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Ejercicios de Duración
1.- Suponga un bono a cuatro años con un cupón anual del 5% y un nominal de $100.
Si el rendimiento del mercado es de un %! "cu#l es la duración de este bono
espuesta
1 2 3 4 5
Periodo Cupón Factor de 4=(1*2)/3 5=2/3
Descuento
0
1 5 1.08 4.62962963 4.62962963
2 5 1.1664 8.533882 4.2866941
3 5 1.25912 11.904836 3.96916121
4 105 1.36048896 308.12538 .181345
333.82304 90.0636195
!uración = 343.619/848.36853 = 3.7065248
&a duración del bono es de '.(1 años
).- *n in+ersionista est# considerando in+ertir en dos bonos! , y . El bono , genera
cupones de *50 por año y entrega un nominal de *1000 al cabo de 5 años.
El bono ! es un bono a ' años /ue entrega *5 por año y un principal de *1000 al +e
Si el ori2onte de plani3icación del in+ersionista es de '.5 años y la tasa de mercado es
"cu#nto debe in+ertir en cada uno de los bonos
espuesta
4omo primer paso se debe calcular la duración de cada bono! as la duración del bono ,
1 2 3 4 5
Periodo Cupón Factor de 4=(1*2)/3 5=2/3
Descuento
0
1 50 1.0 46.2892 46.2892
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2 50 1.1449 8.343828 43.619364
3 50 1.225043 122.444682 40.8148938
7 50 1.3109601 152.59042 38.144606
5 1050 1.4025513 343.144 48.635488
4152.2401 91.996051
Duración6 4.5231938
1 2 3 4 5
Periodo Cupón Factor de 4=(1*2)/3 5=2/3
Descuento
0
1 65 1.0 60.46636 60.466362 65 1.1449 113.54035 56.3513
3 1065 1.225043 2608.012 869.35239
282.36641 986.8842
Duración6 2.8193609
Se sabe /ue la duración de una cartera se obtiene promediando de duración de cada bo
por lo tanto! como el ori2onte de in+ersión del agente es de '.5 años! para determinar
monto a in+ertir en cada bono! se debe resol+er la siguiente ecuación6
'.5 8 9:7.5)'1;7 < =1-9>:).1;'1
980.';;
&o /ue signi3ica /ue se debe in+ertir un ';.;% del capital en el bono , y un 0.1% en el
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ncimiento.
de un (%!
ser#6
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no!
el
bono .
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Ejercicios S9ap
1.- Suponga /ue dos empresas! ,l3a y eta en3rentan los siguientes tipos anuales de inter?s6
,l3a eta@ipo 3lotante &AB < 0.5 &AB < 1
@ipo 3ijo 11% 1).0%
,mbas empresas necesitan contratar un pr?stamo por $5.000.000 por tres años.
&a empresa al3a necesita un pr?stamo a inter?s 3lotante y la empresa eta necesita
un pr?stamo a tasa 3ija. Diseñe un acuerdo s9ap considerando un intermediador
3inanciero /ue recibe un 0.10% anual y /ue bene3icie a ambas empresas por igual.
espuesta
&a empresa al3a tiene una +entaja comparati+a con respecto a beta en el mercado de
tipo 3ijo. Cor esta ra2ón! la empresa al3a debe pedir un pr?stamo a una entidad por
la suma de $5.000.000 al 11% y la empresa beta debe pedir la misma cantidad a una tasa
del &AB < 1%. Debido a /ue la di3erencia entre los tipos 3ijos /ue en3rentan ambas
empresas es un 1% y la di3erencia entre los tipos 3lotantes es de un 0.5%! el bene3icio
total /ue entrega el s9ap asciende a 0.5%. 4omo la institución 3inanciera eige un 0.10%!
cada empresa debe mejorar su posición en un 0.)%
&a estrategia consistira en6
,l3a eta
Caga el 11% al prestamista eterno Caga un &AB<1% al prestam
ecibe un10.(% de la institución 3inanciera ecibe un &AB de la institu
Caga un &AB a la institución 3inanciera Caga un 10.% a la institución
esultado6 Caga un &AB < 0.'% esultado6 Caga un 11.%
@anto para ,l3a como para eta! el acuerdo s9ap signi3icó una mejora del 0.)% anual.
