DİNAMİK - selcuk.edu.tr · Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Dinamik ΣF = ΣFx = m ax...
Transcript of DİNAMİK - selcuk.edu.tr · Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Dinamik ΣF = ΣFx = m ax...
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
DİNAMİK
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket - Düzlemde Eğrisel Hareket - Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme - İş ve Enerji - İmpuls ve Momentum
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
DİNAMİK
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
KİNETİK
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
DİNAMİK
3
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Kuvvet, Kütle ve İvme
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
DİNAMİK
3.1
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Bir maddesel noktanın ivmesi, ona etki eden bileşke kuvvet ile doğru orantılıdır ve aynı yöndedir.
Dinamik
ΣF = m aYön : ΣF // a
Şiddet : | ΣF | = m aa
ΣF
m aa
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Newton'un ikinci kanunuNewton'un ikinci kanunu
Maddesel Noktaların Kinetiği
Kinetik problemlerini çözerken Newton prensiplerinden faydalanılır. Bunu yaparken 3 temel yaklaşım vardır:
1. Newton'un ikinci kanununun direk uygulanması (kuvvet, kütle ve ivme yöntemi),
2. İş ve enerji prensibi,
3. İmpuls ve momentum yöntemi.
Kuvvet, Kütle ve İvmeKuvvet, Kütle ve İvme
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 1
Σ Fi = ΣFi=1
n
F1 + F2 + F3 + ··· + Fn = ΣF = m a→ → → → → →→ →
→ →
→ →
→
→
→
→→
m
ΣF ≠ m a
F1 + F2 + F3 + ··· + Fn = ΣF ≠ | ΣF |= m a→
!
Bütün kuvvetler birbirine paralel ise ancak o zaman ΣF = m a olur.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik
ΣF = ΣFx = m ax
aΣF
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 2Maddesel Noktaların Kinetiği
Doğrusal hareketDoğrusal hareket
Yörünge
aΣF
A
xy
→→
→→ → → →
ΣFx = m ax
ΣFy = m ay = 0a = ax + ay
ΣF = m aa
ΣF
x
y→
→→ →
ΣFx = m ax
ΣFy = m ay
→ → →0→
ΣF = ΣFx + ΣFy
→ → →0→
a = ax + ay→ → →
ΣF = ΣFx + ΣFy
→ → →
Doğrusal hareket incelenirken çoğunlukla kartezyen koordinatlar kullanılır.
A
F1x + F2x + F3x + ··· + Fnx = m ax
F1y + F2y + F3y + ··· + Fny = m ay
Eksenlerden birisi genellikle yörünge ile çakıştırılır.
ΣF = m a→ →
Behcet DAĞHAN
Yörünge
Yörünge
A
Bu işaretler daima + dır.
↑ ↑ ↑ ↑
!
Bütün kuvvetlerin x-bileşenleribirbirine paralel olduğu içinbu eşitlik skaler olarak da geçerlidir.
ΣFx = m ax
→ →
ΣFy = m ay
→ →
Çelik bir bilya ivmelenmekte olan bir çerçeveye şekildeki gibi A ve B kabloları ile asılmıştır.A kablosundaki çekme kuvvetinin B dekinin 2 katı olması için çerçevenin ivmesi a ne olmalıdır?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/1Örnek Problem 3/1
ÇözümÇözüm
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 3
A = 2 B
a = ?
x
y
a
W
AB
60o60o
ΣFx = m ax
ΣFy = m ay = 0
m
A cos60o – B cos60o + 0 = m a
A sin60o + B sin60o – W = 0
W = m g
A = 2 B }(A – B) cos60o = m a
(A + B) sin60o = m g
→
→
a = –––––––g
6 sin60o
Yörünge
Ax + Bx + Wx = m ax
Ay + By + Wy = 0 a = 1.89 m/s2
ΣF ≠ m a
!
ΣF = m a→ →
ΣF = A + B + W
ΣF = R→ → R = m a}
ΣF ≠ R }
Bu işaretler daima + dır. !
İnişe geçmiş olan şekildeki uçağın doğrusal olan yörüngesi üzerindeki A noktasında300 km/h olan hızı, uçak B noktasına ulaştığında 200 km/h e düşmektedir.Göz önüne alınan bu aralıkta, havanın 200 Mg lık uçağa uyguladığı kuvvetinortalama şiddeti R yi bulunuz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/2Örnek Problem 3/2
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 4
R = ?
a
WΣFx = m ax ΣFy = m ay = 0
m
W = m g
vA = 300 km/h
vB = 200 km/h
m = 200 Mg
yatayα
tanα = –––––250
2000
α = 7.13o
x
y
R
α
A
B250 m
2000 m
α
Δs = 2015 m
düşey
Yörünge
v
v dv = a ds
∫ v dv = a ∫ ds
R nin ortalama değeriistendiğine göreR sabit alınacak demektir.
