Double Well Potential

Komputasi Fisika : Penyelesaian Double Well Potential 1

S2 Ilmu Fisika, Universitas Gadjah Mada I GN Yudi HandayanaTahun 2013 12/336339/PPA/03758

Tugas

Komputasi Fisika

Oleh:I Gusti Ngurah Yudi Handayana

12/336339/PPA/03758S2 Ilmu Fisika, Universitas Gadjah Mada

Selesaikan secara numerik masalah Double Well Potential!

Penyelesaian:

Sumur potensial ganda (Double Well Potential) secara umum dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1. Double Well Potential



Adapun potensial masing-masing daerah (dasar sumur dimisalkan memiliki potensial nol), adalah

sebagai berikut.

xa

LU

aLx

a

ax

aU

ax

aL

aLxU

xU

V

III

I

2,

22,0

22,

22,0

2,

)(

2

2

1

1

(1)

Penyelesaian sumur potensial ini dilakukan secara numerik dengan menggunakan metode beda

hingga (finite difference). Dalam penyelesaian kasus ini, terlebih dahulu meninjau persamaan

Scrodinger bebas waktu, yaitu sebagai berikut.

)()()()(

2 2

22

xExxUdx

xd

(2)

Persamaan (2) dapat dibuat dalam bentuk sebagai berikut.

)(2

)()(2)(

222

2

xmE

xxmU

dx

xd

0)()(2)(

22

2

xxUEm

dx

xd

(3)

Dengan memisalkan suatu fungsi G(x) yaitu:

)(2

)(2

xUEm

xG

Karena E dan U(x) masih bersatuan eV, maka harus dikonversi dahulu dengan mengggunakan

skala konversi energi (Ekon = 1,6 x 10-19 J/eV), sehingga:

)(

/

2)(

2xUE

Ekon

mxG

(4)

Maka persamaan (3) akan menjadi:

0)()()(

2

2

xxGdx

xd (5)



Pada kasus sumur potensial ini (double well potential), terdapat asumsi sebagai langkah awal

penyelesaian bahwa pada ujung kiri dan kanan, fungsi gelombang haruslah meluruh mendekati

nol, atau dapat dituliskan dengan:

0)(, xx (6)

Sehingga persamaan yang memenuhi untuk2

aLx adalah:

xxGx )(exp)(

Selanjutnya, untuk menyelesaikan bentuk )(x pada persamaan (5), digunakan metode beda

hingga (finite difference). Penyelesaian dengan metode beda hingga dimulai dari deret taylor.

Misalkan diambil setiap titik x memiliki selang (step size) sebesar h, dan setiap xk tertentu akan

berkaitan dengan suatu Uk tertentu dengan kkx )( sedemikian sehingga deret taylor untuk

)( hx dan )( hx diberikan sebagai berikut.

43

33

2

22

1 62)( hO

dx

dh

dx

dh

dx

dhhx kkk

kk

(7)

43

33

2

22

1 62)( hO

dx

dh

dx

dh

dx

dhhx kkk

kk

(8)

Dengan menjumlahkan persamaan (7) dan persamaan (8), maka akan didapat sebagai berikut.

42

22

11 2 hOdx

dh k

kkk

4112

22 2 hO

dx

dh kkk

k

22

112

2 2hO

hdx

d kkkk

(9)

Dengan menganggap suku O(h2) sangat kecil sehingga dapat diabaikan (sebagai galat

pemotongan), maka persamaan (9) menjadi:

211

2

2 2

hdx

d kkkk

(10)



Pemotongan terhadap suku O(h4) memberikan galat pemotongan sesuai orde 4 dari step size h.

Maka dari itu, nilai toleransi yang diberikan harus lebih besar dari h4, sebagai antisipasi galat

pemotongan ini.

4htol (11)

Selain itu, h diambil sekecil mungkin dengan tetap memperhatikan batas bit dari komputer. Oleh

karena itu, banyaknya titik x yang merupakan jumlah titik pada rentang yang diberikan (xmin dan

xmax) dapat dicari sebagai berikut.

h

xxk minmax (12)

Selanjutnya, hasil dari persamaan (10) kemudian disubstitusi ke dalam persamaan (5) sehingga

menjadi sebagai berikut.

02

211

kkkkk G

h

02 211 kkkkk Gh

kkkkk Gh 211 2

12

1 2 kkkk Gh (13)

Persamaan (13) merupakan persamaan yang akan digunakan untuk mencari rekursi nilai )(x

sepanjang rentang x yang diberikan (xmin sampai dengan xmax). Karena suku Gk berdasarkan

persamaan (4) masih mengandung variabel E yang belum diketahui, maka saat diberikan nilai

dari E, maka fungsi gelombang sepanjang rentang x yang ditetapkan dapat dicari. Akan tetapi,

sembarang nilai E tidak selalu memberikan interpretasi yang tepat terkait dengan sifat

gelombang pada ujung kiri dan ujung kanan sesuai dengan persamaan (6). Ini berarti bahwa perlu

dicari nilai-nilai E tertentu yang nantinya akan memberikan interpretasi yang tepat secara fisis

terkait sifat gelombang (terutama di ujung kiri dan kanan). Maka dari itu, kembali pada

persamaan (13), dapat diubah bentuk menjadi sebagai berikut.

