Luoghi geometrici

Luoghi geometrici con Cabri II Plus

Convegno Nazionale - Modelli e Tecnologie per la Nuova Didattica della MatematicaSabato 14 aprile 2007

Luoghi Geometrici con Cabri II PlusLuoghi Geometrici con Cabri II Plus

Marcello Pedone I.I.S.S. “A. De Pace”di Lecce [email protected]

Convegno Nazionale: Modelli e Tecnologie per la Nuova Didattica della Matematica Organizzato dal Liceo Scientifico Giovanni da Procida di Salerno col patrocinio di: SICSI - Università di Salerno, Presidenza Regione Campania, BIMED - Biennale A. S.Mediterraneo, Direzione Regionale Scolastica – Campania, IRRE – Campania, Provincia di SalernoComune di Positano


Marcello Pedone I.I.S.S.“A. De Pace” di Lecce

Sommario

Nel seguito mostrerò come con il software Cabri Géomètre II Plus si possono trovare e descrivere in maniera molto semplice e immediata i “luoghi geometrici”. Usando lo strumento Animazione vedremo che è possibile fare “esperimenti” di tipo “cinematico” anche sui luoghi che hanno un’origine geometrica.



Premessa L’uso dei sistemi dinamici di geometria e algebra sono stati sperimentati dallo scrivente insieme agli allievi di una sua classe, nel progetto internazionale “comenius1-Partenariati scolastici” “ Neuer multimedialer Einsatz in Mathematik” (Nuove applicazioni multimediali in Matematica) conclusosi nell’anno scolastico 2006-‘07. I prodotti didattici ottenuti sono stati presentati nel meeting internazionale”Maths and use of computers” tenuto nell’aula magna dell’ IISS “A.De Pace” di Lecce nell’anno scolastico 2005-‘06 . Al meeting hanno partecipato docenti della rete Europea, Nazionale e dell’Università di Lecce .

In tale progetto di cui lo scrivente è referente nazionale, sono stati usati due sistemi dinamici di geometria (DGS) : “Cabri “ e “DynaGeo”.

La pratica e la ricerca hanno portato i docenti e gli allievi delle nazioni partecipanti ad esprimere un parere unanime nell’utilità dei software di geometria (DGS) soprattutto per il processo di formulazione di congetture geometriche.

Cabri Géomètre II Plus, usato soprattutto dai miei allievi, ha consentito agli studenti di costruire e manipolare enti geometrici e ha permesso di evidenziare relazioni geometriche, dando agli allievi la possibilità di avanzare congetture.



Metodologia

La metodologia comune stabilita in conclusione dei lavori del progetto può essere sintetizzata con il seguente schema:

Costruzione di figure

geometriche

Scoperta di proprietà geometriche

Elaborazione di teorie

Esplorazione

Possiamo dire che nel processo di apprendimento intervengono le seguenti fasi:1.1.CostruireCostruire l’oggetto geometrico2. 2. CollaudareCollaudare cioè cioè verificare, se la figura geometrica mantiene le proprietà3. 3. ScoprireScoprire intuitivamente le proprietà dell’oggetto geometrico 4. 4. Giustificare Giustificare la costruzione dell’oggetto dimostrando le proprietà congetturate 5. 5. FormalizzareFormalizzare convertendo la propria scoperta in modo intuitivo in definizione, enunciato o formula.



Equazioni di luoghi geometrici Possiamo definire un luogo geometrico come l’insieme di tutti e soli i punti che soddisfano ad una o più determinate proprietà .

