El Mundo Atravez Delas Matematicas3

El mundo a través de las

Matemáticas3secundaria

El mundo a través de las Matemáticas 3, de la serie Sé aprender, promueve la adquisición de saberes matemáticos mediante el análisis de ciertos fenómenos que ocurren en el mundo cotidiano de los estudiantes.

A lo largo del libro, los alumnos desarrollarán habilidades para resolver diferentes situaciones y activarán su razonamiento en torno a los procesos de aprendizaje que siguieron. Para ello, la metodología propuesta en la obra procura que los estudiantes recuperen sus saberes previos, expongan problemáticas para que construyan estrategias de solución y resuelvan ejercicios interesantes y lúdicos para sintetizar lo aprendido. Por último, se presenta un problema de mayor complejidad que motiva al alumno a practicar las competencias que adquiera, aprovechando éste para reconocer la forma personal con la que se apropia de los nuevos saberes.

Es así como este texto expone claramente los conocimientos por adquirir y presenta de manera amena conceptos abstractos que facilitan el desarrollo del pensamiento lógico-matemático en los estudiantes.

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Matemáticas 3secundaria

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3secundariaEl mundo a través de las

Matemáticas

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EL MUNDO ATRAVÉS DE LAS MATEMÁTICASPOR MARIANA RAMÍREZ CANTÚ, JULIETA AZPEITIA, MARIA EUGENIA FLORES,

IRMA LETICIA MARTÍNEZ, RAMÓN CASTILLO CARRILLO Y DAVID VERGARA RIVERAPRIMERA EDICIÓN, NOVIEMBRE 2007

Derechos reservados conforme a la ley por: © 2007 FERNÁNDEZ editores, s.a. de c.v.Eje 1 Pte. México Coyoacan 321. Col. Xoco. Delegación Benito Juárez. 03330 México,D.F. (MÉXICO). Miembro No. 85 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. ISBN 978-970-03-2192-9Las características de esta edición, así como su contenido, son propiedad de FERNÁNDEZeditores, s.a. de c.v., no pudiendo, la obra completa o alguna de sus partes, ser reproducida mediante ningún sistema mecánico o electrónico de reproducción, incluyendo el fotocopiado, sin la autorización escrita del editor.

Si desea información o hacer comentarios acerca de este texto, usted puede comunicarse al 01 800 712 49 99 ext. 7451 al 53, o escribir a

[email protected]

Asimismo, háganos llegar su opinión y sugerencias en general escribiéndonos [email protected]

Esta obra se terminó de imprimir esta obra el día 30 de noviembre de 2007 en los talleres de Imprentor,s.a. de c.v. Salvador Velasco 102. Parque Industrial Exportec 1. 50200 Toluca, Estado de México.

No. de Certifi cado 40998

Imprentor

IMPRESO EN MÉXICO – PRINTED IN MEXICO

Sistema de Clasifi cación de Melvil Dewey510R362007 Ramírez Cantú, Mariana

El mundo a través de las Matemáticas 3 Secundaria / Mariana Ramírez Cantú; Julieta Azpeitia; María Eugenia Flores; Irma Leticia Martínez; Ramón Castillo Carrillo; Davida Vergara Rivera. et all — México : Fernández editores, 2007.

232 p. : il.

ISBN 978-970-03-2192-9

1. Matemáticas – Estudio y enseñanza (Secundaria). 2. Matemáticas - Libro de texto. I. Azpeitia, Julieta; coaut. II. Flores, María Eugenia. Martínez, Irma Leticia. Castillo Carrillo, Ramón. Vergara Rivera, David. coaut. III. t. IV. Ser.

IntroducciónMMMMéxico requiere personas creativas, críticas y colaborativas, que utilicen procedi-éxxicoééxxicomientos propios y adquieran las herramientas y los conocimientos matemáticos que miemienntosles permitan comunicar, analizar e interpretar ideas. Por ello, El mundo a través de las Matemáticas 3d está pensado para brindar la oportunidad de entender que las matemáticas son aplicables a cualquier aspecto de la vida, y que se relacionan llas laasde manera estrecha con el resto de las asignaturas de tercer año de secundaria, detapa en la que se espera que los estudiantes apliquen lo que han aprendido los a een la años previos, y descubran más acerca de la ciencia matemática, de la historia del prevevioos, prevevioosser humano, la tecnología, el deporte y la salud. hummanano,

El método que sigue esta obra se basa en plantear situaciones atractivas para los alumnos que fomenten su interés en aplicar sus conocimientos, habilidades y actitudes adquiridos, de manera que intenten resolver los problemas que se les presenten.

Una característica más de esta obra es que considera a la Informática y compu-tación como una asignatura que ya forma parte de la vida de muchos estudiantes en nuestro país, por lo que se sugieren algunas actividades en las que aplicarán sus conocimientos matemáticos, trabajando con calculadora y consultando páginas de Internet relacionadas con los temas de estudio.

3

Presentación para el estudiante

Cada página de este libro contiene un reto oculto en su contenido: interesarte una vez más en lo útil y divertido que resulta aprender matemáticas. Es un reto que nos hemos planteado superar; sin embargo, para lograrlo requerimos tu ayuda constan-te a lo largo del año; sin tu apoyo, la misión de este libro estará incompleta.

Las lecciones de El mundo a través de las Matemáticas 3 fueron diseñadas de manera que cada actividad resulte una verdadera aventura para ti. Por ello, el li bro está organizado en cinco bloques que contemplan temas relacionados con el sentido numérico, el pensamiento algebraico, la forma, el espacio y la medida, y el manejo de la información.

Con cada actividad que debas resolver buscamos despertar tu interés en algunos temas matemáticos que no conocías, pero que se relacionan con lo que apren-diste en los dos años previos. Así, podrás construir tus conocimientos mediante la reflexión, encontrar diferentes procedimientos para la resolución de situaciones problemáticas y formular argumentos que validen los procedimientos y resultados que encontraste.

Con este libro pretendemos, además, que trabajes de manera conjunta con tus compañeros en parejas, en equipo o de manera grupal. Con ello aprenderás a com-partir tus conocimientos para solucionar problemas que no sólo te involucran a ti, sino a toda tu comunidad.

Esperamos que este libro sea el reto que buscabas superar desde hace tiempo, o que al menos compartas con nosotros, con tu maestro y con tus compañeros la agradable experiencia de conocer y valorar tu mundo a través de las matemáticas.

LOS AUTORES

4

Presentación para el profesor

El mundo a través de las Matemáticas 3 fue elaborado por maestros que desean fomentar el gusto por esta ciencia entre los alumnos de educación secundaria.

Creemos que las matemáticas son una herramienta que requiere de constante aplicación para que los estudiantes aprehendan sus prácticas fundamentales, de manera que les sea útil en su vida social. Los conocimientos y experiencias adqui-ridos en grados anteriores les permitirán generar nuevos recursos y conocimientos matemáticos, que les servirán para resolver los problemas, actividades, retos y jue-gos contenidos en este libro.

Dado que los conocimientos matemáticos y los problemas no pueden separarse, se han diseñado actividades apropiadas para trabajar en el aula y fuera de ella. Con una metodología constructivista, como la que se desarrolla en esta obra, usted podrá orientar a los alumnos para que cada uno construya sus conocimientos, al tiempo que resuelven las actividades. Le sugerimos dar tiempo a los alumnos para que reflexionen, analicen y confronten los procedimientos empleados, propician-do asimismo la socialización; esto les permitirá ampliar su panorama y encontrar estrategias más sencillas para obtener las soluciones correctas, en un ambiente que promueve la participación colectiva de los alumnos para la resolución de las actividades.

En cuanto a la estructura didáctica, encontrará que cada lección se identifica con un número y un título, e incluye cuatro momentos, cada uno con un objetivo especí-fico relacionado con las cuatro etapas del método constructivista de la enseñanza. No obstante, el énfasis estará en el cuarto y último momento: la metacognición; fase a la que hemos llamado Supero el reto. Al final de las lecciones encontrará una bibliografía para el alumno y para el maestro, además de las referencias bibliográ-ficas que fueron empleadas para elaborar la obra.

Estamos seguros que este libro, aunado a la orientación pedagógica y a su expe-riencia docente, ayudará a que los estudiantes desarrollen de manera óptima sus competencias cognitivas, sociales y psicológicas, mientras aprenden matemáticas de un modo agradable.

LOS AUTORES

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Tu libro se divide en 5 bloques y cada uno se compone de distinto número de lec-ciones, las que se han considerado necesarias para que desarrolles los conocimien-tos y habilidades que se espera consolides al final del estudio de los bloques.

La entrada de bloque te presenta una situación histórica o bien una aplica-ción útil de los conceptos de geometría, álgebra, estadística y trigonometría que se presentan en este texto para tu último año de secundaria en la asignatura de Matemáticas.

En una de las dos páginas que conforman el inicio de los bloques encontrarás los propósitos que te puedes formular antes de comenzar el trabajo de cada uno de ellos. Te sugerimos no los pierdas de vista durante todo el bimestre y procures revisar al final de cada lección qué propósito de aprendizaje ya has alcanzado y con qué nivel de logro lo hiciste tuyo.

Al inicio de una lección podrás identificar el nombre y número de ésta y, seguida-mente, leerás los saberes que pretende desarrollar en ti.

Al término de las lecciones verás la sección Supero el reto, que si la aplicas como una autoevaluación te permitirá cerciorarte de los conocimientos y habilida-des que habrás adquirido.

6

ÍndiceBloque 1 10

Lección 1. Los productosMultiplicación de expresiones algebraicas 12Lección 2. Los pisosCuadrado de un binomio 16Lección 3. Haciendo cálculosProducto de binomios conjugados 21Lección 4. Los viverosProducto de binomios con un término común 24Lección 5. Resolviendo retosFactorización de expresiones algebraicas de la forma x2xx + 2ax + a2 27Lección 6. La tarea de Luis DanielFactorizar expresiones algebraicas x2xx + bx + c 29Lección 7. Sumados y multiplicados 1Factorizar expresiones algebraicas x2xx + bx + c 31Lección 8. Sumados y multiplicados 2Factorizar expresiones algebraicas x2xx – a2 33Lección 9. ¿Qué parte del cerebro se ilumina?Operaciones combinadas 36Lección 10. El tangram Los criterios de congruencia de triángulos 40Lección 11. Juguemos con las figuras geométricas 1Propiedades de los cuadriláteros 46Lección 12. Juguemos con las figuras geométricas 2Rectas y segmentos en el círculo 52Lección 13. Tangente y secanteLa tangente y la secante a una circunferencia 55Lección 14. El teatroÁngulos en la circunferencia 58Lección 15. Tirando a gol Cálculo del ángulo central e inscrito en la circunferencia 61Lección 16. La cabra Área de sectores circulares y coronas 63Lección 17. Una gran atleta mexicana Pendiente de una recta 66Lección 18. Esperanza de vida Elegir forma de organización y presentar la información 70

Bloque 2 74Lección 19. Encontrando ladosEcuaciones no lineales 76Lección 20. Cuida el aguaEcuaciones no lineales 2 80Lección 21. El baile Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización: trinomio de 2º grado 85Lección 22. El ciclistaSolución de ecuaciones cuadráticas por factorización: trinomio cuadrado perfecto 88

7

Lección 23. Los rompecabezas Construcción de figuras semejantes 91Lección 24. La competenciaCriterios de semejanza de triángulos 97Lección 25. Semejanza de los polígonos Aplicación de los criterios de semejanza para analizar propiedades de polígonos 105Lección 26. Dimensiones inaccesiblesAplicación de la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles 108Lección 27. Desastres de la nauralezaUtilización de índices 110Lección 28. ¿Niño o niña?La simulación 114

Bloque 3 118Lección 29. René Descartes Interpretar y representar gráfica y algebraicamente relaciones lineales y no lineales 120Lección 30. Los Sulbasutras de la India Resolución por fórmula general 126Lección 31. La fórmula de Bháskara y su discriminanteEl discriminante 129Lección 32. ¿Por qué x? Cuadráticas como modelos matemáticos 131Lección 33. La división exacta Teorema de Tales 133Lección 34. Tales de MiletoAplicación del teorema de Tales 138Lección 35. Las sombrasDeterminar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que uno o que menos uno 141Lección 36. Figuras homotéticas Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura 144Lección 37. Más sobre homotecia Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones 146Lección 38. La estadísticaInterpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales 148Lección 39. Relación de funciones Relación entre funciones y posición de gráficas 151Lección 40. Las noticias Interpretación y elaboración de gráficas 157

Bloque 4 160Lección 41. Jugando con el tablero de ajedrezPatrones y fórmulas 162Lección 42. El genio de los griegosTeorema de Pitágoras 166Lección 43. Hiparco y la trigonometríaRazones trigonométricas 172

8

Lección 44. El alpinismoMedidas de lados y ángulos de triángulos a partir de razones trigonométricas 175Lección 45. Las rampas Problemas usando razones trigonométricas 179Lección 46. El ahorroInterpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal 181Lección 47. Distrito FederalInterpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento geométrico o exponencial de diversas situaciones 183Lección 48. Las grutasAnalizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómenoo estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información 185

Bloque 5 188Lección 49. Los buques mercantes Resolución de problemas y modelación 190Lección 50. El golf Resolución de problemas y modelación 194Lección 51. Las figuras que giranCuerpos redondos 197Lección 52. Los regalosDesarrollo plano del cono y el cilindro 199Lección 53. Apolonio de PergaSecciones que se obtienen al hacer cortes a un cilindro y un cono 201Lección 54. Formando círculos Círculos, cono y esfera 203Lección 55. Los recipientesVolumen del cilindro 207Lección 56. Las escuadras Construir fórmula para volumen de conos 209Lección 57. El baloncesto Volumen de la esfera 211Lección 58. Los perfumes Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos 214Lección 59. Los chocolates Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen 216Lección 60. Los medicamentos Representación de la información 218

Bibliografía 222

Anexo 1 223

Anexo 2 229

9

El idioma del álgebra es la ecuación: “Para resolver un problema refe-rente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con tradu-cir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico”. Estolo escribió Isaac Newton en su manual de álgebra titulado AritméticaUniversal, donde incluyó ejemplos de cómo debía efectuarse una tra-ducción como la que se menciona. Con frecuencia, la solución de unaecuación es tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación con base en losdatos de un problema suele ser un poco más difícil.

Adaptación a partir de: Yakov Perelman. Álgebra Recreativa. Moscú, Mir, 1986.

10

BLOQUE 1

Como resultado de este primer bloque temático se es-pera que los alumnos:

f Transformen expresiones algebraicas en otras equi-valentes al efectuar cálculos.

f Apliquen los criterios de congruencia de triángulosen la justificación de propiedades de figuras geomé-tricas.

f Resuelvan problemas que implican relacionar ángu-los inscritos y centrales de una circunferencia.

f Resuelvan problemas que implican determinar unarazón de cambio, expresarla algebraicamente y re-presentarla gráficamente.resenesen

11

Conocimientos y habilidades a desarrollar por los alumnos:

Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a)(x + b);(x + a)(x – a) (multiplicaciones).

En el curso anterior aprendiste algunos conceptos básicos que te van a ser muyútiles ahora.

Relaciona las columnas con una línea.

Binomio 3a2b

Monomio 5a + 2b + c – 1c

Trinomio a2 + 2 ab – 1

Polinomio 2a2b + c

Explica por qué relacionaste de esta manera las columnas.

Júntate con un compañero y hagan lo que se indica:Tracen una figura que mida 4 cm de largo y 2 cm de ancho.

1 Los productosLecc

ión

¿Cuál es su área? A = _______________Justifica el procedimiento que seguiste para calcular el área:

Traza sobre la cuadrícula una figura cuyos lados midan x unidades de ancho por 5 unidades de largo.x

Calcula su área A = __________Explica tu procedimiento para obtener el área:

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLos productos12

Cuando se multiplica un monomio (expresión algebraica de un solo término) por un polinomio (expresión algebraica que contiene dos o más términos), se hace uso de la propiedad distributiva; es decir, el monomio se va multiplicando por cada uno de los términos del polinomio y al final se reducen términos semejantes si es que los hay.

(3 a2 b )(a + 5b2 – c2 + 4) = 3a3 b + 15 ab3 – 3a2 b c2 + 12 a2 b

Para multiplicar dos monomios, se multiplican los coeficientes, el resultado es el producto de los ficien-tes con las literales comunes o no comunes a ambos factores afectadas por la suma de los exponentes.

(2a)(3 a2b) = 6 a3b

De un rectángulo cuya medida de largo es 4a y de su ancho es 2a, obtén su área:

En el grado anterior aprendiste algunos procedimientos para multiplicar expresiones algebraicas.Recordemos:

A = __________Porque:

Explica qué tienen en común los procedimientos que utilizaste para hacer tus cálculos. Comenta, compara y valida tus respuestas con tu compañero.

Sigue trabajando en pareja; completen las expresiones para calcular el área de las siguientes figuras yexpliquen el porqué de los procedimientos utilizados. Después validen con el grupo sus respuestas.

A = 2a (a + b) = ________________________Porque:

a+b

2a

a+2b

2a + b

A = ( 2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 4ab + ab + 2b2

Al reducir términos semejantes queda:

A = __________

¿Por qué? __

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLos productos 13

En grupo y con apoyo del maestro revisen las respuestas y si es necesario, corrijan sus anotaciones.

¿De qué manera te parece más fácil calcular los productos de dos expresiones algebraicas? ¿Por qué?

Procedimiento:

Estos productos también pueden obtenerse si la multiplicación se hace de manera vertical:

Cuando se multiplican dos binomios. ¿Cuál es el procedimiento?Observa el ejemplo y explica el procedimiento:

(2a + 3) (a + 4) = 2a2 + 8a + 3a + 12

Reduciendo términos semejantes el resultado final es: 2a2 + 11a + 12

Cuando se multiplica un binomio por un polinomio. Observa el ejemplo y explica el procedimiento.

(2a2 + 3a)(–2a + 2a2 – 4ab) = –4a3 + 4 a4 – 8 a3b – 6a2 + 6a3 – 12a2b

El resultado final es: 2a3 + 4a4 – 8 a3b – 6a2 – 12a2b

Procedimiento:

x3 a2 b

2a

6a3 b

a + 4x 2a + 3

2a2+ 8a+

3a + 12

2a2+ 11a + 12

4a + 5b2 – c2 + 4

x 3 a2 b

3a3 b + 15a2b3 – 3a2bc2 + 12a2b

+

–2a + 2a2 – 4abx

2a2 + 3a

– 4– a3 + 4+ a4 – 8a3 b+

– 6a2 + 6+ a3 – 12a2b

– 6a2 + 2a3 + 4a4 – 8a3 b – 12a2 b

Los términos semejantes se alineanpara reducirlos y obtener el resul-tado final.

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLos productos14

Supero el retoBase = a + 4; altura = 2a – 2

Explica qué hiciste para obtener el área y el perímetro de la figura.

2m + 1

3m + 8 5a

3a

Obtén el producto de las siguientes multiplicaciones:

4a (a + 1) = (–3x + 2x y) (yy x(( + y) =yy

2b (b2 + b – 3) = (2m + n2)(m + n2 – 1) =

(3m2 + 2n2) (5mn + m2 – 3n2) =

Obtén el área de las figuras:

En grupo y con apoyo del maestro comenten sus procedimientos y validen sus resultados.

A =____________m2

P =P ____________m

Dale un valor a a, sustituye la literal y...

¿Cuál de las dos medidas te fue más fácil obtener? __________________________¿Por qué? ¿Cuál te fue más fácil de comprobar dándole un valor a la literal? ¿Por qué?

comprueba la igualdad que existe entre los facto-res y el producto algebraico que encontraste.

A = (a + 4)(2a – 2) = ______________

A = ( + 4)(2 – 2) = _____________

A = ( )( ) = _______________

comprueba la igualdad que existe entre la fórmu-la y el resultado algebraico que hallaste.

P = 2[( + 4) + (2 – 2)] = P _____________ P = 2[(P a + 4) + (2a – 2)] = ________ P = 2[( ) + (2( ) – 2) =P ___________ P = 2( ) + 2 ( ) = P _________________

2a

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLos productos 15

2 Los pisosLecc

ión


Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como (x + a)2.

Los pisos de las casas ejercen una gran influencia en el aspecto de las habitaciones y el costo de los mismos tiene preponderancia en el valor de la vivienda. Existe una gran variedad ellos: pavimento de baldosas, piedra natural, pavimento de madera, mosaicos, revestimientos, hor-migón ligero, pavimento continuo, terrazo, entre otros.

Júntate con un compañero para resolver las siguientes situaciones:En una fábrica de pisos se pretende hacer losetas de un mismo diseño, pero de distintos tamaños.La loseta del diseño original tiene forma cuadrada. Si mide 30 cm por lado:

Explica qué hiciste en cada caso para obtener el resultado.

Júntate con un compañero y resuelve el ejercicio b con un procedimiento diferente al que utilizaste.Suponiendo que la loseta original tiene una medida x y la que se quiere fabricar au-xmenta la medida de su lado 8 cm, entonces se tendría una figura como la siguiente:

30 cm

30 cm

a) ¿Cuál es el área que ocupa esta lose-ta?

A =____________

b) Si se quiere fabricar una loseta con el mismo diseño, pero cuya medida de lado sea 8 cm más que el de la origi-nal, ¿qué superficie ocupará? _________________

30 + 8

30

+8

x + 8x

x+

8

a b

c d

Calcula el área de a ____________Calcula el área de b ____________Calcula el área de c ____________Calcula el área de d ____________Suma las áreas y obtén el área total ____________

Encontrando ladosEncontrando ladosLos pisos16

Utilizando este procedimiento, si a x le das un valor de 30 cm y la sustituyes cada vez que aparece en los xcálculos que hiciste. ¿Cuál es el resultado?____________¿Coincide con el resultado del inciso b? ____________Explica por qué si o por qué no.

Hagámoslo con otra medidaCalcula el área total de la figura.

Entonces: (x(( + 1)x 2 = (x(( + 1) (x x(( + 1) =x ____________

Entonces: (x(( + 5)x 2 = (x(( + 5)(x x(( + 5) = x _________________

Si se tienen cualesquiera medidas.

x

+

1

x + 1x

a b

c d

La fórmula para obtener el área de un cuadrado es:A = l 2 o sea lado � lado

¿Cómo calculas el área del cuadrado cuyo lado mide (x(( + 1)?x Calcula:Área de a = ____________Área de b = ____________Área de c =c ____________Área de d =d ____________Área total = ____________Reduciendo términos semejantes: ____________

¿Cuál es el término que se repite? ¿Cuántas veces?

x

+

5

x + 5

a b

c d

Calcula:Área de a = ____________Área de b = ____________Área de c =c ____________Área de d =d ____________Área total = ____________

¿Cuál es el término que se repite? ¿Cuántas veces?

x

+

y

x + y

a b

c d

(x(( + x y)yy 2, ¿cuál es el resultado?_________________Área de a = ____________Área de b = ____________Área de c = c ____________Área de d =d ____________

Encontrando ladosEncontrando ladosLos pisos 17

El producto resultante de elevar un binomio cuadrado es un trinomio, en el que el primer término delbinomio se eleva al cuadrado, el segundo es el doble producto del primer término por el segundo y eltercero es el cuadrado del segundo término del binomio. El resultado que se obtiene de un binomio elevado al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto.

Analiza y contesta:

En todos los casos:¿Se está elevando un binomio al cuadrado? __________Al reducir términos semejantes, ¿cuántos términos tiene el resultado? __________

En el resultado:¿Cuál es la potencia del primer término? _________________¿Qué representa el segundo término con respecto del binomio que se elevó al cuadrado?______________ El tercer término, ¿qué potencia está representando?

Comparen sus resultados y respuestas con los del resto del grupo y validen sus procedimientos.

En grupo y con apoyo del maestro analicen y determinen si la siguiente regla aplica en todos los casos en los que se eleva un binomio al cuadrado. Demuéstrenlo escribiendo otros ejemplos:

Ejemplo:

Si (x(( + x y)yy 2 = x2xx + 2xy + y y2yy

Binomio elevado al cuadrado

Cuadrado delprimer término

Doble producto del primero por el segundo término

Cuadradodel segundo

Trinomio cuadrado perfecto

{

Los dos binomios están elevados al cuadrado, ¿cuál es la diferencia?

Si (x(( –x y– )yy 2 = x2xx + (–2xy) + yy y2yy = x2xx –2xy +y y2yy

Binomio elevado al cuadrado

Cuadrado delprimer término

Doble producto del primero por el segundo término

Cuadradodel segundo

Trinomio cuadrado perfecto

{


Calcula el área de los siguientes cuadrados que están resaltados:

Obtén los trinomios cuadrados perfectos de:

(a + b)2 = (2x + x y)yy 2 =

(m – n)2 = (3x – 1)x 2 =

(2a – 2b2)2 =

Supero el retoDibuja cuadrados cuyos lados correspondan dando a cada literal el valor 1:

Primera figura: lado = (a + 3) Segunda figura: lado = (2a + b) Calcula el área de ambas:

A = __________u2 A = __________u2

Demuestra que el resultado algebraico que se encuentra corresponde al número de unidades que mide el área de los cuadrados que trazaste.

Si a = 1 y b = 1, demuestra que al aplicar el procedimiento aprendido en esta lección las siguientes igual-dades se cumple

(a + 3)2 = a2 + 6a + 9 (2a + b)2 = 4a2 + 4ab + b2

x

+

2

x + 2

x

+

2

x + 2

Encontrando ladosEncontrando ladosLos pisos 19

Si a = 5 y b = 3, demuestra que en este caso las igualdades también se cumplen:

(a + 3)2 = a2 + 6a + 9 (2a + b)2 = 4a2 + 4ab + b2

Explica el procedimiento que empleaste para hacer tu demostración.

¿Por qué crees que las igualdades se cumplieron?

¿Se cumplirán en todos los casos en los que se eleve un binomio al cuadrado y el resultado sea un trinomio cuadrado perfecto?

¿Por qué?

¿Qué utilidad le encuentras al procedimiento aprendido en esta lección para obtener el resultado de un binomio elevado al cuadrado, en relación con los procedimientos que antes habías empleado? ¿Cuál procedimiento te pareció más práctico para resolver las situaciones que se te presentaron a lo largo de la lección?

Explica por qué.


3 Haciendo cálculos Lecc

ión


Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a) (x – a).

¿Cuántas veces te has encontrado en una situación en la que sea importantetener el resultado exacto de una operación y no cuentas con calculadora, ni lápiz y papel que te permitan hacer el cálculo exacto que necesitas?El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólosu cerebro. Se requiere hacer modelos con los números para realizar opera-ciones de una manera rápida y conveniente.

Realiza mentalmente los siguientes cálculos. Intenta hacerlo descomponien-do los factores en dos, de tal manera que queden representados con unasuma y una diferencia de números iguales.21 � 19(20 + 1)(20 – 1) =

Desarrolla las multiplicaciones:

21 � 19

Al desarrollar las multiplicaciones, ¿hay términos que son fáciles de eliminar? ____________

De acuerdo con el lugar, ¿cuáles son?

Al encontrar el resultado final de la operación, ¿qué términos quedan y qué relación tienen con los factores que descompusiste?

Júntate con un compañero y en pareja desarrollen y resuelvan la multiplicación:

(x(( + 1)(x x(( – 1) =x

¿Qué semejanza tiene el resultado en comparación con los ejemplos anteriores?

(20 + 1) (20 – 1) = 202 + 20 – 20 –(1)2 (___ + ___)(___ – ___) = (___) =

=

Desarrollo

66 � 54 =( + ) ( – ) =

66 � 54 =( + ) ( – ) = ( )

==

Encontrando ladosEncontrando ladosHaciendo cálculos 21

Analiza el siguiente procedimiento:

Al aumentar en una unidad la base y reducir en una unidad la altura, ¿qué figura se forma? ¿Cuánto mide la base de la figura que se formó? _____________¿Cuánto mide su altura?_____________Entonces, ¿la figura queda formada por las zonas a y b?_____________Calcula el área de a _____________Calcula el área de b _____________¿Cuál es el área de a y b?_____________¿Coincide con el resultado de la multiplicación (x(( + 1)(x x(( – 1)?x _____________¿Por qué crees que esto suceda? En grupo, comenten y argumenten sus respuestas.

Observa y analiza el siguiente procedimiento para resolver una multiplicación de dos binomios del tipo (x(( + x y)(x(( –x y) a los que se les llama binomios conjugados.

¿Cuántos términos resultaron en el producto? _____________¿Qué relación encuentras entre los factores y su producto?

x 1

x a b

c d

Si a la base del cuadrado la dismi-nuimos en y unidades y a la altura leysumamos y unidades, entonces que-ydan los factores (x(( + x y)(yy x(( –x y).yy

x

x

x – y

x

+

y

a b

c d

Área del cuadrado de lado xA = _____________

Calcula:Área de a = x (x x(( –x y) =yy _________ ____ cm2

Área de c =c y (y x(( – x y) =yy _________ ____ cm2

Área de a + área de c =c _________ ___ cm2

quitando paréntesis y reduciendo términos se-mejantes x2xx – xy + xy –y y2yy = _____________Entonces (x(( + x y)(yy x(( –x y) = yy x2xx – y2yy

xy xy

1

Encontrando ladosEncontrando ladosHaciendo cálculos22

El producto de dos binomios conjugados es la diferencia de sus cuadrados

(x(( +x y)(yy x(( –x y) =yy x2xx – y2yy

Binomios Diferencia

conjugados de cuadrados

Verifica si en los primeros ejercicios de la lección funciona este procedimiento y coméntalo con tus compa-ñeros. Comenta con tu grupo las respuestas y valida los procedimientos empleados.

Resuelve mentalmente las siguientes multiplicaciones y escribe el resultado.

(4x44 + x y)(4yy x44 – x y) = (2yy x – 3)(2x x + 3) =x

(3 – 4x44 )(3 + 4x x44 ) = (–3x x – 2)(–3x x + 2) =x

(a2 – 2b)(a2 + 2b) =

Supero el retoResuelve el siguiente acertijo:Pensé un número (x(( ), si le sumo 5 y el resultado lo multiplico por el número que pensé disminuido en 5.x

Al final obtengo el 119. ¿Qué número pensé? _____________

Explica tu procedimiento y comprueba que tu respuesta es correcta.

Obtén mentalmente los resultados de las multiplicaciones:

32 � 28 = _____________ (2x2xx + 6)(2x2xx – 6)= _____________

¿Qué procedimiento de los vistos en la lección te parece más sencillo para calcular el producto de dos bino-mios conjugados?

Explica por qué:

{{ {{{

(x(( +12 )(x(( –

12 ) =

Encontrando ladosEncontrando ladosHaciendo cálculos 23

4 Los viverosLecc

ión


Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como:(x + a) (x + b).

Actualmente hay más de 3 000 plantas que se consideran de uso ornamental.Un vivero es un conjunto de instalaciones agronómicas en el cual se plantan, germinan, maduran y endurecen todo tipo de plantas. La importancia de las plantas ornamenta-les se ha incrementado con el desarrollo económico de la sociedad; las áreas ajardinadas aumentaron en las ciuda-des, así como el uso de plantas de exterior e interior de los particulares.

Don Rafael cuenta con un terreno de 16 m de largo por 13 m de ancho, el cual es destinado para un vivero de plan-tas ornamentales.

¿Cuál es el área de su terreno? _____________________Él hace una distribución de su terreno mediante un arreglo de (10 + 6)(10 + 3):

10 + 6

10+3

Colorea de rojo el área de las rosas (10)(10). ¿Cuántos cuadros iluminaste? _________Ilumina de amarillo el área (10)(6), que corresponde a los girasoles. ¿Cuántos cuadros fueron?_________Colorea de naranja, la zona de (3)(10), que es donde se encuentran las lilas. ¿Cuántos cuadros quedaron de este color?_________De lila la zona (3)(6), donde se encuentran las azaleas. ¿Cuántos cuadros lilas tienes? _________¿Cuántos cuadros iluminaste en total?_________¿Este resultado coincide con el área de su terreno? _________¿Por qué crees que sucedió esto?

Encontrando ladosEncontrando ladosLos viveros24

Revisa tus respuestas con un compañero y sigue trabajando con él en las siguientes actividades.Calculemos ahora el área de la siguiente figura:

Analiza esta última expresión y contesta:

¿Cuántos términos en común tienen ambos factores?__________¿Cuál es?__________¿Cuántos términos no comunes tienen los dos factores?__________¿Cuáles son?____________________En el resultado:¿Qué término está elevado al cuadrado?__________¿De dónde resulta el coeficiente del segundo término? ¿Qué representa el tercer término?

