Řešené příklady ze stavební...
Transcript of Řešené příklady ze stavební...
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta stavební
Řešené příklady ze stavební fyziky
Šíření tepla konstrukcí, tepelná bilance prostoru a vlhkostní bilance
vzduchu v ustáleném stavu
doc. Dr. Ing. Zbyněk Svoboda
Ing. Jiří Novák, Ph.D.
Praha 2014
Evropský sociální fond
Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Obsah
1 Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu ................................................. 3
1.1 Základní teorie ............................................................................................................. 3
1.1.1 Šíření tepla vedením ............................................................................................................ 3
1.1.2 Šíření tepla prouděním ........................................................................................................ 4
1.1.3 Šíření tepla sáláním ............................................................................................................. 5
1.1.4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles ............................................................................... 7
1.1.5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze ................................................................................. 9
1.1.6 Sluneční záření .................................................................................................................... 9
1.1.7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách ............................................................ 10
1.1.8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla ................. 11
1.1.9 Vliv tepelných mostů ......................................................................................................... 13
1.1.10 Teplo procházející konstrukcí ....................................................................................... 13
1.1.11 Rozložení teploty v konstrukci ...................................................................................... 13
1.1.12 Elektrická analogie ........................................................................................................ 15
1.2 Základní modelové příklady ...................................................................................... 20
1.3 Komplexní modelové příklady .................................................................................. 27
1.3.1 Obvodová stěna 1 .............................................................................................................. 27
1.3.2 Obvodová stěna 2 .............................................................................................................. 32
1.3.3 Obvodová stěna 3 .............................................................................................................. 36
1.3.4 Obvodová stěna 4 .............................................................................................................. 41
2 Tepelná bilance prostoru v ustáleném stavu ........................................... 49
2.1 Základní teorie ........................................................................................................... 50
2.1.1 Měrný tepelný tok prostupem tepla ................................................................................... 50
2.1.2 Měrný tepelný tok větráním .............................................................................................. 51
2.1.3 Průměrný součinitel prostupu tepla budovy ...................................................................... 51
2.1.4 Tepelná bilance prostoru ................................................................................................... 52
2.1.5 Potřeba tepla na vytápění bez vlivu tepelných zisků ......................................................... 53
2.2 Modelové příklady .................................................................................................... 54
3 Vlhkostní bilance vzduchu v ustáleném stavu ......................................... 61
3.1 Základní teorie ........................................................................................................... 61
3.1.1 Vlastnosti vzduchu nasyceného vodní párou ..................................................................... 61
3.1.2 Vlastnosti běžně vlhkého vzduchu .................................................................................... 61
3.1.3 Vlhkostní bilance vzduchu v uzavřeném prostoru............................................................. 62
3.1.4 Teplota rosného bodu a povrchová kondenzace vodní páry .............................................. 62
3.2 Modelové příklady .................................................................................................... 63
Přílohy ................................................................................................................ 71
Příloha 1 – Emisivita vybraných materiálů a povrchových úprav (dlouhovlnné tepelné
záření) ................................................................................................................................... 71
Příloha 2 – Pohltivost slunečního záření pro vybrané materiály a povrchové úpravy ......... 72
1 Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu
1.1 Základní teorie
1.1.1 Šíření tepla vedením
Hustota tepelného toku vedením je obecně definována Fourierovým zákonem
zyxq zyxcd
,, [W/m
2] (1.1)
kde λ je součinitel tepelné vodivosti ve W/(m.K)
θ teplota ve ˚C.
Pro jednorozměrné šíření tepla vedením přechází rovnice (1.1) na tvar
dx
dqcd
[W/m
2] (1.2)
přičemž samotnou velikost hustoty tepelného toku lze vyjádřit vztahem
dqcd
[W/m
2] (1.3)
kde Δθ je rozdíl teplot na obou površích materiálu (Obr. 1-1) ve ˚C
d tloušťka materiálu ve směru tepelného toku v m.
Obr. 1-1: Tepelný tok materiálem s rozdílnými povrchovými teplotami
Časové a prostorové rozložení teploty je popsáno rovnicí vedení tepla v obecném tvaru
tcQ
zzyyxx
(1.4)
kde Q je velikost vnitřního zdroje tepla (produkce tepla v materiálu) ve W/m3
ρ objemová hmotnost materiálu v kg/m3
c měrná tepelná kapacita materiálu v J/(kg.K)
θ1
θ2
d
směr tepelného
toku pro
θ1 > θ2
t čas v s
x,y,z souřadnice bodu, v němž se určuje teplota θ v m.
Pro nejjednodušší jednorozměrné šíření tepla v ustáleném stavu přechází rovnice (1.4) na tvar
02
2
dx
d (1.5)
který lze vyřešit pro homogenní oblast analyticky a získat rovnici pro lineární průběh teploty
v materiálu
d
xx 211)(
[˚C] (1.6)
kde θj je teplota na j-tém povrchu homogenního materiálu (Obr. 1-2) ve ˚C
d celková tloušťka homogenního materiálu ve směru tepelného toku v m
x vzdálenost od povrchu s teplotou θ1 v m.
Obr. 1-2: Lineární průběh teploty v homogenním materiálu v ustáleném stavu
1.1.2 Šíření tepla prouděním
Pro analýzu šíření tepla stavební konstrukcí je významné především šíření tepla prouděním mezi po-
vrchem konstrukce a okolním vzduchem. Hustotu tepelného toku prouděním z povrchu konstrukce do
okolí lze určit vztahem
ascc hq [W/m2] (1.7)
kde hc je součinitel přestupu tepla prouděním ve W/(m2K)
θs teplota povrchu konstrukce ve ˚C
θa teplota okolního vzduchu ve ˚C.
Rozlišují se dva případy proudění vzduchu při povrchu konstrukce:
přirozené proudění
vynucené proudění
Přirozené proudění je vyvoláno rozdílem hustoty vzduchu v důsledku rozdílné teploty. Pokud je např.
teplota vzduchu nižší než teplota povrchu, bude se vzduch při povrchu ohřívat, jeho hustota bude kle-
sat a vzduch začne v tenké vrstvě při povrchu proudit směrem vzhůru. K přirozenému proudění do-
θ2
d x
θ1
θ
chází především na vnitřních površích konstrukcí. Součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním
povrchu hci se v technických výpočtech obvykle uvažuje hodnotami 2,5 W/(m2.K) pro vodorovný
tepelný tok; 5,0 W/(m2.K) pro tepelný tok nahoru a 0,7 W/(m
2.K) pro tepelný tok dolů. V případě
potřeby (např. pokud očekáváme neobvyklý rozdíl mezi teplotou povrchu a okolního vzduchu) mů-
žeme pro odhad součinitele přestupu tepla přirozeným prouděním na vnitřním povrchu konstrukcí
použít zjednodušený vztah:
1
42c a sh [W/(m2.K)] (1.8)
Obr. 1-3: Přestup tepla přirozeným prouděním. s je teplota povrchu konstrukce a je teplota vzduchu
Vynucené proudění není vyvoláno rozdílem teplot, ale např. větracím zařízením, větrem apod. Pro
výpočty ve stavební tepelné technice je důležité proudění větru na vnějším líci konstrukce. Součinitel
přestupu tepla pro vnější povrch konstrukce hce je možné vypočítat v závislosti na rychlosti větru tak-
to:
4 4ceh v [W/m2] (1.9)
kde v je rychlost větru v m/s.
Obvykle se uvažuje rychlost větru v = 4 m/s a součinitel přestupu tepla hce = 20 W/m2.K. K přiroze-
nému proudění na vnějším líci konstrukce by mohlo dojít při úplném bezvětří, takový předpoklad je
ovšem pro technickou praxi nereálný.
1.1.3 Šíření tepla sáláním
Hustota tepelného toku sáláním emitovaného (vyzářeného) povrchem tělesa se obecně stanoví ze Ste-
fanova-Boltzmannova zákona
4Tqr [W/m2] (1.10)
kde ε je emisivita povrchu tělesa
σ Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67.10-8
W/(m2K
4))
T absolutní (termodynamická) teplota povrchu tělesa v K.
Při dopadu na povrch tělesa může být část dopadajícího sálavého toku odražena, část pohlcena a část
může tělesem procházet (Obr. 1-4):
r ref a tq q q q [W/m2] (1.11)
kde qr je hustota tepelného toku sáláním dopadající na povrch tělesa ve W/m2
směr
tepelného
toku
směr
proudění
a < s s
směr
tepelného
toku
směr
proudění
a > s s
qref odražená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2
qa pohlcená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2
qt procházející složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2
Velikost jednotlivých složek závisí na pohltivosti, odrazivosti a propustnosti:
ref rq q [W/m2] (1.12)
a rq q [W/m2] (1.13)
t rq q [W/m2] (1.14)
kde je odrazivost (bezrozměrná)
pohltivost (bezrozměrná)
propustnost (bezrozměrná)
Ze vztahu (1.10) vyplývá, že pro odrazivost, pohltivost a propustnost vždy platí:
1 [W/m2] (1.15)
Obr. 1-4: Rozklad tepelného toku sáláním při dopadu na povrch tělesa
Emisivita, odrazivost a pohltivost jsou vlastnostmi povrchu tělesa, propustnost je vlastností materiálu.
Emisivita a odrazivost závisí na vlnové délce záření (sálání). Povrchy s vysokou teplotou emitují zá-
ření s krátkou vlnovou délkou, povrchy s nízkou teplotou emitují záření s delšími vlnovými délkami.
Ve stavební tepelné technice proto rozlišujeme:
krátkovlnné sluneční záření (Slunce má teplotu přibližně 5 800 K)
dlouhovlnné sálání, které emitují povrchy při běžných teplotách, které jsou o řád nižší než teplota
Slunce (okolo 300 K)
Pro dlouhovlnné sálání ve výpočtech stavební tepelné techniky platí:
emisivita povrchu je rovná jeho pohltivosti ( = )
emisivita (tedy i pohltivost) se pro většinu stavebních materiálů uvažuje 0,9 - výjimkou jsou např.
leštěné kovy bez povrchové úpravy, jejichž emisivita může být nižší než 0,1
stavební materiály nepropustné pro dlouhovlnné sálání ( = 0)
Pro krátkovlnné sluneční záření platí:
s emisivitou se nepracuje (jediným zdrojem slunečního záření je Slunce; intenzita slunečního
záření se měří, není potřeba ji počítat pomocí vztahu (1.10)
pohltivost slunečního záření a pohltivost (emisivita) při dlouhovlnném sálání se pro stejný povrch
často liší
pohltivost slunečního záření dobře koreluje s barvou povrchu (emisivita ne) - světlejší povrchy
mají menší pohltivost slunečního záření než tmavší
qr
qa = ·qr
qref = ·qr
qt = ·qr
povrch
materiál těleso
Při výpočtech tepelné výměny dlouhovlnným sáláním je potřeba důsledně dávat pozor na to, jaká
teplota se má dosadit do výpočetních vztahů – zda teplota v Celsiově stupnici (v této publikaci se zna-
čí a udává se ve °C) nebo tzv. absolutní (termodynamická) teplota (v této publikaci se značí a
udává se v K). Pro absolutní teplotu platí:
273,15T [K] (1.16)
1.1.4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles
V reálné situaci dochází ke vzájemnému sálání povrchů několika těles. Vzájemná sálavá výměna závi-
sí nejen na teplotě a emisivitě povrchu těles, ale také na jejich prostorovém uspořádání. Výpočet hus-
toty tepelného toku sáláním je v obecných případech komplikovaný. Pro výměnu tepla sáláním mezi
dvěma povrchy platí:
1,2 1 1 2( )rΦ A h T T [W] (1.17)
kde 1,2 je tepelný tok sáláním z povrchu 1 na povrch 2 ve W
A1 plocha povrchu 1 v m2
hr součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K)
Tj absolutní teplota j-tého povrchu v K.
Součinitel přestupu tepla sáláním mezi dvěma povrchy se vypočítá takto:
3
1,2
1 2 1
1 1,2 2 2
4
1 11r
Th
A
F A
[W/(m2.K)] (1.18)
kde 1,2T je střední absolutní teplota sálajících povrchů v K
εj emisivita j-tého povrchu
F1,2 poměr sálání z povrchu 1 na povrch 2
Aj plocha j-tého povrchu
Střední absolutní teplota sálajících povrchů se vypočítá takto:
1 21,2
2
T TT
[K] (1.19)
Poměr sálání F1,2 vyjadřuje, jaká část sálavého toku vyzářeného z plochy A1 (povrch 1) dopadá přímo
(bez odrazů) na plochu A2 (povrch 2). Poměr sálání je geometrická veličina, její hodnota může být
nanejvýše rovná 1. Závisí na velikosti, tvaru, vzdálenosti a úhlu, který svírají sálající povrchy. Výpo-
čet poměru sálání pro obecné případy je složitý, v literatuře je však možné nalézt vztahy pro typické
situace, které se v praxi často opakují. Např. pro rovinný povrch 1 na Obr. 1-5, který je zcela obklopen
povrchem 2, a dohromady s ním vytváří uzavřenou plochu, platí F1,2 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok
vyzářený povrchem 1 dopadá bez odrazu na povrch 2). Totéž platí pro dva rovnoběžné, rovinné po-
vrchy.
Výměna tepla sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy je zvláštním a důležitým případem. Tepel-
ný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se stanoví obecně jako
4
2
4
12,12,1 TTA [W] (1.20)
kde A je plocha povrchů v m2 (platí A = A1 = A2)
Tj teplota j-tého povrchu v K
ε1,2 emisivita vzájemného sálání obou povrchů, která se určí ze vztahu
111
1
21
2,1
[-] (1.21)
kde εj je emisivita j-tého povrchu.
Obr. 1-5: Zvláštní případy dvou povrchů, pro které je poměr sálání F1,2 = 1. Vlevo – dva povrchy, které tvoří
uzavřenou plochu. Vpravo – dva rovnoběžné povrchy.
V technické praxi se místo obecného vztahu (1.20) používá častěji upravený vztah
212,1 Ahr [W] (1.22)
kde hr je součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K)
θj teplota j-tého povrchu ve C.
Součinitel přestupu tepla sáláním hr lze obecně vyjádřit jako
21
4
2
4
12,1
TThr [W/(m
2.K)] (1.23)
ale obvykle se v technických výpočtech uvažuje zjednodušeně konstantní hodnotou 4,6 W/(m2.K),
která je použitelná pro povrchy s běžnou emisivitou 0,9.
Tepelný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se můžeme pochopitelně vypočítat také po-
mocí vztahů (1.17) a (1.18). Pro dva rovnoběžné povrchy platí:
1,2 1F [-] (1.24)
1 2A A A [m2] (1.25)
Když dosadíme (1.24) a (1.25) postupně do (1.18) a (1.17), dostáváme po úpravách:
3
1,21,2 1 2 1,2 1 2( ) 4rΦ A h T T A T T T [W] (1.26)
kde ε1,2 je emisivita vzájemného sálání obou povrchů podle (1.21)
1,2T střední absolutní teplota sálajících povrchů v K podle (1.19).
A1
A2
A1
A2
1.1.5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze
Při jasné, bezoblačné obloze mohou tělesa na zemském povrchu emitovat sálavý tepelný tok proti
vrchním vrstvám atmosféry. Jasnou oblohu si tedy můžeme představit jako fiktivní povrch s velmi
nízkou teplotou. Zdánlivou teplotu jasné oblohy sky je možné odhadnout v závislosti na teplotě ven-
kovního vzduchu a takto:
1,2 14sky a pro vodorovný povrch
[°C] (1.27)
1,1 5sky a pro svislý povrch
[°C] (1.28)
Při zatažené obloze se teplota oblohy uvažuje shodná s teplotou venkovního vzduchu (oblačnost brání
sálavé výměně mezi tělesy na zemském povrchu a vrchními vrstvami atmosféry):
sky a
[°C] (1.29)
1.1.6 Sluneční záření
Sluneční záření je rovněž formou sálavého tepelného toku. Hustotu tohoto sálavého toku budeme
v této publikaci nazývat intenzitou slunečního záření I [W/m2]. Sluneční záření se skládá z přímé a
difuzní složky. Intenzitu obou složek je možné změřit, jejich součet se nazývá celková (globální) in-
tenzita slunečního záření. V této publikaci se pracuje pouze s celkovou intenzitou slunečního záření
jako s okrajovou podmínkou převzatou např. z meteorologických záznamů.
Sluneční záření se po dopadu na povrch nepropustného tělesa částečně odrazí a zbývající část je na
povrchu tělesa pohlcena ve formě tepla ( = 0; stavební materiály kromě skla a průsvitných plastů).
Absorbované teplo se může dále šířit:
vedením uvnitř tělesa
prouděním a dlouhovlnným sáláním z povrchu tělesa do okolního prostředí
Po dopadu slunečního záření na vnější povrch tělesa z propustného materiálu (sklo, průsvitné plasty)
je část sálavého toku odražena, část propuštěna přímo a část pohlcena ve formě tepla. Absorbované
teplo se může dále šířit:
prouděním a dlouhovlnným sáláním z vnějšího povrchu tabule do venkovního prostředí
vedením od vnějšího povrchu tabule k vnitřnímu a z vnitřního povrchu dále prouděním a dlouho-
vlnným sáláním do vnitřního prostředí
Energie slunečního záření se tedy skrz skleněnou tabuli šíří (Obr. 1-6):
přímo, ve formě krátkovlnného sálání (propuštěné sluneční záření)
nepřímo, ve formě tepla předaného z vnitřního povrchu tabule
Obr. 1-6: Rozklad slunečního záření při prostupu propustným prvkem (např. skleněnou tabulí)
propustný prvek
sálavý tok
teplo
I [W/m2]
qa = ·qr
qref = ·qr
qt = ·qr
qai
qae
Poměr mezi intenzitou slunečního záření dopadajícího na vnější povrch tabule a hustotou tepelného
toku předanou přímo i nepřímo do vnitřního prostředí se nazývá celková propustnost slunečního záře-
ní g [-]:
t aiq qg
I
[-] (1.30)
kde g je celková propustnost slunečního záření
qt hustota tepelného toku sáláním (sluneční záření), které prostupuje přímo
qai hustota tepelného toku, prostupující nepřímo
I intenzita slunečního záření dopadající na vnější povrch
Stejným způsobem se definuje celková propustnost slunečního záření pro zasklívací jednotky (dvoj-
sklo, trojsklo), rozklad slunečního záření je složitější. Celková propustnost slunečního záření je závis-
lá na vlastnostech skla, jeho povrchu, úhlu dopadu slunečního záření a podmínkách, které ovlivňují
přestup tepla z vnitřního povrchu do vnitřního prostředí. Výrobci průsvitných prvků uvádějí hodnoty g
stanovené pro standardizované podmínky.
