Dr Kamil NiedziałomskiWydział Matematyki i InformatykiUniwersytet Łódzki

Autoreferat

1 Podstawowe informacje

1. Imię i Nazwisko: Kamil Niedziałomski

2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe:

• dyplom magistra matematyki otrzymany w 2004 roku na kierunku matematyka,specjalność matematyka teoretyczna na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwer-sytetu Łódzkiego.Tytuł pracy magisterskiej: Twierdzenie FrobeniusaOpiekun: dr hab. Antoni Pierzchalski

• tytuł doktora nauk matematycznych w zakresie matematyki otrzymany 15Października 2008 roku na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódz-kiego.Tytuł rozprawy: Dyfeomorfizmy konforemne na liściach foliacjiOpiekun naukowy: dr hab. Antoni Pierzchalski

3. Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych:

• Asystent, Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego, okres: 1 Paź-dziernika 2004–30 Października 2008 r.

• Adiunkt, Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego, od 1 Listopada2008 r.

4. Osiągnięciem naukowym, stanowiącym podstawę do ubiegania się o stopień doktora habi-litowanego nauk matematycznych, jest cykl pięciu publikacji zatytułowany

Struktury geometryczne poprzez skręcenie wewnętrzne itransformatę Newtona

W skład cyklu wchodzą następujące prace (w porządku chronologicznym):

[H1] K. Niedziałomski, On the frame bundle adapted to a submanifold, Math. Nachr. 288 (2015),no. 5-6, 646–664.

[H2] K. Andrzejewski, W. Kozłowski, K. Niedziałomski, Generalized Newton transformationand its applications to extrinsic geometry, Asian J. Math. 20 (2016), No. 2, 293–322.

[H3] K. Niedziałomski, Geometry of G-structures via the intrinsic torsion, SIGMA 12 (2016),107, 14 pages.

1

[H4] M. Abdelmalek, M. Benalili, K. Niedziałomski, Geometric configuration of Riemanniansubmanifolds of arbitrary codimension, J. Geom. 108 (2017), 803–823.

[H5] K. Niedziałomski, Examples of minimal G-structures, Results Math (2018) 73: 63.

2 Opis osiągnięć bedących podstawą wniosku

2.1 Wstęp

Wyniki uwzględnione w dorobku składającym się na habilitację, ale również w dużej mierzepozostałe publikacje autora odnoszą się, przede wszystkim, do dwóch zagadnień: minimalnościi harmoniczności. Obie własności, pierwsza dotycząca podrozmaitości rozmaitości riemannow-skich, druga dotycząca odwzorowań między, najogólniej mówiąc, rozmaitościami riemannowski-mi, są ze sobą powiązane. Ten związek jest widoczny również w publikacjach autora. Zanimprzejdę do omówienia dorobku, chciałbym skoncentrować się właśnie na tych zagadnieniach.

Niech (M, g) będzie rozmaitością riemannowską, N jej podrozmaitością (imersyjną). Niech∇ oznacza koneksję Leviego–Civity na M . Wówczas rozkład wiązki stycznej do M nad N :TyM = TyN ⊕ (TyN)⊥ wyznacza rozkład

∇XY = (∇XY )> + (∇XY )⊥, X, Y ∈ Γ(TN).

Pierwszy składnik po prawej stronie równości jest koneksją Leviego–Civity na N , zaś drugi totak zwana druga forma podstawowa B podrozmaitości. Zauważmy, że B jest tensorem typu (1, 2)o wartościach we wiązce normalnej T⊥N ⊂ TM nad N . Tensor B jest symetryczny. Jego śladnazywamy krzywizną średnią, H =

∑iB(ei, ei), gdzie (ei) jest (punktową) bazą ortonormalną

w TN . Jeśli

1. B = 0, to mówimy, że podrozmaitość N jest całkowicie geozedyjna,

2. H = 0, to mówimy, że podrozmaitość N jest minimalna,

3. B = 1ng ⊗H, gdzie n = dimN , to mówimy, że podrozmaitość N jest umbilikalna.

Można pokazać, że minimalna podrozmaitość, to taka, która minimalizuje (lokalnie) funk-cjonał objętości. W kowymiarze jeden, operatorem dualnym do drugiej formy podstawowej jestoperator Weingartena Aν : TN → TN , przyporządkowany jednostkowemu wektorowi normal-nemu do podrozmaitości ν, dany przez zależność

g(Aν(X), Y ) = g(B(X,Y ), ν).

Niech teraz ϕ : M → M ′ będzie odwzorowaniem (gładkim) między dwiema rozmaitościamiriemannowskimi (M, g) i (M ′, g′). Załóżmy początkowo, że M jest zwarta. Powiemy, że ϕ jestodwzorowaniem harmonicznym, jeśli minimalizuje funkcjonał energii

C∞(M,N) 3 ϕ 7→∫M|ϕ∗|2 dvolM ,

gdzie ϕ∗ : TM → TM ′ jest różniczką, zaś jej normę definiujemy przez |ϕ∗|2 =∑i |ϕ∗(ei)|2g′ ,

gdzie (ei) jest bazą ortonormalną (względem g) na TM . Można pokazać, że harmoniczność jestrównoważna znikaniu pola napięcia τ(ϕ) zdefiniowanego następująco: Niech ϕ−1TM ′ będziewiązką nad M o włóknie w punkcie x ∈ M równym Tϕ(x)M

′, czyli wiązką styczną do M ′

2

cofniętą przez ϕ na M . W ϕ−1TM ′ istnieje jedyna koneksja ∇ϕ taka, że ∇ϕX(Y ϕ) = ∇′ϕ∗XYdla X ∈ TM i Y ∈ Γ(TM ′) [4]. Wówczas przyjmujemy

(2.1) Bϕ(X,Y ) = ∇ϕXϕ∗Y − ϕ∗(∇XY ), X, Y ∈ TM.

Bϕ nazywamy drugą formą podstawową dla odwzorowania ϕ. Tensor napięcia to ślad drugiejformy podstawowej,

(2.2) τ(ϕ) =∑i

(∇ϕeiϕ∗ei − ϕ∗(∇eiei)) ∈ ϕ−1TN,

gdzie (ei) jest bazą ortonormalną na TM . Warunek τ(ϕ) = 0 przyjmujemy za warunek harmo-niczności również w przypadku niezwartym.

W rozważaniach używam również pojęcia harmoniczności w nieco innym ujęciu. Mianowicie,jeśli M ′ jest wiązką nad M oraz ϕ jest cięciem tej wiązki, to możemy rozważać funkcjonał energiijedynie w klasie wszystkich cięć tej wiązki, a nie jak w przypadku ogólnym w klasie wszystkichodwzorowań zM doM ′. Jeśli ϕminimalizuje taki funkcjonał (w przypadku zwartym) to mówimyo cięciu harmonicznym. Bardziej szczegółowo omówię to zagadnienie w odpowiednim paragrafie.

Prace wchodzące w cykl uwzględniony do habilitacji, chociaż wszystkie mają dużo cech wspól-nych, można podzielić na dwie grupy. Pierwsza, to zbiór prac [H1], [H3], [H5], w których badanestruktury analizujemy przez niezmiennik nazwany skręceniem wewnętrznym. Jest to tensor typu(1, 2) przypisany G–strukturze, który jest obstrukcją dla holonomii. Druga grupa, w której składwchodzą prace [H2] i [H4] dotyczy niezmiennika algebraicznego – uogólnionej transformaty New-tona – będącej adaptacją klasycznej transformaty Newtona przyporządkowanej endomorfizmowina przypadek skończonego ciągu odwzorowań. To uogólnienie uzyskane w pracy [H2] umożliwiabadanie podrozmaitości, dystrybucji czy foliacji kowymiaru większego niż jeden poprzez tenklasyczny niezmiennik.

Cechą wspólną wszystkich prac jest tematyka związana z badaniem struktur geometrycz-nych jak podrozmaitości (foliacje), ogólne G–struktury, oraz z własnościami tych struktur –minimalność, całkowita geodezyjność, harmoniczność.

2.2 Skręcenie wewnętrzne, geometria subwiązek wiązki baz ortonormalnych(prace [H1, H3, H5])

Zacznę od omówienia przypadku dla podrozmaitości.Niech (N, g) będzie rozmaitością riemannowską, O(N) wiązką baz ortonormalnych nad N .

Grupa strukturalną wiązki O(N) jest oczywiście grupa ortogonalna O(n), gdzie n = dimN .Niech M będzie podrozmaitoscią w N wymiaru m. Wiązka baz ortonormalnych O(M) nadM nie zanurza się naturalnie we wiązkę O(N) zredukowaną do M , jednak mamy możliwośćkanonicznego opisu zależności pomiędzy O(M) i O(N)|M z uwzględnieniem wiązki normalnejT⊥N |M . Mianowicie, powiemy że baza ortonormalna u = (u1, . . . , un) w TxN , x ∈ M , jestdostosowana do M jeśli (u1, . . . , um) jest bazą w TxM . Wtedy oczywiście (un+1, . . . , um) jestbazą w T⊥x N . Niech O(M,N) będzie wiązką (nad M) baz dostosowanych. Jest to wiązka nadM o grupie strukturalnej O(m)×O(m− n).

