de superposición de soluciones ? Bß > œ E / 8Ba b !

8œ"

_

8%8 ># sin

Para la determinación de los tenemosE8

? Bß ! œ $ œ E 8Ba b !8œ"

_

8sin

de donde E œ $ 8B.B œ Ð œ " "8

# ' 8B '! 8 8

!

81 1 1

11' sin cos º a ba b

Luego la solución es


? Bß > œ / 8Ba b !'8œ"

_" "

8%8 >

1a b8 # sin

4. Hallar la solución del problema siguiente

, donde Ú

ÛÜ a b a ba bC œ + C + œ

C Bß ! œ ! œ C Bß !C !ß > œ A>

>> BB# # X

>

3

sinSOLUCIÓN. Por la transformada de Laplace sea ] Bß = œ C Bß >a b a ba ba bLentonces = ] = † ! ! œ C œ + C œ +# # #

>> BB. ].BL La b a b #

#

de donde se tiene la ecuación diferencial ordinaria siguiente entonces . ] =

.B + B B# #

# #

= =+ + ] œ ! ] Bß = œ E = / F = /a b a b a b

Pero es acotado, esto implica que es acotado así yaC Bß > ] Bß = F = œ !a b a b a bque cuando / Ä _ B Ä _Þ

=+B

E = œ ] !ß = œ C !ß > œ A> œ ] Bß = œ /a b a b a b a b a ba b_ _ sin A A= A = A

=# # # #

B+ entonces

por lo tanto C Bß > œ A > ? >a b a bˆ ‰sin B

+B+

5. Estudie las soluciones del siguiente problema

ÚÝÝÛÝÝÜa b a ba ba b

? ? œ !ß ! C ß B !? Bß ! œ !ß ? Bß œ !? !ß C œ Cß ! C ? !ß C œ !

BB CC

C C

B

1

1

1

SOLUCIÓN. Por el método de Fourier, supongamos que ? Bß C œ K B L Ca b a b a bes solución de prueba si y sólo si

. K . L.B .C K L

# #

# #

. K#

.B#. L#

.C#L K œ ! Í œ

Así existe tal que- − d

. K . L.B .C

# #

# # K œ ! • L œ !- -

pero ? Bß ! œ ! œ K B ! œ !C

.L.Ca b a b a b

? Bß œ ! œ K B œ !1a b a b a b1 1.L.C

de aquí deseamos soluciones no triviales tenemos .L .L

.C .Ca b a b! œ ! • œ !1

Tenemos para el siguiente problema de Sturm-LiouvilleL

. L.C

#

# L œ !-

.L .L.C .Ca b a b! œ !ß œ !1

a b3 œ ! Ê œ ! L œ - C -Si por integración doble se obtiene . Como- . L.C " ##

#

.L.C " !œ - L C œ " se sigue que es solución propia.a b


a b a b33 œ 5 ! 5 L œ ! L C œ /Si entonces la ecuación con por- # # C. L.C

#

#!

solución de si y sólo si así ! !# # 5C 5C" # 5 œ ! Í œ „ 5 L C œ - / - /a b

como se sigue que.L.C " #

5C 5Cœ - 5/ - 5/

como ,L ! œ ! œ - - " "

L œ ! œ - / - / / /Á !

w" #

w 5 5 5 5" #

a ba b º º1 1 1 1 1

se tiene que y .L C œ ! ? œ !a ba b333 œ 5 ! Í 5 L œ ! Si cuya solución es dada por- # #. L.C

#

#

L C œ - 5C - 5Cß • ß œ 5- 5C 5- 5Ca b " # " #.L.Ccos sin sin cos

Ahora L ! œ ! œ - 5ß • ß 5 Á ! Ê - œ !w

# #a b .L

.C "a b1 1œ ! œ 5- 5sinSi deseamos soluciones no nulas y ,- œ " Á ! 5 œ ! Í 5 œ 8 −" sin 1 ™

así L C œ 8C8a b cosa b3@ K 8 K œ ! K œ / con por solución de prueba , obtenemos queww # B!

! !# # 8 œ ! Í œ „ 8

de donde es la solución fundamental la cual es equivalente ae f/ ß /8B 8B

e fcosh sinh8Bß 8B para obtener la solución K B œ E 8B F 8B8 8 8a b cosh sinhLas soluciones propias serán dadas por ? Bß C œ E 8B F 8B8 8 8a b cosh sinha b@ Por el principio de superposición de soluciones tenemos ? Bß C œ E 8B F 8B 8C Ea b a b!

8œ"

_

8 8 !"#cosh sinh cos

Pero por tenemosGÞM

? !ß C œ C œ E E 8Ca b !"# ! 8

8œ"

_

cos

de la teoría de series de Fourier se sigue que E œ C.C œ œ!

