Dommel Digitalcomputersolution
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8/18/2019 Dommel Digitalcomputersolution
1/12
IEEE
TRANSACTIONS ON POWER
APPARATUS
AND
SYSTEMS,
VOL.
P A S - 8 8 ,
N O .
4 ,
APRIL
1 9 6 9
a n n u a l
a v a i l a b i l i t y
f
u n c t i o n a f t e r
a
s i n g l e ,
ne w
m a c h i n e i s
a d d e d ,
a s s u m i n g
t h a t
n o t h i n g
e l s e
i s
a l t e r e d .
L e t
C
A ( M )
M
a
c a p a c i t y o f new m a c h i n e , MW
a n n u a l a v a i l a b i l i t y o f
t h e
b a s i c
s y s t e m
a s a
f u n c t i o n
o f
t h e m a r g i n
M
r e s e r v e
m a r g i n
a v a i l a b i l i t y o f t h e
new
m a c h i n e .
T h u s ,
t h e
new a v a i l a b i l i t y
f u n c t i o n
b e c o m e s
A ' ( M )
=
aA(M
-
C )
+ ( 1
-
a ) A ( M ) .
( 3 3 )
T h i s
r e l a t i o n s h i p
may
b e
u s e d
t o
c o n s i d e r
t h e e f f e c t
o f
a d d i n g
d i f -
f e r e n t
m a c h i n e
c a p a c i t i e s
o n
t h e
a n n u a l a v a i l a b i l i t y i . e . , t h e l o s s - o f -
l o a d
p r o b a b i l i t y ) .
A
s i m i l a r
r e l a t i o n s h i p may
b e
w o r k e d
o u t f o r t h e
f r e q u e n c y c a l c u l a t i o n s .
T h e s e
a r e
a p p r o x i m a t e
s i n c e t h e y
a s s u m e
n o
c h a n g e
i n
m a i n t e n a n c e o u t a g e s
f o r t h e o l d
m a c h i n e s
a n d
t h a t t h e
n e w m a c h i n e
i s
n o t m a i n t a i n e d d u ri n g t h e
y e a r .
T h e t e c h n i q u e
f o r
c o n s t r u c t i n g
t h e
l o a d
m o d e l s u g g e s t e d b y
M r .
A d l e r
i s s i m i l a r t o
t h a t u s e d
b y
t h e a u t h o r s
a n d
t h e i r
a s s o c i a t e s .
T h a t
i s , h i s t o r i c a l l o a d d a t a a r e e x a m i n e d s t a t i s t i c a l l y
t o
e s t a b l i s h
p e r i o d i c
i . e . , m o n t h l y
o r
s e a s o n a l ) , p e r
u n i t
p e a k
l o a d
v a r i a t i o n
c u r v e s ,
a n d
m o n t h l y
o r
s e a s o n a l p e a k s
i n
p e r
u n i t o f
t h e
a n n u a l
p e a k .
T h e d a t a
r e q u i r e m e n t s a r e t h e n
p r i m a r i l y f o r t h e
a n n u a l p e a k
l o a d
f o r e c a s t s . I t
m i g h t
b e
o b s e r v e d t h a t
t h e l o a d
m o d e l o f t he p a p e r d o e s
n o t r e q u i r e t h a t
t h e
o c c u r r e n c e
N o f
a l o a d
l e v e l o f
L i
MW b e a n
i n t e g e r v a l u e . T h i s m i g h t b e u s e f u l
i n
s p e c i f y i n g t h e
p e a k
l o a d
v a r i a -
t i o n
c u r v e f r o m h i s t o r i c a l
d a t a s i n c e , f o r
i n s t a n c e , a
m o d e l f o r
a
3 0 - d a y
p e r i o d
m i g h t
i n c l u d e 3 5 l o a d l e v e l s . T h i s w o u l d p e r m i t
u s i n g
m o r e d a t a t o d e f i n e t h e h i g h e s t l o a d
l e v e l s
i n t h e p e a k v a r i a t i o n
c u r v e . T h e l o a d
m o d e l a l s o r e q u i r e s t h e s p e c i f i c a t i o n
o f
t h e mean
d u r a t i o n
e
o f
t h e
p e a k p e r i o d s .
T h i s
v a l u e i s a m a t t e r o f
j u d g m e n t ,
t o
b e
a r r i v e d
a t a f t e r
a
s u i t a b l e
s t u d y
o f
l o a d
c y c l e
d a t a .
V a l u e s
o f
f r o m 1 / 4
t o
o v e r 1 / 2
o f
a
d a y w o u l d s e e m t o b e a p p r o p r i a t e f o r
v a r i o u s d i f f e r e n t
s y s t e m s .
C o n c e r n i n g M r .
W a t c h o r n ' s
q u e s t i o n a b o u t r e p r e s e n t i n g
h y d r o
u n i t s a n d
p l a n t s ( e n e r g y l i m i t s a n d
h e a d e f f e c t s ) , we h a v e
n o t
i n c l u d e d
t h e s e p r o v i s i o n s i n t h e
a n a l y s i s .
H o w e v e r , we w o u l d l i k e
t o n o t e t h a t
t h e
f r e q u e n c y a n d d u r a t i o n m e t h o d w i l l h a n d l e t h e
s a m e
p r o b l e m s
t h a t may b e t r e a t e d
by
l o s s - o f - l o a d p r o b a b i l i t y .
We a g r e e
w i t h
M r .
W a t c h o r n
t h a t t h e e c o n o m i c c r i t e r i o n w o u l d
b e
b y f a r
t h e
m o s t m e a n i n g f u l
a i d
t o j u d g m e n t .
E v e n
s e p a r a t e
e c o n o m i c
c r i t e r i a f o r b u l k
p o w e r s u p p l y a n d f o r d i s t r i b u t i o n
s y s t e m s
w o u l d
b e
o f
much
v a l u e f o r
s y s t e m p l a n n i n g .
A g a i n we
w i s h
t o t h a n k t h e v a r i o u s
d i s c u s s e r s
f o r t h e i r c o n t r i b u -
t i o n s . I t
i s
g r a t i f y i n g
t o
o b s e r v e t h e
c o n t i n u i n g i n t e r e s t i n t h i s
a r e a .
D i g i t a l Computer S o l u t i o n
of
Electromagnetic
T r a n s i e n t s
in
Single- and
Multiphase
Networks
HERMANN
W. DOMMEL,
M E MBER,
I E E E
A b s t r a c t - E l e c t r o m a g n e t i c
t r a n s i e n t s
i n
a r b i t r a r y s i n g l e -
o r
m u l t i p h a s e
n e t w o r k s
a r e s o l v e d
b y
a
n o d a l
a d m i t t a n c e
m a t r i x
m e t h o d .
T h e f o r m u l a t i o n i s
b a s e d
o n
t h e m e t h o d o f
c h a r a c t e r i s t i c s
f o r d i s t r i b u t e d
p a r a m e t e r s
a n d
t h e
t r a p e z o i d a l
r u l e o f
i n t e g r a t i o n
f o r
l u m p e d p a r a m e t e r s . O p t i m a l l y
o r d e r e d
t r i a n g u l a r
f a c t o r i z a t i o n
w i t h
s p a r s i t y
t e c h n i q u e s
i s u s e d
i n
t h e
s o l u t i o n .
E x a m p l e s
a n d
p r o g r a m m i n g d e t a i l s
i l l u s t r a t e
t h e
p r a c t i c a l i t y
o f
t h e m e t h o d .
I .
I N T R O D U C T I O N
THIS
PAPER
d e s c r i b e s a
g e n e r a l
s o l u t i o n m e t h o d
f o r
f i n d i n g
t h e
t i m e
r e s p o n s e s
o f
e l e c t r o m a g n e t i c
t r a n s i e n t s
i n
a r b i t r a r y
s i n g l e -
o r
m u l t i p h a s e
n e t w o r k s w i t h
l u m p e d
a n d
d i s t r i b u t e d
p a r a m e t e r s .
A
c o m p u t e r p r o g r a m
b a s e d
o n
t h i s m e t h o d h a s
b e e n
u s e d
a t
t h e
B o n n e v i l l e
P o w e r
A d m i n i s t r a t i o n
( B P A )
a n d
t h e
M u n i c h
I n s t i t u t e
o f
T e c h n o l o g y ,
G e r m a n y ,
f o r
a n a l y z i n g
t r a n s i e n t s
i n
p o w e r s y s t e m s
a n d e l e c t r o n i c
c i r c u i t s
[ 1 ] ,
[ 2 ] .
P a p e r
6 8
TP
6 5 7 - P W R ,
r e c o m m e n d e d
a n d
a p p r o v e d
b y
t h e
P o w e r
S y s t e m E n g i n e e r i n g
C o m m i t t e e
o f
t h e I E E E P o w e r
G r o u p
f o r
p r e s e n t a t i o n
a t t h e
I E E E
Summer P o w e r
M e e t i n g , C h i c a g o ,
I l l . ,
J u n e
2 3 - 2 8 ,
1 9 6 8 .
M a n u s c r i p t
s u b m i t t e d
F e b r u a r y 1 2 ,
1 9 6 8 ;
made
a v a i l a b l e
f o r
p r i n t i n g
A p r i l 1 0 ,
1 9 6 8 .
T h e
e a r l y s t a g e s
o f
t h i s
w o r k
w e r e
s p o n s o r e d b y
t h e
G e r m a n R e s e a r c h A s s o c i a t i o n
( D e u t s c h e
F o r s c h u n g s g e m e i n s c h a f t )
w h i l e
t h e
a u t h o r
was w i t h t h e
M u n i c h
I n s t i t u t e
o f
T e c h n o l o g y .
T h e a u t h o r
i s
w i t h B o n n e v i l l e P o w e r
A d m i n i s t r a t i o n ,
P o r t -
l a n d ,
O r e .
Among t h e u s e f u l f e a t u r e s o f t h i s
p r o g r a m
a r e t h e i n i e l u s i o n o f
n o n l i n e a r i t i e s ,
a n y
n u m b e r o f s w i t c h i n g s d u r i n g t h e t r a n s i e n t
i n
a c c o r d a n c e
w i t h
s p e c i f i e d s w i t c h i n g
c r i t e r i a , s t a r t
f r o m a n y
n o n z e r o
i n i t i a l
c o n d i t i o n ,
a n d
g r e a t f l e x i b i l i t y i n
s p e c i f y i n g
v o l t a g e
a n d c u r r e n t
e x c i t a t i o n s
o f
v a r i o u s
w a v e f o r m s .
T h e d i g i t a l
c o m p u t e r c a n n o t g i v e a c o n t i n u o u s h i s t o r y o f t h e
t r a n s i e n t
p h e n o m e n a ,
b u t
r a t h e r
a
s e q u e n c e
o f
s n a p s h o t
p i c t u r e s
a t d i s c r e t e
i n t e r v a l s
A t . S u c h
d i s c r e t i z a t i o n
c a u s e s
t r u l n c a t i o n
e r r o r s w h i c h c a n
l e a d t o
n u m e r i c a l
i n s t a b i l i t Y
[ 3 ] . F o r t h i s
r e a s o n t h e t r a p e z o i d a l
r u l e
w a s
c h o s e n
f o r
i n t e g r a t i n g t h e
o r d i -
n a r y
d i f f e r e n t i a l
e q u a t i o n s o f l u m p e d i n d u c t a n c e s
a n d
c a p a c i -
t a n c e s ;
i t
i s
s i m p l e , n u m e r i c a l l y
s t a b l e ,
a n d
a c c u r a t e
e n o u g h
f o r
p r a c t i c a l p u r p o s e s .