Veamos otro ejemplo y analiza el resultado.

Descubre un procedimiento para calcular el producto de factores que intervienen en este modelo que seconoce como binomios con un término común.

En grupo y con apoyo del maestro, analiza la expresión y completa el texto en los renglones de abajo.

(x(( +x a)(x(( +x b) = x2xx + (a + b)x + x ab

Binomios conun término común

Cuadrado deltérmino común

El producto de la suma de los no comunespor el común

El producto de los términos no comunes

{

Para obtener el producto de dos binomios con un término común

x + 4x

x

+

2

Calcula:Área de a = __________u2

Área de b = __________ u2

Área de c =c __________ u2

Área de d =d __________ u2

Área total = __________ u2

Entonces (x(( + 2)(x x(( + 4) = x ______________________

a b

c d

x +x a

x

+

a

Calcula:Área de la zona 1 = __________Área de la zona 2 = __________Área de la zona 3 = __________Área de la zona 4 = __________Área total = _________________Entonces (x(( +x a)(x(( + x b) = ____________________

1 2

3 4

Encontrando ladosEncontrando ladosLos viveros 25

Calcula el área de las superficies y explica cómo obtuviste cada una.

Supero el reto

Resuelve:(x(( + 2)(x x(( + 5) = (x y(( – 3)(y(( + 6) =

(7 – 2x)(–6 – 2x x) = (1.2 x a – 2)( 1.2 a – 3) =

(a + 3)(a – 1) =

Explica en tu cuaderno qué ventajas le encuentras a obtener los productos de factores a partir de la regla que aprendiste en la lección.

Superficie Procedimiento Área

8

2

x

7

6

x

x

10

2

3x

x

5

x

x

x

2x

x

1

Encontrando ladosEncontrando ladosLos viveros26

5 Resolviendo retos Lecc

ión


Factorizar expresiones algebraicas tales como: (x2 + 2 ax + a2)

A Gaby le pidieron que resolviera el siguiente reto Reúnanse por equipos y ayúdenle a resolver lo que se pide:

A = 49 u

ax

ax

x2

2a

2

Observen el primer cuadrado. ¿Cuánto mide su lado?

¿Cómo encontraron el resultado?

Ahora observen el segundo cuadrado.

¿Cuánto mide el área de ese cuadrado?__________________________

¿A qué es igual el lado de ese cuadrado?

Describan el procedimiento que siguieron para encontrar el lado de este cuadrado:

Comenten en su grupo sus respuestas.

Para encontrar el valor del lado del cuadrado, es necesario factorizar el trinomio cuadrado perfecto del área

del cuadrado. Factorizar es encontrar los factores que forman el trinomio cuadrado perfecto, en este caso

x2xx + 2 ax + x a2, para hacerlo se extrae raíz a los cuadrados perfectos que en este caso son x2xx = x y x a2 = a y

estas raíces se separan por el signo que tiene el término no cuadrado, en este caso + 2 ax, que debe ser el x

doble producto de las raíces cuadradas obtenidas y todo se eleva al cuadrado.

Así, x2xx + 2 ax +x a2 que factorizado queda así (x(( + x a)2 que es igual a (x(( +x a) (x(( + x a) que en nuestro proble-

ma (x(( +x a) es el valor del lado del cuadrado, como recordarás el área del cuadrado se obtiene multiplicando

lado por lado.

Encontrando ladosEncontrando ladosResolviendo retos 27

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, primero se debe comprobar que lo sea:a) Debe contener dos términos cuadrados perfectos (que tienen raíz cuadrada natural) positivos yb) El otro término debe ser el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos.

Ejemplos: 25x4xx + 40x + 16 es trinomio cuadrado perfecto.x

a) 25x4xx y 16 son cuadrados perfectos y positivos: 25x4xx = 5x2xx 16 = 4 b) 40x2xx es el doble producto de las raíces cuadradas 2(4)(5x2xx ) = 40x2xx

Así, tenemos que factorizar 25x4xx + 40x + 16 = (5x x2xx + 4)2

a2 –2ab + 4b2 no es trinomio cuadrado perfecto.

a) a2 y 4b2 si son cuadrados perfectos y positivos: a2 = a 4b2 = 2b

b) pero –2ab no es el doble del producto de las raíces cuadradas: 2(a)(2b) = 4ab

Factoriza las siguientes expresiones. Comprueba que sea un trinomio cuadrado perfecto, ya que algunos no lo son:

a2 + 2ab + b2 = x2xx – 10x + 25 =x

4m2 + 20m + 25 = 9x4xx 2+ 6xy + 1 =y

81m2 – 72mn + 16n2 = x2xx – xa + a2 =

1 – 2y + 4y y4 2yy = 4m2 – 12mn + 9n2 =

49x2xx y2yy + 28xy + 4 = 36y x2xx – 84x44 + 49 =x

Encuentra la expresión que denote el lado de cada cuadrado dada su área. Calcula el área de las superficies sombreadas y explica cómo obtuviste cada una.

Supero el reto

A = c2 + 2cd +d d2

l =lComenten con el grupo qué procedimiento siguieron para encontrar sus resultados.

A = m2 – 2m + 1l =l

A = 4m2 + 4 am + a2

l =l

Encontrando ladosEncontrando ladosResolviendo retos28

6 La tarea de Luis Daniel Lecc

ión


Factorizar expresiones algebraicas tales como: (ax2 + bx).

A Luis Daniel le dejaron una tarea que no sabe cómo resolver. Reúnete con un compañero y ayúdenlo a resolver la tarea contestando las siguientes preguntas después de observar las figuras.

x

x 10x

2x

¿Cuál es el área del cuadrado? ___________________¿Cuál es el área del rectángulo? ___________________¿Cuánto tiene que valer x en ambas figuras para que tengan la misma área? x Anoten el procedimiento que siguieron para encontrar el valor de x: Comenten con su grupo sus respuestas.¿Cuántas parejas calcularon el valor de x al “tanteo”? x ___________________¿Cuántas parejas plantearon una ecuación para encontrar el valor de x? ___________________Anota las ecuaciones que plantearon: __________________________________________________________________________________________________________________________¿Cómo la resolvieron?

Para factorizar expresiones algebraicas de la forma ax2xx + bx, que no tienen término independiente, x

se busca expresarlas como un producto, en el cual uno de los factores sea el máximo factor común, en este caso ax2xx + bx se factoriza así:x x (ax +x b) , ya que x es el factor común de los dos términos.x

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

4x44 2xx + 2x = 7x a2 – 21a =

y2yy – 4y4 = 6y b2 – 12b =

Encontrando ladosEncontrando ladosLa tarea de Luis Daniel 29

x2xx – 8x =x a2 + 2a =

m2 + m = n2 – n =

Las ecuaciones de la forma ax2xx + bx = 0, se pueden resolver por factorización. Si un producto es cero signifi-x

ca que uno de sus factores vale cero, por eso después de factorizar se iguala cada uno de los factores a cero y de ahí resultan dos soluciones. Ejemplo:x2xx – 8x = 0x

x( x – 8 ) = 0x

x = 0x x – 8 = 0 x

x = 8x

Resuelve las siguientes ecuaciones:

x2xx + 2x = 0x y2yy – 12y = 0y

3a2 – 4a = 0 4x44 2xx – 12x = 0x

Encuentra el valor de x para que los dos cuadrados tengan la misma área.x

Supero el reto

3x

2x

3x

6x

Si al área de un cuadrado le restamos su perímetro se obtiene cero, ¿cuánto mide el lado de ese cuadrado? ___________________

Comenta con el grupo tus respuestas.

Encontrando ladosEncontrando ladosLa tarea de Luis Daniel30

7 Sumados y multiplicados 1 Lecc

ión


Factorizar expresiones algebraicas tales como: (x2 + bx + c).

Un señor fraccionó su terreno rectangular de la siguiente forma:

3x 12

4xx2

Con base en esto responde las preguntas.¿Cuáles son las 2 dimensiones de terreno ilustrado? ________, __________Dichas dimensiones factorizarán el área de todo el terreno. ¿Cuál es el área total del rectángulo original en estos términos? ___________________Anota las cuatro áreas de los cuatro rectángulos interiores, súmalas y después obtén el área total en tres términos:_______ + _______ + _______ + _______ = _______ + _______ + _______Es decir, x2xx + 7x + 12 = (x x + 3)(x x + 4) x → factorizamos el trinomio con las 2 dimensiones.Ahora encuentra el valor de x si se sabe que el área total del terreno es de 72 m. x x =x _______

Resuelve el siguiente problema:Un grupo tiene 24 alumnos, si la cantidad de mujeres elevada al cuadrado es igual a cuatro veces la cantidad de hombres, ¿cuántas mujeres y cuántos hombres hay en el grupo? Explica cómo lo resolviste o cómo intentaste hacer para solu-cionarlo.

Enseguida te damos las expresiones algebraicas que cumplen las condiciones dadas usando la m para repre-sentar a las mujeres y h para representar a los hombres.m + h = 24………. (1) m2 = 4h…………(2) h= 24 – m …….(3)Despeja m……(1) y sustituye en……………(2)

Encontrando ladosEncontrando ladosSumados y multiplicados 1 31

Supero el reto

Verifica que hayas llegado a esta expresión: m2 + 4m – 96

Explica por qué dicha expresión algebraica es un trinomio de la forma:x2xx + bx +x c

Recuerda que factorizar es equivalente a encontrar las raíces de un polinomio.

Al tener esta expresión m + 4m – 96 debemos hallar sus raíces buscando 2 números que sumados den el

coeficiente de la m, y multiplicados, el término independiente.

En este caso, el término independiente tiene signo: _____________Es decir, uno de los números tendrá signo positivo y el otro signo negativo. ¿Qué determina cuál número es el positivo? Anota todos los divisores de 96: ___________________________________________________Esto te facilitará hacer tus cálculos.Factoriza el trinomio m2 + 4m – 96 = (m ___ _____ ) (m __ _____ )y sus raíces son m1 = –12, m2 = 8; eliminamos la solución negativa.Así tenemos que son 8 mujeres y 16 varones. Compruébalo en las ecua-ciones originales.

Resuelve el siguiente problema:Si el área no sombreada es de 25 cm2 y el área del cuadrado central es de2 cm2, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?______________Une con una línea cada trinomio con el modelo geométrico que le corresponde.

a2 + 4a + 3

a2 + 5a + 6

x + 5

x – 1

Encuentra las medidas de los lados de los siguientes rectángulos, dadas sus áreas.

A1 = m2 + 2m – 3 A2 = x2xx + 3x – 40 x A3 = y2yy – 7y + 10y

a 3

3aa2

2a 6

3aa2

Encontrando ladosEncontrando ladosSumados y multiplicados 132


Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x2 – a).

Tomando como referencia los cuadrados a2 y b2,¿cómo los restarías?

Sumados y multiplicados 2 8Lecc

ión

Anota las medidas de los lados del rectángulo obtenido.

Una de las formas es superponiéndolos como se muestra en la figura 2 cuya área es a – b. Para encontrar lamedida de sus lados se hizo el siguiente corte trasladando la figura resultante en partes como se indica en lafigura 3.Por último se acomodan las secciones geométricas y se obtiene un rectángulo el cual es la diferencia de loscuadrados de la fig. 1.

a2

b2

Fig. 1 Fig. 2

a2

b2

a

bb

Fig. 3

ba

a – b

Encontrando ladosEncontrando ladosSumados y multiplicados 2 33

Por lo tanto, a2 – b2 = (a + b)(a – b)

¿Por qué al factorizar la diferencia de cuadrados siempre uno de los factores comunes debe ser positivo y el

otro debe ser negativo?

Explica qué es factorizar una diferencia de cuadrados.

Realiza el siguiente cálculo numérico mentalmente 71 � 69. Toma el tiempo y regístralo.

¿Qué resultado obtuviste?___________

¿Cuánto tiempo tardaste? ___________

¿Cómo le hiciste para realizar el cálculo sin papel, ni lápiz, ni calculadora?

¿Fue sencillo hacerlo así? ___________

Aquí te damos una forma sencilla y rápida para realizar este tipo de cálculos aritméticos:

Se descompone el número 71 en 70 + 1, y el 69 en 70 – 1

Aplica la fórmula de la diferencia de cuadrados ( ) ( );

es decir, elevas al cuadrado el 70 = ___________ ; elevas al cuadrado el 1 = ___________ y la diferencia

es el producto, por lo tanto 4 900 – 1 = 4 899

Encuentra los resultados de las siguientes multiplicaciones factorizando con la fórmula de diferencia de

cuadrados.

66 � 54 = ( + ) ( – ) =

41 � 39 = ( + ) ( – ) =

16 � 24 = ( + ) ( – ) =

Factoriza los binomios conjugados

9x2xx – 81 = _________________

x2xx – y6yy = _________________

a2 – 25b2 = _________________

b2 – 16 = _________________

25a2b4 – 121 = _________________

y2yy – 100 = _________________

Encontrando ladosSumados y multiplicados 234

Escribe dentro de cada círculo las soluciones de las ecuaciones enlistadas, de tal manera que cada ladosume 17. No debes repetir ningún número.

x2xx – 10x + 25 = 0x

x2xx – 12x + 27 = 0x

x2xx – 7x + 6 = 0x

x2xx – 6x + 8 = 0x

x2xx – 15x + 56 = 0x

¿Por qué hay 9 soluciones si hay cinco ecuaciones cuadráticas?

¿Por qué en la tercera ecuación las soluciones no son 3 y 2 a pesar de que su producto es 6?

Resuelve los siguientes problemas:

a) Encuentra 2 números cuya suma sea 24 y cuyo producto sea 143: ___________________

b) Un terreno rectangular tiene un perímetro de 78 m y su área de 378 m,¿cuáles son sus dimensiones? ___________________

Supero el reto

Encontrando ladosSumados y multiplicados 2 35

9 ¿Qué parte del cerebro se ilumina?Lecc

ión


Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a)(x + b); (x + a)(x – a).

Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2+ bx + c; x2 – a2.

¿Sabías que cuando resuelves matemáticas mentalmente, así como

cuando aplicas productos notables (o tareas de cálculos más comple-

jos en los que participa la aplicación de reglas) el área del cerebro

que se emplea es el hemisferio izquierdo? Concretamente, el frontal

inferior izquierdo también se emplea para el idioma y la memoria fun-

cional (que es la que retiene datos mientras se procesan otros datos

relacionados, por ejemplo cuando multiplicas 89 � 92).

En las lecciones anteriores estudiaste los productos notables, ¿los re-

cuerdas? Escribe el nombre de dos casos de ellos _______________

______ y ___________________________.

Ahora usarás el área frontal inferior izquierda de tu cerebro, es decir,

practicarás con los productos notables.

Relaciona las columnas escribiendo en el paréntesis la letra correspondiente.

A. Binomio al cuadrado. ( ) (x(( + x a) (x(( –x a)

B. Binomio con término común. ( ) (x(( + x a)2

C. Binomios conjugados. ( ) (x(( + x a) (x(( +x b)

Completa para hacer verdadera la igualdad.

(x(( + 2) (x x(( + 10) =x _______ + 12x +x _______

(x(( + 5)x 2 = x2xx + _______ + 25

Encontrando lados ¿Qué parte del cerebro se ilumina?36

(x(( + 8) (x x(( – 8) =x _______ – _______

(y(( – 9) (y y(( + 2) =y _______ – _______ – 18

(h + 12) (h – 12) = h2 – _______

(a – 8)2 = _______ – _______ + 64

(x (( + 7) (x (( – 3) = x2 + _______ – _______

(2x + 3)x 2 = _______ +12x +x _______

(7x + 9x y9 ) (–9yy y9 + 7y x) = x _______ – _______

( 2x3

+ 5)2

= 4x44 2xx9

+ _______ + _______

Resuelve éstas que ya son “para expertos”.

( 13 + 4x44 )x (4x 44 +

16 ) = _______________________________________

( 1x –

1a ) ( 1

x +1a ) = _______________________________________

(–12 x +

79 )

2 = _______________________________________

Inventa cuatro productos notables y plantéalos a un compañero para que los resuelva, mientras tú contestas

los que él te diga.

Encontrando lados ¿Qué parte del cerebro se ilumina? 37

Supero el reto1. Explica brevemente y con tus palabras cómo se resuelve un:

Binomio al cuadrado.

Binomio conjugado.

Binomio con término común.

2. En los ejercicios anteriores has resuelto los productos notables, es decir, multiplicaciones, pero, ¿recuerdas

cómo se llama el proceso contrario, es decir, cuando aparece uno o varios términos y hay que expresarlos

por medio de factores?

3. Recuerda y comenta con tus compañeros los cuestionamientos sobre algunas factorizaciones.

x2xx – a2. ¿Qué nombre recibe este caso?

¿El binomio 4x44 2xx – 81 representa una diferencia de cuadrados? ______

¿Qué condición debe cumplir cada uno de los términos? __

____

Factoriza 16x2xx – 36 = ______________________________

¿Cuántos términos tiene un trinomio cuadrado perfecto? ______

Escribe las tres condiciones que debe cumplir el trinomio para ser cuadrado perfecto.

1er término: ______________________________________________________

2o término: ______________________________________________________

3er término: ______________________________________________________

La expresión x2xx + 20x + 1, ¿es un trinomio cuadrado perfecto?x _________

¿Por qué?

Reescribe la expresión anterior para que sí sea un trinomio cuadrado perfecto.

_____________________________________________________

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto x2xx + 12x + 36 = x __________________________

Para que puedas factorizar el trinomio a2 –12a + 20 como binomio con término común, escribe las dos

condiciones que tienen que cumplir los dos números que elegiste escribir en los espacios señalados.

(a _________ ) (a _________ )

Encontrando lados ¿Qué parte del cerebro se ilumina?38

1ª __________________________________________________

2a __________________________________________________

Factoriza a2 – 12a + 20 = ( ) ( )

4. Aplica el caso de factorización correspondiente:

x2xx + 10x + 25 = x ________________________________

49x2xx – r2rr = ________________________________

(–100 + 1a2 ) = ________________________________

a2 – a – 6 = ________________________________

m2 –16m + 64 = ________________________________

y2yy + 2y – 48 = y ________________________________

5. Completa las oraciones:

Trinomio cuadrado perfecto, se factoriza como:

________________________________________________________________

Trinomio de la forma x2xx + bx + c = 0, se factoriza como:

________________________________________________________________

Diferencia de cuadrados, se factoriza como:

________________________________________________________________

Encontrando lados ¿Qué parte del cerebro se ilumina? 39

10 El tangram

Lecc

ión


Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

El tangram es el acertijo más antiguo, se le conoce en China como chí chíao tń (que significa “plan ingenioso de varias piezas”). Ha sido pasa-ntiempo oriental por muchos años.Este pasatiempo ha sobrevivido a través del tiempo a diferencia de otros acertijos similares. ¿Por qué ha sido así? La respuesta se puede encontrar si uno construye su propio tangram y prueba su habilidad para resolver algunos de estos acertijos. Calca cuatro triángulos congruentes al que se observa, resaltado, en la imagen. Recórtalos y, ¡a jugar!

Reúnete con un compañero y traten de formar las siguientes figuras; para cada figura usa siempre los cuatro triángulos; gana quien realice en el menor tiempo todas las figuras:

¿Cómo son los cuatro triángulos entre sí? _________________________________¿Crees que son congruentes? _______ Si son congruentes, ¿por qué piensas que son congruentes? Ahora pega en tu cuaderno los cuatro triángulos, y escribe como título: “Triángulos congruentes”. Recuerda que dos figuras geométricas que tienen la misma forma y el mismo tamaño son congruentes.

Congruencia de triángulos:Dos triángulos �ABC yC �A’B’C’ son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus lados y sus ’

ángulos

C

A

B

C’

A’

B’

Encontrando ladosEl tangram40

Entonces, si: AB ≅ A’B’, BC = B’C’, CA ≅ C’A’ y’

�A ≅ �A’, �B ≅ �B’ y�C ≅ �C’.

Por lo tanto: �ABC ≅ �A’B’C’

¿Cómo construir triángulos congruentes a uno ya dado? María no pudo asistir a la escuela porque estaba enferma, sus compañeros le han llamado para saber cómo se encuentra, ella ha aprovechado para preguntar qué tarea debe realizar para la clase de matemáticas. Sus compañeros le informaron que debe realizar un triángulo, pero se ha encontrado que cada uno le dio dife-rente información para realizarlo, ¿cuál o cuáles de los siguientes conjuntos de datos le permitirá construir el triángulo solicitado por el maestro?

Analiza lo que hizo María para construir el triángulo.

f Uno de los lados mide 6 cm.

Con sólo la medida de uno de sus lados María pudo construir varios triángulos, ¿se podrán construir más triángulos? __________ ¿Como cuántos más? __________

f Dos de los lados miden respectivamente 6 cm y 4.5 cm.

Con la medida de dos lados, también pudo construir varios triángulos, sólo fue cambiando la medida del ángulo formado entre esos dos lados, ¿se podrán construir más triángulos o sólo estos tres? __________¿Como cuántos más? __________

f Las medidas de sus tres lados son 6 cm, 4.5 cm y 4.2 cm.

Con la medida de los tres lados pudo construir sólo uno.¿Se podrá construir cuando menos otro más? __________ Sea afirmativa o negativa tu respuesta, explica por qué.

6 cm 6 cm 6 cm

6 cm

4.5 cm

6 cm

4.5 cm6 cm

4.5 cm

4.2 cm4.5 cm

6 cm

Encontrando ladosEl tangram 41

f Un ángulo mide 50° y uno de los lados que lo forma 6 cm.

Con la medida de un lado y un ángulo pudo construir también varios triángulos, sólo fue cambiando el largo del otro lado del ángulo dado, ¿se podrán construir más triángulos con esas dos medidas? _____________¿Como cuántos triángulos más? _____________

f Un ángulo mide 50° y los lados que lo forman 6 cm y 4.2.

Con estos tres datos también pudo construir sólo un triángulo, ¿será posible construir otro más con esta información? _____________

f Sus tres ángulos miden 50°, 45° y 85°

Con la medida de los tres ángulos también pudo construir varios triángulos, todos de diferentes tamaños, ¿se podrán construir más triángulos diferentes? _____________

f Un lado mide 6 cm y sus ángulos adyacentes 50° y 45°

Como puedes ver, de los siete conjuntos de datos que le dieron a María sus compañeros, sólo tres de ellos le permitieron construir el triángulo solicitado por el profesor. ¿Cuáles fueron? ¿Cuántos datos tenían esos conjuntos de datos para obtener el triángulo deseado?

6 cm

50º

6 cm

50º

6 cm

50º

4.2 cm

6 cm

50º

85o

50o45o

85o

50o

45o

85o

50o 45o

Con la medida de un lado y los ángulos adyacentes pudoconstruir también sólo uno, ¿Será posible construirotro?

6 cm

45o50o


Criterio LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres lados.

De acuerdo con las tres maneras de construir triángulos mostradas en las páginas anteriores, se establecen tres criterios de congruencia entre triángulos, a partir de la congruencia entre sus lados y sus ángulos.

Criterio LLL: Dos triángulos son congruentes, si tienen respectivamente congruentes sus tres lados.

AB

CA’

B’

C’

Si: AB ≅ A’B’, BC ≅ B’C’ y’ CA ≅ C’A’

Entonces: �ABC ≅ �A’B’C’

Criterio ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres lados.

Si: AB ≅ A’B’, �B ≅ �B’ y CA ≅ C’A’


A

B

C

A´

B´

C´Si: AB ≅ A’B’, �B ≅ �B’ y ’ CA ≅ C’A’


BA’

B’

C’A

BC

B’

Los criterios de congruencia de triángulos permiten construir triángulos congruentes y ayudar a com-probar propiedades y justificar teoremas.


Toma en cuenta los datos que aparecen en los siguientes triángulos e identifica cuáles son congruentes, señala también cuál criterio de congruencia justifica tu respuesta.

3

4

I34

II3

4III

Son congruentes los triángulos _____________ y _____________ por el criterio

2120˚

I

30˚

2120˚

II30˚

2 120˚

III30˚


3.5

I2.5 2.5

3

II2.5 2.5

3

III2.5 2.5

Interpreta los siguientes mensajes para construir triángulos, escribe LLL, LAL o ALA a partir de la información que se da en cada mensaje para trazarlos:

f Traza un triángulo que mida: 5 cm en uno de sus lados y los ángulos que están en sus extremos de 60° y 50°, respectivamente.



f Traza en tu cuaderno un triángulo que tenga un ángulo de 75° y los lados que forman dicho ángulo midan 8 cm y 6 cm, respectivamente.

f Traza en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan: 5 cm, 6 cm y 7 cm.

¿Se dificultó el trazo de alguno de los triángulos? ¿Cuál de los criterios de congruencia consideras que es más sencillo de aplicar? ¿Será posible utilizar los criterios de congruencia en otras figuras para demostrar o comprobar sus propieda-des? Explica en qué otras asignaturas tienes necesidad de construir triángulos congruentes o qué otros usos se les puede dar. En grupo y con ayuda del maestro revisen y discutan sus respuestas.

Supero el reto

Traza en el interior de la estrella las líneas necesarias paraobtener sólo triángulos equiláteros congruentes.


11 Juguemos con las figuras geométricas 1Lecc

ión


Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

Hipocrates de Quio, nacido el 450 a.n.e.; fue primeramente comerciante.Aparece en Atenas hacia el año 430 a.n.e. para reivindicar ciertos derechos,donde funda poco después una escuela de geometría. Sentó las bases delmétodo de deducción, o sea: “Transformar un problema en otro ya resuel-to”. Inició el uso de las letras en las figuras geométricas. La geometría dejóde ser con él una técnica para tomar el rango de “ciencia deductiva”, queculminaría con Euclides. Fuente: Geometría y trigonometría de Aurelio Baldor.

Memoria geométrica

¿Has jugado Memoria? ¡Pues ahora te invitamos a jugar!1. Formen equipos de cuatro integrantes y recorten las tarjetas del material anexo Núm. 1 .2. Revuelvan las tarjetas y colóquenlas boca abajo extendidas en la mesa.3. Por turno, cada integrante del equipo voltea dos tarjetas.4. Si coincide que al voltearlas una de ellas es la figura y la otra menciona algunas de sus características de

esta figura, el participante se queda con el par de tarjetas, además, tendrá la oportunidad de abrir otropar de tarjetas.

5. Si no coinciden vuelvan a colocar las tarjetas boca abajo.6. Continúen así hasta que se terminan las tarjetas.7. Gana el juego quien obtiene más parejas de tarjetas. Los otros integrantes del equipo revisarán que efec-

tivamente sea la tarjeta con su respectiva descripción.

Clasificando cuadriláterosf De las parejas obtenidas separen todos los cuadriláteros. En relación con los lados opuestos, separen los que tienen dos lados paralelos. ¿Cuáles son esos cuadrilá-teros? ______________________________________.

Cuadrado Rectángulo Romboide Rombo

Los cuadriláteros con dos pares de lados paralelos reciben el nombre de “paralelogramos”.

Encontrando ladosJuguemos con las figuras geométricas 146

f Los cuadriláteros que sólo tienen un par de lados paralelos son:

Trapecio isóseles Trapecio rectángulo Trapecio escaleno

f Cuadriláteros sin lados paralelos reciben el nombre de:

f En un cuadrilátero, los lados opuestos son aquellos que no cuentan con ningún vértice común, como en el ejemplo abajo mostrado. AB y CD, CB y DA son pares de lados opuestos.

f Cuando tienen un vértice común se llaman lados consecutivos.

f Los vértices opuestos son los que no tienen un lado común. ¿Cuáles son los vértices opuestos del cua-drilátero que aparece abajo? ____________________________________

f Los ángulos opuestos son los que tienen vértices opuestos. El ángulo A y el ángulo C son ángulos Copuestos. ¿El otro par de ángulos opuestos es? _______________________

Los ángulos interiores que tienen un lado común se llaman consecutivos. ¿Cuáles son los ángulos con-secutivos del cuadrilátero mostrado? _______________________

f Cada ángulo interior de un cuadrado mide: _______________ ¿Cuánto suman las medidas de los 4ángulos interiores? _________________Calca uno de los cuadriláteros, recorta cada uno de los ángulos y pégalos uno enseguida de otro haciendoque coincidan en los vértices en un mismo punto. Observa la figura.

A

B

C

D

Los cuadriláteros con un par de lados paralelos reciben el nombre de trapecios.

Encontrando ladosJuguemos con las figuras geométricas 1 47

f ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero? Tomen las tarjetas de los cuadriláteros de la memoria que armaste en anexo 1 y tracen las diagonales a todos. Ejemplo:

f En un cuadrilátero se pueden trazar, cuando más, _________________ diagonales.

Propiedades de los paralelogramosRevisaremos ahora algunas propiedades de los paralelogramos. Primero haremos algunas demostraciones, podemos comprobarlas haciendo uso de los criterios de congruencia de triángulos.

I. Los lados opuestos en un paralelogramo

A B

C

42

1

3

D

Hipótesis:�ABCD es un paralelogramo.Tesis:

AB ≅ CD

AD ≅ BC

(Trazo auxiliar: la diagonal AC).

Afirmaciones1. �ABCD es un paralelogramo.2.∡1 ≅∡2∠3 ≅∠ 4

3. AC ≅ CA

4. � ABD ≅ �CBD

5. AB ≅ CD; AD ≅ BC

Razones:1. Por hipótesis.2. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas.

3. Por identidad (por ser el mismo segmento).4. Por tener un lado congruente adyacente a dos ángulos res-

pectivamente congruentes (ALA).5. Por ser lados homólogos en triángulos congruentes.


II. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente

A B

CD

O

®ABCD.2. Haz centro en el punto O (puedes ayudarte con un alfiler para poder girar libremente tu paralelogramo).

Efectúa una rotación de 180° al paralelogramo recortado. ¿Qué observas? Por lo tanto el punto O es el centro de simetría.

3. ¿Cómo resultan los lados opuestos del paralelogramo? 4. ¿Cómo son las distancias OA y OC? ______________________5. ¿Cómo son los segmentos OD y OB? ______________________6. Entonces el punto O es punto medio del segmento

A B

CD

O

Hipótesis: ® ABCD es un paralelogramo.

Tesis:OA ≅ OC

OB ≅ OD

(Trazos auxiliares: las diagonales AC y BD)

Afirmaciones:1. ∡1 ≅∡2∡3 ≅∡4

2. BC ≅ AD

3. �AOD ≅ �BOC

4. OA ≅ OC; OB ≅ OD

En una hoja de papel, calca el siguiente paralelogramo, recórtalo y realiza lo que se te pide:

Razones:1. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas.

2. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.3. Por tener congruentes los dos ángulos y el lado adyacente a dichos

ángulos (ALA).Por ser lados homólogos de triángulos congruentes.


y el punto O es el punto medio del segmento. ___________.Por lo tanto, las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

5. Compara los ángulos opuestos del paralelogramo. ¿Cómo son? _____________________

6. Compara los ángulos adyacentes del paralelogramo.¿Cuánto suman? _____________________Los ángulos que suman 180° reciben el nombre de ángulos suplementarios. Por lo tanto, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son: _____________________

7. Siguiendo el procedimiento anterior traza un cuadrado, un rectángulo y un rombo, localiza su centro de simetría y contesta lo que se te pide:a) ¿Cómo son las diagonales de un rectángulo? _____________________b) ¿Cómo son los ángulos contiguos de un rectángulo? _____________________c) ¿Cómo son las diagonales de un cuadrado? _____________________d) ¿Cómo son los ángulos contiguos de un cuadrado? _____________________e) Las diagonales de un rombo se cortan formando un ángulo __________, por lo tanto, son perpendi-culares.

1. Calcula los valores que faltan en cada uno de los siguientes paralelogramos.

A B

CD

70˚

8 cm

5 cm

E

F

G

H

115˚3 cm 3 cm

Q P

NM

90˚

5 cm

9 cm

∡C =C _______________∡B = _______________CD= _______________AD= _______________�®ABCD es un ______________________________

∡E =E _______________∡H = _______________∡G = _______________FE = _______________HE = _______________�®EFGH es un ______________________________

∡M = _______________∡N = _______________∡P = _______________PQ = _______________NP = _______________

�®MNPQ es un ______________________________2. Tomando en cuenta los datos que se te dan, escribe el nombre del paralelogramo (®) de que se trate.

a) Si sus lados contiguos son diferentes y sus ángulos contiguos también son diferentes, el paralelogramo es un: ______________________________b) Si sus diagonales son congruentes y sus lados contiguos son diferentes, el paralelogramo es un: ______________________________


c) Si sus diagonales son perpendiculares, sus lados contiguos congruentes y sus ángulos contiguos son diferentes, el paralelogramo es un: ______________________________

Supero el reto

Calca la letra E y recórtala sobre las líneas punteadas. Con las piezas que obtuviste forma un cuadrado.

f Los cuadriláteros con dos pares de lados paralelos reciben el nombre paralelogramos.

f Los cuadriláteros con un par de lados paralelos reciben el nombre de trapecios.

f Los cuadriláteros sin lados paralelos reciben el nombre de trapezoides.

f La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.

