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Contenido
El teorema del punto fijo
B. Cascales
Universidad de Murciahttp://webs.um.es/beca
Murcia, 26 de Febrero de 2009Seminario del Departamento de Matemáticas
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Contenido
Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad nonos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda unateoría.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Contenido
Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad nonos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda unateoría.
. . . la importancia de una teoría la da. . .
la historia,
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Contenido
Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad nonos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda unateoría.
. . . la importancia de una teoría la da. . .
la historia,
la estética y profundidad de los resultados que conectanhipótesis contrastables con tesis sorprendentes (lejanasde las hipótesis!),
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Contenido
Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad nonos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda unateoría.
. . . la importancia de una teoría la da. . .
la historia,
la estética y profundidad de los resultados que conectanhipótesis contrastables con tesis sorprendentes (lejanasde las hipótesis!),
la contundencia y abundancia de las aplicaciones a áreasdiversas,
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Contenido
Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad nonos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda unateoría.
. . . la importancia de una teoría la da. . .
la historia,
la estética y profundidad de los resultados que conectanhipótesis contrastables con tesis sorprendentes (lejanasde las hipótesis!),
la contundencia y abundancia de las aplicaciones a áreasdiversas,
durante cuanto tiempo está viva la teoría.
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Contenido
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Preliminares
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Notación y definiciones
Notación
D es un conjunto.
f : D → D es una aplicación.
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Notación y definiciones
Notación
D es un conjunto.
f : D → D es una aplicación.
¿Qué es un punto fijo?
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Notación y definiciones
Notación
D es un conjunto.
f : D → D es una aplicación.
¿Qué es un punto fijo?
Es un punto x0 ∈ D que satisface f (x0) = x0
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Notación y definiciones
Notación
D es un conjunto.
f : D → D es una aplicación.
¿Qué es un punto fijo?
Es un punto x0 ∈ D que satisface f (x0) = x0
¿Qué se busca en un teorema del punto fijo?
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Notación y definiciones
Notación
D es un conjunto.
f : D → D es una aplicación.
¿Qué es un punto fijo?
Es un punto x0 ∈ D que satisface f (x0) = x0
¿Qué se busca en un teorema del punto fijo?
condiciones en D, f que garantizan la existencia de x0;
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Notación y definiciones
Notación
D es un conjunto.
f : D → D es una aplicación.
¿Qué es un punto fijo?
Es un punto x0 ∈ D que satisface f (x0) = x0
¿Qué se busca en un teorema del punto fijo?
condiciones en D, f que garantizan la existencia de x0;
condiciones que garantizan (si es posible) unicidad.
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¿Existen siempre puntos fijos?
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¿Existen siempre puntos fijos?
a
b
a b
b
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Funciones con puntos fijos
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Funciones con puntos fijos
a
b
a b
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a
b
a b
f : [a, b] → [a, b] continua:
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a
b
a b
f : [a, b] → [a, b] continua:
1 f (x) = x ⇔ 0 = x − f (x) =: g(x);
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a
b
a b
f : [a, b] → [a, b] continua:
1 f (x) = x ⇔ 0 = x − f (x) =: g(x);
2 g(a) ≤ 0 y g(b) ≥ 0;
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a
b
a b
f : [a, b] → [a, b] continua:
1 f (x) = x ⇔ 0 = x − f (x) =: g(x);
2 g(a) ≤ 0 y g(b) ≥ 0;
3 utilizamos el Teorema de Bolzano;
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a bc
f : [a, b] → [a, b] continua:
1 f (x) = x ⇔ 0 = x − f (x) =: g(x);
2 g(a) ≤ 0 y g(b) ≥ 0;
3 utilizamos el Teorema de Bolzano;
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f : [a, b] → [a, b] continua:
1 f (x) = x ⇔ 0 = x − f (x) =: g(x);
2 g(a) ≤ 0 y g(b) ≥ 0;
3 utilizamos el Teorema de Bolzano;
4 i.e. g lleva intervalos a intervalos;
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f : [a, b] → [a, b] continua:
1 f (x) = x ⇔ 0 = x − f (x) =: g(x);
2 g(a) ≤ 0 y g(b) ≥ 0;
3 utilizamos el Teorema de Bolzano;
4 i.e. g lleva intervalos a intervalos;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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f : [a, b] → [a, b] continua:
1 f (x) = x ⇔ 0 = x − f (x) =: g(x);
2 g(a) ≤ 0 y g(b) ≥ 0;
3 utilizamos el Teorema de Bolzano;
4 i.e. g lleva intervalos a intervalos;
Esencial
f es continua;
[a, b] es convexo y compacto.
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f : [a,+∞) → [a,+∞) continua ¿Tiene punto fijo?
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f : [a,+∞) → [a,+∞) continua ¿Tiene punto fijo?
a
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
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¿Por qué f : [a,+∞) → [a,+∞) puede no tener punto fijo?
a
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¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
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a
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¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
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1 ¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
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1 ¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
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1 ¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;
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1 ¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;
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1 ¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;
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![Page 87: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/87.jpg)
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1 ¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;
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![Page 88: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/88.jpg)
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1 ¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;
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![Page 89: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/89.jpg)
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1 ¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;
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1 ¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;x = limnxn ⇒ x = f (x)!.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;x = limnxn ⇒ x = f (x)!.
5 Ejercicio
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;x = limnxn ⇒ x = f (x)!.
5 Ejercicio
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 12
(
x + 2x
)
32
1 √2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 105: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/105.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 106: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/106.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 107: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/107.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 108: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/108.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 109: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/109.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 110: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/110.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 111: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/111.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 112: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/112.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 113: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/113.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 114: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/114.jpg)
Punto fijo de f (x) = 1x+ 1
2
0,5
1 b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 115: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/115.jpg)
¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;x = limnxn ⇒ x = f (x)!.
