Dynamická pevnost a životnost JurIII -...

České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní

Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.1

Dynamická pevnost a životnost

Jur III

Milan Růžička, Josef Jurenka, Martin Nesládek

[email protected]

Poděkování:

Děkuji prof. Ing. Jiřímu Kunzovi, CSc za laskavé svolení s využitím některých obrázků z jeho knihy “Aplikovaná lomová mechanika, ČVUT, 2005“ v této přednášce.



Literatura J. Kunz: Aplikovaná lomová mechanika, ČVUT, 2005

J. Kunz: Základy lomové mechaniky, ČVUT, 2000

J. Němec: Prodlužování životnosti konstrukcí a předcházení jejich haváriím, Asociace strojních inženýrů v České republice, 1994

J. Kučera: Úvod do mechaniky lomu I : vruby a trhliny : nestabilní lom při statickém zatížení, 1. vyd. Ostrava : Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2002

J. Kučera: Úvod do mechaniky lomu II : Únava materiálu, Ostrava : Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 1994

V. Moravec, D. Pišťáček: Pevnost dynamicky namáhaných strojních součástí, Ostrava : Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006

D Broek: Elementary Engineering Fracture Mechanics, 1. ed. Martinus Nijhoff Publ.,Boston 1982

D Broek: The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1988

Růžička, M., Fidranský, J. Pevnost a životnost letadel. ČVUT, 2000.

Růžička, M., Hanke, M., Rost, M. Dynamická pevnost a životnost. ČVUT, 1987.

Pook, L. Metal Fatigue – What it is, why it matters. Springer, 2007.



Hnací síla trhliny G - definice Podle Griffithova kriteria křehkého lomu může nastat nestabilní šíření trhliny, pokud

energie potřebná pro rozšíření trhliny o přírůstek da bude dodána z příslušného systému tělesa s trhlinou. Energie pro šíření trhliny může být dodávána prací vnějších sil A nebo částí elastické deformační energie U, která je uvolňována při šíření trhliny.

WUAWv

Energetickou bilanci tělesa s trhlinou, které je zatíženého vnějšími silami je možné vyjádřit pomocí vztahu:

B

SW

Wv celková energie tělesa

A práce vnějších sil

U deformační energie

W disipační energie trhliny – energie potřebná pro vznik trhliny

specifická energie trhliny

S velikost lomové plochy

B tloušťka tělesa

ktpl 02

0 spec. pot. povrchová energie

pl spec. pot. energie plastické deformace

t spec. teplo uvolněné na čele trhliny

k spec. kin. energie nejbližsího okolí čela trhliny



Hnací síla trhliny G – energetická bilance

Pro desku jednotkové tloušťky B lze napsat podmínku stability trhliny:

a

WUA

aWAU

av

vd

d

d

d nebo ,0

d

d

UAa

d

dG N/mJ/m2

Veličina:

se nazývá HNACÍ SÍLA TRHLINY (rychlost uvolňování deformační energie)

Veličina:

představuje odpor materiálu proti šíření trhliny – lomovou houževnatost„vyjádřenou pomocí energie“

a

WR

d

d N/mJ/m2

(i)



Potom lze podmínku stability vyjádřit ve tvaru:

Ukázka výpočtu G: uvažujme těleso tloušťky B, s trhlinou délky a, zatížené silou P dle obr.

Působením sil dojde k relativnímu posuvu v jejího působiště. V okamžiku, kdy dojde k prodloužení trhliny o da zvětší se posunutí v o dv. Potom práce vykonaná vnějšími silami je Pdv. Za předpokladu elastické deformace je posunutí v poplatné poddajnosti desky, kterou lze vyjádřit:

Potom přírůstek práce vnějších sil lze zapsat jako:

a

CP

Ba

vP

Ba

A

d

d1

d

d1

d

d 2 (ii)

CPv

RG



Potom deformační energie akumulovaná v tělese (s trhlinou) je dána vztahem:

Dosazením (ii) a (iii) do (i) dostaneme:

(iii)a

dCP

Ba

dUCP

BPv

BU

d2

1

d,

2

1

2

1 22

a

C

B

P

a

CP

a

CP

BG

d

d

2d

d

2

1

d

d1 222

vP a

U

Ba

U

Ba

C

B

PG

d

d1

d

d1

2

2

Hnací síla není závislá na způsobu zatěžování.



