미적분

정답과 풀이

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 1 18. 11. 2. 오전 10:39

수열의 극한

I

I-1 I 수열의 극한 006~017쪽

01 답 ⑴0　⑵1　⑶1　⑷5풀이 ⑴ 주어진 수열의 일반항

O

an

n1

1

2 3 4

n1`an=

을 a_n이라 하면 a_n=1/n

오른쪽 그래프에서 n이 한없

이 커질 때 a_n의 값은 0에 한

없이 가까워지므로

limn=inf a_n=0

⑵ 주어진 수열의 일반항을 a_n이

1

1

2 3 4O

an

n21 라 하면 a_n=

nn+1

오른쪽 그래프에서 n이 한없

이 커질 때 a_n의 값은 1에 한없이 가까워지므로

limn=inf a_n=1

⑶ 주어진 수열의 일반항을 a_n이

1

1

2 3 4O

an

n

라 하면 a_n=1-1/n

오른쪽 그래프에서 n이 한없

이 커질 때 a_n의 값은 1에 한없이 가까워지므로

limn=inf a_n=1

⑷ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하

1

5

2 3 4O

an

n

면 a_n=5

오른쪽 그래프에서 n이 한없이 커질

때 a_n의 값은 5에 한없이 가까워지

므로

limn=inf a_n=5

02 답 풀이참조풀이 ⑴ 주어진 수열의 일반항을

1

1234

2 3 4

an=n

O

an

n

a_n이라 하면 a_n=n

오른쪽 그래프에서 n이 한없이

커질 때 a_n의 값은 한없이 커지

므로

limn=inf a_n=inf(발산)

⑵ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면

O

an

n43

21

10

5

-5

a_n=15-5n

오른쪽 그래프에서 n이 한없이 커질 때

a_n의 값은 음수이면서 그 절댓값이 한

없이 커지므로

limn=inf a_n=-inf(발산)

⑶ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면

O

an

n1

24

8

16

234

a_n=2^n

오른쪽 그래프에서 n이 한없이 커질 때

a_n의 값은 한없이 커지므로

limn=inf a_n=inf(발산)

⑷ 주어진 수열의 일반항을 a_n이

12

34

1

-1O

an

n

라 하면 a_n=(-1)^n

오른쪽 그래프에서 n이 한없

이 커질 때 a_n의 값은 일정한

수에 수렴하지도 않고, 양의

무한대 또는 음의 무한대로 발산하지도 않으므로 진동한

다. 따라서 이 수열은 발산(진동)한다.

03 답 ⑴발산　⑵수렴,0　⑶발산　⑷수렴,0 ⑸발산　⑹발산

풀이 ⑴ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=n^2

n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 한없이 커지므로 이 수열

은 양의 무한대로 발산한다.

⑵ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=1/2n

n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 0에 한없이 가까워지므로

이 수열은 수렴하고, 그 극한값은 0이다.

⑶ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=1+(-1)^n

n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 0, 2, 0, 2, .c3와 같이 일

정한 수에 수렴하지도 않고, 양의 무한대 또는 음의 무

한대로 발산하지도 않으므로 진동한다. 따라서 이 수열

은 발산(진동)한다.

⑷ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=-&^(&2/3&^)^^n-1

n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 0에 한없이 가까워지므로

이 수열은 수렴하고, 그 극한값은 0이다.

⑸ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=10-4n

n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 음수이면서 그 절댓값이

한없이 커지므로 이 수열은 음의 무한대로 발산한다.

⑹ 주어진 수열의 일반항을 a_n이라 하면 a_n=n(n+1)

n이 한없이 커질 때 a_n의 값은 한없이 커지므로 이 수열

은 양의 무한대로 발산한다.

04 답 ⑴수렴,0　⑵발산　⑶수렴,2　⑷발산　⑸발산풀이 ⑴ n이 한없이 커질 때 1

2n+1 의 값은 0에 한없이 가

까워지므로 수열 ^{1

2n+1^}은 수렴하고, 그 극한값은 0

이다.

∴ limn=inf 1

2n+1=0

⑵ n이 한없이 커질 때 n^2&+4n의 값은 한없이 커지므로 수

열 {n^2&+4n}은 양의 무한대로 발산한다.

∴ limn=inf`(n^2&+4n)=inf

002 정답과 풀이

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 2 18. 10. 26. 오후 8:51

⑶ n이 한없이 커질 때 2-^(1/5^)^^n의 값은 2에 한없이 가까

워지므로 수열 ^{2-^(1/5^)^^n^}은 수렴하고, 그 극한값은 2

이다.

∴ limn=inf ^{2-^(1/5^)^^n^}=2

⑷ n이 한없이 커질 때 -n^2+1

3n 의 값은 음수이면서 그 절

댓값이 한없이 커지므로 수열 ^{-n^2+1

3n^}은 음의 무한대

로 발산한다.

∴ limn=inf -n^2+1

3n=-inf

⑸ n이 한없이 커질 때 n\(-1)^n의 값은 -1, 2,-3, 4,

.c3와 같이 일정한 수에 수렴하지도 않고, 양의 무한대

또는 음의 무한대로 발산하지도 않으므로 진동한다. 따

라서 이 수열은 발산(진동)한다.

05 답 ⑴-1　⑵3　⑶-2　⑷-1/2풀이 ⑴ limn=inf (a_n&+b_n)=limn=inf a_n&+limn=inf b_n=1+(-2)=-1

⑵ limn=inf (a_n&-b_n)=limn=inf a_n&-limn=inf b_n=1-(-2)=3

⑶ limn=inf a_n&b_n=limn=inf a_n&\limn=inf b_n=1\(-2)=-2

⑷ limn=inf a_nb_n

=limn=inf`a_n

limn=inf`b_n=-1/2

06 답 ⑴3　⑵5　⑶1　⑷2풀이 ⑴ limn=inf`^(&3+4/n^)=limn=inf`3+4` limn=inf`1/n=3+4\0=3

⑵ limn=inf`^(5-1/n^)=limn=inf`5-limn=inf`1/n=5-0=5

⑶ limn=inf`^(1+3/n^)^(1-3/n^)=limn=inf`^(1+3/n^)`limn=inf`^(1-3/n^)

=1\1=1

⑷ limn=inf`4+2/n+

1n^2

2-5/n=

limn=inf`^(4+2/n+1n^2

^)

limn=inf`^(2-5/n&^)=4/2=2

07 답 ⑴1/2　⑵4/3　⑶0　⑷1/2풀이 ⑴ n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`n-12n+1

=limn=inf`1-1/n

2+1/n=

1-02+0

=1/2

⑵ n^2으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`4n^2+33n^2+n

=limn=inf`4+

3n^2

3+1/n=

4+03+0

=4/3

⑶ n^2으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`-3n+2

(n+1)(n+3)=limn=inf`

-3n+2n^2+4n+3

=limn=inf`

-3/n+2n^2

1+4/n+3n^2

=0+0

1+0+0=0

⑷ rtn으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`rtn

rtn+2&+rtn=limn=inf`

rt1

41+2/nr+rt1

=1

1+1=1/2

08 답 ⑴1/2　⑵3　⑶2

풀이 ⑴ 1+2+3+.c3+n=sigk=1^n `k=n(n+1)

2 이므로

limn=inf` 1+2+3+.c3+nn^2

=limn=inf`n(n+1)2n^2

=limn=inf`n+12n

=1/2

⑵ 1^2&+2^2&+3^2&+.c3+n^2=sigk=1^n `k^2

=n(n+1)(2n+1)

6

이므로

limn=inf`n^3

1^2+2^2+3^2+.c3+n^2=limn=inf`

6n^3n(n+1)(2n+1)

=3

⑶ ^(1+1/2^)^(1+1/3^)^(1+1/4^).c3^(1+1

n+1`^)

=3/2\4/3\5/4\.c3\n+2n+1

~=n+22

`

이므로

limn=inf`n

^(1+1/2^)^(1+1/3^)^(1+1/4^).c3^(1+1

n+1^)

=limn=inf`2nn+2

=2

09 답 ⑴12　⑵4　⑶-2

풀이 ⑴ limn=inf`an-14n+2

=limn=inf`a-1/n

4+2/n=a/4

즉, a/4=3이므로 a=12

⑵ limn=inf`2(2n+3)(n-2)

an^2+1=limn=inf`

4n^2-2n-12an^2+1

=limn=inf`

4-2/n-12

n^2

a+1

n^2

=4/a

즉, 4/a=1이므로 a=4

⑶ limn=inf`an^2-2n+3(n+4)^2

=limn=inf`an^2-2n+3n^2+8n+16

=limn=inf`a-2/n+

3

n^2

1+8/n+16

n^2

=a

∴ a=-2

I. 수열의 극한 003

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 3 18. 10. 26. 오후 8:51

10 답 ⑴a=0,b=4　　　⑵a=0,b=-3

⑶a=-1/2,b=1/2

풀이 ⑴ limn=inf`an^2+bn+1

2n-3 에서 anot=0이면 발산하므로 a=0

(좌변)=limn=inf`bn+12n-3

=b/2=2

∴ b=4

⑵ limn=inf`bn^2-4n+3an^3+n^2-1

에서 anot=0이면

limn=inf`bn^2-4n+3an^3+n^2-1

=0이므로

a=0

(좌변)=limn=inf`bn^2-4n+3

n^2-1=b

∴ b=-3

⑶ limn=inf`(a+b)n^2+bn

rt9n^2+4n+1 에서 a+bnot=0이면 발산하므로

a+b=0　　.c3.c3 ㉠

(좌변)=limn=inf`bn

rt9n^2+4n+1

=limn=inf`b

59+4/n+1n^2

b

=b/3=1/6

∴ b=1/2

b=1/2을 ㉠에 대입하면 a=-1/2

11 답 ⑴inf　⑵-inf　⑶0　⑷inf　⑸1/2

풀이 ⑴ limn=inf`(n^2&-2n)=limn=inf`n^2^(1-2/n)

이때 limn=inf`n^2=inf, limn=inf`^(1-2/n)=1이므로

limn=inf`(n^2&-2n)=inf

⑵ limn=inf`n^(n-1/5&n^2)=limn=inf`n^2^(1-1/5&n)

이때 limn=inf`n^2=inf, limn=inf`^(1-1/5&n)=-inf이므로

limn=inf`n^(n-1/5&n^2)=-inf

⑶ 분모를 1로 보고 분자를 유리화하면

limn=inf`(n-rtn^2+1&~) =limn=inf`n-rtn^2+1

1

=limn=inf`(n-rtn^2+1&~)(n+rtn^2+1&~)

n+rtn^2+1

=limn=inf`-1

n+rtn^2+1=0

⑷ 분모를 유리화하면

limn=inf`1

rtn+3&-rtn =limn=inf`

rtn+3&+rtn

(rtn+3&-rtn&)(rtn+3&+rtn&)

=limn=inf`rtn+3&+rtn

3=inf

⑸ 분모를 유리화하면

limn=inf`1

rtn(n+4)&-n

=limn=inf`rtn(n+4)&+n

{rtn(n+4)&-n}{rtn(n+4)&+n}

=limn=inf`rtn(n+4)&+nn(n+4)-n^2

=limn=inf`rtn^2+4n&+n

4n

=limn=inf`41+4/nr+1

4=

1+14

=1/2

12 답 ⑴0　⑵2　⑶1/2　⑷1/2풀이 ⑴ limn=inf`(rtn+2&-rtn+1&~)

=limn=inf`(rtn+2&-rtn+1&~)(rtn+2&+rtn+1&~)

rtn+2&+rtn+1

=limn=inf`1

rtn+2&+rtn+1=0

⑵ limn=inf`(rtn^2+2n&-rtn^2-2n&~)

=limn=inf`(rtn^2+2n&-rtn^2-2n&~)(rtn^2+2n&+rtn^2-2n&~)

rtn^2+2n&+rtn^2-2n

=limn=inf`4n

rtn^2+2n&+rtn^2-2n

=limn=inf`4

41+2/nf+41-2/nf

=4

1+1=2

⑶ limn=inf`(rtn^2+n+1&-n)

=limn=inf`(rtn^2+n+1&-n)(rtn^2+n+1&+n)

rtn^2+n+1&+n

=limn=inf`n+1&

rtn^2+n+1&+n

=limn=inf`1+1/n

41+1/n+1n^2v+1

=1

1+1=1/2

⑷ limn=inf`1

rtn^2+4n&-n =limn=inf`

rtn^2+4n&+n

(rtn^2+4n&-n)(rtn^2+4n&+n)

=limn=inf`rtn^2+4n&+n

4n

=limn=inf`41+4/nr+1

4

=1+14

=1/2

13 답 ⑴2　⑵3/4　⑶1　⑷2rt2

풀이 ⑴ (좌변) =limn=inf`(rtn^2+an&-n)(rtn^2+an&+n)

rtn^2+an&+n

004 정답과 풀이

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 4 18. 11. 7. 오후 5:02

=limn=inf`an&

rtn^2+an&+n=limn=inf`

a

41+a/nr+1

=a/2

즉, a/2=1이므로 a=2

⑵ (좌변) =limn=inf`a(rt4n^2-n&+2n)

(rt4n^2-n&-2n)(rt4n^2-n&+2n)

=limn=inf`a(rt4n^2-n&+2n)

-n

=limn=inf`a^(44-1/nr+2^)

-1

=-4a

즉, -4a=-3이므로 a=3/4

⑶ (좌변) =limn=inf`(rtn^2+an&-rtn^2+3&~)&(rtn^2+an&+rtn^2+3&~)

rtn^2+an&+rtn^2+3

=limn=inf`an-3

rtn^2+an&+rtn^2+3

=limn=inf`a-3/n

41+a/n r+41+3n^2r=a/2

즉, a/2=1/2이므로 a=1

⑷ (좌변) =limn=inf`artnq&(rt2n+1&-rt2n-1~~)(rt2n+1&+rt2n-1~~)

rt2n+1&+rt2n-1

=limn=inf`2artnq

rt2n+1&+rt2n-1

=limn=inf`2a

42+1/nr+42-1/nr~

=a

rt2

즉, a

rt2=2이므로 a=2rt2

14 답 ⑴-7　⑵1/4　⑶20　⑷-3　⑸-1/2

풀이 ⑴ 5a_n-33a_n+2

=b_n으로 놓으면 5a_n&-3=b_n(3a_n&+2)에서

a_n(5-3b_n)=3+2b_n

∴ a_n=3+2b_n5-3b_n

이때 limn=inf`b_n=2이므로

limn=inf`a_n=limn=inf`3+2b_n5-3b_n

=3+2\25-3\2

=-7

⑵ 3a_n-2a_n+1

=b_n으로 놓으면

3a_n&-2=b_n(a_n&+1)에서

a_n&(3-b_n&)=2+b_n&

∴ a_n=2+b_n3-b_n

이때 limn=inf`b_n=-1이므로

limn=inf`a_n=limn=inf`2+b_n3-b_n

=2-1

3-(-1)=1/4

⑶ na_n=b_n으로 놓으면 a_n=b_nn

이때 limn=inf`b_n=5이므로

limn=inf`(4n-3)a_n =limn=inf`(4n-3)b_n

n=limn=inf`^(4-3/n^)b_n

=4\5=20

⑷ a_n

3n+5=b_n으로 놓으면 a_n=(3n+5)b_n

이때 limn=inf`b_n=-4이므로

limn=inf`4a_n

16n+3 =limn=inf`

4(3n+5)b_n16n+3

=limn=inf`4^(3+&5/n&^)b_n

16+3/n

=4\3\(-4)

16=-3

⑸ (2n^2&+3)a_n=b_n으로 놓으면 a_n=b_n

2n^2+3

이때 limn=inf`b_n=-1이므로

limn=infǹ^2&a_n=limn=inf`n^2&b_n

2n^2+3=limn=inf`

b_n

2+3n^2

=-12+0

=-1/2

15 답 ⑴×　⑵×　⑶×　⑷　⑸풀이 ⑴ [반례] a_n=n, b_n=1/n이면

limn=inf`a_n=inf, limn=inf`b_n=0이지만

limn=inf`a_n&b_n=limn=inf`1=1이므로 limn=inf`a_n&b_nnot=0이다.

