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Appunti di Misure Meccaniche e Termiche

1. Analisi del Processo della Misurazione .......................................................................................3 Misurazione..................................................................................................................................3 Parametro .....................................................................................................................................3 Modello Matematico ....................................................................................................................3 Misura (UNI 4546).......................................................................................................................4 Stato del Sistema..........................................................................................................................4 Incertezza .....................................................................................................................................4 Incertezza Intrinseca ....................................................................................................................5 Unita’ di Misura ...........................................................................................................................5 Compatibilita’ ..............................................................................................................................5 Scopi per cui si Esegue una Misura .............................................................................................5 Caratteristiche dei Campioni........................................................................................................6 Sistema di Unita’ di Misura .........................................................................................................6

2. Elaborazione Statistica dei Dati ...................................................................................................7 Distribuzione Gaussiana (o normale).........................................................................................10 Analisi Campionaria (Deviazione Standard della Media) .........................................................10 Distribuzione t di Student ..........................................................................................................11 Esclusione dei Valori Meno Probabili .......................................................................................11 Criterio di Chauvenet .................................................................................................................11 Verifica dell’ipotesi di distribuzione normale dei dati...............................................................12 Confronto Grafico ......................................................................................................................13 Grafico di Probabilità Normale..................................................................................................13 Test del 2χ ................................................................................................................................13 Analisi di Regressione ...............................................................................................................14

3. Valutazione dell’Incertezza........................................................................................................17 Incertezza di Tipo A...................................................................................................................18 Incertezza di Tipo B...................................................................................................................19 Incertezza Combinata.................................................................................................................19 Incertezza Estesa........................................................................................................................20 Modalità di Indicazione dell’Incertezza.....................................................................................20

4. Taratura Statica ..........................................................................................................................24 Errore di Risoluzione .................................................................................................................26 Errore di Zero.............................................................................................................................26 Errore di Deriva .........................................................................................................................26 Errore d’Isteresi..........................................................................................................................27 Rappresentazione degli Errori....................................................................................................27

5. Caratteristiche generali della strumentazione ............................................................................30 Resistenza agli urti .....................................................................................................................30 Classe di protezione dell’involucro............................................................................................30 Ambiente....................................................................................................................................30 Accuratezza di uno Strumento ...................................................................................................31

Utilizzo dello Strumento. ...............................................................................................................32 Errore di inserzione........................................................................................................................33 Catene di misura.............................................................................................................................33

6. Conversione Analogico–Digitale A\D .......................................................................................35

2

7. Analisi Spettrale.........................................................................................................................41 Rappresentazione Grafica dell’Analisi Spettrale ...........................................................................43

Spettro in Potenza RMS............................................................................................................45 Disturbo Sinusoidale su un Segnale Costante............................................................................47 Trasformata di Fourier ...............................................................................................................48 Trasformata Discreta..................................................................................................................50

Effetto Finestra...............................................................................................................................51 8. Comportamento Dinamico degli Strumenti ...............................................................................52

Strumenti di Ordine Zero ...............................................................................................................52 Strumenti del Primo Ordine ...........................................................................................................52

Taratura Dinamica degli strumenti del I ordine .........................................................................56 9. Strumenti del Secondo Ordine ...................................................................................................58

Ingresso a Gradino .....................................................................................................................60 Taratura Dinamica di Strumenti del Secondo Ordine................................................................66

10. Estensimetria..........................................................................................................................69 Tipi di Estensimetri....................................................................................................................69 Legame tra Deformazione e Variazione di Resistenza ..............................................................70 Effetti della temperatura sugli estensimetri ...............................................................................71 Sensibilità trasversale.................................................................................................................72

Misurazione Attraverso il Ponte di Wheatstone ............................................................................74 Effetto dei Cavi Lunghi..............................................................................................................78 Rosette Estensimetriche .............................................................................................................80

11. Misure di temperatura ............................................................................................................81 Termometri a resistenza.............................................................................................................81 Circuiti di lettura ........................................................................................................................82 Termocoppie ..............................................................................................................................84 Termocoppie ad uso industriale .................................................................................................87

12. Trasduttori di spostamento relativo........................................................................................88 Potenziometri (trasduttori resistivi) ...........................................................................................88 LVDT (Linear Variable Differential Transformer). ..................................................................90 Trasduttori a variazione di induttanza........................................................................................91 Trasduttori a correnti parassite...................................................................................................92

13. Trasduttori di moto assoluto ..................................................................................................93 Vibrometri ..................................................................................................................................93 Accelerometri.............................................................................................................................95 Accelerometri piezoelettrici .......................................................................................................96

14. Analisi dei Sistemi a Parametri Concentrati ..........................................................................99 Grandezze di Portata ....................................................................................................................100 Grandezze di Sforzo.....................................................................................................................100

Applicazione al Caso Meccanico.............................................................................................101 Elementi di Tipo Elastico.............................................................................................................101 Elementi che Danno Dissipazione di Energia..............................................................................103 Elementi Inerziali .........................................................................................................................103 Errore di Inserzione......................................................................................................................105 Funzione di Trasferimento Armonica ..........................................................................................106

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1. Analisi del Processo della Misurazione

MISURAZIONE

Procedimento attraverso il quale si assegnano valori numerici a rappresentazione di grandezze fisiche. Per eseguire una misurazione bisogna prima chiedersi il perché la si esegue, in modo da sapere l’accuratezza richiesta e scegliere il modello e lo strumento più adatti. La conoscenza scientifica è basata su misure; il procedimento in base al quale si sviluppa la conoscenza prevede infatti la verifica sperimentale delle formulazioni teoriche, ossia il fare delle misure.

PARAMETRO

È una grandezza fisica che quindi può essere espressa in modo quantitativo. Si tratta di ogni grandezza pertinente a un sistema fisico, alla quale è necessario assegnare valori per descrivere: il sistema stesso

la sua evoluzione

le sue interazioni con altri sistemi e con l’ambiente

Alcuni parametri non possono essere quantificati con uno scalare, come ad es. i vettori, ma devono essere espressi con numeri complessi, matrici e tensori.

MODELLO MATEMATICO

Insieme organico di relazioni tra valori di parametri, descriventi le interazioni e/o la evoluzione dei sistemi. Per misurare è necessario conoscere lo scopo della misura ed elaborare un modello mentale del fenomeno o dell’oggetto; tale modello influenza la scelta dello strumento e la procedura di esecuzione delle misure. Un modello permette : previsioni sul comportamento del sistema

la verifica della compatibilità tra misure diverse dello stesso parametro

la misura indiretta di una grandezza con misurazioni su altri parametri

la misura di parametri non misurabili con metodo diretto.

È possibile pensare a vari tipi di modelli per un oggetto: GEOMETRICO (ingombri, volumi, stabilità dimensionale) CHIMICO-FISICO (omogeneità, iso-ortotropismo, ecc.) STRUTTURALE (deformazione sotto carico, ecc.) ESEMPIO: Nella misurazione di una barretta utilizzo il modello PARALLELEPIPEDO (modello Geometrico). Se dovessi considerare anche altri fattori che influenzano la misura come temperatura e stato di sollecitazione, dovrei aggiungere altri modelli:

)ESTRUTTURALello(mod)EA

N1(LL

)FISICOello(mod))tt(1(LL

0x

00x

−=

−+= α

In definitiva la scelta del modello dipende da quanto accurata voglio che sia la misura. Infatti si può dare un andamento dell’accuratezza in funzione del numero di parametri utilizzati.

4

Un modello definisce delle grandezze fondamentali, che nel nostro esempio sono la geometria della barretta, e delle grandezze di disturbo, come temperatura e sollecitazioni. Non essendo possibile rappresentare l’intera realtà fisica, non esiste un modello migliore o peggiore in assoluto, ma solo più o meno efficace per lo scopo della misura. Ogni misura, essendo legata ad un modello, è basata sulla schematizzazione della realtà; è quindi necessario ricordarsi i presupposti per utilizzarla. Qualsiasi modello è valido entro un certo campo di

valori dei parametri e per un certo livello di qualità delle misure dei parametri.

MISURA (UNI 4546)

L’assegnazione di un valore ad una misura purtroppo non è univoca. 1000 misure di una grandezza possono, in generale, avere 1000 valori diversi. Si definisce allora la misura come un’informazione costituita da:

NUMERO+INCERTEZZA+UNITA’ DI MISURA assegnata a rappresentare un parametro in un determinato stato del sistema. STATO DEL SISTEMA

Si definisce assegnando una misura a tutti i parametri ( temperatura, umidità, campo magnetico, etc. ) considerati nel modello.

INCERTEZZA

Il valore di misura non è univoco, in quanto è impossibile avere una rappresentazione perfetta della realtà fisica tramite un modello, la misura sarà sempre costituita da un intervallo di valori che nel caso ideale dipendono dalle differenze tra il modello utilizzato e la realtà fisica. Per incertezza si intende l’intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli elementi della fascia di valori assegnatogli come misura. Per convenzione l’intervallo viene indicato tramite il suo valore medio e la sua semiampiezza, quest’ultima è l’incertezza. L’incertezza è sempre positiva mentre gli estremi dell’intervallo si ottengono sommandola o sottraendola al valore medio (=valore di riferimento). ESEMPIO: rilevata la misura di lunghezza l abbiamo: x Figura 1-2

iLL ±→ dove i è l’incertezza. Se non è indicata l’incertezza, secondo la definizione data, non si è in presenza di una misura. Nella pratica l’indicazione dell’incertezza viene spesso omessa dove non sia strettamente necessaria (ad es. In rilevazioni di tipo qualitativo) o dove sia sufficiente quella implicita dovuta alla rappresentazione numerica. L’incertezza implicita, scritta come scarto massimo, è ad

Figura 1-1 :Accuratezza di una misura

5

esempio per la misura M=90.0 05.0=i 1 ovvero equivale a M=90±0.05. Le cifre decimali decidono l’incertezza è fondamentale quindi siano scelte in accordo con l’accuratezza dello strumento. INCERTEZZA INTRINSECA

Consideriamo una barretta di forma come in figura: mi

fino a che si utilizzi come modello geometrico il prisma retto avremo un’incertezza intrinseca minima mi indipendente dallo strumento utilizzato. L’esempio illustra come l’incertezza

intrinseca dipenda solo dal modello utilizzato e che quindi, cambiando lo strumento si possa ridurre al minimo l’incertezza, ma non al di sotto di quella intrinseca. La riduzione dell’incertezza intrinseca è possibile solo cambiando il modello e la limitazione ultima sarà determinata dal principio di indeterminazione.

UNITA’ DI MISURA

E’ un termine di paragone per confrontare misure della stessa specie. COMPATIBILITA’

Tra due misure non vale il concetto di uguaglianza per esprimere che rappresentano lo stesso misurando, a causa dell’incertezza si definisce la proprietà di “compatibilità”. Due misure si dicono compatibili se l’intersezione tra i due campi di valori è non nulla.

Figura 1-4

SCOPI PER CUI SI ESEGUE UNA MISURA

Gli scopi possono essere: • il controllo di un processo

• la taratura di uno strumento

• aumentare la comprensione di un fenomeno fisico tramite la verifica sperimentale di modelli

teorici.

• certificare la conformità di prodotti a requisiti di progetto

1 Se, ad esempio, M = 90.00, i = ± 0.005

Figura 1-3

6

• determinare il corrispettivo nel caso di fornitura di prodotti o servizi per i quali è definito un

costo unitario, questo è specificamente l’ambito di cui si interessa la metrologia legale.

CARATTERISTICHE DEI CAMPIONI

Ogni unità di misura di grandezza fisica deve essere definita tramite un campione o in base a relazioni tra unità di grandezze fondamentali. Il campione è il termine di riferimento nell’ambito delle grandezze della stessa specie. I campioni devono essere: • Accurati: devo riuscire a riprodurre quella quantità con incertezza minima, ossia devo poterlo

riprodurre più volte ottenendo sempre lo stesso valore.

• Accessibili: devo essere in grado di produrre quel valore e riuscire a misurarlo (ad es. La

prima definizione di metro come 1/40000000 del meridiano terrestre è stabile, ma non

accessibile; per questo è stata sostituita inizialmente con il campione in platino-iridio).

• Riproducibile e universale: in qualunque momento e in qualunque luogo devo riuscire a

riprodurre il campione.

• Invariabile: deve essere costante nel tempo.

Secondo questi requisiti si sono nel tempo evolute le definizioni delle grandezze fondamentali dei sistemi di unità di misura. Attraverso relazioni fisiche tra le grandezze fondamentali si ottengono, le unità di misura derivate. A esempio si assume come grandezza fondamentale la massa e non la forza peso perché quest’ultima non è universale essendo a parità di massa l’accelerazione di gravità variabile con la posizione sulla superficie terrestre. SISTEMA DI UNITA’ DI MISURA

Ad un sistema di unità di misura si richiedono le seguenti caratteristiche: • Assoluto: le unità in esso adottate sono invariabili in ogni tempo e riproducibili in ogni luogo

• Omogeneo: definisco le unità derivate utilizzando coefficienti adimensionali2.

• Coerente: definisco le unità derivate utilizzando coefficienti unitari3.

• Decimale: i multipli e i sottomultipli li ottengo con potenze di dieci.

• Razionalizzato: i fattori irrazionali 2π e 4π appaiono soltanto in formule relative a

configurazioni circolari o sferiche e non in formule relative a configurazioni piane.

• Completo: qualsiasi grandezza fisica è definibile tramite le grandezze fondamentali (il SI non

è completo per le unità di radiazione ionizzante).

SISTEMA INTERNAZIONALE: UNITA’ FONDAMENTALI

2 Si consideri la seconda legge della dinamica utilizzata per definire la forza: F = kma. Se la forza, la massa e l’accelerazione sono grandezze di un sistema di unità omogeneo, il fattore k risulta adimensionale. 3 Si consideri la seconda legge della dinamica: F = kma. Se il sistema di unità è coerente allora k = 1, e si ha che la forza unitaria è quella che imprime alla massa unitaria un’accelerazione unitaria.

