ELEMENTI DI CARTOGRAFIA -...

ELEMENTI DI

CARTOGRAFIA

CARTOGRAFIA � TEORIA DELLE CARTE

SCOPO � rappresentazione grafica o video- graficadella superficie terrestre:

a) posizione planimetrica � ELLISSOIDE � corrispondenzaanalitica biunivoca con il PIANO

Equazioni della carta

b) indicazione posizione altimetrica

↔

P

P

P

OE = OS =

P(X, Y, Z) P( , 0 )

P( , )

P'P" = X

OP" = Y

PP' = Z

ϕ λ,ϕ λ,ϕ λ,ϕ λ,

ϕ λϕ λϕ λϕ λ

a b

T

Z

S

PN

Y

X

P

P’P”

r

λλλλ

ϕϕϕϕE

O

G

3

CARATTERISTICHE DELLE CARTE

1. SCALA2. RAPPRESENTAZIONE3. CONTENUTO

4

LA CARTA FORNISCE UN’IMMAGINE INCOMPLETA DEL TERRENO

LA CARTA E’ UNA COSTRUZIONE SELETTIVA E RAPPRESENTATIVA CHE IMPLICA L’IMPIEGO DI SIMBOLI E SEGNI APPROPRIATI

IL CONCETTO DI SCALA HA IMPORTANZA PRIMARIA, IN QUANTO LA SCALA E’ LO STRUMENTO DI APPROCCIO SCIENTIFICO E TECNICO

ALLA REALTA’

1. La SCALA determina il livello di analisi in funzione dello spazio da ricoprire e dei dettagli da esaminare

2. La SCALA condiziona la precisione, la leggibilità e l’efficacia della carta

3. La SCALA determina il livello di sintesi e di selezione (generalizzazione e simbolizzazione)

4. La SCALA determina il rapporto tra carta e «terreno»

SCALA

5

SCALA 1:n

scala piccola 25000:11

≤n

che topografi100000:11

≥n

hecorografic 100000:11

1000000:1 ≤≤n

egeografich 1000000:11

≤n

scala grande 5000:11

≥n

scala media 5000:11

25000:1 ≤≤n

6

RAPPRESENTAZIONE

angolare nedeformazio di modulo '-

lesuperficia nedeformazio di modulo '

lineare nedeformazio di modulo '

ααδσσ

µ

=

=

=

d

d

ds

dsm

),('),( yxPP ↔λϕ

7

IDEALE → CARTA EQUIDISTANTE

Manterrebbe inalterate le distanze in un rapporto di scala assegnato

IMPOSSIBILE!!!

POSSIBILI

• CARTE EQUIVALENTImantengono inalterate le superfici in un rapporto di scala assegnato

• CARTE CONFORMImantengono inalterati gli angoli tra linee corrispondenti

• CARTE AFILATTICHEcompromesso= quasi conformi e quasi equivalenti

RAPPRESENTAZIONE

8

RAPPRESENTAZIONI CONFORMI

RAPPRESENTAZIONI EQUIVALENTI

RAPPRESENTAZIONI AFILATTICHE

)(

),(

'0

Azimutfm

fm

≠

=

=⇒=

λϕ

ααδ

1

0

≠

≠

µ

δ

σσ

µ

dd =

=

'

1

RAPPRESENTAZIONE

9

COME SCEGLIERE?

CRITERIO GENERALE : LIMITARE LE DEFORMAZIONI PER UNA

SIMILITUDINE APPROSSIMATA

N.B.

+ PICCOLA È LA SCALA

+ GRANDE È LA ZONA RAPPRESENTABILE

+ GRANDI SONO LE DEFORMAZIONI

MA

+ AMPIA È LA TOLLERANZA

RAPPRESENTAZIONE

10

CONTENUTO

1. CARTE DI BASE - politematiche

A B C D E

2. CARTE TEMATICHE – monotematiche o a tematismi prevalenti

A B C D E

11

CONTENUTO

1. CARTE DI BASERappresentano la maggior quantità di particolari possibile (politematiche), di interesse comune al

maggior numero di potenziali utenti, compatibilmente con la scala per non perdere in leggibilità e chiarezza di

rappresentazione

2. CARTE TEMATICHERiportano, su una carta di base opportunamente semplificata in funzione della scala, una serie di

informazioni dettagliate, compatibilmente con la scala, riguardanti una o più caratteristiche (monotematiche o a

tematismi prevalenti) qualitative e/o quantitative del suolo o di ciò che insiste sul territorio e dei fenomeni ad

esso collegati

12

GENESI DELLE CARTE

CARTE RILEVATEcostruite in base a rilievi diretti (grafici, numerici, fotogrammetrici) sul terreno