⑵ [반례] a_n=n, b_n=2n이면

limn=inf`a_n=inf, limn=inf`b_n=inf이지만

limn=inf`b_na_n

=limn=inf`2n/n=2이므로 limn=inf`b_na_n

not=1이다.

⑶ [반례] {a_n}: 1, 0, 1, 0, 1, .c3

{b_n}: 0, 1, 0, 1, 0, .c3

이면 limn=inf`a_n&b_n=limn=inf`0=0이지만

limn=inf`a_nnot=0, limn=inf`b_nnot=0이다.

⑷ a_n&-b_n=c_n이라 하면 limn=inf`c_n=3

이때 limn=inf`b_n=inf이므로

limn=inf`a_n=limn=inf`(b_n&+c_n)=inf

⑸ b_na_n

=c_n이라 하면 b_n=a_n&c_n

이때 limn=inf`c_n=1이므로

limn=inf`(a_n&-b_n)=limn=inf`(a_n&-a_n&c_n)

=limn=inf`a_n&-limn=inf`a_n&`limn=inf`c_n&

=0-0\1=0

16 답 ⑴1　⑵4　⑶3　⑷6풀이 ⑴ 1+1/n-

limn=inf`^(1+1/n^)=1, limn=inf`^(1+2/n^)=1이므로

limn=inf`a_n=1

⑵ 4n-1n+2

-

21 답 ⑴2　⑵1　⑶-4　⑷-1풀이 ⑴ 2^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`2^n^+^12^n+1

=limn=inf`2\2^n2^n+1

=limn=inf`2

1+^(&1/2&^)^^n=

21+0

=2

⑵ 9^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`9^n-3^n9^n+3^n

=limn=inf`1-^(1/3^)^^n

1+^(1/3^)^^n=

1-01+0

=1

⑶ 3^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`2^n-4\3^n2^n+3^n

=limn=inf`^(2/3^)^^n-4

^(2/3^)^^n+1=

0-40+1

=-4

⑷ 4^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`3^n^+^1-2^2^n4^n+3^n

=limn=inf`3\3^n-4^n4^n+3^n

=limn=inf`3\^(3/4^)^^n-1

1+^(3/4^)^^n

=0-11+0

=-1

22 답 ⑴3　⑵9　⑶7　⑷1　⑸1풀이 ⑴ 4^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`3\4^n+2

4^n=limn=inf`

3+2\^(1/4^)^^n

1=

3+01

=3

⑵ 3^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`3^n^+^23^n+2^n

=limn=inf`9\3^n3^n+2^n

=limn=inf`9

1+^(&2/3&^)^^n=

91+0

=9

⑶ 5^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`7\5^n-3^n5^n+3^n+1

=limn=inf`7-^(3/5^)^^n

1+^(3/5^)^^n+^(1/5^)^^n

=7-0

1+0+0=7

⑷ 4^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`4^n+2^n+1(2^n+1)^2

=limn=inf`4^n+2^n+1

4^n+2\2^n+1

=limn=inf`1+^(1/2^)^^n+^(1/4^)^^n

1+2\^(1/2^)^^n+^(1/4^)^^n

=1+0+01+0+0

=1

⑸ 6^n으로 분모, 분자를 각각 나누면

limn=inf`6^n+3^n

(3^n+1)(2^n+1) =limn=inf`

6^n+3^n6^n+3^n+2^n+1

=limn=inf`1+^(1/2^)^^n

1+^(1/2^)^^n+^(1/3^)^^n+^(1/6^)^^n

=1+0

1+0+0+0=1

23 답 ⑴0　⑵1/2　⑶1풀이 ⑴ 0

⑶ 공비가 x+3이므로 수렴하려면

-1

limn=inf` 3(1^2+2^2+3^2+.c3+n^2)n(n+1)(n-1)

=limn=inf`n(n+1)(2n+1)2n(n+1)(n-1)

=limn=inf` 2n+12(n-1)

=1

06 답 6

풀이 limn=inf`an^2+bn-1

2n+5에서 anot=0이면 발산하므로 a=0

(좌변)=limn=inf`bn-12n+5

=limn=inf`b-1/n

2+5/n=b/2=3　　∴ b=6

∴ a+b=6

07 답 -1/2풀이 limn=inf`rtn&(rtn-1&-rtn&)

=limn=inf`rtn&(rtn-1&-rtn&)(rtn-1&+rtn&)

rtn-1&+rtn

=limn=inf`-rtn&

rtn-1&+rtn=limn=inf`

-rt1&

51-1/n&t+rt1

=-11+1

=-1/2

08 답 -2풀이 a-0

∴ limn=inf`{rtn^2+4n+3&-(an+b)}

=limn=inf`{rtn^2+4n+3&-(an+b)}{rtn^2+4n+3&+(an+b)}

rtn^2+4n+3&+(an+b)

=limn=inf`n^2+4n+3-(an+b)^2

rtn^2+4n+3&+an+b

=limn=inf`(1-a^2)n^2+2(2-ab)n+3-b^2

rtn^2+4n+3&+(an+b)

=limn=inf`(1-a^2)n+2(2-ab)+

3-b^2n

51+4/n+3n^2

b+a+b/n

이때 극한값이 4이므로

1-a^2=0, 2(2-ab)1+a

=4

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2 (∵ a>0)

∴ ab=-2

09 답 -1/3

풀이 (3n+2)a_n=b_n으로 놓으면 a_n=b_n

3n+2

이때 limn=inf`b_n=-1이므로

limn=inf`(n+3)a_n =limn=inf`(n+3)b_n3n+2

=limn=inf`^(1+&3/n&^)b_n

3+2/n

=1\(-1)

3=-1/3

10 답 ㄴ풀이 ㄱ. [반례] {a_n}: 1, 0, 1, 0, 1, .c3

{b_n}: 0, 1, 0, 1, 0, .c3

이면 두 수열 {a_n}, {b_n}은 모두 발산하지만

limn=inf`a_n&b_n=0이므로 수열 {a_n&b_n}은 수렴한다.

ㄴ. a_n&-b_n=c_n이라 하면 b_n=a_n&-c_n

이때 limn=inf`a_n&=alpha (alpha는 실수), limn=inf`c_n&=0이므로

limn=inf`b_n&=limn=inf`(a_n&-c_n)=limn=inf`a_n&-limn=inf`c_n=alpha (참)

ㄷ. [반례] a_n=(-1)^n이면 limn=inf`|a_n|=1이지만 limn=inf`a_n은

발산(진동)한다.

ㄹ. [반례] a_n=1/n, b_n=2/n이면 a_n

r1par, r2par에서 limn=inf`r^n&-3^nr^n+3^n

=-1을 만족시키는 r의 값의 범위

는 |r|

03 답 ⑴수렴,2 ⑵발산 ⑶발산 ⑷수렴,4/3 ⑸발산

풀이 ⑴ 주어진 급수는 첫째항이 2/3, 공비가 2/3인 등비수

열의 합이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=2/3^{1-^(2/3^)^^n^}

1-2/3=2^{1-^(2/3^)^^n^}

∴ limn=inf`S_n=2

따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 2이다.

⑵ 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=1^2&+2^2&+3^2&+.c3+n^2

=sigk=1^n `k^2=n(n+1)(2n+1)

6

∴ limn=inf`S_n=inf

따라서 주어진 급수는 발산한다.

⑶ 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=n

∴ limn=inf`S_n=inf

따라서 주어진 급수는 발산한다.

⑷ 주어진 급수는 첫째항이 1, 공비가 1/4인 등비수열의 합

이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=1-^(1/4^)^^n

1-1/4=4/3^{1-^(1/4^)^^n^}

∴ limn=inf`S_n=4/3

따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 4/3이다.

⑸ 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=sigk=1^n (k+1)=n(n+1)

2+n=

n(n+3)2

∴ limn=inf`S_n=inf

따라서 주어진 급수는 발산한다.

04 답 ⑴2　⑵5/2　⑶9　⑷8　⑸1/2

풀이 ⑴ 주어진 급수는 첫째항이 1, 공비가 1/2인 등비수열

의 합이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=1-^(1/2^)^^n

1-1/2=2^{1-^(1/2^)^^n^}

∴ limn=inf`S_n=2

⑵ 주어진 급수는 첫째항이 1, 공비가 3/5인 등비수열의 합

이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=1-^(3/5^)^^n

1-3/5=5/2^{1-^(3/5^)^^n^}

∴ limn=inf`S_n=5/2

⑶ 주어진 급수는 첫째항이 6, 공비가 1/3인 등비수열의 합

이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=6^{1-^(1/3^)^^n^}

1-1/3=9^{1-^(1/3^)^^n^}

∴ limn=inf`S_n=9

⑷ 주어진 급수는 첫째항이 2, 공비가 3/4인 등비수열의 합

이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=2^{1-^(3/4^)^^n^}

1-3/4=8^{1-^(3/4^)^^n^}

∴ limn=inf`S_n=8

⑸ 주어진 급수는 첫째항이 1/10, 공비가 4/5인 등비수열의

합이므로 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_n=1/10^{1-^(4/5^)^^n^}

1-4/5=1/2^{1-^(4/5^)^^n^}

∴ limn=inf`S_n=1/2

05 답 ⑴1/2　⑵1/2　⑶3/4　⑷2풀이 ⑴ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을

S_n이라 하면

a_n=1

(2n-1)(2n+1)=1/2&^(

12n-1

-1

2n+1^)

이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n 1/2&^(1

2k-1-

12k+1

^)

=1/2`sigk=1^n &^(1

2k-1-

12k+1

^)

=1/2^{^(1-1/3^)+^(1/3-1/5^)+^(1/5-1/7^)+.c3

+^(1

2n-1-

12n+1

^)^}

=1/2&^(1-1

2n+1^)=

n2n+1

∴ limn=inf`S_n=1/2

⑵ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이

라 하면

a_n=1

(n+1)(n+2)=

1n+1

-1

n+2

이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n ^(1

k+1-

1k+2

^)

I. 수열의 극한 011

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 11 18. 10. 26. 오후 8:51

=^(1/2-1/3^)+^(1/3-1/4^)+^(1/4-1/5^)+.c3

+^(1

n+1-

1n+2

^)

=1/2-1

n+2

∴ limn=inf`S_n=1/2

⑶ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이

라 하면

a_n=1

n(n+2)=1/2&^(&1/n-

1n+2

^)

이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n 1/2^(1/k-1

k+2^)

=1/2`sigk=1^n ^(1/k-1

k+2^)

=1/2^{^(1-1/3^)+^(1/2-1/4^)+^(1/3-1/5^)+.c3

+^(1

n-1-

1n+1

^)+^(1/n-1

n+2^)^}

=1/2&^(1+1/2-1

n+1-

1n+2

^)

∴ limn=inf`S_n=3/4

⑷ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이

라 하면

a_n =1

1+2+3+.c3+n=

1n(n+1)

2

=2

n(n+1)=2^(&1/n-

1n+1

^)

이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n 2^(1/k-1

k+1^)

=2^{^(1-1/2^)+^(1/2-1/3^)+^(1/3-1/4^)+.c3

+^(1/n-1

n+1^)^}

=2&^(1-1

n+1^)

∴ limn=inf`S_n=2

06 답 ⑴발산　⑵수렴,1　⑶수렴,1　⑷발산풀이 ⑴ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을

S_n이라 하면 a_n=rtn+1&-rtnq~이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n (rtk+1&-rtk&~)

=(rt2&-1)+(rt3&-rt2&)+(2-rt3&)+.c3

+(rtn+1&-rtn&)

=rtn+1&-1

∴ limn=inf`S_n=inf

따라서 주어진 급수는 발산한다.

⑵ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이

라 하면

a_n=1

rtn-

1

rtn+1

이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n ^(1

rtn-

1

rtn+1^)

=^(1-1rt2

^)+^(1rt2

-1rt3

^)+^(1rt3

-1rt4

^)+.c3

+^(1

rtn-

1

rtn+1^)

=1-1

rtn+1

∴ limn=inf`S_n=1

따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.

⑶ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이

라 하면

a_n=1

rt2n-1-

1

rt2n+1

이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n ^(1

rt2k-1-

1

rt2k+1^)

=^(&1-1rt3

^)+^(&1rt3

-1rt5

^)+^(&1rt5

-1rt7

^)+.c3

+^(1

rt2n-1-

1

rt2n+1^)

=1-1

rt2n+1

∴ limn=inf`S_n=1

따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 1이다.

⑷ 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n이

라 하면

a_n=2

rtn+2&+rtn=rtn+2&-rtn

이므로

S_n=sigk=1^n a_k=sigk=1^n (rtk+2&-rtk&)

=(rt3&-1)+(2-rt2&~)+(rt5&-rt3&~)+.c3

+(rtn+1&-rtn-1~)+(rtn+2&-rtn&)

=rtn+1&+rtn+2&-1-rt2

∴ limn=inf`S_n=inf

따라서 주어진 급수는 발산한다.

07 답 ⑴발산　⑵수렴,0　⑶발산　⑷발산풀이 ⑴ 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_1=1, S_2=0, S_3=1, S_4=0, S_5=1, S_6=0, .c3

이므로

S_2_n-_1=1, S_2_n=0

따라서 limn=inf`S_2_n-_1 not= limn=inf`S_2_n이므로 주어진 급수는 발산

한다.

012 정답과 풀이

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 12 18. 10. 26. 오후 8:51

⑵ 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_1=0, S_2=0, S_3=0, S_4=0, .c3

이므로 S_n=0

따라서 주어진 급수는 수렴하고 그 합은 0이다.

