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7/18/2019 elegir funcion de distribucion adecuada.docx

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ELEGIR UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ADECUADA PARA

EL TRATAMIENTO DE MUESTRAS DE DATOS.

1. INTRODUCCIÓN

Los factores aleatorios afectan todas las áreas de nuestra vida, campos dela ingeniería, los negocios y muchos se esfuerzan en tener éxito, debido al

ambiente altamente competitiva de hoy en día, hay la necesidad de una

herramienta para ocuparse de riesgo e incertidumbre compleja. Usar

distribuciones de probabilidad es una forma cientíca de ocuparse de la

incertidumbre y de esta forma saber tomar decisiones !ue mejoren

nuestra vida cotidiana en diferentes campos.

"in embargo, si usamos una herramienta e!uivocada, obtendremosresultados e!uivocados. "i seleccionamos y aplicamos una distribuci#n

impropia, los subsiguientes cálculos serán incorrectos, y eso ciertamente

dará como resultado decisiones e!uivocadas.

$n la práctica, las distribuciones de probabilidad son aplicadas en diversos

campos tales como la ciencia, análisis de riesgos, inversiones, estudio de

mercado, soporte comercial y de investigaci#n econ#mica, del cliente,

dise%ando productos !uímicos, hidrología, medicamentos, medicina,sociología, demografía etcétera.

&ay muchas distribuciones de probabilidad de los cuales algunos pueden

ajustarse más estrechamente a la frecuencia observada de los datos !ue

otros, dependiendo de las características del fen#meno y de la

distribuci#n. La distribuci#n da un ajuste estrecho se supone !ue llevar a

buenas predicciones.

2. OBJETIVOS$ncontrar en la estadística una herramienta para salir de la incertidumbre.

Usar la estadística para realizar cálculos especícos y aplicar los

resultados para tomar decisiones dentro de varios campos bien fundadas.

$legir la distribuci#n apropiado para predecir la probabilidad o para

pronosticar la frecuencia de aparici#n de la magnitud del fen#meno en un

cierto intervalo.

$studiar un problema real en el campo de la ingeniería civil.

3. MARCO TEÓRICO



La selecci#n de la distribuci#n apropiada depende de la presencia o

ausencia de simetría del conjunto de datos con respecto al valor medio.

Distribui!"#s si$%tri&s

'uando los datos se distribuyen simétricamente alrededor de la media,

mientras !ue la frecuencia de aparici#n de los datos más lejos de la media

disminuye, se puede por ejemplo seleccionar la distribuci#n normal, la

distribuci#n logística o distribuci#n t "tudent. Los dos primeros son muy

similares, mientras !ue el (ltimo, con un grado de libertad, tiene )colas

largas ), !ue signica !ue los valores más lejos de la media se producen

relativamente más a menudo. La distribuci#n de 'auchy es también

simétrica.

P#"'i#"t# '# (& Distribui!"#s & (& '#r#)&

*simetría a iz!uierda y derecha

'uando los valores más grandes tienden a ser más lejos de la media de los

valores más pe!ue%os, uno tiene una distribuci#n de inclinaci#n hacia la

derecha +es decir, existe asimetría positiva, uno puede por ejemplo

seleccionar la distribuci#n log-normal +es decir, los valores de registro de

la los datos se distribuyen normalmente, la distribuci#n log-logística +es

decir, los valores de registro de los datos siguen una distribuci#n logística,

la distribuci#n umbel, la distribuci#n exponencial, la distribuci#n de

/areto, la distribuci#n de 0eibull, o la distribuci#n 1réchet. Los (ltimos tres

distribuciones están acotadas a la iz!uierda.

P#"'i#"t# '# (&s Distribui!"#s & (& i*+ui#r'&

'uando los valores más pe!ue%os tienden a ser más lejos de la media de

los valores más grandes, uno tiene una distribuci#n de inclinaci#n a la

iz!uierda +es decir, existe asimetría negativa, uno puede por ejemplo

seleccionar la distribuci#n normal-cuadrado +es decir, la distribuci#n

normal aplicada a la plaza de los valores de los datos, el +re2ejado

distribuci#n umbel invertida, o la distribuci#n de ompertz, !ue está

limitada a la iz!uierda.



