Dvostruko regularni digrafovi i simetricni dizajnivmikulic/seminar/27_1_2012Mavrovic.pdfDigraf je...

Digrafovi i sim. dizajni Konstrukcije DRAD-ova

Dvostruko regularni digrafovi i simetricni dizajni

Nina Mavrovic

(27.01.2012.)

Odjel za matematikuSveucilište u Rijeci

Nina Mavrovic Dvostruko regularni digrafovi i simetricni dizajni 1/33


Literatura

Yury J. Ionin and Hadi Kharaghani:

"Doubly regular digraphs and symmetric designs"

Journal of Combinatorial Theory, Series A 101 (2003) 35-48



Sadržaj

1 Digrafovi i simetricni dizajni

2 Konstrukcije DRAD-ova iz simetricnih dizajna2.1 Konstrukcija iz projektivnih ravnina2.2 Konstrukcija iz Menonovih dizajna2.3 Konstrukcija iz dizajna s parametrima McFarlandovihdiferencijskih skupova



Sadržaj





Digrafovi

Definicija 1.1Digraf je uredeni par Γ = (V ,E), gdje je:

• V konacan neprazan skup vrhova,

• E skup lukova tj. uredenih parova (x , y) ∈ V 2, x 6= y .

Ako je (x , y) luk, kažemo da x dominira nad y ili da je ydominiran sa x .

Definicija 1.2Digraf Γ je regularan stupnja k ako svaki vrh od Γ dominiranad k vrhova i dominiran je sa k vrhova.



Dvostruko regularni asimetricni digrafovi

Definicija 1.3Digraf s v vrhova je dvostruko regularan s parametrima(v , k , λ) ako je regularan stupnja k i za svaka 2 6= vrha x i y ⇒

• broj vrhova koji dominiraju i nad x i y je jednak λ,

• broj vrhova koji su dominirani i sa x i sa y je λ.

Definicija 1.4Digraf Γ je asimetrican ako: (x , y) ∈ E ⇒ (y , x) /∈ E .

Dvostruko regularan asimetrican digraf s parametrima (v , k , λ)

oznacavamo sa DRAD(v , k , λ).



Simetricni dizajni

Definicija 1.5Simetrican (v , k , λ)-dizajn je par D = (X ,B), gdje je:

• X skup od v tocaka

• B skup od v blokova, tj. k -clanih podskupova od X

• svaki 2-clani podskup od X sadržan u tocno λ blokova.



Simetricni dizajni

Definicija 1.6Neka je X = {x1, ..., xv} i B = {B1, ...,Bv}. Matrica incidencije

dizajna D je matrica A = [aij ] reda v t.d. aij =

{1, xi ∈ Bj

0, xi /∈ Bj.

Teorem 1.7Matrica N reda v s elementima iz {0,1} je matrica incidencijesim. (v , k , λ)-dizajna⇔ NN t = (k − λ)I + λJ.



Veza simetricnih dizajna i digrafova:

Teorem 1.8

Neka je N matrica incidencije sim. (v , k , λ)-dizajna t.d. je N + N t

(0,1)-matrica. Tada je N matrica susjedstva za DRAD(v , k , λ) iobratno.



Veza simetricnih dizajna i digrafova

Definicija 1.9Hadamardova matrica je matrica H reda n sa elementima iz{1,−1} za koju je HHT = nI.Hadamardova matrica je kosa (skew) ako je H + H t = 2I.

Hadamardovi turniriHadamardov turnir je DRAD(4n − 1,2n − 1,n − 1).

Takav turnir postoji⇔ postoji kosa Hadamardova matricareda 4n.



Veza simetricnih dizajna i digrafova

- dizajni blizanci (twin designs)

Simetricni (v , k , λ) dizajni D = (X ,B) i D′ = (X ,B′) su dizajniblizanci ako postoji bijekcija f : B → B′ t.d. je svaki blok B ∈ Bdisjunktan sa f (B).

Vrijedi:Neka je:

• Γ DRAD(v , k , λ),

• Γ′ digraf koji se dobije promjenom smjera svakog luka od Γ.

Tada su odgovarajuci simetricni dizajni blizanci.


Digrafovi i sim. dizajni Konstrukcije DRAD-ova Iz proj. ravnina Iz Menonovih dizajna McFarl. dif. skupovi

Sadržaj





Sadržaj





2.1 Konstrukcija DRAD-a iz projektivne ravnine

Nap. 2.1Za q potenciju prostog broja, projektivna ravnina reda q jesimetrican (q2 + q + 1,q + 1,1)-dizajn.

