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미분•적분Ⅱ

상위권을 위한 나만의 맞춤 교재

풍산자 등급

해 설 편

#풍산자영역별-속표지.indd 10 15. 10. 20. 오후 3:45

54 미분·적분Ⅱ [해설편]

함수 g(t)의그래프를그려 ;aB;의값구하기

이때, 극점과 변곡점을 기준으

로곡선 y=f(x)`위의점

(t, f(t))에서의 접선과 곡선

y=f(x)의교점중접점을제

외한교점의개수 g(t)와그그래프는다음그림과같다.

( 0 (0<t…e)

\ 1 (e<t<e;2#;)g(t)=“\ 0 (t=e;2#;)

9 1 (t>e;2#;)

조건㈎에서좌극한과우극한이다르므로 a=e

또, 조건㈏에서(좌극한)=(우극한)+(함숫값)이므로 b=e;2#;

∴ ;aB;= ='e

|̀정답 'e

e'ee

O t

y

1

e e 23

y=g{t}

f '(x)와 f"(x) 구하기

f(x)= 에서

f '(x)= =

f "(x)=

f "(x)=

f "(x)=

함수 f(x)의그래프그리기

f '(x)=0에서 x=e, f "(x)=0에서 x=e;2#;이므로

x>0에서 x=e, x=e;2#;을기준으로함수 f(x)의증가, 감소를

표로나타내면다음과 같다.

이때, 함수 y=f(x)의그래프와접선은다음그림과같다.

-3+2 ln xx‹

-x-2x(1-ln x)x›

-;[!; ¥`x¤ -(1-ln x)2x

x›

1-ln xx¤

;[!; ¥`x-ln x

x¤

ln xx

O x

y

e e 23

y=f{x}

Step3

Step1

Step2

f '(x)= =e≈ (x-1)

x¤xe≈ -e≈

x¤

f(x)= =(2x-1)

f(x)=(2x-1)_ = = -

f '(x)=- +

∴ f '(1)=-2+2=0

|̀정답 0

|다른 풀이|

f(x)= 에서

f '(x)= = =

∴ f '(1)= =02-21

2-2xx‹

2x-2x¤x›

2_x¤ -(2x-1)_2xx›

2x-1x¤

2x‹

2x¤

1x¤

2x

2x-1x¤

11+x¤

11-112

1+x¤

1(1+x¤ )«

¶¡

n=1

2x-1(1+x¤ )«

¶¡

n=1

x (0) y e y e;2#; y

f '(x) + 0 - - -

f"(x) - - - 0 +

f(x) ;e!;

01 함수의그래프T h e m e

풀이 제한 시간 : 8분대표 문제

1등급 완성하기

양의실수전체를정의역으로하는함수 f(x)= 에대하여곡선 y=f(x)

위의점 (t, f(t))에서의접선과곡선 y=f(x)의교점중접점을제외한교점

의개수를 g(t)라하자. 함수 g(t)는두양수 a, b에대하여다음조건을만족

시킨다.

;aB;의값을구하여라.

ln xx

㈎ g(t)+ g(t) ㈏ g(t)= g(t)+g(b)limx ⁄ b+

limx ⁄ b-

limx ⁄ a+

limx⁄ a-

ASol 함수 f(x)가 f(x)= 일때, f '(1)의값을구하여라.

(단, x는양의실수이다.)

2x-1(1+x¤ )«

¶;

n=1

BSol 함수 f(x)= 에 대하여 의 값을 구하

여라.

f(2+h)-f(2-3h)hlim

h ⁄0

e≈x

영역별 수학-미적분2해답(54~69) 15.9.21 6:41 PM 페이지54 DK

Theme 01. 함수의그래프 55

∴

∴=

∴= - _(-3)

∴=f '(2)+3f '(2)=4f '(2)=4_ =e¤

|̀정답 e¤

e¤4

f(2-3h)-f(2)-3hlim

h ⁄0

f(2+h)-f(2)hlim

h ⁄0

f(2+h)-f(2)+f(2)-f(2-3h)hlim

h ⁄0

f(2+h)-f(2-3h)hlim

h ⁄0h(t)= 라하면

h'(t)=

h'(t)=

e—† ±¤ >0이므로 t=0 또는 t=2에서 h'(t)=0

x=0, 2를 기준으로 h(t)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음

과같다.

즉, h(t)와 g(t)의그래프는다음과같다.

따라서 g(t)가극값을가지는점의개수는 5이다.

|̀정답 5

t(2-t)e—† ±¤2'2

2te—† ±¤ -t¤ e—† ±¤2'2

t¤ e—† ±¤ -22'2

함수 f(x)= 가 x=0에서연속이되려면

f(x)=f(0)이어야한다.

=b에서 x ⁄ 0일때(분모)⁄ 0이므로

(분자)⁄ 0이어야한다.

즉, (e¤ ≈ +a)=1+a=0에서 a=-1

= { _ _ }

=1_1_;3@;=;3@;

∴ b=;3@;

따라서 ab=-;3@;이다.

|̀정답-;3@;

2x3x

3xsin 3x

e¤ ≈ -12xlim

x ⁄0

e¤ ≈ -1sin 3xlim

x ⁄0

limx ⁄0

e¤ ≈ +asin 3xlim

x ⁄0

limx ⁄0

e¤ ≈ +a1115 (x+0)sin 3x

b (x=0)

({ª

점 {t, ;2!;t¤ e—† ±¤ +t}에서직선 x-y+1=0까지의거리 g(t)는

g(t)= =

g(t)=|t¤ e—† ±¤ -2|2'2

|;2!;t¤ e—† ±¤ -1|

'2

|t-;2!;t¤ e—† ±¤ -t+1|

'2

t y 0 y 2 y

h'(t) - 0 + 0 -

h(t) ↘ ↗ ↘

f(x)= 에서

f '(x)= =

f'(x)=0에서 x=0 또는 x=2n

⁄ n이짝수일때,

⁄ n-1은 홀수이므로 x=0, x=2n

을기준으로함수 f(x)의증가, 감

소를 표로 나타내면 다음과 같고,

그그래프는오른쪽그림과 같다.

x« —⁄ (2n-x)2"çe≈e≈

x«"çe≈

nx« —⁄ "çe≈ -x«"çe≈2

O x

y

y=f{x}

2n

x y 0 y 2n y

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

CSol함수 f(x)= 가 x=0에서연속이되도록두상수

a, b의 값을정할때, ab의 값을구하여라.

( e¤ ≈ +a111 (x+0){sin 3x

ª b (x=0)

1등급 뛰어넘기

1 풀이 제한 시간 : 5분C

실수 t에대하여곡선 y=;2!;x¤ e—≈ ±¤ +x 위의점 {t, ;2!;t¤ e—† ±¤ +t}와직선 y=x+1

사이의거리를 g(t)라하자. 함수 g(t)가극값을가지는서로다른점의개수를구

하여라. {단, =0}x¤e≈

limx ⁄¶

2 풀이 제한 시간 : 10분BA C

자연수 n에대하여함수 f(x)= 의그래프에서변곡점의개수를 g(n)이라하

자. 함수 f(x)는x=h(n)에서극댓값을가질때, g(n)h(n)의값을구하여라.5;

n=1

x«"ç≈e≈

- '22

'22

Ot

y=h{t}

y

2-Â2

2Â2

2

O t

y=g{t}

y

2Â2

2

영역별 수학-미적분2해답(54~69) 15.10.7 10:52 AM 페이지55 DK


f(x)=e—≈ cos x에서

f '(x)=-e—≈ cos x-e—≈ sin x

=-e—≈ (cos x+sin x)

f '(x)=-'2 e—≈ sin{x+ }

f "(x)=e—≈ (cos x+sin x)-e—≈ (-sin x+cos x)

=2e—≈ sin x

f '(x)=0에서 x+ =mp (m=1, 2, 3, y)

∴ x=mp-

한편, k=1, 2, 3, y에대하여

f "{2kp- }<0, f "{(2k-1)p- }>0이므로

함수 f(x)는 x=(2k-1)p- 에서극솟값을갖는다.

따라서 x¡=;4#;p, x™=3p- , x£=5p- , y,

x«=(2n-1)p- 이므로`f(x«)은첫째항이

- e— p이고, 공비가 e—2p인등비급수이다.

∴`f(x«)= =

∴`f(x«)=

따라서 a=4, b=5이므로 a¤ +b¤ =16+25=41

|̀정답 41

'2(1-e2p)

'2(e—2p-1)1-e—2p¶;

n=1

34

1

'2

¶;

n=1

p4

p4

p4

p4

p4

p4

p4

p4

p4

¤ n이홀수일때,

⁄ n-1은짝수이므로 x=0, x=2n

을 기준으로 함수 f(x)의 증가,

감소를 표로 나타내면 다음과 같

고, 그 그래프는 오른쪽 그림과

같다.

⁄, ¤에서함수 f(x)는 x=2n에서극댓값을가지므로

h(n)=2n

한편, f '(x)= = 이므로

f "(x)=

f"(x)=

f"(x)=0에서 x는 x=0 또는 x에관한이차방정식

x¤ -4nx+4n(n-1)=0의두근이다.

이차방정식 x¤ -4nx+4n(n-1)=0의판별식을D라하면

=4n¤ -4n(n-1)=4n>0이므로서로다른두실근을갖

는다.

이때, x=0이이방정식의근이라하면

4n(n-1)=0 ⋯ ⋯∴n=1

즉, n=1일때, f "(x)= 이므로변곡점의개수는 1이다.

næ2일때, n이짝수이면 x« —¤ æ0이므로변곡점의개수는 2, n

이홀수이면변곡점의개수는 3이다.

(1 (n=1)

∴ g(n)={2 (n은짝수)

93 (n은 3 이상의홀수)

g(n)h(n)=1_2+2_4+3_6+2_8+3_10

=2+8+18+16+30=74

|̀정답 74

|참고|

변곡점의판정

함수 f(x)에서

⁄ f "(a)=0

¤ x=a의좌우에서 f "(a)의부호가바뀌면

⇨점 (a, f(a))는곡선 y=f(x)의변곡점

|주의|

f "(a)=0이라고 해서 점 (a, f(a))가 항상 변곡점인 것은 아

니다. 위의 문제에서 n이 짝수일 때, f "(0)=0이지만 x=0의

좌우에서 f "(x)의부호가바뀌지않으므로점 (0, f(0))은변

곡점이아니다.

5

;

n=1

x-44'∂e≈

D4

x« —¤ {x¤ -4nx+4n(n-1)}4'∂e≈

{2n(n-1)x« —¤ -nx« —⁄ }2'∂e≈ -(2nx« —⁄ -x« )'∂e≈4e≈

2nx« —⁄ -x«2'∂e≈

x« —⁄ (2n-x)2'∂e≈

- e— p34

1

'2 e— p34

e p54

f(x)=ax+b(a>0, b는상수)로놓으면

g(x)=(ax+b)e—≈ 에서

O x

y=f{x}

2n

x y 0 y 2n y

f '(x) + 0 + 0 -

f(x) ↗ 0 ↗ 극대 ↘

3 풀이 제한 시간 : 5분BA

양의실수전체를정의역으로하는함수 f(x)=e—≈ cos x가극소가되는 x의값을

작은것부터차례로 x¡, x™, x£, y, x«, y이라할때, f(x«)의값은

이다. a¤ +b¤ 의값을구하여라. (단, a와 b는서로소인자연수이다.)e;aB;p

'2(1-e2p)

¶;

n=1


일차항의계수가양수인일차함수 f(x)에대하여함수 g(x)= 가다음조건

을만족시킨다.

f(2)의값을구하여라.

f(x)e≈

㈎함수 g(x)는x=2에서극값을가진다.

㈏곡선 y=g(x) 위의 x좌표가양수인점에서의접선의 y절편이최댓값을가지는

㈏접점의 y좌표는 이다.4e‹


Theme 01. 함수의그래프 57

g'(x)=ae—≈ -(ax+b)e—≈ =e—≈ (-ax+a-b)

조건㈎에의하여함수 g(x)가 x=2에서극값을가지므로

g'(2)=0에서

g'(2)=e—¤ (-a-b)=0 ⋯ ⋯∴ b=-a

즉, g'(x)=-ae—≈ (x-2)이므로

g"(x)=ae—≈ (x-2)-ae—≈ =ae—≈ (x-3)

g"(x)=0에서⋯ x=3

이때, a>0이므로 x=2, x=3을기준으로함수

g(x)= 의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.

즉, 함수 y=g(x)의그래프는오른

쪽그림과같고, x>0에서접선의 y

절편이최대가되도록하는점은변

곡점이다.

이때, 변곡점은 {3,̀̀ ̀ }이고조건㈏

에의하여y좌표가 이므로

= ⋯ ⋯∴ a=2

따라서 f̀(x)=2x-2이므로 f̀(2)=4-2=2

|̀정답 2

4e‹

2ae‹

4e‹

2ae‹

a(x-1)e≈

O x

y

2 3y=g{x}

x y 2 y 3 y

g'(x) + 0 - - -

g"(x) - - - 0 +

g(x) ae¤

2ae‹

5 풀이 제한 시간 : 5분

함수 f(x)=ex‹ +x과 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 g(x)에 대하여 합성함수

(f Á`g)(x)가다음조건을만족시킨다.

함수 (f Á`g)(x)의극솟값을구하여라.

㈎ (f Á`g)(x)는x=0, x=2에서극값을가진다.

㈏ (f Á`g)(0)=f(0)

y=(f Á`g)(x)=f(g(x))에서 y'=f '(g(x))g'(x)

f '(x)=(3x¤ +1)ex‹ +x이므로모든실수 x에대하여 f '(x)>0

조건 ㈎에서 f '(g(0))g'(0)=0, f '(g(2))g'(2)=0이므로

g'(0)=0, g'(2)=0 (∵ f '(x)>0)

함수 y=g(x)가최고차항의계수가 1인삼차함수이므로

g(x)=x‹ +ax¤ +bx+c (a, b, c는상수)로놓으면

g'(x)=3x¤ +2ax+b

g'(0)=b=0, g'(2)=12+4a+b=0

∴ a=-3, b=0

즉, g'(x)=3x¤ -6x, g(x)=x‹ -3x¤ +c

조건 ㈏에서 (f Á`g)(0)=f(g(0))=f(c)=ec‹ +c, f(0)=1이

므로 ec‹ +c=1, c‹ +c=0 ⋯ ⋯∴ c=0

∴ g(x)=x‹ -3x¤

따라서함수 y=(f Á g)(x)는 x=2에서극솟값을가지므로

(f Á g)(2)=f(g(2))=f(-4)=

|̀정답

|참고|

앞의 문제에서 y'=f '(g(x))g'(x)의 부호는 f '(g(x))>0이

므로 g'(x)=3x¤ -6x=3x(x-2)의 부호와 같다. 이때,

g'(x)의부호는 x=2의좌우에서음에서양으로바뀌므로함수

(f Á`g)(x)는 x=2에서극솟값을갖는다.

1efl °

1efl °


실수 전체에서 정의된 함수 f(x)=x‹ +ax¤ +ax와 함수 g(x)=cos x에 대하여

합성함수 y=(f Á g)(x)가 0<x<p에서극댓값과극솟값을모두갖도록하는실

수 a의값의범위는 p<a<q이다. p¤ +q¤ 의값을구하여라.

y=(f Á`g)(x)=f(g(x))=cos‹ x+a cos¤ x+a cos x에서

y'=3 cos¤ x¥(-sin x)+2a cos x¥(-sin x)-a sin x

=-sin x(3 cos¤ x+2a cos x+a)

한편, 0<x<p에서 0<sin x…1이므로 함수 (f Á`g)(x)가

0<x<p에서극댓값과극솟값을모두가지려면방정식

3 cos¤ x+2a cos x+a=0은서로다른두실근을가져야한다.

