Einstein, Albert - Sobre La Teoria de La Relatividad Especial Y General

8/12/2019 Einstein, Albert - Sobre La Teoria de La Relatividad Especial Y General

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Ttulo ORIGINAL: ber die spezielte und allgemeine Relatiuittstheorie

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Prlogo

El presente librito pretende dar una idea lo ms exacta posible de la teora de larelatividad, pensando en aquellos que, sin dominar el aparato matemtico de la fsicaterica, tienen inters en la teora desde el punto de vista cientfico o filosficogeneral. La lectura exige una formacin de bachillerato aproximadamente y pese ala brevedad del librito no poca paciencia y voluntad por parte del lector. El autor ha

puesto todo su empeo en resaltar con la mxima claridad y sencillez las ideas

principales, respetando por lo general el orden y el contexto en que realmentesurgieron. En aras de la claridad me pareci inevitable repetirme a menudo, sin repararlo ms mnimo en la elegancia expositiva; me atuve obstinadamente al precepto delgenial terico L. Boltzmann, de dejar la elegancia para los sastres y zapateros. Lasdificultades que radican en la teora propiamente dicha creo no habrselas ocultado allector, mientras que las bases fsicas empricas de la teora las he tratadodeliberadamente con cierta negligencia, para que al lector alejado de la fsica no leocurra lo que al caminante, a quien los rboles no le dejan ver el bosque. Espero queel librito depare a ms de uno algunas horas de alegre entretenimiento.

Diciembre de 1916. A. EINSTEIN


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Primera parteSobre la teora de la relatividad especial

1. El contenido fsico de los teoremas geomtricos

Seguro que tambin t, querido lector, entablaste de nio conocimiento con elsoberbio edificio de la Geometra de Euclides y recuerdas, quiz con ms respeto queamor, la imponente construccin por cuyas altas escalinatas te pasearon durante horassin cuento los meticulosos profesores de la asignatura. Y seguro que, en virtud de esetu pasado, castigaras con el desprecio a cualquiera que declarase falso incluso el msrecndito teoremita de esta ciencia. Pero es muy posible que este sentimiento deorgullosa seguridad te abandonara de inmediato si alguien te preguntara: Quentiendes t al afirmar que estos teoremas son verdaderos?. Detengmonos un rato

en esta cuestin.La Geometra parte de ciertos conceptos bsicos, como el de plano, punto, recta, alos que estamos en condiciones de asociar representaciones ms o menos claras, ascomo de ciertas proposiciones simples (axiomas) que, sobre la base de aquellasrepresentaciones, nos inclinamos a dar por verdaderas. Todos los dems teoremasson entonces referidos a aquellos axiomas (es decir, son demostrados) sobre la base deun mtodo lgico cuya justificacin nos sentimos obligados a reconocer. Un teoremaes correcto, o verdadero, cuando se deriva de los axiomas a travs de ese mtodoreconocido. La cuestin de la verdad de los distintos teoremas geomtricos remite,

pues, a la de la verdad de los axiomas. Sin embargo, se sabe desde hace mucho que

esta ltima cuestin no slo no es resoluble con los mtodos de la Geometra, sino queni siquiera tiene sentido en s. No se puede preguntar si es verdad o no que por dospuntos slo pasa una recta. nicamente cabe decir que la Geometra eucldea trata defiguras a las que llama rectas y a las cuales asigna la propiedad de quedarunvocamente determinadas por dos de sus puntos. El concepto de verdadero no seaplica a las proposiciones de la Geometra pura, porque con la palabra verdaderosolemos designar siempre, en ltima instancia, la coincidencia con un objeto real; laGeometra, sin embargo, no se ocupa de la relacin de sus conceptos con los objetosde la experiencia, sino slo de la relacin lgica que guardan estos conceptos entre s.

El que, a pesar de todo, nos sintamos inclinados a calificar de verdaderos los

teoremas de la Geometra tiene fcil explicacin. Los conceptos geomtricos secorresponden ms o menos exactamente con objetos en la naturaleza, que son, sinningn gnero de dudas, la nica causa de su formacin. Aunque la Geometra se


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distancie de esto para dar a su edificio el mximo rigor lgico, lo cierto es que lacostumbre, por ejemplo, de ver un segmento como dos lugares marcados en un cuerpo

prcticamente rgido est muy afincada en nuestros hbitos de pensamiento. Ytambin estamos acostumbrados a percibir tres lugares como situados sobre una rectacuando, mediante adecuada eleccin del punto de observacin, podemos hacer

coincidir sus imgenes al mirar con un solo ojo.Si, dejndonos llevar por los hbitos de pensamiento, aadimos ahora a losteoremas de la Geometra eucldea un nico teorema ms, el de que a dos puntos deun cuerpo prcticamente rgido les corresponde siempre la misma distancia(segmento), independientemente de las variaciones de posicin a que sometamos elcuerpo, entonces los teoremas de la Geometra eucldea se convierten en teoremasreferentes a las posibles posiciones relativas de cuerpos prcticamente rgidos1. LaGeometra as ampliada hay que contemplarla como una rama de la fsica. Ahora scabe preguntarse por la verdad de los teoremas geomtricos as interpretados,

porque es posible preguntar si son vlidos o no para aquellos objetos reales quehemos asignado a los conceptos geomtricos. Aunque con cierta imprecisin,

podemos decir, pues, que por verdad de un teorema geomtrico entendemos en estesentido su validez en una construccin con regla y comps.Naturalmente, la conviccin de que los teoremas geomtricos son verdaderos eneste sentido descansa exclusivamente en experiencias harto incompletas. De entradadaremos por supuesta esa verdad de los teoremas geomtricos, para luego, en la ltima

parte de la exposicin (la teora de la relatividad general), ver que esa verdad tiene suslmites y precisar cules son stos.

2. El sistema de coordenadas

Basndonos en la interpretacin fsica de la distancia que acabamos de sealarestamos tambin en condiciones de determinar la distancia entre dos puntos de uncuerpo rgido por medio de mediciones. Para ello necesitamos un segmento (regla S)que podamos utilizar de una vez para siempre y que sirva de escala unidad. Si A y Bson dos puntos de un cuerpo rgido, su recta de unin es entonces construible segnlas leyes de la Geometra; sobre esta recta de unin, y a partir de A, llevamos elsegmento Stantas veces como sea necesario para llegar aB. El nmero de repeticionesde esta operacin es la medida del segmento AB. Sobre esto descansa toda medicinde longitudes2.Cualquier descripcin espacial del lugar de un suceso o de un objeto consiste enespecificar el punto de un cuerpo rgido (cuerpo de referencia) con el cual coincide elsuceso, y esto vale no slo para la descripcin cientfica, sino tambin para la vidacotidiana. Si analizo la especificacin de lugar en Berln, en la Plaza de Potsdam, veo

1 De esta manera se le asigna tambin a la lnea recta un objeto de la naturaleza. Tres puntos de uncuerpo rgidoA, B, C se hallan situados sobre una lnea recta cuando, dados los puntos A y C, el punto

B est elegido de tal manera que la suma de las distancia y es lo ms pequea posible. Estadefinicin, defectuosa desde luego, puede bastar en este contexto.

2Se ha supuesto, sin embargo, que la medicin es exacta, es decir, que da un nmero entero. De estadificultad se deshace uno empleando escalas subdivididas, cuya introduccin no exige ningn mtodofundamentalmente nuevo.


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que significa lo siguiente. El suelo terrestre es el cuerpo rgido al que se refiere laespecificacin de lugar; sobre l, Plaza de Potsdam en Berln es un puntomarcado, provisto de nombre, con el cual coincide espacialmente el suceso 3.

Este primitivo modo de localizacin slo atiende a lugares situados en la superficiede cuerpos rgidos y depende de la existencia de puntos distinguibles sobre aqulla.

Veamos cmo el ingenio humano se libera de estas dos limitaciones sin que la esenciadel m todo de localizacin sufra modificacin alguna. Si sobre la Plaza de Pots dam f lotapor ej emplo una nu be , su po si cin, re fe rida a la supe rfi cie ter rest re , cabr fi jar la sinms que erigir en la plaza un mstil vertical que llegue hasta la nube. La longitud delmstil medida con la regla unidad, junto con la especificacin del lugar que ocupa elpie de l mst il , cons ti tuyen entonces una localizacin completa. El ejemp lo nosmuestra de qu manera se fue refinando el concepto de lugar:

a) Se prolonga el cuerpo rgido al que se refiere la localizacin, de modo que elcuerpo r gido ampl iado llegue hasta el objeto a localizar.

b) Para la caracterizacin del lugar se utilizan nmeros, y no la nomenclatura depuntos notables (en el caso an ter ior, la longitud del m stil me di da co n la re gla) .

c) Se sigue hablando de la alt ura de la nube aun cuando no se erija un mstilque llegue hasta ella. En nuestro caso, se determina mediante fotografas de la nubedesde diversos puntos del suelo y teniendo en cuenta las propiedades depropagac in de la lu z qu lo ng itud ha br a que da r al msti l para ll egar a la nu be .

De estas consideraciones se echa de ver que para la descripcin de lugares esventajoso independizarse de la existencia de puntos notables, provistos de nombres ysituados sobre el cuerpo rgido al que se refiere la localizacin, y utilizar en lugar deello nmeros. La fsica experimental cubre este objetivo empleando el sistema decoordenadas cartesianas.

Este sistema consta de tres paredes rgidas, planas, perpendiculares entre s y ligadas

a un cuerpo rgido. El lugar de cualquier suceso, referido al sistema de coordenadas,viene descrito (en esencia) por la especificacin de la longitud de las tres verticales ocoordenadas (x, y, z) (cf. Fig. 2, p. 33) que pueden trazarse desde el suceso hasta esastres paredes. Las longitudes de estas tres perpendiculares pueden determinarsemediante una sucesin de manipulaciones con reglas rgidas, manipulaciones quevienen prescritas por las leyes y mtodos de la Geometra euclidiana.

