Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1 Elektromagnetische Feldtheorie I...

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /

Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

4th Lecture / 4. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer

Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)

( ) ( ) ( )S t C t S t

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )dC t S t S t S t

t t tt

E R dR B R dS J R dS

Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz

Time Dependent Surface /Zeitabhängige Fläche

Time Dependent Contour /Zeitabhängige Kontur


Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)

Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz

( ) ( )C t S t dR

( , )tE R

dR

( , )tE R dR

[m] Closed Contour Integral / Geschlossenes Kurvenintegral

[V/m] Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke

[m] Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles Linienelement

[V]Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR / Skalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dR

dRdR s

Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentiellesLinienelement

Tangential Unit Vector / Tangentialer

Einheitsvektor

Scalar Differential Line Element / Skalares differentielles

Linienelement

m( ) ( ) ( ) ( )

d( , ) ( , ) ( , )dC t S t S t S t

t t tt

E R dR B R dS J R dS


Different Products / Verschiedene Produkte

C A BScalar Product / Skalarprodukt

C AB

C A×BVector Product / Vektorprodukt

Dyadic Product / Dyadisches Produkt


Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)

cos ( , )

cosAB

ABAB

A B A B A B

cos ABB

AB

A

B

cos ABA

ABEnclosed Angle / Eingeschlossener

Winkel

cos cos

BA

AB

BAAB

A B B A

cos cosAB AB

cos

arccos

AB

AB

A BA B

A BA B



1 00

0 1 0

10 0

( ) ( )

+

+

x y z x y zx y z x y z

x x x y x zx x x y x z

y x y y y zy x y y y z

z x z y z zz x z y z z

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A

A B e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

x x y y z zB A B A B

1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

3

1

( ) ( )

( ) ( )

i i


x x y y z z

x x x x x xx x x x x x

x x x x x x

x xi

A A A B B B

A B A B A B

A A A B B B

A B A B A B

A B

A B e e e e e e

e e e e e e

x y z e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren

10

0

x x

x y

x z

e ee e

e e

0

1

0

y x

y y

y z

e e

e e

e e

00

1

z x

z y

z z

e ee e

e e

1

2

3

x xy xz x

Cartesian Coordinates / Kartesische Koordinaten



3 3

1 1

3 3

1 1

3 3

1 1

( ) ( )

or/oder

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i j i j

ij

i j

xi


x xx xi j

x xx xi j

x x x xi j

x x x x

x x ij

B

A A A B B B

A B

A B

A B

A B

A B

A B e e e e e e

e e

e e

e e

e e

i j

x j

x xj j

i i

x ij x

A

A B

x x

A B

A B

10iji ji j

Kronecker Delta / Kronecker-Delta

with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention

Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.


Magnitude of a Vector / Betrag eines Vektors

1 00

0 1 0

10 0

(A A A ) (A A A )

A A A A A A

+ A A A A A A

+ A A A A A A




z x z y z zz x z y z z

A A A

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

12

2 2 2

A A A A A A

A A A

A

x x y y z z

x y z

3 3

1 1

2

i ji j

i ji j

i j i j

ij

i

x xx xi j

x xx x

x x x x

x

A B

A A

A A

A

A A A

e e

e e

e e


Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector / Beispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstärkevektor

( , , ) R ( , , ) R ( , , ) R ( , , )

x y zx y z

x y z

x y z x y z x y z x y zx y z

R e e ee e e

Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem

( , ) ( , , , )E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )x y zx y z

t x y z tx y z t x y z t x y z t

E R Ee e e

Electric Field Strength Vector / Elektrische Feldstärkevektor

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

x y z

x y zx y zx y z

x y z

x y z

RRRe e e

2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z

R R R

e e e e e e

2 2 2

( , , )ˆ ( , , )( , , )

E E E

E E E

x y zx y z

x y z

x y zx y zx y z

EEEe e e

2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )

E E E E E E

E E E


x y z

x y z x y z x y z

E E E

e e e e e e

Position Vector / Ortsvektor

Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (Abstand)

Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / Betrag des elektrische Feldstärkevektors

(Stärke)

Position Unit Vector (Direction) / Ortseinheitsvektor (Richtung)

Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische Feldstärkeeinheitsvektor (Richtung)


Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (1)

sin ( , )

sin

AB

AB

AB

C

ABS

C A×BA B A B

AB

A

B

C

ABS

and /

und C A C B

Surface / Fläche



A×B B×A

0

0

( ) ( )