).- , las empresas e F les an o3recido los siguientes tipos anuales sobre un pr?stamo a tasobre una cantidad de *S$500.000.0006
&ibras Esterlinas Dólares
Empresa (% 11.00%
Empresa F .50% 11.70%
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&a empresa necesita pedir el pr?stamo en dólares y la empresa F! lo necesita en &ibras. Di
s9ap /ue sea igual de atracti+o para ambas empresas y en el /ue todo el riesgo de tipo de ca
sea asumido por una institución 3inanciera! la /ue debe obtener un bene3icio neto del 0.'%.
espuesta
&a empresa pedir# prestado en libras al (%! /ue es el mercado donde posee +entaja
comparati+a! F pedir# en dólares al 11.7%. El bene3icio total del acuerdo es del 1.1% anual.
De este total! un 0.'% anual le corresponde a la institución 3inanciera! dejando un 0.7%
de bene3icio para ambas partes. 4omo la tasa eigida a en dólares era del 11% y el
bene3icio correspondiente es del 0.7%! /uedar# pagando una tasa del 11-0.7810.% a la
institución 3inanciera. De igual manera! F terminar# pagando una tasa del .1% en libras a la
institución 3inanciera =.5-0.78.1>. ,mbas partes obtienen igual utilidad del acuerdo y el
riesgo de tipo de cambio es asumido por la institución 3inanciera. El acuerdo est# representa
en el siguiente diagrama6
10.% *S$ 11.7% *S$
(% libras Empresa Anstitución Emp
inanciera
(% libras .1% libras
'.- Dos empresas! , y /uieren pedir un pr?stamo. &a empresa , /uiere pedirlo a una tasa +
y /uiere un pr?stamo a tipo 3ijo. &a tasa /ue en3rentan estas empresas en cada mercado s
@ipo 3ijo =anual> @ipo 3lotante =anual>
Empresa , 5% tipo +ariable<0.15
Empresa 5.0% tipo +ariable<0.5
Diseñe un acuerdo s9ap entre estas dos empresas sin considerar ningGn tipo de intermediari
espuesta
&a empresa , debe pagar al prestamista eterno una tasa del 5% anual y debe pagarun &AB < 0.5% anual. El siguiente diagrama muestra la operación6
7.;%
5% Empresa Empresa &AB < 0.5%
,
&AB
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De esta manera! , paga un &AB < 0.0)5% y paga un 5.7(5% anual. El acuerdo s9ap
signi3icó mejorar la posición de ambas empresas en un 0.1)5% anual.
7.- *na institución 3inanciera a 3irmado un acuerdo s9ap de di+isa por el /ue recibe anualme
un 10% en marcos y paga un 1% en dólares! por año. &os principales son de *S$1.000.000 y
) millones de marcos. El tipo alem#n es del 5% anual compuesto continuamente y el american
del 11% anual compuesto de igual manera. Si el s9ap dura otros dos años m#s y el tipo de cam
es de 1.7) marcos por dólar! "cual es el +alor del s9ap
espuesta
El +alor del s9ap +endr# dado por6
Halor S9ap6
=marco>I@ipo cambio - =dólar> 8 ).10.!)0I1.7) - 1.0(7.)55!)( 8 10;.()'!1' dólares
=dólar>6 10.000e-0.11 < 1.10.000e-0.11:) 8 1.0(7.)55!)( dólares
=marco>6 )00.000.e-0.05 < ).)00.000e-0.05:) 8 ).10.!)0 marcos
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ista eterno
ción 3inanciera
3inanciera
a 3ija!
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eñe un
bio
do
resa
F
11.7% *S$
riable
n6
.
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te
es
bio
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Ejercicios Bpciones
1.- Se tiene una acción cuyo +alor es de $7(. &as opciones suscritas sobre esta acción! co
ejercicio de $75 y +encimiento en seis meses tienen un +alor de $( para la call y $' para l
Si el tipo de inter?s +igente es de un 10% anual! "cu#l debera ser el precio de la put
espuesta
SegGn Caridad Cut-4all! debera ser6
&as opciones C*@ se coti2an a $'! lo /ue es superior a su precio de e/uilibrio de $).05.
Es decir! la C*@ est# sobre+alorada.