Kuvvetler sabit olduğuiçin ivme de sabittir.
a (sabit)
vA
vB
sA
sB
Δs
}
a = – 0.957 m/s2
Rx + W sinα = m ax Ry – W cosα = 0
Rx = m (– g sinα + ax) Ry = m g cosα
Rx = – 434.76 kN
yön belirtir
s > 0
Ry = 1946.85 kN
R2 = Rx2 + Ry
2
R = 1994.8 kN
(sabit)
v > 0a > 0
yön belirtir
Rx + Wx = m ax Ry + Wy = 0
ax = a
Birim boyunun kütlesi ρ olan ağır bir zincir, bir kısmı sürtünmeli ve bir kısmı da sürtünmesiz olanyatay bir yüzey üzerinde sabit bir P kuvveti ile şekildeki gibi çekilmektedir. Sürtünmeli kısım ile zincirarasındaki sürtünme katsayısı μk dır. x = 0 iken zincirin tamamı sürtünmesiz kısım üzerinde sükunettedurmaktadır. x = L olunca zincirin hızı v ne olur? Zincirin daima gergin kaldığını kabul ediniz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/3Örnek Problem 3/3
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 5
P = Pmin = ?
Sürtünmesiz Sürtünmeli
μ = μk
x = L iken v = ?
L
ρ = m/L
P (sabit)
x = 0 iken v = 0 P
x
Nx
μk Nx
NL-x
L
x
a
ΣFx = m ax
ΣFy = m ay = 0
P − μk Nx = m a
v
P − μk Wx = m a
WxWL-x
P − μk ρ x g = ρ L ––––v dvdx
∫ (P − μk ρ x g) dx = ρ L ∫ v dv0
v
0
L
(P x − μk ρ –– g | = ρ L (––– |x2
2v2
20
v
0
L
v = ––– − μk g L√ 2 Pρ
NL-x = WL-x = ρ (L − x) g
Nx = Wx = ρ x g
Yörünge v dv = a ds
a = ––––v dvdx
x = 0
Wx : Boyu x olan kısmın ağırlığı
WL-x : Boyu L-x olan kısmın ağırlığı
(W nin x-bileşeni değil)(zaten W nin x-bileşeni yoktur)
Kütlesi m olan şekildeki halka, şiddeti sabit fakat yönü değişken olan bir F kuvvetinin etkisi altında düşey olan şaftüzerinde kaymaktadır. θ = kt dir ve buradaki k bir sabittir. θ = 0 iken durgun halden harekete başlayan halkayıθ = π/2 iken tekrar durduracak olan kuvvetin şiddeti F yi bulunuz. Halka ile şaft arasındaki kinetik sürtünme katsayısı μk dır.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/4Örnek Problem 3/4
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 6
a
W
ΣFy = m ayΣFx = m ax = 0
W = m g
F
Yörünge
v
F sinθ – N = 0 F cosθ – μk N – W = m a
θ = θ1 = 0 iken:
θ = kt
v1 = 0
θ = θ2 = π/2 iken:
v2 = 0
μk
F = ?
θ
mN
μk N
W
θ = 0v = 0
F
m
a
W
θ = π/2v = 0 F
m
Nμk N
x
y
F cosθ – μk (F sinθ) – W = m –––
F (cosθ – μk sinθ) – W = m ––––
dv
dt θ = kt
dθ = k dtdv
dθ/k
F ∫ (cosθ – μk sinθ) dθ – W ∫ dθ = k m ∫ dv
π/2
0
π/2
0
0
0
F (sinθ + μk cosθ | – W (π/2) = 0π/2
0
F = –––––––––π m g
2 (1 – μk )
dθ/k = dt←
a = ––– dv
dt
}
}
N = F sinθ←←
k = sb.
