EJEMPLO 6-7 Considere el sistema de la Figura 6-48(a). La funcin de transferencia del camino directo esG(s) %1.06s(s !1)(s !2)Lagrfica del lugar de lasracespara el sistema se muestra en laFigura 6-48(b). Lafuncin detransferencia en lazo cerrado esC(s)R(s)%1.06s(s !1)(s !2) !1.06%1.06(s !0.3307 .j0.5864)(s !0.3307 !j0.5864)(s !2.3386)Los polos dominantes en lazo cerrado sons %.0.3307 uj0.5864El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado es f %0.491. La frecuencianatural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado es 0.673 rad/seg. La constante deerror esttico de velocidad es 0.53 seg.1.Se pretende inerementar la constante de error esttico de velocidad Kv hasta cerca de 5 seg.1sin modificar notablemente la localizacin de los polos dominantes en lazo cerrado.Para cumplircon esta especificacin, se inserta un compensador de retardo como el obtenidomediante la Ecuacin (6-19) en cascada con la funcin de transferencia del camino directo deter-minada. Para incrementar la constante de error esttico de velocidad en un factor de aproximada-mente10, seseleccionab %10ysesitanel ceroyel polodel compensador deretardoens %.0.05 y s %.0.005, respectivamente. La funcin de transferencia del compensador de retar-do se convierte enGc(s) %K4cs !0.05s !0.005Figura 6-48. (a) Sistema de control; (b) grfica del lugar de las races.324 Ingeniera de control modernawww.FreeLibros.orgFigura 6-49. Sistema compensado.La contribucin de ngulo de esta redde retardo cercade un polo dominanteen lazo cerradoesaproximadamente de 4o. Debido a que esta contribucin de ngulo no es demasiado pequea, exis-te un cambio mnimo en el nuevo lugar de las races cerca de los polos dominantes en lazo cerradodeseados.La funcin de transferencia en lazo abierto del sistema compensado esGc(s)G(s) %K4cs !0.05s !0.0051.06s(s !1)(s !2)%K(s !0.05)s(s !0.005)(s !1)(s !2)dondeK%1.06K4cEl diagrama de bloques del sistema compensado se muestra en la Figura 6-49. La grfica del lugarde las races para el sistema compensado cerca de los polos dominantes en lazo cerrado se muestraen la Figura 6-50(a), junto con el lugar de las races original. La Figura 6-50(b) muestra la grficadel lugar de las races del sistema compensado cerca del origen. El Programa MATLAB 6-11 ge-nera las grficas del lugar de las races de las Figuras 6-50(a) y (b).Figura 6-50. (a) Grfica del lugar de las races del sistema compensado y del sistemano compensado; (b) grfica del lugar de las races del sistema compensado cerca del origen.Captulo 6. Anlisis y diseo de sistemas de control por el mtodo del lugar de las races 325www.FreeLibros.orgMATLAB Programa 6-11% ***** Lugar de las races del sistema compensadoy no compensado*****% ***** Introduzca los numeradores y denominadoresde los% sistemas compensado y no compensado*****numc%[1 0.05];denc%[1 3.005 2.015 0.01 0];num%[1.06];den%[1 3 2 0];% *** Introduzcala orden rlocus. Representeel lugar de las races de ambos% sistemas***rlocus(numc,denc)holdCurrent plot heldrlocus(num,den)v%[3 1 2 2]; axis(v); axis('square')gridtext(2.8,0.2,'Sistemacompensado')text(2.8,1.2,'Sistemano compensado')text(2.8,0.58,'Polosen lazo cerrado originales')text(0.1,0.85,'Nuevospolos.')text(0.1,0.62,'enlazo cerrado')title('Lugaresde las races de los sistemas compensadoy no compensado')holdCurrent plot released% ***** Represente el lugar de las races del sistema compensadocerca% del origen *****rlocus(numc,denc)v%[0.6 0.6 0.6 0.6]; axis(v); axis('square')gridtitle('Lugarde las races del sistema compensadocerca del origen')Sielfactordeamortiguamientorelativodelosnuevospolosdominantesenlazocerradonocambia, los polos se obtienen a partir de la nueva grfica del lugar de las races del modo siguiente:s1%.0.31 !j 0.55, s2%.0.31 .j 0.55La ganancia en lazo abierto K se determina de la condicin de magnitud como sigue:K%Gs(s !0.005)(s !1)(s !2)s !0.05 Gs%.0.31!j0.55%1.0235Por tanto, la ganancia del compensador de