トレーサー 16年間のアンケート調査から見た 我が国におけ …1．はじめに 日本核医学会 PET 核医学委員会と日本アイソ トープ協会医学・薬学部会ポジトロン核医学利用専
講義録 原子核実験とビーム光学 - Tohoku University...
63
核 ーム 学 大学 14 11 : 第 0 : 14 、 大学 学 核 学 一 して、 大学 によって われた ま め ある。 を いた 核 ーム 学 一 に れ 、 ノートを に するように している。 に して き をそ まま しているが、 めて する ある。 、 に たって 核 （サイクロトロン ） 園 、 を ました。 15 大学サイクロトロンラジアイソトープセンター ( 学 核 学 ) 1
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講義録原子核実験とビーム光学
九州大学名誉教授森信 俊平
平成 14年 11月 : 第 0版
序 :
本報告書は平成 14年秋、東北大学理学研究科の核放射線物理学講義の一環として、九州
大学名誉教授の森信俊平氏によって行われた講義のまとめである。
加速器を用いた原子核実験でのビーム光学の設計の一助になればと、講義ノートを忠実に
再現するように清書している。
図等に関しては森信氏の手書きの図版をそのまま借用しているが、校正も含めて次の版で
は整備する予定である。
尚、清書に当たっては核放射線物理講座（サイクロトロン加速器研）の園田哲、後藤敦志
両君の協力を得ました。
平成 15年夏
東北大学サイクロトロンラジアイソトープセンター
(理学研究科核放射線物理学講座)
篠 塚 勉
1
目 次
1 粒子束に対する電磁場の収束、分散効果 4
1.1 軸対称系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 軸対称磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 軸対称電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 面対称系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 一様場、para-axial ray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 扇形場、場の外に源、収束点を出す . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 立体集束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 高次集束の問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 分布を持つ場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 面対称系の一般的取り扱い 21
2.1 前提 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 粒子の運動方程式とその取り扱い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 座標系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 position vector ~X の l による微分を t による微分に書き直す . . . . 24
2.2.4 場の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.5 軌道の微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 微分方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Transfer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 光学的性質と Transfer Matrix element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 一次近似解の一般的な性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 高次収差の補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Fringing fieldの取り扱い 45
4 原子核実験に現れる光学的補正 50
4.1 Kinematical Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Dispersion Mathing( 分散整合) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Kinematical Dispersion matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2
4.4 非電磁場光学要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3
1 粒子束に対する電磁場の収束、分散効果
1.1 軸対称系
1.1.1 軸対称磁場
~B = Br~e + Bθ~f + Bz~g = (~e, ~f,~g)
Br
Bθ
Bz
Bθ = 0 coil field
Bθ 6= 0 troidal field
Coil field の場合
div ~B =Br
r+
∂Br
∂r+
∂Bz
∂z= 0
(rot ~B)θ =∂Br
∂z− ∂Bz
∂r= 0
z軸の囲りで rについてBr, BzをTailor展開して上式を満たすようにすると
Bz(r, z) =∞∑
n=0
(−)n
(n!)2(r
2)2nB2n
(z)
Br(r, z) =∞∑
n=0
(−)r
(n!)(n− 1)!(r
2)2n−1B2n−1
(z)
但し B(m)(z) は、軸上磁場Bz(θ, z)の zに関するm回微分
(軸上の磁場を用いて軸外の場を表現可)
運動方程式
4
d
dt(m~v) = e~v× ~B
r − rθ2
1
r
d
dt(r2θ)
z
=
e
m
rθBz
zBr − rBz
−rθBr
~e~f
~g
(ドットは時間微分)
~vとの内積=0 → r2 + (rθ)2 + z2 = const (energy 保存)
r = −(e/m)2(1
4B(z)2r + · · · · ·)
z = −(e/m)2(0 +1
4B(z)B
′(z)r2 + · · · · ·)
θ = −(e/m)(1
2B(z)− 1
16B′′(z)r2 + · · · · ·)
近軸粒子線 (para-axtial ray)を考える。進行方向 z軸方向
r 小、r
z小、 1st order eq.
r = −1
4(e/m)2B(z)2r
z = 0 → v = z、dt =1
vdz
d2r
dz2= −1
4(
e
mv)2B(z)2r ← rに比例した中心軸方向へ力
thin lens の場合（源は磁場外) rはほぼ不変
角度変化 = [dr
dz]outin = −1
4(
e
mv)2
∫ ∞
−∞B(z)2rdz
≈ −1
4(
e
mv)2r
∫ ∞
−∞B(z)2dz = −Fr
角度変化が変位に比例する。lensの入り口で (rθ, θ0) 、出口で (r, θ)とすると
{ r = r0
θ = θ0 − Fr0
or
(r
θ
)=
(1 0
−F 1
)(r0
θ0
)
5
角度変化が変位に比例する場合の光学レンズとの対比
r0 = aθ
θ = θ0 − Fr0 = (1− aF )θ0
b = −r0
θ= −a
θ0
θ
変位に比例した角度変化 → 光学レンズと同等1
a+
1
b= F ≡ 1
f
f =1
F;焦点距離 f =
4(mv
e
2
)∫∞−∞ B(z)2dz
mv
eについて
強さBの一様磁場内の円軌道半径を ρとするとmv
e= Bρ → 運動量の代わりに”Bρ”を用いることが便利
Bρの同じ粒子 z=b, r=0 に収束
Bρの異なる粒子 z=b, r6=0 に分散
長いソレノイド
r = −(eB
2m)2r
z = 0
θ =eB
2m
→
d2r
dz2= −(
eB
2mvz
)2r
dθ
dz=
eB
2mvz
α :粒子放出角
6
r = D sin(α) sin(θ), D =2mv
eB=
2Bρ
B
θ =z
D cos(α)
dr
dρ= 0 :収束 → tan(θ)
θ= − tan2(α)
(r 6=で収束 : ringfocus)
pointfocusへの改良
r大なる所で場を弱くする。B′′
> 0
1.1.2 軸対称電場
Er = b0(z) + b1(z)r + b2(z)r2 + · · ·Ez = a0(z) + a1(z)r + a2(z)r2 + · · ·
a2m+1 = 0 a2m =φ
(2m+1)(z)
22m(m!)2
b2m = 0 b2m+1 = (−1)m+1φ
(2m+2)(z)
22m+1(m + 1)!m!
φ(m)(z) : z軸上に potential φ(z)のｚに関するm回微分
運動方程式
m(r − rθ2 = eEr
m
r
d
dt(r2θ) = eEθ = 0 → lz = mr2θ2 = const
mz = eEz
lz = 0の場合
r =e
mEr =
e
m{−1
2φ′′r +
1
16φ′′′r3 + · · · }
z =e
mEz =
e
m{φ′ − 1
4φ′′′r2 + · · · }
7
1st order eq.
d2r
dz2+
eφ′
2(eφ + T0)
dr
dz+
eφ′′
4(eφ + T0)r = 0
short lenz, 平行ビーム (drdz∼ 0)を考えると
[dr
dz
]out
in
= −∫ ∞
−∞
eφ′′
4(eφ + E0)dz · r → f =
1∫∞−∞
eφ′′
4(eφ + E0)dz
収束作用は φ′′に依る。eφ′′ > 0収束、eφ′′ < 0発散
φ′′ 6= 0 は漏れ電場の効果
φ′′ = 0 の場合。（一様電場） φ′ = const, φ = φ′z
dr
dz=
√E0√
eφ + E0
tan θ tan θ =dr
dz|z=0 , r0 = r(z − 0)
r = r0 + tan θ
∫ z
0
E0√eφ′z + E0
dz = r0 +2√
E0
eφ′tan θ(
√Ef )−
√E0
(r
θ
)=
1
2E0
eφ(
√Ef
E0
− 1)
0√
E0
(r0
θ0
)
8
軸対象加速管の場合
入り口 (出口も同様）
d2r
dz2+
eφ′′
4(eφ + E0)r = 0 → 1
f=
1
4
∫ ∞
−∞
eφ′′
eφ + E0
rdz
eφ + E0 ≈ E0 (出口は eφ + E0 ≈ Ef ) , r ∼ const として
1
fentrance
=1
4E0
∫ ∞
