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Notas de Aula da Disciplina Calculo 3

Equacoes Diferenciais: Um Curso para Engenharias, Fsica,Matematica e Qumica

Andre Luiz GaldinoDepartamento de Matematica do CampusCatalao da

Universidade Federal de Goias

Janeiro de 2010

Ultima Atualizacao: 16 de setembro de 2011

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Equacoes Diferenciais: Um Curso para Engenharias, Fsica, Matematica e QumicaAndre Luiz GaldinoHomepage: www.catalao.ufg.br/mat/galdino/E-mail: [email protected]

Ultima Atualizacao: 16 de setembro de 2011

Estas notas de aula foram escritas com o intuto de apoiar a disciplina de Calculo 3 oferecida peloDepartamento de Matematica do Campusde Catalao da Universidade Federal de Goias. Em

outras palavras, estas notas de aula servem apenas para a orientacao dos estudos, ou seja, servemapenas como apoio didatico, nao devendo ser a unica fonte para os estudos. Este material naosubstitui a presenca em sala de aula nem reproduz todo o conteudo do curso. Vale ainda ressaltar,que os conteudos apresentados neste texto encontram-se em qualquer livro de Introducao asEquacoes Diferenciais. Alem disso, as obras de referencia para o material aqui apresentado estaocitadas no Plano de Curso da Disciplina Calculo 3.

Este texto e atualizado frequentemente.

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Sumario

1 Equacoes Diferenciais e sua Terminologia 11.1 Classificacao das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Classificacao por tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Classificacao por ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Classificacao por linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Exerccios diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Solucao de uma Equacao Diferencial Ordinaria 52.1 Solucao e famlia de solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Tipos de solucoes e solucao explcita e implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Curvas integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Problemas de valor inicial e de valor de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.1 Problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.3 Problemas de valor contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Existencia e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.1 EDOs lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.2 EDOs nao-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Exerccios diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Equacoes Diferenciais Ordinaria de Primeira Ordem 253.1 Solucao por Integracao Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Equacoes diferenciais lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Equacoes com Variaveis Separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem como modelos matematicos 34

3.4.1 Dinamica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4.2 Decaimento radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.3 Lei de Newton do esfriamento/aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . 37

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iv SUM ARIO

3.4.4 Mistura de duas solucoes salinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.5 Reacoes qumicas: irreversveis mononucleares e bimolecular irreversvel 41

3.5 Exerccios diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Independencia Linear entre Funcoes 47

5 Equacoes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem 515.1 EDOs Lineares de 2a Ordem Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 EDOs Lineares de 2a Ordem Nao-Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 EDOs de 2a Ordem Homogeneas de Coeficientes Constantes 556.1 Encontrando a Solucao Geral de ay +by +cy = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1.1 Razes reais e distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1.2 Razes reais e iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.1.3 Razes complexas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2 PVI - Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Metodo de Variacao dos Parametros 65

8 Metodo de Reducao de Ordem 71

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Captulo 1

Equacoes Diferenciais e suaTerminologia

De uma forma compacta, uma Equacao Diferencial e uma equacao que envolve derivadas (oudiferenciais). Melhor dizendo

Definicao 1.1: Chamamos por Equacao Diferencial (ED) uma equacao que contem derivadas(ou diferenciais) de uma ou mais variaveis dependentes em relacao a uma ou mais variaveisindependentes.

Exemplo 1.1: Daqui por diante, em todo o texto, as derivadas ordinarias serao escritas coma notacao de Leibniz dy/dx, d2y/dx2, ou com a notacao linha y , y, .

1. dy

dx+ 5y= ex.

Neste caso, x e a variavel independente e y e a variavel dependente uma vez que y evisto como uma funcao de x.

2. d2x

dt2 + 3

dx

dt

2+ 2x= 0.

Neste caso, t e a variavel independente e x e a variavel dependente uma vez que x evisto como uma funcao de t.

3. y + 2y +y =cos(x).

Neste caso, x e a variavel independente e y e a variavel dependente uma vez que y evisto como uma funcao de x.

4. d2u

dx2+

d2v

dx2 =x2 +u+v.

Neste caso, x e a variavel independente e u e v sao as variaveis dependentes uma vezqueu e v sao vistos funcoes dex.

5. 2u

x2+

2u

y2 = 0.

Neste caso, x e y sao as variaveis independentes e u e a variavel dependente uma vezqueu e visto como uma funcao de x e y .

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2 Equacoes Diferenciais e sua Terminologia

1.1 Classificacao das equacoes diferenciais

Para poder discuti-las melhor, classificamos as equacoes diferenciais portipo,ordeme lineari-dade, como vemos a seguir.

1.1.1 Classificacao por tipo

Existem dois tipos de equacoes diferenciais.

1. Equacao Diferencial Ordinaria (EDO): Se a equacao contiver somente derivadasordinarias de uma ou mais variaveis dependentes em relacao a uma unica variavelindependente.

Exemplo 1.2:

(a) d2y

dx2 dy

dx+ 6y= 0 (b) (y)3 +yy + 3sen(y) =x2

De maneira geral, podemos expressar uma EDO em uma variavel dependente x naforma geral

F(x, y, y, , y(n)) = 0onde F e uma funcao de valores reais de n+ 2 variaveis x, y, y, , y(n) e onde

y(n) = dny

dxn,

ou seja, a derivada de y com relacao a x de ordemn.

Em uma EDOF(x,y,y, y, , y(n)) = 0, quando for possvel expressar a derivada deordem maior y (n) em funcao dos outros termos da equacao, ou seja,

y(n) =f(x,y,y, y, , y(n1))

dizemos que a EDO esta na suaforma normal. Por exemplo,

dy

dx =y2 4

2. Equacao Diferencial Parcial (EDP): Se a equacao envolve as derivadas parciais deuma ou mais variaveis dependentes de duas ou mais variaveis independentes.