Z poslední rovnice plyne, že hodnota hnací síly trhliny je vždy rovna derivacideformační energie AŽ NA ZNAMÉNKO.

Grafické znázornění energetické bilance P = konst.

konstantní síla Pkonstantní síla P

1P

a2

a

A C

D

P

v0 B

OAB - deformační energie U před prodloužením trhliny

aa 22

aa

OCD - deformační energie U po prodloužením trhliny

�ACBD – práce vnějších sil

v

nárůst deformační energie

tělesa = OCD - OAB = 1/2

�ACBD = OAC

Pa

U

BG

d

d1



Grafické znázornění energetické bilance v = konst.

konstantní posuv vkonstantní posuv v

1P

a2

a

A

D

P

v0 B

OAB - deformační energie U před prodloužením trhliny

aa 22

aa

OEB - deformační energie U po prodloužením trhliny

0v

pokles deformační energie

tělesa = OAB - OEB OAC = 1/2 �ACBD

va

U

BG

d

d1

E

C

ACE = 1/2vP 0,

zanedbáme

P



Kriterium stability dle Griffitha

Griffithe kriterium odvodil pro nekonečné těleso s centrální trhlinou eliptického tvaru délky 2a v podmínkách nulových posuvů okrajů tělesa a mód I namáhání s uvažováním dokonale křehkého materiálu disipační energie trhliny uvažoval pouze jako funkci specifické potenciání povrchové energie.

Podmínku ztráty stability lze vyjádřit ve tvaru:

Ra

UGa

B

SW

00

0 2d

d2

2

0 ktpl

RG



Elastickou deformační energii tělesa s trhlinou lze vyjádřit jako:

Výpočet Ua na základě řešení pole napětí a deformací v okolí trhliny

aUUU 0

U0 deformační energie tělesa bez trhliny

Ua úbytek deformační energie tělesa v důsledku existence trhliny = uvolněná deformační energie

a a

r ,rav

x

yy

a

ya rravrU0

d,0,2

12

r

ary

20,

r

ary

20,

RN 2

4,

RD2

14,

2

raa

Erav

raa

E

vrav



Integrací dostaneme:

a

ya rravrU0

d,0,2

12

RD1 2

2

aaE

vUa

RN1 2 aaE

Ua

Hnací síla trhliny:

00

dd dlim

d d da a

I aa

U UUG U U

a a a a

RD1 2

2

aE

vGI

RN1 2 aE

GI

Podmínka stability pro stav RD:

20

220

01

2.,

1

22

d

d

va

Eresp

v

Ea

a

UG ccI



Zobecnění kriterium stability dle Griffitha

Konečné rozměry tělesa vyjádření hnací síly trhliny G pomocí faktoru intenzity napětí K, kde korekční funkce Y zohledňuje skutečné rozměry tělesa.

Nekonečné těleso:

RD1

,11 2

22

22

2

IIIIII KE

vGK

E

va

E

vG

RN,1

,11 222 IIIIII K

EGK

Ea

EG

Konečné těleso:

21IIIIII K

E

vG

aK

aYK



Elastoplastický materiál vznik plastické deformace v okolí čela trhliny významně ovlivní jak velikost hnací síly trhliny G, tak i odpor materiálu proti šíření trhliny R.

Změna hodnoty G: Plastická deformace malého rozsahu hodnotu G lze určit pomocí K, které je korigované pomocí Irwinovy korekce na velikost plastické zóny.

Změna hodnoty R: U tvárných materiálů je třeba vzít v úvahu další složky specifické energie trhliny, které byly dříve zanedbány. Nejvýznamnější z nich je pl:

0 p

Kriterium stability:

IIIII,I,, jGG jcj

RGGG IIIIII

Platí pouze na začátku šíření trhliny.



R-křivky vs. hnací síla trhliny G Hodnota R odpovídá kritické hodnotě Gc určení R probíhá např.

experimentálně, kdy pro změřenou hodnotu c vedoucí k lomu vypočteme Gc, resp. R:

RD1 2

2

aE

vG cc RN

1 2 a

EG cc Vliv:

materiálových vlastností, podmínek zatěžování a okolního prostředí 6 210 10 J/mc oceli

G R

Kriterium stability lze vyjádřit graficky jako závislost G, resp. R na délce trhliny a a jejím přírůstku a. Na úvod výjdeme z přepokladů:

Ve stavu rovinné deformace lze uvažovat R jako konstantní funkci tedy jako materiálovou charakteristiku. (lom. houž.)