# #!

C# !1 1

1 1' ¹#

1

E œ C 8C .C œ œ8# # # #

!8C 8C8 8 8! !

" "1 1 1 1

1 1 1' cos sin cos¹ ¹# #

8a bAhora ? Bß C œ 8E 8B 8F 8B 8CB 8 8

8œ"

_a b a b! sinh cosh cos

de aquí y la condición tenemosGÞM

? !ß C œ ! œ 8F 8C Ê F œ !B 8 88œ"

_a b ! cos

Luego la distribución de temperatura del estado estable es ? Bß C œ 8B 8Ca b !1

1# 8#

8œ"

_" "a b8

# cosh cos


6. Halle la solución del siguiente problema

ÚÝÝÛÝÝÜa b

¹` ? ` ?`> `B

`? Bß>`> >œ!

# #

# #œ #& _ B _ß > !

? Bß ! œ ! _ B _

œ Ba b cos

PRIMERA SOLUCIÓN. Por el método de Fourier,a b a b a b a b3 ? Bß > œ \ B † X > si y sólo si \ 5 \ œ !ww #

••X - 5 X œ !ß - œ &# #

Llegando a las funciones propias siguientes \ B œ E 5B F 5Ba b cos sin X > œ G &5> H &5>a b cos sinPero ? Bß ! œ \ B † X ! œ ! Ê X ! œ !a b a b a b a bSi se desean soluciones no triviales, se toma y en ese casoH œ "

X > œ &5>a b sin . Las soluciones propias serán entonces dadas por ? Bß >ß 5 œ E 5B F 5B &5>a b a bcos sin sina b33 Por el principio de superposición de soluciones, la solución es ? Bß > œ E 5B F 5B &5> .5a b a b'

_

_cos sin sin

Ahora `?

`> __a b a b'Bß > œ E 5B F 5B &5 &5> .5cos sin cos

Luego ? Bß ! œ B œ &5E 5B &5F 5B .5> _

_a b a b'cos cos sinDe aquí &5E œ B 5B.B œ B 5B.B" #

_ !_ _

1 1' 'cos cos cos cos

así .&5F œ B 5B.B œ !ß F œ !"__

1' cos sin

SEGUNDA SOLUCIÓN. Aplicando transformada de Fourier se tiene Fa b a ba b? Bß > œ J Aß >

F FŠ ‹ Š ‹` ? ` ?`> `B

# #

#œ #&

Lo cual nos lleva a la siguiente ecuación diferencial ordinaria . J . J

.> .># ## #

# #œ #&A J Í #&A J œ !

Suponiendo que tenemos que la base de soluciones esJ œ /!>

{ }.cos sin&A>ß &A>

Luego .J Aß > œ E A &A<> F A &A>a b a b a bcos sinAhora .J

.> œ &AE A &A> &AF A &A>a b a bsin cosPero Fa b a b a ba b? Bß ! œ ! œ Aß ! œ E AJ

y Fˆ ‰a b a b¹`? .J

`? .> >œ!Aß ! œ œ &AF A


si y sólo si Fa b a b a bcosB œ &AF A Í F A œ Fa bcosB

&A

Así J Aß > œ &A>a b Fa bcosB

&A sinde donde ? Bß > œ &A>a b Š ‹F" B

&AFa bcos sin

œ B ‡F F F" &A>&Aa ba b ˆ ‰cos " sin

œ B ‡T B""! "!>a b a bcos

7. Resolver el problema no homogéneo siguiente

ÚÛÜ a b a ba b ˆ ‰

? œ ? E/ ! B "ß > !GÞJ À ? !ß > œ !ß ? "ß > œ ! ß > !

GÞM À ? Bß ! œ " / ß ! B "

BB >,B

E,

,B#

SOLUCIÓN: Suponiendo dondea b a b a b a b3 ? Bß > œ = B Z Bß > lim

>Ä_Z Bß > œ !a b

hallamos que el estado estable es dado por= Ba b œ a b a b= œ E/

= ! œ !ß = " œ !

ww ,B

integrando dos veces tenemos = œ " / " / BE E

, ,,B ,

# #ˆ ‰ ˆ ‰a b33 El problema del estado transitorio tenemos

ÚÛÜ a b a ba b ˆ ‰

Z œ Z ß ! B "ß > !GÞJ À Z !Þ> œ !ß Z "ß > œ !

GÞM À Z Bß ! œ " / B

BB >

E,

,#

hallemos la solución: dondeZ œ K † X

•K XK X

#ww #

#

ww

œ œ ÍK K œ !

X K œ !