5 Ejercicio
B. Cascales El teorema del punto fijo
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¿f : [a, +∞) → [a, +∞) punto fijo?
1 impedir que |f ′(x)| ≈ 1;
2 obligar |f ′(x)| ≤ M < 1 para todo x ;
3 i.e. |f (x) − f (y)| ≤ M|x − y | paratodo x , y ;
4 La hipótesis de arriba implica que six0 ∈ [a, +∞) entonces:
x1 = f (x0), . . . , xn+1 =f (xn), . . . es de Cauchy;x = limnxn ⇒ x = f (x)!.
5 Ejercicio
Esencial
Sucesiones de Cauchy ≡convergentes;
0 ≤ M < 1 ⇒∑∞
n=0 Mn = 11−M ;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Métrica y puntos fijos:Banach (1922)
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Principio de Contracción de Banach
M un espacio con una métrica d .
T : M −→ M es lipschitziana si existe un k ≥ 0 tal que,para todos x , y ∈ M,
d(Tx , Ty) ≤ kd(x , y).
T : M −→ M contractiva≡lipschitziana y k < 1.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Principio de Contracción de Banach
M un espacio con una métrica d .
T : M −→ M es lipschitziana si existe un k ≥ 0 tal que,para todos x , y ∈ M,
d(Tx , Ty) ≤ kd(x , y).
T : M −→ M contractiva≡lipschitziana y k < 1.
Principio de Contracción de Banach
Sean (M, d) un espacio métrico completo y T : M −→ M unacontracción. Entonces, T tiene un único punto fijo en M, y paracada x0 ∈ M, la sucesión de iteradas (T nx0)n converge a dichopunto fijo.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Principio de la Contracción
Sean (M, d) un espacio métricocompleto y T : M −→ M unacontracción. Entonces, T tieneun único punto fijo en M, y paracada x0 ∈ M, la sucesión deiteradas (T nx0)n converge adicho punto fijo.
Demostración.-
Para x0 ∈ M definimos la sucesióniterativa (xn)n dada por xn+1 = Txn.Para n, p ∈ N,
d(xn, xn+p) ≤ kn(
1 − kp
1 − k
)
d(x0, Tx0).
(xn)n es de Cauchy
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Principio de la Contracción
Sean (M, d) un espacio métricocompleto y T : M −→ M unacontracción. Entonces, T tieneun único punto fijo en M, y paracada x0 ∈ M, la sucesión deiteradas (T nx0)n converge adicho punto fijo.
Demostración.-
Para x0 ∈ M definimos la sucesióniterativa (xn)n dada por xn+1 = Txn.Para n, p ∈ N,
d(xn, xn+p) ≤ kn(
1 − kp
1 − k
)
d(x0, Tx0).
(xn)n es de Cauchy
Existe limn→∞xn = x ∈ M.
x = limn→∞xn = limn→∞xn+1 =limn→∞Txn = Tx ;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Principio de la Contracción
Sean (M, d) un espacio métricocompleto y T : M −→ M unacontracción. Entonces, T tieneun único punto fijo en M, y paracada x0 ∈ M, la sucesión deiteradas (T nx0)n converge adicho punto fijo.
Demostración.-
Para x0 ∈ M definimos la sucesióniterativa (xn)n dada por xn+1 = Txn.Para n, p ∈ N,
d(xn, xn+p) ≤ kn(
1 − kp
1 − k
)
d(x0, Tx0).
(xn)n es de Cauchy
Existe limn→∞xn = x ∈ M.
x = limn→∞xn = limn→∞xn+1 =limn→∞Txn = Tx ;
x es único.
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 123: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/123.jpg)
Topología y puntos fijos:Brouwer (1912)
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Brouwer
Bn :=
{
x = (xi)ni=1 ∈ R
n :∑n
i=1 x2i ≤ 1
}
Sn−1 :=
{
x = (xi)ni=1 ∈ R
n :∑n
i=1 x2i = 1
}
.
Para n = 2, identificaremos C con R2.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Brouwer
Bn :=
{
x = (xi)ni=1 ∈ R
n :∑n
i=1 x2i ≤ 1
}
Sn−1 :=
{
x = (xi)ni=1 ∈ R
n :∑n
i=1 x2i = 1
}
.
Para n = 2, identificaremos C con R2.
Teorema de Brouwer
Sea ϕ : Bn −→ Bn una aplicación continua de la bola unidad ensí misma. Entonces, ϕ tiene un punto fijo en Bn, i.e., existex ∈ Bn tal que ϕ(x) = x .
B. Cascales El teorema del punto fijo
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L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
2 Trabajó en topología: 1909-1913;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
2 Trabajó en topología: 1909-1913;
3 No fue el primero en demostrar su teorema;
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 129: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/129.jpg)
L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
2 Trabajó en topología: 1909-1913;
3 No fue el primero en demostrar su teorema;
4 Para n = 1, Bolzano 1817;
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 130: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/130.jpg)
L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
2 Trabajó en topología: 1909-1913;
3 No fue el primero en demostrar su teorema;
4 Para n = 1, Bolzano 1817;
5 Para n = 2 y n = 3, Brouwer 1909;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
2 Trabajó en topología: 1909-1913;
3 No fue el primero en demostrar su teorema;
4 Para n = 1, Bolzano 1817;
5 Para n = 2 y n = 3, Brouwer 1909;
6 n arbitrario J. Hadamard 1910;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
2 Trabajó en topología: 1909-1913;
3 No fue el primero en demostrar su teorema;
4 Para n = 1, Bolzano 1817;
5 Para n = 2 y n = 3, Brouwer 1909;
6 n arbitrario J. Hadamard 1910;
7 Brouwer, en 1912, prueba distinta a laHadamard;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
2 Trabajó en topología: 1909-1913;
3 No fue el primero en demostrar su teorema;
4 Para n = 1, Bolzano 1817;
5 Para n = 2 y n = 3, Brouwer 1909;
6 n arbitrario J. Hadamard 1910;
7 Brouwer, en 1912, prueba distinta a laHadamard;
8 Diversas demostraciones.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
2 Trabajó en topología: 1909-1913;
3 No fue el primero en demostrar su teorema;
4 Para n = 1, Bolzano 1817;
5 Para n = 2 y n = 3, Brouwer 1909;
6 n arbitrario J. Hadamard 1910;