Vrijedi:Sim. dizajn s tim parametrima može se dobiti iz Singerovogdiferencijskog skupa.




Definicija 2.2Neka je (G,+) konacna grupa reda v i k , λ ∈ N t.d. 2 ≤ k < v .k -clani podskup D ⊆ G je (v , k , λ)-diferencijski skup u G ako:

• multiskup {x − y : x , y ∈ D, x 6= y} sadrži svaki element izG \ {0} tocno λ puta.

PrimjerD = {1,2,4} je (7,3,1)-diferencijski skup u Z7




Definicija 2.3Neka je q potencija prostog broja. Singerov diferencijskiskup je (q2 + q + 1,q + 1,1)-diferencijski skup u Zq2+q+1.

• to je (q + 1)-clani podskup D grupe Zq2+q+1 u kojem svakinenul element grupe ima jedinstvenu reprezentaciju kaorazlika 2 elementa iz D

• D Sing. dif. skup⇒ D + x Sing. dif. skup ∀x ∈ Zq2+q+1

• daje sim. (q2 + q + 1,q + 1,1)-dizajn s matricom incid.:

S(D) = [sij ], sij =

{1, i − j ∈ D0, i − j /∈ D

, i , j = 1,2, ...,q2+q+1.




Teorem 2.4

Za q potenciju prostog broja postoji DRAD(q2 + q + 1,q + 1,1).

Dokaz:• neka je D Singerov diferencijski skup

• naci cemo b ∈ Zq2+q+1 t.d. je A := S(D − b) matricasusjedstva za DRAD(q2 + q + 1,q + 1,1)



Sadržaj





2.2 Konstrukcija DRAD-a iz Menonovog dizajna

Definicija 2.5Latinski kvadrat reda n je n × n matrica ispunjena s n 6=znakova t.d. se svaki znak pojavljuje tocno jednom u svakomretku i svakom stupcu.

Za konstrukciju ce nam trebati:

Propozicija 2.6Za svaki paran n ∈ N postoji latinski kvadrat L = [L(i , j)] reda ns elementima 1,2, ...,n takav da:

• L(i , j) = L(j , i) i L(i , i) = n za i , j = 1, ...,n .




Primjer

n = 6, L =

6 5 4 3 2 15 6 1 4 3 24 1 6 2 5 33 4 2 6 1 52 3 5 1 6 41 2 3 5 4 6




Definicija 2.7

Simetrican (4h2,2h2 − h,h2 − h)-dizajn zovemo Menonov.

• Takav dizajn možemo dobiti iz regularne Had. matrice.

Konstrukcija za DRAD s parametrima Menonovog dizajna• prvo cemo pomocu Had. matrice K konstruirati skup

regularnih Had. matrica Bushovog tipa H(K )

• zatim unutar H(K ) odabrati odgovarajucu matricu H t.d.• A := 1

2 (J −H) bude matrica Menonovog dizajna, a takoder imatrica susjedstva za DRAD




Definicija 2.8Hadamardova matrica je regularna ako ima konstantnu sumuredaka.

Vrijedi: Ako je n suma redaka reg. Had. matrice H reda > 1⇒

• n = 2h je paran, 4h2 je red od H

• N := 12(J − H) je matrica incidencije simetricnog

(4h2,2h2 − h,h2 − h)-dizajna, tj. Menonovog dizajna




Definicija 2.9

Regularna Hadamardova matrica H reda 4h2, h ≥ 1, je Bushovogtipa ako se može reprezentirati kao blok matrica H = [Hij ], gdje jesvaki Hij matrica reda 2h sa konstantnom sumom redaka jednakom0 ili 2h.

• slijedi da svaki redak ili stupac blokova od H sadrži jednumatricu J i 2h − 1 matrica sa sumom redaka 0

♦ Primjer: H =

−1 1 1 1

1 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1




Had. matrice Bushovog tipa iz Had. matrice K

K Had. matrica reda n ≥ 2 sa jedinicama u zadnjem retku

• R1, ...,Rn retci od K

• Ci = Rti Ri , i = 1, ...,n. Matrice Ci imaju sljedeca svojstva:

1 simetricne su2 Cn = J

3 CiJ = 0 (tj. sume redaka su im jednake 0) za i = 1, ...,n−1

4 CiC tj = 0 za i 6= j , CiC t

i = nCi

5∑n

i=1 Ci = nI




Teorem 2.10Neka je C = {±C1,±C2, ...,±Cn−1,Cn = J} i neka je H = [Hij ] ,i , j = 1, ...,n, blok matrica takva da:

(i) Hij ∈ C za i , j = 1, ...,n;

(ii) i , j , k ∈ {1,2, ...,n}, j 6= k ⇒ Hij ± Hik 6= 0 i Hji ± Hki 6= 0.

