Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 101, Nº. 1, pp 127-138, 2007VII Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

EINSTEIN: RELATIVIDAD, MECÁNICA CUÁNTICA Y LA TEORÍADEL CAMPO UNIFICADOFRANCISCO J. YNDURÁIN MUÑOZ *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Departamento de Física Teórica, C-XI Universidad Autónoma de Madrid, Canto Blanco. 28049, Madrid. fjy@delta.ft.uam.es

“... Does this mean that my observations becomereal only when I observe an observer observingsomething as itappens? This is a horrible view-point. Do you seriously entertain the thought thatwithout the observer there is no reality? Whichobserver? Is a fly an observer? Is a star an obser-ver?” R. P. Feynman, a propósito del problema dela medida en mecánica cuántica

1. INTRODUCCIÓN

En el año 1905, Albert Einstein produjo tresartículos básicos para el desarrollo de la ciencia delsiglo XX: un artículo sobre el movimiento Browniano,que lo explicaba y, además, proporcionaba un métodoextremadamente preciso para contar átomos; unartículo en que desarrolló la teoría de la relatividad,algunas de cuyas consecuencias analizaremos; y, final-mente, un artículo en el que estableció que la luz (quehasta entonces se había considerado como unavibración) se comportaba, en el efecto fotoeléctrico,como partículas, a las que él llamó Lichtquanten y queson en la actualidad conocidas como fotones. Esteúltimo descubrimiento, tal vez el más fundamental,llevó —entre otras cosas— al desarrollo de lamecánica cuántica.

No tiene, por supuesto, mucho sentido el discutircuál de los tres descubrimientos es más importante.Cara al gran público, sin duda lo más conocido es lateoría de la relatividad, que ha producido la que es,probablemente, la ecuación más famosa de la física,

Lo menos conocido es la explicación delmovimiento browniano, que la mayor parte de la gente(incluidos bastantes físicos) ignora o no aprecia. Entrelos profesionales interesados en la historia de la física,la situación es distinta: la importancia del trabajo sobreel movimiento browniano es bien sabida. En efecto, ycomo ya se ha dicho, este trabajo proporcionó unmétodo preciso para calcular el número de átomos enun gramo de hidrógeno, el llamado número deAvogadro, algo que el propio Einstein mejoró en unnuevo trabajo de 1911, lo que permitió establecerdefinitivamente la estructura corpuscular de la materia.

A pesar de esta importancia, nosotros no discu-tiremos estas cuestiones en la presente nota; entre otrasrazones, porque no cabe duda de que, tanto la teoría dela relatividad como la explicación del efecto fotoeléc-trico, representaron saltos conceptuales mucho másgrandes que la explicación del movimiento browniano;después de todo, Dalton formuló la hipótesis atómicaen 1808 y Avogadro consideró la cuestión de cuál es elnúmero de átomos contenidos en un gramo de materiaya en 1811.

No está claro es cuál de las dos, relatividad especialo explicación del efecto fotoeléctrico, representan unsalto mayor. En general, puede decirse que los físicoscon temperamento matemático se inclinan por la rela-tividad, y los fenomenólogos por los Lichtquanten. Dehecho, el Comité Nobel otorgó a Einstein el premio nopor la relatividad (especial o general) sino por la expli-cación del efecto fotoeléctrico. En lo que sigue voy aintentar transmitir lo que, en mi opinión al menos, esmás impresionante de los prodigios de intuición que2.E mc=

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Einstein derrochó al resolver ambas cuestiones, ydónde condujeron —tanto a la física como al propioEinstein— estas soluciones.

2. PROBLEMAS DE LA FÍSICA EN ELSIGLO XIX

Más de una vez hemos oido hablar del “optimismodecimonónico”. El hombre del siglo XIX, en EuropaOccidental y Norteamérica, estaba tan impresionadopor los avaces tecnológicos que se sucedieron a lolargo de ese siglo que dicho optimismo parecía justi-ficado: en ciencia, al menos. En particular, la solidezde la física basada en las ecuaciones de la mecánica deNewton y Galileo, la teoría cinética del calor y lasecuaciones del electromagnetismo de Maxwell era talque se conoce a la correspondiente física con el bienmerecido nombre de “física clásica”. Las teoríasclásicas parecían ser capaces de explicar todas lasfuerzas que actúan en el cosmos.

Sin embargo, la situación no era tan positiva comopara justificar plenamente el optimismo de nuestrosbisabuelos. En efecto, ya antes de 1900 existían unaserie de puntos obscuros y contradicciones en laciencia (y, en particular, en la física clásica) querequirieron varias revoluciones en la misma; revolu-ciones conectadas con los descubrimientos de Einsteinen su annus mirabilis de 1905. En este texto vamos adiscutir dos de los problemas de la física deci-monónica, que son las más directamente relacionadascon el tema que nos ocupa.

Contradicción entre la mecánica de Newton y lasecuaciones de Maxwell. Desde el último tercio delsiglo XIX se sabía de la existencia de un importanteproblema de consistencia interna en la mecánica. Enefecto, la teoría del electromagnetismo deMaxwellimplicaba que la velocidad de la luz es una constante,

(µ es la permeabilidad magnética del vacío, yla eléctrica), independientemente del sistema de re-

ferencia desde el que la luz se emite. Mientras que sesabía, ya desde Galileo, que las velocidades debensumarse. De manera que, si desde una fuente enmovimiento con velocidad v se emite luz, su velocidaddebería ser v c, siendo c la velocidad de la luz emitidapor una fuente en reposo.

Antes de finales de siglo la solución a esta paradojaconsistía en suponer la existencia de una substancia, eléter, en reposo absoluto, que permeaba todo el uni-verso, y en el que se propagaban las ondas electromag-néticas, en particular la luz (el “eter luminífero”). Esteéter debería tener propiedades peculiares; para podersoportar las vibraciones del campo electromagnéticodebía ser más rígido que el acero, pero tenía que serinfinitamente sutil para que su presencia no perturbaselos movimientos de los planetas y otros cuerposcelestes.