Se nel piano è definito un riferimento cartesiano la proprietà che descrive il luogo geometrico può essere espressa attraverso una o più equazioni ed il luogo geometrico risulta essere l'insieme di tutti e soli i punti P(x,y) le cui coordinate soddisfano equazioni del tipo f(x,y)=0. La "proprietà" che caratterizza tali luoghi non è espressa in termini geometrici bensì in termini analitici. Se le proprietà sono espresse definendo geometricamente le caratteristiche dei punti del luogo l’equazioni di tale luogo si ottengono traducendo in formule le proprietà geometriche che caratterizzano i luogo considerato. Per esempio le coniche possono essere considerate come luoghi geometrici ottenendo dalle loro proprietà geometriche le loro equazioni, oppure possono essere considerate come luoghi dei punti del piano che soddisfano un’equazione algebrica di secondo grado. Vediamo come possiamo costruire la parabola e l’ellisse usando la loro

definizione geometrica.



La parabola La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (F) detto fuoco e da una retta fissa (d) detta direttrice.

Costruzione

1. Tracciamo la direttrice d2. Tracciamo la retta r perpendicolare a d in un suo punto A3. Fissiamo il fuoco F fuori le due rette4. Tracciamo l’asse del segmento AF5. Troviamo l’intersezione tra l’asse e la retta r e indichiamola con P6. Tracciamo il luogo descritto da P al variare di A sulla retta r

Il luogo descritto è la parabola di fuoco F e direttrice d . Infatti PA=PF ed è uguale alla distanza di P da d.



Mostra la descrizione della figura

Si può fare apparire una finestra che presenta una descrizione testuale di tutti i passi della costruzione della figura geometrica, in ordine cronologico (vedi figura precedente). Per ottenere la di descrizione testuale della figura si và al menu Opzioni e si sceglie la nuova voce Mostra la descrizione della figura (si può anche attivare con il tasto F10)



Intersezione di due oggetti -Coordinate o equazioni

Con lo strumento Mostra gli assi si possono rappresentare gli assi cartesiani come nella figura seguente. Con Cabri II Plus è possibile creare l’intersezione di luoghi con lo strumento Intersezione di due oggetti e ottenere le equazioni di curve algebriche, ottenute come luoghi, con lo strumento Coordinate o equazioni. Le equazioni dei luoghi sono determinate numericamente, come curve algebriche reali di grado minore o uguale a 6. Nella figura, usando gli strumenti suddetti, abbiamo calcolato l’intersezione tra la parabola e l’asse delle ordinate ed inoltre abbiamo ottenuto l’equazione della parabola.Variando l’origine degli assi il programma automaticamente fornisce le nuove equazioni e

le nuove coordinate.

Il programma permette di allegare ad oggetti geometrici delle immagini.Le immagini possono essere allegate ai punti, segmenti, triangoli e quadrilateri convessi. Per allegare un’immagine ad un oggetto si deve usare il menu contestuale dell’oggetto, che si attiva con il tasto destro del mouse una volta selezionato l’oggetto. Nella figura al punto P, che descrive il luogo cioè la parabola, è stata allegata una penna , spostando il punto A la penna descrive il luogo.



L’ellisse L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi (F1 , F2 ) detti fuochi è costante.

Costruzione Fissiamo due punti nel piano (F1 , F2 )

1. Tracciamo un segmento AB di lunghezza arbitraria maggiore della distanza F1F2

2. Fissiamo un punto C che varia sul segmento AB3. Costruiamo la circonferenza di centro F1 e

raggio AC4. Costruiamo la circonferenza di centro F2 e

raggio BC5. Determiniamo le intersezioni delle due circonferenze6. Tracciamo il luogo descritto dai punti d’intersezione trovati, al variare di C su AB

Il luogo descritto è l’ellisse avente i fuochi nei punti F1 e F2 . Infatti i punti d’intersezione delle

due circonferenze hanno la proprietà di avere costante, la somma delle distanze da F1 e da F2 (PF1

+ PF2 =AB) .



Mostra gli assi

Nella figura seguente sono stati aggiunti gli assi cartesiani, sono state calcolate le coordinate dei fuochi, l’equazione del luogo e le equazioni delle due circonferenze, usando gli strumenti precedentemente descritti per costruire la parabola. In particolare si può notare che il programma restituisce l’equazione della circonferenza con centro e raggio assegnato.