1.1.7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách
V nevětraných vzduchových dutinách se teplo šíří vedením, prouděním i sáláním. Celkovou hustotu
tepelného toku z jednoho povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu na druhý lze určit jako součet
dílčích hustot tepelných toků
rccd qqqq [W/m2] (1.31)
kde qcd je hustota tepelného toku vedením ve W/m2
qc hustota tepelného toku prouděním ve W/m2
qr hustota tepelného toku sáláním ve W/m2.
Jednotlivé hustoty tepelných toků jsou definovány jako
21
d
qcd [W/m2] (1.32)
1 2c cq h [W/m2] (1.33)
1 2r rq h [W/m2] (1.34)
takže celkovou hustotu tepelného toku nevětranou vzduchovou dutinou lze vyjádřit také vztahem
21
rc hh
dq [W/m
2] (1.35)
kde je součinitel tepelné vodivosti nehybného vzduchu (obvykle se uvažuje hodno-
tou 0,025 W/(mK))
d tloušťka vzduchové dutiny ve směru tepelného toku v m
θj teplota j-tého povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu ve C.
1.1.8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla
Prostup tepla konstrukcí standardně zahrnuje jednak šíření tepla vedením samotnou konstrukcí (resp.
šíření tepla vedením, sáláním a prouděním v nevětraných vzduchových dutinách v konstrukci) a jed-
nak dvojí přestup tepla mezi povrchem konstrukce a okolním vzduchem (Obr. 1-7).
Obr. 1-7: Průběh teploty v jednovrstvé konstrukci s vyznačením přestupu a vedení tepla
Na vnitřním i vnějším povrchu konstrukce dochází k přestupu tepla prouděním a sáláním. Pro vnitřní
povrch lze hustotu tepelného toku prouděním a sáláním vyjádřit jako
siisisi hq [W/m2] (1.36)
kde hsi je součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu konstrukce ve W/(m2.K)
i teplota vnitřního vzduchu ve C
si teplota vnitřního povrchu konstrukce ve C.
Pro hustotu tepelného toku na vnějším povrchu se použije analogický vztah
esesese hq [W/m2] (1.37)
kde hse je součinitel přestupu tepla na vnějším povrchu konstrukce ve W/(m2.K)
e teplota vnějšího vzduchu ve C
se teplota vnějšího povrchu konstrukce ve C.
Hustotu tepelného toku vedením uvnitř konstrukce lze vyjádřit vztahem
sesicdd
q
[W/m2] (1.38)
který platí v této formě pro jednovrstvou konstrukci. V ustáleném stavu je hustota tepelného toku ve
všech místech konstrukce (tedy i na jejím povrchu) shodná. Platí tedy
sesicd qqq [W/m2] (1.39)
i si
se e
přestup přestup vedení
d x
Do vztahu (1.38) lze proto dosadit vyjádření povrchových teplot ze vztahů (1.36) a (1.37) a získat
vyjádření hustoty tepelného toku konstrukcí ve tvaru
sesi
ei
h
d
h
q11
[W/m
2] (1.40)
Obrácené hodnoty součinitelů přestupu tepla se obvykle nahrazují tepelnými odpory při přestupu tepla
na vnitřním a na vnějším povrchu konstrukce:
si
sih
R1
[m2K/W] (1.41)
se
seh
R1
[m2K/W] (1.42)
a vztah (1.40) pak přechází do tvaru
sesi
ei
Rd
R
q
[W/m
2] (1.43)
Tepelné odpory při přestupu tepla Rsi a Rse se v technické praxi uvažují smluvními hodnotami.
Pro odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi se používají hodnoty 0,13 W/(m2.K) pro vodo-
rovný tepelný tok; 0,10 W/(m2.K) pro tepelný tok vzhůru a 0,17 W/(m
2.K) pro tepelný tok dolů. Pro
odpor při přestupu tepla na vnějším povrchu Rse se používají hodnoty 0,04 W/(m2.K) pro povrchy
v kontaktu s venkovním vzduchem; 0,13 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťo-
vých stěnách; 0,10 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťových střechách a
0,0 W/(m2.K) pro povrchy v kontaktu se zeminou.
Podíl tloušťky a součinitele tepelné vodivosti definuje tepelný odpor konstrukce, který lze pro obecně
vícevrstvou konstrukci vyjádřit jako
dR [m
2K/W] (1.44)
kde d je tloušťka vrstvy konstrukce v m
součinitel tepelné vodivosti vrstvy konstrukce ve W/(m.K).
Součet tepelného odporu a tepelných odporů při přestupu tepla se označuje jako tepelný odpor při
prostupu tepla
sesiT RRRR [m2K/W] (1.45)
Jeho obrácená hodnota vyjadřuje základní tepelně technický parametr stavební konstrukce - součinitel
prostupu tepla, pro který se standardně používá vztah
sesiT RRRRU
11 [W/(m
2.K)] (1.46)
Dosadíme-li odvozené veličiny do vztahu (1.40), můžeme hustotu tepelného toku konstrukcí vyjádřit
také jako
ei
T
ei
sesi
ei URRRR
q
[W/m
2] (1.47)
1.1.9 Vliv tepelných mostů
Obsahuje-li konstrukce vrstvy, v nichž se vyskytují pravidelně se opakující (systematické) tepelné
mosty, je nutné jejich vliv zohlednit. Pro ruční výpočet je vhodné orientační zohlednění vlivu tepel-
ných mostů s pomocí váženého průměru, kterým se vypočte součinitel prostupu tepla vrstvy
s tepelnými mosty
j
jj
eqA
A [W/(m.K)] (1.48)
kde Aj je průřezová plocha j-tého materiálu v charakteristickém výseku v m2
j součinitel tepelné vodivosti j-tého materiálu v charakteristickém výseku ve
W/(m.K).
1.1.10 Teplo procházející konstrukcí
Množství tepla procházející konstrukcí (tepelná ztráta či zisk) se stanoví ze vztahu
eiUA [W] (1.49)
kde A je plocha konstrukce v m2.
Množství tepla, které projde konstrukcí za určitý časový úsek, se určí jako
ttUAQ ei [Wh] (1.50)
kde t je délka časového úseku v h.
Zadá-li se délka časového úseku v sekundách, vyjde množství tepla ve Ws, tedy v J.
1.1.11 Rozložení teploty v konstrukci
Průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu lze stanovit buď graficky, nebo výpočtem.
Grafická metoda vyžaduje vytvoření grafu, na jehož svislou osu se vynášejí teploty a na vodorovnou
osu tepelné odpory jednotlivých vrstev konstrukce a tepelné odpory při přestupu tepla. Průběh teploty
je reprezentován přímkou spojující známou teplotu vnitřního vzduchu i a známou teplotu venkovního
vzduchu e. Teplota v libovolném místě konstrukce se odečte přímo z grafu (Obr. 1-8).
Pro analytické řešení se vyjde z již jednou použitého pravidla o shodné hustotě tepelného toku ve
všech místech konstrukce. Hustota tepelného toku celou skladbou musí být tedy stejná jako hustota
tepelného toku přes část konstrukce od interiéru k bodu x:
xqq [W/m2] (1.51)
což lze vyjádřit také ve tvaru
sesi
ei
xsi
xi
RRRRR
[W/m
2] (1.52)
kde Rx je tepelný odpor od vnitřního povrchu k místu x v m2.K/W.
Obr. 1-8: Grafické stanovení průběhu teploty v konstrukci o 3 vrstvách
Úpravou vztahu (1.52) lze získat rovnici pro průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu
xsieiixsi
sesi
eiix RRURR
RRR
[C] (1.53)
z níž lze odvodit i vztah pro přímý výpočet vnitřní povrchové teploty
eisiisi
sesi
eiisi RUR
RRR
[C] (1.54)
a vnější povrchové teploty
RRURRRRR
sieiisi
sesi
eiise
[C] (1.55)
kde R je celkový tepelný odpor konstrukce v m2.K/W.
Na závěr zbývá upozornit, že pro výpočty vnitřní povrchové teploty se v technické praxi používá od-
por při přestupu tepla na vnitřní straně konstrukce Rsi = 0,13 m2.K/W pro výplně otvorů a Rsi = 0,25
m2.K/W pro ostatní konstrukce.
Rsi Rse R1 R2 R3
R
x
i
e
Rx
1.1.12 Elektrická analogie
Všimněme si podobnosti mezi vztahy pro výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sálá-
ním:
1 2
1cdq
R [W/m
2] (1.56)
1 2
1c
c
qR
[W/m2] (1.57)
1 2
1r
r
qR
[W/m2] (1.58)
kde R je tepelný odpor vrstvy nebo konstrukce v m2.K/W
Rc tepelný odpor při přestupu prouděním v m2.K/W
Rs tepelný odpor při přestupu sáláním v m2.K/W
Pro tepelné odpory při přestupu platí:
1c
c
Rh
[m2.K/W] (1.59)
1r
r
Rh
[m2.K/W] (1.60)
kde hc je součinitel přestupu tepla prouděním v W/m2.K
hr součinitel přestupu tepla sáláním v W/m2.K
Vztahy (1.56) až (1.58) jsou podobné Ohmovu zákonu pro elektrický obvod (Obr. 1-9):
1 2
1UI G U
R R [A] (1.61)
kde I je intenzita elektrického proudu v A
G elektrická vodivost v S (Siemens, S = m−2
·kg−1
·s3·A
2 = Ω
−1)
U elektrické napětí (rozdíl elektrických potenciálů) ve V
R elektrický odpor v Ω
j elektrický potenciál v uzlu j ve V
Obr. 1-9: Schéma elektrického obvodu, Ohmův zákon
Analogie mezi elektrickým proudem v elektrickém obvodu a šířením tepla je zřejmá. Intenzita elek-
trického proudu mezi dvěma uzly elektrického obvodu závisí na odporu a rozdílu potenciálu mezi
uzly. Čím větší je rozdíl potenciálu (napětí), tím větší je intenzita elektrického proudu. Se zvyšujícím
se odporem intenzita elektrického proudu klesá. To samé platí pro vztah mezi tepelným tokem (nebo
hustotou tepelného toku), rozdílem teploty a tepelným odporem (Tab. 1-1).
U
I R
Tab. 1-1: Elektrická analogie
Elektrická veličina Tepelná veličina
elektrický potenciál [V] teplota [°C], T [K]
elektrické napětí U = 1 - 2 [V] rozdíl teplot = 1 – 2 [°C], T = T1 – T2 [K]
elektrický odpor R [Ω] tepelný odpor R [m2.K/W] (tepelný odpor vrstvy,
souvrství, konstrukce, odpor při přestupu tepla nebo
odpor při prostupu tepla)
elektrická vodivost 1
GR
[S] obrácená hodnota tepelného odporu K [W/(m
2.K)]:
obrácená hodnota tepelného odporu vrstvy, sou-
vrství nebo konstrukce 1
KR
součinitel přestupu tepla (obrácená hodnota od-
poru při přestupu tepla) 1
K hR
součinitel prostupu tepla (obrácená hodnota od-
poru při prostupu tepla) 1
T
K UR
intenzita elektrického proudu
1 2
1UI G U
R R [A]
hustota tepelného toku
1 2 1 2
1q K
R [W/m
2]
tepelný tok
1 2 1 2
1A A K
R [W]
Elektrická analogie pomáhá při řešení tepelných problémů. Umožňuje přehledné, schématické zobra-
zení problému a zápis matematického modelu pro jeho řešení. Tepelný problém si můžeme představit
jako elektrický obvod sestavený z větví, které se spojují v uzlech. Větve s tepelnými odpory a dalšími
prvky podle Tab. 1-2 se uspořádají tak, že každá reprezentuje určitý způsob šíření tepla nebo „cestu“
pro šíření tepla (např. přestup tepla sáláním na vnitřním povrchu v modelu stěny nebo prostup tepla
oknem v modelu budovy – Obr. 1-10). Uzly reprezentují „místa“ se známou (předepsanou) nebo ne-
známou teplotou - např. povrch konstrukce, rozhraní mezi vrstvami konstrukce nebo teplotu vzduchu
v místnosti.
Pro uzel v elektrickém obvodu platí, že součet intenzit elektrického proudu, které vstupu jí do uzlu je
rovný součtu intenzit vystupujících v uzlu (první Kirchhoffův zákon). To samé platí v ustáleném stavu
pro tepelné toky vstupující a vystupující z uzlu – jejich součet je rovný nule a teplota v uzlu se nemě-
ní. V neustáleném stavu1 nemusí být součty vstupujících a vystupujících tepelných toků navzájem
sobě rovné. V uzlu se akumuluje teplo, což se projeví změnou teploty v čase. Změna teploty je úměrná
tepelné kapacitě, kterou je potřeba uzlu přiřadit. Tato pravidla jsou klíčová pro řešení tepelných pro-
blémů, protože umožňují sestavit tepelné bilance v jednotlivých uzlech.
1 Řešení problémů v neustáleném stavu není do této publikace zařazeno. Informace je zde uvedena pro
úplnost.
Obr. 1-10: Příklady tepelných problémů zobrazených pomocí elektrické analogie. Vlevo – prostup tepla stěnou.
Vpravo – tepelná bilance budovy.
Tab. 1-2 Základní prvky elektrické analogie
Prvek Matematický vztah Grafická značka
uzel 0j
j
Φ
uzel s kapacitou (pro výpočty
v neustáleném stavu) d
dj
j
Φ Ct
odpor/vodivost 1 2 1 2
1Φ A A K
R
předepsaná teplota = 0
předepsaný tepelný tok (do
uzlu) = 0
Složitá schémata tepelných problémů s více odpory zapojenými sériově nebo paralelně je možné po-
stupně zjednodušovat podle pravidel známých z teorie elektrických obvodů (Tab. 1-3). To umožňuje
zjednodušit matematický model složitých problémů.
si se i e
vedení
stěnou
přestup
tepla
přestup
tepla
Rsi R Rse
si se i e
e
RT1
RT2
RT3
RT4
i
Qsol
1
2
3
4
Qsol
C
R,K
0
Tab. 1-3: Pravidla pro úpravy obvodů
Případ Schéma před úpravou Schéma po úpravě
Odpory/vodivosti zapojené
sériově
N
n
n
R R
1 2
1 1 1 1...
NK K K K
Odpory/vodivosti zapojené
paralelně
1 2
1 1 1 1...
NR R R R
N
n
n
K K
Více předepsaných teplot
N
n
n
K K
1 N
ekv n n
n
KK
1R
K
Více předepsaných tepelných
toků do jednoho uzlu
N
ekv n
n
Φ Φ
Předepsaná teplota s vodivostí a
předepsaný tok do jednoho uzlu
00
0
ekv
Φ
K
V tepelných problémech řešených ve stavební tepelné technice je často potřeba vypočítat neznámé
teploty. Při výpočtu v ustáleném stavu je možné postupovat např. takto:
určí se známé veličiny
určí se neznámé teploty
analyzuje se tepelné chování řešeného systému a jeho součástí
pokud je to potřeba, zavedou se zjednodušující předpoklady pro řešení problému
R1,K1
1
R2,K2
2
RN,KN
N 1
R,K
N
R1,K1
1 2
RN,KN
R2,K2 1
R,K
2
1
2
R1,K1
RN,KN
R2,K2
N
ekv
R,K
1
N
ekv
R0,K0
0
0
ekv
R0,K0
sestaví se schéma (model) problému pomocí elektrické analogie – je-li to možné, schéma se zjed-
noduší pomocí známých pravidel, každá neznámá teplota však má mít ve schématu svůj uzel
pro každý uzel s neznámou teplotou se sestaví bilance tepelných toků - rovnice, která říká, že
součet tepelných toků do uzlu se rovná součtu tepelných toků z uzlu
z bilančních rovnic se sestaví soustava rovnic, jejímž řešením jsou neznámé teploty
výsledek řešení se zkontroluje dosazením vypočítaných teplot zpět do bilančních rovnic
Podobným způsobem se může postupovat i v případech, kdy neznámá není teplota, ale jiná veličina,
např. tepelný tok nebo tepelný odpor nějakého prvku. Bilanční rovnice se sestaví pro vhodně zvolené
uzly tak, aby v nich figurovaly všechny neznámé veličiny.
Příklad použití elektrické analogie
Pro obvodovou stěnu z Obr. 1-10 se mají vypočítat povrchové teploty si a se. Známé veličiny:
vnitřní teplota i = 20°C
odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi = 0,13 m2.K/W
tepelný odpor stěny R = 3 m2.K/W
odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rse = 0,04 m2.K/W
venkovní teplota e = -10°C
Neznámé veličiny:
teplota vnitřního povrchu si
teplota vnějšího povrchu se
Sestavíme bilanci tepelných toků pro uzly, které reprezentují vnitřní a venkovní povrch stěny. Bilance
tepelných toků pro vnitřní povrch – hustota tepelného toku z uzlu i do uzlu si, q1, se musí rovnat
hustotě tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2:
1 2
1 1( ) ( )i si si se
si
q qR R
Bilance tepelných toků pro venkovní povrch – hustota tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2, se musí
rovnat hustotě tepelného toku z uzlu se do uzlu e, q3:
2 3
1 1( ) ( )si se se e
se
q qR R
Soustava rovnic:
1 1( ) ( )i si si se
siR R
1 1( ) ( )si se se e
seR R
Soustava rovnic po úpravě:
si si si se iR R R R
se si se se eR R R R
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot známých veličin:
3,13 0,13 60si se
3,13 0,13 60si se
Řešení:
si = 18,8 °C, se = -9,6 °C
1.2 Základní modelové příklady
Zadání
Uvažujte dvouvrstvou stěnu ze železobetonu tl. 200 mm a tepelné izolace tl. 150 mm (na vnější stra-
ně). Tepelná vodivost železobetonu je 1,6 W/(m.K) a tepelné izolace 0,05 W/(m.K). Na konstrukci
působí trvale teplota vnitřního vzduchu 30 ºC a teplota venkovního vzduchu 0 C.