Exemplo 1.3:

(a) 2u

x2+

2u

y2 = 0 (b)

2u

x2+

2u

y2 = 0 (c)

u

y =v

x

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1.1 Classificacao das equacoes diferenciais 3

1.1.2 Classificacao por ordem

Aordemde uma equacao diferencial (EDO ou EDP) e a ordem da maior derivada existentena equacao. Por exemplo,

d2

ydx2

+ 5dydx

3 4y= exe uma EDO de segunda ordem. Enquanto que

3xy +y + 3x5y = 5 e 2z

x2+

2z

y2 =x2 +y

sao uma EDO de ordem 3 e uma EDP de segunda ordem, respectivamente.Em particular, uma grande quantidade das EDOs de primeira ordem pode ser escrita na

sua forma normal, dada por:

y =f(x, y) ou dydx

=f(x, y)

Tambem, EDOs de primeira ordem sao ocasionalmente escritas na forma diferencial

M(x, y)dy+N(x, y)dx= 0

Por exemplo, supondo que y seja a variavel dependente em

(y x)dx+ 4xdy= 0. (1.1)

Dividindo a Equacao 1.1 pela diferencial dx obtemos a forma alternativa

4xy +y = x onde y = dy

dx.

1.1.3 Classificacao por linearidade

Dizemos que uma EDO de ordem n e linear se F for linear em y, y, , y(n). Em outraspalavras, uma EDO de n-esima ordem e linear quando ela puder ser escrita na forma

an(x)y(n) +an1(x)y

(n1) + +a1(x)y +a0(x)y g(x) = 0

ou

an(x)dny

dxn+an1(x)

dn1y

dxn1+ +a1(x) dy

dx+ a0(x)y= g(x)

Nota 1.1: E facil observar que uma EDO linear possui as seguintes propriedades:

1. A variavel dependente e todas as suas derivadas sao de primeiro grau, ou seja, a potenciade cada termo envolvendo y e 1;

2. Cada coeficiente depende no maximo da variavel independentex.

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4 Equacoes Diferenciais e sua Terminologia

Nos exemplos a seguir temos, respectivamente, EDOs lineares de primeira, segunda eterceira ordem:

1. (y x)dx+ 4xdy= 0 2. y 2y +y = 0 3. d3y

dx3+x

dy

dx 5y= ex

Uma EDO nao-linear e simplesmente uma EDO que nao e linear. Em outras palavras,uma EDO linear nao pode conter termos como, por exemplo, sen(y) e ey

. Damos a seguirexemplos de EDOs nao-lineares:

1. (1 y)y + 2y= ex 2. d2y

dx2+sen(y) = 0 3.

d4y

dx4+y2 = 0

A teoria matematica e as tecnicas para o tratamento de equacoes lineares sao bastantedesenvolvidas. Por outro lado, no caso das equacoes diferenciais nao-lineares a situacao naoe tao satisfatoria, nao havendo tecnicas gerais de solucao. Por este motivo, muitas vezes,tentamos descrever um fenomeno nao-linear como sendo linear, pelo menos em primeira

aproximacao. Nos casos em que a nao-linearidade e inevitavel, e os metodos analticos saoinexistentes ou insuficientes, temos ainda as ferramentas da analise qualitativa e numerica.

1.2 Exerccios diversos

Classifique as equacoes diferencias abaixo quanto ao tipo, ordem e linearidade.

1. x2y +xy + 2y= sen(x)

2. 3xdy

dx+

dz

dx=x5

3. (1 +y2

)y

+xy

+y = ex

4. (1 x)y 4xy + 5y= cos(x)

5. 2u

x2+

2u

y22u

z2 = 0

6. xd3y

dx3 2dy

dx

+y = 0

7. yy + 2y= 1 +x2

8. x2dy+ (y xy x ex)dx= 0

9. 3x2y(4) + (y)6 = 1

10. dx

dt + 3x

dy

ds+ 1 = 90

11. y(4)

+y

+y

+y

+y= ex

12. y +xy2 = 0

13. u

t +

(f(x)u)2

x =f(x, t)

14. ln(x)d3x

dt3 + 5

dx

dt x= 0

15. y +sen(x+y) =sen(x)

16. y +xy +ycos2(x) =x3

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Captulo 2

Solucao de uma Equacao DiferencialOrdinaria

De uma forma geral, a solucao de uma equacao diferencial e uma funcao que nao contemderivadas nem diferenciais e que satisfaz a equacao dada, ou seja, a funcao que, substitudana equacao dada, a transforma em uma identidade.

2.1 Solucao e famlia de solucoes

Definicao 2.1: Toda func ao , definida em um intervalo Ique tem pelo menosnderivadascontnuas emI, as quais quando substituidas em uma equacao diferencial ordinaria de ordemn reduzem a equacao a uma identidade, e denominada umasolucao da equacao diferencial

no intervalo.Em outras palavras, uma solucao de uma equacao diferencial ordinaria de ordem n

F(x,y,y, y, , y(n)) = 0

e uma funcao que tem pelo menos n derivadas e para a qual

F(x, (x), (x), , (n)(x)) = 0, para todox em I .

Nota 2.1: Alertamos que obter uma solucao para uma equacao diferencial e similar acalcular uma integral e nos sabemos que existem integrais que nao possuem primitivas, como eo caso das integrais elpticas, dessa forma nao e de se esperar que todas as equacoes diferenciaispossuam solucoes.

Exemplo 2.1: Vamos verificar que a funcao

y(x) =x4

16, x R (2.1)

e uma solucao da EDO

4y x3 = 0. (2.2)

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6 Solucao de uma Equacao Diferencial Ordinaria

Solucao: Derivandoy na Equacao 2.1 com respeito a x, obtemos

y =x3

4.

Substituindo na Equacao 2.2 temos

4y x3 = 4. x3

4 x3 = 0

Portanto y(x) dada e uma solucao da Equacao 2.2 uma vez que e diferenciavel (derivavel)em Re satisfaz a EDO dada.

Uma pergunta que surge naturalmente aqui e: Mas sera que a Equacao 2.1 e a unicasolucao da EDO? A resposta para essa pergunta enao. De fato, observe que toda expressaoda forma

y(x) = x4

16+ C, C R (2.3)tambem e uma solucao para a EDO dada. Quando isso acontece dizemos que a EDO possuiuma famlia de solucoesa um parametro, que nesse caso e C. Na verdade, em geral, umaEDO possui um numero infinito de solucoes. Tambem podemos ter solucoes de uma EDOque nao sao obtidas de uma famlia de solucoes dessa EDO.