이때, cos x=t (-1<t<1)로놓으면주어진방정식은

3t¤ +2at+a=0 ⋯ ⋯yy ㉠

h(t)=3t¤ +2at+a로 놓고, 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라

하면

⁄ =a¤ -3a>0에서

⁄ a(a-3)>0⋯ ⋯∴ a<0 또는 a>3

¤ h(1)>0, h(-1)>0에서

3+2a+a>0, 3-2a+a>0이므로

3a>-3, -a>-3⋯ ⋯∴-1<a<3

‹ -1<(대칭축의 x좌표)<1에서

⁄ -1<-;3A;<1⋯ ⋯∴-3<a<3

⁄, ¤, ‹에서 a의값의범위는-1<a<0

따라서 p=-1, q=0이므로 p¤ +q¤ =1+0=1

|̀정답 1

|참고|

a<x<b에서이차항의계수가양수

인 이차함수 y=f(x)가 서로 다른

두근을가지려면

⁄ (판별식)>0xa b

D4



|참고|

g(a)=(f Á`f)(a)=f(f(a))=f {;2!;}=0

g {;2!;}=(f Á`f){;2!;}=f {f {;2!;}}=f(0)=e‚ -2e¥0=1

g(b)=(f Á`f)(b)=f(f(b))=f {;2!;}=0

¤ f(a)>0, f(b)>0

‹ a<(대칭축의 x좌표)<b

g(x)=(f`Á`f)(x)=f(f(x))에서 g'(x)=f '(f(x))f '(x)

f '(x)=2e2x-2e=2e(e2x-1-1)

f '(x)=0에서 e2x-1=1, 2x-1=0⋯ ⋯∴ x=;2!;

x=;2!;을기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다

음과같고, 그그래프는오른쪽그림과같다.

한편, f '(f(x))=0에서 f̀(x)=;2!;이고, 곡선 y=f(x)와직선

y=;2!;이만나는두점의 x좌표를각각 a, b (a<b)라 하면

f '(f(a))=f '{;2!;}=0, f '(f(b))=f '{;2!;}=0

즉, x=a, x=;2!;, x=b를 기준으로

함수 g(x)의증가, 감소를표로나타

내면 다음과 같고, 그 그래프는 오른

쪽그림과같다.

따라서함수 g(x)의모든극값의합은 0+1+0=1

|̀정답 1

ㄱ. f(0)=-0+ln (1+0)=0

f '(x)=-1+ =-

xæ0인모든실수 x에대하여 f '(x)…0이므로

f(x)…`f(0)=0⋯ ⋯ yy ㉠

한편, g(x)=f(x)+x¤ 으로놓으면 g(0)=f(0)+0=0

g'(x)=f '(x)+2x=- +2x= 에서

xæ0인모든실수 x에대하여 g'(x)æ0이므로

g(x)=f(x)+x¤ æ g̀(0)=0

∴-x¤ …f(x) ⋯ ⋯ yy ㉡

㉠, ㉡에서-x¤ …f(x)…0 (참)

ㄴ. ㄱ에의하여-a«¤…f(a«)…0

각변에n을곱하면

-na«¤ …nf(a«)…0 yy ㉢

수열 {na«}이수렴하므로그극한값을 a라하면

ㄴ. na«=a

ㄴ. 이때, ㉢에서

ㄴ. na« ¤ = ;n!;¥(n¤ a«¤ )= ;n!;(na«)¤

ㄴ. na« ¤ = =0

ㄴ. 이므로 nf(a«)=0 (참)

ㄷ. f(a«)=-a«+ln (1+a«)에서 ln (1+a«)=f(a«)+a«

∴ 1+a«=e f(a«)+a«

ㄴ. na«=0이고, ㄴ에의하여 nf(a«)=0이므로

ㄴ. (1+a«)« = e nf(a«)+na«=e‚ ±‚ =1 (참)

따라서<보기> 중옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

|̀정답⑤

limn ⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

a¤nlim

n ⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

limn ⁄¶

2x¤ +x1+x

x1+x

x1+x

11+x

7 풀이 제한 시간 : 5분CB

실수전체에서정의된함수 f(x)=e¤ ≈ -2ex에대하여함수 g(x)를⋯ ⋯g(x)=(f Á`f)(x)라하자. 함수 g(x)의모든극값의합을구하여라.


보기

ㄱ. -x¤ …f(x)…0

ㄴ. a«æ0이고, 수열 {na«}이수렴할때, nf(a«)=0

ㄷ. a«æ0인수열 {a«}에대하여 na«=0이면 (1+a«)« =1limn ⁄¶

limn ⁄0

limn ⁄¶

함수 f(x)=-x+ln (1+x)에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른

것은? (단, xæ0이고, n은자연수이다.)

①ㄱ ②ㄴ ③ㄱ, ㄴ

④ㄴ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

O x

y

21

1

y=f{x}x y ;2!; y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 0 ↗

O x

y

21

1

y=g{x}

å ∫

x y a y ;2!; y b y

f '(x) - - - 0 + + +

f'(f(x)) + 0 - - - 0 +

g'(x) - 0 + 0 - 0 +

g(x) ↘ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↗


Theme 02. 미분가능성 59

조건㈎를이용하여방정식 g(x)=0의근이 2개임을보이기

조건㈎에서 f(g(x))=1이므로⋯ e{g(x)}¤ +|g(x)|=1⋯ ⋯

∴ {g(x)}¤ +|g(x)|=0

g(x)æ0일때, {g(x)}¤ +g(x)=0 ⋯ ⋯∴ g(x)=0

g(x)<0일때, {g(x)}¤ -g(x)=0 ⋯ ⋯∴해가없다.

따라서 g(x)=0은서로다른실근을갖고그합은 0이므로 한

근을 a라하면다른한근은-a이다.

함수 f '(x)가 x=0을 제외한 모든 실수에서 미분가능함을

보이기

조건㈏에서 x ⁄0일때 f(x) ⁄1이므로

g(f(x))= g(t)=g(1)=0

∴ g(1)=0, g(-1)=0

한편, y=(f Á`g)(x)=f(g(x))에서⋯ y'=f '(g(x))g'(x)

이때, f '(x)=[ 이므로함수 f '(x)는

x=0을제외한실수전체에서미분가능하고, 함수 g(x)는다항

함수이므로실수전체에서미분가능하다.

그러므로 g(x)=0, 즉 x=-1, x=1에서 미분가능성을 조사

하면된다.

함수 g(x)를구한후 g(2)의값구하기

최고차항의계수가 1인사차함수 g(x)에대하여방정식

g(x)=0의 두 근이 -1, 1이므로 함수 y=g(x)의 그래프는

다음과같이두가지경우가있다.

O x

y

-1 1

y=g{x}

[그림 2]

O x

y

-1 1

y=g{x}

[그림 1]

(2x-1)ex¤ -x (x<0)(2x+1)ex¤ +x (x>0)

limt ⁄1

limx ⁄0

⁄ 함수 y=g(x)의그래프가 [그림 1]인경우

⁄ f '(g(x))g'(x)=g'(-1)

⁄ f '(g(x))g'(x)=-g'(-1)

⁄ x=-1에서함수 y=(f Á`g)(x)가미분가능하려면

⁄ g'(-1)=-g'(-1)이어야하므로⋯ g'(-1)=0

⁄ 그런데 [그림 1]에서 g'(-1)<0이므로성립하지않는다.

⁄ x=1에서도마찬가지방법으로생각한다.

¤ 함수 y=g(x)의그래프가 [그림 2]인경우

⁄ f '(g(x))g'(x)= f'(g(x))g'(x)

=g'(-1)

⁄ f '(g(x))g'(x)= f '(g(x))g'(x)

=g'(1)

⁄ 따라서 함수 y=(f Á`g)(x)의 x=-1, 1에서의 미분계수

가존재하므로이함수는실수전체에서미분가능하다.

⁄, ¤에서함수 y=g(x)의그래프는 [그림 2]와같으므로

g(x)=(x+1)¤ (x-1)¤ ⋯ ⋯

∴ g(2)=3¤ `¥`1¤ =9

|̀정답 9

limx ⁄1+

limx ⁄1-

limx ⁄-1+

limx ⁄-1-

limx ⁄-1+

limx ⁄-1-

Step1

함수 f(x)가 모든 실수에서 미분가능하려면 x=1에서 연속이

어야하므로 f(x)= f(x)=f(1)이어야한다. limx⁄ 1+

limx⁄ 1-

합성함수 (f Á`g)(x)가 x=1에서연속이어야하므로

(f Á`g)(x)= (f Á`g)(x)=(f Á`g)(1)이어야한다.

(f Á`g)(x)= f(g(x))

= f(t)=9+3a

(f Á`g)(x)= f(g(x))

= f(t)=1+a

(f Á`g)(1)=f(g(1))=f(1)=1+a

9+3a=1+a이어야하므로

2a=-8⋯ ⋯∴ a=-4

|̀정답-4

limt ⁄1+

limx ⁄1+

limx ⁄1+

limt ⁄3-

limx ⁄1-

limx ⁄1-

limx ⁄1+

limx ⁄1-

Step2

Step3

02 미분가능성T h e m e



함수 f(x)=ex¤ +|x|과 최고차항의 계수가 1인 사차함수 g(x)가 다음 조건을

만족시킨다.

함수 y=(f Á`g)(x)가실수전체에서미분가능할때, g(2)의값을구하여라.

㈎방정식 f(g(x))=1의서로다른두실근의합은 0이다.

㈏ g(f(x))=0limx ⁄0

ASol 두함수 f(x)=x¤ +ax, g(x)= 에대하여합성함수

(f Á`g)(x)가 x=1에서연속일때, 상수 a의값을구하여라.

[ln x+1 (xæ1)

e≈ —⁄ +2 (x<1)

BSol 함수 f(x)= 가모든실수 x에대하여미분가능

하도록하는두상수 a, b에대하여 a+b의값을구하여라.

[ln x+2a (xæ1)

x¤ +ax+b (x<1)



f(x)= (x¤ +ax+b)

=1+a+b

f(x)= (ln x+2a)

=2a

f(1)=ln 1+2a=2a

1+a+b=2a이어야하므로 b=a-1 yy ㉠

∴ f(x)=[ yy ㉡

㉡에서⋯ f '(x)=[

x=1에서 미분가능하려면 f '(x)= f '(x)이어야 하

므로

2+a=1⋯ ⋯∴ a=-1

a=-1을㉠에대입하면⋯ b=-2

∴ a+b=-3

|̀정답-3

limx⁄ 1+

limx⁄ 1-

;[!; (x>1)

2x+a (x<1)

ln x+2a (xæ1)x¤ +ax+(a-1) (x<1)

limx⁄ 1+

limx⁄ 1+

limx⁄ 1-

limx⁄ 1-

y=(f Á f)(x)=f(f(x))에서

y'=f '(f(x))f '(x)

x=2를대입하면 x=2에서의미분계수는

f '(f(2))f '(2)=f '(2)f '(2)

=5_5=25

|̀정답 25

이때, t의값의범위에따른함수 |f(x)+t|의그래프를좌표평

면위에나타내면다음과같다.

⁄ t…0일때, ¤ 0<t<1일때,

‹ t=1일때, › t>1일때,

⁄~›에서함수 g(t)는 g(t)=

따라서함수 y=g(t)의그래프는다음그림과같고, t=0, t=1

에서불연속이므로불연속점의개수는 2이다.

|̀정답 2

O t

y

1

1

2y=g{t}

(1 (t…0){2 (0<t<1)90 (tæ1)

f(x)=xe≈ ±⁄ 에서

f '(x)=e≈ ±⁄ +xe≈ ±⁄

=(1+x)e≈ ±⁄

f "(x)=e≈ ±⁄ +(1+x)e≈ ±⁄

=(2+x)e≈ ±⁄

f '(x)=0에서⋯ x=-1

f"(x)=0에서⋯ x=-2

x=-2, x=-1을기준으로함수 f(x)의 증가, 감소를표로

나타내면다음과같고, 그그래프는다음그림과같다.

O x

y

-1

-1

y=f{x}

x y -2 y -1 y

f '(x) - - - 0 +

f"(x) - 0 + + +

f(x) 변곡점 -1

n의값에따라조사하면다음과같다.

O x

y

O x

y

O x

y

O x

y

CSol실수전체에서미분가능한함수 f(x)에대하여 f(2)=2, f '(2)=5일

때, 합성함수 (f Á`f)(x)의 x=2에서의미분계수를구하여라.



함수 f(x)=xe≈ ±⁄과실수 t에대하여함수 |f(x)+t|가미분가능하지않은서로

다른점의개수를 g(t)라하자. 함수 g(t)의불연속점의개수를구하여라.

2 풀이 제한 시간 : 8분B

음이아닌정수 n에대하여함수 f(x)를

⋯ ⋯f(x)=

이라하자. 함수 f(x)가 x=0에서미분가능하도록하는 n의최솟값을 a, f '(x)가

x=0에서연속이되도록하는 n의최솟값을 b라하자. a+b의값을구하여라.

[x« sin ;[!; (x+0)

0 (x=0)


Theme 02. 미분가능성 61

x의값의범위에따른함수 f(x)를구하면다음과같다.

⁄ |x|<1일때,

⁄ x¤ « =0이므로⋯ f(x)=-|x|

¤ x=-1일때,

⁄ x¤ « =1이므로⋯ f(x)= =-1

‹ x=1일때,

⁄ x¤ « =1이므로⋯ f(x)= =0

› |x|>1일때,

⁄ x¤ « =¶이므로분모, 분자를각각 x¤ « 으로나누면

⁄ f(x)=

⁄ f(x)=sin x

⁄~›에서함수 y=f(x)의그래프를좌표평면위에나타내면

다음그림과같다.

위그래프에서함수 y=f(x)의그래프는x=1에서불연속이다.

∴ a=1

한편, f '(x)= 에서

`f '(x)=

`cos x=0,

`f '(x)= 1=1이므로

`f '(x)+

`f '(x)

`f '(x)=

`1=1, lim

x ⁄0-limx ⁄0-

limx ⁄-1+

limx ⁄-1-

limx ⁄-1+

limx ⁄-1+

p2

p2lim

x ⁄-1-lim

x ⁄-1-

y=f{x}

Ox

y

1

-1

-1-2 2

1

p2

limn ⁄¶

limn ⁄¶

1-12

-1-12

limn ⁄¶

⁄ n=0일때,

⁄ f(x)= sin ;[!; ⋯ ⋯ yy ㉠

⁄ ㉠`은발산하므로 f(x)는 x=0에서불연속이다.

¤ n=1일때,

⁄ f(x)= x sin ;[!;=0, f(0)=0

⁄ 이므로 f(x)는 x=0에서연속이다.

⁄ 한편,

⁄ f '(0)=

⁄ f '(0)=

⁄ f '(0)= sin ;[!;⋯ ⋯ yy ㉡

⁄ ㉡`은발산하므로 f(x)는 x=0에서미분가능하지않다.

‹ n=2일때,

⁄ f '(0)=

⁄ f '(0)=

⁄ f '(0)= x sin ;[!;=0

⁄ 이므로 f(x)는 x=0에서미분가능하다.

⁄ ∴ a=2

⁄ 한편, x+0일때,

⁄ f '(x)=2x sin ;[!;+x¤ cos ;[!;`¥`{- }

⁄ f '(x)=2x sin ;[!;-cos ;[!;

⁄ 이때,

⁄ f̀ '(x)= {2x sin ;[!;-cos ;[!;}

⁄ f̀ '(x)= {-cos ;[!;} yy ㉢

⁄ ㉢`은발산하므로 f '(x)는 x=0에서불연속이다.

› n=3일때,

⁄ f '(0)=

⁄ f '(0)=`

⁄ f '(0)=`x¤ sin ;[!;=0

⁄ 이므로 f(x)는 x=0에서미분가능하다.

⁄ 한편, x+0일때,

⁄ f '(x)=3x¤ sin ;[!;+x‹ cos ;[!; ¥ {- }

⁄ f '(x)=3x¤ sin ;[!;-x cos ;[!;

⁄ 이때, `f '(x)=

`{3x¤ sin ;[!;-x cos ;[!;}=0이므로lim

x ⁄0limx ⁄0

1x¤

limx ⁄0

x‹ sin ;[!;

xlimx ⁄0

f(x)-f(0)x-0lim

x ⁄0

limx ⁄0

limx ⁄0

limx ⁄0

1x¤

limx ⁄0

x¤ sin ;[!;

xlimx ⁄0

f(x)-f(0)x-0lim

x ⁄0

limx ⁄0

x sin ;[!;

xlimx ⁄0

f(x)-f(0)x-0lim

x ⁄0

limx ⁄0

limx ⁄0

limx ⁄0

limx ⁄0

⁄ f '(x)는 x=0에서연속이다. ⋯ ⋯

⁄ ∴ b=3

⁄~`›에서⋯ a+b=5

|̀정답 5

( -1 (0<x<1){ 1 (-1<x<0)

9 cos x (x<-1, x>1)p2

p2

sin x-|x|x¤ «

p2

1+1x¤ «

3 풀이 제한 시간 : 5분B

실수전체에서정의된함수 f(x)를자연수 n에대하여

⋯ ⋯f(x)=

로정의하자. 함수 f(x)의그래프에서불연속인 x의값을 a, 연속이지만미분가능

하지않은점의개수를 b라할때, a+b의값을구하여라.

x¤ « +1limn ⁄¶

x¤ « sin x-|x|p2



x의값의범위에따른함수 f(x)를구하면다음과같다.