−∞eφ′′dz =
eφ′inner
4E0
=eV
4E0l=
N − 1
4l
(N =
E0 + eV
E0
=Ef
E0
)
1
fexit
= −N − 1
4Nl
入り口での粒子座標 r0, θ0、出口で r, θ とすると
(r
θ
)=
1 0
N − 1
4Nl1
12l√
N + 1
01√N
1 0
−N − 1
4l1
(r0
θ0
)
出口レンズ (凹) 一様加速 入り口レンズ（凸）
実際には fent , exit → ξfent , exitの形で補正
経験式 ξ = a +d
f(d : 開口直径)
a = 1.0 , b= 0.57
9
1.2 面対称系
1.2.1 一様場、para-axial ray
円軌道の場合 ( 半径 ρ0 =p
eB)
x = 2 sinθ
2sin(Θ+
θ
2)+
√1− 4 sin2 θ
2cos2(Θ +
θ
2)−1
θ ¿ 1 ( para-axial ray ) の場合
x ∼ (sin Θ)θ +1
2cos Θ(1− cos Θ)θ2
Θ = π でdx
dθ= 0 → 収束 , x∗ ∼ −θ2 （収束のボケ）
異なる運動量 p = p0(Hδ) → ρ = ρ0(Hδ) → x∗ = −x0 + 2δ ← 分散
倍率 = −1
分散 = 2 (or 2ρ0)
分解能 =分散像巾
=2R0
x0
軸対称系と較べて、分散の利用のしやすさあり
立体収束無し
1.2.2 扇形場、場の外に源、収束点を出す
場をΘ の位置で切断O1 に対する O2 の傾き (一次)
1
ρ0
dx
dΘ= (cos Θ)θ
ρ1ρ2 = ρ0 sin Θ · θ
l = −ρ0(sin Θ)θ
(cos Θ)θ= −ρ0 tan Θ
= ρ0 tan(π −Θ)
l は θに依らず収束 SOF は同一線上
同様のことは入り口側でも成り立つ
10
Θ1 + Θ + Θ2 = π
Barber’s rule
場の取り方に角度のある場合出射位置による角度の違い
∆Θ ≈ x tan α = sin Θ tan α · θ
P1F に対する P2F の傾き
cos(Θ + ∆Θ)θ −∆Θ ≈ {cos Θ + sin Θ tan α} θ
l = − sin Θ
cos Θ− sin Θ tan α=
− tan Θ
1− tan Θ(ρ0 ≡ 1)
=tan(π − Theta)
1 + tan(π −Θ) tan α
tan(π −Θ) = l + l tan(π −Θ) tan α
P1A : 境界の法線FA : 光軸に垂直前式より、A, G2は SO上にある。( P1G1 =
P1G2)
Cartan の作図( J. Phys. of radium 8 (’37) 453 )
A : 源 Sから光軸に立てた垂線と入り口境界法線との交点B : 収束点 Fから光軸に立てた垂線と出口境界法線との交点。AOBは同一直線上
斜境界の効果
光軸に対する角度を−∆Θだけ変える。
dx
dz= −∆Θ = −x tan α
11
従って、焦点距離1
tan αのレンズを置いたことと同等。
(Axially symmetric system )
(出口開放型の電場にはこの効果は無い)
1.2.3 立体集束
以上は立体集束の考慮なし。
• 境界に垂直に入射する時”y”方向集束は無い。粒子が受ける力は常に中心軌道面に
平行。
• 斜境界の場合、漏洩磁場は中心軌道に平行でない力を粒子に与える。
my = e(vzBx − vxBz)
Bx = 0
vx = z tan α
my = −eBz z tan α
漏洩場、磁極近傍のみin : 磁極外、out : 境界部通過後
[y]outin =
e
mtan α
∫ out
in
Bzdz∮
ABCD
Bds = 0
[y]outin = −eB
mtan αy dt ∼ ds
v[dy
ds
]out
in
=eB
mvtan αy = tan αy
(eB
mv= ρ = 1)
偏向角は偏位 y に比例（薄肉レンズ）
レンズ焦点距離 = − 1
tan α立体集束のもう一つの方法
磁場不均一化
12
B = B0(1 + nx + nx2 + · · · )extended Barber’s rule(ikegami)
Θ′ = (1 + n)12 Θ , l′1,2 = (1 + n)
12 l1,2 ,
Θ′′ = n12 Θ , l′′1,2 = n
12 l1,2
x : tan−1 l′1 + tan l′2 + Θ′ = π
y : tan−1 l′′1 + tan l′′2 + Θ′′ = π
1.2.4 高次集束の問題
pararell - point
Smythe P.R. 45 (’34 ) 724
point - point
U.H. Hintenberger,
Z. Naturforshung 39 (’48 ) 125
L. Kerwin, RSI 20 (’49) 36
21 (’50) 96
境界は曲線となる
２次収差までは曲線を 2次曲線で近似可能。（電場にも中心面と直交する面内で考えられ
る効果）もう一つの方法
磁場分布の不均一化
13
14
1.2.5 分布を持つ場
立体集束→ 斜入出射不均一場斜入出射
出入り口にρ
tan αのレンズを置いたことと等価。
角度変化 ε ∝ xtan α
ρ=
BL
Bρ
BLによる粒子の偏向L const, B ∝ xでも同じ effect
変位 (光軸からの距離)に比例する磁場B ∝ x −→ Quadrupole field
line charge 1,2,3,4によるmagnet-(electro-) static potential φ(r, 0))
(r, θ)と line charge i との距離
ri = [1 + r2 − 2r cos(θ − α− i− 1
2π)]
12
φ = logr1r3
r2r4
∝ log{1 + r2 − 2r cos(θ − α)}{1 + r2 + 2r cos(θ − α)}{1 + r2 − 2r sin(θ − α)}{1 + r2 + 2r sin(θ − α)}
= log1 + 2r2 cos 2(θ − α) + r4
1− 2r2 cos 2(θ − α) + r4
r ¿ 1
φ ∝ r2 cos 2(θ − α)
α =π
4
φ =1
4kqr
2 sin 2θ = kgx · yBx = kqy
By = kqxy = 0で
Bx = 0
By = kqx ←変位に比例！
15
x 方向の粒子の運動
mx = −evzBy
para− axial ray → dt ≈ 1
vdz
d2x
dz2= −eBy
mv= −By
Bρ=−kq
Bρ· x
Thin lenz近似
∆θ =
∫d2x
dz2dz ≈ −kqL
Bρ· x
焦点距離Bρ
kqLの光学レンズと等価 (e.f. axially symmetric systemでの議論)
y 方向の粒子の運動
my = −evzBx
d2y
dz2=−kq
Bρ· y → ∆φ =
kq
Bρ· y
焦点距離 − Bρ
kqLの光学レンズと等価 x方向と符号反対)
flat magnet の斜め入出射
= 直角入出射 flat magnet + quadrupole magnet
不均一場
By = B0(1− nx)
x = (1 + x) · Θ2 − e
m(1 + x)ΘBy
eB0
mv= 1, Θ ≈ v
1 + x
v2
(1 + x)2
d2x
dΘ2=
v2
1 + x− e
mvB0(1− nx) ;
(dx
dΘ
)2
無視
d2x
dΘ2= −x− nx = −(n− 1)x
−x :均一場による効果
−nx :不均一場による効果 : quadrupole fieldの場合と同じ形
不均一場 :均一場に kq = −nの分布した quadrupole fieldを重畳させたものとして理解してよい。
(解 x = A sin√
n + 1Θ + B cos√
n + 1Θ) (n = −1
2よく用いられる)
16
補 : Quadrupole magnet による組み合わせレンズ
x 方向について
1
0− f1L
f2 − f1 + L
+1
b +f2L
f2 − f1 + L
=1
f1f2
f2 − f1 + L
⇒ principal plane が源点側による。
合成焦点距離 =f1f2
f2 − f1 + L
倍率 =
b +f2L
f2 − f1 + L
a− f1L
f2 − f1 + L
, f1 = f2 = f で倍率 =b + f
a− f>
b
a
y 方向も同様 =⇒ principal plane が源点側による。
合成焦点距離 =f1f2
f1 − f2 + L
倍率 =
b− f2L
f1 − f2 + L
a +f1L
f1 − f2 + L
, f1 = f2 = f で倍率 =b− f
a + f<
b
a
Mx 6= My 違いは 10倍以上にもなり得る。
17
Symmetric quadrupole triplet
x :1
a + zx
+1
b + zx
=1
fx
y :1
a + zy
+1
b + zy
=1
fy
通常 zx > zy
x,y 方向共に収束系となる場合 f1 > L > f1 − 2f2 or L > |f1 − 2f2|
Fx =− f 21 f2
(L− f1)(L− f1 + 2f2), Fy =
f 21 f2
(L + f1)(L + f1 − 2f2)(Fx,y > 0)
zx =f1L
f1 − L, zy =
f1L
f1 + L
よく使われる系 f2 =1
2f1 (=
1
2f) f > L
Fx =− f 3
2L(f − L), Fy =
f 31
2L(f + L)(f > L)
zx =fL
f − L, zy =
fL
L(f + L)=⇒ Zx > Zy > 0 (同符号)
Mx ≈ My 可能
18
多極磁場高次収束 =⇒ 磁場境界の曲線化２次曲線の例 (右図)
角度変化ε ∝ BL
Bρ≈ B
Bρ· 1
2R· x2
角度変化 x2 に比例斜め入出射の場合と同様の考慮からL = const, B ∝ x2 の電磁石で置き換え可能( sextupole filed )
line charge 1 ∼ 6 による potential
φ ∝ logr1r2r3
r2r4r6
= log1 + 3r3 cos 3(θ − α) + r6
1− 3r3 cos 3(θ − α) + r6
r ¿ 1
ψ ∝ r3 cos 3(θ − α)
(α = 0 ψ ∝ r3 cos 3θ : E
α =π
6ψ ∝ r3 sin 3θ : M
)
α =π
6
ψ =1
3ksr
3 sin 3θ = ksy(x2 − 1
3y2)
Bx = 2ksxy
By = 2ks(x2 − y2)
]−→ y = 0で
(Bx = 0
By = −ksx2
即ち、sextupole fileld の使用は磁極境界を 2次曲線とした場合と同じ効果をもつことが期
待できる。
同様に 3次 4次の磁極境界の効果は octupole, decapole fileld の持つ効果と同じといえる。
一般に 2n pole filed の potential
φ ∝ rn cos n(θ − α)
