TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KĨ THUẬT TP HCMKHOA XÂY DỰNG & CƠ HỌC ỨNG DỤNG

BÀI THUYẾT TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

NHÓM I

-Video clip động đất -Cấu trúc đơn (simple structure) -Hệ một bậc tự do (single-degree-of

freedom system) -Quan hệ chuyển vị do lực (force-

displacement relation) -Lực giảm chấn (damping force) -Phương trình chuyển động ngoại lực (equation of motion: external

force) -Hệ lò xo khối lượng giảm chấn (mass-sping-

damper system) -Phương trình chuyển động: tác động của động đất (equation ò motion:

earthquake excitation) -Vấn đề về trạng thái và yếu tố lực (problem statement

and element force) -Kết hợp ứng xử tĩnh và động (combining static and dynamic

responses) -Phương pháp của phương trình vi phân (method of solution of the

differential equation)

Người ta bắt đầu sự nghiên cứu của động lực học cấu trúc với cấu trúc đơn giản, cho thấy trong hình 1.1.1. Chúng tôi quan tâm đến lực tại đỉnh hay nằm ngang làm cho sự chuyển động và tác động đến đất.

Chúng tôi gọi những cấu trúc này đơn giản bởi vì đây có thể được lý tưởng hóa như là một khối tập trung M được hỗ trợ bởi một cấu trúc không có khối lượng với độ cứng K trong phương hướng ở bên. Một lý tưởng như vậy thì thích hợp cho mái nhà Bê tông nặng được hỗ trợ bởi ánh sáng – thép – cột ống Mái nhà cụ thể là tĩnh tải và tính dẻo của cấu trúc bên trong. Sự chuyển động được cung cấp trọn vẹn bởi cột

Hệ thống được lý tưởng hóa cho thấy rằng trong hình 1.1.2a với một hỗ trợ mái nhà cụ thể.

Hệ thống này có một khối tập trung M bằng khối lượng của mái nhà được cho thấy và độ cứng K bằng tổng cường lực của các cột riêng lẻ.

Một lý tưởng hóa tương tự cho thấy trong hình 1.1.2b là khi thùng đầy nước, với việc đánh đập của nước (không khả dĩ trong một thùng đầy đủ) khối M được hỗ trợ bởi cột tháp một cách tương đối nhẹ mà có thể được giả thiết như không có khối lượng. Tháp chân đứng hỗ trợ thùng nước cung cấp độ cứng K tới những cấu trúc nhỏ theo nghĩa những cấu trúc phụ làm biến dạng bên trong giới hạn nghịch dung riêng tuyến tính của nó.

Chúng tôi sẽ nhìn thấy sau đó trong chương này mà phương trình đạo hàm điều khiển sự dịch chuyển bên khối u(t) tại những cấu trúc được lý tưởng hóa này không có bất kỳ sự kích thích, sự phá hủy nào – sự chuyển động lực hay nền ứng dụng. Ở đâu một sự bơm quá mức biểu thị phép lấy vi phân tới thời gian, như vậy khối u(t) biểu thị vận tốc và gia tốc của nó. ( giải phương trình này giới thiệu ở chương 2)

Phương trình sự chuyển động và các kết quả của nó được mô hình trong phòng thí nghiệm rồi được ghi lại bằng những bản ghi chính xác.

Với sự suy sụp thì nhanh hơn cho mô hình plexiglass tương đối, đối với khung nhôm. Qúa trình mà sự rung động đều đều làm nhỏ lại trong biên độ được gọi là sự làm giảm. Trong sự làm giảm động năng và năng lượng căng của hệ thống dao động được tiêu tán bởi bộ phận dẫn động khác nhau mà chúng tôi đơn giản đoán nhận một năng lượng của bộ dẫn động hao mòn đó cần phải phân hủy sự thử chấn động tự do của cấu trúc. Phần tử làm giảm thường sử dụng nhất là cái hãm nhớt, một phần bởi vì đó là năng lượng làm giảm những cơ chế ăn mòn này.

Hệ thống bậc tự do đơn

1.2. HỆ 1 BẬC TỰ DO :

• Xét hệ được biểu diễn như trong hình 1.2.1. nó gồm 1 vật có khối lựợng m, được đặt tại 1 điểm mặt ở bằng mái. Vật này tác động tới sự cố định của kết cấu và bộ giảm chấn (như bộ giảm xóc) làm tiêu dần năng lượng dao động của hệ . Dầm và các cột được giả thiết là không biến dạng dọc theo trục.

Hệ này có thể xem như trường hợp lý tưởng của kết cấu 1 tầng, mỗi bộ phận của cấu kiện (dầm,cột,tường,..) của kết cấu thực tế có khối lượng quán tính, đàn hồi (cứng hoặc mềm) làm giảm đặc tính của kết cấu . Trong hệ lý tưởng được tập trung vào 3 phần riêng: thành phần khối lượng, thành phần độ cứng, thành phần giảm chấn.

