DOCUMENT 30-REZOLVAREA ECUATIILOR DE GRAD SUPERIOR (continuare/de/la/pagina/52 din/a/doua/memorie/ -ing. Trif/Victor)

In / sensul / a / ceea / ce / aratam / sa / iau / un / exemplu / numeric / : 7 21 2 2 3 x1 16 x1 21 ! 0; / cu / x1 ! ; / si / D21 ! _ 1;s3;s7;s21a / fie / p1 ! 3; / 3 p1 16q1 d1 q1 ! 0; / d1 ! ; s ! 7; / 3 3 8 s 64 252 8 s i 188 21 2 7q1 16q1 9 ! 0; / (q1 )1, 2 ! ! K ; / luam / : p1 ! 7; / d1 ! ! 3; / 7 7 7 p 7 7 8 s 64 63 8 s 1 2 3q1 16 q1 21 ! 0; / ( q1 )1, 2 ! ! ; / ( q1 )1 ! 3; / si /( q1 ) 2 ! ; / ( x1 )1 ! 1 ! ; / si / 3 ( q1 )1 3 3 3( x1 ) 2 ! p1 7 *3 ! ! 3; / [ A]; / ( q1 ) 2 7

deci / ca / si / o / concluzie / metodo log ia / este / buna / . putem / afla / in / acest / context / solutiile / ecuatiei / . totusi / doresc / sa / mai / fac / o / mentiune / respectiv / o / observatie / . Obsetrvati e / in / legatura / cu / ecuatia / mod el / pe / care / am / luat o / ca / exemplific are / de / calcul / si / care / de / fapt / admitea / solutii / irationale / este / de / mentionat / faptul / ca / aceasta / metoda / se / aplica / si / in / cazul / acestor / ecuatii / respectiv / o / sec tiune / a / acestei / metode / pe / care / eu / am / reliefat o / . ________________________________________________________________________________________________

1

In / continuare / in / analiza / pe / care / o / ai / fac / pornesc / de / la / luarea / unui / exe plu / nu eric / de / ecuatie / care / ad ite / in / mod/ sigur / o / solutie / rationala / deci / o / for ez / eu / : 242 x1 363 x1 2210 ! 0; / cu / x1 ! ( x1 ) 1, 2 !2

26 ; / prin / for ula / clasica / ave / : 11

1144 104 26 1870 935 85 363 s 131769 2139280 363 s 1507 ; / ( x1 ) 1 ! ; / si /( x1 ) 2 ! ! ! ! ! ! ;/ 484 484 484 44 11 484 242 22 Ce / observa / daca / a / aflat / aceste / solutii / : ave / de / exe plu / : a c 2210 2210 2210 ! 26; / ! p1 ; / p 2 ! ; / iar / q 2 ! 2 * q1 ! ; / p 2 ! ;/ p2 p1 q1 p1 85 se nul /"" / vine / de / la / faptul / ca / a , b " 0; / si / d int r o / privire / se / poate / observa / ca / : A " b; / "" /; In / con sec int a / se / poate / enunta / teore a / : __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ ______ p1 ; / si / pe / care / o / q1

TEOREMA / daca / o / ecuatie / de / orice / grad / ar / fi / ad ite / o / solutie / rationala / x1 ! cunoaste /, atunci / cealalta / solutie / se / afla / astfel / : x 2 !

p2 a c ; / si / p 2 ! ; / si / q 2 ! ; / . q1 p1 q2

__________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ ____

cum / pentru / verificare a / teoremei / enuntate / trebuie / sa / dam / cateva / exemple / :

1 3 1 3 3 3 fie / ecuatia / : x x x 5 ! 0; / x 2 x x x 5 ! 0; / x 2 x x 5 ! 0; / 2 2 2 2 4 4 15 3 x3 x 2 x 5x 2 5x ! 0; / 4 x 3 4 x 2 3 x 20 x 2 20 x 15 ! 0; / 4 x 3 24 x 2 17 x 15 ! 0; / si / sa / zic 4 4 1 ca / stim / ca / aceasta / ecuatie / admite / solutia / x1 ! ; / in / baza / teoremei / date / ar / trebui / sa / avem / : 2 Sa / zicem / ca / ecuatia / admite / solutia / rationala / pe / care / o / cunoastem / x1 ! p2 ! 1 ; / deci / ar / trebui / sa / avem / : 2

p 15 a 4 d 15 ! ! 15; / si // q 2 ! ! ! 2; / x 2 ! 2 ! ; / care / este / o / solutie / falsa / care / nu / verifica / 2 q1 2 1 q2 p1

ecuatia / . deci / se / pare / ca / teorema / enuntata / nu / este / valabila / .

2

Totusi / in / baza / unui / rationa en t / si / anu e / ca / nu / a / potrivit / solutiile / rationale / verifica / toate / situatiile / posibile / . Astfel / ai / ave / : 15 3 4 5 fie / x1 ! ; / p 2 ! ! 5; / si / q 2 ! ! 2; / x 2 ! ; / solutie / care / de / ase enea / nu / verifica / . 3 2 2 2 3 5 fie / x1 ! ; / p 2 ! 3; / si / q 2 ! 4; / x 2 ! ; / solutie / care / de / ase enea / nu / verifica / .Se / pare / ca / teore a / 4 1 enuntata / nu / este / valabila / . ar / sa / ai / incerca / o / verificare / putin / ai / deosebita / : pentru / ecuatia / data / ave / : x1 ! p1 1 p p 3 5 ! ; / x 2 ! 2 ! ; / si / x3 ! 3 ! ; / in / continuare / sa / lua / asa / : q1 2 q2 q3 2 1 d 1 ; / si / de / exe plu / p 2 ! ! 3; / se nul /"" / sau /"" / se / ia / prin / p3 2

sa / considera / ca / cunoaste / solutia / x1 ! verificare a / solutiei / si / q 2 !

a 3 ! 2; / si / dupa / verificari / obtine / x 2 ! ; / aceasta / insea na / ca / depinde / cu / q1 2

considera / ordinea / solutiilor / respectiv / nu / pute / erge / efectiv / oto a / oto / cu / calculul / dupa / teore a / . de / ase enea / p 3 ! d a ;/ ! 5; / la / fel / se nul / se / va / lua / dupa / verificari / si / q 3 ! 1 ! p2 2 q1

Pr oble a / care / se / pune / este / ca / int r un / anu it / sens / teore a / este / verificata / dar / de / exe plu / nu / este / suficient / de / a / cunoaste / doar / o / solutie /; atunci / sa / vede / ce / a / putea / face / in / continuare / : in / cazul / considerat / a / avea / : p1 p 2 p 3 p p 15 1 15 ! ; / cu / x1 ! ; / 2 3 ! ; / ne / da / sea a / i ediat / q1 q 2 q 3 4 2 2 q2 q3

ca / p 2 ! 3; / sau ! 5; / si / p 3 ! 5; / sau ! 3; / si / q 2 ! 1; / sau ! 2; / si / q 3 ! 2; / sau ! 1; / si / apoi / prin / verificare / stabi lim/ se nele / ar / de / ase enea / pute / considera / in / cazul / general / ca / fiind / data / o / solutie / rationala /( se / poate / vedea /

3

ca / este / valabil / si / daca / avem / solutii / int regi / caz / in / care / numitorul / este / 1 /) / deci / putem / vedea / ca / avem / : p 2 p 3 q1 d ; / si / din / aceasta / relatie / definim / si / celelalte / solutii / in / sensul / aratat / pe / exemplul / numeric / dat / ! q 2 q3 p1 a si / pe / faptul / ca / det er min am / numaratoru l / si / numitorul / fractiei / rationale / q1 d / dupa / simplifica re / daca / este / p1 a

cazul / ca / si / un / produs / de / doua / numere / int regi / pe / care / le / incercam / det yer min ate / dupa / cum / am / aratat / pe / exemplul / numeric / si / dupa / x1 / . In / acest / sens / nu / stiu / daca / se / mai / enunta / o / teorema / sau / mai / precis / este / valabila / o / regula / de / calcul / pe / care / am / reliefat o / .Deci / teorema / nu / este / valabila / decat / pe / unele / cazuri / particular e / asa / dupa / cum / voi / arata / prin / cateva / exemple / deci / nu / este / o / teorema / ci / o / proprietat e / cu / toate / ca / prin / ceea / ce / am / teore a / este / valabila / doar / atat / ca / are / i por tan ta / cu / alege / co binatia / de / coeficient i / si / solutii / . Intr un / anu it / sens / teore a / totusi / este / ade var ata / Oricum / dupa / cum / se / vede / teorema / este / valabila / doar / atat / ca / am / completat o / si / dupa / cum / se / vede / depinde / cum / alegem / solutiile / sau / de[inde / ce / solutie / rationala / a / ecuatiei / date / se / cunoaste / . Dar / ina int e / de / a / lua / alte / exemple / in / care / se / va / vedea / ca / teorema / se / verifica / int r un / mod/ mai / simplu / sa / mai / facem / unele / calcule / in / acelasi / sens / si / sa / ne / folosim / de / relatiile / lui / Viete / . Astfel / mai / avem / : p1 p 2 p 3 1 b ! ; / de / exemplu / in / cazul / exemplului / dat / cunoastem / de / exemplu / x1 ! ; / b ! 24; / a ! 4; / 2 q1 q 2 q 3 a 13q 2 q 3 2 p 3 q 2 p p 13 1 p 2 p3 ;/ ! 6; / 2 3 ! ; / 2 p 2 q 3 2 p 3 q 2 ! 13q 2 q 3 ; / de / exemplu / : p 2 ! 2q3 2 2 q 2 q3 q2 q3 13q 2 q 3 2 p 3 q 2 15q 2 q 3 15q 2 q 3 ;/ ;/ ! 2 p3 2q3 2 p3

din / cea / de / a / treia / relatie / a / lui / Viete / p 2 ! 13 p 3 q 2 q 3 2 p 3 q 2 ! 15q 2 q 3 ;2 2

Aceasta / este / o / ecuatie / de / gradul / 2 / ori / in / q 3 / ori / in / p 3 /; Ce / este / de / mentionat / in / sensul / de / a / nu / mai / face / unele / calcule / de / rutina / astfel / de / calcule / se / pot / face / si / folo sin d / cea / de / a / doua / relatie / a / lui / Viete / pentru / ecuatia / de / gradul / 3 / dar / trebuie / sa / specific / ca / acest / calcul / de / det er min are / a / solutiilor / rationale / pentru / o / ecuatie / in / general / se / bazeaza / pe / a / cunoaste /

cel / putin / o / solutie / rationala / sau / int rega / a / ecuatiei / date / apoi / am / aratat / ca / teorema / int r un / anumit / sens / iarasi / unele / calcule / si / verificari / .Intr ade var/ metoda / nu / este / o / metoda / absoluta / dar / am / trecut o / ca / si / o divagatie / si / in / plus / pe / consideren tul / ca / atunci / cand / nu / ai / avea / alte / mod alitati / de / calcul / a / solutiilor / unei / ecuatii / este / buna / si / aceasta / metodo log ie / .Trebuie / sa / specific / ca / se / poate / aplica / si / la / ecuatii / de / grad / " 3. / Iata / ca / in / continuare / doresc / sa / mai / reliefez / in / contextul / acestei / metode / cateva / exemple / unde / se / vor / vedea / rezultate / mult / mai / simplu / de / det er min at / si / apoi / si / in / cazul / unei / ecuatii / de / gradul / 4 / . Astfel / avem / de / exemplu / :

este / valabila / iar / apoi / metoda / consta / in / incercari / si / descompune re / a / .lui /" a" / si /" d " / in / factori / primi / si / apo

4

De / exemplu / sa / luam / o / ecuatie / de / gradul / 2 / : 3 x 2 16 x 21 ! 0; / sa / zicem / ca / aceasta / ecuatie / admite / solutia / rationala / pe / care / o / cunoastem / : x1 ! conform / teoremei / si / celor / aratate / avem / : x 2 ! Sa / mai / luam / in / continuare / un / exemplu / : 3 7 x 2 5 x 4 x 2 28 x 20 4 5 1 4 2 5 x x 5 ! 0; / x ! 0 1 x x x x ! 0; / x 6 3 3 18 9 3 3 2 3 3 2 3 p 5 40 d 18 x 3 45 x 2 2 x 40 ! 0; / si / consideram / ca / cunoastem / pe / x1 ! 1 ! ; / p 2 ! ! ! 8; / si / 3 5 q1 p1 4 4 18 ! 6; / x 2 ! ; / si / dupa / verificare / ne / dam / seama / ca / trebuie / sa / aiba / semnul /"" / x 2 ! ; / [ A]; 3 3 3 40 * 3 * 3 * q 3 p p 1 1 1 ! q3 ; / 3 ! ; / si / dupa / verificare / se / ia / x3 ! ; / se / observa / apoi / x3 ! 3 ; / p 3 ! 18 * (5) * 8 2 2 2 q3 q3 q2 ! ca / in / cazul / acestei / ecuatii / solutiile / se / calculeaza / usor / dupa / regula / data /; ______________________________________________________________________________________________ In / continuare / sa / facem / un / alt / mod el / de / abordare / : fie / ecuatia / de / rezolvat / : 4 x1 3 x1 22 ! 0; / si / rezolvam / mai / int ai / aceasta / ecuatie / cu / formula / clasica / sa / vedem / ce / solutii / admite / : ( x1 )1, 2 !2

7 ;/ 3

p2 3 21 a 3 d ! ! 3; / si / q 2 ! ! ! 1; / x 2 ! ! 3; / [ A ; / si / p 2 ! 1 7 q1 3 p1 q2

11 3 s 9 352 3 s 19 ; / ( x1 )1 ! 2; / si /( x1 ) 2 ! ; / in / baza / considerata / aceste / solutii / de / fapt / nu / ! 8 8 4 / cunoastem / . le Sa / formam / o / ecuatie / de / refer int a / cu / o / solutie / cunoscuta / si / un / acelasi / coeficient /" a" / : 19 4 x 2 7 x 57 ! 0; / cu / x1 ! 3; / si / x 2 ! ; / in / continuare / sa / facem / diferenta / celor / doua / ecuatii / : 4 2 2 4( x x1 ) (7 x 3 x1 ) 35 ! 0; / dar / sa / consideram / in / continuare / astefl / : sa / inmultim / termenul / la / puterea / cea / mai / mare / cu / un / numar / E , / astfel / incat / prin / scaderea / celor / doua / ecuatii / termenul / cu / necunoscuta / la / puterea / cea / mai / mare / sa / se / reduca / : E 4 x 2 E 7 x E 57 ! 0; / 4 x1 3 x1 22 ! 0; /* (1) ____________________________________ 36E 22 ; / care / de / 3 fapt / este / o / formula / parametrica / dupa / cum / se / vede / .Firesc / este / ca / exista / doar / un / E / pentru / care / ecuatia / initiala / este / verificata / . / E * 7 x 31 E * 57 22 ! 0; / dupa / cum / am / fixat / x ! 3 /; 3 x1 ! 21E 57E 22; / x1 !2

5

dar / conform / celor / considerat e / sau / mai / precis / impuse / avem / : 4Ex 2 ! 4 x1 ; / si / x ! 3; / 36E ! 4 x1 ; / x1 ! 9E ; / dar / mai / avem / : x1 ! 484 1296E 2 1584E ; / si / acum / egalam / cele / doua / relatii / : 9 1665 s 2772225 2509056 ! 25922 2 2

22 36E ; /[......] 2 ; / 3

81E ! 484 1296E 2 1584E ; / 1296E 2 1665E 484 ! 0; / E 1, 2 ! !

