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計量ファイナンス～計量ファイナンス分析の基本(3) ～

第3回： 10月20日（月）2時限

慶應義塾大学 総合政策学部

小暮厚之

＜本授業の資料はSFC-SFSの授業サイトにアップされています．＞

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投資機会

リスク

期待リターン

3

投資機会の拡大：ポートフォリオ

4

ポートフォリオの期待リターンとリスク

5

ポートフォリオ収益率の期待リターンとリスク：例

6

リスク=期待リターン曲線

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

σ P

μ P

(σ1, μ1)

(σ2, μ2)

w<0 またはw>1の場合はどうなる？

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ポートフォリオ収益率の確率分布：例

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３つの資産に対する「リスク=期待リターン」マップ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

σ P

μ P

（空売りを許さない場合）

σ P

μ P

9

効率的フロンティア

合理的な投資家は：リスクが同じならば，リターンが大きい資産を好むリターンが同一ならば，リスクが小さい資産を好む．

この結果，投資家のポートフォリオ選択は「効率的な」ポートフォリオのみに限定される．効率的フロンティア（曲線）に集約される．

効率的フロンティア曲線

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効率的フロンティア曲線の形

上に凸の曲線！

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安全資産を組み入れたら？

安全資産

危険資産

０

μp

σp

直線！w=1

w=0

w=危険資産への投資比率

0<w<1

w>1

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接点ポートフォリオとシャープ比

σP

μP

RF

P*

リスク・フリー・レート

接点ポートフォリオ

接点ポートフォリオとは，「シャープ比=(期待リターン－フリーレート)／リスク」を最大にするポートフォリオ

この直線の傾きが接点ポートフォリオのシャープ比

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分離定理

σP

μP

RF

P*

μ*

σ*

接線は効率的フロンティアの左上にあるから，投資家は，この接線上のいずれかのポートフォリオを選択する．

Tobin

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マーケット・ポートフォリオ

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資本市場直線

σP

μP

RF

M=P*

すべての投資家はこの直線上のポートフォリオを選ぶ

μM

σM

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実際の「マーケット・ポートフォリオ」

マーケット・ポートフォリオとして，実際には何を用いたらよいか？

日経２２５？，ＴＯＰＩＸ？，それ以外？

株式市場のベンチマークとして，どれが相応しいか

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問題！：宮川公男教授の質問

「日経平均は，現在（2002年3月29日）1万1024円94銭である．しかし２２５社中株価が1

万円を超えている企業はひとつもない．

なぜか？」

（東洋経済新報社「統計学でリスクに向きあう」）

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日経平均＝株価の平均 ただし，額面が50円になるように調整

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ＴＯＰＩＸ=株式の時価総額

問題点：１．流動性の低い株式も採用されている．２．過去の実現データから推定すると，接点ポートフォリオとは一致しない．

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個別株式とマーケットポートフォリオ

マーケットに依存しない個別株式の固有リターン

マーケット・リターンに対する個別リターンの反応度

マーケット・リスクに対する感応度リスク

マーケットに依存しない個別株式の固有リスク

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例：Russel/Nomura 日本株スタイルインデックス

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システマティック・リスクと固有リスク

「大数の法則」により，株式数を増やせば，誤差項の平均はゼロに近づく

固有リスクは，多数の株式のポートフォリオ組成によって消去可能．マーケット・リスクこそが本質的なリスク＝システマティック・リスク

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システマティック・リスク

εは消去可能なリスク

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システマティック・リスク

保険や不動産の場合は?

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Capital Asset Pricing Model

ρiは相関係数

超過期待リターンで考えると，「アルファ」は存在しない

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証券市場直線（CAPM)

β

μ

RF

M

効率的な市場ではすべての資産はこの直線上

μM

1

CAPMの実証分析：ベータとアルファ

回帰分析とは？

ある変数の動きを別の変数（場合によっては複数）の動きによって記述し，評価することを目的とする．

動きを説明したい変数=ｙ

説明に用いる変数=x

Xが動いてyが動く

y x

従属変数 独立変数

被説明変数 説明変数

被予測変数 予測変数

単回帰

Yを説明する変数はxのみ

例：マーケット・モデルy=トヨタの収益率,

x=TOPIXの収益率

モデル

誤差項を含める理由

たとえ説明変数を複数に増やしても，現実にはモデル

には含まれない要因がある．

例えば，yがトヨタ株の収益率であれば，世の中の多種多様な情報がそれに影響を与える．

そもそもyに与える要因の中には，観測できないものや計測できないものがる．

例えば，テロ，台風，粉飾決済（イベントリスク）

いかにデータにモデルをフィットさせるか：推定

Y切片がα

傾きがβ

最小２乗法 (Ordinary Least Squares, OLS)