02 12

1 kkkk Gh (14)

Berdasarkan persamaan (4) bahwa:

)(

/

2)(

2xUE

Ekon

mxG

maka persamaan (14) menjadi sebagai berikut.



02

/

212

21

kkkk UE

Ekon

mh

(15)

Jika dimisalkan:

2

2

/

2

Ekon

Emh

serta

2/

2

Ekon

m

(16)

Persamaan (15) menjadi sebagai berikut.

02

/

212

2

1

kkkk U

Ekon

mh

02 11 kkkk U (17)

Jika dicari sebanyak k kali, serta menerapkan syarat batas (sifat gelombang) pada persamaan (6),

maka persamaan (17) dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut.

0

.

.

.

.

0

0

0

.

.

.

.

2.......

........

........

........

.....100

....1210

....0121

....0012

3

2

1

3

2

1

kkU

U

U

U

Secara sederhana, matriks diatas dapat dituliskan sebagai:

0 IA (18)

Dengan matriks A adalah:

2.......

........

........

........

.....100

....1210

....0121

....0012

3

2

1

kU

U

U

U

A



Sehingga penyelesaian matriks diatas adalah merupakan penyelesaian nilai eigen, dengan

penyelesaiannya dicari sebagai berikut:

0)det( IA (19)

Nilai eigen (λ) yang didapat akan menghasilkan nilai E (berdasarkan persamaan 16). Didapatnya

nilai E, maka fungsi gelombang dapat dicari dengan menggunakan metode finite difference

seperti pada persamaan (13). Semua proses ini kemudian ditulis dalam kode program dengan

menggunakan Matlab, sehingga hasil akhir plot grafik fungsi gelombang didapatkan.

Secara lengkap, urutan penulisan program dapat dijabarkan sebagai berikut. Berdasarkan

besaran-besaran yang telah didefinisikan (persamaan 1 sampai 12), maka dapat dibuatkan dalam

bentuk syntax Matlab definisi dari besaran-besaran tersebut. Pertama yang dilakukan adalah

menginput nilai dari U1, U2, dan U3 dengan syntax sebagai berikut.

……………..U1 = input('masukkan U1 dalam eV: ');U3 = input('masukkan U3 dalam eV: ');U5 = input('masukkan U5 dalam eV: ');a = 0.1;L1 = 0.1;L2 = 0.1;h = 0.0001;

……………..

Jumlah titik x yaitu k dapat dituliskan dalam program Matlab dengan syntax sebagai berikut.

……………..xmin = -(0.1+L1+a/2);xmax = (a/2+L2+0.1);x = xmin : h : xmax;

k = round((xmax - xmin)/h);

……………..

Karena menggunakan perintah round, maka k yg didapat dibulatkan menjadi suatu integer.

Akhirnya, dapat didefinisikan nilai-nilai potensial untuk sembarang x dalam rentang (xmin dan

xmax) yang telah ditentukan sebagai berikut.

………………for i = 1 : k+1

if x(i) >= xmin & x(i) <= -(L1+a/2),U(i) = U1; end;

if x(i) > -(L1+a/2) & x(i) < -a/2,U(i) = 0; end;

if abs(x(i)) <= a/2,



U(i) = U3; endif x(i) > a/2 & x(i) < (a/2+L2),

U(i) = 0; end;if x(i) >= (a/2+L2) & x(i) <= xmax,

U(i) = U5; end;end

…………………

Adapun pencarian pencarian nilai eigen tiada lain merupakan pencarian akar-akar dari matriks

(A-λI), yang dapat dilakukan dengan menggunakan metode pencarian akar polinom dari matrix

(A-λI) atau dengan memanfaatkan fasilitas pada Matlab yaitu dengan langsung mencari nilai

eigen dari matriks A. Pada penulisan program Matlab, perlu didefinisikan dahulu matriks A

dengan syntax sebagai berikut.

………….A=zeros(k,k);A(1,1) = (alpha*U(1))+2;A(1,2) = -1;A(k,k) = (alpha*U(4))+2;A(k,k-1) = -1;for i = 2:3

A(i,i)=(alpha*U(i))+2;A(i,i+1)=-1;A(i,i-1)=-1;

end

…………..

Dengan alpha merupakan konstanta sesuai persamaan (16) yang dituliskan paling awal padaprogram. Kemudian, dicari nilai eigen matriks A dengan syntax sebagai berikut.

…………….ei = eig(A);

En = [];n = 0;for i=1:k

if ei(i)>0,n = n+1;clcEn=[En;ei(i)]

endend

…………….