7

Grandezza nome simbolo

Lunghezza metri m

Massa chilogrammi kg

Tempo secondi s

Corrente elettrica ampere A

Temperatura kelvin K

Quantità di materia mole mol

Intensità luminosa candela cd

SISTEMA ANGLOSASSONE

Lunghezza piedi[ft] 0.3048 m Massa libbra[lbm] 0.4536 kg Tempo secondo[s] stessa unità

Nel sistema metrico viene adottata per la temperatura anche la scala relativa CELSIUS, ottenuta dalla temperatura assoluta, attribuendo alla temperatura 273.15 lo zero celsius. La scala celsius era detta anche centigrada perché originalmente derivata assumendo 0°C per punto di ghiaccio dell’acqua e +100°C al punto di ebollizione, tale denominazione tuttavia non è più contemplata nel SI. Nei sistemi anglosassoni la scala utilizzata è quella FAHRENHEIT che attribuisce il valore 32°F al punto di ghiaccio e +212°F al punto di ebollizione dell’acqua. Valgono quindi le seguenti relazioni di conversione:

)32t(9

5tt

5

932t FCCF −=+= °°°°

ESEMPIO di calcolo di conversione tra unità di misura:

Dato il calore specifico espresso come 100Flb

BTU

°⋅, trovarne il valore equivalente in unità SI. Dalla definizione di BTU

J1055Ckg

J4187C9

5kg4536.0BTU1 =°⋅

⋅°⋅=

=pcCkg

kJ

Ckg

J

Flb

BTU

°=⋅

°⋅=

°⋅419100

9

54536.0

1055100

2. Elaborazione Statistica dei Dati Ripetendo più volte la misura di una stessa grandezza generalmente si ottiene una serie di valori diversi. Il valore di una misura è un evento analogo al lancio di un dado, cioè è una variabile detta casuale (o anche aleatoria) quindi i dati di misura vengono trattati con i metodi propri delle variabili casuali. La misura di conseguenza sarà definita da una certa distribuzione di probabilità.

L è il valore medio; ripetendo la misura generalmente si ottiene una distribuzione del tipo in figura. La frequenza è molto alta per il valore centrale e via via decresce allontanandosi da esso. Per caratterizzare dal punto di vista statistico le misure utilizziamo i concetti

Figura 2-1

8

di media e varianza che possono essere riferiti ad un campione estratto dalla totalità dei valori possibili, o all’intero insieme dei dati “N” detto universo o popolazione.

∑

∑

∑

=

=

=

−=→

−=→

=→

N

ii

N

ii

N

ii

xN

TIPOSCARTO

xN

VARIANZA

xN

MEDIA

1

22

1

22

1

)(1

)(1

1

µσ

µσ

µ

sull’universo

∑

∑

∑

=

=

=

−=→

−−

=→

=→

n

ii

n

ii

n

ii

xxn

sTIPOSCARTO

xxn

sVARIANZA

xn

xMEDIA

1

22

1

22

1

)(1

)(1

1

1

sul campione

La differenza tra la definizione di scarto tipo del campione e della media serve ad ottenere un parametro che ha come media lo scarto tipo della popolazione da cui viene estratto il campione. I parametri del campione vengono detti “stimatori” dei corrispondenti parametri della popolazione. ESEMPIO: Supponiamo di dover misurare qualche grandezza x e di effettuare la misura 5 volte trovando i seguenti valori:

71, 72, 72, 73, 71 (dove per convenienza abbiamo omesso qualsiasi unità). Ragionevolmente possiamo ritenere la media come miglior stima della grandezza.

8.715

7173727271x =++++=

La deviazione standard delle misure nx,...,x1 è una stima della incertezze medie delle misure nx,...,x1 .

PROVA VALORE DEVIAZIONE ( xxd ii −= )

1 71 -0.8 2 72 0.2 3 72 0.2 4 73 1.2 5 71 -0.8

Per stimare l’attendibilità media delle misure 51 x,...,x potremmo naturalmente provare a fare la media delle deviazioni d .

Tuttavia essa è nulla. Elevando al quadrato tutte le deviazioni si ottengono valori sempre positivi, la varianza è la media di questi scostamenti al quadrato. Facendo la radice quadrata del risultato otteniamo una grandezza con le stesse unità di misura di x

∑ −=∑===

n

1i

2i

n

1i

2iX )xx(

N

1)d(

N

1σ

Per ottenere una curva di distribuzione devo raggruppare i dati. La forma di raggruppamento più comune è quella per classi di intervallo di appartenenza. Il numero dei dati che appartengono ad una determinata classe J si chiama frequenza della classe e viene indicato con fj

Per formare le distribuzioni di frequenze si può operare nel modo seguente: 1. determinare il più grande e il più piccolo numero tra i dati e trovare il campo di variazione

facendo la differenza tra i due valori

9

2. dividere il campo di variazione in un numero K di classi: K

xxx minmax −

=∆

3. determinare il numero di osservazioni che cadono all’interno di ciascuna classe, cioè trovare

le frequenze delle classi: xjxxx)j(xsejclasseallax minimini ∆+<≤∆−+∈ 1

Si definisce come frequenza relativa percentuale della classe il parametro:

n

ff i

i,p 100=

La probabilità di ottenere la misura all’interno dell’intervallo che definisce la classe i-esima vale:

n

flimp i

n ∞→=

La rappresentazione della distribuzione di probabilità può essere fatta con l’istogramma della frequenza o con il poligono della frequenza. Un istogramma consiste di un insieme di rettangoli aventi: • base sull’asse orizzontale, con centro sul valore centrale e lunghezza uguale all’ampiezza

della classe

• aree proporzionali alle frequenze delle classi.

Un poligono di frequenza è un grafico lineare delle frequenze delle classi passante per i valori centrali delle classi stesse. Può essere ottenuto unendo i punti di mezzo dei lati superiori dei rettangoli di un istogramma. Un diagramma di tipo diverso si ottiene rappresentando le frequenze cumulate. Per frequenza cumulata si intende la frequenza totale di tutti i valori inferiori al confine superiore di una data classe che includa anche la classe considerata.

ESEMPIO: consideriamo la massa di 100 persone.

Massa (kg) Numero persone 60-62 5 63-65 18 66-68 42 69-71 27 72-74 8

La frequenza cumulata corrispondente alla massa 68 è 5+18+42=65, e ciò significa che 65 persone hanno una massa inferiore a 68.5 kg.

10

DISTRIBUZIONE GAUSSIANA (O NORMALE)

La distribuzione di Gauss avrà questo andamento: µ = media della distribuzione σ = scarto tipo della distribuzione

22 2

2

1 σµ

πσ/)x(e)x(f −−=

L’area delimitata dalla curva vale 1 essendo la probabilità cumulata su tutti i valori possibili. L’area sotto la curva compresa tra due valori x = a e x = b con a<b rappresenta la probabilità che x sia compreso tra a e b. Possiamo allora calcolare la probabilità che una misura cada entro un intervallo pari alla deviazione

standard σ del valore vero µ.

∫+

−

−−=σµ

σµ

σµ

πσσ dxe)entro(P /)x( 22 2

2

1

esprimendo la variabile x in termini di unità standard faccio la sostituzione

σµ )x(

z−=

con questa sostituzione dzdx σ= e i limiti dell’integrale diventano 1±=z . Allora

∫+

−

−=1

1

22

2

1dze)entro(P /z

πσ

più in generale potremmo calcolare la probabilità entro σn , che significa la probabilità per un risultato entro n deviazioni standard di µ, dove n è qualunque numero positivo.

∫+

−

−=n

n

/z dze)nentro(P 22

2

1

πσ

da questo integrale si ricava che la probabilità che una misura cada entro una deviazione standard del risultato vero è il 68.27 %, che cada entro 2σ è il 95.45 % e che cada entro 3σ è il 99.73 %. Per esprimere questi risultati in un altro modo, si può dire che la probabilità che una misura (avente distribuzione gaussiana) cada al di fuori dell’intervallo µ±σ è piuttosto apprezzabile (32 %), che cada al di fuori di 2σ è molto più piccola (4.6 %), e che si trovi al di fuori di 3σ è estremamente piccola (0.3 %)4.

ANALISI CAMPIONARIA (DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA)

Nell’analisi campionaria si estraggono n valori da una popolazione di infiniti valori; attraverso l’analisi di questi dati estratti si stima la media e lo scarto tipo di tale popolazione. Se nx,...,x1

4 Se si considera il 95.45% allora 2z2 <<− , ovvero 2/)x(2 <−<− σµ da cui σµσ 2x2x +<<− .

Figura 2-2

11

rappresentano il nostro campione di n misure della stessa grandezza x, allora, come abbiamo visto, la nostra migliore stima per la grandezza x è la loro media, x. I valori medi dei campioni hanno anch’essi distribuzione gaussiana con media coincidente con la media dell’universo. La

deviazione standard delle medie dei campioni vale xσ divisa per n .

nx

x

σσ =

Possiamo stimare l’intervallo in cui può cadere la media di un campione, noti la media e lo scarto tipo dell’universo dei valori. ESEMPIO: consideriamo la popolazione con σ=0.1 mm, n=10 elementi, media=10.0 mm

03.010

1.0

n

xx ≈==

σσ

con una probabilità del 95.45% possiamo dire che: 03.02media03.02 ⋅<<⋅− .

DISTRIBUZIONE t DI STUDENT

Se non è noto lo scarto tipo della popolazione non è possibile seguire il procedimento precedente, tuttavia lo scarto tipo della popolazione, σ, può essere stimato usando lo scarto tipo del campione, s. Per campioni di ampiezza n>100 posso utilizzare una distribuzione di tipo normale per rappresentare la distribuzione di probabilità delle medie riferita ad s/√n, migliorando l’approssimazione al crescere di n. Per campioni di ampiezza n<100 tale approssimazione non è buona e bisogna far riferimento alla distribuzione t di student. In generale si ha che per determinare la probabilità che la media della popolazione si trovi nell’intervallo:

µ<−n

stx x

n

stx x+<

si deve usare la distribuzione di probabilità t-student che è funzione dei gradi di libertà ν=n−1, e associa a t la probabilità p. ESEMPIO: consideriamo un campione con n=10 elementi e x =10.0 mm, estratto da una popolazione di cui non conosciamo σ .

( )

10

12.0s

12.00.10x110

1s

x

210

1ii

2n

=

=∑ −−

==

avendo 9110 =−=ν e 95.0=p da tabella (o grafico) otteniamo un 26.2=t

26.210

12.00.1026.2

10

12.00.10 ⋅+<<⋅− µ

ESEMPIO: consideriamo di avere 110 dati. Con un rischio di errore del 5%, essendo m=6.20386 e s=18.646⋅10-3 avremo:

00178.0220386.600178.0220386.6

00178.0110

10646.18s

3

x

⋅+<<⋅−

=⋅=−

µ

Non vi è differenza apprezzabile se “ correttamente” si utilizza t invece che la z. Usando la distribuzione di student con υ=109 e p= 0.05 infatti t vale 1.98 mentre con p=0.95 la distribuzione di Gauss fornisce z=0.96 ESEMPIO: uno strumento di misura è affetto da una ripetibilità caratterizzata da una deviazione standard di 1/100. Che dimensioni deve avere il campione affinché la sua media presenti una deviazione standard minore di 0.0005?.

12

40005.0

10005.0

100/1100

1

>→>→<

=

µµµ

σ

11

ESCLUSIONE DEI VALORI MENO PROBABILI

Talvolta accade che una misura in una serie di misure sembra essere in disaccordo stridente con tutte le altre. Compito dello sperimentatore è decidere se la misura anomala è risultata da qualche errore e deve per tanto essere rigettata, oppure se è una misura che deve essere usata con tutte le altre. Se tale decisione fosse totalmente soggettiva, si incorrerebbe fondamentalmente in due rischi: Lo sperimentatore potrebbe essere accusato di “prefissare” i suoi dati. Ci sarebbe la possibilità che il risultato anomalo possa riflettere qualche importante effetto. Infatti, molte importanti scoperte scientifiche sono apparse all’inizio come misure anomale che sembravano errori. Abbiamo quindi bisogno di qualche criterio per rigettare un risultato sospetto. Il Criterio di Chauvenet da’ la possibilità di formulare un giudizio di accettazione dei dati in base a considerazioni di tipo statistico. CRITERIO DI CHAUVENET

In una serie di n dati sperimentali, se alcuni valori presentano uno scostamento dal valore medio che

ha probabilità di verificarsi inferiore di n2

1, allora quei valori devono essere scartati.

Vediamone l’applicazione ad un problema generale: facciamo N misure della stessa grandezza x

x1, x2, …, xN

calcoliamo poi x e s. Se una misura sembra essere sospetta, calcoliamo

s

xxs i

i−

=

cioè il numero di deviazioni standard di cui xi differisce dalla media. Data una probabilità

n2

11p −= si determina z dalla tabella in modo che ( )

2

1pzF

+= 5. Se zsi > allora si scarta il dato.

Per chiarire meglio il significato di questo criterio, analizziamo graficamente il problema. Consideriamo la gaussiana in figura. Vengono scartati metà dati a destra e metà a sinistra della

campana perché a noi non interessa che i dati siano distanti in senso positivo o negativo dalla media, ma devono essere scartati perché distanti in senso assoluto.

5 ( )n4

11

2

1n2

11

2

1pzF −=

+−=+=

Figura 2-3

12

Se andiamo su un grafico di probabilità cumulata a due code otteniamo un valore P(z) che rappresenta l’area compresa tra i valori +z e –z; a noi però interessa l’area esterna a tali valori e per

questo motivo entriamo con n

p2

11−=

Figura 2-4 Più frequentemente però troviamo la probabilità cumulata ad una coda, F(z) questa curva rappresenta la probabilità per l’intervallo -∞, z:

In questo caso F(-z) rappresenta una probabilità n

p4

1= con cui se entriamo nella curva F(z)

troviamo il valore di –z. Se poi entriamo con n

p4

11−= troviamo il valore di z. I due valori

comunque sono uguali in modulo ed è quindi sufficiente trovarne uno. Riassumendo possiamo dire che dalla probabilità p, usando una delle curve della distribuzione normale, troviamo la z, che ci da’ i nostri limiti di accettabilità:

σσ

zxxerioreLimite

zxxerioreLimite

−=+=

lim

lim

inf

sup

ESEMPIO: n = 5 dati. Per semplicità consideriamo di avere comunque una distribuzione gaussiana.