{α = 0 : E
α =π
2n: M
19
α =π
2n, y = 0で
Bx = 0
By ∝ xn−1
}のfieldが得られる。
多極場の発生
実際には line magnetic charge はない。
上式で表される φ の等 potential 面に沿って透磁率の大きい磁極を配置し、コイルを巻
いて potential に一致するよう励磁する。
Quadrupole field の例 → 等 potential 面は z軸に垂直な断面で双曲線
20
2 面対称系の一般的取り扱い
J.F. Streib, High Energy Physics Lab. Rep., No. 104 (’60))
K.L. Brown, SLAC Report, No. 75 ( ’72 )
2.1 前提
1. 場は Symmetry Plane を持つ
磁場の場合： この面に関し、対称な 2点での field Vector は一方の向きを逆にす
れば鏡像の関係にある。
電場の場合：この面に関し、対称な 2点での field Vector はそのまま鏡像の関係に
ある。
この面を中心面 ( median plane )という
2. sysmmetry plane 上で
磁場は面に垂直
電場は面に平行
3. 粒子束は近軸粒子束であり symmmetry plane 上の特定の粒子軌道の周りの Taylor
展開で任意の粒子軌道を表現できる。
この特定の軌道を
{基準軌道 (reference orbit)
中心軌道 (central orbit)
}という。
前提 1, 2により、symmetry plane内を運動する粒子は、この面の外に出ることはなく、
面内の軌道の一つを基準軌道とする。
21
2.2 粒子の運動方程式とその取り扱い
2.2.1 運動方程式
質量M, 粒子座標 ~X
電荷 e, 軌道長さ l
速度 ~v
md~v
dt= e(~v × ~B + ~E) (2.1)
時間の消去 dt =1
vdl , ~v = v ·
~Xdl
mv2d2 ~X
dl2+ mv
dv
dl· d ~X
dl= e
(vd ~X
dl× ~B + ~E
)(2.2)
dv
dlを書き直すため、両辺と
d ~X
dlの内積を作る。
(d ~X
dl⊥d2 ~X
dl2
)
mvdv
dl= e
(~E · d ~X
dl
)(2.3)
v2 = v2i +
2e
m
∫~E
d ~X
dldl (vi :初期値) (2.4)
(2.3)を (2.2)に代入
v2d2 ~X
dl2=
e
m
[vd ~X
dl×B + ~E − ( ~E · d ~X
dl) · d ~X
dl
](2.5)
(形式上時間を消去した式)
補足 フレネー ·セレ―の公式d ~X
dl= ~t |~t| = 1
d~t
dl= h~n h :曲率, |~n| = 1
d~n
dl= h~t + τ~b τ :捩率, ~b = ~n× ~t
d~b
dl= −τ~n
22
2.2.2 座標系
軌道方程式を基準軌道からの変位として表現したい。→ 曲線座標 d ~X
dl,
d2 ~X
l2を書き換え
る。
基準軌道粒子の位置 ~X0
基準軌道の長さ t による微分を’(ダッシュ)で表現。
23
図のように座標系をとる。x, y, z を unit vector とする。
~X0
′= z (接線) (2.6)
z′ = hx (法線) (2.7)
x′ = hz (捩率 = 0) y′ = 0 (捩率 = 0) (2.8)
(~x, ~y, ~z)を右手系にとる。
x = y × z
y = z × x
z = x× y
2.2.3 position vector ~X の l による微分を t による微分に書き直す
~X = ~X0 + xx + yy (2.9)
両辺を t で微分し、d
dt= l′
d
dlを考慮
~X ′ = l′ · d ~X
dl= x′x + y′y + (1 + hx)z (2.10)
~X ′′ = l′2 · d2 ~X
dl2+ l′′
d ~X
dl= {x′′ − (1 + hx)h} x + y′′y + (h′x + 2hx′)z (2.11)
d ~X
dlは unit vector であることを考慮し (2.10) の自乗から
l′2 = x′2 + y′2 + (1 + hx)2
= 1 + 2hx + (h2x2 + x′2 + y′2) (2.12)
d ~X
dl=
x′x + y′y + (1 + hx)z
l′
= {x′ − hxx′ + · · · }x+ {y′ − hxy′ + · · · }y+ {1 +
1
2(x′2 + y′2) + · · · }z (2.13)
d2 ~X
dl2⊥d ~X
dlを考慮して (2.11) と (2.13) の内積から
l′′ =x′[x′′ − h(1 + hx)] + y′y′′ + (1 + hx)(h′x + 2hx′)
l′
= (hx′ + h′x) + (x′x′′ + y′y′′) + · · · (2.14)
24
(2.11),(2.12),(2.13),(2.14)から
d2 ~X
dl2= {−h + (x′′ + h2x)− (h3x2 + 2hxx′′ + h′xx′ − hy′2) + · · · }x+ y′′ − (2hxy′′ + hx′y′ + h′xy′) + · · ·y+ hx′ − (2h2xx′ + x′x′′ + y′y′′) + · · ·z (2.15)
(2.15), (2.13), (2.14),を用いて、(2.5)の軌道方程式を x, y, tで表現可能
2.2.4 場の表現
場も x,y,t で表現することが必要
前提から
Bx(x, y, t) = −Bx(x,−y, t)
By(x, y, t) = By(x,−y, t)
Bz(x, y, t) = −Bz(x,−y, t)
中心面上でBx = Bz = 0
Ex(x, y, t) = Ex(x,−y, t)
Ey(x, y, t) = −Ey(x,−y, t)
Ez(x, y, t) = Ez(x,−y, t)
中心面上でEy = 0
~B , ~E はそれぞれスカラーポテンシャル φE , φEで表現可能
~B = ~∆φB , 2 ~E = ~∆φE
ポテンシャルは中心軌道の廻りに Taylor 展開可とする。
対称性から
{φBは yの奇関数
φEは yの遇関数
磁極の場合
φB(x, y, z) = [A10 + A11x + A12x2
2!+ A13
x3
3!+ · · · ]y
+ [A30 + A31x + A32x2
2!+ A33
x3
3!+ · · · ]y
3
3!
+ · · · · · · (2.16)
φ は Laplace eq. を満たす。
∆2φB =1
1 + hx
∂
∂x
[(1 + hx)
∂φB
∂x
]+
∂2φB
∂y2+
1
(1 + hx)
∂
∂t
[1
(1 + hx)
∂φ
∂t
]= 0
25
(2.17)
(2.16)を (2.17)に代入して各係数を 0 におく。→ recursion formula
−A2m+3,n = A′′2m+1,n + nhA′′
2m+1,n−1 − nh′A′2m+1,n−1 + A2m+1,n+2
+ (3n + 1)hA2m+1,n+1 + n(3n− 1)h2A2m+1,n + n(n− 1)h3A2m+1,n−1
+ 3nhA2m+3,n−1 + 3n(n− 1)h2A2m+3,n−2 + n(n− 1)(n− 2)h3A2m+3,n−3
これを用いると、全ての Aij(i > 1) は A1k で表現可能
Example:
A30 = −A′′10 − A12 − hA11
A31 = −A′′11 + 2hA′′
10 + h′A′10 − A13 − hA12 + h2A11
A32 = −A′′12 + 4hA′′
11 + 2h′A′11 − 6h2A′′
10 − 6hh′A12 − A14 − hA13 + 2h2A12 − 2h3A11
etc.
Bx =∂φB
∂x=
∞∑m=0
∞∑n=0
A2m+1,n+1xn
n!
y2m+1
(2m + 1)!
By =∂φB
∂y=
∞∑m=0
∞∑n=0
A2m+1,nxn
n!
y2m
(2m)!
Bz =1
(1 + hx)
∂φ
∂t=
1
1 + hx
∞∑m=0
∞∑n=0
A′2m+1,n
xn
n!
y2m+1
(2m + 1)!
By(y = 0) =∞∑
n=0
A1,nxn
n!を考えると、
任意の場所の磁場は中心面上の By の展開係数で完全に記述される。
By(x, 0, t) = By(0, 0, t)[1 + µ1hx + µ2h2x2 + µ3h
3x3 + · · · ] と書くと
Bx = B0
[µ1hy + 2µ2h
2xy + · · · ]
By = B0
[1 + µ1hx + µ2h
2x2 − 1
2(B′′
0
B0
+ µ1h2 + 2µ2h
2)y2 + · · ·]
Bz = B0
[B′
0
B0
y + (µ′1h +B′
0
B0
µ1h + µ1h′ − B′
0
B0
h)xy + · · ·] (2.18)
26
普通よく用いられている磁場；B0, h, µi は t によらず一定。( or piece-wise const.)
Bx(x, y) = B0
[µ1hy + 2µ2h
2xy + · · · ]
By(x, y) = B0
[1 + µ1hx + µ2h
2x2 − 1
2(2µ2 + µ1)h
2y2 + · · ·]
Bz(x, y) = 0
(2.19)
( 注: いわゆる n-value = −µ1 )
電場の場合
φE(x, y, z) =
[A0,0 + A0,1x + A0,2
x2
2!+ · · ·
]
+
[A2,0 + A2,1x + A2,2
x2
2!+ · · ·
]y2
2!
+ · · · · · ·
=∞∑
m=0
∞∑n=0
A2m,nxn
n!
y2m
(2m!)
磁極の場合と同様にして
−A2m+2,n = A′′2m,n + nhA′′
2m,n−1 − nh′A′2m,n−1 + A2m,n+2
+ (3n + 1)hA2m,n−1 + n(3n− 1)h2A2m,n + n(n− 1)2h3A2m,n−1
+ 3nhA2m+2,n−1 + 3n(n− 1)h2A2m+2,n−2 + n(n− 1)(n− 2)h3A2m+2,n−3
(磁極の場合の 2m+1 を 2m で置き換えたものと同等)
これから
A2,0 =− A′′0,0 − A0,2 − hA0,1
A2,1 =− A′′0,1 + 2hA′′
0,0 + h′A′0,0 − A0,3 − hA0,2 + h2A0,1
A2,2 =− A′′0,2 + 4hA′′
0,1 + 2h′A′0,1 − 6h2A′′
0,0 − 6hh′A0,0 − A0,4 − hA0,3 + 2h2A0,2 − 2h3A0,1
etc. : Ai,j(i > 0)がA0,kで表現されていることに注意
Ex =∂φE
∂x=
∞∑m=0
∞∑n=0
A2m,n+1xn
n!
y2m
(2m)!
Ex(y = 0) =∞∑
an=0A0,m−1xn
n!
