Eldin Ch10
-
Upload
hamshira-azizah -
Category
Documents
-
view
95 -
download
3
description
Transcript of Eldin Ch10
Potensial dan Medan
Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Chapter 10
Persamaan Maxwell
• Dicari bentuk umum persamaan Maxwell untuk sistem non statik (yaitu sistem yang bergantung pada waktu), khususnya:
dan
0
1.E
��������������
. 0B ��������������
BE
t
����������������������������
0 0 0
EB J
t
������������������������������������������
( , )E r t����������������������������
( , )B r t����������������������������
• Dalam elektrostatika: • Dalam magnetostatika:
0E ��������������
E V ��������������
0B ��������������
B A����������������������������
( )E At
����������������������������
( ) 0A
Et
����������������������������
AE V
t
����������������������������
AE V
t
����������������������������
• Karena
maka:
0
1E
��������������
2
0
1( )V A
t
��������������
2
0 0 0 0 0 2( ) ( ) ( )
V AA J
t t
������������������������������������������
• Dari hubungan:
didapatkan:
2( ) ( )A A A ������������������������������������������
22
0 0 0 0 02( ) ( )
A VA A J
t t
��������������������������������������������������������
Contoh soal (contoh 10.1 dari Buku Griffiths, hal 417):
• Tentukan distribusi muatan dan aruss yang dapat menghasilkan potensial skalar dan potensial vektor berikut.
di mana: k adalah tetapan, dan
Penyelesaian: Pertama ditentukan medan listrik dan medan magnetik.
20 ( ) , untuk0, 4
0, untuk
kct x z x ct
V A cx ct
��������������
0 01c
0 ( )2
kAE ct x z
t
����������������������������
Tanda + adalah untuk daerah x > 0, dan tanda (-) untuk daerah x < 0. Hasil ini adalah untuk x < 0. Sedang untuk x > 0, .
Hasil lainnya:
20 0( ) ( )4 2
k kB A ct x y ct x y
c x c
����������������������������
0E B ����������������������������
0 0
0 0
0, 0
,2 2
,2 2
E B
k kcEE y z
t
k kBB z y
c t
����������������������������
����������������������������
����������������������������
Gauge Transformation• Berbagai syarat dapat dikenakan pada V dan A
sepanjang syarat itu tidak memperngaruhi E dan B.
• Misalkan, terdapat pasangan potensial (V, A) dan (V’, A’), yang berkaitan dengan medan listrik dan medan magnetik yang sama.
• Misalkan:
dan• Karena kedua A memberikan B yang sama, maka
'A A ������������������������������������������
'V V
Sehingga:Kedua potensial juga memberikan medan listrik yang sama. Sehingga:
Atau:
• Persamaan terakhir ini memberikan solusi:
• Atau hanya:• Jadi:
0 ��������������
��������������
0t
��������������
( ) 0t
( )k tt
t
'A A �������������� ��������������
'V Vt
Coulomb Gauge• Dalam Coulomb gauge, diambil:
Sehingga diperoleh:Dengan penyelesaian:
Selanjutnya, diperoleh hubungan:
0A ��������������
2
0
1V
0
1 ( ', )( , ) '
4
r tV r t d
s
22
0 0 0 0 02( )
A VA J
t t
������������������������������������������
Lorentz Gauge
• Dalam tera Lorentz ini diambil:sehingga didapatkan:
dan
Jika dituliskan maka didapatkan persamaan yang serupa, yaitu: dan
0 0
VA
t
��������������
22
0 0 02
AA J
t
������������������������������������������
22
0 0 20
1VV
t
22 2
0 0 2t
2
0
1V
2
0A J����������������������������
Sebaran Malar
1. Potensial Tertunda:Persamaan di atas, dalam sistem statik, berubah menjadi:
dan
dengan penyelesaian:
dan
0
1 ( ')( ) '
4
rV r d
s
0 ( ')( ) '
4
J rA r d
����������������������������
����������������������������
s
2
0
1V
2
0A J ����������������������������
• Untuk waktu tunda (retarded time):maka
dan
dengan
adalah rapat muatan di titik r’ pada waktu tertunda tr.
Kedua persamaan di atas disebut potensial tunda (retarded potential).
r
st t
c
0
( ', )1( , ) '
4rr t
V r t d
s
0 ( ', )( , ) '
4rJ r t
A r t d
����������������������������
����������������������������
s
's r r
( ', )rr t��������������
• Untuk menghitung harus diingat tentang ketergantungan terhadap vektor posisi pada s dan tr.