Exemplo 2.2: A EDOdy

dx=y2 4 (2.4)

possui a seguinte famlia de solucoes

y(x) = 2(1 +Ce4x)

(1 Ce4x) , C R. (2.5)

No entanto, y1(x) =2 e uma solucao da EDO dada e nao provem dessa famlia, uma vezque nao existe um valor para parametroCtal que, quando substituido na Equacao 2.1,

y(x) =y1(x) =2.

2.1.1 Exerccios

1. Em cada item a seguir identifique as variaveis independentes e dependentes, e mostre

em cada caso que a funcaoy(x) e solucao da EDO dada, onde a e constante.

(a) dy

dx=

xx2 +a2

(a= 0) y(x) = x2 +a2

(b) 1

4(y)2 xy +y = 1 x2 y(x) =x2

2. Verifique que a funcao g(x) =c1cos(4x) +c2sen(4x), onde c1 e c2 R, e uma famliade solucoes da EDO

y + 16y= 0.

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2.2 Tipos de solucoes e soluc ao explcita e implcita 7

2.2 Tipos de solucoes e solucao explcita e implcita

Basicamente, existem 3 tipos de solucoes:

1. Solucao geral: e a solucao da equacao que contem tantas constantes arbitrarias(parametros) quantas forem as unidades da ordem de integracao (famlia de solucoes).

2. Solucao particular: e a solucao deduzida da solucao geral atribuindo-se valores par-ticulares as constantes. Em outras palavras, e quando a solucao vem de uma famliade solucoes encontrada.

3. Solucao singular: e uma solucao nao deduzida da solucao geral (famlia de solucoes)e que so existe em alguns casos.

Alem disso, se uma solucao de uma EDO e identicamente nula no intervalo I, entao ela

e chamada de solucao trivial.Exemplo 2.3: Como vimos anteriormente, a funcao 2.3 e uma solucao geral da EDO 2.2,enquanto que 2.2 e uma solucao particular da mesma EDO. De fato, fazendo em 2.3 C= 0obtemos 2.2. Ja a EDO 2.4 possui como solucao geral 2.5 e como solucao singulary(x) =2.Nota 2.2: Itervalos de Definicao: Voce nao pode pensar em soluc ao de uma EDO sem,simultaneamente, pensar emintervalo. O intervaloI, que aparece na Definicao 2.1, e alterna-tivamente conhecido por intervalo de definicao, intervalo de existencia, intervalo devalidadeou domnioda solucao e pode ser um intervalo aberto (a, b), um intervalo fechado[a, b], um intervalo infinito (a, ), e assim por diante. Porem, nao devemos confundir odomnio de uma funcao com o intervalo de definicao de uma solucao. Por exemplo, a funcao

y= 1

x e uma solucao da EDO xy +y= 0,

parax pertencente a qualquer intervalo dos numeros reais que nao contem o zero, como porexemplo, (0, ). No entanto, lembre-se de que

y= 1

x

como uma funcao esta definida para todo x R {0}, ou seja, para x(, 0) (0, ).Definicao 2.2: Uma solucao explcita de uma equacao diferencial ordinaria e qualquer

funcao y= (x) que verifique a equacao num intervalo a < x < b. Umasolucao implcitae uma relacao G(x, y) = 0 que verifique a equacao.

Como a definicao sugere, nem sempre encontraremos a solucao de uma EDO em suaforma explcita,y = (x). As solucoes de algumas EDOs, quando for possvel acharmos taissolucoes, em geral serao dadas na forma G(x, y) = 0, a qual define implicitamente a solucao.Por exemplo,G(t, E) = 0 onde

G(t, E) =C t+E sen(E)

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e uma famlia de solucoes implcitas (a um parametro,C R) da EDO

dE

dt =

1

1

cos(E)

.

Para que possamos verificar essa afirmacao, basta simplesmente derivar implicitamente aexpressaoG(t, E) = 0 com relacao at.

Como outro exemplo, tome G(x, y) = 0, onde

G(x, y) =x2 +y2 4,

com2 < x < 2. Se derivarmos implicitamente a expressao G(x, y) = 0 em relacao a x,vemos claramente que G(x, y) e uma solucao mplicita da EDO

dy

dx =x

y .

Exemplo 2.4: Verifique se a funcaoy indicada abaixo e uma solucao explcita da EDO dada,no intervalo (, ).

1. dy

dx=xy

1

2 , y= 116x4

2. y 2y +y = 0, y= x ex

Solucao:

1. Uma maneira de verificar se a funcao dada e uma solucao e observar depois de substituir,se ambos os lados da equacao sao iguais para cadax no intervalo. Sendo assim, observeque:

lado esquerdo: dy

dx=

1

16(4x3) =

1

4x3

lado direito: xy1

2 =x1

16x4

1

2

=x1

4x2 =

1

4x3

Portanto, a funcao dada e uma solucao da EDO.

2. Por simples substituicao da funcao e as suas derivadas ve-se facilmente que a funcaodada e uma solucao da EDO:

2 ex +x ex 2( ex +x ex) +x ex = 0

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2.2 Tipos de solucoes e soluc ao explcita e implcita 9

Exemplo 2.5: Verifiquemos quex +y+ exy = 0 (2.6)

e solucao implcita de

1 +x exydydx+ 1 +y exy = 0 (2.7)Solucao: Para verificar basta derivar implicitamente a expressaox+y+ exy = 0 com respeitoa x. Vejamos

d

dx(x+y+ exy) = 0

1 +y + exyd(xy)

dx = 0

1 +y + (y+xy) exy = 0

(1 +x exy

)dy

dx+ 1 +y exy

= 0

2.2.1 Exerccios

1. Mostre que a relacao dada define uma solucao implcita da equacao diferencial, sabendoquec e constante.

(a) yy = e2x, y2 = e2x

(b) y = y2

xy

x2, y= c ey/x

(c) dy

dx=x

y, x2 +y2 c2 = 0

2. Os problemas seguintes sao um teste a sua intuicao (a intuicao so se obtem depoisde alguma pratica e por isso e importante analizar estes problemas e as suas solucoes).Em cada caso tente adivinhar uma solucao, ou seja, faca alguma tentativa e verifiquese e ou nao solucao. Alem disso, diga se a solucao que descobriu e geral ou particular.