27
を考えると、任意の場所の電場は中心面の Ex の展開係数で完全に記述される。
A00 = φ0 , A0,1E0, A0,2 = λ1hE0,1
2!A0,3 = λ2h
2E0, · · · とすると
Ex(y = 0) = E0(1 + λ1hx + λ2h2x2 + · · · )となり
Ex(x, y, t) = E0
{1 + λ1hx + λ2h
2x2 +1
2
[−E ′′
0
E0
+ 2hφ′′
E0
+ h′φ′0E0
− (2λ2 + λ1 − 1)h2
]y2 + · · ·
}
Ey(x, y, t) = E0
{−
[φ′′0E0
+ (λ1 + 1)h
]y +
[−E ′′
0
E0
+ 2hφ′′0E0
+ h′φ′0E0
− (2λ2 + λ1 − 1)h2
]xy + · · ·
}
Ez(x, y, t) = φ′0 + (E ′0 − φ′0h)x +
[1
2(λ′1h + λ1h
′)E0 +1
2(λ1 − 2)E ′
0h + φ′0h2
]x2 + · · ·
(2.20a)
よく用いられる系 ; φ0 = 0 且つ E0, λi , h が t に依存しない。
Ex = E0
{1 + λ1hx + λ2h
2x2 − 1
2(2λ2 + λ1 − 1)h2y2 + · · ·
}
Ey = −E0
{(λ1 + 1)hy + (2λ2 + λ1 − 1)h2xy + · · ·}
Ez = 0
(2.20b)
λ1 = −1 λ2 = 1 同心円筒電極
λ1 = −2 λ3 = 3 同心球電極
2.2.5 軌道の微分方程式
(以下、x,y について１次まで陽に書き下すにとどめる)
(2.12) , (2.14) より、
l′ = 1 + hx + · · · , l′′ = l′x + hx′ + · · ·
を用いて、(2.11),(2.13)より
d ~X
dl=
x′ + · · ·y′ + · · ·1 + · · ·
x
y
z
d ~X
dl2=
−h +x′′ +h2x + · · ·y′′ + · · ·hx′ + · · ·
~E · d ~E
dl= φ′0 + (E ′
0 − φ′0h)x + x′ + · · ·
28
( 2.5) 式、
d2 ~X
dl2=
e
mv
d ~X
dl× ~B +
e
mv2
{~E − ( ~E · d ~X
dl)d ~X
dl
}(2.21)
に上記の式及び (2.18), (2.20b)を代入、
−h + x′′ + h2x + · · ·y′′ + · · ·
hx′ + · · ·
=
−eB0
mv(1 + µ1hx) +
eE0
mv2(1 + λ1hx− φ′0
E0
x′) + · · ·eB0
mvµ1hy − eE0
mv2
{[φ′′0E0
+ (λ1 + 1)h
]y +
φ′0E0
y′}· · ·
(eB0
mv− eE0
mv2
)x′ + · · ·
(2.22)
第 3式 h =eB0
mv− eE0
mv2,
一方 ( 2.4)より
1
2mv2 =
1
2mv2
i + e
∫~E
d ~X
dldl =
1
2mv2
i + eφ (φ : electrostatic potential)
T = Ti + eφ = T0(1 + δ) + eφ (m0, T0 : 基準軌道粒子の初期値)
m = m0(1 + γ)
Hm =eB0
mv=
eB0√2m0(T0 + eφ0)
1√(1 + γ)(1 +
T0
T0 + eφ0
δ +eE0
T0 + eφ0
x + · · · )
He = − eE0
mv2= − eE0
2m0(T0 + eφ0)
1(1 +
T0
T0 + eφ0
δ +eE0
T0 + eφ0
x + · · ·)
hm =eBm√
2m0(T0 + eφ0)He = − eE0
2(T0 + eφ0)g =
T0
T0 + eφ0
とすれば,
Hm = hm(1− 1
2− 1
2gδhex + · · · )
He = he(1− gδ + 2hex + · · · ) (2.23)
(2.21) の Z component より、
h = he + hm
29
x component より
x′′ =φ′0E0
hex′ + kxx = cγγ + cδqδ + ( higher oeder tgerms) (2.24a)
y component より
y′′ − φ′0E0
hey′ + kyy = 0 + (higher order terms)
ここで
kx = h(λ1he + µ1hm) + h(he + h) + h2e
ky = −h(λ1he + µ1hm)− hhe − φ′′0E0
he
cγ =1
2(h− he)
cδ =1
2(h + he)
φ′0 term : Z 方向加速による軌道傾きの増減
φ′′0 term : 等電位面の曲がりによる収束 (発散)の効果
( c.f. 軸対称場での微分方程式)
一般の分析、収束系では基準軌道を等電位面内に取る。
この時、微分方程式は ( φ0 = φ′0 = φ′′0 = 0, g = 1 )
x′′ + kxx = cγγ + cδδ + (higher order terms)
y′′ + kyy = 0 + (higher order terms)
kx + ky = h2 + h2e (2.24b)
注意 : (2.24b)式は h, he, hm, λi, µi が t の関数であってもよい。第 3の式は x 方向, y 方
向の収束力の和が一定であることを示す。
補足: 軸対称電場の場合 ( δ = 0, γ = 0 ) との比較。
d2r
dz2+
eφ′02(eφ0 + T0)
dr
dz+
eφ′′04(eφ + E0)
r = 0 (F)
hm = 0とし、中心軌道を対称軸に取った場合に対応。
λ1h2 = k = const とて he = h → 0の極限で ( λ1 は φEの 2回微分)
(2.24)は、
x′′ − eφ′02(T0 + eφ0)
x′ + kx = 0 (2.24c)
y′′ +eφ0
2(T0 + eφ0)y′ +
(eφ′′
2(T0 + eφ0)− k
)y (2.24d)
30
電場の展開は x, y成分が同じ形であるとすると、
λ1h2e =
eφ′′
4(T0 + eφ0)(he → 0)
(2.24c), (2.24d) は同じ形となり、(F)の形に一致する。
磁場のみの場合 ( He = 0 )
Hm =eB0
mv=
eB0
p0(1 + δ′)=
hm
1 + δ′1
hm
: magnetic rigidity(Bρ)と呼ぶ
として「運動量偏差」δ′ で表現するのが普通。
この場合(1 + δ′)2
1 + γ= 1 + δ としたことに対応
(p2
2m= T
)
電場のみの場合 ( Hm = 0 )
He = − eE0
mv2=
he
1 + δ
1
he
: electric rigidity
として「エネルギー偏差」δのみで表現し、質量偏差 δ を導入しないのが普通。
一次の微分方程式
磁場のみの場合 ; he = 0 , h = hm
x′′ + (1 + µ1)h2x =
1
2hδ = hδ′
y′′ − µ1h2y = 0
電場のみの場合 ; hm = 0 , h = he ( φ0 = 0 )
x′′ + (3 + λ1)h2x = hδ
y′′ − (1 + λ1)h2y = 0
γ , δ が同時に入るのは hm 6= 0 且つ he 6= 0 の場合に限られる。
尚、以上の一次微分方程式は h′ , λ′1 , µ′1 6= 0 の場合も成り立つ。
4重極場の場合 kq = µ1h2 or λ1h
2 として h → 0 とすると、
電場、磁場の両方の場合について
x′′ + kq = 0
y′′ − kqy = 0
既に見た微分方程式に一致。
31
2.3 微分方程式の解
近軸粒子線 −→ 解を初期値 x0, x′0, y0, y
′0, γ, δ で展開
x =∑
(x|xκ0y
λ0x′µ0y
′ν0γ
ξδτ )xκ0y
λ0x′µ0y
′ν0γ
ξδτ
y =∑
(y|xκ0y
λ0x′µ0y
′ν0γ
ξδτ )xκ0y
λ0x′µ0y
′ν0γ
ξδτ (2.25)
係数 ( x— cdots ) , ( y — cdots ) は t の関数
~B , ~E の y 軸反転に対する対称性から
λ + ν = odd (x| · · · · · · ) = 0
λ + ν = even (y| · · · · · · ) = 0
λ = ν = 0 (y| · · · · · · ) = 0
( 2.25 ) を ( 2.24 )に代入し、各次数の係数を比較して係数に関する微分方程式を
得る。
(x|x0) = Cx (x|x′0) = Sx (x|γ) = m (x|δ)d(y|y0) = Cy (y|y′0) = Sy
ほかの任意の係数 = qx , qy と書くと
C ′′x + kxCx = 0 C ′′
y + kyCy = 0
S ′′x + kxSx = 0 S ′′y + kySy = 0
m′′ + kxm = Cγγ (2.26)
d′′ + kxd = Cδδ
q′′x + kxqx = fx q′′y + kyqy = fy
(2.25) の形から、boundary condition は
c(0) = 1, c′(0) = 0, s(0) = 0, s′(0) = 1
m(0) = 1, m′(0) = 0, d(0) = 0, d′(0) = 1
q(0) = 1, q′(0) = 0, (2.27)
fx,y は qx,y の対応する次数より小さい次数の係数で表現可能。
(2.26) より k を消去すると x,y の双方について
cs′′ − c′′s = 0
32
(2.27) の境界条件を考慮して積分すると
cs′ − cs = 1 ( Leuville の定理、後述) (2.28)
q の解き方
低次の q が求まると、それらを用いて次の次数の f が決定出来る。
q′′ + kq = f −→ driving force のある調和振動子
q =
∫ t
0
f(τ)G(t, τ)dτ
G(t, τ) = s(t)c(τ)− s(τ)c(t)
q = s(t)
∫ t
0
f(τ)c(τ)dτ − c(t)
∫ t
0
f(τ)s(τ)dτ (2.29)
G(t, τ) : t = τ に driving force の加わった場合のGreen 関数