La radiación a bajas temperaturas. Aunque parecíaun fenómeno menor, lo cierto es que estuvo en elorigen de la mayor revolución que se ha producido enla ciencia física desde los tiempos de Galileo, lamecánica cuántica. El efecto es sencillo: la cantidad deenergía radiada por un cuerpo que se calienta está deacuerdo con lo que las leyes de la radiación electro-magnética y la termodinámica implicaban a altas tem-peraturas; pero a bajas temperaturas (para valor fijo dela frecuencia) los resultados experimentales dis-crepaban radicalmente de las predicciones teóricas. En1900, Max Planck sugirió que esto podía ser debido aque la radiación electromagnética no se emite de formacontinua, sino bajo la forma de paquetes discretos deenergía, los quanta de la radiación: en total con-tradicción con lo que uno espera del electromag-netismo o la mecánica clásicos, pero en acuerdo conlos experimentos.

3. LA TEORÍA DE LA RELATIVIDADESPECIAL

Volvamos al problema de la inconsistencia de lasecuaciones de Maxwell y de Galileo. A finales delsiglo XIX, a partir de 1881, Albert Michelson, primerosólo y luego en colaboración con Edward Morley,realizó una serie de experimentos con señales lumi-nosas diseñados para medir la velocidad de la tierracon respecto al éter. Los resultados fueron negativos,lo que implicaba la necesidad de modificaciones drás-ticas de la hasta entonces sacrosanta mecánica clásica.Primero FitzGerald y luego Lorentz y Poincarécomenzaron la formulación de una nueva mecánica,culminada por Albert Einstein en la teoría de la rela-tividad, que, con la mecánica cuántica, es una de lasgrandes revoluciones científicas del siglo XX.

+

εc µ= ε

La simetría relativista.Podemos expresar la con-tradicción entre la mecánica de Galileo y Newton y lateoría del electromagnetismo de Maxwell diciendo quelas transformaciones de simetría de las ecuaciones deMaxwell no coinciden con las simetrías de la mecánicaclásica, lo que las hace incompatibles.

Las transformaciones de simetría de las ecuacionesde Maxwell fueron estudiadas por el científico alemánWaldemar Voigt en 1887, bastante antes de que se des-cubriera la teoría de la relatividad. El trabajo de Voigtno fue apreciado, y las transformaciones de simetría delas ecuaciones de Maxwell, que forman las transfor-maciones relativistas (hoy, con cierta injusticia, cono-cidas como transformaciones de Lorentz y Poincaré)fueron redescubiertas, independientemente del trabajode Voigt, simultáneamente por Poincaré y por Einstein,en 1905. La correspondiente teoría se conoce comoteoría de la relatividad o, si queremos poner énfasis en

que no tenemos en cuenta las interacciones gravita-torias, teoría de la relatividad restringida.

No es fácil dilucidar la cuestión de los méritos rela-tivos de Lorentz, Poincaré y Einstein en el desarrollode la relatividad especial. No cabe duda de que, porejemplo, Poincaré precedió a Einstein en darse cuentade la relatividad del tiempo, y ya en 1898 escribió que“no tenemos intuición directa de la noción de simul-taneidad de sucesos que ocurren en lugares distintos.”(Pais,1 p. 36). Sin embargo, no es menos cierto queLorentz y Poincaré estaban inmersos en la noción deléter, al que atribuian efectos tales como la contracciónde la longitud de los cuerpos en movimiento (con-tracción de Lorentz). Einstein fue quien primero se diocuenta de que la teoría de la relatividad permitía pres-cindir de tan peculiar substancia.

La teoría de la relatividad, a pesar de que se pre-senta por los no-profesionales como una teoríaabstrusa, no es excesivamente difícil de comprender yrequiere un formalismo matemático bastante sencillo.Sus consecuencias, sin embargo, sí que van en contrade lo que nuestra intuición nos dicta. Además delhecho de que la velocidad de la luz tenga que ser lamisma en cualquier sistema de referencia, la rela-tividad implica que la longitud de un cuerpo que semueve a velocidad v es percibida por un observadorque esté en reposo como contraída en el famoso factorde Lorentz,

Más extraño aún es que el tiempo transcurre máslentamente para el objeto que se mueve; esta dilatacióntemporal viene dada por el mismo factor de Lorentz.El efecto de ralentización del tiempo, indicado porprimera vez por Poincaré, ha sido observado innume-rables veces, tanto en aceleradores de partículas (en losque se llega a velocidades que sólo se diferencian enuna billonésima parte de la velocidad de la luz, con loque el efecto es espectacular) como en aviones a granvelocidad o en satélites artificiales.

Finalmente, una consecuencia sorprendente de lateoría de la relatividad es la equivalencia entre materia

2 21 .v cβ = −

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1 Las citas a Pais se refieren a la edición española de su biografía de Einstein. [A. Pais, El señor es sutil, Ariel, 1984].

Figura 1. Albert Einstein, en 1905.

y energía. Esto se utiliza en los grandes aceleradoresde partículas para crear partículas a partir de puraenergía; el proceso inverso, la transformación de partede la masa de los átomos de uranio (o de hidrógeno) enenergía nos proporciona la energía nuclear, pacífica ono, además de explicar la procedencia de la energíaliberada en procesos radiactivos.

4. LA EXPLICACIÓN DEL EFECTOFOTOELÉCTRICO

Entre las polémicas científicas que jalonaron elsiglo XVIII una de ellas, de interés para nosotros eneste artículo, fue la que enfrentó a Isaac Newton y alholandés Cristiaan Huygens acerca de la naturaleza dela luz. Newton, basándose en que los rayos de luz

siguen trayectorias rectilíneas, mantenía que estosrayos entán constituidos de un enjambre de partículas.Huygens sostenía, por el contrario, que la luz consisteen vibraciones del éter.