⁄ 0<x<2일때,

⁄ f(x)=[ ,

⁄ f '(x)=[

⁄ 이때, x=1에서미분가능하려면x=1에서연속이어야하므로

⁄`̀f(x)=

`̀`f(x)에서

⁄ ln 2=c¡+d¡ yy`㉠

⁄ 또, `̀f '(x)=

`̀`f '(x)에서

⁄ ;2!;=c¡ yy`㉡

⁄ ㉠, ㉡에서⋯ c¡=;2!;, d¡=ln 2-;2!;

⁄ ∴ f(x)=[

¤ 1<x<3일때,

⁄ f(x)=[

⁄ f '(x)=


⁄`f(x)=

`f(x)에서

⁄ ln 2+;2!;=ln (2+a™)+b™ yy ㉢

⁄ 또, f '(x)=`f '(x)에서lim

x ⁄2+limx ⁄2-

limx ⁄2+

limx ⁄2-

(“9

;2!;x+ln 2-;2!; (1…x<2)

ln (x+a™)+b™ (2…x<3)

ln (x+1) (0…x<1)

;2!;x+ln 2-;2!; (1…x<2)

limx ⁄1+

limx ⁄1-

limx ⁄1+

limx ⁄1-

ln (x+1)(0…x<1)c¡x+d¡ (1…x<2)

⁄ ;2!;= yy ㉣

⁄ ㉢, ㉣에서⋯ a™=0, b™=;2!;

⁄ ∴ f(x)=

‹ 2<x<4일때

⁄ f(x)=[

⁄ f '(x)=[

⁄ 이때, x=3에서미분가능하려면 x=3에서연속이어야하므

로

⁄`f(x)= f(x)에서 ln 3+;2!;=3c™+d™

yy`㉤

⁄ 또, f '(x)= f '(x)에서 ;3!;=c™ yy`㉥

⁄ ㉤, ㉥에서 c™=;3!;, d™=ln 3-;2!;

⁄ ∴ f(x)=

› 3<x<5일때,

⁄ f(x)=[

⁄ f '(x)=


⁄ f(x)=`f(x)에서

⁄ ln 3+;6%;=ln(4+a£)+b£ yy`㉦

⁄ 또, f '(x)= f '(x)에서

⁄ ;3!:= yy`㉧

⁄ ㉦, ㉧에서⋯ a£=-1, b£=;6%;

⁄ ∴ f(x)=

⁄~›에서수열 {a«}은첫째항이 1, 공차가-1인등차수열이

므로

a«=1+(n-1)_(-1)

=-n+2

∴ a•_b£_(c¡+d¡)=-6_;6%;_{;2!;+ln 2-;2!;}

∴ a•_b£_(c¡+d¡)=-5_ln 2=-5 ln 2

|̀정답-5 ln 2

;3!;x+ln 3-;2!; (3…x<4)

ln (x-1)+;6%; (4…x<5)

(“9

14+a£

limx ⁄4+

limx ⁄4-

limx ⁄4+

limx ⁄4-

(“9

;3!;x+ln 3-;2!; (3…x<4)

ln (x+a£)+b£ (4…x<5)

ln x+;2!; (2…x<3)

;3!;x+ln 3-;2!; (3…x<4)

(“9

limx ⁄3+

limx ⁄3-

limx ⁄3+

limx ⁄3-

;[!; (2<x<3)

c™ (3<x<4)

ln x+;2!; (2…x<3)

c™x+d™ (3…x<4)

;2!;x+ln 2-;2!; (1…x<2)

ln x+;2!; (2…x<3)

(“9

12+a™

(0<x<1)

c¡ (1<x<2)

1x+1

;3!; (3<x<4)

(4<x<5)1

x+a£

;2!; (1<x<2)

(2<x<3)1

x+a™

`f '(x)=

`(-1)=-1

이므로

`f '(x)+

`f '(x)

즉, 함수 f(x)의그래프는 x=-1, x=0에서연속이지만미분

가능하지않다.

∴ b=2

∴ a+b=3

|̀정답 3

limx ⁄0+

limx ⁄0-

limx ⁄0+

limx ⁄0+


양의실수전체에서정의된함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

함수 f(x)가양의실수전체에서미분가능할때, a•_b£_(c¡+d¡)의값을구하여

라. (단, n은자연수이다.)

자연수n과 a¡=1, b¡=0인두수열 {a«}, {b«}및두수열 {c«}, {d«}에대하여

㈎ 2(n-1)…x<2n-1일때, f(x)=ln (x+a«)+b«

㈏ 2n-1…x<2n일때, f(x)=c«x+d«


Theme 03. 접선에의활용 63

곡선위의점 P에서의접선의방정식구하기

다음그림과같이원과 x축이만나는점을각각Q, R라하면원

의중심이x축위에있으므로선분QR는원의지름이다.

이때, y=e≈ 에서 y'=e≈ 이므로곡선위의점P(a, eå )에서의접

선의기울기는 eå 이고, 접선의방정식은⋯ y-eå =eå (x-a)

∴ y=eå (x-a)+eå ⋯ ⋯ yy ̀㉠

두점 Q, R의좌표구하기

㉠에 y=0을대입하면⋯ x=a-1

즉, 점Q의좌표는⋯ Q(a-1, 0)

또, ∠QPR= 이므로 점 P를 지나고 접선에 수직인 직선의

방정식은

y=- (x-a)+eå ⋯ ⋯yy `㉡

㉡`에 y=0을대입하면⋯ x=e¤ å +a

즉, 점R의좌표는⋯ R(e¤ å +a, 0)

주어진극한값구하기

r(a)=;2!; QR”

r(a)=;2!;(e¤ å +a-a+1)

r(a)=;2!;(e¤ å +1)

이므로

1eå

p2

O x

y y=ex

P

QR

C

y=x‹ 에서⋯ y'=3x¤

곡선 y=x‹의접선이직선 y=-;3!;x에수직이므로접선의기울

기는 3

즉, 3x¤ =3에서⋯ x¤ =1

∴ x=—1

y=tan x에서 y'=sec¤ x이므로곡선위의점 { , 1}에서의

접선의기울기는

sec¤ = = =2

즉, 접선의방정식은⋯ y-1=2{x- }⋯ ⋯

∴ y=2x- +1 ⋯ ⋯yy`㉠

이접선이원 (x-a)¤ +{y+ } 2=1의중심 {a, - }를지

나므로㉠`에 x=a, y=- 를대입하면

- =2a- +1, 2a=-1

∴ a=-;2!;

|̀정답-;2!;

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p4

11p4

p4

Step1

Step2

Step3

cos¤p4 { }2

'22

= =1

|̀정답 1

|참고|

곡선 y=f(x) 위의점 (a, f(a))를지나고이점에서의접선에

수직인직선의방정식은

y-f(a)=- (x-a) (단, f '(a)+0)1

f '(a)

e¤ å -12alim

a ⁄0+

r(a)-1alim

a ⁄0+

03 접선에의활용T h e m e

오른쪽그림과같이곡선 y=e≈ 위의점

P(a, eå )(aæ0)을 지나고, 중심이 x축 위에

있는원을C라하자. 곡선 y=e≈ 위의점P에서

의접선과원C가 x축위에서만날때, 원의반

지름의길이 r(a)에대하여 의

값을구하여라.

r(a)-1a

lima ⁄0+

O x

y y=ex

PC



ASol 곡선 y=tan x 위의점 { , 1}에서의접선이원

(x-a)¤ +{y+ }2=1의중심을지날때, 상수 a의값을구하여라. p2

p4

BSol 곡선 y=x‹ 에접하고, 직선 y=-;3!;x에수직인직선이 y축과만나는

점의좌표를 (0, k)라할때, 양수 k의값을구하여라.



=

=

= [ ¥ ¥(1+cos x)¥3]

=1_1_2_3=6

|̀정답 6

e‹ ≈ -13x

x¤sin¤ xlim

x ⁄0

x(e‹ ≈ -1)(1+cos x)sin¤ xlim

x ⁄0

x(e‹ ≈ -1)(1+cos x)(1-cos x)(1+cos x)lim

x ⁄0

x(e‹ ≈ -1)1-cos xlim

x ⁄0

점 (1, 2)에서직선 x-3y+1=0까지의거리는

= =

따라서 p=5, q=2이므로⋯ pq=10

|̀정답 10

|참고|

미분가능한함수 f(x)의역함수를 g(x)라하면

g'(x)= (단, f '(g(x))+0)

이므로위의문제에서

g'(2)=

g'(2)= =;3!;1

f '(1)

1f '(g(2))

1f '(g(x))

2'1å05

4

'1å0|1¥1-3¥2+1|

"√1¤ +(-3)¤

=3에서 x ⁄ 1일때(분모) ⁄ 0이므로

(분자) ⁄ 0이다.

즉, `{ f(x)-2}=0에서⋯ f(1)=2

∴`

=f'(1)=3

두곡선 y=f(x), y=g(x)는직선 y=x에대하여대칭이므로

곡선 y=f(x) 위의 점 (1, f(1))의 y=x에 대한 대칭인 점

(2, g(2))는곡선 y=g(x) 위의점이다.

이때, 곡선 y=g(x) 위의점 (2, 1)에서의접선의기울기는

g'(2)= =;3!;이므로곡선 y=g(x) 위의점 (2, 1)에서

의접선의방정식은 y=;3!;(x-2)+1

∴ x-3y+1=0

1f '(1)

f(x)-f(1)x-1lim

x ⁄1

limx ⁄1

f(x)-2x-1lim

x ⁄1

⁄ x=1일때접점의좌표는 (1, 1)이고, 접선이이점을지나

므로 y=3x+k에서⋯ 1=3+k ⋯ ⋯∴ k=-2

¤ x=-1일때접점의좌표는 (-1, -1)이고, 접선이이점

을지나므로 y=3x+k에서⋯ -1=-3+k ⋯ ⋯

∴ k=2

⁄, ¤에서구하는양수 k의값은 2이다.

|̀정답 2

두곡선 y="√ax¤ +b, y=x ln x가 x=e인점에서만나므로

"√ae¤ +b=e ⋯ ⋯yy ㉠

한편, y="√ax¤ +b에서

y'= = 이므로

x=e인점에서의접선의기울기는

= =a (∵㉠)

이때, 이접선이 x축의양의방향과이루는각의크기를 a라하

면 tan a=a

또, y=x ln x에서

y'=ln x+x¥;[!;=ln x+1

이므로

x=e인점에서의접선의기울기는⋯ ln e+1=2

이때, 이접선이 x축의양의방향과이루는각의크기를 b라하

면⋯ tan b=2

두접선이이루는각의크기가 이므로

tan(a-b)=

tan(a-b)= =—1

이때, a-2=1+2a 또는 a-2=-1-2a이므로

a=-3 또는 a=;3!;

그런데 a<0이므로⋯ a=-3

a-21+2a

tan a-tan b1+tan a tan b

p4

aee

ae"√ae¤ +b

ax"√ax¤ +b

2ax2"√ax¤ +b

CSol 의값을구하여라.x(e‹ ≈ -1)1-cos x

limx ⁄0



실수전체에서미분가능한함수 f(x)가 =3을만족시킨다. 함수

f(x)의역함수 g(x)에대하여점 (1, f(1))에서곡선 y=g(x) 위의점 (2, g(2))

에서의접선까지의거리가 일때, pq의값을구하여라. (단, p와 q는서로소

인자연수이다.)

q'1å0p

f(x)-2x-1lim

x ⁄1


두곡선 y="√ax¤ +b, y=x ln x의교점의 x좌표가 e이고, 이점에서두곡선의접

선이이루는각의크기가 일때, ab의값을구하여라.

(단, a<0이고, b는상수이다.)

p4


Theme 03. 접선에의활용 65

y=2'3 sin x에서

y'=2'3 cos x⋯ ⋯yy ㉠

y=x+sin x에서 y'=1+cos x이므로곡선위의점

(t, t+sin t)에서의접선의방정식은

y-(t+sin t)=(1+cos t)(x-t)

∴ y=(1+cos t)x-t cos t+sin t ⋯ ⋯yy ㉠

x=0을㉠에대입하면⋯ g(t)=-t cos t+sin t

g'(t)=-cos t+t sin t+cos t=t sin t

g'(t)=0에서 t=np (단, n은정수)

구간 (0, a)에서 t=p를기준으로함수 g(t)의증가, 감소를표

로나타내면다음과같다.

함수 |g(t)|가 구간 (0, a)에서 미분가능하려면 이 구간에서

g(t)>0이어야한다.

따라서 g(t)=0을만족시키는 t의최솟값이 a이므로

-a cos a+sin a=0

이때, cos a=0이면 sin a+0이므로위의식을만족하지않는다.

따라서 a`cos a=sin a이므로

=a, tan a=a

∴ =1

|̀정답 1

tan aa

sin acos a

삼각형PQR의외접원의중심O'이삼각형PQR의무게중심이

므로삼각형 PQR는정삼각형이다. 즉, ∠PQR= 이므로직

선PQ의기울기는 tan ='3이다.

따라서직선 PQ와곡선 y=2'3 sin x의접점의 x좌표를 a라

하면㉠`에서⋯ 2'3 cos a='3, cos a=;2!;

∴ a=

x= 일때,

y=2'3 sin

y=2'3`¥ =3

즉, 접점의좌표는 { ,̀ 3}

이므로접선의방정식은

y='3 {x- }+3

이때, 접선이 x축과만나는점을구하면

0='3 {x- }+3, x= -'3 ⋯ ⋯∴Q{ -'3, 0}

그런데곡선 y=2'3 sin x는직선x= 에대하여대칭이므로

QR”=2_[ -{ -'3}]

QR”= +2'3

즉, 삼각형PQR의세변의길이의합은

3{ +2'3}=p+6'3

따라서 p=1, q=6이므로

p+q=7

|̀정답 7

p3

p3

p3

p2

p2

O x

y

Q

O'

R

P

3π

3

p3

p3

p3

p3

p3

'32

p3

p3

p3

p3

p3

a=-3을㉠에대입하면

-3e¤ +b=e¤ , b=4e¤

∴ ab=-12e¤

|̀정답-12e¤

t (0) y p y (a)

g'(t) (0) + 0 -

g(t) ↗ p ↘


곡선 y=x+sin x 위의점 (t, t+sin ̀t)에서의접선이 y축과만나는점의 y좌표

를 g(t)라하자. 함수 |g(t)|가구간 (0, a)에서미분가능할때, a의최댓값 a에대

하여 의값을구하여라. tan aa


오른쪽 그림과 같이 곡선 y=2'3 sin x에 접하는

두접선이만나는점을 P, 두접선이 x축과만나는

점을각각 Q, R라하자. 삼각형 PQR의외접원의

중심을O'이라할때, 점O'은삼각형PQR의무게

중심이다. 삼각형 PQR의 세 변의 길이의 합이

pp+q'3일때, p+q의값을구하여라. (단, p, q는

상수이고, 0<x<p이다.)

O x

y

Q

O'

R

Py=2Â3`sin`x



이차방정식의판별식을이용하여ㄱ의참, 거짓판별하기

이차방정식 x¤ +x+2=0의판별식D에대하여

D=1-4¥2=-7<0이므로 x¤ +x+2>0이고, 모든 실수 x

에대하여 e≈ >0이므로 f(x)>0이다.

f '(x)=(2x+1)e≈ +(x¤ +x+2)e≈ =(x¤ +3x+3)e≈ 에서 이

차방정식 x¤ +3x+3=0의판별식D에대하여

D=3¤ -4¥3=-3<0이므로 x¤ +3x+3>0이고, e≈ >0이므

로 f '(x)>0이다. (참)

조건㈏를이용하여ㄴ의참, 거짓판별하기

ㄱ에의하여 f(x)는증가함수이고, `f(x)=0,

`f(x)=¶이다.

