Ecuacion diferencial lineal

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

ECUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE: JULIO ROMERO

44

3.2.2 La Ecuación Diferencial Lineal De Primer Orden Una ecuación que puede escribirse en la forma

xQyxPdx

dy (10)

Donde xQxP y son funciones dadas de x se llama una ecuación diferencial

de primer orden lineal. Es fácil verificar que la ecuación tiene como factor

integrante a dxP

e

, puesto que al multiplicar ambos lados de (10) por este factor

se obtiene

yPdx

dye

dxP

QedxP

dxP

e

(11)

lo cual es equivalente a

PdxPdx

eQeydx

d (12)

Esto es cierto debido a que si usamos la regla del cálculo para la diferenciación de un producto, el lado izquierdo de (12) es

PdxPdxPdxPdxPdxPdxPdx

eyPdx

dye

dx

dyePey

dx

dyee

dx

dyey

dx

d

esto es, el lado izquierdo de (11). De (12) obtenemos por integración la solución.?

cdxeQeyPdxPdx

(13)

Observación. No hay necesidad de memorizar (13). Es mucho mejor usar

el factor integrante Pdu

e , multiplicar la ecuación dada (10) por este factor y

luego escribir el lado izquierdo como la derivada del producto de con y como en

(12). EJEMPLO ILUSTRATIVO 5

Resuelva: 505 ydx

dy

Solución: Esto está en la forma (10) con 5P , 50Q Un factor integrante es el

,55 xdx

ee Multiplicando por ,5xe podemos escribir la ecuación como

xx eyedx

d 55 50

esto es




45

cey xx 55 e 10 ó xecy 5 10

Se podría haber usado también el método de separación de variables. EJEMPLO ILUSTRATIVO 6

Resuelva: 1052

10

t

I

dt

dI

dado que 0I donde 0t .

Solución: La ecuación tiene la forma (10), remplazando con y con . Un

factor integrante es

552ln52ln5 52

552/ 10

teee tttdt

multiplicando Por

552 t , encontramos.

55521052 tIt

dt

d o cTtI

6552

6

552

Colocando 0I y 0t en la ecuación, tenemos

Así

5526

125.7852

6

5

ttI

Realmente no hay necesidad de considerar (10) como una nueva ecuación puesto que pertenece a. una categoría ya considerada, la categoría de ecuaciones con un factor integrante el cual es una función de sólo una variable. A pesar de esto, la forma en la cual (10) aparece ocurre tan frecuentemente en aplicaciones prácticas, y el método de solución es tan simple, que vale la pena llegar a estar familiarizado con ella. Sin embargo, si el estudiante no puede reconocer que una ecuación particular tiene la forma (10) puede estar seguro que el método de los factores integrantes de una variable si funcionará. Por ejemplo, considere la ecuación

0 33 dyyxdxy

la cual discutimos en el Ejemplo ilustrativo 2. Si se nos ocurre reconocer que esta ecuación se puede escribir como

y

y

y

x

dy

dx 33

la cual está en la forma (10) con y intercambiados, podemos resolverla como una ecuación lineal. (Ver Ejercicio 3A). En otro caso podemos buscar un factor integrante que involucre una sola variable. Para mostrar que este método es aplicable escribirnos (10) como

0 dydxxQyxP

Entonces N = 1,

),(xQyxPM 1N , ,xPy

M

,0

x

N




46

Ahora xPxP 10 es una función de x sólo, y así dxxP

e es un factor

integrante EJEMPLO ILUSTRATIVO 7

Resuelva:

Solución:

(1)

La ec (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden:

( ) ( )

Con ( )

De tal modo que el factor integrante es:

∫ (2) Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2)

(

)

(3)

Como el miembro izquierdo de (3) es el desarrollo de la derivada del producto , se tiene:

( ) ( )

( )

∫ ( ) ∫

(4)

Como ( ) : dominio de y ( ) dominio de , los coeficientes son continuos en todo ; y de (4) se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es:

, ( )




47

EJEMPLO ILUSTRATIVO 8

Resuelva:

Solución:

(1)


( ) ( )

Con

( ) De tal modo que el factor integrante es:

∫ (2)

Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2)

(

)

(3)

Como el miembro izquierdo de (3) es el desarrollo de la derivada del producto

, se tiene:

( )

( )

( )