一次の解の例
1. uniform field magnet
kx = h2, ky = 0, cγ = cδ =1
2h
cx = cos(kt), sx = sin(ht), m = d =1
2h[1− cos(ht)]
cy = 1, sy = t
x = cos(ht)x0 + sin(ht)x′0 +1
2h{1− cos(ht)} (γ + δ)
y = x0 + tx′0
2. non uniform filed magnet with µ1(−n) = −1
2
kx =1
2h2, ky =
1
2h2, cγ = cδ =
1
2h
cx,y = cos(h√2t), sx,y = sin(
h√2t), m = d =
1
2h
[1− cos(
h√2t)
]
x = cos(h√2t)x0 + sin(
h√2t)x′0 +
1
h
[1− cos(
h√2t)
](γ + δ)
y = cos(h√2t)x0 + sin(
h√2t)x′0
33
2.4 Transfer Matrix
一般に h は piece-wise constant として扱える場合が多い。その場合 h の異なる場の間
で軌道をつなぐとき曲線座標は不便。
曲線座標系 ( x, y , z ) → 直交座標系 ( x, y, z ) の変換を行う。
tan θ =dx
dz=
x′
1 + hx
tan φ =dy
dz=
y′
1 + hx
tan θ, tan φ のかわりに θ, φ と書いて
x′ → θ(1 + hx), y′ → φ(1 + hx)
として ( 2.25 ) 式を x0, y0, θ0, φ0, γ, δ について展開した形式に書き直す。{
x =∑
(x|xκ0y
λ0θµφνγξδτ )xκ
0yλ0θµφνγξδτ
y =∑
(y|xκ0y
λ0θµφνγξδτ )xκ
0yλ0θµφνγξδτ
(2.30)
x,y が求まると、形式的には
xκ′0 yλ′
0 θµ′φν′γξ′δτ ′ =∑
(xκ′0 yλ′
0 θµ′φν′γξ′δτ ′|xκ0y
λ0θµφνγξδτ )xκ
0yλ0θµφνγξδτ (2.31)
なる係数 (A|B) を定義できる。
~XT = (x, θ, y, φ, γ, δ, x2, θ2, xθ, xγ, xδ, θγ, θδ, y2, · · · )
なる vector を考えると、(2.31) 式は
~X = M ~X0
となり、Mを ~X0 を ~X に変換する transfer matrixと呼び、(2.31)の係数 (A|B)を transfer
matrix element と呼ぶ。
一般的に (2.25) 式を求めるかわりに、通常各光学要素毎に入り口を原点とし出口で Mi
を求めておけば
~X = MnMn−1 · · ·M1~X0 = M ~X0 (2.32)
として、軌道計算を行うことが出来る。
但し ~XT = (x, θ, γ, δ, y, θ · · · ) と書くとき M の要素は最初の 6行のみが独立な要素で他の
34
行の全ての要素は最初の 6行の要素で全て表現可能である。
=⇒ 一般にはM−1 は意味を持たない。
一次の transfer matrix median plane 内座標について ~XT = (x, θ, γ, δ)
Mx =
Cx Sx m d
C ′x S ′x m′ d′
0 0 1 0
0 0 0 1
(2.33)
transfer plane 内座標について ~XT = (y, φ)
My =
(Cy Sy
C ′y S ′y
)(2.34)
Mx,My についてはその逆行列は意味を持つ。
(2.28) 式より |Mx| = 1, |My| = 1
注意 : |Mx| = |My| = 1 は (2.24b)式で φ0 = φ′0 = φ′′0 = 0 とした事に依っており、加
速があれば成り立たない。
加速管の例参照 : 入り口、出口レンズでは加速効果を無視して |M | = 1 となり、加
速部では |M | = 1√N
=
√E0
Ef
6= 1 になっている。
粒子軌道の集合の取り扱い
“ビーム” では個々の粒子の軌道より、”粒子束”の振る舞いが問題。
位相空間 x, θ, y, φ, γ, δを座標とする空間
粒子座標 位相空間内の 1点に対応
粒子束 構成粒子座標が位相空間内のある体積を占める
加速のない光学系 γ, δ依存 x, θ, y, φの空間を扱う
面対称系 x− θ, y − φの 2つの独立な空間
軸対称系 r − θの空間
emittance x− θ, y − φ面 (部分空間)で粒子束の占める領域の面積 (mm ·mrad)
粒子束の扱い → 粒子の占める領域の変化、運動の取り扱い
35
Liouville の定理 ~X0 → ~X の変換において位相空間面積素量の変化
dxdθ = |Mx|dx0dθ0
|Mx = 1 → 加減速のない光学系で emittanceは普遍に保たれる。
例 1 長さ L の drift space
Mx =
(1 L
0 1
)
例 2 uniform magnetic field
Mx =
(cos(ht) sin(ht)
− sin(ht) cos(ht)
)位相空間の回転に対応
emittance ellipse 粒子束が位相空間で占める領域を楕円で仮定する場合が多い。
(物理的必然性はないが、多くの場合”妥当”)
x20
a2+
θ20
b2= 1 emittance = πab (2.35a)
別の表現
~XT0 σ−1
0~X0 = 1 , ~X0 =
(x0
θ0
), σ0 =
(a2 0
0 b2
)emittance = π
√|σ0|
36
~X = M ~X0 とし、 ~X0 = M−1 ~X を代入
~XT M−1T
σ−10 M−1 ~X = 1 (2.35b)
~XT σ−1 ~X = 1, σ = MσMT → σの変換 (2.36)
|M | = |MT | = 1 なら |σ| = |σ0|emittance = π
√|σ| = π
√|σ0| → emittance の保存
xmax =√
σ11 =√
(x|x)2x20max + (x|θ)2θ2
0max
θmax =√
σ22 =√
(θ|x)2x20max + (θ|θ)2θ2
0max
xmax 極小 (waist と呼ぶ)は focus( (x|θ) = 0) と異なることに注意
加 (減)速のある時 emittanceは減少 (増大)する
加速管入出口のレンズ |M | = 1
加速部では |M | = 1√N
=
√E0
Ef
→ emittance は
√E0
Ef
倍になる。
2.5 光学的性質と Transfer Matrix element
1. 収束 : x or y が θ0 or φ0に依存しないこと
median plane 内収束 (x|θ) = 0
transverse plane 内収束 (y|φ) = 0
2重収束 (x|θ) = (y|φ) = 0
37
2. 倍率 (像、角度)
median plane 像 : (x|x) 角度 : (θ|θ)transverse plane 像 : (y|y) 角度 : (φ|φ)
3. 分散 : transverse plane のみ
エネルギー分散 (x|δ)(= 2(x|δ′)) 磁場のみの場合 (運動量分散)
質量分散 (x|δ)4. エネルギー収束 : x が δ に依らぬこと
median plane 内 (x|δ) = 0
三重収束 (x|θ) = (y|φ) = (x|δ) = 0
5. 分解能 : 像巾を分散を用いてエネルギー or 質量巾に換算(x|x)x0
(x|δ or m)or
(x|δ or m)
(x|x)x0
( 多く使用 )
6. focul line の傾き
δ の違いによる収束位置変化(x|δ) + (x|θδ)δ = 0) を満たす軌跡
エネルギー分散のある場合
tan α = − (x|θδ)(θ|θ)(x|δ) = −(x|x)(x|θδ)
(x|δ)質量分散のある場合
tan α = − (x|θγ)
(θ|θ)(x|γ)= −(x|x)(x|θγ)
(x|γ)
2重収束の場合
(x|θ) + (x|θδ)δ = 0 を満たす点の軌跡の他に
(y|φ) + (y|φδ)δ = 0 を満たす点の軌跡もありうる→ 傾きα′
tan α′ = − (y|φδ or φγ)
(φ|φ)(x|δ or γ)
= −(y|y)(yφδ or φγ)
(x|δ or γ)右図で 1©はmedian plane focusの実現する focalline, 2©は transverse planeの focus
の実現する focal line。一般に 1© , 2© は一致しない。
3重収束の場合
例えば (x|γ) 6= 0, (x|θ) = (y|φ) = (x|δ) = 0 では更に energy focus line もありうる。
38
( γ の違いによる収束位置変化)
tan α′′ = − (x|γδ)
(θ|δ)(x|γ)
7. focul line の曲率
(x|θ) = 0 , (x|δ) 6= 0の場合
曲率半径 =(x|δ)
2 tan α cos3 α
[(x|δ2)
(x|δ) +(θ|θδ)(θ|θ) + tan α(θ|δ)− (x|θδ2)
(x|θδ)]−1
2.6 一次近似解の一般的な性質
(a) 分散項について
( a - 1 ) エネルギー分散 d に対して (2.29) における f は ( (2.26) 式参照)
f = Cδ =1
2(h + he) =
1
2(hm + 2he)
従って
d =1
2Sx(t)
∫ t
0
Cx(hm + 2he)dt− 1
2Cx(t)
∫ t
0
Sx(hm + 2he)dt
角度における分散
d′ =1
2S ′x(t)
∫ t
0
Cx(hm + 2he)dt− 1
2C ′
x(t)
∫ t
0
Sx(hm + 2he)dt
( a - 2 ) 質量分散 同様にして f =1
2hm
m =1
2Sx(t)
∫ t
0
Cx(hm)dt− 1
2Cx(t)
∫ t
0
Sx(hm)dt
m′ =1
2S ′x(t)
∫ t
0
Cx(hm)xt− 1
2C ′
x(t)
∫ t
0
Sx(hm)dt
( a - 3 ) 収束点において Sx = 0 ( median plane 角度収束 )
d = −1
2Cx
∫ t
0
Sx(hm + 2he)dt
m = −1
2Cx
∫ t
0