•-

-

-œ

Tenemos el problema S-L siguiente œ a b a bK K œ !

K ! œ !ß K " œ !

ww #-

Haciendo se obtiene K œ / K œ - B - B!B" #cos sin- -

Ahora K ! œ - œ !ß K " œ - œ !a b a b" #sin-Si entonces - œ "ß#

sin- - 1œ ! Í œ 8 Þ

Por lo tanto K B œ 88a b sin 1

Para , tenemosX

•X 8 X œ ! Í X œ E /a b1 #

88 ># #1

Las funciones propias serán Z Bß > œ E / 8 B8 8

8 >a b # #1 sin 1


a b333 Por el p.s.p.s tenemos Z Bß > œ E / 8 Ba b !

8œ"

_

88 ># #1 sin 1

Ahora Z Bß ! œ " / B œ E 8 Ba b ˆ ‰ !E

,,

8œ"

_

8# sin 1

de dondeE œ # " / B 8 B.B œ " / 8 !

" E #E B 8 B 8 B, , 8 8

, ,

! !

" "'# # # #ˆ ‰ ˆ ‰” •¹ ¹sin 1 cos sin1 1

1 1

œ " /#E, 8

, "#

8ˆ ‰ a b1

En esta forma Z Bß > œ / 8 Ba b !

8œ"

_#E "/

, 8" 8 >ˆ ‰ a b,

#

8" # #

11 sin 1

Luego el problema no homogéneo tendra por solución? Bß > œ " / " / " / 8 Ba b ˆ ‰ ˆ ‰” •!E E #

, , 8,B , 8 >

8œ"

_"

# #

8" # #

11a b sin 1

8. Resolver el siguiente problema:

ÚÛÜ

a ba b a ba b? œ ? " B >ß ! B "ß > !GÞJ À ? !ß > œ !ß ? "ß > œ ! ß > !GÞM À ? Bß ! œ !ß ! B "

BB > cos

SOLUCIÓN: Hallemos primero las raíces del problema de Sturm-Louvillesiguiente \ \ œ !ß \ ! œ !ß \ " œ !ww - a b a bde donde - 1 9 18 8

# #œ 8 ß B œ 8 Bß 8 œ "ß #ß $ßáa b sinBuscamos ahora la solución de la forma ? Bß > œ I > 8 Ba b a b!

8œ"

_

8 sin 1

cuando sustituimos en la ecuación " B > œ ? ?a bcos > BB

obtenemos -a b c d! a b a b" B > œ I > 8 I > 8 Bcos sin

8œ"

_

8w # #

81 1

Por consiguiente deducimos que notando que Ò 8 B œ ß 8 œ "ß #ß $ßá Ól lsin 1 # "#

I > 8 I > œ # " B > 8 B .Bw # #8 8 !

"a b a b a b1 1' cos sin

œ # > 8 B œ >cos cos cos” •¹ ¹a b"B8 8 8! !

" "8 B #

1 1 111 sin

# #

Solucionando esta EDO para tenemosI >8a b I > œ G / . / œ8 8

#8 !

> 8 8 >a b ’ “11 7 1' # # # #cos7 7

œ G / /88 > 8 ># / 8 /

8 "8 "8! !

> ># # # #8 # # 8 ># # # #

% % % %1 1

1 1 11” •¹ ¹1 7 1sin cos7 7


œ G / > / > /88 > 8 > 8 ># / 8 8

8 "8 "8 "8

# # # # # #8 > # # # ## #

% % % % % %1 1 1

1 1 1 11 1’ “1 sin cos

I œ G / 8 / > >8 88 > # # 8 >#

8 "8

# # # #

% %1 1

1 1a b ’ “Š ‹1 cos sin

Sustituyendo esta expresión para en la anterior solución para losI >8a b? Bß > ? Bß ! œ ! G œ !a b a b y suponiendo la condición inicial , vemos que los 8

ß a8. Por lo tanto nuestra solución es ? Bß > œ 8 / > >a b ! ’ “Š ‹# 8 B

8œ"

_

8 "8# # 8 >

1 11 1sina b% %

# #1 cos sin

9.Resolver el siguiente problema

ÚÛÜ a b a ba b

? œ + ? ß ! B "!ß > !GÞJ À ? !ß > œ "!ß ? "!ß > œ $!ß > !GÞM À ? ß ! œ ! ! B "!

BB >#

SOLUCIÓN: Conjeturamos que es la solución de? Bß > œ = B @ Bß >a b a b a bprueba, bajo el supuesto de que y lim lim

>Ä_ >Ä_? Bß > œ = B @ Bß > œ !a b a b a b

En ese caso la función satisface la EDO= Ba b œ a b a b= œ !

