Développer, factoriser pour résoudre 3

81

Développer, factoriser pour résoudre 33

1 Avec le vocabulaire1. Associer à chaque expression un terme

A B× −A diff érence produit

A B+

A

B

A B−

1

A

inverse quotient

opposé somme

2. Écrire la somme de 1 et du carré de x + 3.

3. Écrire le quotient de 3 par la somme de 2 et de 4 x .

2 Avec des transformationsDonner dans chaque cas la bonne réponse.

1. 5 2x( ) est égal à :

a. 5 2x b. 10 2x

c. 25 2x d. 25 10 2+ +x x

2. x −( )2 2 est égal à :

a. x2 4+ b. x2 4−

c. x x2 4 4− − d. x x2 4 4− +

3. 2 3x

x+

est égal à :

a. 5 b. 23+x

c. 2 3

1

+ d. autre

4. La forme factorisée de 4 12 92x x− + est :

a. 2 3 2x +( ) b 2 3 2 3x x−( ) +( )

c. 2 3 2x −( ) d. 4 3 9x x −( )+

3 Avec l’égalité« Est-il vrai que, pour n’importe quelle valeur de x,

on a 5 10 2 7 42x x x− + = − ? »

– Léa a répondu : « Oui, c’est vrai. En eff et, si on

remplace x par 3, on a : 5 3 10 3 2 172× − × + = et

7 3 4 17× − = . »

– Myriam a répondu : « Non, ce n’est pas vrai.

En eff et, si on remplace x par 0, on a

5 0 10 0 2 22× − × + = et 7 0 4 4× − = − . »

Une de ces deux élèves a donné un argument qui

permet de répondre de façon correcte à la question

posée dans l’exercice.

Indiquer laquelle en expliquant pourquoi.

4 Avec des équationsDonner dans chaque cas la (ou les) bonne(s)

réponse(s).

1. −2 est solution de l’équation :

a. 2 0x =b. − − =x x2 2 0

c. 4

1 1x

+ = −

2. L’équation 4 3 7 6x x− = + a pour solution

a. 3 b. 9

11

c. −3 d. 12

3. L’équation 2 1 3 0x x+( )− −( ) = a pour solution(s) :

a. 0,5 et 3 b. 2

c. − 4 d. − 0,5 et 3

82

1 Égalité : pour tout x ou pas ?

Voici des algorithmes de calcul associés à quatre fonctions f, g, h et k.

Fonction f• ajouter 3

• multiplier par 2

• soustraire 6

Fonction g• ajouter 1

• élever au carré

• soustraire 1

• soustraire le carré du nombre de départ.

Fonction h• élever au carré

• soustraire le nombre de départ

• ajouter 2

Fonction k• soustraire 1

• élever au carré

• multiplier par −12

• ajouter le double du cube du nombre de départ

1. Calculez les images de 1 et de 2 par chacune des fonctions f, g, h et k.

Qu’observez-vous ? Formulez une conjecture.

2. Calculez les images de 3 par chacune des fonctions f, g, h et k.

Confi rmez-vous votre conjecture ? Sinon, faites une nouvelle conjecture.

3. Calculez les images de 4 par chacune des fonctions f, g et k.

Confi rmez-vous votre conjecture ? Sinon, faites une nouvelle conjecture.

4. Peut-on être sûr de cette conjecture ?

2 Reconnaître la structure d’une expression 1. a. Recopier l’arbre de calcul ci-contre

(ou l’imprimer sur le site) et compléter les cases

oranges par les résultats des opérations

indiquées dans les cases vertes.

b. L’expression obtenue à la fi n est-elle une

somme ou un produit ? De quels termes ou

de quels facteurs ?

c. Dresser un arbre amenant à x x +( )+2 1

à partir de :

Est-ce une somme ? un produit ?

2. Recopier les expressions ci-dessous.

Entourer :

– en bleu celles qui sont des sommes,

– en rouge celles qui sont des produits,

– en vert celles qui sont des quotients.

a. x x2 + b. x x +( )+2 3 c. x x+( ) −( )1 2 d. 2 4 2x +( ) e. x2

3+

f. x −1

3 g. 2 4 12x +( ) − h.

x xx

+( )−( )

3

1 i. x

xx x

−−( )

+( )1

22 j.

xx

2

21

−( ) −

3

… × … … × …

…+ …

a

x 2 1

Comprendre ce que signifi e une égalité « pour tout x » et comment la démontrer. Travailler la notion d’équation et de solution.

Préparer les factorisations et la résolution des équation produit ou équation quotient.

Aide

Reconnaître

la structure d’une

expression.

83Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre

3 Choisir la bonne forme

1. Représenter graphiquement sur le même écran de la calculatrice les fonctions f, g et h

défi nies sur R par :

f x x x( ) = −2 2 8– ; g x x x( ) = ( ) +( )– 4 2 ; h x x( ) = −( ) −1 92 .

Qu’observe-t-on ? Expliquer et démontrer.

2. Calculer f 0( ), f 1( ) , f 4( ), f 3( ) en choisissant à chaque fois l’expression qui demande le

moins de calcul.

4 Trois stratégies pour une équation …

Pour résoudre l’équation x x x6 4−( ) = , trois élèves procèdent diff éremment :

Théo : Je prends ma calculatrice. Je rentre X X6 4−( ) en Y1 et X en Y2.

Je règle le pas de la table de valeurs à 0,1 en partant de −2 et j’explore la table de valeurs

pour trouver quand Y1 et Y2 sont égales.

Manon : Je prends ma calculatrice. Je rentre X X6 4−( ) en Y1 et X en Y2.

Je trace les courbes et j’utilise l’outil Trace de ma calculatrice.

Karim : Moi j’écris x 6x - 4 = x( ) , je simplifi e par x et je fi nis les calculs.

1. a. Quelle(s)solution(s) chaque élève va-t-il donner ?

b. Préciser s’il s’agit de solutions exactes ou approchées.

2. Citer des avantages et des inconvénients de chacune des méthodes utilisées.

5 Équation produit et équation quotient

1. a. Entrer sur une calculatrice les trois fonctions

f : x x� 2 4− , g : x x� − 3, h : x x x� 2 4 3−( )× −( ) .

b. Faire affi cher la table de valeurs à partir de -1 avec un pas de 0,5.

c. Lire sur cette table des valeurs de x telles que h x( ) = 0.

Que constate-t-on sur f x( ) et g x( ) pour ces valeurs de x ?

d. Existe-t-il d’autres valeurs de x telles que h x( ) = 0 ? Pourquoi ?

e. Pour quelles valeurs de x a-t-on x x+( )× ( ) =4 3 1 0– ?

2. a. Modifi er la fonction h sur la calculatrice en h : x xx

� 2 4

3

−−

.

b. Dans la table de valeurs, déterminer :

– une valeur de x telle que h x( ) = 0 ;– une valeur de x telle que le calcul de h x( ) renvoie un message d’erreur.

Que constate-t-on sur f x( ) ou g x( ) dans chaque cas ? Expliquer.

c. Si on entre sur la calculatrice la fonction � défi nie par � x xx

( ) = +−

1

3 6,

pour quelle(s) valeur(s) de x aura-t-on un message d’erreur dans la table de valeurs ?

Pour quelle(s) valeur(s) de x aura-t-on � x( ) = 0 ?

Interpréter graphiquement puis démontrer une égalité pour tout x. Anticiper un calcul pour choisir la « bonne forme ».

Revoir ce que signifi e «être solution d’une équation». Résoudre graphiquement une équation. Introduire la notion d’équations équivalentes.

Introduire les « équations produits » et les « équations quotients ». Utiliser ET et OU et préciser leur sens.

84

1 Égalité « pour tout x » et équation

A. Égalité « pour tout x »Un nombre possède plusieurs écritures. Par exemple, 0,5 ;

12

24

50100

; ; sont diff érentes

écritures d’un même nombre. De même plusieurs expressions algébriques peuvent

correspondre à la même fonction.

Égalité « pour tout x »● Quelle que soit la valeur par laquelle on remplace x dans les expressions

x x−( ) +( )−3 1 5, x x2 2 8− − , x x−( ) +( )4 2 on obtient le même résultat.

On écrit : pour tout réel x, x x x x x x−( ) +( )− = − − = −( ) +( )3 1 10 2 8 4 22 .

● Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) = −( ) +( )−3 1 10.

On a aussi f x x( ) = − × −2 2 8 et f x x x( ) = −( ) +( )4 2 pour tout réel x.

Pour calculer des images ou antécédents par f, pour étudier des propriétés de f, on peut

utiliser l’une ou l’autre de ces expressions, la mieux adaptée.

ExempleOn calcule facilement f 4( ) avec f x x x( ) = −( ) +( )4 2 car f 4 4 4 4 2 0( ) = −( )× +( ) = .

B. ÉquationLes expressions 2 1x − et x2 4− ne sont pas égales pour tout réel x.

Par exemple, pour x = 0, 2 1x − prend la valeur −1 et x2 4− la valeur − 4.

En revanche, pour x = 3, on a 2 1 2 3 5x − = × = et x2 24 3 4 5− = − = .

● Quand x prend la valeur 3, on a bien l’égalité 2 1 42x x− = − :

on dit que 3 est solution de l’équation 2 1 42x x− = − .● Résoudre une équation c’est chercher toutes les solutions de cette équation.

2 Développer, factoriser

Développer une expression c’est l’écrire sous la forme d’une somme.