B r a n c h e s w i t h d i s t r i b u t e d p a r a m e t e r s
a r e a s s u m e d t o b e
l o s s l e s s ;
t h e y
w i l l
b e c a l l e d l o s s l e s s l i n e s
h e r e a f t e r . By n e g l e c t i n g
t h e
l o s s e s
( w h i c h
c a n
b e a p p r o x i m a t e d v e r y
a c c u r a t e l y
i n
o t h e r
w a y s ,
a s
w i l l
b e
s h o w n )
a n
e x a c t
s o l u t i o n
c a n b e
o b t a i n e d w i t h
t h e
m e t h o d o f
c h a r a c t e r i s t i c s . T h i s
m e t h o d
h a s
p r i m a r i l y
b e e n
u s e d
i n
E u r o p e , w h e r e i t
i s
k n o w n
a s
B e r g e r o n ' s m e t h o d ;
i t
w a s
f i r s t
a p p l i e d t o
h y d r a u l i c p r o b l e m s
i n
1 9 2 8 a n d l a t e r t o e l e c t r i c a l
p r o b l e m s
( f o r h i s t o r i c
n o t e s s e e [ 5 ] ) . I t i s
w e l l
s u i t e d f o r d i g i t a l
c o m p u t e r s [ 6 ] - [ 8 ] .
I n
c o n t r a s t
t o t h e a l t e r n a t i v e l a t t i c e m e t h o d
f o r
t r a v e l i n g
w a v e
p h e n o m e n a
[ 9 ]
i t
o f f e r s i m p o r t a n t a d v a n t a ge s ;
f o r
e x a m p l e ,
n - o
r e f l e c t i o n
c o e f f i c i e n t s a r e
n e c e s s a r y
w h e n t h i s
m e t h o d i s u s e d .
3 8 8
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-
8/18/2019 Dommel Digitalcomputersolution
2/12
DOMMEL: COMPUTER SOLUTION OF ELECTROMAGNETIC
TRANSIENTS
T h e
m e t h o d o f c h a r a c t e r i s t i c s a n d t h e t r a p e z o i d a l r u l e c a n
e a s i l y b e
c o m b i n e d
i n t o a
g e n e r a l i z e d
a l g o r i t h m
c a p a b l e
o f
s o l v i n g t r a n s i e n t s
i n a n y
n e t w o r k
w i t h
d i s t r i b u t e d a s w e l l a s
l u m p e d p a r a m e t e r s . N u m e r i c a l l y
t h i s
l e a d s t o
t h e s o l u t i o n
o f
a
s y s t e m
o f l i n e a r
( n o d a l )
e q u a t i o n s
i n
e a c h
t i m e
s t e p . I t w i l l b e
s h o w n
t h a t l o s s l e s s l i n e s
c o n t r i b u t e
o n l y t o t h e d i a g o n a l
e l e m e n t s
o f t h e
a s s o c i a t e d m a t r i x ; o f f - d i a g o n a l e l e m e n t s r e s u l t o n l y f r o m
l u m p e d
p a r a m e t e r s .
T h u s
a
v e r y
f a s t
a n d
s i m p l e
a l g o r i t h m c a n
b e w r i t t e n w h e n l u m p e d p a r a m e t e r s a r e e x c l u d e d . H o w e v e r , n o
s u c h r e s t r i c t i o n s a r e i m p o s e d . I n s t e a d ,
t h e
r e c e n t
i m p r e s s i v e
a d v a n c e s
i n
s o l v i n g
l i n e a r
e q u a t i o n s b y
s p a r s i t y
t e c h n i q u e s
a n d
o p t i m a l l y o r d e r e d e l i m i n a t i o n
[ 1 0 ] h a v e b e e n
i n c o r p o r a t e d i n t o
a n
a l g o r i t h m w h i c h
a u t o m a t i c a l l y e n c o m p a s s e s t h e f a s t s o l u t i o n
o f t h e
r e s t r i c t e d
c a s e
a n d
y e t r e t a i n s
f u l l
g e n e r a l i t y .
I I . S OL U T I O N F O R
S I N G L E - P H A S E
N E T W O R K S
A
d i g i t a l
c o m p u t e r s o l u t i o n
f o r t r a n s i e n t s
i s n e c e s s a r i l y
a
s t e p - b y - s t e p
p r o c e d u r e t h a t p r o c e e d s
a l o n g
t h e t i m e a x i s w i t h
a
v a r i a b l e
o r f i x e d
s t e p
w i d t h
A t .
T h e l a t t e r
i s
a s s u m e d
h e r e .
S t a r t i n g
f r o m
i n i t i a l
c o n d i t i o n s
a t
t
=
0 , t h e
s t a t e
o f t h e
s y s t e m
i s - f o u n d a t
t =
A t ,
2 A t , 3 A t , . . . u n t i l
t h e
maximum t i m e
t m n
f o r
t h e
p a r t i c u l a r
c a s e h a s
b e e n
r e a c h e d .
W h i l e
s o l v i n g
f o r
t h e
s t a t e
a t t ,
t h e p r e v i o u s
s t a t e s a t
t
-
A t ,
t
-
2 A t ,
. . a r e k n o w n .
A
l i m i t e d
p o r t i o n o f t h i s p a s t h i s t o r y
i s n e e d e d
i n t h e m e t h o d
o f
c h a r a c t e r i s t i c s , w h i c h i s u s e d
f o r
l i n e s ,
a n d
i n
t h e t r a p e z o i d a l
r u l e o f
i n t e g r a t i o n ,
w h i c h
i s
u s e d f o r l u m p e d p a r a m e t e r s .
I n t h e
f i r s t c a s e i t
m u s t
d a t e b a c k
o v e r a
t i m e s p a n e q u a l t o t h e t r a v e l
t i m e
o f
t h e l i n e ;
i n
t h e
l a t t e r
c a s e ,
o n l y t o t h e p r e v i o u s s t e p .
W i t h
a
r e c o r d
o f
t h i s
p a s t h i s t o r y , t h e e q u a t i o n s
o f b o t h m e t h o d s
c a n b e
r e p r e s e n t e d
b y
s i m p l e e q u i v a l e n t i m p e d a n c e
n e t w o r k s .
A n o d a l
f o r m u l a t i o n
o f
t h e p r o b l e m i s t h e n
d e r i v e d
f r o m t h e s e
n e t w o r k s .
L o s s l e s s
L i n e
A l t h o u g h
t h e
m e t h o d
o f
c h a r a c t e r i s t i c s
i s
a p p l i c a b l e
t o
l o s s y
l i n e s , t h e
o r d i n a r y
d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w h i c h
i t p r o d u c e s
a r e
n o t d i r e c t l y i n t e g r a b l e
[ 8 ] . T h e r e f o r e , l o s s e s
w i l l b e n e g l e c t e d
a t
t h i s
s t a g e .
C o n s i d e r
a l o s s l e s s
l i n e w i t h
i n d u c t a n c e
L ' a n d
c a p a c i t a n c e
C ' p e r
u n i t
l e n g t h .
T h e n a t a
p o i n t
x
a l o n g
t h e l i n e
v o l t a g e
a n d
c u r r e n t
a r e
r e l a t e d
b y
( l a )
de/8x=
L ' I ( i / t )
-
a i / d
=
C '
( 9 e / o t ) .
T h e
g e n e r a l
s o l u t i o n ,
f i r s t g i v e n b y d ' A l e m b e r t ,
i s
i
x , t )
=
f l ( x -
v t )
+ f 2
( X
+
V t )
e
x , t )
=
Z
f ( x
-
V t )
-
Z - f 2 ( X
+
V t )
w i t h
f i
x
-
v t )
a n d
f 2 ( x +
v t )
b e i n g a r b i t r a r y
f u n c t i o n s
o f t h e
v a r i a b l e s
( x
-
v t )
a n d
( x + v t ) .
T h e
p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n
o f
f i
x
-
v t )
i s a wave
t r a v e l i n g
a t
v e l o c i t y
v
i n a
f o r w a r d d i r e c t i o n
a n d o f
f 2 ( x
+
v t )
a
w a v e t r a v e l i n g
i n
a
b a c k w a r d d i r e c t i o n .
Z i n
( 2 )
i s
t h e
s u r g e
i m p e d a n c e ,
v
i s t h e
p h a s e v e l o c i t y
Z
=
V / L / C 3 a )
v
=
1 / 1 V L C .
3 b )
M u l t i p l y i n g
( 2 a )
b y
Z a n d
a d d i n g i t
t o
o r
s u b t r a c t i n g
i t
f r o m
( 2 b ) g i v e s
e ( x ,
t ) +
Z
i ( x ,
t )
=
2Z
f i ( x
-
v t )
( 4 )
e ( x ,
t )
Z . i ( x ,
t )
=
- 2 Z . f 2 ( x
+
v t ) .
T E R M I N A L
k TERMINAL m
a )
i k m ( t )
i m
k t )
e k ( j
t
k
tr-)r)9 j e m j t )
b )
F i g . 1 . ( a ) L o s s l e s s l i n e . ( b ) E q u i v a l e n t i m p e d a n c e
n e t w o r k .
N o t e t h a t i n ( 4 ) t h e e x p r e s s i o n e
+
Z i )
i s c o n s t a n t
w h e n
( x
-
v t ) i s c o n s t a n t a n d
i n
( 5 ) e
-
Z i ) i s
c o n s t a n t
w h e n
( x + v t )
i s
c o n s t a n t .
T h e
e x p r e s s i o n s ( x
-
v t )
=
c o n s t a n t
a n d
( x
+
v t )
=
c o n s t a n t a r e c a l l e d t h e c h a r a c t e r i s t i c s
o f t h e
d i f f e r -
e n t i a l e q u a t i o n s .
T h e s i g n i f i c a n c e o f
( 4 )
may b e v i s u a l i z e d
i n
t h e
f o l l o w i n g
w a y : l e t
a
f i c t i t i o u s
o b s e r v e r
t r a v e l
a l o n g
t h e l i n e
i n a
f o r w a r d
d i r e c t i o n
a t v e l o c i t y
v .
T h e n ( x
-
v t )
a n d
c o n s e q u e n t l y e
+
Z i )
a lo n g t he
l i n e
w i l l
b e
c o n s t a n t f o r
h i m . I f
t h e t r a v e l
t i m e t o
g e t
f r o m o n e
e n d o f t h e
l i n e t o
t h e
o t h e r
i s
T
=
d / v
=
d V L ' C '
6 )
( d
i s
t h e
l e n g t h
o f
l i n e ) ,
t h e n t h e
e x p r e s s i o n e + Z i )
e n c o u n t e r e d
b y t h e
o b s e r v e r
w h e n h e
l e a v e s n o d e
m
a t
t i m e t
-
r m u s t s t i l l
b e t h e
s a m e
w h e n
h e
a r r i v e s a t
n o d e
k
a t
t i m e
t ,
t h a t
i s
e m
t
-
r )
+
Z i m , k t
-
r )
=
e k ( t )
+
Z Q ( - i k , m
t )
)
( c u r r e n t s a s
i n
F i g . 1 ) .