Vypočtěte teplotu na rozhraní vrstev konstrukce, hustotu tepelného toku tepelnou izolací a množství
tepla, které projde celou konstrukcí za 10 h.
Použijte přitom hodnoty odporů při přestupu tepla, které se užívají při výpočtu součinitele prostupu
tepla konstrukce.
Řešení
Jedná se o ustálený stav, takže hustota tepelného toku musí být ve všech místech konstrukce konstant-
ní. Tepelný tok od vnitřního povrchu do místa x musí být tedy stejný jako tok od vnitřního povrchu
k vnějšímu povrchu, tj. qx = q. Tuto rovnici lze rozepsat do tvaru
sesi
ei
xsi
xi
RRRRR
a z něj pak vyjádřit vztah pro výpočet teploty v libovolném bodě konstrukce (viz také vztah (1.53)):
xsieiixsi
sesi
eiix RRURR
RRR
.
Hodnocená konstrukce má tepelný odpor R = 0,2/1,6 + 0,15/0,05 = 0,125 + 3 = 3,125 m2K/W a souči-
nitel prostupu tepla sesi RRRU 1 1/(0,13+3,125+,04) = 0,303 W/(m2K).
Tepelný odpor od vnitřního povrchu k rozhraní vrstev je Rx = 0,2/1,6 = 0,125 m2K/W. Teplota na roz-
hraní vrstev je tedy 125,013,0030303,030 x = 27,7 ºC.
Hustota tepelného toku tepelnou izolací se stanoví ze vztahu
2Rq sex , kde se je teplota vnějšího
povrchu konstrukce, x je teplota na rozhraní vrstev a R2 je tepelný odpor tepelné izolace. Dopočítat je
třeba teplotu venkovního povrchu ze vztahu 125,313,0030303,030 se = 0,41 ºC. Tepel-
ný odpor R2 je již známý (3,0 m2K/W).
Tepelný tok tepelnou izolací je tedy
3
41,07,27q 9,0 W/m
2.
Alternativně lze přímo dosadit do vztahu
125,013,0
7,2730
xsi
xi
RRq
9,0 W/m
2 a nebo dokonce do
vztahu 030303,0eiUq 9,0 W/m2. Ve všech případech musí v daném případě
vyjít hustota tepelného toku shodně (drobné rozdíly nicméně asi vzniknou kvůli zaokrouhlování mezi-
výsledků).
Měrné množství tepla procházející konstrukcí za časovou jednotku se stanoví ze vztahu tqQ , kde
t je čas. Protože v ustáleném stavu je tepelný tok skrz celou konstrukci stejný jako tepelný tok skrz
libovolnou její vrstvu, lze množství tepla přímo vypočítat jako 109 Q = 90 Wh/m2.
Zadání
V laboratorních podmínkách byly v ustáleném stavu uvnitř a v okolí stavební konstrukce naměřeny
teploty podle Obr. 1-11.
Obr. 1-11: Výsledky měření teplot uvnitř a v okolí konstrukce v ustáleném stavu
Tepelná vodivost materiálu stěny byla současně stanovena ve výši 0,35 W/(m.K).
Jaký je součinitel prostupu tepla konstrukce?
Řešení
Ze známých údajů lze určit hustotu tepelného toku vedením uvnitř konstrukce jako
5,05,620,0
35,0sesicd
dq
10,5 W/m
2.
V ustáleném stavu je hustota tepelného toku konstrukcí shodná s hustotou tepelného toku její libovol-
nou částí. Můžeme proto psát cdei qUq . Hledaný součinitel prostupu tepla konstrukce je
tedy
1020
5,10
ei
cdqU
0,35 W/(m
2.K).
Zadání
Uvažujte sendvičovou konstrukci o skladbě (od interiéru):
- železobeton tl. 200 mm a tepelné vodivosti 1,5 W/(m.K)
- tepelná izolace o tepelné vodivosti 0,05 W/(m.K)
- železobeton tl. 50 mm a tepelné vodivosti 1,5 W/(m.K).
Jak velká musí být tloušťka tepelné izolace, aby byla teplota na rozhraní mezi železobetonem tl. 200
mm a tepelnou izolací vyšší než 0 ºC, působí-li na konstrukci teplota vnitřního vzduchu 20 ºC a teplo-
ta venkovního vzduchu -30 ºC?
Uvažujte ustálený stav a použijte hodnoty odporů při přestupu tepla pro výpočet součinitele prostupu
tepla konstrukce.
Řešení
Vyjdeme z rovnice pro průběh teploty v konstrukci xsieiix RRU , přičemž místo x,
pro které se určuje teplota θx, bude rozhraní mezi vnitřní železobetonovou stěnou a tepelnou izolací.
Podle zadání musí platit x 0 ºC.
0,5 ºC
0,2 m
6,5 ºC 20,0 ºC -10,0 ºC
směr tep. toku
Nejprve určíme dílčí potřebné hodnoty. Tepelný odpor od vnitřního povrchu k místu x je Rx = 0,2/1,5
= 0,133 m2K/W. Tepelný odpor při přestupu tepla na vnitřní straně je Rsi = 0,13 m
2K/W a na vnější
straně Rsi = 0,04 m2K/W.
Vyřešíme nerovnici 133,013,03020200 U a dostaneme požadavek pro součinitel pro-
stupu tepla konstrukce ve tvaru 263,050
20
U , a tedy U ≤ 1,52 W/(m
2.K).
Ze základního vztahu pro součinitel prostupu tepla pak můžeme určit nejnižší potřebný tepelný odpor
konstrukce jako sesi RRU
R 1
. Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme další nerovnici
04,013,052,1
1R a posléze výsledek R ≥ 0,488 m
2K/W.
Protože souhrnný tepelný odpor vnitřní a vnější železobetonové stěny je známý (Ržb = 0,25/1,5 =
0,167 m2K/W), můžeme již snadno určit minimální potřebný tepelný odpor tepelné izolace jako
Rizol ≥ 0,321 m2K/W a následně pak i hledanou nejnižší potřebnou tloušťku tepelné izolace ze vztahu
izolizolizol Rd , a tedy d ≥ 0,016 m.
Zadání
Uvažujte stěnu s povrchem o emisivitě 0,9 a teplotě 20 ºC. Rovnoběžně se stěnou je ve vzdálenosti
100 mm natažená hliníková folie o emisivitě 0,1 a teplotě 40 ºC. Jak velký bude tepelný tok sáláním
mezi oběma povrchy?
Řešení
Hustota tep. toku sáláním z povrchu 1 na povrch 2 se stanoví za předpokladu rovnoběžnosti obou
povrchů ze vztahu 4
2
4
12,12,1 TTq , kde σ = 5,67.10-8
W/(m2K
4), T je absolutní teplota po-
vrchu v K a
111
1
21
2,1
, přičemž ε je emisivita povrchu.
Po dosazení získáme
099,0
19,0
1
1,0
1
12,1
a výsledný tepelný tok 448
2,1 15,2732015,27340099,01067,5q 12,5 W/m2.
Zadání
Uvažujte dvouplášťovou stěnu o skladbě (od interiéru):
- železobeton tl. 200 mm (tepelná vodivost 1,5 W/(m.K))
- tepelná izolace tl. 100 mm (tepelná vodivost 0,05 W/(m.K))
- větraná vzduchová vrstva tl. 100 mm
- obklad tl. 10 mm (tepelná vodivost 0,5 W/(m.K)).
Předpokládejte ustálený stav s teplotou vnitřního vzduchu 30 ºC, teplotou ve větrané dutině 2 ºC a
teplotou venkovního vzduchu 0 ºC. Určete hustotu tepelného toku sáláním mezi povrchy větrané duti-
ny. Použijte přitom hodnoty odporů při přestupu tepla, které se užívají při výpočtu součinitele prostu-
pu tepla konstrukce.
Řešení
Aby bylo možné vypočítat hustotu tepelného toku sáláním ze vztahu 4
2
4
12,12,1 TTq , je
nutné určit teploty povrchů větrané dutiny. Pro teplotu venkovního povrchu tepelné izolace použijeme
vztah RRRRR
si
sesi
eiise
, do kterého dosadíme tepelný odpor vnitřního pláště kon-
strukce R = 0,2/1,5 + 0,1/0,05 = 2,133 m2K/W. Teplota na vnějším povrchu tepelné izolace pak vyjde
133,213,0
13,0133,213,0
23030se 3,52 ºC. Odpor při přestupu tepla na vnější straně Rse
se v tomto případě uvažoval shodně s odporem na vnitřní straně Rsi, protože jde o povrch ve větrané
vzduchové vrstvě a nikoli přímo ve venkovním prostředí.
Teplotu na vnitřním povrchu obkladu určíme ze vztahu si
sesi
eiisi R
RRR
, přičemž tepelný
odpor bude v tomto případě R = 0,01/0,5 = 0,02 m2K/W. V hodnotách odporů při přestupu tepla zo-
hledníme skutečnost, že na jedné straně obkladu je větraná vzduchová vrstva a na druhé straně ven-
kovní prostředí a vypočteme
13,0
04,002,013,0
022si 0,63 ºC.
Zbývá vypočítat hustotu tepelného toku sáláním mezi oběma povrchy (pro které předpokládáme ob-
vyklou emisivitu 0,9 a určíme emisivitu vzájemného sáláním jako 82,019,0
1
9,0
11
2,1
) ze
vztahu 448
2,1 15,27363,015,27352,382,01067,5q 11,2 W/m2.
Zadání
Uvažujte stěnu v dřevostavbě, jejíž skladba je zachycena na vodorovném řezu na Obr. 1-12.
Obr. 1-12: Vodorovný řez stěnou dřevostavby
100 600 100 600 600
100
100
100
20
20
Šrafovaně je vyznačeno dřevo s tepelnou vodivostí 0,20 W/(m.K), zbylý materiál je tepelná izolace
s tepelnou vodivostí 0,04 W/(m.K). Dřevěné sloupky jsou umístěny pouze v první a třetí vrstvě tepel-
né izolace. Určete množství tepla, které projde 1 m2 konstrukce za 1 h při časově ustáleném teplotním
rozdílu 10 C.
Řešení
Množství tepla za časovou jednotku určíme ze vztahu tUAQ , do kterého je třeba dosadit
součinitel prostupu tepla konstrukce. Pro jeho výpočet je nutné nejprve určit charakteristický výsek
konstrukce, což je v daném případě osová vzdálenost sloupků, tj. 0,7 m.
Následně stanovíme ekvivalentní tepelnou vodivost vrstev s tepelnými mosty, tj. první a třetí vrstvy
(druhá vrstva tepelné mosty neobsahuje). Použijeme přibližný výpočet s pomocí váženého průměru
1,01,01,06,0
2,01,01,004,01,06,0
j
jj
A
A 0,063 W/(m.K).
Tepelný odpor konstrukce je tedy R = 0,02/0,2 + 0,1/0,063 + 0,1/0,04 + 0,1/0,063 + 0,02/0,2 =
5,875 m2K/W a součinitel prostupu tepla
04,0875,513,0
1U 0,165 W/(m
2.K).
Hledané množství tepla za 1 h při teplotním rozdílu 30 C tedy činí 130165,0Q 4,96 Wh.
Zadání
Stěna o součiniteli prostupu tepla U=1,5 W/(m2.K) obsahuje uzavřenou (nevětranou) vzduchovou
vrstvu o tloušťce 100 mm. Na stěnu působí z jedné strany teplota vzduchu 20 ºC a z druhé strany tep-
lota vzduchu 0 ºC. Jaká je teplota povrchu vzduchové dutiny blíže k exteriéru, má-li povrch blíže
k interiéru teplotu 18 ºC?
Při výpočtu uvažujte ustálený stav a běžné technické smluvní hodnoty pro všechny potřebné veličiny.
Řešení
Známe-li teplotu jednoho z povrchů uzavřené vzduchové dutiny, můžeme stanovit teplotu zbývajícího
povrchu ze vztahu pro hustotu tepelného toku vzduchovou dutinou 21
rc hh
dq .
Nejprve musíme ovšem určit samotnou hustotu tepelného toku, což je ale pro předpoklad ustáleného
stavu poměrně jednoduché, protože celková hustota tepelného toku konstrukcí musí být shodná s hus-
totou tepelného toku v jejím libovolném místě. Platí tedy 0205,1eiUq 30 W/m2.
Pro součinitel přestupu tepla sáláním ve vzduchové dutině použijeme běžný technický odhad
hr=4,6 W/(m2.K), stejně jako pro součinitel přestupu tepla prouděním (hc=2,5 W/(m
2.K)).
Po dosazení do výchozí rovnice 2186,45,21,0
025,030
získáme již snadno hledanou
teplotu povrchu vzduchové dutiny blíže k exteriéru ve výši θ2 = 13,9 ºC.
Zadání
Uvažujte stropní konstrukci mezi půdou a interiérem o skladbě podle Chyba! Nenalezen zdroj odka-
zů..
Obr. 1-13: Řez stropem pod půdou
Nosným prvkem jsou ocelové profily (tepelná vodivost 50 W/(m.K)) v osových vzdálenostech
900 mm. Na profilech jsou shora i zdola upevněny OSB desky s tepelnou vodivostí 0,2 W/(m.K).
Mezi profily je umístěna tepelná izolace o tepelné vodivosti 0,05 W/(m.K). Stejná tepelná izolace je
umístěna pod spodní OSB deskou a je opatřena omítkou s tepelnou vodivostí 1,0 W/(m.K).
Jaká musí být minimální tloušťka spodní tepelné izolace, aby byl součinitel prostupu tepla stropu nej-
výše 0,15 W/(m2.K)?
Uvažujte pouze vliv zadaných tepelných mostů a použijte pro jeho zohlednění orientační manuální
výpočet.
Řešení
Cílem návrhu je konstrukce splňující podmínku U ≤ 0,15 W/(m2.K). Do této podmínky můžeme dosa-
dit za součinitel prostupu tepla konkrétní hodnoty odporů při přestupu tepla (na obou stranách se
uplatní hodnota 0,10 m2K/W, protože jde o konstrukci v interiéru s tepelným tokem vzhůru) a získat
nerovnici 15,010,010,0
1
R.
Z ní pak už snadno získáme podmínku pro tepelný odpor R ≥ 6,47 m2K/W.
Dílčí tepelné odpory jednotlivých vrstev sice snadno vypočítáme ze standardního vztahu
dR , ale
u hlavní tepelné izolace musíme nejprve zohlednit tepelné mosty s pomocí ekvivalentní tepelné vodi-
vosti této nehomogenní vrstvy.
Výpočet musíme začít určením charakteristického výseku, jehož šířka je v tomto případě 900 mm.
Dále pak vypočteme průřezové plochy jednotlivých materiálů ve výseku a posléze získáme ekviva-
lentní tepelnou vodivost hlavní tepelné izolace ze vztahu
2,09,0
05,02,001,021,001,02,09,0502,001,021,001,0
j
jj
A
A
1,16 W/(m.K). Tepelný odpor konstrukce je tedy
900 900
200
??
5
20
20
100 100
10
10
10
180
05,0377,0
0,1
005,0
05,02,0
02,0
16,1
2,0
2,0
02,0 ddR m
2K/W. A protože je známo, že tepelný
odpor musí být vyšší než 6,47 m2K/W, snadno již odvodíme minimální potřebnou tloušťku spodní
tepelné izolace ze vztahu 47,605,0
377,0 d
jako d ≥ 0,305 m.
Zadání
Uvažujte stropní konstrukci o skladbě (shora):
- dlažba tl. 20 mm s tepelnou vodivostí 1,0 W/(m.K)
- beton tl. 100 mm s tepelnou vodivostí 1,2 W/(m.K)
- pěnový polystyren tl. 100 mm s tepelnou vodivostí 0,05 W/(m.K)
- železobeton tl. 150 mm s tepelnou vodivostí 1,5 W/(m.K),
Na rozhraní mezi betonovou mazaninou tl. 100 mm a pěnovým polystyrenem je udržována teplota
35 C (podlahovým vytápěním). Určete hustotu tepelného toku sáláním z povrchu podlahy do interié-
ru.
Při výpočtu předpokládejte ustálený stav s teplotou vzduchu nad podlahou 20 C a s teplotou pod
stropem 10 C. . Použijte přitom hodnoty odporů při přestupu tepla, které se užívají při výpočtu souči-
nitele prostupu tepla konstrukce.
Řešení
Hustota tepelného toku sáláním z povrchu podlahy do interiéru se určí ze vztahu 4Tqr , do
kterého je třeba dosadit absolutní teplotu povrchu podlahy. Při jejím výpočtu je třeba zohlednit zná-
mou teplotu uvnitř konstrukce v místě podlahového vytápění. Celková situace je nejlépe zřejmá na
grafu průběhu teploty v konstrukci Obr. 1-14.
Obr. 1-14: Grafické stanovení průběhu teploty v podlaze s vytápěním
0,10
0,02
0,08 2,00
R
x
20
10
0,10 0,17
35
Na vodorovné ose grafu jsou vyneseny tepelné odpory jednotlivých vrstev podlahy počínaje zleva
dlažbou. První hodnotou je ovšem odpor při přestupu tepla na povrchu dlažby Rsi = 0,10 m2K/W (te-
pelný tok je orientován v daném případě nahoru). Poslední hodnotou je analogicky odpor při přestupu
tepla na spodním líci stropu Rse, který v tomto případě činí 0,17 m2K/W (tepelný tok je orientován
dolů). Z grafu na Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. je patrná nejen hledaná teplota na horním líci
dlažby (označeno kroužkem), ale také skutečnost, že pro její stanovení není vůbec podstatná spodní
část stropní konstrukce. Ve skutečnosti se uplatní jen roznášecí betonová deska a dlažba a okrajové
podmínky přímo na ně působící (tj. teploty 20 ºC a 35 ºC). Hledanou teplotu povrchu podlahy může-
me tedy spočítat ze vztahu
10,0
08,002,010,0
352020xsi
sesi
eiix RR
RRR
27,5
ºC.