Số di chuyển độc lập yêu cầu xác định vị trí tương đối của tất cả các khối lượng m so với vị trí ban đầu của nó được gọi là số bậc tự do (DOFs)cho phân tích động học. Nhiều bậc tự do đặc biệt cần xác định tính chất độ cứng, đem so sánh với bậc tự do cần cho phân tích cho kết cấu. Xét kết cấu 1 tầng ở hình 1.2.1 . khi di chuyển cưỡng bức kết cấu theo 1 phương hướng kích thích nào đó(phương ngang). vấn đề phân tích tĩnh là cần xác định 3 bậc tự do - sự dịch chuyển ngang và 2 khớp xoay để xác định độ ổn định ngang của khung

Sự phân tích động trong chuyển vị nếu lý tưởng hóa với khối lượng tại 1 vị trí. Như vậy chúng ta gọi điều này là hệ 1 bậc tự do(SDF)

Hai kiểu kích thích động được xét : (1) ngọai lực p(t) tác động theo phương ngang (hình 1.2.1 a).và (2) động đất làm cho mặt đất nền chuyễn động (hình 1.2.1 b) . Trong 2 trường hợp biểu thị sự chuyển vị tương đối giữa khối lượng so với vị trí ban đầu ( base) của kết cấu.

1.3 Mối quan hệ giữa lực và biến dạng (force-displacement relation)

Xét hệ như hình vẽ 1.3.1aKhi có một lực tĩnh fs tác dụng lên khung (a)

cho khung chuyển vị một khoảng u

Khung sinh ra nội lực này ngược chiều và bằng tổng ngoại lực f(s) tác động.

Muốn xác định mối quan hệ giữa lực và chuyển vị u với biến dạng trong kết cấu mối quan hệ này tuyến tính tại những biến dạng nhỏ và phi tuyến tại những biến dạng lớn ) (hình 1.3.1.1c) cả hai mối quan hệ tuyến tính và phi tuyến được xem xét (hình 1.3.1c & d).

1.3.1LINEARLY ELASTIC SYSTEMS.(HỆ THỐNG ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH)

Hệ tuyến tính là hệ có mối quan hệ giữa lực bên ngoài f(s) và kết quả biến dạng u theo hàm:

Với K : độ cứng của hệ (đơn vị lực /chiều dài)

Công thức (1.3.1) giả thuyết mối quan hệ tuyến tính f(s) và u được xác định trong biến dạng nhỏ của kết cấu ,ngoài ra nó cũng có thể xác định cho những biến dạng lớn hơn bởi vì phản lực không phải là hàm đơn nhất theo U ,hệ thống đàn hồi.Từ đây chúng ta sử dụng giới hạn đàn hồi tuyến tính . Xét một hệ như hình vẽ (1.3.2a) với chiều rộng l,chiều cao h và moodul đàn hồi E ,2 mooment quán tính trục lần lượt cho dầm và cột la Ib và Ic

Cột được xác định trên nền móng -Độ cứng khung được xác định trong 2 trường hợp

+ nếu dầm có độ cứng EIb= ∞ Hình 1.32 b thì :

. (1.3.2)

+ nếu dầm có độ cứng EIb= 0. Hình 1.32 c thì :

(1.3.3)

Quan sát hai giá trị cực trị của dầm (ta thấy độ cứng của khung độc lập với chiều dài L,,chiều dài dầm hay chiều rộng của đoạn.- Độ cứng của khung trong khoảng giữa (ứng với giá trị k tương ứng trên),và độ cứng thực của dầm có thể tính toán được dựa vào những thủ tục tiêu chuẩn về phân tích kết cấu tĩnh học .Ma trận độ cứng của khung được công thức hóa với 3 bậc tự do là,độ chuyển vị u và chuyển vị quay ở hai đầu dầm cột (hình 1.3.2a)

Bằng cách hội tụ tĩnh học hay khử các chuyển vị quay của các bậc tự do ta xác định được mối quan hệ giữa lực và biến dạng (công thức 1.3.1)Trong khung thu thay L=2h va EIb,=EIc thì độ cứng có được

Độ cứng của khung có thể tính một cách tương tự cho giá trị của Ib

và Ic,sử dụng hệ thống độ cứng được trình bày trong phụ lục 1.Nếu bỏ đi những biến dạng không cần thiết thì kết quả có thể viết lại như sau

Với ρ=Ib/4Ic (tỉ lệ độ cứng giữa dầm và cột)

Công thức (1.3.5) lần lượt là kết quả rút gọn của công thức (1.3.2),(1.3.3),(1.3.4)

Độ cứng được phát họa như một hàm của ρ (hình 1.3.3)

K tăng theo hệ số 4 và ρ tăng từ 0 vô cực.

Mối quan hệ giữa lực – biến dạng tiêu biểu của kết cấu diễn ra theo chu kỳ biến dạng được nhìn thấy trong bản (1.3.4).Đường cong tải ban đầu phi tuyến tại những chổ có biến dạng lớn và đường cong dở tải hay chất tải khác so với nhảnh tải ban đầu.

