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IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes
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EAC-082: Geodésia Física
Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges
https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/
Aula 2: Introdução à Teoria do Potencial
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Embora os estudos empíricos sobre o movimento de queda livre
tenham sido iniciados e publicados por Galileu¹ no final do século
XVI, a formulação da teoria da gravitação universal só ocorreu
praticamente um século depois, quando Newton² publicou seus
estudos em 1687.
Com base nas leis de Kepler³, enunciadas em 1610 e 1619,
Newton demonstrou geometricamente em 1687 que um planeta
em seu giro em torno do sol está sujeito a uma força que varia
inversamente ao quadrado da distância 𝐹𝑃 (F = Foco; P =
Planeta) que os separa.
(1) Galileo Galilei (1564 – 1642)
(2) Isaac Newton (1642 – 1727)
(3) Johanes Kepler (1571 – 1630)
Lei da Gravitação Universal
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G é conhecida como: Constante Gravitacional ou Fator de Proporcionalidade e é igual a: 6,672x10-11 m3Kg-1s-2 no Sistema
Internacional
m2
F1 F2
d
m1
De acordo com a lei de Newton se a esfera com massa 𝑚1
estiver fixa e a esfera com massa 𝑚2 puder movimentar-se, 𝑚2
irá se deslocar em direção a 𝑚1, devido à força F.
Lei da Gravitação Universal
𝑭𝟏𝟐 = 𝑮 ∙𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐
𝒅𝟏𝟐𝟐
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Conseguiu traçar a órbita da terra determinando diferentes
posições da terra após cada período sideral de Marte.
Concluiu que essa órbita era muito bem ajustada por um
círculo excêntrico (Sol um pouco afastado do centro).
Determinou também a órbita de Marte mas não teve
sucesso em ajustá-la com um círculo.
Ao tentar representar a órbita de Marte como uma oval,
descobriu que uma elipse ajustava muito bem com os
dados, uma vez que a posição do Sol coincidia com um
dos focos da elipse.
Estudos de Kepler
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Em qualquer ponto da curva, a soma das distâncias desse ponto aos dois
focos é constante. Sendo 𝐹 e 𝐹′ os focos, 𝑃 um ponto sobre a elipse, e a o
seu semi-eixo maior, então:
Propriedades das elipses
𝐹𝑃 + 𝐹′𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2𝑎
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Quanto maior a distância entre os dois focos, maior é a excentricidade (e) da
elipse. Sendo c a distância do centro a cada foco, a o semi-eixo maior, e b o
semi-eixo menor, a excentricidade e definida por:
Propriedades das elipses
já que quando o ponto
esta exatamente sobre
b temos um triângulo
retângulo, com:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
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Se imaginamos que um dos focos da órbita do planeta é ocupado
pelo Sol, o ponto da órbita mais próximo do Sol é chamado periélio, e
o ponto mais distante é chamado afélio. A distância do periélio ao
foco (𝑅𝑝) é: 𝑅𝑝 = 𝑎 − 𝑐 = 𝑎 − 𝑎 ∙ 𝑒 = 𝑎 ∙ 1 − 𝑒
e a distância do afélio ao foco (𝑅𝑎) é:
𝑅𝑎 = 𝑎 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑒 = 𝑎 ∙ 1 + 𝑒
Propriedades das elipses
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Uma elipse é por definição um conjunto de pontos equidistantes
de dois focos separados por 2𝑎𝑒, onde 𝑎 é o semi-eixo maior e
𝑒 a excentricidade.
Equação da Elipse (Coord. Polares)
Seja um Ponto 𝑃 𝑟, 𝜃 ou 𝑃 𝑥, 𝑦 ,
onde 𝜃 é chamado de anomalia
verdadeira. Pela lei dos cossenos tem-
se:
𝑟12 = 𝑟2 + 2𝑎𝑒 2 + 2𝑟 2𝑎𝑒 cos 𝜃
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Equação da Elipse (Coord. Polares)
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Área da Elipse (Coord. Cartesianas)
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Área da Elipse (Coord. Cartesianas)
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Área da Elipse (Coord. Cartesianas)
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Área da Elipse (Coord. Cartesianas)
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Leis de Kepler
1ª Lei: Lei das órbitas elípticas (1609) – a órbita de cada
planeta é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Como
consequência da órbita ser elíptica, a distância do Sol ao planeta
varia ao longo de sua órbita.