retardo K4c se determina comoK4c%K1.06%1.02351.06%0.9656326 Ingeniera de control modernawww.FreeLibros.orgAs, la funcin de transferencia del compensador de retardo diseado esGc(s) %0.9656s !0.05s !0.005%9.65620s !1200s !1(6-20)Entonces, el sistema compensado tiene la siguiente funcin de transferencia en lazo abierto:G1(s) %1.0235(s !0.05)s(s !0.005)(s !1)(s !2)%5.12(20s !1)s(200s !1)(s !1)(0.5s !1)La constante de error esttico de velocidad Kv esKv%lmsr0sG1(s) %5.12 seg.1En el sistema compensado, la constante de error esttico de velocidad ha aumentado a 5.12 seg.1,o 5.12/0.53 %9.66 veces su valor original. (El error en estado estacionario para entradas rampa hadisminuido alrededor del 10 % del valor del sistema original.) Por tanto, se ha obtenido el objetivode diseo de incrementar la constante de error esttico de velocidad hasta cerca de 5 seg.1.Observe que, debido a que el polo y el cero del compensador de retardo estn muy cerca unodel otro y muy cerca del origen, sus efectos sobre la forma de los lugares de las races originalesson pequeos. Con excepcin de la presencia de un pequeo lugar de las races cerrado cerca delorigen, los lugares de las races de lossistemascompensado y sin compensarson muy similaresentre s, a pesar de que la constante de error esttico de velocidad del sistema compensado es 9.66veces ms grande que la del sistema sin compensar.Los otrosdospolos enlazocerradoparaelsistemacompensadose encuentrandelmodosi-guiente:s3%.2.326, s4%.0.0549El haber aadido un compensador de retardo incrementa el orden del sistema de 3 a 4, incorporan-do un polo en lazo cerrado adicional cerca del cero del compensador de retardo. (El polo en lazocerrado aadido en s %.0.0549 est cerca del cero en s %.0.05.) Este par de un cero y un polocreaunalargacoladeamplitudpequeaenlarespuestatransitoria, comoseverdespus enlarespuesta a un escaln unitario. Debido a que el polo en s %.2.326 est muy lejos del eje j u encomparacin con los polos dominantes en lazo cerrado, su efecto sobre la respuesta transitoria tam-bin es pequeo. Por tanto, se consideran los polos en lazo cerrado en s %.0.31 uj0.55 comolos polos dominantes en lazo cerrado.Lafrecuencianatural noamortiguadadelospolosdominantesenlazocerradodel sistemacompensado es 0.631 rad/seg. Este valor es aproximadamente un 6 % menor que el valor original,0.673 rad/seg. Esto implica que la respuesta transitoria del sistema compensado es ms lenta que ladel sistema original. La respuesta tendr un mayor tiempo de asentamiento. La mxima sobreelon-gacindelarespuestaaunescalnaumentarconrespectoaladelsistemacompensado. Sisetoleran estos efectos adversos, la compensacin de retardo, tal y como se analiza aqu, presenta unasolucin satisfactoria al problema de diseo planteado.A continuacin se comparan las respuestas frente a rampa unitaria del sistema compensado conlasdelsistemasincompensarysecompruebaqueelcomportamientoenestadoestacionarioesmucho mayor en el sistema compensado que en el sistema sin compensar.Para obtener la respuesta a una rampa unitaria con MATLAB, se utilizala orden step para elsistema C(s)/[sR(s)]. Debido a que C(s)/[sR(s)] para el sistema compensado esC(s)sR(s)%1.0235(s !0.05)s[s(s !0.005)(s !1)(s !2) !1.0235(s !0.05)]%1.0235s !0.0512s5!3.005s4!2.015s3!1.0335s2!0.0512sCaptulo 6. Anlisis y diseo de sistemas de control por el mtodo del lugar de las races 327www.FreeLibros.orgse tiene quenumc%[1.0235 0.0512]denc%[1 3.005 2.015 1.0335 0.0512 0]Asimismo, C(s)/[sR(s)] para el sistema sin compensar esC(s)sR(s)%1.06s[s(s !1)(s !2) !1.06]%1.06s4!3s3!2s2!1.06sPor tanto,num %[1.06]den%[1 3 2 1.06 0]ElProgramaMATLAB6-12generalagrficadelasrespuestasaunarampaunitaria. LaFigu-ra 6-51 muestra el resultado. Es evidenteque el sistema compensado presenta un error en estadoestacionariomuchomspequeo (un10 %delerrorenestado estacionariooriginal)alseguirlaentrada de la rampa unitaria.MATLAB Programa 6-12% ***** Respuestaa una rampa unitaria de sistemas compensado% y no compensado*****% ***** La respuestaa una rampa unitaria se obtiene como la respuesta% escaln unitario de C(s)/[sR(s)]*****% ***** Introduzca los numeradores y denominadoresde C1(s)/[sR(s)]% y C2(s)/[sR(s)],donde C1(s) y C2(s) son las transformadasde Laplace% de los sistemas compensadoy no compensado,respectivamente.