Hàm fs tương ứng với biến dạng u có giá trị không đơn nhất và phụ thuộc vào quá trình biến dạng và sự gia tăng biến dạng (vận tốc tích cực ) hoặc giảm tốc (vận tốc tiêu cực )

Vì vậy phản lực có thể xác định bằng

(1.3.6)

1.3.2 INELASTIC SYSTEMS (NHỮNG HỆ THỐNG KHÔNG ĐÀN HỒI)

Mối quan hệ giữ lực và biến dạng của khung được lý tưởng hóa như hình (1.3.1a). Biến dạng trong phạm vi không đàn hồi có thể xác định bằng một trong hai phương pháp.

-Một là sử dụng phương pháp phân tích cấu trúc tĩnh học phi tuyến :

Ví dụ Sự phân tích cấu trúc thép với định luật về ứng suất và sức căng, phân tích sự hình thành và phát triển biến dạng dẻo tại vị trí tới hạn và sự hình thành bản lề dẻo trong đường cong tải (1.3.1c).các đường dở tải (a-c)và chất tải (c-a) được tính toán tương tự hoặc được xác định từ đường cong tải ban đầu bằng cách sử dụng các giả thuyết có sẵn.

Một cách khác là xác định mối quan hệ không đàn hồi giữa lực và biến dạng như dùng bản dữ liệu lấy ra từ thực nghiệm như hình (1.3.4)Người ta rất quan tâm đến việc nghiên cứu động lực đặc trưng của các hệ

thống không đàn hồi bởi vì rất nhiều kết cấu được thiết kế với sự dự trù rằng

chúng sẽ trải qua một vài sự cố rạng nứt ,võng và thiệt hại lớn ,gây ra bởi

động đất.

Phần ví dụ này để nói sau (khi thật cần thiết mới nói vì thật ra chưa hiểu rõ lắm. cần để nghiên cứu lại) tính độ cứng của khung hình E1.1a giả sử các thanh điều cứng .

Với giả thuyết :kết cấu này có thể được phân tích dựa trên phương pháp kết cấu chuẩn ,sự phân bố moment, ở đây chúng ta sử dụng các định nghĩa hệ số ảnh hưởng độ cứng để giải quyết các vấn đề.

Với Ib=Ic và lực xô ngang f(s)

Hệ thống 3 bậc tự do như hình vẽ (a).ta thu được cột đầu tiên của ma trận độ cứng 3x3,đổi chổ chuyển vị đơn vị u1=1 (với u2=u3=0) .

ở lực ki1 nó làm lệch khung như hình b,nó được sử dụng bằng cách tra

từ bản phụ lục (1)

Tương tự như vậy trong việc xác định ki2.cột thứ 2 của ma trận độ cứng

được xác định bằng cách thay u2=1: u1=u2=0 (xem hình( E1.1.c)

Tương tự ,ki3,trong cột 3 của ma trận độ cứng có thể được xác định

bằng cách thay chuyển vị u3=1,u2=u3=0.

Vậy ma trận độ cứng 3x3 được biết và phương trình cân bằng có thể viết như sau :

()

Với Ib=Ic và lực xô

ngang f(s)

(a)

- Từ phương trình 2 và 3 ,biến dạng quay ở các đầu có thể được biểu thị được dưới dạng sau :

Thế phương trình (b) vào cột đâu tiên của 3 phương trình ở phương trình (a) ta được

Vậy độ cứng của khung là

(Thủ tục này nhằmđể loại trừ những sự quay chung chung j được biết đến như phương pháp ngưng tự tĩnh học ,có trong sách giáo khoa phân tích kết cấu tĩnh học ,chúng ta sẽ trở lại đề tài này trong chương 9.)

(1.3.6)

Với 4 bậc tự do biến dạng tại nút dàn ua và ub và hai phép quay tại nút dàn và .độ chịu uốn của dầm tại 2 nút dàn là

Lực cắt tại hai nút dàn là

Tại mọi thời điểm ,lực Ma ,Mb ,Va,Vb, được tính toán dựa vào ua,ub,, và .moment và lực cắt tại mõi vị trí khác trên cấu kiện đượ xác định trong hình A.1.1c.

Giống như phương pháp xác định động trong môn kết cấu đã học ,them vào trong hệ những lien kết moment ,hay liên kết thanh nhằm đưa hệ về dạng xác định động rồi chia hệ ra thành cấu kiên nhỏ ,tìm moment hay lực cắt bằng cách tra bản.

1.1.4 LỰC GiẢM CHẤNGiảm chấn : là tiến trình mà làm giảm biên độ của dao

động tự do. trong đó năng lượng của hệ dao động bị phân tán ra nhiều hướng

Ví dụ : Ví dụ :

-Hầu hết năng lượng bị tán xạ là do: -Nhiệt lượng xuất hiện do sự lặp đi lặp lại của dao động làm biến dạng vật liệu -nội ma sát do dòng nước đổi dòng.