Factoriser une expression c’est l’écrire sous la forme d’un produit.

A. Les propriétés

Pour tous réels k, a, b, c, d :

● distributivité

développer

k a b k a k b× +( ) = × + ×

factoriser● double distributivité

développer

a b c d a b a d b c b d+( )× +( ) = × + × + × + ×

● identités remarquables

développer

a b a a b b+( ) = + × × +2 2 22

a b a a b b−( ) = − × × +2 2 22

a b a b a b+( )× −( ) = −2 2

factoriser

Attention, il ne faut pas confondre :

3 3 3 92 2 2 2 2x x x x( ) = ( ) = =× × et 3 3 2 3 9 62 2 2 2+( ) = + × × + = + +x x x x x


1 Égalité : pour tout x ou pas ?

ÉnoncéLes égalités suivantes sont-elles vraies pour tout réel x ?

a. 1 2 12+ + = +x x x b. x x x+( ) − −( ) =1 1 42 2 .

Solutiona. On peut tester sur quelques valeurs :

• pour x = 0 , on a bien 1 12+ + =x x et 2 1 1x + =• pour x = 1, on a aussi 1 32+ + =x x et 2 1 3x + =• pour x = 2, 1 72+ + =x x mais 2 1 5x + = et 7 5≠ .

Donc l’égalité n’est pas vraie pour tout réel x.

b. On peut tester « à la main » ou à la calculatrice

avec Y1 X X= +( ) − −( )1 12 2 et Y2 4X= .

L’égalité semble vraie pour les valeurs de x choisies.

Démontrons-la en développant : pour tout x réel,

x x x x x x+( ) − −( ) = + + − − +( )1 1 2 1 2 12 2 2 2

donc x x x x x x+( ) − −( ) = + + − + −1 1 2 1 2 12 2 2 2

Donc x x x+( ) − −( ) =1 1 42 2 pour tout x réel.

Voir exercices 22 et 23

2 Développer puis choisir la bonne forme

Énoncé

AB=8 et M appartient à AB[ ]. AMEF et MBGH sont des carrés. On pose x = AM avec x ∈[ ]0 ; 8 .

L’aire totale de la fi gure est � x x x( ) = + −( )2 28 .

1. Démontrer que, pour tout x de 0 ; 8[ ],� x x x( ) = − +2 16 642 et � x x( ) = + −( )32 2 4 2.

2. Calculer � 4( ) puis montrer que � �x( ) ( )� 4 pour tout x de 0 ; 8[ ]. Interpréter en terme d’aire.

Solution1. Développons « à la main » ou avec un logiciel l’expression

de � x( ). Pour tout x de 0 ; 8[ ],� x x x( ) = + −( )2 28

� x x x x( ) = + − +2 264 16

� x x x( ) = − +2 16 642 .

De même, pour tout x de 0 ; 8[ ],32 2 4 32 2 8 16 2 16 642 2 2+ −( ) = + − +( ) = − +x x x x x .

On retrouve la même expression donc, pour tout x de 0 ; 8[ ], � x x( ) = + −( )32 2 4 2.

2. Utilisons la dernière expression de � x( ) : � 4 32 2 0 32( ) = + × = .

Un carré est toujours positif ou nul donc 2 4 2x −( ) l’est aussi.

De � x x( ) = + −( )32 2 4 2, on déduit que � x( )� 32 donc � �x( ) ( )� 4 pour tout x de 0 ; 8[ ].L’aire est minimale pour x = 4 donc pour M milieu de AB[ ].

A

F E

M

H G

B

Avec Xcas

Méthode

Pour démontrer

que pour tout x réel,

f gx x( ) = ( ), on peut transformer :• f x( ) pour arriver à g x( ).• g x( ) pour arriver à f x( ).• f x( ) et g x( ) pour arriver à une même 3e expression (comme dans cet exercice).• f gx x( ) − ( ) pour obtenir 0.

Conseil

Bien observer les expres-

sions de f x( ) pour choisir

celle qui est la mieux adap-

tée à la question posée.

Méthode

Pour démontrer que

deux expressions :

• ne sont pas « égales

pour tout x », il suffit de trouver une valeur de x pour laquelle il n’y a pas égalité : c’est un contre-exemple ;• sont « égales pour tout

x », des exemples ne suffi-sent pas. Il faut le démontrer par le calcul algébrique (« avec x »).

Voir exercices 40 et 41

86

MéthodeOn peut aussi factoriser en utilisant un logiciel de calcul formel, voir exercice résolu 4 page suivante.

B. En pratique : comment factoriser une expression ?

Pour factoriser une expression « à la main » on analyse sa structure et on se pose un cer-

tain nombre de questions.

Q1 : Est-ce une somme (ou une différence) ? De combien de termes ?

Q2 : Chaque terme est-il un produit ou peut-on l’écrire comme un produit ?

Quels sont les facteurs dans chaque terme ? Y a-t-il un facteur commun à tous les

termes ?

Sinon, Q3 : Peut-on utiliser une identité remarquable ?

Sinon, Q4 : Peut-on factoriser d’abord une partie de l’expression pour faire apparaître un

facteur commun ou une identité remarquable ?

Sinon, on développe en espérant pouvoir ensuite factoriser.

Exemple 1 Factoriser f x x x x( ) = +( ) −( )+ +( )1 2 3 4 1 .

Q1 Cette expression est une somme de deux termes. f x x x x( ) = +( )× −( ) × +( )+1 2 3 4 1

Q2 Chaque terme est un produit de deux facteurs. f x x x x( ) = +( ) −( ) +( )× ×+1 2 3 4 1

x +( )1 est un facteur commun aux deux termes. f x x x x( ) = +( ) −( ) +( )× ×+1 2 3 4 1

On factorise. f x x x( ) = +( ) −( )( )× +1 2 3 4

On réduit le second facteur. f x x x( ) = +( ) +( )×1 2 1 pour tout x réel.

Exemple 2 Factoriser g x x x( ) = − +( )16 12 2

Q1 C’est une diff érence de deux termes. g x x x( ) = +( )−16 12 2

Q2 Les termes sont des produits sans facteur

commun.

Q3 On a une diff érence de deux carrés a b2 2− . g x x x( ) = ( ) − +( )4 12 2

On utilise a b a b a b2 2− = −( )× +( ). g x x x x x( ) = ( )− +( )( ) ( )+ +( )( )×4 1 4 1

On réduit chaque facteur. g x x x x x( ) = −( ) + +( )− ×4 1 4 1

g x x x( ) = −( ) +( )×3 1 5 1 pour tout x réel.

Exemple 3 Factoriser h x x x( ) = − + −( )2 9 3 3

Q1, Q2, Q3 : h x( ) est une somme de trois termes.

On ne voit ni identité remarquable ni facteur

commun.

Q4 On peut factoriser x2 9− : x x x2 9 3 3− = −( ) +( )×

Ceci fait apparaître x −( )3 h x x x x( ) = −( ) +( ) −( )× ×+3 3 3 3

comme facteur commun dans h x( ) h x x x x( ) = −( ) +( ) −( )× ×+3 3 3 3

et permet de factoriser. h x x x( ) = −( ) +( )( )× +3 3 3

On fi nit en réduisant. h x x x( ) = −( ) +( )×3 6 pour tout x réel.


Voir exercices 52 à 57

3 Factoriser des expressions algébriques

Énoncé

Factoriser : a. 4 4 12x x+ + b. 4 62x x+ c. x +( ) −1 252

d. 9 12 42x x− + e. x x+( ) − +( )1 3 12 f. 4 42x x+

Solutiona. C’est une somme de trois termes dans laquelle on reconnaît la forme a ab b2 22+ + :

4 4 1 22 2 21 1 12 2 2 2x x x x x+ + = ( ) + × × + = +( ) pour tout x réel.

b. C’est une somme de deux termes, chacun est un produit et le facteur x est en commun :

4 6 4 6 4 62x x x x x x x+ + += = ( )× × × donc 4 6 4 62x x x x+ = +( )× pour tout x réel.

c. C’est une diff érence de deux carrés de la forme a b2 2− :

x x xx x x+( ) − = − = −( )× +( ) = −( )×+( ) +( ) +( )1 25 41 1 15 5 52 2 2 ++( )6 pour tout x réel.

d. C’est une somme de trois termes dans laquelle on reconnaît la forme : a ab b2 22− +9 12 4 23 3 32 2 22 2 2 2x x x x x− + = − × × + = −( )( ) pour tout x réel.

e. x x x x x+( ) − +( ) = +( ) +( ) +( )× ×−1 3 1 1 1 3 12

= +( ) +( )( )× −x x1 1 3

= +( ) −( )×x x1 2 pour tout x réel.

f. 4 2x x+ est une somme de deux termes, mais x n’est pas un produit !

On écrit x x= ×1 pour obtenir un produit, d’où :

4 4 1 4 12x x x x x x x+ = = ( )× × ×+ + pour tout x réel.


4 Factoriser « à la main » par étapes ou avec un logiciel

ÉnoncéFactoriser : a. f x x x( ) = −4 3 b. g x x x x( ) = +( ) −( ) + +1 4 3 3

c. h x x x( ) = − +2 20 502 d. p x x x( ) = − +2 8 12 .

Solutiona. f x x x x x x x x x x x +( ) = − = = ( ) = −( )( )× × × ×− −4 4 1 4 1 2 1 2 13 2 2 pour tout x réel.

b. On factorise d’abord 3 3x + en 3 1× +( )x : g x x x x( ) = +( ) −( ) + +( )1 4 3 1 .