∫ ( ) ∫

( )

( )

(4)

Como ( ) : dominio de y ( ) dominio de , los coeficientes son continuos en todo ; y de (4) se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo de solución es:

( )

, ( )




48

3.2.2.1 Problemas de aplicación Problema de aplicación 1: Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? Solución: Sea

De tal manera que

( ) (1) Como

( ) (2) De (1) se tiene

( ) ( )

(3) Luego la ecuación (1) queda de la forma

( ) (4)

En años la población se duplicó

( ) (5)

(6)

La función que da la población en función del tiempo es ( )

(7) Cuando la población se triplica queda

Cuando la población se cuadruplica queda




49

La respuesta al problema es que la población se triplicará aproximadamente 7,9 años, y se cuadruplicará a los 10 años. Problema de aplicación 2: En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes ¿cuál era la cantidad inicial de bacterias? Solución: sea

De tal manera que

( )

( )

( ) (1)

Como la cantidad de bacterias inicial es

( ) (2)

De la ecuación (1) en

( ) ( )

(3) Sustituyendo (3) en (1)

( ) (4)

Teniendo en cuenta que en horas hay individuos

( ) (5)




50

Sustituyendo en (4)

( ) ( )

(

) (6)

Además, teniendo en cuenta que en horas hay individuos ( ) (7)

Sustituyendo en (4)

( ) ( )

(

) (8)

De (6) y (8) tenemos

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

La respuesta del problema es que la cantidad inicial de bacterias era de 201 Problema de aplicación 3: En el Pb-2009, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un período medio de vida de 3.3 horas. Si al principio había un gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%) Solución: Sea

De tal manera que, la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente, esto es

Resolviendo tenemos




51

( ) (1)

Como la cantidad de Pb-2009 en es (2)

Aplicando la condición cuando en (1)

( ) ( )

( )

(3) Luego la ecuación (1) queda de la forma

( ) (4)

En se desintegra la mitad del PB-2009 esto es

( ) (5)

Sustituyendo en (4)

( ) ( )

( ) ( ) (6)

Sustituyendo (6) en (4)

( ) (7) Necesitamos averiguar cuánto tiempo se necesita para que se desintegre el 90% de Pb-209, es decir para que la cantidad presente sea el 10% o 0.1 del original.

( )

La respuesta del problema es para que se desintegre el 90% de Pb-204, se necesitan, aproximadamente 11 horas.




52

Problema de aplicación 4: Un termómetro se saca de un recinto donde la

temperatura del aire es de y se lleva al exterior, done la temperatura es de . Pasado medio minuto el termómetro indica ¿cuál es la lectura

cuando ? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a

? Solución: La Ley de enfriamiento de Newton establece que en un cuerpo que se enfría, la rapidez con que la temperatura del cuerpo cambia en el tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio ambiente que lo rodea. Es decir, si es una constante de proporcionalidad.

( )

Pero, en el presente problema se tiene que , ahora

( )

( )

( )

( ) (1)

Aplicando la condición para ( ) (2)

Sustituyendo en (1)

( ) ( )

(3)

Sustituyendo en (3) en (1)

( ) (4) Al aplicar la condición

( ) (5) Sustituyendo en (4)

( ) ( )

(6)




53

Sustituyendo el valor de dado por (6) en (4), se obtiene:

( ) (7)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) Para calcular el tiempo en que la temperatura sea de , se sustituye en (7):

La respuesta al problema es que al cabo de un minuto la temperatura del termómetro es de el termómetro llega a en 3.06 minutos.




54

Problema de aplicación 5: Análisis de un circuito RC

CIRCUITO RC

Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia. Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero.

Carga de un condensador

Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a cargar. Una vez que se alcanza la carga máxima la corriente cesa en el circuito.

Fuente de

poder

C.D

Batería

+ -

Capacitor

Resistencia

Interruptor




55

En el circuito de la figura tendremos que la suma

El extremo a tiene un potencial mayor que el extremo b de la resistencia R ya que la corriente fluye de a a b. De acuerdo a la ley de Ohm

La placa positiva del condensador b tiene mayor potencial que la placa negativa c,

de modo que

El terminal positivo de la batería a tiene mayor potencial que el terminal negativo c, de modo que , donde Ve es la fem de la batería

La ecuación del circuito es

Teniendo en cuenta que la intensidad se define como la carga que atraviesa la

sección del circuito en la unidad de tiempo,

tendremos la siguiente

ecuación para integrar

∫

( )

∫

( ) ( )

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la intensidad en función del tiempo

( )

La carga tiende hacia un valor máximo C·Ve al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.