T%"i&s '# s#(#i," '# (& !rr#t& Distribui,"

$xisten las siguientes técnicas3

M%t!'!s -&r&$%tri!s, por el cual los parámetros de la distribuci#n se

calculan a partir de la serie de datos, estos son3

4étodo de los momentos

4étodo de la L-momentos

4étodo de máxima verosimilitud

M%t!'! '# r#r#si,"/ utilizando una transformaci#n de la funci#n de

distribuci#n acumulada de modo !ue una relaci#n lineal se encuentra

entre la probabilidad acumulada y los valores de los datos, !ue también

pueden necesitar ser transformado, en funci#n de la distribuci#n deprobabilidad seleccionado. $n este método, la probabilidad acumulada

tiene !ue ser estimado por la posici#n de trazado.

*lgunas distribuciones de probabilidad, como la exponencial, soportan los

valores de datos 5 !ue sea igual o menor a cero. "in embargo, cuando los

datos negativos están presentes, tales distribuciones pueden todavía ser

utilizados haciendo una sustituci#n de 5 por 675-5m donde 5m es

minimo valor de 5. $ste reemplazo representa un cambio de la distribuci#nde probabilidad en direcci#n positiva, es decir, a la derecha, por!ue 5 es

negativo. 8espués de completar el cambio de distribuci#n de 6, los

correspondientes valores de x se encuentran desde 5 7 6 9 5m, !ue

representa una copia de cambio de la distribuci#n en direcci#n negativa,

es decir, hacia la iz!uierda.

La técnica de desplazamiento de la distribuci#n aumenta la oportunidad

de encontrar una distribuci#n de probabilidad adecuadamente apropiado.



M%t!'! r&0!

$l *nálisis exploratorio de datos puede ser el primer paso, empezar con la

estadística descriptiva +media, desviaci#n estándar y el uso de técnicas

grácas +histogramas, estimaci#n de densidad !ue puede sugerir el tipo

de Fu"i," '# Distribui," '# Pr!b&bi(i'&' a utilizar para ajustar el

modelo

/odemos obtener muestras de algunos FDP +como auss, /oisson,

0eibull, gamma, etc. utilizando programas informáticos como : y

después dibujar un histograma de estos datos.

/ero los grácos podrían ser bastante subjetiva



. RESULTADOS.1 I'#"ti0&i," '# (& 'istribui," '# sus '&t!s.

$n el siguiente graco se puede observar c#mo se comportan los puntos

de la muestra y al ser numerosos no tienen una forma para de forma

tentativa elegir a!uella u otra distribuci#n, por este motivo se deberealizar los procesos anteriores descritos para encontrar una distribuci#n

!ue mejor se ajuste

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'audales maximos por a%o+mE@Fs,

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#ibu(( & (& I"#"i#r4& Ci5i(

Una de las principales aplicaciones se llama Distribui," '# V&(!r

E6tr#$! !ue se utiliza en el campo de la hidrología, con la !ue se trata

de pronosticar el periodo de retorno para valores máximos deprecipitaciones o se!uias.

Los valores extremos son valores máximos o mínimos seleccionados de

conjuntos de datos, como por ejemplo el caudal máximo anual en un

lugar dado es el mayor caudal registrado durante un a%o y los valores de

caudal máximo anual para cada ano de registro hist#rico conforman un

conjunto de valores extremos !ue puede analizarse estadísticamente.

"eg(n Fis)#r TI--#tt han demostrado !ue las distribuciones de valoresextremos seleccionados de conjuntos de muestras de cual!uier

distribuci#n de probabilidad convergen en una de las @ formas de

distribuciones de valor extremo, llamadas tipo G, GG, GGG respectivamente,

cuando el n(mero de valores seleccionados es grande.