From
t h i s e q u a t i o n
f o l l o w s t h e
s i m p l e
t w o - p o r t e q u a t i o n
f o r
i k , m
i k , m t )
=
( I / Z ) e k ( t )
+
I k ( t
-
)
a n d
a n a l o g o u s
( 7 a )
? i m , k t )
=
( 1 / Z ) e m ( t )
+
I m ( t
-
)
w i t h
e q u i v a l e n t
c u r r e n t s o u r c e s
I k
a n d
i , m 7
w h i c h
a r e
k n o w n
a t
s t a t e t f r o m t h e
p a s t h i s t o r y
a t t i m e
t
- r ,
I k
t - r )
=
-
( 1 / Z ) e m t
-
r )
-
? , k t
-
r )
I m ( t
-
r )
= -
( 1 / Z ) e k ( t
-
r )
-
i k , m t
-
r ) .
( 7 b )
( l b )
F i g .
1
s h o w s
t h e
c o r r e s p o n d i n g
e q u i v a l e n t i m p e d a n c e n e t w o r k ,
w h i c h
f u l l y
d e s c r i b e s
t h e
l o s s l e s s l i n e
a t
i t s
t e r m i n a l s .
T o p o -
l o g i c a l l y
t h e t e r m i n a l s a r e n o t
c o n n e c t e d ;
t h e
c o n d i t i o n s
a t t h e
( 2 a )
o t h e r
e n d
are
o n l y
seen
i n d i r e c t l y
a n d
w i t h a
t i m e
d e l a y
r
t h r o u g h
t h e
e q u i v a l e n t
c u r r en t s o u r c e s
I .
( 2 b )
I n d u c t a n c e
F o r t h e i n d u c t a n c e
L o f a
b r a n c h
k c ,
m
( F i g .
2 )
w e
h a v e
ek-
em
=
L
( d i k , m / d t ) ( 8 a )
w h i c h m u s t b e
i n t e g r a t e d
f r o m
t h e
k n o w n s t a t e
a t
t
-
A t
t o
t h e
u n k n o w n
s t a t e
a t t :
i k , m ( t )
=
i k , m ( t
-
A t ) + e k
-
e m )
d t .
L
A t Z
( 8 b )
U s i n g
t h e
t r a p e z o i d a l
r u l e
o f
i n t e g r a t i o n y i e l d s
t h e
b r a n i c h
e q u a t i o n
i k , m
t )
=
( A t / 2 L )
e A k
t )
-
e m
t ) )
+
I k , m
t
-
A t )
( 9 a )
3 8 9
( 5 )
Authorized licensed use limited to: CSIRO LIBRARY SERVICES. Downloaded on June 16,2010 at 06:45:03 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.
-
8/18/2019 Dommel Digitalcomputersolution
3/12
I E E E
T R A N S A C T I O N S
O N
POWER A P P A R A T U S
A N D
S Y S T E M S ,
A P R I L
1 9 6 9
NODE k
- -
NODE
m
a )
I
k
t At )
Ikot)
R -
jm
DATUM
DATUM
b )
F i g .
2 . ( a )
I n d u c t a n c e . ( b )
E q u i v a l e n t i m p e d a n c e n e t w o r k .
i k m t )
l
0
l-V4V
-
+
I k t
R
e m R t )
DATUM
DATUM
F i g .
4 .
R e s i s t a n c e .
NODEk
4....° NODEm
a )
I k m ( t - A t
e k t
R
e m t
DATUM
DATUM
( b )
F i g . 3 .
( a ) C a p a c i t a n c e . ( b )
E q u i v a l e n t i m p e d a n c e
n e t w o r k .
2 )
1 )
I N I T I A L L Y :
]
T R I A N G U L A R
F A C T O R I Z A T I O N
HIN E A C H
T I ME S TE P:
2
FORWARD
S O L U T I O N
[ j
2 )
B A C K
S U B S T I T U T I O N
F i g .
5 . R e p e a t s o l u t i o n s
o f
l i l l e a r
e q u a t i o n s .
w h e r e t h e e q u i v a l e n t
c u r r e n t
s o u r c e
I k , m
i s
a g a i n
k n o w n
f r o m
t h e
p a s t h i s t o r y :
I k , , m ( t -
A t )
=
i k , m t
-
A t ) + ( A t / 2 L )
e k t
-
A t )
-
e m ( t
-
A t ) ) . ( 9 b )
T h e
d i s c r e t i z a t i o n w i t h
t h e t r a p e z o i d a l r u l e
p r o d u c e s
a t r u n -
c a t i o n e r r o r o f o r d e r
( A t ) 3 ; i f A t
i s
s u f f i c i e n t l y
s m a l l a n d c u t
i n
h a l f , t h e n t h e e r r o r c a n b e
e x p e c t e d t o
d e c r e a s e b y t h e
f a c t o r
1 / 8 .
N o t e t h a t t h e
t r a p e z o i d a l r u l e f o r
i n t e g r a t i n g ( 8 b )
i s
i d e n t i c a l
w i t h r e p l a c i n g t h e d i f f e r e n t i a l
q u o t i e n t
i n
( 8 a ) b y
a
c e n t r a l
d i f f e r e n c e q u o t i e n t
a t m i d p o i n t b e t w e e n t
-
A t )
a n d
t
w i t h l i n e a r i n t e r p o l a t i o n a s s u m e d
f o r
e .
T h e e q u i v a l e n t i m p e -
d a n c e
n e t w o r k c o r r e s p o n d i n g
t o ( 9 ) i s
s h o w n
i n
F i g .
2 .
C a p a c i t a n c e
F o r t h e
c a p a c i t a n c e
C
o f a
b r a n c h
k ,
m ( F i g .
3 ) t h e
e q u a t i o n
e k c t )
-em
=J
i , k , m t
)
d t
+
e k ¢ t
-
A t )
-
e m
( t
-
t
)
C
t _ ^
t
c a n
a g a i n
b e
i n t e g r a t e d
w i t h
t h e
t r a p e z o i d a l
r u l e , w h i c h y i e l d s
i k , m
t )
=
( 2 C / A t )
e k t )
-
e m
t )
) +
' k , m
t
-
A t )
( l O a )
w i t h t h e e q u i v a l e n t c u r r e n t
s o u r c e
I k , m
k n o w n f r o m t h e
p a s t
h i s t o r y :
I k , m ( t - A t )
=
i k , m ( t -
A t )
2 C / A t ) e k t
-
A t )
-
e m
t
-
A t ) ) . ( l O b )
An
e q u i v a l e n t
i m p e d a n c e n e t w o r k
i s
s h o w n
i n
F i g .
3 .
I t s
f o r m
i s i d e n t i c a l
w i t h t h a t
f o r
t h e i n d u c t a n c e .
T h e d i s c r e t i z a t i o n
e r r o r i s
a l s o t h e
s a m e
a s t h a t
f o r
t h e
i n d u c t a n c e .
R e s i s t a n c e
F o r c o m p l e t e n e s s
w e a d d t h e b r a n c h
e q u a t i o n f o r t h e
r e s i s t a n c e
F i g .
4 ) :
i k , m t )
=
( 1 / R )
( e k ( t )
-
e m ( t ) ) *
( 1 1 )
N o d a l
E q u a t i o n s
W i t h
a l l
n e t w o r k
e l e m e n t s r e p l a c e d b y e q u i v a l e n t
i m p e d a n c e
n e t w o r k s a s
i n
F i g s .
1 - 4 ,
i t i s v e r y s i m p l e t o
e s t a b l i s h t h e n o d a l
e q u a t i o n s
f o r
a n y
a r b i t r a r y
s y s t e m .
T h e p r o c e d u r e s
a r e w e l l
k n o w n
[ 3 ] a n d w i l l
n o t b e e x p l a i n e d
h e r e . T h e r e s u l t i s
a
s y s t e m
o f
l i n e a r a l g e b r a i c
e q u a t i o n s
t h a t
d e s c r i b e s
t h e s t a t e o f t h e
s y s t e m
a t
t i m e
t :
( 1 2 )
w i t h
[ Y ]
n o d a l c o n d u c t a n c e
m a t r i x
[ e
( t ) ]
c o l u m n v e c t o r o f
n o d e v o l t a g e s a t t i m e t
[ i
( t ) ] c o l u m n
v e c t o r o f i n j e c t e d
n o d e
c u r r e n t s a t t i m e t
( s p e c i f i e d
c u r r e n t s o u r c e s
f r o m
d a t u m
t o n o d e )
[ I ]
k n o w n
c o l u m n
v e c t o r ,
w h i c h i s m a d e
u p o f
k n o w n
e q u i v a l e n t
c u r r e n t s o u r c e s
I .
N o t e t h a t t h e r e a l
s y m m e t r i c c o n d u c t a n c e
m a t r i x
[ Y ]
r e m a i n s
u n c h a n g e d
a s l o n g
a s
A t r e m a i n s
u n c h a n g e d .
I t i s ,
t h e r e f o r e ,
p r e f e r a b l e , t h o u g h
n o t
m a n d a t o r y ,
t o
w o r k w i t h f i x e d s t e p w i d t h
A t .
T h e
f o r m a t i o n
o f
[ Y ]
f o l l o w s t h e
r u l e s f o r
f o r m i n g
t h e
n o d a l
a d m i t t a n c e m a t r i x
i n
s t e a d y - s t a t e
a n a l y s i s .
I n
( 1 2 )
p a r t
o f t h e
v o l t a g e s w i l l b e
k n o w n ( s p e c i f i e d
e x c i t -
a t i o n s )
a n d t h e o t h e r s
w i l l
b e
u n k n o w n .
L e t t h e n o d e s
b e s u b -
d i v i d e d i n t o
a
s u b s e t
A
o f n o d e s w i t h
u n k n o w n v o l t a g e s
a n d a
s u b s e t
B
o f n o d e s w i t h
k n o w n
v o l t a g e s .
S u b d i v i d i n g
t h e m a t r i c e s
a n d
v e c t o r s
a c c o r d i n g l y , w e g e t f r o m ( 1 2 )
L Y A A ] [ Y A B ]
[ e A t ) ] i A
( t ) ]
I A ]
[ C Y B A ] [ Y B B ]
[ e B t ) ] [ i B
t 0 ]
_ C I B ]
f r o m w h i c h
t h e u n k n o w n v e c t o r
E e A
( t ) ]
i s
f o u n d
b y
s o l v i n g
[ Y A A ] [ e A
t ) ]
=
[ I t o t a ]
-
[ Y A B ] [ e B
t ) ] 1 3 )
w i t h
E I t o t a i
] I = U i A
t
-
E I A
] .
T h i s a m o u n t s t o t h e s o l u t i o n
o f
a
s y s t e m
o f l i n e a r e q u a t i o n s
i n
e a c h
t i m e
s t e p
w i t h
a
c o n s t a n t
c o e f f i c i e n t
m a t r i x
[ Y A A ] , p r o -
v i d e d A t i s n o t
c h a n g e d .
T h e
r i g h t
s i d e s
i n
( 1 3 )
m u s t
b e r e c a l c u -
l a t e d
i n
e a c h
t i m e
s t e p .
