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POLITECNICO DI BARI – CORSO M ANNO ACCADEMICO 2018 - 2019 LEZIONI DI GEOMETRIA E ALGEBRA DISPENSA 7 GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO – II PARTE LE CONICHE TEORIA ED ESERCIZI DOCENTE: PROF. GIOVANNI VITERBO
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II PARTE – GEOMETRIA TEORIA ED ESERCIZI
POLITECNICO DI BARI – CORSO MANNO ACCADEMICO 2018 - 2019LEZIONI DI GEOMETRIA E ALGEBRA
DISPENSA 7
GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO – II PARTE
LE CONICHE
TEORIA ED ESERCIZI
DOCENTE: prof. Giovanni viterbo
CAP. 7 - CURVE E LUOGHI GEOMETRICI NEL PIANO &7.1 – Le coniche: equazione canonica e proprietà
Ricordiamo che luogo geometrico è ogni insieme di punti del piano che verificano una data proprietà, rispetto ad elementi dati, e che in un dato sistema di riferimento cartesiano ortogonale verificano un'equazione del tipo f(x,y) = 0.
Ci proponiamo di calcolare le equazioni di alcuni luoghi geometrici notevoli e di dedurre dalle rispettive equazioni alcune proprietà.
Iniziamo con la circonferenza.
&7.2 – Circonferenza - Equazione cartesiana della circonferenza
Def.7.2.1 - Come è noto dalla geometria elementare, la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro: la distanza comune dei suoi punti dal centro dicesi raggio.
Ciò detto, determiniamo l'equazione cartesiana della circonferenza:
Fissato un sistema cartesiano ortogonale, RC(O,x,y) e detti (α,β) le coordinate del centro C ed r la misura del raggio, si ha che:
Posto:
si ha che l'equazione di una circonferenza è del tipo
x2 + y2 + ax + by + c = 0 (1)
In particolare, se il centro della circonferenza coincide con l'origine O del sistema di riferimento, la sua equazione diventa:
x2 + y2 = r2.
Si noti che l'equazione canonica della circonferenza presenta le seguenti particolarità:
1. è un'equazione algebrica di 2° grado, in due incognite;
2. manca del termine x y (termine rettangolare);
3. i coefficienti dei termini di 2° grado sono uguali a 1.
Le relazioni che legano il centro e il raggio ai coefficienti a,b,c dell’equazione, sono:
Dall’ultima relazione, si deduce che l’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 rappresenta:
· una circonferenza reale non degenere se a2 + b2 - 4c > 0;
· una circonferenza reale degenere se a2 + b2 - 4c = 0: in tal caso la circonferenza è formata solo da un punto, il centro della circonferenza;
· una circonferenza immaginaria se a2 + b2 - 4c < 0.
Ad esempio, l’equazione
x2 + y2 - 2x - 2y = 0
rappresenta una circonferenza reale non degenere di centro C(1,1) e raggio
.
&7.2.1 – Posizione relativa fra retta e circonferenza
Def.7.2.1.1 – Data una retta t e una circonferenza nel piano S2, si dice che:
(a) t è esterna a
(b) t è tangente a
(c) t è esterna a
Sussistono i seguenti teoremi.
Teorema 7.2.1.1 – Se è una circonferenza di equazione e se t è una retta di equazione indicato con
, si dimostra che:
(a)
(b)
(c)
La dimostrazione è ovvia.
Un metodo alternativo per stabilire la posizione reciproca retta/circonferenza è fornito dal seguente teorema.
Teorema 7.2.1.2 – Se è una circonferenza di equazione e se t è una retta di equazione indicati con C il centro ed r il raggio della circonferenza, si dimostra che:
(a)
(b) ;
(c)
&7.2.2 - Equazioni parametriche di una circonferenza
Ogni circonferenza può essere rappresentata oltre che mediante un'equazione cartesiana del tipo (1) anche mediante equazioni parametriche.
A tal fine, fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dette (α,β) le coordinate del centro C ed r il raggio della circonferenza, allora se P(x, y) è un suo punto e se ϑ è l'angolo che la retta CP forma con l'asse x,
si ha:
, con (2)
Tali equazioni si dicono equazioni parametriche di parametro ϑ della circonferenza di centro C(α,β) e raggio r.
In particolare, se la circonferenza ha centro in O, le equazioni parametriche sono:
Le equazioni parametriche (2) non sono le uniche equazioni che possono rappresentare una circonferenza, perché la loro espressione dipende dal parametro che si sceglie (tale osservazione vale per ogni curva del piano).
Infatti, ricordato che
posto , dalle equazioni (2) si ricavano le seguenti ulteriori equazioni parametriche della circonferenza:
(3).
Osservazione - Per calcolare l'equazione cartesiana della circonferenza basta eliminare il parametro t dalle due equazioni.
&7.2.3 – Fasci di circonferenze
Def.7.2.3.1 – Se sono due equazioni del piano di equazione, rispettivamente,
dicesi fascio di circonferenze generato da l’insieme delle infinite circonferenze date dalla combinazione lineare
(equazione a due parametri)
o, equivalentemente, dalla combinazione lineare
(equazione a un parametro)
La retta che si ottiene sottraendo membro a membro le equazioni di prende il nome di asse radicale. L’equazione dell’asse radicale è:
Inoltre, si osservi che:
1. se le due circonferenze, generatrici del fascio, sono secanti in due punti A e B, allora tutte le circonferenze del fascio, da esse individuato, passano per tali punti che si dicono punti base del fascio e la retta congiungente A e B è proprio l’asse radicale;
2. se le due circonferenze, generatrici del fascio, sono tangenti nel punto A, allora tutte le circonferenze del fascio sono tangenti in A e la tangente comune è l’asse radicale.
3. I centri delle infinite circonferenze del fascio generato da appartengono tutti alla retta che congiunge il centro C1 di con il centro C2 di per questo motivo, la retta C1C2 è detta retta dei centri del fascio.
&7.3 - L' ellisse – Equazione canonica dell’ellisse
Def.7.3.1 - L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante:
,
dove F ed F' sono i fuochi e 2a è la distanza costante.
La retta FF’ dicesi asse focale dell’ellisse, la distanza dei due fuochi, FF’ = 2c, dicesi distanza focale dell’ellisse, il punto medio C del segmento FF’ dicesi centro dell’ellisse.
Calcoliamo l'equazione canonica dell'ellisse: se assumiamo come riferimento cartesiano il sistema avente per origine O il centro dell’ellisse, come asse x l’asse focale FF’ e come asse y la retta perpendicolare ad x in O, in tale riferimento
le coordinate dei fuochi sono: F(c,0) ed F'(-c,0).
Applicando la definizione di ellisse, si ha che:
(1)
Osservato che, per una nota proprietà dei triangoli, è
2c < 2a
per cui ha senso porre a2 - c2 = b2.
Con tale posizione, l'equazione (1) diventa:
e, dividendo 1° e 2° membro per a2b2, si ha:
(2)
E' questa l'equazione dell'ellisse (equazione canonica) quando essa è riferita al particolare sistema di riferimento che ha l'origine O coincidente con il centro dell’ellisse, l'asse x coincidente con l’asse focale FF’ dell’ellisse e l'asse y perpendicolare ad x nel suo centro.
Prop.7.3.1 – (Proprietà geometriche dell'ellisse)
1) Simmetrie
L’ellisse è una curva simmetrica rispetto agli assi e al suo centro.
Infatti, dall'equazione (2), si deduce che:
· l’ellisse è simmetrica rispetto all’asse x;
· l’ellisse è simmetrica rispetto all’asse y;
· l’ellisse è simmetrica rispetto all’origine O.
L’asse x contenente i fuochi è detto asse principale o focale dell’ellisse, l’asse y è detto asse non focale o secondario dell’ellisse: per questa ragione, l'equazione (2) è detta equazione dell'ellisse riferita al proprio centro e ai propri assi.
Inoltre, poiché l’ellisse ha un centro di simmetria si dice che l’ellisse è una conica a centro.
I punti A(a,0), A'(- a,0), B(0,b) e B’(0,- b), in cui l'ellisse interseca gli assi di simmetria, si dicono vertici dell'ellisse.
I segmenti AA' e BB', di lunghezza = 2a e = 2b, si dicono rispettivamente asse maggiore e asse minore dell’ellisse.
Si osservi che la semidistanza focale c è legata alla misura dei semiassi dalla relazione:
.
2)
Dunque, l'ellisse è tutta contenuta nella striscia di piano compresa fra le rette
x = - a, x = a, y = - b, y = b.
3)
Risolvendo l'equazione rispetto a y, si ha:
In particolare, con riferimento a
si ha:
a. per x = 0, si ha il vertice B(0,b);
b.
per , si hanno i vertici A(a,0), A'(-a,0);
c. per x compreso fra -a e 0, la y cresce da 0 a b, mentre per x compreso fra 0 e a la y decresce da b a 0.
Dunque, la parte di ellisse individuata dall'equazione , ha un andamento del tipo rappresentato dalla linea continua del grafico seguente:
B'(0,-b)
La parte di ellisse individuata dall'equazione si ottiene dal grafico precedente per simmetria rispetto all'asse x.
Osservazione - Se a = b, l'ellisse è una circonferenza di raggio r = a = b.
Il parametro che misura la curvatura dell’ellisse, ovvero il suo schiacciamento, è l’eccentricità. Si pone la seguente definizione:
Def.7.3.2 - Dicesi eccentricità dell'ellisse il rapporto fra la semidistanza focale c e la lunghezza del semiasse maggiore a, cioè:
Si osservi che poiché c < a, l'eccentricità dell'ellisse è un numero compreso fra 0 e 1:
.
In particolare, se e = 0 l'ellisse è una circonferenza.
Infine, poniamo la seguente ulteriore definizione.
Def.7.3.3 - Se F(c,0) ed F'(-c,0) sono i fuochi dell'ellisse di equazione , allora:
1. la retta d: dicesi direttrice dell'ellisse associata al fuoco F(c,0);
2. la retta d': dicesi direttrice dell'ellisse associata al fuoco F'(-c,0).
