А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л

Т о м X X X V 1 9 8 9 В ы » . 3

УДК 534.2:532

Р А С С Е Я Н И Е З В У К А В И Х Р Е В Ы М С О Л И ТО Н О М В О С Е С И М М Е Т Р И Ч Н О М П О Т О К Е СО С Д В И ГО М С К О РО С Т И

Лямгиов Л . М . , С кворцов А . Т .

Р а с с м а т р и в а е т с я з а д а ч а о р а ссе я н и и з в у к а л о к ал и зо ван н ы м и в и х р е ­вы м и в о зм у щ ен и я м и п о сеси м м етр и ч н о м п о то к е со сд ви го м скорости , ко то р ы е о п и с ы в а ю т с я и зв естн ы м у р ав н е н и е м К о р т о в е г а -д е Ф р и з а . П о­т о к п р е д п о л а га е т с я с у щ е с т в е н н о д о з в у к о в ы м , т . е. его х а р а к т е р н а я ско ­р о сть м н ого м е н ь ш е скор ости з в у к а . В р а м к а х б о р ц о вско го п р и б л и ж е н и я о п р ед ел ен ы а м п л и т у д а и сеч ен и е р а с с е я н и я ; а н а л и з и р у е т с я и х п о вед е­ни е в п р ед ел е н и зк и х и в ы с о к и х ч асто т . Н а о сн о ван и и п о л у ч е н н ы х р е ­з у л ь т а т о в р а с сч и т ы в а ю т ся х а р а к т е р и с т и к и з в у к о в о г о н о л я , п о р о ж д ае­мого р а ссе я н и ем н а в и х р е в о м в о зм ущ ен и и в ви де одного соли топа.

Взаимодействие звуковых волн с вихрями определяет большое число практически важных эффектов (аэродинамическую генерацию звука, акустическое управление параметрами турбулентных течений, динами­ческие шумы атмосферы и океана и т. д.) и широко исследуются и по­следнее время (см., например, [1—7]). Особый интерес при этом вызы­вают процессы рассеяния звука на вихрях, что связано, например, с раз­работкой средств дистанционной акустической диагностики вихрей и детектированием когерентных вихревых структур в турбулентных потоках [3—6].

И настоящей работе теоретически исследуется рассеяние звука лока­лизованными вихревыми возмущениями (солитонами) в осесимметрич­ном сдвиговом потоке с профилем скорости типа струи или следа (такие возмущения — солитопы могут служить достаточно адекватной моделью когерентных вихревых структур). Поток предполагается существенно до­звуковым, т. е. его характерная скорость много меньше скорости звука.

Рассмотрим стационарный осесиммстрический поток (струю) с рас­пределением скоростей

vz=U0e x p [ - ( r J a ) 2), уг= фф=0, (1)где г l, z, ср — цилиндрическая система координат (см. рисунок); а= = со nst — ширина струи; t/o=const— скорость на ее оси (переход от (1) к потоку типа следа осуществляется очевидным галилеевским преобразо­ванием координат [8] ) ; £/0< с (с —скорость звука), поэтому поток в пер­вом приближении можно считать несжимаемым.

Можно показать (см. [8, 9 ]), что динамика крупномасштабных (с вол­новыми числами х <1 /а) осесимметричных возмущений потока (1) вида

vz= U (ez, et) exp (—г ) (2)описывается уравнением

д д д д*— v+U0— v+v — у+ р— - v=0. (3)dt dz dz v dz*

Здесь r = r j a , e ~ x a < l, v — возмущение скорости на оси струи: U= = U0+v; $=U0a2 In 2/2. Распределение радиальной скорости, отвечающее(2), (3), определяется на основании уравнения неразрывности и при г±<а дается выражением (см. [8]):

vr = — [ e x p ( - r* ) - l] , U' = ~ U . (4)r± f)z

477

Г е о м е т р и я зад ач и , а - п р о ф и л ь скор ости не в о зм у щ ен н о го п о то к а , б - к а р т и н а л и н и й т о к а д л я в о з м у щ е н и я в ви де со л и то п а [8 ] , в - с х е м а

рассеяния

В области г±>а возмущения радиальной и осевой скорости с увели­чением г l экспоненциально затухают [8] и течение всегда сохраняет потенциальный характер.