En las aplicaciones no suelen construirse realmente esas paredes rgidas que formanel sistema de coordenadas; y las coordenadas tampoco se determinan realmente pormedio de construcciones con reglas rgidas, sino indirectamente. Pero el sentido fsicode las localizaciones debe buscarse siempre en concordancia con las consideracionesanteriores, so pena de que los resultados de la fsica y la astronoma se diluyan en la

falta de claridad4

.La conclusin es, por tanto, la siguiente: toda descripcin espacial de sucesos se sirvede un cuerpo rgido al que hay que referirlos espacialmente. Esa referencia presuponeque los segmentos se rigen por las leyes de la Geometra eucldea, viniendorepresentados fsicamente por dos marcas sobre un cuerpo rgido.

3No es preciso entrar aqu con ms detenimiento en el significado de coincidencia espacial, pues esteconcepto es claro en la medida en que, en un caso real, apenas habra divisin de opiniones en torno a su

validez4No es sino en la teora de la relatividad general, estudiada en la segunda parte del libro, donde se hacenecesario afinar y modificar esta concepcin.


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3. Espacio y tiempo en la Mecnica clsica

Si formulo el objetivo de la Mecnica diciendo que la Mecnica debe describircmo vara con el tiempo la posicin de los cuerpos en el espacio, sin aadir grandesreservas y prolijas explicaciones, cargara sobre mi conciencia algunos pecados

capitales contra el sagrado espritu de la claridad. Indiquemos antes que nada estospecados.No est claro qu debe entenderse aqu por posicin y espacio. Supongamos queestoy asomado a la ventanilla de un vagn de ferrocarril que lleva una marchauniforme, y dejo caer una piedra a la va, sin darle ningn impulso. Entonces veo(prescindiendo de la influencia de la resistencia del aire) que la piedra cae en lnearecta. Un peatn que asista a la fechora desde el terrapln observa que la piedra cae atierra segn un arco de parbola. Yo pregunto ahora: las posiciones que recorre la

piedra estn realmente sobre una recta o sobre una parbola? Por otro lado, qusignifica aqu movimiento en el espacio? La respuesta es evidente despus de lodicho en 2. Dejemos de momento a un Lado la oscura palabra espacio, que, para sersinceros, no nos dice absolutamente nada; en lugar de ella ponemos movimientorespecto a un cuerpo de referencia prcticamente rgido. Las posiciones con relacin alcuerpo de referencia (vagn del tren o vas) han sido ya definidas explcitamente en elepgrafe anterior. Introduciendo en lugar de cuerpo de referencia el concepto desistema de coordenadas, que es til para la descripcin matemtica, podemos decir:la piedra describe, con relacin a un sistema de coordenadas rgidamente unido alvagn, una recta; con relacin a un sistema de coordenadas rgidamente ligado a lasvas, una parbola. En este ejemplo se ve claramente que en rigor no existe unatrayectoria5, sino slo una trayectoria con relacin a un cuerpo de referencia de-terminado.

Ahora bien, la descripcin completa del movimiento no se obtiene sino al especificarcmo vara la posicin del cuerpo con el tiempo, o lo que es lo mismo, para cada

punto de la trayectoria hay que indicar en qu momento se encuentra all el cuerpo.Estos datos hay que completarlos con una definicin del tiempo en virtud de la cual

podamos considerar estos valores temporales como magnitudes esencialmenteobservables (resultados de mediciones). Nosotros, sobre el suelo de la Mecnicaclsica, satisfacemos esta condicin con relacin al ejemplo anterior de la siguientemanera. Imaginemos dos relojes exactamente iguales; uno de ellos lo tiene el hombreen la ventanilla del vagn de tren; el otro, el hombre que est de pie en el terrapln.Cada uno de ellos verifica en qu lugar del correspondiente cuerpo de referencia seencuentra la piedra en cada instante marcado por el reloj que tiene en la mano.

Nos abstenemos de entrar aqu en la imprecisin introducida por el carcter finito dela velocidad de propagacin de la luz. Sobre este extremo, y sobre una segunda

dificultad que se presenta aqu, hablaremos detenidamente ms adelante.

4. El sistema de coordenadas de Galilea Como es sabido, la ley fundamental de la Mecnica de Galileo y Newton, conocida

por la ley de inercia, dice: un cuerpo suficientemente alejado de otros cuerpospersiste en su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme. Este principiose pronuncia no slo sobre el movimiento de los cuerpos, sino tambin sobre qucuerpos de referencia o sistemas de coordenadas son permisibles en la Mecnica y

pueden utilizarse en las descripciones mecnicas. Algunos de los cuerpos a los que sinduda cabe aplicar con gran aproximacin la ley de inercia son las estrellas fijas. Ahora

bien, si utilizamos un sistema de coordenadas solidario con la Tierra, cada estrella fija5Es decir, una curva a lo largo de la cual se mueve el cuerpo.


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describe, con relacin a l y a lo largo de un da (astronmico), una circunferencia deradio enorme, en contradiccin con el enunciado de la ley de inercia. As pues, si unose atiene a esta ley, entonces los movimientos slo cabe referirlos a sistemas decoordenadas con relacin a los cuales las estrellas fijas no ejecutan movimientoscirculares. Un sistema de coordenadas cuyo estado de movimiento es tal que con

relacin a l es vlida la ley de inercia lo llamamos sistema de coordenadas deGalileo. Las leyes de la Mecnica de Galileo-Newton slo tienen validez parasistemas de coordenadas de Galileo.

5. El principio de la relatividad (en sentido restringido)Para conseguir la mayor claridad posible, volvamos al ejemplo del vagn de tren quelleva una marcha uniforme. Su movimiento decimos que es una traslacin uniforme(uniforme, porque es de velocidad y direccin constantes; traslacin, porqueaunque la posicin del vagn vara con respecto a la va, no ejecuta ningn giro).Supongamos que por los aires vuela un cuervo en lnea recta y uniformemente(respecto a la va). No hay duda de que el movimiento del cuervo es respecto alvagn en marcha un movimiento de distinta velocidad y diferente direccin, perosigue siendo rectilneo y uniforme. Expresado de modo abstracto: si una masa m semueve en lnea recta y uniformemente respecto a un sistema de coordenadas K, en-tonces tambin se mueve en lnea recta y uniformemente respecto a un segundosistema de coordenadasK', siempre que ste ejecute respecto a K un movimiento detraslacin uniforme. Teniendo en cuenta lo dicho en el prrafo anterior, se desprendede aqu lo siguiente:

SiK es un sistema de coordenadas de Galileo, entonces tambin lo es cualquier otrosistema de coordenadas K' que respecto a K se halle en un estado de traslacinuniforme. Las leyes de la Mecnica de Galileo-Newton valen tanto respecto aK' comorespecto a K

Demos un paso ms en la generalizacin y enunciemos el siguiente principio: SiK' esun sistema de coordenadas que se mueve uniformemente y sin rotacin respecto a K,entonces los fenmenos naturales transcurren con respecto a K' segn idnticas leyesgenerales que con respecto aK. Esta proposicin es lo que llamaremos el principio derelatividad (en sentido restringido).

Mientras se mantuvo la creencia de que todos los fenmenos naturales se podanrepresentar con ayuda de la Mecnica clsica, no se poda dudar de la validez de este

principio de relatividad. Sin embargo, los recientes adelantos de la Electrodinmica yde la ptica hicieron ver cada vez ms claramente que la Mecnica clsica, como basede toda descripcin fsica de la naturaleza, no era suficiente. La cuestin de la validezdel principio de relatividad se torn as perfectamente discutible, sin excluir la

posibilidad de que la solucin fuese en sentido negativo. Existen, con todo, doshechos generales que de entrada hablan muy a favor de la validez del principio derelatividad. En efecto, aunque la mecnica clsica no proporciona una basesuficientemente ancha para representar tericamente todos los fenmenos fsicos,tiene que poseer un contenido de verdad muy importante, pues da con admirable

precisin los movimientos reales de los cuerpos celestes. De ah que en el campo de laMecnica tenga que ser vlido con gran exactitud el principio de relatividad. Y que unprincipio de generalidad tan grande y que es vlido, con tanta exactitud, en undeterminado campo de fenmenos fracase en otro campo es, a priori, poco

probable.El segundo argumento, sobre el que volveremos ms adelante, es el siguiente. Si el

principio de relatividad (en sentido restringido) no es vlido, entonces los sistemas decoordenadas de Galileo K, K', K", etc., que se mueven uniformemente unos respecto


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a los otros, no sern equivalentespara la descripcin de los fenmenos naturales. En esecaso no tendramos ms remedio que pensar que las leyes de la naturaleza slo puedenformularse con especial sencillez y naturalidad si de entre todos los sistemas decoordenadas de Galileo eligisemos como cuerpo de referencia uno (K0) que tuvieraun estado de movimiento determinado. A ste lo calificaramos, y con razn (por sus

ventajas para la descripcin de la naturaleza), de absolutamente en reposo, mientrasque de los dems sistemas galileanos K diramos que son mviles. Si la va fuese elsistemaK0,pongamos por caso, entonces nuestro vagn de ferrocarril sera un sistema

K respecto al cual regiran leyes menos sencillas que respecto a K0. Esta menor simpli-cidad habra que atribuirla a que el vagn K se mueve respecto a K0 (es decir,realmente). En estas leyes generales de la naturaleza formuladas respecto a K ten-dran que desempear un papel el mdulo y la direccin de la velocidad del vagn.Sera de esperar, por ejemplo, que el tono de un tubo de rgano fuese distintocuando su eje fuese paralelo a la direccin de marcha que cuando estuviese

perpendicular. Ahora bien, la Tierra, debido a su movimiento orbital alrededor delSol, es equiparable a un vagn que viajara a unos 30 km por segundo. Por

consiguiente, caso de no ser vlido el principio de relatividad, sera de esperar que ladireccin instantnea del movimiento terrestre interviniera en las leyes de lanaturaleza y que, por lo tanto, el comportamiento de los sistemas fsicos dependiera desu orientacin espacial respecto a la Tierra; porque, como la velocidad del movimientode rotacin terrestre vara de direccin en el transcurso del ao, la Tierra no puedeestar todo el ao en reposo respecto al hipottico sistema K0. Pese al esmero que se ha

puesto en detectar una tal anisotropa del espacio fsico terrestre, es decir, una noequivalencia de las distintas direcciones, jams ha podido ser observada. Lo cual es unargumento de peso a favor del principio de la relatividad.

