Ejercicos Resuelto de Nagle Capitulo 10.6 Ecuacion de La Onda

TEMA: ECUACION DE LA ONDA CON SERIES DE FURIER

ASIGNATURA: ECUACIONES

DIFERENCIALES SOLUCIONARIO ECUACION DE LA ONDA

CAP 10.6 LIBRO NAGLE

RESOLUCION DE PROBLEMAS:

QUIPE LOPE GUIDO

SANCHEZ YANCAPALLO ALEJANDRA

ARCE HUAHUACHAMBI GONZALO

CUETO SAIGUA PAVEL

YUCRA CHAPALLMA MARIELA TIPEADO POR:

SANCHEZ YANCAPALLO ALEJANDRA

18/12/2013

TEMA: ECUACION DE LA ONDA CON SERIES DE FURIER ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMA: ECUACION DE LA ONDA CON SERIES DE FURIER |AUTOR: ING. CIVIL

1

ONDAS CON SERIES DE FURIER

1. Determinar una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el

problema con el valor iniciales.

2 2

2 20 1 0

(0, ) (1, ) 0 0

( ,0) (1 ) 0 1

( ,0) (7 ) 0 1

u ux t

t x

u t u t t

u x x x x

ux sen x x

t

SOLUCION:

Por teoría tenemos la siguiente ecuación.

1

( , ) cosn n

n

n ct n ct n xu x t A B sen sen

L L L

En este problema la ecuación toma la siguiente forma

1

( , ) cosn n

n

u x t A n t B sen n t sen n x

Hallamos nuestras constantes:

12

0

1 12

0 0

2

2 . 2 .

n

n

A x x sen n t dx

A x sen n t dx x sen n t dx

Integrando por partes tenemos

1

0

1

1

20

0

1

20

1

0

2 .

1cos

1 12 . cos

1 12 . 2 1 (0)

22 . 1

n

n

x sen n x dx

u x dv sen n x dx

du dx v n xn

x sen n x dx x n x sen n xn n

x sen n x dx sen n senn n

x sen n x dxn



2

Para integrar la segunda parte:

1

2

02 .x sen n x dx

2

12 cos

u x dv sen n x dx

du xdx v n xn

1 12 2

0 0

22 . cos 2 cosx sen n x dx x n x x n x dx

n

Otra vez por partes:

cos

1

u x dv n x dx

du dx v sen n xn

1

12 2

20

0

1

2

2 1 12 . cos 2 cos

2 2 ( 1) 11( 1) 0 0 0

2 2( 1) ( 1) 1

nn

n n

x sen n x dx x n x x sen n x n xn n n

n n n n

n n

Reemplazando en:

1 1

2

0 02 . 2 .nA x sen n x dx x sen n x dx

1

2

1 1

3

3

2 2 21 1 ( 1) ( 1) 1

2 1 2 1 4( 1) 1

4( 1) 1

n n n

n

n n

n

n

n

n

An n n

An n

An

Ahora hallaremos el valor de B

1

(7 ) n

n

sen x nB sen n x

Evaluamos con 7n

(7 ) 7 7nsen x B sen x



3

7

7

7 1

1

7

B

B

Seguidamente analizamos para n=1, 2, 3,4….

1

0

2(7 )nB sen x sen n x dx

n

1

0

1

0

2cos(7 ) cos(7 )

2 (7 ) (7 )

7 7

2(0 0)

0

n

n

n

n

B x n x x n x dxn

sen x n x sen x n xB

n n n

Bn

B

Reemplazando en la fórmula:

1

( , ) cosn n

n

u x t A n t B sen n t sen n x

31

1 4( , ) 7 7 ( 1) 1 cos

7

n

n

u x t sen t sen x n t sen n xn



4



2 2

2 2

2

16 0 0

(0, ) ( , ) 0 0

( ,0) ( ) 0

( ,0) 1 cos( ) 0

u ux t

t x

u t u t t

u x sen x x

ux x x

t

SOLUCION:


1

4

( , ) cosn n

n

L c


L L L


1

( , ) cos 4 4n n

n

u x t A nt B sen nt sen nx

Hallamos nuestros valores:

2

0

0

0 0

2( )

11 (2 )

1(2 )

n

n

n

A sen x sen nx dx

A sen x sen nx dx

A sen nx dx sen x sen nx dx

Evaluemos:

00

1cos

1( 1) 1n

sen nx nxn

n

Evaluamos para 2n

1

0 0

0

(2 ) cos(2 ) cos(2 )

(2 ) (2 )2

2 2

0

sen x sen nx dx x nx x nx dx

sen x nx sen x nxn

n n



5

Evaluamos para 2n

1

0 0

0

1(2 ) cos(2 2 ) cos(2 )

2

1 1cos(4 )

2 2

1

2

sen x sen nx dx x x x nx dx

x x

Reemplazamos en la ecuación:

1 1

0 0

1(2 )nA sen nx dx sen x sen nx dx

1

( 1) 1 0 2

12

2

n

n

nn

A

n

Hallamos el valor de B

0

0 0

0

1 1

1(1 cos )

2

1cos( ) ( )

2

1 cos( ) cos( ) cos( )

2 1 1

1 ( 1) ( 1) ( 1)

2 1 1

n

n

n

n n n

n

B x sen nx dxn

B sen nx x sen nx dxn

nx x nx x nxB

n n n n

Bn n n n

Reemplazamos en la siguiente ecuación:

1

( , ) cos 4 4n n

n


1 1

1

( 1) 11 7 1 ( 1) ( 1) ( 1)( , ) cos 8 (8 ) 2 cos 4 4

2 3 2 1 1

n n n n

n

u x t t sen t sen x nt sen nt sen nxn n n n n



6



2 2

2 2

2

4 0 0

(0, ) ( , ) 0 0

( ,0) ( ) 0

( ,0) 0 0

u ux t

t x

u t u t t

u x x x x

ux x

t

SOLUCION:


1

2

( , ) cosn n

n

L c


L L L


1

( , ) cos 2 2n n

n


Hallamos nuestros valores:

2

0

2 3

0 0

2( )

2 2

n

n

A x x sen nx dx

A x sen nx dx x sen nx dx

2

0x sen nx dx

Derivando por partes:

2

12 cos( )

u x dv sen nx

du xdx v nxn

2

12 cos( )

12 ( )

u x dv nxn

du dx v sen nxn

2

3

12 ( )

10 cos( )

u dv sen nxn

du dx v nxn



7

22

2 30

0

22

30

22

30

2 2cos( ) ( ) cos( )

2( 1) 0 ( 1) (1)

2( 1) ( 1) (1)

n n

n n

x xx sen nx dx nx sen nx nx

n n n

x sen nx dxn n

x sen nx dxn n

3

0x sen nx dx

Derivando por parte:

3

2 13 cos( )

u x dv sen nx dx

du x dx v nxn

2

2

13 cos( )

16 ( )

u x dv nx dxn

du xdx v sen nxn

2

3

16 ( )

16 cos( )

u x dv sen nx dxn

du dx v nxn

3

4

16 cos( )

10 ( )

u dv nx dxn

du dx v sen nxn

3 23

2 3 40

0

33

30

33

30

3 6 6cos( ) ( ) cos( ) ( )

6( 1) 0 ( 1) 0 0

6( 1) ( 1)

n n

n n

x x xx sen nx dx nx sen nx nx sen nx

n n n n

x sen nx dxn n

x sen nx dxn n

Reemplazando en:

2 3

0 0

2 2nA x sen nx dx x sen nx dx

2 3

3 3

2 2 62 ( 1) ( 1) (2) ( 1) ( 1)n n n n

nAn n n n



8

2 2

3 3

2 2

3 3

1

3

2 62 ( 1) ( 1) (2) 2 ( 1) ( 1)

2 4 2 12( 1) ( 1) (2) ( 1) ( 1)

24( 1) 1

n n n n

n

n n n n

n

n

n

An n n n

An n n n

An

Encontramos el otro valor:

0

10

2

0

n

n

B sen nx dxn

B

Reemplazamos en la ecuación:

1

( , ) cos 2 2n n

n


1

31

2( , ) 4( 1) 1 cos 2n

n

u x t nt sen nxn



9

5.- La cuerda pulsada, una cuerda vibrante queda descrita mediante el problema con valores

iniciales y en la frontera Si la cuerda se levanta hasta la altura 0h en x=a y se vuelve entonces

las condiciones iniciales:

0

0

0

( )

xh x a

af x

L xh a x L

L a

Y ( ) 0g x determine la solución formal:

SOLUCION:

Tomamos como condiciones bases:

( ) 0 ( )

(0) 0 ( )

g x g L

f f L

La solución formal es:

1

( ) 0 n

n

n a n xg x B sen

L L

0nB

La solución formal de toda la ecuación toma la siguiente forma:

1

( , ) cosn

n

n at n xu x t A sen

L L

Ahora hallamos el valor de A:

0

00

0

0

0

2( )

2( )

2 1 1( )

L

n

a L

na

a L L

na a

n xA f x sen dx

L L

h n x L x n xA x sen dx h sen dx

L a L L a L

h n x L n x n xA x sen dx sen dx xsen dx

L a L L a L L a L

Aplicamos derivada por partes:

cos

n xu x dv sen dx

L

L n xdu dx v

n L



10

2

( ) cosn x xL n x L n x

x sen dx senL n L n L

Reemplazando en la ecuación:

0

0

2 1 1( )

a L L

na a

h n x L n x n xA x sen dx sen dx xsen dx

L a L L a L L a L

2 2

0

0

2 1 1cos cos cos

a L

n

a

h xL n x L n x L n x xL n x L n xA sen sen

L a n L n L L a L L a n L n L

0

2 2

2n

h n aA sen

n aL a L

Al sustituir en:

1

( , ) cosn

n

n at n xu x t A sen

L L

0

2 21

2 1( , ) cos

n

h n a n at n xu x t sen sen

aL a n L L L



11

7.- Resolver

2 2

2 20 0

(0, ) ( , ) 0 0

( ,0) ( ) 0

( ,0) 5 (2 ) 3 (5 ) 0

u utx x t

t x

u t u t t

u x sen x x

ux sen x sen x x

t

Como es no homogénea tenemos que hay una solución homogénea y unas partículas las

cuales son respectivamente

1

1

0

( , ) ( )

( , ) ( )

2( ) ( , )

n

n

n

n

L

n

n xu x t u t sen

L

n xh x t h t sen

L

n xh t h x t sen dx

L L

SOLUCION:

0

2( )nh t txsen nx dx

1

cos

u x dv sen nx dx

du dx v nxn

0

2

0

2( )

2 1( ) cos

2( ) ( 1)

n

n

n

n

h t txsen nx dx

t xh t nx sen nx

n n

th t

n

Por el modelo formal tenemos:

0

2 0

1( ) cos ( ) ( ( ))

2( ) cos ( 1) . ( ( ))

t

n n n n

tn

n n n

u t A nt B sen nt h s sen n t s dsn

u t A nt B sen nt s sen n t s dsn

Derivando por partes:

( ( ))

cos( ( ))

u s dv sen n t s ds

n t sdu ds v

n



12

2 2

0

3

3 4

2 cos( ( )) 1( ) cos ( 1) ( ( ))

2 ( )( ) cos ( 1) 0

2 2( ) cos ( 1) ( 1) ( )

(0) ( )

t

n

n n n

n

n n n

n n

n n n

n

n t su t A nt B sen nt s sen n t s

n n n

sen ntu t A nt B sen nt t

n n

u t A nt B sen nt t sen ntn n

u x

1

1

1

( ) ( )

( ) ( )

1

0 1

n

n

n

n

n

x A sen nx

sen x A sen nx

A

A n

Derivamos:

3 3

2 2' ( ) cos ( 1) ( 1) cos( )

' (0)

n n

n n n

n n

u t nA sen nt nB nt ntn n

u nB

Seguidamente tenemos:

1

2 5

5 (2 ) 3 (5 ) ( )