Sx(hm)dt
39
軌道の途中で x ≈ Sxθ0 とすると、上記積分は ( 点状粒子源)
∫ t
0
Sxhmdt =1
θ0
∫xhmdt
∫ t
0
Sx(hm + 2he)dt =1
θ0
∫x(hm + 2he)dt
個々の光学要素内で電場もしくは磁場の一方のみが使われ, ( h = hm or
h = he ) 且つ h 一定とすると
∫ t
0
xhm or edt =∑
h(i)more
∫
(i)
xdt =∑
h(i)moreSi
但し、i は要素の番号、S は初期値 θ0 をもつ軌道と、中心軌道の囲む要素内面積。但し、h , x ( 従って S ) は符号を持つ。( 下図 0 は中心軌道, 1 はθ0 の初期値に対する軌道)
( a - 4 ) 分解能 像巾 Cxx0 を考慮して
エネルギー分解能 =d
Cxx0
=1
2
1
x0θ0
[∑i
h(i)m Si + 2
∑i
h(i)e Si
]
質量分解能 =m
Cxx0
=1
2
1
x0θ0
∑i
h(i)m Si
一般に質量分解能を持たせる時, d=0 とするのが普通 ( 質量分析器 )
∑h(i)
m Si + 2∑
h(i)e Si = 0であるから
質量分解能 =1
2
1
x0θ−
∑h(i)
m Si =1
x0θ0
∑h(i)
e Si (但し、符号無視した)
40
磁場のみの系の場合
運動量分解能 = 2m = 2d =1
x0θ0
∑hiSi分解能の最大化
=⇒ 1. θ0 →小 ( 小立体角化)
2.∑
hiSi最大化→ RAIDEN の例
} 各光学要素の持つ最大分解能定義可能
( a - 5 ) Achromaticity
広義 d = d′ = 0
狭義 d = 0
収束系で系が広義の achromaticity を持つ十分条件∫ t
0
Sx(hm + 2he)dt =
∫ t
0
Cx(hm + 2he)dt = 0
Cx 項は M1,M2の個々の中でキャンセル
Sx 項はM1 とM2でキャンセル
収束系で ( Sx(t) = 0)狭義の achromaticity を持つ条件
∑h(i)
m Si + 2∑
h(i)e Si = 0
磁場 or 電場のみの場合
∑hiSi = 0 例
CARP
RCNP2次ビームコース
九大RMS
41
(b) 軌道長さの差
基準軌道と任意軌道の長さの差 dl
dl = (dx2 + dy2 + (1 + hx)2)12 − dt
= hxdt
l =
∫ t
0
hxdt = x0
∫ t
0
cxhdt + θ0
∫ t
0
sxhdt + γ
∫ t
0
mhdt + δ
∫ t
0
dhdt
軌道長が揃う条件∫ t
0
cxhdt =
∫ t
0
sxhdt =
∫ t
0
mhdt =
∫ t
0
dhdt = 0
} 磁場のみ又は電場のみの系では、前２者がゼロであることは achromatic である
条件に一致。従って、系が広義の achromatic であれば、同一エネルギー粒子の
軌道長は揃う。
◦ 但し一般に l の x0 項の寄与は小さく狭義の achromatic な系でも軌道長は揃う
といってよい。
◦ 一般のビームトランスポート系では γ, δ の項の寄与も無視できる。従ってこの
場合狭義の achromaticity は全軌道長を揃えることと等価。
◦ 電磁場混在の系では achromaticity は必ずしも軌道が揃うことを意味しない。
42
2.7 高次収差の補正
Bx, Ey の展開からも容易に推定できるように λi, µi は ?? 微分方程式の i 次以上の項に
現れる。
(2.24b) の右辺の n 次項 = λn, µn比例項+ λi, µi(0 ≤ i ≤ n− i)を含む項
(2.26) 式の f は (x or y|xκ0y
λ0x
′µ0 y
′ν0 γξδτ ) , κ + λ + µ + ν + ξ + τ = n に対して
f = (Aλn + Bµn) · cκxc
λys
µxs
νym
ξdτ + (λn, µi; i 6= n− 1項) 式 (2.29) より
(x or y|xκ0y
λ0x
′µ0 y
′ν0 γξδτ ) = (Aλn + Bµn)
∫ t
0
G(t, τ)cκxc
λys
µxs
νym
ξdτ + (λn, µi; i 6= n− 1項)
これから
∂
∂λn
(x or y|xκ0y
λ0x
′µ0 y
′ν0 γξδτ ) = A
∫ t
0
G(t, τ)cκxc
λys
µxs
νym
ξdτdt
∂
∂µn
(x or y|xκ0y
λ0x
′µ0 y
′ν0 γξδτ ) = B
∫ t
0
G(t, τ)cκxc
λys
µxs
νym
ξdτdt
即ち、n 次収差の補正を行うには”適当な場所”の λi, µi を調節してやればよい。その範
囲を K で表すと∫ t
0
dt =
∫
K
dt
と書け、範囲 K の n 次multipole 成分を変えることに対応する。
( 一般に A,B は n, κ, µ, ν, ξ, τ のみの関数)
”適当な場所”
収差の依存する初期値 効果最大の場所 効果の小さい場所xκ
0 max |Cκx | min |Cκ
x |x′µ0 max |Sµ
x | min |Sµx |
yλ0 max |Sλ
y | min |Sλy |
y′ν0 max |Sν
y | min |Sνy |
γξ max |mξ| min |mξ|δτ max |dτ | min |dτ |
例 median plane 内 node
Sx = 0 Sy 6= 0 x′0( or θ) 依存項を変えずに y′0( or φ) 依存項変更
Sx 6= 0 Sy = 0 y′0( or φ) 依存項を変えずに x′0( or θ) 依存項変更
RAIDEN , CARP の例
43
λi, µiの変更→
n次multipoleの調整
magnet入出射角 (i = 1)の調整
入り口境界の n次曲線化とその調節
電磁場展開係数の調節
注意 ！！但し高次収差の最も小さい一次設計を行う事が何より重要。高次収差の補正はしばしば、より高次収差の増大を招く。
44
3 Fringing fieldの取り扱い
1. Fringing field効果を一つの仮想的な厚さのない光学的要素として表現し、対称な行
列 (fringing matrix M)を作る。実際の光学要素の行列は、fringing fieldの無い理想
的な場を持つ光学要素の行列とＭの積で与えられる。
2. 光学要素の行列を算出する時、fringing field効果による補正を初めから含めて計算
を行う。
1.の方法が計算機を使用する場合実用性が高い。
H.Matsuda and coworkers, NIM 77 (’70) 283 ;
NIM 91 (’71) 637 ; NIM 103 (’72) 117 等
magnetic dipoleの場合の例（Matsuda et.alの方法）
1. 理想的場内の軌道を理想場の運動方程式に従って”変換面”まで外挿 ~x2 を求める。
2. fieldの無い空間の軌道を直線として変換面まで外挿 ~x1を求める。
3. ~x2 = M~x1
なる行列Mが fringing field matrix
4. 一様場の場合、Byは磁極からの距離のみの函数。(右図)
(
∫By dx) 1© = (
∫By dx) 2©
を満たす effective field boundary(EFB)を定義可。
5.By
B0
の分布はx
dを横軸にとるとき、dに関わらず同
じ形となる。(但し x:磁極からの距離、d:磁極間隔)
6. 不均一場の場合、場所により異なる”effective d”を考え、boundaryに直角な方向に By は 4. と同
じ形を取る。但し d ∝ 1
B0
を仮定。
45
理想中心軌道 (円軌道)と EFB交点を原点とした座標系 (ξ, ζ, η)及び (x, y, z)を取る。
(x = ξ cos θ − η sin θ, z = ξ sin θ + η cos θ
ξ = x cos θ + z sin θ, η = −x sin θ + z cos θ
)
(3.1)
EFBの方程式
η =1
2rm
ξ2 + Rξ3 + · · ·
(rm:boundary曲率半径)
(ξ, η) と boundaryの距離
η+ = η−1
2rm
ξ2 − 1
2rm2ξ2η −Rξ3 + · · · (3.2)
effective d = d(ξ, η)
理想磁場分布 (磁極内)
Biy(x, 0, z) = B0(1 + µ1hx + µ2h2x2 +
1
2µ1h
2z2 + · · · )= B0{1 + µ1h(cξ − sη) + µ2(cξ − sη)2 + · · · } (c = cos θ, s = sin θ)
(3.3)
fringing field region
6. の仮定に基づき
d0
d(ξ, η)= 1 + µ1h(cξ − sη) + µ2(cξ − sη)2 + · · ·
且つ (3.3) で B0 を B(d0
d(ξ, η)η+) で置き換える。
但し B(x) は 4. における By(x)(d = d0) 。 正当性に疑問が残る
η∗ =d0
d(ξ, η)η∗= η − 1
2rm
ξ2 + µ1cξη + (hµ1 − 2µ2 + 2µ21)scξ2η
2 + · · ·
−(1
2r2m
+µ1s
2rm
− 1
2hµ1s
2 − µ2c2)ξ2η − (R +
mu1c
2rm
)ξ3 + · · · (3.4)
B(ξ, 0, η) = B(η∗)[1 + µ1h(cξ − sη) + µ2h
2(cξ − sη)2 +1
2hµ1(sξ + cη)2 + · · ·
]
(3.5)
46
B(η∗) を B(η) の周りに η, ξ で展開し、By(x, 0, z) を x, ξ で表現
By(x, y, z) = A + Bx + Cx2 + Dx3 (3.6)
A,B,C,Dは η の函数
Bx(x, y, z), By(x, y, z), Bz(x, y, z) は div ~B = 0 , rot ~B = 0を満たすように求める。
微分方程式 (傾き角の 2次迄)
d2x
dz2=
h(1 + γ)
B0
{αβBx − (1 +3
2α2 +
1
2β2)By + βBz}
d2y
dz2=
h(1 + γ)
B0
{(1 +1
2α2 +
3
2β2)Bx − αβBy − αBz}
α =dx
dz, β =
dy
dz