6. El teorema de adicin de velocidades segn la Mecnica clsicaSupongamos que nuestro tan trado y llevado vagn de ferrocarril viaja con

velocidad constante v por la lnea, e imaginemos que por su interior camina unhombre en la direccin de marcha con velocidad w. Con qu velocidad W avanza elhombre respecto a la va al caminar? La nica respuesta posible parece desprendersede la siguiente consideracin:Si el hombre se quedara parado durante un segundo, avanzara, respecto a la va, untrecho v igual a la velocidad del vagn. Pero en ese segundo recorre adems, respectoal vagn, y por tanto tambin respecto a la va, un trecho w igual a la velocidad conque camina. Por consiguiente, en ese segundo avanza en total el trecho

W = v+ w

respecto a la va. Ms adelante veremos que este razonamiento, que expresa el teoremade adicin de velocidades segn la Mecnica clsica, es insostenible y que la ley queacabamos de escribir no es vlida en realidad. Pero entre tanto edificaremos sobre suvalidez.


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7. La aparente incompatibilidad de la ley de propagacin de la luz conel principio de la relatividad

Apenas hay en la fsica una ley ms sencilla que la de propagacin de la luz en elespacio vaco. Cualquier escolar sabe (o cree saber) que esta propagacin se produce

en lnea recta con una velocidad de c = 300.000 km/s. En cualquier caso, sabemoscon gran exactitud que esta velocidad es la misma para todos los colores, porque si nofuera as, el mnimo de emisin en el eclipse de una estrella fija por su compaeraoscura no se observara simultneamente para los diversos colores. A travs de unrazonamiento similar, relativo a observaciones de las estrellas dobles, el astrnomoholands De Sitter consigui tambin demostrar que la velocidad de propagacin de laluz no puede depender de la velocidad del movimiento del cuerpo emisor. La hiptesisde que esta velocidad de propagacin depende de la direccin en el espacio es desuyo improbable.Supongamos, en resumen, que el escolar cree justificadamente en la sencilla ley de laconstancia de la velocidad de la luz c (en el vaco). Quin dira que esta ley tan simpleha sumido a los fsicos ms concienzudos en grandsimas dificultades conceptuales? Los

problemas surgen del modo siguiente.Como es natural, el proceso de la propagacin de la luz, como cualquier otro, hay quereferirlo a un cuerpo de referencia rgido (sistema de coordenadas). Volvemos a elegircomo tal las vas del tren e imaginamos que el aire que haba por encima de ellas lohemos eliminado por bombeo. Supongamos que a lo largo del terrapln se emite unrayo de luz cuyo vrtice, segn lo anterior, se propaga con la velocidad c respecto aaqul. Nuestro vagn de ferrocarril sigue viajando con la velocidad v, en la mismadireccin en que se propaga el rayo de luz, pero naturalmente mucho ms despacio.Lo que nos interesa averiguar es la velocidad de propagacin del rayo de luz respectoal vagn. Es fcil ver que el razonamiento del epgrafe anterior tiene aqu aplicacin,

pues el hombre que corre con respecto al vagn desempea el papel del rayo de luz.

En lugar de su velocidad W respecto al terrapln aparece aqu la velocidad de la luzrespecto a ste; la velocidad w que buscamos, la de la luz respecto al vagn, es portanto igual a:

w = c v

As pues, la velocidad de propagacin del rayo de luz respecto al vagn resulta sermenor que c.Ahora bien, este resultado atenta contra el principio de la relatividad expuesto en 5,

porque, segn este principio, la ley de propagacin de la luz en el vaco, comocualquier otra ley general de la naturaleza, debera ser la misma si tomamos el vagncomo cuerpo de referencia que si elegimos las vas, lo cual parece imposible segnnuestro razonamiento. Si cualquier rayo de luz se propaga respecto al terrapln con lavelocidad c, la ley de propagacin respecto al vagn parece que tiene que ser, por esomismo, otra distinta... en contradiccin con el principio de relatividad.

A la vista del dilema parece ineludible abandonar, o bien el principio de relatividad,o bien la sencilla ley de la propagacin de la luz en el vaco. El lector que haya seguidoatentamente las consideraciones anteriores esperar seguramente que sea el principiode relatividad que por su naturalidad y sencillez se impone a la mente como algo casiineludible el que se mantenga en pie, sustituyendo en cambio la ley de la propagacinde la luz en el vaco por una ley ms complicada y compatible con el principio derelatividad. Sin embargo, la evolucin de la fsica terica demostr que este camino

era impracticable. Las innovadoras investigaciones tericas de H. A. Lorentz sobre losprocesos electrodinmicos y pticos en cuerpos mviles demostraron que las


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experiencias en estos campos conducen con necesidad imperiosa a una teora de losprocesos electromagnticos que tiene como consecuencia irrefutable la ley de laconstancia de la luz en el vaco. Por eso, los tericos de vanguardia se inclinaron ms

bien por prescindir del principio de relatividad, pese a no poder hallar ni un solo hechoexperimental que lo contradijera.

Aqu es donde entr la teora de la relatividad. Mediante un anlisis de losconceptos de espacio y tiempo se vio que en realidad no exista ninguna incompatibili-dad entre el principio de la relatividad y la ley de propagacin de la luz, sino que,atenindose uno sistemticamente a estas dos leyes, se llegaba a una teora lgicamenteimpecable. Esta teora, que para diferenciarla de su ampliacin (comentada msadelante) llamamos teora de la relatividad especial, es la que expondremos acontinuacin en sus ideas fundamentales.

8. Sobre el concepto de tiempo en la Fsica

Un rayo ha cado en dos lugares muy distantes A y B de la va. Yo aado laafirmacin de que ambos impactos han ocurrido simultneamente. Si ahora te

pregunto, querido lector, si esta afirmacin tiene o no sentido, me contestars con uns contundente. Pero si luego te importuno con el ruego de que me expliques conms precisin ese sentido, advertirs tras cierta reflexin que la respuesta no estan sencilla como parece a primera vista.Al cabo de algn tiempo quiz te acuda a la mente la siguiente respuesta: Elsignificado de la afirmacin es claro de por s y no necesita de ninguna aclaracin; sinembargo, tendra que reflexionar un poco si se me exige determinar, medianteobservaciones, si en un caso concreto los dos sucesos son o no simultneos. Perocon esta respuesta no puedo darme por satisfecho, por la siguiente razn.Suponiendo que un experto meteorlogo hubiese hallado, mediante agudsimosrazonamientos, que el rayo tiene que caer siempre simultneamente en los lugaresA y

B, se planteara el problema de comprobar si ese resultado terico se corresponde ono con la realidad. Algo anlogo ocurre en todas las proposiciones fsicas en las queinterviene el concepto de simultneo. Para el fsico no existe el concepto mientrasno se brinde la posibilidad de averiguar en un caso concreto si es verdadero o no.Hace falta, por tanto, una definicin de simultaneidad que proporcione el mtodo

para decidir experimental-mente en el caso pres ente si los dos rayos hancado simultneamente o no. Mientras no se cumpla es te requ isit o, me es tarentregando como fsico (y tambin como no fsico!) a la ilusin de creer que

puedo dar sentido a esa afirmacin de la simultaneidad. (No sigas leyendo,querido lector, hasta concederme esto plenamente convencido.)

Tras algn tiempo de reflexin haces la siguiente propuesta para constatar la

simultaneidad. Se mide el segmento de unin AB a lo largo de la va y se coloca ensu punto medio Ma un observador provisto de un dispositivo (dos espejos formando90 entre s, por ejemplo) que le permite la visualizacin ptica simultnea de amboslugares A y B. Si el observador percibe los dos rayos simultneamente, entonces esque son simultneos.

Aunque la propuesta me satisface mucho, sigo pensando que la cuestin no quedaaclarada del todo, pues me siento empujado a hacer la siguiente objecin: Tudefinicin sera necesariamente correcta si yo supiese ya que la luz que la

percepcin de los rayos transmite al observador en M se propaga con la mismavelocidad en el segmento que en el segmento Sin embargo, la comprobacin de este supuesto slo sera posible si se dispusiera ya

de los medios para la medicin de tiempos. Parece, pues, que nos movemos en uncrculo lgico.


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Despus de reflexionar otra vez, me lanzas con toda razn una mirada algodespectiva y me dices: A pesar de todo, mantengo mi definicin anterior, porque enrealidad no presupone nada sobre la luz. A la definicin de simultaneidad solamentehay que imponerle una condicin, y es que en cualquier caso real permita tomar unadecisin emprica acerca de la pertinencia o no pertinencia del concepto a definir. Que

mi definicin cubre este objetivo es innegable. Que la luz tarda el mismo tiempo enrecorrer el camino que el no es en realidad ningn supuesto previo nihiptesis sobre la naturaleza fsica de la luz, sino una estipulacin que puedo hacer adiscrecin para llegar a una definicin de simultaneidad.Est claro que esta definicin se puede utilizar para dar sentido exacto al enunciadode simultaneidad, no slo de dos sucesos, sino de un nmero arbitrario de ellos, seacual fuere su posicin con respecto al cuerpo de referencia6. Con ello se llega tambin auna definicin del tiempo en la Fsica. Imaginemos, en efecto, que en los puntos A,

B, C de la va (sistema de coordenadas) existen relojes de idntica constitucin y dis-puestos de tal manera que las posiciones de las manillas sean simultneamente (en elsentido anterior) las mismas. Se entiende entonces por tiempo de un suceso la hora(posicin de las manillas) marcada por aquel de esos relojes que est inmediatamentecontiguo (espacialmente) al suceso. De este modo se le asigna a cada suceso un valortemporal que es esencialmente observable.

Esta definicin entraa otra hiptesis fsica de cuya validez, en ausencia de razonesempricas en contra, no se podr dudar. En efecto, se supone que todos los relojesmarchan igual de rpido si tienen la misma constitucin. Formulndolo exactamente:si dos relojes colocados en reposo en distintos lugares del cuerpo de referencia son

puestos en hora de tal manera que la posicin de las manillas del uno seasimultnea (en elsentido anterior) a la mismaposicin de las manillas del otro, entonces posiciones igualesde las manillas son en general simultneas (en el sentido de la definicin anterior).