7 Brouwer, en 1912, prueba distinta a laHadamard;
8 Diversas demostraciones.
9 Topología algebraica.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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L. E. J. Brouwer, holandés 1881-1966
1 Trabajó fundamentalmente en filosofía delas matemáticas y lógica.
2 Trabajó en topología: 1909-1913;
3 No fue el primero en demostrar su teorema;
4 Para n = 1, Bolzano 1817;
5 Para n = 2 y n = 3, Brouwer 1909;
6 n arbitrario J. Hadamard 1910;
7 Brouwer, en 1912, prueba distinta a laHadamard;
8 Diversas demostraciones.
9 Topología algebraica.
10 Análisis: The American MathematicalMonthly, Vol. 87, No. 7 (Aug. - Sep., 1980),pp. 525-527
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Prueba del teorema deBrouwer en R
2
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 151: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/151.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 155: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/155.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 156: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/156.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 157: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/157.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 158: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/158.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 165: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/165.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 168: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/168.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 169: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/169.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 171: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/171.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 172: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/172.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 174: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/174.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 181: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/181.jpg)
El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
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El teorema de Brouwer para n=2
b
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El teorema de Brouwer para n=2
b
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El teorema de Brouwer para n=2
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El teorema de Brouwer para n=2
b
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b
Índice de un camino
1 Un camino cerrado en C es una funcióncontinua γ : [0, 2π] −→ C con γ(0) = γ(2π).
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b
Índice de un camino
1 Un camino cerrado en C es una funcióncontinua γ : [0, 2π] −→ C con γ(0) = γ(2π).
2 Todo camino cerrado γ : [0, 2π] → C \ {0}tiene un argumento continuo α : [0, 2π] → R
i.e.γ(x)
|γ(x)|= eiα(x)
.
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b
Índice de un camino
1 Un camino cerrado en C es una funcióncontinua γ : [0, 2π] −→ C con γ(0) = γ(2π).
2 Todo camino cerrado γ : [0, 2π] → C \ {0}tiene un argumento continuo α : [0, 2π] → R
i.e.γ(x)
|γ(x)|= eiα(x)
.
3 Número de vueltas
I(γ, 0) :=1
2π
(
α(2π) − α(0))
∈ Z
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b
Índice de un camino
1 Un camino cerrado en C es una funcióncontinua γ : [0, 2π] −→ C con γ(0) = γ(2π).
2 Todo camino cerrado γ : [0, 2π] → C \ {0}tiene un argumento continuo α : [0, 2π] → R
i.e.γ(x)
|γ(x)|= eiα(x)
.
3 Número de vueltas
I(γ, 0) :=1
2π
(
α(2π) − α(0))
∈ Z
4 Si γ no pasa por z0 se defineI(γ, z0) := I(γ − z0, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 223: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/223.jpg)
b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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![Page 225: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/225.jpg)
b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
B. Cascales El teorema del punto fijo
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
B. Cascales El teorema del punto fijo
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
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b
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El producto de doscomplejos es otro complejocuyo módulo es el producto
de los módulos y cuyoargumento es la suma de
los argumentos.
eix · eiy = ei(x+y)
γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
3 I(γ0γ1, 0) = I(γ0, 0) + I(γ1, 0).
B. Cascales El teorema del punto fijo
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γ, γ0, γ1 : [0, 2π] → C \ {0} cerrados ycontinuos
1 La función z → I(γ, z), definida en el abiertoV := C \ γ
(
[a, b])
, permanece constante encada componente conexa de V , y vale 0 enla componente conexa no acotada.
2 Si γ0 y γ1 son homotópicos por caminoscerrados mediante una homotopía que nopasa por 0, entonces I(γ0, 0) = I(γ1, 0).
3 I(γ0γ1, 0) = I(γ0, 0) + I(γ1, 0).
4 Si∣
∣γ0(t) − γ1(t)∣
∣ ≤∣
∣γ1(t)∣
∣, para todot ∈ [0, 2π],
I(γ1, 0) = I(γ0, 0).
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Brouwer en R2
Si D es la bola unidad cerrada de C, sea f : D −→ C una función continua.Se verifica:
1 Si γ(t) = f (eit), t ∈ [0, 2π], y a 6∈ γ(
[0, 2π])
satisface que I(γ, a) 6= 0,entonces existe z ∈ D tal que f (z) = a.
2 Si f(
D)
⊂ D, entonces existe z ∈ D tal que f (z) = z.
Demostración.-
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Brouwer en R2
Si D es la bola unidad cerrada de C, sea f : D −→ C una función continua.Se verifica:
1 Si γ(t) = f (eit), t ∈ [0, 2π], y a 6∈ γ(
[0, 2π])
satisface que I(γ, a) 6= 0,entonces existe z ∈ D tal que f (z) = a.
2 Si f(
D)
⊂ D, entonces existe z ∈ D tal que f (z) = z.
Demostración.-
Si a 6∈ f (D), Γ(r , t) := f (reit), r , t ∈ [0, 1] × [0, 2π], es una homotopíaque no pasa por a entre γ y el camino constante f (0) ⇒ I(γ, a) = 0;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Brouwer en R2
Si D es la bola unidad cerrada de C, sea f : D −→ C una función continua.Se verifica:
1 Si γ(t) = f (eit), t ∈ [0, 2π], y a 6∈ γ(
[0, 2π])
satisface que I(γ, a) 6= 0,entonces existe z ∈ D tal que f (z) = a.