+

+

yz

z x

y x




z x z y zz x z y

A A A B B B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A

ee

e e

e e

A×B e e e × e e e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e e ×e

e ×e e ×e

0

( ) ( ) ( )

z z z

y z z y z x x z x y y xx x y z

B

A B A B A B A B A B A B

e ×e

e e e e

A×A 0

x y z e e e

Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren

x x

x y z

x z y

y x z

y y

y z x

z x y

z y x

z z

e × e 0e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0

e × e e

e × e e

e × e e

e × e 0



( )

+ ( )

( )

x y z

x y z

x y z

x y z x y

x y z x y

x y z x y

y z z y x

z x x z y

x y y x z

A A A

B B B

A A A A A

B B B B B

A B A B

A B A B

A B A B

e e e

A×B

e e e e e

e

e

e

Add the first two Columns / Addiere die beiden ersten Spalten

Sarrus Law /Regel von Sarrus

[Pierre Frédéric Sarrus, 1831]http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus


Dyadic Product / Dyadisches Produkt

3 3

1 1

3 3

1 1

i ji j

i ji j

i ji j

i j i j

i j i j

x xx xi j

x xx xi j

x xx x

x x x x

x x x x

x xi jD

A B

A B

A B

A B

D

AB e e

e e

e e

e e

e e

D

BA AB

D ε EB μ H


Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder


Electrostatic Field Problem – Example: Parallel Plate Capacitor / Elektrostatisches Feldproblem – Beispiel: Paralleler

Plattenkondensator

Scalar Field: Electrostatic Potential /Skalarfeld: Elektrostatisches Potenzial

Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vektorfeld: Elektrostatische Feldstärke


e

( ) 0

( ) ( )d

C S

S V VV

E R dR

D R dS R

e

( )

( ) ( )

×E R 0

D R R

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Curl-Free E Field /Rotationsfreies E Feld

Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen

Electrostatic (ES) Fields – Governing Equations / Elektrostatische (ES) Felder – Grundgleichungen

e

( ) ::( )

( ) :

E RD RR

Electric Field Strength / Elektrische FeldstärkeElectric Flux Density / Elektrische FlussdichteElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

Electrostatic /Elektrostatik 0

t

No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen


e

e

( ) 0

( ) ( )d

C S

S V VV

Q

E R dR

D R dS R

e

( )( ) ( )

×E R 0D R R

Integral Form / Integralform



0( ) ( )D R E R

0 r( ) ( ) D R E R

Vacuum / Vakuum

Electric Field Constant / Elektrische Feldkonstante(IEEE, VDE)Permittivity of Free Space / Permittivität des Freiraumes

Side Remark: In some Cases /Nebenbemerkung: In einigen Fällen

Permittivity / Permittivität

2

3e

( ) [V/m Newton /Coulomb = N/C][As/ m ]( )

( ) [As/m ]

E RD RR

Differential Form /

DifferentialformrMaterial

1.006Paper / Papier 2...4

Wet Earth / Nasse Erde 5...15Gallium Arsenide / Gallium Arsenid 13

Seawater / Seewasser 70

Air / Luft


(2)e

12

(1)e

212

1 N4 R

Q Q

RF R

Coulomb’s Law / Coulombsches GesetzCharles Augustin de Coulomb (1736 – 1806)

ES Fields – Electric Points Charge and Electric Field Strength – Coulomb’s Law /

ES Felder – Elektrische Punktladung und elektrische Feldstärke – Coulombsches Gesetz

(1)e

(2)e

Force /( ) [N]

KraftElectric Point Charge /

[As]Elektrische PunktladungElectric Point Charge /

[As]Elektrische PunktLadung

Distance /[m]

AbstandDistance Unit Vector /

[1]Abstandseinheitsvektor

Pe

Q

Q

R

RF

R

rmittivity of Free-Space /[As/Vm]

Permittivität des Freiraumes

12R

(2)eQ

(1)eQ

12R

1R

R RRR

= mR R R R

(2)

12

(1)

1

ee224

QQR

R RF

2 2 2

2 2 2,

x y z

x y zR

x y z

R x y zx y z

x y z

e

R e e e

R Re e e

R

1R2R

12 2 1 R R R


(1)e

(2) 2e

N/C or V/m4Q

Q R

RR

FE R

Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische Feldstärke: Kraft pro Einheitsladung