1152 4 2178 121 1665 s 513 ; / si / E 2 ! ; / E1 ! ! ! ; / si / acum / cu / aceste / valori / sa / calculam / pe /( x1 )1, 2 / : 2592 9 2592 144 2592

( x1 ) 1 ! 3 E 1 ! 3

11 33 11 121 ! 3 * ! ! ; / solutia / ar / trebui / sa / fie / cu /"" / este / o / problema / de / verificare /; 12 12 4 144 2 si /( x1 ) 2 ! 3 E 2 ! 3 * ! 2 / Solutia / ar / trebui / sa / fie / cu /"" / este / tot / o / problema / de / verificare / pentru / ca 3 Putem / rezolva / ecuatia / data / si / astfel / : fie / E 1 ! 4 ;/ 9

avem / practic / pentru / fiecare / valoare / a / lui / E / : ( x1 )1, 2 ! s3 E 1, 2 ; / .

4 4 4 * 4 x 2 * 7 x * 57 ! 0; / 9 9 9 4 x1 3 x1 22 ! 0; / __________ __________ __________ ___ 228 28 x 3 x1 22 ! 0; / 28 x 27 x1 228 198 ! 0; / si / x ! 3; / 27 x1 54 ! 0; / x1 ! 2; / [ A]; / si / mai / 9 9 121 ;/ avem / : E 2 ! 144 121 121 121 * 4x 2 * 7x * 57 ! 0; / si / 144 144 144 2 4 x1 3 x1 22 ! 0; / / __________ __________ __________ __________ _______ 11 3729 2541 6897 847 x 3 x1 22 ! 0; / 3 x1 ! 0; / 432 x1 ! 1188; / x1 ! ; / [ A]; / 4 144 144 144 144 si / aceasta / mod alitate / a / fost / un / alt / mod/ de / rezol var e / a / ecuatiei / de / gradul / 2 / . ______________________________________________________________________________________________ In / ceea / ce / priveste / alegerea / ecuatiilor / de / refer int a / sau / de / reper /, se / poate / spune / ca / daca / le / alegem / /2

astfel / incat / x1 ( x 2 ; x 3 ) / si /( x 2 ; x3 ) Z / si / sunt / valori / lim ita / int regi /, se / poate / spune / ca / se / poate / continua /

sa / se / restranga / int ervalul /( x 2 ; x3 ) / prin / alegerea / lui / x 2 / si / x3 / chiar / si / valori / rationale /, sau / chiar / irationale /

6

sau / mai / mult /, de / exemplu / acest / int erval /( x 2 ; x3 ) / poate / sa / nu / fie / lim ita /, de / exemplu / cum / am / considerat / exemplele / date / x1 ! 2; / si / x 2 0; / si / x3 ! 4 / etc..., / dar / alegerea / lui / la / lim ita /, sau / cat / mai / restrans /, usureaza / mult / rezol var ea / ecuatiei / date /, prin / acest / procedeu /, pentru / ca / stim / exact / in / ce / int erval / de / o / unitate / se / afla / . Sa / incercam / mai / departe / sa / mai / facem / unele / combinatii / de / calcul / sa / vedem / ca / mai / putem / descoperi / . 7 2 ; / : 12 x1 31x1 c ! 0; / ecuatia / care / admite / aceasta / solutie / este / : 3 2 36 x1 93x1 413 ! 0; / sau / luam / ecuatia / care / admite / aceeasi / solutie / dar / cu / alti / coeficienti / : fie / ecuatia / cu / x1 ! 45 x1 27 x1 308 ! 0; /2

Daca / verificam / aceste / doua / ecuatii / sa / vedem / daca / le am / det er min at / bine / o / sa / ne / dam / seama / ca / este / bine / si / sunt / bune / . in / continuare /, pre sup unand / ca / nu / cunoastem / solutiile /, cautam / sa / incadram / o / solutie / a / ecuatiei / date / int re doua / valori / lim ita / int regi / : fie / x ! 2 in / cazul / primei / ecuatii / : 144 186 ! 330 413; / ! fie / x ! 3 / 324 279 ! 603 " 413; / x1 ( 2;3); / x 2 ! 2; / si / x3 ! 3; / avem / sistemul / :36( x1 x 2 ) 93( x1 x 2 ) 83 ! 0; / 36( x3 x1 ) 93( x3 x1 ) 190 ! 0; / cu / sistemul / : 36( x1 x 2 )( x1 x 2 ) 93( x1 x 2 ) 83 ! 0; / si / 36( x3 x1 )( x3 x1 ) 93( x3 x1 ) 190 ! 0; / mai / avem / si / sistemul / ce / rezulta / din / suma / ecuatiilor / : 36( x1 x 2 ) 93( x1 x 2 ) 743 ! 0; / si / 36( x3 x1 ) 93( x3 x1 ) 1016 ! 0; / 36[( x1 x 2 ) 2 2 x1 x 2 ] 93( x1 x 2 ) 743 ! 0; / si / 36[( x3 x1 ) 2 2 x1 x3 ] 93( x3 x1 ) 1016 ! 0; / acum / pre sup unem / ca / solutia / ecuatiei / de / rezolvat / este / de / forma / : x1 ! 7 8 ; / sau / x1 ! ; / 3 3 in / baza / unor / calcule / pe / care / le am / mai / facut /, avem / : x1 ( 2;3); / de / exemplu / : x1 ! daca / x1 ! p1 ; / atunci / in / baza / int ervalului / de / incadrare / pe / care / l am / stabilit /, avem / : p1 ! x 2 q1 f ! q1 p1 ; /_p1 ; q1 a ; / si / q1 { 0; / si / q12 2 2 2 2 2 2 2

! 2 q1 f ; / sau / : p1 ! x3 q1 f ' ! 3q1 f ' ; / si / am / aratat / ca / f f ' ! q1 ; / si / p1 q1 ! 2 q1 f q1 ! q1 f ; / si / aceasta / pentru / ca / x 2 ! 2; / sau / p1 q1 ! 3q1 f ' q1 ! 2 q1 f ' ; / si / aceasta / in / baza / ca / x3 ! 3; / apoi / mai / avem / : p1 q1 2 q1 f ' q1 f ! ! ; / q1 f ' f ! 0; / q1 q1 q1

Se / poate / enunta / urmatoarea / teorema / :

7

______________________________________________________________________________________________ Teorema/57/-fiind/data/o/ecuatie/oarecare/de/orice/grad/ar/fi/ea/si/sa/zicem/asa/ca/ecuatia/admite/o/solutie/

8

rationala /, x1 !

p1 ; /, si / aceasta / solutie / am / incadrat o / int r un / int erval /( x 2 ; x3 ) /, prin / folosirea / ecuatiilor / q1

reper / atunci / int otdeauna / putem / spune / ca / : p1 ! x 2 q1 f ; / si p1 ! x3 q1 f ; / cu / conditia / ca / : q1 ! f f ; / . _______________________________________________________________________________________________ Observatie / numarul /" p1 " / poate / fi / un / numar / par / sau / un / numar / impar / lucru / ce / normal / nu / il / putem / estima / eventual / prin / incercari / cau tan d / pe /" p1 " / pr int re / divizorii / int regi / ai / termenului / liber / dar / sa / incercam / in / cele / ce / urmeaza / sa / abordam / ambele / situatii / : luam / cazul / cand / p1 ! 2k , / k Z ; / ecuatia / de / rezolvat / este / : 12 x1 31x1 125 ! 0; / cu / x1 (2;3); / si / o / ecuatie / reper / este / : 12 x 2 31x 2 110 ! 0; / 12( x1 x 2 )( x1 x 2 ) 31( x1 x 2 ) 15 ! 0; /2 2

acum / in / continuare / sa / judecam / putin / anumite / lucruri / si / anume / : p p 2q1 daca / x1 (2;3); / atunci / x1 x 2 ! x1 2 ! 1 2 ! 1 ! 0,....ceva; / deoarece / x1 (2;3); / si / ne / dam / seama / q1 q1 ca / acel / o,....ceva / se / obtine / prin / impartirea / int ervalului / de / incadrare / care / este / de / o / unitate / adica / impartim / p 2q1 1 pe / 1 / la / q1 /; / deci / avem / : x1 x 2 ! 1 ! ; / si / in / mod/ similar / : q1 q1 p 2 q p1 1 1 ! 4,....ceva; / si / acel / ceva / este / tot / ; / x1 x 2 ! 4 ; / x1 x 2 ! x1 2 ! 1 2 ! 1 q1 q1 q1 q1 cu / aceste / calcule / ecuatia / devine / : 4q 1 1 1 1 1 2 2 12 4 31 15 ! 0; / 12 1 2 31 15 ! 0; / 48q1 12 31q1 15q1 ! 0; / q q q q q1 1 1 1 1 12 s 144 48 12 s 4 6 3 s 6 ! ! ;/ 8 8 2 se / observa / cum / era / si / de / asteptat / ca / valorile / lui / q1 / sunt / irationale / : 16 q1 48q1 12 ! 0; / : ( 4); / 4 q1 12 q1 3 ! 0; / ( q1 )1, 2 !2 2

x1 x 2 ! x1 2 !

2 3 6

; / x1 !

2 64 6 3

!2

( 2 6 4)( 6 3) 2 6 ! ; / si / aceasta / solutie / nu / .verifica / 3 3 79 s 6241 720 79 s 6961 ! ;/ 30 30

dar / cred / ca / am / gasit / greseala /; avem / : 15q1 79 q1 12 ! 0; / ( q1 ) 1, 2 ! x1 x 2 ! x1 !

188 2 6961 1 1 30 2! ; / si / rationaliz am / si / obtinem / : ; / x1 2 ! ; / x1 ! ( q1 ) 1 ( q1 ) 1 79 6961 79 6961

31 6961 ; / si / deci / am / aflat / solutia / corecta / care / se / afla / si / prin / metoda / clasica / . 24 Observatie / cu / toate / ca / am / considerat // sau / mai / precis / era / o / conditie / impusa / ca / ecuatia / data / admite /

9

solutii / rationale / se / pare / ca / metoda / si / in / ansamblu / acest / procedeu / se / verifica / si / pentru / solutii / irationale / cum / este / cazul / de / fata / . 1 ; / si / de / aici / se / afla / cealalta / solutie / corecta / . Bine int eles / ca / se / poate / afla / si /( x1 ) 2 / : x1 x 2 ! 4 (q1 ) 2

_______________________________________________________________________________________________ Observatie / bine int eles / se / pot / face / calcule / multe / si / diverse / astfel / de / exemplu / avandu l / pe / q1 /, se / poate afla / si / p1 / sau / f /; dupa / cum / vom / arata / in / cele / ce / urmeaza / : astfel / avem / : x1 x 2 ! 1 2q1 p1 1 1 ; / x1 2 ! ; / x1 ! ; / p1 ! 1 2q1 ; / si / respectiv / : f ! 1; / ! q1 q1 q1 q1

calculele / nu / le / mai / facem / este / evident / ca / relatiile / cu / care / operam / dau / rezultate /; acum / ina int e / de / generalizarea / metodei / de / rezol var e / sa / mai / verificam / un / calcul / : sa / luam / si / un / exemplu / de / ecuatie / care / are / pe /(q1 )1, 2 / de / exemplu / format / din / doua / cifre /; astfel / avem / : 242 x1 363 x1 2210 ! 0; / cu /( x1 )1 !2

26 1 4 (2;3); / si / verificam / : ! 0,09....; / si / ! 0,36.....; / 11 q1 q1 1 ! ...cu / acel / ceva / care / adunat / la / 2 / ne / dadea / solutia / x1 q1

deci / in / cazul / anterior / a / fost / o / coincidenta / ca / dar / in / cazul / acesta / acel / ceva / este / 4 f ! ;/ q1 q1

sa / luam / de / exemplu / ecuatia / reper / cu / x 2 ! 2; / 242 x 2 363x 2 1694 ! 0; / 242( x1 x 2 )( x1 x 2 ) 363( x1 x 2 ) 516 ! 0; / si / avem / : f 4q f f f f f 363 516 ! 0; / 242 4 363 516 ! 0; / 242 1 q q q q1 q1 q1 1 1 1 242(4q1 f f 2 ) 363q1 f 516q1 ! 0; / 1331q1 f 242 f 2 516q1 ! 0; / 516q1 242 f 2 1331q1 f ! 0; / si / care / este / o / ecuatie / cu / doua / necunoscute / deci / ar / trebui / sa / mai / gasim / o / ecuatie / in / aceleasi / necunoscute / pentru / a / reusi / sa / obtinem / o / ecuatie / cel / mult / de / gradul / 2 / int r o / sin gura / necunoscuta / . daca / p1 ! este / par / . poate / fi / si / q1 ! par / si / atunci / si / f / este / par /; sau / avem / : p1 ! par ; / q1 ! impar / f ! par /; sau / p1 ! impar / q1 ! par / f ! impar /; sau / p1 ! impar / q1 ! impar / f ! par ; / in / caietele / de / calcul / am / facut / un / calcul / pentru / q1 ! 2k ; / si / q1 ! 2k 1; /, dar / cred / ca / fara / impor tan ta /; de / asemenea / calculul / facut / a / dat / rezultate /, pentru / ca /" acel / ceva" / era / egal / cu / nu / este / deloc / general / valabil / nu / a / fost / decat / un / caz / particular / . 1 , dar / acest / lucru / nu / q12 2 2

2

10

otusi / pentru / continuarea / analizei / sa / luam / un / exemplu / de / ecuatie / de / gradul / 2 / care / admite / in / mod/ sigur / o / solutie / rationala / cuprinsa / in / int ervalul /(2;3) / cu / toate / ca / am / specificat / ca / metoda / merge / si / la / ecuatii / care / admit / solutii / irationale / stfel / luam / ecuatia / :2

36 x1 93x1 413 ! 0; / cu / x1 !

