Efecto Hall. Facultad de Ciencias. Resumen. Se midi el voltaje Hall para una punta de arseniuro de indio cubierta por una capa de epoxi. Obtuvimos un

1 ! 5.19 x1010 ne valor , adems comprobamos el momento dipolar magntico de un imn artificial y 10 encontramos un valor de Q ! 1.9 X 10 A / m . RH !

Introduccin. -Descripcin del efecto Hall. Cuando se mueven cargas elctricas en un alambre conductor que est dentro de un campo magntico, la fuerza de Lorentz empuja a estas cargas a un lado del alambre. Esto es el resultado de una separacin de la carga en el conductor y se denomina Efecto Hall. Este fenmeno sirve para determinar el signo de la carga y el nmero de cargas por unidad de volumen en un conductor.

El efecto Hall tambin nos da un mtodo muy conveniente para medir campos magnticos. En la figura 1 se muestra un alambre conductor que lleva una corriente campo magntico que se dirige hacia el papel. hacia la derecha y se encuentra un

En la parte a) las cargas son positivas y van hacia la derecha, la fuerza magntica de estas partculas es y est dirigida hacia arriba, por lo que las cargas positivas se movern hacia el borde superior del alambre, dejando al borde inferior con un exceso de carga negativa. Esta separacin de la carga produce un campo elctrico en el alambre que se opone a la fuerza magntica que acta sobre las cargas. Cuando las fuerzas elctrica y magntica alcanzan el equilibrio, las cargas dejarn de separarse. Puesto que el campo elctrico apunta en la direccin de un potencial decreciente, la parte superior del alambre est a un potencial mayor que la parte inferior. Esta diferencia de potencial se puede medir con un voltmetro suficientemente sensible. En la parte b), la corriente consta de partculas cargadas negativas, por lo que la corriente de cargas en el alambre se mover a la izquierda. La fuerza de nuevo va hacia arriba, pues los signos de y se han invertido. De nuevo, estas cargas son forzadas a ir hacia la parte superior del alambre, pero ahora esta parte del alambre tiene una carga negativa, y la parte inferior tiene una carga positiva. Pronto se alcanza el equilibrio y el voltaje llega a su mximo; la fuerza magntica lateral se equilibra entonces por la fuerza elctrica lateral, es decir, la fuerza de Lorentz en los portadores de carga es cero en tales circunstancias.

Figura 1. Diagrama de portadores de carga en un material conductor.

Medir el signo de la diferencia de potencial entre la parte superior e inferior del alambre nos dice el signo de la corriente. A esta diferencia de potencial entre los dos extremos del conductor se le llama Voltaje Hall y se puede calcular usando , o dicho de otro modo Aqu es el campo debido a la separacin de las cargas o campo Hall; intensidad del campo magntico. El voltaje Hall sirve para medir los campos magnticos utilizando es el ancho del alambre y es la

(1) En esta expresin es la carga del electrn y corresponde al grueso del alambre. Con esto, tenemos que la seccin transversal del alambre est dada por (2)

Adems, anterior

es el nmero de cargas por unidad de volumen y est dado por

o de acuerdo con lo

(4) Un alambre puede ser calibrado para medir el voltaje Hall para una corriente dada sometida a un campo magntico dado. La condicin para llegar a un estado estacionario es simplemente el balance de las dos fuerzas que aparecen y que provienen de la ley de Lorentz (5) Como la velocidad de los portadores de carga y el campo magntico estn acomodados de manera que forman un ngulo recto entonces podemos considerar a la fuerza de Lorentz como (6)

Vamos a suponer que los portadores de carga tienen la misma velocidad en todo el conductor, entonces el campo elctrico necesario para balancear la fuerza en el conductor ser el mismo y el estado estacionario se alcanzar cuando el campo elctrico sea uniforme en todo el conductor. Habiendo llegado a este equilibrio nos ser sencillo encontrar la diferencia de potencial entre los extremos del conductor, este se obtiene simplemente conociendo la intensidad del campo elctrico y la distancia entre los extremos del conductor, es decir (7) O dicho de otro modo (8) Slo nos queda por considerar la geometra del conductor para llegar a una expresin general que describa al efecto Hall. Supongamos que el conductor tiene un seccin transversal de lados Figura 2 y , como se muestra en la

Figura 2. Diagrama de conductor con una corriente circulante y su seccin transversal.