• Karena: dan maka
Vr
0
1 1 1'
4V d
s s
1rt s
c
ˆs s 2ˆ1 s s s
20
ˆ ˆ1'
4
s sV d
c s s
• Catatan: r’ adalah vektor posisi elemen sumber ( ) dan s adalah posisi titik medan yang ditinjau (P) terhadap titik sumber.
s
'r
r'd
P
O
'd
• Selanjutnya didapatkan:
• Karena hubungan2 berikut:
, ,
persamaan di atas dapat diubah lagi menjadi:
22 2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1'
4
s s s sV d
c s s s s
1 1s s
c c
2
1s
s s
3
24 ( )
ss
s
22 3
2 2 20 0
1 1 1 14 ( ) ' ( , )
4
VV s d r t
c s c t
• Catatan: Suku kedua dan ketiga saling menghapuskan, karena:
• dan
Contoh Soal:Konduktor lurus tak hingga panjang berarus listrik menurut persamaan:
Tentukan medan listrik dan medan magnetik yang timbul, jika konduktor itu netral (tidak bermuatan listrik)
2
1 1s
c s c s
2 2 2
1s ss
s s c c s
0
0, untuk 0( )
, untuk 0
tI t
I t
Penyelesaian
• Untuk rambatan medan belum tiba di titik P, dan karenanya potensial di P sama dengan nol. Untuk , maka kontribusi datang dari bagian konduktor di mana
• Sehingga:
P
z
r
sdz
I
0 ( )( , )
4rI t
A r t z dzs
����������������������������
t r c
t r c
2 2( )z ct r
2 2( )
0 0
2 20
( , ) ( ) 24
ct rI dz
A r t zr z
��������������
• Dan, diperoleh:
2 2( )
2 20 0
0
2 20 0
( , ) ( ) ln2
( )( ) ln
2
ct rIA r t z r z z
ct ct rIz
r
��������������
0 0
2 2( , )
2 ( )
I cAE r t
t ct r
����������������������������
0 0
2 22 ( )z IA ct
B Ar r ct r
����������������������������
• Catatan: untuk waktu maka dan
• Soal:1. Tentukan dan jika 2. Tentukan dan jika
t 0E ��������������
0 0( 2 )B I s
��������������
E��������������
B��������������
I k tE��������������
B��������������
0 ( )I q t
Muatan Titik:Potensial Lienard-Wiechert• Akan dirumuskan potensial2 yang timbul akibat adanya
muatan titik q yang bergerak melalui lintasan tertentu, di mana posisi partrikel pada waktu t diberikan oleh , yang untuk disebut posisi tertunda (retarded position).
• Jarak dari posisi tunda ke titik medan yang ditinjau adalah s, di mana:
• Pada setiap saat, hanya terdapat satu titik pada lintasan yang sedang ‘berkomunikasi’ dengan , dan hanya satu titik tunda yang berkontribusi pada terbentuknya potensial di titik P.
( )w t
( ) ( )r rr w t c t t ������������� �
( )rs r w t ������������� �
r
rw t��������������
• Potensial:
• Tapi potensial pada keadaan statik tidaklah sama dengan
x
y
z
q
( )rw t�������������� s
P
r
0
',1, '
4
rr tV r t d
s
0
1
4
qV r
s
• Waktu tunda mengharuskan kita untuk menghitung hasil
dari waktu ke waktu, karena jika muatan itu bergerak hasil integral dari rapat muatan itu tidak selalu sama dengan nilai muatan titik q.
• Muatan titik didefinisikan sebagai muatan terdistribusi dalam suatu volume, dengan volume itu menyusut mendekati nol
• Untuk muatan terdistribusi, betapapun kecilnya volume, maka haruslah berlaku persamaan yang melibatkan faktor , dengan
adalah kecepatan gerak partikel pada waktu tunda, sehingga didapatkan
( , ) '1
r
qr t d
s v c
1(1 )r v c
v
• Selnajutnya didapatkan potensial skalar dan potensial vektor:
• dan
atau
0
1( , )
4 ( )
qcV r t
rc s v
0
0
( ', ) ( )( , ) '
4
( ', ) '4
r r
r
r t v tA r t d
s
vr t d
s
����������������������������
02
( , ) ( , )4 ( )
qc v vA r t V r t
csc s v
������������������������������������������
Contoh:• Tentukan potensial dari muatan titik yang bergerak
menurutkan lintasan • Penyelesaian:
• Selanjutnya dapat diperoleh:
• Dari tanda hanya tanda mins yang digunakan.
( )w t v t����������������������������
( ) ( )r r rr w t r v t c t t ��������������������������������������� ���
2 2 2 2 2 22 ( 2 )r r r rr r v t v t c t t t t
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )( )r
c t r v c t r v c v r c tt
c v
• Selanjutnya:
• dan
• Diperoleh:
( ) ,( )
rr
r
r v ts c t t s
c t t
2
2 2 2 2 2 2 2
( )(1 ) ( ) 1
( )
( )
1( ) ( )( )
rr
r
r r
r v tvs s v c c t t
c c t t
v r vc t t t
c c
c t r v c v r c tc
2 2 2 2 2 2 20
1( , )
4 ( ) ( )( )
qcV r t
c t r v c v r c t
0
2 2 2 2 2 2 2( , )
4 ( ) ( )( )
qc vA r t
c t r v c v r c t
����������������������������