).- 4alcular segGn el Jodelo de lacK-Scoles el +alor de una opción europea suscrita sobr
acción de 4oca-4ola con los siguientes datos6
Crecio spot6 S6 $15
Crecio de ejercicio6 E6 $1(5
Des+iación6 )5%
Hencimiento6 1 año
Anter?s6 11% anual
espuesta6
SegGn Jodelo LSMd180.(('
d)80.5'('
N=d1> 8 0.(777;
N=d)> 8 0.(077;
Cor lo tanto! el +alor de la call ser#6
'.- *na opción europea de compra a tres meses sobre acciones /ue no pagan di+idendos! sEl precio de la acción es de $(5! el precio de ejercicio es de $(0! el tipo de inter?s es del
y el precio de una opción europea de +enta a tres meses! con igual precio de ejercicio es d
"Eisten oportunidades de arbitraje En caso de /ue as sea! diseñe la estr
espuesta
De acuerdo con la paridad C*@-4,&& se sabe /ue6
Cut8 (-7(<75:e-0.1:0.5 8 ).05
4 8 15:0.(77( - 1(5:e-0.11:0.(077( 8 '7.5
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es decir! se debera cumplir /ue6
pero6
(0.;)'5 O (;.'es decir! eisten posibilidades de arbitraje! y/ /ue la cartera de la dereca est# sobre+al
&a estrategia consiste en
lujo
: comprar la opción de compra -5
: +ender corto la opción de +enta 7.'
: +ender la acción (5
(7.'
Si se in+ierte esta suma a la tasa del 1)% anual por los seis meses! se tendr# una cantidad
+encimiento igual a6
Si el precio de la acción al +encimiento es superior a (0 se ejercer# la opción de compra! s
es in3erior! se ejercer# la opción de +enta. 4omo en ambos casos se obtiene la acción al
+encimiento! la utilidad neta ser#6
$(7.' - $(0 8 $7.'
7.- El precio de una opción europea de compra /ue +ence dentro de seis meses y tiene un p
de ejercicio de $(' es de $;. El precio del acti+o subyacente es de $(5. &a tasa de inte
es de un 10%. El precio de una opción de +enta suscrita sobre el mismo acti+o! con el mism
de ejercicio y con el mismo +encimiento! es de $). Determine si eisten posibilidades de
y diseñe la estrategia en caso /ue corresponda.
espuesta
SegGn paridad C*@-4,&&6
es decir! se debera cumplir /ue6
pero6
((.(5 P ((
es decir! eisten posibilidades de arbitraje! ya /ue la cartera de la i2/uierda est# sobre+a
c < Qe-rt 8 p < St
5 <(0:e-0.1):0.5 8 7.' < (5
(7.':e0.1):0.5 8 (.;
c < Qe-rt 8 p < St
; <(':e-0.1):0.5 8 (5 < )
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&a estrategia consiste en
lujo
: +ender la opción de compra ;
: comprar la opción de +enta -)
: comprar el acti+o subyacente -(5
-
Es decir! en el momento t80! se ace una in+ersión de $. ,l 3inal de los meses se deb
Si el precio del acti+o al +encimiento es superior a (' se ejercer# la opción de compra! si
es in3erior! se ejercer# la opción de +enta. 4omo en ambos casos se entrega el acti+o al
+encimiento! la utilidad neta ser#6
$('-$().)07 8 $0.(;
:e0.1):0.5 8 ().)07
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un precio de
a put
e una
+ende por $5.1)% anual
$7.'.
ategia correspondiente.
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rada.
al
i
recio
?s anual
o precio
rbitraje
lorada.
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de+ol+er
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Ejercicios uturos
1.- El precio en el mercado 3uturo de una acción con 3eca de entrega de tres meses es d
El tipo de inter?s libre de riesgo es del 1)% anual y el precio actual de la acción es de *S
Determine si eisten posibilidades de arbitraje! y si es as! diseñe la estrategia correspo
espuesta
Es decir! el precio de e/uilibrio es menor al precio obser+ado! lo /ue implica /ue si eiste
posibilidades de arbitraje.
&a estrategia a seguir es la siguiente6
t 8 oy @8+encimiento
Cedir prestado *S$0 *S$0 =*S$).7'>
4omprar una acción =*S$0> S@
Cosición corta en mR3uturo *S$ - S@
esultado 0 *S$'.57
Es decir! se obtine una ganancia de *S$'.57 al 3inal de los tres meses.
).- El precio 3uturo de una acción con entrega en seis meses! es de $11. El tipo de inter
es de un 15% anual y el precio actual de la acción es de $1)0. "Eisten posibilidades de a
Diseñe la estrategia correspondiente.
espuesta
Es decir! el precio de e/uilibrio es mayor al precio obser+ado! lo /ue implica /ue si eiste
posibilidades de arbitraje.
