Distribuzioni di P poissoniana o di Poissonciullo/MOM/MOM_2019/2019_13_MOM... · 1 Questo argomento...
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QuestoargomentoètrattatonelCap.13diG.Ciullo“Introduzioneallaboratoriodifisica”
LadistribuzionediPoisson(poissoniana)descrivefenomenifisiciperiqualinelloschemasuccesso-insuccessocisitrovinelleseguentisituazioni:
- Ilnumerodieventipossibili,oprove,nsiaelevato(andamentoallimiten →∞)- plaprobabilitàdisuccessosiabassa(andamentoallimitep →0)- Ilnumeromediodieventiattesi,cheindicheremoconµ,
siasignificativamenteminoredi√n
- Esempioambitidiutilizzo:Ø Decadimentodeinucleiradioattivi
n atomi per mole 6.0225 1023 ~ 1024
Ordine di grandezza dei decadimenti al secondo (successi) 10-4-104
Ø Nasciteinunospedalerispettoalnumerodiabitanti:A Ferrara nel 2010 in media circa 20 nascite per settimana su 105 abitanti.
Ø Donazionidisangue,pergiorno,persettimana,rispettoalnumerodiabitanti:A Ferrara nel 2017 in media 37 donazioni al giorno, o 224 per settimana,
Qualsiasiprocedimentodiconteggio,siarispettoadunintervalloditempo,inunospazio,o
rispettoaclassi(vediverifichedelchi-quadro).
DistribuzionidiP:poissonianaodiPoisson
Dallabinomialeallapoissoniana
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LadistribuzionediPoisson(poissoniana)siderivaquindidallabinomialecomeandamentoallimiteper
n →∞,p →0
Esprimiamolasperanzamatematica,ilnumeromediodieventiattesiperladistribuzioneideale,chedobbiamoancoraformulare,comeµ.Quindidallabinomiale:
µ=np.
limn→∞
Bn,p ν( ) np=µ
=µν
ν !e−µ =Pµ (ν )
dove Bn,p ν( ) = n!ν !(n−ν )!
pνqn−ν
Dim.alla
datochep =µ/n èsufficienteconsiderarel’andamentoallimiteinfinitorispettoadn.
Dimostriamo1)e2)alla
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Proprietàdelladistribuzionebinomiale:1)Normalizzazionedelladistribuzione
2)Speranzamatematica=np3)Varianza=npq
{1) ν=0
∞
ΣPµ ν( ) =1
2) E ν[ ] =ν=0
∞
Σ ν Pµ ν( ) = µ
3) V ν[ ] =ν=0
∞
Σ v−ν( )2 Pµ ν( ) = µ
Ladimostrazionedella3)lafaremo,malalasciamoperipatitidimatematica.
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ApprossimazionediPoissonconGauss:
X ≡ µ e σ = µ
Lapoissonianaall’aumentarediµtendeadunagaussiana,conparametri:
Taleapprossimazionerisultadiutilizzopratico,perµelevati:peresempio:laprobabilitàdiottenere78contegginelcasoincuil’aspettativa,lamediadeiconteggiattesi,sia 68.
P68 78( ) = 68
78
78!e−68 =
P68 78( ) = 6878
78!e−68
a tre cifre
arrotondo
≈8.62 10142
1.13115 2.94 10−30 = 0.0234
G 68, 68 78( ) = 1σ 2π
e− (78−68)2
2 68( )2
a tre cifre
arrotondo
≈ 0.0232
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L’approssimazionedellapoissonianaconunagaussiana,risultaancorapiùutile,quandosi vuole calcolare la probabilità di ottenere un numero di conteggi superiore a uno dato.
UtilizzandolagaussianasiottieneperP(ν > 78):
G µ, µ
ν ≥ 78( )z78=
78−6868
z=ν−µµ
= G0,1(z ≥1.21)
Dallatabelladell’integralenormale(A.1):
G0, 1(z ≥1.21) =G0, 1(0 ≤ z ≤∞)−G0, 1(0 ≤ z ≤1.21)
G0, 1(z ≥1.21) = 0.5000− 0.3849 = 0.1151
P(ν > 78)~ 11.5 %
Diversamenteconlapoissonianadovremmocalcolareleprobabilitàperognisingolaνapartireda78finoaunvaloretalecheprobabilitàsiatrascurabile,epoisommaretuttiirisultatiottenuti.Sifacciaattenzionechealcunecalcolatrici,cosìcomealcunifoglielettronici,hannodellelimitazionisulnumeromaggiorecheriesconoaelaborare,percuinonsarebbepossibilecalcolarefattorialiopotenzeelevatedinumerielevati.
