LadistribuzionebinomialeodiBernoulli

1

Questoargomentoètra/atonelCap.12diG.Ciullo“Introduzioneallaboratoriodifisica”

Ladistribuzionediprobabilitàbinomiale,de/acosìperchérichiamalapotenzan-esimadiunbinomio,riguardaloschemasuccesso-insuccesso

HadiverseapplicazionipraHche,peresempiostudiare:laprobabilitàcheipetardiprodoJdaunafabbricadifuochiarHficialiesplodano(successo)oppureno(insuccesso);laprobabilitàcheunmozzoregga(successo)allafaHca,oppureno(insuccesso);cheunHpodipropagandapoliHcaabbiaprodo/omaggioriconsensi(successo)oppureno(insuccesso);cheunHpodifarmacosiapiùefficace(successo)diunaltro(insuccesso).

LoschemadibaseèsemplicedalpuntodivistaprobabilisHcouneventoosiavvera(successo)oppureno(insuccesso)equisiesauriscelospaziodeglievenH,datochecisonoduepossibilievenHlavariabilecasualeassociatahasoloduepossibilitàperquestovieneanchechiamatabinaria,oBernoulliana(perchéintrodo/adaBernoulli).

AglievenHpossiamoassociarelafunzioneprobabilità,chedevesoddisfareanchelacondizionecheleprobabilitàdisuccessoediinsuccessononcambinonelcorsodelleprove.

Even7binarieprobabilità

2

LospaziodeglievenHècosHtuitodaEeilsuocomplementareEc

P(S) = P(E)+P(E) =1

Indico p la probabilità di successo (s), e q la probabilità di insuccesso (s ).

p+ q =1AlcuniesempidievenHbinarierispeJveprobabilità:

Nellanciodeidadisesiconsideracomesuccessoo/enereil“sei”,insuccesso“non sei”

p =1/ 6 q =1− p = 5 / 6

Nellanciodiunamonetaineurosesiconsideracomesuccessoo/enerelafacciaincuicomparel’Europa“E”(laexcroce?)olafacciaoppostacheèdiversapervariemoneteenazioni(laextesta?)“non E”,inalcunitaglienazionicompareancoralatesta.

p = P(E) =1/ 2 q = P(E) =1/ 2

Questo è un caso particolare in q=p =1/ 2

Nelcasodinprovequan7ν(s) ?

3

Ladomandachediponiamoèlaseguente:nelcasodi n prove,n lancioillanciodin dadi,quanHsuccessicipossiamoaspe/are?

ParHamodaunesempiosemplicedellancioditredadiotrelancidellostessodado,consideriamosuccesso,quandolafacciasuperioredeldadodàcomerisultatosei“s”(scegliamoappositamenteil“sei”cheeHcheJamo“s”,conlastessainizialedisuccesso)

GlievenHpossibilisonounsuccesso1“s”,duesuccessio2“s”, tresuccessio3“s” .

Seinnlanciabbiamo ν successi,avremoquindin-νinsuccessi.

Approcciofrequen7sta,lanciamo3dadiunnumerosufficientementeelevatodivolteeregistriamolefrequenzeconcuicompaiono1“s”, 2“s” e 3“s”.

Èunesperimentosemplicecheunopuòcondurreacasa,lanciandotredadi,osequenzeditrelancidellostessodado.

Probabilitàfrequen7staF .PerlaleggedeigrandinumeriinoltresihacheperN,numerodiripe.zionidellenprove,tendenteadinfinitosiavràche F →P.

4

Costruiscol’istogrammadelleoccorrenze

rispe/oalnumerodi“successi”

“sei” osservaHovvero0,1,2,3

Nèilnumerodivoltechehoripetutolen prove(quin=3)

5

Lavariabileν,numerodisuccessi(s),chedescriviamoanchecomenumerodirisultaHdel“sei”sullanciodindadi,èunavariabilecasualediscretaepuòassumereinquestocasoivaloriinteri:0,1,2o3.

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3

Occoo

rren

ze

ν"successi"ovvero ν di"sei"

lancioditredadi

lancioditredadi

InquestocasovistochelavariabileassumevaloridiscreHildiagrammadovrebbeesserefa/oconlinee,glidiamounpo’dispessoreperrenderlevisibili,masitra/adivaloripuntuali,ChequindiandrebberoindicaHconunalinea(---),cherisulterebbepocovisibile.

Probabilitàapriorinprovequan7ν(s) ?