Niech ω będzie formą koneksji na O(N) odpowiadającą koneksji Leviego–Civity ∇ na N .Względem rozkładu na poziomie algebr Liego so(n) = (so(m)⊕ so(m− n))⊕m, gdzie

m =

(0 A

−A> 0

)⊂ so(n),

3

mamy rozkład formy koneksji ω = ω′ + ωm. Pierwsza składowa odpowiada koneksji metrycznejna TN |M ,

∇′XY = (∇XY >)> + (∇XY ⊥)⊥,

zaś druga wyznacza tensor S postaci

SXY = (∇XY >)⊥ + (∇XY ⊥)>,

będący różnicą ∇ i ∇′.W pracy [H1] badam geometrię O(M,N) w O(N) poprzez własności tensora S oraz tensora

krzywizny. Badanie geometrii podrozmaitości zależy oczywiście od metryki riemannowskiej. NaO(N) rozważamy następująca metrykę, zwaną metryką Sasakiego-Moka:

gSM (Xh, Y h) = g(X,Y ),

gSM (Xh, B∗) = 0,(2.3)

gSM (A∗, B∗) = −tr(AB),

gdzie Xh jest podniesieniem poziomym X do TO(N), zaś A∗ jest fundamentalnym polem po-ziomym wyznaczonym przez A ∈ so(n). Wzór na koneksję Leviego–Civity dla (O(N), gSM ) jestznany [24, 23]. W pracy [H1] wyprowadzam wzór na koneksję Leviego–Civity dla podrozmaitościO(M,N) ([H1, Proposition 5.4]). Ponadto, wyprowadzam wzór na druga formę podstawową dlaO(M,N) w O(N) ([H1, Proposition 5.9]). Z tych dwóch obserwacji płyną następujące wnioski:

Wniosek 2.1 ([H1, Corollary 5.7]). Jeśli dimM > 2, to O(M,N) nie może mieć stałej krzywiznysekcyjnej.

Wniosek 2.2 ([H1, Corollary 5.8]). Jeśli M jest całkowicie geodezyjna oraz N ma stałą krzy-wiznę skalarną zawartą w przedziale κ ∈ [0, 2

3 ], to krzywizny sekcyjne O(M,N) są nieujemne.

Wniosek 2.3 ([H1, Corollary 5.10]). Subwiązka O(M,N) jest całkowicie geodezyjna wtedy itylko wtedy, gdy M jest całkowicie geodezyjna oraz tensor krzywizny spełnia warunek

(R(U, V )W )> = 0 dla U, V,W ∈ T⊥M.

Najważniejszy wniosek i zarazem najważniejszy rezultat pracy [H1] dotyczy minimalnościO(M,N) w O(N). Sformułowanie tego rezultatu wymaga pewnych przygotowań. Rozważmywiązkę Grassmanna Grm(N)m–wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni stycznych TyN , y ∈ N .Podrozmaitość M ⊂ N wyznacza, w naturalny sposób, cięcie σM tej wiązki

σM (x) = TxM ⊂ TxN, x ∈M.

Jest to tak zwane odwzorowanie Gaussa dla podrozmaitości. Rozważmy naM pewną modyfikacjęmetryki g przyporządkowaną odwzorowaniu S. Niech

g(X,Y ) = g(X,Y ) +∑i

g(SeiX,SeiY ).

Można pokazać [H1, Lemma 4.4], że g wyraża się następująco g(X,Y ) = gSM (Xh′ , Y h′), gdzieXh′ jest podniesieniem poziomym do TO(M,N) względem ω′.

Twierdzenie 2.4 ([H1, Theorem 5.12]). Wiązka O(M,N) jest podrozmaitością minimalną wO(N) wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie Gaussa traktowane jako odwzorowanie między roz-maitościami riemannowskimi (M, g) i (Grm(N), h), gdzie h jest naturalna metryką riemannow-ską indukowana przez g, jest harmoniczne.

4

Dowód tego twierdzenia oparty jest na porównaniu postaci krzywizny średniej i warunkachjej znikania (wzory (M1) i (M2) w [H1]) oraz tensora skręcenia dla odwzorowania Gaussa iwarunkach jego znikania (wzory (H1), (H2) i (H2) w [H1]).

Przejdźmy teraz do przypadku G–struktur (praca [H3]). Przypadek ten był badany przezautora po uzyskaniu wyników zawartych w pracy [H1]. Okazuje się, że rozważania są podobne,jednak ze względu na to, że G–strukturę rozważamy na całej rozmaitości pewne rozumowaniaprzyjmują nieco inna postać. Ponadto, ogólne podejście wymagało przeformułowań, co wpłynęłona lepszą przejrzystość pracy. Z drugiej strony okazało się, że analogon tensora S w przypadkuogólnym jest znany w literaturze pod pojęciem skręcenia wewnętrznego, czego autor nie byłwcześniej świadomy. Pojęcie to jest w ostatnich latach intensywnie badane. To sprawiło, żepraca [H2] nabrała jeszcze bardziej aktualnego charakteru, również ze względu na to, że własnośćminimalności G–struktury nie była wcześniej rozważana.

Niech (M, g) będzie zorientowaną rozmaitością riemannowską, SO(M) wiązką zorientowa-nych baz ortonormalnych. Grupą strukturalną tej wiązki jest specjalna grupa ortogonalna SO(m),m = dimM . Niech G będzie zwartą i spójną podgrupą Liego w SO(m). Wówczas, na poziomiealgebr Liego, mamy rozkład so(m) = g ⊕ m, gdzie m = g⊥ jest dopełnieniem ortogonalnymwzględem formy Killinga. Z założenia wynika, że rozkład ten jest reduktywny, czyli ad(G)–niezmienniczy.

Załóżmy, że istnieje subwiązka P będąca redukcją wiązki SO(M) do podgrupy G. Mówimywtedy, że M jest G–strukturą (wyznaczoną przez P ).

Niech∇ będzie koneksją Leviego–Civity na M oraz ω jej formą koneksji na SO(M). Wówczasg–składowa ωg, na mocy reduktywności, jest formą pewnej koneksji na P . Oznaczmy tą koneksjęprzez ∇G. Wówczas różnicę

(2.4) ξ = ∇G −∇

nazywamy skręceniem wewnętrznym G–struktury. ’Wewnętrzność’ oznacza niezależność od wy-boru G–koneksji (w istocie, mogliśmy użyć formy dowolnej G–koneksji i wziąć m-składową róż-nicy), zaś termin ’skręcenie’ wynika z tego, że alternacja ξ daje tensor skręcenia koneksji ∇G:

ξXY − ξYX = ∇GXY −∇GYX − [X,Y ] = TG(X,Y ).

Z definicji można wywnioskować, że ξ ∈ T ∗M ⊗m(TM), gdzie m(TM) = SO(M)×ad(G) m jestwiązką tensorów typu (1, 1) o skośnej–symetrii takiej jak w m.

Uwaga 2.5. W pracy [H3] użyłem definicji skręcenia wewnętrznego z przeciwnym znakiem.Obecne podejście wynika z tego, że oryginalnie (patrz [17]) skręcenie wewnętrzne ma postać(2.4) oraz, że tej postaci używam w pracy [H5].

W pracy [H3] badam geometrię P w SO(M) względem metryki Sasakiego–Moka zdefiniowa-nej zależnościami (2.3). Najważniejszym wynikiem, tak jak w przypadku pracy [H1] jest warunekminimalności, który omówię dokładniej poniżej. Teraz przytoczę wnioski wynikające z wyzna-czenia koneksji Leviego–Civity i drugiej formy podstawowej dla subwiązki P .

Wniosek 2.6 ([H3, Corollary 5.7]). Mamy:

1. jeśli dimM > 2, to P nie może mieć stałej krzywizny sekcyjnej,

2. jeśli skręcenie wewnętrzne jest równe zero oraz krzywizna sekcyjna κ na M jest stała ispełnia warunki 0 ¬ κ ¬ 2

3 , to P ma nieujemne krzywizny sekcyjne,

5

3. jeśli tensor krzywizny R′ dla ∇G jest równy zero oraz krzywizna skalarna dla (M, g) jestdodatnia, to krzywizna skalarna wiązki P jest dodatnia.

Odnośnie powyższego wniosku, zdefiniowania wymaga metryka g. Jak w przypadku pracy[H1] przyjmujemy

g(X,Y ) = g(X,Y ) +∑i

g(ξeiX, ξeiY ).

W przypadku geometrii zewnętrznej mamy następujący pierwszy wniosek.

Wniosek 2.7 ([H3, Corollary 5.9]). Jeśli G–struktura jest całkowalna, tzn. skręcenie wewnętrznaznika, to P jest całkowicie geodezyjną podrozmaitością w SO(M).

Minimalność P w SO(M) jest opisana analogicznie jak w przypadku podrozmaitości (praca[H1]), przy czym musimy zdefiniować odwzorowanie uogólniające odwzorowanie Gaussa. Takiepodejście jest znane w literaturze i było analizowane również od strony harmoniczności [30, 31,17]. Mianowicie, rozważmy wiązkę (jednorodną) postaci N = SO(M)×G (SO(m)/G). PonieważN = SO(M)/G, więc istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między G–strukturami Pa cięciami σP wiązki N :

P ⊂ SO(M) ↔ σP (x) = [ux, eG],

gdzie ux ∈ SO(M) jest dowolną bazą nad punktem x ∈M . Jeśli σP jest cięciem harmonicznym(patrz paragraf 3.2) to G–strukturę P nazywamy harmoniczną. Takie struktury były w ostatnichlatach intensywnie badane [15, 17, 18, 16]. W prowadzonych przeze mnie rozważaniach potrze-buję warunku harmoniczności σP jako odwzorowania między rozmaitościami riemannowskimi.

Twierdzenie 2.8 ([H3, Theorem 5.10]). G–struktura P jest minimalna w SO(M) wtedy i tylkowtedy, gdy σP jest odwzorowaniem harmonicznym z (M, g) do (N,h), gdzie h jest naturalnąmetryką riemannowską indukowaną przez g (i formę Killinga).

Dowód polega na porównaniu warunków harmoniczności i minimalności i pokazaniu ich rów-noważności, co nie jest natychmiastowe. Przytoczę ten warunek gdyż będzie on niezbędny wdalszych rozważaniach ([H3], wzór (5.6)):

(2.5)∑i

(∇eiξ)ei + ξRξei (ei)= 0,

gdzie (ei) jest bazą ortonormalną względem g zaś operator RT dla endomorfizmu T zdefiniowanyjest następująco

RT (X) =∑i

R(ei, T (ei))X,

gdzie sumujemy względem bazy g–ortonormalnej (patrz również Uwaga 2.5).W pracy [H3] podałem jedynie kilka przykładów minimalnych G–struktur. Dotyczą one

przypadku G = SO(n) × SO(m − n), czyli przypadku dystrybucji (niekoniecznie całkowalnej)oraz G = U(m2 ) czyli struktury prawie hermitowskiej na M .