Ciò detto, si dimostra la seguente ulteriore proprietà, caratteristica dell'ellisse.
Prop.7.3.2 - L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze da ciascun fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante e uguale all’eccentricità e dell’ellisse
Dim. Se P(x,y) è un punto qualsiasi dell'ellisse avente uno dei fuochi nel punto F(c,0) e per relativa direttrice la retta d: , si ha:
Analogo risultato si ottiene se si considera il fuoco F'(- c,0) e la relativa direttrice d’ di equazione .
&7.3.1 – Equazioni parametriche dell’ellisse
Passiamo ora a determinare le equazioni parametriche dell'ellisse.
Poiché possiamo porre
inoltre, dall'equazione
Dunque, ogni ellisse che ha centro in O può essere rappresentata da equazioni parametriche del tipo:
, con , dove a e b sono le misure dei semiassi dell’ellisse.&7.4 - L' iperbole – Equazione canonica dell’Iperbole
Def.7.4.1 – Dicesi iperbole il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze da due punti fissi, detti fuochi, hanno una differenza, in valore assoluto, costante.
Se indichiamo con F ed F' i due fuochi e con 2a la differenza costante, l'iperbole è così definita:
La retta FF’ dicesi asse focale dell’iperbole, la distanza dei fuochi FF’ = 2c dicesi distanza focale e il punto medio C del segmento FF’ dicesi centro dell’iperbole.
Calcoliamo l'equazione canonica dell'iperbole. Se consideriamo il riferimento che ha come origine O il centro dell’iperbole (p.m. C del segmento FF’), come asse delle x l’asse focale (retta che congiunge i due fuochi) e come asse y la perpendicolare in O all’asse x, in tale riferimento le coordinate dei due fuochi sono: F(c,0) ed F'(-c,0).
Di conseguenza, per definizione di iperbole, si ha:
I:
Tenuto conto che 2a < 2c , si può porre
b2 = c2 - a2
così che l'equazione precedente diventa
e dividendo 1° e 2° membro per a2b2 ≠ 0, si ha:
(1)
E' questa l'equazione canonica dell'iperbole.
Prop.7.4.1 - (Proprietà geometriche dell'iperbole)
1. Simmetrie
Osserviamo che, come l'ellisse, l'iperbole è una curva simmetrica sia rispetto agli assi x e y sia rispetto all'origine O. Infatti:
· l’iperbole è simmetrica rispetto all’asse x;
· l’iperbole è simmetrica rispetto all’asse y;
· l’iperbole è simmetrica rispetto all’origine O.
Poiché l’iperbole ha un centro di simmetria si dice che l’iperbole è una conica a centro. Gli assi di simmetria, x e y, si dicono assi dell'iperbole e l'origine O si dice centro dell'iperbole.
Inoltre:
· poiché l'asse x interseca l'iperbole nei punti A(a,0) e A'(-a,0), l’asse x dicesi asse trasverso dell’iperbole. I due punti A e A’ si dicono vertici reali dell’iperbole e la loro distanza dicesi misura dell’asse trasverso;
· poiché l'asse y non ha intersezioni con l'iperbole, tale asse dicesi asse non trasverso dell’iperbole. I punti B(0,b) e B'(0,-b) di tale asse si dicono vertici non reali dell’iperbole e la loro distanza dicesi misura dell’asse non trasverso.
2.1 - Risolvendo l'equazione (1) rispetto a y, si ha:
; (2)
la condizione di esistenza è
Pertanto, l'iperbole è costituita da punti tutti esterni alla striscia individuata dalle
rette x = - a e x = a.
2.2 - Risolvendo l'equazione (1) rispetto a x, si ha:
la cui condizione di esistenza è
.
3.1
- Se consideriamo si ha che:
a) quando x cresce da a x = - a, y decresce da a zero;
b) quando x cresce da x = a a , y cresce da 0 a ;
c) per x = , si hanno i vertici A(a,0) e A'(-a,0).
3.2
– Se consideriamo si ha che:
a) quando x cresce da a x = - a, y cresce da a 0;
b) quando x cresce da x = a a , y decresce da 0 a ;
4 - Nell'equazione (1), ponendo uguale a zero il complesso dei termini di secondo grado, si ha:
Le rette così ottenute, di equazione , sono tangenti all'infinito all'iperbole: esse si dicono asintoti dell'iperbole e sono le diagonali del rettangolo delimitato dalle rette di equazione .
5 - Infine, osservato che è sempre
si deduce che l'iperbole è formata da due rami di curva i cui punti sono interni agli angoli formati dai due asintoti e contenenti l'asse x.
Il grafico dell'iperbole ha, dunque, un andamento del tipo seguente:
Prop.7.4.3 - Si dimostra che l'iperbole ha equazioni parametriche date da:
dove:
· a e b sono i semiassi trasverso e non trasverso dell’iperbole
·
Osservazione - E’ facile verificare che l’iperbole equilatera di equazione x2 – y2 = 1, ha equazione parametrica
Def.7.4.2 - Dicesi eccentricità dell'iperbole il rapporto fra la distanza focale c e la lunghezza del semiasse trasverso a:
Poiché .
Def.7.4.3 - Se F(c,0) ed F'(-c,0) sono i fuochi dell’iperbole di equazione , allora:
1. la retta d, di equazione , dicesi direttrice dell'iperbole associata al fuoco F(c,0);
2. la retta d', di equazione , dicesi direttrice dell'iperbole associata al fuoco F'(-c,0).
Ciò detto, si dimostra la seguente ulteriore proprietà, caratteristica dell'iperbole.
Prop.7.4.4 - L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze da ciascun fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante uguale all’eccentricità:
.La dimostrazione è analoga a quella dell’ellisse.&7.5 - La parabola – Equazione canonica della parabola
Def.7.5.1 - Dicesi parabola il luogo geometrico dei punti del piano aventi uguale distanza da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa d, detta direttrice:
P =
o, equivalentemente,
P =.
Il rapporto costante
dicesi eccentricità della parabola.
La retta passante per F perpendicolare alla direttrice d dicesi asse della parabola, il punto V dell’asse, equidistante dal fuoco e dalla direttrice, dicesi vertice della parabola.
Se indichiamo con p la distanza del fuoco F dalla direttrice e assumiamo come sistema di riferimento quello avente origine O nel vertice della parabola, come asse delle ascisse (x) l’asse della parabola e come asse delle ordinate (y) la retta per il vertice V parallela alla direttrice d,
in tale riferimento il fuoco F ha coordinate e la direttrice ha equazione .
Di conseguenza, P, si ha:
. (1)
L'equazione (1)
dicesi equazione canonica della parabola o equazione della parabola che ha il vertice nell’origine degli assi e asse di simmetria coincidente con l’asse x.
Se poniamo
l’equazione della parabola diventa
x = ay2.
In tal caso, la parabola ha:
· vertice V(0,0);
· fuoco
· direttrice d di equazione
Prop.7.5.1 (Proprietà geometriche della Parabola)
1. La parabola è simmetrica rispetto all’asse x.
Infatti, P : P’(x,-y)P;
2.
P: P:i punti della parabola si trovano tutti nel semipiano positivo delle x;
3. ricavando y dall'equazione (1), si ha:
così che quando x cresce da 0 a , anche y (in valore assoluto) cresce da 0 a .
Il grafico della parabola è:
Poiché la parabola non ha un centro di simmetria, si dice che la parabola è una conica non a centro.
&7.6 – Equazioni di parabole in posizione particolare
(I) Parabole con asse parallelo all’asse x
a) è l’equazione di una parabola avente:
· asse di simmetria , di equaxione y = 0,
· concavità rivolta verso destra se a > 0, (verso sinistra se a < 0)
· vertice V(c,0),
· fuoco ,
· direttrice parallela all’asse y (perpendicolare all’asse di simmetria) di equazione
Il grafico è:
b) è l’equazione di una parabola che ha:
· asse di simmetria as // x, di equazione ,
· concavità rivolta verso destra se a > 0 (verso sinistra se a < 0),
· vertice V(),
· fuoco
· direttrice parallela all’asse y (perpendicolare all’asse di simmetria) di equazione .
Il grafico è:
(II) Parabole con asse parallelo all’asse y
a) è l’equazione di una parabola che ha:
· asse di simmetria , di equazione x = 0,
· concavità rivolta l’alto se a > 0 (verso il basso se a < 0),
· vertice V O, di coordinate (0,0),
· fuoco ,
· direttrice parallela all’asse x, di equazione .
Il grafico è:
b) è l’equazione di una parabola che ha:
· asse di simmetria , di equazione x = 0,
· concavità rivolta l’alto se a > 0 (verso il basso se a < 0),
· vertice V su y di coordinate (0,c),
· fuoco F su y di coordinate
,
· direttrice parallela all’asse x (perpendicolare all’asse di simmetria), di equazione
.
Il grafico è:
c) Infine, è l’equazione di una parabola che ha:
· asse di simmetria as // y, di equazione
,
· concavità rivolta l’alto se a > 0 (verso il basso se a < 0),
· vertice
,
· fuoco
· direttrice parallela all’asse x (perpendicolare all’asse di simmetria), di equazione
&7.7 – Equazione generale di una conica - Classificazione di una conica e calcolo dell’equazione canonica
Nei paragrafi precedenti sono state determinate le equazioni delle coniche rispetto a particolari riferimenti cartesiani fissati, dette perciò equazioni canoniche.
In questo paragrafo vogliamo studiare le coniche quando sono riferite a riferimenti qualsiasi:
se si effettua un qualsiasi cambiamento di riferimento, mediante o una traslazione o una rotazione o una rototraslazione degli assi cartesiani canonici, l'equazione della conica cambia.
L'equazione più generale che si ottiene è un’equazione del tipo
(1)
dove i coefficienti aij sono numeri reali con (a11, a12, a22) ≠ (0,0,0).