¿ Qué conocimientos y habilidades que has adquirido hasta el momento crees que te sean útiles para resolver este reto?


12 Juguemos con las figuras geométricas 2Lecc

ión


Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circun-ferencias.

A Hipócrates, matemático griego nacido en c.m., se deben dos problemas presentes en las matemáticas de todos los tiempos: la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo.En la búsqueda de la cuadratura del círculo, Hipócrates encontró el primer caso de cuadratura de una figura curvilínea, llamada lúnula. Después encontró muchas otras figuras de este mismo tipo perfectamente cua-drables; pero no llegó al círculo. En la siguiente figura podemos observar las lúnulas que se forman.

T

U

V

P

N

M

R

S

O

Q

Observa los puntos del plano, mide la distancia del punto O a cada uno de los otros puntos.MO = ______ NO = ______ PO = ______

QO = ______ RO = ______ SO = ______

TO = ______ UO = ______ VO = ______

¿Se encuentran a la misma distancia de O los puntos M, N, P, Q, R, S, T, T U y V? Localiza otros puntos que se encuentren también a la misma distancia del punto O. Toma tu compás, haz centro en O y une los puntos: M con N, N con P, P con Q, y así sucesivamente. ¿Qué figura hemos obtenido?

A todos los puntos que se localizan a la misma distan-cia de otro punto fijo, llamado centro, recibe el nombre de circunferencia.

Centro

Región interior

Región exterior

Circunferencia


Al polígono generado por un segmento de recta girando en torno a un punto que permanece fijo, recibe el nombre de círculo. Parte del plano comprendida dentro de la circunferencia.

Rectas y segmentos en el círculoRadio: Si P es un punto cualquiera de la circunferencia y P C es el centro, entonces el segmentoC PC es un radio Cdel círculo.Cuerda: Si Q y R son dos puntos cualesquiera de la cir-cunferencia, entonces el segmento QR es una cuerdaarco: Si QKR es una parte de la circunferencia, delimitadapor dos puntos extremos, entonces, QKR es un arco.Secante: La recta que pasa por los puntos A y B de lacircunferencia se llama secante a la circunferencia en lospuntos A y B.Diámetro: La cuerda LM que pasa por el centro del círcu-Mlo se llama diámetro.Tangente: La recta ST que pasa por un puntoT P de laPcircunferencia y sólo por ese punto, se llama tangente ala circunferencia en ese punto.Flecha o sagita: El segmento de recta perpendicular KJ que une el punto medio de la cuerda de una circunferen-cia con la mitad del arco que subtiende dicha cuerda sellama flecha o sagita.

Huevos y aves• ¡Con ocho piezas, puedes crear toda una bandada de pájaros diferentes!, –le dijo Daniel a Graciela.• Pero ¿cómo?• Te voy a enseñar a hacer un rompecabezas; necesitas regla, compás, papel y tijeras, aquí están las instrucciones.El problema se le presentó a Graciela cuando, al tratar de seguir las instrucciones, había espacios en blanco. Observa los trazos y lee las indicaciones, ayúdale a Graciela a hacer su rompecabezas, completa los espacios en blanco para que sean más claras las indicaciones.

A

B

C

M

LR

Q

P

S

T

KJ

A B

F

E

C D

1. Traza un ____________ de 4 cm de __________y dos ____________ perpendiculares.

2. Traza las rectas que pasan por A y E y por B y E. con el compás en A traza el ____________ BD y a partir del punto B, haz ____________ AC

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosJuguemos con las figuras geométricas 2 53

A B

F

E

C D

3. Traza el ____________ con el centro en el pun-to E para acabar el huevo. Haz un ____________de igual ____________ con el centro en la recta EF y que pase por F.

4. Repasa con lápiz los trazos de las 8 piezas y recórtalas. ¡Ya tienes tu rompecabezas!

Construye tu rompecabezas siguiendo las instrucciones que le dio Daniel a Graciela, y reproduce la siguiente ave.

Elabora un escrito en que expliques los conceptos más importantes que has visto en esta lección y su relación con otros contenidos.

La buena pizza¿Cómo cortarías esta pizza con tres cortes para que cada trozo contenga un sólo peperoni?

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosJuguemos con las figuras geométricas 254

La tangente es una línea exterior a la circunferencia que la toca en un solo punto llamado punto de tangencia.

Conocimientos y habilidades a desarrollar por los alumnos:Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

En lecciones anteriores trabajaste algunas líneas en el círculo, en la figura mostrada anteriormente aparecen algunas, ¿las recuerdas?

AB se llama: _____________________

CD se llama: _____________________

EF se llama: _____________________

En la clase de geometría…Sergio observó el siguiente dibujo, y al analizarlo comentó que la línea trazada a esta circunferencia era una tangente.

Tangente y secante 13Lecc

ión

C

A B

DF

E

A BM

O

La línea OM representa el radio de la circunferencia, ¿qué posición tiene con respecto a la tangente? _____________________ Forman ambas líneas ángulos de: ________ ¿la tangente es una línea exterior o interior a la circunferencia? _____________________ ¿Qué más puedes observar sobre esta línea llamada tangente?

En las siguientes circunferencias traza las tangentes, por el punto de tangencia marcado en cada una.

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosTangente y secante 55

La secante es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.

Observa este dibujo, ahora se trata de otra línea del círculo llamada secante.

A

BR

O

En el dibujo, la recta OR describe el _______________ de la circunferencia, que está unido a las líneas punteadas _____ y _____ formando un triángulo _______________; como OA y OB describen también _______________ de la circunferencia, por lo tanto, son iguales y forman parte de la secante AB.

Comprueba que las tangentes trazadas por los extremos del diámetro del siguiente círculo son paralelos.

T2 T1

A B

O

AB describe el _____________________

T1 y T

2T son _____________________

Considera que OA + OB = AB

Traza las secantes correspondientes a cada circunferencia, de acuerdo con los puntos marcados.

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosTangente y secante56

Supero el reto

Desde la antigüedad griega se han encontrado problemas en la geometría que resultan interesantes y a más de uno ha tentado la imaginación y el ingenio para resolverlos. He aquí un reto:

Reúnete con un compañero para dibujar una circunferencia que sea tres veces tangente al perímetro de un polígono.

¿Cuántas figuras dibujaron que cumplieran con lo indicado? _______________De los esquemas que dibujaron, ¿cuáles pudieran además generar alguna línea secante? Dibújalos.

¿Cuál de las dos rectas es más sencilla de esquematizar con base en los requerimientos anteriores?________________________________________¿Por qué?

Intenta elaborar de forma individual un ejercicio como el anterior y expónselo a un compañero para que encuentre la solución.

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosTangente y secante 57

14 El teatroLecc

ión


Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

El teatro forma parte de las Bellas Artes, describe histo-rias para representar en un escenario; estas historias son dramas, pueden ser tanto trágicas como cómicas y estar basadas en hechos ficticios o reales.

Angélica

Escenario

Liz

Angélica y Liz asistieron al teatro, pero ya no encontraron lugares juntas, en el esquema de arriba puedes observar la colocación que les dieron y su ángulo de visión marcado con líneas punteadas.¿Qué forma tiene el escenario? _______________¿Quién de las dos amigas tiene mejor ángulo de visión? _______________¿Dónde se encuentran los vértices de esos ángulos? ¿Cómo se llaman las líneas que forman los ángulos? _____________________

Esos ángulos cuyo vértice está en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas, se denominan ángulos inscritos.

Ahora observa este otro dibujo, también del teatro, donde Angélica cambió de lugar.Angélica

Escenario

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosEl teatro58

En el dibujo anterior, ¿dónde tiene su vértice el ángulo formado por las líneas punteadas? Las líneas punteadas que forman el ángulo de visión de Angélica reciben el nombre de ________________________________Este ángulo es conocido por ti, se denomina:

El ángulo central está formado por dos líneas que son dos radios y cuyo vértice está en el centro del círculo.

En seguida calca en una hoja los ángulos uno de los del primer dibujo y el ángulo del segundo dibujo, re-córtalos y sobrepónlos. Contesta: ¿Miden lo mismo? ______¿Cómo es un ángulo con respecto al otro? ________________________¿Cuánto mide el ángulo central? ___________¿Cuánto mide el ángulo inscrito? ___________Observa este dibujo y contesta:

De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es el ángulo inscrito? ___________ ¿Cuánto mide? ___________¿Cuál es el ángulo central? ___________ ¿Cuánto mide? ___________

Observa que ambos ángulos subtienden el mismo arco, es decir, los extremos de sus lados abarcan el mismo segmento de curva determinado en la circunferencia por dos puntos. Su medida depende de la medida del ángulo. Su medida en el ángulo central será la misma que dicho ángulo, mientras que en el ángulo inscrito es el doble de éste.

Veamos que ahora fue Liz la que cambió de lugar en dos ocasiones, cambiando su ángulo de visión.

P

Q

R

S

¿Cómo se llama la línea RP? _________________¿Cuánto mide el ángulo Q? _________________¿Cuánto mide el ángulo S? _________________¿Qué figuras se forman? _________________¿Qué sucedió cuando Liz cambió de lugar? ¿La figura se conservó? _________________

A

B

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosEl teatro 59

¿Qué pasaría si cambia nuevamente de lugar y escoge otro punto de la semicircunferencia?

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90o y junto con el diámetro forman un trián-gulorectángulo.

Supero el reto

Observa la figura y contesta.

¿Cuánto mide el ángulo AOC? ___________

¿Cuánto mide el arco AC? ___________

¿Cuánto mide el ángulo ABC? ___________

¿El arco AC es común a los dos ángulos? ___________

A

B

C

O

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosEl teatro60


Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales.

Dos amigos, Miguel y Bruno, juegan futbol en una zona muy especial, la cual aparece en el dibujo mostrado. Además están marcados los ángulos de tiro.

Tirando a gol 15Lecc

ión

Miguel

Bruno

¿Recuerdas cómo se llama el ángulo que se forma de donde va a tirar Miguel? ¿Y cómo se llama el ángulo que se forma de donde va a tirar Bruno? ¿Cuánto mide cada uno? Miguel hizo otro tiro, ¿de qué ángulo se trata? ¿Cuánto mide y cuál será la medida del arco que subtienden sus lados?

En equipo, observen los siguientes ángulos y anoten el nombre correspondiente, sumedida y la medida de su arco, partiendo de la línea anaranjada y en sentido contrarioa las manecillas del reloj (sentido antihorario).

Miguel

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosTirando a gol 61

¿Recuerdas las dos características de los ángulos inscritos, cuáles son?

Supero el reto

En los inicios de los videojuegos uno de los más populares fue el que se llamaba Pac man, su personaje nestaba dibujado a partir de un círculo y se caracterizaba por tener una boca con ojos que comía más cír-culos diminutos. Aquí aparece en distintos tamaños. ¿Cuál tiene el ángulo mayor en su parte sombreada?____________________ ¿Por qué?

Helvetica Ne

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/an-guloscircun.htmhttp://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/capaz_d3/inscri-tos4.html

Fecha de consulta:3 de agosto del 2007.

¿Para saber más?

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosTirando a gol62


Calcular la medida de ángulos arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

Una cabra es un mamífero que mide de 50 a 90 cm de altura, los ma-chos llevan una barba en la mandíbula inferior. Sus ojos son grandesy amarillos, salta y trepa con agilidad y se alimenta de hierba o brotestiernos de los árboles. De la cabra se aprovecha su leche, carne y piel.

Don Carlos tiene una cabra atada en una esquina del corral de formarectangular, la cuerda que ata a la cabra mide 5 m de largo.

8 m

5 m

¿Cuánto mide el ángulo que forma la esquina del corral? _________¿Crees que sea un ángulo central? _____ ¿Por qué? ¿Cuánto mide su arco? _________¿Cuál será el área donde puede pastar la cabra? _________¿Cómo podrías calcularla? Reúnete con un compañero y elaboren una estrategia de solución analizando los esquemas y concluyendo la estrategia que se muestra.

A = � * r2 A = � * r2 *4

= � * r2

4 A = � * r2 *3

= � * r2

3

La cabra 16Lecc

ión

etica Neue

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLa cabra 63

¿Encontraste la característica de la estrategia ilustrada? Aplícala a los siguientes planteamientos: Si don Carlos ata otra cabra afuera del corral para evitar que se peleen las dos cabras, ¿cuál será el área donde come la cabra amarrada por fuera si su cuerda mide 2 m?

6 m

3 m

2 m

En otro corral cuadrangular de 4 m de lado, tiene atada otra cabra cuya cuerda mide 2 m. ¿Cuánto medirá el área donde come?

4 m

2 m

A = � � r2 � 360˚ = � � r2360˚

A = � � r2 4 � 360˚ = � � r2

4 � 360˚A = � � r2 �( ) 360˚ = � � r2

4 � ( )

A = � � r2 � 1 � 360° = � r2 90˚ = 4 � 360° 360°A =

� � r2 � 3 � ( ) =

� � r2 � 270˚ = 58.9 u2

( )� 360˚ ˚

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLa cabra64

3 m

4 m

Bien, ahora la cabra está atada a un poste y su cuerda mide 3 m; al girar genera una circunferencia de tanto caminar; días después le cambian la cuerda por otra que mide un metro más. ¿Cuál será el área que queda entre las dos circunferencias? _ __

La figura anterior se llama corona, es una porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas y ados radios.

Supero el reto

El corral de la cabra de don Carlos tiene ahora la forma mostrada. ¿Cuál es el área de pasto donde come la cabra?

4 m

5 m

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLa cabra 65

17 Una gran atleta mexicanaLecc

ión


Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

Ana Gabriela Guevara Espinoza es una gran velocista mexica-na; es la mujer más rápida en la historia del deporte en Méxicoy una de las velocistas más importantes en los 400 metrosplanos en el mundo.Fue campeona mundial al ganar la medalla de oro en el Mun-dial de Atletismo en París en 2003 corriendo los 400 metrosplanos en 48.89 seg.

Fuente: www.anagabrielaguevara.com.mx, fecha de consulta: 29 de agos-

to de 2007.

Con la motivación del triunfo de Ana Gabriela, muchasniñas comenzaron a practicar el atletismo, esta es la grá-fica que representa la distancia que Mariana recorrió enla pista durante un entrenamiento.

tiempo (seg)

dis

tanc

ia e

n m

120

100

80

60

40

20

0

0 2 4 6 8 1 0 1 2

2; 20

6; 60

¿Cuántos metros recorrió en 6 seg?____________________¿En cuanto tiempo corrió 40 m? _______________________Comenta con un compañero, si Mariana quisiera saber a qué velocidad corrió ¿cómo podría determinarlo partiendo de los datos de la gráfica?

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosUna gran atleta mexicana66

La razón de cambio de la distancia en relación con el tiempo se llama velocidad. En la gráfica el cambio en dla distancia se indica en dirección vertical y el cambio en la velocidad, en la dirección horizontal.

razón de cambio =cambio en la distanciacambio en el tiempo

¿Cuánto fue el cambio en la distancia del primero al último punto en la gráfica? ¿Qué operación hiciste para saberlo ___________________ ¿de qué números? ¿Con la misma operación se podrá obtener el cambio en el tiempo? __________________Completa:

velocidad = razón de cambio =6

–20

= _______ =

Por lo tanto, la velocidad a la que Mariana corrió fue ___________ m/seg.

Mariana comparó su gráfica con la de una compañera que estaba entrenando en la misma pista:

¿Cuál fue la velocidad de su compañera?_________________

Escribe la fórmula que usaste para encontrarla :

Velocidad = razón de cambio = _________________

En forma grupal reflexionen y concluyan ¿por qué si iban a la misma velocidad, la compañera de Mariana llegó a una distancia mayor que ella en 6 segundos?

La razón de cambio en una línea recta es siempre la misma y está relacionada con la inclinación dedicha recta, es decir, la pendiente.

Encuentra la razón de cambio en cada una de las situaciones de acuerdo con cada gráfica.

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosUna gran atleta mexicana 67

Incremento en el precio de un artículoObserva las siguientes gráficas y contesta las preguntas:¿Cuánto costó el artículo en el 1er mes? _________________¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo?

Meses

Pre

cio

($)

2 000

1 800

1 600

1 400

1 200

1 000

800

600

400

200

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Población de Estados Unidos¿Cuantos años han pasado de 1960 a 1970?_____________La razón de cambio de una población con respecto al tiempo se llama tasa de crecimiento.

Años

Po

bla

ció

n en

mill

one

s

400

350

300

250

200

150

100

50

0

205

1960 1970 1980 1990 2000 2010

¿Cuántos habitantes había en 1960? _____________¿Cuál fue la tasa de crecimiento de la población?______________________________

Tasa de crecimiento = ______________________________

Con esa tasa de crecimiento estima la población para el año 2010. __________________Explica brevemente cómo obtuviste el dato anterior.

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosUna gran atleta mexicana68

Número de llamadas100

Cos

to

($)

150

200

Servicio telefónico de dos compañías¿Cuál es la razón de cambio por llamada en la compañía Telcelux? ¿Cuál, la de la compañía Lusacelux? __________________Entonces, ¿por qué el costo de 100 llamadas es el mismo?

Supero el reto

¿Cuál de las dos graficas tiene una razón de cambio mayor?

¿Por qué?

Escribe una situación donde te pueda ser útil saber o conocer la razón decambio.

Cuando se grafican dos rectas paralelas, ¿cómo es la razón de cambio deambas?

A

B

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosUna gran atleta mexicana 69

18 Esperanza de vidaLecc

ión


Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organi-zación y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.

¿Te has preguntado cuántos años podrías llegar a vivir? Paracalcular este dato se utiliza la esperanza de vida, que se re-fiere al número de años que en promedio se espera viva unapersona. Una esperanza de vida alta indica un mejor desarrolloeconómico y social en la población. En México, la esperanza devida en 1930 era cercana a los 34 años, para 2005 aumentó a75 años.Algunos otros datos al respecto son que en 1950 se llegaba avivir en promedio hasta 47 años, en 1970 la esperanza fue de61 años, en 1990 aumentó 10 años más que en el 1970 y en2000 y 2003 fue la misma esperanza de vida que en 2005.Fuente: http://cuentame.inegi.gob.mx/poblacion/esperanza.aspx?tema=P

Fecha de consulta: 29 de septiembre de 2007.

Para hacer más gráfico lo anterior, ¿te conviene más represen-tarlo en gráficas de barras o circulares? _______________

¿Por qué? ¿Lo puedes representar de alguna otra forma?

De acuerdo con la que elegiste, represéntalo aquí; recuerda colocar todos los datos en la gráfica (título, ejes,fuente, etc.)

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosEsperanza de vida70

Cuando los datos están expresados en porcentaje, por lo general, ¿qué tipo de gráficas se usan para repre-sentar la información?

De acuerdo con el tipo de gráfica que contestaste, constrúyela para representar este dato interesante: Al año 2004 a nivel nacional de 100% de las defunciones, 55% fueron hombres y el resto mujeres.

Pero, ¿quién vive más, ¿los hombres o las mujeres? Tú lo podras ver gráficamente después de que represen-tes los siguientes datos en la misma gráfica, ¿qué tipo podrías usar si quieres representar dos datos en el mismo año? ____________________ ____________________Comenta el por qué con un compañero y lleguen a una conclusión para poder representar la siguiente in-formación.

En 1930 la esperanza de vida para las mujeres fue de 35 años y para los hombres de 33; para el año 2005, la tendencia cambió a 78 y 73 años respectivamente; en 1950, mujeres 49 años, y hombres 45; en 1970, hombres 59 y mujeres 63, en 1990, mujeres 74 años y hombres 68; para el 2000 las mujeres tenían una esperanza de 78 y los hombres de 73, pero en el año 2003, en la mujer bajó a 77 y en el hombre a 72.

10

20

30

40

50

60

70

19501930 1970 20001990 Años

Ed

ad

75

Gráfica mujeresGráfica hombres

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosEsperanza de vida 71

Como observas, existen diversas representaciones estadísticas (barras, circulares, pictogramas, tablas de frecuencia, polígonos, etc.) y se utilizan para comunicar información proveniente de estudios sencillos, en-cuestas, de diarios o revistas.

¿De qué institución consideras que provienen los datos manejados sobre el estudio de la esperanza de vida?

Reúnanse en equipos de 4 personas y expliquen brevemente ¿cómo podrían diseñar un estudio sencillo para determinar la esperanza de vida actual y agregar el dato a la gráfica?

A partir de la elección de una de las tres preguntas siguientes, diseñen por parejas un estudio para obtener los datos necesarios de diversas fuentes y elegir la forma más adecuada para presentar la información.

f ¿Cuál es la materia preferida por los alumnos de los grupos de 3er grado en tu escuela?

f ¿Cuál es el comportamiento del precio de la gasolina durante el año pasado en tu Estado?

f ¿Cuál es la materia que más reprueban los alumnos de los grupos de 3er grado en tu escuela?

Lugar donde obtendrás los datos para el estudio.

Datos obtenidos

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosEsperanza de vida72

Representación gráfica:

Supero el reto

¿Consideras que tiene alguna utilidad o beneficio haber realizado el estudio y poderlo comunicar gráfica-mente? ________________________¿Por qué?

¿Cuál fue tu experiencia de trabajar con un compañero para llevar a cabo el estudio?

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosEsperanza de vida 73

El estudio matemático de la probabilidad surgió en el siglo XVII, cuando los matemáticos Blaise Pascal, Pierre de Fermat y Christiaan Huygens seocuparon de algunos problemas relacionados con los resultados que pue-den obtenerse en algunos juegos de azar, como los volados o las cartas.Algunos problemas probabilísticos pueden estudiarse a partir una si-mulación. Este método fue ideado por Bernoulli, como un recurso parasimular experimentos aleatorios usando urnas. La prueba de Bernoulli sólo tiene dos resultados: un éxito o un fracaso.Sobre la familia Bernoulli habría que escribir más de una novela, desdeel momento que en tres generaciones salieron de esa familia ocho ma-temáticos y grandes exponentes de otras disciplinas. El primero de losBernoulli que mostró inclinación matemática en la familia fue Jacques. Genetistas y biólogos en varias oportunidades han investigado este extraordinario fenómeno hereditario y hay una hipótesis en que tododependió de una particular diversidad de estructura del cerebro en co-de una particcular diversidad de estrurrespondencia con las funciones auditivas, algo similar a lo que ocurrióencia con las funciones aauditivas, algcon ciertas familias de grandes mrtas familias de grandes músicos.

entFuente: Masini, et al., El romance de los números. Giancarlo M

Historia ilustrada de las matemáticas. Barcelona, Círculo de Lectores, 1980, págs. 118 y 119Historia ilustrada de las matemát cas. Barcelona, C .

74

BLOQUE 2

Como resultado de este segundo bloque temático se es-pera que los alumnos:

f Resuelvan problemas que implican el uso de ecuacio-nes de segundo grado, asumiendo que éstas puedenresolverse mediante procedimientos personales o ca-nónicos.

f Resuelvan problemas que implican utilizar las propie-dades de la semejanza en triángulos y en general encualquier figura.

f Resuelvan problemas de probabilidad que impliquenutilizar la simulación.

75

19 Encontrando ladosLecc

ión


Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas (cuando falta el término de primer grado).

Recuerda algo sobre las figuras planas

a los cuales se les llama lados.Sabes que cualquier polígono tiene dos dimensiones, ¿Cuáles son?_

Si en cada una de las figuras = 1 cm2

¿Cuál es el área de la figura 1? ¿Qué superficie ocupa la figura 2? ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado de la figura 1? ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado de la figura 2? ¿Cómo supiste cuáles son las medidas de cada lado de ambas figuras? _ Si en una vidriería se encarga un espejo de forma cuadrada que ocupe una superficie de 625 cm2, explica elprocedimiento que seguirías para cortarlo. ¿Cuánto debe medir cada lado de este espejo? Escribe la expresión algebraica que te permita conocer la medida de cada lado de un cuadrado cualquieracuando se conoce su área. Comenta con el grupo tus respuestas y el procedimiento que empleaste para obtenerlas.

Encontrando ladosEncontrando lados76

Únete a un compañero: y resuelvan el siguiente problema:

Un rectángulo tiene un área de 12 cm2, ¿cuáles serán sus dimensiones si la base mide el triple de su altura?

Medida de la base:

Medida de la altura:

Explica el procedimiento que empleaste para resolver el problema y coméntalo con tus compañeros.

Un procedimiento para resolver este tipo de problemas puede ser por “tanteo” (ensayo y error), otro proce-dimiento puede ser a través de las ecuaciones.

En grupo y con apoyo del maestro, analiza el siguiente procedimiento y expresa con palabras el porqué de cada paso que haga falta explicar.

Planteamiento delproblema en lenguaje algebraico

Porque...

A = bh El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura.

A = (3x)(x) Si la altura es x y su base mide el triple de ésta, entonces, sustitu-yendo los valores, se tiene que A = (3(( x)(x).

12 = (3x)(x)

12 = 3x2

12

3=

3x2

3

4 = x2

√√4√√ = √√x√√ 2 Considerando que el valor que se busca es el de x, no el dex x2xx , entonces se extraela raíz cuadrada a ambos miembros para que la igualdad no se altere.

±2 = x Obteniendo la raíz cuadrada de cada miembro (dos soluciones).

Por tanto x = ±2 El orden de los miembros en una igualdad no la altera (Propiedad simétrica).

Como h = x, entonces

h = 2

Continúa —>

Encontrando ladosEncontrando lados 77

Por ejemplo: 2√2 4√ = ± 2, porque (2)2 = 4, pero también (-2)2 = 4

2√2 25√ = ± 5, porque (5)2 = 25 y (-5)2 = 25

En la solución del problema anterior, se toma el valor positivo de la raíz cuadrada de 4, que es 2, ya que la medida del lado de una figura no puede ser negativa (-2).

Encuentra los valores de la incógnita de cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Explica lo que hiciste en cada caso para hallar los valores de la incógnita.

Comprueba que los valores que obtuviste son los correctos en cada ecuación.

En grupo, revisen sus resultados, validen sus procedimientos y en caso necesario corrijan los errores quehayan cometido. Aclaren sus dudas.

2 = 49 b2 + 2 = 443 m2 - 3 = 61 7 + 2x2 = 57

a = b = m = x = x =

x2

464 =

Como b = 3x, entonces

b = 3x = 3(2) = 6

b = 6

Comprobación:

A = bh

12 = (6)(2)

12 = 12

Sustituyendo los valores numéricos, la igualdad se cumple.

Dado que la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar un número al cuadrado, al extraer la raíz cuadrada de una cantidad se consideran dos soluciones: una positiva y una negativa.

Encontrando ladosEncontrando lados78

Utiliza el procedimiento que mejor te parezca para resolver los siguientes problemas. Puedes hacer uso detu calculadora.

Si elevas un número al cuadrado y le sumas 5, el resultado es 581. ¿Cuál es el número?

Si divides un número entre 3 y elevas el resultado al cuadrado da 729, ¿de qué número se trata?

Dos terrenos miden 7 200 m2 cada uno, pero en uno de ellos el largo mide el triple de su ancho y en el otroel largo mide el doble de su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de cada terreno?

¿Cuáles fueron los procedimientos que empleaste para resolver los problemas?

¿Cuál te pareció más práctico?

¿Por qué?

¿Qué habilidades consideras que desarrollaste en esta lección?

¿Por qué?

Supero el reto

Encontrando ladosEncontrando lados 79

20 Cuida el aguaLecc

ión


Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas (cuando falta el termino de primer grado).

En México, la concentración de la población y la actividad eco-nómica han generado zonas con alto porcentaje de escasez de agua, pues todavía hasta el año 2004, según los datos del INE-GI, más de 10% de mexicanos no contaban con agua potable.

Por esto, para prevenir esta escasez, en muchos lugares se construyen cisternas y en otros más se construyen pozos para almacenar el agua de la lluvia. Sin embargo, esto no es sufi-ciente, pues aún quedan millones de habitantes a los que no llega este vital líquido.

¡Cuida el agua! ¡No la desperdicies!

1. Para prevenir la escasez de agua, en una unidad habitacio-nal se quiere construir una cisterna en forma cúbica con un

volumen de 64 m3. ¿Cuánto debe medir la arista de la cisterna?Recuerda que 1 m3 = 1 000 litros.

Completa la tabla:

¿Cuál fue la solución?

¿Por qué?

¿Cuántos litros de agua se podrán almacenar?

Medida de la arista 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m

Volumen 1 m3

Capacidad 1 000 �

Cuida el agua80

2. En un pueblo se construyó un pozo en forma de prisma cuadrangular con un volumen 162 m3, si su altura mide 18 metros, ¿cuánto mide cada lado de su base?

Completa la tabla.

El lado de la base mide:

Justifica tu respuesta:

¿Cuántos litros de agua puede contener esta cisterna?

En grupo, comenten sus resultados y validen sus procedimientos.

En grupo, y con apoyo del maestro, analicen el siguiente procedimiento de resolución.

Medida de cada

lado de la base

1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m

Área de la base 1 m2

Altura 18 m

Volumen 18 m3

Capacidad 18 000 �

Problema 1

Si V = a3 1. Fórmula para obtener el volumen de un prisma.

64 = a3 2. Sustituyendo los valores conocidos.

3 √3 64√ = 3√33 a√ 3 3. Como el valor que se desea obtener es el de a y no el de a3, se extrae raíz cúbica para des-pejar la incógnita.

4 = a3

a = 4

Cuida el agua 81

¿Cómo puedes comprobar que el resultado es correcto?

Compruébalo. Justifica cada paso del siguiente procedimiento

Entonces, ¿cuánto mide cada lado de la base?

Para comprobar el resultado, ¿cuál es la solución de la incógnita que tomas para resolver este problema?

¿Por qué?

Deduce y explica por qué la raíz cuadrada de un número tiene dos soluciones y la raíz cúbica no.

Compara y argumenta tus respuestas con tus compañeros de grupo.

Problema 2

V = V Bh

162 = Bh

162 = a2 (18)

a2 = 9

√a√ 2 = √2 9√

a = ± 3

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

=18a2

1816218

Cuida el agua82

Puedes realizar el siguiente ejercicio de manera individual o trabajar con un compañero y realizar las siguientes actividades:

Si se quisiera construir un pozo de forma cilíndrica (que es lo más común) para contener la misma cantidad de agua que en el del problema 2, ¿cuánto deberá medir su radio?

Explica el procedimiento que utilizaste para resolver este problema. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba los resultados. Puedes seguir haciendo uso de tu calculado-ra o usar el procedimiento que mejor te parezca.

a3 + a = 130 m3 + m2 = 36 2x2xx – 8 = 90 x3xx – x = 1x= 9x3

3

Explica qué hiciste para obtener los resultados de las ecuaciones.

a3 = 216 m2 – 2 = 1 223 2x3xx = 31.25 x3xx + 60 = 382.88 = 392x2

2

Cuida el agua 83

Como seguramente ya has visto en Física, un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es cuando lavelocidad a la que un objeto se desplaza experimenta cambios con respecto al tiempo.

Para calcular la velocidad final en un movimiento uniformemente acelerado, se utiliza la fórmula:

distancia

Vf

V 2 = Vi

VV 2 + 2ad

velocidad final velocidad inicial aceleración

Calcula la velocidad final de un móvil que viaja a una velocidad de 80 m/s y hace un cambio de aceleraciónde 5 m/s2 recorriendo una distancia de 400 m.

Vf V =

Explica tu procedimiento para obtener el resultado.

¿Cuáles fueron los procedimientos empleados por tu grupo a lo largo de esta lección?Explica en qué consiste cada uno.

¿Cuál de ellos te pareció más sencillo y práctico?

¿Por qué?

Supero el reto

Cuida el agua84

21 El baile Lecc

ión


Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización (factorización del trinomio de segundo grado).

¿Sabías que el cantante estadounidense Michael Jackson copió varios pasos del bailarín mexicano Adalberto Martínez “Resor-tes”?

¿Te gusta bailar?

¿Qué ritmos conoces?

