Elementare Geometrie Vorlesung 4

Markus Rost

15.4.20191

1[17.4.2019: erweiterte Version; 19.4.2019: Korrektur auf S. 15]

Der Schwerpunkt I

Definition

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ∆ = ABC ist der gemeinsameSchnittpunkt der Seitenhalbierenden

S = S(∆) = S(ABC) = AA′ ∩BB′ ∩ CC ′

Hier sind A′, B′, C ′ die Seitenmitten:

A′ =B + C

2(Seitenmitte von a = BC)

B′ =C + A

2(Seitenmitte von b = CA)

C ′ =A + B

2(Seitenmitte von c = AB)

Der Schwerpunkt II

Siehe Ubungsaufgabe 3 (Ubungsblatt 2).

Der Schwerpunkt III

Der Schwerpunkt wird meist geometrisch konstruiert. Man kannden Schwerpunkt auch algebraisch beschreiben.

Satz

Der Punkt

S =A + B + C

3

liegt auf der Seitenhalbierenden AA′ und zerlegt sie im Verhaltnis2 : 1

|AS| = 2|SA′|

Der Schwerpunkt IV

Zum Beweis mussen wir folgende Relation zeigen:

S −A = 2(A′ − S) (1)

Diese besagt ja gerade, daß der Richtungsvektor von A nach S(namlich S −A) genau doppelt so lange ist wie derRichtungsvektor von S nach A′ (namlich A′ − S) und in diegleiche Richtung zeigt.

Bemerkung

Der Richtungsvektor von einem Punkt P zu einem Punkt Q ist derVektor Q− P . Es gilt

Q = P + (Q− P )

Der Schwerpunkt V

Zum Beweis vonS −A = 2(A′ − S) (1)

formulieren wir die Gleichung erst mal um (wir bringen S auf dielinke Seite):

3S = A + 2A′

Diese folgt durch Einsetzen der Gleichungen

S =A + B + C

3oder 3S = A + B + C

A′ =B + C

2oder 2A′ = B + C

Der Schwerpunkt VI

Man kann diese Rechnungen auf zwei Weisen interpretieren.

1 Wir haben uns die Eigenschaften des Schwerpunktesgeometrisch uberlegt. (Etwa wie in der Ubungsaufgabe.)Insbesondere wissen wir schon, daß der Schwerpunkt dieSeitenhalbierenden im Verhaltnis 2 : 1 zerlegt:

Daraus ergibt sich

S −A = 2(A′ − S) (1)

Daraus bekommt man (Rechnung wie oben)

3S = A + 2A′ = A + 2B + C

2= A + B + C

und als Ergebnis eine Formel fur den Schwerpunkt:

S =A + B + C

3

Der Schwerpunkt VII

2 Man definiert einen “neuen” Punkt S durch die Formel

S =A + B + C

3

(Man stelle sich dabei etwa vor, man hatte noch nie etwas voneinem “Schwerpunkt” gehort.)

Der Satz besagt, daß der Punkt S auf der SeitenhalbierendenAA′ liegt.

Nun bleibt S unverandert, wenn man die Dreieckspunktevertauscht (man sagt, S ist symmetrisch in A, B, C).

Daher liegt S auch auf den anderen Seitenhalbierenden undist daher ihr gemeinsamer Schnittpunkt.

Das Zerlegungsverhaltnis 2 : 1 auf allen 3 Seitenhalbierendenbekommt man frei Haus.

Der Schwerpunkt VIII

Verhalten des Schwerpunktes bei Verschiebungen

Wenn man das Dreieck ABC verschiebt (also alle 3 Punkte umden gleichen Vektor v verschiebt), verschiebt sich der Schwerpunktentsprechend mit.

Dies ist klar aus der geometrischen Definition des Schwerpunktes(die Seitenmitten verschieben sich entsprechend, daher auch ihrgemeinsamer Schnittpunkt).

Es ist aber genauso klar aus der algebraischen Formel: DieVerschiebung

A −→ Av = A + v

B −→ Bv = B + v

C −→ Cv = C + v

Der Schwerpunkt IX

ergibt die Verschiebung

S −→ Sv = S + v

denn es gilt

3Sv = Av + Bv + Cv

= (A + v) + (B + v) + (C + v)

= A + B + C + 3v

= 3S + 3v

und daher tatsachlich (nach Division durch 3)

Sv = S + v

Ausblick: Andere Transformationen der Ebene

Wir haben gesehen, daß bei Verschiebungen des Dreiecks derSchwerpunkt sich entsprechend “mitverschiebt”.