7 ; / si / in / continuare / alegem / o / ecuatie / arbitrara / 3 x 2 5 x 15 ! 0; / ecuatie / din / 3 7 care / vrem / sa / formam / o / ecuatie / care / sa / admita / o / aceeasi / solutie / x ! ; / in / aceasta / baza / ar / trebui / sa / 3 2 avem / : 3x 1 5 x1 15 y ! 0; / cum / l am / putea / afla / pe / y / ei / bine / in / cazul / unei / ecuatii / de / gradul / 2 / il / aflam / usor / astfel / : 7 49 7 84 28 (1) / x1 ; / 3 * 5 * 15 y ! 0; / 49 35 45 y ! 0; / 45 y ! 84; / y ! ! ; / ecuatia / care / 3 9 3 45 15 2 2 admite / o / aceeasi / solutie / cu / cea / data / este / : 45 x1 75 x1 420 ! 0; / 9 x1 15 x1 84 ! 0; / 3 x1 5 x1 28 ! 0; / si /* (12)2

36 x1 93x1 413 ! 0; / ______________________________________ 36 x1 60 x1 336 ! 0; /() ________________________________________ 7 / 33 x1 77 ! 0; / x1 ! ; / [ ]sau / se / poate / det er min a / y / si / astfel / : 3 ( x1 )1 !2

2

25 180 y 7 5 93 93 2 4 * 36 * 413 5 25 180 y ; / 361 ! 25 180 y; / ;/ ! ! 3 6 6 72 6 336 84 28 y! ! ! ; / [ ]; / sa / aflam / in / continuare / pe / acel / y ! y1 / astfel / ca / ecuatia / sa / admita / cea / de / a / 180 45 15 59 5 25 180 y1 ; / 49 ! 25 180 y1 ; /[....] 2 ! doua / solutie / rationala / : ( x1 ) 2 ! 12 6 2376 594 66 2401 ! 25 180 y1 ; / y1 ! ! ! ; / cea / de / a / doua / ecuatie / care / admita / o / aceeasi / solutie / cu / cea / 180 45 5 2 data /( x1 ) 2 / este / 3x1 5 x1 198 ! 0; / Observatie / bine int eles / pentru / a / obtine / cate / o / ecuatie / care / sa / admita / o / solutie / comuna / cu / ecuatia / data / nu / este / neaparat / sa / avem / un / alt / termen / liber / ci / se / poate / actiona / si / a sup ra / coeficientilor /" a" / si /" b" / . In / continuare / mai / enunt / o / teorema / : ______________________________________________________________________________________________ EOREM / 58 / in / cazul / general / al / unei / ecuatii / de / grad / par /, daca / ea / admite / 1;3;5;7;...etc / solutii / int regi / sau / rationale / ea / in / mod/ sigur / va / admite / de / fapt / 2;4;6;8;....etc // solutii / int regi / sau / rationale / .

11

Cum / am / specificat /, alte / calcule / referitoar e / la / ecuatia / de / gradul / 2 / si / poate / si / la / alte / ecuatii / constau / in / ceea / ce / am / specificat / si / anume / de / a / mai / alege / unele / ecuatii / partial / echivalent e / cu / ecuatia / data / asa / cum / voi / arata / : (1) / alegem / o / ecuatie / care / sa / aiba / acelasi / coeficient /" a" / un / coeficient /" b" / impus / ca / valoare / numerica / si / un / coeficient /" c" / necunoscut / care / trebuie / sa / aiba / o / valoare / astfel / incat / ecuatia / formata / sa / fie, partial / echivalent a / cu / ecuatia / data /; ( 2) / alegem / o / ecuatie / care / sa / aiba / acelasi /" b" /, un /" a" / impus / si / un / coeficient /" c" / necunoscut / in / baza / acestei / conditii / impuse /; (3) / o / ecuatie / care / sa / aiba / acelasi / coeficient /" c" / un /" b" / impus / si / un /" a" / necunoscut /; ( 4) / alegem / o / ecuatie / care / sa / aiba / acelasi /" c" / un /" a" / impus /, si / un /" b" / necunoscut /; Modul / cum / vom / alege / aceste / ecuatii / in / cazul / unui / exemplu / numeric / luat / si / ce / vom / obtine / prin / aceasta / in / cazul / unei / ecuatii / de / gradul / 2 / vom / arata / in / cele / ce / urmeaza /; 7 ( 2;3); / 3 si / am / mai / ales / o / alta / ecuatie / cu / a / si / b / diferiti / dar / cunoscuti / si / un / alt / coeficient / c / care / trebuie / sa / Deci / am / fost / ales / ecuatia / de / rezolvat / : 36 x1 93 x1 413 ! 0; / cu / x1 !2

aiba / acea / valoare / astfel / incat / ecuatia / noua / sa / admita / o / aceeasi / solutie /( x1 )1 ! data / : 3 x1 5 x1 c ! 0; / in / continuare / scadem / cele / doua / ecuatii / : 36 x1 93 x1 413 ! 0; / 3 x1 5 x1 c ! 0; /* ( 12); / __________ __________ __________ _______ 36 x1 60 x1 12c ! 0; / __________ __________ __________ _______ / 33 x1 ( 413 12c) ! 0; / x1 ! 413 12c ;/ 33 __________ __________ __________ __________ _2 2 2 2

7 ; / deci / egala / cu / ecuatia / 3

In / continuare / alegem / o / ecuatie / cu / coeficient i / asic / fixati / si / un / b / necunoscut / dar / cu / aceeasi / conditie / impusa / : 4 x1 bx1 156 ! 0; /* ( 9); / __________ __________ __________ _________ 36 x1 9bx1 156 ! 0; /( ) __________ __________ __________ ________ /(93 9b ) x1 257 ! 0; / x1 ! 257 ;/ 93 9b2 2

12

In / continuare / alegem / o / ecuatie / cu / bsic / cunoscuti / si / un / coeficient / a / necunoscut / : 36 2 ax1 23x1 305 ! 0; /* ( ); / a 828 10980 2 x1 36 x1 ! 0; /( ) a a _______________________________________ 828 10980 413a 10980 /(93 ) x1 413 ;/ ! 0; / (93a 828) x1 413a 10980 ! 0; / x1 ! 93a 828 a a __________________________________________________________________________________ Ce / facem / in / continuare / facem / niste / egalari / : 413 12c 257 ; / 38409 1116 c 3717 b 108bc ! 8481; / 1116 c 3717 b 108bc 29928 ! 0; / si / ! x1 ! 33 93 9b 257 413a 10980 ; / 23901a 212796 ! 38409 a 1021140 3717 ab 98820 b; / ! x1 ! 93 9b 93a 828 98820 b 14508 a 3717 ab 808344 ! 0; / si; / 413 12c 413a 10980 ; / 38409 a 1116 ac 341964 9936 c ! 13629 a 362340; / ! x1 ! 33 93a 828 24780 a 9936 c 1116 ac 20376 ! 0; / si / avem / : din / prima / ecuatie / scoatem / pe / b / : 29928 1116 c 9976 372 c ; / si / din / a / doua / ecuatie / scoatem / tot / pe / b / : ! b! 108c 3717 36c 1239 808344 14508 a 269448 4836 a 89816 1612 a ; / in / continuare / egalam / cele / doua / relatii / ale / lui / b / : ! ! b! 98820 3717 a 32940 1239 a 10980 413a 9976 372 c 89816 1612 a ; / si / scoatem / din / aceasta / egalitate / de / exemplu / pe / a / : ! b! 36c 1239 10980 413a 9976 * 10980 4084560 c 4120088 a 153636 ac ! 3233376 c 58032 ac 89816 * 1239 1997268 a; / 1745544 851184 c 851184 c 1745544 ; / din / a / treia / 851184 c 42669 ac 2122820 a 1745544 ! 0; / a ! ! 2122820 42669 c 2122820 42669 c ecuatie / de / sus / scoatem / pe / a / functie / de / c / : 9936 c 20376 851184 c 1745544 ; / 2109233952 0c 4325458032 0 423959184 c 2 859423544 c ! ! a! 24780 1116 c 2122820 42669 c ! 2109234952 0c 4325457032 0 948921344 c 2 1948027104 c; / 524962160 c 2 1088593560 c 10000 ! 0; / 13124054 c 2 27214839 c 250 ! 0; / bservatie / se / poate / observa / ca / acest / calcul / pe / care / l am / facut / este / foarte / complicat / si / cred / ca / am / gresit / astfel / ca / i au / niste / ecuatii / cu / coeficient i / mai / simpli / pentru / a l / verifica / :2

1 ( 0;1); / si / alegem / ecuatia / : 2 1 2 12 x1 4 x1 5 ! 0; / cu /( x1 ) 1 ! ; / 2 2 x1 x1 1 ! 0; / cu /( x1 )1 !

13

De / fapt / ecuatia / este / : 3 x1 x1 c ! 0; / si / ea / trebuie / sa / admita / aceeasi / solutie / cu / ecuatia / data /; 2 x1 x1 1 ! 0; / si /* (3) 3 x1 x1 c ! 0; /* (2) _____________________________________ 6 x1 3 x1 3 ! 0; / si / 6 x1 2 x1 2c ! 0; /( ) ________________________________________ / x1 ! 3 2c; / apoi / alegem / : ________________________________________ 3 x1 bx1 4 ! 0; / si /* (2) 2 x1 x1 1 ! 0; /* (3); / _______________________________________ 6 x1 2bx1 8 ! 0; / si / 6 x1 3 x1 3 ! 0; /( ) ______________________________________ /(2b 3) x1 5 ! 0; / x1 ! 2 x1 x1 1 ! 0; / si /* (a); / ax1 3x1 2 ! 0; /* (2); / ___________________________________________ 2ax1 ax1 a ! 0; / si; / 2ax1 6 x1 4 ! 0; /( ) _________________________________________ /(a 6) x1 ! a 4; / x1 ! x1 ! 3 2c ! a4 ; / si / in / continuare / egalam / valorile / lui / x1 / pe / rand / sa / vedem / ce / obtinem / a62 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

5 ; / si / acum / mai / alegem / : 3 2b _______________________________________

5 ; / 9 6c 6b 4bc ! 5; / 6b 6c 4bc 14 ! 0; / 3 2b a4 ; / 3a 2ac 18 12c a 4 ! 0; / 2a 12c 2ac 14 ! 0; / a 6c ac 7 ! 0; / x1 ! 3 2c ! a6 5 a4 ; / 5a 30 ! 3a 12 2ab 8b; / 8a 8b 2ab 42 ! 0; / in / continuare / procedam / la / fel / ca x1 ! ! 3 2b a 6 7a 6b 14 ; / din / a / doua / ecuatie / c ! ; / si / acum / egala si / in / exemplul / gresit / : din / prima / ecuatie / c ! a6 6 4b

14

cele / doua / relatii / : c ! b!

6b 14 7 a ; / 6ab 14a 36b 84 ! 42 6a 28b 4ab; / 2ab 8a 8b 42 ! ! 6 4b a 6

21 4a ; / pentru / ca / din / ecuatia / de / mai / sus / a / treia / ne / da / aceeasi / relatie / pentru / b / inlocuim / aceasta 4a relatie / in / ecuatia / in / b / si / apoi / o / combinam / cu / ecuatia / in / a / : 21 4 a 2 3 x1 x1 4 ! 0; / 4a (12 3a ) x1 ( 21 4 a ) x1 (16 4 a ) ! 0; / si /* ( a ) ax1 3 x1 2 ! 0; /* (12 3a ) __________ __________ __________ __________ ______ a (12 3a ) x1 ( 21a 4a 2 ) x1 (16a 4 a 2 ) ! 0; / si / a (12 3a ) x1 (36 9 a ) x1 ( 24 6 a ) ! 0; / __________ __________ __________ __________ _______ 4 a 2 22 a 24 /( 4 a 30 a 36) x1 ( 4a 22 a 24) ! 0; / x1 ! ;/ 4 a 2 30 a 36 Se / observa / ca / se / va / obtine / o / ecuatie / de / gradul / 3 / in / a / dar / totusi / o / scriem / sa / vedem / ce / s ar / putea /2 2 2 2 2 2

4a 2 22a 24 a 4 ! ; / 4a 3 22a 2 24a 24a 2 132a 144 ! 4a 3 16a 2 30a 2 120a 36a 144; / 4a 2 30a 36 a 6 a4 2 0 ! 0; / ar / trebui / sa / mai / gasim / o / relatie / distincta / : inlocuim / astfel / : ax1 3x1 2 ! 0; / si / x1 ! ;/ a6 a 2 8a 16 a 4 3 2 2 2 a 2 a 12a 36 3 a 6 2 ! 0; / a 8a 16a 3(a 4a 6a 24) 2a 24a 72 ! 0; / face / : x1 ! a 3 7a 2 10a ! 0; / : (a ); / a 2 7 a 10 ! 0; / a1, 2 !

7 s 49 40 7 s 3 ! ; / a1 ! 5; / si / a 2 ! 2; / in / continuare / 2 2 21 4a 21 20 21 8 13 7a 2 14 6b ! ! 1; / si / b2 ! ! ; / si / c1 ! ! ! 2 ! ! calculam / si / pe / b / si / c / : b1 ! 1 a 6 1 4a 2 2 4b 6 5 5 14 39 5 14 6 ! 2; / si / c 2 ! ! ! ! ; / [ ] valorile / sunt / corecte / se / poate / face / si / verificarea / ! 10 4 4 20 4 ecuatiilor / partial / echivalente / . Am descoperit greseala si vin din spate corectand. Deci / corectarea / calcului / a / dat / rezultate / si / si / aceasta / metoda / duce / ca / si / o / fantezie / la / rezol var ea / ecuatiei / de / gradul / 2 / . Im por tan t / este / ca / aceasta / metoda / doresc / sa / o / aplic / la / ecuatiile / de / grad / sup erior / .Daca / chiar / vrem / sa / verificam / ecuatiile / partial / echivalent e / o / putem / face / :a 2 ! 2; / 2 x1 3 x1 2 ! 0; / ( x1 ) 1, 2 !2

3 s 9 16 3 s 5 1 ! ; / ( x1 )1 ! ; / [ ]; / si /( x1 ) 2 ! 2; / si / 4 4 2

15

2 3 s 9 40 3 s 7 ; / ( x1 ) 3 ! ; / si /( x1 ) 4 ! 1; / [ A] / aceasta / ! 5 10 10 solutie / x ! 1; / este / de / fapt / a / doua / solutie / a / ecuatiei / initiale / .In / continuare / mai / avem / : a1 ! 5; / 5 x1 3 x1 2 ! 0; / ( x1 ) 3, 4 !2

b1 ! 1; / 3 x1 x1 4 ! 0; / ( x1 )1, 2 ! b2 !