= ! œ "!ß = "! œ $!

ww

Por integración sucesiva obtenemos que œ a b a b= œ - B -

= ! œ "!ß = "! œ $!" #

Así - œ "!ß = "! œ $! œ "!- - Í - œ ## " # "a bEn esta forma el estado estable es dado por = B œ #B "!a bAsí para el estado transitorio se plantea en la forma

ÚÛÜ a b a ba b

@ œ + @ ß ! B "!GÞJ À @ !ß > œ !ß @ "!ß > œ !GÞM À @ Bß ! œ #B "!ß ! B "!

BB >#

Aquí vemos que es la solución de la conducción del calor del tipo@ Bß >a bexpuesto en §6, donde la distribución del calor en los extremos es nulo,dando por @ Bß > œ G B /a b ! ˆ ‰

8œ"

_

88"!

+ 8 >Î"!!sin 1 1# # #

donde las constantes son dadas porG8

@ Bß ! œ #B "! œ G Ba b !8œ"

_

88"!sin 1

de donde G œ #B "! B .B8

" 8& "!!

"!' a bsin 1

œ B B.B # B.Bß 8 œ "ß #ßá# 8 8& "! "!! !

"! "!' 'sin sin1 1


œ B B B# "! 8 "!! 8 #! 8& 8 "! 8 "! 8 "!! ! !

"! "! "!” •¹ ¹ ¹1 1 11 1 1cos sin cos# #

œ " ""'8

81c da b

Combinando resultados, nuestra solución llega a ser ? Bß > œ = B @ Bß > œ "! #B " " B/a b a b a b c d! a b

8œ"

_"' 88 "!

8 + 8 >Î"!!1

1 1sin # # #

10. Hallar la solución al siguiente problema

ÚÝÝÝÛÝÝÝÜa ba b a b

? ? œ - ? ß ! < "ß > !

GÞJ À ? "ß > œ !ß > !

GÞM À ? <ß " œ ß ? <ß ! œ !ß ! < ""ß ! <

!ß < "

<< < >>"<

#

"#

"#

>

SOLUCIÓN. Supongamos que es la solución dea b a b a b a bM ? <ß > œ L < † K >prueba, de donde se recibe ••

L K L K œ - L † K Í œ œ 5ww w # #" K< L - K

L Lww w"<

#

••

de aquí L L 5 L œ !ww w #"

<

••K - K œ !#

a b33 = œ 5< Í œ œ œ 5 œ 5 Haciendo , ahora y " 5 .L .L .= .L . L . L< = .< .= .< .= .< .=

## #

# #

Así, . L 5 .L

.= = .=# ## #

# 5 5 L œ !

de donde la ecuación . L " .L

.= = .=

#

# L œ !

Esta última ecuación es la ecuación de Bessel cuya solución ya la hemosestudiado en §7 y es dada por , peroL = œ N =a b a b!

L " œ ! œ N 5< œ N 5 Í 5 œ 7a b a b a b! ! !

de donde L < œ N <7 ! 7a b a b!a b a b333 K K - K œ ! œ - Para se tiene , haciendo de donde se tiene••

! - !#7 7

la sucesión de funciones K œ + > , >7 7 7 7 7cos sin- -a b3@ Las funciones propias del problema estarán dadas por ? <ß > œ + > , > N <7 7 7 7 7 ! 7a b a b a bcos sin- - !

Por el principio de superposición de soluciones se tiene ? <ß > œ + > , > N <a b a b a b!

7œ"

_

7 7 7 7 ! 7cos sin- - !

Por la condición inicial se tiene queÐGÞMÞÑ

donde ? <ß ! œ + N < + œa b a b!7œ"

_

7 ! 7 7? <ß! ßN < Ù

N <!

a b a bl la b! 7

! 7#

!

!

+ œ <? <ß ! N < .< œ <N < .<7 ! 7 ! 7# #

# N N! !"

#" "# #

7

"#' 'a b a b a b! !a b!

œ N B œ BN B .BÅ

B œ <!7

# B .B #N N! !! !" "# #

7 7

7 7# #

7 7 7#a b a b! ! !! !

' 'a b a b! !


œ ÐBN B œ NÅ

B N B .B œ B N B -' a b a ba b¹ ˆ ‰ˆ ‰

@ @@" B

# #N N" "

! # #! ! ! !! !

7 7# #

" "# #

7 7

7#

7 7a b a b!

œN

N"

7#

7 7"#

ˆ ‰a b!

! !

, œ !7

así ? <ß > œ N <a b a b!

7œ"

_N

N ! 7"

7#

7 7"#

ˆ ‰a b!

! !!