6

Laprobabilitàdio/enere3sei(3successi),preme/endolaequiprobabilitàdiognisingoloeventoperognidado,inunaprovaperitredadi,datochetalievenHsonostocasHcamenteindipendenH:doveNmodisonoimodiincuicompareunacombinazione(comb),eP(comb) èlaPdellasingolacombinazione:

Ptotaledio/enere2“sei”:

Pn (ν su n) = NmodiP(comb),

P(s, s, s ) = P(s, s, s) = P(s, s, s) = 1 6( ) 1 6( ) 5 6( )

Nmodi=3 (s, s, s ), (s, s, s), (s, s, s)

(s, s, s ), (s, s, s), (s, s, s )

P(s, s, s ) = P(s, s, s) = P(s, s, s ) = 1 6( ) 5 6( ) 5 6( )

P(s, s, s) = 1 6( ) 1 6( ) 1 6( )

Nmodi=3 :

P(s, s, s ) = 5 6( ) 5 6( ) 5 6( )(s, s, s )Nmodi=1 :

Nmodi=1Ptotaledio/enere3“sei”:

Ptotaledio/enere1“sei”:

Ptotaledio/enere0“sei”:

(s, s, s)

7

Sovrapposizionedegliistogrammi:Sovrapponiamoallefrequenzeosservate(approcciofrequenHsta)leprobabilitàcalcolate.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 1 2 3

Freq

uenzeeProb

abiltàapriori

ν"successi"ovvero ν di"sei"

FkPk

ConexcelpotreiripetereconN maggiorieriportaresuistogrammalerispeJvefrequenzedaconfrontareconlaprobabilità“a/esa”apriori.

8

Estensioneasequenzepiùlungheconnproveeνsuccessi:

datochenonsiamointeressaHall’ordinedellasequenza,masoloallacomparsadiunnumerodiν successi su n proveequindi(n-ν) insuccessi, abbiamovistochegraziealcalcolocombinatoriopossiamocalcolareilnumerodimodiovverodicombinazioni,chesonotu/elesequenzeconlostessonumerodiν successisu n perlequalinonimportal’ordinedicomparsa.ÈequivalenteadisporreνoggeJindisHnguibilisuncollocazioniincuinonèimportanteneanchel’ordinedicollocazione(combinazioni):

Nmodi=Combinazioni=(12.3)inG.Ciullo

9

Nmod

Pn (ν su n) = NmodiP(comb),

P ( _)= pνqn-ν

Chiamiamodistribuzione(diProbabilità)binomialeodiBernoulliladistribuzionediprobabilitàdio/enereνsuccessipernvariabilibinarieobernoulliane,cheabbianolecorrispondenHprobabilitàdisuccessop einsuccessoq,doveovviamentep+q=1,inoltretaliprobabilitàrimangonoimmutatenelcorsodelleripeHzione(Nnumerodivolte)dellenprove.

10

Proprietàdelladistribuzionebinomiale:1)Normalizzazionedelladistribuzione

2)SperanzamatemaHca=np3)Varianza=npq

1)

2)= np

3)

{Dimostrazionialla

della1)edella2)

PervirtuosimatemaHciindicazionisulladimostrazionedel3probl.12.5

11

TendenzadellabinomialeallaGaussiana:Siosservachepernsufficientementegrandeunabinomialetendeadunagaussiana.Questatendenzahaancheun’applicazionepraHca,perchéall’aumentaredinilcalcolodellabinomialeètedioso.Lecorrispondenzetraaspe/aHveevarianzetragaussianaebinomialesono:

E[x]= X ≡ E[ν ]=ν = np V[x]=σ 2 ≡V[σ ]= npq

12

Verificadelchi-quadroperlabinomiale:Laverificapuòesserevistarispe/oall’assunzionecheovviamenteidadinonsianotruccaH.Senonlosono,devonoseguireladistribuzionebinomiale.Quindisidevonoconfrontareleoccorrenze(Ok)conleaspe/aHvededo/edallabinomialedallePk.

Supponiamo di ripetere N = 400 volte il lancio di 5 (n) dadi, e consideriamo come successo ottenere un “due”, dato che usiamo ν,cheindicailnumerodisuccessi(di“due”),usiamo Oν per indicare le occorrenze del rispettivo numero di successi.

Ipotizziamo che sia la distribuzione binomiale Bn,p(v) binomiale appropriata per le proven=5 dadi, con probabilità di successo p=1/6 di ottenere “due” eq=5/6 di non ottenerelo.

13

RaccolgoleulHmetrecolonnedellatabella12.2persoddisfarePearson:

14

RaccolgoleulHmetrecolonnedellatabella12.2persoddisfarePearson:

15