P r a c t i c a l C o m p u t a t i o n
E q u a t i o n ( 1 3 )
i s
b e s t
s o l v e d
b y
t r i a n g u l a r
f a c t o r i z a t i o n
o f
t h e
a u g m e n t e d
m a t r i x
[ Y A A ] , [ Y A B ]
o n c e
a n d f o r
a l l
b e f o r e
e n t e r i n g
t h e t i m e
s t e p l o o p .
T h e s a m e
p r o c e s s
i s
t h e n e x t e n d e d
t o
t h e
v e c t o r
[ I t o t a l ]
i n
e a c h t i m e
s t e p
i n
t h e s o - c a l l e d
f o r w a r d
s o l u t i o n ,
f o l l o w e d
b y
b a c k
s u b s t i t u t i o n
t o
g e t
[ e A t ) ] ,
a s
i n d i -
390
E Y l e
t )
I E i
t )
I
E I I
Authorized licensed use limited to: CSIRO LIBRARY SERVICES. Downloaded on June 16,2010 at 06:45:03 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.
-
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4/12
D O M M E L : C O M P U T E R
S O L U T IO N O F
E L E C T R O M A G N E T I C
T R A N S I E N T S
c a t e d
i n
F i g .
5 . O n l y a
f e w
e l e m e n t s
i n
[ Y A A ] ,
[ Y A B ]
a r e n o n -
z e r o ; t h i s s p a r s i t y i s
e x p l o i t e d
b y
s t o r i n g
o n l y
t h e n o n z e r o
e l e m e n t s
o f
t h e t r i a n g u l a r i z e d
m a t r i x . T h e
s a v i n g s i n c o m p u t e r
t i m e
a n d
s t o r a g e
r e q u i r e m e n t s
c a n
b e o p t i m i z e d
w i t h
a n
o r d e r e d
e l i m i n a t i o n s c h e m e
[ 1 0 ] .
S h o u l d t h e
n o d e s b e c o n n e c t e d
e x c l u s i v e l y v i a
l o s s l e s s
l i n e s ,
w i t h
l u m p e d
p a r a m e t e r s
R , L ,
C o n l y
f r o m
n o d e s t o
d a t u m ,
t h e n
[ Y A A ]
b e c o m e s
a
d i a g o n a l m a t r i x .
I n
t h i s
c a s e t h e
e q u a t i o n s
c o u l d
b e
s o l v e d s e p a r a t e l y n o d e
b y n o d e .
S o m e p r o g r a m s
a r e
b a s e d
o n t h i s r e s t r i c t e d
t o p o l o g y . H o w e v e r ,
t h e s p a r s i t y t e c h -
n i q u e l e n d s
i t s e l f a u t o m a t i c a l l y
t o t h i s s i m p l i f i c a t i o n
w i t h o u t
h a v i n g
t o
r e s t r i c t t h e g e n e r a l i t y
o f t h e
n e t w o r k
t o p o l o g y .
T h e c o n s t r u c t i o n o f
t h e c o l u m n v e c t o r
[ ' t o t a l ] i s m a i n l y
a
b o o k k e e p i n g p r o b l e m .
E x c i t a t i o n s i n
t h e
f o r m
o f
s p e c i f i e d c u r r e n t
s o u r c e s
[ i A ( t ) ]
a n d t h e p a s t h i s t o r y i n f o r m a t i o n
i n - [ I A ] a r e
e n t e r e d i n t o
[ E t o t a l ]
b e f o r e g o i n g i n t o
t h e
f o r w a r d
s o l u t i o n ;
a f t e r
[ I t o t a l ] h a s b e e n b u i l t ,
u s i n g
t h e
s t i l l
a v a i l a b l e
v o l t a g e s
f r o m
t h e p r e v i o u s t i m e
s t e p ,
s p e c i f i e d
v o l t a g e s o u r c e s
[ e B
t ) ]
a r e
e n t e r e d i n t o
[ e
( t ) ] . E x c i t a t i o n
v a l u e s may
b e
r e a d f r o m
c a r d s s t e p - b y - s t e p
o r c a l c u l a t e d f r o m n
s t a n d a r d i z e d
f u n c t i o n s
( s i n u s o i d a l c u r v e ,
r e c t a n g u l a r w a v e ' , e t c . ) . T h e e x c i t a t i o n s
may
b e
a n y
c o m b i n a t i o n
o f
v o l t a g e
a n d
c u r r e n t
s o u r c e s , o r t h e r e
may
b e
n o
e x c i t a t i o n
a t a l l
e . g . ,
d i s c h a r g e o f
c a p a c i t o r b a n k s ) .
A f t e r h a v i n g f o u n d
E e A
t ) ] ,
t h e p a s t h i s t o r y r e c o r d s
a r e u p d a t e d
w h i l e c o n s t r u c t i n g t h e v e c t o r
[ E t o t a l ]
f o r
t h e
n e x t
t i m e s t e p
( s e e
f l o w
c h a r t
i n
F i g .
6 ) . S o m e
p r a c t i c a l h i n t s a b o u t
r e c o r d i n g
t h e p a s t
h i s t o r y
a n d
a b o u t
n o n z e r o i n i t i a l
c o n d i t i o n s may
b e
f o u n d
i n
A p p e n d i x e s
I a n d
I I .
A p p r o x i m a t i o n
o f S e r i e s
R e s i s t a n c e o f
L i n e s
T h e s i m p l i c i t y
o f
t h e
m e t h o d
o f c h a r a c t e r i s t i c s
r e s t s o n t h e
f a c t
t h a t l o s s e s
a r e
n e g l e c t e d .
T h i s s i m p l i c i t y a l s o
h o l d s
f o r t h e
d i s t o r t i o n l e s s l i n e ,
w h e r e
R ' / L '
=
G ' / C '
( R '
i s
t h e
s e r i e s
r e -
s i s t a n c e
a n d G '
t h e
s h u n t c o n d u c t a n c e
p e r
u n i t
l e n g t h ) ;
t h e
o n l y
d i f f e r e n c e
i s
i n
c o m p u t i n g
I k
( a n d a n a l o g o u s I m ) :
I k ( t -
T )
=
e x p
( -
( R ' / L ' ) r )
( -
( 1 / Z ) e m ( t -
T )
- i m , k ( t
- T ) ) .
U n f o r t u n a t e l y , p o w e r
l i n e s
a r e
n o t
d i s t o r t i o n l e s s ,
s i n c e
G ' i s
u s u a l l y
n e g l i g i b l e
( o r
a
v e r y c o m p l i c a t e d
f u n c t i o n
o f
v o l t a g e
i f
c o r o n a
i s t o
b e t a k e n i n t o a c c o u n t ) .
T h e
d i s t r i b u t e d
s e r i e s
r e s i s t a n c e
w i t h
G '
=
0
c a n
e a s i l y
b e
a p p r o x i m a t e d
b y t r e a t i n g
t h e
l i n e
a s
l o s s l e s s
a n d
a d d i n g l u m p e d
r e s i s t a n c e s
a t
b o t h e n d s . S u c h l u m p e d
r e s i s t a n c e s
c a n
b e i n s e r t e d
i n
many p l a c e s
a l o n g
t h e
l i n e w h e n
t h e
t o t a l
l e n g t h
i s
d i v i d e d
i n t o many
l i n e
s e c t i o n s .
I n t e r e s t i n g l y ,
a l l
c a s e s
t e s t e d
s o
f a r
s h o w e d
n o n o t i c e a b l e d i f f e r e n c e b e t w e e n
l u m p e d
r e s i s t a n c e s
i n s e r t e d
i n
f e w o r
i n
many
p l a c e s .
T h e v o l t a g e
p l o t
i n
F i g .
1 3
w a s
p r a c t i c a l l y
i d e n t i c a l
f o r
l u m p e d
r e s i s t a n c e s
i n s e r t e d
i n
3 ,
6 5 ,
a n d
3 0 0
p l a c e s .
I n
i t s
p r e s e n t
f o r m ,
B P A ' s
p r o g r a m
a u t o -
m a t i c a l l y
l u m p s R / 4
a t
b o t h
e n d s a n d
R / 2
a t
t h e
m i d d l e
o f
t h e
l i n e ( R
i s
t h e t o t a l s e r i e s r e s i s t a n c e ) ;
u n d e r t h e s e a s s u m p t i o n s
t h e
e q u i v a l e n t i m p e d a n c e
n e t w o r k
o f
F i g .
1
i s
s t i l l v a l i d
a n d
o n l y
t h e v a l u e s
c b a n g e s l i g h t l y
I , , , a n a l o g o u s
t o
I k ) :
Z
\=
L ' / C '
+
1
R
I k t
-
r )
=
( ( 1
+ h ) / 2 )
{ I k
f r o m
e q .
( 7 b ) }
+
(
( 1
- h ) / 2 )
{ I m
f r o m
e q .
7 b ) }
1
S i n c e
t h e
t r a p e z o i d a l
r u l e
i s
b a s e d
o n
l i n e a r
i n t e r p o l a t i o n ,
a
r e c t a n g u l a r
wave
o f
a m p l i t u d e
y
w i l l
a l w a y s
b e
i n t e r p r e t e d
a s
h a v i n g
a
f i n i t e
r a t e
o f
r i s e
y / A t
i n t h e f i r s t
s t e p
i n
t h e
p r e s e n c e
o f
l u m p e d
i n d u c t a n c e s
a n d
c a p a c i t a n c e s .
READ
D A T A ;
S E T
I N I T I A L C O N D I T I O N S ;
t 1 O
B U I L D U P P E R P A R T
O F
T R I A N G U L A R
M A T R I X
B U I L D R E D U C E D
M A T R I X
. I
| C H E C K
S W I T C H E S
F O R
CHANGES
T
-
- ~ ~ Y E S
AVE ANY SWITCH
POSITIONS CHANGED?
j
NO
( I S
T H I S
I
S
I N O L
A L T E R
R E D U C E D M A T R I X F O R S P E C I F I C
S W I T C H
P O S I T I O N S ;
B U I L D LOWER
PART
OF
TRIANGULAR
MATRIX
I F
N O N L I N E A R E L E M E N T S :
F I N D V E C T O R
I
Z
]
UPDATE
PAST
H I S T O R Y ,
ENTER
- [ I A ]
I N T O
I t
t , n l
AND OUTPUT
DESIRED
CURRENTS
LOWER
PART OF TRIANGULAR
MATRIX
*
B A C K
S - U B S T I T U T I O N ;
e j =
e i
I F
S W I T C H
j - i
C L O S E D
AND
i > j
i I F N O N L I N E A R
E L EM E N T S : C O R R EC T
V O L T A G E S
O U T P U T
V O L T A G E S
F i g . 6 .
F l o w
c h a r t f o r t r a n s i e n l t s
p r o g r a m .
w i t h
=(Z
-4R)/
( Z
+
4 R ) -
T h e
r e a l
c h a l l e n g e
f o r
a b e t t e r
l i n e
r e p r e s e n t a t i o n
i s
t h e f r e -
q u e n c y
d e p e n d e n c e
o f
R '
a n d
L ,
w h i c h r e s u l t s
f r o m s k i n
e f f e c t s
i n t h e
e a r t h
r e t u r n
[ 1 1 ]
a n d
i n
t h e
c o n d u c t o r s ;
BP A
p l a n s
t o
e x p l o r e
t h i s
f u r t h e r
( s e e
S e c t i o n
I V ) .