2

4 1 s 1 48 1 s 7 ; / ( x1 ) 1 ! ; / si /( x1 ) 2 ! 1; / [ A]; / ! 3 6 6

13 13 13 s 169 192 13 s 19 2 2 ;/ ; / 3 x1 x1 4 ! 0; / 6 x1 13 x1 8 ! 0; / ( x1 ) 3, 4 ! ! 12 12 2 2 8 1 ( x1 ) 3 ! ; / [ A]; / si /( x1 ) 4 ! ; / si / in / continuare / verificam / si / ecuatiile / partial / echivalent e / in / c / : 3 2 c1 ! 2; / 3 x1 x1 2 ! 0; / ( x1 )1, 2 !2

2 1 s 1 24 1 s 5 ; / ( x1 ) 1 ! ; / si /( x1 ) 2 ! 1; / [ A]; / si / ! 3 6 6

5 1 5 2 s 4 60 2 s 8 2 ; / ( x1 ) 3 ! ; / [ A]; / si /( x1 ) 4 ! ; / c 2 ! ; / 12 x1 4 x1 5 ! 0; / ( x1 ) 3, 4 ! ! 6 2 12 12 4 Observatie / bine int eles / metoda / asa / dupa / cum / am / prezentat o / ar / consta / in / rezol var e / prin / scaderi / de / ecuatii / etc... / __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ _____ Astfel / avem / : luam / aceeasi / ecuatie / de / gradul / 2 / pe / care / acum / o / scriem / astfel / : 1 ; / am / ales / ecuatia / echivalent a / : 3 x 2 x 2 ! 0; / care / este / partial / 2 echivalent a / cu / ecuatia / data / pentru / ca / admite / solutia / x1 ! 1; / si / ecuatia / partial / echivalent a / care / admite / 2 x 2 x 1 ! 0; / cu / x1 ! 1; / si / x 2 ! 1 ; / cu / ecuatia / data / : 12 x 2 3 x 2 x c1 ! 0; / si / solutia / x 2 ! 2 x 2 x 1 ! 0; / si /* (3) 3 x 2 x c1 ! 0; /* ( 2) __________ __________ __________ _____ 6 x 2 3 x 3 ! 0; / si / 6 x 2 2 x 2c1 ! 0; /( ) __________ __________ __________ _______ / x1 ! 3 2c1 ; / si / 2 x 2 x 1 ! 0; /* 6 12 x 2 4 x c 2 ! 0; / __________ __________ __________ _2

Acum / in / continuare / pornind / tot / de / la / ecuatia / de / gradul / 2 / sa / mai / facem / unele / calcule / putin / mai / diferite /

4 x 5 ! 0; / si / avem / operarile / :

scriem / ecuatiile / ca / si / cand / nu / cunoastem / in / totalitate / ecuatiile / partiale / :

16

2 x 6 c 2 ! 0; / x 2 !

6 c2 ; / in / continuare / conform / relatiilor / lui / Viete / avem / : 2 6 c2 6 c2 18 12c1 3c 2 2c1c 2 )! x1 x 2 ! 3 2c1 ! 6 4c1 6 c 2 ! 1; / 4c1 c 2 ! 13; / si / x1 x 2 ! (3 2c1 )( 2 2 2 10 10 ! 18 12c1 3c 2 2c1 c 2 ! 1; / 18 39 2c1c 2 ! 1; / 2c1 c 2 ! 20; / c 2 ! ; / 4c1 ! 13; / c1 c12

4c1 13c1 10 ! 0; / (c1 ) 1, 2 ! si /(c 2 )1 !

5 13 s 169 160 13 s 3 ; / (c1 ) 1 ! ; / [ A]; / si /( c1 ) 2 ! 2; / [ A]; / ! 8 8 4

10 * 2 ! 5; / si /( c 2 ) 2 ! 5; / [ A]; / in / concluzie / si / aceasta / mod alitate / da / rezultate / la / ecuatia / 4 de / gradul / 2 / . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ ___ In / continuare / sa / mai / incercam / o / abordare / de / calcul / tot / in / cazul / ecuatiei / de / gradul / 2 / cu / aceeasi /

specificat ie / ca / eu / cred / ca / va / merge / si / la / ecuatiile / de / grad / " 2 / . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ ___ Sa / luam / de / data / aceasta / o / ecuatie / care / are / o / solutie / incadrata / de / exemplu / in / int ervalul /( 2;3); / si / anume / x1 ! 5 ; / sa / luam / totusi / ecuatii / mai / simple / . 2

45 ! 0; / 4 x 2 8 x 45 ! 0; / consideram / in / continuare / ca / aceasta / ecuatie / admite / solutia / 4 p rationala / x1 ! 1 ; / si / pe / care / dupa / incadrare / ne / dam / seama / ca / apartine / int ervalului /(2;3); / pentru / ca / q1 x 2 2x apartine / acestui / int erval /, inseamna / ca / o / putem / scrie / astfel / : x1 ! 2q1 f ; / pentru /, ca / consideram / ca / q12

aceasta / este / o / solutie / a / ecuatiei / date / inseamna / ca / putem / aplica / teorema / lui / Bazout / : 16q1 4 f 32q1 24q1 f 4 f 4 x 2 8 x 45 ; / si / bine int eles / restul / : ! 4x 2 q1 q1 x 2q1 f q12

45 ! 0; / si / pentru / exemplul /

nostru / se / verifica / deci / calculul / a / fost / facut / corect / . Acum / acest / cat / pe / care / l am / obtinut / va / da / cea / 16q1 4 f 4q f ; / in / continuare / sa / det er min am / ecuatia / in / de / a / doua / solutie / a / ecuatiei / date / : x 2 ! ! 1 4q1 q1 q1 / si / f / folo sin du ne / de / o / ecuatie / reper / : 4 x 2 8 x 2 32 ! 0; / 4( x1 x 2 )( x1 x 2 ) 8( x1 x 2 ) 13 ! 0; / si / ( x1 x 2 ) !2 2

f 4q f f 4q f f 8 13 ! 0; / 16q1 f 4 f 2 8q1 f 13q1 2 ! 0; / ; / si /( x1 x 2 ) ! 1 ; / 4 1 q q q q1 q1 1 1 1

13q1 4 f 2 24q1 f ! 0; / deci / aceasta / este / o / alta / ecuatie / in / q1 / si / f / care / va / trebui / sa / o / combinam / cu / cel / putin / inca / o / ecuatie / similara / pentru / a / afla / pe / q1 / si / f /; de / exemplu / sa / luam / chiar / ecuatia /

17

2q f 2q f 45 ! 0; / 8 1 initiala / si / sa / incercam / sa / o / transformam / : 4 x 8 x 45 ! 0; / 4 1 q q 1 1 2

2

4(4q1 f 2 4q1 f ) 16q1 8q1 f 45q1 ! 0; / 13q1 24q1 f 4 f 2 ! 0; / am / obtinut / aceeasi / ecuatie / . Sa / luam / in / cazul / de / la / inceputul / calculului / si / sa / aplicam / relatiile / lui / Viete / : 2q f 4q1 f 2q x1 x 2 ! 1 ! 1 ! 2; / nu / obtinem / o / alta / ecuatie / distincta /; sa / luam / si / produsul / q1 q1 q12 2q1 f 4q1 f 8q1 6q1 f f 2 45 ! solutiilor / : x1 x 2 ! ! ; / dar / se / pare / ca / obtinem / aceeasi / ecuatie / . 2 q 4 q1 q1 1 Totusi / pentru / a / mai / gasi / o / relatie / distincta / in / q1 / si / f / sa / mai / cautam / unele / combinatii / Este / totusi /

2

2

2

2

de / mentionat / ca / cu / ce / am / aratat / pana / acum / si / anume / ca / am / cautat / sa / gasim / ecuatii / partial / echivalent e / problema / este / rezolvata / si / in / acest / sens / dar / scopul / este / de / a / gasi / ceva / nou / ca / si / cand / rezolvam / ecuatiile / prin / alta / mod alitate / .De / asemenea / si / am / sa / mai / revin / cu / exemplific ari / aceste / mod alitati / dupa cum / s a / putut / vedea / se / aplica / si / in / cazul / solutiilor / irationale / sau / chiar / complexe / chiar / daca / acum / le / aplicam / numai / pentru / situatiile / cand / ecuatiile / ar / admite / numai / solutii / int regi / sau / rationale / .Deci / va / ramane /" tema / de / cercetare / si / studiu " / . De / exemplu / sa / concepem / lucru / pe / care / de / fapt / l am / mai / facut / in / aceasta / exp unere / ca / fapt / divers / ce i / drept / deci / sa / ne / folosim / de / exemplu / de / diferenta / solutiilor / unei / ecuatii / de / gradul / 2 / in / completare / sa / zicem / asa / la / relatiile / lui / Viete / : b 2 4c b 2 2 Astfel / avem / : x1 x 2 ! 2 x1 ! 2 x1 ( x1 x 2 ); / sau / : ( x1 x 2 ) ! ( x1 x 2 ) 4 x1 x 2 ! 2 ; / si / aceasta / a a a ultima / relatie / sa / o / aplicam / in / cazul / exemplului / nostru / pe / care / l am / considerat / : 2 q f 4 q1 f 6q 2 f ! 49; / 1 ! 49; / 36q1 2 4 f 2 24 q1 f 49q1 2 ! 0; / 13q1 2 24q1 f 4 f 1 q q1 q1 1 s a / obtinut / aceeasi / ecuatie / pe / care / am / mai / det er min at o /; sa / luam / altceva / : Avem / : bx1 ax1 ! c; / se / va / obtine / aceeasi / ecuatie /; sin gura / mod alitate / de / rezol var e / a / acestei / abordari / este / de / a / ne / folosi / de / ecuatii / partial / echivalent e / pe / care / in / cazul / unei / ecuatii / de / gradul / 2 / am / aratat / cum / le / det er min am /; de / exemplu / fara / a / mai / arata / calculul / de / det er min are / pentru / o / ecuatie / echivalent a / cu / cea / data /, alegem / noi / direct / una / si / efectuam / calculele / aferente / acestei / abordari / pentru / a / arata / fiabilitat ea / si / acestui / procedeu / Astfel / avem / ecuatia / partial / echivalent a / cu / cea / data / : 2x 2 x 2 2 2 2

revenind / la / problema / noastra / trebuie / sa / mai / cautam / o / combinatie / de / relatii / daca / nu / vom / gasi / probabil /

!0

60 5 ! 0; / cu / x1 ! ; / 8 x 2 4 x 60 ! 0; / 2 x 2 x 15 ! 0; / alegem / de / exemplu / ca / si / mod alitate / de 4 2 2 det er min are / a / inca / unei / ecuatii / ecuatia / reper / : 2 x 2 x 2 10 ! 0; / 2( x1 x 2 )( x1 x 2 ) ( x1 x 2 ) 5 ! 0; /

18

( x1 x 2 ) !2

4q f f 2 f 4q f f 5 ! 0; / 8q1 f 2 f 2 q1 f 5q1 2 ! 0; / ; / si /( x1 x 2 ) ! 1 ; / 2 1 2 q q1 q1 q1 1 2

5q1 2 f 2 9q1 f ! 0; / si / mai / avem / ecuatia / anterior / det er min ata / : 13q1 24q1 f 4 f2 2 2

! 0; /

40q1 16 f 2 72q1 f ! 0; / si / 39q1 12 f 2 72q1 f ! 0; /( ) _____________________________________ q1 4 f 2 / ! 0; / (q1 2 f )(q1 2 f ) ! 0; / si / p1 ! 2q1 f ; / si / q1 ! 2 f ; / din / ecuatiile / de / mai / ina int e / p1 ! 4 f f ! 5 f ; / x1 ! p1 5 f 5 3 ! ! ; / [ A]; / sau / q1 ! 2 f ; / p1 ! 4 f f ! 3 f ; / ( x1 )1 ! ; / 2 q1 2 f 22

[ ]; / numai / o / valoare / este / buna / pentru / q1 / _______________________________________________________________________________________________ In / continuare / trec / cu / unele / calcule / si / abordari / de / rezol var e / la / ecuatia / de / gradul / 3 / . Astfel / un / anumit / tip / de / calcul / care / foloseste / aceleasi / substitutii / pe / care / le / numeam / la / inceputul / exp unerii / ar / fi / : fie / ecuatia / de / gradul / 3 / data / in / forma / generala / : ax 3 bx 2 cx d ! 0; / an3 (a b)n2 (a b c) x d ! 0; / cu / n3 ! x 3 x 2 ; / n2 ! x 2 x; / se / observa / int r o / prima / aproximare / ca / ecuatia / am / putea / sa / o / scriem /( forma / echivalenta) / si / astfel / : d1 d 2 d 3 ! d ; / dar / mai / putem / avea / : d 2 ( a b ) 2 n 2 ( a b c ) 2 x 2 2 d ( a b ) n 2 2d ( a b c ) x d ( a b) n2 ( a b c ) x 2 2 n3 ! ; / si / n3 ! (n2 x) ! a a2 2(a b)( a b c )n 2 x ; / dupa / efectuarea / calculelor / se / poate / scoate / de / exemplu / : (n2 )1, 2 functie / de / x / si / de / coeficienti /; sau / x1, 2 functie / de / n2 / si / de / coeficienti / .2