⑶ 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_1=1, S_2=-1, S_3=2, S_4=-2, S_5=3, S_6=-3, .c3

이므로

S_2_n-_1=n, S_2_n=-n

따라서 limn=inf`S_2_n-_1not= limn=inf`S_2_n이므로 주어진 급수는 발산

한다.

⑷ 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하면

S_1=-1, S_2=-2, S_3=-3, …

이므로

S_n=-n

따라서 주어진 급수는 발산한다.

08 답 풀이참조풀이 ⑴ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면

a_n=n

n+2

이므로

limn=inf`a_n=limn=inf`n

n+2=1

따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.

⑵ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면

a_n=2n-12n+1

이므로

limn=inf`a_n=limn=inf`2n-12n+1

=1

따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.

⑶ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면

a_n=4n+1

이므로

limn=inf`a_n=limn=inf`(4n+1)=inf

따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.

⑷ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면

a_n=(-1)^n&\n

이므로 limn=inf`a_n은 존재하지 않는다.

따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.

⑸ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면

a_n=n

5n-1

이므로

limn=inf`a_n=limn=inf`n

5n-1=1/5

따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.

⑹ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면

a_n=2n

이므로

limn=inf`a_n=limn=inf`2n=inf

따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.

⑺ 주어진 급수의 제n항을 a_n이라 하면

a_n=1+(-1)^n

2

이므로 limn=inf`a_n은 존재하지 않는다.

따라서 limn=inf`a_nnot=0이므로 주어진 급수는 발산한다.

09 답 ⑴1 ⑵-2 ⑶-1/2 ⑷0 ⑸-2

⑹0 ⑺0 ⑻4/3 ⑼1/3 ⑽1/2

풀이 ⑴ sign=1 ̂ (a_n&-1)이 수렴하므로 limn=inf`(a_n&-1)=0

∴ limn=inf`a_n=1

⑵ sign=1 ̂ (a_n&+2)가 수렴하므로 limn=inf`(a_n&+2)=0

∴ limn=inf`a_n=-2

⑶ sign=1 ̂ (2a_n&+1)이 수렴하므로 limn=inf`(2a_n&+1)=0

∴ limn=inf`a_n=-1/2

⑷ sign=1 ̂ ^(a_n&-1/n^)이 수렴하므로 limn=inf`^(a_n&-1/n^)=0

∴ limn=inf`a_n=limn=inf`1/n=0

⑸ sign=1 ̂ ^(a_n&+4n

2n+3^)이 수렴하므로 limn=inf`^(a_n&+

4n2n+3

^)=0

∴ limn=inf`a_n=limn=inf`^(-4n

2n+3^)=-2

⑹ sign=1 ̂ a_n이 수렴하므로 limn=inf`a_n=0

⑺ sign=1 ̂ a_n3

이 수렴하므로 limn=inf`a_n3=0

∴ limn=inf`a_n=0

⑻ sign=1 ̂ (3a_n&-4)가 수렴하므로 limn=inf`(3a_n&-4)=0

∴ limn=inf`a_n=4/3

⑼ sign=1 ̂ ^(a_n&-n-13n+1

^)이 수렴하므로 limn=inf`^(a_n&-n-13n+1

^)=0

∴ limn=inf`a_n&=limn=inf`n-13n+1

=1/3

⑽ sign=1 ̂ ^(a_n&-n^2+12n^2

^)이 수렴하므로 limn=inf`^(a_n&-n^2+12n^2

^)=0

∴ limn=inf`a_n=limn=inf`n^2+12n^2

=1/2

10 답 ⑴수렴　⑵수렴　⑶발산　⑷수렴 ⑸발산　⑹수렴　⑺발산　⑻수렴

풀이 ⑴ 주어진 급수의 공비는 1/2이고,

-1

⑵ 주어진 급수의 공비는 2/3이고,

-1

sign=1 ̂ 25^n

는 첫째항이 2/5이고, 공비가 1/5인 등비급수이다.

∴ sign=1 ̂ ^(43^n-

25^n^) =sign=1 ̂

43^n-sign=1 ̂

25^n

=4/3

1-1/3-

2/5

1-1/5

=2-1/2=3/2

⑷ sign=1 ̂ 2^n+1&3^n

=sign=1 ̂ 2^n&3^n+sign=1 ̂

1&3^n=sign=1 ̂ ^(&2/3&^)^^n&+sign=1 ̂

1&3^n

sign=1 ̂ ^(2/3^)^^n은 첫째항이 2/3이고, 공비가 2/3인 등비급수이고,

sign=1 ̂ 13^n

은 첫째항이 1/3이고, 공비가 1/3인 등비급수이다.

∴ sign=1 ̂ 2^n+13^n

=sign=1 ̂ ^(2/3^)^^n&+sign=1 ̂ 13^n

=2/3

1-2/3+

1/3

1-1/3

=2+1/2=5/2

⑸ sign=1 ̂ 2^n&-3^n4^n

=sign=1 ̂ 2^n&4^n-sign=1 ̂

3^n&4^n

=sign=1 ̂ ^(1/2^)^^n&-sign=1 ̂ ^(3/4^)^^n&

sign=1 ̂ ^(1/2^)^^n은 첫째항이 1/2이고, 공비가 1/2인 등비급수이

고, sign=1 ̂ ^(3/4^)^^n은 첫째항이 3/4이고, 공비가 3/4인 등비급

수이다.

∴ sign=1 ̂ 2^n-3^n4^n

=sign=1 ̂ ^(1/2^)^^n&-sign=1 ̂ ^(3/4^)^^n

=1/2

1-1/2-

3/4

1-3/4

=1-3=-2

⑹ sign=1 ̂ 3^n&+(-3)^n

4^n =sign=1 ̂

3^n4^n+sign=1 ̂

(-3)^n4^n

=sign=1 ̂ ^(3/4^)^^n&+sign=1 ̂ ^(-3/4^)^^n&

sign=1 ̂ ^(3/4^)^^n은 첫째항이 3/4이고, 공비가 3/4인 등비급수이고,

sign=1 ̂ ^(-3/4^)^^n은 첫째항이 -3/4이고, 공비가 -3/4인 등비

급수이다.

∴ sign=1 ̂ 3^n+(-3)^n

4^n =sign=1 ̂ ^(3/4^)^^n&+sign=1 ̂ ^(-3/4^)^^n

=3/4

1-3/4+

-3/4

1-^(&-3/4&^)

=3-3/7=18/7

⑺ sign=1 ̂ 126^n

는 첫째항이 2이고, 공비가 1/6인 등비급수이고,

sign=1 ̂ 1

3^n-^1 은 첫째항이 1이고, 공비가 1/3인 등비급수이다.

∴ sign=1 ̂ ^(126^n

+1

3^n-^1^) =sign=1 ̂

126^n

&+sign=1 ̂ 1

3^n-^1

=2

1-1/6+

1

1-1/3

=12/5+3/2=39/10

⑻ sign=1 ̂ 3^n^+^14^n

=sign=1 ̂ 3\^(3/4^)^^n은 첫째항이 9/4이고, 공비가 3/4

인 등비급수이고, sign=1 ̂ 42^n

는 첫째항이 2이고, 공비가 1/2인

등비급수이다.

∴ sign=1 ̂ ^(3^n^+^14^n

-42^n^) =sign=1 ̂ 3\^(3/4^)^n&-sign=1 ̂

42^n

=9/4

1-3/4-

2

1-1/2

=9-4=5

14 답 ⑴-1

∴ x=0 또는 2

20 답 1/3풀이 정사각형의 한 변의 길이를 차례대로 a_1, a_2, a_3, .c3이라

하면

a_1=1/2, a_2=^(1/2^)^^2, a_3=^(1/2^)^^3, .c3

정사각형의 넓이를 차례대로 S_1, S_2, S_3, .c3이라 하면

S_1=^(1/2^)^^2=1/4, S_2=^{^(1/2^)^^2^}^^2=1/16,

S_3=^{^(1/2^)^^3^}^^2=1/64, .c3

따라서 정사각형의 넓이는 첫째항이 1/4, 공비가 1/4인 등비

수열을 이루므로 구하는 정사각형의 넓이의 합은

S_1&+S_2&+S_3&+.c3=1/4

1-1/4`=1/3

21 답 2풀이 정사각형의 한 변의 길 A

B C

D

A¡

B¡

D¡

1a™

a™

이를 차례대로 a_1, a_2, a_3 …

이라 하면

a_1=1

a_2=A_1&B_1x이고, A_1&Cs=1이므

로

A_1&Cs=2a_2 ^2&+a_2 ^2&x=rt2&a_2=1

∴ a_2=1rt2

즉, a_n+_1=1rt2

a_n이므로 수열 {a_n}은 첫째항이 a_1=1,

공비가 1rt2

인 등비수열이다.

따라서 정사각형의 넓이는 첫째항이 a_1^2=1, 공비가

^(1rt2

^)^^2=1/2인 등비수열을 이루므로 구하는 모든 정사각형

의 넓이의 합은

1

1-1/2=2

22 답 16/3&pai풀이 원 C_1의 넓이는 pai\2^2=4pai

원 C_2의 넓이는 pai\^(2/2^)^^2=pai

원 C_3의 넓이는 pai\^(1/2^)^^2=pai/4

⋮

따라서 원의 넓이는 첫째항이 4pai, 공비가 1/4인 등비수열을

이루므로 구하는 모든 원의 넓이의 합은

4pai

1-1/4=16/3&pai

중단원 점검문제 I Ⅰ - 2. 급수 033-034쪽

01 답 4풀이 limn=inf`(S_n&+2) =limn=inf`S_n&+limn=inf`2

=sign=1 ̂ a_n&+2

=2+2=4

02 답 ㄴ풀이 주어진 급수의 제n항까지의 부분합을 S_n이라 하자.

ㄱ. S_n=(rt3&-1)+(rt5&-rt3&~)+(rt7&-rt5&~)+.c3

+(rt2n+1&-rt2n-1~)

=rt2n+1&-1

∴ limn=inf`S_n=limn=inf`(rt2n+1&-1)=inf (발산)

ㄴ. S_n=^(&1/2-1/3&^)+^(&1/3-1/4&^)+.c3+^(1

n+1 -

1n+2

^)

=1/2- 1

n+2

∴ limn=inf`S_n=limn=inf`^(&1/2-1

n+2&^)=1/2 (수렴)

ㄷ. S_n=^{-1 (n=2k-1)

0 (n=2k) (단, k는 자연수)

따라서 limn=inf`S_2_n&-_1&not=limn=inf`S_2_n&이므로 주어진 급수는 발산

한다.

따라서 수렴하는 급수는 ㄴ이다.

03 답 3/4풀이 주어진 급수의 제n항을 a_n, 제n항까지의 부분합을 S_n

이라 하면

a_n =1

(n+1)^2-1

=1

n(n+2)

=1/2&^(&1/n-1

n+2&^)

이므로

S_n=sigk=1^n `a_k=sigk=1^n `1/2^(1/k-1

k+2&^)

=1/2sigk=1^n ^(1/k-1

k+2&^)

=1/2^{^(1-1/3^)+^(1/2-1/4^)+^(1/3-1/5^)+.c3

+^(1

n-1-

1n+1

^)+^(1/n-1

n+2&`^)^}

=1/2&^(1+1/2-1

n+1-

1n+2

^)

∴ limn=inf`S_n =limn=inf`1/2&^(1+1/2-1

n+1-

1n+2

^)

=1/2&^(1+1/2&^)=3/4

I. 수열의 극한 017

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 17 18. 10. 26. 오후 8:51

04 답 1풀이 sign=2 ̂ log_2`

n^2(n-1)(n+1)

=limn=inf`sigk=2^n `log_2`k\k

(k-1)(k+1)

=limn=inf``sigk=2^n `log_2`^(k

k-1\

kk+1

^)

=limn=inf``^{log_2`^(&2/1\2/3&^)+log_2`^(&3/2\3/4&^)+

log_2`^(&4/3\4/5&^)+.c3+log_2^(n

n-1\

nn+1

`^)^}

=limn=inf``log_2`^(&2/1\2/3\3/2\3/4\4/3\4/5\.c3

\n

n-1\

nn+1

^)

=limn=inf``log_2`2nn+1

=log_2`2=1

05 답 -3풀이 sign=1 ̂ a_n이 수렴하므로 limn=inf`a_n=0

∴ limn=inf`5a_n-6n+33a_n+2n-1

=limn=inf`-6n+32n-1

=-3

06 답 1/4풀이 첫째항이 1, 공비가 2x인 등비급수의 합이 2이므로

11-2x

=2, 1-2x=1/2, 2x=1/2

∴ x=1/4

07 답 162풀이 등비수열 {a_n}의 공비를 r (-1

13 답 8/9풀이 주어진 등비급수의 공비를 r라 하면

0.o4\r^2=0.o1 .c3.c3 ㉠

이때 0.o4=0.4+0.04+0.004+.c3=0.4

1-0.1`=4/9,

0.o1=0.1+0.01+0.001+.c3=0.1

1-0.1`=1/9

이므로 이것을 ㉠에 대입하면

4/9&r^2=1/9, r^2=1/4

∴ r=1/2 (∵ r>0)

따라서 주어진 등비급수의 합은

4/9

1-1/2=8/9

14 답 9/2&pai풀이 A_1&A_2 4=3이므로 선분 A_1&A_2를 지름으로 하는 반원의

호의 길이 l_1은

l_1=1/2\2pai\3/2=3/2&pai

오른쪽 그림과 같이 선분 1 2

An An+2 An+1A_n&A_n+_1을 1 : 2로 내분하는

점이 &A_n+_2이므로

5A_n+_1&A_n+_2=2/3 5̀A_n&A_n+_1　　

∴ l_n+_1=2/3&l_n

따라서 구하는 급수의 합은 첫째항이 3/2&pai, 공비가 2/3인 등

비급수의 합이므로

sign=1 ̂ l_n=3/2&pai

1-2/3=9/2&pai

15 답 8pai-16풀이 원 C_1은 반지름의 길이가 C¡

C™T¡T™

24

a¡

2인 원이므로 넓이는

pai\2^2=4pai

오른쪽 그림에서 원 C_1에 내접

하는 정사각형의 대각선의 길

이는 4이므로 정사각형 T_1의

한 변의 길이를 a_1라 하면

2a_1^2&+a_1^2x=4, rt2& a_1=4　　∴ a_1=2rt2

따라서 정사각형 T_1의 넓이는 (2rt2&)^2=8

∴ S_1=4pai-8

한편, 정사각형 T_1에 내접하는 원 C_2의 반지름의 길이는

1/2&a_1=1/2\2rt2=rt2

이므로 원 C_2의 넓이는 pai\(rt2&)^2=2pai

원 C_2에 내접하는 정사각형의 대각선의 길이는 2rt2이므로

정사각형 T_2의 한 변의 길이를 a_2라 하면

2a_2^2&+a_2^2x=2rt2, rt2 &a_2=2rt2　　∴ a_2=2

따라서 원 C_2에 내접하는 정사각형 T_2의 넓이는 2^2=4

∴ S_2=2pai-4=1/2\(4pai-8)=1/2&S_1

⋮

따라서 수열 {S_n}은 첫째항이 4pai-8, 공비가 1/2인 등비수

열을 이루므로

sign=1 ̂`S_n=4pai-8

1-1/2=8pai-16

I. 수열의 극한 019

(001~019)미적분해설1단원ok.indd 19 18. 10. 26. 오후 8:51

미분법

Ⅱ

Ⅱ-1 I 여러 가지 함수의 미분 036~071쪽

01 답 ⑴1 ⑵inf ⑶0 ⑷0 ⑸0 ⑹1 ⑺-inf ⑻inf ⑼0 ⑽0

풀이 ⑴ limx=inf`4^x-3^x4^x+3^x

=limx=inf`

1-(3/4)^^x

1+(3/4)^^x

=1-01+0

=1

⑵ limx=inf`2^x=inf

⑶ limx=inf`0.1^x=limx=inf`(1/10)^^x=0

⑷ limx=inf`(1/3)^^x=0

⑸ limx=inf`2^2&^x5^x

=limx=inf`4&^x5^x=limx=inf`(4/5)^^x=0

⑹ limx=inf`5^x&-2^x5^x+2^x

=limx=inf`

1-(2/5)^^x

1+(2/5)^^x

=1-01+0

=1

⑺ limx=inf`(3^x&-4^x)=limx=inf`4^x^{(3/4)^^x&-1^}=-inf

⑻ limx=inf`(2^2^x&-2^x)=limx=inf`(4^x&-2^x)