CARTE DERIVATEcostruite derivandole da una riduzione o da un nuovo disegno dell’insieme di più carte (rilevate o anch’esse derivate) a scala maggiore

Classificazione delle rappresentazioni cartografiche

In base alle deformazioni indotte- Conformi

- Equivalenti

- Afilattiche

In base al “quadro” (1)- Prospettiche

posizione quadro (polari, meridiane, oblique)posizione centro (centrografiche, stereografiche,

scenografiche, ortografiche)

Classificazione delle rappresentazioni cartografiche

In base al “quadro” (2)- Cilindriche (quadro = cilindro)

dirette, trasverse, oblique

- Coniche (quadro = cono)

dirette, trasverse, oblique

- Sferiche (quadro = sfera)

mappamondi

15

TEORIA DELLE CARTE

r

sen

ds

dsendsdr

ds

ddsd

αλαλ

ραϕ

αϕρ

=⋅=⋅

=⋅=⋅

cos cos

22222222 )cos( dssendsdrd =+⋅=⋅+⋅ ααλϕρ

ds = elemento lineare infinitesimo sulla superficie ellissoidica

rdλλλλ

ρρρρdϕϕϕϕdsαααα

P

P+dP

λ+δλ

φ

φ+δφ

λ

16

TEORIA DELLE CARTE

RAPPRESENTAZIONE CARTOGRAFICA=

LEGGE DI CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA ELLISSOIDE E PIANO

SUPERFICIE OBIETTIVA ↔ TRASFORMAZIONE ↔ SUPERFICIE SUBIETTIVA

In generale T non garantisce la similitudine tra figure finite corrispondenti

SIMILITUDINE → APPLICABILITÀ

APPLICABILITÀ → GAUSS → UGUALE CURVATURA TOTALE (?)

17

TEORIA DELLE CARTE

CURVATURA MEDIA H = media delle curvature di tutte le sezioni normali in P

RAGGIO MEDIO = media dei raggi di curvatura di tutte le sezioni normali in P

CURVATURA TOTALE K = inverso del quadrato del raggio medio

principali curvature delle media 11

2

1=

+=

NH

ρ

principali curvature delle prodotto 1

==N

Kρ

!!! NRm ρ=

18

TEORIA DELLE CARTE

PIANO↓↓↓↓

INFINITE COPPIE DI DIREZIONI PRINCIPALI↓↓↓↓

INFINITE COPPIE DI DIREZIONI ORTOGONALI

0 011

=→== KNρ

19

TEORIA DELLE CARTE

CILINDRO, CONO

0 cost. 1

,01

01

=→≠≠= KN ρρ

r

ρρρρ = rN = ∞∞∞∞

ρρρρ = raggio di curvatura di una sezione conicaN = ∞∞∞∞

0=== conocilindropiano KKK

↓↓↓↓PIANO, CILINDRO E CONO OVUNQUE APPLICABILI RECIPROCAMENTE

20

TEORIA DELLE CARTE

QUALUNQUE SIA LA LEGGE DI CORRISPONDENZA ISTITUITA, LE FIGURE SUBISCONO DEFORMAZIONI NEL PASSAGGIO DA ELLISSOIDE A PIANO

- IN OGNI PUNTO È APPLICABILE A UNA SFERA DI RAGGIO

- IN NESSUN PUNTO L’ELLISSOIDE È APPLICABILE AL PIANO

INFINITE COPPIE DI DIREZIONI PRINCIPALI →→→→ INFINITE COPPIE DI SEZIONI NORMALI ORTOGONALI (CIRC. MAX)

2

1 cost R

K ==

NK

ρϕ

1 )f( ==

NR ρ =

SFERA

ELLISSOIDE

Formulazione analitica delle rappresentazioni cartografiche

Superficie obiettiva Superficie subiettiva ϕϕϕϕ = cost � paralleli O X Y λλλλ = cost � meridiani

P = P(ϕϕϕϕP , λλλλP ) P’ = P’(XP’ , YP’)