*****numc%[1.0235 0.0512];denc%[1 3.005 2.015 1.0335 0.0512 0];num%[1.06];den%[1 3 2 1.06 0];% ***** Especifiqueel rango de tiempo (tal como t%0:0.1:50) e introduzca% la orden step y la orden plot. *****t%0:0.1:50;c1%step(numc,denc,t);c2%step(num,den,t);plot(t,c1,'-',t,c2,'.',t,t,'--')gridtext(2.2,27,'Sistemacompensado');text(26,21.3,'Sistemano compensado');title('Respuestaa una rampa unitaria de los sistemas compensadoy no compensado')xlabel('tSeg');ylabel('Salidasc1 y c2')328 Ingeniera de control modernawww.FreeLibros.orgFigura 6-51. Respuestas frente a una rampa unitaria de los sistemas compensado y sin compensar.[El compensador se obtiene de la Ecuacin (6-20).]ElProgramaMATLAB 6-13generalas curvasde respuesta aun escalnunitariode lossis-temascompensadoysincompensar. DichascurvassemuestranenlaFigura6-52.Observequeelsistemacompensadoderetardopresentaunamayorsobreelongacinmximayunarespuestamslentaqueel sistemasincompensar original. Observequeel par formadopor el poloenMATLAB Programa 6-13% ***** Respuestasescaln unitario de sistemas compensado% y no compensado *****% ***** Introduzcalos numeradoresy denominadoresde los% sistemas compensadoy no compensado*****numc%[1.0235 0.0512];denc%[1 3.005 2.015 1.0335 0.0512];num%[1.06];den%[1 3 2 1.06];% ***** Especifiqueel rango de tiempo (tal como t%0:0.1:40) e introduzca% las rdenes step y plot. *****t%0:0.1:40;c1%step(numc,denc,t);c2%step(num,den,t);plot(t,c1,'-',t,c2,'.')gridtext(13,1.12,'Sistemacompensado')text(13.6,0.88,'Sistemano compensado')title('Respuesta a un escaln unitario de sistemas compensado y no compensado')xlabel('tSeg')ylabel('Salidasc1 y c2')Captulo 6. Anlisis y diseo de sistemas de control por el mtodo del lugar de las races 329www.FreeLibros.orgFigura 6-52. Respuestas a un escaln unitario de los sistemas compensado y sin compensar.[El compensador se obtiene de la Ecuacin 6-20.]s %.0.0549 y el ceroen s %.0.05 genera una cola larga de amplitud pequea en la respuestatransitoria. Si no se pretende obtener una sobreelongacin mxima mayor y una respuesta ms lenta,es necesario utilizar un compensador de retardo-adelanto tal y como se presenta en la Seccin 6-8.Comentarios. Se observa que en ciertas circunstancias tanto el compensador de adelantocomo el de retardo pueden satisfacer las especificaciones dadas (tanto las especificaciones de larespuestatransitoriacomolasdelestadoestacionario). Por tanto, cualquieradeellossepuedeutilizar.6-8Compensacin de retardo-adelantoLacompensacindeadelantobsicamenteaceleralarespuestaeincrementalaestabilidaddelsistema. La compensacin de retardo mejora la precisin en estado estacionario del sistema, peroreduce la velocidad de la respuesta.Si sedeseamejorartantolarespuestatransitoriacomolarespuestaenestadoestacionario,deben utilizarse de forma simultnea un compensador de adelanto y un compensador de retardo.Sin embargo, en lugar de introducir un compensador de adelanto y un compensador de retardo,ambos como elementos independientes, es ms econmico utilizar nicamente un compensadorde retardo-adelanto.La compensacin de retardo-adelanto combina las ventajas de las compensaciones de retardoy de adelanto. Debido a que el compensador de retardo-adelanto posee dos polos y dos ceros, talcompensacin aumenta en 2 el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelacin de polos yceros en el sistema compensado.Compensador electrnico de retardo-adelanto utilizando amplificadores opera-cionales. La Figura 6-53 muestra un compensador electrnico de retardo-adelanto que utiliza330 Ingeniera de control modernawww.FreeLibros.org