=limx=inf`4^x^{1-(1/2)^^x^}=inf

⑼ limx=-inf`4^x=0

⑽ limx=-inf`2^x

2^x+2&^-^x=limx=-inf`

4^x4^x+1

=limx=-inf`1

1+(1/4)^^x

=0

다른풀이 ⑽ -x=t로 치환하면 x arr -inf이면 t arr inf이

므로

limx=-inf`2^x

2^x+2&^-^x =limt=inf`

2&^-^t2&^-^t+2&^t

=limt=inf`2&^-^2^t

2&^-^2^t+1

=limt=inf`

(1/4)^^t

(1/4)^^t&+1

=0

02 답 ⑴2 ⑵inf ⑶-inf ⑷-inf ⑸0 ⑹-1 ⑺2 ⑻1

풀이 ⑴ limx=inf`{log_2(4x+3)-log_2`x}

=limx=inf`log_2`4x+3x

=log_2`4=2

⑵ limx=inf`log_3`x=inf

⑶ limx=0+`log_5`x=-inf

⑷ limx=inf`log_1/2`x=-inf

⑸ limx=inf`log`x-1x+1

=log`1=0

⑹ limx=inf`log3&^-1`3x+1x+2

=log3&^-1`&3=-1

⑺ limx=inf`{log_3`9x-log_3(x+3)} =limx=inf`log_3`9xx+3

=log_3`9=2

⑻ limx=inf`^{log_2`1

x^2+5+log_2(2x^2&+1)^} =limx=inf`log_2`

2x^2+1x^2+5

=log_2`2=1

03 답 ⑴e^2　⑵e^5　⑶rte　⑷e^2 ⑸ 1e^3

⑹e^6　⑺rte　⑻1e^3　⑼e ⑽rte

풀이 ⑴ limx=0`(1+x)2/x=limx=0`^{(1+x)1/x^}^^2=e^2

⑵ limx=0`(1+x)5/x=limx=0`^{(1+x)1/x^}^^5=e^5

⑶ limx=0`(1+x)1/2x=limx=0`^{(1+x)1/x^}^1/2=e^1/2=rte

⑷ limx=0`(1+2x)1/x=limx=0`^{(1+2x)1/2x^}^^2=e^2

⑸ limx=0`(1-3x)1/x=limx=0`^{(1-3x)-1/3x^}^^-3=e&&^-&^3=1e^3

⑹ limx=0`(1+2x)3/x=limx=0`^{(1+2x)1/2x^}^^6=e^6

⑺ limx=0`(1-x/4)-2/x

=limx=0`^{(1-x/4)-4/x

^}^1/2=e^1/2=rte

⑻ limx=inf`(1+1/x)^^-3^^x=limx=inf`^{(1+1/x)^^x^}^^-3=e&^-&^3=1e^3

⑼ limx=inf`(1+2/x)x/2

=e

⑽ limx=inf`(1+3/x)x/6

=limx=inf`^{(1+3/x)x/3

^}^1/2=e^1/2=rte

04 답 ⑴1/2 ⑵0 ⑶3 ⑷-1/2 ⑸2 ⑹rt6 ⑺2

풀이 ⑴ ln`rte=ln`e^1/2=1/2`ln`e=1/2

⑵ ln`1=0

⑶ ln`e^3=3`ln`e=3

⑷ ln`1rte~~

=ln`e&^-&^1/2=-1/2`ln`e=-1/2

⑸ e`ln`2=2`ln`e=2

⑹ e`ln`rt6=(rt6&~)ln`e=rt6

⑺ e&`1/2`ln`4=e`ln`4^1/2=e`ln`2=2`ln`e=2

05 답 ⑴e^2　⑵1　⑶1/e　⑷ln`3　⑸ln`2풀이 ⑴ ln`x=2에서 x=e^2

⑵ ln`x=0에서 x=e^0=1

⑶ ln`x=-1에서 x=e&^-&1=1/e

⑷ e^x=3에서 x=ln`3

⑸ e^2^x=4에서 2x=ln`4=2`ln`2　　∴ x=ln`2

020 정답과 풀이

(020~031)미적분해설2단원-1ok.indd 20 18. 10. 26. 오후 8:53

06 답 ⑴2 ⑵4 ⑶3/2 ⑷3/5

⑸-1/3 ⑹-3/5 ⑺2 ⑻3/4

풀이 ⑴ limx=0`ln(1+2x)

x=limx=0`^{

ln(1+2x)2x

\2^}=2

⑵ limx=0`ln(1+4x)

x=limx=0`^{

ln(1+4x)4x

\4^}=4

⑶ limx=0`ln(1+3x)

2x=limx=0`^{

ln(1+3x)3x

\3/2^}=3/2

⑷ limx=0`ln(1+3x)

5x=limx=0`^{

ln(1+3x)3x

\3/5^}=3/5

⑸ limx=0`ln(1+x)-3x

=limx=0`^{ln(1+x)

x\(-1/3)^}=-1/3

⑹ limx=0`ln(1+3x)

-5x=limx=0`^{

ln(1+3x)3x

\(-3/5)^}=-3/5

⑺ limx=0`ln(1+2x)ln(1+x)

=limx=0`^{ln(1+2x)

2x\

xln(1+x)

\2^}

=limx=0`ln(1+2x)

2x\limx=0`

xln(1+x)

\2

=2

⑻ limx=0`ln(1+3x)ln(1+4x)

=limx=0`^{ln(1+3x)

3x\

4xln(1+4x)

\3/4^}

=limx=0`ln(1+3x)

3x~\limx=0`

4xln(1+4x)

\3/4

=3/4

07 답 ⑴2　⑵4　⑶1/2　⑷3/4　⑸-2/3

풀이 ⑴ limx=0`e^2&^x-1x

=limx=0`^(e^2&^x-12x

\2)=2

⑵ limx=0`e&^4&^x-1x

=limx=0`^(e&^4&^x-14x

\4)=4

⑶ limx=0`e&&^x-12x

=limx=0`^(e&&^x-1x

\1/2&)=1/2

⑷ limx=0`e&^3&&^x-14x

=limx=0`^(e&^3&&^x-13x

\3/4&)=3/4

⑸ limx=0`e&^2&&^x-1-3x

=limx=0`^{e&^2&&^x-12x

\(-2/3)^}=-2/3

08 답 ⑴ 2ln`10

　⑵4

ln`2　⑶

15`ln`5

　⑷-2

ln`3　⑸

13`ln`2

풀이 ⑴ limx=0`log(1+2x)

x =limx=0`^{

log(1+2x)2x

~\2^}

=1

ln`10\2=

2ln`10

⑵ limx=0`log_2(1+4x)

x =limx=0`^{

log_2(1+4x)4x

\4^}

=1

ln`2\4=

4ln`2

⑶ limx=0`log_5(1+x)

5x =limx=0`^{

log_5(1+x)x

&\1/5^}

=1

ln`5\1/5=

15`ln`5

⑷ limx=0`log_3(1+6x)

-3x =limx=0`^{

log_3(1+6x)6x

\(-2)^}

=1

ln`3\(-2)=-

2ln`3

⑸ limx=0`log_2(3+x)-log_2`3

x=limx=0`

log_2(1+x/3&)

x

=limx=0`^^{log_2(1+x/3&)

x/3\1/3^^}

=1

ln`2\1/3=

13`ln`2

09 답 ⑴1/2ln`3 ⑵3/5ln`2 ⑶ 1ln`2

⑷ln`3/2 ⑸1/3`ln`2

풀이 ⑴ limx=0`3^x-12x

=limx=0`^(3^x-1x

~\1/2&)=1/2ln`3

⑵ limx=0`3(2^x-1)

5x=limx=0`^(

2^x-1x

\3/5&)=3/5ln`2

⑶ limx=0`x

2^x-1=limx=0`

12^x-1x

=1

ln`2

⑷ limx=0`3^x-2^x

x =limx=0`

3^x-1-2^x+1x

=limx=0`^(3^x-1x

-2^x-1x

)

=ln`3-ln`2=ln`3/2

⑸ limx=0`6^x-3^x3x

=limx=0`1/3&(6^x-1-3^x+1

x)

=limx=0`1/3&(6^x-1x

-3^x-1x

)

=1/3(ln`6-ln`3)

=1/3 ln`2

10 답 ⑴1　⑵2　⑶1　⑷- 1ln`2　⑸1/2`ln`5

풀이 ⑴ 1/x=t로 놓으면 x arr inf일 때 t arr 0이므로

limx=inf`x{ln(x+1)-ln`x}

=limx=inf`x`ln`x+1x

=limx=inf`x`ln(1+1/x)

=limt=0`ln(1+t)

t=1

⑵ 1/x=t로 놓으면 x arr inf일 때 t arr 0이므로

limx=inf`x{ln(x+2)-ln`x} =limx=inf`x`ln`x+2x

Ⅱ. 미분법 021

(020~031)미적분해설2단원-1ok.indd 21 18. 10. 26. 오후 8:53

=limx=inf`x`ln(1+2/x)

=limt=0`ln(1+2t)

t

=limt=0`^{ln(1+2t)

2t\2^}=2

⑶ x-2=t로 놓으면 x arr 2일 때 t arr 0이므로

limx=2`e^x&^-^2-1x-2

=limt=0`e^t-1t

=1

⑷ x-1=t로 놓으면 x=t+1이고, x arr 1일 때 t arr 0이

므로

limx=1`log_2`x1-x

=limt=0`log_2`(t+1)

-t=-

1ln`2

⑸ x-1=t로 놓으면 x=t+1이고, x arr 1일 때 t arr 0이

므로

limx=1`5^x&^-&1-1

(x-1)(x+1)=limt=0`

5^t-1t(t+2)

=limt=0`^(5^t-1t

\1

t+2)

=limt=0`5^t-1t

\limt=0`1

t+2

=ln`5\1/2=1/2`ln`5

11 답 ⑴y'=e^x+1 ⑵y'=e^x+^3 ⑶y'=e^x^-^2 ⑷y'=4e^x ⑸y'=-e^x+^2

풀이 ⑴ y=e^x+1=e\e^x이므로 y'=e\e^x=e^x+1

⑵ y=e^x+^3=e^3&\e^x이므로 y'=e^3&\e^x=e^x+^3

⑶ y=e^x^-^2=e&^-&^2&\e^x이므로 y'=e&^-&^2&\e^x=e^x^-^2

⑷ y=4e^x이므로 y'=4e^x

⑸ y=-e^x+^2=-e^2&\e^x이므로 y'=-e^2&\e^x=-e^x+^2

12 답 ⑴y'=(1+x)e^x ⑵y'=e^x&+1 ⑶y'=e^x&-6x ⑷y'=(x^2&+2x)e^x

⑸y'=(x^2&+x-1)e^x+1

풀이 ⑴ y'=1\e^x&+x\e^x=(1+x)e^x

⑵ y'=e^x&+1

⑶ y'=e^x&-3\2x=e^x&-6x

⑷ y'=2x\e^x&+x^2&\e^x=(x^2&+2x)e^x

⑸ y'=e^x&&+1&\(x^2&-x)+e^x&&+1&\(2x-1)

=(x^2&+x-1)e^x&&+1

13 답 ⑴y'= 2^x`ln`22　⑵y'=3^x+1`ln`3　⑶y'=

5^x`ln`525

⑷y'=4^x`ln`4　⑸y'=-3^x풀이 ⑴ y=2^x^-1=2&^-&1&\2^x이므로

y'=2&^-&1&\2^x`ln`2=2^x`ln`2

2

⑵ y=3^x+1=3\3^x이므로

y'=3\3^x`ln`3=3^x+1`ln`3

⑶ y=5^x^-^2=5&^-&^2&\5^x이므로

y'=5&^-&^2&\5^x`ln`5=5^x`ln`525

⑷ y=2^2^x=4^x이므로 y'=4^x`ln`4

⑸ y=-1

ln`3\3^x이므로

y'=-1

ln`3\3^x`ln`3=-3^x

14 답 ⑴y'=3^x(1+x`ln`3) ⑵y'=5^x`ln`5-1 ⑶y'=4^x`ln`4+2^x`ln`2 ⑷y'=7^x(x^2`ln`7+2x)

⑸y'=2^x{(x-1)ln`2+1}

풀이 ⑴ y'=1\3^x&+x\3^x`ln`3=3^x(1+x`ln`3)

⑵ y'=5^x`ln`5-1

⑶ y=2^2^x&+2^x=4^x&+2^x이므로 y'=4^x`ln`4+2^x`ln`2

⑷ y'=2x\7^x&+x^2&\7^x`ln`7=7^x(x^2`ln`7+2x)

⑸ y'=2^x`ln`2\(x-1)+2^x&\1=2^x{(x-1)ln`2+1}

15 답 ⑴e/2　⑵e^2&+1 ⑶7e^3 ⑷0　⑸-9`ln`3 ⑹10`ln`5 ⑺ln`2 ⑻3

풀이 ⑴ limh=0`~f(1+h)-f(1)

2h =1/2`limh=0`

~f(1+h)-f(1)h

=1/2~f~'(1)

이때 f~'(x)=e^x이므로

limh=0`~f(1+h)-f(1)