S w i t c h e s
T h e
n e t w o r k may
i n c l u d e
a n y
n u m b e r
o f
s w i t c h e s ,
w h i c h
may
c h a n g e
t h e i r
p o s i t i o n s
i n
a c c o r d a n c e
w i t h
d e f i n e d
c r i t e r i a .
T h e y
a r e r e p r e s e n t e d
a s
i d e a l
( R
=
0 w h e n c l o s e d
a n d R
= o o
w h e n
o p e n ) ;
h o w e v e r ,
a n y
b r a n c h e s may
b e
c o n n e c t e d
i n
s e r i e s
o r
p a r a l l e l
t o
s i m u l a t e
p h y s i c a l p r o p e r t i e s
e . g . ,
t i m e - v a r y i n g
o r
c u r r e n t - d e p e n d e n t
r e s i s t a n c e ) .
3 9 1
Authorized licensed use limited to: CSIRO LIBRARY SERVICES. Downloaded on June 16,2010 at 06:45:03 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.
-
8/18/2019 Dommel Digitalcomputersolution
5/12
I E E E
T R A N S A C T I O N S
ON POWER
APPARATUS
AND
SYSTEMS,
APRIL
1969
SE T
A
SE T 8
WITHOUT
SWITCHES
LOWER
PART
RIANGULA
MATRIX
SWITCHES
MATRIX
( a )
( b )
F i g . 7 .
S h a d e d
areas
s h o w
c o m p u t a t i o n .
( a )
I n i t i a l l y .
( b ) A f t e r
e a c h
c h a n g e .
I Y A A ]
[ C Z I ]
[ J Z . ]
0 .
I
z : r ]
[
Z
F i g .
9 . D i s c o n i i e c t e d
s u b n e t w o r k s
i n
[ Y A A 1 -
W i t h
o n l y
o n e s w i t c h
i n
t h e
n e t w o r k , i t
i s
b e s t
t o
b u i l d
t h e
m a t r i x
f o r
t h e s w i t c h
o p e n
a n d t o s i m u l a t e
t h e c l o s e d
p o s i t i o n
w i t h s u p e r i m p o s e d
n o d e
c u r r e n t s [ 2 ] .
W i t h
m o r e
s w i t c h e s
i n
t h e
n e t w o r k ,
i t i s
p r e f e r a b l e
t o b u i l d [ Y A A ] ,
[ Y A B ]
a n e w
e a c h
t i m e
a c h a n g e
o c c u r s .
H o w e v e r ,
i t
i s
n o t n e c e s s a r y
t o
r e p e a t
t h e
e n t i r e
t r i a n g u l a r
f a c t o r i z a t i o n w i t h
e a c h c h a n g e .
N o d e s
w i t h
s w i t c h e s
c o n n e c t e d
a r e
a r r a n g e d
a t
t h e
b o t t o m
( F i g .
7 ) .
T h e n
t h e t r i a n g u l a r
f a c t o r i z a t i o n
i s
c a r r i e d
o u t
o n l y
f o r n o d e s
w i t h o u t
s w i t c h e s ( u p p e r
p a r t
o f
t r i a n g u l a r
m a t r i x ) .
T h i s a l s o y i e l d s
a
r e d u c e d
m a t r i x
f o r t h e n o d e s
w i t h s w i t c h e s
( a s s u m e d
t o
b e
o p e n ) .
W h e n e v e r
a
s w i t c h p o s i t i o n
c h a n g e s ,
t h i s r e d u c e d
m a t r i x
i s f i r s t
m o d i f i e d
t o
r e f l e c t
t h e a c t u a l
s w i t c h
p o s i t i o n s
i f
c l o s e d :
a d d i t i o n
o f
r e s p e c t i v e
r o w s
a n d
c o l u m n s
a n d
r e t e n t i o n o f
t h e
h i g h e r
n u m b e r e d
n o d e
i n
p l a c e
o f
t w o
n o d e s ) ,
t h e n
t h e
t r i a n g u l a r
f a c t o r i z a t i o n
i s
c o m p l e t e d
( l o w e r
p a r t
o f
t r i a n g u l a r
m a t r i x ) .
T h i s
s c h e m e
i s i n c l u d e d
i n
t h e
f l o w c h a r t
o f
F i g .
6 .
N o n l i n e a r
a n d T i m e - V a r y i n g
P a r a m e t e r s
W i t h
o n l y
o n e
n o n l i n e a r
p a r a m e t e r
i n t h e
n e t w o r k ,
t h e
s o -
l u t i o n
c a n b e
k e p t
e s s e n t i a l l y
l i n e a r
b y
c o n f i n i n g
t h e
n o n l i n e a r
a l g o r i t h m
( u s u a l l y
a n i t e r a t i v e p r o c e d u r e )
t o t h e b r a n c h
w i t h
t h e
n o n l i n e a r
p a r a m e t e r .
T o
a c c o m p l i s h
t h i s
t h e n o n l i n e a r
p a -
r a m e t e r
i s
n o t i n c l u d e d
i n
t h e m a t r i x ;
i t s
c u r r e n t
i k , m
i s
s i m u l a t e d
w i t h
t w o
a d d i t i o n a l
n o d e
c u r r e n t s :
i .
=
i k , m
a n d
i k
=
i k , m
L e t
[ z ]
b e
t h e
p r e c a l c u l a t e d
d i f f e r e n c e
o f
t h e
m t h
a n d
k t h
c o l u m n s
o f
[ Y A A J - ' ,
w h i c h
i s
r e a d i l y
o b t a i n e d
w i t h
a
r e p e a t
s o l u t i o n
o f
( 1 3 ) b y
s e t t i n g
[ t o t a l ]
=
{ 0 ,
e x c e p t
+ 1 . 0
i n
m t h
a n d
- 1 . 0
i n
k t h
c o m p o n e n t }
a n d
[ e B ( t ) ]
=
0 .
I g n o r i n g
t h e
n o n l i n e a r
p a r a m e t e r
a t f i r s t ,
w e
g e t [ e A l i n e a r )
t ) ]
f r o m
( 1 3 ) ;
t h e
f i n a l s o l u t i o n
f o l l o w s
f r o m
s u p e r i m p o s i n g
t h e
t w o
a d d i t i o n a l
c u r r e n t s
i k
=
i m
=
- i k , m :
[ e A
t )
]
=
E e A l i n e a r )
t])
+ E Z ] .
i k m
t ) .
( 1 4 )
T h e
v a l u e i k m
i n
( 1 4 )
i s
f o u n d
b y
s o l v i n g
t w o
s i m u l t a n e o u s
e q u a t i o n s ,
t h e
l i n e a r
n e t w o r k
e q u a t i o n
( T h e v e n i n
e q u i v a l e n t )
e
ek t)
e e k
)
-
e m l i n r )
()
+
( Z k
-
Z m )
i k , m ( t )
( 1 5 )
E Q
E Q
F i g .
8 .
S o l u t i o n
f o r
n o n l i n e a r
p a r a m e t e r .
I - -
4
0
l r:
Q
C D
et
F i g . 1 0 .
I n f l u e n c e
o f
A t .
a n d
t h e n o n l i n e a r
e q u a t i o n
i n t h e f o r m
o f
t h e g i v e n
c h a r a c t e r i s t i c ,
e k ( t )
e m ( t )
=
f ( i k , m ( t ) ) .
( 1 6 a )
B P A ' s
p r o g r a m
r e p r e s e n t s
t h e
n o n l i n e a r
c h a r a c t e r i s t i c
p o i n t - b y -
p o i n t
a s p i e c e w i s e
l i n e a r
( F i g . 8 ) ,
b u t
a n y m a t h e m a t i c a l
f u n c t i o n
c o u l d
b e
u s e d i n s t e a d .
T h e n o n l i n e a r
c h a r a c t e r i s t i c
( 1 6 a ) i s
t h a t o f
a
n o n l i n e a r ,
c u r r e n t - d e p e n d e n t
r e s i s t a n c e .
- I f i t
i s t o
r e p r e s e n t
a l i g h t n i n g
a r r e s t e r ,
t h e n
i k , m
=
0
u n t i l
e k l i n e a I )
t )
-
e m I i n e a r ) t ) I
r e a c h e s
t h e
s p e c i f i e d
b r e a k d o w n
v o l t a g e
o f t h e
a r r e s t e r .
F o r a t i m e - v a r y i n g
r e s i s t a n c e ,
( 1 6 a ) m u s t
b e r e p l a c e d
b y t h e
s i m p l e r
e q u a t i o n
e k
t
)
-
e m
t
)
=
R
( l R
)
*
i k , m
t
)
( 1 6 b )
w h e r e
R
t R )
i s
g i v e n
a s
a f u n c t i o n
o f t h e t i m e
t R
e . g . ,
i n
t h e
f o r m o f
a
t a b l e ) .
T h e t i m e c o u n t
t R may
b e i d e n t i c a l
w i t h t h e
t i m e
t
o f t h e
t r a n s i e n t
s t u d y ,
o r i t
may s t a r t
l a t e r a c c o r d i n g
t o a
d e f i n e d c r i t e r i o n .
T h e
c h a r a c t e r i s t i c
o f a n o n l i n e a r
i n d u c t a n c e
i s u s u a l l y
s p e c i f i e d
a s
4 1
=
f
i k , m ) .
T h e t o t a l
f l u x i s
V
t )
=
e k
t )
-
e m
t ) )
d t
+
0 ) .
W i t h t h e
t r a p e z o i d a l
r u l e
o f
i n t e g r a t i o n
t h i s
b e c o m e s
e k
t )
-
e m
t )
=
2 / A t ) f
i k , m t ) )
-
c
( t -
A t ) ,
( 1 6 c )
w h i c h s i m p l y r e p l a c e s
( 1 6 a ) .
T h e
v a l u e c
m u s t
b e
u p d a t e d
w i t h
c
0 )
=
( 2 / A t )
< 0 )
+
e l ( 0 )
-
e m ( 0 )
a n d
t h e n
r e c u r s i v e l y
c
t
-
A t )
=
c
t
-
2 A t )
+
2
e k
t
-
A t )
-
e
t
-
A t ) ) .
G e n e r a l l y ,
w h e n
a n e t w o r k
c o n t a i n s
m o r e
t h a n o n e
n o n l i n e a r
p a r a m e t e r ,
t h e
e n t i r e
p r o b l e m
b e c o m e s
n o n l i n e a r
a n d
i t s
i t e r a t i v e
s o l u t i o n
q u i t e
l e n g t h y .
T h e
a l g o r i t h m
r e m a i n s s i m p l e ,
h o w e v e r ,
i f
t h e n e t w o r k
i s
t o p o l o g i c a l l y
d i s c o n n e c t e d
i n t o s u b n e t w o r k s ,
e a c h
c o n t a i n i n g
o n l y
o n e
n o n l i n e a r
p a r a m e t e r .
D i s c o n n e c t i o n s
g i v e
[ Y A A ]
a
d i a g o n a l
s t r u c t u r e
w i t h
s u b m a t r i c e s
o n t h e
d i a g o n a l
( F i g .
9 ) .