이때, g(f(x))에서 f(x)=t로놓으면 t=1인값은오직한개

존재한다.

한편, 함수 g(x)는 x=1에서최솟값 2를가지므로함수

g(f(x))는 f(x)=1인 x의값에서최솟값을갖는다.

그런데 f(0)=(0¤ +0+2)¥e‚ =2¥1=2+1이므로 함수

g(f(x))는 x=0에서최솟값을갖지않는다. (거짓)

증감표를이용하여ㄷ의참, 거짓판별하기

( f Á`g)'(x)=f '(g(x))g'(x)이고 모든 실수 x에 대하여

f '(x)>0이므로 f '(g(x))>0이다.

한편, 조건 ㈏에서 이차함수의 최솟값은 극솟값이므로 x=1을

기준으로함수 (f Á`g)(x)의증가, 감소를표로나타내면다음

과같다.

limx ⁄¶

limx ⁄-¶

구간 [0, 3]에서함수 y=f(x)의그래프는다음그림과같다.

f(x)=xe≈ 에서

f '(x)=e≈ +xe≈ =(x+1)e≈

f '(x)=0에서 x=-1

x=-1을 기준으로 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면

다음과같다.

위의표에서함수 f(x)가구간 (-1, ¶)에서증가하므로구하

는 a의 최솟값은-1이다.

|̀정답-1

위의표에서함수 (f Á`g)(x)는 x=1에서최솟값을갖고최댓

값은없다.

즉, 최솟값은

(f Á`g)(1)=f(g(1))=f(2)

=(2¤ +2+2)e¤

=8e¤ (참)

따라서<보기> 중옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

|̀정답④

Step2

Step1

Step3

x y 1 y

g(x) ↘ 2 ↗

g '(x) - 0 +

f'(g(x))g '(x) - 0 +

(f Á`g)(x) ↘ ↗

x y -1 y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ -;e!; ↗

04 최대·최소에의활용T h e m e



모든실수 x에대하여미분가능한두함수 f(x), g(x)가다음조건을만족시

킨다.

옳은것만을<보기>에서있는대로고른것은?

①ㄱ ②ㄱ, ㄴ ③ㄴ, ㄷ

④ㄱ, ㄷ ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

㈎ f(x)=(x¤ +x+2)e≈

㈏ g(x)는이차함수이고, x=1에서최솟값 2를가진다.

보기

ㄱ. 모든실수x에대하여 f(x)>0, f '(x)>0

ㄴ. 합성함수 (g Á`f)(x)는x=0에서최솟값 2를가진다.

ㄷ. 합성함수 (f Á`g)(x)는x=1에서최솟값 8e¤을가지고최댓값은없다.

ASol함수 f(x)=xe≈ 이구간 (a, ¶)에서증가할때, a의최솟값을구하여

라.

BSol함수 f(x)=(x-1)¤ +1에 대하여 구간 [ 0̀, 3]에서 함수 (f Á`f)(x)의최댓값을M, 최솟값을m이라할때, Mm의값을구하여라.


Theme 04. 최대·최소에의활용 67

f '(x)=

f '(x)=

f '(x)=

f '(x)=

næ2이므로 (n+cos x)¤ >0이므로

f '(x)=0에서n cos x+1=0

∴ cos x=-;n!;⋯ ⋯yy ㉠

Ox

y

y=cos`x

-1

1

πå2π

n-1

n cos x+1(n+cos x)¤

n cos x+cos¤ x+sin¤ x(n+cos x)¤

cos x (n+cos x)-sin x (-sin x)(n+cos x)¤

(sin x)'(n+cos x)-sin x (n+cos x)'(n+cos x)¤

x (0) y 2 y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ -4e¤ ↗

f(x)=ex¤ -2x에서

f '(x)=ex¤ -2x¥(x¤ -2x)'

=(2x-2)ex¤ -2x

f '(0)=0에서 x=1

x=1을기준으로구간 [0, 4]에서함수 f(x)의증가, 감소를표

로나타내면다음과같다.

위의표에서구간 [0, 4]에서함수 f(x)의최댓값은 e° , 최솟값은

;e!;이므로최솟값과최댓값의곱은

e° _;e!;=e‡

|̀정답 e‡

이때, 구간 [0, 3]에서함수 f(x)의값은 1…f(x)…5

그러므로합성함수 f(f(x))에서 f(x)=t로놓으면 1…t…5이

므로

f(t)=(t-1)¤ +1 (1…t…5)

따라서함수 f(f(x))는 t=1일때최솟값 1을갖고, t=5일때

최댓값 17을갖는다.

따라서M=17, m=1이므로Mm=17

|̀정답 17

O x

y

1 3

2

5

1

주어진급수의공비는 =1-

이때, x>0이므로 0< <1에서

0<1- <1

그러므로급수 f(x)는수렴하고그값은

f(x)= =(x¤ -8)e≈

이때,

f '(x)=2xe≈ +(x¤ -8)e≈

=(x¤ +2x-8)e≈

=(x+4)(x-2)e≈

f '(x)=0에서 x=-4 또는 x=2

x>0에서 x=2를기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로나

타내면다음과같다.

위의표에서함수 f(x)의최솟값은-4e¤ 이다.

|̀정답-4e¤

x¤ -81-(1-e—≈ )

1e≈

1e≈

1e≈

e≈ -1e≈

x 0 y 1 y 4

f '(x) - 0 +

f(x) 1 ↘ ;e!; ↗ e°

CSol구간 [0, 4]에서 정의된 함수 f(x)=ex¤ -2x의 최솟값과 최댓값의 곱을

구하여라.


1 풀이 제한 시간 : 3분CA

x>0에서정의된함수 f(x)= (x¤ -8){ }n-1

의최솟값을구하여라.e≈ -1e≈

¶;

n=1


2 이상인자연수 n에대하여구간 [0, p]에서정의된함수 f(x)= 의최

댓값을 a«이라하자. a«(pn¤ +n-1)=q를만족시키는두실수 p, q에대하

여 p+q의값을구하여라.

limn ⁄¶

sin xn+cos x



구간 [0, p]에서㉠`을만족시키는 x의값을 a라하면구간 [0, p]

에서 cos x는 감소함수이고, (n+cos x)¤ >0이므로 x=a를

기준으로함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.

위의표에서함수 f(x)는 x=a에서최댓값을갖고,

cos a=-;n!;이므로

sin a="√1-cos¤ a

sin a=æ1–-{;n!;}2

sin a=

a«=

a«=

a«=

이때, a«(pn¤ +n-1)= 이수렴하려면

분모와분자의차수가같아야하므로 p=0이다.

즉, 구하는극한값은

q=

q=

q=1 {∵ ;n!;=0, =0}

∴ p+q=1

|̀정답 1

1n¤lim

n ⁄¶limn ⁄¶

limn ⁄¶

n-1

"√n¤ -1limn ⁄¶

pn¤ +n-1

"√n¤ -1limn ⁄¶

limn ⁄¶

1

"√n ¤ -1

"√n¤ -1

n ¤ -1

"√n¤ -1n

n-;n!;

"√n ¤ -1n

삼각형 RSQ는 RQ”=RS”인 이등변삼각형이고, QP”=PS”이므

로다음그림과같이점 R에서선분 QS에내린수선의발은 P

이다.

이때, 점 P의좌표를 P{t, ln ;̀t!;} 로놓으면삼각형 RSQ의넓

이는

;2!;_QS”_PR”=;2!;_2t_ln`̀;t!;

;2!;_QS”_PR=t ln`̀;t!;=-t ln t

S(t)=-t ln t로놓으면S'(t)=-ln t-1

S'(t)=0에서-ln t-1=0, ln t=-1

∴ t=;e!;

0<x<1에서 t=;e!;을기준으로함수S(t)의증가, 감소를표로

나타내면다음과같다.

위의표에서함수S(t)는 t=;e!;일때최댓값 ;e!;을갖는다.

따라서M=;e!;이므로

Me=;e!;_e=1

|̀정답 1

O x

y

Q

R

SP

xy=ln 1

t (0) y ;e!; y (1)

S'(t) + 0 -

S(t) ↗ ;e!; ↘


오른쪽그림과같이곡선 y=ln ;[!; 위의점 P를지나고

x축에평행한직선이 y축과만나는점을 Q라하자. x축

위의 점 R에 대하여 선분 PQ의 연장선 위에 점 S를

RQ”=RS”, QP”=PS”가 되도록 잡았다. 삼각형 RSQ의

넓이의최댓값을M이라할때, Me의값을구하여라.

(단, 0<x<1이고 e는자연로그의밑이다.)

O x

y

Q

R

SP

xy=ln 1


오른쪽그림과같이 x축의양의방향과이루는각

의크기가 h인직선이원 x¤ +y¤ =1과만나는점

을 P, 점 P를 지나고 y축에 평행한 직선이 x축,

곡선 y=e≈ 과만나는점을각각 Q, R라하자. 두

점 Q, R에서 직선 OP에 내린 수선의 발을 각각

Q', R'이라할때, 선분 Q'R'의길이가최소가되

는 h에대하여선분OQ'의길이는 이다.

p¤ +q¤ 의값을구하여라. {단, p, q는정수이고 0<h< 이다.}p2

p+q'52

O x

y

x@+y@=1

y=ex

Q'

Q

P

R'

R

Ω

점P가원 x¤ +y¤ =1 위의점이므로

점P의좌표는P(cos h, sin h),

점R의좌표는R(cos h, ecos h)

1-;n!;

æ1 ≠-1n¤

x y a y

f '(x) + 0 -

f(x) ↗ ↘


Theme 04. 최대·최소에의활용 69

다음그림과같이점 R에서점 Q를지나고직선 OP와평행한

직선 l에내린수선의발을R"이라하면Q’'R'”=Q’R"”

이때, △OQQ'ª△RPR'에서∠PRR"=h이므로

Q’'R'”=Q’R"”

=QR” sin h=ecos h`sin h

f(h)=ecos h sin h로놓으면

f '(h)=ecos h(-sin¤ h)+ecos h`cos h

f '(h)=ecos h(-sin¤ h+cos h)

f '(h)=ecos h(cos¤ h+cos h-1)

f '(h)=0에서 cos h=-1—'52

O x

y

x@+y@=1

y=ex

l

Q'

Q

P

R'

R''

R

Ω

0<h< 에서 0<cos h<1이므로

0<cos h<1에서 cos h= 를기준으로함수 f(h)의

증가, 감소를표로나타내면다음과같다.

위의표에서함수 f(h)는 cos h= 일때, 최솟값을갖

는다.

이때, O’Q'”=OQ” cos h=cos¤ h이므로

={ }2=

따라서 p=3, q=-1이므로

p¤ +q¤ =3¤ +(-1)¤ =10

|̀정답 10

3-'52

-1+'52

p+q'52

-1+'52

-1+'52

p2

cos h (0) y y (1)

f'(h) - 0 +

f(h) ↘ ↗

-1+'5

2


f '(f(a))=f '(1)=0, f '(f(b))=f '(1)=0이므로 x=a,

x=1, x=b를기준으로함수 g(x)의증가, 감소를표로나타

내면다음과같다.

즉, 함수 y=g(x)의그래프는다음과같다.

함수 h(k)를구하고, 주어진식의값구하기

한편, h(k)는방정식 g(x)=k의서로다른실근의개수이므로

h(k)를나타내면다음과같다.

h(k)=( 0 (k<;2!;)

h(k)=M 2 (k=;2!;)

h(k)={ 4 (;2!;<k<ln 2)

h(k)=M 3 (k=ln 2)

h(k=)9 2 (k>ln 2)

∴ h(k)+h(ln 2)=4+3=7

|̀정답 7

limk⁄ ;2!;+

y=g{x}

O x

y

∫å 1

kln`2

21

함수 y=f(x)의그래프의개형그리기

f(x)=x-ln x-;2!;에서 f '(x)=1-;[!;

f '(x)=0에서 1-;[!;=0⋯ ⋯∴ x=1⋯ ⋯yy ㉠

그러므로 x=1을 기준으로 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나

타내면다음과같다.

함수 y=f(x)의그래프는다음과같다.

함수 y=(f Á`f)(x)의그래프의개형그리기

이때, g(x)=(f Á`f)(x)=f(f(x))에서

g'(x)=f '(f(x))f '(x)이고, ㉠에서 f '(x)=0을 만족시키는

x의 값이 1이므로 f '(f(x))=0을 만족시키는 f(x)의 값은

f(x)=1이다.

다음그림과같이함수 y=f(x)의그래프와직선 y=1이만나

는점을각각 a, b(a<b)라하면

y=f{x}

O x

y

1å ∫211

O x

y

121

y=f{x}

방정식 x‹ -3x+1=k의서로다른실근의개수는곡선

y=x‹ -3x+1과직선 y=k의교점의개수와같다.

f(x)=x‹ -3x+1로놓으면

f'(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1)

f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

그러므로 x=-1, x=1을기준으로함수 f(x)의증가, 감소를

표로나타내면다음과같다.

x (0) y 1 y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ ;2!; ↗

x (0) y a y 1 y b y

f '(x) - - - 0 + + +

f'(f(x)) + 0 - - - 0 +

g'(x) - 0 + 0 - 0 +

g(x) ↘ ;2!; ↗ ln 2 ↘ ;2!; ↗


Step2

Step1

풀이 제한 시간 : 8분

05 방정식·부등식에의활용T h e m e

대표 문제


x>0에서정의된함수 f(x)=x-ln x-;2!;에대하여함수 g(x)를

⋯ ⋯g(x)=( f Á f)(x)라하자. 방정식 g(x)=k의서로다른실근의개수를 h(k)라할때,

h(k)+h(ln 2)의값을구하여라. limk ⁄ ;2!;+

Step3

ASol방정식 x‹ -3x+1=k의서로다른실근의개수가 2가되도록하는모

든실수 k의값의합을구하여라.


1

두 함수 f(x)=cos x, g(x)=k sin x+2k의 그래프의 교점

의개수는방정식 cos x=k sin x+2k의서로다른실근의개

수와같다.

cos x=k sin x+2k를 k에관한식으로나타내면

k=

이때, p(x)= 로놓으면

p'(x)=

p'(x)=

p'(x)=0에서-2 sin x-1=0, sin x=-;2!;

∴ x=;6&;p 또는 x=:¡6¡:p (∵ 0…x…2p)

그러므로 x=;6&;p, x=:¡6¡:p를기준으로함수 p(x)의증가, 감

소를표로나타내면다음과같다.

즉, 함수 y=p(x)의그래프는다음과같다.

그러므로함수 h(k)는

O x

y

2π6 π11

y=p{x}6 π7

21

3-Â3

3Â3

-2 sin x-1(sin x+2)¤

-sin x(sin x+2)-cos x¥cos x(sin x+2)¤

cos xsin x+2

cos xsin x+2

풀이 제한 시간 : 5분BA C

Theme 05. 방정식·부등식에의활용 71

x y -1 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 3 ↘ -1 ↗

h(x)=(f Á`g)(x)=f(g(x))에서 h'(x)=f '(g(x))g'(x)

이때, g(x)=x¤ 이므로 g'(x)=2x이고

g'(x)=0에서 x=0

또, 주어진그래프에서 f '(x)=0을만족시키는 x의값이 4이므

로 f '(g(x))=0을 만족시키는 g(x)의 값은 g(x)=4, 즉

x¤ =4에서 x=-2 또는 x=2

그러므로 x=-2, x=0, x=2를기준으로함수 h(x)의증가,

감소를표로나타내면다음과같다.

따라서 -5<x<5에서 함수 h(x)가 증가하는 구간에 속하는

정수 x는-1, 3, 4의 3개이다.

|̀정답 3

즉, 함수 y=f(x)의그래프는다음과같다.