11. Analice la solución del siguiente problema

finito

ÚÝÝÝÛÝÝÝÜ a b

a b a b a b a ba b a b

? ? ? œ !ß ! < ß

GÞJ À? <ß ß

? <ß œ ? <ß ß ? <ß œ ? <ß

GÞM À ? ß œ 0 ß

<< <" "< <

<Ä!

#

))

) )

3 1 ) 1

) 1 ) 1

1 1 1 1

3 ) ) 1 )

lim

1

SOLUCIÓN: Supongamos que es la solución de pruebaa b a b a b a b3 ? <ß œ V < L) )

así •• ••

V L V L VL œ ! Í L V V œ VLww w ww w" " " "< < < <# #

ˆ ‰

••Í œ œ Í

L L œ !

< V <V V œ !< V <V L

V L # ww w

# ww w ••-

-

-œ

a b33 GÞJAhora tomando tenemos

• • • • œa b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b? <Þ œ V < L œ V < L œ ? <ß L œ L

? <ß œ V < L œ V < L œ ? <ß L œ LÊ

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1) )

Así tenemos el problema S-L siguiente:

••

• • a b a b a b a bL L œ !

L œ L ß L œ L

-

1 1 1 1

Tomando obtenemos- œ 8#

••

• • a b a b a b a bL 8 L œ !

L œ L ß L œ L

#

1 1 1 1

Cuya solución ya es conocida y es dada por L œ

+

+ 8 , 8 ß 8 œ "ß #ß $ßá8

"# !

8 8a b œ)

) )cos sina b33 < V <V V œ !,3=# ww w Ahora , esta es una ecuación de Euler-Cauchy-

cuya solución de prueba es V œ < Í V œ < ß • ßV œ " <! ! !w " ww "! ! !a bpara tener < " < < < 8 < œ ! Í < Ò 8 Ó œ !# # " # # #! ! ! ! ! !a b ! ! ! !

Í 8 œ ! Í œ „ 8! !# #

así V < œ

- - <ß 8 œ !- < - < ß 8 œ "ß #ß $ßá

8 " #

$ %8 8a b œ log

-

Dado que es finito entonces lim<Ä!

# %V < - œ - œ !a b


Tomando y la cual es una elección convencional.- œ " - œ" $"38a b333 Por el p.s.p.s tenemos

? <ß œ + + 8 , 8a b a b!Š ‹) ) )" <# ! 8 8

8œ"

_ 8

3cos sin

Por la tenemosGÞM

? ß œ 0 œ + + 8 , 8a b a b a b!3 ) ) ) )"# ! 8 8

8œ"

_

cos sin

de donde , + œ 0 B .B + œ 0 8 . ß , œ 0 8 . Þ! 8 8

" " " 1 1 11 1 1

1 1 1' ' 'a b a b a b) ) ) ) ) )cos sin

12. Resolver el siguiente problema

ÚÝÝÛÝÝÜˆ ‰ Š ‹

a ba b

` `? " ` `?`< `< ` `

#

BÄ_

< œ !

GÞJ À ? <ß œ !

GÞM À ? "ß Ñ

sin9 9 9sin

lim

cos

9

9

9 9

SOLUCIÓN: Supongamos que es la solución dea b a b a b a b3 ? <ß œ K < L9 9

prueba `? .K `? .L

`< .< ` .œ Lß œ K9 9

sustituyendo obtenemos L < K œ !. `K " . .L

.< `< . .#ˆ ‰ Š ‹sin9 9 9

sin9

Í L < œ K. .K " . .L.< .< . .

#ˆ ‰ Š ‹sin9 9 9sin9

Í œ œ 5. .<.< .<

#ˆ ‰<

K L . ." . .Lsin9 9 9Š ‹sin9

Í< 5K œ !

5L œ !

ÚÛÜ

Š ‹Š ‹

. .K.< .

#

" . .L. .

9

9 9 9sin sin9

a b33 La ecuación . .K

.< .# # ww wŠ ‹< 5K œ ! Í < K #<K 5K œ !

9

Una ecuación interesante se obtiene cuando se escoge el valor5 œ 8 8 "a b en ese caso la ecuación < K #<K 8 8 " K œ !# ww w a btiene por ecuación de índices ! ! ! !# # 8 8 " œ ! Í œ 8 • œ 8a bObteniendo las dos soluciones K < œ < • K < œ8 8

8 "<a b a b 8"a b a bˆ ‰333 8 8 " œ ! La ecuación se resuelve haciendo" . .L

. .Ksin9 9sin9

A œ œ " cos sin cos9 9 9, ahora como y con la regla de la cadena# #

. . .A . " . .L. .A . . .A .A

#9 9 9 99œ œ Í 8 8 " œ !sin sin sin9 9 9sin a b a bˆ ‰

Í "A 8 8 " L œ !. .L.A .A

# ‘a b a b Í " A #A 8 8 " L œ !a b a b# . L .L

.A .A

#

La cual es una ecuación de Legendre y la solución es


L œ T A œ T8 8a b a bcos9En esa forma tenemos la soluciones ? œ < T ß ? <ß œ8 8

M 8 I8

T<a b a bcos9 9 88"

a bcos9

a b3@ Por el p.s.p.s tenemos ? <ß œ E < T ß ? <ß œM 8 I

8œ! 8œ!