56

La intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta que se hace cero cuando se alcanza la carga máxima.

La cantidad RC que aparece en el denominador de t se denomina constante de tiempo del circuito. Este representa el tiempo que tomará a la corriente para decrecer hasta 1/e de su valor inicial.

La analogía hidráulica de la carga de un condensador es un tubo-capilar alimentado por un flujo constante producido por un frasco de Mariotte.

Descarga de un condensador

Consideremos ahora el circuito que consta de un condensador, inicialmente cargado con carga Q, y una resistencia R, y se cierra el interruptor I.

La ecuación del circuito será la siguiente.

Como la corriente va de a hacia b, el potencial de a es más alto que el potencial

de b. Por la ley de Ohm .

En el condensador la placa positiva a tiene más potencial que la negativa b, de modo

que

.


La ecuación diferencial es

Ecuación diferencial lineal

(1)




57


( ) ( )

Con

( )

( ) ∫ ( ) [ ∫ ( ) ∫ ( ) ]

De tal modo que el factor integrante es:

∫

(2)

Multiplicando cada término de (1) por el factor integrante (2)

(

)

(3)

Como el miembro izquierdo de (3) es el desarrollo de la derivada del producto

, se tiene:

(

)

(

)

(

)

∫ (

)

( )

(4)

Aplicando las condiciones: ( ) y ( )

Para la condición

( )

( )

Para la condición

( )

(4)

De aquí que , ya que es la carga inicial del capacitor que es diferente de cero. Entonces para que la igualdad en (4) se cumpla es necesario que

Esto solo es posible si

en otras palabras este factor es




58

Se concluye que la solución general de la ecuación diferencial y su intervalo

de solución es:

( )

Otra forma de solucionar el problema es usando el método de variables separables, esto es


La ecuación a integrar es

∫

∫

De donde se obtiene

( )

La carga del condensador disminuye exponencialmente con el tiempo. Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la intensidad

( )

que disminuye exponencialmente con el tiempo.




59

Carga y descarga de un condensador

Cuando el circuito RC se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de carga y descarga.

Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal la fem tiene un valor constante e igual a V0. El condensador se carga durante un tiempo P/2.

La carga q1 final del condensador en el instante t=P/2 se calcula a partir de la fórmula

( ) ( )

En el instante t=P/2 la fem se hace cero, el condensador se descarga. La carga del condensador q2 en el instante t=P se calcula a partir de la fórmula,

( ) (

)




60

En el siguiente proceso de carga, la integración no es entre los límites 0 y q, sino entre la carga remanente q2 y q.

∫

( )

∫

( )

Calculamos la carga final q3 en el instante t=P+P/2. Y así, sucesivamente.




61

Problema de aplicación 6: Proyecto de aplicación de un circuito RC

Problema de Aplicación: Medida de la velocidad de una bala

Fundamentos teóricos

Antes de disparar la bala se carga el condensador C con una batería de tensión V0. Y se observa la tensión que marca el voltímetro (en color amarillo). La bala rompe el circuito en A, y desconecta la batería por lo que el condensador C empieza a descargarse a través de la resistencia R. Como demostramos en la página anterior, cuando un condensador se descarga, la carga del condensador disminuye exponencial mente con el tiempo, luego, la diferencia de potencial V entre las placas del condensador disminuye de forma exponencial con el tiempo.

( ) (

) (1)

Donde al producto R·C se denomina constante de tiempo del circuito. Esta descarga prosigue hasta que la bala rompe el circuito en B. El tiempo transcurrido es el cociente entre la distancia x que separa los dos conductores rotos y la velocidad de la bala

(2)




62

Problema de aplicación 7: Análisis de un circuito RL

CIRCUITO RL

FUNDAMENTOS FISICOS

Autoinducción

En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.

Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i.

1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère

2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.

( )

3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio F y la intensidad i.




63

Del mismo modo que la capacidad, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío

La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.

f.e.m. autoinducida

Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una f.e.m. en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.

Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio

La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.