9.0n2

11p

10

1

52

1

n2

1p

=−=′

=⋅

==

il 90% dei dati è da tenere. Dal grafico (o da tabella) otteniamo il valore 5.1≅z e quindi escludiamo tutti gli xi per cui:

5.1xxi >

−σ

L’ipotesi di base per questo criterio è che le misure siano distribuite normalmente, cioè secondo una gaussiana. Ci sono diversi test per verificare che la distribuzione sia effettivamente tale. Ne consideriamo 3. VERIFICA DELL’IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE DEI DATI

Di seguito si riportano tre metodi comunemente utilizzati per decidere se un insieme di dati si può considerare distribuito secondo la distribuzione Normale o meno. I primi due metodi forniscono un’indicazione qualitativa mentre l’ultimo fornisce un giudizio con un assegnato rischio statistico.

13

CONFRONTO GRAFICO

Figura 2-5 Prendo i dati, li divido per classi, li grafico e li confronto con la curva della distribuzione. GRAFICO DI PROBABILITÀ NORMALE

Prendiamo il grafico di probabilità cumulata (figura 3) e cambiamo scala sulle ordinate in modo da ottenere una retta. In generale otterremo curve che differiscono dalla retta che rappresenta la normale e dalla valutazione dello scostamento si dovrà decidere se la distribuzione di valori è assimilabile o meno ad una gaussiana.

TEST DEL 2χ

Possiamo definire il numero 2χ come un indicatore dell’accordo tra la nostra distribuzione e la distribuzione che ci aspettavamo le nostre misure seguissero (noi prenderemo in esame solo la distribuzione normale).

( )∑

=

−=

k

j ja

jajo

f

ff

1

2

2χ

dove : - k è il numero di classi in cui si sono suddivisi i dati.

- jof è la frequenza assoluta osservata per la classe j.

- jaf è la frequenza assoluta aspettata in base alla distribuzione che si vuole provare (nel nostro

caso gaussiana).

Vediamo nello specifico i punti del procedimento di questo tipo di test: - costruire le classi; si parte da ∞− e si giunge a quel valore che mi garantisce di avere 5 o 6 dati.

Allo stesso modo scelgo l’ultima classe partendo da ∞+ e dividendo i dati in mezzo in diverse

classi in modo che 4≥k

Figura 2-6

14

- trovare jaf ; dai miei dati avrò ricavato lo scarto tipo e la media, quindi la mia gaussiana.

FIGURA 6

Prendo gli estremi della classe e trovo ( ) ( )jj xFxF −+1 che mi da’ la probabilità che dei dati cadano

all’interno di quella classe. Se moltiplico tale probabilità per il numero dei dati n ottengo proprio la frequenza attesa di quella classe

)]x(F)x(F[nf j1jja −= +

- Definire un rischio d’errore α (ad esempio del 10%); il rischio d’errore mi dice la possibilità

che ho di sbagliare nel valutare la distribuzione.

- Calcolare 22

1 21

αα =−= pep .

- Calcolare il numero dei gradi di libertà 3−= kν .

- Trovare da tabella i valori ( ) ( )νχνχ ,, 22

12 pep .

- Verificare che:

( ) ( )νχχνχ ,p,p 22

22

12

1 <<

Se 2χ ( )2

221 ; χχ∉ concludiamo che la distribuzione non è gaussiana con probabilità α−1 .

ANALISI DI REGRESSIONE

L’analisi di regressione consente di determinare un modello in modo che al meglio interpreti i dati sperimentali mediante un legame algebrico ingresso-uscita. I tipi di modelli possono essere: - Modelli lineari es. nnxcxcxcy +++= ...2211

- Modelli non lineari es. ( )2121 cos xxccy +=

Lo scopo dell’analisi è di determinare i parametri ic con mi ,...,1= , in base alle misure delle

grandezze ix con ni ,,1K= , alle corrispondenti uscite iy ed alla scelta del tipo di modello,

minimizzando un certo indice di prestazione. Analizziamo il problema graficamente.

15

Come più volte sottolineato, la misura non ha un valore singolo, ma va rappresentata come un intervallo di valori. Per questo motivo una coppia di valori xy sul grafico non ci da’ un singolo

punto, ma un’areola contenente tutti i possibili valori di x e di y. È immediato comprendere, a questo punto, che per due coppie di valori passano infinite rette. Date n coppie di valori vorremmo trovare la retta che meglio approssima l’andamento dei miei dati6. Il metodo di regressione più utilizzato è quello di minimizzare la somma dei quadrati delle distanze tra i punti e la retta7. Consideriamo la generica retta:

baxy += per ciascun punto ii yx , 8, troveremo un “errore” (scarto quadratico),

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]2nn

2n

222

22

211

21

baxye

baxye

baxye

+−=

+−=

+−=

M

e il parametro da minimizzare sarà:

( )[ ]2n

1i

n

1iii

2i baxyeE ∑ ∑ +−==

= = indice di prestazione

Dovremo derivare la funzione rispetto ai parametri a e b e annullare tale derivata in modo da trovarne il minimo. Tralasciando i passaggi matematici intermedi, diamo subito la soluzione:

xx

yx

C

Ca =

dove

( )( )

( )2n

1iixx

i

n

1iiyx

xxC

yyxxC

∑ −

−∑ −=

=

=

una volta ottenuto il coefficiente a, troviamo il b semplicemente dall’equazione della retta mettendo i valori medi.

6 Consideriamo naturalmente una regressione lineare; più in generale si potrebbe trovare la “curva” che meglio approssima i dati 7 E’ usuale minimizzare la somma dei quadrati delle distanze punti – retta soltanto lungo le y perché l’incertezza lungo le x è trascurabile. 8 Si considera il centro dell’areola data dalle incertezze.

Figura 2-7

16

xayb −=

Le difficoltà di calcolo delle regressioni sono state superate attraverso l’utilizzo dei calcolatori che permettono oltretutto di utilizzare modelli di regressione più complessi sfruttando algoritmi iterativi. Per evitare errori banali è sempre bene effettuare una verifica grafica tra l’andamento della curva di regressione e la disposizione dei dati.

17

3. Valutazione dell’Incertezza A rigor di logica ad ogni misura con distribuzione gaussiana, per come l’abbiamo viste fino ad ora, dovrebbe essere assegnato un intervallo che va da ∞−∞+ a per comprendere tutti i possibili valori che la misura può assumere, questo perché la distribuzione gaussiana assegna valori di probabilità non nulla a scostamenti che vanno da ∞−∞+ a rispetto al valore medio; in questo modo però non otteniamo una “misura”. Questo problema si supera attraverso la normativa UNI-CEI-ENV-13005, normalmente chiamata GUIDA ISO o GUM (Guide for the evaluation of Uncertainty in Measurement). La misura è una variabile aleatoria, cioè non la si può predire in maniera assoluta, ma unicamente definire con un certo livello di confidenza. Per definire le variabili aleatorie si usano le distribuzioni di probabilità e la distribuzione a cui la UNI-CEI-ENV-13005 fa riferimento è la distribuzione di Gauss, per la quale, noti µ e σ , conosciamo tutto ciò che ci serve. Dalla distribuzione, ad esempio, possiamo calcolare la probabilità che una misura cada all’interno di un intervallo x1 x2.

Figura 3-1 Come più volte sottolineato, misurando uno stesso parametro, in generale, si ottengono valori diversi, e quindi si introduce l’incertezza per permettere di confrontare misure diverse e dire se sono misure dello stesso parametro, cioè di verificarne la compatibilità. L’operazione di misura è concettualmente simile all’estrarre un campione di n valori ( quelli che otteniamo dal nostro strumento ripetendo n volte la misura e che al limite sono solo uno se misuriamo una sola volta) dall’universo rappresentato da tutti i valori che la misura può assumere. Per conoscere la popolazione abbiamo bisogno della media µ e dello scarto tipo σ, con un’analisi campionaria abbiamo visto che riusciamo a determinare un intervallo in cui con una certa probabilità è contenuta la media dell’universo. Se due diverse misure individuano due intervalli all’interno dei quali con una certa probabilità è contenuta la media dell’universo e i due intervalli hanno un punto in comune allora entrambe possono essere state ottenute dalla stessa popolazione ovvero sono misure dello stesso parametro, questa è la compatibilità. Definendo l’incertezza in questo modo (ciò che ci permette di verificare la compatibilità) avremo la possibilità di associargli un livello di confidenza, cioè la probabilità che la nostra misura sia compatibile con qualsiasi altra misura dello stesso parametro (fatta con strumenti diversi, diversi operatori..). Quando diamo un valore di misura con una certa incertezza, garantiamo che tale misura sia compatibile con un’altra misura dello stesso parametro con un certo rischio d’errore. Possiamo quindi dedurre che se la misura è un insieme gaussiano il mio obiettivo è quello di stimare i parametri della distribuzione (media e scarto tipo). Lo scarto tipo diventa esattamente l’incertezza perché permette di definire un intervallo in cui è contenuta la media, scegliendo il moltiplicatore k dello scarto, scegliamo il livello di confidenza. Livello di confidenza del 68% k=1 Livello di confidenza del 95% k=2 Livello di confidenza del 99% k=3

18

A questa scelta è legato il “costo” di un’eventuale errore (ad esempio, consideriamo la misura di una tensione di snervamento: il rischio d’errore dev’essere minimo se si usa il dato per la progettazione di un componente che mette in pericolo la salute delle persone). Qualsiasi sia il livello di confidenza che scegliamo lo scarto tipo delle misure rappresenta tutto ciò che ci serve per definire un’incertezza. In conclusione possiamo dare le assunzioni base della UNI-CEI-ENV13005: Si fa riferimento alla distribuzione di Gauss. I parametri caratterizzanti la distribuzione sono µ e σ . σ è l’elemento di base per il calcolo dell’incertezza tipo e viene definito “incertezza tipo”. Tutte le incertezze elementari che vengono usate in una valutazione di incertezza devono essere preliminarmente convertite in incertezza tipo. Ci sono due modalità di valutazione di incertezze: - INCERTEZZA di TIPO A

- INCERTEZZA di TIPO B

INCERTEZZA DI TIPO A

Per valutare questo tipo di incertezza si ripete n volte una misura e si calcola la media

∑=

=n

iix

nm

1

1

poi si esegue una stima dello scarto tipo

( )

11

2

−

−=∑

=

n

mxs

n

ii

la misura sarà data dalla media e la sua incertezza sarà lo scarto tipo della media ovvero la misura sarà:

n

smx ±= .

Questa è un’operazione di stima campionaria. Abbiamo cioè preso n misure da un insieme di “infinite” misure e abbiamo stimato la media e lo scarto tipo di tale popolazione. Tutto ciò che possiamo dire è che la media del nostro campione è vicina alla media di tutte le misure possibili con una certa probabilità9. La valutazione dell’incertezza di tipo A si basa sull’ipotesi di eliminare qualsiasi effetto sistematico nelle misure (ipotesi questa che è stabilita propriamente dalla norma). Ma vediamo più in dettaglio la distinzione tra effetti sistematici ed effetti casuali sulle misure: i primi comportano uno spostamento del valore medio dei nostri dati dal valore medio dell’universo (detto valore convenzionalmente vero della misura) e possono essere, ad esempio, legati ad un difetto dello strumento; i secondi invece determinano “l’apertura” della campana di distribuzione e sono legati a errori di tipo casuale come ad esempio i tempi di reazione di un operatore. Quantitativamente l’errore sistematico di uno strumento si valuta come differenza tra la media di una serie di misure ripetute di un campione di misura ed il valore nominale del campione stesso. La

9 Se il campione fosse di pochi elementi dovrei usare la distribuzione t di student.

19

ripetibilità si valuta invece come scarto tipo delle misure ripetute del campione. Il Vocabolario internazionale delle misure edito nella versione italiana nel 2010 come norma UNI-CEI-70099 definisce la caratteristica degli strumenti di essere affetti da un piccolo errore sistematico come “giustezza” e quella di essere affetti da un piccolo valore della ripetibilità come “precisione”. La norma nella valutazione di tipo A dell’incertezza assume che nell’uso degli strumenti siano corretti tutti gli effetti sistematici. INCERTEZZA DI TIPO B

L’incertezza di tipo B non segue un’analisi campionaria, ma determina lo scarto tipo in qualsiasi modo diverso, basandosi su conoscenze a priori. ESEMPIO: consideriamo un termometro digitale che ci da’ una lettura discretizzata con passo di 1° centigrado. Se leggiamo una temperatura di 11°C non vuol dire che il valore di temperatura esatto sia 11.000°C, bensì che sarà compreso tra 10.5°C e 11.4°C.

Tutti i valori compresi tra questi due avranno uguale probabilità di essere il valore “corretto”. Infatti la distribuzione di probabilità è una distribuzione rettangolare che prevede probabilità costante all’interno e nulla fuori (figura 9). La densità di probabilità è

( )a

1xf = dove a è la lunghezza dell’intervallo, e lo scarto tipo è

32

a=σ .

Questo è un esempio in cui noi sappiamo, senza fare misure ripetute, com’è la distribuzione di probabilità e quindi riusciamo a determinare lo scarto tipo.

La valutazione dell’incertezza di tipo B può essere fatta in diversi modi: • In molti strumenti di misura viene dichiarato nel certificato di taratura, il valore di incertezza da

associare alla lettura, in un determinato campo di valori.

• Sugli strumenti digitali, la risoluzione spesso ci da’ direttamente l’incertezza che coincide con

l’errore di arrotondamento.

• Alcune volte ci si basa sull’esperienza di chi ha utilizzato precedentemente lo strumento. Questa

è una via assolutamente razionale ed accettabile, anche se meno controllabile.

La normativa non definisce una preferenza nella determinazione dell’incertezza con quella di tipo A o con quella di tipo B, ma le considera allo stesso livello. INCERTEZZA COMBINATA

Spesso una misura è derivata dalla misurazione di altri parametri che si legano ad essa attraverso una generica funzione f.