2 Si f(
D)
⊂ D, entonces existe z ∈ D tal que f (z) = z.
Demostración.-
Si a 6∈ f (D), Γ(r , t) := f (reit), r , t ∈ [0, 1] × [0, 2π], es una homotopíaque no pasa por a entre γ y el camino constante f (0) ⇒ I(γ, a) = 0;
Un punto fijo de f en D es un cero de g(z) = f (z) − z;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Brouwer en R2
Si D es la bola unidad cerrada de C, sea f : D −→ C una función continua.Se verifica:
1 Si γ(t) = f (eit), t ∈ [0, 2π], y a 6∈ γ(
[0, 2π])
satisface que I(γ, a) 6= 0,entonces existe z ∈ D tal que f (z) = a.
2 Si f(
D)
⊂ D, entonces existe z ∈ D tal que f (z) = z.
Demostración.-
Si a 6∈ f (D), Γ(r , t) := f (reit), r , t ∈ [0, 1] × [0, 2π], es una homotopíaque no pasa por a entre γ y el camino constante f (0) ⇒ I(γ, a) = 0;
Un punto fijo de f en D es un cero de g(z) = f (z) − z;
Si g se anula en T = {w ∈ C : |w | = 1} ya hemos terminado;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Brouwer en R2
Si D es la bola unidad cerrada de C, sea f : D −→ C una función continua.Se verifica:
1 Si γ(t) = f (eit), t ∈ [0, 2π], y a 6∈ γ(
[0, 2π])
satisface que I(γ, a) 6= 0,entonces existe z ∈ D tal que f (z) = a.
2 Si f(
D)
⊂ D, entonces existe z ∈ D tal que f (z) = z.
Demostración.-
Si a 6∈ f (D), Γ(r , t) := f (reit), r , t ∈ [0, 1] × [0, 2π], es una homotopíaque no pasa por a entre γ y el camino constante f (0) ⇒ I(γ, a) = 0;
Un punto fijo de f en D es un cero de g(z) = f (z) − z;
Si g se anula en T = {w ∈ C : |w | = 1} ya hemos terminado;
Si g no se anula en T ⇒ γ0(t) = g(eit) 6= 0, para t ∈ [0, 2π];
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Brouwer en R2
Si D es la bola unidad cerrada de C, sea f : D −→ C una función continua.Se verifica:
1 Si γ(t) = f (eit), t ∈ [0, 2π], y a 6∈ γ(
[0, 2π])
satisface que I(γ, a) 6= 0,entonces existe z ∈ D tal que f (z) = a.
2 Si f(
D)
⊂ D, entonces existe z ∈ D tal que f (z) = z.
Demostración.-
Si a 6∈ f (D), Γ(r , t) := f (reit), r , t ∈ [0, 1] × [0, 2π], es una homotopíaque no pasa por a entre γ y el camino constante f (0) ⇒ I(γ, a) = 0;
Un punto fijo de f en D es un cero de g(z) = f (z) − z;
Si g se anula en T = {w ∈ C : |w | = 1} ya hemos terminado;
Si g no se anula en T ⇒ γ0(t) = g(eit) 6= 0, para t ∈ [0, 2π];
Llamando γ1(t) = −eit , t ∈ [0, 2π], se tiene que∣
∣γ0(t) − γ1(t)∣
∣ =∣
∣f (eit)∣
∣ ≤ 1 = |γ1(t)|, para todo t ∈ [0, 2π];
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Brouwer en R2
Si D es la bola unidad cerrada de C, sea f : D −→ C una función continua.Se verifica:
1 Si γ(t) = f (eit), t ∈ [0, 2π], y a 6∈ γ(
[0, 2π])
satisface que I(γ, a) 6= 0,entonces existe z ∈ D tal que f (z) = a.
2 Si f(
D)
⊂ D, entonces existe z ∈ D tal que f (z) = z.
Demostración.-
Si a 6∈ f (D), Γ(r , t) := f (reit), r , t ∈ [0, 1] × [0, 2π], es una homotopíaque no pasa por a entre γ y el camino constante f (0) ⇒ I(γ, a) = 0;
Un punto fijo de f en D es un cero de g(z) = f (z) − z;
Si g se anula en T = {w ∈ C : |w | = 1} ya hemos terminado;
Si g no se anula en T ⇒ γ0(t) = g(eit) 6= 0, para t ∈ [0, 2π];
Llamando γ1(t) = −eit , t ∈ [0, 2π], se tiene que∣
∣γ0(t) − γ1(t)∣
∣ =∣
∣f (eit)∣
∣ ≤ 1 = |γ1(t)|, para todo t ∈ [0, 2π];
I(γ0, 0) = I(γ1, 0) = −1 ⇒ existe z ∈ D tal que g(z) = 0.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teoremade Banach
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
E. Zeidler, Nonlinear functionalanalysis and its applications,Springer-Verlag, New York,1986, Fixed-point theorems.
1 El teorema de la función implícita;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
1.25 1.5 1.75 2.25 2.5 2.75 3
2
4
6
8
10
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn)converge –bajo condiciones de
suavidad de f – a un cero de f que es punto fijo de la
función g(x) = x −f (x)
f ′(x).
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
A : Rn → R
n lineal, encontrar unasolución de
Ax = b
se transforma en encontrar unpunto fijo de cierta ecuación
x = Tx + c
Si para alguna norma de Rn se
tiene que ‖T‖ < 1 entonces unmétodo iterativo conduce a lasolución.
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
La solución de una ecuación deFredholm
f (t) = g(t) + µ
∫ b
ak(t, s) f (s)ds, t ∈ [a, b],
existe (como un punto fijo) cuando|µ| < 1
‖k‖2.