Establecimiento de una corriente en un circuito

Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor, la corriente no alcanza instantáneamente el valor V0/R dado por la ley de Ohm, sino que tarda un cierto tiempo, teóricamente infinito, en la práctica, un intervalo de tiempo que depende de la resistencia.




64

La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L que genera una fem que se opone al incremento de corriente.

En la figura, se muestra un circuito formado por una batería, una resistencia y una autoinducción. Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo.

Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que

Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0.

∫

∫

( )

( )




65

Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy rápidamente.

Caída de la corriente en un circuito

Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la batería, la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea, sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito. De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a la disminución de corriente.

Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es negativa

Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=i0.

∫

∫

( )




66

La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.

Energía del campo magnético

Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética. De la ecuación del circuito

Multiplicando ambos miembros por la intensidad i.

El término R·i2 es la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia. El primer término V0·i es la energía suministrada por la batería. El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.

Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos




67

Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula por la bobina una corriente de intensidad i.

Para un solenoide la energía en forma de campo magnético que guarda en su interior se escribe

(

)

La energía EB es el producto de dos términos: la densidad de energía magnética (energía por unidad de volumen) y el volumen S·l. En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante la siguiente fórmula

∫

La integral se extiende a todo el espacio donde el campo magnético B es no nulo.

Comprobación

Cuando se cierra el circuito

La energía suministrada por la batería hasta el instante t es

∫

∫ (

)

La energía disipada en la resistencia es

∫

La energía acumulada en la autoinducción en forma de campo magnético es

Como podemos comprobar E0=ER+EB

Cuando se abre el circuito y cae la corriente, toda la energía acumulada en la autoinducción se disipa en la resistencia.

La energía inicial acumulada en la bobina, cuando la intensidad es i0




68

Al abrir el circuito la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. La energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia por efecto Joule será

Integrando entre cero e infinito obtenemos la energía total disipada.

∫

∫

Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito

Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos observar en un osciloscopio el proceso de establecimiento y caída de la corriente en el circuito. Una experiencia análoga la efectuamos para verificar el proceso de carga y descarga de un condensador a través de una resistencia.

Como se ve en la figura, durante el primer semiperiodo de la señal, la fem tiene un valor constante e igual a V0. Se establece la corriente en el circuito durante un tiempo .




69

La intensidad en el intervalo 0 es

[ ]

Se calcula la intensidad final i1 en el instante t=P/2. En este instante, la fem se hace cero, la corriente cae en el circuito.

La corriente i en el intervalo P/2<t<P es,

( ) ( )

Se calcula la intensidad final i2 en el instante t=P

La corriente en el intervalo

, se obtiene integrando no entre los límites

y , sino entre la intensidad remanente e .

∫

∫

( )

(

)

( )

Calculamos la intensidad final en el instante

. Y así, sucesivamente.




70

3.2.2.2 Ecuación diferencial de Bernoulli. Demostraremos que la ecuación no lineal

( ) ( )

Puede transformarse en una ecuación lineal usando la sustitución

DEMOSTRACIÓN: La sustitución sugerida nos permite expresar:

( )

Despejando

Dividiendo por

Reemplazando ahora esto en la EDO original se tiene:

( ) ( )

Dividiendo por

( ) ( )

(

) ( ) ( )

( ) ( )

Y, finalmente, multiplicando todo por (1 - n):

( ) ( ) ( ) ( ) (1)

Ésta es una ecuación lineal, que puede ser resuelta siguiendo el procedimiento habitual. Luego, revirtiendo el cambio de variables, se puede obtener la expresión para “y”.




71

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1:

Calcular la solución de 2

32

x

yy

xy

Solución: La ecuación dada, 2

32

x

yy

xy ,es una ecuación diferencial de

Bernoulli ; para transformar esta ecuación en una ecuación lineal es necesario

multiplicar la ecuación por 3y ; de ahí se obtiene lo siguiente:

2

23 12

xy

xdx

dyy

luego la sustitución que se hace es:

dx

dyy

dx

duyxu 32 2)(

De esta manera, la ecuación puede escribirse, para este caso particular:

2

24

xu

xdy

du ; 21 2)(4)( xxQxxP

Luego se tiene que la ecuación diferencial es lineal y se puede resolver aplicando la siguiente fórmula ; es decir:

dxxQecexudxxPdxxP

)( )()()(

Reemplazando nos queda de la siguiente manera:

dxxecexudx

xdx

x 2

44

2 )(

41 5

2)( xcxxu

Finalmente se reemplaza la sustitución inicial que se hizo y nos queda de la siguiente manera:

41

52

121

xCxuy




72

TALLER 3.3 ECUACION DIFERENCIAL LINEAL

EJERCICIOS A. 1. Resuelva

(a) 1x

y

dx

dy.