_______________________________________________________________________________________________ Observatie / un / alt / tip / de / abordare / care / se / aplica / chiar / de / la / ecuatia / de / gradul / 1 /(am / si / aratat / acest / lucru / si / undeva / in / aceasta / lucrare / am / sa l / arat / si / pentru / ecuatia / de / gradul / 2) / consta / in / asa / numitele / de / catre / min e / de / CONDITII / DE / REZOLVARE / a / unei / ecuatii / in / general / . Astfel / ne / referim / in / continuare / la / ecuatia / de / gradul / 3 / : fie / ecuatia / : ax 3 bx 2 cx d ! 0; / si / consideram / prima / conditie / de / rezol var e / a / ei / ca / fiind / : (1) / ax 3 ! 0; / a { 0; / solutia / banala / : x1 ! x 2 ! x3 ! 0; / o / a / doua / conditie / de / rezol var e / a / acestei / ecuatii / ar / fi / : b (2) / ax 3 bx 2 ! 0; / a, b K ; / a { 0; / ecuatia / este / x 2 (ax b) ! 0; / x1 ! x 2 ! 0; / si / x3 ! ; / a o / a / treia / conditie / de / rezol var e / a / ecuatiei / date / ar / fi / :

19

c (3) / ax 3 cx ! 0; / x(ax 2 c) ! 0; / x1 ! 0; / si / x 2, 3 ! s ; / a o / a / patra / conditie / de / rezol var e / ar / fi / :3 2 d d d 2 3 d 3 d 3 3 3 (4) / ax d ! 0; / a { 0; / a; d K ; / x ! 0; / x a ! 0; / x a x a x a ! 0; / si a 3 3

x1 ! 3 clasica / .

d ; / si / din / celalalt / factor / se / obtin / celelalte / doua / solutii / ale / ecuatiei / date / calculate / cu / formula / a

un / al / cincelea / caz / de / rezol var e / ar / fi / : (5) / ax 3 bx 2 cx ! 0; / a { 0; / a; b; c K ; / ecuatia / este / x(ax 2 bx c) ! 0; / si / x1 ! 0; / si / x 2 ,3 !

b s b 2 4ac ;/ 2a -a/sasea/conditie/de/rezolvare/ar/fi/: (6) / ax 3 bx 2 d ! 0; / in / general / doresc / sa / mentionez / ca / unele / conditii / de / rezol var e / doresc / sa / le / las / pe / mai / tarziu / dar / un / calcul / am / sa / fac / si / in / cazul / acesta / cu / toate / ca / se / observa / ca / este / un / caz / mai / dificil /Deci / in / continuare / sa / analizam / acest / caz /; dar / il / vom / analiza / folo sin du ne / de / substituti ile / facute / : n3 ! x 3 x 2 ; / x 3 ! n3 x 2 ; / si / n 2 ! x 2 x; / x 2 ! n 2 x; / cu / aceste / notatii / ecuatia / devine / : an3 ax 2 bn 2 bx d ! 0; / an2 x an 2 ax bn2 bx d ! 0; / x (an2 a b) ! d n2 (a b); / x! d n 2 ( a b) d x ( a b) ; / sau / n2 ! ; / este / ceva / foarte / int eresant / cu / aceste / relatii / si / acum / nu mi ax a b an 2 a b

dau / seama / ce ?/ Ce / este / mai / eficient ? este / de / a / lua / un / exemplu / numeric / : fie / ecuatia / : 2 x 3 3 x 2 5 ! 0; / sa / consideram / ca / exista / o / solutie / x1 ! E 1 / care / verifica / aceasta / ecuatie / : 2E 1 3E 1 5 ! 0; / E 1 (2E 1 3) ! 5 ! c1 c 2 ; / unde / : E 1 ! c1 ; / si / 2E 1 3 ! c 2 ; / E 1 !2 3 2 2 2

c2 3 ; / si / deci / : 2

c1 !

c 2 9 6c 2 5 3 2 ; / si / c1 ! ; / 20 ! c 2 6c 2 9c 2 ; / si / eventual / cautam / pe / c 2 / pr int re / divizorii / int regi / ai / c2 4

termenului / liber / .Ce / este / de / mentionat / prin / ceea / ce / arat ? Observatie / cred / ca / nu / sunt / deplasat / daca / arat / toate / aceste / abordari / care / int r un / drum / lung / pot / duce / totusi / la / rezol var ea / oricarei / ecuatii / de / gradul / 3 / si / in / general / a / oricarei / ecuatii / cred / eu / .De / exemplu / mai / sus / avem / ecuatia / in / c 2 / pe / care / o / transformam / astfel / : y 3 6 y 2 9 y 20 ! 0; / la / care / folosim / substitutia / n 2 y ! y 2 y; / y 2 ! n 2 y y; / si / n3 y ! y 3 y 2 ; /

20

y 3 ! n3 y y 2 ; / n3 y n2 y y 6n2 y 6 y 9 y 20 ! 0; / n2 y y n 2 y y 6n2 y 6 y 9 y 20 ! 0; / 20 4 y 2 2 ; / dar / y ! 2 x1 3; / n 2 y ! 4 x1 12 x1 9 2 x1 3 ! 4 x1 10 x1 6; / y 5 20 8 x1 12 2 3 2 2 ; / 8 x1 20 x1 12 x1 8 x1 20 x1 12 ! 20 8 x1 12; / 4 x1 10 x1 6 ! 2 x1 2 n2 y ! 8 x1 12 x1 20 ! 0; / 2 x1 3x1 5 ! 0; / si / am / obtinut / aceeasi / ecuatie / initiala / bservatie / se / pare / ca / totusi / sin gura / mod alitate / ar / fi / ecuatiile / partial / echivalente / . e lativ / la / acelasi / caz / particular / de / ecuatie / pe / care / l am / luat / sa / mai / reliefam / unele / aspecte / si /3 2 3

calcule /, dar / nu / ia int e / de / a / spune / ca / aceste / conditii / de / rezol var e / pe / care / le am / prezentat / nu. / sunt / chiar / conditii / de / rezol var e / in / ade var atul / sens / al / cuvantului / pe / care / eu / doresc / sa l / reliefez / ci / sunt / de / fapt / cazuri / particular e / de / ecuatii /, in / cazul / de / fata / ecuatii / de / gradul / 3 /, si / conditiile / pure / de / rezol var e / se / vor / vedea / pe / parcurs / . stfel / am / definit / int r un / anumit / sens / sa / ma / corectez / urmatorul / caz / particular / de / ecuatie / de / gradul / 3 / : ax 3 bx 2 d ! 0; /

a / acest / caz / particular / consideram / mai / int ai / subcazul / particular /, si / anume / : a / acest / caz / particular / punem / acum /, urmatoarea / conditie / de / rezol var e /, si / anume / :

ax 3 ax 2 d ! 0; / pe / care / incercam / literal / sa l / rezolvam /; ax 3 ! ; / si / ax 2 d ! ; / din / aceste / doua / ecuatii / in / care / nu / cunoastem / pe /" " / il / scoatem / pe /" a" / din / fiecare / : a!3

d d ; / in / continuare / egalam / cele / doua / exp resii / : ! x x2 x2 dx dx d ; / ! x dx; / (1 x) ! dx; / ! ; / si / ! ax 2 d ; / ax 2 d ! ; / si / observa ! 3 2 1 x 1 x x x ca / se / obtine / ecuatia / initiala / in / continuare / mai / punem / si / a / doua / conditie / de / rezol var e / : ; / si / din / cealalta / ecuatie / : a ! ax 3 d ! ; / si / ax 2 ! ; / si / d ! ; / si / d ! ; /; / si / cred / ca / mai / departe / nu / pot / continua / in / anumite / mod alitati / . Tot / relativ / la / aceasta / abordare / sa / mai / facem / cateva / calcule / : ax 2 d ! ; / si / ax 2 ! B; /( ) __________ __________ __________ ________ /d !

;/

21

Sa / mai / incercam / sa / gasim / daca / putem / o / ecuatie / partial / echivalenta / cu / cea / data / : Sa / luam / acelasi / exemplu / numeric / : 2 x 3 2 x 2 5 ! 0; / si / ecuatia / partial / echivalenta / : 2 x 3 3 x 2 d 1 ! 0; / 2 x 2 5 3 x 2 d 1 ! 0; / x 2 5 d1 ! 0; / x1, 2 ! s 5 d1 ; /

De / fapt / nu / il / cunoastem avem / : la / ecuatia acum / la / ecuatia usor / ca / 2x3 1

/ pe / d 1 / cum / am / putea / sa lk / aflam /; sa / incercam / conform / cu / cele / aratate / am / avea / : 2 x 3 ! / ca / : 2 x 3 ! / nimic /; pentru / echivalent a / : daca / am / considera / ca / nu / am / rezolvat

/ un

/ de / rezolvat

/ partial

1

; / ar / rezult

!

; / ceea / ce / inseamna2

/ a / fi / o / ecu

cu / coeficient

i / distincti

/ ar / trebui / sa / punem / altfel / conditiile! B 1 ; / la / ecuatia

/ de / rezol var e / : de / ex

d 1 ! B 1 ; / si / 3 x

/ data / am / putea / face / : 2 x 3 5 ! B ; / si / 2 x

B1 d 1 B 5 ! ; / B 1 d 1 ! B 5 ; / si / acum / judecam / astfel /; 2 2 daca / B ! de / exemplu / cu / 20 /, atunci / pentru / ca / pe / d 1 / nu / il / cunoastem x3 !

/, B 1 ! cu

B 1 d 1 ! B 5 ; / deci / am / putea / alege / de / exemplu / B 1 ! 35 ; / d 1 ! 30 B ; / si / d1 ! B1 A; / d 1 ! 35 A ! 30 B; / A B ! 5; / cred / ca / am / gresit /Totusi / sa / luam / a / doua / ecuatie / care / este / partial / echivalent a / cu / cea / data / spre / rezol var e / mai / elocventa / si / mai / distincta / lucru / care / trebuie / urmarit / si / atunci / cand / punem / metoda / de / rezol var e / in / aplicare / atunci / daca / ea / se / dovedeste / a / fi / viabila /; astfel / avem / cea / de / a / doua / ecuatie / :

7 x 3 4 x 2 d 1 ! 0; / ecuatia / data / spre / rezol var e / este / aceeasi / : 2 x 3 2 x 2 5 ! 0; / aceasta / ecuatie / initiala / am /

operat o / si / dupa / operari / am / vazut / ca / obtinem / : 2 x 3 ! A; / x 3 !

A A5 ; / si / 2 x 2 5 ! A; / x 2 ! ;/ 2 2 B 5 B A B5 sau / 2 x 3 5 ! B; / si / 2 x 2 ! B; / x 3 ! ; / si / x 2 ! ; / ! ; / A B 5 ! 0; / sau / 2 2 2 2 B A5 ! ; / A B 5 ! 0; / deci / aceeasi / ecuatie / si / acum / in / continuare / sa / luam / ecuatia / partial / 2 2 1 d1 echivalenta / : 7 x 3 4 x 2 d1 ! 0; / in / mod/ similar / : 7 x 3 ! 1 ; / si / 4 x 2 d 1 ! 1 / x 3 ! 1 ; / si / x 2 ! ; 7 4 5 1 d1 7 7 ;/ dar / x 3 ! ; / ! 1 ; / 1 ! ; / si / x 2 ! ! ; / 4 20 ! 2 1 2d1 ; / 1 ! 2 2 4 2 2 2 7 5 4 20 7 2d1 ! 0; / 3 2d 1 20 ! 0; / si / acum / alegem / asa / : 7 x 3 4 x 2 ! d1 / 7 * 4 * ! 2 2 ! d1 ; / 7 4 20 2d1 ! 0; / 3 2d1 20 ! 0; / si / se / observa / ca / am / obtinut / aceeasi / ecuatie / . r ocedam / astfel / in / continuare / : 7 x 3 d1 ! B1 ; / x 3 ! ! B1 d1 B B5 ; / si / 4 x 2 ! B1 ; / x 2 ! 1 ; / ! 2 7 4

B B1 d 1 B ; / 7 B 35 2 B1 2d1 ! 0; / si / ! 1 ; / B1 ! 2 B; / 7 B 35 4 B 2d 1 ! 0; / 11B 2d1 35 ! 0; 7 2 4

22

; / si / 2

11B 2 d 1 35 ! 0; / si / 3 A 2 d 1 20 ! 0; /( ) __________ __________ __________ _________ 11B 3 A / 15 ! 0; / si / obtinem / acum / sistemul / : 11B 3 A 15 ! 0; / si B A 5 ! 0; /* (11) __________ __________ __________ _______ 11B 11 A 55 ! 0; /( ) __________ __________ __________ __________ __ / 8 A 40 ! 0; / A ! 5; / Observatie / nu / pot / int elege / ce / nu / se / verifica / de / exemplu / B ! 0; / se / pare / ca / nu / putem / rezolva / ecuatia / si / nu / stiu / ce / am / gresit / Observatie / in / continuare / am / sa / reiau / acest / calcul / sa / vedem / unde / am / gresit , si / am / sa / aleg / unele / ecuatii / la / care / cunoastem / o / solutie / pe / care / de / fapt / ne / propunem / ca / sa / o / aflam /, si / acest / lucru / din / motivul / de / a / ne / putea / verifica / mai / usor / calculul / Astfel / avem / : fie / ecuatia / : 2 x 3 3 x 2 5 ! 0; / cu / x1 ! 1; / ecuatie / care / face / parte / tot / din / acest / caz / particular / de / ecuatii / de / gradul / 3 /; acum / alegem / o / ecuatie / partial / echivalent a / cu / ecuatia / data / spre / rezol var e / la / care / impunem / conditia / ca / sa / admita / o / solutie / tot / x1 ! 1; / : 7 x 3 4 x 2 d 1 ! 0; / cu / d 1 ! 11; / pe / care / de / fapt / nu / il / cinoastem /; si / avem / : 2 x 3 ! A; / x 3 !