2h=1/2~f~'(1)=e/2

⑵ f~'(x)=e^x&+1이므로

limh=0`~f(2+h)-f(2)

h=f~'(2)=e^2&+1

⑶ f~'(x)=e^x&\(2x-1)+e^x&\2=e^x(2x+1)이므로

limx=3`~f(x)-f(3)

x-3=f~'(3)=7e^3

⑷ f~'(x)=1\e^x&+x\e^x=e^x(x+1)이므로

limx=0`~f(x^2)-f(0)

x=limx=0`^{

~f(x^2)-f(0)x^2

\x^}

=limx=0`~f(x^2)-f(0)

x^2\limx=0`x

=f~'(0)\0=0

⑸ f~'(x)=3^x`ln`3이므로

limh=0`~f(2-h)-f(2)

h=limh=0`^{

~f(2-h)-f(2)-h

\(-1)^}

=-f~'(2)=-9`ln`3

⑹ limh=0`~f(1+h)-f(1-h)

h

=limh=0`^{~f(1+h)-f(1)

h+

~f(1-h)-f(1)-h

^}

=f~'(1)+f~'(1)=2~f~'(1)

이때 f~'(x)=5^x`ln`5이므로

limh=0`~f(1+h)-f(1-h)

h=2~f~'(1)=2\5`ln`5=10`ln`5

⑺ f(0)=1이고, f~'(x)=2^x`ln`2이므로

022 정답과 풀이

(020~031)미적분해설2단원-1ok.indd 22 18. 10. 26. 오후 8:53

limx=0`~f(x)-1

x=limx=0`

~f(x)-f(0)x

=f~'(0)=ln`2

⑻ limx=1`~f(x)-f(1)(x-1)ln`3

=1

ln`3`limx=1`

~f(x)-f(1)x-1

=1

ln`3 f~'(1)

이때 f(x)=(rt3&~)^2^x=3^x에서 f~'(x)=3^x`ln`3이므로

limx=1`~f(x)-f(1)(x-1)ln`3

=1

ln`3 f~'(1)=

1ln`3

\3`ln`3=3

16 답 ⑴y'=2/x ⑵y'=-7/x ⑶y'=1/x

⑷y'=3/x ⑸y'=-1/x

풀이 ⑴ y=ln`x^2=2`ln`x이므로 y'=2/x

⑵ y'=-7\1/x=-7/x

⑶ y=ln`3x=ln`3+ln`x이므로 y'=1/x

⑷ y=ln`(2x)^3=ln`8x^3=ln`8+3`ln`x이므로 y'=3/x

⑸ y=ln`1/x=-ln`x이므로 y'=-1/x

17 답 ⑴y'=2`ln`x+2+1/x⑵y'=1/x+2x　⑶y'=1/x-5

⑷y'=3`ln`5x+3-2/x　⑸y'=2`ln`xx

풀이 ⑴ y'=2\ln`x+(2x+1)\1/x=2ln`x+2+1/x

⑵ y'=1/x+2x

⑶ y=ln`2x-5x=ln`2+ln`x-5x이므로

y'=1/x-5

⑷ y=(3x-2)ln`5x=(3x-2)(ln`5+ln`x)이므로

y'=3(ln`5+ln`x)+(3x-2)\1/x

=3`ln`5x+3-2/x

⑸ y=(ln`x)^2=ln`x\ln`x이므로

y'=1/x\ln`x+ln`x\1/x=2`ln`xx

18 답 ⑴y'= 1x`ln`10

⑵y'=1

x`ln`5

⑶y'=-2

x`ln`2 ⑷y'=

1x`ln`3

⑸y'=2

x`ln`2 ⑹y'=-

1x`ln`3

풀이 ⑴ y=log`2x=log`2+log`x이므로 y'=1

x`ln`10

⑵ y'=1

x`ln`5

⑶ y'=-2\1

x`ln`2=-

2x`ln`2

⑷ y=log_3`9x=log_3`9+log_3`x=2+log_3`x이므로

y'=1

x`ln`3

⑸ y=logrt2`x=1

1/2`log_2`x=2`log_2`x이므로

y'=2\1

x`ln`2=

2x`ln`2

⑹ y=log_3`1/x=-log_3`x이므로 y'=-1

x`ln`3

19 답 ⑴y'=log_7`x+ 1ln`7 ⑵y'=log_3`x+

x+2x`ln`3

⑶y'=1/x+1

x`ln`10 ⑷y'=

32x`ln`2

⑸y'=2^x(ln`2`log_5`x+ 1x`ln`5

)

풀이 ⑴ y'=1\log_7`x+x\1

x`ln`7=log_7`x+

1ln`7

⑵ y'=1\log_3`x+(x+2)\1

x`ln`3=log_3`x+

x+2x`ln`3

⑶ y'=1/x+1

x`ln`10

⑷ y'=1

x`ln`2+

1x`ln`4

=1

x`ln`2+

12x`ln`2

=3

2x`ln`2

⑸ y'=2^x`ln`2\log_5`x+2^x&\1

x`ln`5

=2^x(ln`2`log_5`x+1

x`ln`5)

20 답 ⑴2/3 ⑵3e^2&-1/e ⑶ln`2+5/2

⑷1 ⑸-1

3`ln`3 ⑹

2ln`10

　

⑺1

5`ln`5 ⑻3(1+

1ln`2

)

풀이 ⑴ limh=0`~f(1+2h)-f(1)

3h =2/3`limh=0`

~f(1+2h)-f(1)2h

=2/3~f~'(1)

이때 f~'(x)=1/x이므로

limh=0`~f(1+2h)-f(1)

3h=2/3

⑵ f~'(x)=3x^2&-1/x이므로

limh=0`~~f(e+h)-f(e)

h=f~'(e)=3e^2&-1/e

⑶ f~'(x)=1\ln`x+(x+3)\1/x=ln`x+1+3/x이므로

limx=2`~f(x)-f(2)

x-2=f~'(2)=ln`2+1+3/2=ln`2+5/2

⑷ f(1)=0이고 f~'(x)=1\ln`x+x\1/x=ln`x+1이므로

limx=1`~~f(x)x-1

=limx=1`~f(x)-f(1)

x-1=f~'(1)=1

Ⅱ. 미분법 023

(020~031)미적분해설2단원-1ok.indd 23 18. 10. 26. 오후 8:53

⑸ f~'(x)=1

x`ln`3이므로

limh=0`~~f(3-h)-f(3)

h=-limh=0`

~f(3-h)-f(3)-h

=-f~'(3)=-1

3`ln`3

⑹ limh=0`~f(1+h)-f(1-h)

h

=limh=0`^{~f(1+h)-f(1)

h+

~f(1-h)-f(1)-h

^}

=f~'(1)+f~'(1)=2~f~'(1)

이때 f(x)=log`e+log`x에서 f~'(x)=1

x`ln`10 이므로

limh=0`~f(1+h)-f(1-h)

h=2f~'(1)=

2ln`10

⑺ limxarrrt5

~~f(x)-f(rt5&~)

x^2-5 =lim

xarrrt5~

~f(x)-f(rt5&~)

(x+rt5&~)(x-rt5&~)

=limxarrrt5

~1

x+rt5&\lim

xarrrt5~~f(x)-f(rt5&~)

x-rt5&

=~f~'(rt5&~)

2rt5&

이때 f(x)=log_5`x^2=2`log_5`x에서

f~'(x)=2

x`ln`5

이므로

limxarrrt5

~~f(x)-f(rt5~&~)

x^2-5=

12rt5

\f~'(rt5&~)

~ =1

2rt5\

2rt5`ln`5

=1

5`ln`5

⑻ f(2)=2이고,

f~'(x)=1\log_2`x+x\1

x`ln`2=log_2`x+

1ln`2

이므로

limx=2`3{~f(x)-2}

x-2=limx=2`

3{~f(x)-f(2)}

x-2=3~f~'(2)

=3(1+1

ln`2)

21 답 ⑴a=1,b=e ⑵a=1/2,b=erte

⑶a=-1,b=-1 ⑷a=1/e,b=0

⑸a=3,b=0 ⑹a=1

ln`3,b=2-

1ln`3

풀이 ⑴ 함수 f(x)가 정의역의 모든 실수 x에서 미분가능

하므로 x=1에서 연속이고 미분가능하다.

r1par x=1에서 연속이어야 하므로

limx=1+`ln`bx=limx=1-`ax=f(1)

∴ a=ln`b .c3.c3 ㉠

r2par x=1에서 미분가능하므로

f~'(x)=^^{

a &(x1)에서 a=1

a=1을 ㉠에 대입하면 b=e

⑵ 함수 f(x)가 정의역의 모든 실수 x에서 미분가능하므로

x=1에서 연속이고 미분가능하다.

r1par x=1에서 연속이어야 하므로

limx=1+`ln`bx=limx=1-`(ax^2&+1)=f(1)

∴ a+1=ln`b .c3.c3 ㉠

r2par x=1에서 미분가능하므로

f~'(x)=^^{

2ax& &(x1)에서

2a=1　　∴ a=1/2

a=1/2을 ㉠에 대입하면

3/2=ln`b, b=e&3/2　　∴ b=erte

⑶ 함수 f(x)가 정의역의 모든 실수 x에서 미분가능하므로

x=1에서 연속이고 미분가능하다.

r1par x=1에서 연속이어야 하므로

limx=1+`be^x^-1=limx=1-`(ln`x+ax^2)=f(1)

∴ a=b .c3.c3 ㉠

r2par x=1에서 미분가능하므로

f~'(x)=^^{1/x+2ax (0

⑹ 함수 f(x)가 정의역의 모든 실수 x에서 미분가능하므로

x=1에서 연속이고 미분가능하다.

r1par x=1에서 연속이어야 하므로

limx=1+`log_3`9x=limx=1-`(ax+b)=f(1)

∴ a+b=2 .c3.c3 ㉠

r2par x=1에서 미분가능하므로

f~'(x)=^^{

a &(x1)에서 a=

1ln`3

a=1

ln`3을 ㉠에 대입하면

1ln`3

+b=2

∴ b=2-1

ln`3

22 답 ⑴csc`theta=2,sec`theta=2rt33

,cot`theta=rt3

⑵csc`theta=rt2,sec`theta=rt2,cot`theta=1

⑶csc`theta=2rt33

,sec`theta=-2,cot`theta=-rt33

⑷csc`theta=-2rt33

,sec`theta=-2,cot`theta=rt33

⑸csc`theta=-rt2,sec`theta=-rt2,cot`theta=1 ⑹csc`theta=-rt2,sec`theta=rt2,cot`theta=-1

풀이 ⑴ 그림과 같이 반지름의 길이

O

y

x21

6π

2Â3

1

-1

-1

1

P

H

가 1인 원에서 30°의 동경과 이

원의 교점을 P, 점 P에서 x축에

내린 수선의 발을 H라 하면 직각

삼각형 POH에서

gakPOH=pai/6이므로 점 P의 좌표는

^(rt32, 1/2)

∴ csc`theta=1

1/2=2, sec`theta=

1

rt32

=2

rt3=

2rt33

,

cot`theta=

rt32

1/2=rt3

⑵ 그림과 같이 반지름의 길이가 1

O

y

x

4π

2Â2

2Â2

1

-1

-1

1

P

H

인 원에서 45°를 나타내는 동경과

이 원의 교점을 P, 점 P에서 x축

에 내린 수선의 발을 H라 하면

직각삼각형 POH에서

gakPOH=pai/4이므로 점 P의 좌표는

^(rt22, rt22)

∴ csc`theta=1

rt22

=rt2, sec`theta=1

rt22

=rt2,

　 cot`theta=

rt22

rt22

=1

⑶ 그림과 같이 반지름의 길이가 1

O

y

x

3π

2-1

2Â3

1

-1

-1

1

P

H

인 원에서 120°를 나타내는 동경

과 이 원의 교점을 P, 점 P에서

x축에 내린 수선의 발을 H라 하

면 직각삼각형 POH에서

gakPOH=pai/3이므로 점 P의 좌

표는 (-1/2, rt32)

∴ csc`theta=1

rt32

=2rt33

, sec`theta=1

-1/2=-2,

cot`theta=-1/2

rt32

=-rt3

3

⑷ 그림과 같이 반지름의 길이가 1

O

y

x

3π

2-1

2-Â3

1

-1

-1

1

P

H

인 원에서 4/3&pai를 나타내는 동경

과 이 원의 교점을 P, 점 P에서

x축에 내린 수선의 발을 H라 하

면 직각삼각형 POH에서

gakPOH=pai/3이므로 점 P의 좌표는 (-1/2, -rt32)

∴ csc`theta=1

-rt32

=-2rt33

, sec`theta=1

-1/2=-2,

cot`theta=-1/2

-rt32

=rt3

3

⑸ 그림과 같이 반지름의 길이가

O

y

x

4π

2-Â2

2-Â2

1

-1

-1

1

P

H 1인 원에서 5/4&pai를 나타내는 동

경과 이 원의 교점을 P, 점 P에

서 x축에 내린 수선의 발을 H

라 하면 직각삼각형 POH에서

gakPOH=pai/4이므로 점 P의 좌표는 ^(-rt22, -

rt22)

∴ csc`theta=1

-rt22

=-rt2, sec`theta=1

-rt22

=-rt2,

cot`theta=

-rt22

-rt22

=1

⑹ 그림과 같이 반지름의 길이가 1

O

y

x

4π

2-Â2

2Â2

1

-1

-1

1

P

H 인 원에서 -pai/4를 나타내는 동경

과 이 원의 교점을 P, 점 P에서

x축에 내린 수선의 발을 H라 하

Ⅱ. 미분법 025

(020~031)미적분해설2단원-1ok.indd 25 18. 10. 26. 오후 8:53

면 직각삼각형 POH에서

gakPOH=pai/4이므로 점 P의 좌표는 ^(rt22, -

rt22)

∴ csc`theta=1

-rt22

=-rt2, sec`theta=1

rt22

=rt2,

cot`theta=

rt22

-rt22

=-1

23 답 ⑴2`csc`theta　　⑵1　　⑶2`sec`theta　　⑷2풀이 ⑴

1csc`theta+cot`theta

+1

csc`theta-cot`theta

=csc`theta-cot`theta+csc`theta+cot`theta(csc`theta+cot`theta)(csc`theta-cot`theta)

=2`csc`theta

csc^2`theta&-cot^2`theta

이때 1+cot^2`theta=csc^2`theta에서 csc^2`theta-cot^2`theta=1이므로

1

csc`theta+cot`theta+

1csc`theta-cot`theta

=2`csc`theta

⑵ (1-sin^2`theta)(1+tan^2`theta)=cos^2`theta\sec^2`theta

=cos^2`theta\1

cos^2`theta=1

⑶ 1

sec`theta+tan``theta+

1sec`theta-tan``theta

=sec`theta-tan`theta+sec`theta+tan`theta(sec`theta+tan`theta)(sec`theta-tan`theta)