. 2 2 2 2 2 2 2 2ds = d + r d ds' = dx + dyρ ϕ λ ρ ϕ λ ρ ϕ λ ρ ϕ λ

x

y

P’

P’+dP’

dx

dy

ds’A

O

rdλλλλ


P

P+dP

Formulazione analitica delle rappresentazioni cartografiche

Equazioni della carta � differenziabili (continue) e invertibili

Le deformazioni delle figure trasformate tramite le equazioni della carta vengono espresse mediante i moduli di deformazione

Per conoscere le caratteristiche di una rappresentazione cartografica è necessario e sufficiente esaminare il comportamento dei moduli di deformazione

x = x( , ) = ( x , y )

y = y( , ) = ( x , y )

ϕ λ ϕ ϕϕ λ ϕ ϕϕ λ ϕ ϕϕ λ ϕ ϕ

ϕ λ λ λϕ λ λ λϕ λ λ λϕ λ λ λ

Modulo di deformazione lineare

2 2 22

2 2

ds' dx + dym = =

ds ds

2 2 2m = e cos + 2 f sin cos + g sinα α α αα α α αα α α αα α α α

r d = ds sin

d = ds cos

λ αλ αλ αλ α

ρ ϕ αρ ϕ αρ ϕ αρ ϕ α

1. m= f(αααα)2. e, f, g →→→→ f(eq. carta, P)

rdλλλλ


P

P+dP

24

TEORIA DELLE CARTE

1. m dipende da α(azimut), dalla posizione del punto P (ϕϕϕϕ e λλλλ) sull’ellissoide e dalle equazioni della rappresentazione;

2. per una data rappresentazione, in ogni punto m varia al variare di α, assumendo due valori max e due valori min su direzioni opposte, fra loro perpendicolari;

3. la legge di variazione di m è un’ellisse, detta ellisse indicatrice di Tissot, che degenera in un cerchio nelle carte conformi

2 2 2m = e cos + 2 f sin cos + g sinα α α αα α α αα α α αα α α α

m= f(αααα)e, f, g →→→→ f(eq. carta, P)

Rappresentazioni conformi

Equazioni generali di una rappresentazione conforme

parte reale e parte immaginaria di una funzione F nel campo complesso

x + i y = F (U + i λλλλ )dove: U = latitudine crescente (−−−− ∞∞∞∞ ≤ U ≤ ∞∞∞∞ ) ,λλλλ = longitudine (−−−− ππππ ≤ λλλλ ≤ ππππ )

m dipende solo dal punto P

Cerchio obbiettivo infinitesimo � cerchio subiettivo infinitesimo

Rappresentazione di Gauss

1a condizione [ λλλλ = 0 (meridiano origine) y = 0 (asse x) ]

O(ϕϕϕϕ=0, λλλλ=0) →→→→ O’(x=0,y=0)↓↓↓↓ ↓↓↓↓

Origine coord. geografiche→→→→ Origine coord. piane

2a condizione [ isometria sul meridiano origine (λλλλ = 0) ]

Rappresentazione di GaussPer riassumere:Origine (sull’Equatore) � Origine AssiMeridiano centrale � Asse xEquatore � Asse yInoltre:Paralleli � curve chiuse (simili ad ellissi) concentriche ad un PoloMeridiani � curve chiuse (simili a sinusoidi) passanti per i Poli

La proiezione è detta (impropriamente) CILINDRICA INVERSAPer essa vengono adottate le cosiddette false origini, cioè costantiadditive convenzionali x0 e y0 che hanno lo scopo di renderesempre positive le coordinate piane finali N ed E della zona (fuso)di interesse

N = x + x0

E = y + y0

28

RAPPRESENTAZIONE DI GAUSS

)',(,,,

...)(120

cos)(

6

coscos

...)(720

cos)(

24

cos

2

cos

2

55

33

65

43

2

efDCBA

DN

CN

Ny

BNsen

ANsenNsen

Bx

ϕ

λϕ

λϕ

ϕλ

λϕϕ

λϕϕ

λϕϕ

ϕ

⇒

+++=

++++=

FORMA DEL RETICOLATO GEOGRAFICO

MERIDIANI SIMMETRICI RISPETTO ALL’EQUATORE

PARALLELI SIMMETRICI RISPETTO AL MERIDIANO CENTRALE

x (-λλλλ) = x (λλλλ)y (-λλλλ) = -y (λλλλ)

x (-ϕϕϕϕ) = -x (ϕϕϕϕ)y (-ϕϕϕϕ) = y (ϕϕϕϕ)