(3.7)
α = αa +
∫ z
z0
d2x
dz2dz β = β0 +
∫ z
z0
d2y
dz2dz
x = xa +
∫ z
z0
αdz y = ya +
∫ z
z0
βdz
(3.8)
( a ; field free region )
解の性質と変換行列
(3.8) は successive approximztion で任意の次数まで解くこと可。
例えば、(3.7) の α , β に対して 0 次項の積分から一次項
α(1)(z) = αa − h
B0c
[∫ η
ηa
Bdτ − 1
2B′y2
a
]
β(1)(z) = βa − ht
B0
[Bya −
1
6B′′y3
a
]
x(1)(z) = xa
y(1)(z) = ya
を得る。但し、a は field free region を意味し、B′y2a , B′′y3
a は ya の一次の order の量と
見る。t = tan θ
dz =1
c(1 + tα + t2α2 · · · )dτ を使用
これを (3.7) に代入して (3.8) の積分を行うと 2次近似解を得る。
A© 解は αa , βa , xa , ya を含む。
→ field free region として変換面への外挿座標で書き直す。
x1 = xa − αaza, y1 = ya − βaza, α1 = αa, β1 = βa
47
B© 磁場中の軌道 → z = zb , η = ηb ( b : 十分磁場内に入った位置)
C© 磁場中での変換面への外挿 → Z = 0 として x2, y2, α2, β2 を得る
x1, y1, α1, β1, δ の一次元迄で書くと、
x2 =
[1 + t∆α +
h
c2(µ1h− 2t
rMc)I2
]X1 − 2ht
c2I2A1 +
hI2
c2δ
α2 = ht
[1 +
{6t
c2R +
1
r2Mc2
(2 + 3t2)− 1
rmc(3µ1 +
2h
c2)
}I
]X1
+
[1− t∆α− h
c2(2ht2 + µ1 − 2t
rMc)I2
]A1
y2 = y1
β2 = β1 −[ht +
h2
c(1 + 2t2)I1
]y1
(3.9)
但し、
X1 = x1 −∆x, A1 = α1 −∆α
∆α = ht(2hµ1 − t
rMc)I2 + aI3 + bI4 + · · ·
∆x =h
c2I2 + a′I3 + b′I4 + · · ·
(3.10)
I1 =1
B20
∫ ηb
ηa
B2dη − ηb fringing field の分布巾 W の一次の order
I2 =1
B0
∫ ηb
ηa
(∫Bdη
)dη − 1
2η2
b fringing field の分布巾 W の二次の order
I3 =1
B0
∫ ηb
ηa
(∫Bdη
)dη − 1
3η3
b fringing field の分布巾 W の三次の order
I4 =1
B20
∫ ηb
ηa
(∫Bdη
)2
dη − 1
3η3
b fringing field の分布巾 W の三次の order
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(3.11)
48
有限の∆α , ∆x
=⇒ 磁場内で中心軌道を通る粒子 x2 = 0 , α2 = 0
は場の外で Z軸と ∆α
の角度をなす。( Wの二次)
=⇒ 変換面を更に ∆α だけ移動すれば (右図点線)、磁場外の中心軌道、場内の中心軌道共に新しい変換面に直交( → (3.9) で ∆α =
0 とし、且つ α2 +
µ1∆αx1 を新たに α2
とする)
∆x は有限値として残る。
(注)
新しい変換面に直交する新しい Z 軸を仮想中心軌道と呼ぶ。仮想中心軌道は EFB
上に設けた古い座標系の原点を通る。rm = 0 , µ1 = 0 で∆α = 0
右図で実用的にはdipole field の行列要素を算出する時∆α = 0 としてよく仮想中心軌道の設定の時 (電磁石の setting )
のみ ∆α を考慮すれば足りる。
49
4 原子核実験に現れる光学的補正
核反応において、散乱粒子のエネルギーは散乱角、ビーム粒子のエネルギーによって変
わる。
有限立体角有限ビームエネルギー幅
}有限粒子エネルギー幅
4.1 Kinematical Correction
δ は θ0 , ϕ0 の函数
⇓“ δの測定装置”では反応における energy loss(Q-value)の分析は不適当
⇓δ(q, θ0, ϕ0)を q(Q-value)のみの函数と、θ0, ϕ0に依存する項とに分離して表現。
右図で
sin2 Θ(1 + cos2 θ tan2 ϕ)
= sin2(Θ0+θ)+cos2 θ tan2 ϕ
但し、分析系に対する初期値 θ0 ,
ϕ0 の添え字の 0を省略
Θ = Θ0 + ∆Θ
として、∆Θ を tan θ , tan ϕ のかわりに θ.ϕを用いる
∆Θ = θ +1
2cot Θ0ϕ
2 − 1
3θ3
− 1
2
1
sin2 Θ0
θϕ2 + . . . (4.1)
運動量 (エネルギーでもよい)は Θ とQ-valueの函数
P = P (Θ, Q) (4.2)
Q = Q0 + qとし (4.2)を Θ0 , Q0の周りに展開
50
P (Θ, Q) = P (Θ0, Q0) +
[∂P
∂Qq +
1
2!
∂2P
∂Q2q2 +
1
3!
∂3P
∂Q3q3 + . . .
]
+∂P
∂Θ∆Θ +
1
2!
[∂2P
∂Q2(∆Q)2 + 2
∂2P
∂Θ∂Q∆Θq
]
+1
3![∂3P
∂Θ3(∆Θ)3 + 3
∂3P
∂Θ2∂Q(∆Θ)q + 3
∂3P
∂Θ∂Q2∆Θq2] + . . . (4.3)
編微分係数は Θ = Θ0 , Q = Q0での値
第 1項 = P0 = 基準軌道粒子運動量
第 1項+第 2項 = 分析系中心軸に Q = Q0 + q で放出された粒子運動量
→ Θ0, Q0 を定数として扱うと qのみの函数
δ0 =P (Θ0, Q + q)− P0
P0
(4.4)
qは δ0で表現可
q = O(0) + O(1) + O(2) + O(3) + . . . (O(m)はδ0の n次項)
として (11.4)に代入して係数を比較
q =1
1
P0
∂P
∂Q
δ0 −1
P0
∂2P
∂Q2
2(1
P0
∂P
∂Q)3
δ20 +
1
(1
P0
∂P
∂Q)5
[1
2(
1
P0
∂2P
∂Q2)2 − 1
6(
1
P0
∂P
∂Q)(
1
P0
∂3P
∂Q3)]δ3
0 + . . .
(4.5)
従来用いてきた δ は
δ =P (Θ + ∆Θ, Q0 + q)− P0
P0
(4.6)
(4.6)に (4.2) , (4.3) , (4.5) を代入してやると δ を δ0 , θ , ϕ で書き直せる。結果は
δ =δ0 + K10θ
+ K20θ2 +
1
2K10 cot Θ0ϕ
2 + K11Θδ0
+ (K30 − 1
3K10)θ
3 + (K20 cot θ0 − 1
2K10
1
sin2 Θ0
)θϕ2
+ K12θδ20 + K21θ
2δ0 +1
2K11 cot Θ0ϕ
2δ0
+ . . . (4.7)
51
Kijは reactionによって決まる係数
K10 =1
P0
∂P
∂Θ, K20 =
1
2
1
P0
∂2P
∂Θ2, K11 =
∂2P
∂Θ∂Q
K30 =1
6
1
P0
∂3P
∂Θ3, K21 =
1
2
∂3P
∂Θ2∂Q/(
∂P
∂Q)
K12 =1
2P0(
∂P
∂Q
∂3P
∂Θ∂Q2− ∂2P
∂Q2
∂2P
∂Θ∂Q)/(
∂P
∂Q)3
(4.8)
(4.7) を p32の (2.30)式に代入し、x0, y0, θ, ϕ, δで整理し直すと、新しい行列要素
(x or y or θ or ϕ | xκyλθµϕνδτ0 )
を定義出来る。その後 δ0 の添え字を省略すると見かけ上、変換行列M0 がKinematic effect
で Mk に変化したと見ることも可能。即ち
Mk = M0 + ∆M0 (4.9)
∆M0 の内容を 3次迄 Table 1 , 2 に揚げる。
( tableで i = x or θ, j = y or ϕ )
• 系の対称性の為に M0 の中で値を持たない行列要素は ∆M0 の中でも値を持たない。
• mediau planeと beam-z平面が直交する場合、
変更を受けるmatrix element
(i | θθ), (i | ϕϕ)
新たに発生するmatrix element
(i | ϕ), (i | θϕ), (i | ϕδ), (j | yϕ), (j | ϕϕ)
( これらは symmetry plane を持つ光学要素で調整不可)
52
53
注意 : MK の変換する vector (x, y, θ, ϕ, δ0)
54
M0 の変換する vector (x, y, θ, ϕ, δ)
の違いがあることを念頭に置くこと。
MK を使用する場合 |MK | 6= 1 で”見かけ上”Leuvile の定理は成り立たない。
Kinematic Correction
Kij を non relativistic に計算した例を下に示す。
{軽イオンビーム、重ターゲットでは K10 のみが重要重イオンビームでは、他の Kij も重要
55
収束 : (x|θ)K = (x|θ)0 + K10(x|δ)0
=⇒ (x|θ)0 ( 本来の収束条件)でも収束しない
=⇒ 補正光学要素の導入により (x|θ)K = 0 にする。
補正光学要素 =⇒ (x|θ)0 の変更
Mcorr = M + ∆M (4.10)
(M0corr)K = M0 + ∆M + ∆M0 + ∆∆M = M0 + M ′
M’ の主要項を ∆ によって 0 にする。こうすると ∆, ∆ は共にKij の order であり∆, ∆
は Kij の二次の order。
Kij小 =⇒ ∆ + ∆ = 0が主要項で成立すればよい。
Kij大 =⇒ ∂
∂Kij
(∆ + ∆) = 0を主要項で成立させることが望ましい。
} 補正光学要素 = Drift Space の例 ( counter を動かす)
(x|θ) について
∆ : K10(x|δ)∆ : (θ|θ)∆∆ : K10L(θ|δ)
⇒ (x|θ)K = (x|θ)0 + K10(x|δ)0 + L(θ|θ)0 + KL(θ|δ)0
(x|θ)K = 0 より
