EC. DIFERENCIALES HOMOGENEAS Resolver M EC. DIFERENCIALES HOMOGENEAS 46 Cap£­tulo 2....

EC. DIFERENCIALES HOMOGENEAS Resolver M EC. DIFERENCIALES HOMOGENEAS 46 Cap£­tulo 2. Ecuaciones Diferenciales
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  • EC. DIFERENCIALES HOMOGENEAS

    46 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

    Definición 2.2.2 Se dice que la ecuación diferencial

    es homogénea si las funciones M y N son homogéneas y del mismo grado. Note que la ecuación diferencial

    será homogénea si / es una función homogénea de grado cero.

    Método de Solución. Una ecuación diferencial homogénea Af (#, y)dx + N(x, y)dy = 0, se resuelve reduciéndola a una ecuación de variables separables, usando cualquiera de las sustituciones v = y/x o bien v — x/y, donde v es una nueva variable.

    Nota: Aunque en teoría cualquiera de las dos sustituciones anteriores reduce una ecuación homogénea a una separable, en la práctica sugerimos utilizar

    • y = xv si N es de estructura "más simple" que M. y

    • x = yv si M es de estructura "más simple" que N. El tomar en cuenta esta observación, conduce a integrales más fáciles de calcular al

    resolver la ecuación diferencial separable que se obtiene.

    EJEMPLO 1. Resolver

    Solución. Como

    son funciones homogéneas ambas de grado tres, la ecuación dada es homogénea. Además TV es de estructura algebraica más simple que M, por lo cual, la sustitución más conve- niente es y — xv para reducir (2.17) a una ecuación de variables separables.

    Hacemos

    Sustituyendo en (2.17) obtenemos

    DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

    2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 47

    Integrando

    de donde

    Reemplazando v y simplificando encontramos que

    EJEMPLO 2. Resolver

    Solución. Ya que

    son funciones homogéneas ambas de grado uno, nuestra ecuación a resolver es homogénea. Como en el ejemplo anterior TV es de estructura algebraica mas simple que M. Por lo cual hacemos

    Sustituyendo en (2.18) obtenemos

    Integrando

    reemplazando v y simplificando, encontramos que

    DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

    2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 47

    Integrando

    de donde

    Reemplazando v y simplificando encontramos que

    EJEMPLO 2. Resolver

    Solución. Ya que

    son funciones homogéneas ambas de grado uno, nuestra ecuación a resolver es homogénea. Como en el ejemplo anterior TV es de estructura algebraica mas simple que M. Por lo cual hacemos

    Sustituyendo en (2.18) obtenemos

    Integrando

    reemplazando v y simplificando, encontramos que

    DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

  • 48 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

    donde c

    EJEMPLO 3. Resolver

    Solución. En este caso la estructura algebraica de M(x, y) es más simple que la de N(x,y), por lo cual proponemos

    Entonces

    o bien

    Integrando

    y usando v obtenemos como solución implícita

    EJEMPLO 4. Resolver

    Solución. Escribimos primero la ecuación diferencial como

    (2.20)

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    48 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

    donde c

    EJEMPLO 3. Resolver

    Solución. En este caso la estructura algebraica de M(x, y) es más simple que la de N(x,y), por lo cual proponemos

    Entonces

    o bien

    Integrando

    y usando v obtenemos como solución implícita

    EJEMPLO 4. Resolver

    Solución. Escribimos primero la ecuación diferencial como

    (2.20)

    DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

    48 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

    donde c

    EJEMPLO 3. Resolver

    Solución. En este caso la estructura algebraica de M(x, y) es más simple que la de N(x,y), por lo cual proponemos

    Entonces

    o bien

    Integrando

    y usando v obtenemos como solución implícita

    EJEMPLO 4. Resolver

    Solución. Escribimos primero la ecuación diferencial como

    (2.20)

    DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com

    2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

    Ponemos x — vy en la ecuación diferencial, de lo cual se obtiene

    o equivalentemente

    Integramos

    En términos de la variable original, la solución es

    EJEMPLO 5. Resolver (2.21)

    Solución. Escribimos la ecuación diferencial como

    Hacemos

    Entonces

    Sustituyendo

    Separando variables

    e integrando

    La solución, en forma implícita es

    Proposición. Las ecuaciones diferenciales de la forma

    49

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  • 2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

    Ponemos x — vy en la ecuación diferencial, de lo cual se obtiene

    o equivalentemente

    Integramos

    En términos de la variable original, la solución es

    EJEMPLO 5. Resolver (2.21)

    Solución. Escribimos la ecuación diferencial como

    Hacemos

    Entonces

    Sustituyendo

    Separando variables

    e integrando

    La solución, en forma implícita es

    Proposición. Las ecuaciones diferenciales de la forma

    49

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    de modo que la solución de la ecuación diferencial df — 0 está dada implícitamente por f{x,v) =c.

    2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 53

    EJERCICIOS 2.2

    Resolver:

    2.3 Ecuaciones Diferenciales Exactas Definición 2.3.1 Si z — f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer or- den continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total, denotada por dz o df, se define como

    Ahora bien si f{x,y) = c, donde c es una constante, entonces

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    de modo que la solución de la ecuación diferencial df — 0 está dada implícitamente por f{x,v) =c.

    2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 53

    EJERCICIOS 2.2

    Resolver:

    2.3 Ecuaciones Diferenciales Exactas Definición 2.3.1 Si z — f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer or- den continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total, denotada por dz o df, se define como

    Ahora bien si f{x,y) = c, donde c es una constante, entonces

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    de modo que la solución de la ecuación diferencial df — 0 está dada implícitamente por f{x,v) =c.

    2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 53

    EJERCICIOS 2.2

    Resolver:

    2.3 Ecuaciones Diferenciales Exactas Definición 2.3.1 Si z — f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer or- den continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total, denotada por dz o df, se define como

    Ahora bien si f{x,y) = c, donde c es una constante, entonces

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    220 Respuestas a los problemas

    8. x =

    9. r = 4

    1-t2

    1 + t2

    10. \{y - I)3 + -Vx2 + 4 + 21n(> + Vx2 + 4) = c ó Z

    Ejercicios 2.2, Página 53

    1. y ~ x ln

    2. y\2x2 -

    3. sen - = X

    A . »>ü J.XX 0«>0

    5. x3 + y3

    6. xy + y2

    7. y - 2z H

    8. ln(2x +

    a;

    - y2) = ex2

    ex

    — (x2 -4- v2)3/2

    = cxy

    = 2x3

    h7 = c(x + y 4

    3y + 2) = 2y -

    9. y = x arctaníln x + 1)

    - I ) 4

    - x + c

    x x10. sen — + tan — = cy 2 y y

    Ejercicios 2.3, Página 62

    1. xAy2 — x3y = c

    2. y =

    3. j / = (x-l)

    4. No es exacta.

    5. x sen y — y eos x + ln xy = c

    6. ysent + t2ey + 2y = c

    DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Pro