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Leis de Kepler
2ª Lei: Lei das áreas (1609) – a reta unindo o planeta ao Sol varre áreas
iguais em tempos iguais. O significado físico dessa lei é que a velocidade
orbital não é uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o
planeta está do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira,
essa lei estabelece que a velocidade areal é constante.
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Leis de Kepler
3ª Lei: Lei harmônica (1618) – o quadrado do período orbital dos planetas é
diretamente proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Essa lei
estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em
torno do Sol e, portanto, isso implica que a força entre o Sol e o planeta
decresce com a distância ao Sol.
Sendo 𝑃 o período sideral do planeta, 𝑎 o semi-eixo maior da órbita, que é
igual à distância média do planeta ao Sol, e 𝐾 uma constante, podemos
expressar a 3ª lei como:
𝑃2 = 𝐾 ∙ 𝑎3
Se medimos 𝑃 em anos (o período sideral da Terra), e 𝑎 em unidades
astronômicas (a distância média da Terra ao Sol), então 𝐾 = 1, e podemos
escrever a 3ª lei como:
𝑃2 = 𝑎3
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Leis de Kepler
A tabela a seguir mostra como fica a 3ª Lei de Kepler para os
planetas visíveis a olho nu.
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Duas partículas se atraem mutuamente com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.
m2
F1 F2
d
m1
Para evitar ambiguidades, uma vez que a atração é recíproca,
devemos considerar umas das partículas como “Atrativa” e
outra como “Atraída”, atribuindo massa unitária a esta última.
Lei da Gravitação Universal
𝑭𝟏𝟐 = 𝑲 ∙𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐
𝒅𝟏𝟐𝟐
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m2
F1 F2
d
m1
Fazendo 𝑚1 = 𝑚: partícula atrativa de coordenadas (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′); 𝑚2 = 1: partícula atraída de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧);
𝑑12 = 𝑙: distância entre as duas partículas.
Logo:
𝐹 =𝐺 ∙ 𝑚
𝑙2
Lei da Gravitação Universal
𝑭𝟏𝟐 = 𝑮 ∙𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐
𝒅𝟏𝟐𝟐
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Leis de Newton
Primeira Lei: Inércia, elaborada a partir dos estudos de Galileo
Galilei Em ausência de forças externas, um objeto em
repouso permanece em repouso, e um objeto em movimento
permanece em movimento, ficando em movimento retilíneo e
com velocidade constante.
A medida da inércia de um corpo é seu momentum. O
momentum de um objeto é proporcional à sua velocidade. A
constante de proporcionalidade que resiste à mudança, é a sua
massa:
𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝐹 = 0
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Leis de Newton
Segunda Lei: Lei da Força Relaciona a mudança de
velocidade do objeto com a força aplicada sobre ele. A força
líquida aplicada a um objeto é igual à massa do objeto vezes a
aceleração causada ao corpo por essa força.
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙𝜕𝑣
𝜕𝑡=
𝜕𝑝
𝜕𝑡
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Leis de Newton
Terceira Lei: Ação e Reação Se um objeto exerce uma força
sobre outro objeto, este outro exerce uma força igual e
contrária.
Como Newton descobriu a Lei da Gravitação Universal?
Considerando o movimento da Lua em torno da Terra e as leis
de Kepler.
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Leis de Newton
Como Newton descreveu a aceleração centrípeta?
No instante 𝑡 a partícula está
em 𝐷 com velocidade 𝑣 1 na
direção DE. Pela 1ª Lei se
não existe uma força agindo
sobre o corpo ele continuará
em movimento na direção
DE. Após ∆𝑡 a partícula está
em G, e percorreu a distância
𝑣 ∙ ∆𝑡, e está com velocidade
𝑣 2 de mesmo módulo v, mas
em outra direção.
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Leis de Newton
Seja 𝜃 o ângulo entre os pontos D
e G. 𝜃 também é o ângulo entre
𝑣 1 e 𝑣 2.