위 그래프에서방정식 x‹ -3x+1=k가서로다른 2개의실근

을갖기위한 k의값은-1, 3이므로모든실수 k의값의합은

-1+3=2

|̀정답 2

O x

y

-1

-11

3

y=f{x}

x>1일때, f(x)=x¤ +2이므로`f(x)=1¤ +2=3

x…1일때, f(x)=x+1이므로 f(1)=1+1=2

∴ f(x)+f(1)=3+2=5

|̀정답 5

limx⁄ 1+

limx⁄ 1+

x y -2 y 0 y 2 y

g'(x) - - - 0 + + +

f'(g(x)) + 0 - - - 0 +

h'(x) - 0 + 0 - 0 +

h(x) ↘ ↗ ↘ ↗

BSol실수전체에서미분가능한함수 f(x)의도

함수 f '(x)에대하여함수 f '(x)의그래프

가 오른쪽 그림과 같다. 함수 g(x)=x¤ 에

대하여함수 h(x)를 h(x)=(f Á g)(x)라할 때, -5<x<5에서 함수 h(x)가 증가

하는구간에속하는정수 x의개수를구하

여라.

O x

y

4

y=f '{x}

CSol 함수 f(x)= 에대하여 f(x)+f(1)의값을구

하여라.

limx⁄ 1+

[x+1 (x…1)

x¤ +2 (x>1)


구간 [ 0, 2p]에서정의된두함수 f(x), g(x)가다음과같다.

⋯ ⋯f(x)=cos x, g(x)=k sin x+2k (단, k는상수)

두함수 y=f(x), y=g(x)의그래프의교점의개수를 h(k)라할때, 함수 h(k)

가불연속이되는 k의값의개수를구하여라.

x 0 y ;6&;p y :¡6¡:p y 2p

p'(x) - - 0 + 0 - -

p(x) ;2!; ↘'3

-1253

↗'31253

↘ ;2!;



( 0⋯ {|k|> }

|1 ⋯ {|k|= }

h(k)={| 2⋯ {- <k<;2!;`̀`̀또는 ;2!;<k< }

9 3 ⋯ {k=;2!; }̀

따라서함수 y=h(k)의그래프가다음과같으므로함수h(k)가

가불연속이되는 k의값은- , ;2!;, 의 3개이다.

|̀정답 3

|참고|

함수의몫의미분법: 꼴

미분가능한두함수 f(x), g(x) (g(x)+0)에대하여

[ ]'=

f '(x)g(x)-f(x)g'(x){g(x)}¤

f(x)g(x)

f(x)g(x)

O x

y

3-Â33Â3

21

1

23

'33

'33

'33

'33

'33

'33


실수 a에대하여두집합A, B를

⋯ ⋯A={x|x¤-ae≈ =0, x는실수}, B={x|x-ae≈ =0, x는실수}

라고하자. n(A)=3, n(B)=2를만족시키는 a의값의범위를구하여라.


오른쪽 그림과 같이 원점을 지나고 x축의 양의 방향

과이루는각의크기가 h인직선이원 x¤ +y¤ =1과제

1사분면에서만나는점을 P, 점 P를지나고 x축에수

직인 직선이 직선 y=2 및 x축과 만나는 점을 각각

Q, R라 하자. 삼각형 OPQ의 넓이를 S(h), 중심이

원점이고 반지름이 OR”인 원의 넓이를 T(h)라 할

때, S(h)ækT(h)를만족시키는상수 k의최댓값을

구하여라. {단, 0<h< }p2

O x

yQ

P

R

x@+y@=1

Ω

2

n(A)=3이므로방정식 x¤ -ae≈ =0은서로다른 3개의실근을

갖고, n(B)=2이므로 방정식 x¤ -ae≈ =0은 서로 다른 2개의

실근을갖는다.

⁄ 방정식 x¤ -ae≈ =0이서로다른 3개의실근을갖도록하는

⁄ a의값의범위

⁄ x¤ -ae≈ =0에서 =a이므로방정식 x¤ -ae≈ =0의서로

⁄ 다른실근의개수는두함수 y= 과 y=a의교점의개수

⁄ 와같다.

⁄ f(x)= 으로놓으면

⁄ f '(x)= =

⁄ f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2

⁄ 그러므로 x=0, x=2를 기준으로 함수 f(x)의 증가, 감소

를표로나타내면다음과같고, `f(x)=¶, lim

x⁄-¶

x(2-x)e≈

2xe≈ -x¤ e≈e¤ ≈

x¤e≈

x¤e≈

x¤e≈

⁄`f(x)=0이므로그그래프는오른쪽그림과같다.

⁄ 따라서 방정식 x¤ -ae≈ =0이 서로 다른 3개의 실근을 가지

려면두함수의그래프가서로다른 3개의점에서만나야하

⁄ 므로 a의값의범위는 0<a<

¤ 방정식 x-ae≈ =0이서로다른 2개의실근을갖도록하는 a

의값의범위

⁄ x-ae≈ =0에서 =a이므로 방정식 x-ae≈ =0의 서로

⁄ 다른실근의개수는두함수 y= 와 y=a의교점의개수

⁄ 와같다.

⁄ g(x)= 로놓으면

⁄ g'(x)= =

⁄ g'(x)=0에서 x=1

⁄ 그러므로 x=1을 기준으로 함수 g(x)의 증가, 감소를 표로

나타내면 다음과 같고`g(x)=-¶,

`g(x)=0

이므로그그래프는오른쪽그림과같다.

⁄ 따라서방정식 x-ae≈ =0이서로다른 2개의실근을가지려

면두함수의그래프가서로다른 2개의점에서만나야하므

⁄ 로 a의값의범위는 0<a<;e!;

⁄, ¤에의하여주어진조건을만족시키는 a의값의범위는

0<a<;e!; {∵ ;e!;< }

|̀정답 0<a<;e!;

4e¤

limx⁄¶

limx⁄-¶

1-xe≈

e≈ -xe≈e¤ ≈

xe≈

xe≈

xe≈

4e¤

limx⁄¶

x y 0 y 2 y

f '(x) - 0 + 0 -

f(x) ↘ 0 ↗413e¤

↘

x y 1 y

g'(x) + 0 -

g(x) ↗ ;e!; ↘ O x

yy=g{x}

y=a

1

e1

O x

y

y=f{x}y=a

2

e@4


Theme 05. 방정식·부등식에의활용 73

점P가원 x¤ +y¤ =1 위의점이므로점P의좌표는

P(cos h, sin h)이고, 점Q의좌표가Q(cos h, 2)이므로

삼각형 OPQ의넓이S(h)는

S(h)=;2!;QP”`¥`OR”=;2!;_(2-sin h)_cos h

또, 점 R의좌표가 R(cos h, 0), 즉 OR”=cos h이므로반지름

이 OR”인원의넓이T(h)는

T(h)=pcos¤ h

S(h)ækT(h)에서 ;2!;_(2-sin h)_cos hækp cos¤ h

0<h< 에서 cos h>0이므로양변을 cos h로나누면

;2!;_(2-sin h)ækp cos h, ækp

sec h-;2!; tan hækp⋯ ⋯yy㉠

이때, f(h)=sec h-;2!; tan h로놓으면

f '(h)=sec h tan h-;2!; sec¤ h=sec¤ h{sin h-;2!;}

f '(h)=0에서 sin h-;2!;=0⋯ ⋯∴ h= {∵ 0<h< }

그러므로 h= 를기준으로 0<h< 에서함수 f(h)의증가,

감소를표로나타내면다음과같다.

즉, 함수 y=f(h)의그래프는오른

쪽그림과같다.

따라서㉠에서 ækp, 즉

æk이므로 k의최댓값은

이다.

|̀정답

|다른 풀이|

ækp에서 f(h)= 로놓으면

f '(h)=

f '(h)=

f '(h)= =

f'(h)=0에서 sin h=;2!;

sin h-;2!;

cos¤ h

4{sin h-;2!;}

4 cos¤ h

-2 cos¤ h+4 sin h-2 sin¤ h4 cos¤ h

-cos h¥2 cos h-(2-sin h)(-2 sin h)4 cos¤ h

2-sin h2 cos h

2-sin h2 cos h

'32p

'32p

'32p

'32

p2

p6

p2

p6

2-sin h2 cos h

p2

h (0) y ;6p: y {;2p:}

f '(h) - 0 +

f(h) ↘'31252

↗

O Ω

y

6π

2Â3

2π

y=f{Ω}

|참고|

삼각함수의도함수

① y=sin x이면 y'=cos x

② y=cos x이면 y'=-sin x

③ y=tan x이면 y'=sec¤ x

④ y=sec x이면 y'=sec x tan x

⑤ y=csc x이면 y'=-csc x cot x

⑥ y=cot x이면 y'=-csc¤ x


xæ0에서정의된함수 f(x)=2 ln(x¤ +3)+k의역함수를 g(x)라하자.

f(x)…g(x)를만족시키는상수 k의최댓값이 a ln 3일때, a¤의값을구하여라.

(단, a는정수이고 ln 2=0.69로계산한다.)

함수 y=g(x)가 y=f(x)의역함수이고, xæ0에서

f(x)…g(x)이어야하므로곡선 y=f(x)는직선 y=x와만나

거나아래쪽에있어야한다.

즉, x-2 ln(x¤ +3)-kæ0⋯ ⋯∴ x-2 ln(x¤ +3)æk

이때, h(x)=x-2 ln (x¤ +3)으로놓으면

h'(x)=1-2¥ = =

h'(x)=0에서 x=1 또는 x=3

그러므로 x=1, x=3을 기준으로 xæ0에서 함수 h(x)의 증

가, 감소를표로나타내면다음과같다.

즉, 함수 y=h(x)의그래프는다음과같다.

h(3)-h(0)=3-2 ln 12-(-2 ln 3)

=3-2(ln 12-ln 3)

=3-2 ln 4=3-4 ln 2

=3-4_0.69=3-2.76

=0.24>0

즉, h(3)>h(0)이므로함수 h(x)의최솟값은

h(0)=-2 ln 3이다.

따라서-2 ln 3æk, 즉 k의최댓값은-2 ln 3이다.

즉, a=-2이므로 a¤ =4

|̀정답 4

O x

y1 3

y=h{x}1-4`ln`2

3-2`ln`12-2`ln`3

(x-1)(x-3)x¤ +3

x¤ -4x+3x¤ +3

2xx ¤ +3

x 0 y 1 y 3 y

h'(x) + + 0 - 0 +

h(x) -2ln 3 ↗ 1-4 ln 2 ↘ 3-2 ln 12 ↗



역함수로나타내어 ;dD;]{; 구하기

함수 y=f(x)가⋯ y=ln x+x이므로

함수 y=f(x)의역함수 y=g(x)는

x=ln y+y yy ㉠

㉠의양변을 y에대하여미분하면⋯ =;]!;+1

치환적분을이용하여 a«을간단히하기

㉠에서x=ln n+n일때⋯ y=n,

x=ln (n+1)+n+1일때⋯ y=n+1

이므로

a«=:ln n+n

ln (n+1)+n+1g(x)dx=:Nn — 1 y{;]!;+1}dy

a«=:Nn — 1 (1+y)dy=[y+;2!;y¤ ]nN — 1

a«=(n+1-n)+;2!;{(n+1)¤ -n¤ }

a«=n+;2#;

m의값을구해 a˚의값구하기

이때, n+;2#;>11을만족시키는최소의자연수n은m=10이다.

따라서

a˚=:!2 (1+y)dy+:@3 (1+y)dy+y+:!1)1 (1+y)dy

=:!1 1 (1+y)dy=[y+;2!;y¤ ]1!1

=(11-1)+;2!;(121-1)=70

|̀정답 70

|다른 풀이|

위의 에서

a˚= {k+;2#;}= +;2#;_10=55+15=7010_11

210

;

k=1

10

;

k=1

10

;

k=1

m

;;

k=1

dxdy 함수 y=f(x)가 y=x‹ +x이므로

함수 y=f(x)의역함수 y=g(x)는

x=y‹ +y⋯ ⋯yy ㉠

㉠의양변을 y에대하여미분하면

=3y¤ +1

또, x=2일때 y=1, x=10일때 y=2이므로

:@1 0 dx

=:!2 (3y¤ +1)dy=:!2 1dy=1

|̀정답 1

13y¤ +1

13{g(x)}¤ +1

dxdy

:) (1+sin‹ x)cos x dx+: (1+sin‹ x)cos x dx

=:) (1+sin‹ x)cos x dx ⋯ ⋯yy ㉠

㉠`에서 sin x=t로놓으면

cos x` =1

∴dx= dt

x=0일때 t=0, x= 일때 t=1이므로p2

1cos x

dxdt

p2

p2

p4

p4

Step2

Step3

x¤ =t로놓고양변을 t에대하여미분하면

2x =1이고, x=0일때 t=0, x=1일때 t=1이므로

:)1 xex¤ dx=:)1 ;2!;ex¤ ¥2x dt

=;2!;:)1 e† dt=;2!;[e† ]1)=;2!;(e-1)

|̀정답 ;2!;(e-1)

dxdt

dxdt

Step3

06 정적분-̀̀치환적분T h e m e



정의역이 {x|x>0}인 함수 f(x)=ln x+x의 역함수를 g(x)라 할 때, 수열

{a«}을

⋯ ⋯a«=:ln n+n

g(x)dx

라하자. a«>11을만족시키는최소의자연수 n을m이라할때, a˚의값을

구하여라.

m;

k=1

ln (n+1)+n+1

Step1

ASol :)1 xex¤ dx의값을구하여라.

BSol함수 f(x)=x‹ +x의역함수를 g(x)라할때,

⋯ ⋯:@1 0 dx

의값을구하여라.

13{g(x)}¤ +1

CSol :) (1+sin‹ x)cos x dx+: (1+sin‹ x)cos x dx의 값을 구하

여라.

p4

p4

p2


Theme 06. 정적분-̀̀치환적분 75

:) (1+sin ‹ x)cos x dx

=:)1 (1+t‹ )cos x ¥` dt

=:)1 (1+t‹ )dt=[t+;4!;t› ]1)=1+;4!;=;4%;

|̀정답 ;4%;

1cos x

p2 구간 [0, ]에서함수 f(x)의최댓값M은M=- ,

최솟값m은m=- - 이므로

M+m=- - - =- -

따라서 p=3, q=16이므로 p+q=19

|̀정답 19

|참고|

: dx`(a는상수)꼴의적분

sin x+a=t로놓으면 =cos x이므로

: dx`=: dt=ln|t|+C=ln|sin x+a|+C1t

cos xsin x+a

dtdx

cos xsin x+a

ln 16p

'33

ln 4p

'33

ln 4p

ln 4p

'33

ln 4p

p2

g(n)=:) etan xdx-: 0 tan ¤ x¥etan xdx

g(n)=:) etan xdx+:)

;n@;

tan¤ x¥etan xdx

g(n)=:)

;

(1+tan ¤ x)etan xdx=:) sec¤ x¥etan xdx

이때, tan x=t로놓고양변을 t에대하여미분하면

sec¤ x =1이고, x=0일때 t=0, x=;n@;일때

t=tan ;n@;이므로

g(n)=:) sec¤ x¥etan xdx

g(n)=:) etan x¥sec¤ x dt=:)

tan ;n@;e† dt

g(n)=[e† ])tan ;n@;

=etan ;n@;-1

한편, ng(n)= n(etan ;n@;-1)= 에서

;n!;=s로놓으면n⁄¶일때, s⁄ 0+이므로

=

= { _ _2}

=1_1_2=2

|̀정답 2

tan 2s2s

etan 2s-1tan2slim

s⁄ 0+

etan 2s-1slim

s⁄ 0+

etan ;n@;-1

;n!;limn⁄¶

etan ;n@;-1

;n!;limn⁄¶

limn⁄¶

limn⁄¶

dxdt

2n

2n

dxdt

2n

2n

2n

2n

2n

:) f(t)dt의값은상수이므로 :) f(t)dt=a로놓으면

f(x)= + a

a=:) { + a}dt

a=[ln|sin t-2|+ at])

a=;2!;a-ln 2

∴ a=-ln 4

즉, f(x)= - 에서

f '(x)=

f '(x)=

f '(x)=0에서

2 sin x-1=0, sin x=;2!;

∴ x= {∵ 0…x… }

그러므로x= 를기준으로구간 [0, ]에서함수 f(x)의증

가, 감소를표로나타내면다음과같다.