Hledaná hustota tepelného toku sáláním z povrchu podlahu do interiéru je tudíž
48 15,2735,271067,59,0rq 417 W/m2.
1.3 Komplexní modelové příklady
1.3.1 Obvodová stěna 1
Zadání
Uvažujt obvodovou stěnu s touto skladbou (od interiéru):
železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K
tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K
pohledové zdivo z plných cihel tl. 150 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K
Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je noc, obloha je zatažená.
Fouká vítr o rychlosti 4 m/s.
Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete
průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.
Řešení
Známé veličiny:
tloušťky jednotlivých materiálových vrstev d3 až d3
součinitele tepelné vodivosti pro materiál každé vrstvy 1 až 3
teplota vnitřního vzduchu i = 20°C
teplota venkovního vzduchu e = -5 °C
rychlost větru v = 4 m/s
Neznámé veličiny:
teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových
vrstev 1,2 a 2,3
tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]
Další potřebné informace:
nejsou
Analýza problému:
Teplo se šíří skrz stěnu z vnitřního prostředí do vnějšího. Z vnitřního prostředí se teplo šíří na povrch
konstrukce prouděním a sáláním. Uvnitř konstrukce, mezi vnitřním a vnějším povrchem, se teplo šíří
vedením. Z vnějšího povrchu se teplo může do vnějšího prostředí šířit těmito způsoby:
prouděním (vítr)
sáláním proti obloze (oblohu si představujeme jako fiktivní povrch, jehož teplota závisí na oblač-
nosti)
sáláním proti povrchu země (terénu)
sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)
Kromě toho může výměnu tepla na vnějším povrchu ovlivnit také sluneční záření. Protože uvažujeme
noční zataženou oblohu, můžeme rovnou říci, že se slunečním zářením počítat nebudeme.
Hustota tepelného toku prouděním z vnějšího povrchu stěny závisí na rychlosti větru. Pro výpočet
hustoty každého z výše uvedených tepelných toků sáláním je potřeba dopředu odhadnout teploty sála-
jících povrchů (včetně teploty vnějšího povrchu řešené stěny) a jejich vzájemné poměry sálání. Poměr
sálání Fi,j dvou povrchů přitom závisí na jejich vzájemném prostorovém uspořádání.
Schéma problému:
Obr. 1-15: Schéma problému
Předpoklady řešení:
ustálený stav
předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý
vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)
protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla
z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =
0,13 m2·K/W
přestup tepla z vnějšího povrchu by bylo možné, při zadaných podmínkách, přibližně započítat
pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla Rse = 0,04 m2·K/W (tato hodnota byla stanovena
pro podobné podmínky jako v tomto příkladu. My však pro výpočet přestupu tepla sestavíme po-
drobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup
tepla prouděním a sáláním
pro odhad součinitele přestupu tepla prouděním použijeme vztah hce = 4 + 4·v (kap. 1.1.2) a bu-
deme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s
3 2 1
qsi q1 q2 q3
i
povrch země r = e
r = e
okolní povrchy
qre
si 1,2 2,3 se
e qce
qre
qre
zatažená
obloha
r = e
Rsi R1 R2 R3
si 1,2 2,3 se i
hre
hce
e
budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota zatažené oblohy je stejná, jako teplota venkovního
vzduchu (rozumný předpoklad běžně používaný pro podobné případy)
teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles při zatažené obloze budeme zjednodušeně
uvažovat stejnou jako teplota venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mezi tělesy na
zemském povrchu a jasnou oblohou – viz následující příklad). Všechna tělesa, vůči kterým může
vnější povrch stěny sálat, můžeme tedy souhrnně chápat jako jediný povrch s jedinou (sálavou)
povrchovou teplotou r = e. Problém se zjednodušuje na případ sálání dvou povrchů se vzájem-
ným poměrem sálání F12 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok z povrchu 1 (vnější stěna) dopadá přímo,
bez odrazů na povrch 2 („náhradní“ povrch), což v tomto případě platí). Navíc, plocha stěny A1
je zanedbatelně malá oproti ploše tohoto „náhradního“ povrchu A2 a jejich vzájemný poměr A1/ A2
můžeme považovat za rovný nule.
tento předpoklad nám podstatně zjednoduší výpočet – především proto, že nebudeme muset sta-
novovat poměry sálání povrchu stěny a každého dalšího sálajícího povrchu. Takový výpočet je
obecně komplikovaný a v našem případě nemožný, neboť nemáme informace o poloze okolních
těles a povrchu země.
pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu stěny musíme dopředu odhad-
nout jeho teplotu – budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota vnějšího povrchu je rovná tep-
lotě vnějšího vzduchu se = e
Postup řešení:
sestavíme bilanci tepelných toků pro všechna místa v konstrukci, kde chceme zjistit teplotu – pro
vnitřní povrch, vnější povrch a obě rozhraní materiálových vrstev
předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k libovolnému místu v konstrukci a
směrem z tohoto místa musí být rovný nule
získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na
rozhraní vrstev
řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3
správnost výsledku zkontrolujeme
vypočítáme tepelnou ztrátu konstrukce
vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev,
bude průběh teploty v každé vrstvě lineární
Bilance tepelných toků:
vnitřní povrch: 1siq q →
1 0siq q
rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q →
1 2 0q q
rozhraní vrstev 2, 3: 2 3q q →
2 3 0q q
vnější povrch: 3 ce req q q →
3 0ce req q q
Hustoty tepelných toků:
1( ) ( )si i si si i si
si
q hR
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( )si siq K
R
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( )q K
R
3 2,3 3 2,3
3
1( ) ( )se seq K
R
( )ce ce se eq h
( )re re se eq h
Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-
počítají):
1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K
1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K
2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K
3 2,3( ) ( ) ( ) 0se ce se e re se eK h h
Po roznásobení:
1 1 1,2 0si i si si sih h K K
1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K
2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K
3 2,3 3 0se ce se ce e re se re eK K h h h h
Po úpravách:
1 1 1,2( )si si si ih K K h
1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K
2 1,2 2 3 2,3 3( ) 0seK K K K
3 2,3 3( ) ( )ce re se se re eK K h h h h
Vyčíslení:
Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí jednotlivých vrstev je uspořádán do tabulky:
Tab. 1-4: Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí
Vrstva
i [ - ]
Materiál Tloušťka
di
[m]
Tepelná vodivost
i
[W/m·K]
Tepelný odpor
Ri = di /i
[m2·K/W]
Tepelná vodivost
Ki = 1/ Ri
[W/m2·K]
1 železobeton 0,2 1,6 0,125 8
2 tepelná izolace 0,15 0,05 3 0,333
3 zdivo z plných cihel 0,15 1 0,15 0,667
Tepelný odpor konstrukce R = ΣRi 3,275 0,305
21 17,692 W/(m K)
0,13si
si
hR
Součinitel přestupu tepla prouděním na vnějším povrchu vypočítáme z rychlosti větru v = 4 m/s (viz
Předpoklady řešení):
24 4 4 4 4 20 W/(m K)ceh v
Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z obecného vztahu pro sálání mezi
dvěma povrchy:
3
1,2
1 2 1
1 1,2 2 2
4
1 11re
Th
A
F A
Protože uvažujeme F1,2 = 1 a A1/A2 = 0, zjednoduší vztah takto (indexem 1 se značí vnější povrch stě-
ny, indexem 2 souhrnně všechny ostatní sálající povrchy s teplotou r = e – viz Předpoklady výpo-
čtu):
3 3
1,2 1,2 3
1 1,21 2 1 1
1 2 1 1
4 44
1 1 110 0
1
re
T Th T
Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e (viz Předpoklady řešení) a r = e:
1 21,2
( 273,15) ( 273,15) ( 5 273,15) ( 5 273,15)268,15 K
2 2 2
se rT TT
Po dosazení do vztahu pro hre:
3 8 3 2
1 1,24 4 5,67 10 0,9 268,15 3,94 W/(m K)reh T
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:
1,215,692 8 153,846si
1,2 2,38 8,333 0,333 0si
1,2 2,30,333 7 6,667 0se
2,30,667 30,602 119,678se
Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.
Výsledky:
Teploty (po zaokrouhlení):
si = 19,1 °C
1,2 = 18,2 °C
2,3 = -3,6 °C
se = -4,7 °C
Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:
Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-
krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost
dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).
21( ) ( ) 7,692 (20 19,1) 7,253 W/msi i si si i si
si
q hR
2
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( ) 8 (19,1 18,2) 7,253 W/msi siq K
R
2
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( ) 0,333 (18,2 3,6) 7,253 W/mq K
R
2
3 2,3 3 2,3
3
1( ) ( ) 6,667 ( 3,6 4,7) 7,253 W/mse seq K
R
21( ) ( ) 25 ( 4,7 5) 7,257 W/mse se e se se e
se
q hR
Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme
dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce q:
2
1 2 3
1 1( ) (19,1 4,7) 7,253 W/m
3,275si seq
R R R
Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,3 W/m2.
Průběh teploty je vynesen do grafu:
Obr. 1-16: Výsledný průběh teploty
1.3.2 Obvodová stěna 2
Zadání
Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a
teplota venkovního vzduchu -5°C. Uvažujte jasnou noc a vítr o rychlosti 4 m/s.
Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete
průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.
Řešení
Známé veličiny:
tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnos-
ti K1 až K3 (z předchozího příkladu)
teplota vnitřního vzduchu i = 20°C
teplota venkovního vzduchu e = -5 °C
rychlost větru v = 4 m/s
Neznámé veličiny:
teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových
vrstev 1,2 a 2,3
tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]
Další potřebné informace:
emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny
Pro povrch zdiva z červených cihel můžeme použít hodnotu emisivity = 0,9 (viz Přílohu 1).
Analýza problému:
Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozím
příkladu. Na vnějším povrchu dochází k přestupu tepla z povrchu do vnějšího prostředí těmito způso-
by:
prouděním (vítr)
sáláním proti jasné obloze (obloha není zakryta oblačností, na rozdíl od předchozího příkladu je
teplota jasné oblohy výrazně nižší než teplota vnějšího vzduchu)
sáláním proti povrchu země (terénu)
sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)
Schéma problému:
Obr. 1-17: Schéma problému
Předpoklady řešení:
ustálený stav
předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý
vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)
protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla
z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =
0,13 m2·K/W
přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-
pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze
pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve
které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním
součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejným způsobem jako v předchozím příkla-
du
Rsi R1 R2 R3
si 1,2 2,3 se i
e
hre
hce
sky
3 2 1
qsi q1 q2 q3
i
povrch země r = sky
r = sky okolní
povrchy
qre
si 1,2 2,3 se
e qce
qre
qre
jasná
obloha
r = sky
teplotu jasné oblohy sky [°C] odhadneme v závislosti na teplotě vnějšího vzduchu e [°C] takto
(platí pro případ svislého povrchu stěny, kap. 0):
1,1 5 1,1 ( 5) 5 10,5 Csky e
součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme podobně jako
v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy (tentokrát jako teplotu jasné oblohy sky).
Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnější-
ho vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.
Postup řešení:
sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny
předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem
z vnějšího povrchu musí být rovný nule
bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme
z předchozího příkladu – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad
získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na
rozhraní vrstev
řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se
správnost výsledku zkontrolujeme
z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného
toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí
vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev,
bude průběh teploty v každé vrstvě lineární
Bilance tepelných toků:
vnitřní povrch: 1siq q →
1 0siq q
rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q →
1 2 0q q
rozhraní vrstev 2, 3: 2 3q q →
2 3 0q q
vnější povrch: 3 ce req q q →
3 0ce req q q
Hustoty tepelných toků:
Pro výpočet hustot tepelných toků qsi a q1 až q3 platí vztahy uvedené v předchozím příkladu. Pro hus-
toty tepelných toků z vnějšího povrchu stěny platí:
( )ce ce se eq h
( )re re se skyq h
V hustotě tepelného toku qre je souhrnně započítáno sálání vnějšího povrchu stěny proti obloze, okol-
ním povrchům i povrchu země (viz Předpoklady řešení)
Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-
počítají):
1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K
1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K
2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K
3 2,3( ) ( ) ( ) 0se ce se e re se skyK h h
Po roznásobení:
1 1 1,2 0si i si si sih h K K
1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K
2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K
3 2,3 3 0se ce se ce e re se re skyK K h h h h
Po úpravách:
1 1 1,2( )si si si ih K K h
1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K
2 1,2 2 3 2,3 3( ) 0seK K K K
3 2,3 3( )ce re se ce e re skyK K h h h h
Vyčíslení:
Tepelné odpory a tepelné propustnosti vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro
tento příklad zůstávají stejné. Stejná zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla hsi a hce.
Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z upraveného vztahu (odvození z
obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy – viz předchozí příklad):
3
1 1,24reh T
Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e a sky = -10,5 °C (viz Předpoklady
řešení):
3 31 21,2
( 273,15) ( 273,15) ( 5 273,15) ( 10,5 273,15)265,4 K
2 2 2
se skyT TT
Po dosazení do vztahu pro hre:
3 8 3 2
1 1,24 4 5,67 10 0,9 265,4 3,82 W/(m K)reh T
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:
1,215,692 8 153,846si
1,2 2,38 8,333 0,333 0si
1,2 2,30,333 7 6,667 0se
2,30,667 30,482 140,066se
Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.
Výsledky:
Teploty (po zaokrouhlení):
si = 19 °C
1,2 = 18,1 °C
2,3 = -4,4 °C
se = -5,6 °C
Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:
Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-
krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost
dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).
21( ) ( ) 7,692 (20 19) 7,508 W/msi i si si i si
si
q hR
2
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( ) 8 (19 18,1) 7,508 W/msi siq K
R
2
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( ) 0,333 (18,1 4,4) 7,508 W/mq K
R
2
3 2,3 3 2,3
3
1( ) ( ) 6,667 (4,4 5,6) 7,508 W/mse seq K
R
2( ) ( ) 20 ( 5,6 5) 3,816 ( 5,6 10,5) 7,508 W/mse ce re ce se e re se skyq q q h h
Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme
dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce:
2
1 2 3
1 1( ) (19 5,6) 7,508 W/m
3,275si seq
R R R
Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,5 W/m2.
Průběh teploty je vynesen do grafu:
Obr. 1-18: Výsledný průběh teploty
1.3.3 Obvodová stěna 3
Zadání
Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a
teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na stěnu dopadá sluneční záření s celkovou
intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m
2 povrchu stěny). Fouká vítr o rychlosti 4 m/s.
Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete
průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.
Řešení
Známé veličiny:
tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnos-
ti K1 až K3 (z předchozích příkladů)
teplota vnitřního vzduchu i = 20°C
teplota venkovního vzduchu e = -5 °C
emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu)
teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C, sky = -10,5 °C (z předcho-
zího příkladu)
celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W
Neznámé veličiny:
teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si a se, a teploty na rozhraní materiálových
vrstev 1,2 a2,3
tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]
Další potřebné informace:
pohltivost slunečního záření pro vnější povrch sol [ - ]
Pro povrch přizdívky z plných cihel můžeme použít hodnotu sol = 0,75 (viz Přílohu 2)
Analýza problému:
Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozích
dvou příkladech. V tomto příkladu je ovšem tepelná bilance vnějšího povrchu navíc ovlivněna sluneč-
ním zářením. Část energie slunečního záření dopadajícího na vnější povrch stěny je pohlcena – pře-
mění se na teplo. Povrch stěny se ohřeje, jeho teplota bude vyšší než teplota vnějšího vzduchu. Do-
chází k šíření (přestupu) tepla z vnějšího povrchu do vnějšího prostředí:
prouděním (vítr)
dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu
dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou obloha si představujeme jako povrch s velmi
nízkou teplotou)
Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme
postupovat obdobně.
Teplota vnějšího povrchu bude záviset na vzájemném poměru tepelných zisků (tepelný tok stěnou
z vnitřního prostředí a pohlcená energie slunečního záření) a ztrát (tepelný tok prouděním a sáláním
do vnějšího prostředí). Pokud bude výsledná teplota vnějšího povrchu vyšší, než teplota vnitřního
povrchu (se > si), bude se teplo z vnějšího povrchu šířit také směrem k vnitřnímu povrchu. Pokud
bude (se < si), bude se teplo šířit konstrukcí z vnitřního povrchu směrem k vnějšímu – podobně jako
v případě bez slunečního záření, který jsme zvyklí uvažovat v běžných výpočtech. Zatím budeme
předpokládat, že se < si.
Schéma problému:
Schéma problému je uvedeno na Obr. 1-19
Předpoklady řešení:
ustálený stav
předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý
vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)
protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla
z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =
0,13 m2·K/W
přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-
pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv sluneč-
ního záření
pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve
které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního
záření
součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejně jako v předchozím příkladu (opět bu-
deme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s)
součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako
v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou
podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.
Předpoklad, že teplota povrchu země a ostatních okolních povrchů se shoduje s teplotou jasné oblohy
je konzervativní. V případě jasné oblohy s poměrně intenzivním slunečním zářením bude skutečná
povrchová teplota terénu a těles na zemském povrchu pravděpodobně vyšší, možná bližší teplotě ven-
kovního vzduchu. Naší volbou pravděpodobně opět nadhodnotíme tepelnou ztrátu stěny, tentokrát
významněji, než v předchozím příkladu.