𝑣 ∙ ∆𝑡 = 𝑟 ∙ 𝜃 → 𝜃 =𝑣 ∙ ∆𝑡
𝑟=
∆𝑣
𝑣
Portanto:
𝑎 =∆𝑣
∆𝑡=
𝑣2
𝑟
Se a partícula tem massa m, a
força central necessária para
produzir a aceleração é:
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙𝑣2
𝑟
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Gravitação Universal
A força centrípeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa
𝑚, que se move com velocidade 𝑣 a uma distância 𝑟 do Sol é
dada, é dada, portanto por:
𝐹 = 𝑚 ∙𝑣2
𝑟
Considerando, nesse instante uma órbita circular, o período P
do planeta será dado por:
𝑃 =2𝜋𝑟
𝑣→ 𝑣 =
2𝜋𝑟
𝑃
Pela 3ª Lei de Kepler:
𝑃2 = 𝐾 ∙ 𝑟3
onde a constante 𝐾 depende das unidades de 𝑃 e 𝑟.
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Gravitação Universal
Assim, temos:
𝑣2 =4𝜋2𝑟2
𝐾𝑟3=
4𝜋2
𝐾𝑟→ 𝑣2 ∝
1
𝑟
Considerando 𝑚 a massa do planeta e 𝑀 a massa do Sol, tem-
se que a força centrípeta exercida pelo Sol no planeta pode ser
escrito como:
𝐹 ∝𝑚
𝑟2
Pela 3ª Lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e
contrária sobre o sol. A força exercida pelo planeta sobre o Sol,
será dada por:
𝐹 ∝𝑀
𝑟2
∝ indica proporcionalidade
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Gravitação Universal
Newton deduziu, então, que:
𝐹 =𝐺𝑀𝑚
𝑟2
onde G é uma constante de proporcionalidade. Tanto o Sol
quanto o planeta experimentam a mesma força mas o sol
permanece no centro do sistema Solar por apresentar uma
massa mil vezes maior que a soma das massas dos demais
planetas. A constante de proporcionalidade G depende das
unidades das massas e da distância.
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Derivação da constante K
Suponha dois corpos de massa 𝑚1 e 𝑚2, com velocidades 𝑣1 e
𝑣2, em órbita circular em torno do centro de massa comum,
cujas distâncias são respectivamente 𝑟1 e 𝑟2 . A atração
gravitacional é dada por:
𝐹𝐺 =𝐺𝑚1𝑚2
𝑟1 + 𝑟22
E as forças centrípetas são dadas por:
𝐹1 =𝑚1𝑣1
2
𝑟1 e 𝐹2 =
𝑚2𝑣22
𝑟2
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Derivação da constante K
Como:
𝑣1 =2𝜋𝑟1𝑃
→ 𝑣12 =
4𝜋2𝑟12
𝑃2
e o mesmo para o corpo 𝑚2,
𝐹1 = 𝐹2 = 𝐹𝐺 =𝐺𝑚1𝑚2
𝑟1 + 𝑟22
=𝑚1𝑣1
2
𝑟1=
𝑚14𝜋2𝑟2𝑃2
e
𝐺𝑚1𝑚2
𝑟1 + 𝑟22
=𝑚2𝑣2
2
𝑟2=
𝑚24𝜋2𝑟1𝑃2
Eliminando-se 𝑚1 na primeira e 𝑚2 na segunda, e somando-as
tem-se:
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Derivação da constante K
𝐺 𝑚1 + 𝑚2
𝑟1 + 𝑟22
=4𝜋2 𝑟1 + 𝑟2
𝑃2
ou
𝑃2 =4𝜋2
𝐺 𝑚1 + 𝑚2∙ 𝑟1 + 𝑟2
3
Comparando essa expressão com a forma original da 3ª Lei de
Kepler:
𝑃2 = 𝐾 ∙ 𝑎3
vemos que:
𝐾 =4𝜋2
𝐺 𝑚1 + 𝑚2∙
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Derivação da constante K
A “constante” K, definida como a razão 𝑃2
𝑎3, só é constante se
𝑚1 + 𝑚2 permanece constante. No caso do sistema solar,
Kepler não percebeu a dependência com as massas pois todos
os planetas tem massa muito menor que a massa do Sol,
fazendo com que a soma da massa do Sol com a massa do
planeta é sempre aproximadamente a mesma.