Naturalnym uzupełnieniem prac [H1] i [H3], w szczególności tej drugiej, jest załączona docyklu praca [H5], w której podaję nietrywialne przykłady minimalnych G–struktur. W tym przy-padku rozważania dotyczą wspomnianej struktury prawie hermitowskiej oraz struktury prawiekonktakowej (metrycznej). Omówię teraz te przykłady.

Niech (M, g, J) będzie rozmaitością prawie hermitowską, tzn. J jest strukturą prawie zespo-loną. Wtedy M jest parzystego wymiaru, dimM = 2n, oraz wiązka zorientowanych baz orto-normalnych SO(M) posiada redukcję do podgrupy G = U(n) macierzy unitarnych. Skręcenie

6

wewnętrzne takiej struktury jest postaci [13]

ξXY = −12J(∇XJ)Y.

Przestrzeń T ∗(M) ⊗ u(n)⊥(TM) wszystkich możliwych skręceń wewnętrznych rozkłada się nacztery nieprzywiedlne moduły względem działania grupy unitarnej [19]. Jeden z tych modułów,oznaczanyW4, zawiera klasę rozmaitości lokalnie konforemnie Kahlerowskich (lkK) [28]. Wybra-łem tę klasę do poszukiwania minimalnych G-struktur, gdyż do jej opisu ’wystarczy’ pojedyncza1–forma θ nazwana formą Lee’ego. Warunek minimalności powinien być warunkiem różniczko-wym na θ i rzeczywiście tak jest. Warunek ten można zrealizować na konkretnych przykładach.

Na lkK strukturze skręcenie wewnętrzne przyjmuje postać ([H5], porównaj również [25])

ξXY = −14

(θ(Y )X + θ(JY )JX − g(X,Y )θ] − g(X, JY )Jθ]).

Podstawiając powyższą zależność do (2.5) otrzymujemy następujący warunek na minimalność.Sformułowanie go wymaga pewnych definicji i oznaczeń. Niech D będzie dystrybucją na M

wyznaczoną przez wektory θ i Jθ. Ponadto, niech Ric∗ będzie ∗–krzywizną Ricciego tj.

Ric∗(X) =∑i

R(JX, Jei)ei.

Przyjmijmy ponadtoR = Ric(θ])− Ric∗(θ]).

Twierdzenie 2.9 ([H5, Theorem 1]). LkK rozmaitość jest minimalną U(n)–strukturą wtedy itylko wtedy, gdy

θ(∇Y θ]) + θ(∇JY Jθ]) + 2g(R, Y ) = 0, Y ∈ D⊥.

Okazuje się, że powyższy warunek spełniają: przestrzeń R2n ze standardową strukturą ze-spoloną ale z pewną globalną konforemną zmianą metryki euklidesowej [H5, Example 1] orazrozmaitości Hopfa [H5, Theorem 2].

Drugą G–strukturą, którą rozważałem w poszukiwaniu minimalnych struktur jest U(n)× 1–struktura, czyli rozmaitość prawie kontaktowa metryczna [9]. Wtedy rozmaitość riemannowska(M, g), wymiaru 2n+ 1, wyposażona jest w (globalną) jedno–formę η (i dualne do niej jednost-kowe pole Reeba ζ) oraz endomorfizm ϕ : TM → TM taki, że ϕ jest strukturą prawie zespolonąna dystrybucji D = kerη oraz ϕ(ζ) = 0. Ponadto metryka g, forma η i endomorfizm ϕ związanesą zależnością

g(ϕX,ϕY ) = g(X,Y )− η(X)η(Y ).

Przestrzeń możliwych skręceń wewnętrznych rozbija się aż na 12 nieprzywiedlnych modułów [9].Analogicznie jak w przypadku struktury prawie hermitowskiej skoncentrowałem się na jednym znich – mianowicie takim, który zależy jedynie od (gładkiej) funkcji α – w literaturze oznaczanyprzez C5. Często taką strukturę nazywamy rozmaitością α–Kenmotsu. Jest ona scharakteryzo-wana poprzez warunek [9],

(∇Xϕ)Y = α(g(ϕX, Y )ζ − η(Y )ϕX).

Wówczas skręcenie wewnętrzne przyjmuje postać [H5]

ξXY = α(g(X,Y )ζ − η(Y )X).

Zatem możemy wyrazić warunek minimalności takiej U(n)×1–struktury jako równanie różnicz-kowe na α.

7

Twierdzenie 2.10 ([H5, Theorem 3]). U(n) × 1–struktura na rozmaitości α–Kenmotsu jestminimalna wtedy i tylko wtedy, gdy

Y α = 2α2Ric(ζ, Y ), Y ∈ D.

Przykładem rozmaitości spełniającej warunek powyższego Twierdzenia jest przestrzeń hi-perboliczna H2n+1 tj. półprzestrzeń x1 > 0 z metryką riemannowską daną wzorem

g(X,Y ) =1

c2x21

∑i

dx2i .

Tutaj, c jest dowolną dodatnią stałą. Wtedy α = −c, ζ = cx1∂∂x1

oraz Ric(ζ, Y ) = 0 dladowolnego Y ∈ D.

2.3 Uogólniona transformat Newtona i jej zastosowania (prace [H2] i [H4])

Transformata Newtona przyporządkowana endomorfizmowi (skończenie–wymiarowej) przestrze-ni wektorowej znalazła zastosowanie w badaniu geometrii zewnętrznej podrozmaitości i foliacji(dystrybucji) kowymiaru jeden [2]. Tym endomorfizmem jest operator Weingartena. Badaniegeometrii zewnętrznej w większym kowymiarze w ten sposób jest niemożliwe z kilku względów.Po pierwsze, nie ma kanonicznego wyboru operatora Weingartena, który przyporządkowany jest(jednostkowemu) polu wektorowemu ortogonalnemu do podrozmaitości. Po drugie, nie ma ka-nonicznego wyboru bazy we wiązce normalnej do podrozmaitości. W pracy [H2] pokonujemy teproblemy poprzez:

1. wprowadzenie tak zwanej uogólnionej transformaty Newtona dla skończonego ciągu endo-morfizmów,

2. przeniesienie rozważań na wiązkę baz, dzięki czemu uwalniamy się od problemu wyborubazy. Później całkując otrzymane wartości po włóknach wiązki otrzymujemy obiekty nawyjściowej (bazowej) rozmaitości.

Natomiast w pracy [H4] wykorzystując uogólnioną transformatę Newtona, badamy wzajemnepołożenie podrozmaitości dowolnego kowymiaru względem siebie wzdłuż pewnej hiperpowierzch-ni. W tym przypadku baza we wiązce normalnej jest ustalona co pozwala na uniknięcie przejściado wiązki baz.

Przejdźmy do szczegółów. Zacznijmy od definicji i własności uogólnionej transformaty New-tona. Niech V będzie n–wymiarową przestrzenią liniową, A : V → V endomorfizmem. Przy-pomnijmy, ze klasyczna transformata Newtona jest układem endomorfizmów T = (Tr)r=0,1,...

takim, że

T0 = 1V ,

Tr = σr1V −ATr−1, r = 1, 2, . . .

oraz Tr = 0 dla r > n; alternatywnie

Tr =r∑i=0

(−1)iσr−iAi,

gdzie σi są elementarnymi funkcjami symetrycznymi przyporządkowanymi endomorfizmowi A.Transformatę Newtona można również zdefiniować poprzez warunek różniczkowy (wariacyjny):jeśli t 7→ A(t) jest gładką krzywą w End(V ) taką, że A(0) = A, to

d

dtσr+1(t)t=0 = tr

(d

dtA(t)t=0 · Tr

), r = 0, 1, . . . , n.

8

Ten warunek autorzy w [H2] wykorzystali do definicji uogólnionej transformaty Newtona.Ustalmy liczbę naturalną q i niech A = (A1, . . . , Aq) będzie ciągiem endomorfizmów. Dlawielowskaźnika u = (u1, . . . , uq) i wektora t = (t1, . . . , tq) przyjmijmy tu = tu11 . . . t

uqq oraz

tA = t1A1 + . . . tqAq. Wielomianem Newtona przyporządkowanym do A nazywamy wielomianPA : Rq → R postaci PA(t) = det(I − tA). Uogólnionymi funkcjami symetrycznymi σu = σu(A)nazywamy współczynniki rozwinięcia wielomianu PA,

PA(t) =∑u

σutu.

Ponadto, wprowadźmy następującą konwencję – dla wielowskaźnika u = (u1, . . . , uq) i liczbyα = 1, . . . , q przyjmujemy

α[(u) = (u1, . . . , uα−1, uα − 1, uα+1, . . . , uq),

α](u) = (u1, . . . , uα−1, uα + 1, uα+1, . . . , uq).

Zdefiniuję najważniejsze pojęcie pracy [H2]. Uogólnioną transformatą Newtona przyporządkowa-ną ciągowi A nazywamy układ endomorfizmów T = (Tu)u∈Nq spełniający następujący warunek:Dla dowolnej krzywej gładkiej t 7→ A(t) w End(V )q takiej, że A(0) = A mamy

d

dtσu(t)t=0 =

∑α

tr(d

dtAα(t)t=0 · Tα[(u)

).

Z powyższej definicji nie wynika, czy uogólniona transformata Newtona istnieje i czy jest wyzna-czona jednoznacznie. Okazuje się, że oba te warunki są spełnione. Podam teraz ważny twierdzeniepotwierdzające tę tezę i wyjaśnię wszystkie oznaczenia.

Twierdzenie 2.11 ([H2, Theorem 2.1]). Dla dowolnego układu endomorfizmówA = (A1, . . . , Aq)istnieje dokładnie jedna uogólniona transformata Newtona T = (Tu). Ponadto, Tu można opisaćwzorem

Tu =q∑s=0

∑i∈I(q,s)

(−1)sσu−|i|Ai.

W powyższym twierdzeniu, I(q, s) oznacza zbiór wszystkich macierzy i stopnia q × s speł-niających warunki:

1. każdy wyraz równy jest 0 lub 1,

2. suma wszystkich wyrazów macierzy jest równa s,

3. w każdej kolumnie tylko jeden wyraz jest niezerowy.