=2`sec`theta

sec^2`theta&-tan^2`theta

이때 1+tan^2`theta=sec^2`theta에서 sec^2`theta-tan^2`theta=1이므로

1

sec`theta+tan`theta+

1sec`theta-tan`theta

=2`sec`theta

⑷ sin`theta

csc`theta+cot`theta+

sin`thetacsc`theta-cot`theta

=sin`theta(csc`theta-cot`theta)+sin`theta(csc`theta+cot`theta)

(csc`theta+cot`theta)(csc`theta-cot`theta)

=2`sin`theta`csc`thetacsc^2`theta&-cot^2`theta

=2

csc^2`theta&-cot^2`theta

이때 1+cot^2`theta=csc^2`theta에서 csc^2`theta-cot^2`theta=1이므로

sin`theta

csc`theta&+cot`theta+

sin`thetacsc`theta&-cot`theta

=2

24 답 ⑴-3/4　　⑵-2　　⑶81/16

풀이 ⑴ sin`theta+cos`theta=1/3의 양변을 제곱하면

sin^2`theta+cos^2`theta+2`sin`theta`cos`theta=1/9

1+2`sin`theta`cos`theta=1/9, 2`sin`theta`cos`theta=-8/9

∴ sin`theta`cos`theta=-4/9

∴ csc`theta+sec`theta=1

sin`theta&+

1cos`theta&

=sin`theta+sin`theta`sin`theta&`cos`theta

=1/3

-4/9=-3/4

⑵ sec`theta=1

cos`theta&=5/3이므로 cos`theta=3/5

sin^2`theta+cos^2`theta=1에서

sin^2`theta=1-cos^2`theta=1-(&3/5&)^^2=16/25

3/2&pai

⑷ cos`105°=cos(60°+45°)

=cos`60°`cos`45°-sin`60°`sin`45°

=1/2\rt22-

rt32\

rt22

=rt2&-rt6

4

⑸ cos`15°=cos(45°-30°)

=cos`45°`cos`30°+sin`45°`sin`30°

=rt22\

rt32+

rt22\1/2

=rt6&+rt2

4

⑹ tan`75°=tan(45°+30°)

=tan`45°+tan`30°1-tan`45°`tan`30°`

=

1+1rt3

`

1-1\1rt3

=rt3&+1rt3&-1

=(rt3&+1)^2

(rt3&-1)(rt3&+1)=

4+2rt3&2

=2+rt3

⑺ tan`15°=tan(60°-45°)

=tan`60°-tan`45°1+tan`60°`tan`45°`

=rt3&-11+rt3

=(rt3&-1)^2

(rt3&+1)(rt3&-1)=

4-2rt3&2

=2-rt3

26 답 ⑴rt22 ⑵1 ⑶1/2 ⑷

rt22 ⑸

rt32

⑹1/2 ⑺rt3 ⑻1 ⑼rt33

풀이 ⑴ sin`15°`cos`30°+cos`15°`sin`30°

=sin(15°+30°)

=sin`45°=rt22

⑵ sin`35°`cos`55°+cos`35°`sin`55°

=sin(35°+55°)

=sin`90°=1

⑶ sin`40°`cos`10°-cos`40°`sin`10°

=sin(40°-10°)

=sin`30°=1/2

⑷ cos`30°`cos`15°-sin`30°`sin`15°

=cos(30°+15°)

=cos`45°=rt22

⑸ cos`45°`cos`15°+sin`45°`sin`15°

=cos(45°-15°)

=cos`30°=rt32

⑹ cos`27°`cos`33°-sin`27°`sin`33°

=cos(27°+33°)

=cos`60°=1/2

⑺ tan`25°+tan`35°1-tan`25°`tan`35°

=tan(25°+35°)

=tan`60°=rt3

⑻ tan`65°-tan`20°1+tan`65°`tan`20°

=tan(65°-20°)

=tan`45°=1

⑼ tan`43°-tan`13°1+tan`43°`tan`13°

=tan(43°-13°)

=tan`30°=rt33

27 답 ⑴4/3　⑵-1　⑶1/3　⑷0　⑸-1풀이 ⑴ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

tan`alpha+tan`beta=2, tan`alpha`tan`beta=-1/2

∴ tan(alpha+beta)=tan`alpha+tan`beta1-tan`alpha`tan`beta

=2

1-(&-1/2&)=4/3

⑵ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

tan`alpha+tan`beta=-3, tan`alpha`tan`beta=-2

∴ tan(alpha+beta)=tan`alpha+tan`beta1-tan`alpha`tan`beta

=-3

1-(-2)=-1

⑶ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

tan`alpha+tan`beta=1, tan`alpha`tan`beta=-2

∴ tan(alpha+beta)=tan`alpha+tan`beta1-tan`alpha`tan`beta

=1

1-(-2)=1/3

⑷ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

tan`alpha+tan`beta=0, tan`alpha`tan`beta=-4/3

∴ tan(alpha+beta)=tan`alpha+tan`beta1-tan`alpha`tan`beta

=0

⑸ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

tan`alpha+tan`beta=-3/2, tan`alpha`tan`beta=-1/2

∴ tan(alpha+beta)=tan`alpha+tan`beta1-tan`alpha`tan`beta

=-3/2

1-(&-1/2&)=-1

28 답 ⑴56/65 ⑵-16/65 ⑶33/65

⑷63/65 ⑸56/33 ⑹-16/63

Ⅱ. 미분법 027

(020~031)미적분해설2단원-1ok.indd 27 18. 10. 26. 오후 8:53

풀이 alpha, beta가 모두 예각이므로 cos`alpha>0, sin`beta>0

∴ cos`alpha=21-sin^2`alphax=51-(5/13)^^2b=12/13

　 sin`beta=21-cos^2`betax=51-(4/5)^^2b=3/5

⑴ sin(alpha+beta)=sin`alpha`cos`beta+cos`alpha`sin`beta

=5/13\4/5+12/13\3/5=56/65

⑵ sin(alpha-beta)=sin`alpha`cos`beta-cos`alpha`sin`beta

=5/13\4/5-12/13\3/5=-16/65

⑶ cos(alpha+beta)=cos`alpha`cos`beta-sin`alpha`sin`beta

=12/13\4/5-5/13\3/5=33/65

⑷ cos(alpha-beta)=cos`alpha`cos`beta+sin`alpha`sin`beta

=12/13\4/5+5/13\3/5=63/65

⑸ tan`alpha=sin`alphacos`alpha

=5/13

12/13=5/12, tan`beta=

sin`betacos`beta

=3/5

4/5=3/4

∴ tan(alpha+beta)=tan`alpha+tan`beta1-tan`alpha`tan`beta

=5/12+3/4

1-5/12\3/4=56/33

⑹ ⑸에서 tan`alpha=5/12, tan`beta=3/4이므로

tan(alpha-beta)=tan`alpha-tan`beta1+tan`alpha`tan`beta

=5/12-3/4

1+5/12\3/4=-16/63

29 답 ⑴4rt15&-3rt1025

⑵-4rt15&+3rt10

25

⑶-3rt15&+4rt10

25 ⑷

4rt10&-3rt1525

⑸12-5rt6 ⑹-12-5rt6

풀이 0

tan`theta=|tan`(alpha-beta)|=^|tan`alpha-tan`beta1+tan`alpha`tan`beta

^|

=^|-3-2

1+(-3)\2^|=1

∴ theta=pai/4

⑶ 두 직선 y=4x+1, y=3/5&x+2가 x축의 양의 방향과

이루는 각의 크기를 각각 alpha, beta라 하면

tan`alpha=4, tan`beta=3/5

두 직선이 이루는 예각의 크기를 theta라 하면 theta=alpha-beta이

므로

tan`theta=|tan`(alpha-beta)|=^|tan`alpha-tan`beta1+tan`alpha`tan`beta

^|

=_|4-3/5

1+4\3/5

_|=1

∴ theta=pai/4

31 답 ⑴- 3rt78　⑵1/8　⑶-3rt7

풀이 ⑴ pai/2

∴ sin`theta`cos`theta=-1/4

∴ sin^3`theta+cos^3`theta

=(sin`theta+cos`theta)(sin^2`theta-sin`theta`cos`theta+cos^2`theta)

=rt22\^{1-(-1/4)^}=

5rt28

⑶ sin`theta-cos`theta=1/2의 양변을 제곱하면

sin^2`theta-2`sin`theta`cos`theta+cos^2`theta=1/4

1-2`sin`theta`cos`theta=1/4

∴ sin`theta`cos`theta=3/8

∴ sin^3`theta-cos^3`theta

=(sin`theta-cos`theta)(sin^2`theta+sin`theta`cos`theta+cos^2`theta)

=1/2\(1+3/8)=11/16

36 답 ⑴2rt55　　⑵

rt55　　⑶2

풀이 ⑴ pai/2

=2-rt32+rt3

=(2-rt3&~)^2

(2+rt3~&~)(2-rt3&~)

=7-4rt3

39 답 ⑴2`sin~(x+pai/6)　　⑵rt2`sin~(x-pai/4)

⑶2`sin~(x+pai/4)

풀이 ⑴ r=3(rt3&)^2&+1^2c=2이므로

rt3`sin`x+cos`x=2^(rt32`sin`x+1/2`cos`x)

=2^(cos`pai/6`sin`x+sin`pai/6`cos`x)

=2`sin^(x+pai/6)

⑵ r=rt1^2+(-1)^2w=rt2이므로

sin`x-cos`x=rt2&~(rt22`sin`x-

rt22`cos`x)

=rt2&~(cos`pai/4`sin`x-sin`pai/4`cos`x)

=rt2`sin(x-pai/4)

⑶ r=3(rt2&~)^2&+(rt2&~)^2c~=2이므로

rt2`sin`x+rt2`cos`x=2^(rt22`sin`x+

rt22`cos`x)

=2(cos`pai/4`sin`x+sin`pai/4`cos`x)

=2`sin(x+pai/4)

40 답 ⑴2`cos(x-pai/6)　　⑵rt2`cos(x-pai/4)

풀이 ⑴ r=rt1^2+(rt3&)^2x=2이므로

sin`x+rt3`cos`x=2(1/2`sin`x+rt32`cos`x)

=2^(sin`pai/6`sin`x+cos`pai/6`cos`x)

=2`cos(x-pai/6)

⑵ r=rt1^2+1^2w=rt2이므로

sin`x+cos`x=rt2&~(rt22`sin`x+

rt22`cos`x)

=rt2&~(sin`pai/4`sin`x+cos`pai/4`cos`x)

=rt2`cos(x-pai/4)

41 답 ⑴2`sin(x+pai/3&) ⑵2`sin(x+3/4&pai)

⑶2`sin(x+2/3&pai) ⑷2rt2`sin(x-pai/4&)

⑸rt7&~`sin(x+alpha)^(단,sin`alpha=rt3rt7

,cos`alpha=2rt7

)

⑹rt7`sin(x+alpha)^(단,sin`alpha=5

2rt7,cos`alpha=

rt32rt7

)

풀이 ⑴ cos(x+pai/6) =cos`x`cos`pai/6-sin`x`sin`pai/6

=-1/2`sin`x+rt32`cos`x

이므로

2`sin`x+2`cos(x+pai/6)

=2`sin`x+2(-1/2`sin`x+rt32`cos`x)

=sin`x+rt3`cos`x

이때 r=31^2&+(drt3&)^2c=2이므로

2 sin`x+2`cos`(x+pai/6&)

=sin`x+rt3`cos`x

=2(1/2`sin`x+rt32`cos`x)

=2(cos`pai/3`sin`x+sin`pai/3`cos`x)

=2`sin(x+pai/3&)

⑵ cos(x-pai/4&)=cos`x`cos`pai/4+sin`x`sin`pai/4`

=rt22`sin`x+

rt22`cos`x

이므로

2`cos(x-pai/4&)-2rt2`sin`x

=2^(rt22`sin`x+

rt22`cos`x)-2rt2`sin`x

=-rt2`sin`x+rt2`cos`x

이때 r=rt(-rt2&~)^2&+(rt2&~)x^2=2이므로

(주어진 식)=-rt2`sin`x+rt2`cos`x

=2^(-rt22`sin`x+

rt22`cos`x)

=2(cos`3/4&pai`sin`x+sin`3/4&pai`cos`x)

=2`sin~(x+3/4&pai)

⑶ 2rt3`sin~(x+pai/6&)-4`sin`x

=2rt3`^(sin`x`cos`pai/6+cos`x`sin`pai/6&)-4`sin`x

=2rt3`^(rt32`sin`x+1/2`cos`x)-4`sin`x

=3`sin`x+rt3`cos`x-4`sin`x

=-sin`x+rt3`cos`x

이때 r=3(-1&)^2&+(rt3&~)c^2=2이므로

(주어진 식)=-sin`x+rt3`cos`x

=2(-1/2&~sin`x+rt32`cos`x)

=2(cos`2/3&pai`sin`x+sin`2/3&pai`cos`x)

=2`sin(x+2/3&pai&)

⑷ -2rt2`sin`(x+pai/4&)+4`sin`x

=-2rt2&~(sin`x`cos`pai/4+cos`x`sin`pai/4&)+4`sin`x

Ⅱ. 미분법 031

(020~031)미적분해설2단원-1ok.indd 31 18. 10. 26. 오후 8:53

=-2rt2&~^(rt22`sin`x+

rt22`cos`x^)+4`sin`x

=2`sin`x-2`cos`x

이때r=rt2^2+(-2)^2w=2rt2이므로

(주어진식)=2`sin`x-2`cos`x

=2rt2~~^(1

rt2`sin`x-

1

rt2`cos`x^)

=2rt2&~^(cos`pai/4`sin`x-sin`pai/4`cos`x^)

=2rt2`sin^(x-pai/4&&^)

⑸2`sin^(x+pai/3&^)+sin`x

=2^(sin`x`cos`pai/3&+cos`x`sin`pai/3&^)+sin`x

=2^(&1/2`sin`x+rt32`cos`x^)+sin`x

=2`sin`x+rt3`cos`x

이때r=32^2&+(rt3&~)^2c=rt7이므로

(주어진식)=2`sin`x+rt3`cos`x

=rt7&~^(2

rt7`sin`x+

rt3

rt7`cos`x^)

=rt7&~(sin`x`cos`alpha+cos`x`sin`alpha)

=rt7&~`sin(x+alpha)

^(단,sin`alpha=rt3

rt7,cos`alpha=

2

rt7^)

⑹cos^(x-pai/3&^)+2`cos`x

=^(cos`x`cos`pai/3&+sin`x`sin`pai/3&^)+2`cos`x

=^(&1/2~cos`x+rt32`sin`x^)+2`cos`x

=rt32`sin`x+5/2`cos`x

이때r=5^(rt32^)^^2&+^(&5/2&^)^^2& b=rt7이므로

(주어진식)=rt32`sin`x+5/2`cos`x

=rt7&~^(rt3

2rt7`sin`x+

5

2rt7`cos`x^)

=rt7&~(sin`x`cos`alpha+cos`x`sin`alpha)

=rt7&~sin(x+alpha)

^(단,sin`alpha=5

2rt7,cos`alpha=

rt3

2rt7^)

42 답 ⑴최댓값:1,최솟값:-1,주기:2pai ⑵최댓값:rt2,최솟값:-rt2,주기:2pai ⑶최댓값:2,최솟값:-2,주기:2pai ⑷최댓값:1,최솟값:-1,주기:2pai ⑸최댓값:rt3,최솟값:-rt3,주기:2pai ⑹최댓값:rt7,최솟값:-rt7,주기:2pai

풀이 ⑴5^(&1/2&^)^^2&+^(rt32^)^^2 b=1이므로

y=1/2`sin`x+rt32`cos`x

=cos`pai/3`sin`x+sin`pai/3`cos`x

=sin^(x+pai/3^)

따라서최댓값은1,최솟값은-1,주기는2pai이다.