(b). 23 xyyx

(c). 12 22 yxydv

dxy

(d). xsenxx

y

dx

dy3

2 2

(e). 5)0( ;3 2 IeII t

(f). xxyy coscot'

(g). yx

y3

1

(h). 1 ;1 ;3

rr

d

dr

2. La corriente Z, en amperios, en un cierto circuito eléctrico satisface la ecuación diferencial

teIdt

dI 2 102

Donde t es el tiempo. Si Z= 0 donde t = 0, encuentre Z como una función de t. EJERCICIOS B

1. La ecuación, ,/ nQyPydxdy donde y son funciones sólo de y es una

constante, se llama la ecuación diferencial de Bernoulli y surge en varias aplicaciones. Muestre cómo se resuelve con n=0 y n=1. 2. Si 0n , 1, ninguno de los métodos discutidos hasta ahora sirve. Muestre, sin

embargo, que al cambiar la variable dependiente de a de acuerdo a la

transformación la ecuación nyv 1 puede resolverse.

3. Resuelva 2xyyy por el método del Ejercicio 2.

4. Resuelva. 0 32 dyxxydxy




73

5. Resuelva 243 xyyx (Sugerencia: Haga .)

6. Resuelva el Ejercicio 4 buscando un factor integrante de la forma pp yx , donde p

y q son constantes apropiadamente escogidas.

7. Resuelva la ecuación , nyyay donde ,,a y 1 ,0n son constantes,

como (a) una ecuación de Bernoulli; (b) como una ecuación separable. EJERCICIOS C

1. Muestre que la ecuación diferencial ,ln yyQyPy , donde P y Q son

funciones de , puede resolverse al hacer. vy ln

2. Resuelva. .ln2 2 yyyxyx

3. Muestre que una ecuación lineal con variable independiente se transforma en otra ecuación lineal cuando sufre la transformación ( ), donde es una

nueva variable independiente y es cualquier función diferenciable.

4. Resuelva. 02 ,43 yxeyx y




74

3.2.3 EL METODO DE INSPECCION En el pasaje anterior, se mencionó que un factor integrante de una ecuación diferencial podía algunas veces encontrarse por inspección, un proceso basado en el ingenio y la experiencia. En esa sección evitamos usar el método de inspección para los casos donde el factor integrante involucraba sólo una variable. Sin embargo, en algunos casos los factores integrantes dependen de ambas variables y la “inspección” puede ser útil. El método de inspección generalmente se aplica cuando uno nota ciertos aspectos especiales en la ecuación. EJEMPLO ILUSTRATIVO 7

Resuelva: 0 22 dyxdxyyx

Solución: Todos los métodos estándar discutidos hasta ahora no funcionan para esta ecuación. Sin embargo si escribimos la ecuación como

0 22 dyxdxydxyx

y “se nos ocurre notar” que esto puede escribirse

022

yx

ydxxdydx ó 0tan 1

x

yddx

inmediatamente obtenemos por integración la solución cx

yx 1tan

El estudiante observará que un factor integrante para esta ecuación es

.1

22 yx


Resuelva: 0 22 dyyxydxx

Solución: Escribiendo esto como

dyyx

ydyxdx

22

Podemos notar que el lado izquierdo puede escribirse

22 yxd la ecuación

puede escribirse dyyxd

22 . La integración nos lleva a

cyyx 22 ó 22 2 ccyx

El estudiante también podría haber resuelto este problema al escribir




75

yyx

x

dx

dy

22

y luego usar la transformación vxy

Los siguientes resultados fácilmente establecidos pueden ayudar en la solución de ecuaciones diferenciales por “inspección”.

dx

ydxxdy

2

,x

y

y

xd

y

ydxxdy2




76

TALLER 3.4 ECUACION DIFERENCIAL POR EL METODO DE

INSPECCION

EJERCICIOS A. Resuelva cada ecuación por el método de inspección o por cualquier otro método