N o t e
t h a t t o p o l o g i c a l
d i s c o n n e c t i o n s
a r e
q u i t e
l i k e l y
i n
n e t w o r k s
c o n t a i n i n g
l o s s l e s s l i n e s ,
s i n c e
t h e y ,
a s w e l l
a s
l u m p e d
p a r a m e t e r s
f r o m
n o d e
t o
d a t u m
o r
t o
n o d e s w i t h
k n o w n
3 9 2
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6/12
DOMMEL: COMPUTER SOLUTION OF ELECTROMAGNETIC TRANSIENTS
v o l t a g e , d o
n o t
i n t r o d u c e
o f f - d i a g o n a l e l e m e n t s i n t o [ Y A A ] . F o r
e a c h s u b n e t w o r k t h e r e i s a n i n d e p e n d e n t e q u a t i o n ( 1 5 )
a n d e a c h
v e c t o r [ z ] h a s z e r o s
o u t s i d e
o f t h a t
s u b n e t w o r k . ( F i g . 9 s y m -
b o l i z e s
n o n l i n e a r
p a r a m e t e r s
I - I V i n f o u r e f f e c t i v e l y d i s c o n n e c t e d
s u b n e t w o r k s . )
T h e r e f o r e e a c h n o n l i n e a r
p a r a m e t e r
c a n b e t r e a t e d
s e p a r a t e l y a n d e x a c t l y a s
a b o v e .
I n
t h e s u p e r p o s i t i o n ( 1 4 ) ,
e a c h
s u b n e t w o r k w i l l h a v e
i t s
o w n
[ z ]
a n d
i k , m .
H o w e v e r ,
i t i s
p o s s i b l e t o c o m p r e s s t h e s e c o l u m n s
E z r ] - [ z i v ]
i n
F i g .
9 )
i n t o
o n e
s i n g l e
c o l u m n ,
i f a n
a d d r e s s
c o l u m n
i s
a d d e d
t o
i n d i c a t e
t h e
n u m b e r
o f t h e
s u b n e t w o r k ;
t h e l a t t e r i s
n e c e s s a r y
t o
i n s e r t
t h e
r i g h t
c u r r e n t i k , m
i n t o
( 1 4 ) .
B P A ' s
p r o g r a m
a u t o m a t i c a l l y
c h e c k s
f o r
v i o l a t i o n s o f t h e d i s c o n n e c t i o n
r u l e
w h i l e
c o m p u t i n g
t h i s
s i n g l e
c o l u m n
t o g e t h e r
w i t h
t h e
a d d r e s s
c o l u m n .
A c c u r a c y
T o a r r i v e a t ( 1 3 ) , a p p r o x i m a t i o n s
h a v e t o b e m a d e o n l y f o r
l u m p e d i n d u c t a n c e s a n d
c a p a c i t a n c e s . L o s s l e s s l i n e s
a n d
r e -
s i s t a n c e s
a r e t r e a t e d
r i g o r o u s l y .
I n
p r a c t i c e , a
t r u n c a t i o n
e r r o r i s i n t r o d u c e d b y
a
l o s s l e s s
l i n e
w h e n e v e r
i t s t r a v e l
t i m e
- r
i s n o t
a n
i n t e g e r m u l t i p l e
o f
A t .
T h e n
s o m e k i n d o f i n t e r p o l a t i o n
b e c o m e s
n e c e s s a r y
i n
c o m p u t i n g
I k ( t
-
r )
a n d
I m
t
-
- ) .
O n e
o p t i o n
i n
B P A ' s
p r o g r a m
u s e s
l i n e a r
i n t e r p o l a t i o n ,
b e c a u s e
i n m o s t
p r a c t i c a l
c a s e s t h e
c u r v e s
e ( t )
a n d
i ( t ) a r e
s m o o t h
r a t h e r
t h a n
d i s c o n t i n u o u s .
F o r
c a s e s
w i t h
e x p e c t e d
d i s c o n t i n u i t i e s ,
a n o t h e r
o p t i o n
r o u n d s
t h e t r a v e l
t i m e
r
t o
t h e
n e a r e s t i n t e g e r m u l t i p l e
o f A t . B o t h
o p t i o n s
r a i s e
t r a v e l t i m e s r
<
A t t o
A t ;
o t h e r w i s e
t h e
e q u i v a l e n t i m p e d a n c e
n e t w o r k
o f
F i g .
1 c o u l d n o t b e
u s e d a n y
m o r e .
T h e
t r a p e z o i d a l r u l e o f i n t e g r a t i o n ,
u s e d
f o r
l u m p e d
i n -
d u c t a n c e s a n d
c a p a c i t a n c e s ,
i s
c o n s i d e r e d t o b e
a d e q u a t e
f o r
p r a c t i c a l p u r p o s e s , e s p e c i a l l y
i f t h e n e t w o r k
h a s
o n l y
a
f e w
l u m p e d
p a r a m e t e r s . C o m p a r e d
w i t h t h e a l t e r n a t i v e o f s t u b l i n e
a p p r o x i m a t i o n s
[ 9 ] ,
t h e
r e s u l t s a r e m o r e
a c c u r a t e . I t
i s w e l l
k n o w n
t h a t t h e
t r a p e z o i d a l r u l e
i s
n u m e r i c a l l y
s t a b l e
a n d
h a s
a l m o s t i d e a l r o u n d - o f f
p r o p e r t i e s [ 1 2 ,
p . 1 1 9 ] .
When t h e
s t e p -
w i d t h
A t
i s
c h o s e n
s u f f i c i e n t l y
s m a l l
t o
g i v e
g o o d
c u r v e
p l o t s
( p o i n t s n o t
s p a c e d
t o o
w i d e l y ) ,
l i n e a r
i n t e r p o l a t i o n ,
o n w h i c h
t h e
t r a p e z o i d a l
r u l e i s
b a s e d ,
s h o u l d
b e a
g o o d a p p r o x i m a t i o n .
B o t h r e q u i r e m e n t s
g o
h a n d
i n h a n d .
T h e
c h o i c e
o f A t
i s
n o t
c r i t i c a l a s l o n g a s
t h e
o s c i l l a t i o n s
o f
h i g h e s t
f r e q u e n c y
a r e s t i l l
r e p r e s e n t e d b y a n
a d e q u a t e
n u m b e r o f
p o i n t s . C h a n g i n g
A t
i n f l u e n c e s p r i m a r i l y
t h e
p h a s e p o s i t i o n
o f
t h e
h i g h - f r e q u e n c y
o s c i l l a t i o n s ;
t h e
a m p l i t u d e
r e m a i n s
p r a c t i c a l l y u n c h a n g e d
( s e e
F i g .
1 0
w h i c h
r e s u l t e d f r o m
a n
e x a m p l e
s i m i l a r
t o t h a t o f
F i g . 1 2 ) .
H i g h e r a c c u r a c y
c o u l d b e o b t a i n e d
w i t h
t h e
R i c h a r d s o n e x -
t r a p o l a t i o n [ 1 2 , p .
1 1 8 ] .
H e r e ,
t h e
i n t e g r a t i o n
f r o m
t
-
A t )
t o t w o u l d b e
c a r r i e d
o u t
t w i c e ,
w i t h
A t i n
o n e
s t e p
a n d
w i t h
A t / 2 i n
t w o
s t e p s , a n d b o t h
r e s u l t s
e x t r a p o l a t e d
t o
A t
=
0 .
T h e
a m o u n t o f w o r k
i n
e a c h
t i m e
s t e p
i s t h u s
t r i p l e d
a n d
t h e
w o r k
f o r
t h e
i n i t i a l
t r i a n g u l a r
f a c t o r i z a t i o n
i s
d o u b l e d ,
s i n c e
t w o
m a t r i c e s ,
b u i l t f o r
A t
a n d
A t / 2 ,
a r e
n e c e s s a r y .
I I I .
MUTUAL
C O U P L I N G
AND
M U L T I P H A S E
N E T W O R K S
L u m p e d
P a r a m e t e r s w i t h
M u t u a l
C o u p l i n g
To
i n c l u d e m u t u a l
c o u p l i n g
w i t h
l u m p e d p a r a m e t e r s
t h e
s c a l a r
q u a n t i t i e s
o f
a
s i n g l e
b r a n c h
a r e
s i m p l y
r e p l a c e d
b y
m a t r i x
q u a n t i t i e s
f o r t h e
s e t o f
c o u p l e d
b r a n c h e s .
C o n s i d e r t h e
t h r e e
c o u p l e d
b r a n c h e s
i n
F i g .
1 1 w i t h a r e s i s t a n c e
m a t r i x
[ R ]
a n d
a n
i n d u c t a n c e
m a t r i x
E L ] . T h e y
c o u l d
r e p r e s e n t
t h e s e r i e s
b r a n c h e s
o f
a
t h r e e - p h a s e
r - e q u i v a l e n t
w i t h
e a r t h
r e t u r n ;
i n
t h i s
c a s e [ L ]
a s
w e l l a s
[ R ]
w o u l d
h a v e
o f f - d i a g o n a l
e l e m e n t s
( m u t u a l
c o u p l i n g ) .
A p p l y i n g
t h e
t r a p e z o i d a l
r u l e
o f
i n t e g r a t i o n[ 2 ] y i e l d s :
UM = L____
_
DA
T
U M -
I N k
GROUND I N m
F i g .
1 1 .
M u t u a l
c o u L p l i n g .
[ i k , m ( t ) ]
=
[ S ] ' ( [ e k ( t ) ] -
[ e m ( t ) ] )
+
[ I k , m ( t
-
\ t ) ]
w i t h
[ I k , m
t
-
A t ) ] f r o m t h e
r e c u r s i v e f o r m u l a
( 1 7 a )
[ I k m t
-At)]
=
[ H ] ( [ e k ( t - At)]-
[ e m
t
-At)]
+ [ S ] [ l k m t
-
2A
t ) ] )
-
[ l k , r ( t
-
2 A t ) ] .
( 1 7 b )
A l l m a t r i c e s i n
( 1 7 )
a r e s y m m e t r i c :
[ S ]
=
[ R ] + ( 2 / A t ) [ L ]
[ H ] =
2 ( [ S ] 1 - -
[ S ] - E [ R ] [ S ] - ' ) .
T h e o n l y d i f f e r e n c e c o m p a r e d w i t h a s i n g l e b r a n c h
i s ,
t h a t i n
b u i l d i n g
[ Y A A ] ,
[ Y A B ] i n ( 1 3 ) , a
m a t r i x
[ S ] - '
i s
e n t e r e d
i n s t e a d
o f a
s c a l a r v a l u e .
A l s o i n e a c h t i m e
s t e p
a
v e c t o r
E l k , i , ]
e n t e r s
i n t o
[ I t o t a l ]
i n s t e a d o f
a s c a l a r
v a l u e .
I f F i g . 1 1
i s p a r t
o f a
m u l t i p h a s e
7 r - e q u i v a l e n t
r e p r e s e n t i n g
a
l i n e s e c t i o n , t he n e a c h s e t o f
t e r m i n a l s
w i l l b e c a p a c i t a n c e
c o n n e c t e d . T h e s e c a p a c i t a n c e s
a r e
a c t u a l l y s i n g l e b r a n c h e s ; t h u s
n o n e w f o r m u l a
i s n e c e s s a r y . B P A ' s p r o g r a m t r e a t s
t h e m a s a
m a t r i x e n t i t y
[ C ] t o
s p e e d u p
t h e
s o l u t i o n .
L o s s l e s s
M u l t i p h a s e
L i n e
E q u a t i o n ( 1 ) i s
a l s o v a l i d f o r
t h e m u l t i p h a s e
l i n e i f
t h e s c a l a r s
a r e
r e p l a c e d b y
v e c t o r s
[ e ] ,
[ E ]
a n d
m a t r i c e s
E L ] , E C ] .