- Trong các công trình thực tế các năng lượng bị tán xạ chủ yếu xuất hiện tại các điểm nối thép, tại điểm đầu và điểm cuối của vết nứt của bê tông, ma sát giữa chính bản thân công trình và các kết cấu không thuộc công trình như tường chắn..những phân tán năng lượng ấy không thể mô tả và thể hiện trong một ngôi nhà thật sự.

Kết quả giảm chấn trong công trình thực tế thường xuất hiện trong điều kiện lý tưởng .

do nhiều lý do mà viêc giảm chấn thực tế trong hệ một bậc tự do có thể được lý tưởng hóa thành bộ giảm chấn dài nhờ nhớt. hệ số giảm chấn ra đời để năng lượng mà hệ dao đông bị mất do dẫn truyền tương đương với năng lượng bị mất do dẫn truyền trong các công trình thực tế.

do đó sự lý tưởng hóa này được gọi là sự giảm chấn do nhớt tương đương

Hình 1.1.4 thể hiện một bộ giảm chấn nhờ nhớt dài được đăc trưng bởi lực fd .Nội lực trong bộ giảm chấn cân bằng và trực đối với ngoại lực fd (hình 1.1.4b).Theo hình 1.1.4c thì nội lực giảm chấn quan hệ với vận tốc dọc bộ phận giảm chấn theo phương trình sau

Hằng số c gọi là hằng số giảm chấn , thứ nguyên là (lực x thời gian/chiều dài)

Không giống như độ cứng của công trình, hệ số giảm chấn không thể tính toán được từ kích thước của công trình hay của cấu kiện đơn giản là vì không thể xác định được những ánh xạ lực bị đẫn truyền trong hệ dao động của một công trình thực sự . do đó phải thông qua những thí nghiệm trên những công trình thực tế mới có thể rút ra được hệ số giảm chấn. cách xác định hệ số giảm chấn và xác định thuộc tính giảm chấn từ thí nghiệm lực dao động sẽ đề cập ở chương sau.

• Bộ phận giảm chấn tương đương để làm mẫu cho hệ tán xạ lực làm giảm biên độ trong giới hạn đàn hồi của toàn kết cấu.Vượt quá biên độ của biến dạng, hệ số giảm chấn có thể làm thay đổi biên độ của biến dạng. Sự không phi tuyến của bản chất giảm chấn thường không được nhận thấy rõ ràng trong phân tích động lực học. có thể tự chọn một giá trị để làm hệ số giảm chấn sao cho phù hợp với biên độ biến dang , thường chọn khi biến dạng diễn ra trong giới hạn đàn hồi của kết cấu.

1.5. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG: NGOẠI LỰCHình1.5.1a biểu diễn lý tưởng hóa 1 khung chịu lực đặt vào p(t), DOF u. Kí hiệu

này chỉ ra rằng lực p thay đổi theo thời gian, chuyển vị sau cùng theo thời gian. Chuyển vị u(t) được biểu thị. Trong Phần1.5.1 và 1.5.2 chúng tôi xuất phát từ phương trình khống chế chuyển vị u(t) bằng cách dùng 2 phương pháp: ĐL2 Newton về chuyển động và Sự cân bằng động lực. Một quan điểm chọn cho sự xuất phát được trình bày trong Phần1.5.3.

1.5.1 DÙNG ĐL2 NEWTON VỀ CHUYỂN ĐỘNG

Lực tác dụng tức thời lên vật được biểu diễn trong Hình1.5.1b bao gồm p(t), ứng lực đàn hồi ( hoặc không đàn hồi) fS và lực giảm chấn fD.

• Lực sau cùng dọc trục x là: p – fS – fD và ĐL2 Newton về chuyển động cho ta: p – fS – fD = mü hay mü + fS +fD = p(t). (1.5.1)

• Phương trình này sau khi thế vào ptr(1.3.1) và ptr(1.4.1) trở thành:

mü + ců + ku = p(t) (1.5.2)

• Đây là ptr chuyển động khống chế biến dạng hay chuyển vị u(t) của kết cấu lý tưởng Hình1.5.1

Cho nhiều hệ thì ptr chuyển động là: mü + ců + fS(u,ů) = p(t) (1.5.3)

Ngoại lực dương trên trục x và chuyển vị u(t), vận tốc ů(t), gia tốc ü(t) cùng dương trên trục x.

Lực đàn hồi và lực giảm chấn được biểu diễn ngược chiều lại vì nó dùng lực tập trung để chống lại biến dạng và vận tốc.

1.5.2 SỰ CÂN BẰNG ĐỘNG HỌC

Nguyên lí D’Alembert được căn cứ từ khái niệm lực

quán tính,1 lực có thể được tạo ra từ 1 vật có khối lượng.

Nó tăng tốc và tác động trong sự định hướng độc lập với

gia tốc và mang trạng thái lực quán tính.

Hệ thống như vậy đgl sự cân bằng tức thời

1.5.3 ĐỘ CỨNG, GIẢM CHẤN VÀ KHỐI LƯỢNGDưới tác dụng của ngoại lực p(t), trạng thái của hệ được miêu tả bởi chuyển vị u(t), vận tốc ů(t) và gia tốc ü(t).