_ _

8 8F T

<a b a b a b! !9 9 9cos 8 88"

a bcos9

Ahora por tenemosGÞM

? "ß Ñ œ œ E TM

8œ!

_

8 8a b a b!9 9 9cos cos

? "ß œ œ F8TI

8œ!

_

8a b a b!9 9 9cos cos

Esto se tiene si y sólo siE œ F œ 0 A T A .A œ T . ß 8 œ !ß "ß #ßá

µ8 8 8 8

#8" #8"# #" !

"' 'a b a b a b1cos cos sin9 9 9 9

E œ T .! !"# !' a b1cos cos sin9 9 9 9

œ . œ œ " œ !" " "# % %!

# #

!' ¹ a b1 1

cos sin cos cos9 9 9 9 1

E œ T . œ . œ Å

T œ

" "$ $ "# # #! !

"

# $

!' 'a b a b

a b¹1 1 1

cos cos sin cos sin cos

cos cos

9 9 9 9 9 9 9 9

9 9

œ " œ ""#

$a bcos 1 E œ T . œ $ " . œ# #

& & "# # #! !

#' 'a b a b1 1cos cos sin cos sin9 9 9 9 9 9 9

œ $ . . œ œ& & $% % % #! !

$ %

! ! ‘' ' ’ “¹ ¹1 1 1 1

9cos sin cos sin cos9 9 9 9 9 9 9 cos#

œ œ !& $ $ "% % % #

%’ “cos 1 cos#1

13. La membrana vibrante. Ecuación Bidimensional de Onda sometida alas siguientes hipótesis:a b3 La masa de la menbrana por unidad de área es constante (membranahomogénea). La membrana es perfectamente flexible y es losuficientemente delgada como para que no ofrezca resistencia alguna a laflexión.


a b33 ß La membrana se tensa y a continuación se fija a lo largo de toda sufrontera en el plano . La tensión por unidad de longitud provocada alBC Xtensar la membrana es la misma en todas las direcciones y no cambiadurante el movimiento.a b a b$ ? Bß Cß >La deformación de la membrana durante el movimiento espequeña comparada con el tamaño de la membrana y todos los ángulosde inclinación son pequeños

Las componentes verticales de las fuerzas a lo largo de las aristasparalelas al plano sonC? X C ß X C? " ? !sin sinaquí aparece el signo menos (-), porque la fuerza sobre el borde de laizquierda está dirigido hacia abajo.Supuesto que los ángulos son pequeños, pueden reemplazarse sus senospor sus tangentes. De aquí que la fuerza resultante de esas doscomponentes verticales es X C ¸ X C œ X C ? B Bß C ? Bß C? " ! ? " ! ? ?a b a b c da b a bsin sin tan tan B " B #

donde y son valores entre y . De modo semejante, laC C C C C" # ?resultante de las componentes verticales, de las fuerzas que actuan sobrelos otros bordes de la porción, es


X B ? B ß C C ? B ß C? ?c da b a bC " C #

donde y son valores entre y .B B B B B" # ?Por la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas es igual a la masa3? 3E de la porción multiplicada por la aceleración , aquí es la` ?

`>

#

#

densidad y es el área de la porción, así? ? ?E œ B C

3? ? ? ? ? ?B C œ X C ? B Bß C ? Bß C X B ? B ß C C ? B ß C` ?`> B " B # C " C ##

# c d c da b a b a b a bDividiendo por tenemos? ?B C

` ? X`> B C

? B BßC ? BßC ? B ßC C ? B ßC#

#B " B # C " C #œ

3 ? ?? ?’ “a b a b a b a b

Cuando entonces los puntos ? ? ?B Ä ! C Ä ! B Bß C ß Bß C ßa b a b" #a b a b a bB ß C C B ß C Bß C" #? y todos tienden a un único punto y , y ,? B BßC ? BßC

B CBB CC? B ßC C ? B ßCB " B # C " C #a b a b a b a b?

? ?

?Ä ? Bß C Ä ? Bß Ca b a b

Por lo tanto la ecuación bidimensional de onda será dada por: ` ? X ` ? ` ?