Budeme uvažovat nekonečné těleso hnací síla trhliny G bude přímo úměrná délce trhliny a.

.RD

Wa

12

Kritická délka trhliny ac jako funkce napětí .

Stabilita trhliny G < R.



Univerzálnější zobrazení na vodorovné ose vynášena jak délka trhliny a, tak i její přírůstek a:

Stabilita trhliny G < R

.RD

Wa

.

.

konstv

konst

.RD

Wa

12 .konstj

Počátek růstu trhliny G = R

Pro kratší trhlinu a napětí 2 hnací síla Gnedosáhla kritické hodnoty R trhlina se nezačne šířit! a = 0

Šíření trhliny G > RŠíření trhliny G > R

V podmínkách konstantního posuvu klesá napjatost a hnací síla trhliny G s délkou trhliny a roste pomaleji.



Stav rovinné napjatosti odpor materiálu proti šíření R není konstantní, ale funkcí délky trhliny R(a).

Ztrátě stability předchází stabilní šíření trhliny ke stabilnímu růstu trhliny dochází pouze pokud roste zatížení, resp. napětí.

Stabilní šíření nastane, pokud hodnota G dosáhne prahové hodnoty Gi, nestabilní šíření nastane, pokud hodnota G dosáhne kritické hodnoty Gc, resp. R.

cGaR

iGaR Počátek stabilního šíření

P

t

iP

Stabilní šíření podmíněno

růstem zatížení.

cPNestabilní šíření,

bez nutnosti zvětšování napětí

• G < Gi

trhlina se nešíří

• Gi < G < Gc

trhlina se šířístabilně

• Gc < G

trhlina se šířínestabilně



Stav rovinné napjatosti R-křivky

a

R

a

G

RG

RG 2

Počáteční délka trhliny ai

G(1,ai) < R(RD, RN, ai) šíření trhliny nenastane

G(2,ai) = R(RD) < R(RN, ai) nestabilní šíření trhliny nastane v

podmínkách RD, v podmínkách RN může nastat stabilní šíření, pokud bude

zvýšeno napětí.

3

G(3,ai) > R(RD) > R(RN,ai) stabilní šíření trhliny o a až do

okamžiku G(3,ai+a) = R(RN,ai+a), potom bez zvýšení napětí platí:

G(3,ai+a+a’) < R(RN,ai+a+a’),

RG

4

a

R

a

G

RG

G(4,ai+ac) = R(RN,ai+ac) G/a = R/a nastane nestabilníšíření trhliny G(4,ai+ac+a’) >

R(RN,ai+ac+a’)



Stav rovinné napjatosti R-křivky pro houževnaté materiály

Odpor materiálu proti šíření trhliny je dán především prací potřebnou na vytvoření plastické deformace, práce na spojování mikroporuch mnohem menší R-křivka prochází počátkem.

Velikost kritického napětí c, resp. zbytkové pevnosti je přímo úměrná sklonu tečny R-křivky.

Graf ukazuje závislost kritického napětí c, resp. zbytkové pevnosti a celkové kritické délky trhliny v okamžiku ztráty stability ac na počáteční délce trhliny a.



Stav rovinné deformace, resp. rovinné napjatosti vliv konečných rozměrů tělesa, způsobu zatěžování a okrajových podmínek.

Vliv těchto faktorů lze do výpočtu zahrnout pomocí korekčních funkcí Y původně lineární závislost se mění na obecnou změna kritických hodnot vyhodnocovaných veličin c a ac!



Faktor hustoty deformační energie S

Doposud uvedená kriteria lomové mechaniky K (faktor intenzity napětí) G(hnací síla trhliny) byla založena na předpokladu, že dopředu známe (předpokládáme) směr dalšího šíření trhliny, který byl předpokládán ve směru stávající trhliny.

Součásti jsou často zatížené kombinovaným módem namáhání I+II (+III) další šíření trhlin se v těchto případech neodehrává v původním směru.

Obecně lze řící, že směr šíření trhliny bude záviset na rozložení energie v tělese a na vlastnostech a struktuře materiálu Sih sestavil teorii predikce stability a směru šíření trhlin, která vychází z hustoty deformační energie.



Hustota deformační energie

Předpokládáme lineární elastický materiál potom hustota deformační energie bude:

MPa,J/m.,,,,2

1 3

,, 0

zyxjiddV

dU

jiijij

jiijij

ij

.