Una pista de baile de forma rectangular tiene un área de 644 m2, si el ancho mide 5 m menos que su largo. Encuentra las dimensiones de la pista:

Una de las formas de resolver este problema es mediante una tabla con las posibles medidas de sus lados conociendo el valor del área. Completa la tabla con los factores cuyo producto sea 644.

¿Cuáles son los factores de la tabla que cumplen que el ancho mide 5 m menos que el largo?

Comenta con tus compañeros.

¿Qué estrategia seguiste para resolver el problema anterior?

Si alguien propuso una ecuación, anótala:

Debe ser equivalente a la que a continuación te sugerimos (a + 5) (a) = 644 ¿Estás de acuerdo?

Resuelve la ecuación para encontrar los valores de las dimensiones.

Ancho 1 2

Largo 644 322

El baile 85

Retomando la ecuación a2 + 5a – 644 = 0

Contesta lo que se pregunta.

¿Cuántos términos tiene?

¿Es de la forma ax + bx + c = 0?

Anota los valores de:

Como los valores de a, b y c = 0 entonces es una ecuación cuadrática completa.

En la solución de ecuaciones cuadráticas, la forma de la ecuación juega un papel muy importante.

Resolver ecuaciones de segundo grado como a2 + 5a – 644 = 0 consiste en hallar las 2 soluciones facto-rizando el trinomio, el cual se debe expresar como el producto de 2 binomios con un término común.

Completa lo que falta para obtener las raíces.

a2 + 5a – 644 = ( + 28 ) (a – 2 ) = 0

Recuerda siempre hacer las comprobaciones.

L x A = 644 . . . . . . . . . . . . . (1) L = A + 5 . . . . . . . . . . . . . (2)

Resuelve factorizando los siguientes problemas, ya que promueven ecuaciones cuadráticas.

a) La diferencia de dos números es 1 y la suma de sus cuadrados es 61.

¿Cuáles son dichos números?

b) Gerardo es un año mayor que Miguel y la suma de los cuadrados de ambas edades es 313. ¿Cuáles sonlas edades de Gerardo y Miguel?

c) El área de un rombo es de 20 m. Si su diagonal mayor mide 3 m más que su diagonal menor, ¿cuáles son las medidas de sus diagonales?

a = b = c =

El baile86

Supero el reto

A continuación se presenta el juego “Adivina adivinador” que se llevará a cabo en parejas. Consiste en adi-vinar el número que se pensó con una serie de cálculos.

1. Piensen un número del 1 al 10.

2. Súmenle 3.

3. Eleven el resultado al cuadrado.

4. Réstenle 6 veces el número que pensaron.

5. Al resultado réstenle 9.

6. Al número obtenido sáquenle su raíz cuadrada y resultará el número que pensaron.

Descubran el truco que permite adivinar el número.

Sugerencia: "El número pensado no se conoce, así que pueden anotarlo con una letra".

Inventen otras secuencias de "Adivina adivinador" y escríbanlas.

?El baile 87

22 El ciclistaLecc

ión


Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización (completando el trinomio cuadrado perfecto).

El ciclismo es un deporte donde se requiere una gran condición física.

México ha tenido grandes ciclistas que han conseguido medallas olímpicas en esta disciplina.

Una ciclista tarda cierto tiempo en recorrer 480 km. Para haber recorrido esa distancia en dos horas menos, la velocidad debía haber sido 20 km/h más rápida. ¿A qué velocidad debía ir la ciclista?

Ahora aprenderás a encontrar las raíces de las ecuaciones cuadráticas com-

pletando el trinomio cuadrado perfecto. ¿Recuerdas qué producto nota-ble empleamos para factorizar el trinomio cuadrado perfecto?

Escríbelo:

Dado el modelo geométrico del binomio al cuadrado

(a + b)2 = (a + b) (a + b)

anota dentro de los cuatro rectángulos interiores el área de cada uno.

El ciclista88

Retomando la ecuación del problema de la ciclista, tenemos que partiendo de la función:

.................(1) ...................(2)

Sustituyendo (1) en (2) tenemos:–2V2 – 4V + 9 600V = 0

Multiplicamos por –1 y dividimos entre 2, para obtener la forma ax2 – bx + c = 0

V2 + 20V – 4 800V = 0

Empezamos a factorizar.V2 + 20V – 4 800V = 0

Mitad del segundo término elevado al cuadrado.V2 + 20V + ( )V 2 = 4 800 + ( )2

Eliminamos el paréntesis.V2 + 20V + 10V 2 = 4 800 + 102

Efectuando las potencias.V2 + 20V + 100 = 4 800V + 100

Factorizamos el trinomio al cuadrado perfecto y en el segundo miembro resolvemos la suma.(V + 10)V 2= 4 900

Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros. √(V + 10)V√ 2= √4 900√

Suprimimos radicales.V + 10= ±70V

Despejamos variables.V

1= 70 – 10 V

1= 60

V2

V = –70 – 10 V2

V = –80

Haz la comprobación sustituyendo en la ecuación V2 + 20V = 4 800 V los valores de V1

y de V2

V para verificar que se cumple la identidad.

V2 + 20V = 4 800 V V2 + 20V = 4 800V

V= dt

V= 480t

(20 + V ) = 480(t + 2)

202

(202

El ciclista 89

Resuelve el siguiente crucigrama:

HORIZONTALES1. Se les conoce como ecuaciones de segundo grado.2. Expresión algebraica con 2 términos.

VERTICALES1. Ecuaciones que tienen 3 raíces.2. Nombre que se le da a las soluciones de las ecuaciones.3. Ecuación con 3 términos.4. Procedimiento para encontrar las raíces del polinomio. 5. Número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Se puede completar el trinomio cuadrado perfecto si se considera que x es el primer término elevado al cuadrado; que 20x es el doble del primer término por el segundo, y que el tercer término se puede calcular sacando mitad al segundo término y elevándolo al cuadrado.

Encuentra las raíces de las ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto.Construye el modelo geométrico del binomio al cuadrado en cada caso.

a) x2 + 2x = 35 b) y2 + 6y = –5

Supero el reto

El ciclista90

23 Los rompecabezas Lecc

ión


Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y los lados.

Formen equipos de cuatro personas para realizar la siguiente actividad.

f Tracen el rompecabezas A en un cartoncillo, con las medidas que se indican. Utilicen escuadras, después recorten las piezas.

f Elaboren un rompecabezas B a esca-la de A, de tal manera, que sus lados midan el doble del rompecabezas A. Repártanse las piezas del rompeca-bezas. Cada uno hará la ampliación que le tocó. Calculen las medidas de su pieza, después dibújenla y recór-tenla.

f Cuando terminen sus piezas, intenten armar el rompecabezas ampliado.

f Para construir el rompecabezas, se-guro aplicaron el factor de proporcio-nalidad (x(( 2xx ) a las medidas de A, es decir, multiplicaron por dos, las medi-das para obtener el rompecabezas B.

f Tracen ahora otro rompecabezas C a la escala de A, que sea más grande que A, pero más chico que B, recuerden, cada quién realiza una pieza.

f Antes de construir el rompecabezas C comenten lo siguiente:

f ¿Cuál puede ser el factor de proporcionalidad en este caso?

Pieza 1

Pieza 2

Pieza 3

Pieza 4

6 cm 6 cm

12 c

m

3 cm

6 cm

6 cm

Los rompecabezas 91

f Anoten en la siguiente tabla las medidas que corresponden a los diferentes lados de las piezas de los rompecabezas.

f ¿Las piezas de los rompecabezas tienen la misma forma?

¿Las figuras serán semejantes?

f Contesta lo que se te pide.

1. Una fábrica de plástico tiene un pedido de bolsas de forma rectangular para guardar dulces. La fábrica de dulces que las solicita quiere que las bolsas tengan diferente tamaño, pero deben ser pro-porcionales para que no se deforme la imagen de la presentación del producto. Completa la tabla.

2. Si no pudiste completar la tabla, ayúdate trazando una gráfica con las medidas de las bolsas, localiza el largo en el eje x y el ancho en el ejex y de las parejas de datos conocidos, observa el ejemplo.y

Rompecabezas A 3 cm 6 cm 9 cm 12 cm

Rompecabezas A

Rompecabezas A

Bolsa Largo Ancho

A 10 cm 12 cm

B 15 cm 18 cm

C 20 cm 24 cm

D 25 cm y1 =

E x = y2 =

100

12

y

x

Los rompecabezas92

3. Traza una línea del origen hasta los puntos A, B, C,… prolóngala lo suficiente.

4. ¿Cuánto medirá el ancho de la bolsa D? ¿Cuál será el largo y el ancho de la bolsa E?

5. La línea que trazaste divide en dos triángulos a los rectángulos que forman las bolsas, ¿cómo son los triángulos que se forman?

6. Para asegurarnos de que las medidas dadas para las bolsas son proporcionales, podemos hacerlo dividiendo la medida del largo entre el ancho de cada bolsa, completa la tabla.

7. Usando la regla de tres y comparando los resultados también podemos comprobar la proporcionali-dad, si éstos coinciden. Completa los cuadros.

Al comparar los rectángulos que forman las bolsas, ¿podemos decir que son semejantes? ¿Por qué piensas que son semejantes?

Con base en lo que se ha realizado podemos decir que:

Dos polígonos son semejantes si sus ángulos son congruentes y sus lados proporcionales; esas propiedades se manifiestan en una constante que llamamos razón de semejanza. El símbolo que utilizamos para señalar que los polígonos son semejantes es ~.

ángulo A = ángulo Pángulo B = ángulo Q

ángulo C = ángulo R

ángulo D = ángulo S

Bolsa Largo Ancho Proporción

A 10 cm 12 cm

B 15 cm 18 cm

C 20 cm 24 cm

D 25 cm

E

10 12

15

10 12

24

10 12

30

=ABPQ

105

= 23

=BCQR

1218

= 23

BA

DC

QP

RS

Los rompecabezas 93

La razón de semejanza es 23 . Los ángulos son congruentes, sus lados correspondientes son proporcionales,

por lo tanto:

El rectángulo ABCD ~ rectángulo PQRS.

Observa los siguientes triángulos y contesta lo que se te pide.

¿Cómo con los ángulos A y P?

¿Cómo con los ángulos B y Q?

¿Cómo con los ángulos C y R?

¿Cuál es la razón de semejanza?

¿Serán semejantes los triángulos ABC y PQR?

Mide los ángulos Mide los lados Compara las medidas de

sus lados

Ángulo A = AB =

Ángulo B = BC =

Ángulo C = CA =

Ángulo P = PQ =

Ángulo Q = QR =

Ángulo R = RS =

=ABPQ

=BCQR

=CARP

A

B

C

P

Q

R

Los rompecabezas94

Reúnete con un compañero y, de acuerdo con los datos que se te dan, determinen el valor de los elementos que se piden.

Polígono ABCD ~ polígono EFGH

Ángulo D =

Ángulo H =

Segmento HE =

Polígono IJKLM ~ polígono NOPQR

Ángulo N =

Ángulo J =

Segmento IJ =

Segmento PQ =

Segmento RN =

�STU ~ �VWX

Ángulo T=

Ángulo V = V

Ángulo U=

Segmento TU =

Segmento VX =X

U

TS40

48

65˚

X

V W30

36

65˚

L

M

I

J

K

10

15

15

10

75˚

Q

R

N

O

P

20

125˚

40

D

A B

C

65˚

65˚

115˚ E F

GH

65˚

115˚65˚

Los rompecabezas 95

Utiliza tu regla y compás y traza un triángulo semejante al siguiente, y explica por qué son semejantes. Com-para tu procedimiento con el de tus compañeros.

Supero el reto

¿Por qué crees que se dice que esta figura es autosemejante?

descartes.cnice.mecd.es/4a_eso/Proporcionalidad_geometrica/Pro-por1.htm

Fecha de consulta: 6 de septiem-bre de 2007.

Para saber más

Los rompecabezas96


Determinar los criterios de semejanza de triángulos.

f El profesor Roberto organizó una competencia en su grupo, el pre-mio era un punto extra.

f Se trataba de trazar los triángulos a partir de la información que en-tregó en una tarjeta a cada uno de los cinco equipos que se formaronen el grupo. Cada equipo debía, después de trazar los triángulos, tratar de argumentar porqué los triángulos eran o no semejantes.

f Todos los equipos afirmaron que los triángulos construidos eran se-mejantes. ¿Es posible que todos los equipos hayan construido trián-gulos semejantes?

Ayuda al profesor a decidir a cuál de los cinco equipos debe dar el punto extra.

Los equipos tenían las siguientes indicaciones para construir sus triángulos y realizaron lo siguiente:

Equipo 1:

f Construyan dos triángulos.

f En el triángulo ABC dos lados miden 2 cm y el tercero 3 cm.

f En el triángulo DEF los lados miden 4 cm y 6 cm, respectivamente.

El equipo afirmó que los �ABC y �DEF son semejantes porque cuando compararon la medida de sus lados la razón de semejanza era la misma.

¿Crees que el equipo 1 tiene un buen argumento para afirmar que los triángulos son semejantes?

24La competencia Lecc

ión

=ABDE

24

= 12

=BCEF

36

= 12

=CAFD

24

= 12

A

BC3 cm

2 cm 2 cm

F

4 cm 4 cm

E

D

6 cm

La competencia 97

Equipo 2:


f En el triángulo GHI, uno de sus lados mide 3 cm y uno de sus ángulos 60°.

f En el triángulo JKL, el lado mide 6 cm y el ángulo 60°.

El equipo afirmó que eran semejantes porque cuando compararon la medida de los lados HI y LK, encontra-ron que el doble HI era igual a LK, y además tenían un ángulo congruente.

el ángulo I = ángulo I L

Observa los triángulos construidos por el equipo 2, calca �JKL y compara la medida de los otros ángulos. Mide los lados JK yK LJ y compáralos con los lados GH e IG respectivamente para ver también si cumplen con tener la misma razón de semejanza. ¿Son semejantes los �GHI y �JKL?

Equipo 3:Construyan dos triángulos.En el triángulo MNP, dos lados miden 3 cm y el tercero 4 cm; el ángulo comprendido entre los primeros mide 83°.En el triángulo QRS, los lados correspondientes miden 6, 7 y 8 cm y el ángulo correspondiente se conserva.

El equipo 3 afirmó que los �MNP y �QRS son semejantes porque cuando compararon las medidas de dos de sus lados, la razón de semejanza era la misma.

Observa los triángulos construidos por el equipo 3, calca �MNP y sobrepón cada ángulo con su correspon-diente para saber si son iguales, obtén la razón de los lados MN y QR. No se te olvide que dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente ángulos congruentes y lados proporcionales.¿Son semejantes los �MNP y �QRS?

=LKHI

63

= 2

=NPRS

48

= 12

=PMSQ

36

= 12

K

?

J

L6 cm

60˚

G

I H3 cm

60˚

¿

M

P N4 cm

3 cm 3 cm83˚

Q

S8 cm

6 cm 7 cm

R

?83˚

¿

La competencia98

Equipo 4:


f En el triángulo TUV, dos lados miden 5 y 4 cm y el ángulo comprendido entre ellos mide 65°.

f En el triángulo XYZ, dos lados miden 2.5 y 2 cm, y el ángulo correspondiente, 65°.

El equipo 4 afirmó que los �TUV yV �XYZ son semejantes porque cuando compararon las medidas de los lados UV y V VT, con los lados YZ y ZX, encontraron que la razón de semejanza era la misma, y además tenían un ángulo congruente el ángulo comprendido entre ellos.

Los ángulos

Calca el �XYZ y sobrepón los ángulos X y X Y con T y U respectivamente, mide los lados TU y XY y obtén la Y

razón. ¿Son semejantes los �TUV y V �XYZ?

Equipo 5:


f El triángulo ABC y el triánguloC DEF, donde los tres ángulos de cada uno midan 50°, 60° y 70° y sus FFlados sean proporcionales.

El equipo 5 afirmó que los �ABC y �DEF son semejantes porque tienen respectivamente congruentes sus tres ángulos.

Mide los lados de cada uno de los dos triángulos y obtén la razón de los lados correspondientes. ¿Son se-mejantes los �ABC y �DEF?

Cuando se quiere determinar si dos triángulos son semejantes, ¿cuáles son los datos mínimos que necesita-mos saber para afirmar que dos triángulos son semejantes?

UVYZ

52.5

2 VTZX

42

2

T

UV5 cm

4 cm X

YZ2.5 cm

2 cm

?

65˚ 65˚

¿

?A

BC50˚

60˚

D

EF70˚ 50˚

60˚

70˚

¿

V = Z

La competencia 99

Criterios de semejanza de triángulos

Para saber si dos triángulos son semejantes basta con comprobar que se cumple una de estas tres condicio-nes:

Criterio I (LLL)Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno se ellos son respectivamente proporcionales a loslados del otro.

Si entonces

Criterio II (LAL)Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente comprendido entre lados que son proporcio-nales.

Si y � I ≅≅ � L entonces �GHI ≅≅ �JKL

Criterio III (AAA)Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos.

Si � N ≅≅ � S y � P ≅≅ � R entonces: �MNP ≅≅ �QRS

ABDE BC

EFCAFD

G

HI

X˚

J

KL

X˚

HIKL

IGLJ

A

B

C D

E

F

M

N

P

Q

R

S

�ABC ≅≅ �DEF

La competencia100

Señala si las siguientes parejas de triángulos son semejantes. En caso afirmativo, anota el criterio de seme-janza que lo justifique.

Los triángulos y son por el criterio .


12

8

6 AB

6

4

3

6

10

80˚

C3

5

80˚

D

128

E

15

8

4 F

5

y son por el criterio .

La competencia 101


La siguiente pareja de triángulos es semejante; escribe la proporción adecuada y encuentra los valores de x y y.

7

8

I

3.5

J

4

4

2

8

12

6

x

y

10

y son por el criterio .

12

8

G

9

H

6

La competencia102

De los siguientes casos señala los que sean semejantes, justifica por qué son semejantes o no.

1. Cuando tienen proporcionales dos lados:

2. Cuando tienen proporcionales sus tres lados:

3. Cuando tienen congruentes dos ángulos:

4. Cuando tienen congruente un ángulo:

5. Cuando tienen dos lados proporcionales y congruente el ángulo incluido:

6. Dos triángulos rectángulos que tienen congruente un ángulo agudo:

7. Todos los triángulos equiláteros son semejantes:

8. Todos los triángulos isósceles son semejantes:

La competencia 103

primero? ¿Cuál criterio de semejanza justificaría tu respuesta?

Supero el reto

La competencia104


Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos.

En la lección anterior aprendiste los criterios de semejanza de los triángulos. Observa las figuras y contesta:

¿En qué se parecen? ¿En qué son diferentes? ¿Tienen el mismo tamaño? ¿Tienen la misma forma? Por todo lo anterior el triángulo ABC y el triánguloC A’B’C’ son ’

Ahora observa estos otros triángulos y contesta:

¿Cuánto miden sus ángulos correspondientes? ¿Los lados serán proporcionales entre sí? ¿Cómo lo sabes? ¿Los triángulos son semejantes? ¿Por qué?

25Semejanza de los polígonos Lecc

ión

552255

C

B

A C´

B´

A´

3.62 cm2.82 cm

5.30 cm

1.77 cm1.38 cm

2.59 cm

30°40°

110°

40°

110°

30°

Semejanza de los polígonos 105

¿Estos triángulos son semejantes? ¿Por qué?

Reúnanse en equipos, observen las figuras y comenten si son semejantes o no, y por qué.

A

B

CD

E

A’

B’

C’D’

E’

Hay figuras geométricas que por su estructura tienen siempre la misma forma, es decir, son semejantes, como ocurre con los cuadrados, triángulos equiláteros y todos los círculos. Observen los siguientes polígonos.

Midan sus ángulos y comparen cómo son entre sí. ¿Cómo son los lados de ambas figuras? Midan sus ángulos y comparen cómo son entre sí. ¿Cómo son los lados de ambas figuras?

4 cm

2 cm

6 cm

4 cm

5 cm

2 cm

2 cm

4 cm

3 cm

4 cm

6 cm4 cm

2.8 cm2.5 cm

1.5 cm

1.4 cm 1.5 cm

3 cm

5 cm

3 cm

5 cm

2.8 cm100˚

5 cm

2 cm

100˚

Semejanza de los polígonos106

1.

2.

Supero el reto

Pues bien, para que dos polígonos sean semejantes deben tener ángulos iguales y lados proporcionales.En parejas, analicen las siguientes situaciones y determinen si las figuras son semejantes o no lo son.

1) Dos triángulos cualesquiera 2) Dos rectángulos ABCD y A’ B’ C’ D’, donde un lado de ABCD es la mitad de un lado de A’ B’ C’ D’.

3) Dos cuadrados cualesquiera 4) Dos rectángulos cualesquiera 5) Dos hexágonos cualesquiera

Semejanza de los polígonos 107

26 Dimensiones inaccesiblesLecc

ión


Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

Q

RP 5 m 20 m

150 m

S

T

X

Lee el siguiente problema y, aplicando la semejanza de triángulos, trata de resolverlo.

Un árbol proyecta una sombra de 5 m; en ese mismo instante una persona de 1.80 m de altura proyecta unasombra de 1.25 m. ¿Cuál es la altura del árbol? ¿Qué datos se te proporcionan? ¿Los lados son proporcionales?

Tenemos una fuente luminosa, colocamos a una distancia de 5 m un cuerpo de 150 cm de altura. ¿De quéaño proyectará su imagen en una pantalla colocada a 20 m?

EstacaSombra

1.80 m

1.25 m

¿Sabías que por medio de la semejanza de triángulos, el matemático griego Talesde Mileto calculó la altura de la pirámide de Keops, basándose en la sombra queproduce? Esto lo hizo clavando una estaca vertical en el extremo de la sombra de lapirámide y con la sombra de la estaca calculó dicha altura.

Dimensiones inaccesibles108

En la figura de la derecha ves un triángulo ABC y otro triánguloC A’B’C’, que son semejantes. Calcula la longitud del segmento BC.

La sombra de un arbusto de 1.23 m de altura es de 0.75 m, en ese mismo momento un árbol proyecta una sombra de 24 m. ¿Cuál es su altura?

Para medir el ancho de un río, un hombre tomó las medidas indicadas en la siguiente figura. Calcula el ancho de ese río.

Supero el reto

X CB

A

10 15

A’

B’C’ 4

23

8 m

C

E

A D6 mB

8 m

X

1.23 m

0.75 m

X

24 m

Dimensiones inaccesibles 109

27 Desastres de la naturalezaLecc

ión


Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento de diversas situaciones (porcentajes).

Los desastres son alteraciones del ambiente causadas por la naturaleza o el hombre. Según la Organización de las Naciones Unidas (ONU), se clasifican en dos: desastres naturales y desastres tecnológicos. Los de-sastres naturales son, por ejemplo, sismos, tsunamis, erupciones volcánicas, inundaciones, sequías, hura-canes; mientras que los tecnológicos son provocados por el hombre quien, debido a su escasa educación ambiental, provoca incendios, explosiones, guerras, derrames químicos, etc. No hay que contribuir a propi-ciar estos desastres ya que debemos conservar el lugar donde vivimos, el planeta Tierra.

MUNDO DESASTROSO (1996-2004)

La siguiente tabla muestra el número total de desastres, por el tipo de fenómeno y año.

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

AVALANCHAS 24 13 21 15 29 21 19 21 16 179

SEQUÍAS 8 18 34 30 48 47 41 21 13 260

TSUNAMIS 12 17 18 33 31 25 36 40 42 254TEMPERATURA

EXTREMA 5 13 13 8 31 23 15 18 15 141

INUNDACIONES 70 76 18 112 152 159 172 158 128 1115

INCENDIOSFORESTALES

5 15 16 22 30 14 22 14 7 145

ERUPCIONESVOLCÁNICAS

5 4 4 5 5 6 7 2 5 43

TORMENTAS 63 68 72 86 101 98 112 76 121 797

OTROSDESASTRES

1 3 1 2 4 2 0 0 13 26

Encontrando ladosDesastres de la naturaleza110

¿Cuántos desastres naturales hubo en total durante el periodo comprendido entre 1996-2004? ¿Cuántas inundaciones hubo? ¿Cómo podrías saber qué parte del total de desastres en la naturaleza corresponde a las inundaciones? Coméntenlo en forma grupal y escriban las conclusiones. ¿Recuerdas cómo se expresa en porcentaje una cantidad como la que acabas de obtener? Auxíliate con un compañero y juntos expresen de esa forma los siguientes valores:Del total de desastres que se tomaron como muestra durante ese periodo, ¿qué índice de participación co-rresponde a las inundaciones con respecto a todos los desastres totales? %.

Del total de desastres en la naturaleza ocurridos en el año 2000, ¿cuál es el índice de participación de las sequías?

Comenta con un compañero y concluye ¿cómo se interpreta que el índice de incendios forestales dentro de los desastres en la naturaleza en el 1996 fuera de 2.59%?

Encuentra los índices en las siguientes situaciones.

Éstas son las calificaciones del grupo del profesor Chargoy, que imparte la materia de probabilidad en un posgrado.

APELLIDO CALIFICACIÓN

1. AGUILAR 5

2. CERÓN BAJA

3. CHÁVEZ 6

4. FLORES 10

5. GARCÍA 86. MARTÍNEZ 6

7. MÉNDEZ 3

8. OCAMPO 9

9. ORTIZ 9

10. PASOS 6

11. PÉREZ BAJA12. QUINTANA 7

13. ROSAS 5

14. TOVAR 8

15. ZÚÑIGA 4

Un índice es la relación entre dos cantidades, generalmente se expresa en porcentaje.e

Desastres de la naturaleza 111

¿Cuál es el índice de reprobación? ¿Cuál es el índice de deserción en esta materia?

La guerra en Irak ha causado muchas muertes entre todos los países que han participado. Observa la tabla y responde:

Estados Unidos 3 494

Bulgaria 13

Italia 33

España 11

Ucrania 18

Reino Unido 149

Polonia 20

¿Cuál es el índice de bajas de Italia? ¿Cuál es el índice de bajas de Estados Unidos?

f Michel Jordan, famoso basquetbolista estadounidense que jugaba con el equipo de Chicago Bulls, en un juego contra los Angeles Lakers realizó 30 tiros al aro, de los cuales falló 18. ¿Cuál fue su índice de efectividad en ese partido?

¿Qué operación hiciste?

f De una revista, periódico o de Internet obtén la información referente al precio de las tortillas en el año 2000, y el precio de ellas en el año actual.

Año 2000 $________________________________ Año actual ( 20________ ) $____________Fuente de Información Índice de inflación

f Elige otros dos productos y determina sus índices de inflación al año actual.

Producto: Año 2000 $________________________________ Año actual ( 20________ ) $_______________Fuente de Información Índice de inflación

Producto: Año 2000 $________________________________ Año actual ( 20________ ) $_______________Fuente de Información Índice de inflación

Desastres de la naturaleza112

Explica brevemente cómo obtener un índice.

Elige un tema donde sea interesante conocer el índice de popularidad.Tema:

Realiza una encuesta a todos tus compañeros de grupo, dando tres opciones de elección dentro del tema que escogiste:__________________________, ___________________________, _________________________

Obtén los índices de popularidad de cada uno de ellos:__________________________, ___________________________, _________________________

Comenta qué te pareció la experiencia anterior.

Supero el reto

Desastres de la naturaleza 113

28 ¿Niño o niña?Lecc

ión


Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas.

dos primeros meses de vida no es posible diferenciar el sexo de un embrión. Sin embargo, las transformaciones que sufre a partir de ese momento dependen de los cromosomas hereda-dos de sus padres. De su madre siempre hereda un cromosoma x, pero el padre contribuye con un cromosoma xx x o uno x y. Por lo tanto, el sexo del bebé está determinado exclusivamente por el papá, ya que si aporta un cromosoma x se tendrá la xfórmula xx, que corresponde a una niña, y si aporta un cromo-soma y se tendrá y xy, que es el correspondiente a un niño.

Un matrimonio que planea tener ocho hijos, porque su tra-dición familiar así lo establece, se preguntaba ¿cuántos de ellos serían niños y cuántas niñas?, a fin de programar cómo construirían las recámaras de su casa. ¿Cómo podrán saber la probabilidad?

No es conveniente esperar hasta que el matrimonio tenga los ocho hijos para contarlos y saber su proba-bilidad. ¿Qué situación equivalente se te ocurre para obtener esta probabilidad? Tal vez te puedas ayudarutilizando algún material manipulable. Describe tus aportaciones y coméntalas con un compañero.

El procedimiento mediante el cual se estudia el comportamiento de una situación analizando otra situaciónequivalente pero más fácil de realizar se llama simulación.

Una forma de simular la situación anterior sería:1. En una bolsa, caja o urna no transparente mete una ficha roja (que represente a una niña) y una azul (que

represente a un niño). O bien, puedes utilizar dos tipos de monedas de diferente denominación.2. Saca una ficha sin ver, anota el resultado.

¿Niño o niña?114

Ya que se anotó el resultado, ¿se tendrá que devolver la ficha o se queda afuera?

En matemáticas, el hecho de que cada vez que se saque una ficha y posteriormente de registrar el resultado se regrese de nuevo a la bolsa esa misma ficha para que se mantenga la misma cantidad de fichas y no se altere la simulación, se le llama simulación con reemplazo.

¿Cuántas veces se debe repetir el proceso de extraer una ficha? ¿Cuántos resultados posibles hay cada vez que extraes una ficha? ¿Cuál es la probabilidad de que salga una ficha rosa en el primer intento? ¿Y en el segundo?

¿Será la misma probabilidad que en el tercero?

Si en el primer intento se obtuvo una ficha azul, ¿influirá para el resultado del segundo intento?

¿Crees que el resultado anterior a cada extracción influya en el resultado de ésta?

Utiliza 18 monedas, 9 de una denominación y 9 de otra distinta; efectúa la simulación y registra tus resul-tados.

¿Cuántas veces se obtuvo la ficha azul? ¿Qué porcentaje del total (8) representa? Por lo tanto, que nazca un niño tiene una probabilidad del %

¿Cuál es la probabilidad de que nazca una niña, de acuerdo con tu simulación? %

Se esperaría que se obtuvieran 4 veces la ficha azul y 4 veces la ficha rosa, o sea, que se tuviera 50% de probabilidad que fuera niña y 50% de que fuera niño. ¿El resultado que obtuviste con respecto a las niñas es mayor o menor que el esperado? ¿Por qué?

Por la forma en que se simuló la situación anterior (usando una bolsa, caja o urna) este tipo de simulación se llama modelo de urnas o esquema de urnas de Bernoulli.

FICHA AZUL

NIÑO

FICHA ROSA

NIÑA

¿Niño o niña? 115

En un hospital, la probabilidad de que nazca una niña es de 60% y un niño de 40% ¿cuántas fichas rojas se tendrán que colocar en la simulación? ¿cuántas azules? .

De acuerdo con esas probabilidades, si diariamente nacen en el hospital 20 bebés, ¿cuántas niñas se espera-ría nacieran cada día?

Resuelve los problemas siguientes haciendo uso de la simulación.

f En una fábrica se sabe que cada día hay 40% de probabilidad de tener un accidente de trabajo, 20% de probabilidad de tener dos accidentes de trabajo, 10% de probabilidad de tener más de dos accidentes y 30% de probabilidad de que no haya accidentes. Si les dan un bono de $10 por cada día que no hubo accidentes, ¿cuánto esperaría ganarse un empleado en el mes de septiembre, comenzando por el primero de septiembre, sólo por este hecho? ,

Sin embargo, le descuentan $5 por cada día que haya accidentes durante la primera semana del mes, ¿cuánto espera que le descuenten? ¿Cuál es su balance final?

f Un vendedor de enciclopedias sabe que en cada visita a un cliente tiene 20% de probabilidad de vender una enciclopedia de cocina, 50% de probabilidad de vender una enciclopedia de temas generales y el 50% de no vender nada. ¿Cuánto esperaría ganar en una semana que tiene cita con diez clientes si le dan de comisión $50 por cada enciclopedia de cocina vendida y $20 por las de temas generales?

f En una estación de radio existe 20% de probabilidad que soliciten una canción grupera, 20% de probabi-lidad que pidan una canción ranchera y 60% que pidan una canción duranguense. Si hablan 15 radioes-cuchas, ¿cuántas canciones duranguenses se espera que pidan? ¿y cuántas rancheras? Si el patrocinador da $30 por cada canción grupera, ¿cuánto habrá donado? ,ya que se tocaron canciones gruperas.

f A una obra de teatro de una secundaria se preveé que asistan 10 padres de familia, ¿qué probabilidad hay de que vaya la mamá o de que asista el papá?

Mamá % Papá %

Compara tus resultados con los de un compañero, ¿son iguales?