(a) dy

dx=y

(b) dydx

=y2

(c) dy

dx+ y= ex

(d) d2

ydx2

= 1

3. Mostre que as funcoesy1 dadas sao solucoes gerais das respectivas EDOs. Alem disso,mostre quey2 tambem e uma solucao da EDO correspondente, porem ela nao e obtidaa partir da solucao geraly1, ou seja, y2 e uma solucao singular.

(a) y= xy +1

2(y)2, y1 = cx+

c2

2 y2=x

2

2

(b) (y)2 xy +y= 0 , y1 = cx c2 y2= x2

4

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2.3 Curvas integrais

Como vimos anteriormente, resolver uma equacao diferencial significa determinar as funcoesque satisfazem tal equacao. Dessa forma, e pela integracao de uma diferencial que se da a

solucao e, geometricamente, as curvas que representam as solucoes sao definidas como segue:

Definicao 2.3: A solucao geral (famlia de solucoes) de uma EDO muitas vezes e dada poruma relacao da forma

(x,y,C) = 0

onde a variavel dependentey e dado apenas implicitamente em termos da variavel indepen-dente x e da constante C R. Tal express ao e denominada integral geral da EDO. Aintegral geral pode ser interpretada geometricamente como a representacao de uma famliade curvas no plano-xy, dependente do parametro C. Estas curvas sao chamadas curvasintegrais da EDO dada, e uma vez que (x,y,C) = 0 e deriv avel (diferenciavel) em seuintervalo de definicao I, as curvas integrais sao contnuas emI.

Exemplo 2.6: Como vimos anteriormente a EDO

4y x3 = 0 (2.8)possui como solucao geral a famlia de funcoes

y(x) =x4

16+ C (2.9)

onde C R e uma constante arbitraria. Assim, as curvas integrais da equacao diferencial2.8 sao obtidas fazendo o grafico da funcao 2.9 para diferentes valores de C, como mostram

as Figuras 2.1 e 2.2.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Figura 2.1: Curva integral da equacaodiferencial 4y x3 = 0 para C= 1

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Figura 2.2: Curvas integrais da equacaodiferencial 4y x3 = 0 para C(4, 4).

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2.3 Curvas integrais 11

Exemplo 2.7: Consideremos a equacao diferencial

dy

dx=y

x, x= 0 (2.10)

A solucao geral desta equacao e dada pela famlia de funcoes

y =C

x (2.11)

onde C R e uma constante arbitraria. As curvas integrais da Equacao 2.10 sao obtidasfazendo-se o grafico da Equacao 2.11 para diferentes valores deC, como mostra a Figura 2.4.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Figura 2.3: Curvas integrais da equacaodiferencial dy

dx= yx

paraC= 1 e C=1.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Figura 2.4: Curvas integrais da equacaodiferencial dy

dx= yx

paraC(4, 4).

2.3.1 Exerccios

1. Verifique que uma famlia a um parametro de solucoes para a EDO

y= xy + (y)2

e dada por y = cx+c2, e desenhe as curvas integrais. Alem disso, determine um valorde k para que y = kx2 seja uma solucao particular para a EDO dada.

2. Mostre que y1 = 2x+ 2 e y2 =x2

2 sao ambas solucoes da EDO

y= xy + ((y)2

2

e desenhe as curvas integrais. As funcoesc1y1 + c2y2,c1 e c2 R, tambem sao solucoes?

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2.4 Problemas de valor inicial e de valor de contorno

Quando aplicamos as equacoes diferenciais geralmente nao estamos tao interessados em encon-trar uma famlia de solucoes (solucao geral) quanto em encontrar uma solucao que satisfaca

algumas condicoes adicionais.

2.4.1 Problemas de valor inicial

Um problema de valor inicial (PVI) consiste em uma equacao diferencial, juntamente comcondicoes iniciais relativas a funcao incognita e suas derivadas, tudo dado para um mesmovalor da variavel independente. O objetivo destes problemas e resolver uma equacao diferen-cial sujeita a condicao inicial, ou seja, se sao conhecidas condicoes adicionais, podemos obtersolucoes particulares, a partir da solucao geral, para a equacao diferencial dada.

Em outras palavras, estamos interessados na solucao de uma equacao diferencial sujeitaa determinadas condicoes pre-estabelecidas, ou seja, condicoes que estao impostas a solucaodesconheciday = y(x) e suas derivadas. Sendo assim, uma solucao de um PVI e uma funcaoy = y(x) que satisfaz nao so a equacao diferencial dada, mas tambem todas as condicoesiniciais.

De um jeito um pouco mais formal, sendo Ialgum intervalo contendox0, um PVI e dadoda seguinte maneira:

Resolver: dny

dxn =f(x,y,y, y, , y(n1))

Sujeita a: y(x0) =y0, y(x0) =y1, y

(x0) =y2, , y(n1)(x0) =yn1

onde y0, y1, y2, , yn1 sao constantes reais especificadas previamente. Os valores de y(x) esuas n 1 derivadas em um unico ponto x0, a saber,

y(x0) =y0, y(x0) =y1, y

(x0) =y2, , y(n1)(x0) = yn1sao chamados decondicoes iniciais.

Nota 2.3: Um PVI de primeira ordem consiste em:

Resolver: dy

dx=f(x, y)

Sujeita a: y(x0) =y0

Observe que por si so a EDO de primeira ordem dy

dx = f(x, y), ou y = f(x, y), nao

determina uma funcao solucao unica. Isto porque a EDO apenas especifica o declivey (x) dafuncao solucao em cada ponto, mas nao especifica o valor de y(x) para nenhum ponto. Emgeral, como vimos anteriormente, existe uma infinidade de funcoes que satisfazem a EDO. Noentanto, para obter uma solucao particular, o valory0da funcao solucao tem de ser conhecidopara algum ponto x0, ou seja, e necessario que os dados do problema indiquem y(x0) = y0para determinar a solucao particular da EDO dada.