Уравнение (3) —известное уравнение Кортевега —де Фриза, решения которого хорошо изучены [10]. Это позволяет аналитически описывать структуру вихревых возмущений (2), (3) и, как следствие, особенности рассеяния ими звука (но поводу излучения звука возмущениями (2),(3) см. [1]) .

Пусть на возмущенный поток (1), (2) падает плоская монохромати­ческая звуковая волна. Рассчитаем эффективность рассеяния в этом случае.

При определении параметров звукового поля будем исходить из из­вестного выражения (см., например, [7])

о е*к°*— = /(п ,п 0)—— , (5)Ра Я

0) 2Нп,щ) = — ^т(пп<1) (nv(q)), q = k - k 0, (6)

2 л с2

которое в борцовском приближении описывает рассеянное поле вдали от произвольного гидродинамического потока. Здесь р0, р, — амплитуды гар­монических возмущений плотности соответственно в падающей и рас­сеянной волне, / ( п, п0)—амплитуда рассеяния; i? = |R |; R — радиус-век­тор точки наблюдения; n= R /Д; n0= k 0/fco; k0 — волновой вектор падающей звуковой волны; со0=ск0 — ее частота (предполагается, что выполнено условие квазистационарности: сo0>UJa)\ k=nfc0; v(q) — пространствен­ная фурьо-компопента поля скорости вихревого потока v ( r , t), которую с учетом существенно дозвукового характера движения удобно выразить через соответствующую фурье-компоненту завихренности Й (г, /)= ro lv (r , /) [3-5]

v(q)= i[£i(q)X q]/g2, (7)где

Q (q )-JJ(q , 0 = J « ( r , 0 ei,rd3r. (8)

Таким образом, при рассеянии звука па вихревом потоке рассеяппос зву­ковое иоле (помимо характеристик падающей волны) полностью опреде­ляется фурье-компонентой завихренности (8) [3—5].

Здесь сразу необходимо оговорить следующее важное обстоятельство. Рассеяние звука в рассматриваемом случае будет, вообще говоря, проис­ходить как на самом стационарном потоке (1), так и на его возмущениях(2). На практике, однако, звуковые сигналы, отвечающие каждому из этих процессов, могут быть легко выделены, поскольку они имеют отно­сительную расстройку по частоте (эта расстройка есть непосредственное следствие эффекта Доплера, возникающего из-за распространения воз->178

мущеиий (2) относительно стационарного потока). Поэтому в дальней­шем вообще не будем рассматривать рассеяние звука стационарным по­током (1), полностью сосредоточившись на исследовании особенностей его рассеяния возмущениями (2).

Для осесимметричных вихревых течений Й(г)=ф12(г±, z), где r=rj_+ +zz, r±={xt У, 0}; <p=[z, r±l/r±, z — единичный вектор вдоль оси потока

см. рисунок). В результате выражения (6), (7) приводятся к виду 3, 4]

/ ( п, п„) = - Ф (п, п0, г) Q (</х, qc) , (9)

где •Ф(11, По, z) = (im0) (nz+n0z), (10)

30

= (?хГх)П (д„гх)</гА, (11)О

• -/,(£ ) — функция Бесселя первого порядка, qZ=qz, q j.= q -g ;z, g_L=|q_L|.

Входящее в (9), (11) распределение завихренности, отвечающее воз­мущениям (2), (3), находится при помощи (2), (4). Таким образом, по­лучаем, что при гх<а

Q(r±, z) =v"az[cxtj(—r2) — i]/r+2vr exp [—r2]/a2. (12)Подставляя это выражение в (9) и учитывая экспоненциальный характер затухания Q( rL, z) при г \>а (это позволяет заменить верхний предел интегрирования в (И ) на величину ~ а ), находим Q(q±,qz) = = [qz2a2Ft(q±a)+2F2((j±a)]v(qz)alqZy где + СО

