Eldin Ch10

26
Potensial dan Medan Griffiths, Introduction to Electrodynamics , Chapter 10

description

elektrodinamika

Transcript of Eldin Ch10

Page 1: Eldin Ch10

Potensial dan Medan

Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Chapter 10

Page 2: Eldin Ch10

Persamaan Maxwell

• Dicari bentuk umum persamaan Maxwell untuk sistem non statik (yaitu sistem yang bergantung pada waktu), khususnya:

dan

0

1.E

��������������

. 0B ��������������

BE

t

����������������������������

0 0 0

EB J

t

������������������������������������������

( , )E r t����������������������������

( , )B r t����������������������������

Page 3: Eldin Ch10

• Dalam elektrostatika: • Dalam magnetostatika:

0E ��������������

E V ��������������

0B ��������������

B A����������������������������

( )E At

����������������������������

( ) 0A

Et

����������������������������

AE V

t

����������������������������

AE V

t

����������������������������

Page 4: Eldin Ch10

• Karena

maka:

0

1E

��������������

2

0

1( )V A

t

��������������

2

0 0 0 0 0 2( ) ( ) ( )

V AA J

t t

������������������������������������������

Page 5: Eldin Ch10

• Dari hubungan:

didapatkan:

2( ) ( )A A A ������������������������������������������

22

0 0 0 0 02( ) ( )

A VA A J

t t

��������������������������������������������������������

Page 6: Eldin Ch10

Contoh soal (contoh 10.1 dari Buku Griffiths, hal 417):

• Tentukan distribusi muatan dan aruss yang dapat menghasilkan potensial skalar dan potensial vektor berikut.

di mana: k adalah tetapan, dan

Penyelesaian: Pertama ditentukan medan listrik dan medan magnetik.

20 ( ) , untuk0, 4

0, untuk

kct x z x ct

V A cx ct

��������������

0 01c

0 ( )2

kAE ct x z

t

����������������������������

Page 7: Eldin Ch10

Tanda + adalah untuk daerah x > 0, dan tanda (-) untuk daerah x < 0. Hasil ini adalah untuk x < 0. Sedang untuk x > 0, .

Hasil lainnya:

20 0( ) ( )4 2

k kB A ct x y ct x y

c x c

����������������������������

0E B ����������������������������

0 0

0 0

0, 0

,2 2

,2 2

E B

k kcEE y z

t

k kBB z y

c t

����������������������������

����������������������������

����������������������������

Page 8: Eldin Ch10

Gauge Transformation• Berbagai syarat dapat dikenakan pada V dan A

sepanjang syarat itu tidak memperngaruhi E dan B.

• Misalkan, terdapat pasangan potensial (V, A) dan (V’, A’), yang berkaitan dengan medan listrik dan medan magnetik yang sama.

• Misalkan:

dan• Karena kedua A memberikan B yang sama, maka

'A A ������������������������������������������

'V V

Page 9: Eldin Ch10

Sehingga:Kedua potensial juga memberikan medan listrik yang sama. Sehingga:

Atau:

• Persamaan terakhir ini memberikan solusi:

• Atau hanya:• Jadi:

0 ��������������

��������������

0t

��������������

( ) 0t

( )k tt

t

'A A �������������� ��������������

'V Vt

Page 10: Eldin Ch10

Coulomb Gauge• Dalam Coulomb gauge, diambil:

Sehingga diperoleh:Dengan penyelesaian:

Selanjutnya, diperoleh hubungan:

0A ��������������

2

0

1V

0

1 ( ', )( , ) '

4

r tV r t d

s

22

0 0 0 0 02( )

A VA J

t t

������������������������������������������

Page 11: Eldin Ch10

Lorentz Gauge

• Dalam tera Lorentz ini diambil:sehingga didapatkan:

dan

Jika dituliskan maka didapatkan persamaan yang serupa, yaitu: dan

0 0

VA

t

��������������

22

0 0 02

AA J

t

������������������������������������������

22

0 0 20

1VV

t

22 2

0 0 2t

2

0

1V

2

0A J����������������������������

Page 12: Eldin Ch10

Sebaran Malar

1. Potensial Tertunda:Persamaan di atas, dalam sistem statik, berubah menjadi:

dan

dengan penyelesaian:

dan

0

1 ( ')( ) '

4

rV r d

s

0 ( ')( ) '

4

J rA r d

����������������������������

����������������������������

s

2

0

1V

2

0A J ����������������������������

Page 13: Eldin Ch10

• Untuk waktu tunda (retarded time):maka

dan

dengan

adalah rapat muatan di titik r’ pada waktu tertunda tr.

Kedua persamaan di atas disebut potensial tunda (retarded potential).

r

st t

c

0

( ', )1( , ) '

4rr t

V r t d

s

0 ( ', )( , ) '

4rJ r t

A r t d

����������������������������

����������������������������

s

's r r

( ', )rr t��������������

Page 14: Eldin Ch10

• Untuk menghitung harus diingat tentang ketergantungan terhadap vektor posisi pada s dan tr.