Obr. 1-19: Schéma problému
Postup řešení:
sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny
předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem
z vnějšího povrchu musí být rovný nule
bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme
z předchozích příkladů – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad
získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na
rozhraní vrstev
řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se
správnost výsledku zkontrolujeme
3 2 1
qsi q1 q2 q3
i
povrch země r = sky
r = sky
okolní povrchy
qre
si 1,2 2,3 se
e qce
qre
qre
jasná
obloha
rsky
qsol
sluneční
záření
Rsi R1 R2 R3
si 1,2 2,3 se i e
hce
hre
sky
qsol
z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného
toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí
vykreslíme průběh teploty
Bilance tepelných toků:
vnitřní povrch: 1siq q →
1 0siq q
rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q →
1 2 0q q
rozhraní vrstev 2, 3: 2 3q q →
2 3 0q q
vnější povrch: 3 sol ce req q q q →
3 0sol ce req q q q
Hustoty tepelných toků:
Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi , q1 až q3, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako
v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Hustota tepelného toku ze slunečního záření se vypočítá
takto:
sol sol solq I
Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-
počítají):
1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K
1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K
2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K
3 2,3( ) ( ) ( ) 0se sol ce se e re se skyK I h h
Po roznásobení:
1 1 1,2 0si i si si sih h K K
1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K
2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K
3 2,3 3 0sol se ce se ce e re se re skyK I K h h h h
Po úpravách:
isisisi hKKh 2,111)(
0)( 3,222,1211 KKKK si
0)( 33,2322,12 seKKKK
skyreecesolserece hhIhhKK )( 33,23
Vyčíslení:
Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a
pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním
povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre.
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:
1,215,692 8 153,846si
1,2 2,38 8,333 0,333 0si
1,2 2,30,333 7 6,667 0se
2,30,667 30,482 159,934se
Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.
Výsledky:
Teploty (po zaokrouhlení):
si = 19,5 °C
1,2 = 19,0 °C
2,3 = 7,5 °C
se = 6,9 °C
Průběh teploty je vynesen do grafu:
Obr. 1-20: Výsledný průběh teploty
Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:
Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-
krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost
dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).
21( ) ( ) 7,692 (20 19,5) 3,854 W/msi i si si i si
si
q hR
2
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( ) 8 (19,5 19) 3,854 W/msi siq K
R
2
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( ) 0,333 (19 7,5) 3,854 W/mq K
R
2
3 2,3 3 2,3
3
1( ) ( ) 6,667 (7,5 6,9) 3,854 W/mse seq K
R
Hustota tepelného toku mezi povrchy konstrukce:
2
1 2 3
1 1( ) (19,5 6,9) 3,854 W/m
3,275si seq
R R R
Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Liší se ovšem hodnota
hustoty tepelného toku z vnějšího povrchu stěny do vnějšího prostředí:
2( ) ( ) 20 (6,9 5) 3,816 (6,9 10,5) 303,854 W/mse ce re ce se e re se skyq q q h h
Rozdíl hustoty tepelného toku qse a hustoty tepelného toku v jiných místech konstrukce je přesně 300
W/m2 = qsol = sol · Isol. Rovnováha tepelných toků na vnějším povrchu je tedy zachována:
3 3 3,854 300 303,854 0sol ce re sol seq q q q q q q
Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 3,9 W/m2.
1.3.4 Obvodová stěna 4
Zadání
Uvažujte podobnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Vnější přizdívka z pohledových
cihel se však nahradí stejně tlustou neprovětrávanou vzduchovou mezerou. Ta je z vnitřní strany vy-
mezena povrchem tepelné izolace a z vnější strany skleněnou tabulí. Na povrchu tepelné izolace (smě-
rem do vzduchové dutiny) je z výroby nanesena tenká difuzní fólie černé barvy. Skladba konstrukce
(od interiéru):
železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K
tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K
difuzní fólie, černá barva, tl. 0,3 mm, tepelná vodivost 0,2 W/m·K
neprovětrávaná vzduchová mezera, tl. 150 mm
čiré sklo, tl. 4 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K
Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na
stěnu dopadá sluneční záření s celkovou intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m
2 povrchu stěny). Fou-
ká vítr o rychlosti 4 m/s.
Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete
průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.
Řešení
Známé veličiny:
tepelné vlastnosti materiálových vrstev 1 a 2: tepelné odpory R1 a R2, tepelné propustnosti K1 a K2
(z předchozích příkladů)
tloušťka vzduchové mezery (vrstva 4): d4
tloušťky materiálových vrstev 3 a 5: d3 a d5
součinitele tepelné vodivosti pro materiál vrstev 3 a 5: 3 a 5
barva vnějšího povrchu vrstvy 3: černá
emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu)
teplota vnitřního vzduchu i = 20°C
teplota venkovního vzduchu e = -5 °C
rychlost větru v = 4 m/s
teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C sky = -10,5 °C (z předchozí-
ho příkladu)
celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W
Neznámé veličiny:
teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových
vrstev 1,2, 2,3, 3,4 a 4,5
tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]
Další potřebné informace:
emisivita vnějšího povrchu stěny – povrchu skleněné tabule vymezující vzduchovou vrstvu
pohltivost slunečního záření pro vnější povrch stěny – pro povrch skleněné tabule
propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli
emisivita vnějšího povrchu difuzní fólie
pohltivost slunečního záření pro vnější povrch difuzní fólie
Emisivita skla je velmi podobná jako emisivita ostatních stavebních materiálů. Použijeme hodnotu =
0,92 podle Přílohy 1. Sklo je propustné pro sluneční záření, proto je pohltivost slunečního záření po-
vrchu čirého skla nízká. Použijeme hodnotu sol = 0,05. Propustnost slunečního záření pro sklo tl. 4
mm je při kolmém dopadu slunečních paprsků přibližně 0,85. Propustnost slunečního záření je sice
závislá na úhlu dopadu slunečních paprsků, ale v rozmezí 0° (kolmo na povrch) a 45° se příliš nemění.
Propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli budeme tedy uvažovat konzervativně = 0,8.
Emisivitu povrchu difuzní fólie odhadneme – použijeme hodnotu pro střešní lepenku = 0,93. Pro
povrch difuzní folie můžeme použít hodnotu pohltivosti slunečního záření sol = 0,92 (černý, nekovo-
vý povrch, Příloha 2).
Analýza problému:
Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu difuzní fólie je stejný jako
v předchozích dvou příkladech. Vnější povrch difuzní fólie vymezuje vzduchovou mezeru. Z vnějšího
povrchu difuzní fólie se teplo šíří skrz vzduchovou mezeru na vnitřní povrch skleněné tabule všemi
třemi způsoby:
vedením
prouděním
sáláním.
Z vnitřního povrchu skleněné tabule (směrem do vzduchové mezery) se teplo šíří vedením k vnějšímu
povrchu tabule (směrem do venkovního prostředí). Na vnějším povrchu skleněné tabule (vnější po-
vrch konstrukce) dochází k přestupu tepla do venkovního prostředí:
prouděním (vítr)
dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu
dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou oblohu si představujeme jako povrch s velmi
nízkou teplotou)
Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme
postupovat obdobně.
Tepelné chování stěny je jako v předchozím příkladu ovlivněno slunečním zářením, ovšem tentokrát
je situace složitější. Sluneční záření dopadá na vnější povrch skleněné tabule:
část dopadajícího slunečního záření se odráží zpět do venkovního prostředí
malá část je pohlcena skleněnou tabulí a šíří se dále ve formě tepla
největší část prochází skleněnou tabulí
Část slunečního záření, která prošla skleněnou tabulí, dopadá na vnější povrch difuzní fólie. Většina
tohoto sálavého toku je na povrchu fólie pohlcena a dá se předpokládat, že zvýší jeho teplotu. Uvolně-
né teplo se šíří z povrchu fólie dále (předpokládejme, že směrem do vzduchové mezery). Zbývající
část slunečního záření se od povrchu fólie odrazí (propustnost = 0) zpět směrem ke skleněné tabuli,
na jejímž vnitřním povrchu se opět malá část odrazí zpět, malá část pohltí a většina projde skrz tabuli
do venkovního prostředí. Hustota sálavého toku odraženého od difuzní fólie bude velmi malá a její
vliv na tepelné chování stěny zanedbáme.
Vraťme se ještě k šíření tepla skrz skleněnou tabuli a difuzní fólii. Skleněná tabule je tenká a má vy-
sokou tepelnou vodivost. To znamená, že rozdíl teploty na vnitřním a vnějším povrchu tabule bude
zanedbatelný. Skleněnou tabuli budeme proto uvažovat jako nekonečně tenkou vrstvu s jedinou teplo-
tou. Vlastnosti, které ovlivňují šíření tepla sáláním, zůstanou beze změn (emisivita, propustnost a
pohltivost slunečního záření). Podobně budeme uvažovat i v případě difuzní fólie. Její vliv na šíření
tepla vedením zanedbáme, to znamená, že s ní ve výpočtu nebudeme vůbec uvažovat a pohltivost
slunečního záření vnějšího povrchu fólie budeme chápat jako vlastnost povrchu tepelné izolace.
Samostatným problémem je výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sáláním mezi po-
vrchy vzduchové mezery (kap. 1.1.7,). Klíčová je správná volba součinitele přestupu tepla prouděním,
a sáláním. Jejich hodnota ve výpočtu ovlivní mimo jiné ztráty tepla ze slunečního záření pohlceného
na povrchu difuzní fólie. Chyba v hodnotách těchto veličin proto může mít relativně významný vliv na
výsledné rozložení teploty v konstrukci. Součinitel přestupu tepla prouděním závisí na tloušťce meze-
ry a na teplotě povrchů, které dopředu neznáme. Přesný výpočet je příliš složitý, použití obvyklé hod-
noty 2,5 W(m2·K) pro součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním povrchu svislých konstrukcí
také není příliš vhodné řešení (platí pro relativně malý rozdíl teploty povrchu a teploty vzduchu), pro-
to použijeme zjednodušený vztah z kap. 1.1.2. Pro výpočet potřebujeme znát teplotu povrchů mezery
a teplotu vzduchu v mezeře – tyto neznámé teploty odhadneme takto:
vnitřní povrch mezery (povrch difuzní fólie): teplota o 15 °C vyšší než teplota vzduchu (odhad na
základě výsledků předchozího příkladu – venkovní povrch stěny vystavený větru se vlivem slu-
nečního záření ohřál o 10°C nad teplotu venkovního vzduchu, povrch chráněný proti větru vzdu-
chovou mezerou a skleněnou tabulí by se měl ohřát o něco více)
vnější povrch mezery (vnitřní povrch skleněné tabule): teplota stejná, jako teplota venkovního
vzduchu
teplota vzduchu v mezeře: průměr teplot na vnitřním a vnějším povrchu mezery
Takto odhadnuté teploty použijeme i pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním mezi povrchy
mezery.
Schéma řešení:
Schéma řešení je uvedeno až za oddíly Předpoklady řešení a Postup řešení
Předpoklady řešení:
ustálený stav
předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý
vliv tepelných mostů (kotvení nosné konstrukce skleněné stěny k železobetonové stěně)
zanedbáme vliv nosné konstrukce (rámu), do které by ve skutečnosti byla zasazena skleněná tabu-
le (rám nepropouští sluneční záření a má jiné tepelné vlastnosti než tabule skla)
difuzní fólii jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu a pohltivost
slunečního záření) přiřadíme povrchu tepelné izolace – rozhraní vrstev 2,3
skleněnou tabuli jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu, pohltivost
a propustnost slunečního záření) přiřadíme fiktivnímu vnějšímu povrchu vzduchové mezery, kte-
rý bude současně vnějším povrchem konstrukce
v neprovětrávané vzduchové mezeře budeme uvažovat šíření tepla prouděním, sáláním a vedením
tepelnou vodivost nehybného vzduchu budeme uvažovat hodnotou 3 = 0,025 W/m·K
součinitel přestupu tepla prouděním mezi povrchy mezery stanovíme orientačně z odhadnuté
teploty povrchu a teploty vzduchu v mezeře
teploty povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla
sáláním budeme uvažovat takto: 2,3 = e +15 = 10 °C, se = e = -5 °C
teplotu vzduchu v mezeře odhadneme jako průměr povrchových teplot: a,3 = (2,3 + se)/2 = (15 –
5)/2 = 5 °C
emisivity povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla
sáláním budeme uvažovat hodnotami 2,3 = 0,93 (…) a se = 0,92 (skleněná tabule)
pro vnější povrch konstrukce reprezentující skleněnou tabuli požijeme hodnoty sálavých vlastnos-
tí pro čiré sklo (se = 0,92, sol,se = 0,05, sol,se = 0,8)
zanedbáme vliv zašpinění povrchu skleněné tabule na jeho sálavé vlastnosti
pohltivost slunečního záření pro rozhraní vrstev 2,3 (reprezentuje difuzní fólii) budeme uvažovat
hodnotou sol,2,3 = 0,92 (černý nekovový povrch)
vliv části slunečního záření odraženého na rozhraní vrstev 2,3 zpět do vzduchové mezery zane-
dbáme
protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla
z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =
0,13 m2·K/W
přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-
pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv sluneč-
ního záření
pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve
které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního
záření
součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme z rychlosti větru stejně jako v předchozích
příkladech
součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako
v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět
zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou
podrobněji vysvětleny v příkladu 1.3.2.
Postup řešení
sestavíme bilanci tepelných toků pro vnitřní povrch stěny, pro jednotlivá rozhraní mezi vrstvami
konstrukce a pro vnější povrch (bilanční rovnice pro vnitřní povrch a rozhraní vrstev 1 a 2 může-
me převzít z předchozích příkladů)
předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem
z vnějšího povrchu musí být rovný nule
získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na
rozhraní vrstev
řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3
správnost výsledku zkontrolujeme
vypočítáme hustotu tepelného toku na vnitřním povrchu konstrukce, určíme jeho směr a určíme,
zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo zisk pro vnitřní prostředí
vykreslíme průběh teploty
Schéma problému
Obr. 1-21: Skladba stěny a její zjednodušení
žele
zob
eto
n
tep
eln
á iz
ola
ce
dif
uzn
í fó
lie
vzd
uch
ov
á m
ezer
a
skle
něn
á ta
bule
3
3
2
2
1
1
si 1,2 2,3 se 2,3
sol,2,3
se
sol,se
sol,se
žele
zob
eto
n
tep
eln
á iz
ola
ce
vzd
uch
ov
á m
ezer
a
Obr. 1-22:Tepelné chování neprovětrávané vzduchové mezery a jeho zjednodušení (model)
Obr. 1-23: Celkové schéma problému
Isol
sol·Isol
so
l· s
ol·I
sol
so
l·Iso
l
sálání
vedení
proudění
vedení
proudění
sálání
vedení
q2 qc,3
qcd,3
qr,3
qsol,2,3
qce
qre
qsol,se
se
R2
2,3
qsol,se
e
hce
hre
sky
qsol,2,3
hc,3
hr,3
hcd,3
se
R2
2,3
qsol,se
e
hce
hre
sky
qsol,2,3
h3
3 2 1
qsi q1 q2 q3
i
povrch země r = sky
r = sky
okolní povrchy
qre si 1,2 2,3 se
e qce
qre
qre
jasná
obloha
rsky qsol,se
sluneční
záření
qsol,2,3
Rsi R1 R2 h3
si 1,2 2,3 se i e
hce
hre
sky
qsol,se qsol,2,3
Bilance tepelných toků:
vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q
rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q
rozhraní vrstev 2, 3: 2 ,2,3 3solq q q →
2 3 ,2,3 0solq q q
vnější povrch: 3 ,sol se ce req q q q →
3 , 0sol se ce req q q q
Hustoty tepelných toků:
Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi, q1, q2, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako
v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Ostatní hustoty tepelného toku se vypočítá takto:
3 3, 3, 3, 3, 2,3 3, 2,3 3, 2,3cd c r cd se c se c seq q q q h h h
3 3, 3, 3, 2,3 3 2,3cd c r se seq h h h h
, ,sol se sol se solq I
,2,3 ,2,3 ,sol sol sol se solq I
Soustava rovnic:
Neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se dopočítají
1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K
1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K
2 1,2 2,3 3 2,3 ,2,3( ) ( ) 0se solK h q
3 2,3 ,( ) ( ) ( ) 0se sol se ce se e re se skyh q h h
Po roznásobení:
1 1 1,2 0si i si si sih h K K
1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K
2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 ,2,3 0se solK K h h q
3 2,3 3 , 0se sol se ce se ce e re se re skyh h q h h h h
Po úpravách:
1 1 1,2( )si si si ih K K h
1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K
2 1,2 2 3 2,3 3 ,2,3( ) se solK K h h q
3 2,3 3 ,( )ce re se sol se ce e re skyh h h h q h h
Vyčíslení:
Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a
pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním
povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre.
Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:
1,215,692 8 153,846si
1,2 2,38 8,333 0,333 0si
1,2 2,30,333 7,897 7,564 294,4se
2,37,564 31,379 120,066se
Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.
Výsledky:
Teploty (po zaokrouhlení):
si = 21 °C
1,2 = 22 °C
2,3 = 44,9 °C
se = 7 °C
Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:
Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-
krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost
dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).
21( ) ( ) 7,692 (20 21) 7,653 W/msi i si si i si
si
q hR
2
1 1.2 1 1,2
1
1( ) ( ) 8 (21 22) 7,653 W/msi siq K
R
2
2 1,2 2,3 2 1,2 2,3
2
1( ) ( ) 0,333 (22 44,9) 7,653 W/mq K
R
2
3 3 2,3( ) 7,564 (44,9 7) 286,747 W/mseq h
2
, , 0,05 400 20 W/msol se sol se solq I
2
,2,3 ,2,3 , 0,92 0,8 400 294,4 W/msol sol sol se solq I
2( ) 20 (7 5) 239,975 W/mce ce se eq h
2( ) 3,816 (7 10,5) 66,772 W/mre re se skyq h
Kontrola – bilance tepelných toků
vnitřní povrch: 1 7,653 7,653 0siq q
rozhraní vrstev 1, 2: 1 2 7,653 7,653 0q q
rozhraní vrstev 2, 3: 2 3 ,2,3 7,653 286,747 294,4 0solq q q
vnější povrch: 3 , 286,747 20 239,975 66,772 0sol se ce req q q q
Součty tepelných toků na površích konstrukce i na rozhraních mezi vrstvami vycházejí nulové, což
odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Teploty tedy byly vypočítány správně.
Průběh teploty je vykreslen do grafu:
Obr. 1-24: Výsledný průběh teploty
Průběh teploty ve vzduchové mezeře ve skutečnosti nebude lineární, proto je v grafu pouze naznačen
čárkovanou čarou. Použitý způsob výpočtu neumožňuje průběh teploty ve vzduchové mezeře upřesnit.