9. La relatividad de la simultaneidad

Hasta ahora hemos referido nuestros razonamientos a un determinado cuerpo dereferencia que hemos llamado terrapln o vas. Supongamos que por los carrilesviaja un tren muy largo, con velocidad constante v y en la direccin sealada en la Fig.1. Las personas que viajan en este tren hallarn ventajoso utilizar el tren como cuerpode referencia rgido (sistema de coordenadas) y referirn todos los sucesos al tren.Todo suceso que se produce a lo largo de la va, se produce tambin en un puntodeterminado del tren. Incluso la definicin de simultaneidad se puede darexactamente igual con respecto al tren que respecto a las vas. Sin embargo, se

plantea ahora la siguiente cuestin:

Dos sucesos (p. ej., los dos rayos A y B) que son simultneos respecto al terrapln,son tambin simultneos respecto al tren? En seguida demostraremos que la respuestatiene que ser negativa.

6Suponemos adems que cuando ocurren tres fenmenos A,B. C en lugares distintos y A es simultneo aB yB simultneo a C (en el sentido de la definicin anterior), entonces se cumple tambin el criterio de

simul taneidad para la pareja de sucesos A-C. Este supuesto es una hiptesis fsica sobre la ley depropagacin de la luz; tiene que cumplirse necesariamente para poder mantener en pie la ley de la constanciade la velocidad de la luz en el vaco.


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Cuando decimos que los rayos A y B son simultneos respecto a las vas, queremosdecir: los rayos de luz que salen de los lugares A y B se renen en el punto medioM del tramo de vaA-B. Ahora bien, los sucesos A y B se corresponden tambin conlugares A y B en el tren. Sea M' el punto medio del segmento A-B del tren enmarcha. Este punto M' es cierto que en el instante de la cada de los rayos7coincide

con el punto M, pero, como se indica en la figura, se mueve hacia la derecha con lavelocidad v del tren. Un observador que estuviera sentado en el tren en M', pero que noposeyera esta velocidad, permanecera constantemente en M, y los rayos de luz queparten de las chispas A y B lo alcanzaran simultneamente, es decir, estos dos rayosde luz se reuniran precisamente en l. La realidad es, sin embargo, que (juzgando lasituacin desde el terrapln) este observador va al encuentro del rayo de luz queviene de B, huyendo en cambio del que avanza desde A. Por consiguiente, ver antesla luz que sale de B que la que sale de A. En resumidas cuentas, los observadoresque utilizan el tren como cuerpo de referencia tienen que llegar a la conclusin deque la chispa elctrica B ha cado antes que la A. Llegamos as a un resultadoimportante:

Sucesos que son simultneos respecto al terrapln no lo son respecto al tren, yviceversa (relatividad de la simultaneidad). Cada cuerpo de referencia (sistema decoordenadas) tiene su tiempo especial; una localizacin temporal tiene slo sentidocuando se indica el cuerpo de referencia al que remite.

Antes de la teora de la relatividad, la Fsica supona siempre implcitamente que elsignificado de los datos temporales era absoluto, es decir, independiente del estado demovimiento del cuerpo de referencia. Pero acabamos de ver que este supuesto esincompatible con la definicin natural de simultaneidad; si prescindimos de l,desaparece el conflicto, expuesto en 7, entre la ley de la propagacin de la luz y el

principio de la relatividad.En efecto, el conflicto proviene del razonamiento del epgrafe 6, que ahora resultainsostenible. Inferimos all que el hombre que camina por el vagn y recorre el trechow en un segundo, recorre ese mismo trecho tambin en un segundo respecto a las vas.Ahora bien, toda vez que, en virtud de las reflexiones 'anteriores, el tiempo quenecesita un proceso con respecto al vagn no cabe igualarlo a la duracin del mismo

proceso juzgada desde el cuerpo de referencia del terrapln, tampoco se puedeafirmar que el hombre, al caminar respecto a las vas, recorra el trecho w en untiempo que juzgado desde el terrapln es igual a un segundo. Digamos de pasoque el razonamiento de 6 descansa adems en un segundo supuesto que, a la luz deuna reflexin rigurosa, se revela arbitrario, lo cual no quita para que, antes deestablecerse la teora de la relatividad, fuese aceptado siempre (de modo implcito).

10. Sobre la relatividad del concepto de distancia espacial

Observamos dos lugares concretos del tren8 que viaja con velocidad v por lalnea y nos preguntamos qu distancia hay entre ellos. Sabemos ya que para mediruna distancia se necesita un cuerpo de referencia respecto al cual hacerlo. Lo ms

7Desde el punto de vista del terrapln!

8El centro de los vagones primero y centsimo, por ejemplo.


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sencillo es utilizar el propio tren como cuerpo de referencia (sistema de coordenadas).Un observador que viaja en el tren mide la distancia, transportando en lnea recta unaregla sobre el suelo de los vagones, por ejemplo, hasta llegar desde uno de los puntosmarcados al otro. El nmero que indica cuntas veces transport la regla es entonces ladistancia buscada.

Otra cosa es si se quiere medir la distancia desde la va. Aqu se ofrece el mtodosiguiente. Sean A' y B' los dos puntos del tren de cuya distancia se trata; estosdos puntos se mueven con velocidad v a lo largo de la va. Preguntmonos primero

por los puntos A y B de la va por donde pasan A' y B' en un momento determinadot(juzgado desde la va). En virtud de la definicin de tiempo dada en 8, estos puntosA y B de la va son determinables. A continuacin se mide la distancia entre A y Btransportando repetidamente el metro a lo largo de la va.

A priori no est dicho que esta segunda medicin tenga que proporcionar el mismoresultado que la primera. La longitud del tren, medida desde la va, puede ser distintaque medida desde el propio tren. Esta circunstancia se traduce en una segundaobjecin que oponer al razonamiento, aparentemente tan meridiano, de 6. Pues si el

hombre en el vagn recorre en una unidad de tiempo el trecho w medido desde el tren,este trecho, medido desde la va, no tiene por qu ser igual a w.

11. La transformacin de Lorentz

Las consideraciones hechas en los tres ltimos epgrafes nos muestran que la aparenteincompatibilidad de la ley de propagacin de la luz con el principio de relatividad en7 est deducida a travs de un razonamiento que tomaba a prstamo de la Mecnicaclsica dos hiptesis injustificadas; estas hiptesis son:

1. El intervalo temporal entre dos sucesos es independiente del estado demovimiento del cuerpo de referencia.2. El intervalo espacial entre dos puntos de un cuerpo rgido es

independiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia.

Si eliminamos estas dos hiptesis, desaparece el dilema de 7, porque el teorema deadicin de velocidades deducido en 6 pierde su validez. Ante nosotros surge la

posibilidad de que la ley de la propagacin de la luz en el vaco sea compatible con elprincipio de relatividad. Llegamos as a la pregunta: cmo hay que modificar elrazonamiento de 6 para eliminar la aparente contradiccin entre estos dos resultadosfundamentales de la experiencia? Esta cuestin conduce a otra de ndole general. En

el razonamiento de 6 aparecen lugares y tiempos con relacin al tren y con relacin alas vas. Cmo se hallan el lugar y el tiempo de un suceso con relacin al tren cuandose conocen el lugar y el tiempo del suceso con respecto a las vas? Esta preguntatiene alguna respuesta de acuerdo con la cual la ley de la propagacin en el vaco nocontradiga al principio de relatividad? O expresado de otro modo: cabe hallar algunarelacin entre las posiciones y tiempos de los distintos sucesos con relacin a amboscuerpos de referencia, de manera que todo rayo de luz tenga la velocidad de

propagacin c respecto a las vasy respecto al tren? Esta pregunta conduce a una res-puesta muy determinada y afirmativa, a una ley de transformacin muy precisa para lasmagnitudes espacio-temporales de un suceso al pasar de un cuerpo de referencia aotro.

Antes de entrar en ello, intercalemos la siguiente consideracin. Hasta ahorasolamente hemos hablado de sucesos que se producan a lo largo de la va, la cualdesempeaba la funcin matemtica de una recta. Pero, siguiendo lo indicado en el


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epgrafe 2, cabe imaginar que este cuerpo de referencia se prolonga hacia los lados yhacia arriba por medio de un andamiaje de varillas, de manera que cualquier suceso,ocurra donde ocurra, puede localizarse respecto a ese andamiaje. Anlogamente, es

posible imaginar que el tren que viaja con velocidad v se prolonga por todo elespacio, de manera que cualquier suceso, por lejano que est, tambin pueda

localizarse respecto al segundo andamio. Sin incurrir en defecto terico, podemosprescindir del hecho de que en realidad esos andamios se destrozaran uno contra elotro debido a la impenetrabilidad de los cuerpos slidos. En cada uno de estosandamios imaginamos que se erigen tres paredes mutuamente perpendiculares quedenominamos planos coordenados (sistema de coordenadas). Al terrapln lecorresponde entonces un sistema de coordenadas K, y al tren otro K'. Cualquiersuceso, dondequiera que ocurra, viene fijado espacialmente respecto a Kpor las tres

perpendiculares x, y, z a los planos coordenados, y temporalmente por un valor t.Ese mismo suceso viene fijado espacio-temporalmente respecto a K' por valorescorrespondientes x', y', z', t', que, como es natural, no coinciden con x, y, z, t. Yaexplicamos antes con detalle cmo interpretar estas magnitudes como resultados de

mediciones fsicas.Es evidente que el problema que tenemos planteado se puede formular exactamentede la manera siguiente: Dadas las cantidades x, y, z, t de un suceso respecto a K,cules son los valores x',y',z',t' del mismo suceso respecto a K' ? Las relaciones hayque elegirlas de tal modo que satisfagan la ley de propagacin de la luz en el vaco

para uno y el mismo rayo de luz (y adems para cualquier rayo de luz) respecto aK yK'. Para la orientacin espacial relativa indicada en el dibujo de la figura 2, elproblema queda resuelto por las ecuaciones:

Este sistema de ecuaciones se designa con el nombre de transformacin deLorentz9.

9En el Apndice se da una derivacin sencilla de la transformacin de Lorentz


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Ahora bien, si en lugar de la ley de propagacin de la luz hubisemos tomado comobase los supuestos implcitos en la vieja mecnica, relativos al carcter absoluto de lostiempos y las longitudes, en vez de las anteriores ecuaciones de transformacinhabramos obtenido estas otras:

x' = x vt

y' = y

z ' = z

t ' = t ,

sistema que a menudo se denomina transformacin de Galileo. La transformacin deGalileo se obtiene de la de Lorentz igualando en sta la velocidad de la luz c a unvalor infinitamente grande.