Selanjutnya, nilai-nilai E ini dimasukkan ke dalam persamaan rekursi seperti persamaan (13),

sehingga untuk energi tertentu (state tertentu) akan didapat bentuk fungsi gelombangnya. Pada



program Matlab, rekursi penyelesaian dengan metode finite difference seperti pada persamaan

(13) dapat dituliskan sebagai berikut.

………psi(1) = 0;psi(2) = h^2/100;for i = 2:k

G = alpha*(En(1) - U(i));psi(i+1) = (2 - G*h^2) * psi(i) - psi(i-1);

end

………

Hasil-hasil yang didapat kemudian di plot dalam grafik. Pada penyelesaian ini, grafik yang

ditampilkan adalah grafik bentuk sumur potensial ganda serta grafik fungsi gelombang untuk E

tertentu. Syntax untuk memplot grafik dalam Matlab ditulis sebagai berikut.

………figure(1)plot(x,U, 'Linewidth',3);axis([xmin xmax min(U)-50 max(U)+50]);xlabel('x (nm)');ylabel('energi (eV)');grid on;

figure(2)plot(x,psi,'r','lineWidth',3)axis([xmin xmax min(psi) max(psi)]);xlabel('x (nm)');ylabel('psi');grid on;

…………

Berdasarkan urutan-urutan penulisan syntax program Matlab untuk Sumur Potensial Ganda ini,

secara utuh dapat dituliskan sebagai berikut.

clear allclose allclc

%konstanta dan konversihbar = 1.055e-34; % konstanta plack/2pi (J.s)m = 9.109e-31; % massa partikel (dianggap electron) (Kg)Ekon = 1.6e-19; % Konversi Energi dari ev ke J

alpha = 2*m/(hbar/Ekon)^2;



%masukan keadaan awal potensialdisp(' ');disp(' ');disp('DOUBLE WELL POTENTIAL');disp('=====================');U1 = input('masukkan U1 dalam eV: ');U3 = input('masukkan U3 dalam eV: ');U5 = input('masukkan U5 dalam eV: ');a = 0.1;L1 = 0.1;L2 = 0.1;h = 0.0001;

%mencari batas kiri dan kanan paling jauhxmin = -(0.1+L1+a/2);xmax = (a/2+L2+0.1);x = xmin : h : xmax;

%mencari jumlah k (dibulatkan)k = round((xmax - xmin)/h);U=zeros(1,k+1);

%mendefinisikan nilai potensial (U) setiap x(k)for i = 1 : k+1

if x(i) >= xmin & x(i) <= -(L1+a/2),U(i) = U1; end;

if x(i) > -(L1+a/2) & x(i) < -a/2,U(i) = 0; end;

if abs(x(i)) <= a/2,U(i) = U3; end

if x(i) > a/2 & x(i) < (a/2+L2),U(i) = 0; end;

if x(i) >= (a/2+L2) & x(i) <= xmax,U(i) = U5; end;

end

%Penyelesaian nilai eigen matriks AA=zeros(k,k);A(1,1) = (alpha*U(1))+2;A(1,2) = -1;A(k,k) = (alpha*U(4))+2;A(k,k-1) = -1;for i = 2:3

A(i,i)=(alpha*U(i))+2;A(i,i+1)=-1;A(i,i-1)=-1;

endei = eig(A);

En = [];n = 0;for i=1:k

if ei(i)>0,n = n+1;clc



En=[En;ei(i)]end

end

%penyelesaian fungsi gelombang (psi)psi(1) = 0;psi(2) = h^2/100;for i = 2:k

G = alpha*(En(1) - U(i));psi(i+1) = (2 - G*h^2) * psi(i) - psi(i-1);

end

%Gambar sumur potensial yang dicarifigure(1)plot(x,U, 'Linewidth',3);axis([xmin xmax min(U)-50 max(U)+50]);xlabel('x (nm)');ylabel('energi (eV)');grid on;

%gambar fungsi gelombangfigure(2)plot(x,psi,'r','lineWidth',3)axis([xmin xmax min(psi) max(psi)]);xlabel('x (nm)');ylabel('psi');grid on;

%Akhir Script----------------------------------

Jika script utuh tersebut dijalankan, maka pada command window akan muncul perintah input

nilai U1, U2, dan U3 sebagai berikut.

Gambar 2. Tampilan saat program dijalankan (input potensial)



Jika diinput nilai potensial seperti diatas, maka En didapat sebagai berikut.

Gambar 3. Nilai-nilai energi yang didapatkan

Serta plot gambar akan didapat seperti gambar berikut.

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

x (nm)

ener

gi

(eV

)

Gambar 4. U1 = 400 eV, U3 = 200 eV, U5 = 400 eV

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10-8

x (nm)

psi

Gambar 5. Grafik fungsi gelombang untuk En = 1676,7 eV

*****Selesai*****

Double Well Potential

Documents

Transcript of Double Well Potential