`> `B `C

# # #

# # #œ 3 ’ “

14. Halle la solución del problema de la membrana rectangular

sobre la frontera de la membrana rectángular

el desplazamient

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ

’ “

a b a b` ? ` ? ` ?`> `B `C

## # #

# # #œ -

GÞJ À ? œ !

GÞM À? Bß Cß ! œ 0 Bß C o inicial

la velocidad inicial`?`> >œ!

¹ a bœ 1 Bß C

SOLUCIÓN.Paso uno: El método de Fourier es ahora acondicionado de manera que? Bß Cß > œ J Bß C K >a b a b a b es la solución de prueba así; ••

JK œ - J K J K#BB CCa b

separando las variables tenemos K "

- K J BB CC#

••# œ J J œ @a b

de donde •• œ K K œ ! ¿ œ -@

J J @ J œ !

- -#

BB CC#

Ahora suponiendo en esta formaJ Bß C œ L B U C ßa b a b a b J œ Uß J œ LBB CC

. L.B .C

. U#

# #

#

en esta forma . L

.B .C. U ##

# #

#

U L @ LU œ !

Í UL œ @ LU Í U @ LU œ L. L . L.B .C .B .C

. U . U# ## #

# # # #

# #


Í œ œ 5 Í @ L œ 5 L

œ 5 U

. L#

.B .C# ## . U#

#

#

#

#

U@ LU L

LU LU

#. L.B

# #

. U.C

#

‚ ‚‚ ‚

‚ Í @ 5 L œ ! • 5 U œ !

:

. L.B .C

# # #

#

. U#

# #

#ðóñóòa bPaso dos: Para la ecuación se deduce de la condición de. L

.B##

# : U œ !ß

frontera que y la solución es como se sabe dada porL ! œ ! •L + œ !a b a b L B œ - :B - :Ba b " #cos sinasí L ! œ - œ ! •L + œ ! œ - :+a b a b" #sintomando entonces por lo tanto - œ " :+ œ 8 : œ 7 Î+# 1 1

Ahora para de se deduce que y la. U.C

##

# 5 U œ ! GÞJ U ! œ ! • U , œ !a b a bsolución será ,U C œ - 5C - 5Ca b $ %cos sinasí en esta forma de dondeU ! œ ! œ - • U , œ ! œ - 5, 5, œ 8a b a b$ %sin 1

5 œ • - œ "8, %1

Resumiendo tenemos , L B œ B • U C œ C

7 œ "ß #ßá8 œ "ß #ßá7 8

7 7+ ,a b a bsin sin1 1

En esta forma J Bß C œ L B U C œ B † Cß

7 œ "ß #ßá8 œ "ß #ßá78 7 8

7 8+ ,a b a b a b sin sin1 1

Ahora bien : œ @ 5# # #

por lo tanto se tiene 7 8 8

+ , + ,# # 7 :# # # #

# # # #

# #1 1 1œ @ Ê @ œ

de donde @ œ 1É7 8

+ ,

# #

# #

y así se tiene que - 1 -œ -@ œ - œÉ7 8

+ , 78# #

# #

En esta forma la ecuación ••

K K œ !-78#

tiene por solución a K œ F > F >87 78 7878

‡cos sin- -

Se concluye que las funciones propias tomarán la forma ? Bß Cß > œ F > F > B † Cß

7 œ "ß #ßá8 œ "ß #ßá78 87 78 7878

‡ 7 8+ ,a b a bcos sin sin sin- - 1 1

Paso tres: Para obtener la solución, por el principio de superposición desoluciones se tiene ? Bß Cß > œ ? Bß Cß >a b a b! !

7œ"8œ"

_ _

78


œ F > F > B † C_! ! a b

7œ"8œ"

_

87 78 7878‡ 7 8

+ ,cos sin sin sin- - 1 1

De las condiciones iniciales se sigue que ? Bß Cß ! œ F B † C œ 0 Bß C

_a b a b! !7œ"8œ"

_

787 8+ ,sin sin1 1

Esta serie se conoce como serie doble de Fourier. Supongamos que 0 Bß Ca bpuede desarrollarse en una tal serie, entonces los coeficientes deF78

Fourier de pueden determinarse de la siguiente manera. Haciendo0 Bß Ca b O C œ F C M7 78

8œ"

_8,a b a b! sin 1

En esta forma 0 Bß C œ O C Ba b a b!

7œ"

_

78+sin 1

Manteniendo fijo se tiene queC O C œ 0 Bß C B .B MM7

# 7+ +!

+a b a b a b' sin 1

pero de se recibe quea bM F œ O C C.C78 7

# 8, ,!

,' a bsin 1

y finalmente de se llega a quea bMM

F œ 0 Bß C B † C .B.C78% 7 8+, + ,! !