El siguiente ejemplo muestra claramente que, segn la transformacin de Lorentz,la ley de propagacin de la luz en el vaco se cumple tanto respecto al cuerpo dereferenciaK como respecto al cuerpo de referencia K'. Supongamos que se enva unaseal luminosa a lo largo del ejexpositivo, propagndose la excitacin luminosa segnla ecuacin

x = ct,

es decir, con velocidad c. De acuerdo con las ecuaciones de la transformacin deLorentz, esta sencilla relacin entrex y t determina una relacin entrex' y t'. En efecto,sustituyendo x por el valor ct en las ecuaciones primera y cuarta de la transformacinde Lorentz obtenemos:


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de donde, por divisin, resulta inmediatamente

x' = ct'.

La propagacin de la luz, referida al sistema K', se produce segn esta ecuacin.Se comprueba, por tanto, que la velocidad de propagacin es tambin igual a crespecto al cuerpo de referencia K'; y anlogamente para rayos de luz que se

propaguen en cualquier otra direccin. Lo cual, naturalmente, no es de extraar,porque las ecuaciones de la transformacin de Lorentz estn derivadas con estecriterio.

12. El comportamiento de reglas y relojes mviles

Coloco una regla de un metro sobre el eje x' de K', de manera que un extremocoincida con el punto x' = 0 y el otro con el puntox' = 1. Cul es la longitud de laregla respecto al sistema K? Para averiguarlo podemos determinar las posiciones deambos extremos respecto aK en un momento determinado t. De la primera ecuacinde la transformacin de Lorentz, para t = 0, se obtiene para estos dos puntos:

estos dos puntos distan entre s


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Ahora bien, el metro se mueve respecto aK con la velocidad v, de donde sededuce que la longi tud de una regla rgida de un metro que se mueve con veloc idadv en el sentido de su longitud es de

metros. La regla rgida en movimiento esms corta que la misma regla cuando est en estado de reposo, y es

tanto ms corta cuando ms rpidamente se mueva. Para la velocidad v = csera

para velocidades an mayores la raz se hara imaginaria. De aquinferimos que en la teora de la relatividad la velocidad c desempeael papel de una velocidad lmite que no puede alcanzar ni sobrepasar

ningn cuerpo real.Aadamos que este papel de la velocidad c como velocidad lmite se sigue de las

propias ecuaciones de la transformacin de Lorentz, porque stas pierden todo sentidocuando v se elige mayor que c.

Si hubisemos procedido a la inversa, considerando un metro que se halla en reposorespecto aK sobre el eje x, habramos comprobado que en relacin a K' tiene lalongitud de

lo cual est totalmente de acuerdo con el principio de la relatividad, en el cual hemos

basado nuestras consideraciones.A priori es evidente que las ecuaciones de transformacin tienen algo que decirsobre el comportamiento fsico de reglas y relojes, porque las cantidades x, y, z, t no sonotra cosa que resultados de medidas obtenidas con relojes y reglas. Si hubisemostomado como base la transformacin de Galileo, no habramos obtenido unacortamiento de longitudes como consecuencia del movimiento.

Imaginemos ahora un reloj con segundero que reposa constantemente en el origen (x'= 0) deK'. Sean t' = 0 y t' = 1 dos seales sucesivas de este reloj. Para estos dos tics,las ecuaciones primera y cuarta de la transformacin de Lorentz darn:

t = 0 y


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Juzgado desde K, el reloj se mueve con la velocidad v; respecto a este cuerpode referencia, entre dos de sus seales transcurre, no un segundo, sino

segundos, o sea un tiempo algo mayor.Como consecuencia de su movimiento, el reloj marcha algo ms despacio que en estadode reposo. La velocidad de la luz c desempea, tambin aqu, el papel de unavelocidad lmite inalcanzable.

13. Teorema de adicin de velocidades. Experimento de Fizeau

Dado que las velocidades con que en la prctica podemos mover relojes y reglas sonpequeas frente a la velocidad de la luz c, es difcil que podamos comparar losresultados del epgrafe anterior con la realidad. Y puesto que, por otro lado, esosresultados le parecern al lector harto singulares, voy a extraer de la teora otraconsecuencia que es muy fcil de deducir de lo anteriormente expuesto y que losexperimentos confirman brillantemente.

En el 6 hemos deducido el teorema de adicin para velocidades de la mismadireccin, tal y como resulta de las hiptesis de la Mecnica clsica. Lo mismo se

puede deducir fcilmente de la transformacin de Galileo (11). En lugar del hombreque camina por el vagn introducimos un punto que se mueve respecto al sistema decoordenadasK' segn la ecuacin

x' =wt .

Mediante las ecuaciones primera y cuarta de la transformacin de Galileo se puedenexpresarx y t en funcin de x y t, obteniendo

x = (v + w) t.

Esta ecuacin no expresa otra cosa que la ley de movimiento del punto respecto alsistemaK (del hombre respecto al terrapln), velocidad que designamos por W, conlo cual se obtiene, como en 6:


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Pero este razonamiento lo podemos efectuar igual de bien basndonos en la teora dela relatividad. Lo que hay que hacer entonces es expresar x' y t' en la ecuacin

x' = wt'

en funcin dexy t, utilizando las ecuaciones primera y cuarta de la transformacin deLorentz. En lugar de la ecuacin (A) se obtiene entonces esta otra:

que corresponde al teorema de adicin de velocidades de igual direccin segn la teorade la relatividad. La cuestin es cul de estos dos teoremas resiste el cotejo con laexperiencia. Sobre el particular nos instruye un experimento extremadamenteimportante, realizado hace ms de medio siglo por el genial fsico Fizeau y desdeentonces repetido por algunos de los mejores fsicos experimentales, por lo cual elresultado es irrebatible. El experimento versa sobre la siguiente cuestin. Supongamosque la luz se propaga en un cierto lquido en reposo con una determinada velocidad w.Con qu velocidad se propaga en el tuboR de la figura

en la direccin de la flecha, cuando dentro de ese tubo fluye el lquido con velocidadv?

En cualquier caso, fieles al principio de relatividad, tendremos que sentar el supuestode que, respecto al lquido, la propagacin de la luz se produce siempre con lamisma velocidad w, muvase o no el lquido respecto a otros cuerpos. Son conocidas,

por tanto, la velocidad de la luz respecto al lquido y la velocidad de ste respecto altubo, y se busca la velocidad de la luz respecto al tubo.

Est claro que el problema vuelve a ser el mismo que el de 6. El tubodesempea el papel de las vas o del sistema de coordenadasK; el lquido, el

papel del vagn o del sistema de coordenadasK'; la luz, el del hombre quecamina por el vagn o el del punto mvil mencionado en este apartado. As

pues, si llamamos W a la velocidad de la luz respecto al tubo, sta vendr dadapor la ecuacin (A) o por la (B), segn que sea la transformacin de Galileo ola de Lorentz la que se corresponde con la realidad.


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El experimento10 falla a favor de la ecuacin (B) deducida de la teora de larelatividad, y adems con gran exactitud. Segn las ltimas y excelentes mediciones deZeeman, la influencia de la velocidad de la corriente v sobre la propagacin de la luzviene representada por la frmula (B) con una exactitud superior al 1 por 100.

Hay que destacar, sin embargo, que H. A. Lorentz, mucho antes de establecerse la

teora de la relatividad, dio ya una teora de este fenmeno por va puramenteelectrodinmica y utilizando determinadas hiptesis sobre la estructuraelectromagntica de la materia. Pero esta circunstancia no merma para nada el poder

probatorio del experimento, en tanto que experimentum crucis a favor de la teora de larelatividad. Pues la Electrodinmica de Maxwell-Lorentz, sobre la cual descansaba lateora original, no est para nada en contradiccin con la teora de la relatividad. Estaltima ha emanado ms bien de la Electrodinmica como resumen y generalizacinasombrosamente sencillos de las hiptesis, antes mutuamente independientes, que ser-van de fundamento a la Electrodinmica.

14. El valor heurstico de la teora de la relatividad

La cadena de ideas que hemos expuesto hasta aqu se puede resumir brevementecomo sigue. La experiencia ha llevado a la conviccin de que, por un lado, el principiode la relatividad (en sentido restringido) es vlido, y por otro, que la velocidad de

propagacin de la luz en el vaco es igual a una constante c. Uniendo estos dospostulados result la ley de transformacin para las coordenadas rectangularesx, y, z yel tiempo t de los sucesos que componen los fenmenos naturales, obtenindose, no latransformacin de Galileo, sino (en discrepancia con la Mecnica clsica) latransformacin de Lorentz.

En este razonamiento desempe un papel importante la ley de propagacin de laluz, cuya aceptacin viene justificada por nuestro conocimiento actual. Ahora bien,una vez en posesin de la transformacin de Lorentz, podemos unir sta con el

principio de relatividad y resumir la teora en el enunciado siguiente:Toda ley general de la naturaleza tiene que estar constituida de tal modo que se

transforme en otra ley de idntica estructura al introducir, en lugar de las variablesespacio-temporales x, y, z, t del sistema de coordenadas original K, nuevas variablesespacio-temporales x', y', z', t' de otro sistema de coordenadas K', donde la relacinmatemtica entre las cantidades con prima y sin prima viene dada por latransformacin de Lorentz. Formulado brevemente: las leyes generales de la naturalezason covariantes respecto a la transformacin de Lorentz.Esta es una condicin matemtica muy determinada que la teora de la relatividad

prescribe a las leyes naturales, con lo cual se convierte en valioso auxiliar heurstico en

la bsqueda de leyes generales de la naturaleza. Si se encontrara una ley general dela naturaleza que no cumpliera esa condicin, quedara refutado por lo menos uno delos dos supuestos fundamentales de la teora. Veamos ahora lo que esta ltima hamostrado en cuanto a resultados generales.

10Fizeau hall W = w + v (1- 1/n2) , donde n = c/w es el ndice de refraccin del lquido. Por otrolado, debido a que vw/c2 es muy pequeo frente a 1, se puede sustituir (B) por W = (w+v)(1- vw/2), obien, con la misma aproximacin, w+v (1- 1/n2), lo cual concuerda con el resultado de Fizeau.