5 30 2 5

2 5

n

n

n

sen x sen x B sen nx

B B B n n

La solución general es:

3 41

3 41 1 1

2 2( , ) cos ( 1) ( 1) ( ) ( )

2 2( , ) cos ( ) ( 1) ( 1) ( )

n n

n n n

n

n n

n n n

n n n

u x t A nt B sen nt t sen nt sen nxn n

u x t A nt B sen nt sen nx t sen ntn n

5 3( , ) cos( ) ( ) (2 ) (2 ) (5 ) (5 )

2 5nu x t t sen x sen t sen x sen t sen x



13

11.- El problema del telégrafo .Use el método de separación e variables para reducir una

solución formal del problema del telégrafo.

2 22

2 20 0

(0, ) ( , ) 0 0

( ,0) ( ) 0

( ,0) 0 0

u u uu a x L t

t t x

u t u L t t

u a f x x L

ux x L

t

SOLUCION:

Asumiendo que una solución a este problema es de forma:

( , ) ( ) ( )u x t X x T t

Sustituimos en la ecuación:

2( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ''( ) ( )X x T t X x T t X x T t a X x T t

2

2

''( ) '( ) ( ) ''( )

( ) ( )

T t T t T t X xa

a T t X x

Con estas dos expresiones que deben ser iguales para todos los x en (0,L) y en todo t>0, no

puede variar. Por ello lo igualamos a una constante.

''( ) '( ) ( )

( )

T t T t T tk

T t

2''( ) '( ) (1 ) ( ) 0T t T t a k T t

''( )

( )

X xk

X x ''( ) ( ) 0X x kX x

(0) ( ) 0 ( ) ( )X T t X L T t

(0) ( ) 0

(0) ( )

X X L

X X L

Encontramos:

2

( )n n

n n xk X x A sen

L L

2 2 2

2''( ) '( ) (1 ) ( ) 0

a nT t T t T t

L

Las ecuaciones auxiliares cuadráticas, encontramos las raíces.



14

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 4 11 4 4

2 2 2

1 3 4

2 2

a n

L L L a nr

L a nr i

La solución de la ecuación es:

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

3 4 3 4( ) cos

2 2

3 4

2

t

n n n

n

L a n L a nT t e B t C sen t

L L

L a n

L

Las soluciones serian:

2

2

( ) cos

( , ) ( ) ( )

( , ) cos

t

n n n n n

n n n

t

n n n n n n

T t e B t C sen t

u x t X x T t

n xu x t A e B t C sen t sen

L

Por el principio de superposición:

( , ) ( ) '( , ) 0

n n n n n nC A B D A C

u x t f x u x t

2 2

1

1'( , ) cos cos

2

t t

n n n n n n n n n n

n

n xu x t e C t D sen t e C sen t D t sen

L

1

'( , ) 02

nn n

n

C n xu x t D sen

L

Cada término de la serie debe ser cero.

2

1

1

02 2

1( ,0) cos

2

( ,0) ( )

n nn n n

n

t

n n n

n n

n

n

C CD D

n xu x C e t sen t sen

L

n xu x f x C sen

L

0

2( )

L

n

n xC f x sen dx

L L



15

13.- Usando la ecuación de D’Alembert Calcular las siguientes ecuaciones en derivadas

parciales

2 22

2 20

( ,0) 0

( ,0) cos( )

u ua x t

t x

u x

ux x

t

SOLUCION:

Usamos la fórmula:

1 1

( , ) ( ) ( ) ( )2 2

xat

x atu x t f x at f x at g s ds

a


1 1( , ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1( , ) 0 cos( )

2 2

1( , ) 0 ( )

2

1( , ) ( ) ( )

2

1( , ) 2 cos

2 2 2

1( , ) 2 c

2

xat

x at

x at

x at

x at

x at

u x t f x at f x at g s dsa

u x t x dsa

u x t sen xa

u x t sen x at sen x ata

x at x at x at x atu x t sen

a

u x t sen ata

os

1( , ) cos

x

u x t sen at xa

1

( , ) cosu x t sen at xa



16


parciales

2 22

2 2

2

0

( ,0)