• Karena: dan maka

Vr

0

1 1 1'

4V d

s s

1rt s

c

ˆs s 2ˆ1 s s s

20

ˆ ˆ1'

4

s sV d

c s s

Page 15: Eldin Ch10

• Catatan: r’ adalah vektor posisi elemen sumber ( ) dan s adalah posisi titik medan yang ditinjau (P) terhadap titik sumber.

s

'r

r'd

P

O

'd

Page 16: Eldin Ch10

• Selanjutnya didapatkan:

• Karena hubungan2 berikut:

, ,

persamaan di atas dapat diubah lagi menjadi:

22 2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1'

4

s s s sV d

c s s s s

1 1s s

c c

2

1s

s s

3

24 ( )

ss

s

22 3

2 2 20 0

1 1 1 14 ( ) ' ( , )

4

VV s d r t

c s c t

Page 17: Eldin Ch10

• Catatan: Suku kedua dan ketiga saling menghapuskan, karena:

• dan

Contoh Soal:Konduktor lurus tak hingga panjang berarus listrik menurut persamaan:

Tentukan medan listrik dan medan magnetik yang timbul, jika konduktor itu netral (tidak bermuatan listrik)

2

1 1s

c s c s

2 2 2

1s ss

s s c c s

0

0, untuk 0( )

, untuk 0

tI t

I t

Page 18: Eldin Ch10

Penyelesaian

• Untuk rambatan medan belum tiba di titik P, dan karenanya potensial di P sama dengan nol. Untuk , maka kontribusi datang dari bagian konduktor di mana

• Sehingga:

P

z

r

sdz

I

0 ( )( , )

4rI t

A r t z dzs

����������������������������

t r c

t r c

2 2( )z ct r

2 2( )

0 0

2 20

( , ) ( ) 24

ct rI dz

A r t zr z

��������������

Page 19: Eldin Ch10

• Dan, diperoleh:

2 2( )

2 20 0

0

2 20 0

( , ) ( ) ln2

( )( ) ln

2

ct rIA r t z r z z

ct ct rIz

r

��������������

0 0

2 2( , )

2 ( )

I cAE r t

t ct r

����������������������������

0 0

2 22 ( )z IA ct

B Ar r ct r

����������������������������

Page 20: Eldin Ch10

• Catatan: untuk waktu maka dan

• Soal:1. Tentukan dan jika 2. Tentukan dan jika

t 0E ��������������

0 0( 2 )B I s

��������������

E��������������

B��������������

I k tE��������������

B��������������

0 ( )I q t

Page 21: Eldin Ch10

Muatan Titik:Potensial Lienard-Wiechert• Akan dirumuskan potensial2 yang timbul akibat adanya

muatan titik q yang bergerak melalui lintasan tertentu, di mana posisi partrikel pada waktu t diberikan oleh , yang untuk disebut posisi tertunda (retarded position).

• Jarak dari posisi tunda ke titik medan yang ditinjau adalah s, di mana:

• Pada setiap saat, hanya terdapat satu titik pada lintasan yang sedang ‘berkomunikasi’ dengan , dan hanya satu titik tunda yang berkontribusi pada terbentuknya potensial di titik P.

( )w t

( ) ( )r rr w t c t t ������������� �

( )rs r w t ������������� �

r

rw t��������������

Page 22: Eldin Ch10

• Potensial:

• Tapi potensial pada keadaan statik tidaklah sama dengan

x

y

z

q

( )rw t�������������� s

P

r

0

',1, '

4

rr tV r t d

s

0

1

4

qV r

s

Page 23: Eldin Ch10

• Waktu tunda mengharuskan kita untuk menghitung hasil

dari waktu ke waktu, karena jika muatan itu bergerak hasil integral dari rapat muatan itu tidak selalu sama dengan nilai muatan titik q.

• Muatan titik didefinisikan sebagai muatan terdistribusi dalam suatu volume, dengan volume itu menyusut mendekati nol

• Untuk muatan terdistribusi, betapapun kecilnya volume, maka haruslah berlaku persamaan yang melibatkan faktor , dengan

adalah kecepatan gerak partikel pada waktu tunda, sehingga didapatkan

( , ) '1

r

qr t d

s v c

1(1 )r v c

v

Page 24: Eldin Ch10

• Selnajutnya didapatkan potensial skalar dan potensial vektor:

• dan

atau

0

1( , )

4 ( )

qcV r t

rc s v

0

0

( ', ) ( )( , ) '

4

( ', ) '4

r r

r

r t v tA r t d

s

vr t d

s

����������������������������

02

( , ) ( , )4 ( )

qc v vA r t V r t

csc s v

������������������������������������������

Page 25: Eldin Ch10

Contoh:• Tentukan potensial dari muatan titik yang bergerak

menurutkan lintasan • Penyelesaian:

• Selanjutnya dapat diperoleh:

• Dari tanda hanya tanda mins yang digunakan.

( )w t v t����������������������������

( ) ( )r r rr w t r v t c t t ��������������������������������������� ���

2 2 2 2 2 22 ( 2 )r r r rr r v t v t c t t t t

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( ) ( ) ( )( )r

c t r v c t r v c v r c tt

c v

Page 26: Eldin Ch10

• Selanjutnya:

• dan

• Diperoleh:

( ) ,( )

rr

r

r v ts c t t s

c t t

2

2 2 2 2 2 2 2

( )(1 ) ( ) 1

( )

( )

1( ) ( )( )

rr

r

r r

r v tvs s v c c t t

c c t t

v r vc t t t

c c

c t r v c v r c tc

2 2 2 2 2 2 20

1( , )

4 ( ) ( )( )

qcV r t

c t r v c v r c t

0

2 2 2 2 2 2 2( , )

4 ( ) ( )( )

qc vA r t

c t r v c v r c t

����������������������������