12,,

,,1

EG

G

E

xy

xy

zyxx

222

222

1

2

1

zxyzxy

xzzyyxzyx

E

EEdV

dU

Rozšířený Hookeův zákon

Uvažujme smíšený mód namáhání složky tenzoru napětí v blízkosti čela:

IIIII,I,;,,,,22

IIIIII

kzyxjifr

Kf

r

aijk

kijkijkijijij



Jednotlivé složky tenzoru napětí v okolí trhliny při smíšeném módu namáhání budou:

.2

sin2

1

,2

cos2

1

,2

3sin

2sin1

2cos

2

3cos

2cos

2sin

2

1

RN, pro0

RD, pro2

sin2

cos2

1

,2

3cos

2cos

2sin

2

3sin

2sin1

2cos

2

1

,2

3cos

2cos2

2sin

2

3sin

2sin1

2cos

2

1

IIIyz

IIIyz

IIIxy

z

IIIz

IIIy

IIIx

Kr

Kr

KKr

KKr

KKr

KKr

222

222

1

2

1

zxyzxy

xzzyyxzyx

E

EEdV

dU

233

222

122

11 21

IIIII

IIII

KaKa

KKaKa

rdV

dU



2 2 211 12 22 33

12I I II II III

dUa K a K K a K a K

dV r

.4

1a

RN pro,1cos3cos1cos11

4

16

1

RD pro,1cos3cos1cos11416

1

RN pro,1

1cossin

8

1

RD pro,21cossin8

1

RN pro,cos1cos1

3

16

1

RD pro,cos1cos4316

1

33

22

22

12

12

11

11

G

Ga

Ga

Ga

Ga

Ga

Ga



Faktor hustoty deformační energie S - definice

2 2 2 211 12 22 33

d2 , N/m, J/m .

dI I II II III

US r a K a K K a K a K

V

Díky uvažování smíšeného módu namáhání je faktor hustoty deformační energie směrově citlivý:

Sihova teorie nestabilního šíření je založena na dvou základních hypotézách:

1) K šíření trhliny dojde ve směru 0, ve kterém je faktor hustoty deformační energie S minimální

2) K šíření dojde, jestliže faktor hustoty deformační energie Sdosáhne ve směru 0 kritické hodnoty

002

2

SS0

cSS 0



Faktor hustoty deformační energie S patří mezi kriteria lineární lomové mechaniky.

Stejně jako předchozí dvě kritéria K a G vychází i S z předpokladu malé plastické zóny na čele trhliny.

Budeme-li na K a G pohlížet jako na skalární veličiny popisující stav tělesa s trhlinou vzhledem ke křehkému lomu, potom na veličinu S musíme pohlížet jako na vektor toto kritérium nám dovoluje určit jak okamžik nestabilního šíření trhliny, tak i směr, ve kterém k tomuto šíření dojde.



Faktor hustoty deformační energie S – příklad 1: Nekonečné těleso s trhlinou – mód I

Namáhání tělesa s trhlinou:

Dosazením do S dostaneme:

cos1cos4316

22

11 vG

aKaS I

Podmínka minima:

0,0, IIIIII KKaK

012cos2cos8

21arccos,0012cossin8

2

2

2

21

2

vG

aS

vvG

aS



Faktor hustoty deformační energie S – příklad 1: Nekonečné těleso s trhlinou – mód I

Podmínka minima:

012

04

2

2

2

2

2

2

2

1

vvG

aσ

θ

S

G

avσ

θ

S

θ

θ

aG

vSS 2

min4

210

Minimální hodnota S:

Ztráta stability trhliny (v podmínkách RD):

22

04

21

4

210 Iccc K

G

va

G

vSS



Faktor hustoty deformační energie S – příklad 2: Nekonečné těleso s trhlinou – mód II

Namáhání tělesa s trhlinou:

Dosazením do S dostaneme:

1cos3cos1cos11416

22

22

vG

aKaS II

Podmínka minima:

0,,0 IIIIII KaKK

021cos2cos38

3

21arccos,00cos321sin

82

2

2

21

2

vG

aS

vv

G

aS



Faktor hustoty deformační energie S – příklad 2: Nekonečné těleso s trhlinou – mód II

Podmínka minima:

026

014

22

2

2

2

2

2

2

1

vvG

aS

vG

aS

a

G

vvvSS 2

2

min12

12

3

21arccos

Minimální hodnota S:

Ztráta stability trhliny (v podmínkách RD) za předpokladu, že Sc je materiálová konstanta:

a

G

vK

G

vK

G

vva

G

vvSS cIcIIccc

2222

22

4

21

4

21

12

12

12

12



Faktor hustoty deformační energie S – příklad 3: Nekonečné těleso s trhlinou – mód I a II namáhání

Složky napětí 1 a 2 jsou hlavní napětí v desce a k je reálné číslo.