By
d i f f e r e n t i a t i n g
a s e c o n d
t i m e , o n e
o f
t h e v e c t o r v a r i a b l e s
c a n
b e
e l i m i n a t e d ,
w h i c h
g i v e s
E [ 2 e x ,
t ) / & x 2 ]
=
[ L ' ] [ C ' ] I [ 2 e ( x ,
t ) / 9 t 2 ]
[ a 2 i ( X , t ) / a X 2 ] =
E C ' ] [ L ' ] [ 0 2 i ( x ,
t ) / 0 t 2 ] .
( 1 8 a )
( 1 8 b )
T h e
s o l u t i o n
o f
( 1 8 ) i s c o m p l i c a t e d b y t h e
p r e s e n c e o f o f f -
d i a g o n a l
e l e m e n t s
i n
t h e m a t r i c e s ,
w h i c h
o c c u r
b e c a u s e o f
m u t u a l
c o u p l i n g s
b e t w e e n
t h e
p h a s e s .
T h i s
d i f f i c u l t y
i s
o v e r c o m e i f
t h e
p h a s e v a r i a b l e s
a r e t r a n s f o r m e d i n t o
m o d e
v a r i a b l e s b y s i m i l a r i t y
t r a n s f o r m a t i o n s
t h a t
p r o d u c e d i a g o n a l
m a t r i c e s
i n
t h e
m o d a l
e q u a t i o n s [ 2 ] , [ 1 3 ] ,
[ 1 4 ] .
T h i s i s
t h e
w e l l - k n o w n
e i g e n v a l u e
p r o b l e m .
E a c h o f t h e
i n d e p e n d e n t
e q u a t i o n s
i n
t h e m o d a l d o m a i n
c a n
t h e n
b e
s o l v e d
w i t h t h e a l g o r i t h m
f o r
t h e s i n g l e - p h a s e
l i n e
b y u s i n g
i t s m o d a l t r a v e l
t i m e
a n d i t s m o d a l
s u r g e i m p e d a n c e .
T h e
t r a n s f o r m a t i o n
m a t r i c e s ,
w h i c h
g i v e t h e
t r a n s i t i o n
t o
t h e
p h a s e
d o m a i n ,
w i l l
g e n e r a l l y b e
d i f f e r e n t
f o r
v o l t a g e s
a n d
c u r -
r e n t s , e . g . ,
( 1 9 a )
e p h a , s ]
=
[ T e ] [ e m o d e ]
[ i p h a e ]
=
[ T i ] j [ o d e ] .
( 1 9 b )
T h e
c o l u m n s
i n
[ T . ] ,
[ T i ]
a r e
a l w a y s
u n d e t e r m i n e d
b y
a c o n -
s t a n t
f a c t o r ,
i f
n o t
n o r m a l i z e d .
A
h e l p f u l
r e l a t i o n
[ 2 ] ,
[ 1 5 ]
i s :
[ T i j u n n o r m a i i z e d
=
[ C ' ] [ T ] . ( 1 9 c )
I f a l l
d i a g o n a l e l e m e n t s
i n
[ L ' ]
a r e
e q u a l
t o
L ' ^ l f
a n d
a l l
o f f -
d i a g o n a l
e l e m e n t s
a r e
e q u a l
t o
L m u t u a i ( a n a l o g o u s
f o r
[ C ' ] ) ,
t h e n
a
s i m p l e
t r a n s f o r m a t i o n
i s
p o s s i b l e ,
e v e n
i f
t h e
i n d u c t a n c e s
a r e
f r e q u e n c y
d e p e n d e n t
[ 1 5 ] :
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8/18/2019 Dommel Digitalcomputersolution
7/12
I E E E TRANSACTIONS ON POWER
APPARATUS
AND
S Y S T E M S ,
APRIL
1969
I
I
1 8 0 - M I L E L I N E
0-
9
C~~~~~~~~~~~
J _
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
1 8
M U L T I
-
TT-EQUIVALENTS
SWITCH C L O S I N G :
I
1
A l O i m s
B
4ms 1 4 m s
C 4ms 14ms
F i g . 1 2 .
S e q u e n t i a l
c l o s i n g . N e t w o r k a n d r e s u l t s
a t
t h e
r e c e i v i n - g
e n d .
L i n e
e n e r g i z i n g :
1 8 0 - m i l e
l i n e ,
t r a n s p o s e d
a t
6 0
a n d
1 2 0
m i l e s . RL C
f o r 6 0
H z .
[ T e ]
=
[Ti]=
i
I. .
1
( 2 0 )
w h e r e
M
i s t h e
number o f
p h a s e s .
I t c an b e s h o w n
[ 2 ]
t h a t
t h e
p h a s e
c u r r e n t
v e c t o r
[ i k , m ]
e n t e r i n g
t h e n o d e s
a t
t e r m i n a l
k
t o w a r d m c an
a g a i n
b e
w r i t t e n
as a l i n e a r
v e c t o r
e q u a t i o n
[ i k , m
t )
]
=
[ G ] [ e k
t
)
]
+
[ I k ]
a n d
a n a l o g o u s
f o r
[ i 4 , k ] . E q u a t i o n
( 2 1 )
i s d e r i v e d f r o m
a
s e t
o f
m o d a l
e q u a t i o n s , s u b j e c t e d
t o
t h e
t r a n s f o r m a t i o n s
( 1 9 ) .
I n
b u i l d i n g
E Y A A ] ,
[ Y A B ]
i n
( 1 3 ) ,
a
m a t r i x
E G ]
i s e n t e r e d i n s t e a d
o f
a
s c a l a r v a l u e
1 / Z .
The
v e c t o r
E l I ] ,
w h i c h e n t e r s
[ I A ] ,
i s
c a l c u l a t e d
f r o m
t h e
p a s t
h i s t o r y
o f
t h e
m o d a l
q u a n t i t i e s .
S i n c e
t h e
span
( t
-
' )
f o r
p i c k i n g u p
t h e
p a s t
i s
d i f f e r e n t f o r
e a c h
m o d e ,
a
t i m e
a r g u m e n t
was
d e l i b e r a t e l y
o m i t t e d i n
w r i t i n g
E l k ] .
E v e n
t h o u g h
t h e n o d a l
e q u a t i o n s
a r e i n
p h a s e q u a n t i t i e s ,
t h e
p a s t
h i s t o r y
m u s t b e r e c o r d e d i n
m o d a l
q u a n t i t i e s .
I V .
F R E Q U E N C Y - D E P E N D E N T
L I N E
P A R A M E T E R S
S k i n
e f f e c t s
i n
t h e
e a r t h
r e t u r n
a n d
c o n d u c t o r s make t h e l i n e
p a r a m e t e r s R '
a n d L '
f r e q u e n c y
d e p e n d e n t [ 1 1 ] ,
[ 1 4 ] .
I n
m u l t i p h a s e
l i n e s ,
t h i s a f f e c t s
p r i m a r i l y
t h e
mode a s s o c i a t e d
w i t h
e a r t h r e t u r n .
I t
i s
n o t
e a s y
t o
t a k e t h e
f r e q u e n c y
d e p e n d e n c e
i n t o a c c o u n t a n d
a t
t h e s a m e
t i m e
m a i n t a i n
t h e
g e n e r a l i t y
o f
t h e
program. M e t h o d s u s i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m
[ 1 5 ] ,
[ 1 6 ]
or
t h e
L a p l a c e
t r a n s f o r m
[ 1 7 ]
are
u s u a l l y
r e s t r i c t e d
t o t h e
case
o f
a
s i n g l e l i n e . Work
i s
i n
p r o g r e s s a t BP A
t o
i n c o r p o r a t e
t h e
f r e q u e n c y d e p e n d e n c e
a p p r o x i m a t e l y
i n t o t h e
m e t h o d
o f
c h a r -
a c t e r i s t i c s ; t h e n , i n s t e a d
o f
o n e
v a l u e f r o m
t h e p a s t
h i s t o r y ,
s e v e r a l
w e i g h t e d
s a m p l e s
w i l l
g o
i n t o
t h e
c o m p u t a t i o n
o f
I k
a n d I m .
T h e w e i g h t s
w o u l d h a v e
t o
b e
c h o s e n t o m a t c h t h e
f r e q u e n c y s p e c t r u m
d e r i v e d f r o m
C a r s o n ' s
f o r m u l a
[ 1 1 ]
o r
f r o m
m e a s u r e m e n t s o n t h e l i n e . I n a s i m i l a r
a p p r o a c h [ 1 8 ] , t h e
e a r t h
r e t u r n
m o d e
i s
p a s s e d
t h r o u g h
t w o
RC f i l t e r s b e f o r e
e n t e r i n g
t h e
n o d e ,
w h i l e
t h e
o t h e r s
a r e
a t t e n u a t e d
w i t h o u t
d i s t o r t i o n .
V . E X A M P L E
S
Two
s i m p l e
c a s e s
a r e
u s e d
t o i l l u s t r a t e
a p p l i c a t i o n s
o f
t h e
p r o g r a m .
F i g .
2 s h o w s t h e
r e s u l t s
f o r
s e q u e n t i a l c l o s i n g
o f
a
t h r e e - p h a s e , o p e n - e n d e d
l i n e .
T h e
c u r v e s
w e r e
a u t o m a t i c a l l y
p l o t t e d b y
a
C a l c o m p p l o t t e r .
F o r
t h i s
s t u d y ,
t h e l i n e w a s
r e p r e s e n t e d
b y 1 8
m u l t i - r - e q u i v a l e n t s
w i t h
( c o u p l e d )
l u m p e d
p a r a m e t e r s .
F i g .
3 s h o w s
t h e v o l t a g e
a t
t h e
r e c e i v i n g
e n d
o f
a
s i n g l e - p h a s e
l i n e
( 3 2 0
m i l e s
l o n g , R '
=
0 . 0 3 7 6
Q / m i ,
L '
=
1 . 5 2
m H / m i ,
C =
0 . 0 1 4 3
, F / m i ) ,
t h a t
i s
t e r m i n a t e d b y
a n
i n d u c t -
a n c e
o f
0 . 1
H
a n d
e x c i t e d w i t h
a
s t e p
f u n c t i o n e
t )
=
1 0
V .
T h e s o l i d
c u r v e
r e s u l t s
f r o m
r e p r e s e n t i n g
t h e l i n e w i t h 3 2
l u m p e d - p a r a m e t e r
e q u i v a l e n t s ,
t h e
d a s h e d
c u r v e f r o m a
d i s -
t r i b u t e d - p a r a m e t e r
r e p r e s e n t a t i o n .
V I .
C O N C L U S I O N S
A
g e n e r a l i z e d d i g i t a l
c o m p u t e r
m e t h o d f o r
s o l v i n g t r a n s i e n t
p h e n o m e n a
i n
s i n g l e - o r m u l t i p h a s e
s ys t e m s h a s b e e n d e s c r i b e d .
T h e
m e t h o d i s
v e r y e f f i c i e n t
a n d
c a p a b l e
o f
h a n d l i n g v e r y l a r g e
n e t w o r k s . F u r t h e r
w o r k
i s
n e c e s s a r y
t o f i n d a
s a t i s f a c t o r y w a y
t o
r e p r e s e n t
f r e q u e n c y
d e p e n d e n c e
o f
l i n e
p a r a m e t e r s .