La evidencia experimental estaba a favor delholandés; tanto los fenómenos de difracción —estu-diados por el propio Huygens— como las leyes deSnell-Descartes de refracción de la luz implican queésta es un fenómeno vibratorio. Ciertamente, fue elenorme prestigio de Newton lo que mantuvo abierta lapolémica, y sólo en vida de éste. En especial desde losexperimentos de interferencia realizados por Young entorno a 1800, que parecían definitivos, la comunidadcientífica se había decantado por las ideas de Huygens.Fue, por tanto, una sorpresa descomunal para dichacomunidad cuando Einstein mostró que las propie-dades del efecto fotoeléctrico sólo podían explicarse sila luz se comportaba en él como un enjambre departículas, con propiedades de energía idénticas a lasimaginadas por Planck en su explicación de laradiación del cuerpo negro cinco años antes. En ciertomodo, es un caso de justicia poética el que la mismapersona (Einstein) que demostró que había que aban-donar la mecánica newtoniana fuese la que diera larazón a Newton,2 vindicando sus ideas sobre la natu-raleza de la luz: ésta también tiene una estructura cor-puscular, y un rayo de luz puede también considerarsecomo un enjambre de partículas, para las que se haacuñado el nombre de fotones (en lugar del de“Lichtquanten” original de Einstein).

El efecto fotoeléctrico se produce cuando la luzincide sobre ciertas sustancias, a las que arranca elec-trones. Su utilidad, en células fotoeléctricas o cámaraselectrónicas o digitales es conocida por todos, demanera que la explicación de dicho efecto tenía nosólo importancia teórica sino también repercusionesprácticas. Durante un cierto tiempo, la explicación deEinstein era un tanto ad hoc: para un efecto había quehacer una hipótesis. Pero esto cambió poco tiempodespués. A partir de 1920 el físico americano Comptonencontró una propiedad más que implicaba un caractercorpuscular de la luz: los fotones pueden “rebotar”sobre partículas materiales y lo hacen con laspropiedades de choques entre partículas. Indudable-mente, esto ayudó al Comité Nobel para decidirse a

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2 Pero sólo en un sentido poético; en la polémica científica entre Newton y Huygens era el holandés el que tenía razón.

Figura 2. Fotografía de la figura de interferencia entre dosondas, en una superficie de agua.

otorgar a Einstein su preciado galardón (en 1922).Pero la explicación de Einstein del efecto fotoeléctricono invalidaba la aplastante evidencia de que la luz, o,más generalmente, la radiación electromagnética, pre-senta en muchos fenómenos un comportamiento ondu-latorio.

¿Cómo es posible que un único fenómeno (ennuestro caso, la luz) tenga a la vez propiedades tan dis-tintas como las de ondas y partículas? Porque hay unsinfín de diferencias: las ondas interfieren; laspartículas (al menos según lo que se creía en 1905), no.Otra diferencia entre ondas y partículas es la siguiente:las partículas llegan de una en una al detector, pero lasondas llegan de forma continua. Parece por tanto queambas entidades, ondas y partículas, son bien distintasy fáciles de diferenciar.

Los resultados que hemos mencionado son los quese obtienen con partículas y rendijas macroscópicas.Supongamos ahora que realizamos el experimento conelectrones3 y con rendijas microscópicas; típicamente,

del orden de las distancias interatómicas, una mil-lonésima de milímetro. Entonces, encontramos quehay interferencias, con lo cual parece que debemosconcluir que el electrón no es una partícula, sino unaonda. La posibilidad de un caracter ondulatorio delelectrón fue sugerida, en 1923, por Louis de Broglie,que también indicó un posible método de detectar lascorrespondientes interferencias, en difracción porredes cristalinas. Estas fueron observadas experimen-talmente poco después. El francés se inspiró en lasideas de Einstein para formular su hipótesis, hipótesisque a su vez impresionó fuertemente a Einstein.

Pero la hipótesis de de Broglie (o la de Einstein) noes aceptable sin más: en efecto, los electrones nollegan de forma continua al detector (como lo hacenlas ondas ordinarias), sino que lo hacen de uno en uno,tal como ocurriría si fuesen partículas; y lo mismoocurre con los fotones, en el efecto fotoeléctrico.Tenemos pues una aparente contradicción, unaparadoja, cuya solución llevó a la formulación de unanueva mecánica, conocida como mecánica cuántica,mucho más revolucionaria con respecto a la de Galileoy Newton que la relatividad, y según la cual esimposible tener una descripción completa (en elsentido clásico) del mundo microscópico.

5. LA MECÁNICA CUÁNTICA

La solución a la paradoja del carácter dual onda-corpúsculo de electrones o fotones la dieron Max Borny, con más profundidad, Werner Heisenberg, entre1925 y 1927. Born propuso interpretar la amplitud dela “onda” del electrón, o del fotón, en un punto,amplitud que podemos denotar como ϕ (x), como unaamplitud de probabilidad; de forma que su módulo alcuadrado |ϕ (x)|2 —que, si el electrón o el fotón fuesenondas ordinarias, mediría su intensidad— nos propor-ciona la probabilidad de encontrar a electrón o fotónen el punto x.

Puesto que, según esto, no podemos saber exacta-mente dónde está el electrón, resulta que, a nivelmicroscópico, las partículas no tienen una trayectoriabien definida. De hecho, se cumplen las famosas rela-ciones de incertidumbre de Heisenberg: el producto de

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3 Consideramos electrones para fijar ideas; el argumento es válido para cualquier tipo de partículas microscópicas.