Ceci fait apparaître x +( )1 comme facteur commun donc g x x x( ) = +( ) × − +( )1 4 3 .

On réduit : g x x x( ) = +( ) × −( )1 1 pour tout x réel.

c. On factorise d’abord 2 20 502x x− + en 2 10 252x x− +( ).

Ceci fait apparaître x x2 10 25− +( ) qu’on peut factoriser en utilisant une identité remarquable :

h x x x x( ) = − +( ) = −( )2 10 25 2 52 2 pour tout x réel.

d. p x( ) est une somme de trois termes mais ce n’est pas une identité remarquable,

il n’y a pas de facteur commun et pas de factorisation partielle immédiate !

On peut utiliser un logiciel de calcul formel comme Xcas.

Pour aller plus loin On pourrait « à la main » partir de l’identité remarquable

x x x2 28 16 4− + = −( ) et écrire x x−( ) = ( )+4 42 p .

On en déduit que p x x x x x x( ) = −( ) − = − −( ) − +( ) = −( ) −( )4 4 4 2 4 2 6 22 .

Aides2 est le produit ¥

est le produit ¥ 1En particulier x x= ×1.

88

3 Résoudre graphiquement une équation

Soit k un nombre réel et f et g deux fonctions.

Équation f kx( ) = Équation f gx x( ) = ( ) Exemple : f x( ) = 2

x

yy = 2

O 1 2

1

2

�f

Les solutions sont 1 et 2.

Exemple

x

y

1

1

0,5

O

�f

�g

La solution est 1.

4 Résoudre algébriquement une équation

Deux équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions.

PropriétéPour transformer une équation en une équation équivalente, on peut utiliser les

transformations suivantes :

• T1 : Développer, factoriser, réduire certains termes.

• T2 : Ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l’équation.

• T3 : Multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre non nul.

• Équations du premier degré

Ce sont celles qui s’écrivent sous la forme a b c dx x+ = + (a, b, c, d sont des réels). On peut

les résoudre directement grâce aux transformations ci-dessus.

• Autres équations

– Si après développement l’équation est équivalente à une équation du premier degré, on

développe puis on résout.

– Sinon on transforme l’équation en une équation équivalente dont un membre est nul

pour pouvoir appliquer les propriétés suivantes.

Propriétés● Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

¥ = 0 si et seulement si = 0 OU = 0.

● Un quotient est nul si et seulement si son numérateur et nul et son dénominateur non nul :

= 0 si et seulement si = 0 ET π 0 .

Méthode générale

1. On place k sur l’axe Oy( ).

2. On repère tous les points de la courbe

d’ordonnée k.

3. On lit leurs abscisses : ce sont les solutions.

Méthode générale

1. On repère les points communs aux deux

courbes.

2. On lit les abscisses de ces points : ce sont

les solutions.

Si deux équations (E) et ′( )E sont équivalentes,

on note :E E( ) ′( )⇔ .

On lit(E) équivaut à ′( )E .

si et seulement si traduit aussi une équivalence :voir page 353.


5 Résoudre une équation du premier degré

ÉnoncéRésoudre l’équation 2 3 4 5 1x x+( ) − = − .

SolutionL’équation 2 3 4 5 1x x+( ) − = −

équivaut à 2 2 5 1x x+ = −

à 2 5 2 1x x− + = −

à − + = −3 2 1x

à − = −3 3x

à x = −−

=3

31

T1 : on développe le

1er membre

T2 : on soustrait 5 x

à chaque membre

T1 : on réduit le

1er membre

T2 : on soustrait 2

à chaque membre

T3 : on divise par − 3

chaque membre

Cette équation a pour seule solution 1.

6 Résoudre graphiquement puis par le calcul

ÉnoncéRésoudre les équations suivantes graphiquement puis par le calcul.

a. E123 3 2 2( ) + − = − −: x x x b. E2

2 21 3 1( ) −( ) + = −: x x x

Solution

a. On représente les fonctions f et g telles f x x x( ) = + −3 3 22 et g x x( ) = − − 2.

Les courbes (écran 1) semblent avoir deux points d’intersection d’abscisses 0 et

environ −1,3. On conjecture deux solutions à l’équation : 0 et environ −1,3.

Par le calcul. Cette équation n’est pas du premier degré.

• On rassemble les termes dans le 1er membre pour obtenir un

2nd membre égal à 0 (T2) : E123 4 0( ) ⇔ + =x x

• On factorise (T1) : E1 3 4 0( ) ⇔ +( ) =x x

• Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul :

E1 0( ) ⇔ =x OU 3 4 0x + =

E1 0( ) ⇔ =x OU x = − 4

3

Il y a deux solutions : 0 et − 4

3 (lu −1,3 graphiquement).

b. On peut conjecturer graphiquement −2 comme solution (écran 2) mais il est

diffi cile de lire sur la calculatrice le nombre de solutions. Cette équation équivaut

à une équation du 1er degré après développement et réduction (T1) :

E22 22 1 3 1( ) ⇔ − + + = −x x x x

E2 2( ) ⇔ = −x .

L’équation a en fait pour seule solution − 2.

Méthode

Pour conjecturer les solutions

d’une équation,

on peut utiliser les courbes tracées par la calculatrice et l’outil Trace. Attention, rien ne dit qu’il n’y a pas d’autres solu-tions en dehors de l’écran !

écran 2

Méthode

Pour résoudre une équation du

1er degré :

– on développe et on réduit si nécessaire chaque membre.– on isole les inconnues dans un membre.– on finit la résolution (en appliquant T3 ).


Voir exercices 61 à 64, 83 à 87

écran 1

Aide

Résoudre une équation

du second degré.

Travaux pratiquesTravaux pratiques

90

1 Une longueur minimale Déterminer le minimum d’une fonction.

On veut réserver une zone rectangulaire d’aire 1 800 m² pour créer une

cressonnière au bord d’une rivière.

On souhaite l’entourer de grillage sauf le long de la rivière.

Problème étudiéQuelles sont les dimensions de la zone qui nécessitent le moins de grillage

possible ? ■

ABCD représente la cressonnière. On note x et y les longueurs en mètres de ses

côtés et L x( ) la longueur du grillage.

1. Quelle information possède-t-on sur le rectangle ABCD ?

En déduire y en fonction de x.

2. Démontrer que pour tout x � 0 , L x xx

( ) = +21 800

.

3. Conjecturer à l’aide de la courbe de L la longueur minimale m de grillage

nécessaire.

4. Démontrer ce résultat en écrivant L mx( )− sous une forme adaptée.

Pour aller plus loinLe grillage doit être acheté par rouleaux de longueur 50 m. On veut acheter le moins de grillage possible et ne pas

découper le grillage ! Quelles dimensions peut avoir la zone ?

Aide : On démontrera que, pour tout x � 0 , L xx x

x( )− =

−( ) −( )150

2 15 60.

2 Couper en 2, encore et encore : la dichotomie Résoudre une équation par dichotomie.

A Le « juste prix »Un élève volontaire V choisit le prix entier P en euros d’un objet entre 0 € et 256 €. Il le note sur un papier mais ne le

dit pas à la classe. La classe doit trouver ce prix selon la règle ci-dessous :

On notera au tableau le n° de l’étape et l’intervalle dans lequel se trouve le prix.

• Étape 1 : Un élève propose le prix « du milieu » : 128 €. V répond : « c’est plus cher », « c’est moins cher » ou « c’est

juste ». On note au tableau le n° de l’étape, le prix proposé et l’intervalle dans lequel se trouve le prix cherché.

• Étape 2 : Un élève propose à nouveau le prix « du milieu » et on continue comme à l’étape 1.

On continue ainsi jusqu’à trouver le juste prix et

on indique le nombre de propositions qu’il a fallu faire pour le trouver.

1. Jouer 2 ou 3 fois à ce jeu en changeant le prix P choisi.

2. Calculer les longueurs des intervalles à chaque étape.

Que constate-on ?

A

B C

x x

y

D

Dichotomie vient du grec et signifie

« coupure en deux parties ».

Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre


91

B Résolution approchée d’une équationOn ne sait pas résoudre en classe de seconde l’équation x3 5= .

On peut chercher en revanche une valeur approchée de la solution (ou des solutions).

1. Localisation des solutions

a. Avec la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la fonction f : x x� 3 et le nombre de solutions de

l’équation f x( ) = 5. On admettra ces deux conjectures pour la suite.

b. Vérifi er que la solution appartient à l’intervalle a b; , ;[ ]= [ ]1 2 2 .c. De quelles façons pourrait-on procéder avec la calculatrice pour obtenir une valeur approchée

à 10 1− près de la solution ? à 10 2− près ? à 10 4− près ? (Ne pas le faire.)

2. Une dichotomie à la main

a. Étape 1 : On propose le milieu 1,6 de l’intervalle 1 2 2, ;[ ].

Calculer f 1 6,( ) à la calculatrice. Est-il plus petit ou plus grand que 5 ?

Dans quel intervalle se trouve la solution : 1 2 1 6, ; ,[ ] ou 1 6 2, ;[ ] ?

b. On continue de même. Recopier et compléter le tableau pour les 6 premières étapes.

Étape n° Proposition L’image est … � �5 5ou( ) La solution appartient à a b;[ ] avec

début a = 1 2, b = 2

1 1,6 a = b =

…

c. Quelle valeur approchée de la solution à 10-1 près peut-on

fournir ? à 10 2− près ?