Se indichiamo con
il complesso dei termini di 2° grado dell’equazione (1), l'equazione della conica può scriversi
(3)
dicesi forma quadratica associata alla conica.
Ad ogni conica sono associate due matrici quadrate e simmetriche:
1. la matrice
detta matrice completa della conica,
2. la matrice
detta matrice associata alla forma quadratica della conica.
Sussiste il seguente teorema.
Teorema 7.7.1 – (Classificazione di una conica)
Data la conica C di equazione
,
e dette
la matrice associata alla conica e
la matrice associata alla forma quadratica, si dimostra che C é:
a) Classificazione della specie:
· un’ellisse se det(A00) > 0;
· una parabola se det(A00) = 0;
· un’iperbole se det(A00) < 0.
b) Classificazione del genere:
· non degenere se
· degenere, cioè formata da un punto, da due rette distinte o da due rette coincidenti, se
Teorema 7.7.2 - Ogni conica del piano euclideo si può sempre rappresentare in forma canonica con una delle seguenti equazioni:
1)
se è un’ellisse reale non degenere;
2)
se è un’ellisse reale degenere in un solo punto;
3)
se è un’ellisse immaginaria;
4)
se è un’iperbole reale non degenere;
5)
se è un’iperbole degenere, formata da due rette incidenti e distinte di equazioni
6)
se è una parabola reale non degenere;
7)
se è una parabola degenere formata da due rette parallele e distinte;
8)
se è una conica degenere formata da rette coincidenti di equazione
y = 0;
9)
se è una parabola priva di punti reali, (conica immaginaria).
I metodi per ridurre l’equazione di una conica alla forma canonica sono due.
1° Metodo: metodo del completamento dei quadrati
I passi da eseguire con questo metodo sono:
(1° passo) si calcolano gli autovalori della matrice A00;
(2° passo) si calcolano due autovettori L.I. associati alla matrice A00;
(3° passo) si normalizzano i due autovettori associati alla matrice A00, ottenendo una base ortonormale del piano S2: tale base B’ = determina un nuovo sistema di riferimento RC(O,i’,j’), cartesiano e ortogonale, ruotato rispetto al vecchio riferimento RC(O,i,j), in cui la conica avrà una nuova equazione che mancherà del termine rettangolare xy.
Le formule del cambiamento di base e, quindi, del cambiamento di riferimento, sono:
dove R è la matrice avente per colonne i vettori della base B’ (si osservi che, essendo la base ortonormale, la matrice R è una matrice di rotazione ortogonale).
Sostituendo le equazioni fornite da
nell’equazione generale della conica si ottiene l’equazione di C nel nuovo sistema di riferimento RC(O’,x’,y’) che ha la stessa origine del riferimento RC(O,x,y) ma che è ruotato
rispetto ad esso:
La conica avrà, in tale riferimento, un’equazione che mancherà del termine xy:
(1)
(4° passo) Infine, si applica il metodo del completamento del quadrato per ottenere l’equazione canonica della conica: con tale procedimento si ottiene una traslazione degli assi che ha origine nel punto O’’ coincidente con il centro/vertice della conica:
Le equazioni della traslazione sono
.
Sostituendo tali relazioni nella (1), si ottiene una delle equazioni canoniche indicate nel teorema 7.7.2.
2° Metodo: metodo degli invarianti
Un metodo alternativo al “metodo del completamento dei quadrati” per il calcolo dell’equazione canonica di una conica è fornito dal “metodo degli invarianti”, più semplice e più veloce, che però non fornisce le formule (formule di rototraslazione) per il passaggio dal vecchio al nuovo riferimento e viceversa.
Sappiamo che ad ogni conica del piano, di equazione
f(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,
sono associate le matrici simmetriche
Ciò premesso, poniamo ora la seguente definizione.
Def.7.7.1 – Se C è una conica di equazione
f(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
e se
sono le matrici ad essa associate, allora:
1. I3 = det(A) dicesi invariante cubico della conica;
2. I2 = det(A00) dicesi invariante quadratico della conica;
3. I1 = traccia(A00) = a11 + a22 dicesi invariante lineare della conica.
Si osservi che l’invariante lineare I1 è uguale alla somma degli autovalori della matrice .
Tali valori si dicono invarianti della conica perché essi non cambiano qualunque sia la trasformazione di coordinate alla quale la conica è sottoposta (sono invarianti per traslazione, per rotazione, per rototraslazione).
Sussistono i seguenti fondamentali teoremi.
Teorema 7.7.3 – Se C è una conica di equazione
f(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,
se I1, I2, I3 sono i suoi invarianti e se sono gli autovalori della matrice A00, si dimostra che:
a) C è un’ellisse se I2 > 0 ovvero se la matrice della forma quadratica ha due autovalori reali e concordi;
b) C è un’iperbole se I2 < 0 ovvero se la matrice della forma quadratica ha due autovalori reali e diconcordi;
c) C è una parabola se I2 = 0 ovvero se la matrice della forma quadratica ha un autovalore reale = 0.
Teorema 7.7.4 - Se C è una conica di equazione
f(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
e se I1, I2, I3 sono I suoi invarianti, si dimostra che:
a) la conica è non degenere se I3 = det(A) 0;
b) la conica è degenere se I3 = det(A) = 0. In particolare:
1) Se rang(A) = 2, la conica è semplicemente degenere cioè formata da una coppia di rette distinte (reali o immaginarie);
2) Se rang(A) = 1, la conica è doppiamente degenere cioè formata da una coppia di rette concidenti.
Ciò premesso, i passi da eseguire per ridurre l’equazione di una conica non degenere alla forma canonica sono:
(1° passo) stabilire se la conica è non degenere (I3 = det(A) 0) o degenere (I3 = det(A) = 0);
(2° passo) stabilire la specie della conica, ovvero se essa è una conica a centro (ellisse o iperbole) o una conica non a centro (parabola);
(3° passo) calcolare gli autovalori di A00;
(4° passo) calcolare l’equazione canonica della conica, tenendo conto che:
a) se la conica è a centro, ovvero è un’ellisse o un’iperbole non degenere, la sua equazione canonica è del tipo
. (1)
Se diciamo
la matrice associata a tale equazione, il parametro t si calcola imponendo che
I3 = I’3 ovvero che det (A) = det(B).
Infine si sostituisce il valore di t ottenuto nella (1).
b) Se la conica non è a centro, ovvero è una parabola non degenere, la sua equazione canonica è del tipo
(2)
Se diciamo
la matrice associata all’equazione (2 ) della conica, il parametro t si calcola imponendo che
I3 = I’3 ovvero che det (A) = det(B).
Infine si sostituisce il valore di t ottenuto nella (2).
Esempio 1 – Data la conica C di equazione nel riferimento RC(O,x,y),
a) classificare la conica (specie e genere);
b) determinare la sua equazione canonica con il metodo del completamento dei quadrati;
c) calcolare gli elementi caratteristici della conica nel riferimento RC(O,x,y).
Svolgimento
La matrice associata alla forma quadratica è
,
la matrice associata alla conica è
.
a) Poiché
la conica è una parabola e poiché
la conica è non degenere.
b)
Calcoliamo l’equazione canonica della parabola. I passi da eseguire sono:
1) Calcoliamo gli autovalori di A00:
2)
Calcoliamo gli autospazi generati da e da .
Per = 0 si ha:
L’autospazio associato a = 0 è:
, dove u1 = (1,1).
Per = 4 si ha:
L’autospazio associato a = 4 è:
, dove u2 = (1, -1).
Poiché u1 = (1,1) e u2 = (1, -1) sono L. I. e poiché
B =
è una base ortogonale di R2.
3)
Calcoliamo, ora, una base ortonormale di R2 normalizzando .
Poiché
una base ortonormale di R2 è:
B’ =
dove
.
4)
Detta la matrice avente per colonne i vettori della base B’, le formule per il cambiamento di base e di riferimento sono:
.
5) Sostituendo tali relazioni nell’equazione di partenza, si ottiene l’equazione della conica nel nuovo riferimento RC’(O,x’,y’):
6) Ora applichiamo il metodo di completamento dei quadrati per ottenere l’equazione canonica.
Posto
si ha:
E’ questa l’equazione canonica della parabola nel nuovo riferimento RC’’(O’’,X,Y), traslato rispetto al riferimento RC(O’,e’1,e’2), che ha l’origine nel punto O’’ di coordinate rispetto ad RC(O’,x’,y’).
Nel riferimento RC(O’’,X,Y), la parabola ha:
·
parametro (distanza del fuoco dalla direttrice)
· vertice V = O’’(0,0);
·
· direttrice d di equazione
Osservazione: La trasformazione di coordinate, che ha consentito di calcolare la forma canonica dell’equazione della parabola, è la composta di una rotazione con una traslazione degli assi di riferimento. Calcoliamo le formule della rototraslazione:
Utilizzando tali formule, si possono calcolare le coordinate del vertice e del fuoco e l’equazione della direttrice nel riferimento iniziale RC(O,x,y) in cui è stata assegnata la conica.
·
Il vertice V ha coordinate:
· Il fuoco F ha coordinate:
Esempio 2 - Data la conica C di equazione
a) classificare la conica;
b) calcolare l’equazione canonica della conica col metodo degli invarianti.
Soluzione
Le matrici associate alla conica sono:
Gli invarianti della conica sono:
Poiché la conica è non degenere e poiché I2 = 16 > 0, la conica è un’ellisse.
Calcoliamo l’equazione canonica dell’ellisse.
Come primo passo, calcoliamo gli autovalori di A00:
Poiché sappiamo che la forma canonica dell’ellisse è del tipo ax2 + by2 1 = 0, cerchiamo un’equazione del tipo
a cui è associata la matrice
Imponendo che
Quindi l’equazione della conica è:
& 7.8 – Posizione relativa di una retta rispetto ad una conica
Def.7.8.1 – Se r è una retta e C è una conica del piano S2, si dice che:
1. La retta è secante la conica se ha due punti di intersezione con la conica;
2. La retta è tangente alla conica se ha due punti coincidenti con la conica;
3. La retta è esterna alla conica se non ha punti in comune con la conica.
Sussiste il seguente teorema.