Tepelná ztráta stěny:
Za tepelnou ztrátu stěny můžeme považovat hustotu tepelného toku z vnitřního prostředí na vnitřní
povrch stěny qsi. Hustota tepelného toku má záporné znaménko, tepelný tok tedy směřuje z povrchu
stěny do vnitřního prostředí. Tepelná ztráta stěny je nulová, tepelný zisk obvodové stěny je 7,7 W/m2.
Poznámka:
Kontrola prokázala, že výsledky výpočtu jsou matematicky správné. Vypočítané teploty 2,3 a se se
však významně liší od počátečních odhadů. To znamená, že hodnoty součinitelů přestupu tepla prou-
děním a sáláním ve vzduchové mezeře ani součinitel přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu nejsou
vypočítány správně. Výsledky výpočtu neznámých teplot můžeme zpřesnit tak, že celý výpočet znovu
zopakujeme ale místo odhadu teplot 2,3 a se použijeme výsledné hodnoty z předchozího výpočtu.
Když budeme tento postup iteračně opakovat, bude se rozdíl mezi „odhadnutými a výslednými hodno-
tami teplot 2,3 a se postupně zmenšovat, až dosáhneme dobré shody. Výsledky několika prvních ite-
račních cyklů jsou uvedeny v Tab. 1-5 . Průběhy teplot z původního výpočtu a čtvrtého iteračního
cyklu jsou porovnány na Obr. 1-25.
Obr. 1-25: Vliv odhadu 2,3 a se na výsledek výpočtu
Tab. 1-5: Vliv odhadu 2,3 a se na výsledek výpočtu
původní výpočet 1. iterace 2. iterace 4. iterace
počáteč-
ní odhad
výsledek
výpočtu
počáteč-
ní odhad
výsledek
výpočtu
počáteč-
ní odhad
výsledek
výpočtu
počáteč-
ní odhad
výsledek
výpočtu
2,3 [°C] 10 44,9 44,9 37,1 37,1 38,5 38,3 38,3
se [°C] -5 7,0 7,0 6,9 6,9 6,9 6,9 6,9
hc,3
[W/m2.K]
3,310 --- 4,173 --- 3,944 --- 3,98 ---
hr,3
[W/m2.K]
4,087 --- 5,222 --- 5,019 --- 5,047 ---
hr,e
[W/m2.K]
3,816 --- 4,08 --- 4,078 --- 4,078 ---
qsi [W/m2] --- -7,7 --- -5,267 --- -5,7 --- -5,6
2 Tepelná bilance prostoru v ustáleném stavu
2.1 Základní teorie
2.1.1 Měrný tepelný tok prostupem tepla
Měrný tepelný tok prostupem tepla budovy nebo její části se stanoví obecně ze vztahu
ugdT HHHH [W/K] (2.1)
kde Hd je měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi mezi vnitřním a venkovním
vzduchem ve W/K
Hg měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi v kontaktu se zeminou ve
W/K
Hu měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi v kontaktu s nevytápěnými
prostory ve W/K.
Hodnota HT vyjadřuje vlastně tepelnou ztrátu prostupem tepla přes konstrukce při jednotkovém tep-
lotním rozdílu mezi vnitřním a venkovním vzduchem.
Pro ruční výpočty je vhodnější použít alternativní vyjádření vztahu (2.1) ve tvaru
jemjjjT AUbUAH [W/K] (2.2)
nebo případně (při detailnější znalosti vlastností tepelných vazeb mezi konstrukcemi) ve tvaru
jjjjjjjjT bblbUAH [W/K] (2.3)
kde Aj je plocha j-té obalové konstrukce hodnoceného prostoru v m2
Uj součinitel prostupu tepla j-té konstrukce (stanovený včetně vlivu tepelných
mostů) ve W/(m2.K)
bj činitel teplotní redukce pro j-tou konstrukci
ΔUem přirážka na vliv tepelných vazeb ve W/(m2.K)
lj délka lineární tepelné vazby v m
ψj lineární činitel prostupu tepla lineární tepelné vazby ve W/(m.K)
χj bodový činitel prostupu tepla bodové tepelné vazby ve W/K.
Plochy obalových konstrukcí se standardně stanovují s pomocí vnějších rozměrů (resp. skladebných
rozměrů u výplní otvorů). Přirážka na vliv tepelných vazeb ΔUem se obvykle odhaduje v rozmezí 0,02
až 0,1 W/(m2.K) podle předpokládané kvality řešení tepelných vazeb. Bodové činitele prostupu tepla χ
se obvykle zanedbávají.
Činitel teplotní redukce se pro konstrukce v kontaktu s venkovním vzduchem určí ze vztahu
eim
eib
[-] (2.4)
kde θi je vnitřní teplota působící na danou konstrukci ve ºC
θe venkovní teplota ve ºC
θim převažující vnitřní teplota (vnitřní teplota většiny prostorů v hodnocené budo-
vě či její části) ve ºC.
Obvyklou hodnotou činitele teplotní redukce pro konstrukce v kontaktu s venkovním vzduchem je
b=1, protože teploty θi a θim jsou většinou shodné (typicky 20 ºC).
Činitel teplotní redukce se pro konstrukce v kontaktu se zeminou nebo s nevytápěným prostorem určí
ze vztahu
eim
xib
[-] (2.5)
kde θx je odhadnutá teplota v zemině nebo v nevytápěném prostoru ve ºC.
Činitel teplotní redukce pro konstrukce v kontaktu se zeminou nebo s nevytápěným prostorem je ob-
vykle nižší než 1, protože teplota θx je většinou vyšší než teplota θe.
2.1.2 Měrný tepelný tok větráním
Měrný tepelný tok větráním budovy nebo její části se stanoví ze vztahu
vv VcH [W/K] (2.6)
kde ρ je hustota vzduchu v kg/m3 (běžně se uvažuje 1,3 kg/m
3)
c měrná tepelná kapacita vzduchu v J/(kg.K) (běžně se uvažuje 1000 J/(kg.K))
Vv objemový tok větracího vzduchu v m3/s.
Objemový tok větracího vzduchu může být buď přímo známý a nebo ho lze pro přirozeně větrané
prostory určit jako
3600
av
VnV
[m
3/s] (2.7)
kde n je intenzita větrání prostoru v 1/h
Va objem vzduchu v prostoru v m3 (obvykle se uvažuje odhadem jako 0,8 až 0,9
násobek objemu prostoru stanoveného z vnějších rozměrů).
2.1.3 Průměrný součinitel prostupu tepla budovy
Průměrný součinitel prostupu tepla budovy nebo její části se určí ze vztahu
A
HU T
em [W/(m2.K)] (2.8)
kde HT je měrný tepelný tok prostupem tepla budovy nebo její části ve W/K
A celková plocha všech obalových konstrukcí hodnocené budovy nebo její části
v m2.
Při výpočtu průměrného součinitele prostupu tepla se zohledňují pouze tzv. teplosměnné konstrukce,
tj. konstrukce, přes které dochází k výměně tepla mezi budovou a okolím (resp. přesněji: přes které
uniká teplo z budovy do okolí).
2.1.4 Tepelná bilance prostoru
V ustáleném stavu platí v jakémkoli prostoru tepelná rovnováha mezi zisky a ztrátami:
gl [W] (2.9)
kde Φl je celková tepelná ztráta prostoru ve W
Φg celkový tepelný zisk prostoru ve W.
Celkovou tepelnou ztrátu lze vyjádřit jako
eiVTl HH [W] (2.10)
kde HT je měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi mezi hodnoceným prosto-
rem a venkovním prostředím ve W/K
HV měrný tepelný tok větráním hodnoceného prostoru (do venkovního prostředí)
ve W/K
θi teplota v hodnoceném prostoru ve ºC
θe teplota v exteriéru ve ºC
Do měrného tepelného toku prostupem tepla HT ve vztahu (2.10) se zahrnou všechny konstrukce mezi
vnitřním a venkovním prostředím (včetně konstrukcí v kontaktu se zeminou a nevytápěnými prosto-
ry). Měrný tepelný tok větráním HT ve vztahu (2.10) vyjadřuje analogicky vliv výměny vzduchu vě-
tráním mezi vnitřním a venkovním prostředím.
Mezi tepelné zisky patří obecně vnitřní zisky (spotřebiče, osoby, zdroje tepla) a vnější zisky (sluneční
záření a zisky z okolních teplejších prostorů):
wshsig [W] (2.11)
kde Φi je vnitřní zisk od osob a zařízení ve W
Φhs vnitřní zisk od zdroje tepla (kotel) ve W
Φs vnější zisk od slunečního záření ve W
Φw vnější zisk z okolních teplejších prostorů ve W.
Vnitřní zisky od osob a zařízení mohou být buď zadány nebo je lze stanovit ze vztahu
podlipodlnii An ,, [W] (2.12)
kde n je počet osob či spotřebičů
Φi,n jednotkový tepelný zisk vztažený na 1 osobu či na 1 spotřebič ve W
Apodl podlahová plocha hodnoceného prostoru stanovená z vnitřních rozměrů v m2
Φi,podl jednotkový tepelný zisk vztažený na 1 m2 podlahové plochy ve W/m
2.
Zisky od slunečního záření lze určit jako
jcjsjjjfjs FFIgFA ,,,1 [W] (2.13)
kde Aj je skladebná plocha j-tého okna v m2
Ff,j korekční činitel rámu j-tého okna (tj. podíl rámu z celkové plochy Aj)
gj propustnost slunečního záření j-tého okna
Ij intenzita slunečního záření dopadajícího na j-té okno ve W/m2
Fs,j korekční činitel stínění okna (vliv pevných stínících prostředků)
Fc,j korekční činitel clonění okna (vliv pohyblivých stínících prostředků).
Korekční činitele stínění a clonění jsou rovny 1, pokud není okno stíněno a cloněno. V opačném pří-
padě se mohou pohybovat v rozmezí od 0 do 1 (např. pro venkovní žaluzie se korekční činitel clonění
obvykle uvažuje 0,10 až 0,20).
Zisky z okolních teplejších prostorů lze stanovit ze vztahu
iwVwTww HH [W] (2.14)
kde HTw je měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi mezi hodnoceným prosto-
rem a sousedícím teplejším prostorem ve W/K
HVw měrný tepelný tok větráním mezi hodnoceným prostorem a sousedícím teplej-
ším prostorem ve W/K
w teplota v sousedícím teplejším prostoru ve C
i teplota v hodnoceném prostoru ve C.
Vztah (2.14) lze použít i pro případy, kdy má sousedící prostor nižší teplotu než prostor hodnocený.
Výsledkem výpočtu bude jen tepelná ztráta místo zisku (tj. vyjde záporná hodnota).
Po dosazení všech vztahů do výchozí rovnice tepelné bilance prostoru dostáváme rovnici
wshsieiVT HH [W] (2.15)
ze které lze pak vyjádřit např. hledanou vnitřní teplotu nebo potřebný výkon zdroje tepla.
2.1.5 Potřeba tepla na vytápění bez vlivu tepelných zisků
Je-li znám výkon zdroje tepla pro určité okrajové podmínky (tj. pro venkovní a vnitřní teplotu), lze
určit teoretickou potřebu tepla na vytápění (bez vlivu účinnosti otopného systému a bez vlivu tepel-
ných zisků) za zvolený časový úsek ze vztahu
tQei
memi
hshs
,,
[Wh] (2.16)
kde Φhs je výkon zdroje tepla ve W
θi,m průměrná teplota v interiéru během časového úseku, pro který se stanovuje
potřeba tepla na vytápění, ve ºC
θe,m průměrná teplota v exteriéru během časového úseku, pro který se stanovuje
potřeba tepla na vytápění, ve ºC
θi teplota v interiéru, pro kterou byl stanoven výkon zdroje tepla, ve ºC
θe teplota v exteriéru, pro kterou byl stanoven výkon zdroje tepla, ve ºC
t délka časového úseku, pro který se stanovuje potřeba tepla na vytápění, v h.
2.2 Modelové příklady
Zadání
Uvažujte samostatně stojící serverovnu o půdorysných rozměrech 10 x 5 m a výšce 4 m (vše vnější
rozměry). Tloušťka všech konstrukcí je 0,5 m. Průměrný součinitel prostupu tepla budovy je Uem=0,50
W/(m2.K). Zisk od serverů je 5 kW.
Jaká musí být intenzita větrání venkovním vzduchem, aby se v interiéru udržela teplota 20 ºC při ven-
kovní teplotě 10 ºC?
Při výpočtu uvažujte ustálený stav.
Řešení
Vyjdeme z rovnice tepelné bilance ve tvaru ieiVT HH , přičemž prvotní neznámou
hodnotou je měrný tepelný tok větráním.
Měrný tepelný tok prostupem tepla určíme z definičního vztahu pro průměrný součinitel prostupu
tepla, tj. 50,0220emT UAH 110,0 W/K. Měrný tepelný tok větráním můžeme částečně vy-
jádřit jako vvv VVcH 1300 W/K.
Po dosazení do bilanční rovnice získáváme rovnici o jedné neznámé ve tvaru
5000102013000,110 vV , ze které určíme objemový tok větracího vzduchu jako Vv=0,3
m3/s = 1080 m
3/h.
Potřebná intenzita větrání se vypočte ze vztahu 349
1080
a
v
V
Vn (ve jmenovateli je součin vnitřních
rozměrů budovy) a činí n = 10/h.
Zadání
Teoretická potřeba tepla na vytápění rodinného domu za leden činí - bez vlivu tepelných zisků - cel-
kem 1150 kWh. Jaký je výkon kotle při venkovní teplotě -17 ºC?
Při výpočtu uvažujte vnitřní teplotu 20 ºC a průměrnou venkovní teplotu během ledna -2,8 ºC.
Řešení
Vyjdeme ze vztahu pro potřebu tepla na vytápění bez vlivu zisků a účinností tQei
memi
hshs
,,
,
dosadíme a získáme rovnici 24311720
8,2201150000
hs . Z ní pak vyjádříme hledaný výkon zdro-
je tepla jako Φhs = 2508 W.
Zadání
Terárium o půdorysných rozměrech 1,0 x 0,5 m a výšce 0,6 m (vše vnější rozměry) má stěny a dno ze
skla tl. 5 mm (tepelná vodivost je 1,0 W/(m.K)) a víko z plastu tl. 3 mm (tepelná vodivost
0,15 W/(m.K)). Lineární činitel prostupu tepla je pro styk skel = 0,1 W/(m.K) a pro styk sklo-víko
= 0,2 W/(m.K). Intenzitu větrání uvažujte 1/h.
Jaká bude potřeba tepla na vytápění za týden, je-li v teráriu teplota 28 C a v jeho okolí teplota 15 C?
Při výpočtu uvažujte ustálený stav a předpokládejte, že je terárium podloženo tak, aby bylo i jeho dno
v kontaktu s okolním vzduchem. Vliv zařízení terária zanedbejte.
Řešení
Prvním krokem výpočtu potřeby tepla na vytápění musí být určení výkonu topného zdroje. Pro tento
účel vyjdeme z tepelné bilance ve tvaru hseiVT HH .
Výpočet začneme stanovením tepelného odporu a součinitele prostupu tepla jednotlivých stran terária.
Pro víko je tepelný odpor R = 0,003/0,15 = 0,02 m2K/W a součinitel prostupu tepla U =
1/(0,10+0,02+0,10) = 4,55 W/(m2.K). Pro stěny je tepelný odpor R = 0,005/1,0 = 0,005 m
2K/W a sou-
činitel prostupu tepla U = 1/(0,13+0,005+0,13) = 3,77 W/(m2.K) a pro dno je tepelný odpor R = 0,005
m2K/W a součinitel prostupu tepla U = 1/(0,17+0,005+0,17) = 2,90 W/(m
2.K).
Dále určíme měrný tepelný tok prostupem tepla jako jjjjjjT blbUAH , což po
dosazení dává 1,046,077,36,05,06,00,1255,45,00,190,25,00,1TH
2,025,02,020,11,025,01,020,1 11,65 W/K. Měrný tepelný tok větráním vychá-
zí
3600
6,05,00,10,110003,1
3600
av
VncH 0,11 W/K.
Po dosazení do tepelné bilance získáváme rovnici pro neznámý výkon topného zdroje
hs 152811,065,11 , z níž vychází hs = 153 W.
Hledanou potřebu tepla na vytápění za týden pak určíme ze vztahu
247
1528
1528153
,,tQ
ei
memi
hshs
25,7 kWh.
Zadání
Uvažujte jednoduchou jednopodlažní budovu podle Obr. 2-1. V obvodových stěnách budovy jsou
umístěna francouzská okna o skladebných rozměrech 1 x 2 m. Vnitřní dělící konstrukce budova nemá.
Střecha má součinitel prostupu tepla U = 0,10 W/(m2.K), podlaha U = 0,30 W/(m
2.K) a stěna U = 0,15
W/(m2.K).
Jaký musí být součinitel prostupu tepla oken, aby byl průměrný součinitel prostupu tepla budovy nej-
výše Uem = 0,20 W/(m2.K)?
Obr. 2-1: Schéma jednoduché jednopodlažní budovy
Při výpočtu uvažujte venkovní teplotu -15 ºC, přirážku na vliv tepelných vazeb Uem = 0,03 W/(m2.K)
a teplotu v zemině pod podlahou +5 ºC.
Řešení
Průměrný součinitel prostupu tepla je definován jako AHU Tem , přičemž
jemjjjT AUbUAH . Nejprve je tedy potřebné určit plochy jednotlivých konstrukcí a
poté dosadit do nerovnice 20,0emU a stanovit nejvyšší přípustný součinitel prostupu tepla oken.
Plochy a měrné toky prostupem jednotlivými konstrukcemi lze zapsat do tabulky:
5 m
10 m
4 m
Sever
spodní líc tepelné
izolace v podlaze
horní líc tepelné
izolace ve střeše
Konstrukce Plocha Aj Součinitel prostupu
tepla Uj
Činitel teplotní
redukce bj
Součin
Aj·Uj·bj
Střecha 50 0,10 1 5,00
Podlaha 50 0,30
1520
5200,43 6,45
Okna 12 Uw 1 12Uw
Stěny 108 0,15 1 16,2
Součet 220 --- --- 27,65+12Uw
Z výsledné nerovnice 20,0220
03,02201265,27
wU pak již snadno získáme hledaný nejvyšší
možný součinitel prostupu tepla oken Uw ≤ 0,81 W/(m2.K).