Comenten y lleguen a una conclusión, escríbanla.

¿Niño o niña?116

Escribe un breve comentario sobre por qué consideras que la simulación puede ser útil para resolver algu-nos problemas como los anteriores. .

Plantea una situación donde sea conveniente usar la simulación para resolverla y coméntala en el grupo.

Supero el reto

¿Niño o niña? 117

Uno de los objetivos de las matemáticas es la solución de ecuaciones,ya que tanto en la vida diaria como en la ciencia y la investigación sepresenta la necesidad de plantearlas y resolverlas. Un ejemplo curiosose lo debemos a Diofanto, padre del álgebra griega. Poco se sabe de lavida de este sabio heleno, pero gracias al epitafio en su tumba sabemoscuánto tiempo vivió, pues éste propone un problema en el que variasfracciones corresponden a cierta parte de su edad total (x(( ). El textoxdice:

Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo undoceavo, sus mejillas tuvieron la primera barba. Encendió el fuegonupcial después de un séptimo de su vida y en el quinto año des-pués de la boda le concedió un hijo, pero, ¡ay!, niño ansiado, en lamitad de la edad de su padre, arrebató la parca a la tumba. Cuatroaños después llegó al final de su vida.spués llegó aal final de su vida.

¿Cuál es entonces la edad en qué murió Diofanto? Sigue el contenidos entonces la edad en qué murió Dide este bloque para que puedas descubrir la respuesta.e bloque para que puedas descubrird

Detalle de portada de Arithmeticorum, obra de Diofanto

118

BLOQUE 3

Como resultado de este tercer bloque temático se esperaque los alumnos:

f Interpreten y representen, gráfica y algebraicamente,relaciones lineales y no lineales.

f Utilicen adecuadamente la fórmula general para resol-ver ecuaciones de segundo grado.

f Resuelvan problemas geométricos que implican el usodel teorema de Tales.

f Conozcan las condiciones que generan dos o más fi-guras homotéticas, así como las propiedades que seconservan y las que cambian.serv

119


Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas la presencia de cantidades que varían una en función de la otra, y representar la regla que modela esta varia-ción mediante una tabla o una expresión algebraica..

René Descartes

Filósofo y matemático francés, nació en 1596 y murió en 1650. Fue a quien se le ocurrió que las primeras letras del alfabeto (a, b, c,…) se usaran para denotar constantes y que las últimas (…, w,ww x, y,yy z) se usaran para variables.El año pasado estudiaste algunas funciones en matemáticas, ahora estudiare-mos algunas funciones relacionadas con la física, la geometría y la economía, aunque no son estas disciplinas las únicas en las que se utilizan funciones.

En física se utiliza un gran número de fórmulas que se pueden considerar funciones que se representan en tablas y fórmulas. Entre ellas se encuentra el movimiento rectilíneo uniforme, voltajes, temperaturas, etc.

Reúnanse en equipos y resuelvan lo que se les pide.

Un auto mantiene siempre la velocidad de 90 km por hora, ¿qué distancia avanzará en 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas?Si consideramos que la distancia recorrida por el automóvil es y, la velocidad es yy v y el tiempov t,representen algebraicamente esta relación: Completen la tabla.

29 René DescartesLecc

ión

Tiempo (h) Distancia (km)

1

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosRené Descartes120

¿Cuál es la variable dependiente en este caso?_____ ¿Por qué? ¿Cuál es la variable independiente? _______________ ¿Por qué? ¿Cuál es la constante? _______________ ¿Por qué? Cuando la velocidad es constante, la distancia está en función del Comenten con sus compañeros sus respuestas.

La economía es otra disciplina en la que el uso de fórmulas de funciones y gráficas es de gran importancia, como la función de la demanda, la oferta, el ingreso, etc.Ahora te presentamos un problema relacionado con esta disciplina. En equipos resuelvan lo que se pide:Un capital de $2 000 a un interés compuesto de 5% mensual se deposita en el banco durante 6 meses, ¿qué monto tendremos el sexto mes? _______________La fórmula para calcular el interés compuesto es la siguiente:M =M C (1 +C i)ii n

M = monto, C = capital, C i = interés, n = periodoCompleten la siguiente tabla. Observen el ejemplo:

t (meses)t Monto ($)

1 $ 2 100

2

3

4

5

6

En este caso, ¿cuál es la variable dependiente? __________¿Por qué? ¿Cuál es la variable independiente?________________¿Por qué? ¿Cuál es la constante?________________ ¿Por qué?

Comenten con sus compañeros sus respuestas.

En geometría utilizamos una gran cantidad de fórmulas para obtener perímetros, áreas y volúmenes que representan funciones.¿Recuerdan cuál es la fórmula para calcular el área de una esfera?________________Si no se acuerdan, investíguenlo y anótenla sobre la línea:________________

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosRené Descartes 121

Se tienen 5 esferas cuyas medidas de sus radios son las siguientes 1, 2, 3, 4 y 5 cm, ¿cuál es el área de cada una? Den su respuesta completando la siguiente tabla.

Radio Área

1

2

3

4

5

En este caso, ¿cuál es la variable dependiente?_____________________________¿Por qué? ¿Cuál es la variable independiente? ______________________________________¿Por qué? ¿Cuáles son las constantes? ____________________________________________¿Por qué? El área de la esfera está en función de la medida del ____________.Comenten sus respuestas con sus compañeros.

Recuerda que en una función, a cada valor de la variable x le corresponde un valorx y que está eny

función de ella; se expresa de la siguiente manera:y = y f(ff x(( ) x y está en función dey x

Cuando existe un valor que no cambia ni se altera, se le llama constante.

Completa la siguiente tabla, señalando en cada caso cuáles son las variables independientes y cuáles las independientes; pueden ser una o varias.

Fórmula/Constantes Variable independiente

(x)

Variable dependiente

(y)

Área del cuadrado: A = �2

Resistencia: R = V/I

R: resistencia

V: voltaje

I: corriente

Perímetro de un triángulo:

P= 3�

Volumen de un cilindro:

V= πr2h

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosRené Descartes122

Completa las siguientes tablas utilizando la fórmula para convertir de grados Fahrenheit a grados centígrados.

°C = (°F – 32) 59

ºF ºC

-22

-10

-4

0

5

14

32

¿Cuál es la variable dependiente? ______________________¿Cuál es la variable independiente?______________________¿Cuáles son las constantes? ____________________________________________

Escribe la expresión algebraica que representa el perímetro y área del cuadrado y; después completen lastablas.

P =P ______________________ A = ____________________

L P

1

2

3

4

5

L A

1

2

4

6

7

Variable dependiente: Variable independiente: Constante:

Variable dependiente: Variable independiente: Constante:

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosRené Descartes 123

Supero el retoReúnete con un compañero y resuelvan los siguientes problemas.

1. Se dejó caer un objeto desde una altura de 1.50 m. La función para calcular la distancia recorrida según el tiempo es: d = (4.9) d t2tt considerando d en metros yd t en segundos. Llenen la tabla con los tdatos que muestren la distancia recorrida en 0, 1, 2, 3, 4 y 5 segundos.

¿Qué distancia había recorrido en el segundo 3? _____________________ ¿Qué tiempo tardó en recorrer 122.5 m? ___________________________ ¿En qué tiempo llegó al suelo? __________________________________

2. Una persona corre a una velocidad constante de 150 m/min. La función que representa su movimiento es: d = (150)d t, donde t d está dada en metros y d t en minutos. Si corre alrededor de una pista de 400 m,t

¿cuántas vueltas completas alcanza a dar en 3, 2 y 9 minutos?_________________ ¿Cuánto tiempo necesita para darle 5 vueltas completas? _____________________ Analicen la función para t = 1, 2, 3, 4, 5… y 11 minutos.t

Completen la tabla con los datos correspondientes:

Tiempo (segundos) Distancia (metros)

t d

Continúa —>

Encontrando ladosEncontrando ladosRené Descartes124

3. Sabiendo que 1 yarda equivale a .914 m, construyan la tabla que permita saber la equivalencia de 10, 20, 30…50 yardas a metros. Un jugador de futbol americano que logra avanzar 40 yardas, ¿cuántos metros recorrió? ___________________________

t d

Yardas Metros

10

20

30

40

50

Comenten con el resto del grupo cómo obtuvieron sus resultados.

Encontrando ladosEncontrando ladosRené Descartes 125

30 Los Sulbasutras de la IndiaLecc

ión


Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.

Existe una forma diferente de las que hasta ahora conoces para resolver ecuaciones cuadráticas, y surgió hace mu-chos años en la India, país que fue invadido por el pueblo védico proveniente de la región que actualmente ocupa Irán. A los textos sagrados de estos pueblos se les conoce como Vedas y se usaban como guías para efectuar los ri-tuales de sacrificio.Había unos apéndices o agregados a los Vedas que se llamaban Sulbasutras y en ellos principalmente se daban reglas para la construcción de altares, ya que la exactitud matemática se veía como algo trascendental. Dentro de los Sulbasutras más importantes están los de Baudhayana (escrito en el 800 a.n.e.), Sridhara y el de Mahavira, y es en ellos donde aparece por primera vez de manera más formal una forma de resolver ecuaciones cuadráticas me-diante una fórmula general.

Fuente: http:/www.astroseti.org/imprime.php?num=4585

Fecha de consulta: 12 de septiembre de 2007.

¿Cuáles son las formas de resolver ecuaciones cuadráticas que conoces hasta ahora?

Comenta con un compañero si sería fácil resolver estas ecuaciones dándoles una fórmula general.

Escribe la forma general de la ecuación cuadrática que manejaste en tus lecciones anteriores.

Recuerda que en este tipo de ecuaciones lo que se pretende encontrar es el valor de x; por lo tanto, si a la xx

forma general que acabas de escribir se le aplica el método de completando el trinomio cuadrado perfecto yse despeja x, se obtiene la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, propuesta en la India.xx

–b ± √b2 – 4ac

2a

Encontrando ladosEncontrando ladosLos Sulbasutras de la India126

¿Cuántas raíces o soluciones tiene una ecuación cuadrática? Por lo tanto, para encontrar la segunda solución de la ecuación, se toma el signo negativo que antecede a la raíz.

–b – √b2 – 4ac

2a

¿De dónde crees que se obtengan los valores de las letras que tienes que sustituir? Si tienes la ecuación: 2x2xx + 7x = 0,

¿cuánto vale a? ________ ¿ y b? ________ Finalmente, ¿cuánto vale c? __________

Completa en la fórmula general la sustitución correspondiente– ___ + √√72 – 4 ( ) ( )

2 ( __ )x =

¿Cuál es el valor de la primera solución de la ecuación con x1?___________Para encontrar x2xx ¿qué es lo que va a variar en la fórmula general?

Entonces: x2xx =

¿Cuál es el valor de x2xx ? ___________

Finalmente, al ser el signo que antecede a la raíz, lo único que varía entre una y otra solución, la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, se expresa:

–b ± √b2 –4acx =2a

Trasforma las siguientes ecuaciones a la forma general de la ecuación cuadrática.

60 – 4x44 = x x2xx

x(x (( + 2) = 480

x2 –5xx

= 6x

x2 +7x

= –2

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general. Recuerda primero identificar los coefi-cientes a, b, y c.

x2xx –10x – 39 = 0abcx1 = __________

x2xx + 7x = 18abcx2xx = __________

Encontrando ladosEncontrando ladosLos Sulbasutras de la India 127

¿Cuánto vale el coeficiente b de la siguiente ecuación 5x2xx – 8 = 0?

¿Cuánto vale el coeficiente c de la siguiente ecuación c x2xx + 7x = 0? x

¿El coeficiente a puede valer cero en una ecuación cuadrática?

¿Por qué?

¿Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver por fórmula general? _______

Escribe una ventaja de utilizar la fórmula.

Supero el retoSupero el reto

3x2 xx + 30 + 21x = 0abcx1 = __________

6x2xx – 17x + x 10 = 0abcx1 = __________

2x2xx – 2 = 0abc

1 = __________

Elige dos de las ecuaciones anteriores y resuélvelas por otro método que no sea el de la fórmula general, para comprobar que obtienes los mismos resultados.

Ecuación elegida Ecuación elegida

x1 = __________; x2xx = __________ x1 = __________; x2xx = __________

4x44 2 xx + 12x = 40abcx2xx = __________

4x44 + 8x2xx = 1.5abcx2xx = __________

x2xx – 16 = 0abcx2xx = __________

Encontrando ladosEncontrando ladosLos Sulbasutras de la India128

31 La fórmula de Bháskaray su discriminante

Lecc

ión


Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.

¿Recuerdas en qué país surgió la fórmula general para resolver las ecuaciones cua-dráticas? Escríbelo __________________. En años posteriores, otro matemáticohindú, probablemente el más famoso, formalizó y analizó la fórmula anterior, deter-minando que las ecuaciones cuadráticas tenían siempre dos soluciones; él se llamabaBháskara y nació en el año 1114. En la fórmula de Bháskara, que es también la queusaste en la lección anterior, aparece la raíz cuadrada ¿de qué término? _____________________. A este término se le llama discriminante.

Fuente: Funciones cuadráticas www.x.edu.uy/cuadratica.htm. Fecha de consulta: 12 sep 2007.

Hablando de raíces cuadradas, ¿cuándo existe una raíz? ¿Siempre se puede hacer esta operación? __________________________¿A cuáles números se les puede calcular la raíz cuadrada? __________________________Y en la fórmula general, ¿siempre se podrá hacer la raíz cuadrada?__________________________

Analiza los siguientes casos:Sustituye en la fórmula general los coeficientes de la ecuación cuadrática: 3x2 xx + 17x – 28 = 0

x = –17 + √√( )2-4( ) ( )2c

¿Cuál es el resultado de hacer la operación que está dentro de la raíz? __________________________¿Este número es mayor, menor o igual a cero? __________________________En la ecuación x2xx + 6x + 9 = 0, ¿cuánto vale el determinante? x __________________________¿Es mayor, menor o igual a cero? __________________________De acuerdo con las respuestas anteriores, ¿cuál es la opción que falta para que el discriminante sea mayor, menor o igual a cero? __________________________El discriminante es importante porque indica el número y el tipo de soluciones que tiene la ecuación cua-drática.¿Los valores de x1 y x2xx de la primera ecuación, son iguales o diferentes? _________________________Y en la ecuación cuyo valor del discriminante es igual a cero¿las soluciones son iguales o diferentes? __________________________Completa la siguiente tabla de acuerdo con tus respuestas.

Discriminante

(b2 – 4ac) ___ 0 Dos raíces reales y _________________

(b2 – 4ac) ___ 0 Dos raíces reales y _________________

(b2 – 4ac) ___ 0 No tiene raíces reales _______________

Encontrando ladosEncontrando ladosLa fórmula de Bháskara y su discriminante 129

Explica brevemente, ¿qué aprendiste sobre el discriminante? ¿Cuál consideras que es el mayor beneficio de conocer el valor del discriminante? __

el retoSupero

Encuentra el valor del determinante e indica qué tipo de raíces tendrá la ecuación.

x2 xx – 10x + 25 = 0 Discriminante = b2 – 4ac

a =b =c =cPor lo tanto, las raíces serán ______________

3x2xx – 2x + 5 = 0 Discriminante = b2 – 4ac


5x2xx – 11x – 12 = 0 Discriminante = b2 – 4ac


x2 xx – 4x 44 – 7 = 0 Discriminante = b2-4ac


Ahora resuélvelas en tu cuaderno, por el método que quieras, para comprobar que obtienes el tipo de solu-ciones que indica el discriminante.

Encontrando ladosEncontrando ladosLa fórmula de Bháskara y su discriminante130

32 ¿Por qué ? Lecc

ión

Conocimientos y habilidades a desarrollar por los alumnos:Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.

El matemático Al-Joarizmi (siglo IX) designó a la incógnita con el nom-bre de xai que en árabe significa “cosa”. Como la inicial de la palabraixai es lai x, ésta sustituyó (como abreviatura) a toda la palabra; de ahí x

la costumbre de representar con x la incógnita o cosa desconocida enxlas ecuaciones y en los problemas, como los que se van a tratar en estalección.Fuente: Alfredo R. Palacios – Arturo Alvarez O. Argerami. Biografías de palabras. Argenti-

na, Magisterio del Río de la Plata, 1995. pág. 64.

Éstas son algunas situaciones en las que se tiene que establecer un mo-delo o ecuación:El producto de dos enteros pares consecutivos es 360. Encuentra el nú-mero menor.¿Cómo representas un número en álgebra? ¿Cómo se representa el consecutivo par del número anterior? ¿Qué operación se relaciona con el producto? Establece la ecuación del problema a partir de lo anterior. _____________________________________¿Cómo queda ordenada la ecuación cuadrática resultante? De acuerdo con el discriminante, ¿cómo son las soluciones? ¿Cuánto valen a, b y c? a= _______________

b= _______________c= _______________

Resuelve por fórmula general.¿Cuál fue el número menor? _____________________________

Recuerda leer detenidamente el problema para que puedas definir lo que representa la incógnita que plan-tees en la ecuación.

Siguiendo con los números consecutivos.La cuarta parte del producto de dos enteros pares consecutivos es 56, ¿cuáles son los números? Resuelvepor fórmula general:

Encontrando ladosEncontrando lados¿Por qué x? 131

¿Las dos raíces o soluciones puedes usarlas para responder el problema? ¿Por qué? ¿Cuáles son entonces los números que responden el problema?

Plantea cada uno de los modelos matemáticos (ecuaciones) que representen a los siguientes problemas.1. El largo de un rectángulo mide 6 m más que su ancho y su área es de 280 m2. 2. El largo de una habitación excede 1 m a su ancho. Si se amplía 2m más por lado se tendrá un área de 24.75 m2.Ancho inicial = ____________________Largo inicial = ____________________Área = ____________________3. Un piso de forma cuadrada se redujo 2 m por lado, quedando con un área de 8 m2. 4. Un número positivo tal que su cuadrado menos su doble sea 35. 5. Mariana es 3 años más joven que Eduardo. El producto de los números que expresan sus edades es 88._______________________________

6. Dada una ecuación describe una situación a la que pudiera corresponder y resuélvela.

x2xx (x(( – 7) = 10x

2x2xx – 3x –1 = 0x

Propón unas recomendaciones (que te hayan funcionado), para poder plantear las ecuaciones que represen-ten los problemas. Escríbelas y coméntenlas en forma grupal.

el retoSupero

Encontrando ladosEncontrando lados¿Por qué x?132

33 La división exacta Lecc

ión


Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos.Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

¿Sabes quién fue Tales de Mileto?Al parecer vivió en Grecia alrededor del año 600 a.n.e. Fue un matemático, astrónomo, filósofo; fue el primero de los griegos que estudió las matemáticas y las otras ciencias conexas con un interés puramente científico. Se cuentan muchas anécdotas de Tales. Según Plutarco, era el típico sabio distraído, concentrado sólo en sus investigaciones astronómicas (se dice que predijo el eclipse solar del año 585 a.n.e.). “Fue el famoso sabio que cayó en un pozo por mirar las estrellas y una anciana le dijo: pretendes observar las estrellas y ni siquiera ves lo que tienesa tus pies”.¿Quieres conocer una de las grandes aportaciones a las mate-máticas de este sabio?

Reúnete con un compañero para realizar lo siguiente:

f Sin medirlo dividan el segmento en cinco partes.

f Describan lo que hicieron para dividir el segmento en partes iguales:

f Contesten lo que se les pide:

¿Cómo son los segmentos MN y N NP? _______________________________

A B

A B

MN

PQQ

R

Encontrando ladosEncontrando ladosLa división exacta 133

¿Cómo son los segmentos AM y M MN ? N Entonces, los segmentos AM, MN y N NP sonP Traza una recta que una los puntos B y R, ahora traza rectas paralelas a BR que corten AB y que pasen por M, N, P, Q y R, respectivamente; marca las intersecciones con M’, N’, P’, Q’ y’ R’. ¿Cómo resultan A’M’, M’N’, N’P’ ? _______________________________Entonces las rectas paralelas que cortan una transversal dividida en segmentos iguales determinan sobreotra también segmentos iguales.¿Este procedimiento se parece al que realizaron para dividir el segmento AB?

Ahora demostraremos esto mediante el razonamiento deductivo.Primero trazaremos una recta que una los puntos B y R, después segmentos paralelos a BR que pasen por los puntos: M, N, P yP Q que corten la recta AB, en M’, N’, P’ y ’ Q’ respectivamente. A partir de los puntos M y M N se trazarán segmentos paralelos a la recta N AB.

Hipótesis TesisAM � MN � NP A’M’ � M’N’ � N’P’

1. AM = MN …por hipótesis.2. �MAM’ � �NMC � �PND …por ser ángulos correspondientes entre paralelas.3. �AMM’ � �MNC � �NPD …por ser los ángulos correspondientes entre paralelas.4. �AMM’ � �MNC � �NPD …por tener, respectivamente, congruentes dos ángulos y un lado in-

cluido.5. � AM’ � MC � ND …por ser lados opuestos a ángulos congruentes en triángulos con-

gruentes.6. Pero MC � M’N’ y ’ ND � N’P’ …porque los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.7. � AM’ � M’N’ � N’P’ …toda cantidad puede ser sustituida por su igual.

Si varias rectas paralelas son cortadas por dos o más líneas transversales, la división de las longitudes de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra.

¿Cómo son los segmentos r comprendidos entre r A y C? ¿Cómo son los segmentos r comprendidos entre r A y B? ¿Cuántas divisiones iguales hay entre A y B? __________¿Cuántas divisiones iguales hay entre B y C? __________

A B

MN

PQ

R

M’ N’ P’ Q’ R’

CD

AC’

B’ A’

C

B

m

r

m m m m m

rrrr

rrrr

rr

Encontrando ladosEncontrando ladosLa división exacta134

Busca la razón de los segmentos AB y BC:_______________________________Determina la razón entre los segmentos A’B’ y’ B’C’:’ _______________________________¿Cómo resultaron las razones de los segmentos AB y BC en relación con C A’B’ y ’ B’C’?’’ _________________Con esto puedes formar la proporción: _____________________Lo que nos indica que los segmentos homólogos son proporcionales.

Con las deducciones anteriores podemos demostrar el teorema que dice: Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, forma otro triángulo semejante al primero.

AB � DE � FG

La base del �ABC es C ___________________.La base del �CDE es E ___________________.AB y ____ son paralelasObservemos al triángulo ABC y el triánguloC CDE.El ángulo 1 y el ____________ son congruentes por ser ángulos correspondientes formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.El ángulo 2 y el ángulo 4 son ________________ por ser ángulos _______________ formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.El ángulo 5 es común a los triángulos ABC yC CDE.De lo anterior podemos afirmar que los ángulos homólogos son _______________.

ABDC

= BCEC

ya que si varias paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos homólogos son ____________________

¿Cuál es la razón de semejanza de ACCD

? =

¿Cuál es la razón de semejanza de BCCE

? =

¿Cuál es la razón de semejanza de ABDE

? =

De lo anterior, podemos afirmar que los lados homólogos son ________________________.

Si los triángulos ABC y C CDE tienen sus ángulos homólogos congruentes y sus lados homólogos proporciona-E

les, significa que estos triángulos son __________________________________

Tomando en cuenta el razonamiento anterior, podemos afirmar que:Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo forma otro triángulo semejante al primero.

Ejemplos:

Si FG � HI ⇒ �FGJ ≈ J �HIJ

A

D

F C G

4 E

B

5

3

21

H

F

J

G

I


Si PR � ST ⇒ �PQR ≈ �QST

De acuerdo con las figuras y los datos, calcula los valores que se te indican:

¿Cómo hiciste para conocer los resultados?

¿Encontraste alguna dificultad al resolver este ejercicio?

R

P

S

QT

a) DE � AB

�C = C ________ �A = ________

AC = C ________

b) GI � FJ yJ FJ � FH

�J =J ________ �H = H ________

GI =I ________

c) KL � MN yN KL � KO

�O = ________ KO = ________

d) PT � QS y PT � TR

�Q = ________ �T = T ________

T

QR

S

P50� 40�

O

K

N

L

M

60�

J

F

I

GH

C

40�

D

A

C

B

E70�

60�

Encontrando ladosEncontrando ladosLa división exacta136

Una fotografía mide 12 cm de largo por 10 cm de altura. Un cliente pide una ampliación de 20 cm por16 cm, ¿será posible esa ampliación?

el retoSupero

Justifica tu respuesta con conocimientos y habilidades que has adquirido hasta el momento.


E

A C

D

B

Sombra AB = 5.40 m Sombra BC = 1.80 m

BD = 2.3 m

34 Tales de MiletoLecc

ión


Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

De la vida de Tales de Mileto no conocemos muchas cosas, pero hay testimonios indiscutibles según los cuales el sabio de Mi-leto era considerado un gran genio desde joven. Se cuenta que siendo aún niño, en compañía de los grandes sacerdotes egip-cios, pudo ver de cerca la gran pirámide de Keops. “¿Qué altura piensas que tiene?” le preguntó uno de los sacerdotes. Tales, después de un momento respondió que estaría en condiciones de medirla al milímetro sin ningún instrumento y sin necesidad de subir a la cima de la mastodóntica construcción.Aplicando el teorema de los ángulos similares, Tales demostró a los sacerdotes egipcios la posibilidad de medir la altura de las pirámides sin subir hasta la cima y sin ninguno de los instru-mentos empleados por los ingenieros del faraón.

Fuente: Giancarlo Masini. “El romance de los números” en Historia ilustrada de la Matemática. Barcelona, Edición especial para Círculo de Lectores. 1980. Pp. 32-33.

Reúnete con un compañero y contesten lo que se les pide.¿Cómo calcularían la altura del asta bandera si se conocen los datos indicados?

¿Cuál es la altura del asta bandera? ______________¿Qué hicieron para encontrar la medida? _________________________________________________¿Creen que Tales de Mileto hizo algo similar al procedimiento que ustedes utilizaron para encontrar la medi-da del asta bandera?

Encontrando ladosEncontrando ladosTales de Mileto138

1.5 m12 m

El teorema de Tales y la semejanza de triángulos tienen múltiples aplicaciones, algunas de las cuales estudia-remos en esta lección, continúa y conocerás otras aplicaciones de la semejanza de triángulos.

A veces queremos calcular algunas distancias pero no contamos con los instrumentos ideales para ello. Veamos cómo se pueden resolver dichas situaciones.

¿Cómo se puede calcular la altura de un árbol? Escribe tu sugerencia: Otra forma sería considerar su sombra con respecto a otros elementos que estén a nuestro alcance.

La altura se mide perpendicular al piso. Si colocamos perpendicularmente una regla que proyecte su sombra en el extremo de la del árbol, y medimos la distancia del extremo de la sombra a la regla y al pie del árbol establecemos una proporción. Completa la proporción.

De la regla Del árbol

Altura 1 m h

Sombra 1.5 m 1 m

h= 1*121.5

11.5

h12

= h = 8

El árbol tiene una altura de 8 metros.

Lo importante es que al establecer la proporción formes las razones con elementos homólogos, sin cambiar el orden en que se consideran las figuras.

Reúnete con un compañero y resuelvan los siguientes problemas.

f Un edificio proyecta una sombra de 5 m, en ese mismo instante una persona de 1.80 m de altura proyecta una sombra de 1.25 m; ¿cuál es la altura del edificio?

f Un edificio de 20 m de altura se localiza a 15 m de distancia de otro más alto. Si a una hora determinada, a 40 m del edificio más alto, coinciden los puntos finales de las dos sombras, ¿cuánto mide el edificio más alto?

f Considerando la figura y los datos, calcula el ancho del río.

D

A

CEB

AB CDBE = 3.6 mAB = 4.6 mCE = 9 mDC =

Encontrando ladosEncontrando ladosTales de Mileto 139

A B

C D

P

f Cuatro personas desean medir el ancho de una laguna, para ello se sirven de teodolitos que les deter-minan las medidas: CP = 500 m, P PB = 2 500 m y CD = 600 m. ¿Cuánto mide el ancho de la laguna?

El rectángulo y el triángulo

Observa el rectángulo ABCD, después el triángulo ABE y sin hacer operaciones anota:E¿cuál de los dos polígonos tiene mayor área?

el retoSupero

E

A

D C

B

¿Crees que tiene grandes aplicaciones el teorema de Tales de Mileto en el cálculo de distancias inaccesi-bles? ¿En qué otro momento lo utilizarías para resolver otras situaciones?

Encontrando ladosEncontrando ladosTales de Mileto140

35 Las sombras Lecc

ión


Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que uno o que menos uno.

Contesten lo siguiente:¿Cómo son entre sí las dos figuras, la original y la sombra? ¿Qué pasa si acercas la figura a la pared? ¿Qué pasa si la alejas? ¿Crees que si conocemos las medidas de la figura original se puedan conocer las de la figura proyecta-da?____ ¿Por qué?

Pared

Sombra

Estando en casa, por la noche se fue la luz, entonces el abuelo prendió una vela y comenzó a jugar con sus manos haciendo figuras y proyectando sombras en la pared; yo traje algunas figuras como cuadrados, trián-gulos y pentágonos, y las utilicé para hacer sombras.

Reúnanse en equipos y jueguen a las sombras, necesitan una lámpara y figuras como triángulos, cuadrados o rectángulos de cartulina. Colóquense cerca de la pared, tomen la figura y con la lámpara proyecten su sombra, como aparece en el dibujo de abajo.

Encontrando ladosEncontrando ladosLas sombras 141

El abuelo dijo que estas figuras se llaman homotéticas. Observa estas otras figuras.

Supón que el punto 0 es la lámpara y el triángulo grande la sombra proyectada del triángulo pequeño. ¿Cuál será su razón de semejanza?____________; esta razón también se llama razón de homotecia.

Con tu compás toma la medida 0A, luego toma 2 veces esta medida y encontrarás el punto A’. Lo mismo se hizo con los puntos B y C para encontrarC B’ y ’ C’, al final unirlos y formar el triángulo ’ A’ B’ C’.Comenta con tus compañeros qué consideras que es la homotecia.

Entonces, la homotecia es una transformación que asocia figuras semejantes y cuyos lados son paralelos.¿Consideras que son figuras homotéticas?______________________Las figuras que resultan de prolongar las líneas de referencia al centro de homotecia en sentido contrario a éste, son homotéticas junto con la original.Reúnanse en equipo y resuelvan lo siguiente:Se tiene el polígono PQRS y su centro de homotecia 0. La razón de homotecia es igual a 1. Construye su polígono homotético.

Ahora fíjense que tenemos el polígono PQR, pero su razón de homotecia es igual a –1. ¿Cómo construyen el polígono homotético?

En las siguientes figuras, une desde el punto 0, con líneas rectas los vértices correspondientes A con A’, B

con B’, C conC C’ y ’ D con D’

O

P

Q

R

O

BA

CD

A’ B’

C’D’

O

B

C

A A’

C’

B’

P’PO

Q Q’

S’

SR

R’R’

Encontrando ladosEncontrando ladosLas sombras142

Estas figuras son semejantes, o bien, homotéticas, las líneas que trazaste coinciden en el punto 0 al que identificaremos como centro de homotecia.Analiza ahora estas figuras.

¿Dónde se encuentra el centro de homotecia? ¿Qué sucedió con la figura resultante? ¿Cambió la medida de los ángulos de una y otra figuras? Comparen las homotecias anteriores y comenten, ¿qué ocurrió en cada una y qué pueden concluir?

Cuando la razón de homotecia es positiva la homotecia es directa y las figuras están del mismo lado, en cambio, si la razón de homotecia es negativa, la homotecia es inversa y las figuras están en uno y otro lado del centro de homotecia.

Analiza estas homotecias y contesta:

el retoSupero

¿Dónde se encuentra el centro de homotecia? ¿Cuál es la razón de homotecia? Las figuras de la derecha ¿serán homotéticas?

¿Dónde está su centro de homotecia? ¿Cuál será su razón de homotecia?

A

B

C

A’

B’

C’

O

A

B

C

O

D

E

A’

B’

C’D’

E’

A

B

C

D

E

O

A’

B’

C’

D’

E’

Encontrando ladosEncontrando ladosLas sombras 143

36 Figuras homotéticasLecc

ión


Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura.

Mi abuelo me contó que la homotecia me serviría para construir muchas figuras, pero que observara ciertas características que siempre se presentan.Observa las siguientes figuras homotéticas.

Utilizando tus conocimientos de figuras semejantes obtén la razón de semejanza o razón de homotecia de las figuras observadas.Encuentra ahora la medida de x considerando que:

OAOA’

=ABA’B’

Obtén ahora la razón de semejanza considerando:

ABA’B’

¿Qué sucedió con ambas razones, la de semejanza y la de homotecia?