Ein ahnliches Verhalten trifft man an bei anderenTransformationen der Ebene. Hier ist eine Liste:

Verschiebungen

Streckungen (von einem fixierten Punkt aus)

Drehungen (um einen fixierten Punkt)

Spiegelungen (an einer Gerade)

Scherungen (entlang einer Geraden)

Bei all diesen Transformationen “wandert” der Schwerpunktentsprechend mit.

Das Seitenmittendreieck A-I

Definition

Das Seitenmittendreieck von ∆ = ABC ist das Dreieck

∆′ = A′B′C ′

auch bezeichnet mit

M(∆) = AMBMCM

dessen Punkte die Seitenmitten des Dreiecks ∆ sind.

AM = A′ =B + C

2(Seitenmitte von a = BC)

BM = B′ =C + A

2(Seitenmitte von b = CA)

CM = C ′ =A + B

2(Seitenmitte von c = AB)

Das Seitenmittendreieck A-II

Das Seitenmittendreieck A-III

Die Konstruktion des Seitenmittendreiecks kann man umkehren:

Dazu betrachtet man durch jeden Punkt des Dreiecks die Parallelezur gegenuberliegenden Seite. Diese Parallelen nenne ich die“Seitenparallelen” des Dreiecks.

Das Seitenmittendreieck A-IV

Definition

Das Parallelendreieck eines Dreiecks ∆ ist das Dreieck

∆ = ABC

auch bezeichnet mit

P(∆) = APBPCP

dessen Seitengeraden die Seitenparallelen von ∆ sind.

Es gelten die Formeln (Beweis kommt gleich)

AP = A = B + C −A (Schnittpunkt der Parallelen durch B, C)

BP = B = C + A−B (Schnittpunkt der Parallelen durch C, A)

CP = C = A + B − C (Schnittpunkt der Parallelen durch A, B)

Das Seitenmittendreieck A-V

Das Seitenmittendreieck A-VI

Satz

In einem Parallelogramm sind gegenuberliegende Seiten(“Gegenseiten”) gleich lang. [Siehe externe Links.]

Daher ist das ursprungliche Dreieck ABC das Seitenmittendreieckdes neuen Dreiecks ABC(= APBPCP ). Genauer:

CACB ist ein Parallelogramm =⇒ |CA| = |BC|BACB ist ein Parallelogramm =⇒ |AB| = |BC|

=⇒ |CA| = |AB|

=⇒ A ist Mitte von CB.

Das Seitenmittendreieck A-VII

Satz

Das Parallelendreieck des Seitenmittendreiecks ist dasursprungliche Dreieck:

P(M(∆)) = ∆

Das Seitenmittendreieck des Parallelendreiecks ist dasursprungliche Dreieck:

M(P(∆)) = ∆

Ich hoffe, diese Formulierung ist klarer als die von letzter Woche:

(∆′) = ∆

(∆)′

= ∆

Das Seitenmittendreieck A-VIII

Das Seitenmittendreieck A-IX

Wie bekommt man die Formeln?

CACB ist ein Parallelogramm =⇒ A− C = C −B.

Bemerkung: Dies ist eine genauere Version der Schlußfolgerung|CA| = |BC| vorher, mit dem gleichen Argument.

Umstellen von A− C = C −B liefert tatsachlich

C = A + B − C

Genauso erhalt man die anderen beiden Gleichungen

A = B + C −A

B = C + A−B

Das Seitenmittendreieck X

Die Dreiecke haben alle den gleichen Schwerpunkt:

S(∆) = S(M(∆)

)= S

(P(∆)

)=

A + B + C

3

mit anderer Notation. . .

S = S′ = S =A + B + C

3

Beweis 1: Geometrisch: Strahlensatze, Kongruenzsatze, o.a.(Ubungsaufgabe. . . ).

Beweis 2: Algebraisch: Einsetzen der Formeln fur A′, B′, C ′, bzw.A, B, C. Man muß nur aufsummieren, siehe ubernachste Seite.

Das Seitenmittendreieck A-XI

Das Seitenmittendreieck A-XII

Algebraische Berechnung der Schwerpunkte (nennerfreieRechnungen):

Fur das Parallelendreieck:

3S = A + B + C

= (B + C −A) + (C + A−B) + (A + B − C)

= A + B + C = 3S

Fur das Mittendreieck:

6S′ = 2A′ + 2B′ + 2C ′

= (B + C) + (C + A) + (A + B)

= 2A + 2B + 2C

= 2(A + B + C) = 2 · 3S = 6S