Por exemplo, todos os satélites de Júpiter tem praticamente a
mesma razão 𝑃2
𝑎3 = 𝐾𝐽𝑢𝑝, podendo ser consideradas constante
entre elas, mas é diferente da constante 𝑃2
𝑎3 = 𝐾𝑆𝑜𝑙 comum aos
planetas do sistema solar.
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Derivação da constante K
Logo para estabelecermos a igualdade temos que introduzir a
massa:
𝑀𝑆𝑜𝑙 + 𝑚𝑝
𝑃2
𝑎3𝑆𝑜𝑙
= 𝑀𝐽𝑢𝑝 + 𝑚𝑠
𝑃2
𝑎3𝐽𝑢𝑝
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Considerando as massas dos planetas desprezíveis em relação à
massa do Sol e a massa dos satélites desprezíveis em relação à
massa de Júpiter, e considerando a razão 𝑃2
𝑎3 pela letra 𝐾, temos:
𝑀𝑆𝑜𝑙𝐾𝑆𝑜𝑙 = 𝑀𝐽𝑢𝑝𝐾𝐽𝑢𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Que generalizando, temos:
𝑀1𝐾1 = 𝑀2𝐾2 = ⋯ = 𝑀𝑛𝐾𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 =4𝜋2
𝐺
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Derivação da constante K
Existem casos de sistemas gravitacionais em que não podemos
desprezar a massa de nenhum corpo em relação ao outro, como
exemplo, muitos sistemas binários de estrelas. Nesses casos o
correto é escrever:
𝑀 + 𝑚 1𝐾1 = 𝑀 + 𝑚 2𝐾2 = ⋯ = 𝑀 + 𝑚 𝑛𝐾𝑛 =4𝜋2
𝐺
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Determinação de massas
Como visto anteriormente, a 3ª Lei de Kepler na forma
derivada por Newton é dada por:
𝑀 + 𝑚 =4𝜋2
𝐺∙𝑎3
𝑃2
No sistema Internacional de unidades: 𝐺 = 6,672 ∗ 10−11𝑁𝑚2/𝐾𝑔2 ou 𝐺 = 6,672 ∗ 10−11𝑚3/𝐾𝑔 𝑠2
que foi medida em laboratório pelo físico inglês Henry Cavendish
(1731-1810) em 1798.
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Determinação de massas
Na astronomia costuma-se utilizar outras unidades diferentes do
SI. Em sistemas onde o corpo maior é uma estrela, costuma-se
determinar suas massas em unidades de massa do Sol, ou
massas solares (𝑀⨀), seus períodos em anos e suas distâncias
em unidades astronômicas (distância Terra - Sol). Já em
sistemas em que o corpo maior é um planeta, expressa-se sua
massa em unidades de massas da Terra (𝑀⊕), seu período em
meses siderais e suas distâncias relativas em termos da
distância entre a Terra e a Lua. Nos dois sistemas o valor de
𝐺 = 4𝜋2 e a 3ª Lei de Kepler fica:
𝑀 + 𝑚 =𝑎3
𝑃2
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Exercícios
1. Deimos, o menor dos 2 satélites de Marte, tem período
sideral de 1,26244 dias e uma distância média ao centro de
Marte de 23459 km. Qual a massa de Marte?
Marte e seus dois satélites - Fobos (esq.) e Deimos (dir.)
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Dados Oficiais dos satélites de Marte
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Exercícios
2. Duas estrelas idênticas ao Sol giram uma em torno da outra a
uma distância de 1 UA. Qual o Período de revolução das
estrelas?
Sistema Binário de Estrelas
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Gemael, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR,
Curitiba, 1999.
Oliveira Filho, K. S.; Saraiva, M. F. O. Astronomia e
astrofísica – 2. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo, 2004.
Halliday, D., Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física,
volume 2: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução e
revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Cientifico S.A - LTC, 2009.
Referências Bibliográficas