Ponadto |i| jest wektorem przestrzeni Nq takim, że α współrzędna tego wektora jest sumą wy-razów wiersza α macierzy i. Chyba najbardziej praktyczną własnością dotyczącą uogólnionejtransformaty Newtona jest własność, analogiczna jak dla klasycznej transformaty Newtona, po-dająca rekurencyjną zależność.

Twierdzenie 2.12 ([H2, Theorem 3.2]). Uogólniona transformata Newtona spełnia następującązależność rekurencyjną

T(0,...,0) = I,

Tu = σuI −∑α

AαTα[(u)

= σuI −∑α

Tα[(u)Aα.

9

Pokażę teraz jak wykorzystać uogólnioną transformatę Newtona do badania geometrii ze-wnętrznej dystrybucji dowolnego kowymiaru. Zacznijmy od pewnej intuicji. Niech (M, g) będzierozmaitością riemannowską wyposażoną w dystrybucję D wymiaru p i kowymiaru q, p+ q = n.Ustalmy bazę ortonormalną (x, e) = (e1, . . . , eq) w przestrzeni normalnej D⊥ do D w punkciex ∈ M . Wówczas możemy rozważyć układ operatorów Weingartena A(x, e) = (Ae1 , . . . , Aen)przyporządkowanych kolejnym wektorom wybranej bazy. W ten sposób otrzymujemy gładkązależność

(x, e) 7→ A(x, e).

W konsekwencji mamy przyporządkowanie (x, e) 7→ σu(x, e). Całkując otrzymaną funkcję powłóknie, czyli po przestrzeni normalnej do Dx otrzymujemy funkcję σu określoną na rozmaitościM . Funkcję σu nazywamy (uogólnioną) krzywizną zewnętrzną, natomiast wartość

σMu =∫Mσu(x)dx

nazywamy całkowitą krzywizną zewnętrzną (przyporządkowaną wielowskaźnikowi u). Z samejdefinicji wynika, że niektóre krzywizny zewnętrzne są równe zero [H2, Remark 4.2]. Celem pra-cy [H2] było podanie całkowego opisu σMu . Punktem wyjścia jest praca [2], w której autorzywyznaczają dywergencje pola wektorowego

Tr(∇NN) + σr+1N

przy użyciu klasycznej transformaty Newtona. Tutaj N jest jednostkowym polem normalnym(przy założeniu orientowalności). W naszym przypadku pole wektorowe musi zależeć od wyborubazy i miec wartości we wiązce ortonormanlej do dystrybucji D. Okazuje się, że odpowiednimkandydatem jest

(x, e) 7→∑α,β

Tβ[α[(u)(x, e)(∇eαeβ)> +∑α

σα[(u)(x, e)eα.

Stosując odpowiedni formalizm wiązek wektorowych, głównych, istnienia koneksji oraz analizyna tych wiązkach w pracy [H2] otrzymałem wraz ze współautorami następujący wzór całkowy.

Twierdzenie 2.13 ([H2, Theorem 5.2]). Załóżmy, że M jest zamknięta. Wówczas całkowi-ta krzywizna zewnętrzna przyporządkowana wielowskaźnikowi u jest dana poprzez następującącałkową zależność

|u|σMu =∑α,β

∫P

(tr(Rα,βTβ[α[(u)) + g(divE′T ∗β[α[(u), (∇eαeβ)>)

− g(HD⊥ , Tβ[α[(u)(∇eαeβ)>) +∑γ

g((T ∗β[α[(u)(∇eαeγ)>, (∇eγeβ)>)),

(2.6)

Wyjaśnienia wymagają operatory użyte w powyższym wzorze: Rα,β jest tensorem typu (1, 1)na D pochodzącym od tensora krzywizny i zależnym od bazy (x, e) w następujący sposób

Rα,β(x, e)X = (R(eα, eβ)X)>, X ∈ Dx,

E′ jest wiązką wektorową, której włóknem nad (x, e) jest E(x,e) = Dx, zaś T ∗u jest operato-rem sprzężonym do Tu (Zauważmy, że w przypadku dystrybucji, Tu nie musi być operatoremsamosprzężonym. Tak będzie jeśli dystrybucja D jest całkowalna).

10

Konsekwencją Twierdzenia 2.13 oraz zależności ([H2], paragraf 6.1)

(|u| − 1)|u|σu =∑α,β

(tr(Aα)tr(AβTβ[α[(u))− tr(AαAβTβ[α[(u))

).

jest następujący wzór całkowy (dla uproszczenia podajemy go w przypadku dystrybucji całko-walnej. W pracy [H2] podana jest również wersja dla dowolnej dystrybucji). Odnotujmy, że dlawielowskaźnika u, |u| oznacza jego długość określoną |u| = u1 + . . .+ uq.

Wniosek 2.14 ([H2, Corollary 6.1]). Załóżmy, że M jest zamknięta. Wówczas dla każdegowielowskaźnika |u| > 1

0 =∑α,β

∫P

(tr(Rα,βTβ[α[(u)) + g(divE′T ∗β[α[(u), (∇eαeβ)>)

− g(HD⊥ , Tβ[α[(u)(∇eαeβ)>) +∑γ

g(T ∗β[α[(u)(∇eαeγ)>, (∇eγeβ)>)(2.7)

− 1|u| − 1

(tr(Aα)tr(AβTβ[α[(u))− tr(AαAβTβ[α[(u))

) )Wzór ten okazuje się być uogólnieniem wzoru Walczaka [29]. Ponadto Twierdzenie 2.13 i

Wniosek 2.14 uogólniają znane zależności dotyczące geometrii zewnętrznej dystrybucji o całko-wicie geodezyjnej i całkowalnej wiązce normalnej ([H2], paragraf 6.2).

Ostatnią pracą wchodzącą w cykl prac załączonych do rozprawy habilitacyjnej jest praca[H4], w której wykorzystujemy uogólnioną transformatę Newtona do badania tzw. konfiguracjipodrozmaitości, czyli położenia podrozmaitości względem siebie. Dokładniej, niech M będzierozmaitością riemannowska wymiaru n+ q. Niech P będzie jej podrozmaitością wymiaru n orazΣ hiperpowierzchnią w P . Niech ponadto M będzie druga podrozmaitością w M wymiaru n,której brzegiem jest Σ. W pracy badamy położenie M w M wzdłuż brzegu Σ poprzez geometrięzewnętrzną Σ w P zakładając, że P jest całkowicie umbilikalną podrozmaitością w M .

Zacznijmy od wyjaśnienia przypadku dla kowymiaru jeden, który był dokładnie zbadanyprzez innych autorów [1]. Mamy inkluzje (oznaczając jako indeksy wymiary rozmaitości)

Σn−1 ⊂ Pn ⊂ Mn+1 oraz Mn ⊂ Mn+1.

Oznaczając przez ξ pole normalne jednostkowe do P w M , przez N pole jednostkowe normalnedo M w M oraz przez η pole jednostkowe normalne do Σ w P (zakładamy, że takie globalnepola istnieją), mamy następujące operatory Weingartena Aξ, AN , Aη = AΣ. Operatorowi AN

przyporządkowujemy transformatę Newtona (Tr). Wówczas zachodzi następująca zależność [1]

g(Trν, ν) = (−1)rσrg(ξ, ν) na Σ,

gdzie ν jest jednostkowym polem normalnym do Σ w M , przy założeniu, że P jest całkowicieumbilikalna w M . W pracy [H4] uogólniamy tę zależność. W przypadku dowolnego kowymia-ru, zakładając transwersalną paralelizowalność wszystkich podrozmaitości, mamy następująceoperatory Weingartena

AΣ = Aη, Aξ1 , . . . , Aξq , AN1 , . . . , ANq

odpowiadające inkluzjom Σ ⊂ P , P ⊂ M oraz M ⊂ M przy ustalonych bazach ξ1, . . . , ξq orazN1, . . . , Nq. Zakładamy ponadto, że P jest całkowicie umbilikalna w M co oznacza, że Aξi = λiI,dla pewnej funkcji λi. Niech

Tu = Tu(AN1 , . . . , ANq),

Tu = Tu(AN1 |Σ, . . . , ANq |Σ).

11

Zauważmy, że dziedzina operatorów ANα jest n–wymiarowa, zaś operatorów ANα |Σ jest (n−1)–wymiarowa. Z założenia umbilikalności P w M można pokazać, że ([H4], wzór (3.8))

ANα |Σ = fαAΣ + gαI,

dla pewnych fα, gα. Wyprowadzając pewne algebraiczne zależności dotyczące uogólnionej trans-formaty Newtona dotyczącej endomorfizmów powyższej postaci oraz stosując techniki analo-giczne do tych w pracy [1] udowadniamy następujące stwierdzenie. Przypomnijmy, że ν jestjednostkowym polem normalnym do Σ w M .

Stwierdzenie 2.15 ([H4, Proposition 4]). Przy powyższych oznaczeniach

g(Tuν, ν) = σu.

Dodatkowe algebraiczne własności dotyczące uogólnionej transformaty Newtona udowodnio-ne w pracy [H4] pozwalają zredukować prawą stronę powyższej zależności jedynie do funkcjizależnej od elementarnych funkcji symetrycznych σr pojedynczego operatora Weingartena Aν .

Wniosek 2.16 ([H4, Corollary 1 oraz Corollary 2]). Zachodzi następująca równość

g(Tuν, ν) =1

n− 1− |u|∑l¬u

(n− 1− |l||u| − l

)ρlµu−lσ|l|(AΣ),

gdzie ρ = (ρ1, . . . , ρq), ρα = g(Nα, η) oraz µ = (µ1, . . . , µq), µα =∑β λβg(Nα, ξβ). Ponadto,

l ¬ u oznacza, że wielowskaźnik u− l posiada nieujemne elementy.W szczególności, jeśli P jest całkowicie geodezyjna w M , to

g(Tuν, ν) = ρuσ|u|(AΣ).

Wniosek ten implikuje warunek transweralności M i P wzdłuż Σ w języku określonościuogólnionej transformaty Newtona Tu.