3. Un algorithme pour aller plus loin

On souhaite écrire un algorithme qui affi che l’intervalle

obtenu après un nombre suffi sant d’étapes pour que la

longueur de cet intervalle soit inférieure à une longueur �

donnée. Par exemple, si on veut une valeur approchée de

la solution 0,01 près, on choisira � = 0 01, .

Recopier et compléter l’algorithme suivant :

VARIABLES : a, b, p, � nombres

ENTRÉES : Saisir les bornes a et b de l’intervalle de

départ a b�( ) et saisir la longueur �souhaitée

TRAITEMENT : Tantque b a− � … Faire

pa b

=+( )2

Si p3 5� Alors a prend la valeur …

Sinon … prend la valeur …

FinSi

FinTantque

SORTIES : Affi cher a et b

Pour aller plus loin Programmer l’algorithme et donner une valeur approchée

de la solution de x3 5= à 10 5− près.

Les équations que l’on sait résoudre de façon exacte en

seconde sont de types très particuliers. Les mathéma-

ticiens eux-mêmes savent résoudre beaucoup d’équa-

tions de façon exacte mais pas toutes ! De nombreux

problèmes concrets, par exemple concernant la recher-

che spatiale, conduisent à des équations très comple-

xes, souvent en grand nombre. Les mathématiciens

développent alors des algorithmes pour trouver avec

de puissants ordinateurs des valeurs approchées des

solutions.


92

3 Créer une jauge Résoudre un problème concret à l’aide des TICE (Geoplan-Geospace, logiciel de calcul formel).

Problème étudiéCréer une jauge sur la partie transparente de la boîte indiquant le volume de sucre contenu dans la boîte en

indiquant par des graduations tous les 30 cm3 le volume de sucre qu’elle contient (on suppose la boîte

posée sur une surface plane horizontale). ■

On modélise la boîte par le solide ABCDEFGH représenté ci-dessus dont les faces sont des rectangles ou des trapèzes

rectangles. De plus, AB cm= 10 , AE cm= 9 , EF cm= 1 , AD cm= 4 .

A PréliminaireReproduire la face ABFE en vraie grandeur avec AM cm= 5 . On souhaite créer la jauge en indiquant sur le segment

AE[ ] les volumes correspondants à diff érentes hauteurs de sucre.

B En explorant la figure sur GeospaceOuvrir la fi gure disponible sur le site.

1. a. Créer un point M libre sur AE[ ] et le plan p parallèle au plan ABC( ) passant par M.

b. Faire affi cher la longueur AM.

2. a. Créer N, P, Q puis le solide ABCDMNPQ.

b. Faire calculer et affi cher le volume de ABCDMNPQ.

3. Proposer une façon de créer la jauge.

Appelez le professeur pour montrer votre travail.

C En utilisant une expression algébrique.Soit h = AM en cm. Le volume de sucre en cm3 est V h h h( ) = − +2 402 .

1. Proposer d’autres façons de créer la jauge.

2. Créer la jauge à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

Expliquer la démarche sur un exemple.

Pour aller plus loinPlacer O point d’intersection des droites AE( ) et BF( ) et calculer MN en fonction de h.

Donner la nature du solide ABCDMNPQ et retrouver l’expression de V h( ) en fonction de h.

D’après académie de Nantes.

A

EH

MP

N

Q

FG

D

BC

Aide Geospace

• Créer, Points, Points libres, Sur

un segment.

Créer, Plan, Parallèle à un plan.

• Créer, Affi chage, Longueur d’un

segment.

• Calculer le volume par :

Créer, Numérique, Calcul

géométrique, Volume d’un solide.

Le faire affi cher par : Créer,

Affi chage, Variable numérique

déjà défi nie.

Chapitre 3. Développer, factoriser pour résoudre 93

Sans crayon, sans calculatrice

1 Calculer : a. 23

5

3

10× − b. 4

3

8

5

6× × .

2 Calculer : a. 10 % de 720 b. 30 % de 200.

3 Calculer : a. 90 % de 800 b. 99 % de 200.

4 Évaluer 24,6 % de 120 €.

5 De quel pourcentage augmente-t-on un prix quand

on le multiplie par 1,2 ?

6 Calculer les coordonnées du milieu de AB[ ] avec :

A −( )2 1; et B 61

2; −( ).

7 ABC est un triangle rectangle en A.

AB = 4 et BC = 6. Calculer AC.

8 Réduire 45 5− .

9 Le point A 2 3;( ) appartient-il à la droite d’équation

y x= − + 5 ?

10 Calculer l’angle ACD�

de la fi gure ci-contre.

11 Développer :

a. 2 1 2x −( )b. 4 1 4 1x x−( ) +( ).

12 Développer : a. 31

31x x −( ) b. 3 7 2x −( )

13 Quel est le terme en x2 obtenu en développant et

réduisant x x+( ) + −( )2 4 12 2 ?

14 Quel est le terme en x obtenu en développant et

réduisant 3 4 2x x+( ) −( ) ?

15 Développer et réduire 2 1 1x x+( ) +( ).

16 On sait que : 2 3a b− = et 2 5a b+ = .

Calculer 4 2 2a b− .

17 Factoriser : a. 9 6 12x x+ + b. 4 642x −

18 Factoriser x x+( ) + +( )1 4 12 .

19 Résoudre l’équation 3 1 5x x+ = − .

20 Résoudre l’équation x x2 5 0+ = .

A

B

D

C

60°

?

Entraînement

Égalité « pour tout x » ou équation ?

21 Ces deux programmes donnent-ils toujours le même

résultat quand on les applique à des nombres réels ?

Programme 1

Soustraire 2

Élever au carré

Ajouter 1

Programme 2

Soustraire 4

Multiplier par le

nombre de départ

Ajouter 5

22 Soit f x x( ) = 3 et g x x( ) = sur �.

1. Calculer les images de − 1 , 0 et 1 par f et g.

2. A-t-on f gx x( ) = ( ) pour tout x réel ?

23 Tracez sur la calculatrice les courbes représentatives

des fonctions f et g défi nies sur � par f x x x( ) = −( ) +( )1 3

et g x x( ) = +( ) −1 42 . Que constatez-vous ? Expliquez.

Aide : exercice résolu 1

24 Vrai ou faux ?

a. x x2 1 1+ = + pour tout x réel.

b. x x x x3 21 1 1− = −( ) + +( ) pour tout x réel.


25 Apprendre à contrôler ses calculs

Soit f la fonction défi nie sur � par f x x x( ) = −( ) +( )2 3 42 .

Hélios a développé f x( ) en 4 16 9 363 2x x x+ − − et

Manon en 4 16 9 363 2x x x+ − + .

1. Calculer l’image de 0 d’après ces trois formes.

Que peut-on en déduire pour Hélios et Manon ?

2. Calculer l’image de 1 par f. Qu’en déduit-on ?

Conseil : des tests simples, par exemple sur l’image de 0 permettent de repérer certaines erreurs, mais pas toutes…

26 Parmi les nombres − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; quels sont

ceux qui sont solutions de l’équation ?

a. x x+ = −3 5 12 b. 3 04x x− =

c. xx

+−

=2

10 d. x x3 2=

27 1. Vérifi er que − 1 et 3 sont solutions de l’équation

E : x x x3 2 9 9 0+ − − = .

2. Soit S l’ensemble des solutions de l’équation E.

Que peut-on écrire (expliquer) ?

a. S = −{ }1 3; b. S ⊂ −{ }1 3; c. −{ } ⊂ S1 3;

94

Développer

D’autres exercices sont disponibles sur le site.Pour les exercices 28 à 36 écrire sans parenthèses les expressions données puis les réduire.

28 a. 2 3x x( )× ( ) b. 2 3x x( )× +( )c. 2 3+( )× ( )x x d. 2 3+( )× +( )x x

29 a. 4 2x( ) b. 4 2+( )x

c. x −( )4 2 d. 4 2−( )x

30 a. 3 2 6 4× −( )+ × −( )x x b. 61

31 12x x+( )−

c. 3

412

16

5− +( )x d. 2

1

23 1x x+( )− +( )

31 a. x −( )3 2 b. x +( )4 2

c. 2x −( )3 2 d. x x−( ) +( )2 2

32 a. 2 6 2x +( ) b. 3 5 2x −( )

c. 5 3 5 3x x−( ) +( ) d. x x+( ) −( )2 12

33 a. 2 3 2−( )t b. 1

36

2

a −( )c. x2 2

3−( ) d. x 2 42−( )

34 a. 2 1 4x x−( ) −( ) b. 2 3 3 2 1x x x+( )− −( )

c. x x+( ) − −( )3 2 22 d. 3 2 1 2t −( )( )

35 a. 4 3 22 2x x−( ) − +( ) b. x x x+( ) −( )1 2

c. 2 1 3 1x x x−( ) +( ) +( ) d. 2 1 22y y−( ) +( )

36 a. 3 1 2 22 2x x+( ) − +( ) b. 3 2 3 4x x( ) −( )

c. 1

24 4

1

4

2 2

t t+( ) − +( ) d. x +( )2 3

\

37 1. Développer x y x y+( ) − −( )2 2.

2. Sans calculatrice, calculer 10 001 9 9992 2− .

38 Développer x x x2 1 1− −( ) +( ) puis calculer :

2 345 678 910 2 345 678 909 2 345 678 9112 − × .