Teorema 7.8.1 – Se r è una retta di equazione ax + by + c = 0 e se C è una conica di equazione , detto il discriminante dell’equazione che si ottiene risolvendo il sistema
,
si dimostra che:
1. la retta è secante se > 0;
2. la retta è tangente se = 0;
3. la retta è esterna se < 0.
La dimostrazione è ovvia.
CAP. 7 – ESERCIZI SULLE CONICHE
A) Circonferenza
A1.1 – (a) Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(4,3) e raggio r = 6.
Soluzione
Applicando la definizione, si ha:
(b) Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(2,3) e passante per il punto A(0,-1).
Soluzione
Il raggio della circonferenza è .
L’equazione della circonferenza è:
(c) Scrivere l’equazione della circonferenza avente A(-2,1) e B(4,-2) estremi di un diametro.
Soluzione
Il centro della circonferenza è il punto medio del segmento AB:
Il raggio è:
Pertanto, l’equazione della circonferenza è:
.
(d) Scrivere l’equazione della circonferenza di raggio concentrica con la circonferenza di equazione
Soluzione
Il centro comune alle due circonferenze è
Quindi, l’equazione della circonferenza di centro e raggio è:
(e) Srivere l’equazione della circonferenza passante per i punti A(-2,2) e B(2,6) e con centro sull’asse x.
Soluzione
Il centro C della circonferenza ha coordinate . Poiché A e B appartengono alla circonferenza, deve risultare:
: pertanto, il centro della circonferenza è C(4,0).
Il raggio è
e l’quazione è
.
(f) Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i punti A(-3,3), B(1,-1) e C(1,3).
Soluzione
La generica circonferenza ha equazione , con a,b,c da calcolare.
Imponendo la condizione di appartenenza dei punti A,B,C si ha:
Dunque, l’equazione della circonferenza è:
.
(g) Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(3,1) e tangente alla retta t di equazione 3x + 4y + 7 = 0.
Soluzione
Il raggio della circonferenza è uguale alla distanza di C(3,1) dalla retta t di equazione 3x + 4y + 7 = 0:
.
Pertanto, l’equazione della circonferenza è:
.
(h) Scrivere l’equazione della circonferenza che ha il centro sulla retta di equazione y = 2x – 6 e che è tangete alle rette s, di equazione x - 2 = 0, e t di equazione x = 8.
Soluzione
La generica circonferenza ha equazione , il cui centro ha coordinate .
1. Imponendo la condizione di appartenenza di C alla retta data, si ha:
2. Imponendo la condizione di tangenza alla retta s, si ha:
3. Analogamente, imponendo la condizione di tangenza alla retta t, si ha:
Risolvendo, quindi, il sistema delle tre condizioni determinate, si ha:
Dunque, la circonferenza ha equazione
A1.2 – (a) Scrivere l’equazione della circonferenza C passante per il punto P(3,0) e tangente alla retta di equazione x – y + 1 = 0 nel punto Q(-1,0).
(b) Detta t la retta passante per P e parallela alla bisettrice del 1° e 3° quadrante e denotato con R l’ulteriore punto di intersezione di C con t, determinare il punto S tale che
Soluzione
(a) La generica circonferenza ha equazione
con i parametri a,b,c da determinare.
Imponendo il passaggio di C per P(3,0) e Q(-1,0), si ottiene il sistema
Così che l’equazione della circonferenza diventa:
,
Per calcolare b imponiamo la terza condizione, quella di tangenza di C alla retta di equazione x – y + 1 = 0:
Perché la retta sia tangente, le soluzioni devono essere coincidenti e quindi il discriminante Δ dell’equazione deve essere nullo:
Dunque, la circonferenza C ha equazione .
(b) Ora calcoliamo la retta t. Poiché t è parallela alla bisettrice del 1° e 3° quadrante, essa avrà equazione del tipo
y = x + k,
con k che si determina imponendo la seconda condizione, ovvero che la retta passi per il punto P(3,0).
.
Dunque, t ha equazione
y = x - 3.
Per calcolare l’ulteriore punto di intersezione di C con la retta t, poniamo a sistema l’equazione di C e di t:
.
Risolvendo il sistema si ottiene il punto P(3,0), già noto, e il punto R(-1,- 4).
Infine, calcoliamo il punto S tale che
Supposto che S(x,y), si ha:
.
Dunque, S(- 1, 4).
A2 – Sia C la circonferenza di equazione e sia Determinare le equazioni delle rette passanti per P e tangenti alla circonferenza. Detti S e T i punti di tangenza, calcolare l’area del triangolo PST.
Soluzione
La retta generica passante per ha equazione .
Imponendo la condizione di tangenza, si ha:
.
Per la condizione di tangenza deve aversi:
.
Dunque, le due rette condotte da P tangenti a C hanno equazione:
s: e t: .
Calcoliamo i punti di tangenza ponendo a sistema l’equazione della circonferenza con le tangenti trovate.
S(1,2).
Analogamente si calcola il punto T, avendosi T(1,1).
Calcoliamo l’area del triangolo PST, considerando come base il segmento ST e calcolando l’altezza relativa alla base ST come distanza di P dalla retta r passante per S e T.
1.
2.
La retta r(S,T) ha equazione
3.
d(P,r) = .
Quindi, l’area del triangolo PST è:
A = .
A3 – Scrivere l’equazione della circonferenza tangente in A(1,1) alla retta t di equazione x = y e passante per il punto P(2,1).
Soluzione
La generica circonferenza ha equazione , con a,b,c parametri da calcolare.
· Imponendo il passaggio per il punto A(1,1) si ha:
a + b + c + 2 = 0
· Imponendo il passaggio per P(2,1) si ha:
2a + b + c + 5 = 0
· Imponendo la condizione di tangenza con t si ha:
Imponiamo che: .
Dunque il sistema risolvente è:
L’equazione della circonferenza cercata è:
.
A4 – Determinare l’equazione delle circonferenze di raggio r = 2, aventi il centro sulla retta s di equazione y = x e tangenti alla retta t di equazione x – 2y + 2 = 0.
Soluzione
Sia C(α,β) il centro della circonferenza richiesta. Poiché e dunque il centro deve avere coordinate (α,α). Inoltre, poiché la circonferenza ha raggio r = 2, la sua equazione sarà del tipo
.
Infine, imponiamo che la circonferenza sia tangente alla retta t:
.
Imponiamo che
Le due circonferenze hanno equazione:
C1:
C2: .
A5 - Scrivere l'equazione della circonferenza che ha centro nel punto A(5, -7) e passa per il punto P(2, -3).
Soluzione
Il raggio della circonferenza é
.
L'equazione della circonferenza é:
.
A6 - Scrivere l'equazione della circonferenza che ha raggio 2 e passa per i punti A(-1, 2) e B(1, 0).
Soluzione
Se é il centro della circonferenza, si ha:
.
Il problema ha due soluzioni:
1. la circonferenza di centro C1(-1,0) e raggio 2, di equazione (x+1)2 + y2 = 4;
2. la circonferenza di centro C2(1,2) e raggio 2, di equazione (x -1)2 + (y - 2)2 = 4.
A7 - Scrivere l'equazione della circonferenza tangente all'asse x nel punto A(3, 0) e avente raggio r = 6.
Soluzione
Il centro della circonferenza si troverà sulla retta per A perpendicolare all'asse x di equazione x = 3: pertanto C(3, y).
Imponendo che
Dunque, le circonferenze richieste sono due:
1. la circonferenza di centro C1(3,6) e raggio 6, di equazione (x-3)2 + (y-6)2 = 36;
2. la circonferenza di centro C2(3,-6) e raggio 6, di equazione (x-3)2 + (y+6)2 = 36.
A8 - Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per l'origine degli assi e tangenti alle rette r: x - 2y = 0 ed s: x + y - 1 = 0.
Soluzione
Il centro C della circonferenza deve trovarsi sulla retta per O perpendicolare ad r, di equazione 2x + y = 0 : pertanto C(x, -2x).
Ora imponiamo la circonferenza sia tangente alla retta s, ovvero che la distanza di C da s sia uguale al raggio
Il problema ha due soluzioni:
1.
la prima circonferenza ha centro C1;
raggio ;
equazione ;
2.
la seconda circonferenza ha centro C2;
raggio ;
equazione .
A9 - Sia r la retta di equazione x + y - 2 = 0 e P il punto di coordinate (2,0): scrivere l'equazione della circonferenza tangente in P alla retta r e passante per l'origine degli assi.
Soluzione
Il centro C della circonferenza si trova sulla retta per P(2,0) perpendicolare alla retta r: poiché tale perpendicolare ha equazione y = x - 2, il centro C ha coordinate (x, x - 2).
Ora imponiamo che .
Dunque: C(1, - 1), il raggio è R = , l'equazione della circonferenza é:
.
A10 - Scrivere l'equazione delle circonferenze passanti per l'origine O degli assi e tangente alle rette r: x - 2 y = 0 ed s: x + y - 1 = 0.
Soluzione
Il centro C appartiene alla retta per O e perpendicolare alla retta r: poiché tale perpendicolare ha equazione y = - 2 x, il centro ha coordinate (x, -2x).
Ora imponiamo che la distanza di C da r sia uguale alla distanza di C da s:
.
Risolvendo l'equazione si ha: .
a)
Per , si ha che il centro é
il raggio é
,
e l'equazione della circonferenza γ1 é:
b)
Per , si ha che il centro è
il raggio è
,
e l'equazione della circonferenza γ2 è:
A11 - Scrivere l'equazione della circonferenza tangente nell'origine O degli assi alla retta r: 3x - 4y = 0 e tangente alle rette s: x = 8 e t: x = - 2.