( )pxxfy ,,1 K=

vogliamo sapere l’incertezza su y ,conoscendo le incertezze sulle singole ix . Facendo uno sviluppo

in serie di Taylor otteniamo:

( ) Exx

fxxfy i

p

i ip +

∂∂+= ∑

=

δ1

1 ,,K

dove E rappresenta i termini di ordine superiore al primo e viene trascurato. y si ottiene dalla somma di un termine

costante e di una sommatoria di termini aleatori dovuti alla variazione dei parametri, e tale sommatoria è causa

Figura 3-2

20

dell’incertezza su y . Lo scarto tipo di una variabile ottenuta dalla somma di variabili aleatorie è la radice quadrata della

somma dei quadrati degli scarti tipo.

∑=

⋅

∂∂=±=

p

ix

iyyp i

ix

fiixxfy

1

2

1 ),,( K

Questa relazione vale soltanto se le grandezze ix sono scorrelate tra loro; altrimenti occorre inserire

i termini di correlazione; la relazione che si ottiene è in questo caso:

jii xx

p

i

p

ij jiji

P

ix

iy ii

x

f

x

fi

x

fi ∑∑∑

−

= +== ∂∂

∂∂+

∂∂=

1

1 1,

1

2

2 ρ

La quantità ix

f

∂∂

è detta indice di sensibilità ed è spesso utilizzata nella scelta degli strumenti

perché, nel caso in cui assuma un valore molto elevato, anche se le variazioni del parametro ix sono

molto, l’effetto sull’incertezza combinata sarà molto pesante. I termini ρij sono detti coefficienti di correlazione e sono nulli nel caso le variabili non siano correlate. Esiste un caso particolare in cui la valutazione dell’incertezza combinata risulta molto semplificata:

quando ubap p

xxxxxfy ⋅⋅⋅== KK2211 ),,( , allora

11

32

1

1

x

a

xx

xxx

fx

f

p

p =⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅

∂∂

K

K

.

Se ripetiamo questa operazione per ogni ix , si ottiene:

22

1

22

1

1

1

11

⋅++

⋅=

⋅⋅

∂∂++

⋅⋅

∂∂=

p

xxx

px

y

x

iu

x

iai

fx

fi

fx

f

y

ip

pKK

INCERTEZZA ESTESA

L’incertezza tipo permette di definire un intervallo di valori caratterizzato da un livello di confidenza qualsiasi (tipicamente 68.3%, 95% e 99.7%), attraverso dei coefficienti moltiplicativi detti fattore di copertura. Tale incertezza viene definita incertezza estesa e vale dunque: ie=k i t I fattori di copertura k per ottenere i livelli di confidenza 68.3%, 95% e 99.7% valgono nel caso di distribuzione gaussiana 1, 2 e 3 rispettivamente. Nel caso l’ipotesi gaussiana non sia applicabile si devono valutare i fattori per la specifica distribuzione di probabilità, ad esempio con valutazioni dell’incertezza tramite procedure A con numero di campioni ridotti (indicativamente <20) si deve fare riferimento alla distribuzione di probabilità “t-student” con numero di gradi libertà pari al numero dei campioni ridotto di uno. MODALITÀ DI INDICAZIONE DELL’INCERTEZZA

In assenza di una precisa prescrizione l’incertezza va indicata come incertezza tipo. Vediamo alcune modalità:

kg27.000.100y ±= kgy )27(00.100=

Si noti che il numero di cifre dopo la virgola del valore di riferimento coincide con quello dell’incertezza. La seconda modalità di indicazione dell’incertezza enfatizza questo fatto, infatti, indica l’incertezza senza curarsi della posizione del separatore decimale perché è implicito che si intende corrispondere alle ultime posizioni decimali presenti nel valore di riferimento. Si noti che:

21

kgykgy

kgykgy

7.20.100)27(0.100

2700.100)27(00.100

±=<=>=±=<=>=

Si noti che è ammesso usare per l’incertezza una o al massimo due cifre significative. Nel caso di indicazione di incertezza estesa si deve indicare anche il livello di confidenza, per poter essere in grado di ricavare se necessario, l’incertezza tipo. Quando non si fa una valutazione della propagazione dell’incertezza, ma si vuole indicare in modo corretto l’incertezza intrinseca alla rappresentazione numerica dei dati derivanti da somme o prodotti si hanno due criteri: • prodotti: il risultato deve avere un numero di cifre significative pari a quelle del fattore che ne

ha meno;

• somme algebriche: il risultato deve avere un numero di decimali pari a quelli dell’addendo che

ne ha meno.

Tali criteri sono derivati da un’applicazione della relazione di propagazione dell’incertezza.

24

4. Taratura Statica La taratura statica è un’operazione che serve a “qualificare” uno strumento, cioè a valutare come esso reagisce agli ingressi e in generale viene eseguita dal costruttore o dai centri di taratura10, i quali forniscono un certificato dove riportano i risultati di quest’operazione. L’utilizzatore si limita a fare soltanto una verifica di taratura nel caso in cui, ad esempio, sia trascorso l’intervallo di taratura dello strumento11, oppure abbia subito dei danneggiamenti e si tratta in generale solo di verificare la curva di taratura in alcuni punti. A noi interessa vedere il processo di taratura soprattutto per interpretare in modo corretto i dati riportati nei certificati di taratura e nelle schede tecniche degli strumenti. Vediamo in generale la modalità di taratura: ai terminali di un trasduttore, “isolato dal resto del mondo” in ambiente controllato, viene applicato l’ingresso che viene fatto variare in un certo campo di valori, e che dev’essere noto con incertezza inferiore di almeno un ordine di grandezza rispetto all’incertezza del sistema sottoposto a taratura. Tutto ciò che viene fatto è registrare ed analizzare l’uscita ricavandone il diagramma di taratura. È molto importante che l’ambiente sia controllato perché la misura è comunque sempre legata ad un modello, e dunque ad uno stato del sistema; tutti i parametri che definiscono tale stato devono quindi essere mantenuti per quanto possibile stabili. ESEMPIO: supponiamo di tarare un micrometro. Il sistema sarà definito da pochi parametri, che sono quelli da cui supponiamo che il micrometro e il campione siano influenzati: • La temperatura perché genera dilatazioni dei materiali del campione e dello strumento.

• Il campo elettrico solo nel caso in cui il micrometro abbia componenti elettriche che potrebbero esserne influenzate.

È immediato comprendere che il termine “ambiente controllato” assume significati che sono completamente diversi a seconda dello strumento da tarare. Il modello dipende da conoscenze pregresse sullo strumento perché in base a queste conoscenze possiamo definire quali sono le grandezze da controllare durante la taratura. Come abbiamo affermato sopra, concettualmente lo strumento viene isolato dal resto del mondo mantenendo stabili tutte le grandezze tranne l’ingresso principale. Il campione che viene utilizzato nella taratura dovrà avere un’incertezza di almeno un ordine di grandezza inferiore a quella attesa per lo strumento in taratura. Naturalmente maggiore è la precisione e maggiore sarà il costo del campione; per questo motivo si effettua un’analisi costi-

benefici nella scelta di un campione più accurato. Nell’operazione di taratura si dovrebbe indagare anche come si comporta lo strumento a seguito di variazioni di ciascuno degli ingressi di disturbo. Spesso però questo ulteriore passo non viene eseguito e ci si limita a dare una relazione tra ingresso principale e uscita e a dare a quest’ultima un’incertezza per tener conto della variabilità delle grandezze di disturbo in un campo di valori “normali”. Consideriamo come esempio la taratura di un dinamometro a molla. L’ingresso principale è la forza peso e la grandezza di uscita sarà lo spostamento. Le principali grandezze di disturbo saranno la temperatura e l’accelerazione di gravità locale

10 Sono centri accreditati per la taratura come, ad esempio, i centri SIT. 11 L’intervallo di taratura è il tempo per il quale viene garantita dal costruttore la rispondenza dello strumento ai parametri indicati nel certificato di taratura.

Figura 4-1

25

quando si usino per la taratura delle masse calibrate. Dall’applicazione di una serie di cari chi si determina una serie di punti che può essere riportata su di un grafico con la loro incertezza. L’incertezza sull’ingresso, data dal campione, come detto dovrebbe essere piccola rispetto alla variazione in ingresso che produce una variazione dell’uscita pari alla sua incertezza (almeno un ordine di grandezza). Lo scopo della taratura è quello di trovare una relazione ingresso-uscita in modo poi da poter usare lo strumento ovvero letto un valore in uscita risalire alla misura della grandezza. Tracciando una spezzata che unisca i punti, e assumendo continuo il comportamento dello strumento si ottiene una possibile rappresentazione, ma è un risultato non molto maneggevole dal punto di vista pratico. Attraverso il metodo dei minimi quadrati si può invece trovare la retta che meglio approssima i dati nell’intero campo di misura e quindi una relazione matematica del tipo

baxy += che identifica il comportamento dello strumento e risulta essere molto più maneggevole. Alcuni strumenti possono avere un andamento che non è lineare; in questi casi la tendenza è quella di restringere il loro campo di utilizzo in zone dove si ottiene un’accettabile approssimazione lineare, in modo da poterli considerare lineari12. Una volta determinata la retta di regressione, si può costruire intorno ad essa una fascia contenente la dispersione dei valori. Questa fascia è detta errore di linearità ed è data dalla (1).

( )∑

= −−−=

n

i

iiy n

baxys

1

2

2 (1)

La fascia determinata dalla (1) è costruita in modo da contenere il 68% dei dati se gli scostamenti dalla retta hanno distribuzione distribuzione gaussiana, cioè è costituita dalle due rette che si trovano a σ± rispetto alla retta dei minimi quadrati. In definitiva ys è uno scarto tipo, viene

definito scarto tipo di linearità e rappresenta l’incertezza che si deve assegnare ad una misura singola fatta con quello strumento quando l’errore di linearità è la causa d’incertezza prevalente. Un altro parametro importante da determinare in taratura è la sensibilità statica:

i

u

dg

dgS = (2)

La (2) rappresenta il coefficiente angolare della curva di taratura; fisicamente ci dice di quanto varia l’uscita per una variazione unitaria dell’ingresso. Più grande è la S e migliore è lo strumento, in quanto ad una piccola variazione dell’ingresso corrisponde una grande variazione dell’uscita; se la relazione ingresso-uscita è lineare la sensibilità statica è costante e coincide con il coefficiente angolare della retta, indicato in precedenza come “m”. La linearità di uno strumento è importante perché in campo lineare non si avranno “distorsioni” tra segnale in ingresso e segnale in uscita e l’unica differenza tra i due sarà data da un fattore di scala che è appunto S . La curva di taratura è ottenuta in determinate condizioni ambientali e cambiando tali condizioni si ottengono in generale curve diverse; come facciamo allora ad usare uno strumento nelle diverse condizioni? Consideriamo ancora un dinamometro: vogliamo poterlo usare con temperature (la temperatura è una grandezza di disturbo) variabili tra 0°C e 50°C. Normalmente non è pensabile fare una taratura a 0°, una a 10°, a 20° e così via fino a 50°C perché sarebbe un lavoro troppo lungo e dispendioso. Si effettua piuttosto una taratura a 20° e si valuta quanto aumentano gli scarti su punti rilevati agli estremi (0°C e 50°C) e di conseguenza si allarga la fascia d’incertezza.

12 Lo strumento LVDT serve a misurare gli spostamenti e, se considerato su un vasto campo, ha una curva di taratura cosiddetta ad “s”. restringendo tale campo ad una fascia centrale l’LVDT può essere considerato lineare.

26

ERRORE DI RISOLUZIONE

Quando uniamo, con l’ipotesi di continuità, due punti nella curva di taratura non conoscendo i valori intermedi, possiamo commettere questo tipo d’errore.

Figura 4-2

Trovare la risoluzione dello strumento significa trovare la quantità di cui si deve variare l’ingresso per poter registrare una variazione, sia pur piccola, all’uscita. Questo è il problema tipico degli strumenti con uscita digitale che hanno un comportamento discretizzato per definizione in quanto possono fornire un numero predefinito di valori in uscita. ERRORE DI ZERO

Quando si verifica che ad una variazione dell’ingresso, partendo da zero, l’uscita non varia finché l’ingresso stesso non ha raggiunto un determinato valore lo strumento è affetto da errore di zero che è appunto in valore minimo in ingresso che porta ad un’uscita diversa dallo zero, si nota che lo si può assimilare alla risoluzione nell’intorno dello zero. Questo errore è tipico degli strumenti a trasmissione meccanica nei quali, fino a che non si recuperano tutti i giochi presenti, l’indice d’uscita non si muove. ERRORE DI DERIVA

Si ha quando l’uscita non è stabile nel tempo. È un errore tipico degli strumenti elettrici per i quali non si è raggiunto il regime termico dei componenti prima di effettuare la misura; in questo caso se si esegue la taratura con lo strumento in due tempi diversi, a cui corrisponderanno condizioni di temperatura diverse si osserveranno in generale due diverse uscite. Si distinguono la deriva della sensibilità, cioè la variazione della pendenza della retta di taratura al variare del tempo e la deriva di zero, ovvero la variazione dell’intercetta della stessa retta.

Figura 4-3

27

ERRORE D’ISTERESI

Questo tipo d’errore è frequente in strumenti elettrici che hanno componenti magnetizzati o di strumento che sfruttano la deformazione elastica di elementi meccanici per il loro funzionamento. Applicando ingressi crescenti arriviamo ad un valore massimo attraverso la curva B e poi, partendo da tale valore e applicando ingressi decrescenti, arriviamo a zero attraverso la curva A. Nella valutazione della retta di taratura si considerano entrambe le curve A e B ottenendo un’unica retta di regressione C che tiene conto sia dell’andamento crescente sia di quello decrescente, l’isteresi contribuirà all’incertezza determinerà con uno scarto tipo di linearità maggiore. RAPPRESENTAZIONE DEGLI ERRORI

Vengono comunemente utilizzati quattro modi di rappresentare l’incertezza strumentale sulla curva di taratura: 1. Come percentuale del fondo scala.

( )sx fItti ′== coscos .