p2

p6

p2

p6

2 sin x-1(sin x-2)¤

-sin x(sin x-2)-cos x¥cos x(sin x-2)¤

ln 4p

cos xsin x-2

p21

p

1p

cos tsin t-2

p2

1p

cos xsin x-2

p2

p2

x 0 y ;6p: y ;2p:

f '(x) - - 0 + +

f(x) ln 4

-;2!;-115p ↘'3 ln 4

-125-1153 p ↗

ln 4-115p



구간 [0, ]에서정의된함수 f(x)가

⋯ ⋯f(x)= + :) f(t)dt

를만족시킨다. 함수 f(x)의최댓값을M, 최솟값을m이라할때,

M+m=- - 이다. p+q의값을구하여라.ln qp

'3p

p21

pcos x

sin x-2

p2 2 풀이 제한 시간 : 5분CA

자연수 n에대하여함수 g(n)을

⋯ ⋯g(n)=:) e† å « ≈ dx-: 0 tan ¤ x¥e † å « ≈ dx

라할때, ng(n)의값을구하여라.limn⁄¶

2n

2n



|x¤ -1|=[ 이므로조건㈏`에서

:)2 xf(|x¤ -1|)dx=:)1 xf(-x¤ +1)dx+:!2 xf(x¤ -1)dx

⁄ :)1 xf(-x¤ +1)dx에서-x¤ +1=t로놓고양변을 t에대

⁄ 하여미분하면-2x =1이고,

⁄ x=0일때 t=1, x=1일때 t=0이므로

⁄ :)1 xf(-x¤ +1)dx=:)1 {-;2!;} f(-x¤ +1)(-2x) dt

⁄ :)1 xf(-x¤ +1)dx=-;2!;:!0 `f(t)dt

⁄ :)1 xf(-x¤ +1)dx=;2!;:)1 `f(t)dt

¤ :!2 xf(x¤ -1)dx에서 x¤ -1=s로 놓고 양변을 s에 대하여

⁄ 미분하면 2x =1이고,

⁄ x=1일때 s=0, x=2일때 s=3이므로

⁄ :!2 xf(x¤ -1)dx=:!2 ;2!; f(x¤ -1)2x ds

⁄ :!2 xf(x¤ -1)dx=;2!;:)3 f(s)ds

⁄, ¤에서

:)2 xf(|x¤ -1|)dx=;2!;:)1 f(t)dt+;2!;:)3 f(s)ds

=;2#;:)1 f(x)dx+3

;2!;:)1 f(x)dx+;2!;:)3 f(x)dx=;2#;:)1 f(x)dx+3

:)1 f(x)dx+;2!;:!3 f(x)dx=;2#;:)1 f(x)dx+3

;2!;[:!3 f(x)dx-:)1 f(x)dx]=3

:!3 f(x)dx-:)1 f(x)dx=6⋯ ⋯yy ㉠

한편, 조건㈎`의 f '(1+x)=-f'(1-x)에서양변에부정적분

을취하면

: f '(1+x)dx=: {-f'(1-x)}dx

f(1+x)+C¡=f(1-x)+C™

함수 f(x)가 x=1에서연속이므로 x=0을대입하면

f(1)+C¡=f(1)+C™

∴C¡=C™

즉, f(1+x)=f(1-x)

그러므로함수 f(x)는직선 x=1에대하여대칭이므로㉠에서

:!3 f(x)dx-:!2 f(x)dx=6

∴ :@3 f(x)dx=6

|̀정답 6

dxds

dxds

dxdt

dxdt

-x¤ +1 (0…x…1)

-x¤ -1 (1…x…2)

|참고|

e와삼각함수가들어있는극한문제는

`=1,

`=1,

`=1을이용할

수있도록식을변형한다.

tan ●●

lim●⁄ 0

sin ▲▲

lim▲⁄ 0

e■-1■

lim■⁄ 0

곡선 y=f(x) 위의점 (t, f(t))에서의접선의방정식은

y=f '(t)(x-t)+f(t)

x절편을구하기위해 y=0을대입하면

f '(t)(x-t)=-f(t)

∴ x=- +t

즉, g(t)=t-

조건㈏`에서 :)1 dt=:)1 dt

이때, f(t)=s로놓고양변을 s에대하여미분하면

f '(t) =1이고, t=0일때 s=f(0), t=1일때

s=f(1)이므로

:)1 dt=:)1 f '(t) ds

=:

f(0)

f(1)

;s!;ds=[ln|s|]f(0)

f(1)

=ln|f(1)|-ln|f(0)|

이때, 조건㈎`에서 f(0)=e이므로

ln|f(1)|-ln|e|=2 ⋯ ⋯∴ ln|f(1)|=3

|̀정답 3

dtds

1f(t)

f '(t)f(t)

dtds

f '(t)f(t)

1t-g(t)

f(t)f '(t)

f(t)f '(t)


실수전체의집합에서미분가능한함수 f(x)에대하여곡선 y=f(x) 위의점

(t, f(t))에서의접선의 x절편을 g(t)라하자. 두함수 f(x), g(t)가다음조건을

만족시킨다.

ln|f(1)|의값을구하여라.

㈎ ̀f(0)=e ㈏ ̀:)1 dt=21t-g(t)


실수전체에서연속인함수 f(x)가다음조건을만족시킨다.

:@3 f(x)dx의값을구하여라.

㈎모든실수x에대하여 f '(1+x)=-f'(1-x)

㈏:)2 x f(|x¤ -1|)dx=;2#;:)1 f(x)dx+3


Theme 07. 정적분-̀̀부분적분 77

부채꼴의넓이를 t에관한식으로나타내기

호AP의길이가 tet¤ -1이므로

∠POA=tet¤ -1

즉, 부채꼴ORQ의넓이S(t)는

S(t)=;2!;_t_t¤ et¤ -1= t‹ et¤

치환적분을이용하여정적분변형하기

이때,

:)1 S(t)dt= :)1 t‹ et¤ dt에서

t¤ =s로놓고양변을 s에대하여미분하면 2t =1이고,

t=0일때 s=0, t=1일때 s=1이므로

:)1 t‹ et¤ dt= :)1 ;2!;t¤ et¤ ¥2t ds

= :)1 seß ds

부분적분을이용하여정적분의값구하기

f(s)=s, g'(s)=eß 으로놓으면

f '(s)=1, g(s)=eß 이므로

:)1 seß ds

= [[seß ]1)-:)1 eß ds]

= {e-[eß ]1)}

= {e-(e-1)}=

|̀정답14e

14e

14e

14e

14e

14e

14e

dtds

12e

12e

dtds

12e

12e

|참고|

부분적분법을이용할때에는미분한결과가간단한함수(다항함

수, 로그함수)를 f(x), 적분하기쉬운함수(지수함수, 삼각함수)

를 g'(x)로놓으면계산이편리하다.

f(x)=2x+1, g'(x)=cos x로놓으면

f '(x)=2, g(x)=sin x이므로

:) (2x+1)cos x dx

=[(2x+1)sin x]) -:) 2 sin x dx

=p+1-[-2 cos x])

=p+1-2

=p-1

|̀정답 p-1

p2

p2

p2

p2

f(x)=3 ln x+C (C는적분상수), g'(x)=;[!;이므로

:!

e¤(3 ln x+C)¥;[!;dx=2

부채꼴의반지름의길이를 r라하면

2r=6

∴ r=3

따라서구하는부채꼴의넓이는

;2!;_3¤ _2=9

|̀정답 9

Step3

Step2

Step1

07 정적분-̀̀부분적분T h e m e



오른쪽그림과같이중심이원점이고반지름의

길이가 1인 원 위의 한 점 P에 대하여 중심이

원점O이고반지름의길이가 t인원과선분OP

가만나는점을 Q라하자. 점 A(1, 0)에대하

여호 AP의길이가 tet¤ -1일때, 점 R(t, 0)에

대하여부채꼴ORQ의넓이를S(t)라하자.

:)1 S(t)dt의값을구하여라. (단, 점 P는제1사

분면위의점이다.)

O x

y

1-1

-1

1

t

-t-t

t

P

QR A

ASol 중심각의크기가 2이고, 호의길이가 6인부채꼴의넓이를구하여라.

BSol :) (2x+1)cos x dx의값을구하여라. p2

CSol정의역이 {x|x>0}인함수 f(x)에대하여 f '(x)=;[#;이고, 함수

g(x)=ln x일때, :!e¤f(x)¥g'(x)dx=2이다. f(e¤ )의값을구하여라.



ln x=t로놓으면 ;[!;= 이고

x=1일때 t=0, x=e¤ 일때 t=2이므로

:)2 (3t+C)dt=2

[;2#;t¤ +C t]2)=6+2C=2

2C=-4

∴C=-2

f(x)=3 ln x-2이므로

f(e¤ )=6-2=4

|̀정답 4

dtdx



x>0에서정의된함수 f(x)=ln x에대하여곡선 y=f(x) 위의점 (t, f(t))에서

의접선의기울기를 g(t)라하자. :!e f(x){g(x+1)}¤ dx의값을구하여라.

f(x)=ln x에서 f '(x)=;[!;이므로

곡선 y=f(x) 위의점 (t, f(t))에서의접선의기울기는 ;t!;, 즉

g(t)=;t!;

:!e f(x){g(x+1)}¤ dx=:!e dx에서

f(x)=ln x, g'(x)= 로놓으면

f '(x)=;[!;, g(x)=- 이므로

:!e dx

=[- ]e!+:!e dx

=- +:!e {;[!;- }dx

=- +[ln x-ln(x+1)]e!

=- +[{1-ln(e+1)}-(0-ln 2)]

=- +ln

|̀정답- +ln2ee+1

1e+1

2ee+1

1e+1

1e+1

1e+1

1x+1

1e+1

1x(x+1)

ln xx+1

ln x(x+1)¤

1x+1

1(x+1)¤

ln x(x+1)¤


0…x< 에서정의된함수 f(x)=x tan¤ x의한부정적분을F(x)라할때, 세

유리수 p, q, r에대하여두함수 f(x), F(x)가다음조건을만족시킨다.

p+q+r의값을구하여라. (단, tan 1, ln cos 1은서로다른무리수이다.)

p2

0<a< 인임의의실수 a에대하여

⋯ ⋯:)a f(x)dx+F(1)-F(a)= p tan 1+q ln cos 1+r

p2

:)a f(x)dx+F(1)-F(a)

=:)a f(x)dx+:A1 f(x)dx=:)1 f(x)dx

=:)1 x tan ¤ x dx=:)1 x(sec¤ x-1)dx

=:)1 x sec¤ x dx-:)1 x dx⋯ ⋯ yy ㉠

:)1 x sec¤ x dx에서

f(x)=x, g'(x)=sec ¤ x로놓으면

f '(x)=1, g(x)=tan x이므로

:)1 x sec¤ x dx

=[x tan x]1)-:)1 tan x dx

=[x tan x]1)+[ln cos x]1)

=tan 1+ln cos 1⋯ ⋯ yy ㉡

㉡을㉠에대입하면

:)a f(x)dx+F(1)-F(a)=:)1 sec ¤ x dx-:)1 x dx

=tan 1+ln cos 1-[;2!;x¤ ]1)

=tan 1+ln cos 1-;2!;

따라서 p=1, q=1, r=-;2!;이므로

p+q+r=1+1+{-;2!;}=;2#;

|̀정답 ;2#;

|참고|

tan x= 이고 (cos x)'=-sin x이므로

:Ab tan x dx

=:Ab dx=-:Ab dx

=-:Ab dx=-[ln|cos x|]bA(cos x)'cos x

-sin xcos x

sin xcos x

sin xcos x


Theme 07. 정적분-̀̀부분적분 79

:)2 xf '(x)dx

=[xf(x)]2)-:)2 f(x)dx

=2f(2)-:)2 f(x)dx ⋯ ⋯ yy ㉠

조건㈏`의 :!

'2

xf(x¤ -1)dx=3에서

x¤ -1=t로놓고양변을 t에대하여미분하면 2x =1이고,

x=1일때 t=0, x='2일때 t=1이므로

:!

'2

xf(x¤ -1)dx

=:!

'2

;2!; f(x¤ -1)¥`2x dt

=;2!;:)1 f(t)dt

=;2!;:)1 f(x)dx=3

∴ :)1 f(x)dx=6

한편, 조건㈎`에서 f(1-x)=f(1+x)이므로함수 y=f(x)는

직선 x=1에대하여대칭이다.

즉, ㉠에서

:)2 f(x)dx=2:)1 f(x)dx=12

또한, 함수 y=f(x)의그래프가점 (0, 1)을지나므로

f(2)=f(0)=1

∴ :)2 xf '(x)dx

∴=2f(2)-:)2 f(x)dx

∴=2_1-12=-10

|̀정답-10

dxdt

dxdt

조건㈏`에서

f '(x)g(x)=f {x+ }g'{x+ }

이므로

:) f {x+ }g'{x+ }dx

=:) f '(x)g(x)dx

=[f(x)g(x)]) -:) f(x)g'(x)dx

따라서

[f(x)g(x)])

=:) f(x)g'(x)dx+:) f{x+ }g'{x+ }dx

이때, x+ =t로놓고양변을 t에대하여미분하면 =1

이고, x=0일때 t= , x= 일때 t=p이므로

[f(x)g(x)])

=:) f(x)g'(x)dx+:) f {x+ }g'{x+ }dx

=:) f(x)g'(x)dx+: » f(t)g'(t)dt

=:) f(x)g'(x)dx+: » f(x)g'(x)dx

=:)» f(x)g'(x)dx= (∵조건㈎)

따라서 [f(x)g(x)]) = , f{ }g{ }=


|̀정답 5

p4

p2

p2

p4

p2

p4

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

dxdt

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2

p2


실수전체의집합에서연속이고점 (0, 1)을지나는함수 f(x)가다음조건을만족

시킨다.

함수 f(x)의도함수를 f '(x)라할때, :)2 xf '(x)dx의값을구하여라.

㈎모든실수x에대하여 f(1-x)=f(1+x)

㈏:!

'2

xf(x¤ -1)dx=3


실수전체의집합에서연속인두함수 f(x), g(x)와그도함수 f '(x), g '(x)에대

하여다음조건을만족시킨다.

f { }g { }= p일때, p+q의값을구하여라. (단, p, q는서로소인자연수이다.)pq

p2

p2

㈎:)» f(x)g'(x)dx= 이고 f(0)=0이다.

㈏모든실수x에대하여 f '(x)g(x)=f {x+ }g' {x+ }이다. p2

p2

p4



f(x)의증감표만들기

f(x)=:A/ (esin t-1)dt의양변을 x에대하여미분하면

f '(x)=esin x-1

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=p 또는 x=2p 또는 x=3p

구간 [0, 3p]에서 x=0, x=p, x=2p, x=3p를기준으로함

수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.

치환을이용하여함수 f(x)의그래프그리기

이때, :@3̆ » (esin x-1)dx에서 x-2p=t로놓고양변을 x에대

하여미분하면 1=

x=2p일때 t=0, x=3p일때 t=p이므로

:@3̆ » (esin x-1)dx=:)» {esin(t+2p)-1}dt=:)» (esin t-1)dt

∴ f(p)-f(0)=f(3p)-f(2p)⋯ ⋯yy ㉠

주어진조건에서 :)» |esin x-1|dx>: 2̆ » |esin x-1|dx이므로

f(p)-f(0)>f(p)-f(2p)⋯ ⋯ yy ㉡

㉠, ㉡`에서함수 f(x)의그래프의개형은다음과같다.

주어진극한값구하기

f(x)=:A/ (esin t-1)dt에서양변에 a를대입하면

{π,`f{π}}

{0,`f{0}}

{2π,`f{2π}}

{3π,`f{3π}}

dtdx

f(a)=:Aa (esin t-1)dt=0

따라서 p<a<2p일 때와 a=2p일 때, 함수 y=f(x)의 그래

프의개형은다음과같다.

[p<a<2p] [a=2p]

∴ g(a)+g(2p)=3+2=5

|̀정답 5

|참고|

f(2p)=0일 때 f(a)=0인 2p가 아닌 a의 값을 a¡, f(p)=0

일때 f(a)=0인 p가아닌 a의값을 a™라하면함수 y=g(a)

의그래프는다음그림과같다.