L = − (x|δ)(θ|θ)0 + K10(θ|δ)K10 = − MXDX
1 + K10MXDθ
K10
} L の導入は他のmatrix element を変える
(y|ϕ) =MXDX
My(1 + K10MXDθ)K10
∂(x|θθ)∂K10
= (x|θδ)0 − (θ|θθ)0DXMX
∂(x|ϕϕ)
∂K10
= −(θ|ϕϕ)0DXMX
∂(x|θδ)∂K10
= 2(x|δδ)0 − (θ|θδ)DXMX
∂(x|δ)∂K10
= −(θ|δ)0DXMX
∂ tan θf
∂K10
=2(x|δδ)0 − (θ|θδ)0DXMX
(x|θδ)0
56
} より完全な補正 ⇒ multipole field の導入。導入場所は 2章を考慮して行う。
例、系の途中に挿入した multipole field
(x|θ)K → 0 系 1 multipole 系 2
MX = M0X −
(x|x)1D0X
(x|θ)1 + K10(x|δ)1
K10
DX = D0X −
(x|δ)1D0X
(x|θ)1 + K10(x|δ)1
=(x|θ)1D
0X
(x|θ)1 + K10(x|δ)1
(≈ const)
(y|y) = (y|y)0 +(y|ϕ)2(y|y1)D
0X
(x|θ)2{(x|θ)1 + K10(x|δ)1}K10
(y|ϕ) =(y|ϕ)2(y|ϕ)1D
0X
(x|θ)2{(x|θ)1 + K10(x|δ)1}K10
中間 focus (y|ϕ)1 = 0, (y|ϕ)2 = 0では
(y|y) = (y|y)0
(y|y) = 0
DX = D0X のようにδ を含む matrix element は不変
} 補正したい要素に対し、補正の結果他のmatrix element に悪影響を与えないような
最適の補正光学要素導入場所を考慮する必要がある。
4.2 Dispersion Mathing( 分散整合)
散乱角Θ = 0 の場合を考えてみる。( Kinematic effect 無視)
入射ビームに運動量巾 (エネルギー巾) δB があると、
δ = δ0 + RδB R ∼ EB
EB −Q∼ 1 ( EB : beam energy ; Q : reaction Q-value )
δB に影響されないで δ0 を測定したい。
( δB = 10−3 の beam で δ0 = 10−4 の測定をしたい。)
x = (x|x)x0 + (x|θ)θ0 + (x|δ)δ0 + R(x|δ)δB
{δBを十分小さくする→ビーム強度減少他の項と最後の項を cancelさせる→分散整合
57
ビームラインに分散を持たせる。(ビームラインを添え字 B で表示)
{x0 ⇒ x0 + DBδB((x|δ) = DB)
δ ⇒ δ0 + RδB
⇓(x|δB) = DB(x|x) + R(x|δ)(θ|δB) = DB(θ|x) + (θ|δ)
Dispersion Matching
DB(x|x) + R(x|δ) = 0
⇓
DB = −R(x|δ)(x|x)
=RD
MX
ビームラインの分散と測定光学系の分散を整合させる。右の場合、必要な置き換えは、
ビーム垂直面
xB = x0 + DBδB + · · ·θB = θ0 + αBδB + · · ·yB = y0
ϕB = ϕ0
(x|δ)B ≡ DB, (θ|δ) ≡ αB
( ビームライン)
スペクトロメーター垂直面
x = CxB + CTθBxB + · · ·
( C =cos(Θ− α)
cos α, T = tan(Θ− α) )
Θ′ = Θ + θB − θ + · · ·を考慮して (x0, θ, y0, ϕ, δ, θ0, ϕ0, δB) の vector に対して Transfer Matrix を求めると
(二次のみ)
58
(x|x0) : c(x|x) (i)
(x|θ) : (x|θ)−K10(x|δ) (ii)
(x|δ) : (x|δ) (iii)
(x|θ0) : K10(x|δ) (iv)
(x|δB) : CDB(x|x) + (1 + K10dB)(x|δ) (v)
(ii) は Kinematical correction により、消去可。(iv),(v) はビームによる新しい項。
K10 小 or ビームの収束角度が無視できる時、Dispersion Matching は (v) のみを考えて
CDB(x|x) + (1 + K10dB)(x|δ) = 0
D
MX
=CDB
1 + K10dB
≈ CDB
4.3 Kinematical Dispersion matching
前節 (iv)項が無視できない時
RCNP G. RAIDEN の場合 (iv)項の寄与は(i)項の寄与の 10倍以上の大きさとなる場合がある。(iv)項の調節は不可か? 右図のようにビーム収束点をターゲット上に置かない。
xB ≈ x0 − LθB + DBδB
= x0 − Lθ0 + (DB − LdB)δB
x ≈ CxB
この変更により
(x|x0) : c(x|x) (i)
(x|θ) : (x|θ)−K10(x|δ) (ii)
(x|δ) : (x|δ) (iii)
(x|θ0) : K10(x|δ)− LC(x|x) (iv)
(x|δB) : C(DB − LdB)(x|x) + (1 + K10dB)(x|δ) (v)
59
(iv) 項が可能となった。
Kinematical Correction
(x|θ)−K10(x|δ) = 0
Kinematical Focus Matching
K10(x|δ)− LC(x|x) = 0 L =1
C
(x|δ)(x|x)
K10 =1
C
D
MX
K10
DIspersion Matching ( Lateral )
C(DB − LdB)(x|x) + (1 + K10dB)(x|x) = 0
DB = − 1
C
(x|δ)(x|x)
= − 1
C
D
MX
同様の扱いは角度についても可能
実験上の要請 =⇒ 角度の δB 依存性を無くす (散乱角の測定)
=⇒ Angular Dispersion matching
高分解能の達成 Kinematical Correction → Spectrometer correction
Kinematical focus Matching
Lateral Dispersion Matching
Angular Dispersion Matching
→ beam line
Beam Line のDB = (x|δB , dB = (θ|δ)B 可変性が重要
RCNP : G.RAIDEN 用 beam course で実現
N.I.M. B126 (’97) 274, A482(’02)17 , A482(’02)79
60
4.4 非電磁場光学要素
Energy degrader の場合
磁場光学系 :運動量に対して応答 p = mv
電場光学系 :エネルギーに対して応答 E =1
2mv2
混合場光学系 :質量と速度に対して異なる応答
or
質量とエネルギー質量と運動量運動量とエネルギー
質量分析には混合場有効 (但し、電場の技術的困難)
運動量と異なるパラメーターに応答する要素と磁場の混成も電磁場混成場と類似の役割
を持つ。
⇓energy degrader Longrightarrow energy loss が p の関数でない。
薄い degrader
1. 粒子の角度 (θ)を変えない。2. 粒子の入、出射位置 (x)を変えない。3. エネルギー (δ)を変える。変化量はほぼ入射エネルギーと質量の関数。
degrader の transfer matrix は位置座標分布は diagonal で、(δ|α)(α : δ以外の座標) が有
限の値を持つ。
入、出射時の energy 偏差を δ0 , δd とすると
δd =∑
(α|xaθbδcmdzeyfϕg)xa0θ
b0δ
c0m
d0z
e0y
f0ϕg
0
但し、m =∆A
A, z =
∆Z
Zenergy loss が十分よく知れていれば (δ|α) は求められる。
Range の経験式 ( NIM A248 (86) 267 )
R =kA1−γEγ
Z2
k, γ ∼ const で R は質量、エネルギー、電荷の関数
Eα = E0(1− d
R)
1
γ ( d は degrader の厚さ)
61
これと
(x|ξ) =
(1
Ed
∂Ed
∂ξ
)
ξ=0
を用いて
(δ|x) =−1
γR(1− α0
R
)(
∂d
∂x
)
x=0
(δ|δ) =1(
1− α0
R
)
(δ|m) = −(γ − 1)
α0
R
γ(1− α0
R
)
(δ|z) = − 2γ
γ(1− α0
R
)
(δ|θ) , (δ|ϕ) は通常小さく無視できる。
次の系を考えると
(x|θ) = (x|x)2(x|θ)1 + (x|θ)2(θ|θ)1 + (x|δ)2(δ|x)d(x|θ)1
(x|δ) = (x|x)2(x|δ)1 + (x|θ)2(θ|δ)1 + (x|δ)2 {(δ|x)d(x|δ)1 + (δ|δ)d}
achromatic focus によって質量分析系を構成させるには
(x|θ) = 0, (x|δ) = 0
(x|theta)1 = (x|θ)2 = 0 なら
(x|θ) = 0
(x|θ) = D1M2 + D2 {D1(δ|x)d(δ|δ)d} = 0 (F)
62
この時
Mx =M1M2(δ|δd)
D1(δ|x)d + (δ|δ)d
Dm =D1M2{(δ|δ)d − (δ|m)d − 1}
D1(δ|x)d + (δ|δ)d
Dz =−D1M2{2(δ|δ)d + (δ|z)d − 2}
D1(δ|x)d + (δ|δ)d
(x|δ) = 0 を成り立たせる方法 :
A : 光学系 1 , 2 が degrader 無しで分散整合している時
D1M2 + D2 = 0
=⇒ D1(δ|xd + (δ|δ)d = 1
=⇒ (δ|x) 6= 0 →(
∂d
∂x
)6= 0 degrader はwedge shape
前の経験式を用いると
∂d
∂x=
γd0
D1
→ d = d0(1 +γ
D1
x)
B : (δ|x) = 0 ( 一様厚 degrader ) なら
D1M2 + D2(δ|δ)d = 0
になるように D1 , M2 , D2 を調整
以上は (x|m) 6= 0 , (x|θ) = (x|δ) = 0 の例
この他、速度分散を持たせたり、エネルギー分散を持たせることも可。使用目的に
応じた分散性と収束性を考慮することが出来る。
63