Ci viene detto, ad esempio, che l’incertezza strumentale è il 5% del fondo scala. In questo modo si fissa questa quantità come costante e definisce una zona simmetrica rispetto alla retta di regressione che indica l’incertezza in tutto il campo d’impiego. Per gli strumenti elettrici si definisce “classe di precisione” l’errore massimo di lettura rispetto al fondoscala espresso in percentuale.

E’ da rilevare che l’incertezza relativa di misura x

ix tende a infinito nell’intorno dello zero.

2. Come percentuale della lettura.

Figura 4-4

Figura 4-5

28

px Iletturai ⋅=

in questo modo l’incertezza sulla misura dipende dalla lettura. L’incertezza relativa di lettura, in questo caso, è costante, mentre l’incertezza assoluta è massima al fondoscala. 3. Come sovrapposizione delle due espressioni 1 e 2, quale dei due è maggiore.

spsx

sppx

fIIsefIi

fIIseIletturai

′<⋅′=

′>⋅=

4. come somma delle espressioni 1 e 2.

Figura 4-6

Figura 4-7

Figura 4-8

29

spx fIletturaIi ′+⋅=

le due rette partano dal valore costante dato dalla percentuale del fondoscala.

30

5. Caratteristiche generali della strumentazione RESISTENZA AGLI URTI

La norma EN50102 prevede la classificazione degli strumenti in base alla capacità di sopportare un urto senza subire alterazioni funzionali. La norma prevede le modalità di esecuzione della prova che conduce ad una classificazione dello strumento in 11 categorie corrispondenti a capacità di sopportare impatti di energia crescente. L’indicazione viene fatta con il codice IK00, IK01...IK10. La classe IK00 non garantisce la resistenza a nessun impatto mentre la IK10 corrisponde a resistenza ad impatti di penetratori aventi energia cinetica di 20 J CLASSE DI PROTEZIONE DELL’INVOLUCRO

La normativa di riferimento è la EN-IEC 60529, ha lo scopo di classificare gli involucri della strumentazione in base alla capacità di resistere alla penetrazione di corpi estranei e acqua. Il codice i costituito da:

• sigla IP

• codice numerico 0÷6 (o X se non vi è stata verifica) che indica la resistenza a corpi estranei,

il valore più alto corrisponde a dimensioni più piccole dei corpi.

• Codice numerico 0÷8 (o X se non vi è stata verifica) ad indicare la resistenza alla

penetrazione dell’acqua

• Lettera A÷D, protezione da accesso con parti del corpo di dimensioni decrescenti: dorso

della mano...dita

• Lettera H,S,M,W indicazioni addizionali specifiche.

AMBIENTE

Ci si riferisce alla norma IEC 654 che effettua una classificazione degli ambienti secondo il campo di valori che possono assumere le variabili ambientali.

31

ACCURATEZZA DI UNO STRUMENTO

Fino ad ora abbiamo visto come interpretare un dato numerico di una misura. Ora vediamo qualcosa sulla scelta dello strumento e su quali caratteristiche bisogna valutare. La caratteristica più importante è l’incertezza strumentale definita dalla norma “ISO GUIDE 99 VIM” (2007) (diventata UNI-CEI-70099 nella traduzione italiana), come “contributo all’incertezza di misura dovuto all’utilizzo dello strumento”. Prima di questa definizione del VIM (e quindi ancora ampiamente in uso) vi erano termini diversi and indicare questa caratteristica, si propone di seguito un quadro di definizioni di termini nel mondo anglosassone e in Italia che possono dare adito a gravi incomprensioni. La terminologia anglosassone prevedeva: Accuracy un parametro che dice globalmente di quanto si scostano i valori di lettura di uno strumento da quella che dovrebbe essere la lettura ideale (valore nominale del campione di taratura). Due termini vanno a distinguere le componenti dell’accuracy. (Il VIM considera l’accuracy una “qualità” di uno strumento, da non associare a un valore numerico, il corrispondente parametro “quantitativo” è infatti l’instrumental uncertainty.) Precision identifica la “larghezza della campana di distribuzione dei valori delle misure ripetute di un campione”, identificata dal valore dello scarto tipo dei valori di misura ripetuta e indica quindi quanto i valori ripetuti di una misura sono vicini tra loro. (Questa definizione viene confermata nel VIM 2007). Bias identifica uno scostamento del valore medio della distribuzione dei dati di misure ripetute di un campione dal valore convenzionalmente vero, ossia dal valore nominale del campione usato per la misura ripetuta. (VIM 2007 indica il parametro systematic error per quantificare questa quantità e la trueness per la qualità corrispondente) Vediamo ora la terminologia italiana corrispondente alla UNI-CEI 70099:

• Precisione, corrisponde alla definizione VIM2007 di “precision”, cioè indica la caratteristica

di ottenere valori molto vicini tra loro quando si effettuano misure ripetute di un campione,

questo corrisponde anche alla presenza di piccoli errori casuali.

• Giustezza, corrisponde alla “measurement trueness” e indica la caratteristica di ottenere un

valore medio delle misure di un campione che si discosta poco dal valore nominale del

campione stesso ovvero di avere piccoli errori sistematici.

• Accuratezza, corrisponde ad “accuracy” ed indica la proprietà di ottenere, nella ripetizione

della misura di un campione, valori poco discosti dal valore nominale del campione stesso

corrisponde a piccoli errori di misura.

Giustezza e Accuratezza sono termini che indicano delle qualità e non devono essere quantificati tramite valori numerici che invece vanno attribuiti all’errore sistematico e all’incertezza strumentale; in questo si differenzia la precisione che può essere indicata tramite lo scarto tipo dei valori misurati.

Si ricorda che il significato tradizionalmente attribuito ai termini precedenti è diverso, esiste quindi una terminologia ampiamente in uso in Italia sebbene ormai resa obsoleta UNI-CEI 70099 e riportata di seguito. Accuratezza corrispondeva a piccolo errore sistematico, corrisponde ora alla giustezza, Ripetibilità corrispondeva a piccolo errore casuale, corrisponde ora alla precisione, Precisione corrispondeva a piccolo scostamento tra valori di misura e valore del campione, corrisponde ora all’accuratezza. Sono evidenti i problemi e le incomprensioni linguistiche che possono sorgere ed è dunque necessaria una certa “flessibilità”.

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In conclusione possiamo dire che il termine accuratezza13, riportato sul certificato dello strumento, “spesso” indica il valore d’incertezza da dare alle misure fatte con quello strumento, con l’unica accortezza di verificare se la cifra indicata abbia o meno il significato di scarto tipo. Se, ad esempio, ci venisse detto che l’intervallo racchiude il 95% dei dati, allora dovremmo dividere per due in modo da trovare il valore dello scarto tipo. Può capitare che per alcuni strumenti non sia data l’accuratezza, ma soltanto la risoluzione; questo perché in quei casi, essendo la risoluzione la componente più grande che da’ lo scostamento tra il valore letto e il valore del campione, le due grandezze corrispondono. Infatti variando la grandezza in ingresso di una quantità più piccola della risoluzione non riscontriamo nessuna variazione all’uscita, ossia banalmente grandezze più piccole della risoluzione non sono valutabili. Altre volte, invece dell’accuratezza viene data la linearità; questo capita per quegli strumenti per i quali la linearità rappresenta la causa dominante dello scostamento tra valore letto e valore nominale. Consideriamo uno strumento che abbia comportamento non lineare e per il quale ci venga segnalato un errore di linearità del 5% del fondo scala: se noi dovessimo utilizzare tale strumento in un campo ridotto potremmo migliorare l’errore di linearità rifacendo la curva di taratura solo nel campo di utilizzo. Possiamo quindi dedurre che gli strumenti che sono limitati in accuratezza dalla linearità possono, in taluni casi, essere migliorati con l’utilizzo di campi ridotti (o di una relazione ingresso-uscita non lineare).

UTILIZZO DELLO STRUMENTO.

Ci troviamo in questa situazione: dal certificato di taratura ricaviamo un valore di aSy = e la

relazione matematica che lega l’ingresso all’uscita, che ad esempio può essere qmxy += .

Figura 5-1 Nell’usare lo strumento leggiamo il valore 0y dato in uscita e inserendolo nel grafico14 ricaviamo

immediatamente il corrispettivo valore di 0x . Quanto varrà l’incertezza? Abbiamo un intervallo di

valori sulle y che riportiamo sulle x tramite il coefficiente m , concludendo che il valore

determinato sarà:

m

aiconixx 0 =±=

Spesso invece di dare la a rispetto a y , ci viene data già divisa per m , in modo da fornire direttamente l’incertezza della variabile misurata.

13 Se utilizziamo uno strumento precedente alla SS-UNI CEI U37.00.001.0, ovvero il 1990 ma in molti casi anche fino ad oggi bisogna cercare la precisione e non l’accuratezza.

33

ERRORE DI INSERZIONE.

Per eseguire una misura lo strumento deve essere posto “in contatto” con la grandezza che si vuole rilevare. Da un punto di vista concettuale possiamo fare una distinzione tra “il sistema” senza lo strumento di misura e “il sistema “ in presenza dello strumento di misura. L’inserzione dello strumento nel “sistema “ comporta sempre una sua alterazione cui in generale corrisponde una variazione della grandezza che si vuole misurare. Tale alterazione viene denominata errore di inserzione. Un esempio pratico di questo effetto può essere evidenziato dall’utilizzo di un termometro nella misura della temperatura di un corpo avente massa comparabile con quella del termometro stesso. Risulta evidente che nel momento in cui il termometro verrà posto in contatto con il corpo si avrà un flusso di calore tra i due e l’indicazione che si otterrà al raggiungimento dell’equilibrio risulterà intermedia tra la temperatura “vera” del corpo e da quella iniziale del termometro. L’errore di inserzione viene usualmente quantificato come errore relativo:

i

iM

X

XX −=ε

Dove con Xm si intende il valore misurato, Xi il valore che idealmente si sarebbe ottenuto se lo strumento non avesse prodotto alcuna alterazione del misurando. L’entità dell’errore di inserzione risulta dipendere dal trasferimento di energia tra “il sistema” e lo strumento di misura, se idealmente il flusso fosse nullo si avrebbe anche un effetto di inserzione nullo. Al fine di analizzare il flusso di energia e quindi determinare gli errori di inserzione si può ricorrere agli schemi che utilizzano una rappresentazione a parametri concentrati dei sistemi fisici, la cui applicazione nel campo elettrico è particolarmente comune. I sistemi elettrici vengono rappresentati con reti costituite da componenti passivi, resistenze, capacità induttanze e da generatori. Si può agevolmente dimostrare che nel caso di misura di una tensione l’errore di inserzione definito sopra dipende dal rapporto tra l’impedenza equivalente “vista “ dai punti di inserzione del voltmetro e l’impedenza del voltmetro stesso. In particolare l’errore tende a zero quando l’impedenza del voltmetro è molto più elevata di quella equivalente del sistema. Nel caso di misura di una corrente la condizione per ottenere un ridotto errore di inserzione risulta invece quella opposta, ovvero, l’impedenza del misuratore deve essere molto più piccola di quella del sistema. Schemi analoghi a quelli elettrici si possono definire per le grandezze meccaniche, termiche, idrauliche, ecc. e su questi valutare gli effetti di inserzione con gli stessi formalismi.

CATENE DI MISURA

Molto frequentemente nella realizzazione pratica di sistemi di misura la grandezza in uscita di uno strumento diventa la grandezza di ingresso per uno “strumento” successivo che effettua delle trasformazioni utili secondo i casi alla sua trasmissione a distanza, o alla sua “pulitura” da disturbi che avevano alterato la misura iniziale o alla sua registrazione o visualizzazione. Il sistema di misura risulta quindi schematizzabile con una sequenza di “blocchi” che effettuano delle trasformazioni della grandezza in ingresso.

Figura 5-2 Il problema che si pone a questo punto è esprimere la relazione complessiva che lega la grandezza di uscita w alla grandezza di ingresso x. Ipotizziamo nel seguito che tutti gli strumenti della catena siano di tipo lineare, per ciascuno la relazione ingresso-uscita è data da

A C B z y x w

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gu=k gi che particolarizzata per i vari blocchi diventa

y=Ax; z=By; w=Cz

Componendo le tre relazioni precedenti si ottiene: w=ABCx In generale la relazione ingresso-uscita di una serie di strumenti si ottiene dal prodotto delle sensibilità dei singoli strumenti. Resta ancora da determinare quale sarà l’incertezza sulla variabile w dovuta alla elaborazione. Nel caso generale si può ritenere che x, la variabile in ingresso alla catena abbia una variabilità quantificata dalla su incertezza intrinseca. La fascia di valori della x verrà trasformata in una corrispondente fascia di valori dal primo strumento ovvero avremo che x±Ux => y±Uy = Ax±AUx e considerando l’intera catena: W±Uw=ABCx±ABCUx Fino a questo punto non si è considerato che, ogni strumento della catena introduce un contributo all’incertezza di misura quantificabile con la sua accuratezza. Considerando le incertezze lo schema si modifica come segue: Figura 3

Ia componente di incertezza UA , inseguito all’elaborazione attraverso i blocchi successivi, porterà ad un contributo all’incertezza di W pari ad B·C·UA e analogamente si avrà la componente C·UB mentre UC non subirà alcuna alterazione. Combinando tutti i contributi si avrà:

2222 )()()( CBAW UUCUCBUCBAU +⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= .

La UW potrà poi essere ricondotta ad una equivalente quantità sulla misura di x. La misura di X risulterà quindi essere:

CBA

U

CBA

wx W

⋅⋅±

⋅⋅=

L’incertezze derivante UX sarà dunque più elevata della sola U, incertezza intrinseca del misurando, a causa di tutti i contributi dovuti agli strumenti.

A C z y

y

x ±U

w ±Uw

UA UB UC

B

35

6. Conversione Analogico–Digitale A\D La maggior parte dei dati raccolti in operazioni di misura ormai vengono analizzati ed immagazzinati attraverso l’utilizzo di calcolatori. Le stesse operazioni che abbiamo descritto sopra (come l’analisi spettrale, la trasformata di Fourier, ecc.) sono tutte effettuate grazie ai computer. Per poter utilizzare i dati raccolti dallo strumento di misura su di un calcolatore, però, bisogna effettuare un’operazione che prende il nome di conversione analogico-digitale, la quale consta di due fasi:

• quantizzazione ⇒ il segnale analogico continuo viene suddiviso in un insieme di stati discreti;

• codifica ⇒ si assegna una “parola” digitale ad ogni stato discreto ( una stringa di caratteri

secondo un opportuno codice).