ES Fields – Electric Charge and Electric Field Strength – Coulomb’s Law / ES Felder – Elektrische Ladung und elektrische Feldstärke – Coulombsches

Gesetz

(2)e

(1)e

Electric Field Strength /( ) [V/m]

Elektische FeldstärkeForce /

( ) [N]Kraft

Electric Charge /[As]

Elektrische LadungElectric Test Charge /

[As]Elektrische Testladung

Distance /[m]

AbstandDistance

Q

Q

R

R

R

E

F

Unit Vector /[1]

AbstandseinheitsvektorPermittivity of Free-Space /

[As/Vm]Permittivität des Freiraumes

R

R(2)eQ

(1)eQ

R

Electric Test Charge / Elektrische Testladung

Move … / Bewege...

Radial Field / Radialfeld

(2)eQ

Electric Test Charge / Elektrische Testladung

(1)e

)

2

(2e

4Q

Q

R

EF R

R

R


e2

e V/m44 RR

R

Q Q

R RE R

R R

Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische Feldstärke: Kraft pro Einheitsladung


ES Fields – Electric Charge and Electric Field Strength – Coulomb’s Law / ES Felder – Elektrische Ladung und elektrische Feldstärke – Coulombsches

Gesetz

e

Electric Field Strength /( ) [V/m]

Elektische FeldstärkeElectric Charge /

[As]Elektrische Ladung

Distance /[m]

AbstandDistance Unit Vector /

[1]Abstandseinheitsvektor

Permittivity of Free-Space /Permitt

Q

R

R

R

E

[As/Vm]ivität des Freiraumes

ReQ

R

Radial Field / Radialfeld

2

e

e

4

4

RQ

RQ

R RE

R


e

( ) 0

( ) ( )d

C S

S V VV

E R dR

D R dS R

e

( )

( ) ( )

×E R 0

D R R

Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform

Curl-Free E-Field /Rotationsfreies E-Feld

Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte

Method of Gauss’ Electric Law /Methode des Gaußschen elektrischen Gesetzes



e

( ) ::( )

( ) :

E RD RR

Electric Field Strength / Elektrische FeldstärkeElectric Flux Density / Elektrische FlussdichteElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

Electrostatic /Elektrostatik 0

t

No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen


Source Distribution / Quellverteilung

se

s

0( )

0VV

RR

R

sV

e ( ) 0 R

Source Volume / Quellvolumen

C S Integration Contour / Integrationskontur

( ) 0C S

E R dR

( )E R

ES Fields – Method of Electric Gauss’ Law / ES-Felder – Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes


Source Distribution / Quellverteilung

se

s

0( )

0VV

RR

R

d

nD

S

R

D R dS D R n

sV

e ( ) 0 R

e ( ) 0 R

Source Volume /Quellvolumen

V

Integration Volume / Integrationsvolumen

e ( ) 0 Re

e

( ) ( )de S V VV

Q

D R dS R

Total Electric Charge in V /Elektrische Gesamtladung in V

( )

e

( ) d

Total electric charge inside thevolume with the clSummation of all = Contributions /

Summation aller = -Beiträge

( ) ( )d

eS VDn

nn

S V VQS

VDD

V

R

D R n

n Dn D

D R dS R

osed surface /Gesamte elektrische Ladung im Volumen mit der geschlossenen Oberfläche

S V

V S V

ee

Flux of through in /Fluss von durch in

S Q VS Q V

DD

ES Fields – Method of Electric Gauss’ Law / ES-Felder – Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes


S V

Integration Volume / Integrationsvolumen

e

e

( ) ( )d

S V V

V

Q

D R dS R

ES Fields / ES FelderMethod of Electric Gauss’ Law /

Methode des elektrischen Gaußschen GesetzesES Fields – Method of Electric Gauss’ Law /