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2.4 Problemas de valor inicial e de valor de contorno 13

Se considerarmos a variavel independentex como o tempo, podemos pensar emx0como otempo inicial e emy0 como o valor inicial da funcao incognita. Sendo assim, a EDO governaa evolucao do sistema ao longo do tempo desde o seu estado inicial y0 no tempo x0, e nosprocuramos uma funcao y(x) que descreve o estado do sistema em funcao do tempo.

Geometricamente, como vimos anteriormente, o conjunto de solucao de uma EDO deprimeira ordem define um conjunto de curvas com traco no plano-xy, chamadas de curvasintegrais, e neste sentido cada uma das curvas integrais e solucao de um determinado PVI.

Exemplo 2.8: Encontre a solucao do PVI:

dy

dx=y

x

y(1) = 3

Solucao: Queremos encontrar uma solucao da EDO que satisfaca a condicao y(1) = 3, oumelhor, queremos encontrar uma solucao tal que o ponto (1, 3) seja ponto da curva integral

dessa solucao. Veremos no futuro que uma famlia de solucoes para a EDO dada e

y(x) =C

x (2.12)

Agora a pergunta e: sera que dentre a famlia de solucoes 2.12 existe uma solucao tal quey(1) = 3? A resposta para a pergunta, neste caso, e sim. De fato, observe que

y(1) =C

1.

Para que y(1) = 3 temos que ter C= 3. Logo, como podemos ver na Figura 2.5, a solucaoparticular que satisfaz o PVI dado e

y(x) = 3x

.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Figura 2.5: Curva integral solucao do PVI: yx

=yx

, y(1) = 3.

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Daqui surgem naturalmente alguns questionamentos, por exemplo: Mas sera que essa e aunica solucao que satisfaz esse PVI ou tem outras? E se mudarmos a condi cao inicial, o queacontece? Por exemplo, o PVI

dy

dx =y

x

y(0) = 0

tem solucao? e se tiver e unica? Nao se desespere o leitor, veremos mais adiante teoremasque nos ajudarao a responder a todas essas perguntas.

Exemplo 2.9: Determine se as funcoes a seguir sao solucoes do PVI:

y + 4y= 0

y(0) = 0, y(0) = 1

1. y1(x) =sen(2x)

2. y2(x) =x

3. y3(x) = 12sen(2x)

Solucao:

1. y1(x) = sen(2x) e uma solucao da EDO e satisfaz a primeira condicao y(0) = 0.No entanto, y1(x) nao satisfaz a segunda condicao, pois, y

1(x) = 2cos(2x) e y

1(0) =

2cos(0) = 2= 1. Portanto,y1(x) =sen(2x) nao e solucao do PVI apresentando.

2. y2(x) =xsafisfaz ambas as condicoes iniciais mas nao e solucao da EDO dada. Portanto,tambem nao e solucao do PVI apresentando.

3. y3(x) = 12

sen(2x) e solucao da EDO e satifas ambas as condicoes iniciais, sendo, por-tanto solucao do PVI apresentado.

Exemplo 2.10: Determine uma solucao do PVI:

y + 4y= 0

y(0) = 0, y(0) = 1, sabendo que a

solucao geral da EDO em questao e dada por

y(x) =C1sen(2x) +C2cos(2x).

Solucao: Comoy(x) =C1sen(2x)+ C2cos(2x) e uma solucao da EDO para quaisquer valoresde C1 e C2, devemos procurar os valores de C1 e C2 que tambem satisfacam as condicoesiniciais. Observe que

y(0) =C1sen(0) + C2cos(0) =C2

Assim, para atender a primeira condicao inicial, devemos fazer C2 = 0. Alem disso,

y(x) = 2C1cos(2x) 2C2sen(2x)

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sendo assim,

y(0) = 2C1cos(0) 2C2sen(0) = 2C1Logo, para satisfazer a segunda condicao inicial, y(0) = 1, devemos fazer 2C1 = 1, ou seja,

C1 = 1

2 . Substituindo esses valores de C1 e C2 na solucao y(x) = C1sen(2x) +C2cos(2x)obtemos

y(x) =1

2sen(2x)

a qual e a solucao do PVI apresentado.

2.4.2 Exerccios

1. Determine C1 e C2 de modo que as funcoes dadas satisfacam as condicoes iniciaisapresentadas.

(a) y(x) =C1ex +C2ex y(0) = 1 y(0) =1(b) y(x) =C1e

x +C2e2x + 3 e3x y(0) = 0 y(0) = 0

(c) y(x) =C1sen(x) +C2cos(x) + 1 y() = 0 y() = 0

(d) y(x) =C1ex +C2e

x +x2 ex y(1) = 1 y(1) =12. Verifique que a funcao dada e solucao do PVI correspondente.

(a)

y + 3y + 2y= 0

y(0) = 0 y(0) = 1y(x) = ex e2x

(b)

y + 4y= 0

y(0) = 1 y(0) = 0y(x) =cos(2x)

3. Mostre que y(t) = 0 e y(t) = t4

16 sao solucoes do PVI:

y =t

y

y(0) = 0.

2.4.3 Problemas de valor contorno

Umproblema de valor de contorno(PVC) e uma equacao diferencial que tambem esta sujeitaa determinadas condicoes pre-estabelecidas, as chamadas condicoes de contorno ou condicoesde fronteira. Dessa forma, umasolucao para um PVC e uma funcao y = y(x) que satisfaznao so a equacao diferencial dada, mas tambem todas as condicoes de contorno.

Os PVC surgem em diversos ramos da fsica, por exemplo, problemas envolvendo aequacao da onda e a equacao do calor. Entre os primeiros PVC estudados esta o prob-lema de Dirichlet de encontrar funcoes harmonicas (solucoes da equacao de Laplace). Naverdade, existe uma vasta classe de importantes problemas de valores de contorno, como porexemplo, os problemas de Sturm-Liouville e o problema classico de determinar a forma quetoma um cabo flexvel, suspenso em dois pontos e sujeito a seu peso. Este ultimo problema

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foi proposto por Leonardo da Vinci e resolvido apos anos por Leibniz e J. Bernoulli, e suafuncao solucao recebe o nome, dado por Leibniz, de catenaria.