Analizziamo queste due fasi un po’ più nello specifico. Solitamente lo strumento ci fornisce un segnale ( )ty in tensione che è continuo, ma l’utilizzo di un calcolatore ci costringe a trasformare tale segnale in un insieme di numeri, perché essi sono l’unica informazione comprensibile al computer. Nasce, quindi, immediatamente un nuovo problema: quanti valori dovranno essere presi per rappresentare la funzione continua ( )ty ? Come sappiamo, una funzione continua ha infiniti valori tra due punti per qualsiasi intervallo considerato, ma il calcolatore necessita ovviamente di un numero finito di dati, necessita cioè di un’operazione di campionamento. Questa operazione prevede di misurare la funzione ( )ty all’istante zero poi all’istante zero t∆+ , poi ancora all’istante zero t2∆+ e così via fino alla fine del fenomeno o, più spesso, per un tempo di raccolta dati prestabilito. Il t∆ prende il nome di intervallo di campionamento che altro non è se non la distanza temporale costante tra due misure successive della funzione memorizzate dal calcolatore. Si definisce anche una frequenza di campionamento come t1fc ∆= . L’operazione di campionamento, se pur comoda da un punto di vista pratico, non

è priva di rischi; il rischio principale e anche il più facilmente comprensibile è quello legato proprio alla frequenza di campionamento. Tale frequenza ci dice quanti punti al secondo il nostro calcolatore utilizzerà come dati, ma tra un punto e l’altro non conosciamo con certezza l’andamento di ( )ty e possiamo solo ipotizzarlo unendo i punti raccolti con una spezzata. La figura 1 mostra un segnale sinusoidale campionato con 20, 4, 2, 1.33 punti per periodo e le interpretazioni che si ottengono congiungendo i punti con una spezzata

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-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

t

y(t)

fc=20f

fc=4f

fc=2f

fc=1.33f

Figura 6-1 Nel caso di 20 e 4 punti-periodo si ottengono andamenti che approssimano, più o meno grossolanamente, quello reale ma ne indicano sempre in modo corretto l’alternanza di massimi e minimi. Già nel caso con due punti per periodo il segnale apparentemente diventa costante e pari a zero, nel caso con 1.33 punti/periodo sembra addirittura di aver campionato un segnale con un periodo che è il triplo di quello effettivo. La raccolta di pochi punti potrebbe dunque portare ad errori molto gravi nella interpretazione del segnale e per contro la raccolta di troppi punti, se da un lato ci darebbe la certezza di rappresentare con precisione l’uscita dello strumento, dall’altro renderebbe i dati voluminosi e quindi difficili da maneggiare da parte del calcolatore. Bisogna quindi trovare un giusto compromesso tra queste due esigenze. Per risolvere il problema ci viene in aiuto un teorema detto teorema del campionamento che dice che la cf deve essere più che doppia

rispetto alla massima frequenza contenuta nel segnale15.

sc f2f >

Nell’analisi di Fourier di un segnale periodico di misura noi partivamo da 0, 0ω , 2ω0 per arrivare

ad 0nω con n che, in teoria, andava ad infinito; se otteniamo invece uno sviluppo da dati acquisiti

rispettando il teorema del campionamento la massima frequenza presente in tale sviluppo è la cosiddetta frequenza di Nyquist, che è pari alla metà della frequenza di campionamento.

2

ff c

Ny =

Per questo motivo tutti gli spettri numerici, ossia quelli ottenuti da elaborazioni numeriche, si fermano alla frequenza di Nyquist e sono quindi legati alla frequenza a cui abbiamo acquisito il

15 Ancora una volta si presenta il problema di conoscere il segnale prima di misurarlo.

37

segnale. In Figura 5 è rappresentato ciò che può accadere in seguito ad un campionamento a frequenze troppo basse16.

Figura 6-2

Il segnale ad alta frequenza non solo viene perso, ma esso rientra come disturbo nel segnale campionato, cioè viene specchiato rispetto alla frequenza di Nyquist e trasferito simmetricamente nella parte campionata. In conseguenza di questo fatto, un’eventuale analisi numerica, attraverso la trasformata di Fourier, ci porterebbe a trovare uno spettro errato contenente anche i segnali fittizi ad alta frequenza specchiati. Se non sappiamo niente, o quasi, del segnale che dobbiamo campionare, è preferibile buttare tutte le alte frequenze (superiori alla frequenza di Nyquist) piuttosto che permettergli di essere specchiate e quindi di influenzare le altre frequenze. Per questo motivo si mette un filtro analogico prima del campionamento. Il filtro analogico è uno strumento che ha una funzione di trasferimento ideale del tipo in Figura 3, cioè che è uguale a 1 fino alla frequenza di Nyquist e poi è uguale a zero17.

Figura 6-3 In questo modo commettiamo comunque l’errore di perdere le alte frequenze, ma almeno evitiamo che esse vengano rispecchiate come disturbo nel segnale campionato. L’effetto analizzato prende il nome di errore di aliasing18 che rappresenta proprio la copia in bassa frequenza di componenti a Nyff > . Di conseguenza il filtro analogico prende il nome di filtro

antialiasing e normalmente gli strumenti in commercio presentano un filtro del genere a monte del campionatore.

16 Questo problema va a sommarsi al problema, che abbiamo appena descritto sopra, di perdita di informazioni e di impossibilità di ricostruire correttamente il segnale a causa dell’elevato intervallo di campionamento. 17 Si è considerato un filtro ideale, senza considerare l’effettivo andamento di un caso reale, che verrà trattato in seguito 18 Alias = copia

38

Veniamo ora alla codifica dei segnali digitalizzati. Abbiamo visto che nella conversione dopo l’operazione di quantizzazione ne segue una di codifica che ha il compito di rappresentare, con un particolare linguaggio, l’oggetto quantizzato; abbiamo inoltre visto che, durante questa operazione, si assegna una stringa di caratteri, o “parola” digitale, ad ogni quanto del segnale e ogni elemento di tale stringa viene detto “bit”. In generale la codifica si avvale di codici binari, quindi ogni bit può assumere due valori: 0 o 1. A questo punto vediamo di capire meglio cosa succede in un convertitore. A monte abbiamo un segnale in tensione, il quale viene trasformato in una serie di 0 e 1 che ci indicano il valore della tensione in ingresso attraverso un software che li ritrasforma in valori di tensione. Ecco che si presenta un nuovo problema: il segnale digitalizzato non è più una variabile continua e soffre quindi di quel tipo di incertezza che viene chiamata risoluzione della rappresentazione numerica. La rappresentazione viene fatta attraverso numeri binari e quindi la risoluzione è legata al parametro caratteristico del convertitore e cioè il numero di bit.

nss

ffERISOLUZION

2

minmax −= (13)

la (13) ci dice che la risoluzione di un convertitore è pari alla differenza tra il massimo ed il minimo valore che accetta in ingresso, divisa due elevato al numero di bit utilizzati. ESEMPIO: consideriamo di avere un convertitore a 3 bit con fondo scala superiore pari a 10V e fondo scala inferiore 0. la risoluzione risulta facilmente dalla (13): 10/23. Inoltre possiamo dire che riusciamo a rappresentare solo 23=8 livelli differenti. In uscita leggeremo dei valori discreti che si differenziano uno dall’altro per un valore pari a 1.25V che è la risoluzione del convertitore. Mentre i valori 1.25, 2.5, ecc. vengono mantenuti per un intervallo di tensione corrispondente alla risoluzione, il valore zero viene mantenuto per metà di tale valore. E’ chiaro che il valore in uscita della tensione è dato dal prodotto del valore binario per la risoluzione. Il più elevato valore raggiungibile è dato invece dalla differenza tra il fondo scala e la risoluzione; quindi, nel caso specifico, 10 - 1.25 = 8.75V. Proprio in questo punto si avrà l’errore maggiore, che supera anche quello dovuto alla risoluzione. Essendo la risoluzione la minima variazione della grandezza d’ingresso apprezzabile dal quantizzatore, essa corrisponde alla variazione del bit meno significativo e, per questo motivo, prende il nome di LSB = “least significant bit”. ESEMPIO: la risoluzione migliora al crescere del numero di bit. Se FS=10V e n=3 bit, LSB=1.25V; se FS=10V e n=8 bit, LSB=39mV; se FS=10V e n=12 bit, LSB=2.44mV.

In Figura 4 diamo un andamento dell’errore di quantizzazione, dovuto proprio alla risoluzione, che è l’incertezza tipica dei segnali digitali.

39

Figura 6-4

Si vede come l’errore abbia un andamento “seghettato”, cioè come raggiunga il suo valore massimo agli estremi dell’intervallo che rappresenta la risoluzione per poi andare a zero in corrispondenza del centro di tale intervallo. Per ottenere questo diagramma basta immaginare la variazione continua del segnale analogico19: partendo da zero, l’uscita sarà zero con errore nullo. Quando il segnale tende ad un valore pari a metà della risoluzione il convertitore continua a dare il valore zero e quindi l’errore sarà pari proprio a metà della risoluzione (-LSB/2). Subito dopo, però, il convertitore passa a dare il valore 1 e di conseguenza l’errore sarà sempre uguale a metà della risoluzione, ma cambiato di segno (LSB/2). Continuando con questo procedimento si riesce facilmente a costruire il diagramma dell’errore che risulta quindi compreso tra ± LSB/2. La rappresentazione ad intervallo equiprobabile dell’incertezza di un convertitore risulta particolarmente appropriata. L’errore massimo possibile fatto da un convertitore è costante su tutta la scala di utilizzo e quindi, se vogliamo rappresentarlo su di un grafico ingresso – uscita (Figura 5), otteniamo due rette parallele alla retta che rappresenta l’andamento ideale dell’uscita (vedi nota 10), distanti da essa di un valore pari a metà della risoluzione.

Figura 6-5

Per strumenti che hanno un andamento dell’errore di questo tipo, si presenta un problema che riguarda il loro campo di utilizzo. Infatti abbiamo un’incertezza assoluta costante e quindi una incertezza relativa20 che, in prossimità di letture molto piccole, tende ad un valore infinito. il suo andamento sarà di tipo iperbolico con valori che, in prossimità di zero, vanno ad infinito e viceversa tendono a zero per letture molto grandi. A questo punto è ovvio dedurre che dobbiamo utilizzare i convertitori facendo in modo che la variazione di un bit sia “poco” rispetto alla grandezza che

19 questa variazione è rappresentata dalla retta tratteggiata in Figura 6. 20 Ricordiamo che l’incertezza relativa è l’incertezza assoluta riferita alla grandezza che stiamo leggendo ed è data cioè dal rapporto tra incertezza assoluta e grandezza letta.

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stiamo leggendo, in modo da avere un buon rapporto tra quello che è il segnale e quello che è il rumore21. Per evitare questo tipo di problema bisogna fare in modo di non avere un segnale dello stesso ordine di grandezza della risoluzione, cioè si cerca di portare i segnali nella parte alta della scala di funzionamento di un convertitore. Si ottiene questo risultato inserendo a monte del trasduttore del segnale analogico un amplificatore in modo da portare il campo di variabilità del segnale nei campi di variabilità accettati dal convertitore. In Figura 6 viene rappresentata la catena classica di conversione costituita da un trasduttore del segnale, un amplificatore e un convertitore analogico – digitale.

Figura 6-6 Consideriamo di avere un convertitore a 10 bit e con V10f s = . Possiamo immediatamente

calcolare la risoluzione: V01.0210LSB 10 ≅= . Vogliamo accoppiarlo ad un LVDT con

mm5f s = e che da’ in uscita una tensione di fondo scala di V1 . Accoppiare i due strumenti in

modo diretto vorrebbe dire utilizzare soltanto 101 del range del convertitore. L’LVDT di per sé avrebbe una risoluzione infinita perché da’ in uscita una variazione continua; siccome però questa uscita viene digitalizzata dal convertitore, l’uscita diventa discretizzata e l’LVDT assume la risoluzione propria del convertitore. Vediamo quale sarebbe la risoluzione

espressa in termini di spostamento: 05.051

01.0

S

LSB

S

V ===∆mm22. Se inseriamo un amplificatore

a valle del trasduttore che moltiplica per 10 la tensione di uscita di quest’ultimo, facciamo in modo di utilizzare tutta la scala di valori del convertitore e otteniamo una risoluzione dell’LVDT che,

espressa in termini di spostamento vale: 005.0510

01.0

S

LSB

S

V ===∆mm.

I convertitori a basso numero di bit danno in uscita un’incertezza che è data normalmente soltanto dal valore della risoluzione. In generale però il convertitore può essere affetto anche errori di linearità e deriva. In questi casi viene specificato un valore di incertezza che tiene conto anche di questi fattori e può essere significativamente maggiore del contributo dovuto alla risoluzione.23

21 Ci sono casi in cui l’incertezza assoluta ha più importanza di quella relativa: consideriamo, ad esempio, il caso di voler misurare una differenza di tensione. Abbiamo una, sia pur piccola, incertezza su entrambe le misure di cui faremo la differenza. Se tale differenza si avvicina allo zero, può capitare che l’incertezza diventi pari all’intera misura. 22 S rappresenta la sensibilità del traduttore ed è pari al rapporto tra la tensione di fondo scala e il valore di fondo scala espresso in mm; più in generale la si può definire come rapporto tra variazione della grandezza in ingresso e variazione della grandezza in uscita. 23 Possiamo, ad esempio, trovare 1.5LSB, 2LSB, ecc.