»(?«)“ »(?.,*) = I v(z , i )e il]‘‘dz, (12)— СО

v(z t) — любое решение уравнения (3),1 *

Л<*)= \ [1-ехр(-Г) У,(*М; Рг {х) = J £*ехр (-?)/. (13)

Далее, разлагая в ряд экспоненту в подынтегральных выражениях (13), имеем Fl(x)= F2(x)=^J2(x)/x. После этого формула (9) принимает окон­чательный вид:

ч ~ ш 0га2 J2(q±a)/ ( n ,n0)= q )(n ,n 0,z)

2с3 (q±a)[qzza2+2]v(q:). (14)

Подставляя в (14) известные решения уравнения Кортевсга — де Фриза(3) [10], отвечающие различным типам вихревых возмущений (2), (3) (совокупность солитоиов, линейный диспергирующий пакет, кноттдальная волна), можно теоретически проанализировать особенности рассеяния ими звука.

Отметим, что согласно (14) при п = —п0 (рассеяние назад) и при п-1-п0 (рассеяние в перпендикулярном направлении) рассеянный сигнал всегда

л

отсутствует (сомножитель Ф(п, n0,z) (10) равен нулю). Это есть след­ствие общих закономерностей, непосредственно вытекающих из исходной формулы (5) [3, 4, 7].

В качестве примера использования полученных результатов рассчи­таем при помощи (5), (14) рассеяние звука локализованным вихревым возмущением в виде одного соли тона (см. рисунок). Соответствующее решение уравнения (3) имеет вид [10]

v(z, *)=3F/ch2 U z-F O /A ]; FA2= t / 0a22 In 2=const, (15)

4 7 9

где 3V — амплитуда солитона, Д — его характерная ширина. Входящий н (14) интеграл v(qz) (12) в этом случае легко вычисляется. В резуль­тате находим

/(и, п0) =3ш 1 п 2Ф (п, и0, z)o)0V£/r

с.3g«(gxV+2) ^ у,Ь{ЯлР)йй(лдгД/2) 6 (g j/02

Из формул (5), (16) заключаем, что рассеянная на солитоне звуковая•'Ч

волна имеет доплеровский сдвиг частоты A(i)0= qzF относительно звуко­вой волны, рассеянной на невозмущениом потоке (относительно же па-

✓ ч

дающей волны этот сдвиг частоты равен qz(C/0+ F ) ) . Поскольку V ~ h r2(15), то отсюда следует, что доплеровский сдвиг частоты Дсо0 обратно про­порционален квадрату характерного пространственного масштаба соли- тома. По этой же причине амплитуда сигнала, рассеянного вперед (этому отвечает случай qz=q±= 0 в (16)), пропорциональна квадратному корню из амплитуды солитона.

Указанные особенности рассеяния звука вихревым солитоиом могут оказаться полезными в задачах дистанционной акустической диагностики соли тоноподобных возмущений в турбулентных потоках.

Эффективность рассеяния в различных направлениях принято харак­теризовать дифференциальным сечением [7] d a= |/(n , n0) |2do, где d o — элемент телесного угла. Соответственно полное сечение о есть интеграл:

n ,n0) г-do.

В случае длинных волн ((о0а/с<1) можно положить в (16) qzA ~ q za~ ~q±a< 1. Подставляя затем полученное выражение в (17) и выполняя стандартным образом [11, с. 55] интегрирование, получаем

о= [ 1+7 (n0z)2]я In 2 / (о0а120 м •2 V

и,-а‘ О) о « < 1. (18)

где M =U jc — число Маха потока. Поскольку, согласно исходным пред­положениям U о « с (т. е. М <1), то для длинных волн сечения рассеяния много меньше геометрического сечения (последнее имеет порядок а2).