Soluzione
Poiché la circonferenza è tangente alla retta r nel punto O, il centro C della circonferenza appartiene alla retta w, perpendicolare in O ad r, di equazione 4x + 3y = 0.
Inoltre, poiché la circonferenza è tangente alla retta s, di equazione x = 8, e alla retta t di equazione x = -2, il centro C della circonferenza appartiene alla retta mediana di s e t, w’ di equazione x = (-2+8)/2 = 3.
Dunque, il centro C é l'intersezione fra le rette w e w’:
.
Il raggio della circonferenza é .
Pertanto, l'equazione della circonferenza è:
.
B) Parabola
B1 - Determinare l’equazione della parabola P che ha come asse la retta y = x – 1, il vertice in V(0, -1) e fuoco in F(-2, -3).
Soluzione
Se indichiamo con D(x,y) il punto d’intersezione dell’asse della parabola con la direttrice, risulta V il punto medio del segmento DF. Di conseguenza, utilizzando le formule del punto medio, si ha:
.
Inoltre, poiché la direttrice è perpendicolare all’asse della parabola che ha come vettore direttore
,
la direttrice ha parametri direttori (-1,1) e ha equazioni parametriche
ed equazione cartesiana
d: x + y – 3 = 0.
Ora se P(x,y) P , dalla definizione di parabola si ha:
.
B2 – Determinare l’equazione delle parabole aventi come asse la retta 2x – y + 1 = 0, fuoco il punto F(1,3) e passanti per P(0,1).
Soluzione
Poiché la direttrice d è perpendicolare all’asse della parabola, la sua equazione sarà del tipo
con c da determinare.
(Si osservi che i coefficienti della generica perpendicolare ha i coefficienti a e b scambiati fra di loro, con uno di essi cambiato di segno).
Per ottenere il parametro c mancante, imponiamo che il punto P(0,1) appartenga alla parabola, ovvero che:
Quindi, le soluzioni del problema sono due:
1) Se c = - 7, l’equazione della direttrice d è: x + 2y – 7 = 0 e la parabola ha equazione:
d(P,F) = d(P,d) =
2) Per c2 = 3, si procede alla stessa maniera.
B3 - Siano P la parabola di equazione y2 = 4x, AP , B la proiezione ortogonale di A sull'asse x e C il simmetrico di B rispetto all'origine O degli assi. Verificare che la retta CA è tangente alla parabola.
Soluzione
Sia AP . Di conseguenza, la retta CA ha equazione
.
Verifichiamo che tale retta CA é tangente alla parabola P:
.
Poiché il delta dell'equazione é nullo, la retta CA é tangente alla parabola P .
B4 - Sia P la parabola di equazione y2 = 2x e sia P il punto di coordinate (2,2). Determinare il punto QP tale che l'area del triangolo OPQ sia uguale a 4.
Soluzione
Il generico punto Q della parabola ha coordinate .
Imponendo che l'area del triangolo OPQ sia uguale a 4, si ha:
1.
: tale caso non ha soluzioni poiché Δ = -28 < 0.
2.
.
.
Il problema ha due soluzioni: .
B5 - Siano P la parabola di equazione y = x2, r ed r' due rette perpendicolari uscenti dall'origine O degli assi, R ed R' le ulteriori intersezioni di P con r ed r' rispettivamente.
Verificare che comunque si scelgano le rette r e r', le rette RR' passano tutte per un medesimo punto A del quale si chiedono le coordinate.
Soluzione
Le rette r ed r' uscenti da O, fra loro perpendicolari, hanno equazione rispettivamente:
(r) y = m·x, (r') y =
Di conseguenza:
.
.
La retta RR' ha coefficiente angolare dato da
.
L'equazione della retta RR' è:
.
: questa è l'equazione di un fascio di rette che passano tutte per il punto A(0, 1).
B6 - Sia P la parabola avente per fuoco il punto F(2,2) e per vertice il punto V(1,1). Determinare la retta tangente alla parabola P parallela alla retta r: x - 2y + 3 = 0 e calcolare il suo punto di contatto con P.
Soluzione
Con considerazioni geometriche, si deduce che la direttrice d della parabola è la bisettrice del 2° e 4° quadrante, di equazione y = - x ovvero x + y = 0.
Ricordato che la parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da F e dalla direttrice, se P(x,y) è il generico punto della parabola P deve risultare:
.
La generica retta t parallela alla retta r ha equazione x - 2y + k = 0; imponiamo che tale retta sia tangente alla parabola:
.
Imponiamo la condizione di tangenza:
.
.
Le rette tangenti sono due:
t1: e t2: .
Calcoliamo i punti di contatto delle due tangenti. Dall'equazione (*)
1. per k = - 16, si ha:
;
;
dunque T1(- 8, -12).
2.
per k = si ha:
;
;
dunque T2.
B7 - Si considerino le parabole P e P ' che hanno fuoco nel punto F(0,1) e come direttrici rispettivamente le rette r: x = 2 ed r': y = 2. Calcolare le coordinate dei punti comuni a P e P’'.
Soluzione
La parabola P è una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x.
Se P(x,y) è il suo generico punto, deve risultare:
.
La parabola P ' è una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y.
Se P(x,y) è il suo generico punto, deve risultare:
.
I punti di intersezione delle due parabole si ottengono risolvendo il sistema
.
Due soluzioni dell'equazione (*) sono x = 1 e x = - 3. Applicando due volte la regola di Ruffini il polinomio a primo membro si scompone in:
(x - 1)(x + 3)(x2 - 2x + 5) = 0.
Poiché il fattore di secondo grado ha Δ = 4 - 20 = - 16, l'equazione non ha altre soluzioni reali; di conseguenza le due parabole hanno solo due punti in comune le cui coordinate sono:
.
B8 - Scrivere l'equazione della parabola che ha per fuoco il punto F(1,1) e per vertice l'origine O.
Soluzione
L'asse della parabola è la bisettrice del I e III quadrante, di equazione y = x.
La direttrice della parabola è la retta perpendicolare all'asse nel punto H simmetrico del fuoco F rispetto al vertice O.
Le coordinate di H sono
e l'equazione della direttrice é
.
Poiché la parabola é il logo geometrico dei punti P(x,y) equidistanti al fuoco e dalla direttrice applicando tale proprietà si ha:
.
B9 - Determinare fuoco e direttrice della parabola che ha il vertice in O, ammette come asse la bisettrice del I e III quadrante e passa per il punto P(2,1).
Soluzione
Se F(t,t) é il fuoco della parabola, il punto H d'intersezione della direttrice con l'asse della parabola é il simmetrico di F rispetto al vertice O della parabola.
Ne consegue che H(-t, -t) e la direttrice ha equazione
.
Ora imponiamo che P(2,1) P
.
Di conseguenza:
·
il fuoco F ha coordinate
·
la direttrice d ha equazione
B12 - Sia P la parabola di equazione y2 + 2x = 0. Scrivere l'equazione della parabola P ' che ha fuoco nel punto F'(1,1) e come direttrice la retta tangente alla parabola P e parallela alla retta OF.
Soluzione
Il coefficiente angolare della retta OF è ; di conseguenza la direttrice d' della parabola P ‘ avrà un'equazione del tipo
y = x + k.
Ora imponiamo che tale retta sia tangente alla parabola P ' :
Per la condizione di tangenza deve aversi
.
Dunque, la direttrice d' della parabola P ' ha equazione:
.
Se P(x, y) è il generico punto della parabola P ‘ , applicando la proprietà caratteristica si ha:
.
B13 – Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, passante per i punti A(1,-1), B(4,20), O(0,0).
Soluzione
La generica parabola, con asse parallelo ad y, ha equazione y = ax2 + bx + c.
Imponendo il passaggio per i tre punti dati si ha:
Risolvendo il sistema formato dalle tre equazioni, si ha:
L’equazione della parabola è: y = 2x2 - 3x.
B14 – Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, passante per i punti A(0, -2) e B(3, -1/2) e tangente in B alla retta avente coefficiente angolare m = -1.
Soluzione
La generica parabola, con asse parallelo ad y, ha equazione y = ax2 + bx + c.
1. Imponendo il passaggio per A(0, -2), si ha: -2 = c;
2. imponendo il passaggio per ;
3. infine, poiché la tangente nel punto B ha coefficiente angolare m = -1, la sua equazione è .
Imponendo la condizione di tangenza, si ha:
.
Ponendo a sistema le tre equazioni, si ha:
Dunque, l’equazione della parabola è: .
C) Iperbole
C1 – Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha un fuoco nel punto F(-2,1), come relativa direttrice la retta d: 2x – 3y +2 = 0 ed eccentricità
Soluzione
Se P(x,y) è un punto dell’iperbole deve aversi:
.
C2 – Determinare gli asintoti, i vertici, i fuochi e le direttrici dell’iperbole di equazione 2x2 - 3y2 = 6.
Soluzione
Calcoliamo dapprima l’equazione canonica:
2x2 - 3y2 = 6
Pertanto:
1) Gli asintoti hanno equazione: .
2)
I vertici dell’iperbole sono: ;
3)
I fuochi dell’iperbole sono: .
4)
Le direttrici sono: .
C3 – Scrivere l’equazione dell’iperbole avente un fuoco nel punto F(1,2), relativa direttrice d: x – y + 3 = 0 e passante per il punto Q(-3,2).
Soluzione
Poiché Q è un punto dell’iperbole, deve risultare:
Quindi, P(x,y)I
.
C4 - Scrivere l'equazione dell'iperbole equilatera γ che ammette come fuoco il punto F(3.0) e come direttrice coniugata ad F la retta d: x = 1. Determinare inoltre il centro e i vertici di γ.
Soluzione
Se P(x,y) è il generico punto dell'iperbole γ deve aversi:
.
Calcoliamo l'equazione canonica con il metodo del completamento dei quadrati:
.
Da tale equazione si deduce che la conica è un'iperbole equilatera traslata; inoltre:
1.
i semiassi trasverso e non trasverso misurano a = b = ;
2.
il semiasse focale misura c =
3. il centro ha coordinate C(-1,0);
4.
i vertici hanno coordinate ;
5.
i fuochi hanno coordinate.