29


)',(,,,

...)(120

cos)(

6

coscos

...)(720

cos)(

24

cos

2

cos

2

55

33

65

43

2

efDCBA

DN

CN

Ny

BNsen

ANsenNsen

Bx

ϕ

λϕ

λϕ

ϕλ

λϕϕ

λϕϕ

λϕϕ

ϕ

⇒

+++=

++++=

),(),(

),(),(

'

22

'

11

yxPP

yxPP

−−⇒−−

⇒

λϕ

λϕ SIMMETRIA RISPETTO ALL’ORIGINE

λ = 0 →→→→ y = 0 meridiano origine →→→→ asse xϕϕϕϕ = 0 →→→→ x = 0 equatore →→→→ asse y (ortogonale)

30


)',(,,,

...)(120

cos)(

6

coscos

...)(720

cos)(

24

cos

2

cos

2

55

33

65

43

2

efDCBA

DN

CN

Ny

BNsen

ANsenNsen

Bx

ϕ

λϕ

λϕ

ϕλ

λϕϕ

λϕϕ

λϕϕ

ϕ

⇒

+++=

++++=

ϕϕϕϕ = costante →→→→ x=f(λλλλ), y=f(λλλλ)↓↓↓↓ ↓↓↓↓

Paralleli →→→→ ∼∼∼∼ ellissi

λλλλ = costante →→→→ x=f(ϕϕϕϕ), y=f(ϕϕϕϕ)↓↓↓↓ ↓↓↓↓

Meridiani →→→→ ∼∼∼∼ sinusoidi

Impropriamente cilindrica inversa

31


)',(,,,

...)(120

cos)(

6

coscos

...)(720

cos)(

24

cos

2

cos

2

55

33

65

43

2

efDCBA

DN

CN

Ny

BNsen

ANsenNsen

Bx

ϕ

λϕ

λϕ

ϕλ

λϕϕ

λϕϕ

λϕϕ

ϕ

⇒

+++=

++++=

ϕ <<<< 0 →→→→ x <<<< 0 (sen ϕ)λλλλ <<<< 0 →→→→ y <<<<0 (potenze dispari di λ)

↓↓↓↓N = x + x0E = y + y0

↓↓↓↓N >>>> 0 , E >>>> 0

32


1≥

⇓

≥

≥

m

ry

Bx

λϕ

Rappresentazione di GaussModulo di deformazione lineare

N

y

e

em

ρ

ϕϕλ

21m

piane coordinatein oppure,

cos1

1cos2

1

2

2

2

22

2

+≅

−++≅

Sul meridiano centrale (y = 0 ovvero λλλλ = 0): m = 1 (2a condizione)Altrove: m > 1 ( m cresce con legge quadratica in funzione di y )

Per contenere le deformazioni è necessario limitare in longitudine la zona��

fusi di ampiezza ∆λ∆λ∆λ∆λ = 6° (– 80°<<<< ϕϕϕϕ <<<< + 80°)

Rappresentazione di GaussModulo di deformazione lineare

Per ridurre il valore assoluto della deformazione vieneapplicato un fattore di scala costante m0 alle coordinate x ed y.

Per λλλλ = ±±±± 3°si avrebbe mmax = 1,0008applicando un fattore di scala m0 = 0,9996 , si ottiene mmax =1,0004 (agli estremi del fuso) e mmin = 0,9996 (sul meridianocentrale)

.

0,9996

1

1,0008

+ 3°−−−− 3° λλλλ

m

1,0004

N

y

ρ21m

2

+≅

Rappresentazione di GaussPerché fusi di 6°di ampiezza ? (oggi ormai solo ragioni

storiche)

Motivi:

- il modulo di deformazione cresce con il quadrato della distanza dal meridiano centrale

- gli angoli di riduzione alla corda crescono con la distanza dal meridiano centrale e, se questi sono abbastanza piccoli e le geodetiche non eccessivamente lunghe, tali angoli possono essere trascurati nelle operazioni topografiche di media precisione

- nelle equazioni della carta era utile limitare il numero dei termini dello sviluppo in serie

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PRIMA RAPPRESENTAZIONE CON FINALITÀ GEODETICHE

ADOTTATA DA MOLTI STATI SIA PER LA CARTOGRAFIA CHE PER I CALCOLI GEODETICI

STANDARD? NO!