Twierdzenie 2.17 ([H4, Theorem 1]). Jeśli dla pewnego wielowskaźnika u długości 1 ¬ |u| ¬n− 1 uogólniona transformata Newtona Tu jest dodatnio określona, to podrozmaitości M i P sątranswersalne wzdłuż Σ przy czym zakładamy, że P jest całkowicie geodezyjna w M .

3 Opis pozostałych publikacji

[N1] W. Kozłowski, K. Niedziałomski, Differential as a harmonic morphism with respect toCheeger-Gromoll-type metrics, Ann. Global Anal. Geom. 37 (2010), no. 4, 327-337.

[N2] W. Kozłowski, K. Niedziałomski, Conformality of a differential with respect to Cheeger-Gromoll type metrics, Geom. Dedicata 157 (2012), 227-237.

[N3] K. Niedziałomski, On the geometry of frame bundles, Arch. Math. (Brno) 48 (2012), no.3,197-206.

[N4] K. Niedziałomski, Two notes on harmonic distributions, Differential Geom. Appl. 37 (2014),54-65.

[N5] M. Ciska-Niedzialomska, K. Niedziałomski, Stable foliations with respect to the Fugledep-modulus and level sets of q-harmonic functions, J. Math. Anal. Appl. 427 (2015), 440-459.

12

[N6] K. Niedziałomski, Geometric structures on Riemannian and Finsler maifolds - Integralfromulae, minimality, entropy,Folia Math. 20 (2018), no. 1, 3-16.

[N7] M. Ciska-Niedzialomska, K. Niedziałomski, Rodin’s formula in arbitrary codimension, Ann.Acad. Sci. Fenn. Math. 44 (2019) 1–9.

3.1 Wstęp

Osiągnięcia nie uwzględnione w cyklu prac składających się na rozprawę habilitacyjną możemypodzielić na dwie kategorie:

• związane z geometrią wiązek - ich morfizmami (prace [N1], [N2]), harmonicznością (praca[[N4]) i metrykami riemannowskimi na nich określonymi (praca [N3]),

• dotyczące analitycznego niezmiennika foliacji na rozmaitościach riemannowskich, tzw. mo-dułu Fuglede (prace [N5] i [N7]).

Publikacja [N6] jest pracą przeglądową napisaną z okazji XX–lecia istnienia Wydziału Matema-tyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego. Zawiera informacje dotyczące wyników uzyskanychostatnio przez pracowników Katedry Geometrii Wydziału Matematyki i Informatyki. Nie będzieona omawiana w dalszej części autoreferatu.

Jestem jest jeszcze autorem dwóch samodzielnych prac, które dotyczą bezpośrednio zagad-nień uzyskanych w pracy doktorskiej [D1] i [D2].

3.2 Geometria wiązek i ich endomorfizmów

Samodzielnie [N3], [N4] oraz wraz z dr. Wojciechem Kozłowskim [N1], [N2] badałem geometrięwiązki stycznej i jej naturalnych odwzorowań oraz geometrię wiązki baz.

Jednym z podstawowych problemów geometrii różniczkowej jest poszukiwanie metryk rie-mannowskich o z góry zadanych własnościach tak jak nieujemna czy stała krzywizna sekcyjna.Takich przykładów możemy poszukiwać na naturalnych wiązkach stowarzyszonych z rozmaito-ścią. Na przykład, najbardziej naturalna metryka na wiązce stycznej, czyli metryka Sasakiego,okazuje się być bardzo sztywna. Jej uogólnienie, wprowadzone przez Cheegera i Gromolla okaza-ło się posiadać nieujemną krzywiznę. Niedawno, w pracach [5, 6] autorzy wprowadzili metrykęna wiązce stycznej zależną od dwóch parametrów p, q. Zacznę od pewnych ogólnych obserwa-cji. Wiązkę styczną TTM do wiązki stycznej TM na rozmaitości riemannowskiej z koneksjąLeviego–Civity możemy rozłożyć na dystrybucję poziomąV i dystrybucję pionową H następują-co. V jest jądrem różniczki naturalnego rzutowania π : TM →M . Natomiast H jest jądrem tzw.odwzorowania koneksji K : TTM → TM wyznaczonego przez koneksję Leviego–Civity [12].Wówczas każdy wektor X ∈ TM posiada jednoznaczne podniesienie Xv

Z i XhZ do dystrybucji

pionowej VZ i pionowej HZ .Przyjmujemy

h(Xh, Y h)Z = g(X,Y ),

h(Xh, Y v)Z = 0,

h(Xv, Y v)Z =1

(1 + |Z|2)p(g(X,Y ) + qg(X,Z)g(Y,Z)).

W pracy [5] pokazano, że pole wektorowe X jako odwzorowanie X : M → TM jest harmo-niczne dla pewnych p, q bez konieczności zakładania równoległości pola X, co jest warunkiemkoniecznym i dostatecznym przy metryce Sasasakiego.

13

3.2.1 Artykuły [N1] i [N2]

W pracach [N1] i [N2] badaliśmy konforemność i harmoniczność różniczki odwzorowania wzglę-dem przestrzeni stycznych wyposażonych w metryki typu Cheegera–Gromolla. W tych pracachrozważamy dalsze, nieznaczne, uogólnienie tych metryk wprowadzająć trzeci parametr – funkcjęα – następująco:

h(Xh, Y h)Z = g(X,Y ),

h(Xh, Y v)Z = 0,

h(Xv, Y v)Z =1

(1 + α|Z|2)p(g(X,Y ) + qg(X,Z)g(Y, Z)).

Powyżej, p oraz q są również funkcjami na M . Zanim przejdę do omówienia rezultatów zwróćmyuwagę na techniki dowodzenia, gdyż wydają się one być ciekawe. Po pierwsze, ponieważ argu-mentem różniczki jest pole wektorowe, ϕ∗ : TM → TN dla ϕ : M → N , więc naturalne wydajesię podstawienie pola zerowego różniczki ϕ∗∗ tej różniczki. Stąd otrzymujemy natychmiast, żezakładając konforemność ϕ i ϕ∗ (patrz definicje poniżej) współczynniki konforemności λ i Λdla ϕ i ϕ∗ spełniają zależność λ(x) = Λ(0x), x ∈ M . W dalszej część rozważań dotyczącychkonforemności wykorzystujemy następujący algebraiczny lemat.

Lemat 3.1 ([N2, Lemma 3]). Dla odwzorowania dwuliniowego symetrycznego B : V × V →W ,gdzie V i W są skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi z iloczynami skalarnymi〈, 〉V i 〈, 〉W , jeśli istnieje stała C > 0 taka, że

〈B(X,Y ), B(X,Z)〉W = C〈X,Y 〉V 〈Z,Z〉V , X, Y, Z ∈ V,

oraz dimV ­ 3, to B = 0.

Stosujemy go do drugiej formy podstawowej obrazu ϕ(M) w N oraz porównujemy konfo-remności odwzorowań ϕ∗ i ϕ−1

∗ wyznaczonych przez dyfeomorfizm ϕ : M → ϕ(M). Powyższylemat nie jest prawdziwy gdy dimV = 2, co implikuje różnice w rezultatach dla dimM = 2i dimM > 2. Badanie różniczki jako odwzorowania harmonicznego i harmonicznego morfizmu(praca [N1]), w skrócie, sprowadza się do badania drugiej różniczki ϕ∗∗ : TtZTM → Ttϕ∗(Z)TN ,przy zmiennym parametrze t. W rzeczywistości wystarczy rozważyć pierwsze dwie pochodnewzględem zmiennej t w t = 0.

Zanim podamy wyniki obu prac wprowadzimy niezbędne definicje. Niech (M, gM ) i (N, gN )będą dwiema rozmaitościami riemannowskimi, ϕ : M → N odwzorowaniem gładkim. Zakłada-my, że dimM ¬ dimN . Powiemy, że ϕ jest odwzorowaniem konforemnym jeśli istnieje nieujemnagładka funkcja λ, zwana dylatacją lub współczynnikiem konforemności, taka, że

gN (ϕ∗X,ϕ∗Y ) = λgM (X,Y ), X, Y ∈ TM.

Można pokazać, że ϕ jest lokalnym dyfeomorfizmem M na obraz M = ϕ(M) ⊂ N . Powiemyponadto, że odwzorowanie konforemne jest homotetią jeśli λ jest funkcją stałą.

Podobnie definiujemy konforemność dla submersji, tzn. jeśli dimM > dimN . Wtedy, prze-strzeń styczna TM rozkłada się na dwie dystrybucje, TM = H⊕ V, horyzontalną i wertykalną,przy czym V = kerϕ∗, zaś H jest dystrybucją ortogonalną do V względem metryki gM . Wów-czas ϕ∗ : H → TN jest izomorfizmem linowym i możemy mówić o konforemności nazywanejhoryzontalną konforemnością.

Drugą formę podstawową Bϕ odwzorowania zdefiniowaliśmy wzorem (2.1). Jeśli Bϕ = 0,to mówimy, że odwzorowanie ϕ jest całkowicie geodezyjne. Przypomnijmy,że ślad τ(ϕ) = trBϕ

14

nazywamy polem napięcia, zaś odwzorowanie ϕ, dla którego τ(ϕ) znika, nazywamy harmo-nicznym. Dodatkowo, powiemy, że ϕ jest harmonicznym morfizmem jeśli dla dowolnej funkcjiharmonicznej f zdefiniowanej na otwartym podzbiorze w N , funkcja f ϕ jest harmoniczna na(podzbiorze otwartym w) M . Bardzo ważna i przydatna w zastosowaniach jest charakteryzacjaharmonicznych morfizmów udowodniona przez Ishiharę [20], która mówi, że odwzorowanie jestharmonicznym morfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest horyzontalnie konforemne i harmonicz-ne.