39 La Terre a un rayon de 6 400 km environ.

1. Quelle serait la longueur d’un cable entourant la Terre

le long de l’équateur ?

2. De combien doit-on augmenter sa longueur pour qu’il

entoure la Terre à 1 m de hauteur au-dessus de l’équateur ?

40 Transformer pour un minimum

Soit V x x x( ) = − +2 6 3 pour tout x réel.

1. Démontrer que pour tout x réel, V x x( ) = − + −( )6 3 2.

2. En déduire que V x( ) −� 6 pour tout x réel.

3. Démontrer que V admet un minimum sur �.


41 Transformer pour un maximum

Soit h t t t( ) = − + −2 6 6 sur � pour t réel.

1. Montrer que pour tout t réel, h t t( ) = − −( )3 3 2 .

2. En déduire que h admet un maximum sur �.

42 1. Démontrer que, pour tous réels a et b,

a b ab a b+( ) − = −( )2 24 .

2. Dans un carré, on a disposé

quatre rectangles comme dans

la fi gure ci-contre.

a. Interpréter la formule

précédente en termes d’aires.

b. Les quatre rectangles

peuvent-ils remplir tout le grand

carré ?

Factoriser

D’autres exercices sont disponibles sur le site.

43 Recopier et compléter :

a. 2 4 92 2x x+…( ) = +…+ b. x x x−…( ) = − +…2 2 6

c. …+( ) =…+ +3 24 92 t d. x x x−…( ) = − +…2 2

44 Recopier et compléter :

a. x x…( ) = +…+2 2 16 b. x x x…( ) = − +…2 2 8

c. …+( ) =…+ +3 92 t d. …−( ) =…− +…4 42 x

Pour les exercices 45 à 57 factoriser les expressions données.

45 Avec un facteur commun

a. 2 1 3x x x−( )+ b. x x x+( ) +( )+ +( )1 2 5 2

c. 3 92x x+ d. x x2 6− Aide : exercice résolu 3


a. 8 52x x− b. 3 4x xy+

c. 3 2x x+ d. 2 1 2 1 32x x x+( ) − +( ) +( )

47 a. 3 5x x x−( )− b. xy x+ z

c. x x x x2 4 2 4+( )− +( ) d. x x x−( ) − −( ) −( )3 2 3 2 12

a

a

a

a

a

b

b

b

b



a. 5 62x x− b. 3 xy x+

c. 2 1 3 12x x+( ) − +( ) d. x x+( ) + +1 12

49 Avec une identité remarquable

a. x x2 2 1+ + b. 2 5 2 2x x−( ) −

c. 9 12 42x x+ + d. 2 1 32 2x x−( ) − −( ) Aide : exercice résolu 3


a. 2 1 12 2x x+( ) − −( ) b. x x2 20 100− +

c. 25 1 2− +( )x d. 4 4 82x x+ +


a. 16 1 252 2x x+( ) − b. 16 812x −

c. b b2 39

4− + d. a −( ) −1 22

52 Par étapes

a. x x x2 4 2 1− + −( ) +( ) b. 3 12 122x x− +

c. x x x2 23 3+ + +( ) d. x x x+( ) +( )− +( )1 2 3 6


53 Par étapes

a. 2 3 4 12x x x+( )+ + b. x x x−( ) −( )− +3 3 4 3 4

c. xy x y y− − −( )z z d. − + −x x2 8 16

54 a. 7 142x x− b. 16 812x −

c. 2 2a b b− d. 4 4 12x x− +

55 a. 2 1 3 32x x−( ) + − b. 2 8 82x + +x

c. x x2 216 4− + −( ) d. 5 1252x −

56 a. 4 12 92x x− + b. 7x2 28−

c. 2 3 5 22 2x x−( ) − +( ) d. x x x−( ) − −( ) −( )5 2 5 32

57 a. 2 72x x+ b. x x2 26 169+ +

c. 9 25 6 102x x−( )+ +( ) d. x x x x2 4 4 2 7− + − −( ) −( )

58 Factoriser pour un minimum

Soit f x x x( ) = − +2 4 8 sur �.

1. Factoriser f x( )− 4.

2. En déduire que f admet pour minimum 4 sur � .

59 À la calculatrice

Soit f x x x( ) = − +2 2 3 pour tout x réel.

1. Conjecturer le minimum de f sur �.

2. Factoriser f x( )− 2 et conclure.


Soit v x x x( ) = − + −2 3 6 sur �.

1. La fonction v semble-t-elle admettre un maximum ou

un minimum sur � ? Si oui, lequel ?

2. Factoriser v x( )+ 15

4 et conclure.

Résolutions graphiques

D’autres exercices sont disponibles sur le site.

61 Soit f x x x( ) = + −2 2 5 et g x x( ) = − +2 7 pour tout x

réel et leurs courbes tracées ci-dessous :

1

O1

2

3

4

5

6

7

8

−1−1−2

−3

−4

−5

−6

−2−3−4 2 3 4

�g

�f

x

y

1. Lire graphiquement les solutions de l’équation

f gx x( ) = ( ).

2. Vérifi er par le calcul que ce sont les valeurs exactes des

solutions.

62 Résoudre graphiquement les équations :

a. f x( ) = 4 b. f x( ) = 1 c. g x( ) = − 2

d. g x( ) = 2 e. g x( ) = 0 f. f gx x( ) = ( )

1

O1

2

3

4

5

−1−1−2

−3

−4

−2−3−4 2 3 4 5 6 x

y

�g

�f

Pour aller plus loin Résoudre graphiquement les équations f x x( ) = +1 et

g x x( ) = −1 .

96


1. Conjecturer des solutions de l’équation x x3 = .

2. Déterminer par le calcul si ce sont bien des solutions de

l’équation.


1. Conjecturer à la calculatrice les solutions de l’équation

x x x3 232 57 90 0− + + = .

2. Le nombre 30 est-il solution de cette équation ?

65 ABC est un triangle rectangle en A avec AB cm= 6

et AC cm= 4 . Pour tout point M de AC[ ] on place N sur

BC[ ] tel que MN( ) et AB( ) soient parallèles.

1. Faire une fi gure à main levée.

2. Les courbes ci-dessous représentent les fonctions f et

g qui associent à la longueur AM en cm respectivement

l’aire du triangle CMN et l’aire du trapèze ABNM en cm².

Identifi er chaque courbe.

1

4

8

12

2 3 4 x

y

3. Résoudre graphiquement les équations suivantes et les

interpréter pour la situation donnée :

a. f x( ) = 2 b. g x( ) = 9 c. f gx x( ) = ( )

Pour aller plus loin Résoudre graphiquement

f gx x( ) = ( )2 ; interpréter.

66 La courbe ci-dessous représente une fonction f

défi nie sur −[ ]6 10; .

x1

y

1

2

– 3– 610

– 3

4

1. Quel est le nombre de solutions de l’équation f x( ) = 2 ?

2. Comment choisir m pour que l’équation f mx( ) =

admette trois solutions ?

3. Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre de

solutions de l’équation f mx( ) = .

Équations du 1er degré

D’autres exercices sont disponibles sur le site.Pour les exerices 68 à 71 résoudre les équations proposées.

67 a. 2 3 5x − = b. x x+ = −4 5 2

c. 3 1 5 1x x+( ) = − d. − −( )+ =2 4 1 2x Aide : exercice résolu 5

68 a. 2

34x = b. − =3 4x

c. − =62

3x d. − =t

32

69 a. 2 3 1 5 1x x−( )− = + b. − + = +( )3 4 22

5x x

c. 3 2 1 2 4x x−( )− = − +( ) d. 2 4 3 5−( ) = − +( )x x

70 a. 23

11

3

x x−( ) = − b. x − = −5

73

c. 1

4

1

8

3

2

1

2x x+ = − + d.

x x− = +3

22 1

71 Quelle note doit-on ajouter à la liste 8 ; 12 ; 15 ; 8 ; 9 ;

14 pour avoir une moyenne égale à 12 ?

72 Karen veut acheter des CD qui coûtent tous le

même prix. Elle calcule que, si elle en achète 4, il lui

restera 15 €, mais qu’il lui manque 5 € pour en acheter 5.

On désigne par x le prix d’un CD ; choisir parmi

les 4 équations ci-dessous celle qui correspond au

problème. La résoudre afi n de calculer la somme dont

dispose Karen.

a. 4 15 5 5x x− = + b. 4 15 5 5x x+ = −c. 4 5 15 5x x− = − d. 4 15 5 5x x+ = +

73 Voici une suite de maisons dessinées avec des

allumettes. À quelle étape utilisera-t-on exactement

321 allumettes ?

1re étape 2e étape 3e étape

74 En continuant cet algorithme de construction, à

quelle étape a-t-on besoin de 439 carrés ?

1er étape 2e étape 3e étape

75 Après une augmentation de 8 % un article coûte

18,90 €. Quel était son prix initial ?


76 Après une diminution de 15 % un article coûte

22,10 €. Quel était son prix initial ?

77 Rappeler les formules de calcul

du volume d’une sphère de rayon R et

d’un cylindre de même rayon et de

hauteur h.

Peut-on trouver h pour qu’ils aient

le même volume ?

Résoudre une équation

78 Peut-on résoudre chacune des équations suivantes

(sans la transformer) en appliquant la règle : « un produit

est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul » ?