ES-Felder – Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes

0 source- free / quellenfrei( ) 0 Source / Quelle

0 Sink / SenkeS V

D R dS

e ( ) R

SS 1S 2S

2n1n

1 1

2 2

1

2

e

( ) d

( ) d

( ) d

S SSS V

S V

S V

S

S

S

Q

D R n

D R n

D R n

Sn


sVSource Volume / Quellvolumen

S V Integration Surface (Closed Surface) / Integrationsfläche (geschlossene Oberfläche)

v ( )

v

( ) ( ) d

v ( ) dn

S V S V

nS V

S

S

R

v R dS v R n

R

ES Fields / ES FelderMethod of Electric Gauss’ Law /

Methode des elektrischen Gaußschen GesetzesExample: Fluid Mechanics – Spring of Water / Beispiel: Strömungsmechanik – Wasserquelle

vv

v

Spring of Water / Wasserquelle

Total Flux through the Closed Surface / Gesamtfluss durch die geschlossene

Oberfläche

v

n


ES Fields / ES FelderMethod of Electric Gauss’ Law - Example /

Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes - BeispielExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichte

e0 00e e

0

( ) ( )0

R R RRR

R R

R

Prescribed: Electric Charge Density / Vorgegeben: Elektrische

Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

++

+

++

++

+ + + ++++

++

+

+ + + +

++

+++

+

+

++

+

++

0RR

R

R

0R

0R

e0 ( )R

( )RD R

sin dR dR

dR

e

e( )

( ) ( ) d ( ) dn

S V S V VD Q

S V

R

D R dS D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen (ES)

Fall

Radial Symmetry /Radialsymmetrie !

Charged Sphere with Radius R0 / Geladene Kugel mit dem Radius R0

Solution for D(R) / Lösung für D(R)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )n R

RD D

n RD D

R R

D R n D R e

R R


Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles Flächenelement (1)

dSdS nDefinition:

Surface /Fläche

y

z

x

1 2, R

1 1 2,d R1

d S1

dR

1

2

1 2

1 2

1 1 2

1 2 2

,

,

d ,

, d

R

R

R

dR

dR

Surface Parameters / Flächenparameter


Position Vectors / Ortsvektoren

Vector Differential Line Elements / Vektorielle differentielle Linienelemente 1 2, R

22

dRn


Tangential Vectors / Tangentialvektoren

1 2 1 211

1 2 1 222

, ,

, ,

σ R

σ R

1 2 2, d R

dS


Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles Flächenelement (2)

1

2

1 2 11

1 2 22

, d

, d

dR σ

dR σ

Vector Differential Line Elements / Vektorielles differentielles Linienelement

1 2

1 2 1 2 1 21 2

d

, , d d

S

dR ×dR

σ ×σ

Scalar Differential Surface Elements / Skalares differentielles Flächenelement

1 2 1 21 2

1 2 1 21 2

, ,, ,

σ ×σ

nσ ×σ

Normal Unit-Vector / Normaleneinheitsvektor

1 2 1 21 21 2 1 2 1 21 2

1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 21 2

d, ,

, , d d, ,

, , d d

S

dS nσ ×σ

σ ×σσ ×σ

σ ×σ

Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles Flächenelement


Gauss’ Electric Law / Gaußsches elektrisches Gesetz

e eQ

Closed Surface Integral /Geschlossenes Flächenintegral Summation of all Normal Componentes of

at the Closed Surface of the Volume /

Summation a

( )

( ) ( ) dn

S V S V

S= VV

D

S

R

D

D R dS D R n

e

Volume In

ller Normalkomponenten von auf der geschlossenen Oberfläche des

Volumens

Flux Through the Colsed Surface /Fluss durch die geschlossene Oberfläche

e ( ) d

S= VV

VV

D

R

e

tegral /Volumenintegral

Summation of all charges inside the Volume /

Summation aller Ladungen in dem Volumen

V

V

Q

z

SR

y

x

Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve

: ktor

n

S V

n D

nD D n

Sphere/Kugel: V

dSdS n

dS

nn DD n

Example / Beispiel:


Example: Sphere with Radius a / Beispiel: Kugel mit Radius a (1)

2

2

0 0( ) [ ( , , )][ ( , , )]

e

( ) ( ) d [ ( , , )] , sin d d

=

n Rn

RS V S VD D R a

D R a

S R a a

R R

R

D R dS D R n D R e

z

SR

y

x


: ktor

n

S V

n D

nD D n

Sphere/Kugel: V

dSdS n

dS

nn DD n

2 2

d d

d ( d d )

, sin d d , sin d dR RS SR a

S h h

R a

n n

dS n n

e e

00 2

( )

e

( ) d

( ) dn

S VD

V

S

V

R

D R n

R


Example: Sphere with Radius a / Beispiel: Kugel mit Radius a (2)z

SR

y

x


: ktor

n

S V

n D

nD D n

Sphere/Kugel: V

dSdS n

dS

nn DD n

000 2

R a

( )

e

( ) d

( ) dn

S VD

V

S

V

R

D R n

R

2d sin d d d d d d RV R R h h h R

22

e e0 0 0

e

( )d [ ( , , )] sin d d d

a

VR

V R R R

Q

R R


Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichte

e0 00e

0

( )0

R R RR

R R

RElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

++

+

++

++

+ + + ++++

++

+

+ + + +

++

+++

+

+

++

+

++

0R R

R

R

0R

0R

e0

RD

sin dR dR

dR

e( )

( ) d ( ) dn

S V VD

S V

R

D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen Fall

Radial Symmetry / Radialsymmetrisch

!