m
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik
aΣF
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 7Maddesel Noktaların Kinetiği
Düzlemde eğrisel hareketDüzlemde eğrisel hareket
Yörünge →→
ΣFx = m ax
ΣFy = m ay
a = ax + ay→ → →
ΣF = ΣFx + ΣFy
→ → →
m
Kartezyen koordinatlar Normal ve teğetsel eksenler Polar koordinatlar
ΣFn = m an
ΣFt = m at
ΣFr = m ar
ΣFθ = m aθ
ΣF = ΣFn + ΣFt
→ → →ΣF = ΣFr + ΣFθ
→ → →
a = an + at→ → →
a = ar + aθ→ → →
ar = r – r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
ax = vx = x
ay = vy = y
an = v β = ρ β 2 =v 2
ρ
at = v
a2 = ax2 + ay
2 a2 = an2 + at
2 a2 = ar2 + aθ
2
ΣF = m a→ →
Şekilde görülen uçan sandalyelerin kollarının düşey doğrultu ile yaptığı açının θ = 60o olması için sistemindevir sayısı N nin ne olması gerektiğini hesaplayınız. Sandalyelerin bağlı olduğu kolların kütlelerini ihmaledip her bir sandalyeyi bir maddesel nokta olarak göz önüne alınız.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/5Örnek Problem 3/5
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 8
θ = 60o
N = ? (sabit)N
n
t
a
a
W
θ
z
P
ΣFz = m az
P cosθ − W = 0
ΣFn = m an
P sinθ = m an
R
an = R ω2
W = m g
R = 3 + 10 sinθ
R = 11.66 m
ω = 1.207 rad/s
P = 2 m g
P sinθ = m R ω2
(2 m g) sinθ = m R ω2
ω = N (2π/60)
N = ω (60/2π)
N = 11.53 rev/min
ω
θ
Üstten görünüş
Yörünge
Yörünge
m
m
→
an
an
P sinθ
v
m kütleli bir cisim, A noktasından, eğik düzlemden yukarıya doğru u hızı ile harekete başlamıştır.Cisme, B noktasını geçtikten hemen sonra etki eden normal kuvvet, B den öncekinin yarısına düşüyorsau yu hesaplayınız. Eğik düzlem ile cisim arasındaki sürtünme katsayısı 0.30 dur.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/6Örnek Problem 3/6
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 9
a
W ΣFx = m ax
ΣFn = m an
W = m g
R= 2 m2 m
4 mA
u
B
2 m 2 m
4 mA
u
B
μ = 0.3
Yörünge
v
Maddesel nokta, B noktasına kadar doğrusal hareket yapmakta,B den itibaren de çembersel hareket yapmaya başlamaktadır.
30o
A ile B arasında N sabittir.
mN1
μ N1
30o
30oxy
N1 − W cos30o = 0
N1 = m g cos30o u = ?
N1/N2 = 2
μ = 0.3
B den hemen sonraki durum:
Bat
W
μ N2
30o
N2
n
an
m
Yörünge
AB2 = 42 − 22
Δs = AB = 3.46 m
B noktasındaki hızı:
v dv = a ds
∫ v dv = a ∫ ds
ΣFy = m ay
− W sin30o − μ N1 = m a
a = − 7.45 m/s2
vB
(sabit)
sA
sB
u
vB
→ vB2 = u2 + 2 a Δs
W cos30o − N2 = m –––vB
2
R
2 N2 = N1 = m g cos30o
g cos30o (1 − 1/2) = –––––––––––R
u2 + 2 a Δs
u = 7.75 m/s
}
Δs
Yörünge
Küçük bir A nesnesi, iç yarıçapı R olan dönen bir silindirik kabın düşey olan cidarına merkezkaç etkisi iledayanmaktadır. Eğer cisim ile kap arasındaki statik sürtünme katsayısı μs ise cismi aşağıya kaydırmadankabın açısal hızı ω nın alabileceği minimum değeri bulunuz. ω daki değişimin azar azar olduğunu farzediniz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/7Örnek Problem 3/7
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 10
n
t
a
a
W
z
ΣFz = m az
F − W = 0
ΣFn = m an
N = m an
R
an = R ω2
W = m g
F = m g (sabit)
N = m R ω2 (değişken)ω
Üstten görünüş
Yörünge
Yörünge
m
m
R
μs
ωmin = ?
N
F
R
ω
ω = ωmin iken cisim tamkaymaya başlamak üzeredir.
Dolayısı ile: F = FmaxN
m g = μs m R ωmin2
Fmax = μs N dir.