Figura 3. Imagen de difracción producida por electrones alatravesar una red de átomos (oro cristalino)

la indefinición en la posición de un electrón y laindefinición en su velocidad son del orden de unaconstante característica de los fenómenos cuánticos,dividida por la masa de la partícula: esto es lo quepermite a un mismo objeto ser, a la vez, onda ypartícula. La constante característica es la llamadaconstante de Planck; se denota por el símbolo (“hache con barra”) y es de valor aproximado (enunidades de centímetros, gramos y segundos) de

. Por supuesto, esta pequeñez es la que haceque los fenómenos cuánticos no sean perceptibles, engeneral, en objetos (partículas u ondas) macroscó-picos; aunque hay excepciones. Por ejemplo, la super-conductividad, que es un típico fenómeno cuántico,afecta a conductores macroscópicos, y las propiedadestermodinámicas de un gas de partículas idénticasdependen de efectos cuánticos.

Al igual que la mecánica clásica, newtoniana o re-lativista, tiene sus ecuaciones que nos describen elmovimiento de las partículas, la evolución en eltiempo de las funciones ϕ (x), conocidas como fun-ciones de onda, viene dada por otras ecuaciones,notablemente por las introducidas por Schr odinger en1926. Sin embargo, y a diferencia de las ecuaciones deNewton, las de Schrödinger no describen la trayectoriade electrones y fotones —ya hemos dicho que laspartículas no tienen trayectoria definida— sino quegobiernan la evolución de probabilidades.

Así como hemos dicho antes que la teoría de la re-latividad (especial) si bien extraña, no es excesiva-mente difícil de comprender por un profesional, puededecirse que, aunque sepamos utilizarla con gran éxito,todavía hoy no hemos acabado de comprender lamecánica cuántica. Desde este punto de vista, no cabeduda que la explicación del efecto fotoeléctrico dadapor Einstein en 1905 abrió la puerta a un universomucho más extraño que el descrito por la teoría de larelatividad. En particular, la mecánica cuántica con-tiene al azar de forma intrínseca y, contrariamente a laobjetividad que parece consustancial a la ciencia,nadie ha sido capaz de formularla sin introducir unobservador. Esto la hace desasosegante para muchosfísicos (véase por ejemplo la frase de Feynman citadaal principio de este artículo) y, de hecho, Einsteinjam´as la aceptó.

6. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA: LAPRECISIÓN INHUMANA DE

RELATIVIDAD Y MECÁNICA CUÁNTICAEN CONJUNCIÓN

Cuando escribió su famosa ecuación que describela evolución de partículas en mecánica cuántica, en laaproximación no-relativista, Schrödinger tambiénsugirió una generalización que la hiciese compatiblecon la teoría de la relatividad. Tal ecuación (conocidacomo ecuación de Klein-Gordon, por los nombres delos científicos que más la estudiaron) no describe co-rrectamente los electrones, únicas partículas elemen-tales que se conocían en la época; pero no pasó muchotiempo hasta que Dirac, en 1928, propusiese unaecuación que describe la evolución de electrones yque, en una primera aproximación, es compatible conrelatividad y mecánica cuántica. Aunque la ecuaciónde Dirac no es completamente satisfactoria, representósin embargo un importante paso en la comprensión delos requisitos que la relatividad impone sobre lamecánica cuántica: además de producir varios resul-tados en acuerdo con las medidas experimentales.

Algunos de los problemas de la ecuación de Diracfueron resultos por el propio Dirac en 1927, de hechoantes de inventar la ecuación que lleva su nombre, enun trabajo que impresionó a Einstein.4 En él se con-sidera al potencial vectorial electromagnético como unoperador, capaz de crear o aniquilar fotones. El reem-plazamiento del campo electromagnético clásico(“número-c”, c de clásico) por un operador (“número-q”, q de cuántico-quantum) que crea y aniquila laspartículas asociadas indicaba la dirección correcta.Todas las partículas deben ser representadas, en unateoría completamente cuántica y relativista, en la quese implemente la posibilidad indicada por la ecuaciónde Einstein de transformación de materia enenergía, por operadores campo conteniendo creación yaniquilación de partículas. A este proceso se le conocea veces como “segunda cuantización”.

Es difícil de sobreestimar la importancia de la for-mulación de segunda cuantización de las interaccionesentre electrones (y positrones) y fotones. Esta permitedar una descripción, unificando relatividad y mecánica

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2E mc=

2710−=

4 Éste escribió a Ehrenfest: “Tengo dificultad con Dirac. Este equilibrismo sobre la mareadora senda entre genio y locura, es sobrecogedor”.(Citado en el libro de A. Pais, p. 443).

cuántica, de todos los procesos puramente elctromag-néticos, y resuelve los problemas que presentaba laecuación de Dirac. Así, la interacción entre partículascargadas resulta ser debida al intecambio de fotonesentre éstas partículas, como se muestra en la figura 4.En el límite de velocidades pequeñas en comparacióncon la de la luz, puede demostrarse que la interacciónrepresentada en esta figura se reduce a una interaccióncon un potencial coulombiano ordinario, con correc-ciones relativistas. Estas correcciones, evaluadas porG. Breit (1929) y E. Fermi y H. A. Bethe (1932) sedeben, en particular, a que la interacción descrita por lafigura 4 no es instantánea, produciéndose un efecto deretardación en el potencial debido a la velocidad finitade propagación del fotón. Las correcciones de retar-dación fueron comprobadas experimentalmente, enespecial en el positronio (estado ligado de electrón ypositrón) y en el átomo de helio.