1. 0)2( 2 dyxyxydx

2. 0)( 3 dyxyydx

3. 0)( 23 xdydxyxyx

4. 0)()( 23 dyxyxdxyx

5. 0)()( 2222 dyyxydxyxx

6. 0)()( 2222 dyxxydxyyx

7. 0)()( 2222 dyyxydxyxx

8. 0)()( 2332 dyyxyxdxxyyx

EJERCICIOS B

1. Muestre que

2

3

222 )(3

1)( yxdydyxdxyx . Ahora, resuelva

0)()( 2222 dyyxyxdxyxxy

2. Muestre que 3

4)(

3

1

)(

xydxy

ydxxdy Ahora, resuelva

dxyxy )( 45 0)( 54 dyyxx

3. Muestre que yx

yxd

yx

xdyydx

ln

2

122

.Ahora, resuelva

0)()( 2323 dyxyxydxyxyx

EJERCICIOS C Resuelva.

1. 0)22()2( 3223 dyyyyxdxxxyx




77

2. xx

yx

dx

dy

3

2 2

3. 02)2( 22 ydydxxsenxsenxy

4.

dx

x

yyxyx tan)( 22 dy

x

yyxyx

tan)( 22




78

3.3 ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR QUE SE RESUELVEN FÁCILMENTE Ahora ya hemos aprendido cómo resolver algunas ecuaciones de primer orden. para resolver ecuaciones de orden superior, es natural preguntar si ellas pueden de alguna manera ser reducidas a ecuaciones de primer orden, las cuales puedan luego resolverse. Realmente hay dos tipos importantes de ecuaciones de alto orden que pueden resolverse fácilmente de esta manera.

3.3.1 ECUACIONES INMEDIATAMENTE INTEGRABLES Como ya hemos encontrado en el Capítulo uno, la ecuación diferencial más simple que puede surgir es aquella que puede integrarse directamente. Revisemos esto brevemente en el siguiente EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Resuelva: xy IV donde que 0 ,1 ,0 yyyy cuando .0x

Solución: Con una integración de la ecuación dada tenemos 1

2

2c

xy

Puesto que 0y donde x = 0, implica que 01 c . Así, 2

2xy

Integrando de nuevo, obtenemos 2

3

6c

xy

Usando 0y donde 0x , tenemos 02 c . De donde 6

3xy

Integrando de nuevo, encontramos 3

4

24c

xy

Usando 1y donde 0x , tenemos 13 c así, 124

4

x

y

Integrando de nuevo, obtenemos 4

5

120cx

xy

Puesto que 0y donde 0x , 04 c así, xx

y 120

5

Note que la ecuación dada se consideró como una de primer orden en y la

segunda ecuación como una de primer orden en y , etc. Note también que en el

resultado final hemos evaluado cuatro constantes arbitrarias estando de acuerdo con el hecho de que empezarnos con una ecuación de cuarto orden.




79

3.3.2 ECUACIONES CON UNA VARIABLE AUSENTE Este método se aplica cuando una de las variables no aparece en la ecuación. El método es con frecuencia útil en aplicaciones. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2

Resolver: xyxy 4''

Solución: Aquí una de las variables, y, está ausente de la ecuación. El método en este caso es hacer . Entonces , y la ecuación puede escriblrse

xvxv 4' ó xxvdx

d4

La integración da xcxcxxv /2 ,2 1

2

Remplazando v por y , tenemos x

cxy 12 ó 21

2 ln cxcxy


Resolver: 212 yyy

Solución: En este caso falta . Haciendo como antes, encontramos

21' 2 vyv ó 212 vdx

dvy (1)

Desafortunadamente tenemos ahora tres variables vx , y y . Sin embargo,

podemos escribir vdy

dx

dx

dy

dy

dv

dx

dv .

así (1) se convierte en 21 2 vdy

dvvy

Separando variables e integrando, tenemos

,

1

22 y

dy

v

dvv . cyv ln1ln 2

así, 1

21c

y

v

o 11 ycv

esto es, 11 ycdx

dy o

dx

yc

dy

11

La integración da 211 12 cxcyc de donde, y puede obtenerse.




80


Resolver 0 yy .