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
Los sistemas deSturm-Liouville se reducen auna ecuación integral deFredholm via la función deGreen.
Con un método de separaciónde variables se puede ahoraresolver el problema deDirichlet en un cuadrado.
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
5 Sistemas de Sturm-Liouville;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
Problema de de Cauchy.Determinar x ∈ C1([0, b]):
x ′(t) = f(
t , x(t))
, t ∈ [0, b];
x(0) = ξ.
donde f : [0, b] × R → R continua.
Teorema de Picard-Lindelöf
Si f es lipschitziana con respecto ax , i.e., si existe un L > 0 tal que,para cualesquiera x , y ∈ R,
∣
∣f (t, x) − f (t, y)∣
∣ ≤ L|x − y|, t ∈ [0, b],
entonces la solución del problemade Cauchy existe y es única.
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
5 Sistemas de Sturm-Liouville;
6 Existencia de soluciones de ecuacionesdiferenciales;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
5 Sistemas de Sturm-Liouville;
6 Existencia de soluciones de ecuacionesdiferenciales;
7 Fractales;
8 . . .
9 . . .
10 . . .
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El espacio donde viven los fractales
A + 2B2
B + (√
13 − 1)B2
A
B
Definición
La distancia de Hausdorff entre dosconjuntos acotados C y D de R
2 sedefine como
h(C, D) = inf{η > 0 : C ⊂ D+ηBR2 , D ⊂ C+ηB
R2}.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El espacio donde viven los fractales
A + 2B2
B + (√
13 − 1)B2
A
B
Definición
La distancia de Hausdorff entre dosconjuntos acotados C y D de R
2 sedefine como
h(C, D) = inf{η > 0 : C ⊂ D+ηBR2 , D ⊂ C+ηB
R2}.
Propiedades:1 h es una métrica en la familia C de todos los subconjuntos (no vacíos)
cerrados y acotados de R2.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El espacio donde viven los fractales
A + 2B2
B + (√
13 − 1)B2
A
B
Definición
La distancia de Hausdorff entre dosconjuntos acotados C y D de R
2 sedefine como
h(C, D) = inf{η > 0 : C ⊂ D+ηBR2 , D ⊂ C+ηB
R2}.
Propiedades:1 h es una métrica en la familia C de todos los subconjuntos (no vacíos)
cerrados y acotados de R2.
2 (C, h) es completo, gracias a que R2 es completo.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El espacio donde viven los fractales
A + 2B2
B + (√
13 − 1)B2
A
B
Definición
La distancia de Hausdorff entre dosconjuntos acotados C y D de R
2 sedefine como
h(C, D) = inf{η > 0 : C ⊂ D+ηBR2 , D ⊂ C+ηB
R2}.
Propiedades:1 h es una métrica en la familia C de todos los subconjuntos (no vacíos)
cerrados y acotados de R2.
2 (C, h) es completo, gracias a que R2 es completo.
3 k(R2) = {C ⊂ R2 : C compacto en} es cerrado en (C, h) (por tanto
completo con la métrica inducida).
B. Cascales El teorema del punto fijo
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El espacio donde viven los fractales
A + 2B2
B + (√
13 − 1)B2
A
B
Definición
La distancia de Hausdorff entre dosconjuntos acotados C y D de R
2 sedefine como
h(C, D) = inf{η > 0 : C ⊂ D+ηBR2 , D ⊂ C+ηB
R2}.
Propiedades:1 h es una métrica en la familia C de todos los subconjuntos (no vacíos)
cerrados y acotados de R2.
2 (C, h) es completo, gracias a que R2 es completo.
3 k(R2) = {C ⊂ R2 : C compacto en} es cerrado en (C, h) (por tanto
completo con la métrica inducida).
4 Si Cnh→ C en C ⇒ C := {x ∈ R
2 : existe xn ∈ Cn con x = limnxn}.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones contractivas en k(R2)
1 Si w : R2 → R
2 es continua entonces, lleva compactos a compactos;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones contractivas en k(R2)
1 Si w : R2 → R
2 es continua entonces, lleva compactos a compactos;
2 Si w : R2 → R
2 es continua, entonces puede mirarse como aplicaciónw : k(R2) → k(R2);
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones contractivas en k(R2)
1 Si w : R2 → R
2 es continua entonces, lleva compactos a compactos;
2 Si w : R2 → R
2 es continua, entonces puede mirarse como aplicaciónw : k(R2) → k(R2);
3 Si wi : R2 → R
2 es una familia finita de aplicaciones contractivas,entonces w : k(R2) → k(R2) dada por
w(K ) =⋃
i
wi(K )
es contractiva para la distancia de Hausdorff h;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones contractivas en k(R2)
1 Si w : R2 → R
2 es continua entonces, lleva compactos a compactos;
2 Si w : R2 → R
2 es continua, entonces puede mirarse como aplicaciónw : k(R2) → k(R2);
3 Si wi : R2 → R
2 es una familia finita de aplicaciones contractivas,entonces w : k(R2) → k(R2) dada por
w(K ) =⋃
i
wi(K )
es contractiva para la distancia de Hausdorff h;
4 Si w : k(R2) → k(R2) es contractiva y empezamos con un conjuntocompacto A entonces
wn(A) → F ∈ en (k(R2), h).
