1 Connaitre la notion d’équation · Chapitre 6 Équations et inéquations 107 Savoir-faire 2...
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Chapitre 6 Équations et inéquations 105 Savoir-faire Savoir-faire Connaitre la notion d’équation 1 1 On considère l’équation 2t + 6 = 5t – 9. 1. –5 est-il une solution de cette équation ? 2. 5 est-il une solution de cette équation ? Solution 1. On veut tester si –5 est une solution de 2t + 6 = 5t – 9 : On remplace t par (–5) dans le membre de gauche : 2t + 6 = 2 × (–5) + 6 = –10 + 6 = –4 On remplace t par (–5) dans le membre de droite : 5t – 9 = 5 × (–5) – 9 = –25 – 9 = –34 Comme les deux membres n’ont pas la même valeur, l’égalité est fausse pour t = –5. Ainsi, –5 n’est pas une solution de l’équation 2t + 6 = 5t – 9. 2. On veut tester si 5 est une solution de 2t + 6 = 5t – 9 : On remplace t par 5 dans le membre de gauche : 2t + 6 = 2 × 5 + 6 = 10 + 6 = 16 On remplace t par 5 dans le membre de droite : 5t – 9 = 5 × 5 – 9 = 25 – 9 = 16 Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vraie pour t = 5. Ainsi, 5 est une solution de l’équation 2t + 6 = 5t – 9. 2 On considère le rectangle et le carré ci-contre. L’aire du rectangle est donnée par l’expression littérale L × 4. L’aire du carré est donnée par l’expression littérale L × L. 1. Que signifie l’égalité L × 4 = L × L ? 2. Cette égalité est-elle vraie pour L = 6 ? Et pour L = 4 ? Solution 1. L’équation L × 4 = L × L signifie que l’aire du rectangle est égale à celle du carré. 2. On veut tester si 6 est une solution de cette équation : On remplace L par 6 dans le membre de gauche : L × 4 = 6 × 4 = 24 On remplace L par 6 dans le membre de droite : L × L = 6 × 6 = 36 Comme 24 ≠ 36, les deux membres n’ont pas la même valeur, l’égalité est fausse pour L = 6. Ainsi, 6 n’est pas une solution de l’équation L × 4 = L × L. Les aires ne sont donc pas égales pour L = 6. On veut tester si 4 est une solution de l’équation L × 4 = L × L : On remplace L par 4 dans le membre de gauche : L × 4 = 4 × 4 = 16 On remplace L par 6 dans le membre de droite : L × L = 4 × 4 = 16 Les deux membres ont la même valeur 16, l’égalité est vraie pour L = 4. Ainsi, 4 est une solution de l’équation L × 4 = L × L. Les aires sont donc égales pour L = 4. 3 On considère l’équation 4y + 10 = 6y – 7. • 1 est-il une solution de cette équation ? Et 8,5 ? 4 Dans l’exercice 2 , l’aire du rectangle et l’aire du carré sont-elles égales pour L = 7 ? L 4 L L –4 ≠ –34 Apprends à l’aide des exercices résolus puis entraine-toi !
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Chapitre 6 Équations et inéquations 105
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Connaitre la notion d’équation1
1 On considère l’équation 2t + 6 = 5t – 9. 1. –5 est-il une solution de cette équation ? 2. 5 est-il une solution de cette équation ?
Solution
1. On veut tester si –5 est une solution de 2t + 6 = 5t – 9 : On remplace t par (–5) dans le membre de gauche :
2t + 6 = 2 × (–5) + 6 = –10 + 6 = –4 On remplace t par (–5) dans le membre de droite :
5t – 9 = 5 × (–5) – 9 = –25 – 9 = –34 Comme les deux membres n’ont pas la même valeur, l’égalité est fausse pour t = –5. Ainsi, –5 n’est pas une solution de l’équation 2t + 6 = 5t – 9.
2. On veut tester si 5 est une solution de 2t + 6 = 5t – 9 : On remplace t par 5 dans le membre de gauche :
2t + 6 = 2 × 5 + 6 = 10 + 6 = 16 On remplace t par 5 dans le membre de droite :
5t – 9 = 5 × 5 – 9 = 25 – 9 = 16 Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vraie pour t = 5. Ainsi, 5 est une solution de l’équation 2t + 6 = 5t – 9.
2 On considère le rectangle et le carré ci-contre. L’aire du rectangle est donnée par l’expression littérale L × 4. L’aire du carré est donnée par l’expression littérale L × L. 1. Que signi� e l’égalité L × 4 = L × L ? 2. Cette égalité est-elle vraie pour L = 6 ? Et pour L = 4 ?
Solution
1. L’équation L × 4 = L × L signi� e que l’aire du rectangle est égale à celle du carré.2. On veut tester si 6 est une solution de cette équation : On remplace L par 6 dans le membre de gauche : L × 4 = 6 × 4 = 24 On remplace L par 6 dans le membre de droite : L × L = 6 × 6 = 36 Comme 24 ≠ 36, les deux membres n’ont pas la même valeur, l’égalité est fausse
pour L = 6. Ainsi, 6 n’est pas une solution de l’équation L × 4 = L × L. Les aires ne sont donc pas égales pour L = 6.
On veut tester si 4 est une solution de l’équation L × 4 = L × L : On remplace L par 4 dans le membre de gauche :
L × 4 = 4 × 4 = 16 On remplace L par 6 dans le membre de droite :
L × L = 4 × 4 = 16 Les deux membres ont la même valeur 16, l’égalité est vraie pour L = 4. Ainsi, 4 est une solution de l’équation L × 4 = L × L. Les aires sont donc égales pour L = 4.