Hình1.5.2a, bây giờ hình dung hệ là sự kết nối của 3 phần đơn thuần:(1) độ cứng: khung không giảm chấn hay không khối lượng (Hình1.5.2b)(2) giảm chấn: khung có lực tập trung hay giảm chấn hay khối lượng(Hình1.5.2c)(3) khối lượng: khung có khối mái không phần cứng hay giảm chấn (Hình1.5.2d)

Ngoại lực fS trên phần cứng liên quan đến phần giảm chấn, đến vận tốc bởi ptr(1.4.1).

Ngoại lực fI trên phần khối lượng liên quan đến gia tốc bởi

fI = m.ü.

Ngoại lực p(t) dùng trên toàn hệ, thế nên hình dung phân bố giữa 3 phần của kết cấu fS + fD + fI có thể phải dùng lực p(t) theo ptr(1.5.1).

*-* VÍ DỤ 1.2Một nhà công nghiệp nhỏ 1 tầngmặt bằng rộng 20x30 ft được biểu diễn trên HìnhE1.2 sườn chính theo phương bắc nam sườn giằng theo phương đông tây trọng lượng của kết cấu được lý tưởng = 30 lb/ft² phân bố đều trên mái bằnggiằng giao nhau trên phương ngang là dây cung dưới cùng của mái giànmọi cột đều có mặt cắt W8x242 moment của tiết diện ngang đối với trục x và y là: Įx = 82.8 in^4, Įy =18.3

in^4, với thép E = 29000 ksi.giằng đứng được làm từ thanh đường kính 1 inch.Trình bày phương trình khống chế rung động tự do: (a) theo phương Bắc Nam (b) theo phương Đông Tây.

Khối lượng phân bố trên mái = trọng lượng / gia tốc trọng trường.

m = w/g = 30x30x20/386 = 46.63 lbsec²/in = 0.04663 kip-sec²/in.

Vì giằng ngang giao nhau, mái có thể được xử lí như 1 màng cứng.

(a) Phương Bắc Nam:độ cứng ngang của 2 khung chịu moment: k N-S = 4(12EIx /h³) = 4x (12x29000x82.8)/(12x12)³) =

38.6 kips/invà ptr chuyển động là: mü + (kN-S) u = 0.(b) Phương Đông Tây:

Khung giằng, trình bày trong HìnhE1.2cĐộ cứng thanh giằng (HìnhE1.2d) là: k BRACE =

(AE/L)cos²θthế số vào là: k BRACE =

(0.785x29000/(23.3x12))x0.8575² = 59.84 kips/in.Xét với 2 khung: k E-W = 2x59.84 = 119.68 kips/in.Và ptr chuyển động là: mü + (kE-W)u = 0.

I. Khái niệmHệ lò xo khối lượng giảm chấnlà hệ bao gồm các phần tử dao động phụ gắn liền với một kết cấu dao động chính

Cơ chế làm việcCơ chế làm việc

Giảm dao động của hệ chính dựa vào việc truyền dao động cho hệ phụ

Ví dụ

Trong đó : K : độ cứng lò xo(độ

cứng cần được giảm chấn)C: hệ số giảm chấnm : khối lượng vật

Điều kiện có hệ

Lò xo và bộ giảm chấn đều có trọng lượng không đáng kể

Cả khối gắn cứng vào nhau

Tất cả chuyển động đều diễn ra trên một phương

Các bước giải

lực dàn hồi fs=ku

Lực giảm chấn : fd=cu’

Bỏ qua lực ma sát

Áp dụng định luật 2 newton

phương trình cân bằng lực trong sơ đồ vật tự do( bao gồm cả lực quán tính)

Lập luận giải bài toán

1.7 Phương trình chuyển động: tác động của động đất

Ở vùng động đất , vấn đề thiết yếu của động lực học cấu trúc mà kỹ sư kết cấu quan tâm chính là những ứng xử của những cấu trúc bên trong lòng đất . Những biến động của cấu trúc này do sự chuyển động của động dất .Tại mỗi thời gian thì sự dịch chuyển đó là

u’(t) = u(t) + ug(t)

Cả u’ và ug cùng chiếu trên một trục tọa độ quán tính

u(g) : Sự dịch chuyển của nền

u’(t) : sự dịch chuyển hoàn toàn khối nền

u(t) : sự dịch chuyển tương đối giữa khối lượng và nền

Phương trình chuyển động của hệ thống ở hình 1.7.1a là kết quả của một trận động đất , có thể được bắt nguồn từ một số phương pháp đã được giới thiệu ở mục 1.5

u’(t) = u(t) + ug(t)

Sơ đồ hóa

ta có phương trình sau f1 + fd + fs= 0

. Lực quán tính f1 liên quan đến gia tốc u’’ của khối lượng : f1 = u’’ (1.7.3)