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15. Resultados generales de la teora

De las consideraciones anteriores se echa de ver que la teora de la relatividad(especial) ha nacido de la Electrodinmica y de la ptica. En estos campos no hamodificado mucho los enunciados de la teora, pero ha simplificado notablemente el

edificio terico, es decir, la derivacin de las leyes, y, lo que es incomparablementems importante, ha reducido mucho el nmero de hiptesis independientes sobre lasque descansa la teora. A la teora de Maxwell-Lorentz le ha conferido un grado tal deevidencia, que aqulla se habra impuesto con carcter general entre los fsicosaunque los experimentos hubiesen hablado menos convincentemente a su favor.

La Mecnica clsica precisaba de una modificacin antes de poder armonizar con elrequisito de la teora de la relatividad especial. Pero esta modificacin afectanicamente, en esencia, a las leyes para movimientos rpidos en los que lasvelocidades v de la materia no sean demasiado pequeas frente a la de la luz. Movi-mientos tan rpidos slo nos los muestra la experiencia en electrones e iones; en otrosmovimientos las discrepancias respecto a las leyes de la Mecnica clsica sondemasiado pequeas para ser detectables en la prctica. Del movimiento de los astrosno hablaremos hasta llegar a la teora de la relatividad general. Segn la teora de larelatividad, la energa cintica de un punto material de masa m no viene dado ya por laconocida expresin

sino por la expresin

Esta expresin se hace infinita cuando la velocidad v se aproxima a la velocidad de laluz c. As pues, por grande que sea la energa invertida en la aceleracin, la velocidadtiene que permanecer siempre inferior a c. Si se desarrolla en serie la expresin de laenerga cintica, se obtiene:


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El tercer trmino es siempre pequeo frente al segundo (el nico considerado enla Mecnica clsica) cuando

es pequeo comparado con 1.El primer trmino mc2no depende de la velocidad, por lo cual no entra

en consideracin al tratar el problema de cmo la energa de un punto material

depende de la velocidad. Sobre su importancia terica hablaremos ms adelante. Elresultado ms importante de ndole general al que ha conducido la teora de larelatividad especial concierne al concepto de masa. La fsica prerrelativista conoce dos

principios de conservacin de importancia fundamental, el de la conservacin de laenerga y el de la conservacin de la masa; estos dos principios fundamentales aparecencompletamente independientes uno de otro. La teora de la relatividad los funde enuno solo. A continuacin explicaremos brevemente cmo se lleg hasta ah y cmohay que interpretar esta fusin.

El principio de relatividad exige que el postulado de conservacin de la energa secumpla, no slo respecto a un sistema de coordenadas K, sino respecto a cualquiersistema de coordenadas K' que se encuentre con relacin a K en movimiento de

traslacin uniforme (dicho brevemente, respecto a cualquier sistema de coordenadasde Galileo). En contraposicin a la Mecnica clsica, el paso entre dos de esossistemas viene regido por la transformacin de Lorentz.

A partir de estas premisas, y en conjuncin con las ecuaciones fundamentales de laelectrodinmica maxwelliana, se puede inferir rigurosamente, medianteconsideraciones relativamente sencillas, que: un cuerpo que se mueve con velocidad vy que absorbe la energa E0 en forma de radiacin

11 sin variar por eso su velocidad,experimenta un aumento de energa en la cantidad:

Teniendo en cuenta la expresin que dimos antes para la energa cintica, la energa delcuerpo vendr dada por:

11E0es la energa absorbida respecto a un sistema de coordenadas que se mueve con el cuerpo.


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El cuerpo tiene entonces la misma energa que otro de velocidad vy masa

Cabe por tanto decir: si un cuerpo absorbe la energaE0, su masa inercial crece en

la masa inercial de un cuerpo no es una constante, sino variable segn la modificacinde su energa. La masa inercial de un sistema de cuerpos cabe contemplarla precisamentecomo una medida de su energa. El postulado de la conservacin de la masa de un sistemacoincide con el de la conservacin de la energa y slo es vlido en la medida en que elsistema no absorbe ni emite energa. Si escribimos la expresin de la energa en laforma


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se ve que el trmino mc2, que ya nos llam la atencin con anterioridad, no es otra cosa quela energa que posea el cuerpo12antes de absorber la energaE0.

El cotejo directo de este postulado con la experiencia queda por ahora excluido,porque las variaciones de energa E0 que podemos comunicar a un sistema no sonsuficientemente grandes para hacerse notar en forma de una alteracin de la masa

inercial del sistema.

es demasiado pequeo en comparacin con la masa m que exista antes de lavariacin de energa. A esta circunstancia se debe el que se pudiera establecer conxito un principio de conservacin de la masa de validez independiente.

Una ltima observacin de naturaleza terica. El xito de la interpretacin deFaraday-Maxwell de la accin electrodinmica a distancia a travs de procesosintermedios con velocidad de propagacin finita hizo que entre los fsicos arraigara laconviccin de que no existan acciones a distancia instantneas e inmediatas del tipo dela ley de gravitacin de Newton. Segn la teora de la relatividad, en lugar de la accininstantnea a distancia, o accin a distancia con velocidad de propagacin infinita,aparece siempre la accin a distancia con la velocidad de la luz, lo cual tiene que vercon el papel terico que desempea la velocidad c en esta teora. En la segunda partese mostrar cmo se modifica este resultado en la teora de la relatividad general.

16. La teora de la relatividad especial y la experienciaLa pregunta de hasta qu punto se ve apoyada la teora de la relatividad especial porla experiencia no es fcil de responder, por un motivo que ya mencionamos al hablardel experimento fundamental de Fizeau. La teora de la relatividad especial cristaliz a

partir de la teora de Maxwell-Lorentz de los fenmenos electromagnticos, por lo cualtodos los hechos experimentales que apoyan esa teora electromagntica apoyantambin la teora de la relatividad. Mencionar aqu, por ser de especial importancia,que la teora de la relatividad permite derivar, de manera extremadamente simple yen consonancia con la experiencia, aquellas influencias que experimenta la luz de lasestrellas fijas debido al movimiento relativo de la Tierra respecto a ellas. Se trata deldesplazamiento anual de la posicin aparente de las estrellas fijas como

consecuencia del movimiento terrestre alrededor del Sol (aberracin) y el influjo queejerce la componente radial de los movimientos relativos de las estrellas fijas respectoa la Tierra sobre el color de la luz que llega hasta nosotros; este influjo se manifiestaen un pequeo corrimiento de las rayas espectrales de la luz que nos llega desde unaestrella fija, respecto a la posicin espectral de las mismas rayas espectrales obtenidascon una fuente luminosa terrestre (principio de Doppler). Los argumentosexperimentales a favor de la teora de Maxwell-Lorentz, que al mismo tiempo son ar-gumentos a favor de la teora de la relatividad, son demasiado copiosos como paraexponerlos aqu. De hecho, restringen hasta tal punto las posibilidades tericas, que

12Respecto a un sistema de coordenadas solidario con el cuerpo.


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ninguna otra teora distinta de la de Maxwell-Lorentz se ha podido imponer frente a laexperiencia.

Sin embargo, hay dos clases de hechos experimentales constatados hasta ahora que lateora de Maxwell-Lorentz slo puede acomodar a base de recurrir a una hiptesisauxiliar que de suyo es decir, sin utilizar la teora de la relatividadparece extraa.

Es sabido que los rayos catdicos y los as llamados rayos (3 emitidos por sustanciasradiactivas constan de corpsculos elctricos negativos (electrones) de pequesimainercia y gran velocidad. Investigando la desviacin de estas radiaciones bajo lainfluencia de campos elctricos y magnticos se puede estudiar muy exactamente la leydel movimiento de estos corpsculos.En el tratamiento terico de estos electrones hay que luchar con la dificultad de que laElectrodinmica por s sola no es capaz de explicar su naturaleza. Pues dado que lasmasas elctricas de igual signo se repelen, las masas elctricas negativas queconstituyen el electrn deberan separarse unas de otras bajo la influencia de suinteraccin si no fuese por la accin de otras fuerzas cuya naturaleza nos resulta todavaoscura13. Si suponemos ahora que las distancias relativas de las masas elctricas que

constituyen el electrn permanecen constantes al moverse ste (unin rgida en elsentido de la Mecnica clsica), llegamos a una ley del movimiento del electrn que noconcuerda con la experiencia. H. A. Lorentz, guiado por consideraciones puramenteformales, fue el primero en introducir la hiptesis de que el cuerpo del electrnexperimenta, en virtud del movimiento, una contraccin proporcional a la expresin

en la direccin del movimiento.

Esta hiptesis, que electrodinmicamente no se justifica en modo alguno,proporciona esa ley del movimiento que se ha visto confirmada con gran precisinpor la experiencia en los ltimos aos.

La teora de la relatividad suministra la misma ley del movimiento sin necesidad desentar hiptesis especiales sobre la estructura y el comportamiento del electrn. Algoanlogo ocurra, como hemos visto en 13, con el experimento de Fizeau, cuyoresultado lo explicaba la teora de la relatividad sin tener que hacer hiptesis sobre lanaturaleza fsica del fluido.

La segunda clase de hechos que hemos sealado se refiere a la cuestin de si elmovimiento terrestre en el espacio se puede detectar o no en experimentos efectuadosen la Tierra. Ya indicamos en 5 que todos los intentos realizados en este sentidodieron resultado negativo. Con anterioridad a la teora relativista, la ciencia no podaexplicar fcilmente este resultado negativo, pues la situacin era la siguiente. Losviejos prejuicios sobre el espacio y el tiempo no permitan ninguna duda acerca deque la transformacin de Galileo era la que rega el paso de un cuerpo de referencia aotro. Suponiendo entonces que las ecuaciones de Maxwell-Lorentz sean vlidas paraun cuerpo de referenciaK, resulta que no valen para otro cuerpo de referencia K' quese mueva uniformemente respecto aK si se acepta que entre las coordenadas de K y

K' rigen las relaciones de la transformacin de Galileo. Esto parece indicar que deentre todos los sistemas de coordenadas de Galileo se destaca fsicamente uno (K) que

posee un determinado estado de movimiento. Fsicamente se interpretaba esteresultado diciendo que K est en reposo respecto a un hipottico ter luminfero,mientras que todos los sistemas de coordenadas K' en movimiento respecto a K

13La teora de la relatividad general propone la idea de que las masas elctricas de un electrn semantienen unidas por fuerzas gravitacionales.


