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Prof. Jos Luis Quintero 9
ECUACIONES DIFERENCIALES (0256)
SEMANA 01 CLASE 02 MIRCOLES 11/04/12
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) de primer orden es de la forma F(x,y, y ') 0= . Si se puede expresar como
y ' f(x,y)= entonces se pueden aplicar mtodos de solucin para ecuaciones
resueltas respecto a la derivada. Si por el contrario la EDO no se puede expresar como y ' f(x,y)= , entonces se tendrn que aplicar mtodos de solucin para
ecuaciones no resueltas en y ' , un ejemplo de este tipo de ecuaciones es la
ecuacin de Clairaut que es de la forma y xy ' f(y ')= + . El estudio se centrar en
las EDO de primer orden donde es posible despejar y ' , y dentro de este tipo de
ecuaciones se estudiarn las siguientes:
Ecuaciones con variables separables
Ecuaciones reducibles a variables separables
Ecuaciones homogneas
Ecuaciones reducibles a homogneas
Ecuaciones exactas
Ecuaciones reducibles a exactas
Ecuaciones lineales
Ecuaciones reducibles a lineales
2. Ecuaciones con variables separables. Si la EDO dada se puede expresar de la
forma h(y)dy g(x)dx= , se dir que la ecuacin es de variables separables. Observe
que se debe poder despejar y separar las variables x e y. De esta forma integrando
ambos miembros de la ecuacin anterior se determina la solucin:
h(y)dy g(x)dx= .
3. Ejemplo ilustrativo. Resuelva (2 x)dy ydx 0+ = .
Solucin.
1 1 1 1(2 x)dy ydx dy dx dy dx
y 2 x y 2 x
+ = = = + +
(se despejan las expresiones si y 0, x 2 ) por lo tanto:
1ln y ln 2 x C= + + ,
aqu se reemplaza 1C por 1 2C ln C= , es decir
2 2ln y ln 2 x ln C ln (2 x)C= + + = +
y as,
3y (2 x)C= + , 3(C 0) .
Las curvas y 0= y x 2= son soluciones de la ecuacin diferencial. En forma
grfica se tiene (ver figura 1):
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4. Ejemplo ilustrativo. Resuelva y ' x 2y 2 xy= + .
Solucin. dy dy dy
x 2y 2 xy (x 2) y(x 2) (x 2)(1 y)dx dx dx
= + = + = +
por lo tanto:
dy dy(x 2)dx (x 2)dx
1 y 1 y= =
+ + , ( y 1 ) Se tiene que:
2 22 x x2x C 2x1 C2 2 11
xln 1 y 2x C 1 y e 1 y e e
2
+ + = + + = + = ,
Figura 1. Algunas curvas para la ecuacin del ejemplo ilustrativo
de modo que aqu se reemplaza C1e por 2C 2(C 0)> , y en consecuencia se tiene
que
2 2x x2x 2x2 2
2 31 y e C 1 y C e
+ = + = , de manera que 2x 2x2
3y C e 1
= , 3(C 0) .
La curva y 1= es solucin de la ecuacin diferencial. En forma grfica se tiene
(ver figura 2):
Figura 2. Algunas curvas para la ecuacin del ejemplo ilustrativo
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5. Ecuaciones reducibles a variables separables. Una EDO que se presente de la forma
dyf(ax by c)
dx= + + , (b 0)
puede transformarse en una EDO con variables separables con el cambio: u ax by c= + + , du / dx a b(dy / dx)= + .
La ecuacin dada queda, al aplicar el cambio:
dy 1 du du
a , bf(u) adx b dx dx
= = +
que tienen las variables separadas, un procedimiento como en el apartado anterior
permite hallar la solucin. Recuerde devolver los cambios efectuados para
transformar la ecuacin.
6. Ejemplo ilustrativo. Resuelva 1
y 'x y 1
=
+ +.
Solucin. Con el cambio
u x y 1 , du 1 dy,= + + = +
recuerde que se est derivando respecto de x. Se tendr la ecuacin diferencial
con variables separadas 1
u' 1u
= (u 0)
es decir du 1 1 u
1 u'dx u u
+= + = .
Separando las variables e integrando se tiene:
udu dx
1 u=
+ , u 1 ln u 1 x C,+ + = + x y 2 ln x y 2 x C+ + + + = + (u 1) La solucin es 1 y ln x y 2 C+ + + = . La solucin y (x 2)= + tambin satisface la
ecuacin. En forma grfica se tiene (ver figura 3).
Figura 3. Algunas curvas para la ecuacin del ejemplo ilustrativo
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7. Ejemplo ilustrativo. Resuelva dy
sen(x y)dx
= + .
Solucin. Sea u x y,= + du 1 dy= + , as:
dy du1
dx dx=
y queda entonces la ecuacin diferencial u' 1 sen(u) = , que separando las
variables se tiene: du
sen(u) 1dx
= + ,
por lo tanto:
dudx
sen(u) 1=
+ , (sen(u) 1 0)+ . Para resolver la primera integral se multiplica por la conjugada del denominador
as:
2
(1 sen(u)) (1 sen(u))du du
(1 sen(u))(1 sen(u)) cos (u)
=
+ resultando las integrales:
2
2 2 2
du sen(u) sen(u)du sec (u)du du
cos (u) cos (u) cos (u) = .
Las integrales que se tienen son directas por lo tanto al integrar resulta:
1 2
1tg(u) C x C
cos(u) + = +
devolviendo el cambio: 1
tg(x y) x Ccos(x y)
+ = ++
.
La solucin de la forma
32
y x 2k (k Z)pi= + + pi
tambin satisface la ecuacin.