Tは観測値の個数

推定法

最小２乗法=モーメント法

最尤法=効率的な推定

一般化モーメント法

例：ヘッジファンド

年(t) ファンド jの超過収益率 マーケットの超過収益率

1 17.8 13.7

2 39.0 23.2

3 12.8 6.9

4 24.2 16.8

5 17.2 12.3

回帰直線:どこの誤差？

x

y

回帰直線:絶対値or２乗

x

y

OLSによる回帰直線

推定値をいかに用いるか

母集団と標本

母集団＝研究の対象の全体例えば，東証一部上場銘柄の全時系列データ

抽出

標本＝ランダムに抽出された観測値＝母集団を代表している

母集団標本

母集団回帰直線と標本回帰直線

回帰予測値：ｙのフィットされた値

残差：標本回帰直線の誤差

注意！：誤差項を含む

通常の線形回帰モデルの仮定

OLS推定量の性質

分散が小さい

分散が大きい

β

OLS推定量の分散

分散が小さくなるのは：

1.誤差分散が小さ2.xの分散が大きい

分散が小さくなるのは：

1.誤差分散が小さ2.xの分散が大きい3.xの平均が小さい

誤差分散の推定

統計的推測（検定）入門

統計的推測（検定）入門

統計的推測（検定）入門

t分布と正規分布

t分布は自由度というパラメータを持つ

自由度が大きくなると標準正規分布に近づく

N(0,1)

自由度1

自由度10

統計的推測（検定）入門（続き）

統計的推測（検定）入門（両側検定）

2.5%棄却域 2.5%棄却域95%非棄却域

-1.999=t(0.025) +1.999=1-0.025

統計的推測（検定）入門（片側検定）

5%棄却域

95%非棄却域

-1.670=t(0.05)

仮説検定の考え方

P値（片側検定の場合）

5%棄却域 95%非棄却域

-1.670 Ｔ値=-1.098

P値=0.138

P値

例：投資信託はマーケットに勝るか？

投信のアルファとベータ

アルファのｔ値のヒストグラム手数料を考慮しない場合

手数料を考慮する場合

例：Russel/Nomura 日本株スタイルインデックス

Rによる回帰分析

Rによる回帰分析のアウトプット

用語 意味

residuals 残差

coefficients 回帰係数（αとβ）

estimate 推定値

Std error. 標準誤差

t value t値

Pr(>|t|) Ｐ値

Signf. codes 帰無仮説を棄却できる有意水準の値

Residual standard error 残差標準誤差=s

degrees of freedom 自由度

Multiple R-squared 重相関係数，R２乗

次回10月27日（月)は，金融データベースの利用とＲのインストールを行います．

（１）次回から毎回パソコンを持ってくること．（２）Ｒの最新ファイル「R-2.7.2-win32.exe」（約31メガバイト）を自分のパソコンの適当な場所（デスクトップなど）あるいはUSBメモリー（ITCのパソコンを使う人）にダウロードしておくこと．

「R-2.7.2-win32.exe」の入手先（１）Ｒの筑波大サイトhttp://cran.md.tsukuba.ac.jp/bin/windows/base/old/2.7.2/R-2.7.2-win32.exe

（2）東大サイトftp://ftp.ecc.u-tokyo.ac.jp/CRAN/bin/windows/base/old/2.7.2/R-2.7.2-win32.exe

(3) 会津大サイトftp://ftp.u-aizu.ac.jp/pub/lang/R/CRAN/bin/windows/base/old/2.7.2/R-2.7.2-win32.exe

（4）授業サイトhttp://web.sfc.keio.ac.jp/~kogure/soft/R/R-2.7.2-win32.exe

Rのファイルのダウンロードの方法

（１）インターネットエクスプローラー(IE)等のブラウザーを起動

（２）メニューバーにある「ファイル」から「開く」を選択

（３）「ファイルを開く」という名称の窓が開くので，そこにＲのファイルのアドレス，たとえば

http://cran.md.tsukuba.ac.jp/bin/windows/base/R-2.7.2-win32.exe

をタイプ

（４）「このファイルを実行または保存しますか」という名称の窓が開くので，「保存」を選択．

（５）「名前を付けて保存」という名称の窓が開くので，「保存する場所」をデスクトップやＵＳＢメモリー （ITCのパソコンを使う人）など適当な場所に選択し，「保存」をクリック

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付録：危険資産と安全資産の組み合わせ