I DATI SONO ANCORA INCONGRUENTI PER LE DIFFERENZE IN:

- DATUM- AMPIEZZA DEDI FUSI (DA 2°A 6°)

- MERIDIANO CENTRALE- FATTORE DI SCALA (1, 0.9999, 0.9996)

37


ELLISSOIDI DI RIFERIMENTO

38


Applicazioni della rappresentazione di Gauss alla cartografia italiana

1) 1940 – Adozione dell’ellissoide internazionale (Hayford)come riferimento per le operazioni geodetiche ecartografiche sul territorio nazionale (punto diemanazione: Roma M.Mario ; orientamento: M.Soratte): legrandezze misurate sul geoide vengono direttamenteriferite all’ellissoide con deformazioni praticamentetrascurabili

3) 1948 – Adozione della rappresentazione di Gauss per lacartografia con 2 fusi di 6° (con meridiani centrali dilongitudine 9°E e 15°E Greenwich)mmax = 1,0008 e m0 = 0,9996E0 = 1500 km (Fuso Ovest) / 2520 km (Fuso Est)N0 = 01 zona di sovrapposizione

→→→→ Gauss-Boaga

Rappresentazione di Gauss

41


42


Rappresentazione di GaussRappresentazione Universale Trasversa di Mercatore

UTM

- CONFORME- MODULARE �� Fusi identici

STANDARD :- Fusi 6°- m0 = 0,9996- E0 = 500 km- N0 = 0 (Emisfero boreale) / 10000 km (emisfero australe)

RETICOLATO CHILOMETRICO

44


Rappresentazione di Cassini-Soldner Adottata «in passato» dal Catasto italiano

Pone in corrispondenza il sistema di coordinate geodetiche rettangolari sull’ellissoide con il sistema cartesiano ortogonale sul piano

Sull’ellissoideO = (ϕϕϕϕ0 , λλλλ0 ) : origine in un punto baricentrico della zona da

rappresentareP = (ϕϕϕϕ , λλλλ ) : punto da rappresentareP1 = (ϕϕϕϕ1 , λλλλ0) : punto di intersezione della geodetica passante per P e

ortogonale al meridiano per O

Coordinate geodetiche rettangolari di P

XP = OP1

YP = P1P

N

P

O

P1 YP

XP

Rappresentazione di Cassini-SoldnerSul piano cartograficoO’ = immagine di OAsse x = immagine (per definizione) del meridiano per OAsse y = ortogonale all’asse x (a formare un riferimento destrorso)

Formule di corrispondenza (tra geodetiche rettangolari e piane cartesiane)

.

1 P' P

1

P P

P

P

1

P

' P

O'P ' = x = X

P 'P =

x = X

y = Y

y = Y O’

P’

x

y

P1’

xP’

yP’

Rappresentazione di Cassini-Soldner

Il modulo di deformazione lineare è dato dall’espressione (approssimata)

dalla quale si deduce:

> y = 0 �� m = 1 lungo il meridiano centrale

> αααα = ππππ/2 �� m = 1 lungo le geodetiche ortogonali al meridiano centrale

Tuttavia, per y ≠≠≠≠ 0, m>>>>1 e, dunque, larappresentazione non è conforme né equivalente

2 2y cos

m = 1 + 2 N

αααα

ρ ρ ρ ρ

Rappresentazione di Cassini-SoldnerOsservazioni

Su estensioni limitate (circa 70 km) le deformazioni massime risultano contenute entro l’errore di graficismo.Infatti, a 100 km dal meridiano centrale: m ≅≅≅≅ 1,00012 e µµµµ ≅≅≅≅1,00012

La rappresentazione veniva utilizzata ai fini catastali perché il modulo di deformazione superficiale risulta sufficientemente contenuto su estensioni limitate

Alle stesse condizioni, la rappresentazione non risulta troppo “lontana” dalla conformità

Dalla necessità di utilizzare la rappresentazione per estensioni limitate di territorio per limitare le deformazioni segue la caratteristica POLICENTRICA della stessa

Rappresentazione di Cassini-Soldner

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