Ejemplo• RM produce pinturas para interiores y exteriores con dos

materias primas M1 y M2.

• Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pint. Int. no puede exceder la de pint. Ext. en más de 1 Ton. Asimismo, la demanda diaria máxima de pint. Ext. es de 2 Ton.

• Cuál es la combinación óptima que maximiza la utilidad diaria total?

Toneladas Mat Prim por Tonelada de

Disponib. diaria maxima

(Toneladas)Pint Ext Pint Int

M1 6 4 24M2 1 2 6Utilidad ($1000)/Ton 5 4

Planteamiento• Sean : x1, x2 las Ton producidas por dia de pintura

para exteriores e interiores, respectivamente.• Funcion Objetivo :

Max z = 5x1 + 4x2• Sujeto a :

6x1 + 4x2 <= 24 (Ton M1/dia)1x1 + 2x2 <= 6 (Ton M2/dia)x2 – x1 <= 1 (Límite del mercado)x2 <= 2 (Límite de la demanda)x1, x2 >= 0

Otro Ejemplo

• En ejemplo anterior :• Incluir la pintura Marina (x3), que requiere 0.5

y 0.75 Ton de M1 y M2 respectivamente.• La demanda de la nueva pintura oscila entre

0.5 y 1.5 toneladas.• La utilidad por tonelada es $3.5 (miles)

Problema de la granja• Una granja requiere diariamente un mínimo de 800 kls de un

alimento especial, el cual es una mezcla de maíz y soya con las siguientes composiciones :

• Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteína y un máximo de 5% de fibra.

• Determinar la mezcla diaria de alimento a un costo mínimo.

Kg / kg de forrajeForraje Proteina Fibra Costo ($/Kg)Maiz 0.09 0.02 0.30Soya 0.60 0.06 0.90

Planteamiento

• Sean x1, x2 los Kgs de maiz y soya (respectivamente) en la mezcla requerida.

• Funcion Objetivo :Min z = 0.3x1 + 0.9x2

• Sujeto a :x1 + x2 >= 800 (kg/dia)0.9x1 + 0.6x2 >= 0.3(x1 + x2) proteina0.02x1 + 0.06x2 <= 0.05(x1 + x2) fibrax1, x2 >= 0 (valores positivos)

Problema Línea de Ensamble• Una línea de ensamble compuesta por 3 estaciones consecutivas

produce 2 modelos de radio HiFi1 y HiFi2. La tabla muestra los tiempos de ensamble de las 3 estaciones de trabajo :

• El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10, 14 y 12% respectivamente, de los 480 minutos máximos disponibles por cada estación/dia.

• Determine la combinación de productos óptima que minimizará el tiempo ocioso (no utilizado) en las 3 estaciones de trabajo.

Minutos por unidadEstac Trabajo HiFi 1 HiFi 21 6 42 5 53 4 6

Planteamiento

• Sean x1 y x2 la cantidad de unidades de HiFi1 y HiFi2 respectivamente.

• Función ObjetivoMin z = 1267.2 – (15x1 + 15x2)

• Sujeto a :6x1 + 4x2 <= 4325x1 + 5x2 <= 412.84x1 + 6x2 <= 422.4x1, x2 >= 0

Ejercicio (Produc Máquinas) PRODMAQ produce 2 líneas de maquinaria pesada. Una de

excavación E-9 y otra maderera F-9. Las proyecciones económicas indican que se podrán vender

todas las E-9 y F-9 que la compañía sea capaz de producir El margen de contribución unitaria es $5000 por cada E-9 y

$4000 por cada F-9Datos de maquinado

Depto HORAS

cada E-9 cada F-9 Disponibles

A 10 15 150

B 20 10 160

Pruebas de productos terminadosCada E-9

Cada F-9

Horas totales requeridas

Horas de prueba

30 10 135

Como política operativa, deben contruirse cuando menos 1 F-9 por cada 3 E-9 que sean fabricadas.

El principal cliente ya ordenó un total de cuando menos 5 E-9 y F-9 (en cualquier combinación), por lo que debe producirse cuando menos esa cantidad.

Planteamiento Sean E = cantidad de E-9 por producir

F = cantidad de F-9 por producir

Función Objetivo : Max G = 5000E + 4000F

Sujeto a : 10E + 15F <= 150 (Horas del dpto A) 20E + 10F <= 160 (Horas del dpto B) 30E + 10F >= 135 (Horas para pruebas) E <= 3F ≡ E – 3F <= 0 (Política productividad) E + F >= 5 (Pedido cliente) E >= 0, F>= 0 (Condición de no negatividad)

Problema• Se desea mezclar mineral de hierro de 4 minas, para

darle cualidades especiales al hierro resultante, que debe poseer los siguientes elementos básicos :

• Cuál será la mezcla que cumpla al costo mínimo?