A A5 ; / acestea / fiind / conmditiil e / propriu zise / de / rezol var e /; ; / si / 3 x 2 5 ! A; / x 2 ! 3 2 A A1 d 1 7A A A ; / si / 4 x 2 d 1 ! A1 ; / x 2 ! ; / si / si / mai / avem / : 7 x 3 ! A1 ; / x 3 ! 1 ; / ! 1 ; / A1 ! 2 4 7 2 7 A1 d 1 5 A 7A ; / 3 A1 3d 1 20 4 A ! 0; / 3 ! 3d 1 20 4 A ! 0; / 13 A 6 d 1 40 ! 0; / 4 3 2 13 A 6 d 1 40 ! 0; / si / in / continuare / cu / cele / aratate / mai / efectuam / calculele / : 2 x 3 5 ! B; / x 3 ! B d1 B 5 B5 B ; / si / 3 x 2 ! B; / x 2 ! ; / si / 7 x 3 d 1 ! B1 ; / x 3 ! 1 ;/ ! 2 3 7 2 B 4B B 4B 2 B1 2 d 1 7 B 35 ! 0; / si / 4 x 2 ! B1 ; / x 2 ! 1 ! ; / B1 ! ; / 2 2 d 1 7 B 35 ! 0; / 4 3 3 3 13 B 6 d 1 105 ! 0; / si / combinam / cu / cealalta / ecuatie / si / e lim inam / pe / d 1 / : __________ __________ __________ __________ ___ 13( B A) / 65 ! 0; / B A 5 ! 0; / si / se / observa / ca / am / obtinut / aceeasi / ecuatie / pe / care / am / mai / obtinut anterior / deci / calculele / acestea / nu / au / dat / rezultate / . Sa / facem / astfel / :

13 A 6 d 1 40 ! 0; /( )

23

B1 d1 B A 5 A ;/ ; / si / x 3 ! ; / 2 B1 2d1 7 A ! 0; / si / 4 x 2 ! B1 ; / x 2 ! 1 ; / si / x 2 ! 3 7 2 4 4 A 20 ; / 8 A 40 6d1 21A ! 0; / 13 A 6d 1 40 ! 0; / si / am / obtinut / 3B1 20 4 A ! 0; / B1 ! 3 aceeasi / ecuatie / deci / tot / nimic / . Observatie / foarte / impor tan ta / ce / observam / de / fapt / la / acest / caz / particular / de / ecuatie / de / gradul / 3 / x3 ! si / in / plus / la / aceste / conditii / de / rezol var e / pe / care / le / punem ? observam / urmatoarele / lucruri / : 2 x 3 ! A; / si / 7 x 3 ! A1 ; /

A A1 ! ; / 7 A ! 2 A1 ; / din / aceasta / ultima / egalitate / pentru / ca / ea / sa / fie / valabila / 2 7 A1 d1 5 A 33 trebuie / ca / : A ! 2; / si / A1 ! 7; / si / ; / 21 3d1 20 8 ! 0; / si / d 1 ! ! 11; / se / observa / ! 4 3 3 imediat / ca / x1 ! 1; / si / ca / ecuatiile / cele / doua / sunt / : 2 x 3 3x 2 5 ! 0; /* (7) 7 x 3 4 x 2 11 ! 0; /* (2) _______________________________________ 14 x 3 21x 2 35 ! 0; / si / 14 x 3 8 x 2 22 ! 0; / __________________________________________ / 13x 2 13 ! 0; / x 2 ! 1; / x1, 2 ! s1; / si / se / retine / x1 ! 1; / Observatie / se / pare / ca / metodo log ia / a / mers / si / in / plus / cred / ca / merge / la / orice / ecuatie / de / gradul / 3 / chiar si / la / ecuatia / generala / . ________________________________________________________________________________________________ Pentru / edificare / sa / mai / luam / un / exemplu / : A ; / si / fie / ecuatia / de / rezolvat / : 3x 3 2 x 2 8 ! 0; / si / punem / conditia / de / rezol var e / : 3x 3 ! A; / x 3 ! 3 mai / luam / o / ecuatie / partial / echivalenta / la / care / punem / conditia / ca / sa / admita / o / aceeasi / solutie / x1 / cu / A ecuatia / data / : 7 x 3 5 x 2 d1 ! 0; / si / punem / aceeasi / conditie / de / rezol var e / : 7 x 3 ! A1 ; / x 3 ! 1 ; / 7 egalam / si / avem / : 7 A ! 3 A1 ; / si / aceasta / in / conformitate / cu / cele / aratate / mai / sus / trebuie / sa / avem / : A ! 3; / si / A1 ! 7 ; / x1 ! 1; / si / se / pare / ca / aceasta / solutie / nu / verifica / ecuatia / data /; dar / mai / avem / : 2 x 2 8 ! 3; / x 2 ! x1, 2 ! 8 3 8 2 6 8 2 6 ; / x1, 2 ! s ; / si / x 3 1 ! 0; / ( x 1)( x 2 x 1) ! 0; / ! 2 2 2

1s 1 4 1s i 3 ; / si / se / pare / ca / nu / avem / solutii / comune / deci / metoda / nu / se / verifica / deci / ! 2 2 observatia / de / mai / sus / nu / este / valabila / .Deci / revin / cu / corectuar / necesara / si / spun / ca / metoda / nu / este /

24

valabila / . Pr obabil / se / poate / aplica / alta / meto log ie / pe / care / am / aratat o / de / exemplu / cea / de / la / ecuatiile / care / admit / solutii / rationale / sau / complexe / . _______________________________________________________________________________________________ Observatie / de / asemenea / impor tan ta / am / specificat / undeva / in / int roducere / ca / doresc / sa / arat / toate / calcu lele / pe / care / le am / facut / si / in / sensul / ca / o / terta / persoana / va / gasi / metoda / optima / si / trebuie / sa / mai / specific / ca / unele / calcule / de / completare / le / fac / chiar / aici / direct / in / aceasta / exp unere / .Trec / mai / departe / in / revista / alte / calcule / pe / care / le am / mai / facut / . Astfel / mai / avem / : fapt / cum / este / cazul / general / nu / o / cunoastem / . Sa / alegem / acum / inca / o / ecuatie / de / gradul / 2 / de / exemplu / care / are / ca / si / conditie / impusa / echivalenta / de / rangul / 1 / cu / ecuatia / data / : 3 x 2 3x d 1 ! 0; / si / scadem / cele / doua / ecuatii / : 3 x 3 3x 2 12 ! 0; / 3 x 2 3x d 1 ! 0; /* ( x) ______________________________________ 3 x 3 3 x 2 d1 x ! 0; / ______________________________________ // d1 x 12 ! 0; / x ! s 9 12d1 62

fie / ecuatie / de / gradul / 3 / : 3 x 3 3 x 2 12 ! 0; / la / care / sa / pre sup unem / ca / o / solutie / ar / fi / x1 ! 2; / pe / care / de

3 s 9 12d1 12 12 ; / din / a / doua / ecuatie / avem / x1, 2 ! ! ;/ 6 d1 d1

!

24 d1 72 3d1 ; /* (2); / s 9 12d 1 ! ; / s d1 9 12d 1 ! (72 3d1 ); /[......]2 ; / 2d 1 d12 3

d 1 (9 12d1 ) ! 5184 9d 1 432d1 ; / d1 36d 1 432 ! 0; / prin / verificare / am / avea / d1 ! 6; / si / sa / veri ficam / aceasta / ecuatie / : 216 216 432 ! 0; / 0 ! 0; / [ A]; / ecuatia / det er min ata / este / corecta / . Concluzie / se / observa / ca / in / mod/ firesc / mai / avem / nevoie / de / o / ecuatie / in / d 1 / pentru / ca / prin / scadere / sa / obtinem / o / ecuatie / de / gradul / 2 / in / d1 / care / sa / fie / rezolvabila / . sa / facem / urmatorul / calcul / pentru / a / mai / det er min a / o / ecuatie / in / d1 / : 3 x 3 3x 2 12 ! 0; / si / x 2 x n 2 ! 0; /* (3 x) _______________________________________ 3 x 3 3 x 2 3n2 x ! 0; / _______________________________________ // 3n2 x ! 12; / x ! 4 ; / dar / x 3 x 2 ! n3 ! n 2 x ! 4; / si / se / pare / ca / l am / aflat / pe / n3 ! 4 /; daca / din / ecuatia / n23

substituti ei / efectuam / calculul / se / obtine / ecuatia / in / n2 / : n2 4n 2 16 ! 0; /

25

Pentru / ca / am / det er min at / pe / n3 / ca / fiind / egal / cu / 4 / undeva / am / trecut / sau / daca / nu / o / sa / trec / o / for mula / a / lui / n 2 / functie / de / n3 / si / daca / il / avem / pe / n 2 / ecuatia / data / este / rezolvata / . otusi / nu / este / vorba / in / cele / ce / am / aratat / de / formule / ci / mai / deg raba / de / o / regula / de / rezol var e / mai / precis / de / un / itinerariu / de / rezol var e / al / ecuatiei / de / gradul / 3 / care / prin / extensie / cred / ca / merge / in / cazul / oricarei / ecuatii / de / orice / grad / ar / fi / ea / . ricum / formula / pentru / n 2 / functie / de / n3 / se / poate / det er min a / . otusi / este / indicat / sa / mai / alegem / cel / putin / un / caz / de / exemplu / sa / vedem / daca / meto log ia / este / buna / sau / acesta / a / fost / un / exemplu / de / o / coincident a / particular a / . rebuie / sa / specific / ca / am / impresia / ca / are / impor tan ta / si / coeficient ii / pe / care / ii / alegem / in / cazul / ecuatiei / partial / echivalent e / . Astfel / sa / mai / i au / un / exemplu / numeric / de / ecuatie / de / gradul / 3 / tot / de / aceeasi / forma / de / caz / particular / . fie / ecuatia / : 4 x 3 5 x 2 153 ! 0; / cu / x1 ! 3; / pe / care / bine int eles / ca / nu / il / cunoastem /; si / alegem / ecuatia / cu / echivalent a / de / rangul / 1 / cu / ecuatia / data / : 4 x 2 5 x d 1 ! 0; / si / acum / scadem / cele / doua / ecuatii / : 4 x 3 5 x 2 153 ! 0; / 4 x 2 5 x d 1 ! 0; /* ( x ) __________ __________ __________ __________ 4 x 3 5 x 2 d 1 x ! 0; /( ) __________ __________ __________ __________ // d 1 x ! 153; / x ! 4 x 3 5 x 2 153 ! 0; / x 2 x n 2 ! 0; /* ( 4 x ) __________ __________ __________ ________ 4 x 3 4 x 2 4 n 2 x ! 0; /( ) __________ __________ __________ ________ / 9 x 2 4 n 2 x 153 ! 0; / si / x 2 x n 2 ! 0; /* ( 9); / __________ __________ __________ ________ 9 x 2 9 x 9 n 2 ! 0; /( ) __________ __________ __________ __________ 153 9 n 2 3581577 729 n 2 632043 n 2 37179 n 2 /( 4 n 2 9) x 9 n 2 153 ! 0; / x ! ; / si / x 3 x 2 ! n 3 ; / 3 2 4n2 9 64 n 2 729 2304 n 2 972 n 2 23409 81n 2 2754 n 2 16 n 2 81 72 n 22 2 2 3 2

153 ; / si / in / continuare / luam / asa / : d1

! n 2 x; / 3581577 729 n 2 63204 n 2 37179 n 2 93636 n 2 324 n 2 11016 n 2 3 2

3

2

210681 729 n 2 24786 n 2 ! 64 n 2 n 3 729 n 3 2304 n 2 n3 972 n 2 n 3 ; /

26

!

!

!

"

3

2

1053n2 47466n2 132054n2 3370896 ! (64n 2 972n2 2304n 2 729)n3 ; / n3 ! 1053n 2 47466n 2 132054n2 3370896 64n2 972n 2 2304n2 7293 2 3 2

3

2

3

2

; / deci / nu / obtinem / nimic / cazul / precedent / a / fost / un / caz /

particular / in / care / coeficientii / a / si / b / erau / egali / adica / a ! b ! 3 /; In / cazul / ecuatiei / anterioare / care / era / un / caz / particular / asa / dupa / cum / am / specificat / mai / putem / trece / : d 4 12 ! ; / d1 ! 3n 2 ; / sau / n 2 ! 1 ; / x! n2 d1 3

27

Chiar / daca / mai / facem / inlocuiri / cu / aceste / relatii / in / unele / ecuatii / pe / care / le / obtinem / din / ecuatia / data / nu / gasim / nimic / nou / ci / doar / ecuatii / total / echivalente / int re / ele / . iresc / este / ca / prin / cazul / pe / care / l am / definit / si / anume / ca / a ! b / am / mai / definit / un / caz / particular / de / ecuatii / de / gradul / 3 / care / se / pot / rezolva / .Trebuie / sa / specific / din / nou / ca / inca / o / metoda / de / a / rezolva / ecuatiile / de / grad / sup erior /(" 2) / ar / consta / in / rezol var ea / acestora / pe / baza / de / cazuri / particulare / cand / luam / in / considerare / toate / situatiile / posibile / sau / mai / precis / toate / cazurile / particulare / de / ecuatii / de / grad / sup erior / care / ar / putea / exista / . Pentru / ca / voi / continua / cu / sin tezele / despre / abordarile / pe / care / le am / mai / facut /, in / continuare / voi / trece / in / revista / o / serie / de / alte / calcule / si / observatii / cu / privire / la / rezol var ea / ecuatiilor / de / grad / sup erior / . Astfel / de / exemplu / mai / avem / : fie / ecuatia / : 3 x 3 ! 7 x 2 18; / care / admite / o / solutie / x1 ! 3; / ce / am / mai / putea / spune / astfel / : daca / b / scade / cu / o / unitate /(ma / refer / la / coeficientul / b / din / forma / generala / a / ecuatiei / de / gradul / 3 /), atunci / d / creste / cu / x 2 / aceasta / in / sensul / de / a / avea / aceeasi / solutie /;iata / de / exemplu / : x1 ! 2; / 3 * 8 ! 7 * 4 4; / x1 ! 1; / 3 ! 7 4; / x1 ! 4; / 192 ! 7 *16 80; / _______________________________________________________________________________________________

Observatie / pentru / valori. int regi / sau / rationale / ale / unei / astfel / de / ecuatii / termenul / liber / se / divide / cu / x 2 /, respectiv / cu / x / . _______________________________________________________________________________________________ Observatie / prin / conexiune /, facand / rationamentul / a sup ra / valorii / solutiei / posibile /, ne / dam / seama / ca / aceasta / este / det er min ata / in / marime / a / valorii /, de / valorile / coeficientilor / ecuatiei /, care / firesc / au / inf luienta / s si / a sup ra / lui / n3 / si / n 2 / .; de / asemenea / vedem / ca / daca / mod ificam / pe / b / cu / o / unitate / in / plus / sau / in / min us /, d / scade / cu / x 2 /, res pectiv / creste / cu / x 2 ; / daca / mod ificam / pe / a / cu / o / unitate / in / plus / sau / in / min us / d / scade / cu / x 3 / respectiv / creste / cu / x 3 ; / daca / mod ificam / pe / c / cu / o / unitate / in / plus / sau / in / min us /, d / creste /, respectiv / scade / cu / x; / daca / mod ificarile / sunt / cu / 2,3,4, etc.... / unitati / tot / cu / atattea / unitati / se / mod ifica / si / x 3 / x 2 / si / respectiv / x / . Ce / am / mai / putea / aborda / tot / cu / privire / la / rezol var ea / ecuatiilor / de / grad / sup erior / : de / exemplu / daca / avem / o / ecuatie / de / gradul / 3 / putem / spune / : alegem / o / ecuatie / de / gradul / 3 / cu / alti / coeficienti /, cu / echivalenta / de / rangul / 1 / cu / ecuatia / initiala / deci / d1 ! ?, / respectiv / acest / coeficient / nu / il / vom / cunoaste / el / va / avea / o / valoare / anumita / astfel / ca / ecuatia / echivalenta / sa / admita / o / aceeasi / soluite / x1 / cu / ecuatia / data /, dar / cu / acelasi / coeficient /" a" / apoi / le / scadem / in / continuare / vom / alege / o / ecuatie / de / gradul / 2 / cu / echivalenta / de / rangul / 1 / cu / ecuatia / data / dar / cu / acelasi / coeficient /" b" / rezultat / din / diferenta / anterioara / si / scadem / cele / doua / ecuatii /;