Estos éxitos culminaron entre 1949 y 1952 en lostrabajos de Schwinger y Feynman (entre otros) quedesarrollaron una formulación completa de las interac-ciones electromagnéticas consistente, a la vez, con re-latividad y mecánica cuántica. Además, mostraroncómo obtener, al menos en principio, predicciones aorden arbitrario de precisión desarrollando en serie depotencias de la llamada constante de estructura fina,

No es este el lugar de exhibir un conjunto completode predicciones teóricas, y medidas experimentales enelectrodinámica cuántica que hacen a esta teoría deuna precisión inhumana (en frase de Horgan, en sulibro The End of Science, Abacus, 1996). Simplementemencionaremos dos ejemplos. El primero, tal vez elmás impactante, se refiere al momento magnético delelectrón. Aquí, damos los valores de la anomalía,

que es en lo que se diferencia el momentomagnético del magnetón de Bohr (predicho en primeraaproximación por la teoría de Dirac). Tenemos,

El primer error en el valor teórico para a(e) es eldebido al cálculo teórico; el segundo es debido a laincertidumbre experimental en el valor de α, quehemos tomado como el obtenido del efecto Hallcuántico. De hecho, el error del cálculo teórico cuánti-corelativista de a(e) es tan pequeño que podemosobtener el valor más preciso de α utilizándolo. Si lohacemos, obtenemos un valor para α,

casi diez veces más preciso que lo más exacto obtenidocon física macroscópica,

El segundo efecto es el conocido como efectoLamb(desplazamientos en los niveles energéticos delátomo de hidrógeno). Aquí,

El fantástico grado de precisión a que hemos llegadoes más evidente si consideramos que los números queestamos citando son correcciones a los nivelesenergéticos, los que, al orden más bajo vienen dadospor la ecuación de Scrödinger. Es decir, los números delas ecuaciones demás arriba deben ser comparados conel Rydberg, energía del estado fundamental de átomoshidrogenoides, de valor

la precisión es pues del orden de una parte en 109 oincluso 1012.

91 Ry 38 423,289 10 MHz:= ×

Experimento:Teoría:

(efecto Hall) 1 (137,036 003 70 0,000 003 30).α = ±

(del momento magnético) 1 (137,035 99 57 0,000 000 52),α = ±

Experimento:Teoría:

2 1 .137,036...e cα =

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2,a g= −

12

12

( ) (1159652188 3) 10( ) (1159652153 1,2 28,0) 10 ;

a ea e

−

−

= ± ×

= ± ± ×

1 12 2

(2S 2P ) 1057851 20 kHzE∆ − = ±

1 12 2

(2S 2P ) 1057862 30 kHz.E∆ − = ±

Figura 4. La interacción entre dos partículas se entiende, enmecánica cuántica relativista, a través del intercambio de lapartícula correspondiente a la interacción. La línea onduladarepresenta el intercambio de un fotón para interacciones elec-tromagnéticas.

7. LA RELATIVIDAD GENERAL

Como ya hamos dicho, no es fácil dilucidar lacuestión de los méritos relativos de Lorentz, Poincaréy Einstein en el desarrollo de la relatividad especial.Pero si hay dudas acerca de la relatividad especial,pocas caben acerca de la paternidad de la relatividadgeneral, que es como se conoce a la teoría relativista dela gravitación: sin despreciar las contribuciones deGrossmann, Hilbert y (posteriormente) Weyl, la rela-tividad general es claramente hija de Einstein. La rela-tividad especial permitía reconciliar la mecánica con lateoría de las interacciones electromgnéticas; a partir de1907 Einstein se concentró en intentar aplicar las ideasrelativistas a la otra interacción que se conocía en laépoca, la interacción gravitatoria, culminando susolución brillantemente en noviembre de 1915.

Los primeros pasos para la solución del problemade cómo integrar la relatividad y la interacción gravita-toria los dio Einstein entre 1907 y 1909. Con relativarapidez se dio cuenta de algunos efectos que la rela-tividad implica para los campos gravitatorios. Enprimer lugar, la luz debe hacerse menos energéticacuando más fuerte es el campo gravitatorio en el que seemite; en segundo lugar, un campo gravitatorio debetorcer la trayectoria de los rayos de luz, igual quetuerce la trayectoria de las partículas materiales.

El primer efecto, conocido como el desplazamietohacia el rojo de la luz es una consecuencia del prin-cipio de equivalencia de la masa y la energía, rela-cionado con la famosa fórmula ; de hecho, esun efecto completamente general que sólo depende dela relatividad restringida. En su cálculo de este efecto,Einstein obtuvo el resulado correcto; no así para elsegundo efecto, la curvatura de la luz en campos gravi-tatorios, para el que encontró un valor la mitad del co-rrecto. Esto se debe a que, en 1909, Einstein aúnpensaba que el espacio es llano.

Todavía le llevó a Einstein tres años hasta que, en1912, durante su estancia en Zurich, se dio cuenta deque el principio de equivalencia entre la masa inerte (laresponsable de que cueste poner en movimiento a uncuerpo) y la pesante (la que hace que el cuerpo seaatraido por la tierra) sólo puede mantenerse si existe

una conexión entre la fuerza gravitatoria y lageometría del espacio, lo que implica que, en presenciade un campo gravitatorio, el espacio no es llano. En losaños siguientes, y ayudado por el matemático MarcelGrossmann, Einstein estableció los primeros vínculosentre geometría y gravitación. En este momentoEinstein cree, equivocadamente, tener ya resuelto elproblema; sólo en 1915 se dio cuenta de que la teoríacon la que estaba trabajando era incorrecta. En elmismo año, el 25 de noviembre de 1915, Einsteinprodujo la versión final de la teoría relativista delcampo gravitatorio.

¿Por qué se equivocaba Eistein en 1912, y cómo sedió cuenta de su error en 1915? El error de losprimeros intentos de Einstein se debió a tomar lasolución más sencilla posible para el campo gravita-torio, y suponer que tiene una sola componente (es loque se llama un escalar). Einstein era un físico, sinduda, y desde el principio consideró que su teoríadebía estar de acuerdo con lo que se sabía experimen-talmente en la época. Por supuesto, la teoría de la rela-tividad restringida, y el principio de equivalencia entrela masa pesante y la inerte; pero también la precesióndel perihelio del planeta Mercurio que se sabía, graciasa medidas de gran exactitud, que es de segundos de arco por siglo.5 Pues bien: su teoríaescalar no proporcionaba sino una parte de esta can-tidad.