} F = μs Nmin
ωmin = –––––√g
μs R
N = Nmin = m R ωmin2
Cisim tam kaymayabaşlamak üzere iken
sürtünme kuvvetimaksimum değerdedir ve
}
an
at ≈ 0A
A
3 kg lık A kızağı, kendi merkezi O etrafında ve yatay bir düzlemde dönmekte olan diskin 45o lik sürtünmesizyarığı içerisinde serbestçe kayabilmektedir. Eğer kızak B noktasına bağlanmış bir ip ile A konumunda tutuluyorsaN = 300 rev/min lik sabit bir devir sayısı için ipteki çekme kuvveti T yi bulunuz.Diskin dönme yönünün T ye bir etkisi var mıdır?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/8Örnek Problem 3/8
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 11
N
n
t
an
R
ω
Yörüngem
Üstten görünüş
B
TN
O
m = 3 kg
μ = 0
N = 300 rev/min (sabit)
R = 150 mm
T = ?
N
ΣFy = m ay
T = m a cos45o
an = R ω2
ω = N (2π/60)
45o45o
at = 0
a
ΣFt = 0 olabilmesi içinN bu yönde olmalıdır.
ΣFt = m at
{
T = m R ω2 cos45o
ω = 31.416 rad/s
a = an
y
45o
T = 314 N
Dönme yönünün ivmeye etkisiolmadığı için T ye de bir etkisi yoktur.
{
at = 0 → ΣFt = 0
a = an
A
{
Bir C kızağı, yatay düzlemde yer alan şekildeki kılavuzun A noktasını geçerken 3 m/s şiddette bir hızasahiptir. Kızak ile kılavuz arasındaki kinetik sürtünme katsayısı μk = 0.6 dır. Kızağın, A noktasınıgeçtikten hemen sonraki teğetsel ivmesi at yi, kızağın ve kılavuzun kesit alanlarının (a) dairesel ve(b) kare olduğu durum için hesaplayınız. (b) şıkkında karenin kenarları yatay ve düşeydir.Kızak ile kılavuz arasında kaymayı kolaylaştıracak kadar bir boşluk olduğunu farzediniz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/9Örnek Problem 3/9
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 12
v = 3 m/s
μk = 0.6
at = ?
(a)n
t
Yörünge
at
an
m
F
R
ΣFt = m at
− F = m at
A
W = m g
n
an
m N
(b)W
n
an
N1
N2
F = μk N
z z
m
W
ΣFz = m azΣFn = m an
Nn = m an Nz − W = 0
N 2 = Nn2 + Nz
2
an = –––v2
R
an = 15 m/s2
R = 0.6 m
at = − F/m
N = m (17.92)
at = − μk (17.92) → at = − 10.75 m/s2
ΣFz = m azΣFn = m an
N1 = m an N2 − W = 0
F = F1 + F2 = μk (N1 + N2)
at = − μk (24.81) → at = − 14.89 m/s2
at = − μk N/m
F1 = μk N1
F2 = μk N2
at = − μk (N1 + N2) /m
N1Nn(a) (b)
Üstten görünüş
düşeydüşey
yatay yatay
Küçük bir araç çembersel bir yörüngenin tepe noktası A dan yatay bir v0 hızı ile geçtikten sonraaşağıya doğru indikçe hız kazanmaktadır. Aracın yer ile temasının kesilip havada serbest hareketetmeye başladığı β açısı için bir bağıntı elde ediniz. v0 = 0 için β nın değerini hesaplayınız.Sürtünmeyi ihmal edip aracı bir maddesel nokta olarak göz önüne alınız.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik
Örnek Problem 3/10Örnek Problem 3/10
ÇözümÇözümVerilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinetiği 3.1. Kuvvet, Kütle ve İvme 13
A
B
β
R N
n
θ
m
Wθ
an
at
Yörünge
vA = v0
β = ?
ΣFt = m at v dv = at ds
∫ v dv = ∫ at dsv0
v = v0
s = 0θ = 0
v = vB
s = sB
θ = β
v
0
sW sinθ = m at
at = g sinθ
ds = R dθ} v2 = v0
2 + 2 g R ∫ sinθ dθ0
θ
ΣFn = m an
v2 = v02 + 2 g R (1 − cosθ)
W cosθ − N = m –––v2
Ran = v2/R }
θ = β iken v = vB ve N = 0N = 0
m g cosβ − 0 = m –––vB
2
R
vB2 = v0
2 + 2 g R (1 − cosβ) = g R cosβ
W = m g 1 1
→ vB2 = g R cosβ
cosβ = ––– + ––––––v0
2
3 g R
2
3
v0 = 0 → β = 48.2o
→
→
→
R
R
tμ = 0