Zadání
Uvažujte jednopodlažní rodinný dům podle Obr. 2-1. Dům má průměrný součinitel prostupu tepla
Uem=0,21 W/(m2.K) a je větrán s intenzitou n = 0,5/h.
Okna, která mají propustnost slunečního záření g = 0,5, nejsou nijak stíněna. Plocha jejich rámu činí
20 % z celkové plochy okna.
Vypočtěte, jaká bude teplota v interiéru domu, bude-li na jižně orientovaná okna dopadat intenzita
slunečního záření I = 500 W/m2.
Při výpočtu uvažujte ustálený stav s venkovní teplotou -15 ºC a předpokládejte, že solární zisky pro-
cházejí do interiéru jen přes okna orientovaná na jih a lze je v interiéru plně využít. Objem vzduchu v
budově uvažujte jako 90 % z objemu budovy stanoveného z vnějších rozměrů.
Řešení
Vyjdeme z bilanční rovnice prostoru, která bude pro danou situaci formulována jako
seiVT HH . Dosadit musíme jednotlivé měrné tepelné toky, teplotu v exteriéru a zisk
od slunečního záření. Neznámou je teplota v interiéru.
Měrný tepelný tok prostupem tepla se určí z definičního vztahu pro průměrný součinitel prostupu
tepla, tj. 21,0220emT UAH 46,2 W/K. Měrný tepelný tok větráním se stanoví ze vztahu
3600
45109,05,010003,1
3600
av
VncH 32,5 W/K.
Zbývající zisk od slunečního záření vypočteme jako
115005,02,01221 ,,, jcjsjjjfjs FFIgFA 800 W.
Po dosazení do bilanční rovnice získáváme rovnici o jedné neznámé ve tvaru
800155,322,46 i , ze které určíme neznámou teplotu v interiéru jako θi = -4,8 ºC.
Zadání
Uvažujte jednopodlažní rodinný dům podle Obr. 2-1. Dům má průměrný součinitel prostupu tepla
Uem=0,30 W/(m2.K) a je větrán s intenzitou n = 0,5/h.
Vypočtěte, jaký musí být výkon zdroje tepla, aby byla vnitřní teplota 20 ºC za předpokladu, že v inte-
riéru jsou trvalé vnitřní zisky 400 W.
Při výpočtu uvažujte ustálený stav s venkovní teplotou -15 ºC. Objem vzduchu v budově uvažujte jako
90 % z objemu budovy stanoveného z vnějších rozměrů. Vliv slunečního záření zanedbejte.
Řešení
Vyjdeme z rovnice tepelné bilance ve tvaru hsieiVT HH , přičemž neznámou
hodnotou je výkon zdroje tepla.
Měrný tepelný tok prostupem tepla se určí z definičního vztahu pro průměrný součinitel prostupu
tepla, tj. 30,0220emT UAH 66,0 W/K. Měrný tepelný tok větráním se stanoví ze vztahu
3600
45109,05,010003,1
3600
av
VncH 32,5 W/K.
Po dosazení do bilanční rovnice získáváme rovnici o jedné neznámé ve tvaru
hs 40015205,320,66 , ze které určíme potřebný výkon zdroje tepla jako (po zaokrouh-
lení) Φhs = 3050 W.
Zadání
Uvažujte samostatně stojící budovu o půdorysných rozměrech 10 x 5 m a výšce 4 m (vše vnější roz-
měry). Tloušťka všech konstrukcí je 0,5 m. Potřebný výkon zdroje tepla pro udržení vnitřní teploty
20 ºC při venkovní teplotě -10 ºC je 4 kW pøi zapoèítání tepelného zisku od poèítaèù ve výši 1000 W.
Jaký má budova prùmìrný souèinitel prostupu tepla Uem, je-li intenzita větrání 0,1/h?
Při výpočtu uvažujte ustálený stav.
Řešení
Vyjdeme z rovnice tepelné bilance ve tvaru hsieiVT HH , přičemž prvotní ne-
známou hodnotou bude měrný tepelný tok prostupem tepla.
Měrný tepelný tok větráním vyjádříme jako
3600
3491,010003,1
3600
av
VncH 3,9 W/K
(v čitateli zlomku je součin vnitřních rozměrů budovy).
Po dosazení do bilanční rovnice získáváme rovnici o jedné neznámé ve tvaru
4000100010209,3 TH , ze které určíme měrný tepelný tok prostupem tepla jako
HT = 162,77 W/K. Hledaný průměrný součinitel prostupu tepla se následně určí z definičního vztahu
220
77,162
A
HU T
em 0,74 W/(m2.K).
Zadání
Uvažujte nevytápěnou půdu podle Obr. 2-2. Pod půdou je vytápěný prostor s teplotou 20 C. Teplota
venkovního vzduchu je -10 C.
Součinitel prostupu tepla stropu pod půdou je U=0,5 W/(m2K), součinitel prostupu tepla střechy je
U=5 W/(m2.K) a štítových stěn U=1 W/(m
2K). Půda je větraná objemovým tokem větracího vzduchu
100 m3/h přes ventilační okénko do exteriéru. Výměna vzduchu do interiéru je nulová.
Určete výslednou teplotu na půdě v daných podmínkách.
Obr. 2-2: Schéma sedlové střechy
Při výpočtu uvažujte ustálený stav a vliv tepelných vazeb zanedbejte.
Řešení
Hledanou teplotu na půdě určíme z tepelné bilance weiVT HH .
Měrný tepelný tok prostupem tepla do exteriéru stanovíme z obecného vztahu
jemjjjT AUbUAH , který ovšem můžeme výrazně zjednodušit na tvar
jjT UAH , protože vliv tepelných vazeb lze podle zadání zanedbat a všechny činitele teplotní
redukce jsou rovny 1. Po dosazení konkrétních hodnot získáme
0,532620,12
342 22
TH 228,3 W/K. Měrný tepelný tok větráním do exteriéru při-
tom činí 3600
10010003,1vv VcH 36,1 W/K (zadaný objemový tok v m
3/h je třeba převést
na m3/s).
Tepelný zisk ze sousedícího vytápěného interiéru získáme ve vztahu iwVwTww HH ,
kde bUAHTw (zohledníme přitom jen konstrukce mezi půdou a sousedícím vytápěným
interiérem a b budeme uvažovat 1) a 0VwH (podle zadání). Po dosazení vychází
iiw 20122005,064 .
Po dosazení všech vypočtených hodnot do výchozí tepelné bilance získáváme rovnici o jedné nezná-
mé ve tvaru ii 2012101,363,228 , z níž už snadno zjistíme hledanou teplotu na
půdě jako i = -8,7 C.
Zadání
Uvažujte mrazírenskou buňku o vnějších rozměrech 5,0 x 5,0 x 3,0 m, v níž je trvale teplota -30 ºC.
Na všechny obalové konstrukce buňky působí z vnější strany teplota 20 ºC (buňka je umístěna v inte-
riéru). Součinitel prostupu tepla panelů, kterými je buňka oplášťována ze všech stran, je
U=0,2 W/(m2.K). Styk panelů má lineární činitel prostupu tepla = 0,05 W/(m.K).
Jaká bude potřeba energie na chlazení za rok, nebude-li buňka větrána a nebude-li do ní zaváženo
nové zboží?
6 m
4 m
3 m
Při výpočtu uvažujte ustálený stav.
Řešení
Nejprve je třeba určit výkon zdroje chladu a následně vypočítat potřebu energie na chlazení. Vzhle-
dem k tomu, že buňka není větrána, bude měrný tepelný tok větráním nulový a výchozí tepelná bilan-
ce bude mít tvar hseiTH , přičemž neznámou hodnotou bude výkon zdroje chlazení hs.
Měrný tepelný tok prostupem tepla určíme jako jjjjjjT blbUAH , což po dosazení
konkrétních hodnot dává 0,105,0432450,12,0435255TH 24,6 W/K. Po-
třebný výkon zdroje chlazení je 506,24hs 1230 W.
Hledanou potřebu energie na chlazení za rok lze pak již snadno určit ze vztahu
24365
2030
20301230
,,tQ
ei
memi
hshs
10,77 MWh.
Zadání
Jakou tloušťku tepelné izolace z EPS (tepelná vodivost 0,04 W/(m.K)) je třeba umístit do stěn boudy o
půdorysných rozměrech 0,7 x 1,0 m a výšce 0,7 m, aby vnitřní teplota v boudě neklesla pod 5 C při
venkovní teplotě -10 C, produkuje-li pes 50 W tepla?
Při výpočtu uvažujte ustálený stav, intenzitu větrání 0,22 m3/h a součinitel prostupu tepla střechy i
podlahy 1,5 W/(m2.K). Vliv tepelných vazeb a dřevěného obkladu stěn zanedbejte.
Řešení
Pro výpočet použijeme tepelnou bilanci psí boudy ieiVT HH , z níž vyjádříme nejpr-
ve nejvyšší přípustný měrný tepelný tok prostupem tepla HT. Poté určíme potřebnou tloušťku tepelné
izolace ve stěnách.
Měrný tepelný tok větráním stanovíme jako 3600
22,010003,1vv VcH 0,08 W/K a dosadí-
me do tepelné bilance 5010508,0 TH . Nejvyšší možný měrný tepelný tok prostupem tepla
bude tedy HT = 3,25 W/K.
Pro daný případ můžeme vyjádřit měrný tok prostupem tepla jednoduše jako jjT UAH (vliv
tepelných vazeb lze zanedbat a činitele teplotní redukce jsou rovny 1). Postačí tedy dosadit plochy a
známé součinitele prostupu tepla, získat rovnici o jedné neznámé
U 20,17,027,07,05,17,00,1225,3 a z ní stanovit hledaný nejvyšší přípustný souči-
nitel prostupu tepla stěny jako U 0,483 W/(m2.K).
Z definičního vztahu pro součinitel prostupu tepla pak už snadno získáme potřebnou minimální
tloušťku tepelné izolace coby
sesi RR
Ud
1 . Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme
04,013,0
483,0
104,0d , takže hledaná minimální tloušťka činí 76 mm.
3 Vlhkostní bilance vzduchu v ustáleném stavu
3.1 Základní teorie
3.1.1 Vlastnosti vzduchu nasyceného vodní párou
Koncentrace vodní páry ve vzduchu plně nasyceném vodní párou se stanoví ze vztahu
15,273462
100
n
sat
ba
v [kg/m3] (3.1)
kde je teplota vzduchu ve C
a = 288,68 Pa, b = 1,098 a n = 8,02 pro teplotu θ od 0 do 30 C
a = 4,689 Pa, b = 1,486 a n = 12,3 pro teplotu θ od -20 do 0 C.
Vztah (3.1) vyjadřuje maximální množství vodní páry v kg, které může při určité teplotě obsahovat
1 m3 vzduchu.
Částečný tlak nasycené vodní páry ve vzduchu se pro stejnou situaci stanoví jako
3,237
269,17
5,610 epsat pro ≥ 0 C, [Pa] (3.2)
5,265
875,21
5,610 epsat pro < 0 C, [Pa] (3.3)
kde je teplota vzduchu ve C.
3.1.2 Vlastnosti běžně vlhkého vzduchu
Relativní vlhkost vzduchu se určí ze vztahu
satsat v
v
p
p100100 [%] (3.4)
kde p je částečný tlak vodní páry ve vzduchu v Pa
psat částečný tlak nasycené vodní páry ve vzduchu v Pa
v koncentrace vodní páry ve vzduchu v kg/m3
vsat koncentrace vodní páry ve vzduchu plně nasyceném vodní párou v kg/m3.
Vztah mezi koncentrací vodní páry a částečným tlakem vodní páry ve vzduchu vyjadřuje stavová rov-
nice
15,273462 vTRvp [Pa] (3.5)
kde R je plynová konstanta pro vodní páru (462 J/(kgK))
T absolutní teplota vzduchu v K.
Částečný tlak vodní páry ve vzduchu lze samozřejmě vyjádřit i rovnicí
100
satpp
. [Pa] (3.6)
3.1.3 Vlhkostní bilance vzduchu v uzavřeném prostoru
Koncentraci vodní páry ve vzduchu v uzavřeném prostoru, který je určitým způsobem větraný a který
je zatížen určitými zdroji vlhkosti, lze stanovit obecně jako
iei vvv [kg/m3] (3.7)
kde ve je koncentrace vodní páry ve vzduchu, kterým je prostor větrán (obvykle jde te-
dy o koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu) v kg/m3
vi přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti v kg/m3.
Potřebný přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů lze určit ze vztahu
a
iVn
Gv
[kg/m
3] (3.8)
kde G je produkce vodní páry v hodnoceném prostoru v kg/h
n intenzita větrání hodnoceného prostoru (vzduchem o koncentraci vodní páry
ve) v 1/h
Va objem vzduchu v hodnoceném prostoru v m3.
3.1.4 Teplota rosného bodu a povrchová kondenzace vodní páry
Teplotu rosného bodu vzduchu lze určit
p
pw
ln59,23
867,1513ln236
pro p vyšší než 610,75 Pa [C] (3.9)
p
pw
ln9205,28
21055,1751ln273
pro p nižší než 610,75 Pa [C] (3.10)
kde p je částečný tlak vodní páry ve vzduchu v Pa.
Na vnitřním povrchu konstrukce dochází ke kondenzaci vodní páry tehdy, když je splněna podmínka
wsi (3.11)
kde si je (nejnižší) teplota vnitřního povrchu konstrukce ve C.
3.2 Modelové příklady
Zadání
V interiéru budovy je trvale teplota vzduchu 25 C a relativní vlhkost 70 %.
Jaký musí mít součinitel prostupu tepla obvodová stěna, aby na ní nedocházelo k povrchové konden-
zaci při venkovní teplotě -15 C?
Uvažujte ustálený stav a odpor při přestupu tepla na vnitřní straně pro výpočet povrchové teploty.
Řešení
Nejprve je třeba stanovit teplotu rosného bodu, protože na vnitřním povrchu konstrukce dochází ke
kondenzaci vodní páry tehdy, když je teplota povrchu konstrukce nižší než teplota rosného bodu okol-
ního vzduchu.
Použije se empirický vztah
i
iw
p
p
ln59,23
867,1513ln236
pro pi vyšší než 610,75 Pa
i
iw
p
p
ln9205,28
21055,1751ln273
pro pi nižší než 610,75 Pa,
přičemž pi je částečný tlak vodní páry ve vnitřním vzduchu, který lze stanovit ze stavové rovnice ply-
nu 15,273462 iiii vTRvp .
Chybějící koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu vi se určí ze vztahu satiii vv , , kde vi,sat je
koncentrace vodní páry ve vzduchu pro stav nasycení. Tu lze stanovit z dalšího empirického vztahu
15,273462
100
n
sat
ba
v , přičemž použijeme a = 288,68 Pa, b = 1,098 a n = 8,02 (teplota θi je
v rozmezí od 0 do 30 C).
Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme koncentraci vodní páry pro stav nasycení
15,27325462
100
25098,168,288
02,8
,sativ 0,023 kg/m3 a koncentraci pro skutečný stav 023,07,0iv
0,016 kg/m3. Částečný tlak vodní páry ve vnitřním vzduchu je 15,27325462016,0ip
2204 Pa.
A z toho již můžeme určit teplotu rosného bodu jako
)2204ln(59,23
867,1513)2204ln(236w 19,1 ˚C.
Aby na povrchu konstrukce nedocházelo ke kondenzaci, musí být povrchová teplota vyšší než teplota
rosného bodu, tj. musí platit: wsi .
Teplota vnitřního povrchu se vypočte se vztahu eisiisi RU , odpor při přestupu tepla
na vnitřní straně Rsi se přitom musí podle zadání uvažovat jako Rsi = 0,25 m2K/W.
Dosazením dostáváme tedy nerovnici weisii RU , kterou lze upravit na tvar
eisi
wi
RU
. Po dosazení
)15(2525,0
1,1925
U získáváme výsledek U ≤ 0,59 W/(m
2K).
Zadání
Zjistěte, zda bude docházet ke kondenzaci vodní páry na horním líci podlahy o skladbě (shora):
- beton tl. 100 mm (tepelná vodivost 1,0 W/(m.K))
- polystyren tl. 100 mm (tepelná vodivost 0,04 W/(m.K))
- železobeton tl. 200 mm (tepelná vodivost 1,5 W/(m.K)).
V úrovni rozhraní mezi tepelnou izolací a roznášecí deskou (horní betonová vrstva) je chladícím sys-
témem udržována trvale teplota 10 C. V prostoru nad podlahou je současně teplota vzduchu 25 C a
relativní vlhkost 60 %, zatímco v prostoru pod stropem je teplota vzduchu 15 C a relativní vlhkost
60 %.
Pokud dojde k povrchové kondenzaci, určete nejnižší možnou teplotu v úrovni chladících trubek, při
které k povrchové kondenzaci ještě docházet nebude.
Při výpočtu předpokládejte ustálený stav a odpor při přestupu tepla na vnitřní straně uvažujte hodno-
tou pro výpočet povrchové teploty.
Řešení
Abychom mohli ověřit riziko povrchové kondenzace, musíme nejprve stanovit vnitřní povrchovou
teplotu (tedy teplotu na horním líci podlahy). Při jejím výpočtu je třeba zohlednit známou teplotu uv-
nitř konstrukce v místě systému chlazení. Celková situace je nejlépe zřejmá na grafu průběhu teploty
v konstrukci Obr. 3-1.
Obr. 3-1: Grafické stanovení průběhu teploty v podlaze s chlazením
Na vodorovné ose grafu jsou vyneseny tepelné odpory jednotlivých vrstev podlahy počínaje odporem
při přestupu tepla na povrchu roznášecí desky Rsi = 0,25 m2K/W (podle zadání). Následují jednotlivé
vrstvy podlahy (roznášecí deska, EPS a železobeton) a odpor při přestupu tepla na spodním líci stropu
Rse, který v tomto případě činí 0,10 m2K/W (tepelný tok je orientován nahoru).