Este desacuerdo con el experimento fue el queespoleó a Einstein a seguir buscando alternativas hastaque llegó a la conclusión de que el principio de equiva-lencia entre masa pesante y masa inerte, que, en par-ticular, implica que todas las partículas siguen lamisma trayectoria en un campo gravitatorio (indepen-dientemente de su masa), obliga a admitir que la pre-sencia de un campo gravitatorio modifica la propiaestructura del espacio. Por decirlo con las propias pala-bras de Einstein, “Si todos los sistemas referencialesson equivalentes, no pueden ser euclídeos.” (Pais, p.218).

A partir de este momento, Einstein intentó describirel campo gravitatorio con lo que se llama un tensor,

, que, a la vez que la intensidad de la interaccióngravitatoria, describiera la distancia en el espacio y la

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gµν

5 Este pequeño efecto se conocía desde mediados del siglo XIX y era inexplicable con la mecánica de Newton.

2E mc=

42,11 0,45′′ ′′±

duración en el tiempo. A finales de 1915 Einstein fuecapaz de calcular, con esta teoría, la precesión del peri-helio de Mercurio encontrando el valor correcto citadomás arriba. De hecho, fue sin duda el esperar a haberacabado dicho cálculo antes de enviar a publicar susideas lo que retrasó a Einstein con respecto a Hilbertquién, como matemático, no se preocupó de lacuestión. Este fantástico acuerdo entre la teoría y elexperimento fue un auténtico shock para Einstein, que(según Pais, p. 265) “estaba fuera de sí por su cálculodel perihelio”. Hasta tal punto de que no fue capaz detrabajar durante los tres dias siguientes.

La formulación de la teoría de la relatividad generales bastante esotérica; de manera que sólo los especia-listas consiguen comprenderla, y ello con dificultades.Como se ha repetido muchas veces, la virtud principalde la formulación einsteniana de la gravitación es quereduce ésta a geometría: en efecto, la misma cantidadque proporciona la métrica del espacio ( ) repre-senta también al campo gravitatorio, lo que obliga autilizar métodos matemáticos muy complicados,incluso hoy (en especial en conexión con el problemade los agujeros negros) no bien comprendidos.

El triunfo de la relatividad general. El acuerdoentre el resultado de la teoría de la relatividad generaly el valor observado para la precesión del perihelio deMercurio era, sin duda, importante; pero, en ciencia,no basta con explicar. Como dice Glashow, es muysencillo inventar teorías que expliquen hechos cono-cidos. Por ejemplo, la precesión del perihelio deMercurio también puede obtenerse suponiendo que elsol tiene una ligera asimetría (un momentocuadrupolar distinto de cero), como hizo notar, entreotros y algo más tarde, Dicke, o postulando un planetamuy próximo al sol, como hizo a finales del siglo XIXLe Verrier (al que llamó Vulcano). Lo difícil es que unateoría también acierte en sus predicciones: una teoríasólo puede ser tomada en serio si estas prediccionesresultan ser validadas por el experimento.

En 1915 había, además de la explicación de la pre-cesión del perihelio de mercurio, una predicción de lateoría de la relatividad general que se podía comprobarexperimentalmente, que era la desviación de la luz porun campo gravitatorio. Este efecto es muy pequeño, ysólo es posible medirlo si el campo gravitatorio es muyintenso: de hecho, sólo el sol posee un campo gravita-

torio capaz de producir un efecto medible con losinstrumentos de la época. El efecto que se busca es ladesviación por el campo gravitatorio del sol de la luzproducida por una estrella que está justo encima delborde del disco solar (fig. 5). Para observar esto hacíafalta esperar a un eclipse total ya que, si el brillo del solno está suprimido, no es posible observar las estrellas.

Este eclipse no tardó mucho en producirse, en1919. Entonces dos equipos británicos, uno de ellosdirigido por el gran astrónomo Arthur StanleyEddington, se desplazaron a brasil y a la isla Príncipe,enfrente de las costas de la Guinea Ecuatorialespañola, lugares desde los que la ocultación del solera completa.

La expectación era enorme. la teoría de la re-latividad restringida predecía un valor para el ángulode desviación de la luz (ver la figura 5) de ; estefue el valor incorrecto hallado por Einstein en 1912.pero, teniendo en cuenta la curvatura del espacio quela relatividad general implicaba, el número se con-vertía en el doble, , que es el valor que Einsteinpredijo en su artículo de noviembre de 1915.

Los primeros resultados, preliminares, daban unvalor para el ángulo de desviación entre y : seobservaba claramente un efecto pero todavía no podíadecirse qué teoría validaba. Pero los resultados defini-tivos, tal como se presentaron el 6 de noviembre de1919 en Londres, en una reunión conjunta de la RoyalSociety y la Astronomical Society, no dejaron lugar adudas. El grupo de Brasil obtenía un ángulo de

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gµν

0,85′′

1,7′′

0,9′′ 1,8′′

Figura 5. Línea de puntos: trayectoria de la luz enviada por laestrella, según la teoría de la relatividad restringida. Línea con-tinua: trayectoria según la relatividad general.

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y el de África : el acuerdocon la predicción realizada por einstein cuatro añosantes era perfecto. A partir de este momento la fama deEinstein, y el prestigio de la teoría de la relatividadgeneral se dispararon. Las alabanzas recibidas porambos (sin duda en un principio merecidas) se hin-charon hasta la hipérbole, convirtiéndose persona yteoría en objetos de culto para los media; y no sólo losmedia: sobre la base de sus éxitos científicos, aEinstein le ofrecieron la presidencia del estado deIsrael.