Metric Coefficients / Metrische Koeffizienten

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , , )( , , )( , , )

x xy yz z

Orthogonal Curvilinear Coordinates / Orthogonale Krummlinige Koordinaten

1 2 3

1 2 3

1 2 3, ,, ,

e e e

e e e


1 2 3

1 2 3

1 2 3 , , , ,, , , ,

, ; x y z x x x

x y z x x x

x y z x x x

e e e e e e

e e e e e e

1 1

2 2

3 3

( , , )( , , )( , , )

x y zx y zx y z


x

y

z

R

xe ye

ze

3

R1e

21

1e 2

e

3e

Metric Scaling / Metrische Skalierung


Metric Coefficients – Cylindrical Coordinate System / Metrische Koeffizienten – Zylinderkoordinatensystem

ze

re

er

r

dR

+R dRd

d z

d r

dr

d dr r

R


Metric Coefficients – Spherical Coordinate System / Metrische Koeffizienten – Kugelkoordinatensystem

z

sin R d R

+R dR

x

R

y

dR

d

d

dR

sin dR

d

R



1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , , )( , , )( , , )

x xy yz z

Orthogonal Curvilinear Coordinates / Orthogonale Krummlinige Koordinaten

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )x y zx y z R e e e

1 2 3

1 2 3 1 2 3

2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3

( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

1,2,3

ii

i i

i i i

h

x y z

i

R

R R


1 1

2 2

3 3

( , , )( , , )( , , )

x y zx y zx y z

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , )

1, 2,3

x y zi i i i

x y z

i

R e e e

1 2 3

1 2 3

1 2 3Magnitude /

BetragDirection /Richtung

e

( , , )( , , )

, 1, 2,3( , , )

i

i

i

i i

i

h

i

RRR

R


1 2 3, , 1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z x x x


Example: Metric Coefficients of the Cartesian Coordinate System /Beispiel: Metrische Koeffizienten des Kartesischen

Koordinatensystems1 2 3; ;x y z

2 2 2

2 2 2

1 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

1

xx y z x y z x y zhx x x

x x y z y x y z z x y zx x x

x y zx x x

R R R

2 2 2

2 2 2

0 1 0

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

1

yx y z x y z x y zhy y y

x x y z y x y z z x y zy y y

x y zy y y

R R R

2 2 2

2 2 2

0 0 1

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

1

zx y z x y z x y zhz z z

x x y z y x y z z x y zz z z

x y zz z z

R R R


11

1

x

y

z

hh

h




11

1

x

y

z

hh

h

Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem

1

1

r

z

hh r

h

Spherical Coordinate System / Kugelkoordinatensystem

1

sin

Rhh Rh R


Metric Coefficients – Cylindrical and Spherical Coordinate System / Metrische Koeffizienten – Zylinder- und Kugelkoordinatensystem

ze

re

er

r

dR

+R dRd

d z

d r

dr

d dr r

R

z

sin R d R

+R dR

x

R

y

dR

d

d

dR

sin dR

d

R


Metric Coefficients and Vector Differential Line Elements / Metrische Koeffizienten und vektorielle differentielle Linienelemente


1, 1, 1x y zh h h



1, , 1r zh h r h 1, , sinRh h R h R

dd

d

d

d

d

dd

d

r

rr

r

z

zz

z

Rh rr

R

h

r

Rh zz

dR see

dR s

e

e

dR see

dd

d

dd

d

d

d

sin d

R

RR

R

Rh RR

RhR

R

h

R

dR see

dR see

dR s

e

e

dd

d

d

d

d

dd

d

x

xx

x

y

yy

y

z

zz

z

Rh xx

R

h y

y

Rh zz

dR see

dR s

e

e

dR nee


Metric Coefficients and Differential Volume and Surface Elements / Metrische Koeffizienten und differentielle Volumen- und Flächenelemente


