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EC. DIFERENCIALES HOMOGENEAS

46 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Definición 2.2.2 Se dice que la ecuación diferencial

es homogénea si las funciones M y N son homogéneas y del mismo grado.

Note que la ecuación diferencial

será homogénea si / es una función homogénea de grado cero.

Método de Solución. Una ecuación diferencial homogénea Af (#, y)dx + N(x, y)dy = 0,se resuelve reduciéndola a una ecuación de variables separables, usando cualquiera de lassustituciones v = y/x o bien v — x/y, donde v es una nueva variable.

Nota: Aunque en teoría cualquiera de las dos sustituciones anteriores reduce una ecuaciónhomogénea a una separable, en la práctica sugerimos utilizar

• y = xv si N es de estructura "más simple" que M. y

• x = yv si M es de estructura "más simple" que N.El tomar en cuenta esta observación, conduce a integrales más fáciles de calcular al

resolver la ecuación diferencial separable que se obtiene.

EJEMPLO 1. Resolver

Solución. Como

son funciones homogéneas ambas de grado tres, la ecuación dada es homogénea. AdemásTV es de estructura algebraica más simple que M, por lo cual, la sustitución más conve-niente es y — xv para reducir (2.17) a una ecuación de variables separables.

Hacemos

Sustituyendo en (2.17) obtenemos

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2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 47

Integrando

de donde

Reemplazando v y simplificando encontramos que

EJEMPLO 2. Resolver

Solución. Ya que

son funciones homogéneas ambas de grado uno, nuestra ecuación a resolver es homogénea.Como en el ejemplo anterior TV es de estructura algebraica mas simple que M. Por locual hacemos


Integrando

reemplazando v y simplificando, encontramos que


2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 47

Integrando

de donde

Reemplazando v y simplificando encontramos que

EJEMPLO 2. Resolver

Solución. Ya que

son funciones homogéneas ambas de grado uno, nuestra ecuación a resolver es homogénea.Como en el ejemplo anterior TV es de estructura algebraica mas simple que M. Por locual hacemos


Integrando

reemplazando v y simplificando, encontramos que



donde c

EJEMPLO 3. Resolver

Solución. En este caso la estructura algebraica de M(x, y) es más simple que la deN(x,y), por lo cual proponemos

Entonces

o bien

Integrando

y usando v obtenemos como solución implícita

EJEMPLO 4. Resolver

Solución. Escribimos primero la ecuación diferencial como

(2.20)



donde c

EJEMPLO 3. Resolver


Entonces

o bien

Integrando


EJEMPLO 4. Resolver


(2.20)



donde c

EJEMPLO 3. Resolver


Entonces

o bien

Integrando


EJEMPLO 4. Resolver


(2.20)


2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Ponemos x — vy en la ecuación diferencial, de lo cual se obtiene

o equivalentemente

Integramos

En términos de la variable original, la solución es

EJEMPLO 5. Resolver(2.21)

Solución. Escribimos la ecuación diferencial como

Hacemos

Entonces

Sustituyendo

Separando variables

e integrando

La solución, en forma implícita es

Proposición. Las ecuaciones diferenciales de la forma

49


2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Ponemos x — vy en la ecuación diferencial, de lo cual se obtiene

o equivalentemente

Integramos

En términos de la variable original, la solución es

EJEMPLO 5. Resolver(2.21)

Solución. Escribimos la ecuación diferencial como

Hacemos

Entonces

Sustituyendo

Separando variables

e integrando

La solución, en forma implícita es

Proposición. Las ecuaciones diferenciales de la forma

49


de modo que la solución de la ecuación diferencial df — 0 está dada implícitamente porf{x,v) =c.

2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 53

EJERCICIOS 2.2

Resolver:

2.3 Ecuaciones Diferenciales ExactasDefinición 2.3.1 Si z — f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer or-den continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total,denotada por dz o df, se define como

Ahora bien si f{x,y) = c, donde c es una constante, entonces




EJERCICIOS 2.2

Resolver:






EJERCICIOS 2.2

Resolver:




220 Respuestas a los problemas

8. x =

9. r = 4

1-t2

1 + t2

10. \{y - I)3 + -Vx2 + 4 + 21n(> + Vx2 + 4) = có Z

Ejercicios 2.2, Página 53

1. y ~ x ln

2. y\2x2 -

3. sen - =X

A . »>ü J.XX 0«>0

5. x3 + y3

6. xy + y2

7. y - 2z H

8. ln(2x +

a;

- y2) = ex2

ex

— (x2 -4- v2)3/2

= cxy

= 2x3

h7 = c(x + y 4

3y + 2) = 2y -

9. y = x arctaníln x + 1)

- I ) 4

- x + c

x x10. sen — + tan — = cy 2

y y


1. xAy2 — x3y = c

2. y =

3. j / = (x-l)

4. No es exacta.

5. x sen y — y eos x + ln xy = c

6. ysent + t2ey + 2y = c


220 Respuestas a los problemas

8. x =

9. r = 4

1-t2

1 + t2

10. \{y - I)3 + -Vx2 + 4 + 21n(> + Vx2 + 4) = có Z


1. y ~ x ln

2. y\2x2 -

3. sen - =X

A . »>ü J.XX 0«>0

5. x3 + y3

6. xy + y2

7. y - 2z H

8. ln(2x +

a;

- y2) = ex2

ex

— (x2 -4- v2)3/2

= cxy

= 2x3

h7 = c(x + y 4

3y + 2) = 2y -

9. y = x arctaníln x + 1)

- I ) 4

- x + c

x x10. sen — + tan — = cy 2

y y


1. xAy2 — x3y = c

2. y =

3. j / = (x-l)

4. No es exacta.

5. x sen y — y eos x + ln xy = c

6. ysent + t2ey + 2y = c


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