. Thay (1.3.1) , (1.4.1) và (1.7.1) trong (1.7.2) và sử dụng cho (1.7.1) m.u’’ +c.u’ + ku = - mug’’ (t) (1.7.4)

. Phương trình chuyển động điều khiển hay là biến dạn tươngđối u(t) của cấu trúc dài của quả cầu (1.7.1a) đạt tới độ gia tốc là u’’(t) . Hệ thống không đàn hồi thì phương trình (1.7.2) đúng khi phương trình (1.3.1) phải thay thế bởi (1.5). Ta có: m.u’’ + c.u’ + fs(u,u’) = -mug’’ (t) (1.7.5)

So sánh các phương trình thì các phương trình chuyển động của các kết cấu luôn có hai sự kích thích đó là gia tốc u’’(t) và ngoại lực = - mu’’(t)

Do đó sự biến dạng u(t) của cấu trúc đất do gia tốc u’’ sẽ giống nhau đến một sự chuyển động u(t) của các cấu trúc cơ bản của nó , nếu nó được đứng yên và chịu một ngoại lực = - mu’’

Như trong hình (1.7.2) vì mặt đất chuyển động nên có thể thay thế bởi động đất có hiệu quả lực được chỉ định bởi Peff(t) = - mu’’g(t)

Các lực lớn sẽ tác động vào mặt đất và những lực này tác động ngược lại với gia tốc. Như vậy điều quan trọng động đất là do tổng hợp các lực lớn tác động vào cấu trúc . Cho nên nó đòi hỏi chúng ta phải thiết kế các cấu trúc để hạn chế bớt sự ảnh hưởng của động đất .

Mặc dù sự chuyển động của các thành phần đất không thể đo lường trong thời gian động đất nhưng ta vẫn tính được nhờ sự hỗ trợ của kỹ thuật tiên tiến

Nó được áp dụng cho các khả năng trước sự tác động . Vì mục đích này ta có thể xem tháp cantilever hình (1.7.3a) mà có thể coi như một sự lý tưởng của bồn nước ở hình (1.1.2) , ta phải căn cứ vào góc xoay g . Tổng chuyển động u’ của các phần tử được tạo ra hai phần : u kết hợp với cấu trúc biến dạng và một thành phần cố định là hg . Trong đó h là chiều cao .

•Ở mỗi thời điểm ta có phương trình chuyển động

u’(t) = u(t) + hθg(t) (1.7.7)

•Phương trình (1.7.2) và (1.7.3) vẫn còn đúng nhưng tổng gia tốc u’’(t) bây giờ được xác định từ (1.7.7) và từ các phương trình trên đẫn đến

mu’’ +cu’ + ku =-mhθ’’g(t) (1.7.8)

. Lực động đất có hiệu quả được liên quan làm cho đất chuyển động Peff(t) = -mhθ’’g(t) (1.7.9)

1.8 Trạng thái và yếu tố lực

Vật khối lượng m, độ cứng k của một hệ đàn hồi tuyến tính, hay lực biến dạng quan hệ fs(u,u’) cho một hệ thống không đàn hồi, hệ số giảm chấn c, và động lực kích thích-nó có thể là một ngoại lực p(t) hay một gia tốc u’’g(t)-một vấn đề cơ bản trong cấu trúc động lực học là xác định sự tác dụng lại của hệ thống SDF:

1.8.1 Trạng thái:

Lý tưởng hóa một hệ lò xo khối lượng giảm chấn. Điều kiện là dùng trong một phương bao gồm các đại lượng đặc trưng như chuyển dịch, vận tốc hay gia tốc của vật; ngoài ra, còn có một ứng suất bên trong công trình. Khi có sự kích thích của ngoại lực bên ngoài, sự phản ứng của công trình là chuyển dịch hoặc biến dạng u(t) với vận tốc u’(t) . Khi có sự kích thích của động đất, cả hai tổng số và mối quan hệ của các giá trị là rất cần thiết. Mối quan hệ chuyển dịch u(t) với các biến dạng của kết cấu là rất quan trọng từ đó nội lưc trong kết cấu có liên quan trực tiếp đến u(t)

Phân tích sự ổn định của một khung có thể làm theo 2 cách sau:

1.Tại mỗi thời điểm, sự dịch chuyển u được hiểu nó là khớp xoay và qua đó có thể xác định; như công thức b ví dụ 1.1. Từ việc hiểu sự dịch chuyển và quay đến khi kết thúc của một yếu tố kết cấu (dầm và cột) các yếu tố lực (moment uốn và kéo) có thể xác định thông qua yếu tố độ cứng k (xem phụ lục 1); và ứng suất có thể thu được từ các yếu tố lực.