Niech M będzie podrozmaitością w N . Powiemy, że M jest optymalna za współczynnikiemC (będącym gładką funkcją), jeśli druga forma podstawowa B spełnia warunek

gN (B(X,Z), B(Y,Z)) = C(x)gM (X,Y )gM (Z,Z), X, Y, Z ∈ TxM, x ∈ M,

czyli, w każdym punkcie, spełnia warunek Lematu 3.1. Wyposażamy TM i TN w metryky typuCheegera–Gromolla ze współczynnikami, odpowiednio, p, q, α oraz r, s, β. Rozważmy ponadtonastępujące warunki:

p(x) = r(x′) = 0,(3.1)

p(x) = r(x′) 6= 0 oraz λβ(x′) = α(x),(3.2)

p(x) = r(x′) = 1 oraz λβ(x′) 6= α(x),(3.3)

p(x) = 1 oraz r(x′) = 0.(3.4)

Twierdzenie 3.2 ([N2, Theorem 1]). Niech dimM ­ 3 lub dimM ′ ¬ dimM + 1.

(I) Załóżmy, że ϕ jest odwzorowaniem konforemnym z dylatacją λ. Wówczas Φ = ϕ∗ : TM →TM ′ jest konforemne wtedy i tylko wtedy, gdy q = λ(s ϕ−1), ϕ jest homotetią, podrozma-itość ϕ(M) jest całkowicie geodezyjna oraz dla każdego x ∈M (x′ = ϕ(x)) zachodzi jedenz warunków (3.1) lub (3.2).

(II) Jeśli Φ jest konforemne, to ϕ oraz Φ są homotetiami i Λ = λ.

Twierdzenie 3.3 ([N2, Theorem 2]). Niech dimM = 2 oraz dimN ­ dimM + 2.

(III) Załóżmy, że ϕ jest odwzorowaniem konforemnym z dylatacją λ. Wówczas Φ = ϕ∗ : TM →TM ′ jest konforemne wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ jest homotetią, q = λ(s ϕ−1), podrozma-itość ϕ(M) jest optymalna ze współczynnikiem

C =1λ

((pα) ϕ−1 − λβr)

oraz dla każdego x ∈M , (x′ = ϕ(x)) zachodzi jedna z własności (3.1)–(3.4).

(IV) Załóżmy, że Φ jest odwzorowaniem konforemnym. Wówczas ϕ jest homotetią oraz

(IV1) jeśli dla każdego x ∈M zachodzi jeden z warunków (3.1) lub (3.2), to Φ jest równieżhomotetią i Λ = λ.

(IV2) Jeśli globalnie zachodzi jeden z warunków (3.3) lub (3.4), to ϕ jest minimalną imer-sją oraz dla dowolnej płaszczyzny σ = ϕ∗(TxM), x ∈ M , krzywizna Gaussa κ(σ)rozmaitości M jest równa

κ(σ) = λκ′(σ)− 2C(ϕ(x))λ,

gdzie κ′(σ) jest krzywizną Gaussa rozmaitości N . Ponadto, Φ nie jest homotetią idylatacja Λ jest równa

Λ(Z) = λ1 + α(x)g(Z,Z)

1 + λβ(x′)r(x′)g(Z,Z), Z ∈ TxM,x′ = ϕ(x).

15

W celu pokazania różnicy między powyższymi twierdzeniami, w pracy [N2] podaliśmy przy-kład imersji ϕ : M → N takiej, że obraz ϕ(M) ⊂ N jest podrozmaitością optymalną ale nie jestpodrozmaitością całkowicie geodezyjną.

Poniższe dwa twierdzenia dotyczą przypadku submersji.

Twierdzenie 3.4 ([N1, Theorem 2]). Odwzorowanie Φ = ϕ∗ jest horyzontalnie konforemnewtedy i tylko wtedy, gdy ϕ jest całkowicie geodezyjnym i konforemnym odwzorowaniem z dylatacjąλ, pα = rβ = 0 oraz q = λs. Ponadto, dylatacja Λ odwzorowania Φ jest stała i równa λ,dystrybucja pozioma Hϕ jest całkowalna a dystrybucja pionowa Vϕ jest całkowicie geodezyjna.

Twierdzenie 3.5 ([N1, Theorem 3]). Odwzorowanie Φ = ϕ∗ jest harmonicznym morfizmemwtedy i tylko wtedy, gdy ϕ jest całkowicie geodezyjnym harmonicznym morfizmem, dylatacjaodwzorowania ϕ jest stała oraz metryki typu Cheegera–Gromolla na TM i TN są metrykamiSasakiego.

3.2.2 Artykuł [N3]

W tej pracy wprowadzam nowe metryki na wiązce baz. Mianowicie, niech (M, g) będzie roz-maitością riemannowską, L(M) wiązką baz. Wówczas mamy rozkład TL(M) = H ⊕ V, gdziedystrybucja pionowa V jest jądrem różniczki rzutowania π : L(M) → M , zaś dystrybucja po-zioma jądrem formy koneksji wyznaczonej przez koneksję Leviego–Civity na (M, g). Ponadtodystrybucję pionową można rozłożyć na n = dimM dystrybucji V i tego samego wymiaru, gdzieV i składa się z fundamentalnych pól pionowych wyznaczonych przez macierze, których jedynąniezerową jest i–ta kolumna.

Względem klasycznej metryki na wiązce baz – metryki Sasakiego–Moka gSM , wszystkie wspo-mniane dystrybucje są ortogonalne oraz naturalne rzutowanie π jest submersją riemannowską,tzn. jest izometrią na dystrybucji poziomej, gSM (Xh, Y h) = g(X,Y ). Szerszą klasę metryk,które nie są tak restrykcyjne, wprowadzili Kowalski i Sekizawa [23]. Metryki te nie zachowu-ją ortogonalności wspomnianych dystrybucji. W pracy [N3] proponuję nowy rodzaj natural-nych metryk na L(M). Metryki te pochodzą od wiązki stycznej TM i naturalnych odwzorowańRi : L(M)→TM,

Ri(u) = ui, u = (u1, . . . , un) ∈ L(M).

Innymi słowy, odwzorowanie Ri przypisuje bazie jej i–ty wektor. Różniczka Ri∗ jest izomor-fizmem dystrybucji V i na dystrybucję pionową VTM w TM oraz izomorfizmem dystrybucjipoziomej H na dystrybucję poziomą HTM w TM .

Niech gTM będzie pewną metryką na TM , C = (cij) macierzą n × n, zaś c = (c1, . . . , cn)wektorem w Rn. Podniesienia wektora X do VTM i HTM oznaczamy przez Xv,TM i Xh,TM , zaśpodniesienie X do V i w TL(M) przez Xv,i. Definiujemy metrykę h na L(M) następująco

h(Xh, Y h)u = gTM (Xh,TM , Y h,TM )F (u),

h(Xh, Y v,j)u = cjgTM (Xh, Y v)F (u),

h(Xv,i, Y v,j) = cijgTM (Xv,i, Y v,j)F (u),

gdzie G : L(M)→ TM jest pewną gładką funkcją. W celu zagwarantowania dodatniej określo-ności h zakładamy, że macierz blokowa

C =

(1 c

c> C

)

16

jest dodatnio określona. Jeśli gTM jest naturalną metryką w sensie Kowalskiego–Sekizawy orazC = I, to metryka h jest postaci:

h(Xh, Y h)u = g(X,Y ),

h(Xh, Y v,i)u = 0,

h(Xv,i, Y v,j)u = 0, i 6= j,

h(Xv,i, Y v,i)u = α(|F (u)|2)g(X,Y ) + β(|F (u)|2)g(X,F (u))g(Y, F (u))

dla pewnych funkcji α, β. Naturalnym wydaje się zamiast pojedynczego odwzorowania F roz-ważyć rodzinę Ri wprowadzoną wcześniej. Innymi słowy, przyjmujemy

h(Xv,i, Y v,i)u = α(|ui|2)g(X,Y ) + β(|ui|2)g(X,ui)g(Y, ui).

Zauważmy pewną analogię tak wprowadzonej metryki z metrykami typu Cheegera–Gromolla nawiązce stycznej.

W pracy [N3] badam geometrię wiązki baz z tak wprowadzoną metryką. Wyprowadzamwzór na koneksję Leviego–Civity, tensor krzywizny, krzywizny sekcyjne oraz krzywiznę skalarną.Ponadto pokazuję, że dla pewnego wyboru funkcji α i β, jeśli M ma stałą krzywiznę skalarną κspełniającą 0 < κ < 4

3n , to L(M) ma nieujemne krzywizny sekcyjne.

3.2.3 Artykuł [N4]

Ostatnią pracą z tego cyklu jest praca [N4] dotycząca harmoniczności dystrybucji. W tej krótkiejpracy poruszam dwa zagadnienia dotyczące podniesień dystrybucji do wiązki stycznej. Pierw-sze dotyczy harmoniczności podniesień względem harmoniczności wyjściowej dystrybucji, drugieporusza temat harmoniczności podniesień przy konforemnej zmianie metryki.

Tak jak w poprzednich rozważaniach, niech (M, g) będzie rozmaitością riemannowską, TM =V ⊕ H wiązką styczną z rozkładem na dystrybucję pionową i poziomą. Niech D oznacza dys-trybucję na M (niekoniecznie całkowalną). Wówczas możemy ją podnieść na dwa sposoby: dodystrybucji pionowej i poziomej w naturalny sposób

Dv = Xv | X ∈ D, Dh = Xh | X ∈ D.

Powstaje pytanie: jaka jest zależność między geometrią wyjściowej dystrybucji a geometrią pod-niesień? Na TM rozważamy w tym przypadku metrykę Sasakiego. Celem jaki postawiłem sobiebyło zbadanie harmoniczności. Harmoniczność oznacza tutaj harmoniczność dystrybucji trakto-wanej jako cięcie (patrz poniżej) wiązki Grassmanna,

σ = σD : M → Grp(TM),

gdzie p jest wymiarem dystrybucji. Na Grp(TM) rozważamy naturalną metrykę pochodzącą odmetryki g na M i formy Killinga na grupie ortogonalnej – wiązkę Grassmanna można wyrazićjako wiązkę stowarzyszoną z wiązką baz otronormalnych O(M) następująco

Grp(TM) = O(M)×O(n) O(n)/(O(p)×O(n− p)).