AB

C

O

D

A’ B’

C’D’

A B

CO

D

A’

B’

C’

D’

X

6.83

3.28 1.59

Encontrando ladosEncontrando ladosFiguras homotéticas144

Esto que obtuviste es una propiedad de la homotecia, la razón entre dos distancias desde el centro de homotecia hasta los vértices de las figuras es igual a la razón de semejanza.

En la siguiente figura calcula la medida de x y la razón de homotecia:x

Observa estas otras figuras homotéticas, toma tu transportador y mide los ángulos de ambas figuras.

Si consideramos:El �OCB � �OC’B’ el ’ �OBC � CB’C’

y el �OAB � �OA’B’ el’ �OBA � �OB’A’

Si restamos miembro a miembro…�OBC –C �OBA � �OB’C – �OB’A’

�B = �B’

¿Qué sucede con los ángulos de las figuras homotéticas? Si restamos miembro a miembro.Reúnanse en equipos y aplicando la semejanza de triángulos encuentren:� A = �A’ y’ �C =C �C’

Los ángulos de figuras homotéticas son iguales, ésta es otra propiedad a la que se llama invariancia de los ángulos.

AA’

B

O

B’

C

C’

Encuentra la figura homotética a la siguiente y comprueba si se cumplen las propiedades. La razón de ho-motecia es 1 : 4.

el retoSupero

Consideras que la homotecia te servirá para

F

G

H

E

A

A’

B

B’

CO

C’3.3

5.3

Encontrando ladosEncontrando ladosFiguras homotéticas 145

37 Más sobre homoteciaLecc

ión


Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.

En parejas construyan la figura homotética del polígono PQRS de tal forma que esté en escala 1 a 3, y otro figura más a una escala de 2 a 1.

O

P

Q

R

SS

O

P

Q

R

SS

En lecciones anteriores aprendiste a construir figuras homotéticas, conociste sus propiedades y te diste cuen-ta de su utilidad, sobre todo, al trazar figuras las puedes dibujar con cierta facilidad y precisión. Pues bien, ahora descubrirás que no sólo puedes obtener una figura semejante, sino varias semejantes a la original.

Analiza la siguiente información:Observa las figuras, son homotecias. Fíjate bien si en dos figuras semejantes la medida de uno de sus lados es el doble que la de su lado correspondiente, están en escala de 2 : 1. Una escala 1 a 3 significa que la medida de un lado tendría que ser un tercio de la de su lado correspondiente.

O

P

R

Q

P’

Q’

R’

Encontrando ladosEncontrando ladosMás sobre homotecia146

Como OP = 3 cm, es decir un tercio de 3 cm será igual a 1 cm.P

OP’ = 1 cm. Y haremos lo mismo con las demás medidas de los segmentos OQ, OR, y OS.

Como OP = 3 cm el doble de 3 cm = 6 cm.P OP’ = 6 cm.’

A las construcciones anteriores las llamaremos composición de homotecias con el mismo centro, esto es igual al producto de sus razones.

Construye en el espacio en blanco otra composición de homotecias para la siguiente figura.

el retoSupero

Q

PW

V

S

R

U

T

Encontrando ladosEncontrando ladosMás sobre homotecia 147

38 La estadísticaLecc

ión


Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situacio-nes o fenómenos.

La estadística trata principalmente de la colección, organización y presentación delos datos en tablas y gráficas. Con su ayuda se pueden extraer conclusiones válidasy tomar decisiones razonables sobre la base del análisis de datos. Es utilizada enmuchas disciplinas.

Reúnete con un compañero y realicen lo que se indica:¿Cuál es el volumen de 6 cubos cuyas aristas miden 1, 1.5, 2, 2.5, 3 y 3.5 cm respec-tivamente?Completen la tabla y elaboren la gráfica correspondiente en papel milimétrico y pé-guenla a un lado de la tabla.

Arista Volumen

1

1.5

2

2.5

3

3.5

¿Cuál es la fórmula que muestra esta relación? ¿Cuál es la variable dependiente?__________________ ¿Cuál es la independiente? _______________¿Qué obtuvieron en la gráfica, una línea recta o una curva? ¿Es o no una relación lineal? __________ ¿Por qué? Comenten con sus compañeros sus respuestas.

Elabora una tabla y una gráfica en papel milimétrico y pégala a un lado de la tabla que muestre la intensidad de la corriente que circula por un conductor cuando las resistencias son 4, 6, 8, 10 y 12 ohms, si se encuentra conectado a una batería de 120 volts.La fórmula es I =I

VR

; donde I = Intensidad de la corriente,I V = voltaje y V R= resistencia.

Encontrando ladosEncontrando ladosLa estadística148

R I

¿Cuál es la variable independiente?__________________¿Cuál, la variable dependiente? __________________¿Cuál es la constante? __________________¿Qué obtuvieron en la gráfica? __________________¿Es una relación lineal o no? __________________¿Por qué? Comenten sus respuestas con su grupo.

A un empleado se le retiene un impuesto de 15% sobre su sueldo.¿Cuál sería la función que represente esta relación? Completa la tabla, elabora la gráfica correspondiente en papel milimétrico y pégala después en la tabla.

Sueldo Impuesto

$ 1 000

$ 2 000

$ 3 000

$ 4 000

$ 5 000

En este caso, ¿cuál es la variable dependiente?__________________¿Cuál es la variable independiente? __________________¿La gráfica muestra o no una relación lineal? __________________¿Por qué?

La gráfica de una función lineal es siempre una línea recta, la gráfica de las funciones no lineales es siempre una curva.

Encontrando ladosEncontrando ladosLa estadística 149

Reúnanse en equipos y unan por medio de una línea cada función con su respectiva gráfica.

el retoSupero

y = (y x(( + 1)2x

y =y8

X – 2

y = 3y x

Comenten en el grupo los distintos procedimientos con los que validaron sus respuestas.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-2 -1 0 1 2 3 4-5 -4 -3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

8

La estadística150

39 Relación de funciones Lecc

ión


Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que definen a estas funciones.

En el año 429 a.n.e., Pericles, gobernador de Atenas, muere víctima de la peste queatacaba muy severamente la ciudad. A raíz de este suceso algunos de los habitantesdeciden ir a la ciudad de Delfos para hacer consultas al oráculo de Apolo y saber cómodetener la epidemia. La respuesta a la consulta del oráculo fue que debían elaborarun nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplicara el del altar que ya existía.Lo intentaron, ya que pensaron que al duplicar la arista del cubo se duplicaría el vo-lumen, pero esto no sucedió, así que no lograron evitar el desastre. La pandemia sedisipó con el tiempo, pero el problema matemático planteado permaneció como algoimposible. Puedes intentar resolverlo.

Si duplicas la arista de un cubo, ¿qué pasa con el volumen? ¿Sabes cuántas caras tiene un cubo?______Si no lo sabes, investígalo y anota la respuesta. _________________¿Qué forma tienen las caras?___________________El cuadrado ha sido la base para una serie de construcciones, entre ellas la del cubo.A continuación te presentamos tres gráficas en relación con el cuadrado y el cubo.

¿Qué datos te aporta cada una de las gráficas? Expresa la fórmula que representa cada gráfica.

1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

40

50

8 9 10

Medida de lado en cm (x)

Per

ímet

ro c

m

1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

40

50

8 9 10

Medida de lado en cm (x)

Áre

a c

m2

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

40

50

8 9 10

Medida de la arista en cm (x)

Volu

men

cm

3

60

70

80

90

100

Encontrando ladosEncontrando ladosRelación de funciones 151

Observa las gráficas y contesta.

Figura 1Función: y =y

Si un lado de un cuadrado mide 3 cm, ¿cuánto mide su perímetro?___________________Si un lado mide 4.6 cm, ¿cuál es el perímetro?___________________Si un lado mide 5 cm, ¿cuál es su perímetro?___________________Si el perímetro del cuadrado mide 4 cm, ¿cuánto miden sus lados?___________________Si el perímetro mide 25 cm, ¿cuánto medirá cada uno de sus lados?___________________

Figura 2Función: y =y ___________________Si los lados de un cuadrado miden 3 cm, ¿cuál es su área?___________________Si un lado mide 3.8 cm, ¿cuánto mide la superficie?___________________Si un lado mide 5 cm, ¿qué superficie ocupa?___________________Si el área de un cuadrado es 50 cm2, ¿cuánto miden sus lados?___________________

Figura 3Función: y =y ___________________Si la arista de un cubo mide 2 cm, ¿cuál es su volumen?___________________Si la arista mide 2.6 cm, ¿cuál es su volumen?___________________Si la arista de un cubo mide 5 cm, ¿cuál es su volumen?___________________Si el volumen de un cubo mide 27 cm3, ¿cuánto mide su arista?___________________Si el volumen es 50 cm3, ¿cuánto medirá la arista del cubo?___________________

¿Cuál de las gráficas representa una función lineal (recta)?___________________¿Cuál de las gráficas representa una función no lineal?___________________¿A qué crees que se deban estos resultados?___________________Comenta con tus compañeros de grupo tus resultados y argumenten sus respuestas.

Júntate con un compañero y hagan lo que se indica:a) Expresen como función cada una de las fórmulas.b) Antes de trazar la gráfica, indiquen si será lineal (una sola recta) o no lineal.c) Tabulen aproximando los resultados hasta décimos.d) Tracen la gráfica que corresponda a cada tabla.

P = 2�r� y = _________

Radio (x) Perímetro (y) = 2�r�

0 (2)(3.1416)(0) = 0

1 (2)(3.1416)(1) = 6.3

2

3

4

5

Encontrando ladosEncontrando ladosRelación de funciones152

Radio

(x)

Área

y = �r� 2

0

1

2

3

4

5

En la gráfica, ¿podrías encontrar el perímetro del círculo si su radio midiera 3.5 cm? _________________¿Cuántos valores para el radio puedes observar en la gráfica que acabas de trazar? _________________¿Por qué?

A = �r� 2rr y =y _________ V = V 43

�r� 3rr y = y ________

Radio

(x)

Volumen

y = 4/3�r� 3

0

1

2

3

4

5

Observa tus gráficas, contesta las preguntas y explica cómo encontraste las respuestas:Si el radio del círculo midiera 3.5 cm, ¿cuál sería su área?________Explicación: Si el área del círculo fuera aproximadamente 60 cm2, ¿cuánto mediría su radio?________Explicación: Si el volumen de la esfera fuera aproximadamente de 200 cm3, ¿cuánto mediría su diámetro? ________Explicación: Si el radio de la esfera midiera 2.8 cm, ¿cuál sería su volumen?________Explicación: ¿Qué tipo de función da como resultado una recta al construir una gráfica? Cuando la gráfica es una curva, ¿qué característica tiene la función que representa?

Elabora tus gráficas en este espacio.


Indica cuáles de las siguientes expresiones representan una función lineal y cuáles representan una no lineal. ¿Por qué?

Comprueba tus respuestas completando las tablas y graficando las funciones en tu cuaderno o en papel milimétrico.

y = 5y x + 2x y = 3y x2xx n = x, p = 2, m = y2

x y = 5y x + 2 x

-2

-1

0

1

2

x y = 3y x2xx

-2

-1

0

1

2

x y = y x2xx + 2p

0

1

2

3

4

5

x y = –2y x

–1.5

–0.5

1

2

3

n = x, p = 2, m = y2m = n2 + 2p b= –2a; a = x, y = b

¿En qué tipo de gráfica te resulta más fácil encontrar valores que no están en la tabla de la función, es decir, los que no utilizaste para trazar la gráfica? ¿Por qué? Con apoyo del maestro y del grupo, revisa tus respuestas y valida tus procedimientos.

IndicIndi

¿

ca cuáleca cuálles de les de

¿Por quéPor qu


Los problemas que siguen son muy comunes en física, resuélvelos gráficamente.1. Un móvil que parte del estado de reposo y con una aceleración de 12.5 m/seg, alcanza una velocidad final

en un tiempo de 4 seg. a) Completa la tabla.b) Traza la gráfica de la velocidad que podría alcanzar en diferentes tiempos (0, 1, 2, 3, 4, seg).Recuerda que como el móvil parte del reposo su velocidad inicial es cero por tanto, la fórmula es: VfVV =f at.

el retoSupero

T Vf

VV = att

0

1

2

3

4

2. Contesta las preguntas y explica tu procedimiento para encontrar el resultado de cada una. a) En la gráfica encuentra la velocidad que alcanzaría el móvil en 1.5 segundos___________________

Explicación: b) ¿En qué tiempo alcanzaría una velocidad de 45 m/seg? ___________________

Explicación: c) ¿Qué velocidad alcanzará en 6 segundos? ___________________

Explicación:

¿Sabías que si dejas caer dos piedras, una grande y una pequeña, al mismo tiempo, las dos piedras llegarán al piso al mismo tiempo? Esto se debe a la aceleración gravitacional, ya que todos los cuer-pos grandes o pequeños en ausencia de fricción y sin resistencia alguna caen a la Tierra con la misma aceleración.

3. Resuelve un problema donde está implícita la gravedad.

Recuerda que d =dgt 2

2; g = 9.8 m/segg 2

Una piedra se deja caer y tarda 3 segundos en llegar al piso.

4. Contesta las preguntas y explica qué hiciste para obtener cada respuesta. a) ¿De qué altura se dejó caer la piedra?___________________

Explicación:


b) Construye una tabla para conocer la altura que es recorrida por la piedra en diferentes tiempos hasta llegar al piso. c) Construye la gráfica.

t dd

0

1

2

3

d) ¿Qué distancia habrá recorrido la piedra a los 1.5 segundos? ___________________ Explicación:

e) ¿A que altura se habría dejado caer la piedra, si tardara 4 seg. en llegar al piso? ________________ Explicación:

f) ¿Cuánto tiempo pasaría si la piedra se hubiera dejado caer a una distancia de 25 m?Explicación:

¿Qué ventaja le encuentras a resolver este tipo de problemas por medio de una gráfica?

¿Por qué? ¿Qué desventaja le puedes encontrar? ¿Por qué?


40 Las noticias Lecc

ión


Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimien-to, llenado de recipientes, etcétera.

El profesor Jorge todos los días lee el periódico por la mañana antes de llegar a laescuela secundaria; al revisarlo reflexiona que los periódicos proporcionan una grancantidad de datos, presentados en porcentajes, tasas e índices, o bien en forma detablas, gráficas e inferencias estadísticas. Decide recortar los diferentes tipos de grá-ficas para trabajar con ellas en la clase de matemáticas, ya que esta presentación dela información le permitirá comprender mejor o crearse una opinión de lo que sucedeen el mundo.El profesor recorta también información que él considera complementaria para com-prender mejor las gráficas. Al distribuir la gráfica con su respectiva información alos equipos, los alumnos se dan cuenta que no coinciden. Observa las gráficas y lainformación complementaria, relaciona con una flecha cada gráfica con su respectivainformación complementaria.

“De acuerdo con la Encuesta Nacional de Empleo, en México, por cada diez mil personas de la población económicamente activa (PEA) hay 360 desocupados”.

Septie

mbre

Octubre

Noviembre

Diciem

breEner

o

Febre

ro

Mar

zoAbril

6

5

4

3

2

1

0

Niveles de desempleo (%)

3.98

4.02

3.58 3.47

3.96

4.02

5.5

3.6

Serie 1

1 2 3 4

20 000

0

40 000

60 000

80 000

100 000

120 000

140 000

6 146.724 999.27

44 197.56

116 316.39

Generación brutade energía eléctrica

eólica

EOLO EN ASCENSO

“Urge mayor impulso a energías renovables, señala el investigador del Instituto Ingeniería de la UNAM, dijo que el desafío es generar electricidad a gran escala basándose en las fuentes no convencionales.”

Encontrando ladosEncontrando ladosLas noticias 157

“La IED, en su mejor momento, sube el pronóstico excelente semestre. La inversión extranjera directa delprimer semestre de 2007 subió 52.3%, siendo el segundo lugar en captación en la historia.”

Establecimientos comerciales

En junio de este año, las ventas al por mayor cayeron 1.2% y las de al por menor repuntaron 3.6% a tasaanual.En la última gráfica se hace una comparación, ¿qué se está comparando? ¿Qué son las ventas al mayoreo? ¿Qué son las ventas al menudeo? Si tú fueras un comerciante, ¿para qué te serviría la información que aparece en la gráfica? En este momento, cómo conviene vender para ganar más: ¿al mayoreo o al menudeo? Explica el porqué de tu elección:

*Todos los datos e información de las gráficas fueron tomadas del periódico Excélsior, Sección: “Dinero”, miércoles 22 de agosto r

de 2007.

1 2 3 4

2 000

0

4 000

6 000

8 000

10 000

12 000

14 000

10 292

7 476

8 692

13 244

Inversiónextranjera

INVERSIÓN EXTRANJERA DIRECTA (IED)

AÑO

160

140

120

100

80

60

40

20

0Junio 06 Dic. 06 Feb. 07 Junio 07

120

101.8116.3115.2112

147.7

111.1

117.7

Ventas mayoreo

Ventas menudeo

ÍND

ICE

VENTAS

Encontrando ladosEncontrando ladosLas noticias158

Consumo en excesoReúnete con un compañero, lean la siguiente información, analicen la gráfica y contesten lo que se pide:Según el Word Wild Forum, desde la década de 1980 la demanda de recursos naturales por parte de la hu-manidad ha excedido el abasto; es decir, la capacidad de la Tierra para satisfacer nuestras necesidades; la humanidad consume los recursos renovables de la Tierra en más de 25% de su capacidad. De continuar ese ritmo, para 2010 necesitaremos dos planetas para satisfacer la demanda.Fuente: Revista Expansión. Agosto 20, 2007. México. Las señales. Pág. 51

f Analiza la gráfica. ¿En qué década aumentó el consumo de recursos renovables? __________

f Propongan una forma de saber cuál era el consumo de recursos naturales en la década de 1950.

f De continuar así el consumo de los recursos naturales del planeta, ¿cuál será el posible consumo de re-cursos naturales en 2015? ¿Cómo le harían para calcularlo?

f Ante la nula cultura de reciclaje o de compensación a la naturaleza, la gente convierte los recursos reno-vables en desperdicios a un ritmo más rápido de lo que el planeta puede reconvertirlos, ¿qué piensan que puede ocurrir?

f Ustedes, ¿que proponen para disminuir el excesivo consumo de recursos naturales?

¡Aguas!36% del agua potable disponible en nuestro país se obtiene del subsuelo. 16% del total de los mantos acuíferos está so-breexplotado.Transforma la gráfica de barras en una gráfica poligonal.

¿Recuerdas el acertijo de Diofanto, al inicio del bloque? La res-puesta es 84 años. ¿Crées que puedas comprobar el procedi-miento por el que se llega a ese resultado?¡Inténtalo!

el retoSupero

CONSUMO EN EXCESO

Serie 2

1 32 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

0.40.75 0.95 1.1 1.2

2

Década

1 32 4 5 6

800

700

600

500

400

300

200

100

0

Bajo nosotros...

32 36 80 97 102 104

Acuíferos existentes en México

Acuíferos sobreexplotados

Encontrando ladosEncontrando ladosLas noticias 159

El dominio árabe se extendió hasta Samarkanda, ciudad de Asia central;de esta manera continuó el esplendor del trabajo en matemáticas quedesempeñaba ese pueblo. Al famoso matemático y astrónomo JamshidAl-Kashi, perteneciente a la escuela de Samarkanda y que vivió entrelos años 1390 y 1450, se le atribuye el cálculo de los valores trigonomé-tricos y la construcción de las tablas de las funciones trigonométricas,trabajo que le tomó aproximadamente 30 años de su vida.

Las primeras tablas fueron las de senos y tangentes en intervalos de mi-nuto, dando los valores con 5 bloques sexagesimales. El valor sexagesi-mal de sen 1° que se encontró fue de Sen 1° = 1;2, 49,43,11,14,44,16,26,7que equivale al decimal sen 1° = 0.017452406437283571.

Fuente: www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/puntofijo.htmp _p

160

BLOQUE 4

Como resultado de este cuarto bloque temático se esperaque los alumnos:

f Representen algebraicamente el término general, li-neal o cuadrático, de una sucesión numérica o con fi-guras.

f Resuelvan problemas que implican el uso del teoremade Pitágoras y/o razones trigonométricas.

f Resuelvan problemas que implican el uso de procedi-mientos recursivos, tales como el crecimiento pobla-cional o el interés sobre saldos insolutos.

161


Determinar una expresión general cuadrática para definir el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.

En parejas resuelvan el siguiente problema:Si en un tablero de ajedrez se coloca en el primer cuadro una ficha; enel segundo cuadro dos fichas; en el tercero tres, y así sucesivamente hasta completar la primera línea de 8 cuadros, ¿cuántas fichas setendrán que ocupar?

¿Qué hiciste para conocer el resultado?Si se continúa colocando 9 fichas en el cuadro 9, 10 en el cuadro 10,

etc, ¿cuántas fichas se habrán ocupado al colocar las que corresponden al cuadro número 16?Argumenta tu respuesta: Si se continúa de la misma manera hasta colocar las que le corresponden al cuadro número 25, ¿cuántas fichas se habrán ocupado ya? Júntate con un compañero, analicen y verifiquen sus procedimientos y resultados.

Si utilizas la expresión (n1+n2)

n = número de cuadros que se van a ocuparn1 = número de fichas del primer cuadronn = número de fichas del último cuadro

Sustituye los valores de las tres preguntas anteriores en la expresión algebraica. ¿Qué resultados obtuviste? ¿Cuántas fichas se tendrían que utilizar para colocar fichas en todo el tablero? Comparen sus resultados con el resto del grupo y valídenlos.

En equipo, resuelvan el siguiente problema encontrando una expresiónalgebraica que permita obtener el resultado del enésimo término.

Observen las figuras y contesten:

41 Jugando con el tablero de ajedrezLecc

ión

2

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosJugando con el tablero de ajedrez162

¿Cómo va aumentando la medida de la base de cada figura? ¿En qué razón va aumentando la altura de cada figura? ¿Qué relación hay entre la medida de la base de cada figura y la posición que ocupa en la sucesión? Si tuvieran que dibujar la figura 6, ¿cuántas unidades mediría la base? ______Y, ¿cuántas la altura?______¿Qué relación hay entre la altura y la posición que la figura ocupa en la sucesión? ¿Cuánto mediría su superficie? ______¿Cuánto medirá la base de la figura 10? ______ ¿y su altura? ______Entonces, su área será ________ Expliquen cómo obtuvieron las respuestas.

Completa la tabla:

Figura Base (u) Altura (u) Área (u2)

1 1 2 2

2 2 3 6

3 3 4 12

4 4 5 20

5 5 6 30

6

7

8

9

10

¿Cómo harías para obtener el área de la figura 40? ¿Cómo obtendrías el área de la figura que ocupará la posición n? Escribe la expresión algebraica que te permita obtener el área de la figura de la posición n.

An =

Con apoyo del maestro y del grupo, comprueba si la expresión An = n(n + 1) cumple con este propósito.

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosJugando con el tablero de ajedrez 163

Observa la tabla y contesta las preguntas:

1 1 1 0

2 4 2 2

3 9 3 6

4 16 4 12

5 25 5 20

6 6

7 42

8 64

9 9

10

La primera columna representa la posición de los términos de la sucesión: 0, 2, 6, 11, 20...¿Qué relación hay entre la segunda y tercera columnas? ¿Qué relación hay entre la primera y tercera columnas? ¿Qué relación hay entre las tres últimas columnas? ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta sucesión? Comprueba si la expresión que obtuviste funciona y completa la tabla.

Continúa la secuencia:0, 2, 6, 11, 20, ____, 42, ____, ____, ____, ____, ____, …

Calcula el término que se encuentra en la posición 50 de la serie. _ ________________

Explica el procedimiento que utilizaste para hallar el resultado.

Encuentra el término que ocupa la posición n de la misma serie. _ ________________

Explica cómo obtuviste esta generalización para encontrar el resultado.

Revisa y valida tus procedimientos y resultados con el resto del grupo.

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosJugando con el tablero de ajedrez164

Supero el reto

Observa las siguientes figuras:

Escribe la expresión algebraica que te permita encontrar por cuántos cubitos está formada la figura quese encuentra en la enésima posición. _ ________________

Argumenta por qué esta expresión funciona para cualquier término de la sucesión.

¿Cuántas caras en la vista frontal se pueden ver en el enésimo término de la sucesión? ¿Cómo hiciste para conocer el resultado? ¿Qué dificultades encontraste al resolver este ejercicio? ¿Qué es más práctico, utilizar material concreto o hacer uso del razonamiento y utilizar métodos alge-braicos? ¿Por qué?

1 2 3

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosJugando con el tablero de ajedrez 165

Cuadrados construidossobre loscatetos.

Cuadrado construidosobre lahipotenusa.

42 El genio de los griegosLecc

ión


Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.

Otro famoso teorema en matemáticas es el teorema de Pitágoras. Se sabe que este teorema sera conocido en Babilonia y Egipto, pero su demostración se le atribuye a Pitágoras de

Samos, quien vivió en Grecia en el siglo VI a.n.e. Él abrió dos escuelas en la Magna Grecia, en las que por primera vez se admitieron mujeres. Más de 2 000 años después de Pitágoras, el filósofo Schopenhauer seguía pregun-tándose el por qué de la existencia de esa relación. La pregunta no tiene respuesta.¿Sabías que existen cientos de pruebas para el teorema de Pitágoras? El mismo Pi-tágoras no lo pudo demostrar algebraicamente y sólo lo hizo en forma geométrica.En esta lección conocerás algunas de la muchas demostraciones que existen, pero

antes recordaremos de qué se trata.El teorema de Pitágoras dice: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipote-

nusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Observa la figura y responde:

¿Qué relación hay entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos y el área del cuadradoconstruido sobre la hipotenusa?

Reúnete con un compañero y realicen lo que se pide:Observen la figura, la cual pueden trazar en algún papel y luego recortar.

f Dibujen un triángulo rectángulo cualquiera ABC.

f Tracen los cuadrados sobre los catetos y un cuadrado más sobre la hipotenusa.

f Tracen las diagonales para determinar el centro (O) del cuadrado construido sobre el cateto mayor.

Encontrando ladosEncontrando ladosEl genio de los griegos166

f Tracen JK, que es paralela a la hipotenusa y pasa porKK O.

f Tracen LM que es perpendicular a la hipotenusa y pasa por O.

Recorten los cuatro trapecios que se formaron en el cuadrado construido sobre el cateto mayor (partes 1, 2, 3 y 4) y el cuadrado construido sobre el cateto menor (5). Con esas cinco piezas formen el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

¿Qué relación hay entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos y el área del cuadrado cons-truido sobre la hipotenusa? _ _

¿Qué pasaría si en lugar de trazar cuadrados, trazamos semicircunferencias? ¿Se cumplirá que el área sobrela hipotenusa será igual a la suma de las áreas sobre los catetos? Realicen los cálculos y comenten susresultados.

Área de la semicircunferencia:

Área de I = ___________

Área de II = ___________

Área de III = ___________

Suma de II y III = ___________

¿Obtienen I? ___________

F G

BC

F

D

L AJ

M K

O

4

53

A

C B2

Encontrando ladosEncontrando ladosEl genio de los griegos 167

Afirmaciones Justificaciones

b2 = cm

a2 + b2 = cn + cm

a2 + b2 = c(n + m)

Pero: n + m = c

a2 + b2 = c2

1. Por ser los dos triángulos semejantes por criterio AA.

2. Porque los lados homólogos de triángulos semejantes son proporcionales.

3. Porque en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

4. Por ser los dos triángulos semejantes por criterio AA.

5. Porque los lados homólogos de triángulos semejantes son proporcionales.

6. Porque en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

7. Porque dos igualdades (tercera y sexta), pueden sumarse miembro a miembro.

8. Por ser c factor común.c

9. Porque el todo es igual a la suma de sus partes. 10. Porque toda cantidad puede ser sustituida por su igual.

Demostración del teorema de Pitágoras con base en la semejanza de triángulos

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Analiza las tres demostraciones presentadas, escoge una y explícala a tus compañeros utilizando los siguientesdatos.

ab

cnm

C

A B

np

M

�ABC ≈ �BCD

a2 = cn

ca

an

�ABC ≈ �ADC

bm


Algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras

¿Por qué el teorema de Pitágoras es tan importante para las matemáticas? Sin duda por la gran diversidad de problemas que se pueden resolver con este teorema. A continuación te presentamos un ejemplo.

¿Cuánto medirá esta escalera?

Reúnete con un compañero y con los datos presentados resuelvan el problema. Presenten su respuesta al grupo.

¿Aplicaron el teorema de Pitágoras? ¿Cómo?

Analiza: Dadas las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo, podemos calcular la hipotenusa.

c2 = a2 + b2

c2 = (6)2 + (8)2

c2 = 36 + 64c2 = 100c =c √100c = 10uc

Dados un cateto y la hipotenusa, es posible calcular el valor del otro cateto.Cuando la raíz no es exacta se acostumbra dejarla indicada y no se toma el valor negativo, ya que no ten-dría sentido en el contexto de un problema donde lo que se está calculando es una longitud.

c2cc = a2 + b2bb(4)2 = a2 + (3)2

16 = a2 + 916 � 9 = a2

7 = a2

a2 = 7a = ±a √7

Escaleras

Pared 4 m

3 m

A

BC

6u

8u

A

B C

4u 3u


SuperoAplicaciones del teorema de Pitágoras al cálculo de longitudes y distancias

1. Encuentra los valores que faltan.

c =c ____________ c =c ____________ c =c ____________

2. Calcula el perímetro y área de los siguientes polígonos.

Triángulo ABDP =P ____________A = ____________

Triángulo FJIP = P ____________A = ____________

Triángulo MNJP = P ____________A = ____________

3. Completa los valores de los triángulos rectángulos.

Cateto (a) 6 16 3.5

Cateto (b) 8 4 40

Hipotenusa 30 3.7

Perímetro del triángulo

Área del triángulo 6 180

4. Resuelve los siguientes problemas:

f Una estación de televisión desea colocar una antena de 60 metros de altura, los técnicos proponencolocar tirantes para fijarla mejor. Si las bases para los tirantes están a 45 m del pie de la antena y lostirantes se van a sostener desde la parte más alta de ésta, ¿cuánto deberán de medir los tirantes?

12 cm

9 cm

c

5 cm13 cm

c

7.2 cm

c

5.4 cm

15 cm

D

A

C

B

9 cm

12 cm

13 cm

18 cm5 cm

I

F G

H

h = 13 cm

J

J

P

N M

L

K

6.5 cm

9 cm


f Para construir un papalote se tienen dos varas de madera de 30 y 40 cm. Si se amarran por la mitadformando un ángulo recto, y además se amarran por los extremos de las varas formando un marco parael papalote, ¿qué cantidad de hilo se necesita para formar el marco del papalote?

f Después de haber revisado y aplicado el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas, ¿estás de acuerdo con que es un teorema muy importante para las matemáticas? ________________¿Por qué? ____________________________________________________________________

¿Qué otro tipo de problemas se podrá resolver usando el teorema de Pitágoras?

Supero el reto

El cuadrado y el romboide¿A qué cantidad equivale el área de la parte sombreada?

4 m

3 m


43 Hiparco y la trigonometríaLecc

ión


Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados.

En la antigua Grecia, la astronomía (que es la ciencia que estudia las estrellas) era de suma importancia y uno de los principales problemas con el que se enfrentaron fue el cálculo de distancias inaccesibles como la que existe entre la Tierra y el Sol. A Hiparco de Nicea, un astrónomo y matemático griego, se le ocurrió que podía resolver este problema relacionando los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos dibujados sobre la superficie terrestre; así surgió la trigonometría, que quiere decir “medición de triángulos”, y es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.En tus lecciones anteriores trabajaste con triángulos rectángulos y con el teorema de Pitágoras. Con base en ello, escribe el nombre a cada lado del triángulo.

¿Cuántos ángulos tiene el triángulo? ___________Escribe el nombre que recibe cada ángulo, de acuerdo con su medida:

A = ________________ B = ________________ C = ________________

¿Cuál es el cateto que está frente al ángulo A? ¿Cuál es el cateto que junto con la hipotenusa forman el ánguloa A? Completa para el ángulo B: Cateto opuesto = ________________ Cateto adyacente = ________________ Hipotenusa = ________________Recuerda que la hipotenusa es el lado que siempre está enfrente del ángulo recto.a

Encontrando ladosEncontrando ladosHiparco y la trigonometría172

El astrónomo griego usó triángulos rectángulos semejantes, tú también los has estudiado. Entonces, de acuerdo con la semejanza:

¿Cómo son los ángulos correspondientes en estos triángulos? _______________________¿Cómo son los lados? _______________________

Si se hace coincidir alguno de los ángulos correspondientes, por ejemplo �N con su correspondiente N

________, y se dibuja un triángulo sobre el otro, ¿cómo quedaría la figura? Trázala.

Comprueba que los lados son proporcionales.