Si oui, la résoudre.

a. x x−( ) +( ) =1 2 3 0 b. x x2 3 0+( ) =c. 4 5 02x x+ = d. 2 3 6 1x x+( ) +( ) =e. 2 5 1 0x x−( ) +( ) = f. 2 5 4 1 0x x−( ) +( )− =

79 Après avoir factorisé le premier membre s’il ne l’est

pas, résoudre les équations suivantes :

a. 3 2 5 0x x +( ) = b. 5 12 02x x+ =c. x x3 5 0− = d. 2 1 1 0x x−( )× +( ) =

80 Même exercice que le 79 avec :

a. 5 02x x+ = b. x x3 4 0+ =c. x x3 22 0− = d. 4 1 02x − =

81 Apprendre à prévoir les calculs

Exemple Dans 2 3 52x x+ − , on dit que : 2 2x est le « terme

en x2 », 3 x est le « terme en x » et −5 le « terme constant ».

1. Dans chacun des cas suivants, sans faire le

développement complet, déterminer de tête le « terme

en x2 » que l’on aurait en développant :

a. A x x x( ) = +( )1 b. B x x x( ) = + −( )2 2 2

c. C x x( ) = −( )2 1 2 d. D x x x( ) = −( ) +( )4 1 4

2. En déduire parmi les équations suivantes celles qui

vont se ramener à une équation du premier degré après

développement. Résoudre celles-ci uniquement.

a. A Bx x( ) = ( ) b. A Cx x( ) = ( )c. C Dx x( ) = ( ) d. A Dx x( ) = ( )

82 L’équation suivante se ramène-t-elle en développant

à une équation du 1er degré ? Si oui, la résoudre.

a. 2 1 3 12 2x x x x−( )− = + +( )b. 3 1 1 3 4 02x x x+( ) − +( ) +( ) =c. 3 4 4 52 2− +( ) = +( )−x x x

R

R

h

Pour les exercices 83 à 87, résoudre les équations données

83 a. 4 32x x= b. 2 1 3 0x x−( ) +( ) =

c. 3 1 5 1x x x−( ) = −( ) d. 2 3 32x x+ = +


84 a. x −( ) =2 02 b. 2 1 4x x−( ) −( )c. x x+ −( ) = −2 1 d. x x −( ) = −2 1

85 a. x x+( ) − =1 16 02 2 b. 3 2 03 2x x+ =

c. 2 53 2x x= d. 16 242x x=

86 a. x x +( ) = −4 4 b. x x+( ) − +( ) =1 1 03 2

c. 4 2 6 2 12x x x− = −( ) d. x x+( ) − − =2 3 6 02

87 a. 9 4 2 12x x x− = − b. 2 1 4 12 2x x+( ) = −

c. 4 1 2 1 2 32x x x+( ) = +( ) −( ) d. x 4 16 0− =

88 Proposer une équation ayant pour solutions :

a. 4 b. 2 et 0

c. 2 et − 2 d. −2 , 2

3 et 4

89 Soit l’équation 3 2 3 23 2x x x= + − .

1. Grâce à la calculatrice trouver des solutions en

précisant si ce sont des solutions exactes ou approchées.

2. Résoudre avec un logiciel de calcul formel.

Aide : exercices résolus 6 et 4

90 Résoudre à l’aide d’un logiciel de calcul

formel les équations suivantes :

a. x x2 2 1 0− − = b. x x x3 25 5 3− = −

91 Choisir la « bonne forme »

Soit f x x x x( ) = −( ) + +( )−4 2 5 172 .

1. Démontrer que pour tout x réel, on a :

f x x x( ) = + −3 2 12 et f x x x( ) = −( ) +( )3 1 1 .

2. Quelle est la forme développée de f x( ) ? Quelle est la

forme factorisée de f x( ) ?

3. Traiter chacune des questions suivantes, en choisissant

la forme qui vous semble la mieux adaptée :

a. Calculer f 0( ) b. Résoudre f x( ) = 0

c. Calculer f −( )1 d. Résoudre f x( ) = − 1

98


Soit f x x( ) = +( ) −1 162 . Grâce aux résultats ci-dessous obtenus sur Xcas, choisir l’expression de f x( ) la mieux

adaptée pour :

a. résoudre f x( ) = 0

b. résoudre f x( ) = − 16

c. résoudre f x( ) = − 15

d. déterminer le

minimum de f sur �.

Pour aller plus loin

Démontrer par le calcul les résultats obtenus sur Xcas.


Soit g la fonction défi nie par g x x x( ) = − + −2 8 82 sur � et �

g sa courbe représentative.

1. Démontrer que pour tout x réel, g x x( ) = − −( )2 22

.

2. Déterminer le point d’intersection de �g

et de l’axe des

ordonnées.

3. Déterminer s’ils existent les points d’intersection de la

courbe �g

avec l’axe des abscisses.

4. Déterminer les abscisses des points de �g

ayant pour

ordonnée − 8.

94 Sans calculatrice

Associer à chaque courbe ci-dessous la fonction f, g ou h

qu’elle représente avec :

f x x x( ) = −( ) −( )1 3 g x x x( ) = − +( ) −( )2 1 4

h x x x( ) = +( ) +( )1

22 4

Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

95 Soit f x x x x( ) = − +4 24 363 2 sur �.

1. Factoriser f x( ) .

2. Déterminer les points d’intersection de la courbe

représentative de f avec l’axe des abscisses.

96 ALGORITHMIQUE Dichotomie

Soit f la fonction défi nie par f x x x( ) = +2 sur I = [ ]0 4; .

1. Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de

f et le nombre de solutions de l’équation f x( ) = 4 sur

l’intervalle I.

2. Utiliser l’algorithme de dichotomie (voir page 91)

entre a = 0 et b = 4 pour trouver une valeur approchée

de la solution de cette équation à 0,1 près. (On pourra

présenter les résultats dans un tableau analogue à celui

de la page 91).

Pour aller plus loin Adapter l’algorithme de la page 91 à cet exercice.

97 ALGORITHMIQUE Dichotomie

Même énoncé que l’exercice 96 pour la fonction f défi nie

par f x x x( ) = − +3 3 2 sur I = −[ ]1 1; et l’équation f x( ) = 1.

98 Existe-t-il des nombres réels égaux à la moitié de

leur carré ? Au double de leur carré ?

99 Dans une parcelle carrée

de côté x (en m), on creuse un

bassin carré en laissant sur deux

des côtés une bordure de

largeur 3 m.

1. Parmi les expressions suivantes,

indiquer celle(s) qui donne(nt)

l’aire de la bordure :

a. x x+( ) −3 2 2 b. 6 x c. 6 9x −d. x x2 23− −( ) e. x x −( )3

2. Pour quelle(s) valeur(s) de x l’aire de la bordure est-elle

27 m² ?

100 Un terrain carré a pour côté x (en m).

On augmente un côté de 20 m et on diminue un autre de

10 m pour obtenir un rectangle qui a la même aire que le

carré. Que vaut x ?

101 Le volume de la boîte

ABCD est un carré de côté 10 cm. On enlève un même

carré à chaque coin de ABCD pour obtenir le patron d’une

boîte.

A

D C

P N

M R B

1. Montrer que le volume de la boîte est

V = × − ×( )AM AM10 2 2.

2. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, déterminer

comment obtenir une boîte de 72 cm3.

102 Stratégies

Donner plusieurs stratégies possibles pour résoudre de

façon exacte ou approchée l’équation : 3 5 4 22x x x− = + .

x


Avec des quotients

103 On dispose de deux conducteurs ohmiques, l’un

de résistance R1 4= Ω et l’autre de résistance inconnue R2. En les associant en parallèle, on mesure la résistance équivalente Réq = 3 Ω. Déterminer R2.

Rappel

104 Résoudre les équations suivantes :

a. xx

−+

=1

10 b.

2 100

xx+ = c.

xx− =1

3

105 Résoudre les équations suivantes :

a. x

x− =1

42 b.

x xx

2 2 1

10

+ +−

= c.

2

32

2 60

x

x

−

−=

106 Vrai ou Faux ?

Est-il exact d’écrire, pour tout réel x non nul,

a.

1

2 1

2x x= ? b.

1

2

1

2x

x= ?

107 1. Choisir un nombre strictement positif et lui

ajouter son inverse. Recommencer plusieurs fois et

donner la plus petite somme obtenue.

2. Soit g x xx

( ) = + 1 pour tout x ∈ +∞] [0 ; .

a. Démontrer que g xx

x( )− =

−( )2

1 2

.

b. En déduire le minimum de g sur 0 ; +∞] [ et pour

quelle valeur de x il est obtenu.

108 Soit a un nombre réel strictement positif.

1. Quelle est l’aire de ce rectangle ?

a

1

a

2. Exprimer le périmètre P a( ) de ce rectangle.

3. Montrer que P aa

a( ) = +

−( )4

2 1 2

pour tout a � 0.

4. Quel est le périmètre minimal pour un tel rectangle ?

109 On prend deux nombres strictement positifs. La

somme des inverses de ces deux nombres est-elle toujours

égale à l’inverse de la somme de ces deux nombres ?

R1

1R1

1R2

1Req

= +

R2

Un peu de logique

110 ET, OU et négation

Les nombres réels p, q, r, s, t sont tels que :

pqr = 1, rst = 0 et spr = 0.

Quels nombres doivent être égaux à 0 ?

Source : SATsource : SAT

111 Les significations de « un »

Vrai ou faux ?