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estaran tambin en movimiento respecto al ter. A este movimiento de K' respecto alter (viento del ter en relacin a K') se le atribuan las complicadas leyes quesupuestamente valan respecto aK'. Para ser consecuentes, haba que postular tambinun viento del ter semejante con relacin a la Tierra, y los fsicos pusieron durantemucho tiempo todo su empeo en probar su existencia.

Michelson hall con este propsito un camino que pareca infalible. Imaginemos dosespejos montados sobre un cuerpo rgido, con las caras reflectantes mirndose defrente. Si todo este sistema se halla en reposo respecto al ter luminfero, cualquierrayo de luz necesita un tiempo muy determinado T para ir de un espejo al otro yvolver. Por el contrario, el tiempo (calculado) para ese proceso es algo diferente (T )cuando el cuerpo, junto con los espejos, se mueve respecto al ter. Es ms! Losclculos predicen que, para una determinada velocidad v respecto al ter, ese tiempoT es distinto cuando el cuerpo se mueve perpendicularmente al plano de los espejosque cuando lo hace paralelamente. Aun siendo nfima la diferencia calculada entreestos dos intervalos temporales, Michelson y Morley realizaron un experimento deinterferencias en el que esa discrepancia tendra que haberse puesto claramente de

manifiesto. El resultado del experimento fue, no obstante, negativo, para gran des-concierto de los fsicos. Lorentz y FitzGerarld sacaron a la teora de este desconcierto,suponiendo que el movimiento del cuerpo respecto al ter determinaba unacontraccin de aqul en la direccin del movimiento y que dicha contraccincompensaba justamente esa diferencia de tiempos. La comparacin con las considera-ciones de 12 demuestra que esta solucin era tambin la correcta desde el punto devista de la teora de la relatividad. Pero la interpretacin de la situacin segn estaltima es incomparablemente ms satisfactoria. De acuerdo con ella, no existe ningnsistema de coordenadas privilegiado que d pie a introducir la idea del ter, nitampoco ningn viento del ter ni experimento alguno que lo ponga de manifiesto. Lacontraccin de los cuerpos en movimiento se sigue aqu, sin hiptesis especiales, de

los dos principios bsicos de la teora; y lo decisivo para esta contraccin no es elmovimiento en s, al que no podemos atribuir ningn sentido, sino el movimientorespecto al cuerpo de referencia elegido en cada caso. As pues, el cuerpo que sostienelos espejos en el experimento de Michelson y Morley no se acorta respecto a unsistema de referencia solidario con la Tierra, pero s respecto a un sistema que se halleen reposo en relacin al Sol.

17. El espacio cuadridimensional de MinkowskiEl no matemtico se siente sobrecogido por un escalofro mstico al or la palabracuadridimensional, una sensacin no dismil de la provocada por el fantasma deuna comedia. Y, sin embargo, no hay enunciado ms banal que el que afirma quenuestro mundo cotidiano es un continuo espacio-temporal cuadridimensional.

El espacio es un continuo tridimensional. Quiere decir esto que es posibledescribir la posicin de un punto (en reposo) mediante tres nmeros x, y, z (coor-denadas) y que, dado cualquier punto, existen puntos arbitrariamente prximos cuya

posicin se puede describir mediante valores coordenados (coordenadas) x 1, y 1, z1que se aproximan arbitrariamente a las coordenadas x, y, z del primero. Debido a estaltima propiedad hablamos de un continuo; debido al carcter triple de lascoordenadas, de tridimensional.

Anlogamente ocurre con el universo del acontecer fsico, con lo que Minkowskillamara brevemente mundo o universo, que es naturalmente cuadridimensionalen el sentido espacio-temporal. Pues ese universo se compone de sucesos individuales,

cada uno de los cuales puede describirse mediante cuatro nmeros, a saber, trescoordenadas espaciales x, y, z y una coordenada temporal, el valor del tiempo t. El


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universo es en este sentido tambin un continuo, pues para cada suceso existenotros (reales o imaginables) arbitrariamente prximos cuyas coordenadasx 1 , y 1 ,z1

, t1se diferencian arbitrariamente poco de las del suceso contempladox, y, z, t. El queno estemos acostumbrados a concebir el mundo en este sentido como un continuocuadridimensional se debe a que el tiempo desempe en la fsica prerrelativista un

papel distinto, ms independiente, frente a las coordenadas espaciales, por lo cual noshemos habituado a tratar el tiempo como un continuo independiente. De hecho, enla fsica clsica el tiempo es absoluto, es decir, independiente de la posiciny del estadode movimiento del sistema de referencia, lo cual queda patente en la ltima ecuacinde la transformacin de Galileo (t' = t). La teora de la relatividad sirve en bandejala visin cuadridimensional del mundo, pues segn esta teora el tiempo esdespojado de su independencia, tal y como muestra la cuarta ecuacin de latransformacin de Lorentz:

En efecto, segn esta ecuacin la diferencia temporal tde dos sucesos respecto aKno se anula en general, aunque la diferencia temporal tde aquellos respecto aK seanula. Una distancia puramente espacial entre dos sucesos con relacin aK tiene comoconsecuencia una distancia temporal de aqullos con respecto aK'. La importancia del

descubrimiento de Minkowski para el desarrollo formal de la teora de la relatividad noreside tampoco aqu, sino en el reconocimiento de que el continuo cuadridimensionalde la teora de la relatividad muestra en sus principales propiedades formales elmximo parentesco con el continuo tridimensional del espacio geomtrico eucldeo14.Sin embargo, para hacer resaltar del todo este parentesco es preciso sustituir lascoordenadas temporales usuales tpor la cantidad imaginaria

proporcional a ellas. Las leyes de la naturaleza que satisfacen los requisitos de la

teora de la relatividad (especial) toman entonces formas matemticas en las que lacoordenada temporal desempea exactamente el mismo papel que las trescoordenadas espaciales. Estas cuatro coordenadas se corresponden exactamente, desdeel punto de vista formal, con las tres coordenadas espaciales de la geometra eucldea.Incluso al no matemtico le saltar a la vista que, gracias a este hallazgo puramenteformal, la teora tuvo que ganar una dosis extraordinaria de claridad.

Tan someras indicaciones no dan al lector sino una nocin muy vaga de lasimportantes ideas de Minkowski, sin las cuales la teora de la relatividad general,desarrollada a continuacin en sus lneas fundamentales, se habra quedado quiz en

paales. Ahora bien, como para comprender las ideas fundamentales de la teora de larelatividad especial o general no es necesario entender con ms exactitud esta materia,

14 Cf. la exposicin algo ms detallada en el Apndice.


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sin duda de difcil acceso para el lector no ejercitado en la matemtica, lo dejaremosen este punto para volver sobre ello en las ltimas consideraciones de este librito.


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Segunda ParteSobre la teora de la relatividad general

18. Principios de la relatividad especial y general

La tesis fundamental alrededor de la cual giraban todas las consideraciones anterioresera el principio de la relatividad especial, es decir, el principio de la relatividad fsica detodo movimiento uniforme. Volvamos a analizar exactamente su contenido.

Que cualquier movimiento hay que entenderlo conceptualmente como unmovimiento meramente relativo es algo que siempre fue evidente. Volviendo al ejem-

plo, tantas veces frecuentado ya, del terrapln y el vagn de ferrocarril, el hecho delmovimiento que aqu tiene lugar cabe expresarlo con igual razn en cualquiera de lasdos formas siguientes:

a) el vagn se mueve respecto al terrapln,b) el terrapln se mueve respecto al vagn.

En el caso a) es el terrapln el que hace las veces de cuerpo de referencia; en el casob), el vagn. Cuando se trata simplemente de constatar o describir el movimiento es


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tericamente indiferente a qu cuerpo de referencia se refiera el movimiento. Lo cual

es, repetimos, evidente y no debemos confundirlo con la proposicin, mucho ms

pro fund a, que hemos ll ama do principio de relatividad y en la que hemos basado

nuestras consideraciones.El principio que nosotros hemos utilizado no se limita a sostener que para la

descripcin de cualquier suceso se puede elegir lo mismo el vagn que el terraplncomo cuerpo de referencia (porque tambin eso es evidente). Nuestro principio

afirma ms bien que: si se formulan las leyes generales de la naturaleza, tal y como

resultan de la experiencia, sirvindose

a) del terrapln como cuerpo de referencia,b) del vagn como cuerpo de referencia,

en ambos casos dichas leyes generales (p. ej., las leyes de la Mecnica o la ley de la

propagacin de la luz en el vaco) tienen exac tamente el mismo enunci ado. Dicho de

otra manera: en la descripcin f si ca de los procesos naturales no hay ningn cuerpo

de referencia K o K' que se distinga del otro. Este ltimo enunciado no tiene que

cumplirse necesariamente a priori, como ocurre con el primero; no est contenido enlos conceptos de movimiento y cuerpo de referencia, ni puede deducirse de ellos,

sino que su verdad o falsedad depende slo de la experiencia.Ahora bien, nosotros no hemos a firmado hasta ahora para nada la equivalencia de todos

los cuerpos de referencia K de cara a la formulacin de las leyes naturales. El camino

que hemos seguido ha sido ms bien el siguiente. Partimos inicialmente del supuesto

de que existe un cuerpo de referencia K con un estado de movimiento respecto al

cual se cumple el principio fundamental de Galileo: un punto material abandonado asu suerte y alejado lo suficiente de todos los dems se mueve uniformemente y en lnearecta. Referidas aK (cuerpo de referencia de Galileo), las leyes de la naturaleza debanser lo ms sencillas posible. Pero al margen de K, deberan ser privilegiados en estesentido y exactamente equivalentes a K de cara a la formulacin de las leyes de lanaturaleza todos aquellos cuerpos de referencia K' que ejecutan respecto a K unmovimiento rectilneo, uniforme e irrotacional: a todos estos cuerpos de referencia se losconsidera cuerpos de referencia de Galileo. La validez del principio de la relatividadsolamente la supusimos para estos cuerpos de referencia, no para otros (animados deotros movimientos). En este sentido hablamos del principio de la relatividad especial ode la teora de la relatividad especial.