41

7. Analisi Spettrale Per fare una misura dobbiamo sapere come scegliere lo strumento e quanto possiamo fidarci delle indicazioni che questo strumento ci fornisce. Fino ad ora abbiamo visto come effettuare tale scelta dal punto di vista delle caratteristiche statiche. Come gli strumenti si comportano da un punto di vista dinamico è stato visto solo per il caso di ingressi canonici tuttavia i misurandi reali non saranno mai propriamente un gradino o un ingresso armonico puri, dobbiamo comunque essere in grado di scegliere lo strumento, pur avendo analizzato soltanto i casi specifici in forma ideale. Consideriamo un segnale qualsiasi del tipo in Figura 1.

Figura 7-1 Si può immediatamente notare come questo segnale, pur nella sua irregolarità, sia periodico. Questo fatto ci permette di analizzarlo per un intervallo di tempo pari ad un periodo soltanto e di conoscere comunque tutto sul suo andamento, in quanto il segnale si ripete esattamente uguale a se stesso spostando il tempo di una quantità pari a T. infatti una caratteristica molto importante dei segnali periodici è che si riescono a scrivere come somma di componenti armoniche e questo tipo di operazione prende il nome di analisi spettrale24. Queste componenti armoniche sono facili da trattare in quanto conosciamo il comportamento degli strumenti per i quali abbiamo trovato la funzione di trasferimento sinusoidale. A questo punto abbiamo trovato un modo per trattare ingressi di qualsiasi tipo purché periodici. Analizziamo ora più nello specifico cosa si intende per analisi spettrale. Considerando un andamento generico di un segnale periodico ( ) ( )Ttxtx += , vediamo tre diverse strade per effettuare l’analisi spettrale. Sviluppo in serie in forma classica.

( ) ( ) ( )[ ]∑+∞

=++=

100 sencos

hhh thbthaxtx ωω (1)

la (1) esprime la forma temporale della nostra funzione in ingresso attraverso il valore medio

( )∫=T

dttxT

x0

1 addizionato ad una sommatoria di due termini, uno sinusoidale e l’altro

cosinusoidale. Questi due termini in seno e coseno hanno una pulsazione pari ad un multiplo

24 Viene chiamata “spettro” la decomposizione armonica di un segnale periodico.

42

intero25 di Tπω 20 = (dove T è il periodo della funzione che abbiamo scomposto) in modo da

poter rappresentare il segnale complessivo come somma di termini a frequenza via via più alta. Consideriamo la Figura 6 dove rappresentiamo, per semplicità, soltanto due termini in coseno:

Figura 7-2

Per 1=h la pulsazione th 0ω coincide, com’è ovvio, con la 0ω e, quindi, il corrispondente

termine compie una sola oscillazione completa nel periodo; per 2=h la pulsazione raddoppia e, di conseguenza, raddoppiano anche le oscillazioni compiute dal termine con indice due nel periodo. L’importanza di questo fatto la si può comprendere anche da un punto di vista intuitivo: i termini a bassa frequenza tendono a seguire l’andamento generale della funzione, mentre, per riuscire a rappresentare le forme d’onda molto concentrate siamo costretti ad utilizzare i termini in alta frequenza. Sempre dalla Figura 6 si nota che l’ampiezza è, in generale, diversa al variare dell’indice h , e questo dipende esclusivamente dalla forma del segnale. Con questo primo metodo di analisi spettrale i termini in seno e in coseno ci permettono di rappresentare andamenti sia simmetrici che asimmetrici, ossia di rappresentare andamenti che somigliano più ad una sinusoide piuttosto che ad una cosinusoide. Sviluppo in forma complessa, che risulta molto comoda nell’utilizzo dei calcolatori.

( ) ∑+∞

−∞==

h

tihhextx 0ω (2)

In quest’ultimo modo scriviamo tutti i termini in forma di coseno indicandone la fase.

( ) ( )∑+∞

=++=

10cos

hhh thcxtx ϕω (3)

Per le tre scritture precedenti la determinazione dei coefficienti si può ottenere con le relazioni seguenti:

∫∫ ==T

h

T

h dtthsentxT

bdtthtxT

a0

0

0

0 )()(2

)cos()(2 ωω (4)

)(.2

)Im(2

)Re(:)(1

0

0hh

hh

hh

Ttih

h XconiugatocXeb

Xa

XhasidtetxT

X −− =−=== ∫

ω (5)

25 La pulsazione dei due termini, infatti, come si vede dalla (1) è th 0ω , con h che va da 1 a più infinito.

43

)arg(222h

h

hhhhhh X

a

barctgXbac =−==+= ϕ (6)

Da un punto di vista operativo il problema principale nell’analisi spettrale è la determinazione dei coefficienti che come risulta dalle espressioni scritte sopra richiedono il calcolo di integrali. Questa operazione viene fatta agevolmente in modo numerico attraverso i calcolatori e sarà esaminata in modo più approfondito più avanti. Nei tre metodi di analisi spettrale che abbiamo visto si nota come l’indice h vada sempre ad infinito; ovviamente questo è un valore soltanto teorico che serve per la definizione, ma, dal punto di vista pratico, è impossibile pensare di fare una scomposizione di una curva con infiniti termini e infatti si tende ad arrivare ad un valore di h abbastanza grande in modo da descrivere l’ingresso con la precisione desiderata26. ESEMPIO: consideriamo un’onda quadra che rappresentiamo in Figura 3.

Figura 7-3 L’ingresso periodico che vogliamo scomporre è rappresentato da un’onda quadra; la Figura 7 serve a mostrare come cambia il livello di approssimazione di una curva utilizzando più o meno termini nell’analisi spettrale. Se, ad esempio, pensiamo di utilizzare 10 termini, riusciremo a rappresentare abbastanza bene l’onda quadra, riuscendo a far quasi coincidere gli spigoli dell’onda reale con l’approssimazione ottenuta. Se invece diminuiamo il valore dell’indice h , semplifichiamo lo svolgimento dei calcoli, ma otteniamo una peggiore approssimazione. Infatti, usare pochi termini porta ad “arrotondare” (nel vero senso della parola) il segnale in quanto gli spigoli vivi, ossia le variazioni “veloci” del segnale, possono essere rappresentati solo con i termini di grado elevato.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELL’ANALISI SPETTRALE

Siamo arrivati a definire tre metodi di analisi spettrale. Vediamo ora, per ciascuno di essi, in che modo si effettua la rappresentazione grafica dello sviluppo. Questi grafici sono costituiti da righe singole, che rappresentano le ampiezze dei vari termini utilizzati nella scomposizione, spaziate di

una quantità pari a Tπω 20 = , essendo T il periodo del segnale considerato. Avremo, quindi, in

0ω il valore a1 dell’ampiezza dell’onda che corrisponde a tale frequenza27, in 02ω il valore di a2,

e così via fino, in teoria, ad infinito. Ad a0 cui corrisponde un termine coseno con 0=ω , cioè il valore costante 1 si associa il valore medio sul periodo del nostro segnale, indicato sopra con x, il termine bo invece non esiste. In Figura 8, Figura 9 e Figura 10 diamo una rappresentazione dei grafici rispettivamente dello sviluppo in seno e coseno, dello sviluppo in coseno più fase e dello sviluppo in forma complessa:

26 Più termini si usano nell’analisi spettrale e migliore è la rappresentazione dell’andamento reale della curva d’ingresso. 27 Consideriamo di fare uno sviluppo in forma classica, cioè in seno e coseno.

44

Figura 7-4

Figura 7-5 Si nota che la Figura 5 il modulo presenta una simmetria rispetto all’asse delle ordinate perché i coefficienti negativi dello sviluppo in termini complessi sono coniugati, la fase pertanto risulta antimetrica. Per questo motivo vengono normalmente rappresentati solo i termini positivi.

45

SPETTRO IN POTENZA RMS

Abbiamo visto che, nell’analisi spettrale, vengono rappresentati i valori delle ampiezze delle onde corrispondenti ad una determinata frequenza, ma il valore dell’ampiezza in se stesso non fornisce informazioni dirette sulla potenza del segnale. Per questo motivo nello spettro possiamo trovare i valori espressi in forma di RMS. Vediamo specificatamente cosa si intende per tali valori. Consideriamo di avere un segnale di tensione sinusoidale. La potenza ottenibile da questo segnale è proporzionale al valore quadratico, mediato sul periodo, del segnale stesso:

( )∫−

=2T

2T

2txT

1P

il valore medio sul periodo del termine seno al quadrato è 0.5, quindi la potenza media del periodo è metà di quella che avremmo con una tensione costante. Infatti confrontando la potenza

dissipata in un carico di resistenza R abbiamo un valore pari a R2V 20 contro un valore di

RV 20 del caso a tensione continua.

Mettiamoci ora in un caso meccanico e consideriamo uno smorzatore viscoso. Dei tre elementi che abbiamo visto lo smorzatore viscoso è l’unico che ha una potenza assorbita mediamente diversa da zero, cioè che da’ dissipazione di energia; sia la capacità sia la rigidezza, infatti, applicato un ciclo, presentano una fase in cui immagazzinano ed una in cui cedono energia, avendo quindi una potenza media che è nulla. La (1) ci esprime la relazione forza - velocità:

( ) ( )tvCtF ⋅= (1)

Supponiamo di applicare una forza costante; sapendo che la potenza è pari al prodotto della forza per la velocità, otteniamo la (2), che è proprio la potenza dissipata da una forza costante.

C

FP

2

= (2)

Applichiamo ora invece una forza con andamento cosinusoidale del tipo ( ) ( )tcosFtF 00 ω= .

Sempre attraverso la (1) troviamo la velocità e, con lo stesso procedimento di prima, la moltiplichiamo per la forza in modo da trovare la potenza.

( ) ( )C

tcosFtP 0

220 ω

= (3)

La (3), tuttavia, ci fornisce un valore di potenza istantaneo mentre a noi serve un valore medio. Troviamo tale valore integrando la (3) e mediandola sul periodo:

( )∫ == T0

20

C2

FtP

T

1P (4)

Anche in questo caso abbiamo ottenuto lo stesso risultato di prima, e cioè che la potenza media di un segnale sinusoidale risulta dimezzata rispetto a quella di un segnale stazionario. Quello che ci serve è un equivalente statico, cioè un termine che ci permetta di trattare con grandezze armoniche utilizzando le relazioni tipiche delle grandezze stazionarie; è proprio questo il compito assolto dai valori RMS che sono la radice quadrata del valore quadratico medio

46

della potenza del segnale. Il valore RMS, quindi, è quel valore che, elevato al quadrato, ci da’ la potenza. Riferendoci al caso dello smorzatore viscoso, diamo la relazione (5) che può essere poi estesa ad un caso assolutamente generale:

C

RMSP

2

= (5)

Attraverso questa relazione e ricordando la (2) e la (4), possiamo ricavare il valore di RMS rispettivamente nel caso statico e in quello armonico: • Caso statico28 ( ) FFRMS =→

• caso sinusoidale ( ) 0F2

1FRMS =→

Abbiamo quindi ottenuto un numero con il quale risulta semplice ed immediata la valutazione della potenza di un segnale, anche non costante, e che possiamo utilizzare al posto dell’ampiezza che sappiamo non ci da’ informazioni così dirette sulla potenza. Dato un segnale, possiamo ora costruirne lo spettro indicando le ampiezze delle varie componenti armoniche o indicando i valori in potenza attraverso i termini RMS.

Figura 7-6 Qual è il vantaggio principale nell’indicare i valori RMS anziché i valori delle ampiezze? Consideriamo di avere uno sviluppo in serie del tipo coseno più fase:

( ) ( )∑+∞

=+=

0hh0h thcosAty ϕω

e di avere uno spettro in ampiezza. Per trovare la potenza media dovremmo fare:

( ) ( )∫ +++== T0

22

212

02

2

A

2

AAdtty

T

1yP K

se invece avessimo uno spettro in potenza (dove sono indicati i valori RMS:

2

AR,

2

AR,AR 2

21

100 === ), otterremmo:

28 Vorremmo far notare che l’RMS nel caso statico coincide esattamente con il valore della grandezza. Questo per sottolineare il significato di equivalente statico di tale valore.

47

KK +++=+++= 22

21

20

222120 RRR)

2

A()

2

A()A(P

il valore 0A non va, ovviamente, diviso per radice di due perché esso ha un valore di RMS che

coincide con 0A stesso in quanto non è un’ampiezza ma un valore statico.

DISTURBO SINUSOIDALE SU UN SEGNALE COSTANTE

Vogliamo ora quantificare un disturbo di tipo armonico che può essere presente su di un misurando di tipo stazionario. Consideriamo un’uscita generica di uno strumento:

( ) ( )tcosVxty 000 ω+= (6)

Il secondo termine, cioè quello armonico, è un termine che deriva da possibili disturbi dovuti alla rete i quali spesso si sovrappongono al segnale di misura29. Facciamo un’analisi delle potenze in gioco:

• potenza dell’ingresso 20x xP =→

• potenza del disturbo 2VP 20V =→

• potenza dell’uscita Vxy PPP +=→ .

Consideriamo una cella di carico (Figura 7) su cui applichiamo un carico P e valutiamo la tensione in uscita.

Figura 7-7

Se il carico applicato è costante, otteniamo una tensione in uscita che è direttamente proporzionale alla sensibilità statica K della cella.

PKVu ⋅= (7)

la (7) rappresenta la tensione idealmente misurata senza disturbi. In realtà, come rappresentato in Figura 2, noi abbiamo uno strumento (nello specifico un voltmetro) che indica qual è la potenza erogata da tutto il sistema, comprendente quindi anche una porzione di rete che sovrappone un disturbo di tipo armonico30. Effettivamente quindi misuriamo una grandezza che è quella data dalla (8).

( )tcosVVV 00u ω+= (8)

29 Questo succede, ovviamente, quando abbiamo a che fare con misure fatte attraverso segnali elettrici. 30 Questo tipo di disturbo viene anche detto rumore elettrico.

48

E’ evidente che otteniamo una misura tanto più errata quanto maggiore è il peso del rumore elettrico di rete. Per avere una identificazione sull’entità di questo errore si utilizza un termine dato dal rapporto tra la potenza dovuta al segnale e la potenza dovuta al disturbo, che prende il nome di SNR (signal to noise ratio).