⑵rt1^2+(-1)^2w=rt2이므로

y=sin`x-cos`x

=rt2&&~^(rt22`sin`x-

rt22`cos`x^)

=rt2&~^(cos`pai/4`sin`x-sin`pai/4`cos`x^)

=rt2`sin^(x-pai/4^)

따라서최댓값은rt2,최솟값은-rt2,주기는2pai이다.

⑶3(rt2&~)^2&+(-rt2&~)c^2=2이므로

y=rt2`sin`x-rt2`cos`x

=2^(rt22`sin`x-

rt22`cos`x^)

=2^(cos`pai/4`sin`x-sin`pai/4`cos`x^)

=2`sin^(x-pai/4^)

따라서최댓값은2,최솟값은-2,주기는2pai이다.

⑷y=2`sin`x-rt3`sin^(x+pai/6^)

=2`sin`x-rt3&~^(sin`x`cos`pai/6+cos`x`sin`pai/6^)

=2`sin`x-rt3&~^(rt32`sin`x+1/2`cos`x^)

=1/2&~sin`x-rt32`cos`x

이때5^(&1/2&^)^^2&+^(-rt32^)^^2 b=1이므로

y=1/2~sin`x-rt32~cos`x

=cos`pai/3`sin`x-sin`pai/3`cos`x

=sin^(x-pai/3^)

따라서최댓값은1,최솟값은-1,주기는2pai이다.

⑸y=cos^(x+pai/6^)-sin`x

=cos`x`cos`pai/6-sin`x`sin`pai/6-sin`x

=rt32`cos`x-1/2`sin`x-sin`x

=-3/2`sin`x+rt32`cos`x

이때5^(-3/2^)^^2&+^(rt32^) t^^2~=rt3이므로

y=-3/2~cos`x+rt32~cos`x

=rt3&~^(-rt32`sin`x+1/2`cos`x^)

032 정답과 풀이

(032~042)미적분해설2단원-1ok.indd 32 18. 10. 26. 오후 8:59

=rt3&~^(cos`5/6&pai`sin`x+sin`5/6&pai`cos`x^)

=rt3`sin^(x+5/6&pai^)

따라서최댓값은rt3,최솟값은-rt3,주기는2pai이다.

⑹y=2`cos`x+cos^(x-pai/3^)

=2`cos`x+^(cos`x`cos`pai/3+sin`x`sin`pai/3&^)

=2`cos`x+1/2~cos`x+rt32`sin`x

=rt32`sin`x+5/2~cos`x

이때5^(rt32^)^^2&+^(5/2^) b^^2t=rt7이므로

y=rt32`sin`x+5/2~cos`x

=rt7&~^(rt2114

`sin`x+5rt714

`cos`x^)

=rt7&(sin`x`cos`alpha+cos`x`sin`alpha)

=rt7`sin(x+alpha)

^(단,sin`alpha=5rt714

,cos`alpha=rt2114

^)

따라서최댓값은rt7,최솟값은-rt7,주기는2pai이다.

43 답 ⑴최댓값:7,최솟값:-5,주기:2pai ⑵최댓값:3+2rt2,최솟값:3-2rt2,주기:2pai ⑶최댓값:6,최솟값:2,주기:2pai ⑷최댓값:rt6&-2,최솟값:-2-rt6,주기:2pai ⑸최댓값:4,최솟값:0,주기:2pai ⑹최댓값:5+4rt3,최솟값:5-4rt3,주기:2pai

풀이 ⑴3(3rt3&)^2&+(-3)c^2=6이므로

y=3rt3`sin`x-3`cos`x+1

=6^(rt32`sin`x-1/2`cos`x^)+1

=6^(cos`pai/6~sin`x-sin`pai/6~cos`x^)+1

=6`sin^(x-pai/6&^)+1

이때-1-

5-4rt3-

⑻limx=0`tan`7xsin`2x

=limx=0`^(2x

sin`2x\

tan`7x7x

\7/2&^)

=1\1\7/2=7/2

48 답 ⑴2　⑵3　⑶5/3　⑷2　⑸2

풀이 ⑴limx=0`sin(sin`2x)

x=limx=0`^{

sin(sin`2x)sin`2x

\sin`2x

x^}

=limx=0`sin`2x

x

=limx=0`^(sin`2x2x

\2^)

=1\2=2

⑵limx=0`sin(sin`6x)

2x=limx=0`^{

sin(sin`6x)sin`6x

\sin`6x2x

^}

=limx=0`sin`6x2x

=limx=0`^(sin`6x6x

\3^)

=1\3=3

⑶limx=0`tan(tan`5x)

3x=limx=0`^{

tan(tan`5x)tan`5x

\tan`5x3x

^}

=limx=0`tan`5x3x

=limx=0`^(tan`5x5x

\5/3&^)

=1\5/3=5/3

⑷limx=0`x+tan`xsin`x

=limx=0`^(x

sin`x+

tan`xsin`x

^)

=limx=0`^(x

sin`x+

tan`xx

\x

sin`x^)

=1+1\1=2

⑸limx=0`sin(2x^2+x)x(x+1)

=limx=0`^{sin(2x^2+x)

2x^2+x\

2x^2+xx(x+1)

^}

=limx=0`2x^2+xx^2+x

=2

49 답 ⑴0　⑵1/4　⑶2　⑷1　⑸1/2

풀이 ⑴limx=0`1-cos`x

x=limx=0`

(1-cos`x)(1+cos`x)x(1+cos`x)

=limx=0`1-cos^2`x

x(1+cos`x)

=limx=0`sin^2`x

x(1+cos`x)

=limx=0`^{^(sin`xx

^)^^2&\x

1+cos`x^}

=1^2&\0

1+1=0

⑵limx=0`1-cos`x

2x^2=limx=0`

(1-cos`x)(1+cos`x)

2x^2(1+cos`x)

=limx=0`1-cos^2`x

2x^2(1+cos`x)

=limx=0`sin^2`x

2x^2(1+cos`x)

=limx=0`^{^(sin`xx

^)^^2&\1

2(1+cos`x)^}

=1^2&\1

2\2=1/4

⑶limx=0`1-cos`2x

x^2=limx=0`

(1-cos`2x)(1+cos`2x)

x^2(1+cos`2x)

=limx=0`1-cos^2`2x

x^2(1+cos`2x)

=limx=0`sin^2`2x

x^2(1+cos`2x)

=limx=0`^{^(sin`2x2x

^)^^2&\4

1+cos`2x^}

=1^2&\4

1+1=2

⑷limx=0`x^2

2(1-cos`x)=limx=0`

x^2(1+cos`x)2(1-cos`x)(1+cos`x)

=limx=0`x^2(1+cos`x)2(1-cos^2`x)

=limx=0`x^2(1+cos`x)

2`sin^2`x

=1/2`limx=0`^{^(x

sin`x^)^^2&\(1+cos`x)^}

=1/2\1^2&\(1+1)=1

⑸limx=0`1-cos`xx`sin`x

=limx=0`(1-cos`x)(1+cos`x)x`sin`x(1+cos`x)

=limx=0`1-cos^2`x

x`sin`x(1+cos`x)

=limx=0`sin^2`x

x`sin`x(1+cos`x)

=limx=0`^(sin`xx

\1

1+cos`x^)

=1\1/2=1/2

50 답 ⑴-1　⑵-1　⑶-2　⑷-pai/2

풀이 ⑴x-pai/2=t로치환하면xarrpai/2일때tarr0이고,

x=pai/2+t이므로

limxarrpai/2

~cos`x

x-pai/2=limt=0`

cos~^(&pai/2+t^)

t=limt=0`

-sin`tt

=-1

⑵x-pai=t로치환하면xarrpai일때tarr0이고,x=pai+t

이므로

limx=pai`sin`xx-pai

=limt=0`sin(pai+t)

t=limt=0``

-sin`tt

=-1

⑶x-pai=t로치환하면xarrpai일때tarr0이고,x=pai+t

이므로

limx=pai`tan`2xpai-x

=limt=0`tan`2(pai+t)

-t

=limt=0`tan`(2pai+2t)

-t=limt=0`

tan`2t-t

=limt=0`^{tan`2t2t

\(-2)^}

Ⅱ. 미분법 035

(032~042)미적분해설2단원-1ok.indd 35 18. 10. 26. 오후 8:59

=1\(-2)=-2

⑷x-1=t로치환하면xarr1일때tarr0이고,x=1+t

이므로

limx=1`cos`pai/2&x

x-1=limt=0`

cos`pai/2&(1+t)

t

=limt=0`cos`^(pai/2&+pai/2&t^)

t

=limt=0`-sin`pai/2&&&t

t

=limt=0`^^{sin`pai/2&&&t

pai/2&t\^(-pai/2&^)^^}

=1\^(-pai/2^)=-pai/2

51 답 ⑴a=-1,b=1 ⑵a=1,b=1 ⑶a=-2,b=2pai ⑷a=2,b=1

⑸a=-1,b=1 ⑹a=2,b=0

⑺a=1,b=4 ⑻a=2,b=0

⑼a=1,b=-pai/2

풀이 ⑴극한값이존재하고limx=0`sin`x=0이므로

limx=0`(e^x&+a)=1+a=0　　∴a=-1

∴b=limx=0`e^x+asin`x

=limx=0`e^x-1sin`x

=limx=0`^(e^x-1x

\x

sin`x^)

=1\1=1

⑵극한값이존재하고limx=0`sin`x=0이므로

limx=0`ln(x+a)=ln`a=0　　∴a=1

∴b=limx=0`ln(x+a)sin`x

=limx=0`ln(x+1)sin`x

=limx=0`^{ln(x+1)

x\

xsin`x

^}

=1\1=1

⑶극한값이존재하고limx=pai`sin`x=0이므로

limx=pai`(ax+b)=apai+b=0

∴b=-apai .c3.c3㉠

x-pai=t로치환하면xarrpai일때tarr0이고,x=pai+t

이므로㉠을주어진등식의좌변에대입하면

limx=pai`ax+bsin`x

=limt=0`a(pai+t)-apaisin(pai+t)

=limt=0`at

-sin`t=-a

따라서-a=2이므로a=-2

a=-2를㉠에대입하면b=2pai

⑷0이아닌극한값이존재하고limx=0`sin`x=0이므로

limx=0`(rtax+b&-1)=0

rtb=1　　∴b=1

b=1을주어진등식의좌변에대입하면

limx=0`sin`x

rtax+1&-1=limx=0`

sin`x(rtax+1&+1)

(rtax+1&-1)(rtax+1&+1)

=limx=0`sin`x(rtax+1&+1)

ax

=limx=0`^(sin`xx

\rtax+1&+1

a^)

=1\2/a=2/a

즉,2/a=1이므로a=2

⑸극한값이존재하고limx=0`tan`2x=0이므로

limx=0`(e^2^x&+a)=1+a=0　　∴a=-1

∴b=limx=0`e^2&^x+atan`2x

=limx=0`e^2&^x-1tan`2x

=limx=0`^(e^2&^x-12x

\2x

tan`2x^)

=1\1=1

⑹극한값이존재하고limx=pai`(x-pai)=0이므로

limx=pai`(a`tan`x+b)=a`tan`pai+b=0

∴b=0

x-pai=t로치환하면xarrpai일때tarr0이고,x=pai+t

이므로

limx=pai`a`tan`x+b

x-pai=limt=0`

a`tan(pai+t)t

=limt=0`a`tan`t

t=a

∴a=2

⑺0이아닌극한값이존재하고limx=0`sin`bx=0이므로

limx=0`ln(x+a)=0

ln`a=0　　∴a=1

a=1을주어진등식의좌변에대입하면

limx=0`sin`bx

ln(x+1)=limx=0`^{

sin`bxbx

\x

ln(x+1)\b^}

=1\1\b=b

∴b=4

⑻0이아닌극한값이존재하고limx=0`(1-cos`x)=0이므로

limx=0`(ax`sin`x+b)=0　　∴b=0

b=0을주어진등식의좌변에대입하면

limx=0`1-cos`xax`sin`x

=limx=0`(1-cos`x)(1+cos`x)ax`sin`x(1+cos`x)

=limx=0`sin^2`x

ax`sin`x(1+cos`x)

=limx=0`^(&1/a\sin`xx

\1

1+cos`x^)

=1/a\1\1/2=1/2a

즉,1/2a=1/4이므로a=2

⑼0이아닌극한값이존재하고limxarrpai/2

cos`x=0이므로

limxarrpai/2

(ax+b)=a/2&pai+b=0

036 정답과 풀이

(032~042)미적분해설2단원-1ok.indd 36 18. 10. 26. 오후 8:59

∴b=-a/2&pai .c3.c3㉠

x-pai/2=t로치환하면xarrpai/2일때tarr0이고,

x=pai/2+t이므로㉠을주어진등식의좌변에대입하면

limxarrpai/2

~cos`xax+b

=limt=0`cos&^(&pai/2&+t^)

a^(&pai/2+t^)-a/2&pai=limt=0`

-sin`tat

~ =-1/a

즉,-1/a=-1이므로a=1

a=1을㉠에대입하면b=-pai/2

52 답 2풀이 semoABC에서

^-AB^-=^-BC^-`cos`theta=2`cos`theta

^-AC^-=^-BC^-`sin`theta=2`sin`theta

따라서semoABC의넓이는

1/2&\^-AB^-\^-AC^-=1/2&\^-BC^-\^-AH^-에서

1/2\2`cos`theta\2`sin`theta=1/2\2\^-AH^-

∴^-AH^-=2`sin`theta`cos`theta

∴limtheta=0`^-AH^-theta

=limtheta=0`2`sin`theta`cos`theta

theta

=2`limtheta=0`^(sin`thetatheta

\cos`theta^)

=2\1\1=2

53 답 2풀이 semoABC에서^-AB^-=

1sin`theta

,^-BC^-=1

tan`theta

∴ limtheta=0+`theta

^-AB^--^-BC^-=limtheta=0+`

theta1

sin`theta-

1tan`theta

=limtheta=0+`theta

1sin`theta

-cos`thetasin`theta

=limtheta=0+`theta`sin`theta1-cos`theta

=limtheta=0+`theta`sin`theta(1+cos`theta)