F es un fractal: algunos los llaman deterministico.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Ejemplos
Tomamos aplicaciones afines:
w1
(
xy
)
=
(
0,5 00 0,5
) (
xy
)
+
(
11
)
w2
(
xy
)
=
(
0,5 00 0,5
) (
xy
)
+
(
150
)
w3
(
xy
)
=
(
0,5 00 0,5
) (
xy
)
+
(
5050
)
Fabricamosw(A) = w1(A) ∪ w2(A ∪ w3(A)
y construimos w(A), w2(A), w3(A), . . . para cierto A compacto no vacío.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Iteradas a partir de un cuadrado
Primera iteración
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Iteradas a partir de un cuadrado
Segunda iteración
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Iteradas a partir de un cuadrado
Tercera iteración
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Iteradas a partir de un cuadrado
Sexta iteración
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Iteradas a partir de un triángulo
Primera iteración
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Iteradas a partir de un triángulo
Segunda iteración
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Iteradas a partir de un triángulo
Tercera iteración
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Iteradas a partir de un triángulo
Sexta iteración
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Cuadrados vs. triángulos
Sexta iteración
Es lo mismo?
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
La conjetura de Feigenbaum de 1978
Sea f : [−1, 1] → [−1, 1] una funcion de clase C2 que verifique
1. tiene un unico maximo en 0
2. f(0) = 1
3. f ′′(0) = 1 y f ′′(0) < 0
4. f ′(x) > 0 para x < 0 y f ′(x) < 0 para x > 0
Sea fλ(x) = λf(x) con 0 < λ < 1. Entonces para λ pequeno, fλ tiene un solopunto fijo (fλ(x0) = x0) estable (en el sentido de que puntos cercanos convergena el por iteraciones de fλ). Incrementando λ se puede probar facilmente quecuando se alcanza un cierto valor λ1 el punto fijo estable se convierte en inestabley da lugar a un par de puntos estables de perıodo dos. Incrementando λ sealcanza un valor λ2 este ciclo de perıodo dos se convirte en uno estable deperıodo cuatro, en λ3 se alcanza un ciclo de perıodo ocho y ası sucesivamente.
Trabajando con la funcion f(x) = 1−2x2 y usando para haer las operacionesuna calculadora de bolsillo, M.J.Feigenbaum, de una manera completamenteheurıstica, descubrio la siguiente importante propiedad de la sucesion (λk)∞k=1
.La sucesion crece y tiene como lımite un valor λ∞ cumpliendose que
limk→∞
λj+1 − λj
λj+2 − λj+1
= δ
donde δ = 4,669... es una constante universal para la clase de funciones descritasal principio, es decir, no depende de la forma de la funcion elegida (conjeturade Feigenbaum).
En 1981, Campanino y Epstein demostraron con enorme dificultad dos cosas,que el comportamiento de la iteradas de la funcion fλ∞
es cualitativamentesemejante al de la funcion g que es la unica solucion en [−1, 1] de la ecuacionfuncional
g(g(x
α)) = −
g(x)
α, g(0) = 1
conocida como la ecuacion de renormalizacion y que la unica solucion de es-ta ecuacion es una funcion g par, analıtica real para el valor del parametroα = 2,50290...(la solucion es localmente unica y no se conoce ninguna otra solu-cion para otro valor distinto de α). La funcion g viene dada (con cuatro cifrasdecimales en los coeficientes) por
g(x) = 1−1,5276x2+0,1048x4+0,0267x6−0,0035x8+0,0008x10+0,0003x12+....
y su grafica es semejante a la de una parabola invertida.
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
5 Sistemas de Sturm-Liouville;
6 Existencia de soluciones de ecuacionesdiferenciales;
7 Fractales;
8 Conjetura de Feigenbaum;
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
Algunas aplicaciones del teorema de Brouwer.?1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
5 Sistemas de Sturm-Liouville;
6 Existencia de soluciones de ecuacionesdiferenciales;
7 Fractales;
8 Conjetura de Feigenbaum;
9 . . .
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
5 Sistemas de Sturm-Liouville;
6 Existencia de soluciones de ecuacionesdiferenciales;
7 Fractales;
8 Conjetura de Feigenbaum;
9 . . .
10 Diseño de alfombras y ropa.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
5 Sistemas de Sturm-Liouville;
6 Existencia de soluciones de ecuacionesdiferenciales;
7 Fractales;
8 Conjetura de Feigenbaum;
9 . . .
10 Diseño de alfombras y ropa.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
5 Sistemas de Sturm-Liouville;
6 Existencia de soluciones de ecuacionesdiferenciales;
7 Fractales;
8 Conjetura de Feigenbaum;
9 . . .
10 Diseño de alfombras y ropa.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Banach
1 El teorema de la función implícita;
2 El método de Newton;
3 Métodos iterativos (numéricos) para lasolución de sistemas lineales;
4 Existencia de soluciones de ecuacionesintegrales;
5 Sistemas de Sturm-Liouville;
6 Existencia de soluciones de ecuacionesdiferenciales;
7 Fractales;
8 Conjetura de Feigenbaum;
9 . . .
10 Diseño de alfombras y ropa.
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 280: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/280.jpg)
Aplicaciones del teoremade Brouwer
B. Cascales El teorema del punto fijo
![Page 281: El teorema del punto fijoContenido Cuando hablamos del Teorema del Punto Fijo en realidad no nos referimos a un único teorema del punto fijo sino a toda una teoría. B. Cascales](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040304/5e9f24f888441d27d734c195/html5/thumbnails/281.jpg)
Aplicaciones del teorema de Brouwer
1 Cada convexo compacto de Rn tiene la p.p.f.;
2 Sn−1 no es un retracto de Bn;3 Teorema de la Bola Peluda;4 Existencia de Equilibrio Walrasiano;5 Aplicaciones de tipo KKM; Teorema de Ky Fan sobre existencia de
puntos fijos de multifunciones; existencia del equilibrio de Nash;6 Teorema de Schauder del punto fijo;7 Teorema de Tijonov del punto fijo;8 Teorema de Cauchy-Peano de existencia de soluciones de ecuaciones
diferenciales;9 Teorema de Markov-Kakutani sobre puntos fijos comunes de familias
aplicaciones afines;10 Teorema de Ryll-Nardzeski sobre puntos fijos comunes de semigrupos
de aplicaciones afines;11 Existencia de la medida de Haar en un grupo compacto;12 Teorema de Lomonosov sobre existencia de subespacios invariantes.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Aplicaciones del teorema de Brouwer
1 Cada convexo compacto de Rn tiene la p.p.f.;
2 Sn−1 no es un retracto de Bn;3 Teorema de la Bola Peluda;4 Existencia de Equilibrio Walrasiano;5 Aplicaciones de tipo KKM; Teorema de Ky Fan sobre existencia de
puntos fijos de multifunciones; existencia del equilibrio de Nash;6 Teorema de Schauder del punto fijo;7 Teorema de Tijonov del punto fijo;8 Teorema de Cauchy-Peano de existencia de soluciones de ecuaciones
diferenciales;9 Teorema de Markov-Kakutani sobre puntos fijos comunes de familias
aplicaciones afines;10 Teorema de Ryll-Nardzeski sobre puntos fijos comunes de semigrupos
de aplicaciones afines;11 Existencia de la medida de Haar en un grupo compacto;12 Teorema de Lomonosov sobre existencia de subespacios invariantes.