E) Cambiamento di riferimento: calcolo dell’equazione canonica di una conica.
E1 - Data la conica C di equazione 9x2 +4xy +6y2 - 10y = 0,
a) ridurre a forma canonica l'equazione di C e riconoscerne il tipo;
b) determinare le coordinate del centro e dei fuochi della conica.
Soluzione
a) Innanzitutto riduciamo a forma canonica la forma quadratica
φ(x,y) = 9x2 + 4xy + 6y2
delle conica.
La matrice associata a φ(x,y) nella base B={i,j} è .
Gli autovalori associati alla matrice A00, nella base B={i,j}, si ottengono risolvendo l'equazione:
det(A00 - λ·I) = 0
equazione che ammette per soluzione
λ1 = 5 e λ2 = 10.
Calcoliamo due autovettori relativi ai due autovalori.
1) Per λ1 = 5, deve aversi:
.
L'autospazio generato da λ1 = 5 è:
Vλ=5 = {v(x,y)V 2 2x + y = 0} =
.
Quindi, un autovettore associato all'autovalore λ1 = 5 è:
e1' = (1,-2) = i - 2j.
2) Per λ2 = 10, deve aversi:
.
L'autospazio generato da λ1 = 10 è:
Vλ=10 = {v(x,y)V2 x - 2 y = 0} =
.
Quindi, un autovettore associato all'autovalore λ2 = 10 è:
e2' = (2,1) = 2 i + j.
Quindi, una base ortonormale di autovettori, equiversa con la base B={i,j}, è B' ={i',j'}, dove:
.
La matrice del cambiamento di base da B a B' è:
avente determinate uguale a 1, mentre le equazioni del cambiamento dalle coordinate (x',y'), relative al riferimento RC'(O,i',j'), alle coordinate (x,y), relative al riferimento RC(O,i,j), sono:
Sostituendo tali relazioni nell'equazione assegnata della conica C ed effettuando i calcoli, si ha che la conica, nel nuovo riferimento, ha equazione:
Si osservi che la forma quadratica, nella nuova base B', ha l'espressione canonica
φ(x',y') = 5x'2 + 10y'2.
Ora applichiamo una nuova trasformazione per eliminare i termini di 1° grado.
Applicando il metodo di completamento dei quadrati, si ha:
.
Posto:
(1)
l'equazione della conica diventa:
(2)
Essa è l'equazione di una ellisse di semiassi
.
Si osservi che dalla (1) si ottiene:
queste sono le formule della traslazione che ha la nuova origine nel punto O''.
Le formule del cambiamento di riferimento da RC(O,x,y) a RC''(O'',X,Y) sono:
(formule della roto-traslazione).
b) Calcoliamo le coordinate del centro e dei fuochi della conica.
Nel nuovo riferimento roto-traslato RC''(O'',X,Y), la conica ha equazione
Il suo centro C≡O'' ha, in tale riferimento, coordinate X = 0 e Y = 0; le sue coordinate, nel riferimento iniziale assegnato, si ottengono sostituendo tali valori nelle equazioni della roto-traslazione:
.
Inoltre, ricordando che , si ha che le coordinate dei fuochi nel nuovo riferimento sono
.
Calcoliamo le coordinate nel vecchio riferimento:
Pertanto, i fuochi dell'ellisse hanno, nel riferimento dato, coordinate:
ed .
E2 - Dopo aver classificato la conica di equazione
determinare la sua equazione canonica.
Soluzione
La matrice associata alla conica è:
Il determinante di A è:
.
mentre il suo minore complementare a33 è:
Poiché:
1.
a33 = - 6 < 0la conica C è un’iperbole;
2.
det(A) = 1 la conica C è non degenere.
Calcoliamo, ora, la sua equazione canonica .
A tal fine, calcoliamo gli autovettori associati alla matrice ; essi sono le soluzione dell’equazione:
.
Ora calcoliamo gli autovettori associati a tali autovalori, cioè tali che
·
Per si ha:
.
Quindi l’autospazio generato da λ1 = 3 è
Vλ=3 =
e l’autovettore associato è
.
·
Per si ha:
.
Quindi l’autospazio generato da λ2 = - 2 è
Vλ=-2 =
e l’autovettore associato è
.
Di conseguenza, una base ortogonale di S2 è e una base ortonormale di S2 è:
B’ = .
La matrice del cambiamento di base dalla base B alla base B’ è:
C =
e, quindi, le formule del cambiamento di base sono:
Sostituendo tali relazioni nell’equazione iniziale della conica C ed effettuando i calcoli si ha:
. (1)
Questa è l’equazione della conica nel nuovo riferimento RC'(O',i,',j'): è questo il primo passo per arrivare a determinare l’equazione canonica della conica in esame.
Si osservi che il nuovo riferimento ha la stessa origine del vecchio riferimento, O'≡O, ma è ruotato rispetto al riferimento inizialmente assegnato.
Infine, per ottenere l’equazione canonica della conica, ci rimane da eliminare i termini di primo grado in x’ e y’ e per questo utilizziamo il metodo del completamento dei quadrati in sostituzione dell’altro metodo che utilizza il metodo della traslazione degli assi e che fissa l’origine del nuovo sistema di riferimento nel centro della conica.
Operiamo come segue:
.
Posto:
(1)
si ottiene l’equazione canonica della conica
.
Essa è l'equazione di un'iperbole di:
·
centro C≡O'',
·
semiasse trasverso a = ,
·
semiasse non trasverso b =
·
distanza focale c =
·
vertici V1-2
·
fuochi F1-2
·
asintoti le rette di equazione .
Si osservi che da (1) si ottiene : esse sono le formule della traslazione che porta l'origine nel punto C≡O''.
Le formule della rototraslazione da RC(O,x,y) a RC''(O'',X,Y) sono:
Utilizzando tali formule si possono calcolare le coordinate del centro, dei vertici e dei fuochi e le equazioni degli asintoti dell'iperbole:
a)
C;
b)
V1-2;
c)
F1-2;
d) le equazioni degli asintoti sono:
.
E3 - Data la conica C di equazione x2 - 6xy + y2 - - 6 = 0,
a) riconoscere la conica,
b) ridurre a forma normale l'equazione di C,
c) determinare le coordinate del centro e l'equazione degli assi di C.
Soluzione
a) La matrice della conica è:
Il determinante di A è:
.
mentre il suo minore complementare a33 è:
.
Poiché:
3.
a33 = - 8 < 0la conica C è un’iperbole;
4.
det(A) = 50 la conica C è non degenere.
Calcoliamo, ora, la sua equazione canonica .
A tal fine, calcoliamo gli autovettori associati alla matrice ; essi sono le soluzione dell’equazione:
.
Ora calcoliamo gli autovettori associati a tali autovalori, cioè tali che .
·
Per si ha:
.
Quindi l’autospazio generato da λ1 = 4 è
Vλ=4 =
e un autovettore associato è
.
·
Per si ha:
.
Quindi l’autospazio generato da λ2 = - 2 è
Vλ=-2 =
e un autovettore associato è
.
Di conseguenza, una base ortogonale di S2 è e una base ortonormale di S2 è:
B’ = .
La matrice del cambiamento di base dalla base B alla base B’ è:
C =
e, quindi, le formule del cambiamento di base sono:
Sostituendo tali relazioni nell’equazione iniziale della conica C ed effettuando i calcoli si ha:
.
Questa è l’equazione della conica nel nuovo riferimento RC'(O',i,',j'): è questo il primo passo per arrivare a determinare l’equazione canonica della conica in esame.
Si osservi che il nuovo riferimento ha la stessa origine del vecchio riferimento, O'≡O, ma è ruotato rispetto al riferimento inizialmente assegnato.
Infine, per ottenere l’equazione canonica della conica, ci rimane da eliminare i termini di primo grado in x’ e y’ e per questo utilizziamo il metodo del completamento dei quadrati in sostituzione dell’altro metodo che utilizza il metodo della traslazione degli assi e che fissa l’origine del nuovo sistema di riferimento nel centro della conica.
Operiamo come segue:
Posto
(1)
si ottiene l’equazione canonica della conica:
.
Essa è l'equazione di un'iperbole che nel nuovo riferimento ha:
·
centro C≡O'',
·
semiasse trasverso a = ,
·
semiasse non trasverso b =
·
distanza focale c =
·
vertici V1-2
·
fuochi F1-2
·
asintoti le rette di equazione .
Si osservi che da (1) si ottengono : esse sono le formule della traslazione che ha l'origine O'' coincidente con il centro C dell’iperbole.
Calcoliamo, ora, le formule della rototraslazione da RC(O,x,y) a RC''(O'',X,Y):
Utilizzando tali formule si possono calcolare le coordinate del centro, dei vertici e dei fuochi e le equazioni degli asintoti dell'iperbole:
a)
C;
b)
V1-2;
c)
F1-2
d) le equazioni degli asintoti sono:
E4 - Data la conica C di equazione 2x2 + 2xy + y2 - y = 0,
a) determinare un'equazione canonica di C e riconoscere che essa è una parabola;
b) calcolare le coordinate del vertice e del fuoco e l'equazione della direttrice.
Soluzione
a) La matrice della conica è:
Il determinante di A è:
mentre il suo minore complementare a33 è:
.
Poiché:
1)
a33 = 0la conica C è una parabola;
2)
det(A)la conica C è non degenere.
Calcoliamo, ora, una sua equazione canonica Y2 = a·X.
A tal fine, calcoliamo gli autovettori associati alla matrice ; essi sono le soluzione dell’equazione:
.
Ora calcoliamo gli autovettori associati a tali autovalori, cioè tali che .
·
Per si ha:
.
Quindi l’autospazio generato da λ1 = 0 è
Vλ=0 =
e un autovettore associato è
.
·
Per si ha:
.
Quindi l’autospazio generato da λ2 = 3 è
Vλ=3 =
e un autovettore associato è
.