&a estrategia a seguir es la siguiente6
t8oy @8+encimiento
Hender corto una acción $1)0 =S@>
Depósito por 1)0 al 15% a meses -$1)0 $1);.'5Cosición larga mR3uturo S@-$11
esultado 0 $11.'5
Cor lo tanto! se obtiene una ganancia al cabo de los seis meses de $11.'5.
El precio 3uturo de e/uilibrio es6 8 Sert 8 0:e0.1):0.)5 8 *S$).7'
El precio 3uturo de e/uilibrio es6 8 Sert 8 1)0:e0.15:0.5 8 $1);.'5
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*S$.
$0.
diente.
s
bitraje
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Ejercicios Estructura temporal tasas de inter?s
1.- Se presentan a continuación los rendimientos al +encimiento de un bono a cuatro años6
,ños al endimiento
Hencimiento al Hencimiento
1 0.(
) 0.(
' 0.1
7 0.(
a> "4u#l es la tasa de inter?s implcita a pla2o para el segundo año
b> "4u#l es la tasa implcita para el cuarto año
espuestaa> &a tasa de inter?s implcita para el segundo año se calcula6
Cor lo tanto! la tasa implcita para el segundo periodo es un .)0'%
b> &a tasa implcita para el cuarto año es6
Cor lo tanto! la tasa implcita para el cuarto año es de 10.5)%
).- Se tienen tres bonos! cada uno paga un cupón de $100 al 3inal de año y tiene un nominal
de $1000 a su +encimiento. Hencen dentro de uno! dos y tres años a partir de oy y se obser+a
un precio actual de mercado de 107! 10)7 y 1000 pesos! respecti+amente.
"4u#l es la tasa implcita en el tercer periodo
espuesta
4omo primer paso se debe determinar el rendimiento al +encimiento de cada bono! lo /ue
=1 <1
)>) 8 =1 <
03
1>:=1 <
13
)>
=1 < 0.0(> 8 =1< 0.0(>:=1 <13
)>
=1 <13
)> 8 =1.0)0'>
13
) 8 .)0'
1<'3
7 8 =1 <
0
7>7 I =1 <
0
'>'
1<'3
7 8 =1 < 0.0(>7 I =1 < 0.01>'
1<'3
7 8 1.105)
'3
7 8 10.5)%
se logra despejando i de cada ecuación
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ono a 1 año6 107 81100I=1<i> 8P i 8 7.;%
Es decir! los rendimientos al +encimiento de cada bono son6
,ños al endimiento
Hencimiento al Hencimiento
1 7.;
) .7
' 10
&a tasa implcita para el tercer periodo se obtiene6
Cor lo tanto! la tasa implcita para el tercer periodo es de 1).((%
'.- , continuación se muestran los rendimientos al +encimiento y las tasas implcitas a pla2o
de bonos /ue se espera tengan el mismo riesgo de tres proyectos /ue una empresa est#
considerando in+ertir.
,ño endimiento al @asa a lujo e3ecti+o lujo e3ecti+o
Hencimiento =%> pla2o Croyecto 1 Croyecto )
0 -1000 -1000
1 0.) 0.) 5( 700
) 0.1( 0.170 )5 '5)
' 0.15 0.111 )00 )(0
a> Si se utili2a como tasa de descuento para estos proyectos el rendimiento al +encimiento
de los bonos a tres años! "cu#l es el H,N de cada proyecto
b> Si aora se utili2a la tasa a pla2o como tasa de descuento! "cu#l ser# el H,N de cada
proyectoc> "4u#l de los dos procedimientos es el correcto
espuesta
ono a ) años6 10)7 8 100I=1<i> < 1100I=1<i>) 8P i 8 .7%
ono a ' años6 1000 8 100I=1<i> < 100I=1<i>) < 1100I=1<i>' 8P i 8 10%
1<)3
' 8 =1 <
0
'>' I =1 <
0
)>)
1<)
3'
8 =1 <0.1>' I =1 <0.07>)
)3
' 8 1).((%
a> H,Nproyecto1
8 =1000> < 5(I1.15 < )5I=1.15)> < )00I=1.15'> 8 =15(.>
H,Nproyecto)
8 =1000> < 700I1.15 < '5)I=1.15)> < )(0I=1.15'> 8 =)0.7>