3 9 4
Authorized licensed use limited to: CSIRO LIBRARY SERVICES. Downloaded on June 16,2010 at 06:45:03 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.
-
8/18/2019 Dommel Digitalcomputersolution
8/12
DOMMEL: COMPUTER
SOLUTION
OF
ELECTROMAGNETIC
TRANSIENTS
F i g . 1 3 . S i n g l e - p h a s e
l i n e w i t h
i n d u c t i v e t e r m i n at i o n .
A P P E N D I X
I
R E C O R D I N G
THE P A S T H I S T O R Y
T h e e q u i v a l e n t c u r r e n t
sources
I
i n
F i g s .
1 - 3
c o n s t i t u t e
t h a t
p a r t
o f
t h e p a s t h i s t o r y , k n o w n f r o m p r e c e d i n g t i m e s t e p s , t h a t
h a s
t o
b e r e c o r d e d a n d
c o n s t a n t l y u p d a t e d .
T h e y
are
n e e d e d
i n
b u i l d i n g t h e
v e c t o r
[ total].
F o r
e a c h i n d u c t a n c e
a n d ca-
p a c i t a n c e
a
s i n g l e v a l u e
I k , m
( t
-
t )
must
b e r e c o r d e d , f o r e a c h
l o s s l e s s
l i n e a
d o u b l e l i s t
I k ,
I .
f o r t h e
t i m e
s t e p s
t
-
t ,
t
-
A t ,
.. . ,t-r.
I n
u p d a t i n g
I k , m
f o r i n d u c t a n c e s
a n - d
c a p a c i t a n c e s , i t
i s
f a s t e r
t o
u se
r e c u r s i v e f o r m u l a s :
I k , m t
-
A t )
=
I k t , m
t
-
2 A t )
+
2 x )
(+
f o r
i n d u c t a n c e ,
-
o r
c a p a c i t a n c e ) ,
w i t h x
=
G
e k
( t
-At)-
em
t
-
A t ) )
a n d
G
=
A t / 2 L
f o r
i n d u c t a n c e
a n d
G
=
2 C / A t
f o r
c a p a c i t a n c e .
T h e s e
f o r m u l a s
are
e a s i l y
v e r i f i e d
b y e x p r e s s i n g
t h e
c u r r e n t s
i n
( 9 b )
a n d ( l O b ) b y
( 9 a )
a n d
( l O a ) , r e s p e c t i v e l y .
To
assure
c o r r e c t
i n i t i a l v a l u e s
i n
t h e
very
f i r s t t i m e
s t e p ,
I k , m
m u s t b e
p r e s e t
b e f o r e
e n t e r i n g
t h e t i m e
s t e p
l o o p
I k c m
( i n i t i a l )
=
i m
( O )
-G
e ( O )
-
m
( 0 ) ) .
T h e i n i t i a l c o n d i t i o n s
e ( 0 ) f o r
v o l t a g e s
a n d
i
( 0 ) f o r
c u r r e n t s
are
p a r t o f t h e
i n p u t .
F o r a
l o s s l e s s l i n e
t h e
v a l u e s
I k ,
m
m u s t b e
r e c o r d e d
f o r
t-
A t , t
2 A t ,
...
,
b a c k
t o
t
-
r ; t h e y
are s t o r e d
i n
on e
d o u b l e
l i s t ,
w h e r e
t h e
p o r t i o n
f o r
e a c h
l i n e
h a s i t s
l e n gt h a d j u st e d
t o
i t s
s p e c i f i c
t r a v e l
t i m e
r .
A f t e r
[ e ( t ) ]
h a s
b e e n
f o u n d ,
t h e
d o u b l e
l i s t
i s
f i r s t
s h i f t e d
b a c k
on e
t i m e
s t e p
( e n t r i e s f o r
t
-
t
b e c o m e
e n t r i e s
f o r
t
-
t ,
e t c . ) ;
t h e n
I k / t
-
r ) ,
I m ( t
-
r )
are
c o m p u t e d
a n d e n t e r e d
i n t o t h e
l i s t .
P h y s i c a l l y ,
t h e l i s t i s
n o t
s h i f t e d ; i n s t e a d ,
t h e
s t a r t i n g
a d d r e s s i s
r a i s e d
b y
1
m o d u l o
{ l e n g t h
o f d o u b l e
l i s t }
[ 8 ] .
T h e
i n i t i a l
v a l u e s f o r
' k ,
I m
must
b e
g i v e n
f o r t
=
0, - A t ,
-2A1,
...
,
-r.
The
n e c e s s i t y
t o
know
t h e m
b e y o n d
t
=
0
i s a
consequence
o f
r e c o r d i n g
t h e t e r m i n a l
c o n d i t i o n s
o n l y .
I f
t h e
c o n d i t i o n s
were a l s o
g i v e n a l o n g
t h e
l i n e
a t
t r a v e l
t i m e i n c r e m e n t s
A t ,
t h e n
t h e i n i t i a l v a l u e s a t
t
=
0
w o u l d
s u f f i c e .
B P A ' s
c o m p u t e r program
h a s
f e a t u r e s
t h a t
h e l p
t o
s p e e d
u p
t h e s o l u t i o n . T h u s
a s e r i e s
c o n n e c t i o n
o f
r e s i s t a n c e , i n d u c t a n c e ,
a n d
c a p a c i t a n c e
i s t r e a t e d as a
s i n g l e
b r a n c h . T h i s r e d u c e s
t h e
n u m b e r
o f n o d e s ;
t h e
r e s p e c t i v e
f o r m u l a s
c an b e
d e r i v e d
b y
e l i m i n a t i n g t h e i n n e r n o d e s i n t he c o n n e c t i o n
[ 2 ] . L i k e w i s e ,
s i n g l e - o r
m u l t i p h a s e i z - e q u i v a l e n t s w i t h
s e r i e s
[ R ]
a n d
[ L ]
m a t r i c e s
a n d w i t h i d e n t i c a l
s h u n t
[ C ] m a t r i x a t b o t h t e r m i n a l s
a r e t r e a t e d a s
o n e e l e m e n t . I f t h e s y s t e m
h a s i d e n t i c a l
n e t w o r k
e l e m e n t s e . g . , i n a c h a i n o f w r - e q u i v a l e n t s ) ,
t h e n
t h e
d a t a
a r e
s p e c i f i e d
a n d
s t o r e d o n l y
o n c e .
A P P E N D I X
I I
I N I T I A L
C O N D I T I O N S
B P A ' s
c o m p u t e r p r o g r a m
h a s t w o o p t i o n s f o r
s e t t i n g n o n z e r o
i n i t i a l
c o n d i t i o n s .
V o l t a g e s
a n d c u r r e n t s a t
a n y
p o i n t i n a s t u d y
c a n
b e
s t o r e d
a n d u s e d
a g a i n a s
i n i t i a l c o n d i t i o n s
i n
s u b s e q u e n t
s t u d i e s
t ha t t a k e o f f f r o m t h a t
p o i n t
( u s u a l l y w i t h a
d i f f e r e n t
A t ) .
T h e y c a n a l s o b e
c o m p u t e d f o r a n y
s i n u s o i d a l
s t e a d y - s t a t e
c o n d i t i o n w i t h a
s u b r o u t i n e m u l t i p h a s e
s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n .
T h e
f i r s t
o p t i o n m u s t
b e
u s e d
i f
t h e
s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n i s
n o n s i n u s o i d a l b e c a u s e o f n o n l i n e a r i t i e s . I n
t h i s
c a s e a t r a n s i e n t
s t u d y i s m a d e
o n c e a n d f o r
a l l o v e r a l o n g e n o u g h t i m e
s p a n
t o
s e t t l e t o t h e s t e a d y s t a t e . T h i s
g i v e s
i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r
a l l
s u b s e q u e n t s t u d i e s .
A C K N O W L E D G M E N T
T h e a u t h o r
w a n t s
t o t h a n k h i s c o l l e a g u e s a t t h e B o n n e v i l l e
P o w e r
A d m i n i s t r a t i o n , n o t a b l y D r. A . B u d n e r ,
J .
W. W a l k e r ,
a n d
W.
F .
T i n n e y , f o r t h e i r h e l p a n d f o r t h e i r e n c o u r a g e m e n t s .
T h e i d e a
o f
w e i g h t e d s a m p l e s t o
i n c o r p o r a t e
t h e f r e q u e n c y
d e p e n d e n c e
o f l i n e p a r a m e t e r s
i s
d u e
t o
D r . A . B u d n e r , a n d t h e
s u b r o u t i n e t o g e t a c s t e a d y - s t a t e
i n i t i a l
c o n d i t i o n s
w a s
w r i t t e n
b y J .
W. W a l k e r .
R E F E R E N C E S
[ 1 ] 1 1 . P r i n z
a n d H . Dommel,
t b e r s p a n u i u n g s b e r e c h i n u n g
i n
H o c h s p a n n u n g s n e t z e n , p r e s e n t e d a t
t h e
S i x t h M e e t i n g f o r
I n d u s t r i a l P l a n t
M a n a g e r s ,
s p o n s o r e d b y A l l i a n z I n s u r a n c e
C o m p a n y ,
M u n i c h , G e r m a n y ,
1 9 6 4 .
[ 2 ]
H .
D o m m e l ,
A
m e t h o d
f o r
s o l v i n g
t r a n s i e n t
p h e n o m e n a
i n
m u l t i p h a s e s y s t e m ,
P r o c .
2 n d P o w e r
S y s t e m C o m p u t a t i o n
C o n f e r e n c e
1 9 6 6 ( S t o c k h o l m , S w e d e n ) , R e p t .
5 . 8 .
[ 3 ]
F H .
B r a n i n ,
J r . , C o m p u t e r
m e t h o d s
o f
n e t w o r k a n a l y s i s ,
P r o c . IEEE,
v o l .
5 5 , p p .
1 7 8 7 - 1 8 0 1 , N o v e m b e r
1 9 6 7 .
[ 4 ]
L . B e r g e r o n , Du
C o u p
d e B e l i e r e n H y d r a u l i q u e a u C o u p d e F o u d r e
e n
E l e c t r i c i t e .
P a r i s :
D u n o d ,
9 4 9
T r a n s l . ,
W a t e r
Hammer i n
H y d r a ul i c s a n d
W a v e
S u r g e s
i n E l e c t r i c i t y
( T r a n s l a t i n g
C o m m i t -
t e e
s p o n s o r e d
b y ASME). Ne w
Y o r k : W i l e y ,
9 6
[ 5 ]
H .
P r i n z , W.
Z a e n g l ,
a n d
0 . V d l e k e r ,
D a s B e r g e r o n - V e r f a h r e n
z u r
L o e s u n g
von
W a n d e r w e l l e n ,
B u l l .
S E V , v o l .
1 6 , p p .
7 2 5 -
7 3 9 , A u g u s t
1 9 6 2 .
[ 6 ]
W.
F r e y
a n d
P .
A l t h a m m e r ,
D i e
B e r e c h n u n g e l e k t r o m a g -
n e t i s c h e r
A u s g l e i c h s v o r g a e n g e
a u f
L e i t u n g e n
m i t H i l f e
e i n e s
D i g i t a l r e c h
