曲面の同相写像のホモトピーとイソトピー - Hiroshima …1 概念の準備 1.1 曲面, ホモトピー, イソトピー この論文を通して, 曲面の二つのPL
見える曲面,見えない曲面 - 東京大学...1.曲面の例 トーラス...
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見える曲面,見えない曲面
沼田市中学生のための玉原数学教室
2012年10月13日
東京大学大学院数理科学研究科
今野 宏
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1.曲面の例
トーラス (ドーナツの表面)
2次元円板 (境界を含まない)
無限にのびた円柱
種数 g の閉曲面
g
球面(球の表面)
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2.曲面とは
• 曲面とは各点で2次元の広がりを持った図形のことである。すなわち、曲面上のどの点の周りも2次元円板と同じである。
• 「有限の大きさ」を持つ曲面で、曲面上を動いていても外には出ないものを閉曲面という。
• 球面、トーラス、種数 g の閉曲面 は閉曲面
• 境界のない2次元円板、無限にのびた円柱は閉曲面ではない。
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3.閉曲面の区別のしかた
曲面 X を伸び縮みさせることにより、
曲面 Y に変形することができるとき、
「曲面 X と曲面 Y は同じ」 であるという。(注)
(トポロジーの考え方)
X Y
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4.「異なる」曲面の例
球面とトーラスは異なる曲面である。
(証明)
球面上の円周は、必ず球面上で1点につぶすことができる。
一方、トーラス上の円周で、トーラス上では1点につぶせないものがある。
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5.閉曲面の作り方(1)
境界を持つ 2次元円板
境界で 貼り合せる
2次元球面
長方形 向かい合う辺 で貼り合せる トーラス
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6.メビウスの帯
向かい合う辺 で貼り合せる メビウスの帯
長方形
メビウスの帯の性質 1.円周を境界に持つ曲面である。 2.表裏の区別がない。
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7.閉曲面の作り方(2)
射影空間
2次元円板 メビウスの帯 境界で 貼り合せる
3次元ユークリッド空間に「入れる」ことができない。
射影空間は「見えない曲面」である。
射影空間の性質
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8.閉曲面の作り方(3)
長方形 向かい合う辺 で貼り合せる
クラインの壺も「見えない曲面」である。
クラインの壺
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9.連結和(1)
M= N=
から2次元円板を取り除いて貼り合せる。
閉曲面
MとNの連結和 M # N
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10.連結和(2)
T をトーラスとするとき
1.Σg # Σh = Σg+h
2.Σg = T # T # … # T (g 個) (= g T と表す)
Σg= 種数 g の閉曲面
g
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11.連結和(3)
P = 射影空間、K =クラインの壺 ⇒ P # P = K
(証明)
P # P = と を境界で貼り合せたもの
と =
= = K
を貼り合せたもの
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12.連結和(4)
P = 射影空間、T = トーラス ⇒ T # P = P # P # P
(証明)
= K # P
=
=
U
U =
T # P =
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13.連結和(5)
Σ2 # P = ( T # T ) # P
= T # ( T # P )
= T # ( P # P # P )
= ( T # P ) # ( P # P )
= ( P # P # P ) # ( P # P )
= 5 P
Σ3 # P = ( T # T # T) # P = 7 P
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14.閉曲面の分類
定理 閉曲面は次のいずれかと同じである。
g T ( g 個のトーラスの連結和、g は 0 以上)
( g=0 のときは球面、 g=1 のときはトーラス、
g が 2 以上のときは種数 g の閉曲面)
「見える」 曲面
n P ( n 個の射影空間の連結和、n は 1 以上)
「見えない」曲面
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15.図形から空間へ
• 「見える」曲面
3次元ユークリッド空間の中に入っている。
• 「見えない」曲面
3次元ユークリッド空間には入らない。
• ユークリッド空間は単なる「入れ物」であり、
曲面自身が独立した対象である。
• 曲面を「ユークリッド空間内の図形」ではなく、
「2次元の空間」と考えるべきである。
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16.高次元の空間へ
中のつまった球 (境界は2次元球面)
境界で貼り合せる
3次元球面
問 3次元の空間にはどのようなものがあるか。 もっと高次元の空間ではどうか。 個々の空間には「自然な形」があるか。
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