Harmoniczność cięcia σ wiązki S 7→ M można zdefiniować w dwojaki sposób. Pierwszy,omawiany już wcześniej, to po prostu harmoniczność cięcia jako odwzorowania σ : M → S.W tym przypadku funkcjonał energii rozważamy w klasie wszystkich odwzorowań z M do S.W przypadku drugiego podejścia (rozważanego w tej pracy), ograniczamy się jedynie do klasy

17

cięć wiązki. Wówczas otrzymujemy inny warunek harmoniczności. Dokładniej, σ∗ ∈ TS = VS ⊕HS . Zatem możemy rozważyć składową pionową różniczki, σV∗ ∈ VS . We wiązce σ−1VS 7→M rozważamy naturalną koneksję ∇V pochodzącą od koneksji Leviego–Civity na M . Wtedypionowe pole napięcia jest zdefiniowane następująco

τV (σ) = tr∇V σV∗ .

Zauważmy, że τV (σ) różni się od pola napięcia τ(σ), gdzie rozważamy ’pełną’ wiązkę cofniętąσ−1TS i ’całą’ różniczkę σ∗. Zatem τV możemy uznać za składową w τ .

Wiązkę σ−1VGrp(TM) można zrealizować następująco: Niech so(n) będzie algebrą Liego dlaO(n), zaś h algebrą Liego przyporządkowaną podgrupie O(p)×O(n−p). Wówczas mamy rozkład,so(n) = h⊕m, gdzie m jest przestrzenią macierzy blokowych postaci

(3.5)

(0 A

−A> 0

).

Niech O(σ) oznacza wiązkę baz ortonormalnych dostosowanych do σ. Wówczas mamy równośćσ−1VGrp(TM) = O(σ)×adO(n) m, co łatwo widać na poziomie pojedynczego włókna, VGrp(TM)

ζ ≡m. Innymi słowy wiązkę σ−1VGrp(TM) możemy traktować jako wiązkę skośnie–symetrycznychendomorfizmów, które w bazie dostosowanej do σ mają postać (3.5). Zatem wartość takiegoendomorfizmu, równoważnie, dwu–formy wystarczy wyznaczyć na parze postaci (X,Y ), gdzieX ∈ σ, Y ∈ σ⊥. Odpowiada to dokładnie podejściu poprzez skręcenie wewnętrzne dla dwóchortogonalnych dopełniających się dystrybucji i zależności harmoniczności takiej struktury odskręcenia wewnętrznego omawianego w poprzednim rozdziale (porównaj również [17]).

Pionowe pole napięcia dla cięć σv i σh wyznaczonych przez dystrybucje Dv i Dh opisane jestw poniższym twierdzeniu.

Twierdzenie 3.6 ([N4, Theorem 3.1]). Mamy

1. dla podniesienia poziomego σh:

(3.6) τV (σh)(Xhξ , Y

vξ ) = −1

2g((divR)(X, ξ), Y )−

∑α

g(R(eα, (∇eαX)⊥)ξ, Y ),

gdzie X ∈ D, Y ∈ TM , oraz

(3.7) τV (σh)(Xhξ , Y

hξ ) = τV (σ)(X,Y )−

∑i

g(R(ei, X)ξ,R(ei, Y )ξ),

gdzie X ∈ σ, Y ∈ σ⊥,

2. dla podniesienia pionowego σv:

(3.8) τV (σv)(Xvξ , Y

hξ ) =

12g((divR)(Y, ξ), X) +

∑α

g(R(ξ, (∇eαX)⊥)eα, Y ),

gdzie X ∈ σ, Y ∈ TM , oraz

(3.9) τV (σv)(Xvξ , Y

vξ ) = τV (σ)(X,Y )− 1

4

∑α

g(R(ξ,X)eα, R(ξ, Y )eα),

gdzie X ∈ σ, Y ∈ σ⊥.

18

W szczególności dla ’pełnej’ wiązki stycznej,

τV (HTM )(Xhξ , Y

vξ ) = −τV (VTM )(Y v

ξ , Xhξ ) = −1

2g((divR)(X, ξ), Y ).

Stąd mamy następujące dwa wnioski.

Wniosek 3.7 ([N4, Corollary 3.2]). Dystrybucje HTM oraz VTM są harmoniczne wtedy i tylkowtedy, gdy tensor krzywizny na M ma zerową dywergencję. W szczególności, HTM i VTM sąharmoniczne na przestrzeniach symetrycznych i na rozmaitościach o stałej krzywiźnie sekcyjnej.

Wniosek 3.8 ([N4, Corollary 3.3]). Niech dimσ < dimM .

1. Jeśli σh jest harmoniczna, to σ jest harmoniczna.

2. Jeśli σv jest harmoniczna, to σ jest harmoniczna oraz R(σ, σ⊥) = 0. W szczególności,na rozmaitości o niezerowej stałej krzywiźnie sekcyjnej podniesienie pionowe σv nie jestharmoniczne.

Ponadto, w pracy [N4] zbadałem zależność między pionowymi polami napięcia dla dwóchkonforemnie równoważych metryk. Zależność ta jest dosyć skomplikowana, dlatego podam jedy-nie jej konsekwencje.

Wniosek 3.9 ([N4, Corollary 4.2]). Jeśli σ jest foliacją krzywymi na 2–wymiarowej rozmaitości,to harmoniczność foliacji σ zależy jedynie od struktury konforemnej na M .

Wniosek 3.10 ([N4, Corollary 4.4]). Niech σ będzie całkowicie geodezyjną foliacją na rozma-itości riemannowskiej (M, g) i niech µ będzie funkcją taką, że (∇µ)⊥ = 0, tzn. poziomice µ leżąna liściach foliacji. Jeśli σ jest harmoniczna, to σ jest również harmoniczna względem metrykig = eµg.

3.3 Moduł Fuglede

Moduł rodziny miar został wprowadzony przez B. Fuglede w pracy [14] do rozważań dotyczą-cych uzupełniania funkcjonałów liniowych. Pojęcie to rozważane dla rodziny miar Hausdorffakrzywych na płaszczyźnie jest analogią dla pojęcia ekstremalnej długości. Dlatego moduł znalazłważne zastosowane w teorii odwzorowań quasi–konforemnych, i ogólniej, w geometrycznej teoriimiary.

Zacznę od definicji. Niech (X,m) będzie przestrzenią z miarą m. Ustalmy liczbę p > 1 irozważmy (pewną) rodzinę miar Σ takich, że σ–ciało miary m zawiera się w σ–ciele każdejmiary z Σ. Powiemy, że nieujemna m–mierzalna funkcja f jest dopuszczalna dla rodziny Σ jeśli∫

Xf dµ ­ 1, dla każdego µ ∈ Σ.

Piszemy wtedy f ∈ adm(Σ). p–modułem rodziny Σ nazywamy liczbę

modp(Σ) = inff∈adm(Σ)

∫Xfp dm,

o ile rodzina funkcji dopuszczalnych jest niepusta. W przeciwnym razie przyjmujemy modp(Σ) =∞. Funkcję dopuszczalną, która realizuje kres dolny nazywamy ekstremalną i oznaczamy fp,Σ,tzn.

modp(Σ) =∫Xfpp,Σ dm.

W pracach [N5] oraz [N7] wraz z M. Ciską–Niedziałomską badaliśmy p–moduł dla foliacji,tzn. rozważaną rodziną miar Σ była rodzina miar Lebesgue’a liści foliacji.

19

3.3.1 Artykuł [N5]

Pierwsza z omawianych prac jest kontynuacją pracy [10], w której autorka rozważała pierw-szą wariację modułu foliacji. Dokładniej, niech F będzie foliacją na rozmaitości riemannowskiej(M, g). Za miarę m przyjmujemy miarę Lebesque’a na M indukowaną przez metrykę g. Rozwa-żamy funkcjonał

(3.10) F 7→ modp(F).

Pole wektorowe X na M nazwiemy p–dopuszczalnym dla F , jeśli 1–parametrową rodzina foliacjiFt = ϕt(F) (oczywiście tego samego wymiaru co wymiar F), gdzie ϕt jest potokem pola X

spełnia pewne warunki różnczkowalności, które zapewniają istnienie pochodnej

(3.11)d

dtmodp(Ft)t=0.

Powiemy, dodatkowo, że foliacja F jest p–dopuszczalna, jeśli każde pole X o zwartym nośnikujest p–dopuszczalne dla F . Można pokazać, że takie foliacje istnieją, co więcej, lokalne zawszetaka foliacja istnieje [10].

W pracy [N5] zbadaliśmy drugą wariację, w celu wyprowadzenia warunków stabilności.

Twierdzenie 3.11 ([N5, Theorem 4.4]). Niech p ­ 2. Wówczas dla p–dopuszczalnego pola X

dla foliacji F mamy

d2

dt2modp(Ft)t=0 =

∫Mfpp,F

d2

dt2

(Jϕt − pJ0ϕt

)t=0

dm− q∫Mfpp,F (divF⊥X)2 dm

+ p

∫Mfpp,F ((fp,F (

√p− 1divFX −

√q − 1divF⊥X)) )2 dm,

(3.12)

gdzie Jϕt oraz J0ϕt oznaczają ’pełen’ jakobian i jakobian ’wzdłuż liści’ zaś f oznacza całkęfunkcji f po liściach foliacji.

Powyższy wzór jest bardzo skomplikowany, jednakże daje się go zinterpretować w pewnychprzypadkach. Zacznijmy od definicji stabilności. Powiemy, że foliacja jest p–stabilna jeśli jestpunktem krytycznym pierwszej wariacji oraz druga wariacja jest niedodatnia dla każdego polao zwartym nośniku.

Ograniczmy się teraz do przypadku, gdy F jest kowymaru jeden i transwersalne oriento-walna. Niech N oznacza jednostkowe pole ortogonalne do F . Oznaczmy przez Π drugą formępodstawową foliacji. Ponadto, przyjmijmy

∇p,qf =√p∇>f +

√qNf,

gdzie q jest wykładnikiem sprzężonym do p, 1p + 1

q = 1.