Como no caso dos PVI, o numero de condicoes impostas para os PVC e igual a ordemda equacao diferencial. No entanto, uma diferenca essencial entre os PVI e os problemas que

envolvem condicoes de contorno e que estes podem ter uma, nenhuma ou infinitas solucoes.Alem disso, diferentemente das condicoes iniciais, as condicoes de contorno nao envolvemderivadas e sao definidas em dois ou mais valores da variavel independente. De outra forma,sendo Ialgum intervalo contendo x0, x1, x2, , xn1, um PVC envolvendo uma EDO podeser dado da seguinte maneira:

Resolver: dny

dxn =f(x,y,y, y, , y(n1))

Sujeita a: y(x0) =y0, y(x1) =y1, y(x2) =y2, , y(xn1) =yn1

onde y0, y1, y2, , yn1 sao constantes reais especificadas previamente, e os valores de y(x)nos pontos x0, x1, x2, , xn1, a saber,

y(x0) =y0, y(x1) =y1, y(x2) =y2, , y(xn1) =yn1sao as condicoes de contorno.

Exemplo 2.11: Determine uma solucao do PVC:

y + 4y= 0

y(8

) = 0 y(6

) = 1, sabendo que a

solucao geral da EDO dada e


Solucao: Observe que

y(

8) = C1sen(

4) +C2cos(

4) =

1

2

2C1+

1

2

2C2

y(

6) = C1sen(

3) +C2cos(

3) =

1

2

3C1+

1

2C2

Alem disso, para atender as condicoes de contorno,y(8 ) = 0 e y(6 ) = 1, devemos ter

1

2

2C1+

1

2

2C2= 0 (2.13)

1

2

3C1+

1

2C2= 1 (2.14)

Considerando as Equacoes 2.13 e 2.14 como um sistema e resolvendo-as simultaneamente,obtemos

C1=C2= 23 1

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Portanto, substituindo estes valores deC1eC2na solucao geraly(x) =C1sen(2x)+ C2cos(2x)obtemos a solucao do PVC que e

y(x) =

2

3 1sen(2x) cos(2x)

Exemplo 2.12: Determine uma solucao do PVC:

y + 4y= 0

y(0) = 1 y(2 ) = 2, sabendo que a

solucao geral da EDO dada e


Solucao: Como

y(0) =C1sen(0) +C2cos(0) =C2

devemos fazer C2 = 1 para satisfazer a primeira condicao de contornoy(0) = 1. Como

y(

2) =C1sen() +C2cos() =C2

devemos fazerC2 =2 para satisfazer a segunda condicao de contornoy(2

) = 2. Assim, para

satisfazer ambas as condicoes de contorno simultaneamente, devems ter C2 = 1 e C2 =2,o que e impossvel. Portanto, o PVC dado nao admite solucao.

Exemplo 2.13: Vale observar que podemos ter um Problema Misto, ou seja, um problemacom condicoes iniciais e de contorno. No entanto, iremos discutir como resolver um problemamisto em um outro momento. Um tpico problema com condicoes iniciais e de contorno edado juntamente com a Equacao da Onda, que e:

2u

x2

2u

t2 = 0 sobre M

u(x, 0) =p(x), ut (x, 0) =q(x), axb (Condicoes iniciais)

u(a, t) =r(t), u(b, t) =s(t), t0 (Condicoes de contorno)

onde M e a regiao representada por um retangulo infinito. Do ponto de vista fsico, oproblema misto pode ser interpretado como o estudo dos deslocamentos transversais de umacorda de comprimento infinito, mas que nas extremidades x = a e x = b, o deslocamentoocorre segundo uma funcao conhecida u(a, t) = r(t). Quando esta extremidade esta presaassumimosr(t) = 0.

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2.4.4 Exerccios

1. DetermineC1 e C2 de modo que y(x) =C1sen(2x) +C2cos(2x) satisfaca as condicoesdadas, e determine se tais condicoes sao iniciais ou de contorno.

(a) y(0) = 1, y(0) = 2

(b) y(0) = 2, y(0) = 1

(c) y(2

) = 1, y(2

) = 2

(d) y(0) = 1, y(2

) = 1

(e) y(0) = 1, y(2

) = 1

(f) y(0) = 1, y() = 1

(g) y(0) = 1, y() = 2

(h) y(0) = 0, y(0) = 0

(i) y(4

) = 0, y(6

) = 1

(j) y(0) = 0, y(2

) = 1

2.5 Existencia e unicidade

Muitas aplicacoes de equacoes diferenciais resulta em equacoes que nao podem ser resolvidasexplicitamente. Em situacoes como estas, frequentemente recorremos a analise geometricaou numerica das equacoes diferenciais para obter informacoes sobre a solucao sem de fatoresolve-las. No entanto, antes de nos colocarmos a tentar analizar as solucoes, precisamose devemos saber se a solucao de fato existe. Na verdade, precisamos saber mais do queisso, pois, a aplicacao de metodos numericos e o estudo das propriedades da solucao so fazemsentido no caso em que a solucao existe e e unica. Assim, e fundamental estudarmos a questaoda existencia e unicidade das solucoes, pois, em muitos casos, saber que a solucao existe e eunica e mais importante do que realmente ter a solucao.

Em outras palavras, procuramos responder os seguintes questionamentos: Uma equacaodiferencial sempre tem solucao? (existencia);Quantas solucoes tem uma equacao diferencial

dada que ela tem pelo menos uma?; Que condicoes adicionais devem ser especificadas parase obter apenas uma unica solucao? (unicidade); Dada uma equacao diferencial, podemosdeterminar, de fato, uma solucao? E, se for o caso, como?