#

28

apoi / luam / o / ecuatie / de / gradul / 1 / cu / echivalenta / de / rangul / 1 / cu / acelasi / coeficient /" a" / ca / cel / rezultat / din / diferenta / anteriaora / si / scadem / cele / doua / ecuatii /; se / obtine / in / final / o / ecuatie / in / d1 , / d 2 /, si / d 3 /, si / apoi / bine int eles / se / vor / face / alte / calcule / si / combinatii / de / calcule / si / se / va / urmari / ceea / ce / se / poate / obtine / : acelasi / lucru / il / putem / face / la / ecuatiile / in /" p" / si /" q" /, respectiv / folo sin d / ecuatiile / reper / .; apoi /, de / exemplu / mai / putem / alege / si / alte / ecuatii / reper / partial / echivalente /; de / exemplu / daca / x1 (2;3) / si / am / ales / o / ecuatie / reper / asa / cum / s a / vazut / cu / x1 ! 2; / mai / alegem / ecuatii / reper / cu / x1 ! 2 / dar / cu / alti / coeficienti /, de / exemplu / dupa / mod elul / dat / sus / pe / pagina /, sau / alte / mod ele / . Mai / departe / sa / trec / la / alte / sin teze /, si / sa / vedem / de / exemplu / cum / se / mod ifica / n3 / si / n2 / la / diferite / cresteri / ale / coeficientilor / dar / in / principal / atunci / cand / ecuatia / ar / admite / sa / zicem / asa / cel / putin / o / solu tie / int reaga / . astfel / de / exemplu / avem / ecuatia / : 3x 3 4 x 2 5 x 50 ! 0; / cu / x1 ! 2; / 3n3 7 n2 12 x ! 50; / fie / acum / o / ecuatie / cu / x1 ! 3; / dar / cu / alti / coeficienti / : 5n3 9n 2 14 x ! 186; / bservatie / fiecare / coeficient / al / noii / ecuatii / a / crescut / cu / doua / unitati / valorice / fata / de / coeficientii / corespunzatori / ai / ecuatiei / initiale /; 186 50 ! 136; / " d " / a / crescut / cu / 136; / si / 5n3 9n 2 14 x ! 66; / este / ecuatia / cu / x1 ! 2; / 66 50 ! 16; / " d " / a / crescut / cu / 16 / unitati / valorice / . Sa / luam / si / alte / ecuatii / : 7n3 11n2 16 x ! 532; / cu / x1 ! 4; / 7n3 11n2 16 x ! 82; / cu / x1 ! 2; / Sa / luam / acum / urmatoarele / ecuatii / in / ordine / : 3n3 7 n2 12 x ! 50; / cu / x1 ! 2; / 4n3 8n2 13 x ! 58; / cu / x1 ! 2; / 5n3 9n 2 14 x ! 66; / cu / x1 ! 2; / 6n3 10n2 15 x ! 74; / cu / x1 ! 2; / 7n3 11n2 16 x ! 82; / cu / x1 ! 2; /

a / toate / aceste / ecuatii / coeficientul /" a" / a / crescut / cu / o / unitate / valorica / si / in / plus / numai / el / ceilalti / coefi cienti / au / ramas / cons tan ti / . oncluzie / se / observa / ca / daca / pastram / aceleasi / semne /, si / crestem / fiecare / coeficient / cu / o / unitate /(mai / precis / coeficientul /" a" /)coeficientul /" d " / creste / tot / timpul /, raportat / la / ecuatia / precedenta / cu / 8 / unitati /; acest / lucru / in / considerentul / ca / avem / un / acelasi / x1 ! 2; /

acum / sa / luam / urmatoarele / ecuatii /, astfel / : 3n3 7 n2 12 x ! 50; / cu / x1 ! 2; /

&

$

%

29

3n 3 7 n 2 12 x ! 132; / cu / x1 ! 3; / 3n 3 7 n 2 12 x ! 276; / cu / x1 ! 4; / 3n 3 7 n 2 12 x ! 500; / cu / x1 ! 5; / 3n 3 7 n 2 12 x ! 822; / cu / x1 ! 6; / 3n 3 7 n 2 12 x ! 1260; / cu / x1 ! 7; / si / in / acest / context / avem / cresterile / : 132 50 ! 82; / 276 132 ! 144; / 500 276 ! 224; / 822 500 ! 322; / 1260 822 ! 438; / si / apoi / : 50 12 ! 38; /(12 / este / coeficient ul / ecuatiei / care / ar / admite / in / aceeasi / parametrii / solutia / x1 ! 1; / 82 50 ! 32; / 144 82 ! 62; / 224 144 ! 80; / 322 224 ! 98; / 438 322 ! 116; / si / acum / in / continuare / sa / vedem / si / aceste / valori / cum / cresc / daca / au / sau / nu / o / regula / fixa / : 32 38 ! 6; / 62 32 ! 30; / 80 62 ! 18; / 98 80 ! 18; / 116 98 ! 18; / si / se / observa / ca / de / la / x1 ! 4; / cresterea / sirului / se / produce / cu / o / valoare / fixa / si / anume /"18" acest / lucru / se / poate / certifica / si / daca / mai / alegem / cateva / ecuatii /( pentru / edificare ) / : 3n 3 7 n 2 12 x ! 1832; / cu / x1 ! 8; / 3n 3 7 n 2 12 x ! 2556; / cu / x1 ! 9; / 3n 3 7 n 2 12 x ! 3450; / cu / x1 ! 10; / si / in / mod/ similar / avem / cresterile / : 1832 1260 ! 572; / 2556 1832 ! 724; / 3450 2556 ! 894; / si / apoi / : 438 322 ! 116; / 572 438 ! 134; / 724 572 ! 152; / 894 724 ! 170; /

30

si / apoi / : 134 116 ! 18; / 152 134 ! 18; / 170 152 ! 18; / s.a.m.d . se / observa / in / mod/ clar / cresterile / finale / sunt / cu /"18" / . In / continuare / sa / lum / alte / ecuatii / la / care / coeficient ul /" a" / creste / numai / el / cu / cate / o / unitate /, dar / solutia / x1 / la / fiecare / ecuatie / o / stabi lim/ ca /, creste / si / ea / cu / cate / o / unitate /;trebuie / sa / specificam / ca / aceste / calcule / se / fac / pentru / ecuatii / care / admit / solutii / int regi /, urmand / ca / pentru / alte / ecuatii / care / admit / solutii / rationale / irationale / sau / complexe / sa / le / facem /(calculele ) / in / alta / parte / a / acestui / studiu / de / exp unere / . astfel / avem / : 3n 3 7 n 2 12 x ! 50; / cu / x1 ! 2; / 4n 3 8n 2 13 x ! 159; / cu / x1 ! 3; / 5n 3 9 n 2 14 x ! 404; / cu / x1 ! 4; / 6 n3 10 n 2 15 x ! 875; / cu / x1 ! 5; / 7 n 3 11n 2 16 x ! 1686; / cu / x1 ! 6; / 8n 3 12 n 2 17 x ! 2975; / cu / x1 ! 7; / si / avem / urmatoarel e / cresteri / ale / acestor / valori / numerice / libere / : 159 50 ! 109; / 404 159 ! 245; / 875 404 ! 471; / 1686 875 ! 811; / 2975 1686 ! 1289; / si / apoi / celelalte / cresteri / in / ordine / : 245 109 ! 136; / 471 245 ! 226; / 811 471 ! 340; / 1289 811 ! 478; / si / apoi / cresterile / in / continuare / : 226 136 ! 90; / 340 226 ! 114; / 478 340 ! 138; / si / ultima / crestere / care / o / si / consideram / de / refer int a / sau / de / plecare / este / : 114 90 ! 24; / 138 114 ! 24; / si / ca / si / concluzie / se / poate / vedea / ca / aceasta / ultima / crestere / este / o / valoare / fixa / si / anume /"24" / . Observatie / aceste / calcule / au / fost / facute / cand / cresc / cu / o / unitate /, asa / dupa / cum / se / vede / coeficientii / lui /

n3 / n2 / si / x /, respectiv / cand / creste / cu / o / unitate / coeficientul /" a" / al / ecuatiei / initiale /, deci / pentru / a / ordoma / int r un / fel / aceste / calcule / cand / le / aplicam / in / rezol var ea / unei / ecuatii /, trebuie / sa / alegem /(cred ) / o / ecuatie / reper /, dupa / care / sa / efectuam / calculele /, respectiv / sa / det er min am / niste / formule / de / siruri / de / numere / int regi

31

de / asemenea / totdeauna / o / astfel / de / ecuatie / trebuie / comparata / in / contextul / acestei / metodo log ii / cu / o / ecuatie / de / plecare / reper / care / sa / aiba / aceleasi / semne / de / operatii / int re / termenii / ei / . Acum / sa / efectuam / altceva / alte / calcule / de / det er min are / log ica / de / cresteri / a / termenului / liber / in / cazul / unei / ecuatii / care / admite / solutii / int regi /;astfel / avem / : 3 x 3 4 x 2 5 x ! 50; / cu / x1 ! 2; / 4 x 3 5 x 2 6 x ! 64; / cu / x1 ! 2; / 5 x 3 6 x 2 7 x ! 78; / cu / x1 ! 2; / 6 x 3 7 x 2 8 x ! 92; / cu / x1 ! 2; / 7 x 3 8 x 2 9 x ! 106; / cu / x1 ! 2; / si / avem / cresterile / termenului / liber / astfel / : 64 50 ! 14; / 78 64 ! 14; / 92 78 ! 14; / 106 92 ! 14; / deci / avem / o / cot a / de / crestere / fixa / a / lui /" d " / cu / 14 / unitati / . Acum / sa / luam / cealalta / situatie / : 3 x 3 4 x 2 5 x ! 50; / cu / x1 ! 2; / 3 x 3 4 x 2 5 x ! 132; / cu / x1 ! 3; / 3 x 3 4 x 2 5 x ! 276; / cu / x1 ! 4; / 3 x 3 4 x 2 5 x ! 500; / cu / x1 ! 5; / 3 x 3 4 x 2 5 x ! 822; / cu / x1 ! 6; / 3 x 3 4 x 2 5 x ! 1260; / cu / x1 ! 7; / 3 x 3 4 x 2 5 x ! 1832; / cu / x1 ! 8; / 3 x 3 4 x 2 5 x ! 2556; / cu / x1 ! 9; / 3 x 3 4 x 2 5 x ! 3450; / cu / x1 ! 10; / si / avem / cresterile / lui /" d " / : 50 12 ! 38; / 132 50 ! 82; / 276 132 ! 144; / 500 276 ! 224; / 822 500 ! 322; / 1260 822 ! 438; / 1832 1260 ! 572; / 2556 1832 ! 724; /

32

iar / acum / urmatoarea / treapta / de / cresteri / este / : 82 38 ! 44; / 144 82 ! 62; / 224 144 ! 80; / 322 224 ! 98; / 438 322 ! 116; / 572 438 ! 134; / 724 572 ! 152; / s.a.m.d . / ! 170; / si / cot a / fixa / de / crestere / este / de / : 62 44 ! 18; / 80 62 ! 18; / 98 80 ! 18; / 116 98 ! 18; / 134 116 ! 18; / 152 134 ! 18; / 170 152 ! 18; / s.a.m.d . / deci / cot a / fixa / ultima / de / crestere / a / lui /" d " / este / de / 18 / . Luam / acum / a / treia / situatie / : 3 x 3 4 x 2 5 x ! 50; / cu / x1 ! 2; / 4 x 3 5 x 2 6 x ! 171; / cu / x1 ! 3; / 5 x 3 6 x 2 7 x ! 372; / cu / x1 ! 4; / 6 x 3 7 x 2 8 x ! 965; / cu / x1 ! 5; / 7 x 3 8 x 2 9 x ! 1854; / cu / x1 ! 6; / 8 x 3 9 x 2 10 x ! 3255; / cu / x1 ! 7; / 9 x 3 10 x 2 11x ! 5336; / cu / x1 ! 8; / si / cresterile / lui /" d " / sunt / : 171 50 ! 121; / 372 171 ! 201; / 965 372 ! 593; / 1854 965 ! 889; / 3255 1854 ! 1401; / 5336 3255 ! 2081; / si / apoi / urmatoarea / treapta / de / crestere / este / : 201 121 ! 80; /

33

593-201=392;/ 889-593=296;/ 1401-889=512;/ 2081-1401=680;/ --si/avem/ultima/treapta/: 392-80=312;/ 296-392=-96;/ 512-296=216;/ 680-512=168;/-s.a.m.d. -se/observa/ca/de/aceasta/data/nu/avem/nici/o/regula/generala/de/crestere/a/termenului/liber/astfel/ca/nu/am/avea/ce/sa/ determinam/.Totusi/este/de/mentionat/ca/aceasat/ultima/situatie/este/diferita/de/situatia/cand/coeficientii/lui/x/si/a/ substitutiilor/cresteau/cand/crestea/si/solutia/cu/o/unitate/dar/in/ecuatia/initiala/in/x/crestea/cu/o/unitate/doar/coeficientul/a/. Observatie/-la/o/analiza/mai/detaliata/trebuie/sa/avem/in/vedere/si/situatiile/cu/coeficienti/de/diferite/semne/,si/situatiile/cand/solutia/ar/fi/un/numar/negative/.De/fapt/analiza/aceasta/se/poate/dezvolta/mult/mai/pe/larg/si/mai/complex/ de/exemplu/sa/vedem/cota/de/crestere/fixa/pornind/sau/incepand/cu/scrierea/de/ecuatii/care/vin/ordonate/din/punct/ de/vedere/al/solutiilor/chiar/de/la/valori/negative/a/solutiilor/in/crestere/cu/o/unitate/. De/asemenea/se/poate/spune/ca/este/mai/convenabila/scrierea/si/determinarea/cresterilor/scriind/ecuatiile/in/x/si/folosind/substitutiile/aratate/.Bineinteles/momentan/aici/am/trecut/in/revista/succinct/aceasta/modalitate/fara/sa/intru/in/ amanunte/detaliate/si/sa/determine/formule/chiar/daca/ar/fi/fost/vorba/cum/se/poate/vedea/de/cazul/particular/cand/ ecuatiile/ar/admite/cel/putin/o/solutie/intreaga/-pozitiva/sau/negative/. Observatie/-incerc/sa/vad/daca/la/alt/tip/de/abordari/a/rezolvarii/ecuatiilor/de/grad/superior/cu/o/nedeterminata/ar/ Putea/folsi/la/ceva/aceste/rationamente/si/calcule/.