En contraposicin a lo anterior entenderemos por principio de la relatividadgeneral el siguiente enunciado: todos los cuerpos de referencia K, K', etc., sea cualfuere su estado de movimiento, son equivalentes de cara a la descripcin de lanaturaleza (formulacin de las leyes naturales generales). Apresurmonos a sealar, sinembargo, que esta formulacin es preciso sustituirla por otra ms abstracta, por razones

que saldrn a la luz ms adelante.Una vez que la introduccin del principio de la relatividad especial ha salido airosa,tiene que ser tentador, para cualquier espritu que aspire a la generalizacin, el atreversea dar el paso que lleva al principio de la relatividad general. Pero basta una observacinmuy simple, en apariencia perfectamente verosmil, para que el intento parezca en

principio condenado al fracaso. Imagnese el lector instalado en ese famoso vagn detren que viaja con velocidad uniforme. Mientras el vagn mantenga su marchauniforme, los ocupantes no notarn para nada el movimiento del tren; lo cual explicaasimismo que el ocupante pueda interpretar la situacin en el sentido de que el vagnest en reposo y que lo que se mueve es el terrapln, sin sentir por ello que violentasu intuicin. Y segn el principio de la relatividad especial, esta interpretacin est

perfectamente justificada desde el punto de vista fsico.


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Ahora bien, si el movimiento del vagn se hace no uniforme porque el tren frenaviolentamente, pongamos por caso, el viajero experimentar un tirn igual de fuertehacia adelante. El movimiento acelerado del vagn se manifiesta en el comportamientomecnico de los cuerpos respecto a l; el comportamiento mecnico es distinto que enel caso antes considerado, y por eso parece estar excluido que con relacin al vagn en

movimiento no uniforme valgan las mismas leyes mecnicas que respecto al vagn enreposo o en movimiento uniforme. En cualquier caso, est claro que en relacin alvagn que se mueve no uniformemente no vale el principio fundamental de Galileo.De ah que en un primer momento nos sintamos impelidos a atribuir, en contra del

principio de la relatividad general, una especie de realidad fsica absoluta almovimiento no uniforme. En lo que sigue veremos, sin embargo, que esta inferenciano es correcta.

19. El campo gravitatorioA la pregunta de por qu cae al suelo una piedra levantada y soltada en el aire suele

contestarse porque es atrada por la Tierra. La fsica moderna formula la respuestade un modo algo distinto, por la siguiente razn. A travs de un estudio ms detenidode los fenmenos electromagnticos se ha llegado a la conclusin de que no existe unaaccin inmediata a distancia. Cuando un imn atrae un trozo de hierro, por ejemplo,no puede uno contentarse con la explicacin de que el imn acta directamente sobreel hierro a travs del espacio intermedio vaco; lo que se hace es, segn idea deFaraday, imaginar que el imn crea siempre en el espacio circundante algo fsicamentereal que se denomina campo magntico. Este campo magntico acta a su vez sobreel trozo de hierro, que tiende a moverse hacia el imn. No vamos a entrar aqu en la

justificacin de este concepto interviniente que en s es arbitrario. Sealemos tan sloque con su ayuda es posible explicar tericamente de modo mucho ms satisfactoriolos fenmenos electromagnticos, y en especial la propagacin de las ondaselectromagnticas. De manera anloga se interpreta tambin la accin de la gravedad.

La influencia de la Tierra sobre la piedra se produce indirectamente. La Tierracrea alrededor suyo un campo gravitatorio. Este campo acta sobre la piedra yocasiona su movimiento de cada. La intensidad de la accin sobre un cuerpo decreceal alejarse ms y ms de la Tierra, y decrece segn una ley determinada. Lo cual, ennuestra interpretacin, quiere decir que: la ley que rige las propiedades espaciales delcampo gravitatorio tiene que ser una ley muy determinada para representarcorrectamente la disminucin de la accin gravitatoria con la distancia al cuerpo queejerce la accin. Se supone, por ejemplo, que el cuerpo (la Tierra, pongamos por caso)genera directamente el campo .en su vecindad inmediata; la intensidad y direccin delcampo a distancias ms grandes vienen entonces determinadas por la ley que rige las

propiedades espaciales de los campos gravitatorios.El campo gravitatorio, al contrario que el campo elctrico y magntico, muestra una

propiedad sumamente peculiar que es de importancia fundamental para lo que sigue.Los cuerpos que se mueven bajo la accin exclusiva del campo gravitatorioexperimentan una aceleracin que no depende lo ms mnimo ni del material ni del estadofsico del cuerpo. Un trozo de plomo y un trozo de madera, por ejemplo, caenexactamente igual en el campo gravitatorio (en ausencia de aire) cuando losdejamos caer sin velocidad inicial o con velocidades iniciales iguales. Esta ley, que secumple con extremada exactitud, se puede formular tambin de otra manera sobre la

base de la siguiente consideracin.Segn la ley del movimiento de Newton se cumple

(fuerza) = (masa inercial) (aceleracin),


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donde la masa inercial es una constante caracterstica del cuerpo acelerado. Si lafuerza aceleradora es la de la gravedad, tenemos, por otro lado, que

Pues bien, si queremos que para un campo gravitatorio dado la aceleracin seasiempre la misma, independientemente de la naturaleza y del estado del cuerpo, tal ycomo demuestra la experiencia, la relacin entre la masa gravitatoria y la masainercial tiene que ser tambin igual para todos los cuerpos. Mediante adecuadaeleccin de las unidades puede hacerse que esta relacin valga 1, siendo entoncesvlido el teorema siguiente: la masagravitatoria y la masa inercial de un cuerpo soniguales.La antigua mecnica registr este importante principio, pero no lo interpret. Unainterpretacin satisfactoria no puede surgir sino reconociendo que la misma cualidaddel cuerpo se manifiesta como inercia o como gravedad, segn las circunstancias.

En los prrafos siguientes veremos hasta qu punto es ese el caso y qu relacinguarda esta cuestin con elpostulado de la relatividad general.

20. La igualdad entre masa inercialy masa gravitatoria como argumento a favor del postulado de la relatividad

general

Imaginemos un trozo amplio de espacio vaco, tan alejado de estrellas y de grandesmasas que podamos decir con suficiente exactitud que nos encontramos ante el caso

previsto en la ley fundamental de Galileo. Para esta parte del universo es entonces

posible elegir un cuerpo de referencia de Galileo con respecto al cual los puntos enreposo permanecen en reposo y los puntos en movimiento persisten constantemente enun movimiento uniforme y rectilneo. Como cuerpo de referencia nos imaginamos unespacioso cajn con la forma de una habitacin; y suponemos que en su interior sehalla un observador pertrechado de aparatos. Para l no existe, como es natural,ninguna gravedad. Tiene que sujetarse con cuerdas al piso, so pena de verse lanzadohacia el techo al mnimo golpe contra el suelo.

Supongamos que en el centro del techo del cajn, por fuera, hay un gancho conuna cuerda, y que un ser cuya naturaleza nos es indiferente empieza a tirar de ellacon fuerza constante. El cajn, junto con el observador, empezar a volar hacia arribacon movimiento uniformemente acelerado. Su velocidad adquirir con el tiempo cotas

fantsticas... siempre que juzguemos todo ello desde otro cuerpo de referencia delcual no se tire con una cuerda.Pero el hombre que est en el cajn cmo juzga el proceso? El suelo del cajn letransmite la aceleracin Por presin contra los pies. Por consiguiente, tiene quecontrarrestar esta presin con ayuda de sus piernas si no quiere medir el suelo con sucuerpo. As pues, estar de pie en el cajn igual que lo est una persona en unahabitacin de cualquier vivienda terrestre. Si suelta un cuerpo que antes sostena en lamano, la aceleracin del cajn dejar de actuar sobre aqul, por lo cual se aproximaral suelo en movimiento relativo acelerado. El observador se convencer tambin de quela aceleracin del cuerpo respecto al suelo es siempre igual de grande, independientemente del

cuerpo con que realice el experimento.Apoyndose en sus conocimientos del campo gravitatorio, tal y como los hemos

comentado en el ltimo epgrafe, el hombre llegar as a la conclusin de que se halla,junto con el cajn, en el seno de un campo gravitatorio bastante constante. Por un


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momento se sorprender, sin embargo, de que el cajn no caiga en este campogravitatorio, mas luego descubre el gancho en el centro del techo y la cuerda tensasujeta a l e infiere correctamente que el cajn cuelga en reposo en dicho campo.

Es lcito rerse del hombre y decir que su concepcin es un error? Opino que, siqueremos ser consecuentes, no podemos hacerlo, debiendo admitir por el contrario

que su explicacin no atenta ni contra la razn ni contra las leyes mecnicasconocidas. Aun cuando el cajn se halle acelerado respecto al espacio de Galileoconsiderado en primer lugar, cabe contemplarlo como inmvil. Tenemos, pues, buenasrazones para extender el principio de relatividad a cuerpos de referencia que estnacelerados unos respecto a otros, habiendo ganado as un potente argumento afavor de un postulado de relatividad generalizado.Tmese buena nota de que la posibilidad de esta interpretacin descansa en lapropiedad fundamental que posee el campo gravitatorio de comunicar a todos loscuerpos la misma aceleracin, o lo que viene a ser lo mismo, en el postulado de laigualdad entre masa inercial y masa gravitatoria. Si no existiera esta ley de la naturaleza,el hombre en el cajn acelerado no podra interpretar el comportamiento de loscuerpos circundantes a base de suponer la existencia de un campo gravitatorio, yninguna experiencia le autorizara a suponer que su cuerpo de referencia est enreposo.

Imaginemos ahora que el hombre del cajn ata una cuerda en la parte interior deltecho y fija un cuerpo en el extremo libre. El cuerpo har que la cuerda cuelgueverticalmente en estado tenso. Preguntmonos por la causa de la tensin. El hombreen el cajn dir: El cuerpo suspendido experimenta en el campo gravitatorio una fuerzahacia abajo y se mantiene en equilibrio debido a la tensin de la cuerda; lo quedetermina la magnitud de la tensin es la masagravitatoria del cuerpo suspendido.Por otro lado, un observador que flote libremente en el espacio juzgar la situacin as:La cuerda se ve obligada a participar del movimiento acelerado del cajn y lotransmite al cuerpo sujeto a ella. La tensin de la cuerda es justamente suficiente para

producir la aceleracin del cuerpo. Lo que determina la magnitud de la tensin en lacuerda es la masa inercial del

Einstein, Albert - Sobre La Teoria de La Relatividad Especial Y General

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