Tada je H Hadamardova matrica Bushovog tipa.

Za Had. matricu K reda n = 2h (h ∈ N) s 1 u zadnjem retku def.:

H(K ) - skup svih Had. matrica Bushovog tipa reda n2 = 4h2

konstruiranih prethodnim teoremom




Teorem 2.11Ako je h ∈ N za koji postoji Had. matrica reda 2h, tada postojiDRAD(4h2,2h2 − h,h2 − h).

Dokaz:L lat. kvadrat reda n = 2h iz prop.2.6. Definiramo H ∈ H(K ):

H = [Hij ], Hij =

{Ck , L(i , j) = k , 1 ≤ i ≤ j ≤ n−Ck , L(i , j) = k , 1 ≤ j < i ≤ n

Tada je A = 12(J − H) matrica susjedstva za

DRAD(4h2,2h2 − h,h2 − h).



Sadržaj





2.3 Konstrukcija iz dizajna s parametrima McFarlandovih dif. skupova

3. konstrukcija koristi sim. dizajne s parametrimaMcFarlandovih diferencijskih skupova:

v = qd+1(

1 +qd−1 − 1

q − 1

), k =

qd (qd+1 − 1)

q − 1, λ =

qd (qd − 1)

q − 1

gdje je q potencija prostog broja, a d ∈ N.




Prvo uvodimo simetrican uredaj na konacnoj Abelovoj grupi:

Lema 2.12Neka je G konacna Abelova grupa. Moguce je urediti elementeod G = {x1, ..., xn} t.d. je xi + xn+1−i jednak za i = 1, ...,n.

Na dalje pretpostavljamo da je konacna Abelova grupa uvijekopremljena sa simetricnim uredajem.




Za podskup A Abelove grupe G = {x1, ..., xn} definiramo matrice:N(A) = [nij (A)], M(A) = [mij (A)]

nij (A) =

{1, xj − xi ∈ A0, xj − xi /∈ A

, mij (A) =

{1, xn+1−j − xi ∈ A0, xn+1−j − xi /∈ A

• M(A) je simetricna

• za A ∩ (−A) = ∅ ⇒ N(A) + N(A)t je (0,1)-matrica

Lema 2.13. Neka su A,B ⊆ G. Tada:

i) M(A)M(B)t = N(A)N(B)t i (l ,m)-ti element ovih matrica je|(A + xl ) ∩ (B + xm)|

ii) M(A)J = N(A)J = |A|J.




Neka je: q potencija prostog broja, d ∈ N,V (d + 1)-dim. vektorski prostor nad poljem GF (q).

Definicija 2.14Potprostore od V dimenzije d nazivamo hiperravnine, anjihove desne/lijeve klase (cosets) nazivamo d-ravnine(d-flats). Za H hiperravninu i x , y ∈ V kažemo da su d-flatsH + x i H + y paralelne.

• Prostor V sadrži r = qd+1−1q−1 hiperravnina.




Propozicija 2.15

Neka je r = qd+1−1q−1 . Za i = 1, ..., r neka je Fi d-flat (d-ravnina)

paralelan s hiperravninom Hi , te Fr+1 = ∅. Neka je L = [L(i , j)]

latinski kvadrat reda r + 1. Za i , j = 1, ..., r + 1 definiramomatrice Mij = M(Fk ) i Nij = N(Fk ) gdje je L(i , j) = k .

Tada su blok matrice M = [Mij ] i N = [Nij ] matrice incidencijesim. dizajna s parametrima McFarlandovih diferencijskihskupova.




Teorem 2.16Za bilo koju potenciju prostog broja q i d ∈ N postoji DRAD sparametrima McFarlandovih diferencijskih skupova.

Dokaz: H1, ...,Hr hiperravnine u V . Fiksiramo ak ∈ V \ Hk , ∀k .

1 q paran ...

2 q neparan ...


Dvostruko regularni digrafovi i simetricni dizajnivmikulic/seminar/27_1_2012Mavrovic.pdfDigraf je...

Documents

Transcript of Dvostruko regularni digrafovi i simetricni dizajnivmikulic/seminar/27_1_2012Mavrovic.pdfDigraf je...