bservatie / trebuie / sa / specific / un / lucru /; am / luat / in / considerar e /, cresterea / cu / o / unitate / a / fiecarui / coeficient

cazuri / particular e / prin / care / int entionez / sa / arat / rezol var ea / ecuatiilor / de / grad / sup erior / pe / etape / chiar / daca / nu / avem / niste / formule / generaliza te / pentru / fiecare / ecuatie /( de / un / anumit / grad ) / sau / chiar / formula / generaliza ta / pentru / ecuatia / de / gradul / n /; n doresc / sa / reliefez / mai / multe / abordari / in / ceea / ce / priveste / rezol var ea / ecuatiilor / de / grad / sup erior / . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ _____ Altfel / spus / de / exemplu / se / mai / poate / aborda / inf luienta / cresterilo r / coeficient ilor / in / termenul / liber / de / exemplu / luand / in / considerar e / ecuatia /( de / exemplu / cea / de / gradul / 3 /), sub / urmatoarea / forma / : ax 3 bx 2 cx d ! d 1 d 2 d 3 d ! 0; / in / care / se / vede / imediat / ce / am / notat / si / cu / ce / . si / de / exemplu / calculam / cresterea / lui / d 1 / raportata / la. / cresterea / coeficient ului /" a" / apoi / a / lui / d 2 / la / cresterea / lui /" b" / si / apoi / a / lui / d 3 / la / cresterea / lui /" c" / si / apoi / pe / ansamblu / dupa / situatiile / pe / care / le / consider / de / analizat / urmarim / si / cresterea / lui /" d " / raportata / pe / ansamblu / .

'

(

sau / situatii / cand / nu / cresc / delac / deci / abordarea / si / calculele /, nu / sunt / in / totalitate / reliefante /, ci / ele / se / do finalizant e / probabil / le / voi / face / in / alta / parte / a / acestei / lucrari / .Doresc / sa / mai / mentionez / un / lucru /, si /

resc / a / fi / doar / un / sistem / de / refer int a / in / abordarea / rezol var ii / ecuatiilor / de / grad / sup erior /, int rari / in / det a anume / ca / as / fi / dorit / sa / reliefez / o / metodo log ie / de / ansamblu / generaliza ta / bazata / si / pe / o / multitudin e / de /

/; deci / cred / ca / m am / facut / int eles / in / acest / sens / adica /

34

bservatie / ma / opresc / aici / cu / mentiunile / referitoar e / la / aceasta / mod alitate / de / abordare / si / calcul / si / trec /

3 x1 4 x1 5 x1 ! 50; / 3n 3 '7 n 2 '12 x1 ! 50; / si / in / continuare / sa / scadem / cele / doua / ecuatii / : 3( n 3 n3 ) 7 ( n 2 n 2 ) 12( x x1 ) ! 82; / si / avem / : (n 3 ! n 3 n 3 ; / (n 2 ! n 2 n 2 ; / (x ! x x1 ; / n3 ! n 3 (n 3 ; / n 2 ! n 2 (n 2 ; / x ! x1 (x; / 3[ n 3 (n 3 ] 7[ n 2 (n 2 ] 12[ x1 (x ] ! 132; / 3[ n 2 (n 2 ][ x1 (x ] 7[ n 2 (n 2 ] 12[ x1 (x] ! 132; / 3n 2 x1 3(n 2 x1 3n 2 (x 3(n 2 (x 7 n 2 7 (n 2 12 x1 12 (x ! 132; / mai / avem / ecuatia / : 3n 3 7 n 2 12 x1 ! 50; / 3n 2 x1 7 n 2 12 x1 ! 50; / si / aceasta / ecuatie / o / scadem / din / cea / pe / care / am / obtinut o / : __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ _________ / 3(n 2 x1 3n 2 (x 3(n 2 (x / 7 (n 2 / 12 (x ! 82; / (x ! (x ! 82 7 (n 2 3(n 2 x1 ; / si; / x1 ! 2; / n 2 ! 2; / 3n 2 3(n 2 12

cealalta / exp resie / a / lui / x : 132 7 n 2 118 7 (n 2 132 7 n 2 118 7 n 2 14 ; / si / (n 2 ! ?/ si / n 2 ! ?; / dar / n 2 n 2 ! (n 2 ! n 2 2; / ! ! ! 3n 2 12 18 3(n 2 3n 2 12 18 3n 2 6 ! 132 7 n 2 ; / deci / nu / am / obtinut / nimic /; 12 3n 2

enuntat o / odata / :

)

mai / departe / la / continuare a / sin tezelor / pe / care / le / mai / am / de / trecut / in / revista / . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ _____ Astfel / mai / avem / : fie / ecuatia / de / rezolvat / : 3 x 3 4 x 2 5 x ! 132; / cu / x1 ! 3; / 3n 3 7 n 2 12 x ! 132; /

in / continuare / sa / luam / o / ecuatie / de / refer int a / adica / mai / precis / cautam / incadrarea / unei / solutii / a / ecuatiei / date / si / fara / sa / mai / arat / calculele / sa / zicem / ca / luam / ecuatia / de / refer int a / cu / x1 ! 2; / adica / ecuatia / :3 2

82 7 (n 2 6 (n 2 82 13(n 2 132 7 n 2 ; / si / mai / avem / : 3n 2 x 7 n 2 12 x ! 132; / x ! ; / dar / x ! x1 (x ! ! 6 3(n 2 12 18 3(n 2 3n 2 12 82 13(n 2 82 13(n 2 36 6 (n 2 118 7 (n 2 ;/ x ! ; / si / egalam / cu / ! 18 3(n 2 18 3(n 2 18 3(n 2

! 2 (x; / (x ! x 2; / x 2 !

__________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ ____ Ma / opresc / aici / cu / acest / tip / de / calcule / pentru / ca / se / observa / ca / nu / duc / sub / aceasta / forma / la / nimic / cel / mult / daca / ar / fi / combinate / si / cu / alte / elemente / . Ina int e / de / a / trece / mai / departe / mai / enunt / o / teorema / care / nu / stiu / de / ce / imi / face / impresia / ca / am / mai /

35

_______________________________________________________________________________________________ A / la / orice / ecuatie / de / orice / grad / ar / fi / ea /, marimea / in / valoare / a / solutiilor / este / det er min ata / de / marimile / in / valoare / a / coeficientilor / ecuatiei / in / cauza / . ______________________________________________________________________________________________ ai / departe / reiau / iarasi / acel / mod el / de / rezol var e / al / ecuatiilor / de / grad / sup erior / prin / considerarea / de / cazuri / particulare / de / ecuatii / respectiv / prin / punerea / a / ceea / ce / am / denumit / eu / de / conditii / de / rezol var e / si / det er min area / asa / numitilor / de / catre / min e / de / det er min anti / caracteristici / ai / unei / ecuatii / . Aceasta / abordare / o / fac / pornind / de / la / exemple / numerice /, dar / se / va / putea / observa / ca / ea / se / va / aplica / in / toate / situatiile / corespunzatoare / conditiilor / de / rezol var e / cu / o / sin gura / mentiune / si / anume / ca / in / cazul / unei / ecuatii / in / general / trebuie / sa / verificam / pe / rand / aceste / conditii / de / rezol var e / respectiv / sa / efectuam / repete / rezol var i / ale / ei /, pana / vom / vedea / in / ce / caz / se / nimereste / ecuatia / respectiva / si / atunci / rezol var ea / ei / este / de / la / sin e /, si / bine int eles / daca / ecuatia / in / cauza / face / parte / d int r un / astfel / de / caz / ca / cele / pe / care le / voi / prezenta / . Aceasta / mod alitate / de / rezol var e / prin / aceste / conditii / de / rezol var e / pe / care / le / pun / unei / ecuatii, / chiar / daca / drumul / este / lung / in / sensul / rezol var ii / la / final / si / bine / a / ecuatiei / date / dar / metoda / duce / la / rezol var ea / ecuatiilor / si / in / contextul / acestei / metode / se / va / vedea / ca / mai / exista / de / exemplu / in / cazul / ecuatiei / de / gradul / 3 / doar / o / conditie / de / rezol var e /, pe / care / si / pana / acum / in / aceasta / exp unere / am / mai / abordat o / dar / fara / rezultat / si / deci / si / cu / aceasta / conditie / ecuatia / de / gardul / 3 / ar / fi / complet / rezol vata / .Se / va / mai / observa /, ca / cu / cat / gradul / unei / ecuatii / va / creste / cu / atat / creste / si / numarul / de / conditii / de / rezol var e / care / se / pun / .Dorind / sa / reliefez / int r un / anumit / sens / mai / multe / mod alitati / de / rezol var e / a / unei / ecuatii / in / general / am / ajuns / si / la / acest / tip / de / rezol var e / .Intr ade var/ nu / prea / este / ordonata / exp une rea / dar / consider / ca / acest / lucru / poate / fi / trecut / cu / vederea /, datorita / si / faptului / ca / trec / in / revista / aspec

8 x 6 ! 0; / din / prima / conditie / : 4 x 3 ! 3 x 2 ; / x1 ! x

0243 21 0x1 ! x 2 !3

tele / dupa / ordinea / pe / care / o / am / pe / ciorne / . Deci / sa / trec / in / continuare / la / prezentarea / de / noi / situatii / si / conditii / de / rezol var e / puse / unei / ecuatii / si / luam / pentru / analiza / ecuatia / de / gradul / 3 / prin / exemple / numerice / asa / dupa / cum / spuneam / . astfel / de / exemplu / avem / : fie / ecuatia / : 4 x 3 3 x 2 8 x 6 ! 0; / si / consideram / ca / x1 R; / punem / urmatoarel e / conditii / de / rezol var e / : 4 x 3 3 x 2 ! 0; / si 3 3 ; / si / din / a / doua / conditie / : 8 x ! 6; / x 2 ! ; / 4 4

3 ; / si / aceasta / valoare / este / o / solutie / a / ecuatiei / date / care / indeplineste / conditiile / puse /; practic / 4 este / un / caz / particular / de / ecuatie / de / gradul / 3 /; sa / verificam / solutia / gasita / : 27 27 3 3 3 6 6 ! 0; / 0 ! 0; / [ A]; / 4 3 8 6 ! 0; / 16 16 4 4 42

36

pentru / aflarea / celorlalte / doua / solutii / aplicam / teorema / lui / Bezout / : 4 x 3 3x 2 8x 6 ! x 2 2; / x1, 2 ! si 2 ; / 4x 3 Observatie / aceasta / conditie / impusa / fiind / un / caz / particular / de / ecuatie / de / gradul / 3, am / putea / trage / con cluzia / ca / : notam / : (c1 ! b d a c ! este / un / det er min ant / caracteris tic / al / ecuatiei / de / gradul / 3 /; si / :

(c1 ! bc ad ; / si / putem / enunta / urmatoarea / teorema / : __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ _____ TEOREMA / daca / avem / o / ecuatie / de / gradul / 3 / a / carui / urmator / det er min ant / caracteris tic / : (c1 ! deci / este / nul / atunci / ecuatia / admite / o / solutie / reala / x1 ! cand / teorema / lui / Bezout / . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ ____ Observatie / acest / caz / particular / pe / care / l am / impus /, si / gasit /, si / faptul / ca /, am / det er min at / o / ecuatie / care / sa / verifice / conditia / impusa / se / poate / aplica / in / mod elarea / ecuatiilor / de / gradul / 3 /, dupa / dor int a /, mo delare / care / isi / poate / gasi / aplicabili tate / practica / in /" Modelarea / economica / si / managerial a" / sau / in / alte / domenii / . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ _____ Deci / de / exemplu / aceasta / conditie / pe / care / am / impus o / ecuatiei / de / gradul / 3 / o / numim /" conditie / de / re zol var e / a / ecuatiei / de / gradul / 3 / .S a / vazut / pe / parcursul / exp unerii / ca / astfel / de / conditii / am / mai / impus / ca / o / metoda / generala / de / rezol var e / a / ecuatiilor / de / orice / grad / ar / fi / ele / . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ ____ O / alta / conditie / de / rezol var e / pentru / ecuatia / de / gradul / 3 / ar / fi / : ( 2) /; ax 3 cx ! 0; / si / bx 2 d ! 0; / x( ax 2 c) ! 0; / ax 2 c ! 0; / x1, 2 ! s bx 2 d ! 0; / x3, 4 ! s posibil / este / : s b d a c ! 0; /

b d ! ; / celelalte / doua / solutii / aflandu se / apli a c

chiar / si / de / la / ecuatia / de / gradul / 1 /, scopul / ar / fi / fost / sau / este / ca / doresc / sa / exp on / si / aceasta / mod alitate /

c c ; / sau / x 2 ! ; / si / apoi / avem / a a

d d ; / sau / x 2 ! ; / conditia / care / rezulta / ca / ar / trebui / sa / fie / indeplinit a / sau / ca / ar b b a c ! 0; / int r un / fel / este / acelasi /

b c d c d ! s ; / sau / ! ; / bc ! ad ; / sau / (c 2 ! d a b a b

det yer min ant / caracteris tic / din / cazul / precedent / dar / totusi / exista / o / deosebire / vizibila / luam / pentru / exemplu / de / verificare / aceeasi / ecuatie / ca / si / in / cazul / precedent / : 4 x 3 3 x 2 8 x 6 ! 0; / 4 x 3 8 x ! 0; / x 2 ! 2; / x1, 2 ! si 2 ; /[ A]; / si / 3 x 2 6 ! 0; / x 2 ! 2; / x 3, 4 ! si 2 ; /[ A]; /

37

Observatie/-cee