Las propiedades de las tres formas limitantes fueron desarrolladas en

mayor detalle por umbel +;<A; para la distribuci#n de Halor $xtremo

tipo G +$HG, por 1rechet +;<?C para la distribuci#n de valor extremo tipo GG

+$HGG y por 0eibull +;<@< para la distribuci#n de valor extremo tipo GGG

+$HGGG.

Iambién existe una forma general desarrollada por JenKinson +;<BB y

demostr# !ue estas tres formas limitantes eran casos especiales de una

distribuci#n (nica llamada la 8istribuci#n de Halor $xtremo eneral +$H,

donde3

La funci#n de distribuci#n

de probabilidad es

,

8onde k, u y α son parámetros que deben ser determinados.

Los 3 casos limitantes son:

1. Para k=0 , $HG y

2. Para k<0, $HGG

, se aplica con u! α"k# $

% $&

,

3. Para k'0, ()***

, se aplica + &$ % $ u!

α"k#

(n todos los 3 casos se supone que α es positio



GUMBEL 7ti-! I8

8iremos !ue una variable aleatoria continua, !ue toma cual!uier valor

real, sigue una distribuci#n de umbel de

parámetros y - si su

Función de densidad es:

o tambi/n

$n la gráca se observa c#mo se comporta la funci#n de

densidad



Fu"i," '# Distribui,"

Es-#r&"*& M&t#$9ti&

8onde c es la constante de $uler cuyo valor aproximado

es =0.21

4 de esta e%presi5n tenemos que u=¿ ++0.21"α

7 media aritmética de la serie de datos considerados.

V&ri&"*&

8e esta expresi#n tenemos !ue α = Π

s x∗√ 6

8onde "x 7 desviaci#n típica de la muestra de datos considerados.

D#t#r$i"&i," '# (& Pr!b&bi(i'&'

/ara conseguir denir la probabilidad implícita es preciso consignar dos

conceptos previos, !ue son el período de retorno y la probabilidad de

excedencia.

Per6odo de 7etorno3 se dene como el tiempo !ue transcurre entre dos

sucesos iguales. "ea ese tiempo, I.

Probabilidad de (%cedencia: es la probabilidad asociada al período de

retorno.

*si

$n otras palabras, la probabilidad de !ue la

variable aleatoria tome un valor igual o inferior a cierto n(mero 5, está

dado por la funci#n de distribuci#n de probabilidad 1 +5.

Luego, la probabilidad de !ue x sea mayor !ue 5 está dada por la funci#n

complementaria.

D# '!"'# t#"#$!s +u#

T =1

1− F ( x )

D# '!"'# +u#'& '#0"i'& T !$! -#ri!'! '# r#t!r"! #" &:!s

P#ri!'! '# r#t!r"!; T =1

1− F ( x )

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α

A-(i&i,";

* continuaci#n calcularemos con los datos de una estaci#n hidrol#gica elperiodo de retorno para un caudal !ue nosotros !ueramos saber. Ienemoslos datos hist#ricos de caudal en mE@Fs. y aplicaremos a los valores

máximos para saber el periodo de retorno de un caudal mayor a los de lasmediciones.

INSTITUTO NACIONAL DE METEROLOG<A E =IDROLOG<A

SERIES DE DATOS =IDROLÓGICOS

CAUDALES MEDIOS MENSUALES 7 $>3 ?s8NOMBRE;

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8e esta serie de datos calculamos los siguientes parámetros con lasexpresiones explicadas anteriormente y aplicaremos la 8istribuci#numbel

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'on los parámetros ya obtenidos nuestra funci#n de 8istribuci#n nos!ueda de la siguiente forma3

F ( x )=e−e

−0,082( x−11,17)



6 la funci#n de densidad f+x

*hoca calcularemos el caudal para diferentes periodos de tiempo I con la

siguiente expresi#n deducida anteriormente.

x=u−ln (−lnF ( x ) )

α

I+a%os 1+x x+mE@Fs

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