1.8.2 Các yếu tố lực

2. giới thiệu lực tĩnh tương đương, một khái niêm trung tâm trong trận động đất ảnh hưởng đến công trình,(như chúng ta thấy trong chương 6). Tại bất kì thời điểm t nào lực fs là ngoại lực sẽ sinh ra sự biến dạng u trong bộ phận độ cứng của công trình […,hệ thống không khối lượng hay giảm chấn] vi vậy fs(t)=ku(t). Yếu tố lực hay ứng suất có thể được xác định tại mỗi thời điểm bởi sự tính toán tĩnh hoc của kết cấu lực fs xác định từ công thức(1.8.1). Điều đó là không cần thiết khi giới thiệu những khái niệm lực tĩnh tương đương như hệ lò xo khối lượng giảm chấn bởi vì lực lò xo, cũng được đưa ra bởi công thức

Trong thực tế ứng dụng, chúng ta cần phải xác định tổng số lực trong một cấu kiện, bao gồm cả những lực hiện có trước khi có kích thích tác động lên các kết cấu và những kết quả từ phía tác động, kích thích. Để có một hệ thống tổng số lực có thể được xác định bằng cách kết hợp các kết quả phân tích của hai mặt riêng biệt:

(1) tĩnh phân tích về cơ cấu do hoạt tải và tĩnh tải, nhiệt độ thay đổi

(2) phân tích về tác động do phản ứng trong thời điểm kích thích khác nhau.

Sự kết hợp này là kết quả trực tiếp của của hai phân tích hợp lệ và chỉ dành cho các hệ thống tuyến tính. Các phân tích của hệ thống phi tuyến là không thể thực hiện

1.10 Phương pháp giải pháp của phương trình vi phân

Phương trình chuyển động của một hệ thống tuyến tính SDF phải là lực bên ngoài thứ hai, trật tự-phương trình vi phân thu được trước đó: Ban đầu chuyển vị u (0) và vận tốc ů (0) tại thời gian không (0) phải được chỉ định để xác định các vấn đề.Thông thường, cấu trúc còn lại là tại lúc trước khi có tác động của kích thích, vì vậy mà ban đầu vận tốc và chuyển vị là không (0).Sơ lược về bốn phương pháp, giải pháp được đưa ra trong những phần sau.

1.10.1 phương pháp cổ điển

Hoàn thành giải pháp của các tuyến phương trình vi phân của chuyển động bao gồm các tổng kết của các giải pháp bổ sung uc (t) và các giải pháp cụ thể lên (t), có nghĩa là

u (t) = uc (t) + up (t)

Từ phương trình thứ hai là về trật tự, hai hằng số hội nhập có liên quan. Chúng xuất hiện trong bổ sung chức năng và được đánh giá từ một kiến thức về các điều kiện ban đầu.

Ví dụ Xét một lực: p (t) = p0, t> = 0. Trong trường hợp này, phương trình

chuyển động cho một hệ thống không có giảm xóc (Ie, c = 0) là: mü + ku = p0 (a) các giải pháp cụ thể cho phương trình (a) là (t) = p_0 / k (b) và c giải pháp là bổ sung u_c (t) = Đáp cosω_n t + Bsinω_n t (c) A và B là 2 hằng số hội nhập và ωn = √ (k / m) Các giải pháp được hoàn thành bởi tổng của phương trình (b) và (c) u (t) = Acosωnt + Bsinωnt + p0 / k (d) nếu hệ thống là bước đầu tại còn lại, u (0) = 0 và u (0) = 0 tại t = 0. Đối với những điều kiện ban đầu cho hằng số A và B có thể được xác định: A =-p_0 / k B = 0 (E) thay phương trình (E) vào phương trình (d) ta có u (t) = p0 (1-cosωnt) / k (f) Các phương pháp cổ điển sẽ là giải pháp cơ bản, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp giải quyết các phương trình tự do và cho các tác động, mà có thể được mô tả theo phép giải tích, chẳng hạn như sự điều hòa, bước, và dấu của lực.

1.10.2 Phương pháp tích phân

Là một phương pháp nổi tiếng tiếp cận với các giải pháp phân tuyến các phương trình, như là phương trình cho các chuyển động của một hệ thống SDF, được dựa trên đại diện cho các ứng dụng áp lực như là một chuỗi các xung lực nhỏ. Những phản ứng của hệ thống, để áp dụng một lực tác dụng p (t) tại thời điểm t thu được bằng cách thêm các ứng xử cho tất cả các xung lực đến thời điểm đó. các phương pháp này được phát triển trong Chương 4, dẫn đến những kết quả sau cho một hệ thống SDF không tắt:

u(t) = 1/(mω_n)∫ _0 ^ 1 〖 p(τ)sin[ω (t-τ)] dτ 〗 (1.10.2) nơi ωn = √ (k / m).hàm ẩn trong kết quả này là: "sự đảm bảo" của các điều kiện ban đầu. phương trình (1.10.2), được gọi là phương pháp tích phân, là một hình thức đặc biệt của các bộ nhân chập được tìm thấy trong sách giáo khoa về phân phương trình.