Pro vypočet S musíme znát hodnoty faktoru intenzity napětí KI a KII pro jednotlivé módy namáhání

aKaK III ,

Výpočet potřebných napětí a je možné provést aplikací Mohrovykružnice pro rovinnou napjatost:

2sin2

2cos22

12

1212



Hodnoty KI resp. KII potom jsou:

21 k

cossin1

2sin2

cossin

2cos112

2cos22

2

22

222

2

2222

k

k

k

kk

kk

akaK

akaK

II

I

cossin1

cossin

2

222



III KK ,

2 211 12 222I I II IIS a K a K K a K

Průběh normalizované hodnoty KI v závislosti na úhlu odklonu trhliny a poměru hlavních napětí k.

Průběh normalizované hodnoty KII v závislosti na úhlu odklonu trhliny a poměru hlavních napětí k.

2

20 0

S S

0 cS S

a

KI

2 a

KII

2



Faktor hustoty deformační energie S – příklad: trhlina ve stěně zkrucované válcové nádoby

Ve stěně uzavřené válcové nádoby, byl zjištěn defekt. Pro jednoduchost uvažujeme průchozí trhlinu dle obr.

X crack

Y crack

A

A

A - A

Oblast defektu

a2



Ve stěně uzavřené válcové nádoby tloušťky t, která je namáhána vnitřním přetlakem p, je pro velké hodnoty poměru poloměru ku tloušťce stěny možné zanedbat radiální složku napětí. V elementu stěny potom bude dvojosá napjatost, kde napětí 1 je napětí směru obvodovém a napětí 2 je napětí směru osovém.

1

1

2 2

2

1 222

2000 25000 2000 4,

2 5000 2000 2000 24

tp

p

t t

602

cossin1

cossin

2

222

k

k

21 k

akK

akK

II

I

cossin1

cossin

2

222



2

22

222

22

cossin11cos3cos1cos114

cossin1cossin21cossin4

cossincos1cos4364

kv

kkv

kva

GS

Dosazení do 22212

211 2 IIIIII KaKKaKaS

0,,0 0

vf

S

Výpočet směru šíření trhliny:

Rovnici může splňovat několik úhlů 0.

02

2

S

Vybereme pouze ty kořeny 0,, pro které platí daná nerovnost.

akKakK III cossin1,cossin 222

2



Průběh funkce v závislosti na - /2. ,0

vfvf ,0,, 00

Z průběhu funkce je vidět, že největší odklon iniciované trhliny od jejího původního směru asi 0 = 33,5° pro úhel odklonu trhliny - /2 = 57°. Trhlina se přitom snaží zaujmout takový směr, kde by normála jejích lícních ploch svírala se směrem většího hlavního napětí minimální úhel.

Dosadíme-li řešení, resp. úhel 0 do rovnice pro Sdostaneme hodnotu faktoru hustoty deformační energie.

,f

Stabilitu trhliny lze potom posoudit podle:

cSS 0

Konkrétně pro k = 0,5 lze dopočíst:

2



""S

Dosadíme-li několik bodů řešení, resp. úhlů f(,) pro různé do rovnice pro S dostaneme závislost hodnoty faktoru hustoty deformační energie na úhlu odklonu trhliny - /2 a Poissonova poměru v.

cSS 0

Velikost S pro odklon trhliny - /2 = 90° je přibližně 4x menší než pro - /2 = 0° přípustná délka trhliny na mezi stability je potom ve směru obvodovém asi čtyřikrát větší, nežli ve směru osovém.

Teorie hustoty deformační energie je založena na singulárním řešení stavu napjatosti (předpoklad elastické chování materiálu) v blízkém okolí čela trhliny vyhodnocení směru šíření platí pouze pro toto blízké okolí a po prodloužení trhliny neplatí.

2

Dynamická pevnost a životnost JurIII -...

Documents

Transcript of Dynamická pevnost a životnost JurIII -...