Twierdzenie 3.12 ([N5, Theorem 5.2]). Niech p ­ 2. Załóżmy, że F jest punktem krytycznymfunkcjonału p–modułu oraz, że funkcja ekstremalna fp,F jest klasy C1. F jest p–stabilna wtedy itylko wtedy, gdy

(3.13)∫Mfpp,F (−|∇p,qf |2 + pf2|Π|2 + qf2|∇NN |2 + pf2Ric(N)) dm

+ p

∫Mfpp,F ((fp,F (

√p− 1fhF +

√q − 1Nf)) )2 dµ ¬ 0.

dla dowolnej funkcji f ∈ C∞0 (M).

20

Z powyższego twierdzenia wynikają następujące dwa wnioski.

Wniosek 3.13 ([N5, Corollary 5.3]). Niech p ­ 2. Załóżmy, że foliacja F jest p–dopuszczalna iże jest punktem krytycznym pierwszej wariacji. Załóżmy dodatkowo, że funkcja ekstremalna fp,Fjest klasy C1. Jeśli∫

Mfpp,F

(− p|∇>f |2 − q(1− αp,F )(Nf)2 + pf2(1− αp,F )Ric(N) + pf2(1− αp,F )f2|Π|2

+ qf2|∇NN | − p(Nαp,F )f2hF + pαp,Ff2div(∇NN)

)dm ¬ 0

dla dowolnej funkcji f ∈ C∞0 (M), gdzie αp,F =(f2p,F )fp,F

, to F jest p–stabilna.

Wniosek 3.14 ([N5, Corollary 5.4]). Niech F będzie foliacją daną przez poziomce funkcji od-ległości (od pewnej podrozmaitości L kowymiaru jeden w M). Załóżmy, że fp,F jest klasy C1.Wtedy F jest p–stabilna.

Zauważmy, że warunek stabilności (3.13) jest tak na prawdę nierównością różniczkową rzędudrugiego. Oznaczmy przez ρp wyrażenie

ρp = p|Π|2 + pRic(N) + q|∇NN |2.

Wówczas z warunku (3.13) wynika, że jeśli F jest foliacją p–stabilną, to zachodzi poniższanierówność (typu Hardy’ego)∫

Mf2ρp f

pp,Fdm ¬

∫M|∇p,qf |2 fpp,Fdm, f ∈ C∞0 (M).

3.3.2 Artykuł [N7]

Druga z omawianych prac [N7] dotyczy wzoru na funkcję ekstremalną dla p–modułu foliacji zdefi-niowanej w pojedynczym układzie współrzędnych. Wyprowadzenie wzoru na funkcję ekstremalnąjest trudnym zadaniem, w szczególności gdy rodzina miar czy powierzchni jest skomplikowana.Może się okazać, że funkcja ekstremanla nie istnieje, gdyż moduł danej rodziny jest równy zero,czym zajmował się Fuglede w swojej przełomowej pracy [14]. Relatywnie prostym przypad-kiem jest rodzina powierzchni tworząca foliację. Na przykład dla foliacji riemannowskiej funkcjaekstremalna jest stała na liściach, co natychmiast ją determinuje [11]. Dla foliacji danej przezsubmersję wzór na funkcję ekstremalną został wyprowadzony przez Kalinę i Pierzchalskiego [21].Wcześniej, w wymiarze 2 dla foliacji krzywymi w pojedynczym układzie współrzędnych wzór nafunkcję ekstremalną podał Rodin [26]. Uogólnienie tego wzoru na dowolny wymiar zachowującwymiar liści równy jeden zostało zaproponowane w pracy [7]. Metoda użyta we wspomnianejpracy wykorzystuje charakteryzację funkcji ekstremalnej [3] oraz wzór na całkowanie przez pod-stawienie (coarea formula). W pracy [N7] wraz z M. Ciską–Niedziałomską wyprowadziliśmy wzórna funkcję ekstremalną dla dowolnego wymiaru i kowymiaru, nadal przy założeniu, że foliacjapochodzi od jednej mapy. Nowatorskość pracy polega na wykorzystaniu wzoru Kaliny i Pierz-chalskiego i pewnej algebraicznej zależności dotyczącej minorów macierzy. Ostateczny wzór manastępującą postać.

Twierdzenie 3.15 ([N7, Theorem 1.4]). Niech U oraz V będą dwoma obszarami, odpowiednio,w Rn−m i Rm. Niech f : U × V → Ω będzie dyfeomorfizmem klasy C1 na obszar Ω ⊂ Rn.Oznaczmy przez Σ rodzinę m–wymiarowych powierzchni σx, x ∈ U , będących obrazami obszaru

21

V względem odwzorowania f , tzn. σx = f(x, V ). Wówczas funkcja ekstremalna dla p–modułufoliacji Σ jest dana wzorem

(3.14) fp,Σ(z) =1l(x)

(|Jyf ||Jf |

)q−1

f−1(z), z = f(x, y),

gdzie

(3.15) l(x) =∫V

(|Jyf ||Jf |

)qJf dy.

oraz |Jyf | oznacza jakobian odwzorowania V 3 y 7→ f(x, y) przy ustalonym x ∈ U . Ponadto,p–moduł foliacji Σ jest równy

(3.16) modp(Σ) =∫Ul(x)1−p dx.

4 Pozostałe osiągnięcia naukowe

4.1 Preprinty

[P1] K. Niedziałomski,An integral formula for Riemannian G-structures with applications toalmost hermitian and almost contact structures, arXiv, https://arxiv.org/abs/1706.08294

[P2] K. Niedziałomski, Frame bundle approach to generalized minimal submanifolds, preprint,arXiv, https://arxiv.org/abs/1601.02248

[P3] K. Niedziałomski, Harmonic SU(3)– and G2–structures via spinors, preprint, arXiv,https://arxiv.org/abs/1901.05813

4.2 Granty i wyróżnienia (chronologicznie)

1. Wykonawca grantu NCN ’Nowe aspekty zewnętrznej i konforemnej geometrii’, 2011–2013.

2. Nagroda zespołowa naukowa pierwszego stopnia Rektora Uniwersytetu Łódzkiego za cyklprac pt. ’Geometria różniczkowa rozmaitości riemannowskich wyposażonych w foliacje lubdystrybucje’ (wspólnie z W. Kozłowskim i Sz. Walczakiem) – 2013.

3. Nagroda za Wybitne Osiągnięcia Przyczyniające się do Rozwoju Nauki dla Młodych Uczo-nych Pracujących na Terenie Województwa Łódzkiego – 2017.

4. Nagroda indywidualna naukowa drugiego stopnia Rektora Uniwersytetu Łódzkiego za cyklprac pt. ’Pewne struktury geometryczne na rozmaitościach riemannowskich’ – 2018.

5. Koordynator grantu NCN Miniatura ’Minimalne G–struktury w języku spinorów’, 2018–2019.

Literatura

[1] L. J. Alias, J.H.S. de Lira, J. M. Malacarne, Constant higher-order mean cur- vature hy-persurfaces in Riemannian spaces. J. Inst. Math. Jussieu 5(4) (2006), 527–562.

[2] K. Andrzejewski, P. Walczak, The Newton Transformations and New Integral Formulae forFoliated Manifolds, Ann. Glob. Anal. Geom. (2010), Vol. 37, 103–111.

22

[3] M. Badger, Beurling’s criterion and extremal metrics for Fuglede modulus, Ann. Acad. Sci.Fenn. Math. 38 (2013) 677–689.

[4] P. Baird, J. C. Wood, Harmonic morphisms between Riemannian manifolds, Oxford Uni-versity Press, Oxford 2003.

[5] M. Benyounes, E. Loubeau, C. M. Wood, Harmonic sections of Riemannian bundles andmetrics of Cheeger-Gromoll type, Diff. Geom. Appl. 25 (2007), 322-334.

[6] M. Benyounes, E. Loubeau, C. M. Wood, The geometry of generalized Cheeger-Gromollmetrics, Tokyo J. Math. 32 (2009), no. 2, 287–312.

[7] M. Brakalova, I. Markina, A. Vasil’ev, Extremal functions for modules of systems of me-asures, J. Anal. Math. 133 (2017), 335–359.

[8] V. Brınzanescu, R. Slobodeanu, Holomorphicity and the Walczak formula on Sasakian ma-nifolds. J. Geom. Phys. 57 (2006), no. 1, 193–207.

[9] D. Chinea, J. C. Gonzalez-Davila, A classification of almost contact metric man- ifolds.Ann. Mat. Pura Appl. (4) 156 (1990), 15–36.

[10] M. Ciska, Variation of the modulus of a foliation, J. Math. Anal. Appl. 401 (2013), no. 1,38–46.

[11] M. Ciska-Niedziałomska, On the extremal function of the modulus of a foliation, Arch.Math. 107 (2016), no. 1, 89–100.

[12] P. Dombrowski, On the geometry of the tangent bundle. J. Reine Angew. Math. 210 (1962),73–88.

[13] Falcitelli, M., Farinola, A., Salamon, S.M.: Almost-Hermitian geometry. Differ. Geom. Appl.4 (1994), 259–282.

[14] B. Fuglede, Extremal length and functional completion, Acta Math. 98 (1957), 171–219.

[15] O. Gil–Medrano, J. C. Gonzalez–Davila, L. Vanhecke, Harmonicity and minimality of orien-ted distributions, Israel J. Math. 143 (2004), 253–279.

[16] J. C. Gonzalez-Davila, Harmonicity and minimality of distributions on Riemannian mani-folds via the intrinsic torsion, Revista Math. Iberoamericana 30 (2014), no. 1, 247–275.

[17] J. C. Gonzalez-Davila, F. Martin Cabrera, Harmonic G–structures, Math. Proc. CambridgePhilos. Soc. 146 (2009), no. 2, 435–459.

[18] J. C. Gonzalez-Davila, F. Martin Cabrera, Harmonic almost contact structures via theintrinsic torsion. Israel J. Math. 181 (2011), 145–187.

[19] A. Gray, L. Hervella, The Sixteen Classes of Almost Hermitian Manifolds and Their LinearInvariants, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 123 (1980), 35–58.

[20] T. Ishihara, A mapping of Riemannian manifolds which preserves harmonic functions, J.Math. Kyoto Univ. 19 (1979), no. 2, 215–229.

23