, o bien: Lo que quiere decir que para el ángulo N, que es el que comparten ambos triángulos, la razón entre el cateto _______________ y la ________________ es constante.A esta razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa se le llama seno del ángulo N y se simbolizaN sen.

En el triángulo NMO ¿cuál es el cateto adyacente del ángulo N? ____________ ¿Y la hipotenusa? ________________Escribe la razón entre estos dos lados. _______________________La razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama coseno del ángulo N y se representa como N cos.

Comenta con un compañero ¿cuáles son los lados que falta relacionar entre ellos en el triángulo? La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se conoce como tangente y se representa como e tan.

Por lo que en el � triángulo ABC

sen =

cos =

Z Y

X

M

N O

NM

ZX

105

=cateto opuestophipotenusa

a

c

=cateto adyacenteyhipotenusa

a

c A C

B

Encontrando ladosEncontrando ladosHiparco y la trigonometría 173

tan =

Al sen, cos y tan se les llama razones trigonométricas, y pueden expresarse como fracciones o efectuando la sdivisión como número decimal, por ejemplo sen A = o sen A = 0.5

Calcula las razones trigonométricas sen, cos y tan de los siguientes ángulos indicados:

Sen H =H

Cos H =H

Tan H =H

Sen K =K

Cos K =K

Tan K =K

Con base en los triángulos, escribe el nombre de la razón trigonométrica del ángulo indicado:

=cateto opuestopcateto adyacente

ba

Del ángulo E Del ángulo E I Del ánguloI J Del ánguloJ G

Supero el reto

¿Cuál es el seno y la tangente del ángulo ß, si su coseno es igual a ?

Traza el triángulo y marca el ángulo ß, así como la medida de los lados que corresponden a esas razones trigonométricas.

9E F

G

H

KJ

I

3

86

15

11

11.4

10.82 12.69

2

40

Sen L =Cos L =Tan L =

69

815

311

910.8

12.6915

311.4

815

12.898

L

Encontrando ladosEncontrando ladosHiparco y la trigonometría174

44 El alpinismo Lecc

ión


Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigo-nométricas.

¿Te gustaría subir una montaña? El alpinismo es la actividad deportiva de ascender montañas empleando herramientas como cuerdas y piolets; cualquiera que llegue a la cima por estos medios o sin ellos será un alpinista. El alpinista mexicano más destacado es Carlos Carsolio, quien en 1996 se convirtió en el 4o alpinista más joven en ascender las 14 mon-tañas más altas del planeta, conocidas como “los 14 ocho miles” ya que miden más de 8000 m de altura. La más alta es el Everest ubicado en la cordillera del Himalaya en Nepal y cuya altura es de 8 848 m. Fuente: deporte6am.com/carsolio.htm Fecha de consulta: 18 de septiembre de

2007.

Para obtener un aproximación de los metros que Carsolio tuvo que esca-lar cuando conquistó el Everest, se sabe que la pendiente o inclinación por donde ascendió tiene un ángulo de elevación de 50º promedio.

Observa la figura en la que se formó un triángulo rectángulo.

Si se toma el ángulo de 50º como referencia, ¿qué cateto se conoce?

¿Cómo se llama el lado del triángulo por donde escalaría Carsolio?

¿Cuál es la razón trigonométrica que relaciona en el triángulo los dos lados anteriores?

Escribe a qué es igual la razón trigonométrica con los datos que tienes.

sen 50º = __________________

x

50º

Encontrando ladosEncontrando ladosEl alpinismo 175

Si se necesita encontrar el valor de x, es preciso saber el valor del sen de 50º, para lo cual te auxilirás de una xx

calculadora científica.

f Prende la calculadora y asegúrate de que trabaja en modo DEG, que es la abreviatura de degree o sea egrados.

f Presiona la función sen.

f Teclea el número 50.

f En la pantalla aparece su valor aproximado 0.76604444431, esta cantidad se puede redondear a cuatrocifras, para hacer los cálculos posteriores; entonces, es 0.7660, por lo que el sen 50º = _________

Sustituyendo en la razón original:

Sen 50º = _______ De modo que 0.7660 = _______

Si se despeja x, x x =x ________

Por lo tanto, la distancia que asciende Carsolio es: _________ mA partir de los valores de las razones trigonométricas se puede obtener la medida de los lados faltantes deltriángulo rectángulo.

Encuentra el valor del lado que indica la incógnita.

Además de la medida de los lados, comenta con un compañero: ¿se podrá calcular la medida de los ángulos a partir de los valores de las razones trigonométricas?

Si el ángulo tuviera minutos, por ejemplo, 30º 40’. Puedes localizar en tu calculadora la tecla o ‘‘‘ , escribe los grados 30 y presiona o ‘‘‘ escribe los minutos 40 y presiona otra vez o ‘‘‘ . En la pantalla obtendrás 0.8601491479.

Encuentra el valor solicitado

12o14’

24o

26o 11’

65o

39o

Encontrando ladosEncontrando ladosEl alpinismo176

Analicen el siguiente problema en el que hay que calcular el valor del ángulo A del triángulo rectángulo.

¿Cuánto vale el cateto opuesto al ángulo A?___________

¿Cuánto vale el cateto adyacente? ___________

¿Qué razón trigonométrica se puede utilizar sise tienen estos datos? ____________

Por lo que: tan A = , tan A = 1.5

Observa que lo que ya se conoce es el valor de la razón trigonométrica, que en este caso es 1.5 y lo que se desea encontrar es el valor del ángulo A.

Para encontrarlo, en tu calculadora:

f Oprime la tecla Shift (en algunas calculadoras aparece como t INV o V 2ndF).FF

f Enseguida la tecla de la razón trigonométrica que estás usando, para el ejemplo es la tan.

f Posteriormente anota el valor de ella, es decir, 1.5.

En la pantalla aparecerá 56.30993247 que son los grados que mide el ángulo A, pero recuerda que debe ser convertido a unidades sexagesimales, por lo que en tu calculadora:

f Oprime la tecla o ‘‘‘ y directo obtienes: 56º 18´ 35.76” que se lee como 56 grados, 18 minutos, 35.76 segundos y es la medida del ángulo A.Encuentra el ángulo cuyo valor de la razón trigonométrica corresponde a la mencionada:

sen B = 0.3746 . . . . . . . B = ___________

tan A = 2.877 . . . . . . . A = ___________

cos R = 0.1161 . . . . . . . R = ___________

Calcula las medidas que se piden a partir de los datos que se proporcionan en cada caso, el triángulo es el siguiente:

54

tan M = 13.2 . . . . . . . .M = ___________

sen H = 0.5432 . . . . . .H H = H ___________

cos E = 1. . . . . . . . . . . .E E = E ___________

a) Datos: c = 20 m A = 30ºCalcula B = ___________a = ___________b = ___________

Encontrando ladosEncontrando ladosEl alpinismo 177

b) Datos: c = 17.5 m B = 47ºCalcula A = ___________a = ___________b = ___________

c) Datos: a = 36 cm A = 12º 10’Calcula B = ___________c =c ___________b = ___________

d) Datos: a = 425 cm B = 86º 23’Calcula A = ___________c = c ___________b = ___________

Supero el reto

¿Qué medidas de los elementos del triángulo se pueden obtener a partir de las razones trigonométricas?

¿Cuántos datos mínimos necesitas para poder encontrar las medidas de los seis elementos en un triángulo rectángulo? _______________________ ¿Cuáles son?

Encontrando ladosEncontrando ladosEl alpinismo178

45 Las rampas Lecc

ión


Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

¿Te gusta andar en patineta, patines o bicicleta? En varios paí-ses se realizan diferentes competencias. Analiza las situacionesy encuentra la solución a los problemas planteados. En la ima-gen mostrada un muchacho se lanzará con su patineta de unarampa que tiene 6 m de altura y una base de 8 m. Ayúdale acalcular la distancia que recorrerá, así como la medida de losángulos agudos de la rampa y responde las preguntas.¿Qué forma tiene la rampa? En el triángulo rectángulo dado, ¿qué lado representa la distan-cia que recorrerá el patinador?

En una competencia, un ciclista deberá recorrer 13 m en forma ascendente en la rampa de la izquierda, cuya altura es de 5 m.Encuentra el valor de la base y de las medidas de los ángulos agudos.

En la rampa, una patinadora se lanzará de una altura de 7 m y la medida del ángulo A es de 60°.Con esta información encuentra la medida de la base de la rampa, la medida del otro ángulo agudo y la distancia que recorrerála niña.

60o

Encontrando ladosEncontrando ladosLas rampas 179

En los 4 eventos anteriores tenías información diferente para encontrar los resultados.Anota los datos que conocías para cada caso.Caso 1 (patineta): altura BM =M __________, base AM =M __________Caso 2: (bicicleta): altura BM =M __________, hipotenusa AM =M __________Caso 3: (patinadora): altura AM =M __________, ángulo A = __________Caso 4: (patinador): hipotenusa AB = __________, ángulo A = __________

En la rampa siguiente un patinador recorrerá 25 m y el ángulo desde donde partirá mide 65°. Encuentra las medidas del otro ángulo agudo, de la altura y de la base de la rampa.

Supero el reto

Traza en tu cuaderno un triángulo isósceles rectángulo cuyos catetos midan 1u (Figura a).Traza sobre la hipotenusa un ángulo recto y un segmento de lado 1u para formar un nuevo triángulo rectángulo (Figura b).Sobre esta nueva hipotenusa traza un ángulo recto y un segmento de lado 1u , formando un nuevo triángulo rectángulo (Figura c ).Traza en tu cuaderno un triángulo más con el mismo procedimiento.

Contesta las siguientes preguntas:¿Cuánto mide la hipotenusa del primer triángulo que trazaste? ¿Cuánto mide la hipotenusa del segundo triángulo que trazaste? ¿Cuánto mide la hipotenusa del tercer triángulo que trazaste? ¿Qué te permite hallar el procedimiento de trazar triángulos rectángulos isósceles de catetos de 1u? ___________________________

Resuelve el siguiente problema:Una escalera está recargada en lo alto de un muro que mide 8 m, for-mando con el ras del piso un ángulo de 55°. ¿Cuál es la longitud de la escalera y qué distancia AD hay al punto D partiendo del punto A?

Fig. b Fig. c

65o

55o

Encontrando ladosEncontrando ladosLas rampas180

46El ahorro Lecc

ión


Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal.

Desde los tiempos más remotos el hombre ha separado dinero del gasto o ingreso para un fin determinado, como sería comprar algún objeto, propiedad, etc. Si el ahorro seproduce en el banco existe una compensación al pasar el tiempo en que decidiómeterlo.

Lee lo siguiente y responde lo que se pide.

Roberto recibirá $100 diarios durante 10 días. Después de los 10 días, ¿cuántodinero recibirá?

Completa la siguiente tabla:

Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Dinero

Explica cómo obtuviste el dato anterior. ¿Qué ocurrió en la gráfica?

0

200

400

600

800

1 000

1 200

2 4 6 8 10 12

Ahorro

Día

s

Encontrando ladosEncontrando ladosEl ahorro 181

En una relación, cuando se cumple que en cada paso aumente la misma cantidad, se dice que el crecimiento es aritmético oo lineal.

Analiza ahora lo siguiente:Raúl planea ahorrar $500 mensuales durante un año, a una tasa de interés de 4% mensual. ¿Qué cantidad habrá ahorrado al cabo de un año?

Completa la tabla y construye tu gráfica:

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

Pesos

Comenta por qué el crecimiento es aritmético.

Supero el reto

En una fábrica la producción de un carrito de juguete es de $100, el productor quiere ganar 20% al venderlo al mayorista; a su vez, el mayorista desea ganar el 20% al vendérselo al minorista. Este último lo entrega en la tienda con igual ganancia, y el dueño de la tienda desea ganar también 20% por juguete. Entonces, ¿cuál será el precio que paga el cliente por dicho juguete?

Completa tu tabla y elabora la gráfica correspondiente.

Productor Mayorista Minorista Tienda Cliente

Costos $100

Ganancias 20%

Precio Venta $120

0

100

200

300

400

500

600

700

800

2 4 6 8 10 12 14

Ahorro

Meses

Din

ero

Encontrando ladosEncontrando ladosEl ahorro182

47Distrito Federal Lecc

ión


Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento geométrico o exponencial de diversas situaciones.

El Distrito Federal es una entidad administrativa del centro de México, tiene una superficie de 1 499 km2 y es la capital del país; comprende la parte sur de la cuenca de México (sierra del Ajusco). Tiene un clima templado y es el área más poblada de México.

A continuación se plantea un problema que deberán resolver en parejas.En 1990 la población en el Distrito Federal era aproximada-mente de 8 235 000 habitantes. Supongamos que su tasa de crecimiento es de 10%, durante una década y es constante. ¿Cuál será la población en futuras décadas? Completen la ta-bla de abajo y elaboren la gráfica correspondiente.

Número de habitantes

1990 8 235 000

2000

2010

2020

¿Qué sucedió con la población en las siguientes décadas después de 1990?

¿Qué pasó en la gráfica?

A este proceso se le conoce como crecimiento geométrico, pues se cumple que en cada paso la cantidad que ose tiene es directamente proporcional a la cantidad anterior.

Fuente:www.inegi.gob.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/sociodemografico/indisociodem/2001/indi2001.pdf Fecha de con-sulta: 19 de septiembre de 2007.

Encontrando ladosEncontrando ladosDistrito Federal 183

En parejas analicen lo siguiente y resuelvan:

Miguel ha depositado $10 000 en una cuenta bancaria. Si la tasa de interés anual es de 15%. ¿Qué capital tendrá en 1, 2, 3, 4 o 5, años respectivamente?

¿El crecimiento es exponencial o geométrico?_________________________¿Por qué?

Rafael recibirá $1 el primer día, $2 el segundo, $4 el tercero, $8 el cuarto y así sucesivamente durante diez días. Completa la siguiente tabla y comenta si el crecimiento es geométrico.

Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Dinero

El crecimiento es__________________________________________ porque

Supero el reto

Un científico trabaja con cierta especie de bacterias que se reproducen por bipartición, es decir que una se divide en dos cada 2 horas.Completa la siguiente tabla y contesta lo que se pide.

Horas 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Núm. de bacterias 1 2 4

Explica brevemente tu procedimiento para obtener los datos.

¿Cuántas bacterias habrá cuando se cumplan 24 horas? _________________________

Encontrando ladosEncontrando ladosDistrito Federal184

48Las grutas Lecc

ión


Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.

Estalactitas

Número de años 0 1 2 3 4 5

Longitud en centímetros 65 67 69 71 73 75

Estalagmitas

Número de años 0 1 2 3 4 5

Longitud en centímetros 82 84 86 88 90 92

En una gruta, las estalactitas y estalagmitas en formación tienen una longitud de 2 m. A cada estalactita corresponde una estalagmita.

Las grutas son cavidades naturales abiertas en las rocas, dentro de ellas existen numerosas formaciones que se conocen como “decoración”, en estas cavernas se pueden encontrar estalac-titas y estalagmitas, formadas de carbonato de calcio y otros minerales, los cuales se precipitan en soluciones de agua mine-ralizada. Las estalactitas cuelgan del techo o pared y las estala-gmitas están formadas por las gotas que caen en el suelo de lasgrutas (ambas tienen forma de conos irregulares).En las siguientes tablas encontrarás información sobre el creci-miento de las estalactitas y las estalagmitas durante los últimoscinco años.

Encontrando ladosEncontrando ladosLas grutas 185

Al pasar 3 años, ¿qué tan cerca se encontrarán las dos formaciones? ¿Y a los 7 años, qué tan cerca estarán? Llegará el momento en que se unan y formen pilares; según con tus tablas, ¿en qué año sucederá esto?

En equipo, analicen la siguiente situación y contesten lo que se pide.En la fábrica de Miguel Ángel se obtuvo la gráfica correspondiente a los ingresos y gastos efectuados en los años que lleva trabajando.

Año Ingresos Gastos

1998 $16 000 $13 000

1999

2000

2001

Completa la siguiente tabla:

0

1998

1999

2000

2001

5 10 15 20 25 30

Ingresos y gastos

Miles de $

Año

Gasto

Ingreso

Tomando en cuenta la última medición mostrada en las tablas anteriores, contesta las preguntas.

Encontrando ladosEncontrando ladosLas grutas186

¿En qué año los gastos e ingresos fueron los mismos? ¿En qué año los gastos fueron el doble de los ingresos? Después de 4 años, ¿se considera que la fábrica es un buen negocio? ___________ ¿Por qué?

Supero el reto

En la siguiente gráfica se proporciona información sobre las ventas de prendas de vestir en los años 1998 y 1999. Analízala.

Contesta lo que se pide.¿De qué trata la gráfica anterior? ¿Cuántas camisas se vendieron en 1999?______________________¿Cuántas guayaberas se vendieron en 1998? ______________________En 1999, ¿cuál fue la prenda que más se vendió?______________________¿En cuál de los dos años hubo más ventas?______________________

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

5000

0Camisas Camisetas Playeras Guayabera

Ventas

Producto

Pre

ndas

ven

did

as

1998 1999

Encontrando ladosEncontrando ladosLas grutas 187

Arquímedes de Siracusa fue uno de los más grandes pensadores de la anti-güedad y uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos. Es co-nocido por inventos como los engranajes con ruedas dentadas y el uso de laspalancas en catapultas militares. Se cuenta que al descubrir su famoso princi-pio de los cuerpos flotantes, estaba en su tina y salió desnudo por las calles deSiracusa gritando ¡eureka, eureka! (“¡lo encontré!”).Murió a los 75 años, cuando las tropas romanas invadieron Siracusa. Se cuentaque Arquímedes estaba concentrado en el estudio de una figura geométricadibujada en la arena; un soldado romano se le acercó y le ordenó varias vecesque lo acompañara, Arquímedes siguió absorto en su problema y el soldado,enfurecido, lo mató.Una de sus hazañas matemáticas fue demostrar que, dado un cilindro y la es-fera en él inscrita, las superficies así como los volúmenes de esos dos sólidosestán en la misma proporción que la razón simple 3:2.Arquímedes estaba orgulloso de este descubrimiento y expresó el deseo, quegluego se cumplió, de que en su tumba se grabara una esfera con su cilindroumplió, de quue en su tumba se grabaracircunscritito.

uente: Mariano Perero,Fuente: Mariano Per Historia e historias de matemáticas.

Grupo Editorial Iberoamérica, 1994, pág. 8.México, Gr

188

BLOQUE 5

Como resultado de este quinto bloque temático se es-pera que los alumnos:

f Resuelvan problemas que impliquen calcular el vo-lumen de cilindros y conos o cualquier término delas fórmulas que se utilicen. Anticipen cómo cambiael volumen al aumentar o disminuir alguna de las di-mensiones.

f Describan la información que contiene una gráficadel tipo caja-brazos.

189


Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.

Los buques mercantes son barcos que sirven para transportar cargas de diversos tipos como granos, petróleo, maquinaria, etc. La actual demanda de productos entre las naciones implica un intercam-bio que requiere cada vez de más naves mercantes en las que transportar las mercancías. Estas naves se han tenido que adaptar a viajes más largos y al transporte de mayores cargas. Los buques mercan-tes se clasifican de acuerdo con el tipo de carga a transportar y además deben tener un nombre debidamente registrado. Su nacionalidad depende de la bandera que traigan, por lo que para que la nave se haga a la mar necesita que lo reconozca un país y le deje izar su bandera.

Rusia y Japón poseen la mayoría de los buques mercantes del mundo. Su total combinado es 15 426. Si Japón tiene 2 276 más buques que Rusia, ¿cuántos tiene cada uno?¿Cuántas son las incógnitas que se tienen en el problema?___________¿Cuántas ecuaciones crees que necesitas para resolverlo? ___________Vamos a plantear la situación de manera algebraica en varios momentos:

Primera parte:1. El enunciado dice: Rusia y Japón poseen la mayoría de los buques…¿cuántos sujetos tiene la oración? ___________2. Esa cantidad de sujetos nos dice que existen dos cantidades de las cuales desconocemos su valor y en matemáticas se denominan incógnitas. Vamos a representar estas incógnitas con las letras iniciales de cada país; escríbelas a continuación. __________________________3. El enunciado dice: …su total combinado es 15 426… ¿Cómo representarías lo que está resaltado de manera matemática?, es decir, ¿qué operación aritmética (suma, resta, multiplicación o división) sustitui-ría esa palabra? Escríbela con un signo. ___________4. El enunciado dice: …su total combinado es 15 426… La palabra resaltada representa una conclu-sión, una resolución, ¿cómo representarías dicha palabra en términos matemáticos? Una pista, ese signo no es uno de los cuatro ya mencionados anteriormente, es uno que siempre se utiliza para dar a conocer el resultado o resolución de una operación: Escribe ese signo ______________

49 Los buques mercantesLecc

ión

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLos buques mercantes190

5. Por último, el enunciado dice: …su total combinado es 15 426… ¿Qué indica la cifra resaltada?_____________ ¿En qué parte de la expresión matemática crees que va?, ¿al principio, en medio o al final como resultado? _________6. Para concluir, escribe cada elemento matemático que has ido generando anteriormente para formar la expresión algebraica. La anterior ecuación nos plantea el total de la suma de los buques de las dos naciones, sin embargo, noconocemos cada una de las cantidades de cada nación, por lo que necesitamos otra _______________que nos de una pista o relación de unión algebraica entre las dos incógnitas y la ecuación anteriormentegenerada.

Segunda parte:7. El enunciado dice: Si Japón tiene 2 276 más buques que Rusia... Las palabras resaltadas nosdicen una afirmación, una conclusión de Japón y, como ya vimos que en matemáticas una conclusión serepresenta con un signo “igual” (=), esto nos indica que debemos colocar la literal que representa a laincógnita del país Japón seguida del signo igual.

8. El enunciado dice: Si Japón tiene 2 276 más buques que Rusia.¿A qué crees que se refiera este enunciado (una suma, resta, multiplicación o división)? Escribe la ecuaciónalgebraica que representa este enunciado. ______________________________Sustituye los valores de una ecuación en la otra y, despejando el valor faltante, encuentra el resultado:Buques de Rusia __________Buques de Japón _________

También puedes aplicar el método que prefieras para resolver los planteamientos.

Comenta con un compañero la forma en que cada uno planteó el problema y el método que usó pararesolverlo, ¿llegaron al mismo resultado? _________¿Conoces otro tipo de buques que no sean los mercantes? ________ ¿Cuáles? En otro tipo de barco en el que hay servicio de comedor se les paga a los meseros 50 dólares a la semana,más propinas, que promedian 10 dólares por mesa. A los meseros del área de la piscina se les paga 100 dólares a la semana, pero las propinas promedian sólo 5 dólares por mesa.

¿Dónde crees que le convenga trabajar más a una persona, en el comedor o en el área de piscina? ________________________________

Escribe una ecuación que describa lo que va a ganar una persona que trabaje en el comedor, si m repre-senta las mesas que atiende.____________________________________________

Escribe una ecuación que describa lo que gana una persona que trabaja en el área de piscina, si m repre-senta las mesas que atiende.____________________________________________

¿Cuántas mesas m tendría que atender un mesero, de modo que su salario semanal fuera el mismo enmismmismoo esambos lugares de trabajo? ____________________________________________

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLos buques mercantes 191

Escribe la ecuación correspondiente y resuélvela.

¿Tu pronóstico va de acuerdo con lo que te resultó después de haber resuelto la ecuación?_____________________________________________

En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas son 50, si se cuentan las patas son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?Para resolver el problema primero analiza ¿cuántas incógnitas tienes? _______________Por lo que, ¿cuántas ecuaciones necesitas? _______________Escribe el sistema: ___________________________________________________________Resuelve por el método que quieras.

Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles (dos camas) y simples (una cama). Si se ofrecen 65camarotes que en total tienen 105 camas, encuentra el número de camarotes de cada tipo.

Encuentra la medida de un ángulo cuyo suplemento es 50º menos que tres veces su complemento.Escribe la ecuación: ______________________________________________________La medida es: ____________________________________

La renta diaria de un automóvil es $1 500, más $30 por kilómetro después de los primeros 150, es decir, que los primeros 150 km no tienen cargo.Completa la tabla para que te ayude a construir un patrón a partir del cual se encuentre la ecuación general:

km recorridos Costo diario Costo por milla Costo total

50

100

150 1 500

200

300

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLos buques mercantes192

Supero el reto

Por lo tanto, la ecuación para encontrar el costo diario cuando se viajan más de 150 km es:

_________________________________________________________________________________

Utiliza la ecuación anterior para encontrar el total que se pagaría si se recorrieron 500 km.

_________________________________________________________________________________

Describe brevemente un procedimiento para resolver ecuaciones lineales:

Elige el método que más domines para resolver sistemas de ecuaciones y descríbelo.

Escribe un problema que corresponda al modelo descrito:

2x + 9 = 36x

Encontrando ladosEncontrando ladosEncontrando ladosLos buques mercantes 193

50 El golfLecc

ión


Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.

El golf es un deporte al aire libre en el que los jugadores, de forma individual, utilizan palos especialmentediseñados para impulsar una bola pequeña y dura sobre un campo de juego llamado recorrido. El objetivo es avanzar la bola por el recorrido en el menor número de golpes posibles. El recorrido se divide en 18 secciones llamadas hoyos, cada hoyo tiene en un extremo, un punto de salida conocido comos tee y en el otro encajado een el suelo y marcado con una bandera un contenedor llamado agujero en el que hay que meter la bola para ocompletar el juego de cada hoyo. Si un jugador hace un tiro, ¿qué forma tomará la trayectoria de la pelota?Coméntala con un compañero.

Un golfista aparte de practicar pegándole a la pelota, tiene que estudiar los tiros que efectuará; así pues, sila altura y que alcanza la pelota de golf depende del tiempo x (en segundos) que ha estado en vuelo, lo que describe esta situación es la ecuación:

y = 25x – 5x2

_________Explica brevemente cómo calcular el tiempo que tarda la pelota en tocar el suelo. Resuelve y contesta: ¿ después de cuánto tiempo la pelota toca el suelo? Sin embargo, si el golfista enviara la pelota desde un soporte que estuviera elevado 6 m sobre el recorrido, ¿aplica la misma fórmula para calcular la altura? ¿hay que agregarle o quitarle algo? Observa la figura y en forma grupal lleguen a una conclusión.

Encontrando ladosEncontrando ladosEl golf194

Escribe el modelo matemático (la ecuación) que permite calcular la altura h de acuerdo con las nuevas condiciones del problema. ¿Cuánto tardará la pelota en tocar el campo? Completa la tabla siguiente para valores de t de la función que determinaste, para calcular la altura h co-rrespondiente y dar una aproximación al resultado.

6 m

x 0 1 2 3 4 5 6

y

Con x = 6, ¿cómo fue la altura y?______________________ ¿Cómo se puede interpretar ese resultado? Se puede afirmar entonces que la pelota toca el suelo antes de _________ segundos.¿Durante cuánto tiempo asciende al menos la pelota? _________¿Cuánto tiempo tarda en descender la pelota? _________¿Entre qué tiempos alcanzará su altura máxima la pelota? ______________________Para poder verificar cuánto tardará la pelota en tocar el suelo, resuelve algebraicamente por el método quequieras la ecuación cuadrática, igualando la altura y con __________.

Ahora traza la gráfica de la función y verifica que la curva pasa por el punto del eje x indicado, es decir, por el tiempo obtenido en el que toca el suelo.Cuando x = 0, es decir no ha transcurrido nada de tiempo, ¿cuál es la altura de la pelota? ____________ , entonces ¿en qué punto va a cruzar con el eje y? ______________ Efectúa la gráfica en la cuadrícula siguiente, no olvides escribir todos los datos.

Encontrando ladosEncontrando ladosEl golf 195

¿Tu gráfica comprobó la respuesta que habías dado con tu procedimiento algebraico? ________Finalmente, ¿cómo quedaría la ecuación si en lugar de estar el soporte 6 m elevado sobre el campo estuviera 2 m arriba?

Escribe la ecuación (modelo matemático) que permitiría resolver el problema planteado en cada caso.

f El cuadrado de cierto número positivo es 4 veces el mismo número más 5.

f ¿Cuál es la longitud de la escalera de la figura siguientesi la distancia desde la pared hasta la base de la esca-lera es de 1.5 m y la altura hasta el extremo superior dela escalera es de 3 m?

Plantea la ecuación y encuentra la solución de los siguientes problemas:El producto de dos números enteros pares consecutivos es igual a 10 más 7 veces el mayor de los dos ente-ros. Encuentra los enteros.

El primer número: ___________________Su número par consecutivo: ___________________¿Cuál de los dos es mayor? ___________________Ecuación: _____________________

Un salón de fiestas de forma rectangular tiene 4 m más de largo que de ancho. El perímetro del salón excede numéricamente al área por 92. ¿Cuáles son las dimensiones del salón?Área: ___________________Perímetro: ___________________Ecuación: _____________________

Supero el reto

Largo: ___________________Ancho: ___________________

¿Qué recomendaciones podrías dar para poder plantear una ecuación una vez que lees el problema? ¿Te sirvió resolver los problemas para que recordaras algunos temas que manejaste anteriormente en tulibro? _______________ ¿Fue útil?

3 mx

1.5 m

Encontrando ladosEncontrando ladosEl golf196

51 Las figuras que giran Lec

ció

n


Anticipar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras.

Leonardo había estado haciendo la tarea toda la tarde, elaboraba una maqueta para la clase de Historia, cortó triángulos, cuadriláteros, circunferencias, los unía for-mando los edificios que representaban una época muy importante de nuestra historia. Terminó muy tarde, y se durmió soñando con todas esas figuras geométricas flo-tando en el aire.De repente, las figuras empezaron a girar; en el sueño, Leonardo no podía creer cómo estas figuras tomaban una consistencia sólida, muy dura, y se colocaban en la maqueta para formar parte de los edificios que él había armado.¿Qué sólidos geométricos crees que se hayan formado?

f Para conocer los cuerpos que se formaron vamos a realizar la siguiente actividad. Reúnete con un compa-ñero; necesitamos una cartulina, lápices, regla, compás, tijeras y cinta adhesiva.

f En la cartulina tracen un triángulo rectángulo, un rectángulo y un semicírculo como los siguientes:

Peguen las figuras geométricas con la cinta adhesiva al lápiz como se muestra en la imagen:

Encontrando ladosEncontrando ladosLas figuras que giran 197

f Den vuelta al lápiz rápidamente hasta poder ver alguno de los sólidos.¿Qué sólido se visualizará con el triángulo rectángulo? ___________________________¿Qué sólido se visualizará con el rectángulo? ___________________________¿Qué sólido se visualizará con el semicírculo? ___________________________

f ¿Se parecen estos sólidos a los que imaginaste? ___________________________

f Usando el teorema de Pitágoras calcula la longitud del elemento que falta en cada uno de lossiguientes conos.

h

r

g

r =

h = 4g = 7h

r

g

r = 3

h = 4

g = h

r

g

r = 2

h =

g = 9

Supero el reto

Realiza lo siguiente:Traza un círculo, en el centro haz una pequeña perforación y pasa por la perforación una aguja de tejer. Apoya en una super-ficie plana la aguja en posición horizontal y haz girar el círculo hacia abajo.¿Cuál será el cuerpo geométrico que se visualiza al deslizar el círculo en la aguja? Dibújalo.

f ¿En qué se parecen un cono y un cilindro?

El cono es un sólido geométrico que se forma por la revolución completa de un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos y cuya generatriz es la hipotenusa.