L’asteroide e la rosa a quattro foglie. Costruiamo i due luoghi geometrici noti con i nomi asteroide e rosa a quattro foglie.

1. Tracciamo una circonferenza e indichiamo con P un suo punto2. Tracciamo due diametri ortogonali AC e BD .3. Proiettiamo il punto P sui due diametri e chiamiamo con H e K le proiezioni.4. Tracciamo il segmento KH e la perpendicolare ad esso per il punto P5. indichiamo con E l’intersezione

Tracciamo il luogo descritto dal punto E al variare di P sulla circonferenza. Il luogo descritto da E al variare di P sulla circonferenza si chiama Asteroide. Se la perpendicolare al segmento KH viene fatta passare per il punto O anziché il punto P , il luogo descritto dal punto d’intersezione F, della perpendicolare con il segmento KH, al variare di P sulla circonferenza, si chiama rosa a quattro foglie.



Strumento trasporto di misura

Usando lo strumento trasporto di misura si può misurare la distanza del punto P sulla circonferenza dal punto M sul luogo.Usando lo strumento animazione si può vedere come al variare del punto P sulla circonferenza il punto M descrive il luogo.



EquazioniNelle figure seguenti sono stati aggiunti gli assi cartesiani, sono state calcolate le coordinate dei punti, l’equazione del luogo e l’equazione della circonferenza, usando gli strumenti precedentemente descritti per costruire la parabola. Nella seconda figura sono riportati entrambe i luoghi costruiti

con le rispettive equazioni.



La cicloide Vediamo infine la costruzione della cicloide che è la curva descritta da un punto di una circonferenza che rotola senza strisciare su una retta.Scrive Erman Di Rienzo Immaginiamo una ruota che rotola senza strisciare su una linea retta, ad es. la ruota di un treno su un binario o la ruota di una bicicletta che si muove su un rettilineo. Ci chiediamo: Un punto sul bordo esterno della ruota che curva descrive nel moto di rotolamento della ruota? Istintivamente si è portati a rispondere: "una circonferenza!", ma riflettendo un po' ci si accorge che forse è così per un osservatore sul treno (o per il ciclista), ma non per un osservatore a terra; il punto dal momento che tocca terra si solleva quasi in verticale, quindi curva nella direzione del moto fino ad arrivare ad un'altezza massima pari al diametro del cerchio muovendosi in quel momento in orizzontale, quindi ridiscende quasi rallentando orizzontalmente ed accelerando verticalmente verso il basso fino a toccare terra in verticale per riprendere ciclicamente la stessa traiettoria. Questa curva è detta "cicloide" definita come la traiettoria di un punto fisso su una circonferenza che rotoli senza slittamento su una retta.Vedremo che usando lo strumento Animazione si può dare immediatamente la risposta alla domanda “Un punto sul bordo esterno della ruota che curva descrive nel moto di

rotolamento della ruota?”.



Costruzione della Cicloide1. Su di una semiretta di origine A scegliamo un punto a piacere P2. Con lo strumento Distanza lunghezza misuriamo la distanza di P da A3. Tracciamo la retta per P perpendicolare alla semiretta AP4. Scegliamo un punto O su tale retta5. Costruiamo la circonferenza di centro O e raggio OP6. Con lo strumento trasporto di misura costruiamo il punto Q, tale che l’arco QP abbia lunghezza pari a quella del segmento APTracciamo il luogo descritto dal punto Q al variare di P sulla semiretta usando il comando Luogo.Il luogo ottenuto è la curva detta cicloide



Simulazione del moto di una ruota. Nella figura seguente sono stati aggiunti gli assi cartesiani, sono state calcolate le coordinate dei punti, l’equazione del luogo e l’equazione della circonferenza, usando gli strumenti precedentemente descritti per costruire parabola

Nella figura che segue simuliamo il moto di una ruota.