В случае коротких волн (о 0а/с>1) рассеяние направлено в основном вперед (см. рисунок) и сосредоточено в узком конусе с углом раствора Д0~с/юоа вокруг направления п0 (вне этого конуса компонента Фурье (8) мала) [3, 7]. Поэтому для сечения рассеяния (17) с учетом (10), (16) имеем здесь оценку

o « |/( iio ,n 0) | 2(ДО)2= (n0z)In 2 ~~8~ (т ) м : ш

и„СОпй

«• » 1-(19)

Если направление падающей волны перпендикулярно направлению по-/N

тока, то эту оценку необходимо уточнить (так как при n0J-z /(п0, п0)= 0 ). Полагая в этом случае характерное значение амплитуды рассеяния / (п0, но) равным ее значению на границах «конуса рассеяния», по анало­гии с (19) приходим к выражению

о Д Л Я П о - L z ,

Зависящие от векторов n0, z сомножители в (18), (19) характеризуют анизотропию рассеяния. Их анализ показывает, что рассеяние макси­мально, когда направление падающей волны совпадает с направлением потока и минимально, когда эти направления ортогональпы.

Приведем простейшие численные оценки. Так, при рассеянии звуко­вой волны частоты со„=5 кГц на вихревом солитоне в струе воздуха с параметрами М=4,8-10~2, а=4-10_| м (радиус сопла), | F|/C/0~2 : 10~‘ (относительная амплитуда турбулентных пульсаций в струе) сечение рассеяния (19) а» а2(ю0а/с)2М2| F |/ t /o«9,3-10“3 м2.

В заключение кратко обсудим облает], применимости формул (19),(20). Естественно, что монотонное возрастание сечения рассеяния с уве­личением частоты падающей волны, вытекающее из формулы (19) для предельно высоких частот перестает выполняться. Можно показать (ана­логично тому, как это сделано в квантовой механике [12, § 45]), что при­менимость всего борцовского приближения (5), (6) и, следовательно, оценок (19), (20) ограничена в области высоких частот условием со0< <со.=с/яМ. Поэтому максимальное сечение рассеяния звука вихревым солитоном, определяемое на основе борцовского приближения, оказывает­ся порядка его геометрического сечения. В реальных условиях частота со., как правило, достаточно велика (например, для струи с описанными па­раметрами она составляет 17 кГц). Поэтому неравенство о>0<оь не яв­ляется на практике серьезным ограничением.

ЛИТЕРАТУРА1. Л ям шее Л. М., Скворцов А. Т. Получение звука локализованными вихрями в сла-

босжимаемой среде // А куст. жури. 1988. Т. 34. № 5. С. 769-790.2. Косове С. Г., Л ям ш св Л. М. Об одном механизме генерации звука в приповерх­

ностных слоях атмосферы в океане//Тез. докл. II Всесогоз. съезда океанологов. Севастополь: МГЦ, АН УССР, 1982. Вып. 4. Ч. I. С. 17-18.

3. Громов 77. Р., Езерский А. Б ., К ияш ко С. В., Фабрикант А. Л. Рассеяние звука то­роидальным вихрем: Препринт № 59. Горький: ИПФ АН СССР, 1982.

4. Howe М. S. On the scattering of sound by a vortex ring//.!. Sound Vibr. 1983. JSs 4. P. 567-571.

5. Климов В. В., Прозоровский В. Л. Рассеяние акустических волн на трехмерном вихре/ / Акуст. жури. 1987. Т. 33. № 1. С. 128-131.

6. Мансфельд А. Д., Рабинович М. И., Сущ ик М. М. Звук и крупномасштабные коге­рентные структуры в турбулентности // Тр. II Всесоюз. симпоз. по физике аку­стико-гидродинамических явлений и оптоакустике. М.: Наука, 1982. С. 12-23.

7. Монин А. С., Я г лом А. М. Статистическая гидромеханика. Т. II. М.: Наука, 1967. 738 с.

8. Т р и гу б В. II. Об асимптотической структуре взаимодействия в ламинарном осе­симметричном следе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. № 4. С. 35-42.

9. Leibovich S. Vortex Stability and Breakdown: Survey and Extension // AIA A J. 1984. V. 22. № 5. P. 1192-1206.

10. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 623 с.11. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. М.: Атомиздат, 1972. 392 с.12. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.

bastion Institute. Pittsburgh. USA. P. 929-938.

Акустический институт им. Н. Н. Андреева Поступила в редакциюАкадемии наук СССР 12.VII.1988

4 Акустический журнал, Л* 3 481