(1-cos`theta)(1+cos`theta)

=limtheta=0+`theta`sin`theta(1+cos`theta)

sin^2`theta

=limtheta=0+`^{theta

sin`theta\(1+cos`theta)^}

=1\2=2

54 답 ⑴y'=cos`x-sin`x ⑵y'=2`cos`x ⑶y'=2`sin`x ⑷y'=2+cos`x

⑸y'=2x+4`sin`x

⑹y'=2`cos`x-3`sin`x　

⑺y'=cos`x-x`sin`x

⑻y'=2`sin`x`cos`x

⑼y'=e^x(cos`x-sin`x)

풀이 ⑴y'=(sin`x)'+(cos`x)'=cos`x-sin`x

⑵y'=(2`sin`x)'=2`cos`x

⑶y'=(-2`cos`x)'=-2\(-sin`x)=2`sin`x

⑷y'=(2x)'+(sin`x)'=2+cos`x

⑸y'=(x^2)'-(4`cos`x)'=2x-(-4`sin`x)

=2x+4`sin`x

⑹y'=(2`sin`x)'+(3`cos`x)'=2`cos`x-3`sin`x

⑺y'=1\cos`x+x\(-sin`x)=cos`x-x`sin`x

⑻y=sin^2`x=sin`x\sin`x이므로

y'=cos`x\sin`x+sin`x\cos`x=2`sin`x`cos`x

⑼y'=e^x&\cos`x+e^x&\(-sin`x)=e^x(cos`x-sin`x)

55 답 ⑴-pai ⑵pai/2+rt2 ⑶5/2rt3 ⑷-1 ⑸1 ⑹0 ⑺-2rt3 ⑻2

풀이 ⑴limh=0`~f(pai+h)-f(pai)

h=f~'(pai)

이때f~'(x)=sin`x+x`cos`x이므로

f~'(pai)=sin`pai+pai`cos`pai=-pai

⑵limh=0`~f~^(pai/4+h^)-f~^(pai/4^)

h=f~'^(pai/4^)

이때f~'(x)=2x+2`sin`x이므로

f~'^(pai/4^)=2\pai/4+2`sin`pai/4=pai/2+2\rt22=pai/2+rt2

⑶limh=0`~f~^(pai/3+h^)-f~^(pai/3^)

h=f~'^(pai/3^)

이때f~'(x)=2rt3`cos`x+3`sin`x이므로

f~'^(pai/3^)=2rt3`cos`pai/3+3`sin`pai/3

=2rt3\1/2+3\rt32

=5/2rt3

⑷limh=0`~f~^(pai/2+h^)-f~^(pai/2^)

h=f~'^(pai/2^)

이때f~'(x)=cos`x`cos`x+sin`x\(-sin`x)

=cos^2`x-sin^2`x

이므로

f~'^(pai/2^)=cos^2`pai/2-sin^2`pai/2=-1

⑸f(0)=e^0`sin`0=0이므로

limh=0`~f(h)

h=limh=0`

~f(h)-f(0)

h=f~'(0)

이때f~'(x)=e^x`sin`x+e^x`cos`x이므로

f~'(0)=e^0`sin`0+e^0`cos`0=1

Ⅱ. 미분법 037

(032~042)미적분해설2단원-1ok.indd 37 18. 10. 26. 오후 8:59

⑹limh=0`~f~^(pai/2+h^)-f~^(pai/2-h^)

h

=limh=0`^^{~f~^(pai/2+h^)-f~^(pai/2&^)

h+

~f~^(pai/2-h^)-f~^(pai/2&^)

-h^^}

=f~'^(&pai/2&^)+f~'^(&pai/2&^)=2~f~'^(&pai/2&^)

이때f~'(x)=cos`x이므로

2~f~'^(pai/2^)=2`cos`pai/2=0

⑺limh=0`~f~^(pai/3+h^)-f~^(pai/3-h^)

h

=limh=0`^^{~f~^(pai/3+h^)-f~^(pai/3&^)

h+

~f~^(pai/3-h^)-f~^(pai/3&^)

-h^^}

=f~'^(pai/3^)+f~'^(pai/3^)

=2~f~'^(pai/3^)

이때f~'(x)=-2`sin`x이므로

2~f~'^(pai/3^)=2\^(-2`sin`pai/3^)=-2rt3

⑻limh=0`~f(pai+h)-f(pai-h)

h

=limh=0`^{~f(pai+h)-f(pai)

h+

~f(pai-h)-f(pai)

-h^}

=f~'(pai)+f~'(pai)

=2~f~'(pai)

이때f~'(x)=-sin`x-cos`x이므로

2~f~'(pai)=2\(-sin`pai-cos`pai)=2

56 답 ⑴a=1,b=1　⑵a=1,b=0　⑶a=1,b=1　 ⑷a=1,b=1　⑸a=0,b=0　⑹a=2,b=0 ⑺a=2,b=0

풀이 ⑴함수f(x)가x=0에서미분가능하므로x=0에서

연속이고,x=0에서의미분계수f~'(0)이존재한다.

r1parx=0에서연속이어야하므로

limx=0+e^x=limx=0-(a`sin`x+b)=f(0)

∴b=1

r2parf~'(0)이존재하므로

f~'(x)=^{e^x& &(x>0)

a`cos`x (x0)

b (x0)

2x+b& (x0)

2x+b& (x0)

2 (x

중단원 점검문제 I Ⅱ - 1. 여러 가지 함수의 미분 072-075쪽

01 답 0풀이 limx=inf`

2^x+12^x

=limx=inf`^{1+^(1/2^)^^x^}=1

한편,-x=t로놓으면xarr-inf일때tarrinf이므로

limx=-inf`3^x+3&^-&^x3^x-3&^-&^x

=limt=inf`3&^-&^t+3&^t3&^-&^t-3&^t

=limt=inf`^(&1/3&^)^^t&+3^t

^(&1/3&^)^^t&-3^t

=limt=inf`^(&1/9&^)^^t&+1

^(&1/9&^)^^t&-1

=-1

∴limx=inf`2^x+12^x

+limx=-inf`3^x+3&^-&^x3^x-3&^-&^x

=1+(-1)=0

02 답 4풀이 limx=inf`{log_2(ax-1)-log_2(2x+3)}

=limx=inf`^(log_2`ax-12x+3

^)

=limx=inf`5log_2`a-1/x

2+3/x6=log_2a/2

따라서log_2a/2=1이므로a/2=2　　∴a=4

03 답 e풀이 limx=0`(1+x)2/x=limx=0`{(1+x)1/x}^2=e^2

limx=inf`^(1+3/x^)^^x=limx=inf`^{^(1+3/x^)x/3

^}^^3=e^3

따라서a=e^2,b=e^3이므로b/a=e

04 답 e풀이 limx=inf`^{1/2&^(1+1/x^)^(1+

1x+1

^)^(1+1

x+2^)

.c3^(1+1/2x^)^}^^2^^x

=limx=inf`^(1/2\x+1x

\x+2x+1

\x+3x+2

\.c3\2x+12x

~^)^^2^^x

=limx=inf`^(2x+12x

^)^^2^^x=limx=inf`^(1+1/2x^)^^2^^x=e

05 답 1풀이 limx=inf`x{ln`(x+1)-ln`x}=limx=inf`x`ln`

x+1x

=limx=inf`x`ln^(1+1/x^)

=limx=inf`ln^(1+1/x^)^^x

=ln`e=1

06 답 1/2풀이 y=e^2^x&-1로놓으면e^2^x=y+1

로그의정의에의하여2x=ln(y+1)

∴ x=1/2`ln(y+1)

x와y를서로바꾸면y=1/2`ln(x+1)

따라서g(x)=1/2`ln(x+1)이므로

limx=0`g(x)x=limx=0`

ln(x+1)2x

=1/2limx=0`ln(x+1)

x

=1/2\1=1/2

07 답 3/4

풀이 limx=0`ln(ax+1)

x^3+2x=2에서좌변을변형하면

limx=0`^{ln(1+ax)

ax\

ax^2+2

^}=2

1\a/2=2　　∴a=4

∴limx=0`ln(3x+1)

ax=limx=0`

ln(3x+1)4x

=limx=0`^{ln(1+3x)

3x\3/4^}

=1\3/4=3/4

08 답 4풀이 극한값이존재하고limx=0`(e^2^x&-1)=0이므로

limx=0`(ax+b)=0　　∴b=0

∴limx=0`ax

e^2^x-1=limx=0`^(

2xe^2^x-1

\a/2&^)

=1\a/2=a/2

따라서a/2=2이므로a=4

∴ a+b=4

09 답 rt22

풀이 ^-AP^-=rtt^2+(e^t-1)^2w

점Q의좌표는(t,1)이므로^-PQ^-=|e^t&-1|

∴limt=0`^-PQ^-

^-AP^-=limt=0`

|e^t-1|

2t^2+(e^t-1)x^2w

=limt=0`5(e^t&-1)^2

t^2+(e^t&-1)^2b

=limt=0``6

^(e^t&-1t ^)^^2

1+^(e^t&-1t

^)^^2

n=5 1^2

1+1^2g=rt2

2

Ⅱ. 미분법 039

(032~042)미적분해설2단원-1ok.indd 39 18. 10. 26. 오후 8:59

10 답 ln(e-1)풀이 f(x)=e^x에서f~'(x)=e^x

x의값이0에서1까지변할때의평균변화율은

~f(1)-f(0)

1-0=e-1

또한,x=a에서의미분계수는f~'(a)이므로

f~'(a)=e^a

따라서e^a=e-1이므로a=ln(e-1)

11 답 e^e&^-1풀이 f(x)=e^x`ln`x에서

f~'(x)=(e^x)'`ln`x+e^x(ln`x)'=e^x`ln`x+e^xx

∴f~'(e)-f(e)=e^e&+e^ee-e^e=

e^ee=e^e&^-&1

12 답 a= 12`ln`10

+2,b=1

2`ln`10

풀이 함수f(x)가정의역의모든실수x에서미분가능하므

로x=1에서연속이고미분가능하다.

r1parx=1에서연속이어야하므로

limx=1+`(bx^2&+2)=limx=1-`(log`x+a)=f(1)

∴a=b+2 .c3.c3㉠

r2parx=1에서미분가능하므로

f~'(x)=^^{

1x`ln`10 &(&0

18 답 119/169풀이 오른쪽그림에서

5

512

1213

Ω∫

åA B

C

E

F13

^-AC^-=^-AF^-=rt5^2&+12^2x=13

gakCAB=alpha,gakFAE=beta라하면

semoABC,semoAEF에서

sin`alpha=12/13,cos`alpha=5/13

sin`beta=5/13,cos`beta=12/13

이때theta=alpha-beta이므로

sin`theta=sin(alpha-beta)=sin`alpha`cos`beta-cos`alpha`sin`beta

=12/13\12/13-5/13\5/13=119/169

19 답 3/2

풀이 sin^(&pai/3+theta^)=sin`&pai/3~cos`theta+cos`&pai/3~sin`theta

=rt32`cos`theta+1/2sin`theta .c3.c3㉠

sin^(&pai/3-theta^)=sin`&pai/3~cos`theta-cos`&pai/3~sin`theta

=rt32`cos`theta-1/2sin`theta .c3.c3㉡

㉠,㉡을주어진식에대입하면

sin^2`theta+sin^2^(&pai/3+theta^)+sin^2^(&pai/3-theta^)

=sin^2`theta+^(rt32`cos`theta+1/2sin`theta^)^^2&+^(

rt32`cos`theta-1/2sin`theta^)^^2

=sin^2`theta+3/2&cos^2`theta+1/2sin^2`theta

=3/2&sin^2`theta+3/2~cos^2`theta=3/2(sin^2`theta+cos^2`theta)=3/2

20 답 3/2풀이 이차방정식x^2&-3x-1=0의두근이tan`alpha,tan`beta이

므로이차방정식의근과계수의관계에의하여

tan`alpha+tan`beta=3,tan`alpha`tan`beta=-1

∴tan(alpha+beta)=tan`alpha+tan`beta1-tan`alpha`tan`beta

=3

1-(-1)=3/2

21 답 -1풀이 두직선2x-y+1=0,ax+y-4=0이x축의양의

방향과이루는각의크기를각각alpha,beta라하면

tan`alpha=2,tan`beta=-a

이때두직선이이루는예각의크기가pai/4이므로

tan`pai/4=|tan(beta-alpha)|=^|tan`beta-tan`alpha1+tan`beta`tan`alpha

^|

=^|-a-2

1+(-a)\2^|=^|

-a-2-2a+1

^|

즉,^|-a-2-2a+1

^|=1이므로

-a-2-2a+1

=-1또는-a-2-2a+1

=1

r1par-a-2-2a+1

=-1일때,

-a-2=2a-1,3a=-1

∴a=-1/3

r2par-a-2-2a+1

=1일때,

-a-2=-2a+1　　∴a=3

r1par,r2par에서모든상수a의값의곱은

-1/3\3=-1

22 답 1-4rt5&9

풀이 pai/2

25 답 2풀이 2(3a)^2&+(4a)x^2w=5a이므로

y=3a`sin`x+4a`cos`x

=5a~^(&3/5~sin`x+4/5~cos`x^)

=5a`sin(x+alpha)^(단,sin`alpha=4/5,cos`alpha=3/5&^)

이때-1-

Ⅱ-2 I 여러 가지 미분법 076~095쪽

01 답 ⑴y'=- 5(2x-1)^2

⑵y'=7

(x+2)^2

⑶y'=-x^2+1(x^2+1)^2

⑷y'=2x^2+4x-3(x+1)^2

⑸y'=-1

(x+3)^2 ⑹y'=-

xe^x

⑺y'=sin`x-x`cos`x-1

x^2 ⑻y'=

ln`x-1(ln`x)^2

풀이 ⑴ y' =(x+2)'(2x-1)-(x+2)(2x-1)'

(2x-1)^2

=1\(2x-1)-(x+2)\2

(2x-1)^2

=2x-1-2(x+2)

(2x-1)^2=-

5(2x-1)^2

⑵ y'=(3x-1)'(x+2)-(3x-1)(x+2)'

(x+2)^2

=3\(x+2)-(3x-1)\1

(x+2)^2

=3x+6-3x+1

(x+2)^2=

7(x+2)^2

⑶ y'=(x)'(x^2+1)-x(x^2+1)'

(x^2+1)^2

=1\(x^2+1)-x\2x

(x^2+1)^2

=x^2+1-2x^2(x^2+1)^2

=-x^2+1(x^2+1)^2

⑷ y'=(2x^2+3)'(x+1)-(2x^2+3)(x+1)'

(x+1)^2

=4x\(x+1)-(2x^2+3)\1

(x+1)^2

=4x^2+4x-2x^2-3

(x+1)^2=

2x^2+4x-3(x+1)^2

⑸ y'=-(x+3)'(x+3)^2

=-1