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L’approssimazionediGaussperPoisson:Possiamoosservare,empiricamente,grazieall’utilizzodiexcel,comeladistribuzionedipoisson,siagiàbenapprossimatadallagaussiana(…)corrispondenteapartiredaµ > 10.
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
Pµ(ν)
e
Gµ,
√ µ
(ν)
poissoniana
gaussiana
µ =10.1
ν
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Laverificadelχ2 perPoissonconGauss:UnesperimentoimmediatoperlaverificadiPoissonsonoiconteggidiradiazioneCosmicaanaturale,medianteuncontatoreGeiger.Unsistemacheseattraversatodaunaparticellaionizzante,subisceunascaricainungasrilevabilecomeimpulsodicorrente.Sonosistemianchediutilizzodidatticoesipossonoacquisirealcomputer.
Intabella13.1sonoriportatedellemisure,120,diconteggidelcontatoreGeigerinintervalliditempodi60s.
DallatabellapossiamoricavareilvaloremedioosservatoµOpossiamolimitarelasommatoriaall’ultimovaloreperilqualecontiamoqualcosa,datocheperilvaloridiνincuiOνènullo,otteniamouncontributonullo.
µO = ν=0
∞
ΣνFν =ν=0
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ΣνFν , dove Fv =Ov
N
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Nelpresentareilrisultatoforniremocomemisuradeiconteggilamedia,arratondatasecondoisoliticriteririspettoall’incertezza.
µ = 10 + 3
aggiungendochesonoiconteggialminutomisurati.
UtilizzandolatabellaotteniamoµO = 10.06, che confrontando con l’incertezza √µO ~ 3.17
AbbiamoaprioriassuntocheladistribuzionediPoissonfosseappropriataaidatiosservati.Oraneverifichiamol’ipotesielofacciamoconsiderandolaprobabilitàdiPoissonchecipermettedifornirelaaspettativeperilcorrispondentevaloreν.IngeneraleabbiamocheEν ,leaspettativeperνconteggivistochelaprobabilitàèlapoissonianasaràdatada
Eν = N Pµ(ν) Perrisolveremegliol’organizzazionedelleclassiutilizziamounacifrasignificativainpiùrispettoaµ= 10.1 eσ =3.2, e otteniamo:
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PersoddisfareilteoremadellesommadiPearson:
RaggruppoinUnaclasse
un’altraclasse
un’altraclasse
Usoperetichettareleclassiilsimbolok
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CalcologliEk nellaformuladelχ 2-ridottoda:NPk
N localcolodaN=ΣkOk (unvincolo). Pk = µν /(ν !) e-µ
Doveµ l’ho ottenutodaidati:µ=µΟ=Σνν Ον (unaltrovincolo).
Igradidilibertàinquestocasorisultanod = nclassic – c=9-2=7,χΟ2-ridotto=10.2/7=1.46,inoltredatocheχΟ2 > E [χΟ2]= d, allorafacciolaverificaadestra.
Stimoigradidilibertà:.
Pd !χ2 ≥ !χO
2( ) = P7 !χ 2 ≥1.46( ) DallatabellaC.2siosservacheèmaggioredel10%,nonpossiamorigettarel’ipotesi.
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Laverificacheabbiamofattoèpervedereseidatiosservatiseguonounapoissoniana.Sipossonofarealtreipotesiperesempiounteoricostima,chevistoilflussodiraggicosmicievistalasezionesensibiledelrivelatore,iconteggialminutosiano
µth= 10.0 (probl. 13.2)
In questo caso la media dei conteggi non è stata stimata dai dati, ma fornita, per cui avremo un solo vincolo nel calcolo del χ2-ridotto.
Allostessomodosemodificolecondizionedellamisuraemiconfrontoconlamediadeiconteggi di un’altra condizioni, si pensi di schermare il contatore Geiger con dei mattonidi piombo e verificare, se la media ottenuta dalla misura precedente è appropriata perdescrivere questi ultimi (Probl. 13.4).
Sistudierannoledonazioni,giornaliereosettimanali,perverificaresepossonoEssereconsideratepoissoniane.Comeconseguenzasicercheràdiverificare.sec’èdifferenzatraledonazioninellegiornatedilunedìedigiovedì.