Di conseguenza, una base ortogonale di S2 è e una base ortonormale di S2 è:
B’=.
La matrice del cambiamento di base dalla base B alla base B’ è:
C =
e, quindi, le formule del cambiamento di base sono:
Sostituendo tali relazioni nell’equazione iniziale della conica C ed effettuando i calcoli si ha:
.
Questa è l’equazione della conica C nel nuovo riferimento RC'(O',i,',j'), primo passo per arrivare a determinare l’equazione canonica della conica in esame.
Si osservi che il nuovo riferimento ha la stessa origine del vecchio riferimento, O'≡O, ma è ruotato rispetto al riferimento inizialmente assegnato.
Infine, per ottenere l’equazione canonica della conica, ci rimane da eliminare il termine di primo grado in y’ e per questo utilizziamo della traslazione degli assi, fissando l’origine O'' del nuovo sistema di riferimento nel vertice V(O',i',j')(a,b) della conica.
Le equazioni della traslazione sono:
L'equazione della conica nel nuovo riferimento RC''(O'',i'',j'') è così ottenuta:
Per ottenere l'equazione canonica Y2 = aX, dobbiamo imporre che sia nullo il coefficiente della Y e il termine noto:
In tale riferimento:
·
l'equazione della conica è: 3Y2 + X = 0.
· Le coordinate del vertice sono V(0,0),
·
le coordinate del fuoco sono F(c,0)≡,
·
l'equazione della direttrice è .
Le formule della traslazione da O'x'y' a O''XY sono:
e le formule del cambiamento di coordinate della rototraslazione sono:
Di conseguenza:
1)
V(O''XY) ;
2)
F(O''XY)
;
3) per calcolare l'equazione direttrice, ricordiamo che tale retta è la perpendicolare all'asse FV della parabola nel punto H simmetrico di F rispetto al vertice V.
Poiché il coefficiente angolare della retta FV è
,
il coefficiente angolare della direttrice, perpendicolare a FV, è:
e poiché il punto H, simmetrico di F rispetto a V, ha coordinate
.
Pertanto, l'equazione della direttrice della parabola è:
.
E5 - Data la conica C di equazione x2 - 9y2 + x - 9y - 2 = 0,
a) calcolare il genere e la specie della conica,
b) ridurre a forma normale l'equazione di C.
Soluzione
a) La matrice della conica è:
Il determinante di A è:
.
mentre il suo minore complementare a33 è:
.
Poiché:
1.
a33 = - 9 < 0la conica C è un’iperbole;
2.
det(A) = la conica C è degenere.
b)
Calcoliamo, ora, la sua equazione canonica .
Poiché la forma quadratica φ(x,y) = x2 - 9y2 è già ridotta alla forma canonica (manca il termine xy), per determinare l'equazione canonica della conica sarà sufficiente operare con il metodo del completamento dei quadrati.
Si ha:
x2 - 9y2 + x - 9y - 2 = 0
.
Di più, calcoliamo le due rette componenti tale iperbole degenere.
Sono queste le equazioni delle due rette componenti l'iperbole degenere assegnata.
E6 - Data la conica C di equazione x2 – y2 - 2x + 1 = 0 stabilire se è degenere e, in caso affermativo, calcolare le sue componenti.
Soluzione
La matrice della conica è
la matrice della forma quadratica è
.
Poiché det(A00) = -1 < 0, la conica è un’iperbole e poiché det(A) = -1 + 1 = 0, essa è degenere.
Calcoliamo le sue componenti:
x2 – y2 - 2x + 1 = 0 .
Dunque, le sue componenti sono: y = x – 1 e y = - x + 1.
E7 - Data la conica C di equazione x2 – 4xy + 4y2 - 2x + 4y + 1 = 0 stabilire se è degenere e, in caso affermativo, calcolare le rette componenti della conica.
Soluzione
La matrice della conica è
la matrice della forma quadratica è
.
Poiché det(A00) = 4 - 4 = 0, la conica è una parabola e poiché det(A) = 0, essa è degenere.
Calcoliamo le sue componenti:
x2 – 4xy + 4y2 - 2x + 4y + 1 = 0
Dunque, la parabola degenere è formata dalle due rette coincidenti di equazione:
385
)
0
,
2
4
3
(
)
0
,
4
1
(
-
=
a
2
4
3
4
1
=
-
=
a
x
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+
=
+
=
6
1
'
2
12
1
'
Y
y
X
x
Þ
ï
ï
î
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ï
í
ì
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-
+
-
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+
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-
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+
-
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
3
6
1
3
12
1
3
1
3
2
)
6
1
(
3
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)
2
12
1
(
3
2
'
3
1
'
3
2
3
6
2
6
12
1
3
2
3
1
)
6
1
(
3
2
)
2
12
1
(
3
1
'
3
2
'
3
1
Y
X
Y
X
y
x
y
Y
X
Y
X
y
x
x
⇒x = 1
3X + 2
3Y + 1
12 6+
26 3
=13(X + 2Y + 1
12 2+
26) = 1
3(X + 2Y + 5
12 2)
y = − 23X + 1
3Y − 1
12 3+16 3
=13(− 2X +Y + 1
12)
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Þ
x=
1
3
X+
2
3
Y+
1
126
+
2
63
=
1
3
(X+2Y+
1
122
+
2
6
)=
1
3
(X+2Y+
5
122
)
y=-
2
3
X+
1
3
Y-
1
123
+
1
63
=
1
3
(-2X+Y+
1
12
)
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
c
a
x
2
-
=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+
+
-
=
+
+
=
Þ
)
12
1
2
(
3
1
)
2
12
5
2
(
3
1
Y
X
y
Y
X
x
î
í
ì
=
=
0
0
Y
X
)
3
12
1
,
6
12
5
(
3
12
1
6
12
5
)
,
,
(
Oxy
y
x
O
V
y
x
V
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
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=
Þ
ï
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î
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ï
í
ì
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=
+
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-
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-
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+
-
=
+
-
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
=
-
=
3
6
5
12
10
3
1
)
12
1
2
4
3
2
(
3
1
6
3
1
6
12
4
2
12
5
9
3
1
)
2
12
5
2
4
3
(
3
1
0
2
4
3
)
(
y
x
F
Y
X
Oxy
)
3
6
5
,
6
3
1
(
-
Þ
Oxy
F
2
9
6
12
3
12
9
6
12
9
3
12
9
6
12
5
6
3
1
3
12
1
3
6
5
-
=
-
=
-
=
-
-
-
=
D
D
=
x
y
m
2
1
'
+
=
m
)
3
3
2
,
6
6
7
(
3
3
2
3
6
5
3
6
1
2
'
6
6
7
6
3
1
6
6
5
2
'
-
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-
=
-
=
-
=
=
+
=
-
=
H
y
y
y
x
x
x
F
V
F
V
)
6
6
7
(
2
1
3
3
2
-
=
+
x
y
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
-
=
2
2
9
2
1
2
9
9
0
2
1
0
1
A
e
d
P
d
F
P
d
=
)
,
(
)
,
(
0
18
18
)
4
81
4
9
(
18
2
2
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2
1
2
9
9
0
2
1
0
1
)
det(
=
-
=
+
-
-
=
-
-
-
-
+
=
A
0
9
9
0
0
1
33
00
<
-
=
-
=
=
a
A
Þ
0
0
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
Þ
=
-
+
-
+
Þ
0
2
)
(
9
)
(
2
2
y
y
x
x
Þ
=
-
+
-
+
-
+
Þ
=
-
-
+
+
-
-
+
+
Þ
0
2
4
9
4
1
)
2
1
(
9
)
2
1
(
0
2
)
4
1
4
1
2
1
2
(
9
)
4
1
4
1
2
1
2
(
2
2
2
2
y
x
y
y
x
x
0
9
1
)
2
1
(
1
)
2
1
(
0
)
2
1
(
9
)
2
1
(
2
2
2
2
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+
-
+
Û
=
+
-
+
Þ
y
x
y
x
î
í
ì
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+
+
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-
-
Þ
ï
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î
ï
ï
í
ì
-
-
=
+
+
=
+
Þ
+
±
=
+
Þ
=
+
-
+
0
2
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0
1
3
2
3
3
2
1
2
3
3
2
1
)
2
1
(
3
2
1
0
)
2
1
(
9
)
2
1
(
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A =1 0 −10 −1 0−1 0 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A=
10-1
0-10
-101
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
A00 = 1 00 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A
00
=
10
0-1
æ
è
ç
ö
ø
÷
P ∈ P d(P,F) = d(P,d){ },
PÎPd(P,F)=d(P,d)
{ }
,
⇒ y2 = x2 − 2x +1= (x −1)2 ⇒ y = ±(x −1)
Þy
2
=x
2
-2x+1=(x-1)
2
Þy=±(x-1)
A =1 −2 −1−2 4 2−1 2 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A=
1-2-1
-242
-121
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
A00 = 1 −2−2 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A
00
=
1-2
-24
æ
è
ç
ö
ø
÷
⇒ 4y2 + 4y(x −1)+ (x2 − 2x +1) = 0⇔ 4y2 + 4y(x −1)+ (x −1)2 = 0
Þ4y
2
+4y(x-1)+(x
2
-2x+1)=0Û4y
2
+4y(x-1)+(x-1)
2
=0
Δ4= 4(x −1)2 − 4(x −1)2 = 0⇒ y1 = y2 = −
4(x −1)8
= −12x + 12
D
4
=4(x-1)
2
-4(x-1)
2
=0Þy
1
=y
2
=-
4(x-1)
8
=-
1
2
x+
1
2
þ
ý
ü
î
í
ì
=
'
Î
1
)
,
(
)
,
(
'
d
P
d
F
P
d
P
p
e = d(P,F)d(P,d)
=1
e=
d(P,F)
d(P,d)
=1
ï
î
ï
í
ì
-
+
=
-
=
-
=
2
2
2
2
2
r
c
b
a
b
a
b
a
)
0
,
2
(
p
2
p
x
-
=
Î
"
)
,
(
y
x
P
px
y
p
px
x
y
p
px
x
p
x
y
p
x
2
4
4
2
)
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2
=
Þ
+
+
=
+
+
-
Þ
+
=
+
-
px
y
2
2
=
Î
"
)
,
(
y
x
P
∈
Î
Þ
=
2
2
1
y
p
x
Î
"
)
,
(
y
x
P
Þ
³
0
x
px
y
2
±
=
¥
+
¥
+
x = ay2 + c
x=ay
2
+c
as ≡ x
a
s
ºx
F( 14a
+ c, 0)
F(
1
4a
+c,0)
)
2
(
J
tg
t
=
x = − 14a
+ c.