1. Un entier qui se termine par 3 a son carré qui se

termine par 9.


termine par 25.


termine par 81.

112 Négation

1. Cette proposition est-elle vraie ou fausse ?

« Pour tout nombre entier naturel n, n n2 11 11+ + est un

nombre premier ».

2. Écrire la négation de cette proposition.

Analyser une production

113

La fonction f est représentée

ci-contre.

1. Lire graphiquement le

minimum de f.

2. Résoudre graphiquement

l’équation f x( ) = 0 .

3. La fonction f est défi nie

sur −[ ]1 3; par f x x x( ) = − +2 2 0 99, .

Critiquer les résultats précédents.

114 À vous de corriger !

Des élèves ont résolu l’équation 3 4 2 5− −( ) = +x x .

1. Trouver et expliquer les erreurs commises :

Clara Paul Leila3 4 2 5− −( ) = +x x− = + +2 2 4x x− =6 3 xx = − 2

3 4 2 5− −( ) = +x x3 4 2 5− + = +x x− = −3 2xx = 1

3 4 2 5− −( ) = +x x3 4 2 5− + = +x x− = −3 2x

x = − 2

3

2. Écrire un corrigé en justifi ant chaque étape.

1

1

2

3

4

−1−1

2 3 x

y

�f

Réponses page 341 QCM Choisir la bonne réponse

Réponses page 341 VRAI / FAUX

100

115 Les courbes ci-dessous représentent les fonctions f

et g. Alors :

a. g 0 3( ) = − et 1

b. l’équation f gx x( ) = ( ) a pour solution 2,6c. les solutions de l’équation f x( ) = 4 sont − 3 et 1

d. f x x x( ) = − − +2 5.

1−1−1

1

2

3

4

5

6

−2

−2−3−4−5 2 3 4 x

y�g

�f

116 L’équation 2 5 5 2x x−( ) = − a pour solution :

a. −2,67 b. − 8

3 c. 2,67 d.

8

3

117 x −( )3 2 a pour forme développée :

a. x2 9− b. x2 6− c. x x2 6 6− + d. x x2 6 9− +

118 2 1 2x −( ) est une autre écriture de :

a. 2 1 2 1× −( )× × −( )x x b. 2 1 1× −( )× −( )x xc. 2 1 2 1× −( )× × +( )x x d. 2 1 1× −( )× +( )x x

119 Sans calculatrice

Les solutions de l’équation x x x3 22 11 12 0+ − − = sont :

a. – 4 ; − 1 ; 3 b. − 4 ; − 3 ; − 1

c. − 1 ; 3 ; 4 d. – 3 ; 1 ; 4

120 Pour tout x réel, x x2 25 10+ − est égal à :

a. x x+( ) −5 102 b. x x2 15+

c. x x+( ) −( )5 5 d. x −( )5 2

121 On donne les formes suivantes de f x( ) :

(A) f x x x( ) = −( )1 (B) f x x x( ) = −2

(C) f x x( ) = −( ) +1

2

3

4

2

(D) f x x x( ) = −( ) − −1 12

1. Pour trouver les points d’intersection de l’axe des

abscisses et de la courbe représentant f, la forme la mieux

adaptée est :

a. A( ) b. B( ) c. C( ) d. D( )2. Pour trouver le minimum de f sur �, la forme la mieux

adaptée est :

a. A( ) b. B( ) c. C( ) d. D( )

122 Un carré ABCD devient un rectangle lorsque l’on

réduit AB de 5 cm et AD de 6 cm.

Ce rectangle a pour aire 182 cm².

L’aire du carré ABCD est-elle :

a. 25 cm² ? b. 36 cm² ? c. 256 cm² ? d. 361 cm² ?

Source : SAT

123 Il existe x réel tel que x x x3 22 1 1− + = −( ) .

124 L’expression 2 4 5 12x x+( ) −( ) − est factorisée.

125 La forme factorisée de x x x−( ) + +( ) −( )1 2 3 12 est

x x−( ) − −( )1 2 3 .

126 L’équation x x2 4= a pour unique solution x = 4 .

127 3 et − 3 sont solutions de l’équation :

x x x2 2 5 2 4+ − = + .

128 Pour l’équation x x x3 2 6 4 0− − − = , les

solutions obtenues avec un logiciel de calcul formel sont :

− 1 ; 1 5+ ; 1 5− .

129 L’équation 2 7

40

xx

+−

= a pour solutions 4 et – 3,5.

130 La fonction f représentée

ci-contre peut être la fonction

défi nie sur � par :

f x x x( ) = +( ) −( )2 0 86 2 3, , .

�f

x

y

0

Travail personnel

Faire le point sur les méthodes

Réponses page 341. Résolutions détaillées sur le site Évaluer ses capacités


131 1. Par lecture graphique :

a. lire f −( )1 b. résoudre f x( ) = 5

c. résoudre f gx x( ) = ( ) d. résoudre g x( ) = 0

1−1−1

−2−3−4−5

−2−3−4

1

2

3

4

5

2 3 4 x

y

�g

�f

2. Les fonctions f et g sont données par les expressions

suivantes : x x−( ) +( )1 3 et 2 1−( ) −( )x x .

Comment peut-on reconnaître l’expression de f et celle de

g sans utiliser la calculatrice ?

3. Résoudre par le calcul l’équation f gx x( ) = ( ).

Quel contrôle peut-on faire ?

4. Montrer que pour tout x réel, f x x x( ) = + −2 2 3

Résoudre l’équation f x x( ) = − −4 12 . Comment contrôler

graphiquement le résultat ?

Des questions souvent rencontrées Exemples

Développer, factoriser des expressions simples. Exercices résolus 1, 2 , 3 , 4

Identifier la forme la mieux adaptée d’une expression en vue de la résolution d’un problème donné. Exercices résolus 2, 6

Résoudre une équation du premier degré ou se ramenant au premier degré. Exercices résolus 5, 6

Associer une lecture graphique et une résolution algébrique. Exercice résolu 6

Utiliser une calculatrice ou un logiciel de calcul formel si nécessaire. Exercices résolus 2, 4

132 ABCD est un rectangle tel que AB = 10 et AD = 6

(en cm). M étant un point quelconque du segment AD[ ], on construit le carré AMPN et le rectangle CQPR comme

indiqué sur la fi gure.

A

M RP

N B

CQD

On pose AM = x (en cm). On note � x( ) l’aire en cm² de la

partie colorée de la fi gure.

1. a. Faire une fi gure avec x = 4 .

b. Déterminer, dans ce cas, CQ, CR puis � 4( ).

2. Montrer que, pour tout x de 0 6;[ ],

� x x x x( ) = + −( ) −( )2 10 6 .

3. En déduire que, pour tout x de 0 6;[ ],

� x x x( ) = − +2 16 602 et � x x( ) = −( ) +2 4 282

4. Quelle est l’aire minimale de la partie colorée ? Pour

quelle position de M est-elle obtenue ?

5. On veut déterminer pour quelles valeurs de x

l’aire de la partie colorée est égale à 30 cm².

Expliquer la (les) démarche(s) que vous pourriez utiliser

pour résoudre ce problème avec des outils de votre

choix : calculatrices ou logiciels divers. Préciser si vous

obtiendriez ainsi des solutions exactes ou approchées.

Travail personnel

102

Approfondissement

133 Le point M appartient à AB[ ], on construit les demi-

disques de diamètres AB[ ], AM[ ] et BM[ ].

A M B

On donne AB = 8 et on pose AM = 2 x et on note f x( )

l’aire de la partie colorée en orange.

1. À quel intervalle appartient x ?

2. Démontrer que f x x x( ) = − +( )π 2 4 8 .

3. L’aire de la partie orange peut-elle être égale à celle de

la partie colorée en bleu ?

134 ABCDEFGH est un cube de côté 6 cm. Pour tout x de

0 6;[ ] on place M sur AB[ ], N sur AE[ ] et Q sur AD[ ] tels

que AM EN AQ= = = x .

H G

FE

N

S T

P

D

A M B

CQ R

On note V x( ) le volume du parallélépipède rectangle

AMRQNPTS. La fonction V est représentée ci-dessous :

1

5

10

15

20

25

30

y

2 3 4 5 6 x

1. Lire graphiquement des valeurs approchées des

antécédents de 16 par V.

2. Justifi er que, pour tout x de 0 6;[ ], V x x x( ) = −( )2 6 .

3. a. Démontrer que, pour tout x de 0 6;[ ],

V x x x x( )− = −( ) − −( ) − +( )16 2 2 2 3 2 2 3

b. Résoudre l’équation V x( ) = 16.

Quel(s) contrôle(s) peut-on eff ectuer sur les solutions ?

135 Tartre et consommation d’énergie

Les tuyaux utilisés en plomberie s’entartrent au fi l du temps

au contact de l’eau. Pour un type de tuyau, une épaisseur

de tartre x (en mm) entraîne une augmentation de y % de la

consommation d’énergie pour produire la même quantité

d’eau chaude avec y x x= − +1

482 pour x ∈[ ]0 14; .

1. Calculer le pourcentage d’énergie consommée en plus

pour une épaisseur de tartre de 1 mm.

2. On cherche l’épaisseur de tartre qui, pour la même

production d’eau chaude, a fait passer la consommation

d’énergie de 1 200 kWh à 1 380 kWh.

a. Montrer qu’il s’agit de résoudre l’équation :

− −( ) + =1

416 64 152x .

b. Déterminer l’épaisseur de tartre.