O a

y

123

a¡ a™π 2π 3π

lima⁄ p+

x0

π 2πa

3π

y=f{x}

x0

π2π

3π

y=f{x}

a

x‹ -3x+3=a에서 f(x)=x‹ -3x+3, g(x)=a로 놓으면

주어진방정식의실근의개수는곡선 y=f(x)와직선 y=g(x)

의교점의개수와같다.

f '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1)

:!/ f(t)dt=x¤ +x-a

에서양변에 x=1을대입하면

:!1 f(t)dt=1¤ +1-a, 2-a=0⋯ ⋯∴ a=2

:!/ f(t)dt=x¤ +x-2의양변을 x에대하여미분하면

f(x)=2x+1

∴ f(a)=f(2)=2_2+1=5

|̀정답 5

x 0 y p y 2p y 3p

f '(x) 0 + 0 - 0 + 0

f(x) ↗ ↘ ↗

Step2

Step3

08 정적분과미분T h e m e



구간 [0, 3p]에서정의된함수 f(x)=:A/ (esin t-1)dt가있다. 실수 a에대하

여방정식 f(x)=0의서로다른실근의개수를 g(a)라할때,

g(a)+g(2p)의값을구하여라.

{단, :)» |esin x-1|dx>: 2̆ » |esin x-1|dx이고, 0<a<3p이다.}

lima ⁄ p+

Step1

ASol :!/ f(t)dt=x¤ +x-a를만족시키는함수 f(x)에대하여 f(a)의값

을구하여라. (단, a, x는실수이다.)

BSolx에관한삼차방정식 x‹ -3x+3=a의서로다른실근의개수가 2가

되도록하는모든상수 a의값의합을구하여라.


Theme 08. 정적분과미분 81

f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1

x=-1, x=1을 기준으로 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나

타내면다음과같고, 그그래프는오른쪽그림과같다.

따라서 직선 y=a와 서로 다른

두 점에서 만나기 위한 a의 값

은 1, 5이므로모든 a의값의합

은 1+5=6

|̀정답 6

:A

ln xf(t)dt=x-1에서

ln x=z, 즉 x=eΩ 으로치환하면

:Az f(t)dt=eΩ -1 ⋯ ⋯yy ㉠

㉠`의양변을 z에대하여미분하면

f(z)=eΩ ⋯ ⋯∴ f(x)=e≈

∴`f(x)=

`e≈ =e

|̀정답 e

limx ⁄1+

limx ⁄1+

x y -1 y 1 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 5 ↘ 1 ↗

O x

y y=f{x}

-1 1

1

5

조건㈎에서 f '(x)=ln x이므로

f(x)=: ln x dx=ln x¥x-: ;[!;¥x dx

f(x)=x ln x-: 1 dx=x ln x-x+C⋯ ⋯yy ㉠

또, 조건㈏에서 ;2!;t-1=s로놓고양변을 t에대하여미분하면

;2!;=

t=4일때 s=1, t=2x+2일때 s=x이므로

dsdt

:$

2x+2

f {;2!;t-1}dt

= :!/ f(s)ds

=2 _ :!/ f(s)ds

=;3@; f(1)=4

∴ f(1)=6

f(1)=6을㉠에대입하면

f(1)=-1+C=6 ⋯ ⋯∴C=7

따라서 f(x)=x ln x-x+7이므로

f(e)=e-e+7=7

|̀정답 7

|참고|

F'(t)=f(t)로놓으면

:!/ f(s)ds= =F'(1)=f(1)F(x)-F(1)

x-1limx ⁄1

1x-1lim

x ⁄1

1x-1lim

x⁄ 1

1x¤ +x+1lim

x⁄ 1

2x‹ -1lim

x⁄ 1

1x‹ -1lim

x⁄ 1

f(x)=:!/ te† dt의양변을 x에대하여미분하면 f '(x)=xe≈

f '(x)=0에서 x=0

x=0의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바뀌므로 극값을 갖는 점은

A(0, f(0))

한편, f "(x)=e≈ +xe≈ =(x+1)e≈ 이므로

f "(x)=0에서 x=-1

x=-1의좌우에서 f "(x)의부호가바뀌므로변곡점은

B(-1, f(-1))

한편,

f(x)=:!/ te† dt=[te† ]/!-:!/ e† dt

=[(t-1)e† ]/!=(x-1)e≈

이므로 f(0)=-1, f(-1)=-;e@;

따라서두점A, B의좌표가A(0, -1), B{-1, -;e@;}이므로

직선AB의기울기는 =-1+;e@;

따라서 a=-1, b=2이므로 a¤ +b¤ =1+4=5

|̀정답 5

-;e@;-(-1)

-1-0

CSol 함수 f(x)가 :A

ln xf(t)dt=x-1을만족시킬때, f(x)의값을구

하여라.

limx ⁄1+



함수 f(x)가다음두조건을만족시킨다.

f(e)의값을구하여라.

㈎ `̀f '(x)=ln x

㈏ :$

2x+2f{;2!;t-1}dt=4 1

x‹ -1limx⁄ 1

2 풀이 제한 시간 : 3분A

실수전체에서정의된함수 f(x)가 f(x)=:!/ te† dt일때, 함수 f(x)가극값을갖는

곡선 y=f(x)위의점을A, 변곡점을B라하자. 직선AB의기울기가 a+;eB;일때,

a¤ +b¤의값을구하여라. (단, a, b는유리수이다.)



F(x)=:A/ {b-;t@;} ln t dt의양변을 x에대하여미분하면

F'(x)={b-;[@;} ln x

F"(x)= ln x+{b-;[@;} ;[!;=

조건㈎에서함수F'(x)가 x=1에서극값을가지므로

F"(1)=0에서

b-2=0 ⋯ ⋯∴ b=2

∴F'(x)={2-;[@;} ln x=;[@;(x-1) ln x

구간 (0, ¶)에서 x=1을기준으로함수F(x)의증가, 감소를

표로나타내면다음과같고, 그그래프는오른쪽그림과같다.

이때, F(a)=:Aa {2- } ln t dt=0이고, 조건㈏에서함수

|F(x)|가구간 (0, ¶)에서미분가능해야하므로 a=1

∴F(e)=:!e {2- } ln t dt=:!e {2-;[@;} ln x dx

∴F(e)=2:!e ln x dx-2:!e dx

∴F(e)=2[[x ln x]e!-:!e 1 dx]-2:)1 t dt

∴F(e)=2[x ln x-x]e!-2[;2!;t¤ ]1)

∴F(e)=2{(e-e)-(0-1)}-2{;2!;-0}

∴F(e)=2-1=1

|̀정답 1

|참고|

:!e dx에서 ln x=t로놓고양변을 x에대하여미분하면

;[!;dx=dt

x=1일때 t=0, x=e일때 t=1이므로

:!e dx=:!e ln x¥{;[!;dx}=:)1 t dtln xx

ln xx

ln xx

2t

2t

2ln x+bx-2x¤

2

x¤

x (0) y 1 y

F'(x) + 0 +

F(x) ↗ ↗

O x

y

1

y=F{x}

주어진식의양변을 x에대하여미분하면

f(x)+xf'(x)=2x sin x+x¤ cos x+ :)» f '(t)dt+f(x)

xf '(x)=2x sin x+x¤ cos x+ :)» f '(t)dt

∴ f '(x)=2 sin x+x cos x+ :)» f '(t)dt

이때, :)» f '(t)dt=a로놓으면

f '(x)=2 sin x+x cos x+

f(x)=: {2 sin x+x cos x+ }dx

f(x)=-2 cos x+x sin x-: sin x dx+ x+C

f(x)=-cos x+x sin x+ x+C⋯ ⋯yy ㉠

㉠의양변에 x=0을대입하면

f(0)=-1+C=-1 ⋯ ⋯∴C=0

∴ f(x)=-cos x+x sin x+ x

한편, a=:)» f '(t)dt=f(p)-f(0)=2+4a

∴ a=-;3@;

따라서 f(x)=-cos x+x sin x- x이므로

: » f(x)dx

=: » {-cos x+x sin x- x}dx

=: » (-cos x)dx+: » x sin x dx- : » x dx

=[-sin x]» +[-x cos x]» +: » cos x dx

- [;2!;x¤ ]»

=[-sin x]» +[-x cos x]» +[sin x]» - [;2!;x¤ ]»

={-sin p+sin }+{-p cos p+ cos }

+{sin p-sin }- {;2!;p ¤ - }

=1+p+(-1)-p=0

|̀정답 0

p ¤8

83p

p2

p2

p2

p2

p2

83pp

2p2

p2

p2

83p

p2

p2

p2

p2

83pp

2p2

83pp

2

p2

83p

4ap

4ap

4ap

4ap

4ap

4p

4xp

4xp


함수 f(x)가모든실수 x에대하여

⋯ ⋯xf(x)=x¤ sin x+ :)» f '(t)dt+:)/ f(t)dt

를만족시킨다. f(0)=-1일때, : » f(x)dx의값을구하여라.p2

2x¤p


정의역이 (0,̀ ̀¶)인함수F(x)=:A/ {b- } ln t dt가두상수 a, b에대하여다음

조건을만족시킨다.

F(e)의값을구하여라.

2t

㈎함수F'(x)는x=1에서극값을갖는다.

㈏함수 |F(x)|는구간 (0, ¶)에서미분가능하다.


Theme 09. 정적분과급수 83

주어진급수를정적분꼴로바꾸기

f(x)= e { + }

f(x)= e { +1}¥

에서 t˚= 로놓으면Dt= , tº=0, t«=x이므로

f(x)=:)/ e† (t+1)dt

변곡점의 x좌표구하기

이때, f '(x)=(x+1)e≈ 이므로

f "(x)=(x+2)e≈

f "(x)=0에서 x=-2

x=-2의좌우에서 f "(x)의부호가바뀌므로함수 f(x)의변

곡점의좌표는 (-2, f(-2))이다.

변곡점의 y좌표와주어진식의값구하기

:)/ e† (t+1)dt=[(t+1)e† ]/)-:)/ e† dt

=(x+1)e≈ -1-[e† ]/)

=(x+1)e≈ -1-(e≈ -1)

=xe≈

즉, f(x)=xe≈ 이고, f(-2)=-2e—¤ 이므로 변곡점의 좌표는

(-2, -2e—¤ )이다.

따라서 a=-2, b=-2e—¤ 이므로

ab=4e—¤ =

|̀정답4e¤

4e¤

xn

xkn

xn

xkn

xkn

n

;

k=1limn ⁄¶

xn

x¤ kn¤

xkn

n

;

k=1limn ⁄¶

f(x)=x¤ , g'(x)=e≈으로놓으면 f '(x)=2x, g(x)=e≈

이므로

:)1 x¤ e≈ dx=[x¤ e≈ ]1)-:)1 2xe≈ dx

=e-2:)1 xe≈ dx

이때, :)1 xe≈ dx에서 u(x)=x, v'(x)=e≈ 으로놓으면

u'(x)=1, v(x)=e≈ 이므로

:)1 xe≈ dx=[xe≈ ]1)-:)1 e≈ dx

:)1 xe≈ dx=e-[e≈ ]1)=1

∴ :)1 x¤ e≈ dx=e-2

|̀정답 e-2

`f {1+;nK;} ;n!;에서 x˚=1+;nK;로놓으면Dx=;n!;,

xº=1, x«=2이므로

`f {1+;nK;} ;n!;=:!2 f(x)dx

=:!2 (6xfi +2x)dx

=[xfl +x¤ ]2!

=(64+4)-(1+1)=66

|̀정답 66

n

;

k=1limn⁄¶

n

;

k=1limn⁄¶

f(x)=:!/ t ln t dt에서 f '(x)=x ln x, f "(x)=ln x+1

f "(x)=0에서 x=;e!;

x=;e!;의좌우에서 f "(x)의부호가바뀌므로함수 y=f(x)의그

래프의변곡점의 x좌표는 ;e!;이다.

|̀정답 ;e!;

Step1

Step2

Step3

09 정적분과급수T h e m e



실수전체에서정의된함수 f(x)= e { + }의그래프의변곡

점의좌표를 (a, b)라하자. ab의값을구하여라.

xn

x¤ kn¤

xkn

n;

k=1limn ⁄¶

ASol 함수 f(x)=6xfi +2x에대하여급수 f{1+;nK;} ;n!;의값을

구하여라.

n;

k=1limn ⁄¶

BSol x>0에서정의된함수 f(x)=:!/ t ln t dt에대하여함수 y=f(x)

의그래프의변곡점의 x좌표를구하여라.

CSol 정적분 :)1 x¤ e≈ dx의값을구하여라.



삼차함수 f(x)=x‹ -ax¤ +(2a-3)x-1의 역함수가 존재하

려면실수전체에서증가또는감소함수이어야한다.

f(x)=x‹ -ax¤ +(2a-3)x-1의양변을x에대하여미분하면

f '(x)=3x¤ -2ax+(2a-3)

이차방정식 3x¤ -2ax+(2a-3)=0의판별식을D라하면

=a¤ -3(2a-3)=(a-3)¤ …0

이어야하므로 a=3

즉, f(x)=x‹ -3x¤ +3x-1이므로

;n!;

= ;n!;

이때, x˚=1+;n#;k로놓으면Dx=;n#;, xº=1, x«=4이므로

;n!; =;3!;:!4 dx

이때, f(x)=t로놓으면 f '(x)= 이고

f(1)=1-3+3-1=0, f(4)=64-48+12-1=27이므로

;3!;:!4 dx=;3!;:)2 7 dt

=;3!;[2t;2!;]2)7

=;3!;(2 ¥`'2å7)=2'3

|̀정답 2'3

1't

f '(x)'∂f(ßxå)

dtdx

f '(x)'∂f(ßx å)

f '{1+;n#;k}

æ≠f {1+;n#;k}

n

;

k=1limn ⁄¶

f '{1+;n#;k}

æ≠f {1+;n#;k}

n

;

k=1limn ⁄¶

f '{1+;nA;k}

æ≠f {1+;nA;k}

n

;

k=1limn ⁄¶

D4

주어진급수의식을변형하면

sin{ - }

= cos{ }

이때, x˚= 로놓으면Dx= , xº=0, x«=ap이므로

cos{ }

=:)a » x cos x dx

=[x sin x]a)» -:)a » sin x dx

=ap sin ap-[-cos x]a)»

=ap sin ap+cos ap-1

a가자연수이므로

ap` s̀in ap+cos ap-1=cos ap-1

∴ f(a)=[

∴`f(c)=(-2)_5=-10

|̀정답-10

10

;

c=1

-2 (a가 ̀홀수)0 (a가 ̀짝수)

akpn

akpn

n

;

k=1

apnlim

n ⁄¶

apn

akpn

akpn

akpn

n

;

k=1

apnlim

n ⁄¶

akpn

p2

akpn

n

;

k=1

apnlim

n ⁄¶



실수전체에서정의된삼차함수 f(x)=x‹ -ax¤ +(2a-3)x-1의역함수가존재

할때, 급수 ;n!; 의값을구하여라.f '{1+;nA;k}

æ≠f {1+;nA;k}

n;

k=1limn⁄ ¶


자연수 a에대하여함수 f(a)를

⋯ ⋯f(a)= sin{ - }

라하자. f(c)의값을구하여라. 10;

c=1

akpn

p2

akpn

n;

k=1

apnlim

n ⁄¶


x>1에서미분가능한함수 f(x)가 f(e)=0, f(e“ )=1이고, f '(x)= 을만족

시킨다. 함수 f(x)의역함수 g(x)에대하여 h(x)={g'(x)}¤이라하자.