0,25
0,10
2,50
R
15
10
0,13
0,10
25
V grafu na Obr. 3-1 je patrná jak hledaná teplota na horním líci podlahy (označeno kroužkem), tak
skutečnost, že pro její stanovení je důležitá jen roznášecí deska a bezprostředně na ni působící okrajo-
vé podmínky (tj. teploty 25 ºC a 10 ºC). Hledanou teplotu povrchu podlahy můžeme tedy spočítat ze
vztahu
25,0
1,025,0
102525xsi
sesi
eiix RR
RRR
14,3 ºC.
Vzhledem k tomu, že teplota rosného bodu pro vzduch nad podlahou je w = 16,7 C (postup viz první
příklad v této sekci), je zřejmé, že v daných podmínkách ke kondenzaci vodní páry na povrchu
podlahy dochází.
Nejnižší možnou teplotu v úrovni chladícího systému stanovíme z nerovnice
xsi
sesi
eiiw RR
RRR
, do níž dosadíme konkrétní požadavek a ostatní známé hodnoty a
získáme tvar 25,01,025,0
25257,16
e . Z něj už snadno odvodíme nejnižší přípustnou teplotu
v úrovni chladícího systému jako e 13,4 C.
Zadání
Uvažujte sendvičovou stěnu o skladbě (od interiéru): železobeton tl. 200 mm, EPS neznámé tloušťky,
železobeton tl. 100 mm.
Tepelná vodivost železobetonu je 1,5 W/(m.K), tepelná vodivost polystyrenu je 0,04 W/(m.K). Stěna
je odděluje interiér s teplotou vzduchu 28 C a relativní vlhkostí 70% a exteriér s teplotou -17 C.
Jak velká musí být tloušťka tepelné izolace, aby nedocházelo ke kondenzaci vodní páry na vnitřním
povrchu konstrukce?
Při výpočtu předpokládejte ustálený stav. Pro odpor při přestupu tepla na vnitřní straně použijte hod-
notu pro výpočet povrchové teploty.
Řešení
Aby nedocházelo k povrchové kondenzaci, musí být teplota vnitřního povrchu konstrukce vyšší než
teplota rosného bodu vnitřního vzduchu. Tu stanovíme postupem podrobně popsaným v prvním pří-
kladu této sekce jako w = 22,0 C.
Pro určení maximálního přípustného součinitele prostupu tepla použijeme opět postup z prvního pří-
kladu a získáme podmínku U 0,533 W/(m2.K).
Minimální potřebný tepelný odpor je tedy sesi RRU
R 1
, což dává výsledek R 1,706 m2K/W.
Vzhledem k tomu, že tepelný odpor obou železobetonových stěn je dohromady Ržb = 0,2 m2K/W, je
potřebné, aby měla tepelná izolace tepelný odpor Rizol 1,506 m2K/W.
Potřebná minimální tloušťka tepelné izolace je tedy d 60 mm.
Zadání
V kanceláři o vnitřním objemu 36 m3 pracují 3 úředníci. Teplota vzduchu v kanceláři je 20 C, teplota
venkovního vzduchu je 5 C. Určete relativní vlhkost vnitřního vzduchu, je-li intenzita větrání kance-
láře 1/h.
Při výpočtu předpokládejte ustálený stav, produkci vodní páry 1 osobou 50 g/h a relativní vlhkost
venkovního vzduchu 80 %.
Řešení
Relativní vlhkost vnitřního vzduchu určíme ze vztahu sati
ii
v
v
,
100 , do kterého dosadíme za koncen-
traci vodní páry ve vnitřním vzduchu ve stavu nasycení hodnotu stanovenou ze vztahu
15,27320462
100
20098,168,288
15,273462
100
02,8
,
n
sati
ba
v 0,0172 kg/m3.
Chybějící koncentraci vodní páry ve vnitřním vzduchu určíme jako iei vvv .
Potřebujeme tedy stanovit koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu, pro což použijeme vztah
100
,satee
e
vv
. Relativní vlhkost venkovního vzduchu známe, takže chybí pouze koncentrace vodní
páry ve venkovním vzduchu ve stavu nasycení, která se zjistí ze vztahu
15,2735462
100
5098,168,288
02,8
,satev 0,0068 kg/m3. Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu je
tedy
100
0068,080
100
,satee
e
vv
0,0054 kg/m
3 (jinými slovy: 1 m
3 venkovního vzduchu obsahuje
v uvažovaných podmínkách 5,4 g vodní páry).
Pro další výpočet potřebujeme ještě přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkos-
ti, který se stanoví ze vztahu a
iVn
Gv
. Protože celková produkce vodní páry v interiéru je
G = 350 = 150 g/h, vychází přírůstek koncentrace vodní páry jako
360,1
15,0iv 0,0042 kg/m
3.
Výsledná koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu pak bude 0042,00054,0iei vvv
0,0096 kg/m3 (jinými slovy: 1 m
3 vnitřního vzduchu bude obsahovat v uvažovaných podmínkách
9,6 g vodní páry). Této koncentraci bude pak odpovídat relativní vlhkost 0172,0
0096,0100i 55,8 %.
Zadání
Na vnitřním povrchu železobetonové stěny tl. 200 mm s vnějším zateplením tl. 100 mm (opatřeném
tenkovrstvou omítkou tl. 10 mm) dochází v ustálených teplotních podmínkách (vnitřní teplota 27 C,
venkovní teplota -10 C) ke kondenzaci vodní páry. Jakou tepelnou vodivost má tepelná izolace?
Při výpočtu předpokládejte ustálený stav, relativní vlhkost vnitřního vzduchu 70 %, tepelnou vodivost
železobetonu 1,5 W/(m.K) a tepelnou vodivost omítky 0,5 W/(m.K). Pro odpor při přestupu tepla na
vnitřní straně použijte hodnotu pro výpočet povrchové teploty.
Řešení
K povrchové kondenzaci dochází tehdy, pokud je teplota vnitřního povrchu nižší nebo rovná teplotě
rosného bodu vnitřního vzduchu, což můžeme vyjádřit nerovnicí eisiiw UR .
Teplotu rosného bodu určíme postupem detailně popsaným v prvním příkladu této sekce jako
w = 21,1 C. Dosadíme do nerovnice 21,1 27 0,25 27 10U a získáme podmínku pro souči-
nitel prostupu tepla konstrukce U 0,637 W/(m2.K).
Známe-li nejnižší možný součinitel prostupu tepla konstrukce a tepelné odpory železobetonu
(R=0,133 m2K/W) a omítky (R=0,020 m
2K/W), lze již určit nejvyšší možný tepelný odpor tepelné
izolace z nerovnice 637,01
sesi RRR
.
Po dosazení dostáváme 637,0
04,01,0
153,013,0
1
, z čehož lze odvodit podmínku pro hleda-
nou tepelnou vodivost tepelné izolace 0,080 W/(m.K). Použitý tepelný izolant je tedy buď po-
měrně nekvalitní a/nebo obsahuje velké množství tepelných mostů.
Zadání
Určete intenzitu větrání, která zajistí, že v místnosti o vnitřním objemu 58 m3 nepřesáhne relativní
vlhkost vnitřního vzduchu 50 % . Teplotu vnitřního vzduchu uvažujte 23 C, teplotu venkovního
vzduchu -13 C, a relativní vlhkost venkovního vzduchu 80 %. V místnosti je několik akvárií
s celkovou plochou volné vodní hladiny 7 m2, z nichž se odpařuje vodní pára v množství
0,01 g/(m2.s). Při výpočtu předpokládejte ustálený stav.
Řešení
Nejprve určíme nejvyšší možnou koncentraci vodní páry ve vnitřním vzduchu ze vztahu
100
,satii
i
vv
. Potřebnou koncentraci vodní páry ve vnitřním vzduchu ve stavu nasycení získáme
z rovnice 15,27323462
100
23098,168,288
15,273462
100
02,8
,
n
sati
ba
v jako 0,0205 kg/m3, což znamená,
že koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu musí splňovat podmínku 100
0205,050 iv , neboli
vi 0,0103 kg/m3 (koncentrace tedy nesmí být vyšší než 10,3 g vodní páry v 1 m
3 vzduchu).
Vzhledem k tomu, že koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu je definována rovnicí
iei vvv , lze dále snadno odvodit, jaký může být nejvyšší přírůstek koncentrace vodní páry vli-
vem vnitřních zdrojů vlhkosti. V našem případě musíme splnit podmínku eii vvv max, .
Potřebujeme tedy ještě koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu, kterou určíme jako
100
,satee
e
vv
. Vypočteme koncentraci vodní páry ve stavu nasycení pro venkovní vzduch ze vztahu
15,27313462
100
13486,1689,4
3,12
,satev 0,0017 kg/m3. Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu je
tedy
100
0017,080
100
,satee
e
vv
0,0014 kg/m
3 (1 m
3 venkovního vzduchu obsahuje tedy
v uvažovaných podmínkách 1,4 g vodní páry).
Nyní se můžeme vrátit k podmínce pro přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlh-
kosti eii vvv max, . Dosadíme do ní ( 0014,00103,0 iv ) a určíme, že přírůstek koncentrace
vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti nesmí být vyšší než 0,0089 kg/m3.
Hledanou intenzitu větrání získáme z definičního vztahu pro diskutovaný přírůstek koncentrace vodní
páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti, tj. z rovnice a
iVn
Gv
.
Určíme celkovou produkci vodní páry v interiéru jako G = 70,013600/1000 = 0,252 kg/h... a protože
objem vzduchu v místnosti známe, můžeme již přímo vyjádřit hledanou intenzitu větrání z nerovnice
580089,0
252,0
n . Aby relativní vlhkost vnitřního vzduchu nepřekročila 50 %, musíme tedy v daných
podmínkách místnost větrat s intenzitou n ≥ 0,49/h.
Zadání
Uvažujte místnost o vnitřním objemu 100 m3, která je větraná s intenzitou 0,4/h. Okna této místnosti
mají zasklení o součiniteli prostupu tepla Ug = 1,6 W/(m2.K).
Určete nejvyšší možnou relativní vlhkost vnitřního vzduchu, při které nebude na vnitřním povrchu
zasklení docházet ke kondenzaci vodní páry.
Při výpočtu předpokládejte ustálený stav, teplotu vnitřního vzduchu 25 ºC, teplotu venkovního vzdu-
chu -20 ºC a relativní vlhkost venkovního vzduchu 85 %. Odpor při přestupu tepla na vnitřní straně
uvažujte hodnotou pro výpočet povrchové teploty.
Jaká koncentrace vodní páry ve vzduchu odpovídá vypočtené maximální vnitřní relativní vlhkosti?
Kolik osob by mohlo být v interiéru, pokud jedna osoba produkuje 80 g vodní páry za hodinu?
Řešení
Ke kondenzaci vodní páry na vnitřním povrchu zasklení nebude docházet, pokud bude splněna pod-
mínka wsi . Vnitřní povrchová teplota si bude v daných podmínkách
202513,06,125eisiisi RU 15,6 C (odpor při přestupu tepla Rsi se uva-
žuje 0,13 m2K/W, protože se jedná o výplň otvoru). Teplota rosného bodu w musí být tedy nižší než
15,6 C.
Z definičního vztahu pro teplotu rosného bodu p
pw
ln59,23
867,1513ln236
(budeme předpokládat,
že částečný tlak vodní páry ve vzduchu bude vyšší než 610,75 Pa) můžeme odvodit vztah pro částečný
tlak vodní páry ve vnitřním vzduchu x
i ep , kde w
wx
236
867,151359,23. Po dosazení dostává-
me hodnotu 48,7epi 1772,2 Pa (předpoklad o velikosti částečného tlaku vodní páry se tím potvr-
dil).
Známe-li nejvyšší přípustný částečný tlak vodní páry ve vzduchu (pi,max = 1772,2 Pa), můžeme již
snadno určit nejvyšší přípustnou relativní vlhkost vnitřního vzduchu ze vztahu sati
ii
p
p
,
100 . Schází
pouze částečný tlak vodní páry ve stavu nasycení, který určíme jako
253,237
25269,17
3,237
269,17
, 5,6105,610 eep i
i
sati
3165,9 Pa.
Dosadíme do podmínky pro relativní vlhkost 9,3165
2,1772100i a získáme hledanou nejvyšší přípust-
nou relativní vlhkost vnitřního vzduchu i,max = 56 %.
Abychom určili, jaká koncentrace vodní páry ve vzduchu odpovídá této relativní vlhkosti, použijeme
vztah 100
,max,
max,
satii
i
vv
, do kterého musíme dosadit ještě koncentraci vodní páry ve stavu nasyce-
ní. Tu určíme ze vztahu 15,27325462
100
25098,168,288
15,273462
100098,168,288
02,802,8
,
i
i
sativ
jako
0,0230 kg/m3. Výsledná nejvyšší přípustná koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu je
100
0230,056max,iv 0,0129 kg/m
3. V 1 m
3 vnitřního vzduchu může být tedy jen maximálně 12,9 g
vodní páry, aby na zasklení nedocházelo v uvažovaných podmínkách k povrchové kondenzaci.
Zbývá určit maximální přípustný počet osob. Vyjdeme ze známé nejvyšší přípustné koncentrace vodní
páry a ze vztahu iei vvv určíme nejvyšší přípustný přírůstek koncentrace vodní páry ve vnitřním
vzduchu jako eii vvv max,max, .
Nejprve ale musíme určit koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu, k čemuž použijeme vztah
100
,satee
e
vv
. Vypočteme koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu ve stavu nasycení jako
15,27320462
100
20486,1689,4
3,12
,satev 0,0009 kg/m3. Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu je
tedy
100
0009,085ev 0,0008 kg/m
3.
Nejvyšší přípustný přírůstek koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu je tudíž
0008,00129,0max,iv 0,0121 kg/m3. Protože je přírůstek koncentrace definován jako
a
iVn
Gv
a protože známe vnitřní objem místnosti a intenzitu větrání, můžeme rovnou vypočítat
maximální přípustnou produkci vodní páry vnitřními zdroji jako ai VnvG max, . Po dosazení do-
stáváme 1004,00121,0 G , a tedy G 0,484 kg/h.
Jedna osoba produkuje podle zadání 80 g vodní páry za hodinu, takže v místnosti může být
v uvažovaných podmínkách maximálně 6 osob, aby byla vyloučena kondenzace vodní páry na vnitř-
ním povrchu zasklení (6 x 80 = 480 g vodní páry za hodinu).
Přílohy
Příloha 1 – Emisivita vybraných materiálů a povrchových úprav (dlouho-
vlnné tepelné záření)
povrch emisivita zdroj
povrch
emisivita zdroj
[ - ]
[ - ]
zlato leštěné 0.02 [1]
hliník leštěný 0.05 [2]
stříbro leštěné 0.02 [1]
hliník drsný 0.07 [2]
měď leštěná 0.02 [1]
hliník oxidovaný 0.2 - 0.3 [2]
měď oxidovaná 0.78 [1]
litina opracovaná 0.6 - 0.7 [2]
hliník leštěný 0.05 [1]
litina oxidovaná 0.93 [2]
hliník oxidovaný 0.3 [1]
chrom - lesklý povrch 0.10 [2]
ocel válcovaná 0.77 [1]
zlato - pozlacený povrch 0.03 [2]
ocel zkorodovaná 0.61 [1]
plech pocínovaný 0.09 [2]
ocel pozinkovaná 0.26 [1]
plech pozinkovaný 0.23 [2]
ocel leštěná 0.27 [1]
plech oxidovaný 0.82 [2]
olovo oxidované 0.28 [1]
ocel jemně opracovaná 0.24 [2]
sklo 0.92 [1]
ocel válcovaná 0.77 [2]
porcelán 0.92 [1]
ocel oxidovaná 0.80 [2]
cihla, omítka 0.93 [1]
ocel zkorodovaná 0.85 [2]
dřevo 0.9 [1]
azbestocementové desky 0.96 [2]
nátěr - černý lak 0.97 [1]
beton 0.89 [2]
nátěr - olejová barva 0.94 [1]
břidlice 0.66 [2]
nátěr - bílá barva 0.85 [1]
čedič 0.68 [2]
mramor leštěný 0.55 [1]
pálené cihly 0.93 [2]
papír 0.93 [1]
šamotové cihly 0.85 [2]
voda 0.95 [1]
vápenec 0.58 [2]
led, 0 °C 0.97 [1]
dřevo 0.9 [2]
guma měkká 0.86 [2]
guma tvrdá 0.93 [2]
střešní lepenka 0.93 [2]
mramor 0.93 [2]
žula 0.42 [2]
vápenná omítka 0.93 [2]
papír 0.9 [2]
textilní tapety 0.8 - 0.9 [2]
sklo 0.92 [2]
Literatura
[1] Hagentoft, C.-E. Introduction to building physics Studentlitteratur 2001
[2] Halahyja, m. a kol. Stavebná tepelná technika Jaga 1998
Příloha 2 – Pohltivost slunečního záření pro vybrané materiály a povrcho-
vé úpravy
materiál
pohltivost
sl. záření zdroj
materiál
pohltivost
sl. záření zdroj
sol[ - ]
sol[ - ]
sníh 0.15 [1]
černé nekovové povrchy 0.92 [2]
bílý nátěr 0.25 [1] červená cihla, střešní taška,
kámen
0.73 [2]
nabílený povrch 0.3 [1]
žlutá a leštěná cihla, kámen 0.60 [2]
světlé barvy 0.3 - 0.5 [1]
okenní sklo 0.05 [2]
leštěný hliník 0.3 - 0.6 [1]
matné sklo 0.50 [2]
cihla žlutá 0.55 [1]
leštěný hliník 0.20 [2]
cihla červená 0.75 [1]
ocel 0.50 [2]
beton 0.6 - 0.7 [1]
bílá barva 0.20 [2]
listy, tráva 0.75 [1]
světlé povrchy podlah 0.6 - 0.7 [1]
tmavé povrchy podlah, koberce 0.8 - 0.9 [1]
vlhká zemina 0.9 [1]
břidlice tmavě šedá 0.9 [1]
bitumen 0.93 [1]
Literatura
[1] Hagentoft, C.-E. Introduction to building physics Studentlitteratur 2001
[2] Halahyja, m. a kol. Stavebná tepelná technika Jaga 1998