Na generalidade dos problemas nao estamos interessados na solucao geral (ou na famliade curvas integrais) mas apenas numa solucao particular que satisfaz uma condicao dada. Adeterminacao de uma solucao particular corresponde a selecionar uma funcao particular dafamlia de curvas integrais que satisfaz a condicao dada. Porem, como vimos anteriormente,existem solucoes que nao podem ser deduzidas a partir da solucao geral e, neste caso, a solucaoe uma solucao singular da equacao diferencial. Da, resulta claramente que a existencia desolucoes singulares implica a violacao da unicidade das solucoes. Por exemplo, uma equacao

diferencial nao-linear pode ter uma solucao geral e solucoes singulares, veja Exemplo 2.2.Pode parecer meio estranho, mas existem equacoes diferenciais que nao tem solucao, assimcomo, um PVI pode nao ter solucao, ter uma unica solucao ou ter mais do que uma solucao,como exemplo veja o item 3 do Exerccio 2.4.2. Problemas sem solucoes nao tem obviamenteinteresse. Ja um PVI com varias solucoes colocam o problema de se saber qual e a solucaoque efetivamente traduz o comportamento do fenomeno estudado.

Nesse sentido, podemos refazer alguns dos questionamentos acima da seguinte forma:Dado um PVI, ele possui solucao? (existencia);Se a solucao exite, ela e unica?(unicidade).

Em outras palavras, o nosso questionamento e: Sem resolver um PVI, quais sao as infor-macoes que podemos obter sobre a existencia e unicidade das solucoes?

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2.5 Existencia e unicidade 19

Para responder tais perguntas, existe o chamado Teorema de Existencia e Unicidade deSolucao que nos garante, se e dada uma EDO com condicoes suficientemente boas, ou seja,um PVI bem especificado, nao somente a existencia de uma solucao, como tambem a suaunicidade. Em outras palavras, apresentaremos na sequencia teoremas, sem demonstracao,

que fornecem condicoes necessarias e suficientes para a existencia e unicidade de solucaode um PVI. Vale ressaltar, que existe uma diferenca muito forte entre equacoes diferenciaislineares e nao-lineares, por isso iremos tratar os dois casos separadamente.

2.5.1 EDOs lineares

Comecamos com as EDOs lineares de primeira ordem:

Teorema 2.5.1 [Existencia e Unicidade de Solucao: EDO linear de 1a ordem]:Considere o problema de valor inicial

y +p(x)y= q(x)

y(x0) =y0

Sep(x) eq(x) sao funcoes contnuas em um intervalo aberto < x0 < , entao existe umaunica solucao para o PVI dado, definida no intervalo (, ).

Este teorema nos diz que sendo p(x) e q(x) funcoes contnuas, existe exatamente umasolucao para qualquer PVI dado. Ele tambem nos diz que a solucao sera nao derivavel, oudescontnua, somente nos pontos onde p(x) ou q(x) e descontnua. Porem, fique ciente deque a solucao pode ser contnua, mesmo quando p(x) ou q(x) nao seja.

Geometricamente, o teorema tambem nos permite concluir que as curvas integrais de

uma equacao diferencial, que satisfaz as hipoteses do teorema, nao podem se interceptarem,pois, caso contrario, tomando o ponto de intersecao de duas curvas integrais como a condicaoinicial teramos um PVI com duas solucoes distintas, contradizendo a unicidade estabelecidapelo teorema.

Se o intervalo (, ) e o maior intervalo possvel para o qual as funcoes p(x) e q(x) saocontnuas, entao (, ) e chamado de intervalo de validadepara a solucao unica garantidapelo teorema. Assim, dado um PVI com uma EDO linear, com condicoes suficientementeboas, nao e necessario resolver a EDO para obter o intervalo de validade, uma vez que ointervalo de validade depende somente de x0, pois tal intervalo deve conter x0, e nao dependede y0.

Exemplo 2.14: Considere a EDO linear y

y = 0. Neste exemplo as funcoes a1(x) =1e g(x) = 0 sao contnuas em R. Portanto, o Teorema 2.5.1 garante que existe e e unica asolucao qualquer que seja a condicao inicial

y(x0) =y0.

Apesar do teorema so garantir a existencia de solucao numa vizinhanca de x0, facilmenteverificamos que a solucao do PVI dado e

y(x) =y0exx0,

e ela esta definida para todo o R.

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Exemplo 2.15: Determine quais sao as condicoes quex deve satisfazer para que exista umaunica solucao para o problema de valor inicial:

(4 x)y + 2xy= ex

y(1) = 5

Solucao: Primeiramente devemos escrever a EDO dada na forma

y +p(x)y= q(x).

Isto significa que precisamos dividir ambos os mebros da igualdade por 4 x. Da obtemos

y + 2x

4 xy= ex

4 x.

Assim, neste caso,p(x) =

2x

4 x e q(x) = ex

4 x.Observe que p(x) e q(x) sao contnuas para todo x= 4. Desde que a condicao inicial dada eespecificada parax = 1, o qual e menor que 4, o Teorema 2.5.1 garante uma unica solucaosobre o intervalo x 4, um vez que a condicao inicial esta especificada para x0 = 5.

O mesmo resultado apresentado no Teorema 2.5.1 vale para um PVI que envolve umaEDO linear de n-esima ordem, como mostra o proximo teorema.

Teorema 2.5.2 [Existencia e Unicidade de Solucao: EDO linear den-esima ordem]:Considere o problema de valor inicial

y(n) +an1(x)y

(n1) + +a1(x)y +a0(x)y= g(x)

y(x0) =y0, y(x0) =y1, y

(x0) =y2, , y(n1)(x0) =yn1Entao se ai(x), para i = 0, 1, 2, , n1, e g(x) sao funcoes contnuas em um intervaloaberto < x0 < , existe uma unica solucao para o PVI dado, definida no intervalo (, ).

2.5.2 EDOs nao-linearesNo caso linear, um PVI possui solucao unica a menos que as condicoes iniciais sejam ruins.Mas, para o caso nao-linear as coisas sao um pouco diferentes, por exemplo, a simples einocente EDO nao-linear

dy

dx

2+x2 + 1 = 0

nao possui solucao real. Entao uma questao natural a se perguntar e se existe um teoremaanalago ao Teorema 2.5.1 para EDOs nao-lineares. A resposta a esta questao e dada atravesdo proximo teorema.