No cabe duda que las posteriores comprobacionesexperimentales de la teoría han seguido añadiéndoleprestigio; y también es cierto que la teoría de la rela-tividad general es elegante. Sin embargo, tampococabe duda de que los éxitos de la relatividad general nojustifican el tratamiento reverencial que muchas vecesse le da: la teoría einsteniana de la gravitación esmucho menos exitosa que, por ejemplo, la teoría delelectromagnetismo consistente con la mecánicacuántica que se desarrolló en 1940-1950, y que hemoscomentado con anterioridad. Aunque en su dominio devalidez aparece muy precisa (hasta 9 cifras decimalesen algunos casos), este dominio es limitado. Tal vez laadmiración que provoca la teoría de la relatividadgeneral se deba, sobre todo entre los profesionales, aque aparece como una creación pura del intelectohumano; muchos físicos (que no conocen la historia)piensan que Einstein, basándose tan sólo en considera-ciones de simetría y simplicidad muy generales, fuecapaz de crear (sin ayuda de información experi-mental) un edificio que se reveló como una exitosateoría física.

Este punto de vista es muy peligroso. El propioEinstein, en carta al matemático Felix Klein, en 1917,manifestaba que

“en verdad, me parece que usted sobreestima mucho elvalor de los puntos de vista formales. pueden ser valiososcuando una verdad ya encontrada [el subrayado es deEinstein] deba formularse de una forma definitiva; pero,como ayudas heurísticas [las consideraciones formales]fallan casi siempre.” (pais, p. 329).

Einstein sabía esto muy bien por su propia experiencia:sus teorías de 1909, basadas en el requisito formal de

simplicidad (campo gravitatorio escalar) tuvieron queser abandonadas. no por falta de belleza o elegancia,sino porque no llevaban al valor correcto de la pre-cesión del perihelio de Mercurio.

8. EL RECHAZO DE EINSTEIN A LAMECÁNICA CUÁNTICA; LA TEORÍA DEL

CAMPO UNIFICADO Y LOS ÚLTIMOSAÑOS DE EINSTEIN

Como ya hemos mencionado antes, y a pesar dehaber sido uno de sus creadores, Einstein nunca eceptóla mecánica cuántica. Sin que obstasen sus impresion-antes éxitos en describir la situación experimental,algunos de los cuales hemos comentado en esteartículo, Einstein rechazó tanto el caracter proba-bilístico de la mecánica cuántica como el su falta deobjetividad, en el sentido de requerir un observador.

A pesar de reconocer los éxitos de la mecánicacuántica en su confrontación con el experimento,Einstein siempre pensó que esta teoría era incompleta,y se desinteresó por su desarrollo: cuando no intentódemostrar la inconsistencia de dicha teoría, como enun artículo que escribió en 1934 en colaboración conPodolsky y Rosen,6 conocido como la paradoja deEinstei, Podolsky y Rosen. No es unánime la opiniónde los físicos respecto a la importancia de estaparadoja. Así, Schrödinger pareció muy impresionadopor ella; pero, todo hay que decirlo, en aquella épocaya había éste perdido en buena parte el sentido crítico,embarcado en una estéril lucha contra la mecánicacuántica. Bohr, como consta en sus discusiones conEinstein (reproducidas, por ejemplo, en el libro de A.P. Schilpp Albert Einstein, Philosopher-Scientist,Tudor, N. Y., 1949) no le dio importancia. La paradojade Einstein, Rosen y Podolsky ha tenido un gran éxitoentre periodistas y filósofos, pero muy poco entre cien-tíficos. Los libros de texto estándar sobre mecánicacuántica (los de Dirac, Pauli, Schiff, Landau y Lifshitz,Messiah, Dicke y Wittke, etc.) ni la mencionan. Queyo sepa, sólo el de Sakurai y el de Galindo y Pascual serefieren a ella; pero únicamente de pasada para ir,inmediatamente, a las desigualdades de Bell, muchomás profundas.

6 Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen, Phys. Rev., Vol 47, p. 777 (1935). El título del artículo, “Can the quantum-mechanicaldescription of reality be considered complete?” es muy significativo.

1,98 0,30′′ ′′± 1,61 0,30′′ ′′±

Personalmente pienso que, si no hubiera sido por elprestigio que proporcionaba al artículo el estarEinstein entre sus autores, quizá ni se hubiera publi-cado. La percepción de una paradoja por Einstein,Podolsky y Rosen se debe a su utilización muyrestrictiva del concepto de “localidad”. Clásicamente,el principio de localidad quiere decir que no es posiblededucir propiedades de un sistema que está localizado,por ejemplo en nuestro laboratorio, estudiando laspropiedades de un sistema localizado en un laboratorioalejado: las propiedades de ambos deben ser indepen-dientes. Pero cuánticamente la situación es distinta.sólo podemos requerir que las medidas que hagamosen nuestro laboratorio sean compatibles con las que sehagan en un laboratorio alejado: pero es perfectamenteposible (y de hecho ocurre) que existan correlaciones,con tal que estas correlaciones no transmitan infor-mación. Esta es la razón por la que la pretendidaparadoja no es tal; y, de hecho, pasaron casi treintaaños en los que nadie se tomó en serio el trabajo deeinstein y sus colegas.

Porque, en efecto, esta situación de olvido duróhasta que John Bell,7 interesado en la cuestión de lasvariables ocultas y el problema de la medida en lamecánica cuántica, y habiéndose dado cuenta de que lapretendida demostración de la imposibilidad de lasprimeras dada por J. von Neumann (en su conocidolibro Mathematische Grundlagen der Quanten-mechanik, Springer, 1932) era, en cierto modo, tau-tológica, escribió una serie de trabajos esenciales sobrefundamentos de la mecánica cuántica.