1.10.3 Phương pháp chuyển đổi Phép biến đổi Fourier là công cụ mạnh mẽ cho các giải pháp

về phân tuyến phương trình,đặc biệt là các phương trình chuyển động cho một tuyến SDF hệ thống. Việc chuyển đổi Fourier p ^ (iω) của một chức năng được biết tác động p (t) được xác định bởi p^(iω)F = [p(t)] = ∫(- ∞)^∞ 〖 E(-iωt)p(t)dt 〗 (1.10.3) trong giải quyết các phương trình chuyển động của biến đổi Fourier, bước đầu tiên là chuyển đổi các phương trình vi phân t trong biến thành một phương trình đại số không có giá trị biến iω. Sau đó, các phương trình đại số sẵn sàng giải quyết cho các u(iω).Quá trình chuyển đổi ngược lại là biểu tượng của chuyển đổi của u(iω). Quá trình chuyển đổi ngược lại là biểu tượng của u (t) 1/2π ∫(- ∞)^∞ 〖 H(iω)p^(iω) Eiωt dω 〗 (1.10.4)

1.10.4 Phương pháp tính toánBa phương pháp phân tích động trước bị giới hạn cho các

hệ thống tuyến tính và không thể so sánh các hành vi ứng xử của cấu trúc không đàn hồi dự đoán trong khi động đất, nếu mặt đất rung với cường độ lớn. Chỉ có cách tiếp cận thực tế cho các hệ thống như vậy, bao gồm việc tính toán thời gian các bước của phương pháp, được trình bày trong Chương 5. Những phương pháp này cũng hữu ích cho việc đánh giá các phản ứng của hệ thống tuyến tính kích thích - áp lực p(t) hoặc nguyên nhân dịch chuyển üo(t) là quá phức tạp để được định nghĩa phân tích và được diễn tả chi tiết trong tính toán.

PHẦN BÀI TẬP

Từ 1.1 đến 1.3.Bắt đầu từ định nghĩa cơ bản về độ cứng, xác định độ cứng của hệ và phương trình chuyển động của hệ được trình bày trong Figs. P1.1 đến 1.3.

BÀI GIẢITheo Hooke thì: f = k.u

Theo ptr chuyển động Eq (1.5.2) : mÜ + ců + ku = p(t)

Hệ lò xo không có giảm chấn nên: c = 0

Hình (1.1): 2 lò xo mắc song song thì độ cứng tương đương là: keq = k1 + k2

Ptr tương ứng là: mÜ + keq1 x U = p(t)

Hình (1.2): 2 lò xo mắc nối tiếp thì độ cứng tương đương là: kEq2 = k1k2/ (k1+k2)

Ptr tương ứng là: mÜ + kEq2 = p(t)

Hình (1.3): 3 lò xo mắc song song và nối tiếp thì độ cứng tương đương suy ra từ 2 dạng trên là: kEq3 = (k1+k2)k3/(k1+k2+k3).

Ptr tương ứng là: mÜ + kEq3 = p(t)

Bài 1.4

Viết ptr chuyển động của hệ như hình vẽ. Biết thanh được làm từ vật liệu đàn hồi E, tiết diện A dài L.Bỏ qua khối lượng của thanh và chuyển vị u xác định từ vị trí cân bằng tĩnh học

BÀI GIẢI

Theo Eq(1.5.2): mÜ + ců + ku = p(t)

Hệ không có giảm chấn, nên suy ra ptr: mÜ + ku = mg + p(t).

Với độ cứng của thanh chịu kéo nén là: k = EA/ L.

Thế vào cho ta ptr chuyển động: mÜ + (EF/L)u = mg + p(t).

Viết phương trình dao động của các ví dụ (hình)

1.6 => 1.8

P9-P10 :Viết phương trình chuyển động của khung một tầng ,như hình vẽ,chú ý đến độ bền uốn của dầm và cột .biết khối lượng tập trung của dầm là m ,giả sử khung không khối lượng ,bỏ qua giảm chấn

bài giải.Công thưc chuyền động tổng quát của hệ là : mÜ +ců +ku =p(t)vì không tính đến giảm chấn nên :c=0EIb= (dầm có độ cứng tuyệt đối)Nên khung sẽ chuyển vị như hình vẽ

EIc EIc

m

h

L

P(t)

K1=3EI/h3 K2=3EI/h3

Việc xác định k1 ,k2 có thể xác định nhờ vào bản phụ lục 1 hoặc có thể áp dụng như trong cơ kết cấu (phần hệ xác định động ,k1,k2 có thể biết được nhờ tra bản k1=Q1;k2=Q2)

Khi đó k (tương đương của hệ k=k1+k2= 6EI/h3

Phương trình chuyển động là mÜ +6EI/h3 x u = p(t)

Tương tự cho bài 10Công thưc chuyền động tổng quát của hệ là

mÜ +ců +ku =p(t)vì không tính đến giảm chấn nên :c=0EIb = EIc/2.Áp dụng công thức tổng quát tính giá trị

Với ρ=Ib/4Ic (tỉ lệ độ cứng giữa dầm và cột) Ib=Ic/2 ρ=1/8

K=

Phương trình chuyển động : mÜ + +120EIc/11h3 x u = p(t)