( ,0) 0

u ua x t

t x

u x x

ux

t

SOLUCION:

Usamos la fórmula:

1 1

( , ) ( ) ( ) ( )2 2

xat


a


2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

1 1( , ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1( , ) ( ) ( ) 0

2 2

1( , ) 2 ( ) 2 ( )

2

1( , ) ( ) ( )

2

( , ) ( )

( , )

x at

x at

x at

x at


u x t x at x at dsa

u x t x atx at x atx at

u x t x at x at

u x t x at

u x t x a t

2 2 2( , )u x t x a t



17


parciales

2 22

2 20

( ,0)

( ,0)

u ua x t

t x

u x x

ux x

t

SOLUCION:

Usamos la fórmula:

1 1

( , ) ( ) ( ) ( )2 2

xat


a


2

2 2

2 2 2 2

1 1( , ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1( , ) ( ) ( )

2 2

1 1( , ) ( ) ( )

2 2 2

1 1( , )

2 2 2

1 1 2( , ) 2

2 2

x ta

x ta

x ta

x ta

x at

x at


u x t x at x at xdxa

xu x t x at x at

a

x ta x tau x t x at x at

a

x tax t a xu x t x

a

2 22

2

1 4( , )

2 2

( , )

tax t a

atxu x t x

a

u x t x xt

( , )u x t x tx



18


parciales

2 22

2 20

( ,0) (3 )

( ,0) 1

u ua x t

t x

u x sen x

ux

t

SOLUCION:

Usamos la fórmula:

1 1

( , ) ( ) ( ) ( )2 2

xat


a


1 1( , ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1( , ) 3( ) 3( ) 1

2 2

1 1( , ) 3( ) 3( )

2 2

1( , ) 3( )cos(3 ) cos(3 ) (3 ) 3( )cos(3 ) cos(3 ) (

2

x ta

x ta

x ta

x ta

x ta

x ta


u x t sen x at sen x at dxa

u x t sen x at sen x at xa

u x t sen x at x sen at sen x at x sen

13 )

2

1 1( , ) 2 3( )cos(3 )

2 2

1( , ) 3( )cos(3 ) 2

2

( , ) 3( )cos(3 )

x ta

x taat x

a

u x t sen x at x ta x taa

u x t sen x at taa

u x t sen x at t

( , ) 3( )cos(3 )u x t sen x at t



19


parciales

2

2 22

2 20

( ,0)

( ,0)

x

u ua x t

t x

u x e

ux senx

t

SOLUCION:

Usamos la fórmula:

1 1

( , ) ( ) ( ) ( )2 2

xat


a


2 2

2 2

2

( ) ( )

( ) ( )

( ) 4

1 1( , ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1( , ) ( )

2 2

1 1( , ) cos( )

2 2

1 1( , ) 1 cos( ) cos( )

2 2

( ,

x ta

x ta

x tax at x at

x ta

x tax at x at

x ta

x at t


u x t e e sen x dxa

u x t e e xa

u x t e e x at x ata

u x

2( ) 41 ( ) ( )) 1

2

x at t sen x sen att e e

a

2( ) 41 ( ) ( )( , ) 1

2

x at t sen x sen atu x t e e

a



20


parciales

2

2 22

2 20

( ,0)

( ,0)

x

u ua x t

t x

u x e

ux senx

t

SOLUCION:

Usamos la fórmula:

1 1

( , ) ( ) ( ) ( )2 2

xat


a


1 1( , ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1( , ) cos( ) cos( ) (1 )

2 2

1 1( , ) cos( )cos( ) ( ) ( ) cos( )cos( ) ( ) ( ) (1 )

2 2

1( , ) cos( )cos( ) (

2

x ta

x ta

x ta

x ta

x ta

x ta


u x t x at x at x dxa

u x t x at sen x sen at x at sen x sen at x dxa

u x t x ata

2

2 2

1 )

1( , ) cos( )cos( )

2 2

1 ( ) ( )( , ) cos( )cos( )

2 2

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Ejercicos Resuelto de Nagle Capitulo 10.6 Ecuacion de La Onda

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