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2.5 Existencia e unicidade 21

Teorema 2.5.3 [Existencia e Unicidade de Solucao: EDO nao-linear de 1a ordem]:Considere o problema de valor inicial

y =f(x, y)

y(x0) =y0

Se f e f

y sao funcoes contnuas em um retangulo < x0 < , < y0 < contendo o

ponto (x0, y0), entao existe uma unica solucao para o PVI dado, definida no intervalo (a, b)safisfazendoa < x0 < b.

Assim como o Teorema 2.5.1, Teorema 2.5.1 nos fornece condicoes para as quais um PVInao-linear possui uma unica solucao, mas a conclusao deste teorema nao e tao boa quanto ado Teorema 2.5.1. O Teorema 2.5.1 nos da uma unica solucao sobre o maior intervalo possvelpara o qual as funcoesp(x) eq(x) sao contnuas. Ja o Teorema 2.5.3 nos diz que existe algumintervalo, que nao e um intervalo de validade, para o qual conseguimos uma unica solucaopara o problema.

Observe que para uma EDO nao-linear, o valor de y0 pode afetar o intervalo de validade.Assim, uma forma de contornar este problema e ter certeza de que as condicoes iniciais naoestao dentro e nem sobre a borda de uma regiao ruim, uma regiao ondefe/ou sua derivadasao descontnuas, e entao encontrar o maior intervalo sobre a reta y =y0 contendo x0 ondetudo funciona bem e as funcoes sao contnuas.

O Teorema 2.5.3 se refere a f

y da funcao de duas variaveis f(x, y). Infelizmente, a

derivada parcial e mais difcil de calcular do que a derivada ordinaria. Mas, lembre-se de que,

neste caso, pensamos em x como um constante e derivamos. Por exemplo, se

f(x, y) =x2 3y2x entao fy

=6yx.

Exemplo 2.16: Considere o PVI:

y =y

x+ 3x, x= 0

y(x0) =y0

. Observe quef(x, y) ef

y estao

definidas e sao contnuas para qualquer (x, y), desde que x= 0. Portanto, o PVI satisfaz oTeorema 2.5.3, e consequentemente possui uma unica solucao.

Exemplo 2.17: Considere o PVI: y =y2

y(0) = 1. A famlia de solucoes da EDO em questao

e dada por y(x) = 1

x+C. Da vem que y(0) = 1

C. Logo, para satisfazer a condicao inicial

y(0) = 0 devemos ter C =1. Comof(x, y) = y2 e fy

= 2y sao contnuas para qualquer

(x, y), temos que a unica solucao do PVI, garantida pelo Teorema 2.5.3, e dada por

y(x) = 1x 1 .

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Exemplo 2.18: Considere o PVI:

y =y1/3, x0

y(0) = 0. A famlia de solucoes da EDO em

questao e dada por

y(x) =2

3(x+C)

32.

Se C= 0, a condicao inicialy(0) = 0 e satisfeita e

y(x) =

2

3x

32

e uma solucao do PVI dado, para x 0. Porem, podemos encontrar outras duas solucoesparax0, a saber

y(x) =

2

3x

3

2

e y(x) = 0.

Portanto, poderamos concluir apressadamente que o Teorema 2.5.3 nao e valido. Mascuidado, a unica solucao neste caso nao e garantida porque o PVI dado nao satisfaz o Teorema

2.5.3, pois, f

y =

1

3y2/3 nao e contnua em 0.

2.6 Exerccios diversos

1. Em cada caso, verifique se a funcao dada e uma solucao da EDO correspondente, ondea, b e c sao constantes.

(a) y + 2y= 0 y= Ce2x

(b) y = 0 y= ax2 +bx+c

(c) y +y = 0 y= a cos(x) +b sen(x)

(d) y y= x y= a ex +b ex x(e) y = 2x y= x2 +c

(f) y =2y

x y= cx2

(g) y + 2xy= 0 y= c ex2

(h) y =xy

x2 +y2 =c

(i) y y= e2x y= c ex + e2x(j) (y)2 xy +y= 0 y= cx c2

(k) y +y = 0 y= cos(x)

(l) y =cos(x) y= sen(x) +c

(m) y y= 0 y= ex(n) x2y 4xy + 6y= 0 y= ax2 +bx3

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2.6 Exerccios diversos 23

2. Em cada caso, determinar y(x) =

f(x)dx e a constante de integracao C, de modo

que a funcao y(x) satisfaca a condicao dada.

(a) f(x) =x2

y(2) = 0

(b) f(x) =cos2(x) y() =

2

(c) f(x) =cos(2x) y(0) = 1

(d) f(x) =x ex2

y(0) = 0

3. Em cada caso, verificar que a funcao dada e solucao da equacao diferencial correspon-dente e determinar as constantes a, b e c de modo que a solucao particular satisfaca acondicao dada.

(a)

y +y = 0

y(0) = 3y(x) =c ex

(b)

y +y = 5

y(1) = 6y(x) =c ex + 5

(c)

y + 2xy= 0

y(0) =

2y(x) =c ex

2

(d)

dy

dx= 2yx

y(1) = 3

y(x) =cx2

(e)

xd2y

dx2 dy

dx= 0

y(1) =8 y(1) = 4y(x) =ax2 +b

(f)

d2ydx2

+y= 0

y

3

2

=

a

2 y

3

2

=

3

y(x) =a cos(x+b)

(g)

dy

dx=y2

y(1) = 2

y(x) = 1

c x

5/20/2018 EDOs

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4. Suponha que r1 e r2 sao duas razes reais e distintas da equacao

ar2 + (b a)r+c= 0.

Verifique se a funcaoy= d1x

r1 +d2xr2

onde d1 e d2 sao constantes arbitrarias, e uma solucao da equacao diferencial

ax2y +bxy +cy = 0.

5. Em cada um dos problemas abaixo verifique se a funcao dada e uma solucao da equacaodiferencial correspondente.

(a) y + 2y 3y= 0 y1= e3x y2= ex

(b) x2y + 5xy + 4y= 0, x >0 y1= 1x2

y2= x2ln(x)

(c) y +y = sen(x), 0< x

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