Base

Generatriz

Altura

Encontrando ladosEncontrando ladosLas figuras que giran198

52 Los regalos Le

cc

ión


Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

Rafael y Mario van a asistir a los quince años de su compañera Mónica, han decidido que las cajas en las que lleven sus regalossean completamente diferentes; para ello construirán un cono y un cilindro, además no quieren desperdiciar papel fantasía alforrarlas. ¿Qué les sugerirías para que construyan su cono y su cilindro? ¿Qué medidas crees que necesiten para construirlos?

f Rafael y Mario decidieron que el cono y el cilindro tuvieranel mismo ancho y la misma altura: 10 cm de ancho por 15 cm de altura. ¿Qué otras medidas necesitan para construir el desarrollo plano del cono y el cilindro?

f Para trazar el sector circular, que será la cara lateral del cono, ¿será suficiente con conocer la generatriz?

f Recuerda que para calcular la generatriz del cono podemos usar el teorema de Pitágoras, ¿cuánto mide la generatriz del cono?

f ¿Qué otra medida nos hace falta para construir el cono?

f ¿Qué parte de la circunferencia de radio 18 cm tendrá la misma longitud que la circunferencia de radio5 cm? _______________________________________

f Una forma de obtener la medida del arco de la circunferencia de radio 18 es usando una proporción, porque si resolvemos la proporción, obtenemos el valor de x como la siguiente:

36�360°

=10 �

x

¿Cuánto mide el valor de x?

f Ahora ya puedes construir el cono. Toma un trozo de cartulina y constrúyelo.

f Para construir el cilindro, ¿qué más necesitamos?

f Ya sabemos que el radio de la circunferencia que nos servirá de base mide la mitad del diámetro, es decir, ____________. ¿Qué necesitamos hacer para conocer el ancho del rectángulo que será la cara lateral del cilindro?

f ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que será la cara lateral del cilindro?

Encontrando ladosEncontrando ladosLos regalos 199

f ¿Se parecen estos desarrollos planos a los que construiste?

100˚y = 18 cm

r = 5cm

15 cm

r = 5 cm

Reproduce en cartulina los siguientes desarrollos de conos y ármalos.

80˚

10 cm

250˚

3 cm

8 cm

¿Cuánto mide la altura de cada uno? ¿Es posible conocer este dato a partir de su desarrollo plano? ¿Cuánto mide la circunferencia de la base? ¿Puede esta información obtenerse directamente del desarrolloplano?

Traza el desarrollo del cono de la figura. Ármalo y verifica si las medidas marca-das en el esquema son realmente las del sólido.

Supero el reto

Un silo es un almacén para granos. Algunos tienen forma de cono. Uno de estos silos mide 8 metros de diámetro y de lapunta del silo al piso mide 5 metros. ¿Cuánto tendrá de volu-men el silo?

r = 8 cmn

= 1

5 cm

Encontrando ladosEncontrando ladosLos regalos200

53Apolonio de Perga Lecc

ión


Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes paralelos en una esfera o cono recto.

El cono fue una figura muy estudiada por los griegos, en espe-cial por Apolonio de Perga, a quien llamaban el “gran geóme-tra”. Apolonio estudió sobre todo las curvas que se generan cuando el cono es cortado por un plano en diferentes posi-ciones. Apolonio dio el nombre a las figuras que se obtienen: parábola, elipse ee hipérbola, nombres que usamos aún hoy. aEstas curvas que posiblemente ya conoces, son interesantes porque están presentes en muchos fenómenos de la Natura-leza, como la trayectoria de un proyectil (parábola), las órbitas que siguen los planetas alrededor del Sol (elipses), y porque tienen muchas aplicaciones prácticas, como la construcción de espejos especiales (hipérbola). Se le atribuye también el mérito de haber sido el primero en aplicar la geometría al estudio de la astronomía.

f Reúnete con un compañero. Con plastilina modelen un cono y un cilindro, para conocer las figuras que estudió Apolonio.

f Apolonio realizó varios tipos de cortes a las figuras. Antes de realizar los cortes traten de imaginar cómo será la forma de la cara y dibújenla.

a) Corte paralelo a la base b) Corte perpendicular a la base

c) Paralelo a la generatriz d) Inclinado pero sin llegar a la base

Cono Cilindro

Cono Cilindro Cono Cilindro

Cono Cilindro

parabolahyperbola

ellipse

círculo

axis

Encontrando ladosEncontrando ladosApolonio de Perga 201

Los siguientes conos han sido cortados por planos en diferentes inclinaciones. Escribe qué sección cónica se genera en cada uno de ellos.Contesta lo siguiente:

f ¿A qué ángulo, con respecto de la base, se debe cortar con un plano al cilindro para obtener una circun-ferencia?

f ¿En qué posición, con respecto de la base, se debe cortar con un plano al cilindro para obtener un rectán-gulo?

f Al hacer un corte inclinado en relación con la base al cilindro, ¿qué cónica se obtiene?

f Imagina en qué posición, con respecto a la base debe cortarse un cono con un plano para obtener un triángulo.

f Explica qué hiciste para saber la posición que debía tener el plano para obtener el triángulo:

Supero el reto

¿Círculos ovalados?¿En verdad es redondo este círculo?¿Cómo lo comprobarías?

Encontrando ladosEncontrando ladosApolonio de Perga202

Formando círculos Lecc

ión


Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera o cono recto.

¿Sabías que puedes conocer el volumen de una piedra sumergiéndola en un recipiente graduado con agua?

54

¿Hasta qué marca llegaba el agua antes de introducir la piedra?¿A qué marca llegó al introducir la piedra? Como 1 ml = 1 cm3, entonces ¿cuál es el volumen de la piedra?Si un cono de altura h y radio de la base x se coloca dentro de un envase cilíndrico que se va llenandoxde agua, el efecto que produce sobre las paredes del cono es como si se hicieran cortes. Observa.¿Qué figuras quedan formadas por el agua y las paredes del cono? Arturo hizo un experimento con un cono cuyo radio de la base medía 2.5 cm y su altura era igual a12 cm. Conforme iba aumentado la altura del agua fue registrando sus observaciones en una tabla. Observa y contesta.Recuerda que en medición hay un cierto grado de error, ya que las medidas nunca son exactas.

3 cm

6 cm

9 cm12 cm

10 ml

20 ml

30 ml

40 ml

Antes de introducir la piedra

10 ml

20 ml

30 ml

40 ml

Después de introducir la piedra

Encontrando ladosEncontrando ladosFormando círculos 203

Conforme aumentaba la altura del agua, ¿qué pasaba con el tamaño de los círculos que se iban formando? y ¿con los radios de esos círculos?

Radio

3 0.8

6 1.4

9 2

12 2.6

¿Qué tipo de gráfica se formó?

¿Cuál de los círculos que se forman al hacer cortes diferentes en un cono es el que determina su volumen?

• Júntate con un compañero, comenta tus respuestas y arguméntalas. Posteriormente, pueden discutir en grupo las mismas y los procedimientos que siguieron.

Después a Arturo se le ocurrió hacer el mismo experimento con una esfera hueca y transparente y se dio cuenta que también se van formando diferentes círculos como si fueran cortes en la esfera.

Observa:

1 cm 1.5

cm

2 cm

2.5

cm

3 cm

Completa en tu cuaderno la tabla que hizo Arturo y construye la gráfica correspondiente.

Altura Radio

1 1.75

1.5 2.1

2 2.35

2.5

3

Elabora la gráfica que corresponde a la tabla que construyó Arturo.

Encontrando ladosEncontrando ladosFormando círculos204

¿Qué tipo de gráfica se formó? ¿Cuál es el tamaño del radio del círculo máximo que se formó en la esfera?Explica cómo obtuviste la medida de los radios cuando el agua alcanzó una altura de 2.5 cm y 3 cm. Indica las características del corte formado por el agua que permite obtener el círculo mayor de radio mayor. Comenta tus respuestas con el grupo, juntos analícenlas y validen los resultados.

EjerciciosCalcula la altura del cono que generó Arturo cuando el radio del círculo que se forma es de 6.5 cm.

Explica lo que hiciste para conocer el resultado. Calcula el radio del círculo que se forma en la esfera cuando el agua alcanza una altura de 1.7 cm.

Explica lo que hiciste para conocer el resultado. Comenta tus respuestas con tus compañeros y validen sus procedimientos

Haz el siguiente experimento:Consigue dos conos de papel para beber agua (coloca uno sobre otro para que quede más firme) y un vasito graduado (puede ser de los que vienen con algún medicamento como jarabes).Ponle agua al vasito y ve llenando el cono paulatinamente de 10 ml en 10 ml.

Supero el reto

20 ml

30 ml

40 ml

50 ml

60 ml

70 ml

80 ml

90 ml

10 ml

20 m

l

30 m

l

40 m

l

50 m

l

60 m

l

70 m

l

80 m

l

90 m

l

10 m

l

Encontrando ladosEncontrando ladosFormando círculos 205

Mide la altura que va alcanzando y calcula la medida del radio correspondiente al círculo que se forma.Construye una tabla con los datos que vas obteniendo y grafica.Recuerda que las medidas son aproximadas.

Altura Radio

Cuando la altura del agua contenida en el cono llegue aproximadamente a 8 cm:¿cuál será la medida de su radio? ___________¿cuál será su capacidad? ___________¿cuál será su volumen? _____________Explica todo el procedimiento que empleaste para hacer este experimento y cómo obtuviste los resultados. ¿Qué fue lo que más se te dificultó? ¿Qué hiciste para resolver las dificultades que se te presentaron?

Encontrando ladosEncontrando ladosFormando círculos206

55Los recipientes Lecc

ión


Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.

¿Sabías que en la antigua sociedad agrícola la producción de alimentosgeneraba un problema de almacenamiento de sobrantes? Los granos de-bían conservarse hasta la siguiente cosecha, lo que provocó la necesidadde fabricar receptáculos para almacenarlos.

En ocasiones el volumen y la capacidad aparecen como sinónimos.Sin embargo usualmente se entiende como volumen al espacio ocupadopor un cuerpo y como capacidad al espacio vacío con posibilidad de serllenado. Por eso es que el volumen de un cuerpo está tan íntimamenteligado con su capacidad.

Júntate con otro compañero y resuelve las siguientes situaciones:Se tienen algunos recipientes en forma de prismas como los que se mues-tran a continuación. Se sabe que la medida de cada lado de su base es x

cm, su apotema = 1.5 cm y altura = 10 cm.

B = área de la base = Pa2

V = volumen =V Bh

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

1.5 cmX

10 c

m

10 c

m

10 c

m

10 c

m

1.5 cmX

1.5 cmX

1.5 cm

B =

V =

B =

V =

B =

V =

B =

V =

(5x)(1.5)

2

Encontrando ladosEncontrando ladosLos recipientes 207

Al sustituir los valores en la fórmula para obtener el volumen de un prisma.¿Cuál es el área de la base de la figura 1? ___________ y ¿la medida de su altura? ___________ entonces su volumen es: _____________¿Cuál es el área de la base de la figura 2? ____________ y ¿la medida de su altura? ___________ enton-ces su volumen es: _______________¿Cuál es el área de la base de la figura 3?_____________ y ¿la medida de su altura?___________ enton-ces su volumen es: _____________Cuando la base de un prisma tiene muchos lados, se convierte en un círculo. Entonces, ¿cuál es el área de la base de la figura 4?_____________ y ¿la medida de su altura? _____________ Entonces, su volumen es: _____________¿Cuál fue el área de la base y el volumen que se pudo calcular con más certeza? _____________¿Por qué crees que sucedió esto? _____________

Un cilindro de radio = r y altura = h tendrá un volumen V =V �r 2h

EjerciciosCalcula el volumen y la capacidad de una cisterna de forma cilíndrica cuyo radio es 1 m de radio y 2.5 m dealtura.

Calcula la altura de un tanque cilíndrico cuyo radio de la base es 2 m y su volumen es 113.940 m3.

Supero el reto

escrito en la lata es el correcto.

Explica tu procedimiento para llegar a los resultados.

Encontrando ladosEncontrando ladosLos recipientes208

56Las escuadras Lecc

ión


Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.

Toma tus dos escuadras y anota 3 similitudes entre ellas. Comenta con tus compañeros tus respuestasy compara si son las mismas.

Seguramente una de las similitudes es que ambas son triángu-los rectángulos.En las escuadras que aparecen abajo anota las letras que re-presentan los catetos y la letra que representa la hipotenusaen cada una.

c = hipotenusa

a = cateto

b =

cat

eto

c = hipotenusa

a =

cate

to

b = cateto

Toma una de tus escuadras, colócala como en la figura a y hazla girar a la derecha.a

¿Qué cuerpo geométrico va generando la hipotenusa al ir girando la escuadra?

¿Cuál es el concepto del cono a partir de lo descrito en la figura a?

Para construir la fórmula del volumen de un cono se necesita tenerun cilindro y un cono cuyas alturas y bases tengan las mismasdimensiones. Fig. 1. Fig. 1

Fig. a

Encontrando ladosEncontrando ladosLas escuadras 209

Saca el cono y llénalo de azúcar o arena.Después vacíalo en el cilindro. Fig. 2.

Repite el procedimiento hasta que llenes el cilindro.¿Cuántas veces cabe el contenido del cono en el cilindro? __________________Cuando un cono tiene las mismas dimensiones de la altura y de la base de un cilindro podemos afirmar que:

Anota la fórmula para calcular el volumen del cilindro. ________________________________

Por lo tanto, la fórmula para calcular el volumen del cono es: ________________________________

Donde: � = 3.14h = alturar = radio de la base

Fig. 2

altura generatriz

radio

Supero el reto

Construye un triángulo rectángulo de 6, 8 y 10 cm y recórtalo. Hazlo girar tomando uno de sus lados como base (figuras 1, 2 y 3).

Fig. 1

6 cm

8 cm 10 cm

Fig. 2

8 cm

6 cm10 cm

Fig. 3

10 cm

6 cm8 cm

¿Qué cuerpo geométrico se genera en los tres casos?_________________________________________¿Cuánto mide la altura de la figura 1 y cuánto la de la figura 2? _________________________________¿Cuál de los tres cuerpos tiene mayor volumen? _____________________________________________¿Cómo se obtiene el volumen?

Encontrando ladosEncontrando ladosLas escuadras210

57El baloncesto Lecc

ión


Estimar y calcular el volumen de la esfera.

¿Sabías que el baloncesto nació como una respuesta a la necesidadde realizar alguna actividad deportiva durante el invierno en el nortede Estados Unidos?

Al profesor de la Universidad de Springfield, Massachusetts, JamesNaismith le fue encargada la misión, en 1891, de idear un deporteque se pudiera jugar bajo techo, pues los inviernos en esa zona difi-cultaban la realización de actividad alguna al aire libre. La pelota debaloncesto debe ser, evidentemente, esférica, de cuero o piel rugosa,o material sintético, que facilite el agarre de los jugadores aun conlas manos sudadas.Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Baloncesto. Fecha de consulta: el 21 de septiem-

bre del 2007.

Sus medidas características son:

f Circunferencia: 68-73 cm

f Diámetro: 23-24 cm

f Peso: 567-650 g ¿Cuál será su volumen? _________En grupo y con apoyo del maestro analiza lo siguiente.Si se construye una esfera de radio = r, cuatro conos que tengan como base el círculo máximo de la esfera y como altura el radio de la misma, se puede observar que el volumen de la esfera es equivalente al de los cuatro conos.

r

h = r h = r h = r h = r+ + +=d

V� =

V� =

+ + +

Como h = r, entonces

Volumen esfera = �r2h3

�r2h3

�r2h3

�r2h

�r3

3

+ + +�r2r3

�r2r3

�r2r3

�r2r3

V� = 43

Encontrando ladosEncontrando ladosEl baloncesto 211

Si el radio de una esfera mide 1.5 cm y un cono cuyo radio de la base mide 1.5 cm y su altura tiene la misma medida del radio, calcula el volumen de la esfera y la del cono.¿Cuál fue el volumen de la esfera? __________________¿Cuál fue el volumen del cono? __________________¿Cuál será el volumen de cuatro conos iguales a éste? __________________

Dénle otras medidas a los radios de la esfera y el cono con la característica de que los radios sean iguales y la altura del cono sea igual a la del radio de la esfera. Después, lleva a cabo lo siguiente:Calculen el volumen de la esfera, encuentra el volumen del cono y multipliquen este último por 4.¿Qué sucedió? Comenta con el resto del grupo si con las diferentes medidas que ellos determinaron sucedió que:¿El volumen de la esfera resultó igual al volumen del cono multiplicado por 4? __________________Entonces, ¿cuál es el volumen de un balón de baloncesto si su diámetro promedio mide 23.5 cm?

Ejercicios¿Cuál es el volumen de una esfera cuyo radio mide 5 cm de radio? __________________

Calcula el radio de un balón de voleibol cuya circunferencia promedio es de 66 cm. __________________

Calcula el espacio que ocupa. __________________

Si el balón estuviera hueco y se llenara de agua, ¿cuántos litros de agua le cabrían? _________________

Calcula el radio de una pelota cuyo volumen es de 904.78 cm3 y su altura es de 12 cm.

Explica el procedimiento que empleaste para resolver los problemas anteriores, coméntalos con tus compa-ñeros y validen los resultados.

¿Cuál de los procedimientos te pareció más sencillo?

¿Por qué?

Encontrando ladosEncontrando ladosEl baloncesto212

Se dice que también el volumen de la esfera es igual al espacio comprendido entre un cilindro y un cono que cumplan con las siguientes características:

f El diámetro del cilindro, del cono y de la esfera debe ser igual.

f La altura del cono y la del cilindro debe ser igual al diámetro de la esfera.

Observa la figura y contesta.

Supero el reto

¿Cuánto mide el radio de la base del cilindro? ___________________¿Cuánto mide el radio de la base del cono? ___________________¿Cuánto mide el radio de la esfera? ___________________¿Cuál es la altura del cilindro? ___________________¿Cuál es altura del cono? ___________________¿Cuál es el volumen de la esfera? ___________________Comprueba que la diferencia del volumen del cilindro, menos el volumen del cono, es igual al de la esfera.¿Lo comprobaste? ___________________Puedes construir o conseguir un cilindro, un cono y una esfera con las características mencionadas.Comenta con tus compañeros los resultados y corrige si es necesario.¿Cuál de los procedimientos de esta lección te pareció más sencillo para justificar la fórmula que te permitacalcular el volumen de la esfera? ¿Por qué?

4 cm

4 cm

Encontrando ladosEncontrando ladosEl baloncesto 213

58 Los perfumesLecc

ión


Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos.

¿Has visto los envases de los perfumes? Dibuja 2 de los que más te hayan gustado.

ProblemasSe tienen 2 envases con perfume: uno en forma de cilindro y otro en forma de cono, con las siguientes medidas y los siguientes precios.¿Cuál de los dos es más económico? _______________________________

h = 8 cmh = 8 cm

r = 2

6 cm diámetro

$1 700 $1 800

En los vagones de ferrocarril hay 2 contenedores: uno de forma cilíndrica y otro en forma de cono, con las medidas que aparecen en la imagen.

r = 8 m

25 mh = 20 m

15 m

¿Cuál de los 2 tiene mayor volumen? __________________________3. Calcula el volumen del siguiente cono si la altura mide 12 m y el ángulo A mide 35º.A

A

Encontrando ladosEncontrando ladosLos perfumes214

Si el volumen de un tambor con forma de cilindro mide 3 297 cm3, calcula el valor del radio conociendo que su altura es de 42 cm.

Por parejas, consigan un vaso en forma de cilindro y otro en forma de cono, de los que se usan para tomar agua de los garrafones.

Respondan las preguntas.¿Con el contenido de cuántos conos se llena el vaso? __________________________¿Qué relación se puede establecer entre el vaso y el cono? ¿Cómo se puede saber la capacidad del vaso? ¿Cómo pueden saber la capacidad del cono? Intercambien sus conclusiones con otras parejas.

Supero el reto

Encontrando ladosEncontrando ladosLos perfumes 215

59 Los chocolatesLecc

ión


Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

La palabra “chocolate” es una adaptación de la palabra náhuatl xocolatl quelhacia referencia a una bebida espumosa hecha de cacao y cuyo significadoliteral es “agua agria”.Es un alimento que se obtiene al mezclar semillas de cacao tostadas conazúcar.

En el dibujo aparecen unos chocolates que tienen formas singulares, ¿lasidentificas?, ¿cuáles son? _________________

Analiza los siguientes problemas y resuélvelos.

El volumen de un chocolate que tiene una forma como el dibujo de abajo esde 21.2053 cm3 y radio 1.5 cm, ¿cuál será su altura? _________________

1.5 cm

Un chocolate en forma de cono tiene un volumen de 5.5794 cm3 y su base un radio de 1.2 cm. ¿Cuál será su altura? ______________________

Encontrando ladosEncontrando ladosLos chocolates216

Reúnanse en equipos y resuelvan lo siguiente.Se tienen cinco chocolates con forma cilíndrica, como los que observan en el dibujo de abajo. Llenen la tabla con los datos que se piden.

3 cm 6 cm 9 cm 12 cm 15 cm

Altura Volumen

¿Qué sucede con el radio de la base de los cinco cilindros? ¿Qué sucede con las alturas?

Un chocolate blanco con forma de cono tiene un radio de 3.5 cm y un volumen de 83.38 cm3. ¿Cuál será su altura? _____________________

Ya viste que conociendo las fórmulas puedes encontrar cualquiera de los datos involucrados en ellas, ahora analiza y busca la manera de manejar la fórmula para resolver este problema.

Supero el reto

5 cm

Un chocolate con forma de cilindro tiene una altura de 5 cm y un volumen de 24.36 cm3.¿Cuál será el radio de su base?

Encontrando ladosEncontrando ladosLos chocolates 217

60 Los medicamentosLecc

ión


Describir la información que contiene una gráfica del tipo caja-brazos. Interpretar, elaborar y utilizar gráficas de caja-brazos de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.

Los medicamentos sirven para aliviar diversas enfermedades y son recetados por los médicos que después de hacer un análisis minucioso, y de acuerdo con las características del paciente deciden cuál es el medicamento más adecuado para aliviar esa enfermedad; es muy importante que las personas no se auto-mediquen, ya que no saben cuál puede ser la reacción que les pueda provocar dicho medicamento o si son alérgicos a él y las consecuencias pueden ser fa-tales. Por eso es muy importante que cuando te enfermes acudas a un doctor.

Se realizó una investigación para mostrar los minutos que tarda un jarabe en hacer efecto en una población infantil, y se tomó como base la mediana de alos datos (Me).La siguiente gráfica muestra los resultados obtenidos.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Li LsMe25% 75%

Reúnete con un compañero y contesta las siguientes preguntas.¿Qué es la mediana de un conjunto de datos? ¿Cómo se obtiene la mediana de un conjunto de datos? ¿Cuál fue el menor tiempo que tardó en hacer efecto la medicina (límite inferior) Li? _____________¿Cuál fue el mayor tiempo que tardó en hacer efecto la medicina (límite superior) Ls? _____________¿Transcurridos cuántos minutos le hizo efecto la medicina a 25% de la población? _____________Comenten con su grupo el procedimiento que siguieron para contestar las preguntas.

Encontrando ladosEncontrando ladosLos medicamentos218

A este tipo de gráficas se le llama gráfica caja-brazos y toma en cuenta 5 puntos que son el valor smínimo, 25%, la mediana, 75% y el valor máximo. Para elaborarla se realiza lo siguiente:

1. Se ordenan los datos de menor a mayor en una línea horizontal.2. Se dividen en cuatro grupos, cada uno de los cuales representan 25%.3. Se localiza la mediana.4. Se marca 25% y 75% en los datos correspondientes.5. Arriba de esta línea horizontal se traza una línea abarcando del valor mínimo al máximo.6. Se construye un rectángulo sobre esta línea tomando en cuenta desde 25% a 75% y se traza en

ese rectángulo una línea vertical justo donde está la mediana.El rectángulo que se forma es la caja y los segmentos que salen de ella son los brazos.

Por parejas elaboren una gráfica caja-brazos para los siguientes conjuntos de datos:En un grupo de tercer año de secundaria los alumnos registraron el peso de cada uno en kilogramos: 65, 60, 70, 75, 65, 64, 67, 75, 74, 73, 72, 67, 63, 64, 68, 68, 64, 70, 71, 74 y 72.Ordenen los datos de menor a mayor: ¿Cuál es la mediana? ________________________________________________Divide en cuatro los datos, marquen 25% y 75% y elaboren la gráfica caja-brazos.

0 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80

LiLiMe25% 75% 100%

75

PesoKg.

Reúnanse en equipo y analicen las siguientes gráficas caja-brazos de las calificaciones obtenidas en el exa-men final de los terceros años en la asignatura de Matemáticas en una escuela secundaria. Los resultados fueron los siguientes:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Li

Ls 100%Me25% 75%

3o. “A”

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ls 100%Me25% 75%

3o. “B”

Encontrando ladosEncontrando ladosLos medicamentos 219

3° “A” 3° “B” ¿Cuál fue la calificación mínima del 3° “A”? _________ ¿Y la del 3°”B”? _________¿Cuál es la calificación del 75% de los alumnos del 3° “A”? _________¿Y la del 3° “B”? _________¿Cuál fue la calificación máxima del 3°”A”? _________ ¿Y la del 3° “B”? _________¿Qué grupo obtuvo mejor promedio? _________

Comenten con sus compañeros sus respuestas.

La gráfica caja-brazos es muy útil para comparar conjuntos de datos, particularmente cuando el número de datos es muy grande. La longitud de la caja está relacionada con la dispersión (agrupa-miento o separación) de los datos: si es larga, los datos son dispersos: si es corta, no lo son.En cuanto a los brazos, si el primero es más largo que el segundo, significa que 25% de la población es más dispersa que el último y que por lo tanto la caja está corrida a la derecha.

Reúnanse en equipos y realicen lo que se pide.Elabora una gráfica caja-brazos con las estaturas de los hombres y las mujeres de un grupo de tercero de secundaria.Las estaturas de los hombres, en metros, son 1.67, 1.75, 1.60, 1.62, 1.74, 1.80, 1.65, 1.73, 1.78, 1.72, 1.77, 1.79, 1.71, 1.73, 1.74.Anoten en su cuaderno paso por paso el procedimiento a seguir.

1.60 1.62 1.64 1.66 1.68 1.70 1.72 1.74 1.76 1.78 1.80 1.82

100%

LsMe

25% 75%

Elaboren otra gráfica caja brazos con la estatura de las mujer de ese mismo grupo de tercero.Las estaturas de las mujeres, en metros, son 1.55, 1.58, 1.57, 1.56, 1.70, 1.68, 1.60, 1.65, 1.59, 1.64, 1.67, 1.69, 1.70, 1.55, 1.57.

Anota el procedimiento a seguir.

1.60 1.52 1.54 1.56 1.58 1.60 1.62 1.64 1.66 1.68 1.70 1.72

Ls Li1.55

Me25% 75%

¿Quiénes son más altos en ese grupo las mujeres o los hombres?__________________¿Cuál es la mediana de la estatura de las mujeres?__________________¿Cuál es la mediana de la estatura de los hombres?__________________

Encontrando ladosEncontrando ladosLos medicamentos220

¿Qué gráfica tiene mayor dispersión en los datos?___________________________¿Por qué? ¿Qué porcentaje de mujeres mide hasta 1.66? _________________¿Qué porcentaje de varones mide hasta 1.65?_________________

Comenten en grupo los resultados.

Observa las siguientes gráficas caja-brazos sobre la dureza de láminas de dos proveedores de láminas. Las unidades de la dureza del material están dadas en kg/cm2.

Empresa uno:

Supero el reto

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Ls

kg/cm2

Li Me25% 75%

Empresa dos:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Ls

kg/cm2

Li Me25% 75%

A 25%, ¿qué dureza tiene la lámina de la empresa uno? ____________________¿Y la de la empresa dos?____________________A 75%, ¿qué dureza tiene la empresa uno?____________________¿Y la empresa dos?____________________¿A qué empresa le deben comprar si quieren una mayor dureza? ¿Por qué? Comenten sus respuestas con sus compañeros.

Los medicamentos 221

Bibliografía

Para el alumnoBaldor, Aurelio. Álgebra elemental. México. Editorial cultural mexicana. 1973.Fuenlabrada, Irma. Juega y aprende matemáticas. México. Libros del Rincón. SEP. 1991.Hogben, Lancelot. El maravilloso mundo de las matemáticas. Madrid. Aguilar. 1972.Landaverde, Felipe de Jesús. Geometría. México. Progreso. 1982.Perelman, Yakov. Álgebra recreativa. Moscú. Mir. 1988.Portilla, Enrique. Estadística. México. Interamericana. 1990.Mûller, Robert. Matemáticas. México. Suromex. 1999.Tahan, Malba. El hombre que calculaba. México. Limusa. 1988.

Para el maestroAlarcón, Jesús. Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria. México. SEP. 1995.Alsina, Claudia. Materiales para construir la geometría. España. Síntesis. 1991.Dienes, Z.P. Las seis etapas del aprendizaje en matemáticas. Barcelona. Teide. 1997.Espinoza, Hugo. Fichero de actividades didácticas. Matemáticas Educación Secundaria. México. SEP. 1999.Gagné, Robert. La planificación de la enseñanza. México. Trillas. 1990.Jonson, Robert. Estadística elemental. México. Grupo Editorial Iberoamérica. 1993.Landaverde, Felipe de Jesús. Geometría. México. Progreso. 1982.aNational Council of Teachers of Mathematics (NCTM). Sugerencias para resolver problemas. México. Trillas. 1990.Moise & Downs. Geometría moderna. México. Addison Wesley Iberoamericana. 1986.Pereda, Luis. Didáctica de la resolución de problemas. Bilbao. Colección Magisterio DDB. 1987.Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. México. Grupo Editorial Iberoamérica. 1994.Polya, G. Cómo plantear y resolver problemas. México. Trillas. 1989.Rascón, Octavio. Probabilidad, textos programados. México. UNAM. 1981.Tahan, Malba. El hombre que calculaba. México. Limusa. 1988.Wesley, Addison. Probabilidad y Estadística. México. Pearson. 2004.

Referencias bibliográficas empleadas por los autoresMochón, S., Rojano, T. y Ursini, S. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. Enseñanza de las mate-máticas con tecnología. México. SEP. 2000.Ursini, Escareño, Montes y Trigueros. Enseñanza del álgebra elemental. Una propuesta alternativa. Méxi-co. Trillas. 2005.Zubieta, Martínez Vera. et al., Geometría Dinámica. Enseñanza de las matemáticas con tecnología en México. México. o SEP. 2000.

222

Anexo 1

223

Tengo treslados congruentes.

Tengo tres lados, un par de lados son

congruentes, me puedes trazar un eje de

simetría.

Tengo tres lados, dos deellos forman un ángulo

recto, los lados que forman el ángulo recto son

diferentes.

Mis tres lados sondesiguales.

Tengo treslados, dos de ellos forman

un ángulo obtuso.

Tengo treslados, mis lados igualesforman un ángulo agudo.

224

Soy un cuadrilátero, con lados iguales y

paralelos; mis lados consecutivos forman

ángulos rectos.

Soy un cuadrilátero, condos pares de lados parale-los, que son iguales entre

sí, y además formanángulos rectos.

Soy un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos,

mis lados consecutivos son desiguales y forman

ángulos oblicuos.

Soy un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos,

mis ladosson iguales y forman

ángulos oblicuos.

Soy un cuadrilátero con un par de lados

paralelos; mis lados no paralelos son iguales.

Soy un cuadrilátero con unpar de lados paralelos; uno de mis lados no paralelos

forma ángulos rectos.

226

Soy un cuadrilátero sin lados paralelos ni eje de

simetría.

Soy una línea curva cerrada, mis puntos

equidistan de uno fijo llamado centro.

Soy un polígono con seislados congruentes.

Soy un polígono concinco lados congruentes.

Soy un cuadrilátero conun par de lados no

paralelos; mis lados no paralelos son desiguales.

Soy un cuadrilátero sin lados paralelos, con un

eje de simetría.

228

Anexo 2

Base

Generatriz

Altura

229

Notas

230

Notas

231

Notas

232


Matemáticas3secundaria

El mundo a través de las Matemáticas 3, de la serie Sé aprender, promueve la adquisición de saberes matemáticos mediante el análisis de ciertos fenómenos que ocurren en el mundo cotidiano de los estudiantes.

A lo largo del libro, los alumnos desarrollarán habilidades para resolver diferentes situaciones y activarán su razonamiento en torno a los procesos de aprendizaje que siguieron. Para ello, la metodología propuesta en la obra procura que los estudiantes recuperen sus saberes previos, expongan problemáticas para que construyan estrategias de solución y resuelvan ejercicios interesantes y lúdicos para sintetizar lo aprendido. Por último, se presenta un problema de mayor complejidad que motiva al alumno a practicar las competencias que adquiera, aprovechando éste para reconocer la forma personal con la que se apropia de los nuevos saberes.

Es así como este texto expone claramente los conocimientos por adquirir y presenta de manera amena conceptos abstractos que facilitan el desarrollo del pensamiento lógico-matemático en los estudiantes.

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Matemáticas 3secundaria

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El Mundo Atravez Delas Matematicas3

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