1, 1, 1x y zh h h



1, , 1r zh h r h 1, , sinRh h R h R

d d d d

d d d

d d d

d

( ) d d

d d

d( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

r z

r z

z

zz

r

rz

r zz r

r

rr

z

V h r h h z

h h h r y

r r z

S

h h z

r y z

Sh h r z

r z

S

h h r

r r

dS n

e ×e

e

dS ne ×ee

dS n

e ×e

e

2

2

d d d d

d d d

sin d d d

d

( ) d d

sin d d

d

( ) d d

sin d d

d( ) d d

d d

R

R

R

r

RR

R

RR

V h Rh h

h h h R

R R

S

h h

R

S

h h R

R R

Sh h R

R R

dS n

e ×e

e

dS n

e ×e

e

dS ne ×ee

d d d d

d d d

d d d

d

( ) d d

d d

d( ) d d

d d

d

( ) d d

d d

x y z

x y z

yz

y zy z

x

xz

x zz x

y

xy

x yx y

z

V h xh y h z

h h h x y z

x y z

S

h h y z

y z

Sh h x z

x z

S

h h x y

x y

dS n

e ×e

e

dS ne ×ee

dS n

e ×e

e


Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichte

e0 00e

0

( )0

R R RR

R R

RElectric Charge Density /

Elektrische Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

++

+

++

++

+ + + ++++

++

+

+ + + +

++

+++

+

+

++

+

++

0R R

R

R

0R

0R

e0

RD

sin dR dR

dR

e( )

( )

( ) d ( )dn

R

S V VD

D

S V

R

R

D R n R

Consider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen Fall

Radial Symmetry / Radialsymmetrisch!




e( )

( )e

( ) d ( )dn

R

S V VD R

D R

S V

Q

D R n R

e0 00e

0

( )0

R R RRR

R R

00 R R

2

0 0

22

0 0

22

e e0 0 0

d d

d d

sin d d

( )d ( ) sin d d d

R RS V S V

R

R

V

R

R

D R S D R S

D R h h

D R R

R V R R R

2 Cases / 2 Fälle

0R R

0

2

0 0

22

0 0

22

e e0 0 0

d d

d d

sin d d

( )d ( ) sin d d d

R RS V S

R

V

R

R

VR

D R S D R S

D R h h

D R R

R V R R R

! !




0R R

22

0 0

22

0 0

42

d d

sin d d

sin d d

4

R RS V S V

R

R

R

D R S D R S

D R R

D R R

D R R

2 Cases / 2 Fälle

0R R

22

0 0

22

0 0

42

d d

sin d d

sin d d

4

R RS V S V

R

R

R

D R S D R S

D R R

D R R

D R R




0R R

22

e e0 0 0

22

e000 0 0

4

3e0

0 0

4e0

0 04

e0

04

e00

( )d ( ) sin d d d

sin d d d

4d

44

44

R

VR

R

R

R

R

R

R

R V R R

R RR

RR

RR

RR

RR

R

R

R

2 Cases / 2 Fälle

0R R

0

0

0

0

22

e e0 0 0

22

e000 0 0

4

3e0

0 0

4e0

0 04

e0 0

03

e0 0

( )d ( ) sin d d d

sin d d d

4 d

44

44

R

VR

R

R

R

RR

R

R V R R

R RR

RR

RR

RR

R

R

R

R




0R R

2 Cases / 2 Fälle

0R R

2 4

e00

e

4

42

e004

e00

2

2e0

0

d ( )d

4

4

4

R

RS V V

D R R RR

R

R

D R S R V

RD R RR

RR

D RRRR

2 3e0 0

e

4

2 3e0 0

3e0 0

2

3e0 0

2

d ( )d

4

4

4

R

RS V V

D R R R

R

R

D R S R V

D R R R

RD R

R

RR




2

00e030

02

4R

R R RR

D RR

R RR

e0 00e

0

( )0

R R RR

R R

RElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte

+

++

+

++

+

+

+ +

+

++

+

++

++

+ + + ++++

++

+

+ + + +

++

+++

+

+

++

+

++

0R R

R

R

0R

0R

e0

RD

sin dR dR

dR

Radial Symmetry / Radialsymmetrisch

!


End of Lecture 4 /Ende der 4. Vorlesung

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 4 / Vorlesung 4 1 Elektromagnetische Feldtheorie I...

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