En ellos, y entre otras cuestiones, se discute laparadoja de Einstein, Podolsky y Rosen, y sedemuestra que, si el universo siguiera las ideas delocalidad de Einstein, entonces deberían, en procesoscomo el de doble desintegración gamma de átomos uotros similares al que hemos descrito, satisfacerse unasciertas desigualdades, conocidas como desigualdadesde Bell. Estas desigualdades afectan a las correlacionesentre las probabilidades de encontar los fotones en dis-tintas direcciones. (No es fácil describir en términosasequibles para los no expertos el contenido de las

desigualdades de Bell, y nosotros no lo intentaremosaquí. Una descripción, relativamente sencilla, seencuentra en una serie de artículos publicados porMeiman en Physics Today; un intento de contar elproblema de forma amena puede verse en el vol. 8,núm. 4, de la revista Physics World titulado “Sherlockinvestiga los misterios cuánticos”).

Pocos años más tarde, y en una serie de experi-mentos liderados por el francés Aspect, se comprobóque, efectivamente, las desiguladades de Bell se vio-laban en la naturaleza; y se violaban, exáctamente, enla cantidad predicha por la mecánica cuántica.Quedaba claro, por tanto, que la visión de Einstein erala equivocada, y el aspecto probabilístico y no-local(en sentido clásico) se mostraban consustanciales a lanaturaleza. Los experimentos de Aspect se llevaron acabo por primera vez a principios de los años 1980;8

Aspect y sus colaboradores los han continuado perfec-cionando.

Einstein, en los años 30, 40 y 50 siguió un caminopersonal al margen de la corriente central de la física.Desgraciadamente, tal vez deslumbrado por las exce-sivas alabanzas que recibió a propósito de la rela-tividad gneral, Einstein olvidó los principios que hastaentonces siempre había seguido y experimentó encarne propia las frustraciones que implica el basarse en“consideraciones formales” y olvidar la esencial ayuday guía que proporcionan a la ciencia los resultadosexperimentales. A partir de 1922, Einstein intentóconstruir —sobre la base de requisitos formales deconsistencia, localidad estricta y simetría— una teoríadel campo unificado que aunara las dos interaccionesque se conocían en la época, electromagnetismo ygravitación, y que evitara las paradojas de la mecánicacuántica.

Einstein fue alejándose más y más de la realidadfísica; recordemos que, ya en 1924, Chadwickdemostró que las interacciones nucleares fuertes nosiguen una ley 1/r como las eléctricas y gravitatorias,y, en 1932, Fermi escribió la primera teoría de lasinteracciones nucleares débiles (responsables entre

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7 J. S. Bell, Physics, 1, 195 (1964); recogido, junto con otras contribuciones relativas a fundamentos de la mecánica cuántica en el libroSpeakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge, 1987, una colección de artículos en que se discuten, a un nivel bastante téc-nico, los problemas de la mecánica cuántica. Existe traducción española.8 A. Aspect, P. Grangier and G. Roger, Phys. Rev. Letters, 47, 460, 1981.

otras de las desintegraciones beta) que se separaba aúnmás de las tratadas por Einstein. Como sabemos hoy,cualquier intento de unificar las interacciones funda-mentales requiere, en particular, integrar las interac-ciones nucleares (fuertes y, en especial, débiles) conlas electromagnéticas, mucho antes de intentar incluirla gravitación. y en esta integración, en particular la delas interacciones débiles y electromagnéticas, bril-lantemente realizada entre 1964 y 1971 por Glashow yWeinberg, ’t Hooft y Veltman, la mecánica cuántica,lejos de ser “superada,” juega un papel central.

Los coetáneos de Einstein tenían claro lo equivo-cado del camino que éste seguía. Así, en 1932, Pauli,en una reseña acerca del trabajo sobre teorías unifi-cadas de Einstein escribió:

“La siempre fértil inventiva [de Einstein], así como sutenaz energía en la persecución [de la unificación] nosgarantizan, en años recientes, un promedio de una nuevateoría por año ... es interesante psicológicamente que lateoría del momento es, por un tiempo, considerada por elautor como la “solución definitiva.”

(W. Pauli, Naturw., 20, 186, 1932).

Einstein aún conservaba su lucidez; poco despuéscontestó a Pauli: “Sie haben also recht gehabt, SieSpitzbube”: “después de todo tuvo usted razón,bribón.” (Citado en Pais, p. 351). Pero, a pesar de ello,Einstein volvió a enfrascarse en su programa, del quenunca salió nada de interés. Algunos de los últimosartículos de Einstein traslucen su amargura por estefracaso. Así, en el artículo escrito en ScientificAmerican en abril de 1950, Einstein escribe:

“el escéptico dirá: ‘puede muy bien ser cierto que estesistema de ecuaciones sea razonable desde el punto devista lógico, pero esto no demuestra que corresponda a lanaturaleza’. Tiene usted razón, querido escéptico. Sóla-mente la experiencia puede decidir sobre la verdad.”

Lo cierto es que la tarea de Einstein era imposible.De hecho, cada vez nos parece más claro que subuscada unificación era una quimera; y ello, entremuchas otras razones (alguna de las cuales ya hemoscitado), porque —a pesar de su belleza— la propiateoría de la relatividad general tiene serios problemasde consistencia. Tanto experimentales, en ladescripción del cosmos, donde nos obliga a introducirentes tales como las llamadas materia oscura yenergía oscura para las que no tenemos ninguna evi-dencia directa, como teóricos. En efecto, nadie ha sidocapaz de presentar una formulación de la relatividadgeneral compatible con la mecánica cuántica.

BIBLIOGRAFÍA

1. Más detalles sobre los temas tratados aquí, asi comouna lista completa de referencias complementarias,pueden encontrarse en los dos libros del autorElectrones, neutrinos y quarks, Ed. Crítica, 2002 yLos desafíos de la ciencia, Ed. Crítica, 2003.

El presente texto está basado en el artículo delautor publicado por la revista de la Real SociedadEspañola de Física con motivo del centenario del“Annus Mirabilis” de Einstein.

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