Solución Haciendo y , podemos escribir la ecuación dada como

,0 ydx

d 0. y

dx

dy

dy

d o 0 y

dy

d

Separando las variables e integrando, encontramos

cdyyd o cy 22

2

1

2

1

Luego escogiendo 22 cc , tenemos 22 yc

esto es, 22

1 ycdx

dy o

dx

yc

dy

2

1

La integración produce 21

1 / cxcysen o

senxccxcsenccxsency 212121 coscos

lo cual puede escribirse xBsenxAy cos




81

TALLER 3.5 ECUACION DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR

EJERCICIOS A. Resolver cada uno de las siguientes ecuaciones sujetas a las condiciones dadas. 1. 10)0(' ),0(;2 yyxy

2. 3

)( xy IV

3. 2)0( ;0)0( ;1)0( ;3 yyysenxy

4. 0)0()0()0( ;2 )( yyyeey xxIV

5. 3)0( ;2)0( ;1)( 2 IIttI

6. 0)0( ;1)1( ;122 yyxyx

7. xyx 13

8 1)0( ;5)0( ;1 yyyy .

9. 2)0( ;3)0( ;04 yyyy

10. 02 yyx

11. y 0y

12.

13. 1)( 2 yy

14. )1( yyy

15. xyxy

EJERCICIOS B

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones sujetas a las condiciones indicadas

1. 0)1()1()1( ;0)1( ;ln)( yyyyxy IV

2. 0)0()0()0()0( ;)1( ;2 )()()( IVIVV yyyyyxyy

3. 1 yy

4. 32 )()( yy

5. 0 yy

6. 0)(1 2 yyy

7. 122 yxyx




82

EJERCICIOS C

1. Si 3/4 yy y 42 y , 02 y , halle 4y

2. Resolver 2

32

1 yy e intérprete geométricamente.

3 . Resolver 12

2

2

2

dy

xd

dx

yd

4. Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier

punto yx, es siempre igual a senx . Si la curva tiene pendiente cero en el punto,

0,0 , ¿Cuál es su ecuación?

5. Trabaje el Ejercicio 4 si senx se remplaza por x2 .




83

3.4 LA ECUACIÓN DE CLAIRAUT Una ecuación de primer orden que presenta propiedades interesantes está dada por

yfyxy ' (1)

Y es conocida como la ecuación diferencial de Clairaut en honor al matemático

quién primero investigó estas propiedades. Supondremos que yf define una

función diferenciable de y

Ejemplo. 22)(1 ;tan' ;' yyxyyyxyyyxy son todas

Ecuaciones De Clairaut.

Para resolver (1), digamos primero y para obtener

)( fxy (2)

luego diferenciando ambos lados de (2) con respecto a x se obtiene

' )(' ' fxy o 0)( fx .

Dos casos surgen de la última ecuación. Caso 1. 0 . En este caso tenemos, al integrar, c , donde es cualquier

constante. Luego remplazando por c en (2) obtenemos.

)(cfcxy (3)

Es llamativo que (3), la cual se obtiene directamente de la ecuación diferencial

dada (1) al remplazar simplemente por , produzca la solución general de (1), como se puede verificar por sustitución. Caso 2. )(' ufx . En este caso tenemos, usando (2),

0)(' fx )( fxy

De lo cual )(fx )()( fy (4)

Las ecuaciones (4) son ecuaciones paramétricas para una curva donde es el

parámetro. Esta curva da una solución a (1). Sin embargo, puesto que ésta no es un caso especial de la solución general (3), es una solución singular. Para ilustrar el procedimiento y obtener alguna idea concerniente a la relación entre la solución singular y la general, consideremos el siguiente




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EJEMPLO ILUSTRATIVO

Resolver: .' 2

yyxy .

Solución: Como antes, sea vy de modo que 2 xy . Luego derivando con

respecto a x se obtiene

2xy o 0) 2( x

Entonces hay dos casos.