Sabemos que la intensidad de corriente est dada por

(8) Donde es la densidad de corriente y depende de un nmero de electrones movindose a una velocidad promedio por unidad de volumen. Ya habamos dicho que el campo elctrico que balanceaba la fuerza de Lorentz se generaba a partir de una concentracin mayor de electrones en alguna zona del conductor. De modo que coordenadas dentro del conductor. Para poder encontrar est determinada por sus . debemos conocer la forma funcional explcita de

En vez de esto, recurriremos a suponer que sea constante dentro del conductor. En realidad la concentracin de electrones en uno o en otro extremo del conductor depende slo de un pequeo nmero de electrones de diferencia, al hacer esta consideracin tambin es constante, entonces (9)

Pero como

, entonces

(10) Sustituyendo esto ltimo en la ecuacin (8) tenemos que

, y finalmente

(11) En general el nmero est dado por

(12) Donde es la densidad del material, es el nmero de Avogadro y es la masa atmica del material.

La constante Hall se define como

(13) Entonces al sustituir en la ecuacin la expresin (13) en la (11) tenemos que

(12) Despejando de (12) tenemos

(13) es mejor conocida como constante Hall. Tenemos que

(14) A partir de la medicin del voltaje Hall en los bordes del conductor de espesor es posible encontrar y con fija para variando

(15) Para algn material dado. -Momento dipolar magntico de un imn de barra con seccin transversal circular. La ley de Biot-Savart muestra claramente que las cargas elctricas en movimiento son fuentes de campo magntico, sin embargo en el caso de los imanes, dicha ley no puede asegurar que el campo magntico que generan estos ltimos se originen de pequeas corrientes elctricas en su interior.

Cada tomo posee un momento dipolar magntico debido al movimiento de sus electrones alrededor de ncleo, y adicionalmente los electrones, tienen un momento dipolar Intrnseco llamado spin. El spin es un efecto cuntico-relativista que no tiene anlogo en la fsica clsica. Por lo que en este el campo magntico generado por un imn natural o artificial es consecuencia del efecto colectivo de los momentos dipolares magnticos de los tomos de los cuales est formada dicha sustancia. Consideremos que

Esto se puede ver como

Esta expresin nos sirve para calcular el momento dipolar magntico de un imn de barra con seccin transversal circular. Una medicin directa del campo magntico en el punto P sobre el eje X, estar verificada tambin por esta. Si las dimensiones del imn son menores que la distancia X podemos despreciar los trminos de segundo orden y nos queda solamente

Desarrollo experimental. Para nuestro primer experimento usamos un electroimn alimentado por una fuente, dentro de sus polos colocamos tanto una punta Hall como un gaussmetro. Para registrar la corriente utilizamos un multmetro conectado a la fuente y al electroimn mientras que otro estaba conectado a la caja de control de voltaje. Esta caja se encargaba de alimentar a la punta Hall. La Figura 1 muestra un esquema del montaje experimental.

Figura 1. Diagrama del montaje para el primer experimento.

En este primer experimento variamos el campo magntico mientras mantuvimos fija la corriente en la punta Hall, de este modo pudimos observar el cambio del voltaje con respecto al del campo. Tambin vimos lo que sucedi al mantener fijo el campo magntico mientras variamos la corriente en la punta Hall y observamos la variacin del voltaje. En el primer caso partimos con una corriente en la punta Hall de 79.6 mA, mientras variamos el campo magntico en intervalos de unos 10 gauss unas 13 veces, para as obtener otras tantas medidas del voltaje.

En el segundo caso fijamos el campo magntico a una intensidad de 19.9 gauss, variamos la corriente en la punta Hall a intervalos de unos 10 mA y obtuvimos 13 mediciones del voltaje. Nuestra punta Hall est hecha a base de una pelcula de arseniuro de indio de 15 m, y esta cubierta por una capa de resina epoxi. El segundo experimento consisti en fijar un imn artificial en una superficie. Con ayuda de un gaussmetro registramos la intensidad del campo magntico que emanaba del imn con respecto a la distancia. Es decir variamos la distancia del sensor del gaussmetro con respecto al imn y graficamos esta relacin. Resultados. Para el primer caso, se presenta la tabla 1, con los resultados obtenidos experimentalmente.