The best application of (6) I can think of is the proof of an invariant subspace theorem by Lomonosov. There areseveral generalizations of this, but what Lomonosov proved was this: Let E be a Banach space and let T be abounded operator of E into E such that TK=KT for some compact linear operator K of E into E. Then some closedproper subspace V of E is invariant under T, i.e. TV ⊂ V .A bit of history about this theorem. It was reported that v. Neumann proved this theorem for a single compactoperator in a Hilbert space, but he never published the proof. In 1951 or 1952, Aronszajn at Kansas proved thisindependently and showed the proof to K.T. Smith. That evening Smith went home and tried to reproduceAronszajn’s proof, but he found a different proof that works in Banach spaces. (I know all this because I was astudent at K.U. then.) So they wrote a joint paper. At the end of the paper they posed a question: Does an operator Tsuch that T2 is compact admit a proper invariant subspace? (I forgot if the space was Hilbet or Banach.) Much later,in 1963 I think, Robinson and Bernstein proved by non-standard analysis that if T is an operator with the propertythat p(T) is compact, where p is a polynomial of positive degree, then T has a proper invariant subspace. This wasoriginally proved for Hilbert spaces but then it was generalized to Banach spaces again using non-standard analysis.Now please note that Lomonosov’s theorem generalizes all the above and the proof is so simple and beautiful! Iremember just about that time Lindenstrauss visited here from Berkeley. He pulled out from his pocket a crumpledsheet (one sheet!) of paper which has a Xeroxed copy of the complete hand-written proof of Lomonosov’s theorem.Joram said then that "This proof is making many people in Berkeley unhappy.Ï read the proof once, and I couldnever forget the proof!
Best, Isaac.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Lomonosov
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Lomonosov
J. B. Conway, A course inFunctional Analysis,Springer-Verlag, New York,1985.
1 Demostración TeoremaLomonosov.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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Teorema de Lomonosov
http://webs.um.es/beca
1 Demostración TeoremaLomonosov.
2 Prueba reescrita por Namiokae Historia
B. Cascales El teorema del punto fijo
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En resumen
B. Cascales El teorema del punto fijo
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(
X ,‖·‖)
Banach
j�dimX < ∞:
Teorema del puntofijo de Brouwer
?
Teorema del punto
fijo de Banach
?
Teorema de laAplicacion Abierta
enRn
�
Teorema del cambiode variable para
integrales multiples
I
Teorema deStone-Weierstrass
Teorema de Picardpara ec. diferencialesordinariasx′ = f (t,x)
?
6
Teorema del puntofijo para el
cubo de Hilbert
?
Teorema del punto fijopara subc. comp. conv.
del cubo de Hilbert
?
Teorema deAscoli-Arzela
�
Teorema de laproyeccion en
espacios de Hilbert
R
Comp. conv. deespacios de Banachson homeomorfos a
subc. comp. conv. del
cubo de Hilbert
�Teorema de Schauderdel punto fijo
+
R
�Teorema de Peano
para ec. diferencialesordinariasx′ = f (t,x)
Teorema de Tychonoffdel punto fijo en e.l.c.
Teorema de Lomonosovsobre existencia de
subesp. invariantes paraoperadores compactos
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Un poco de historia sobreBanach
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S. Banach, 1892 Krakow-1945 Lvov
1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
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S. Banach, 1892 Krakow-1945 Lvov
1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
B. Cascales El teorema del punto fijo
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S. Banach, 1892 Krakow-1945 Lvov
1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
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1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
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1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
5 Los tres pilares del AF llevan su nombre: Teorema deHahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema dela Gráfica Cerrada de Banach;
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1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
5 Los tres pilares del AF llevan su nombre: Teorema deHahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema dela Gráfica Cerrada de Banach;
6 Banach le gustaba trabajar de forma no convencional: en loscafes;
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1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
5 Los tres pilares del AF llevan su nombre: Teorema deHahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema dela Gráfica Cerrada de Banach;
6 Banach le gustaba trabajar de forma no convencional: en loscafes;
7 En el Scottish Cafe de Lvov se empezó Scottish book. ElScottish book (1935) recoge los problemas que fuerondiscutidos por Banach, Mazur, Ulam, von Neumann, etc.
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1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
5 Los tres pilares del AF llevan su nombre: Teorema deHahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema dela Gráfica Cerrada de Banach;
6 Banach le gustaba trabajar de forma no convencional: en loscafes;
7 En el Scottish Cafe de Lvov se empezó Scottish book. ElScottish book (1935) recoge los problemas que fuerondiscutidos por Banach, Mazur, Ulam, von Neumann, etc.