Caso 1. 0 En este caso c , el cual sustituido en .2 xy la solución

general 2ccxy (5)

Caso 2. 02 x .En este caso obtenemos de 02 x y .2 xy

las ecuaciones paramétricas

, 2x ,2y o 4

2xy (6)

Eliminando . Puesto que esto satisface la ecuación diferencial dada y no es un

caso especial de (5), es una solución singular. La relación entre la solución singular y la solución general puede ser vista en la

Figura 3.4.1. En esta figura hemos mostrado el gráfico de .4/2xy , la cual es

una parábola, junto con gráficos de 2ccxy para varios valores de c, las cuales

representan líneas tangentes a .4/2xy La parábola .4/2xy , la cual

“envuelve” todas las tangentes 2ccxy es por obvias razones llamada

envolvente de la familia de líneas tangentes. Por la ecuación general de Clairaut (1), la solución singular (4) representa la envolvente de la familia de líneas rectas (3), las cuales a su vez son líneas tangentes a la envolvente. Es posible obtener la envolvente directamente de esta familia. El teorema fundamental de existencia-unicidad del Capítulo uno también puede proporcionar guías a la presencia de soluciones singulares y sus conexiones con soluciones generales. Refiriéndonos a la ecuación de Clairaut en el Ejemplo

ilustrativo anterior, por ejemplo, vemos al resolver para que hay dos valores,

2

42 yxxy

2

42 yxxy

(7)

Considerando la primera ecuación en (7), notamos que la derivada parcial con

respecto a del lado derecho es yx 4/1 2 , y es real, simple valorada y continua




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sí y sólo sí

, la cual describe geométricamente la región por encima de la

parábola de la Figura 3.4.2. Dado un punto, digamos (1, 2), en esta región, vemos

de la solución general 2ccxy que 022 cc

Figura 3.4.1 Figura 3.4.2

2- ,1c ; esto es, xyxy 24 ,1 . De éstas, solamente 2 ,1 xxy ,

satisface la primera ecuación de (7), mientras que , 2 ,1 xxy satisface la

segunda ecuación de (7) acorde con el teorema de existencia-unicidad. De manera similar podemos mostrar que 4 ,24 xxy , es la única solución

de la segunda ecuación en (7) que pasa por (1, 2), mientras, 4y 4 ,2 xx es

la única solución de la primera ecuación. La situación se indica en la-Figura 3.4.2. Los conceptos descritos anteriormente para la ecuación de Clairaut sirven para indicar algunos principios guías en relación a las soluciones para tipos más generales de ecuaciones. Para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, habrá usualmente una solución general en ciertas regiones restringidas como lo garantiza el teorema de existencia-unicidad. Soluciones singulares, si ellas ocurren, deben manifestarse ellas mismas en las fronteras de tales regiones. En algunos casos ellas pueden ser vistas desde ciertos factores que pueden llegar a ser cero o infinito.




86

TALLER 3.6 ECUACION DIFERENCIAL DE CLAIRAUT

EJERCICIOS A.

Obtenga la solución general y singular para cada uno de los siguientes

1., 2)(yyxy 2. 2)(41 yyxy

3. yyxy tan 4. 2)(1 yyxy

EJERCICIOS B

1. (a) Muestre que la ecuación diferencial para la familia de líneas rectas 3ccxy

es 3)(yyxy . (b) Muestre que la envolvente de la familia 3ccxy es también

una solución de la ecuación diferencial en (a). ¿De qué clase es?

[Sugerencia: La envolvente de una familia de un parámetro 0),,( cyxF , si existe,

se puede encontrar de la solución simultánea de 0),,( cyxF y 0/),,( ccyxF

Se puede obtener la envolvente directamente de la ecuación diferencial? 2. Use el método del Ejercicio 1 para obtener las envolventes en (a) Ejemplo ilustrativo de este pasaje. (b) Ejercicio 1A. (c) Ejercicio 2A. (d) Ejercicio 3A. (e) Ejercicio 4A.

3. Muestre que 2ccxy es tangente a 4/2xy

4. Muestre que la curva definida por las ecuaciones paramétricas (4) vistas en esta sección representa una solución de (1). También muestre que las líneas

)(cfcxy representan líneas tangentes a esta curva; esto es, la curva es la

envolvente de la familia de líneas tangentes.

5. La solución general de 3/23yy está dada por 3cxy y la solución singular

es 0y . Examine la relación entre estas soluciones desde el punto de vista de las

envolventes.

6. Encuentre la solución general y singular de yy




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EJERCICIOS C

1. Muestre que la ecuación xyxyy 22 sec)(tan se puede reducir a la ecuación

de Clairaut con el uso de la transformación senxz , y resuelva así la ecuación.

2. Resolver

dy

dx

dx

dyxy

2

Ecuacion diferencial lineal

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