급수 [h{;nK;}-h{ }];nK;=pe¤ “ ±¤ +qe¤ “ ±⁄ +re¤ “ +se¤ 일때,

p+q+r+s의값을구하여라. (단, p, q, r, s는유리수이다.)

k-1n

n;

k=1limn⁄¶

1x lnx

[h{;nK;}-h{ }];nK;

= [[h{;n!;}-h{;n);}];n!;+[h{;n@;}-h{;n!;}];n@;

+[h{;n#;}-h{;n@;}];n#;+y+[h{;nN;}-h{ }];nN;]

= [h(1)- h{;nK;} ;n!;]

=h(1)-:)1 h(x)dx

={g'(1)}¤ -:)1 {g'(x)}¤ dx

={g'(1)}¤ -:)1 {g'(y)}¤ dy

이때, x=g(y)로놓고양변을 y에대하여미분하면

=g'(y)이고, y=f(x)에서 =f '(x)이다.dydx

dxdy

n-1

;

k=0limn ⁄¶

n-1n

limn ⁄¶

k-1n

n

;

k=1limn ⁄¶


Theme 09. 정적분과급수 85

따라서 g'(y)= = = 이므로

g'(1)= = =e“ ±⁄

또, f(e)=0, f(e“ )=1에서 y=0일때 x=e, y=1일때 x=e“

이고 g'(y)= , dx=g'(y)dy이므로

{g'(1)} ¤ -:)1 {g'(y)}¤ dy

=e¤ “ ±¤ -:E

e“dx

=e¤ “ ±¤ -:E

e“x ln x dx

=e¤ “ ±¤ -[[;2!;x¤ ln x]Ee“-:E

e“;2!;x dx]

=e¤ “ ±¤ -[{;2!;e¤ “ ±⁄ -;2!;e¤ }-[;4!;x¤ ]Ee“]

=e¤ “ ±¤ -{;2!;e¤ “ ±⁄ -;2!;e¤ -;4!;e¤ “ +;4!;e¤ }

=e¤ “ ±¤ -;2!;e¤ “ ±⁄ +;4!;e¤ “ +;4!;e¤

따라서 p=1, q=-;2!;, r=;4!;, s=;4!;이므로 p+q+r+s=1

|̀정답 1

1f '(x)

1f '(x)

11

e“ ¥(e ln e)

1f '(e“ )

1f '(x)

1dydx

dxdy

점P˚의 x좌표가 x˚이므로이점에서의접선의기울기는

f '(x˚)

점 Q˚의좌표는 (x˚, 'ƒf(x˚))이고, 점 Q˚를지나고접선에수

직인직선의방정식은

y=- (x-x˚)+'ƒf(x˚)

이직선이 x축과만나는점의 x좌표는

(x-x˚)='ƒf(x˚)에서1

f '(x˚)

1f '(x˚)

x=x˚+f '(x˚)'ƒf(x˚)

∴T˚(x˚+f '(x˚)'ƒf(x˚), 0)

∴R’˚T˚ ”=x˚+f '(x˚)'ƒf(x˚)-x˚=f '(x˚)'ƒf(x˚)

R’˚U ”̊=R’˚T˚ ”̀ (∵원의반지름)이고 x˚≠¡-x˚=;n!;이므로

S(k)=f '(x˚)'ƒf(x˚)_;n!;

∴ S(k)= f '(x˚)'ƒf(x˚);n!;

=:)1 f '(x)'ƒf(x)dx

이때, f(x)=t로놓고양변을 x에대하여미분하면

f '(x)=

x=0일때 t=f(0)=0, x=1일때 t=f(1)=9이므로

:)1 f '(x)'ƒf(x)dx=:)9 't dt

=[;3@;t;2#;]9)=;3@;¥9

;2#;=18

|̀정답 18

dtdx

n

;

k=1limn⁄¶

n

;

k=1limn⁄¶


실수전체에서연속인함수 f(x)가모든실수 x에대

하여 f(x)æ0이고, 그도함수 f '(x)도실수전체에서

연속이며 f(0)=0, f(1)=9를만족시킨다. 오른쪽그

림과같이 2 이상인자연수 n에대하여구간 [0,̀ ̀1]을

n등분한각분점(양끝점포함)을차례로

⋯ ⋯0=xº, x¡ x™, y, x«–¡, x«=1

이라 하자. 직선 x=x˚ (k=0,̀ 1̀,̀2,̀3, y, n-1)가

두곡선 y=f(x), y='∂f(x) 및 x축과만나는점을각각P˚, Q˚, R˚, 점Q˚를지나

고곡선 y=f(x) 위의점 P˚에서의접선과수직인직선이 x축과만나는점을T˚,점 R˚를중심으로하고반지름이 R˚T˚인원이직선 x=x˚와제4사분면에서만나

는점을U˚라하자. 두직선 x=x˚, x=x˚≠¡과 x축및점U˚를지나고 x축에평행

한직선으로둘러싸인직사각형의넓이를 S(k)라할때, S(k)의값을구

하여라.

n;

k=1limn ⁄¶

O x

y

y=Âf{·x·}·

y=f{x}

x=xk

Uk

Rk

Pk

Qk

Tk

x=xk+1

S{k}



10 정적분과넓이T h e m e

조건㈎`와미분을이용하여 b의값구하기

f(x)=axebx¤에서 f '(x)=aebx¤+2abx¤ ebx¤=aebx¤ (1+2bx¤ )

모든 실수 x에 대하여 ebx¤>0이고, 조건 ㈎`에서 함수 f(x)가

x=1에서극값을가지므로

f '(1)=0에서 1+2b=0⋯ ⋯∴ b=-;2!;

∴ f '(x)=ae-;2!;x¤ (1-x¤ )

조건㈏`와정적분을이용하여 a의값구하기

이때, 곡선 y=f '(x)와x축이만나는점의x좌표는-1, 1이고

-1…x…1에서 f '(x)æ0이므로 곡선 y=f '(x)와 x축으로

둘러싸인부분의넓이는

:_1! f '(x)dx= , f(1)-f(-1)=

한편, f(x)=axe-;2!;x¤이므로

f(1)-f(-1)=ae-;2!;-(-ae-;2!;)=4e-;2!;

즉, 2ae-;2!;=4e-;2!; ⋯ ⋯∴ a=2

abS의값구하기

즉, f(x)=2xe-;2!;x¤이고 곡선 y=f(x)는 원점에 대하여 대칭

이므로구하는넓이S는

S=:_2@|2xe-;2!;x¤ |dx=2:)2 2xe-;2!;x¤ dx

이때, -;2!;x¤ =t로놓고양변을x에대하여미분하면-x=

x=0일때 t=0, x=2일때 t=-2이므로

2:)2 2xe-;2!;x¤ dx=4:)- 2 (-e† )dt

=4:_0@e† dt=4[e† ]0_@

dtdx

4'e

4'e

함수 f(x)가구간 (0,̀ 1̀)에서증가하므로이구간에서

f '(x)æ0

곡선 y=f '(x)와두직선 x=0, x=1 및 x축으로둘러싸인부

분의넓이가 2이므로

:)1 f '(x)dx=[f(x)]1)=f(1)-f(0)=2

이때, f(0)=1이므로 f(1)-1=2⋯ ⋯∴ f(1)=3

|̀정답 3

f(x)=x‹ +ax¤ +x에서 f '(x)=3x¤ +2ax+1

함수 f(x)가x=1에서극값을가지려면 f '(1)=0이어야하므로

f '(1)=3+2a+1=0, 2a=-4⋯ ⋯∴ a=-2

따라서 f(x)=x‹ -2x¤ +x이므로

:!2 f(x)=:!2 (x‹ -2x¤ +x)dx

:!2 f(x)=[;4!;x› -;3@;x‹ +;2!;x¤ ]2!

:!2 f(x)={:¡4§:-:¡3§:+;2$;}-{;4!;-;3@;+;2!;}

:!2 f(x)=;1¶2;

|̀정답 ;1¶2;

=4(1-e—¤ )=

∴ abS=2_{-;2!;}_ =

따라서 p=4, q=-4이므로 p¤ +q¤ =16+16=32

|̀정답 32

4-4e¤e¤

4(e¤ -1)e¤

4(e¤ -1)e¤

Step1

Step2

Step3



함수 f(x)=axebx¤이다음조건을만족시킨다.

함수 y=f(x)의그래프와두직선 x=-2,̀`̀x=2 및 x축으로둘러싸인부분의

넓이를S라할때, abS= 이다. p¤ +q¤의값을구하여라. (단, p, q는유

리수이다.)

p+qe¤e¤

㈎함수 f(x)는x=1에서극값을갖는다.

㈏곡선 y= f '(x)와x축으로둘러싸인부분의넓이는 이다.4'e

ASol 함수 f(x)=x‹ +ax¤ +x가 x=1에서 극값을 가질 때, :!2 f(x)dx의

값을구하여라.

BSol구간 (0, 1)에서증가하는함수 f(x)가 f(0)=1을만족시킨다. f(x)

의 도함수 f '(x)가 실수 전체에서 연속이고, 곡선 y=f '(x)와 두 직

선 x=0, x=1 및 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 2일 때, f(1)의

값을구하여라.

CSol함수 y=x"√x¤ +1의그래프와직선 x='3 및 x축으로둘러싸인부분

의넓이를구하여라.


Theme 10. 정적분과넓이 87

두함수 y=f(x), y=f—⁄ (x)는서로역함수관계이므로두곡

선 y=f(x), y=f —⁄ (x)로 둘러싸인 부분의 넓이는 곡선

y=f(x)와직선 y=x로둘러싸인부분의넓이의 2배와같다.

곡선 y=f(x)와직선 y=x의교점의 x좌표를구하면

xe≈ —« =x에서 x(e≈ —« -1)=0

∴ x=0 또는 x=n

그러므로구하는넓이S«은

S«=2{;2!;_n_n-:)n xe≈ —« dx}

S«=n¤ -2:)n xe≈ —« dx

이때,

:)n xe≈ —« dx=[xe≈ —« ]n)-:)n e≈ —« dx

=n-[e≈ —« ]n)=n-(1-e—« )

=n-1+

이므로

1e«

O x

y y=xy=f{x}

n

n

구하는부분의넓이는 :)

'3x"√x¤ +1 dx

이때, x¤ +1=t로놓고양변을 x에대하여미분하면

2x=

x=0일때 t=1, x='3일때 t=4이므로

:)

'3x"√x¤ +1 dx=:!4 ;2!;'t dt=[;3!;t;2#;]4!

=;3!;¥4;2#;-;3!;=;3&;

|̀정답 ;3&;

dtdx

S«=n¤ -2{n-1+ }

=n¤ -2n+2-

∴ =

∴ =

=-2

|̀정답-2

1+;n!;limn ⁄¶

n+1limn ⁄¶

S«-n¤n+1lim

n ⁄¶

2e«

1e«

곡선 y=x ln x와직선 y=mx의교점의 x좌표를구하면

x ln x=mx에서 x(ln x-m)=0⋯ ⋯∴ x=0 또는 x=eμ

그러므로

g(m)=;2!;_eμ _meμ -:!

eμx ln x dx

= e¤ μ -[;2!;x¤ ln x]!eμ+:!

eμ;2!;x dx

= e¤ μ - e¤ μ +[;4!;x¤ ]!eμ

= ⋯ ⋯yy ㉠

이때, =b에서 x ⁄ 1일때, (분모) ⁄ 0이므로

(분자) ⁄ 0이어야한다.

즉, {g(x)-a}=g(1)-a= -a=0에서

a=

㉠에서 g'(m)= 이므로주어진식은

= =g'(1)=

∴ b=

∴ a+b= + =

|̀정답3e¤ -1

4

3e¤ -14

e¤2

e¤ -14

e¤2

e¤2

g(x)-g(1)x-1lim

x ⁄1

g(x)-ax-1lim

x ⁄1

e¤ μ2

e¤ -14

e¤ -14lim

x ⁄1

g(x)-ax-1lim

x ⁄1

e¤ μ -14

m2

m2

m2

-2n+2-2e«

-2+;n@:-2ne«



함수 f(x)=xe≈ —«에대하여두곡선 y=f(x), y=f—⁄ (x)로둘러싸인부분의넓이

를S«이라할때, 의값을구하여라. (단, n은자연수이다.) S«-n¤n+1lim

n⁄¶


오른쪽그림과같이 xæ1에서정의된함수

f(x)=x ln x에대하여곡선 y=f(x)와직선 y=mx

및 x축으로둘러싸인부분의넓이를 g(m)이라할때,

=b이다. a+b의값을구하여라.

(단, m>0)

g(x)-ax-1lim

x⁄ 1 O x

y

1

y=x`ln`x

y=mx

g{m}



곡선 y=f(x)와 x축및직선 x=e로둘러싸인부분의넓이는

:!e ln x dx=[x ln x]e!-:!e 1dx

:!e ln x dx=e-[x]e!=1 yy ㉠

한편, 함수 y=g(x)의그래프는함수 y=f(x)의그래프를 y축

의방향으로 k만큼평행이동한것이므로 g(x)=ln x+k로놓

으면 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프 및 두 직선 x=1,

x=e로둘러싸인부분의넓이는

:!e (ln x+k-ln x)dx=:!e k dx=k(e-1) yy ㉡

㉠이㉡의 배이므로

1=k(e-1)_ , k=1

즉, g(x)=ln x+1이므로 x축과만나는점의좌표는 {;e!;,̀ 0̀}

이다.

g(x)=ln x+1에서 g'(x)=;[!;이므로 점 {;e!;,̀ 0̀}에서의 접선

의기울기는 e이고접선의방정식은

y=e{x-;e!;}=ex-1

따라서구하는 y절편은-1이다.

|̀정답-1

1e-1

1e-1

점 Q의 좌표가 Q(cos h, 0)이고, OQ”=cos h이므로 점 R의

좌표는R(2 cos h, sin h)

이때, x=2 cos h, y=sin h이므로 cos¤ h+sin¤ h=1에서

{;2{;} 2+y¤ =1, +y¤ =1

…h… 이므로 0…x…1

그러므로점R가나타내는도형은타원의일부이다.

따라서구하는넓이는 :)1 æ≠1- dx

이때, x=2 sin h로놓고양변을 x에대하여미분하면

1=2 cos h`

x=0일때 h=0, x=1일때 h= 이므로

:)1 æ≠1- dx=:) "√1-sin ¤ h¥2 cos h`dh

=:) 2 cos¤ h dh yy ㉠

이때, I=:) 2 cos¤ h dh라하자.

f(h)=cos h, g'(h)=cos h로놓으면

f '(h)=-sin h, g(h)=sin h이므로

I=[cos h sin h]) -:) (-sin h)¥sin h`dh

I=[cos h sin h]) +:) sin¤ h`dh

I= ¥ ;2!;+:) sin¤ h`dh

I= +:) sin¤ h`dh

∴ 2I=I+I

= +:) sin¤ h`dh+:) cos¤ h`dh

= +:) (sin¤ h+cos¤ h)dh

= +:) 1 dh= + ⋯ ⋯yy ㉡

㉠, ㉡에의하여

:)1 æ≠1- dx=:) 2cos¤ h`dh

=2I= +


|̀정답 10

|참고|

피적분함수가 "√a ¤ -x¤ (a>0)의꼴일때,

x=a sin h로치환한후 sin¤ h+cos¤ h=1임을이용한다.

p6

'34

p6x¤

4

p6

'34

p6'3

4

p6'3

4

p6

p6'3

4

p6'3

4

p6'3

2

p6

p6

p6

p6

p6

p6

p6x¤

4

p6

dhdx

x¤4

p2

p3

x¤4


함수 f(x)=ln x에대하여함수 g(x)가다음조건을만족시킨다.

함수 y=g(x)의그래프가x축과만나는점에서의접선의 y절편을구하여라.

㈎함수 y=g(x)의그래프는함수 y=f(x)의그래프를 y축의방향으로 k(k>0)

만큼평행이동한것이다.

㈏함수 y=f(x)의그래프와 x축및직선 x=e로둘러싸인부분의넓이는두함수

y=f(x), y=g(x)의그래프및두직선x=1, x=e로둘러싸인부분의 넓이의

㈏ 배이다.1

e-1


오른쪽그림과같이중심이원점이고반지름의길이가

1인원위의점 P에대하여선분OP가 x축의양의방

향과 이루는 각의 크기를 h { …h… }라 하자.

점 P에서 x축에내린수선의발Q에대하여점 P를 x

축의방향으로선분 OQ의길이만큼평행이동한점을

R라하자. 점 R가나타내는도형과 x축, y축및직선

x=1로둘러싸인부분의넓이가 + 일때, p+q의값을구하여라.

(단, p, q는유리수이다.)

'3q

pp

p2

p3 O x

y1

-1

-1

1Ω

Q

P R

점P가원 x¤ +y¤ =1 위의점이므로점P의좌표는

P(cos h, sin h)


¿µ¿ªº°¼öÇÐ ¹ÌÀûºÐ2...

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