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1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
5 Los tres pilares del AF llevan su nombre: Teorema deHahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema dela Gráfica Cerrada de Banach;
6 Banach le gustaba trabajar de forma no convencional: en loscafes;
7 En el Scottish Cafe de Lvov se empezó Scottish book. ElScottish book (1935) recoge los problemas que fuerondiscutidos por Banach, Mazur, Ulam, von Neumann, etc.
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1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
5 Los tres pilares del AF llevan su nombre: Teorema deHahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema dela Gráfica Cerrada de Banach;
6 Banach le gustaba trabajar de forma no convencional: en loscafes;
7 En el Scottish Cafe de Lvov se empezó Scottish book. ElScottish book (1935) recoge los problemas que fuerondiscutidos por Banach, Mazur, Ulam, von Neumann, etc.
8 Para alguno de los problemas propuestos se ofrecía unpremio por su solución.
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1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
5 Los tres pilares del AF llevan su nombre: Teorema deHahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema dela Gráfica Cerrada de Banach;
6 Banach le gustaba trabajar de forma no convencional: en loscafes;
7 En el Scottish Cafe de Lvov se empezó Scottish book. ElScottish book (1935) recoge los problemas que fuerondiscutidos por Banach, Mazur, Ulam, von Neumann, etc.
8 Para alguno de los problemas propuestos se ofrecía unpremio por su solución.
9 Grothendieck trabajó en el problema 153: lo reformuló entérminos de la propiedad de aproximación. Lo resolvió Enflo,1972. Curiosamente Enflo también dio el primer ejemplo deun operador sin subespacio invariante en un espacio deBanach.
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1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
5 Los tres pilares del AF llevan su nombre: Teorema deHahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema dela Gráfica Cerrada de Banach;
6 Banach le gustaba trabajar de forma no convencional: en loscafes;
7 En el Scottish Cafe de Lvov se empezó Scottish book. ElScottish book (1935) recoge los problemas que fuerondiscutidos por Banach, Mazur, Ulam, von Neumann, etc.
8 Para alguno de los problemas propuestos se ofrecía unpremio por su solución.
9 Grothendieck trabajó en el problema 153: lo reformuló entérminos de la propiedad de aproximación. Lo resolvió Enflo,1972. Curiosamente Enflo también dio el primer ejemplo deun operador sin subespacio invariante en un espacio deBanach.
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S. Banach, 1892 Krakow-1945 Lvov
1 Lista de referencias: 21 libros y artículos;
2 Coexistió con: Mazur, Steinhaus, Nikodym, Sierpinski,Kuratowski, Ulam, etc.
3 Con Steinhaus inicia Studia Mathematica;
4 Monografía Théorie des Opérations linéaires pronto seconvirtió en un clásico e impulsó el crecimiento del AF;
5 Los tres pilares del AF llevan su nombre: Teorema deHahn-Banach, Teorema de Banach-Steinhaus y Teorema dela Gráfica Cerrada de Banach;
6 Banach le gustaba trabajar de forma no convencional: en loscafes;
7 En el Scottish Cafe de Lvov se empezó Scottish book. ElScottish book (1935) recoge los problemas que fuerondiscutidos por Banach, Mazur, Ulam, von Neumann, etc.
8 Para alguno de los problemas propuestos se ofrecía unpremio por su solución.
9 Grothendieck trabajó en el problema 153: lo reformuló entérminos de la propiedad de aproximación. Lo resolvió Enflo,1972. Curiosamente Enflo también dio el primer ejemplo deun operador sin subespacio invariante en un espacio deBanach.
10 Problema 54 todavía abierto: Teorema del punto fijo engeneral.
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¿Qué es lo bonito de todoesto?
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¿Qué es lo bonito de todoesto?
It’s a common theme of mathematics that when one mixesvarious diverse mathematical endeavors, like topology(geometry), algebra and analysis the end product is oftentimesmuch greater than a simple sum of the individual parts. . .
Respectfully yours Joe DiestelKent State University.
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Un último dato relevante
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Gracias.
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Prehistoria no documentada(1982) Gilles Pisier: Geometría de los espacios de Banach.
Eduardo Rodeja: Algebristas famosos.
Alexander Pelcynsky: Geometría de los espacios de Banach.
Georges Reeb: El Análisis No-standard.
Van East
Jesús Bastero
(1983) Luis Vigil: Sociologia de las Matemáticas.
(1983) M. Valdivia: El teorema de la gráfica cerrada.
(1983) F. Bombal: Propiedades de operadores entre espacios de Banach.
(1985) Frolik
(1986) Mariano Martínez (UCM) : La Matemática griega.
(1987) Luis Alsedá (UAB): El teorema de Sharkovsky.
(1987) Manuel Valdivia (UV): Paradoja de Banach-Tarski.
. . .
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Seminario del Departamento de Matemáticas 1994-El Seminario del Departamento de Matemáticas ha nacido con la idea deser un punto de encuentro mensual para las personas amantes de lasCiencias Matemáticas. Nuestro Departamento, formado por las áreas deÁlgebra, Análisis Matemático y Geometría y Topología, viene desarrollandodesde su nacimiento una intensa actividad investigadora que conlleva laimpartición de numerosas charlas y conferencias especializadas dentro delos Seminarios que mantienen los Grupos de Investigación. Nos ha parecidointeresante que al lado de estas charlas especializadas el Departamentopatrocine otras, de carácter más general, que puedan ser de interés paramas personas y que sirvan tanto para estimular a nuestros alumnos comopara reforzar los lazos con el profesorado de otros centros de enseñanza.Fruto de esta intención hemos iniciado el Seminario del Departamento deMatemáticas que esperamos poder mantener durante muchos años.
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Historia del Seminario del Departamento de Matemáticas
1 14 Diciembre 1994, J. L. Gómez Pardo, El último teorema de Fermat.
2 . . .
B. Cascales El teorema del punto fijo