Campo (gauss) 2.8 12.8 22.8 32.6 42.6 52.7 62.7 72.9 82.6 92.7 102.8 112.8 122.7 129.8Tabla 1. Datos obtenidos para el primer caso de nuestra experimento.

Voltaje (mV) 55.9 55.3 54.5 53.9 53.2 52.5 51.8 51.2 50.6 50 49.3 48.8 48.2 47.8

Grfica 1. Voltaje Hall Vs. Campo magntico, fijando la corriente a 79.6mA.

Para este caso, tenemos los siguientes datos: B ! 67.52Gauss I ! 79.6mA VH ! 51.64 s 0.5mV a ! 15 x10 6 m De la expresin (), despejamos n:

I eaVH Sustiyendo los valores, n ! 4.33x10281/ cm n!Por ltimo podemos calcular la constante de Hall mediate la expresin (11), a partir del valor calculado para n.

En la tabla 2 se presentan los datos obtenidos al dejar el campo magnetico fijo en 19.9 Gauss y variar la corriente aproximadamente cada 10mA. La grafica de Voltaje Hall respecto a la corriente se presenta en la grfica 2.

Tabla 2. Datos obtenidos para el voltaje de Hall fijando el campo magntico a 19.9 Gauss.

RH !

1 ! 1.44 x10 10 e

Corriente (mA) 9.6 19.6 29.6 39.6 49.6 59.6 69.8 79.6 89.6 99.4 109.9 119.6 125.3

Voltaje (mV) 6.5 13.3 20.1 27 33.9 40.8 47.9 54.7 61.7 68.6 76 83.1 87.1

Grfica 2. Voltaje Hall Vs. Corriente, fijando el campo magntico a 19.9 Gauss.

Para este caso, tenemos los siguientes datos: B ! 19.9Gauss I ! 69.29mA VH ! 47.75 s 0.05mV a ! 15 x10 6 m Sustiyendo los valores en (14), n ! 1.20 x10281 / cm

Por ltimo podemos calcular la constante de Hall mediate la expresin (11), a partir del valor calculado para n. RH ! 1 ! 5.19 x1010 ne

Para el experimento 2 se realizaron 4 pruebas, se muestran los datos obtenidos en la tabla 3. La distancia se midi a partir del eje z del campo magntico.En la grfica 3 se presentan los resultados de

las 4 pruebas realizadas.Distancia ( s 0.05 cm) 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1 7.4 9.5 12 16 21 31 46 67 111 184 400 2 6.9 8.8 11 14 20 28.4 41 60 100 169 342 Campo (gauss) 3 7.4 9.4 12 16 22 31 48 72 130 240 430 4 7.7 10 13.2 18 24 34 51 87 142 270 470

Tabla 3. Datos obtenidos para probar que la magnitud de un campo magntico cae dependiendo de la distancia.

Grfica 3. Grfica obtenida para la tabla 3.

Haciendo una regresin lineal, se muestra la grfica 4.

Grfica 4. Valores de las pendientes para cada caso, haciendo una regresin lineal.

De lo anterior tenemos una pendiente de m = 3938.26 Por la ecuacin 3, tenemos: 3938.26 x 2T Vs m 2 ! 1.9 x1010 A / m Vs Am

Q!

m . 2T ! Q0 1.26 x10 6

Entonces, Q ! 1.9 X 1010 A / m

Conclusiones. El efecto Hall es una herramienta sencilla para medir el campo magntico de algn material conductor sometido a una corriente. Vemos que resulta ms preciso el resultado al variar el campo magntico que al

variar la corriente sin embargo los resultados son igualmente interesantes. En el segundo experimento vimos que el campo magntico que emana de un imn decae con respecto a la distancia. Refrencias. 1. Charles Kittel Introduccin a la Fsica del Estado Slido Reverte 1981. John P. McKelvey Solid state and Semiconductor Physics Harper International 1966. Halliday-Resnick Physics for Students of Science and Engineering Parte 2 Wiley Toppan

2.

3. 1962. 4. Adrian C. Melissinos Experiments in Modern Physics Academic Press 1966.