x=-
1
4a
+c.
x = ay2 + by+ c
x=ay
2
+by+c
y = − b2a
y=-
b
2a
−Δ4a,− b2a
-
D
4a
,-
b
2a
F(1−Δ4a
,− b2a)
F(
1-D
4a
,-
b
2a
)
x = −1−Δ4a
x=
-1-D
4a
y = ax2
y=ax
2
as ≡ y
a
s
ºy
≡
º
F(0, 14a)
F(0,
1
4a
)
y = − 14a
y=-
1
4a
y = ax2 + c
y=ax
2
+c
(0, 14a
+ c)
(0,
1
4a
+c)
y = − 14a
+ c
y=-
1
4a
+c
y = ax2 + bx + c
y=ax
2
+bx+c
x = − b2a
x=-
b
2a
V (− b2a,− Δ4a)
V(-
b
2a
,-
D
4a
)
F(− b2a,1−Δ4a
)
F(-
b
2a
,
1-D
4a
)
y = −1−Δ4a
y=
-1-D
4a
a11x2 + 2a12xy+ a22y
2 + 2a13x + 2a23y+ a33 = 0
a
11
x
2
+2a
12
xy+a
22
y
2
+2a
13
x+2a
23
y+a
33
=0
2
22
12
2
11
2
2
)
,
(
y
a
xy
a
x
a
y
x
+
+
=
j
f (x, y) =ϕ2 (x, y)+ 2a13x + 2a23y+ a33 = 0
f(x,y)=j
2
(x,y)+2a
13
x+2a
23
y+a
33
=0
2
22
12
2
11
2
2
)
,
(
y
a
xy
a
x
a
y
x
+
+
=
j
A =a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
A=
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
'
AA
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
22
12
12
11
00
a
a
a
a
A
a11x2 + 2a12xy+ a22y
2 + 2a13x + 2a23y+ a33 = 0
a
11
x
2
+2a
12
xy+a
22
y
2
+2a
13
x+2a
23
y+a
33
=0
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
≠ 0;
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
¹0;
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
= 0.
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
=0.
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
0
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
1
2
2
2
2
-
=
+
b
y
a
x
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
0
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
px
y
2
2
=
2
2
h
y
=
'
BB
0
2
=
y
2
2
h
y
-
=
e1' ,e2
'{ }= i ', j '{ }
e
1
'
,e
2
'
{}
=i',j'
{}
A =a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟,A00 =
a11 a12a12 a22
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟.
A=
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
,A
00
=
a
11
a
12
a
12
a
22
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
.
≠
¹
≠
¹
λ1x2 +λ2y
2 + t = 0
l
1
x
2
+l
2
y
2
+t=0
B =λ1 0 00 λ2 00 0 t
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
B=
l
1
00
0l
2
0
00t
æ
è
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
2x2 − 4xy+ 2y2 − 2y−1= 0
2x
2
-4xy+2y
2
-2y-1=0
ϕ(x, y) = 2x2 − 4xy+ 2y2
j(x,y)=2x
2
-4xy+2y
2
A00 = 2 −2−2 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A
00
=
2-2
-22
æ
è
ç
ö
ø
÷
A =2 −2 0−2 2 −10 −1 −1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
A=
2-20
-22-1
0-1-1
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
x2
a2+y2
b2=1⇒
x2
a2≤1
y2
b2≤1
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇒−1≤ x
a≤ +1
−1≤ yb≤ +1
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇔−a ≤ x ≤ a−b ≤ y ≤ b⎧⎨⎩
.
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1Þ
x
2
a
2
£1
y
2
b
2
£1
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
Þ
-1£
x
a
£+1
-1£
y
b
£+1
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
Û
-a£x£a
-b£y£b
ì
í
î
.
A00 = 2 −2−2 2
= 4− 4 = 0
A
00
=
2-2
-22
=4-4=0
A =2 −2 0−2 2 −10 −1 −1
= −2 ≠ 0
A=
2-20
-22-1
0-1-1
=-2¹0
y2 = 2px
y
2
=2px
d et(A00 −λI ) = 0⇒ 2−λ −2−2 2−λ
= 0⇒ (2−λ)2 − 4 = 0⇒ 2−λ = ±2⇒ λ = 0∨λ = 4
det(A
00
-lI)=0Þ
2-l-2
-22-l
=0Þ(2-l)
2
-4=0Þ2-l=±2Þl=0Úl=4
λ1
l
1
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
λ2
l
2
A00 ⋅X = 0 ⋅X⇒ 2 −2−2 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
xy
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
00
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⇒
2x − 2y = 0−2x + 2y = 0⎧⎨⎩
⇒ x − y = 0⇒ y = x
A
00
×X=0×XÞ
2-2
-22
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
y
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
0
0
æ
è
ç
ö
ø
÷
Þ
2x-2y=0
-2x+2y=0
ì
í
î
Þx-y=0Þy=x
Vλ1 = X ∈ R2 X = (x, x) = x(1,1){ }⇒Vλ1 = L(u1)
V
l
1
=XÎR
2
X=(x,x)=x(1,1)
{ }
ÞV
l
1
=L(u
1
)
A00 ⋅X = 4 ⋅X⇒ 2 −2−2 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
xy
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
4x4y
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⇒
2x − 2y = 4x−2x + 2y = 4y⎧⎨⎩
⇒ 2x + 2y = 0⇒ y = −x
A
00
×X=4×XÞ
2-2
-22
æ
è
ç
ö
ø
÷
x
y
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
4x
4y
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
Þ
2x-2y=4x
-2x+2y=4y
ì
í
î
Þ2x+2y=0Þy=-x
λ2
l
2
Vλ2 = X ∈ R2 X = (x,−x) = x(1,−1){ }⇒Vλ2 = L(u2 )
V
l
2
=XÎR
2
X=(x,-x)=x(1,-1)
{ }
ÞV
l
2
=L(u
2
)
u1 ⋅u2 = (1,1) ⋅ (1,−1) =1−1= 0
u
1
×u
2
=(1,1)×(1,-1)=1-1=0
u1,u2{ }
u
1
,u
2
{}
a
x
±
=
u1 = 12 +12 = 2, u2 = 1
2 + (−1)2 = 2
u
1
=1
2
+1
2
=2,u
2
=1
2
+(-1)
2
=2
e '1,e '2{ }
e'
1
,e'
2
{}
e '1 =u12= ( 1
2, 12),e '2 =
u22= ( 1
2,− 1
2)
e'
1
=
u
1
2
=(
1
2
,
1
2
),e'
2
=
u
2
2
=(
1
2
,-
1
2
)
C =
12
12
12
−12
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
C=
1
2
1
2
1
2
-
1
2
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
X =C ⋅X '⇔ xy
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟=
12
12
12
−12
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟
⋅x 'y '
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⇒
x = 12x '+ 1
2y '
y = 12x '− 1
2y '
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
X=C×X'Û
x
y
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
1
2
1
2
1
2
-
1
2
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
×
x'
y'
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
Þ
x=
1
2
x'+
1
2
y'
y=
1
2
x'-
1
2
y'
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
2( 12x '+ 1
2y ')2
2(
1
2
x'+
1
2
y')
2
−4( 12x '+ 1
2y ')
-4(
1
2
x'+
1
2
y')
( 12x '− 1
2y ')
(
1
2
x'-
1
2
y')
+2( 12x '− 1
2y ')2
+2(
1
2
x'-
1
2
y')
2
−2( 12x '− 1
2y ')−1= 0⇒
-2(
1
2
x'-
1
2
y')-1=0Þ
⇒ 2(12x '2+ 1
2y '2+ x ' y ')− 4(1
2x '2− 1
2y '2 )+
Þ2(
1
2
x'
2
+
1
2
y'
2
+x'y')-4(
1
2
x'
2
-
1
2
y'
2
)+
2(12x '2+ 1
2y '2− x ' y ')− 2x '+ 2y '−1= 0⇒
2(
1
2
x'
2
+
1
2
y'
2
-x'y')-2x'+2y'-1=0Þ
X = x '+ 9 216
Y = y '+ 28
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇔x ' = X − 9 2
16
y ' =Y − 28
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
X=x'+
92
16
Y=y'+
2
8
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
Û
x'=X-
92
16
y'=Y-
2
8
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
(− 9 216
,− 28)
(-
92
16
,-
2
8
)
p = 14 2
p=
1
42
2
2
2
x
a
a
b
y
-
-
=
x = 12x '+ 1
2y '
y = 12x '− 1
2y '
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
x=
1
2
x'+
1
2
y'
y=
1
2
x'-
1
2
y'
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
∧x ' = X − 9 2
16
y ' =Y − 28
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Ù
x'=X-
92
16
y'=Y-
2
8
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
⇒x = 1
2(X − 9 2
16)+ 1
2(Y − 2
8) = 1
2X + 1
2Y − 11
16
y = 12(X − 9 2
16)− 1
2(Y − 2
8) = 1
2X − 1
2Y − 7
16
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇒
Þ
x=
1
2
(X-
92
16
)+
1
2
(Y-
2
8
)=
1
2
X+
1
2
Y-
11
16
y=
1
2
(X-
92
16
)-
1
2
(Y-
2
8
)=
1
2
X-
1
2
Y-
7
16
ì