3 On considère l’équation 4y + 10 = 6y – 7.• 1 est-il une solution de cette équation ?
Et 8,5 ?
4 Dans l’exercice 2 , l’aire du rectangle et l’aire du carré sont-elles égales pour L = 7 ?
L
4
L
L
–4 ≠ –34
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Chapitre 6 Équations et inéquations 107
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Résoudre une équation2
5 Résoudre l’équation x + 6 = 10.
Solution
On veut résoudre l’équation x + 6 = 10 :On soustrait 6 à chacun de ses membres :
x + 6 – 6 = 10 – 6x = 4
Ainsi, 4 est la solution de cette équation.
6 Résoudre l’équation x – 7 = 2.
Solution
On veut résoudre l’équation x – 7 = 2 :On ajoute 7 à chacun de ses membres :
x – 7 + 7 = 2 + 7x = 9
Ainsi, 9 est la solution de cette équation.
7 Résoudre les équations suivantes. x + 11 = 9 8 + x = 10 2,5 + x = 4 x – 11 = 3 x – 5,9 = 7 x – (–6) = 12
10 Résoudre les équations suivantes. 2x = 7 –8x = 15 1,4x = 16
x7= 6
x13
= −5 x−4
= 3
8 Résoudre l’équation 7x = 21.
Solution
On veut résoudre l’équation 7x = 21 :On divise par 7 chacun de ses membres :
7x7
= 217
x = 3Ainsi, 3 est la solution de cette équation.
11 Résoudre l’équation 3x + 7 = 25.
Solution
On veut résoudre l’équation 3x + 7 = 25.• On soustrait 7 à chacun de ses membres :
3x + 7 – 7 = 25 – 73x = 18
• On divise par 3 chacun de ses membres :3x3
= 183
x = 6Ainsi, 6 est la solution de cette équation.
9 Résoudre l’équation x3= 2 .
Solution
On veut résoudre l’équation x3= 2 :
On multiplie par 3 chacun de ses membres :x3× 3 = 2 × 3
x = 6Ainsi, 6 est la solution de cette équation.
12 Résoudre l’équation –8x – 1 = 27.
Solution
On veut résoudre l’équation –8x – 1 = 27.• On ajoute 1 à chacun de ses membres :
–8x – 1 + 1 = 27 + 1–8x = 28
• On divise par –8 chacun de ses membres :−8x−8
= 28−8
x = –3,5Ainsi, –3,5 est la solution de cette équation.
13 Résoudre les équations suivantes : 5x + 1 = 16 2x – 9 = 17
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Chapitre 6 Équations et inéquations 109
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Modéliser une situation3
14 Trois bâtons mesurent ensemble 3,7 mètres. Le deuxième mesure 1,2 m de plus que le premier. Le troisième mesure 0,5 m de moins que le premier. • Quelle est la longueur du premier bâton ?
Solution
• On choisit l’inconnue : on appelle x la longueur du premier bâton.
• On traduit l’énoncé du problème par une équation :Le deuxième bâton mesure 1,2 m de plus que le premier donc sa longueur est égale à x + 1,2.Le troisième bâton mesure 0,5 m de moins que le premier donc sa longueur est égale à x – 0,5.La longueur des trois bâtons est égale à 3,7 m, mais aussi à x + x + 1,2 + x – 0,5.On peut donc écrire l’équation x + x + 1,2 + x – 0,5 = 3,7.
• On résout l’équation :x + x + 1,2 + x – 0,5 = 3,7x + x + x + 1,2 – 0,5 = 3,73x + 0,7 = 3,73x + 0,7 – 0,7 = 3,7 – 0,73x = 3
3x3
= 33
x = 1
• On interprète le résultat : le premier bâton mesure 1 m.
15 À la rentrée scolaire, Antoine regarde la composition de sa classe de 4e et constate qu’il y a deux fois moins de garçons que de � lles.
• Sachant que sa classe compte 27 élèves, combien y a-t-il de garçons ?
On réordonne les termes.
On simplifi e l’expression : x + x + x = 3x
On retranche 0,7 aux deux membres de l’égalité.
On divise les deux membres par 3.
Connaitre la notion d’inéquation4
16 On considère l’inéquation 3y – 7 ⩾ 12. • (–2) est-il une solution de cette inéquation ?
Solution
On remplace y par –2 dans 3y – 7 :3y – 7 = 3 × (–2) – 7 = –6 – 7 = –13
Comme –13 < 12, l’inégalité est fausse pour y = –2.Donc –2 n’est pas une solution de l’inéquation 3y – 7 ⩾ 12.
17 On considère l’inéquation 7y + 1 < y – 3. • 9 est-il une solution de cette inéquation ?
Solution
On remplace y par 9 dans le membre de gauche :7y + 1 = 7 × 9 + 1 = 63 + 1 = 64
On remplace y par 9 dans le membre de droite :y – 3 = 9 – 3 = 6
Comme 64 > 6, l’inégalité est fausse pour y = 9.Ainsi, 9 n’est pas une solution de l’inéquation 7y + 1 < y – 3.
18 On considère l’inéquation 6z – 15 ⩽ 7. • 1 est-il une solution de cette inéquation ? Et 3 ?
19 On considère l’inéquation 2z + 6 > 5z – 8. • 6 est-il une solution de cette inéquation ? Et 2 ?
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