Elemento Req minimo/Ton mezcla

A 5

B 100

C 30

ElementoMina (Kg/Ton cada elemento)

1 2 3 4

A 10 3 8 2

B 90 150 75 175

C 45 25 20 37MINA Costo $/Ton mineral

1 800

2 400

3 600

4 500

Planteamiento• Sean :

– T1, T2, T3, T4 = Cantidad de Ton de mineral de la mina 1, 2, 3 o 4 respectivamente.

• F.O. Min 800T1 + 400T2 + 600T3 + 500T4• S.a.

– 10T1 + 3T2 + 8T3 + 2T4 >= 5 (Kg Elemento A)– 90T1 + 150T2 + 75T3 + 175T4 >= 100 (Kg Elemento B)– 45T1 + 25T2 + 20T3 + 37T4 >= 30 (Kg Elemento C)– T1 + T2 + T3 + T4 = 1 (Tonelada de mezcla)– T1, T2, T3, T4 >= 0 (No negatividad)

Planteamiento : Inversiones Inti• Inversiones Inti maneja fondos para diversas compañías y clientes

acaudalados. La estrategia de inversión se hace a la medida de las necesidades de cada usuario. Para un cliente nuevo, Inti ha sido autorizada a invertir hasta $1.2 millones en dos fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo de mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta $50 y proporciona una Tasa Rend. Anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta $100 y proporciona una Tasa Rend. Anual de 4%.

• El cliente desea minimizar el riesgo sujeto al requerimiento de que el ingreso anual de la inversión sea al menos $60,000. Según el sistema de medición de riesgo de Inti, cada unidad invertida en el fondo de acciones tiene un riesgo de 8, y cada unidad invertida en el fondo de mercado de dinero tiene un riesgo de 3; el índice de riesgo mayor asociado con el fondo de acciones sólo indica que es la inversión más arriesgada. El cliente de Inti también especificó que al menos $300,000 se deben invertir en el fondo de mercado de dinero.

• Cuántas unidades de cada fondo debería comprar Inti para su cliente para minimizar el índice de riesgo total del portafolio?

• Cuanto ingreso anual generará esta estrategia de inversión?• Suponga que el cliente desea maximizar el interés anual. Cómo

deberían invertirse los fondos?

SoluciónSuponga que la solución del planteamiento anterior es :• S = Unidades compradas en el fondo de acciones• M = Unidades compradas en el fondo de mercado de dinero

Min 8S + 3MSujeto a :

50S + 100M <= 1’200,000 Inversion disponible(0.1*50)S + (0.04*100)M>= 60,000 Ingreso anual

M >= (300,000/100) UU Mercado dineroS, M >= 0 No negatividad

• Solucione por método simplex• Solucione por método gráfico

Problema Refinería• Oil Co está construyendo una refinería para producir 4 productos: diesel,

gasolina, lubricantes y combustible para avión. La demanda mínima (barriles/día) de c/u de los productos es 14,000, 30,000, 10,000 y 8,000 respectivamente. Iraq y Dubai firmaron un contrato para enviar crudo a Oil Co. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP, la nueva refinería puede recibir por lo menos 40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai. Oil Co pronostica que la demanda y las cuotas de petróleo crudo no cambiarán en los próximos 10 años.

• Las especificaciones de los 2 crudos conducen a mezclas de productos diferentes : Un barril de crudo de Iraq rinde 0.2 barriles de diesel, 0.25 barriles de gasolina, 1 barril de lubricante y 0.15 barriles de combustible de avión. Los rendimientos del crudo de Dubai son 0.1, 0.6, 1.5 y 0.1 respectivamente. Oil Co necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles/día)

Planteamiento• Sean x1 y x2 los miles de barriles/dia de Iraq y Dubai

respectivamente.• Funcion Objetivo :

Min z = x1 + x2• Sujeto a :

-0.6x1 + 0.4x2 <= 0 0.2x1 + 0.1x2 >= 140.25x1 + 0.6x2 >= 300.1x1 + 0.15x2 >= 100.15x1 + 0.1x2 >= 8x1, x2 >= 0

Problema reciclaje• Un centro de reciclaje utiliza 2 chatarras de aluminio A

y B, para producir una aleación especial. La chatarra A contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbón. La chatarra B contiene 3% de aluminio, 6% de silicio y 3% de carbón. Los costos por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80, respectivamente. Las especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%; (2) el contenido de silicio debe ser entre 3 y 5%; y (3) el contenido de carbón debe ser entre 3 y 7%. Determine la mezcla óptima de chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación.

Planteamiento• Sean x1 y x2 las cantidades porcentuales de chatarras

A y B que tiene la aleación, respectivamente.• Función Objetivo :

Min z = 100x1 + 80x2• Sujeto a :

0.03 <= 0.06x1 + 0.03x2 <= 0.060.03 <= 0.03x1 + 0.06x2 <= 0.050.03 <= 0.04x1 + 0.03x2 <= 0.07x1 + x2 = 1x1, x2 >= 0