Eliminacin de Constantes ArbitrariasAlgunos ejercicios resueltos sobre eliminacin de constantes y familias decurvas.Tomados del libro Ecuaciones diferenciales elementales de Earl D. RainvilleElaborado por Prof. Jos A. SilesMatagalpa11 Familia de CurvasEn cada uno de los ejercicios obtngase la ecuacin diferencial de la familiade curvas planas descritas y bosqujese algunos miembros representativos de lafamilia.1. Rectas que pasan por el origen.Solution 1Recordemos la ecuacin para la pendiente de una rectam = y2 y1x2 x1 ; x2 6= x1sabemos que las rectas pasan por el origen, luego un punto de esas rectas es(0; 0) as la pendiente esm =y 0x 0m =yxy = mx ()Derivando () tenemosy = mx ()! dy = mdx!dydx = m ()Sustituyendo () en () resultay = mxy = dydx

xydx = dyxydx dyx = 0 1Prof. Jos A. Siles-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-15-10-551015xyFamilia de rectas que pasan por el origen2. Rectas que pasan por el punto jo (h; k) :Solution 2Partiendo de la ecuacin de la pendiente m =y2y1x2x1 y el punto jo (h; k) ;obtenemosm =y2y1x2x1m =y kx h (y k) = m(x h) ()Derivando () obtenemos(y k) = m(x h)dy = mdxm =dydx()Sustituyendo () en () resulta(y k) = m(x h)(y k) = dydx

(x h)(y k) dx = (x h) dy(y k) dx (x h) dy = 0 42Prof. Jos A. Siles-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-101020xyFamilia de rectas que pasan por un punto jo3. Rectas con la pendiente y la intercepcin con el eje y, iguales.Solution 3La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene porecuacin y = mx + b: Luego el intercepto con el eje y es b; i:e las rectas cortanal eje y en el punto (0; b) :Si la pendiente y la intercepcin con el eje y son iguales, entonces x = b;luego podemos escribiry = mx + by = mx + my = m(x + 1) ()Derivando () obtenemosdy = mdxm =dydx()Sustituyendo () en () tenemos quey = m(x + 1)y = (x + 1)

dydx

ydx (x + 1) dy = 0 43Prof. Jos A. Siles-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-10-5510xyFamilia de rectas con pendiente e intercepto con y iguales4. Rectas con la pendiente y la intercepcin con el eje x, iguales.Solution 4Partiendo de la ecuacin de la pendientem = y2y1x2x1adems sabemos que la pendiente y la intercepcin con el eje x son iguales.Si (x; 0) es el intercepto con el eje x entonces (x; 0) = (m; 0) : Evaluando estepunto en la frmula para la pendiente, obtenemosm =y0xmy = m(xm) ()Derivando () obtenemosdy = mdxm =dydx = y0()4Prof. Jos A. SilesSustituyendo () en () obtenemosy = m(x m)y = y0 (x y0)y = y0x (y0)2(y0)2= y0x y 4-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-20-15-10-55xyFamilia de rectas con pendiente e intercepto con el eje x iguales.5. Rectas con la suma algebraica de los interceptos iguales a k:Solution 5La recta cuyas intercepciones con los ejes x y y son a 6= 0 y b 6= 0; respecti-vamente, tiene por ecuacinxa + yb = 1de aqu es fcil deducir queay + bx = ab ()recordemos que a+b = k (la suma algebraica de los interceptos iguales a k),entonces escribamos a en trminos de b y k; esto es a = kb; y sustituyamosen ()(k b) y + bx = (k b) b ()5Prof. Jos A. Silesderivando sta ltima ecuacin(k b) y0 + b = 0despejando para bky0by0 + b = 0ky0= b (y01)b =ky0(y01)()Sustituyendo () en () y resolviendo, obtenemos(k b) y + bx = (k b) b

k ky0(y01)

y +

ky0(y01)

x = k ky0(y01)

ky0(y01)

ky0k ky0(y01)

y +

ky0(y01)

x = ky0k ky0(y01)

ky0(y01)

ky(y01) +ky0x(y01)= k(y01)

ky0(y01)

ky + ky0x(y01)=k2y0(y01)2k (y + y0x) (y01) = k2y0(y0x y) (y01) + ky0= 0 4-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-101020xy6Prof. Jos A. SilesFamilia de rectas con la suma algebraica de los interceptos iguales a k6. Rectas a la distancia p del origen.Solution 6La distancia dirigida d de la recta dada Ax+By +C = 0 al punto p1 (x1; y1)se obtiene por la frmulad = Ax1 + By1 + C

pA2 + B2El punto a considerar es el origen esto es p1 (0; 0) ; evaluando este punto enla frmula anterior obtenemosp =A(0) + B (0) + C

pA2 + B2p =C

pA2 + B2Despejando Cp =C

pA2 + B2C = (p)

pA2 + B2

()Sustituyamos () en la ecuacin de la recta, como sigueAx + By + C = 0Ax + By +

(p)

pA2 + B2

= 0 ()Derivando () y despejando A tenemosAx + By +

(p)

pA2 + B2

= 0Adx + Bdy = 0A = BdydxA = By07Prof. Jos A. SilesSustituyamos A = By0 en ()Ax + By +

(p)

pA2 + B2

= 0(By0) x + By +

(p)

q(By0)2+ B2

= 0(By0) x + By =

(p)

q(By0)2+ B2

B(y0x y) = (p)

pB2 (y02 + 1)

B(y0x y) = (B)

(p)

p(y02 + 1)

(y0x y)2= (p)

p(y02 + 1)

2(y0x y)2= p2

y02+ 1

47. Circunferencias con centro en el origen.Solution 7La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuacinx2+ y2= r28Prof. Jos A. SilesDerivando la ecuacin anterior tenemos2xdx + 2ydy = 0xdx + ydy = 0x = ydydx y0y = x 49Prof. Jos A. Siles8. Catenariay = c cosh xc(0)Solucin 8Derivando la ecuacin original, resultay = c cosh xcdydx= c

sinh xc

1c

dydx= sinh xc(1)Multiplicando ambos lados por sinh1para despejar csinh1

dydx

= sinh1

sinh xc

sinh1

dydx

=xcPodemos aplicar, en la ltima expresin, la identidadsinh1x = ln

x +px2 + 1

Luego c es igual asinh1

dydx

= xc !c =xsinh1

dydx

c =xln

dydx +r

dydx

2+ 1! (2)1Prof. Jos A. SilesPor otro lado consideremos la identidadcosh2x sinh2x = 1sinh2x = cosh2x 1 (3)Comparemos (3) con (1)dydx= sinh xc_dydx_2= cosh2 xc 1_dydx_2+ 1 = cosh2 xc__dydx_2+ 1 = cosh xc(4)Sustituyendo (2) y (4) en (0) resultay = c cosh xcy =__xln_dydx +__dydx_2+ 1_______dydx_2+ 1__y__ln__dydx +__dydx_2+ 1____= x__dydx_2+ 1 (5)(5) Es la ecuacin buscada.2Prof. Jos A. SilesFamilia de Catenarias-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-2246810xy3Prof. Jos A. Siles