+ ,' ' a bsin sin1 1

Ahora hallamos , o sea calculamos`?`>

` 7 8`> + ,

7œ"8œ"

_

87 78 7878‡” •! ! a b_

F > F > B † Ccos sin sin sin- - 1 1

œ F > F > B † C_! ! a b

7œ"8œ"

_

78 78 78 7878‡ 7 8

+ ,- - -sin cos sin sin1 1

Ahora `? 7 8

`> + ,>œ! 7œ"8œ"

_

78 78‡¹ ! ! a bœ F B † C œ 1 Bß C

_- sin sin1 1

Como lo dijimos atrás si es desarrollable en serie doble de Fourier,1 Bß Ca bse procede así: hacemos P C œ F C7 78

7œ"

_

78‡ 8

,a b ! - sin 1

entonces manteniendo fijo se sigue queB

-8 7878‡ # 8

, ,!,

F œ P C C.C' a bsin 1

en esta forma 1 Bß C œ P C Ba b a b!

8œ"

_

77+sin 1

así para fijo se tiene queC P C œ 1 Bß C B .B7

# 7+ +!

+a b a b' sin 1

Por lo tanto F œ 1 Bß C B † C .B.C78

‡ % 7 8+, + ,! !

+ ,

-1 1

78' ' a bsin sin

15. Halle la solución del siguiente problema


, `? ` ?`> `B

>œ $B / ! Ÿ B Ÿ#

# sin 1

ÚÛÜ

a ba ba b a b? !ß > œ !? ß > œ "? Bß ! œ 0 B1

SOLUCIÓN. Se hace primero una transformación en la frontera,introduciendo un desplazamiento de equilibrio, haciendo @ Bß > œ ? Bß > BÎa b a b 1

En este caso la función es la solución del problema siguente@ Bß >a b `@ ` @

`> `B>œ $B /

#

# sin

ÚÛÜ

a ba ba b a b@ !ß > œ !@ ß > œ !@ Bß ! œ 0 B BÎ1

1

Las funciones propias de este problema se calculan en la forma clásica yestán dadas por {sin sin1BBÎP× œ Ö 8B×puesto que , así por el método de expansión de funciones propiasP œ 1dado en 6.9 se sigue que @ Bß > œ I > 8Ba b a b!

8œ"

_

8 sin

Por sustitución !ˆ ‰

8œ"

_.I.>

# >8

8 8 I 8B œ $B /sin sin

Por el método de los coeficientes indeterminados se sigue que = para

para .I.>

#8 >

8 8 I! 8 Á $

/ 8 œ $œLa solución de esta ecuación diferencial lineal ordinaria es fácil de hallar yes dada por

para para

I > œI ! / 8 Á $

)/ ÒI ! )Ó/ 8 œ $8

88 >

> *>$

a b œ a b a b#

donde I ! œ 0 B 8B.BÞ8

#

!Ba b a b' ‘

1 1

1 sin

BIBLIOGRAFIA

[1] Haberman R. , . PElementary Applied Partial Differential EquationsPrentice-Hall. 1983[2] John, F., . Springer-Verlag. 1982Partial Differential Equations


[3] Larry C. A., Elementary partial Differential Equations with boundaryvalue problems. Academic Press College Division.1986[4] Mijálov, V.P, . Mir.Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesMoscú. 1980.[5] Peral, A.I, . Addison-Ecuaciones en Derivadas ParcialesWesley/Universidad autónoma de Madrid[6] Petrovskii. , . Saundes Campany. 1966. Partial Differential Equations[7] Sneddon, I.N., . MacGraw-Hill.Elements of Partial Differential Equations1957.[8] Takeuchi, Yu., . Editorial Takeuchi.Ecuaciones Diferenciales Parciales1978[9] Weinberger, H., . Blaisdell InternationalPartial Differential EquationsTextbook Series. 1965.

*****

Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajo en elaprendizaje de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. En esta formapresento una primera lectura, de un tema de gran utilidad para una mejorasimilación del estudio de la física matemática.

Quiero agradecer a mi hijo Juan Armando quien ha sido un animador permanente deeste proyecto de aprendizaje en matemática avanzada y que sin él habría sido imposiblerealizarlo. También a mi esposa Nohora y a la ingeniera Esperanza Nieto quienes leyerontodo el original y cuidaron del buen manejo del lenguaje español.

Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentariofavor hacerlo llegar a: [email protected],[email protected]@yahoo.com Copyright© Darío Sánchez Hernández

Elementos en Ecuaciones Diferenciales Parciales

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