136 Les longueurs sont exprimées en cm.

ABC est un triangle isocèle en A avec AB = 7 et BC = 9.

On place un point M sur AB[ ].

La parallèle à BC( ) passant par M coupe AC[ ] en N.

A

B

CM

Nx

On pose x = AM. On note p et q les fonctions qui à x

associent les périmètres de AMN et MNCB.

1. Donner les ensembles de défi nition de p et q.

2. a. Exprimer AN et MN en fonction de x. En déduire p x( )

en fonction de x.

b. En déduire BM, CN puis q x( ) en fonction de x.

3. Représenter graphiquement p et q (unités : 1 cm en

abscisse, 0,5 cm en ordonnée).

4. Déterminer graphiquement puis par le calcul la

position de M telle que :

a. MNCB ait pour périmètre 21 cm ;

b. AMN et MNCB aient le même périmètre. Comparer les

deux méthodes.

137 Deux nombres ont pour somme 314.

De combien augmente leur produit si on ajoute 9 à

chacun des deux ?

138 1. Calculer 1

2

1

3

1

3

1

4− −; ;

1

4

1

5

1

999

1

1000− −; .

2. Calculer S =×

+×

+ +×

1

2 3

1

3 4

1

999 1 000… .


139 Trouver x et y tels que x y2 2 77− = et x y− = 11.

140 1. Soit m = 3 et n = 2.

a. Calculer a m n= +2 2 , b m n= −2 2 et c mn= 2 .

b. Tracer le triangle de côtés a, b, c. Est-il rectangle ?

2. a. Montrer que, pour tous entiers m et n,

m n mn m n2 2 2 2 2 2 22−( ) + ( ) = +( ) .

b. Donner les dimensions de deux autres triangles

rectangles à côtés entiers.

141 ALGORITHMIQUE Algorithme de Hörner

À la calculatrice, une instruction comme x ∧ 3 compte

pour 2 multiplications : x x x x∧ = × ×3 .

1. Premier exemple

Soit f x x x( ) = + +2 4 3 sur � (forme A).

a. Vérifi er que f x x x( ) = + +( )3 4 pour tout x réel (forme H).

b. Combien d’opérations sont à eff ectuer avec la forme A ?

avec la forme H ?

c. On programme le calcul de f x( ) pour x variant de

0 à 2 avec un pas de 0,1. Combien d’opérations sont

nécessaires avec chacune des deux formes ?

2. Deuxième exemple

Reprendre les question a, b et c de la question 1

pour f x x x x x( ) = + − + −4 3 22 3 4 1 (forme A)et f x x x x x( ) = − + + − + +( )( )( )1 4 3 2 (forme H).

3. Troisième exemple

Soit f x x x x x x x x( ) = + + − + − + −4 2 3 4 2 3 4 17 6 5 4 3 2 .

a. Proposer la « forme H » associée.

b. Reprendre les questions 1.b et 1.c.

Pour aller plus loin

Quel est le gain obtenu en nombre d’opérations pour

f x x x x x x( ) = + + + + + +50 49 48 2 1… ?

(On pourra programmer un algorithme pour eff ectuer un

calcul de ce gain.)

Très longtemps les physiciens ont dû faire des calculs à la

main très compliqués, des « calculs astronomiques » !

La tradition attribue au mathématicien anglais W.G.

Hörner l’invention (ou la redécouverte) en 1819 d’une

méthode efficace pour économiser des opérations !

Pour calculer 2 3 4 2 5 45 4 3 2x x x x x+ + + + + il faut

15 multiplications et 5 additions. En transformant

l’expression en 4 5 2 4 3 2+ + + + +( )( )( )( )x x x x x il n’y a

plus que 5 multiplications et 5 additions à effectuer !

Cette méthode, appelée algorithme de Hörner, est

toujours utilisée pour gagner du temps de calcul avec

un ordinateur.

142 Par l’absurde

Est-il possible que x x2 3 4− + s’écrive pour tout x réel

comme un produit de la forme x x+( ) +( )1 a b avec

a et b réels ?

143 Le choix de l’inconnue

On cherche tous les triangles rectangles dont les côtés

sont des entiers consécutifs.

Charlène appelle n la longueur du plus petit côté.

Maya appelle m la longueur du plus grand côté.

Chang appelle p la longueur du côté intermédiaire.

1. Comment Charlène va-t-elle exprimer les longueurs

des deux autres côtés en fonction de n ?

Quelle équation va-t-il obtenir ?

2. Reprendre la question 1 pour Maya et Chang.

3. Résoudre l’équation la plus simple et donner le(s)

triangle(s) solution(s).

144 1. Vérifi er l’identité :

a b c a b c a b c+ −( ) + +( ) = +( ) −2 2 .

2. Utiliser cette identité pour calculer :

2 3 5 2 3 5+ −( ) + +( )

145 Défi ! Sans calculatrice, calculer P :

P = + + +( )× − + +( )× + − +( )× + + −( )

× − −

1 2 3 5 1 2 3 5

1 2 3 5 1 2 3 5

1 2 3 ++( )× − + −( )× + − −( )× − − −( )

5 1 2 3 5

1 2 3 5 1 2 3 5

Source : acad. Bordeaux

146 Défi !

Justifier l’égalité suivante :

99 999 999 2 1 12 2 20 000 00 000 00+ = .

147 Défi !

Sans calculatrice, déterminer l’entier

A tel que 3 333 333 4 444 444 A2 2 2+ = .

104

Prendre des initiatives

Ne pas hésiter à utiliser calculatrices ou logiciels.

148 Une astuce

15 2252 = ; 25 6252 = ; 35 1 22 = 25 ;

45 2 0252 = ; 55 3 0252 = ; 65 4 22 = 25.

Trouver une astuce pour calculer de tête ces carrés.

Est-elle toujours valable ?

149 On dit qu’un nombre entier est un carré parfait si

c’est le carré d’un entier.

Exemple : 1764 est un carré parfait car 1 764 422= .

Est-il vrai que les carrés qui se terminent par 6 (c’est-à-

dire dont le chiff re des unités est 6) sont les seuls à avoir

un chiff re des dizaines impair ?

Source : EVAPM

150 Triangles rectangles à côtés entiers à volonté !

Vérifi er que 49 24 25= + et que 7, 24, 25 sont les côtés

d’un triangle rectangle.

En observant cet exemple, trouver une méthode

permettant de donner autant de triangles rectangles à

côtés entiers que l’on veut. Justifi er.

151 Un vieux problème chinois

Une ville carrée de dimensions inconnues comprend

une porte au milieu de chaque côté. À l’extérieur de la

ville, vingt pas après la sortie nord, se trouve un arbre.

Si tu quittes la ville par la porte sud, marche quatorze

pas vers le sud puis 1 775 vers l’ouest et tu commenceras

tout juste à apercevoir l’arbre.

On cherche les dimensions de la ville.

Ce problème est issu des Neuf Chapitres sur l’art du calcul. Cet ouvrage chinois date d’un peu avant ou un

peu après le début de notre ère. C’est un recueil de

problèmes ayant pour but de fournir des algorithmes

pour résoudre des problèmes quotidiens comme le

partage d’un champ, la répartition des impôts ou le

stockage des grains.

152 Qui a raison ?

On veut calculer 9 24 4 2x y y− + pour x = 10 864 et

y = 18 817. Rassembler les résultats obtenus avec un

maximum d’outils diff érents comme : TI82, TI collège,

Casio Graph 35, Casio collège, tableur, Scilab, etc.

Quelle est donc la valeur de 9 24 4 2x y y− + ?

Exposé Expliquer d’où viennent les limites de calcul

d’une calculatrice ou d’un tableur. On donnera des

exemples précis qui permettent de prendre en défaut

l’un ou l’autre en expliquant d’où viennent les erreurs.

Une ressource : APMEP n°440.

153 Basic algebra

1. Substitution in formulae : it means replacing letters

in formulae or expressions with numbers.

When replacing letters with numbers, use brackets to

avoid problems with minus signs.

Ex. Work out the value of ab c+ if a = −3, b = 4

and c = 5.

ab c+ = −( ) + = − + = −3 4 5 12 5 7 .

Calculate x xy2 1− + if x = 1

3 and y = −2.

2. Expansion and simplifi cation : Expand in

mathematics means multiply out. When expanding

brackets, the term outside the brackets is multiplied by

each term inside the brackets.

Ex. 4 1 2 3x x+( ) −( )First, expand : 4 2 4 3 1 2 1 3x x x x× + × −( )+ × + × −( )Second, simplify : 8 12 2 3 8 10 32 2x x x x x− + − = − − .

3. Factorisation : it is the opposite of expansion.

Factorisation puts an expression back into several

factors. To factorise an expression, fi nd the common

factor of terms.

Ex. 6 92x x− has a common factor of 3 x in each term.

So, 6 9 3 2 3 3 3 2 32x x = x x x x x− × − × = −( ).

Check your factorisation by expand the fi nal answer.

4. ALGORITHM :a. Write down the algebraic expression with the

following algorithm.

Think of a number. Double your number. Add 10. Divide

by 2. Subtract the original number.

b. Explain the following algorithm : Ask a ; ask b ; (if a ≠ 0

then x = − b

a else (if b ≠ 0 then there’s no solution else

the set of solutions is �)).

c. Give an algorithm to solve a linear equation a b c dx x+ = + , with a, b, c, d real numbers.

Développer, factoriser pour résoudre 3

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