Conclusioni

Il tracciamento di luoghi geometrici con Cabri II Plus è uno degli strumenti di maggiore interesse didattico del programma, perché permette di visualizzare, rendere dinamica una delle nozioni fondamentali della geometria. Ci sono luoghi che hanno un’origine geometrica ed altri che hanno un’origine cinematica.Usando lo strumento Animazione è possibile fare delle“prove” di tipo dinamico anche sui luoghi che hanno un’origine geometrica. Per una curva algebrica, il programma è in grado di fornire l’equazione del luogo ottenuto; utilizzando lo strumento Coordinate o equazioni si ottiene l’equazione del luogo. Chiaramente non è possibile ottenere l’equazione di un luogo qualunque, perché esistono luoghi algebrici di grado superiore al sesto e altri luoghi che sono trascendenti.Abbiamo visto che si possono intersecare i luoghi con altri oggetti e che agli oggetti geometrici si possono allegare delle immagini. In questo modo è possibile stabilire

interazioni tra la matematica e la realtà.



Come utilizzare questo programma nell’insegnamento della matematica?

Rimane aperta la questione di come utilizzare questo programma nell’insegnamento della matematica e in particolare della geometria analitica. Certamente possiamo usarlo per produrre delle congetture, ma occorre sempre farle seguire da una verifica analitica. La costruzione di figure geometriche sul computer apporta una nuova dimensione rispetto alle costruzioni classiche, la figura geometrica può essere liberamente manipolata e la costruzione si modifica istantaneamente, permettendo di osservare proprietà varianti e invarianti. Gli allievi possono scoprire, in modo interattivo, le proprietà geometriche di una figura e gli insegnanti possono presentare, in modo efficace, le lezioni di geometria e le attività di laboratorio.Comunque ogni innovazione comporta un inevitabile processo di assestamento fra i nuovi metodi e i vecchi. Sarebbe sbagliato accettare senza critica le nuove metodologie e cancellare le vecchie.Occorre trovare un giusto equilibrio tra le nuove tecnologie e le vecchie , tra le nuove metodologie e le vecchie, combinando le une con le altre, per

una proficua ricerca didattica.



Riferimenti bibliografici 1. G. Accascina, L. Tomasi, Intervista a Jean-Marie Laborde, l’ideatore di Cabri Géomètre, in CABRIRRSAE, Bollettino degli utilizzatori di software matematici, IRRE Emilia Romagna, n. 37, Ottobre 2003.2. L. Tomasi, Cabri Géomètre II Plus: novità e potenzialità del software che più ha cambiato l’insegnamento della geometria nella scuola, in CABRIRRSAE, n. 33, Ottobre 2002.3. Francesco Speranza. Invito alla geometria con cabri-géomètre. IPRASE del trentino4. Vinicio Villani Università di Pisa .L'INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA OGGI E DOMANI. Geometria senza Software Geometrico di Vinicio Villani Università di Pisa5. M. Colizza - Appunti Delle Lezioni Tenute Nell’a.A. 2001-2002. Per Il Laboratorio Didattico Di Geometria - Ssiss Dicembre 2001. Una Chiacchierata (Con Fini Didattici) Su La Geometria Analitica6. P. Boieri -CabrIRRSAE n. 12, giugno 977. Michele Impedovo -Bollettino CABRIRRSAE, n° 18, dicembre 19988. Luigi Tomasi, L.S. “G. Galilei” di Adria (Ro), S.S.I.S. di Ferrara Da Cabri II a Cabri II Plus: innovazioni nel software e potenzialità per l'insegnamento della geometria9. Jean-Marie Laborde - CABRIRRSAE, n. 35-36, 200310. M. Laborde, Le novità del software Cabri Géomètre II Plus, in CABRIRRSAE, n. 34-35, Giugno 2003.11. Erman Di Rienzo -http://www.matematicamente.it/storia/cicloide.htm-12. M.Pedone – Asteroide- http://www.matematicamente.it/cabri/Asteroide.htm

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