La potenza del segnale sarà data da RVP 2s = , mentre per quella del rumore dovremo

considerare un valore medio a causa, evidentemente, della variabilità nel tempo di un andamento armonico. Sappiamo che il valore medio di potenza di un termine sinusoidale di ampiezza 0V è

pari a R2V 20 , quindi risulta immediato il calcolo del rapporto SNR:

20

2

20

2

V

V2

R2V

1

R

VSNR =⋅=

Se lo indichiamo in termini di valore efficace31 (cioè in termini RMS), otteniamo:

20

2

20

2

202

00

0

V

V

V

V2SNR

quindi2

VV

2

VV

==

=⇒=

Possono essere indicati anche in dB:

2

0V

Vlog10SNR

=

che, utilizzando le proprietà dei logaritmi, diventa:

=

0V

Vlog20SNR .

Il rapporto tra le potenze è proporzionale al rapporto tra i valori efficaci; questo è il motivo principale per cui è conveniente scrivere tali valori piuttosto che il valore dell’ampiezza di un segnale sinusoidale. Infatti i valori efficaci, come già abbiamo detto nel paragrafo precedente, ci permettono di trattare un segnale armonico come se fosse statico, utilizzando, cioè, tutte le relazioni tipiche dei segnali stazionari. TRASFORMATA DI FOURIER

Fino a questo punto abbiamo considerato segnali di tipo periodico; analizziamo ora segnali che si esauriscono in un tempo limitato e che prendono il nome di segnali di tipo impulsivo. Un segnale periodico si ripete identico a se stesso dopo un tempo pari al periodo T , ed è per questo motivo che è inutile studiarlo per un tempo maggiore. Un segnale impulsivo invece presenta l’andamento in Figura 8.

31 Indichiamo il valore efficace come 0V .

49

Figura 7-8

Si nota come il segnale si esaurisca completamente dopo un intervallo di tempo ben determinato. Per analizzarlo immaginiamo di allungare l’asse dei tempi e consideriamo che si ripeta dopo un tempo molto grande, in modo da poterlo trattare come se fosse periodico e utilizzare quindi le stesse tecniche di analisi come, ad esempio, lo sviluppo in serie, attraverso il quale si riproduce un segnale periodico mediante le sue componenti armoniche. Le ampiezze di tali componenti armoniche possono essere date dalla (9).

( )∫=T

n dttntyT

A0

0cos2 ω (9)

Allungare l’asse dei tempi significa far tendere t ad infinito, ma così facendo non riusciamo a risolvere la (9) perché il prodotto di un termine che va a zero per uno che va ad infinito è zero e quindi rimarrebbero sconosciuti i valori dei coefficienti nA . Per risolvere questo problema

consideriamo la (9) non divisa per T e facciamo tendere il tempo ad infinito, in modo da calcolare l’integrale anziché il valore medio sul periodo. Consideriamo le componenti in forma complessa come nella (10):

( )∫−=

T

0

tinn dtety

T

1C 0ω (10)

che, per le considerazioni fatte sopra, diventa:

∫∞ −= 0

tinn dte)t(yC 0ω (11)

La 0ω , che è l’oscillazione della prima pulsazione, è pari a T2π e quindi, nel caso di segnale

impulsivo, va a zero. Questo significa che la distanza tra le righe che rappresentano le ampiezze delle componenti armoniche nello spettro di un segnale diventa nulla, cioè si fa un passaggio al limite trasformando quella che era una funzione discreta, per i segnali periodici, in una funzione continua in ω per i segnali impulsivi. Detto questo è evidente che la (11) va riscritta nel modo seguente:

( ) ( )∫∞ −=0

ti dtetyC ωω (12)

La (12) prende il nome di trasformata di Fourier e, attraverso questo metodo, come abbiamo visto, si determina la funzione di risposta armonica di un segnale ad impulso.

50

Andiamo ora a vedere in maniera più concreta l’utilizzo della trasformata di Fourier: questa operazione matematica ci serve per valutare dove un segnale in ingresso ha componenti buone e fissare quindi una banda passante. Una volta fissata, verifichiamo che essa sia contenuta completamente nella banda passante dello strumento. Ancora una volta si ripresenta il problema per il quale noi dovremmo conoscere a priori ciò che andiamo a misurare, e ciò spesso non è possibile. Bisogna basarsi su modelli matematici o, più frequentemente, su esperienze precedenti, in quanto le indicazioni sulla banda del segnale vengono da conoscenze che abbiamo prima della misura. Se sbagliassimo e ci accorgessimo che la trasformata del segnale in misura comprende tutta la banda dello strumento, dovremmo cambiare strumento e ripetere la misurazione. Ovviamente ci sono casi in cui questo non è possibile in quanto il segnale in misura non è ripetibile a nostro piacimento32. TRASFORMATA DISCRETA

Come più volte ormai abbiamo ribadito, il segnale digitale è un segnale che da continuo diventa discreto. Lo sviluppo in serie di Fourier, quindi, non può essere calcolato attraverso un integrale, ma necessariamente attraverso una sommatoria di termini discretizzati. Per questo motivo dobbiamo riscrivere la (12) nel modo seguente:

∑−

=

−=

1N

0k

N

k2in

kn eyN

1G

π

(14)

Lo spettro che otteniamo dalla (14) è uno spettro limitato in banda. Questo significa che mentre in un caso continuo, almeno in teoria, si arriva a k infinito, nel caso di un segnale digitale lo spettro si ferma alla frequenza di Nyquist perché questa è la frequenza oltre la quale, per effettuare il campionamento, consideriamo nulle tutte le componenti e le eliminiamo utilizzando un filtro analogico. le caratteristiche fondamentali dello spettro sono: • ⇒N numero dei campioni raccolti

• ⇒T durata della “finestra” di osservazione

• ⇒cf frequenza di campionamento

Solo due di questi parametri sono indipendenti. Ad esempio, se scegliamo la durata della finestra e la frequenza di campionamento, il numero dei campioni raccolti risulta di conseguenza. L’intervallo di frequenze contenute nello spettro va da zero a 2ff cNy = ; quante righe spettrali

vi saranno contenute? Il calcolo è molto semplice: la risoluzione spettrale vale

c0 fN

1

t

1

N

1

tN

1

T

1f =

∆=

∆== e la frequenza massima sappiamo essere uguale a quella di

Nyquist. Il numero di righe spettrali rN sarà dato dal rapporto tra la frequenza massima e la risoluzione spettrale.

2

N

f2

Nf

f

fN

c

c

0

maxr === (15)

Essendo partiti da N campioni e ottenendo 2N righe spettrali si ha l’impressione di aver perso metà delle informazioni raccolte. In realtà lo spettro è sempre formato da due componenti33 e quindi ritorniamo ad avere N punti. Per questo motivo è possibile ricostruire il segnale nel

32 Consideriamo, ad esempio, la misurazione della magnitudo di un terremoto. 33 Seno e coseno, coseno e fase oppure in forma complessa dai complessi coniugati.

51

dominio del tempo a partire dallo spettro e, dal punto di vista del numero di informazioni, non cambia nulla.

EFFETTO FINESTRA

Quando campioniamo un segnale qualsiasi non possiamo sapere a priori quale sia il suo periodo e, di conseguenza, lo spezzone di segnale acquisito non necessariamente34 contiene un numero intero di periodi. Nella discretizzazione il segnale esiste soltanto nella finestra di campionamento e, avendo nello sviluppo in serie ipotizzato la periodicità del segnale, otteniamo un errore inevitabile sullo spettro. Questo tipo di errore prende il nome di effetto finestra, il quale consta a sua volta di due effetti: 1. dilatazione delle righe spettrali: al posto delle righe spettrali si osservano picchi a banda

stretta ma finita; tale banda si restringe sempre di più all’aumentare di T .

2. Creazione di picchi artificiali dovuti alla eventuale presenza di periodi non completi agli

estremi dello spezzone.

Se consideriamo di campionare un segnale con andamento puramente cosenusoidale lo spettro che ci dobbiamo aspettare è costituito da una sola riga in corrispondenza di 0T2π , essendo 0T

il periodo di tale segnale. In realtà, se non campioniamo per una durata di tempo esattamente uguale al periodo otteniamo come spettro quello rappresentato in Figura 9

Figura 7-9 All’aumentare della durata T aumenta la frequenza delle righe, i lobi laterali si stringono attorno al lobo centrale, ma la loro altezza non diminuisce. L’effetto finestra non può essere eliminato del tutto, ma, poiché la coesistenza dei due fenomeni di tale effetto può dar luogo a difficoltà di interpretazione dello spettro, spesso conviene eliminarne uno dei due, sia pure a costo di un peggioramento dell’altro. Ciò che si fa è di “pretrattare” il segnale, cioè di moltiplicarlo per una funzione che manda a zero tale segnale agli estremi della finestra. Infatti i lobi laterali sono dovuti ad un effetto di bordo, cioè alla presenza di frammenti di periodo agli estremi. In questo modo si eliminano i lobi laterali, ma per contro si allarga la banda del lobo centrale.

34 Sarebbe forse meglio dire che è pressoché impossibile campionare un segnale alla giusta frequenza.

52

8. Comportamento Dinamico degli Strumenti Quali sono i parametri che dobbiamo valutare nella scelta di un strumento? L’ accuratezza: questa dovrà essere confrontata con l’incertezza di misura desiderata. L’ errore di inserzione: dovremo cioè valutare la Z d’ingresso. Il costo: bisognerà valutare, attraverso un’analisi “costi – benefici”, l’opportunità di utilizzare uno strumento più o meno preciso. Il fondo scala: questo dovrà essere maggiore del valore che mi aspetto di dover leggere. Per quanto abbiamo visto fino ad ora, la valutazione di questi parametri ci potrebbe bastare nella scelta di uno strumento. Supponiamo però di voler misurare, ad esempio, l’oscillazione radiale di un volano che gira: lo strumento che sceglieremo potrà schematicamente essere costituito da un tastatore strisciante e da una molla che lo tiene appoggiato al volano. In una situazione del genere dovremo considerare anche il tempo di risposta ovvero quanto tempo lo strumento impiega per adattarsi ad una variazione dell’ingresso; se quest’ultimo fosse superiore al periodo di rotazione del volano, la misura risulterebbe falsata, quando non impossibile da effettuare. A questo punto diventa importante descrivere il comportamento dinamico degli strumenti. Negli strumenti visti fino ad ora le grandezze in ingresso erano legate a quelle in uscita attraverso una costante (sensibilità statica), più, eventualmente, un termine legato allo zero.

Figura 8-1 Questo può essere considerato un comportamento ideale perché, in realtà, lo strumento insegue le variazioni del misurando, riproducendole con un certo grado di approssimazione, che dipende dalle sue caratteristiche dinamiche. In campo dinamico quindi non basta valutare la sensibilità dello strumento per avere la relazione tra ingresso e uscita perché, in generale, non troviamo una costante K che lega le due grandezze e ciascuno strumento si comporta in modo diverso rispetto agli altri. Quello che conviene fare è raggruppare gli strumenti per “tipo di comportamento”; verranno considerate tre classi di strumenti: ordine 0, primo ordine, secondo ordine.

STRUMENTI DI ORDINE ZERO

Sono anche detti strumenti ideali e sono tutti quegli strumenti per i quali vale la (1). )t(gk)t(g iu ⋅= (1)

Sono gli strumenti ideali dal punto di vista dinamico perché riproducono fedelmente qualsiasi ingresso. Nella realtà non esistono strumenti che manifestano un comportamento di questo tipo per qualsiasi ingresso, tuttavia nella maggior parte dei casi si tende ad individuare per gli strumenti reali delle condizioni per l’ingresso (es. contenuto in frequenza), che ci permettano di utilizzarli come se fossero di ordine zero.

STRUMENTI DEL PRIMO ORDINE

Consideriamo un termometro immerso in un liquido che si trova ad una determinata temperatura T. Il termometro adeguerà “lentamente” la sua lettura alla temperatura T del liquido e, per valutare

53

quanto “lentamente” avviene questa operazione, dobbiamo scrivere un’equazione di scambio termico.

( )td

dcm term

termliqθθθα =− (2)

l’ordine della derivata nella (2) è uno, ed è in virtù di questo fatto che lo strumento in questione viene detto del primo ordine. Se dividiamo tutto per α , otteniamo la (3).

( )td

dmc termtermliq

θα

θθ =− (3)

ponendo α

τ mc= possiamo ricavare l’andamento della lettura di temperatura del termometro nel

tempo.

( ) [ ]τθθ tliqterm e1t −−= (4)

Tutti gli strumenti per i quali la relazione ingresso – uscita si può esprimere con una equazione differenziale a coefficienti costanti del primo ordine vengono detti appunto “strumenti del primo ordine”. L’andamento della risposta ad un ingresso a gradino di questi strumenti sarà del tipo in Figura 2.

Figura 8-2 La cosa fondamentale che vogliamo conoscere di strumenti di questo tipo è sapere quanto tempo dobbiamo aspettare prima di avere una risposta che “non sia troppo sbagliata”, cioè l’errore di misura sia inferiore ad una quantità che prefissiamo noi. Ponendo τ=t otteniamo

( ) 63.0liqterm ⋅=θτθ ; questo significa che dopo un tempo pari a τ l’uscita ha raggiunto il 63%

dell’ingresso. L’equazione che caratterizza uno strumento del primo ordine, in generale, è rappresentata dalla (5) nel caso il gradino parta dal valore 0y e abbia valore finale fy .

( ) ( ) τt

ff eyyyty −−+= 0 (5)

anche questa equazione, che non è altro che un modo di generalizzare la (4), ci permette di sapere quant’è il tempo che dobbiamo lasciare lo strumento in ambiente per ottenere una grandezza, entro certi limiti, corretta.

54

ESMPIO: vogliamo determinare dopo quanto tempo una lettura di una grandezza generica raggiunge il 99% della grandezza stessa (partendo da valore iniziale 0).

99.0e1 t =− − τ

( )1

tt

01.0lnt

01.0lnt01.0lnt

01.0e199.0e

−

−−

=

−==−

=−=−

τ

ττ

ττ

al cambiare dello strumento, cambia solo la τ , che è infatti il parametro che caratterizza gli strumenti del primo ordine.

Abbiamo visto quindi che con un ingresso a gradino uno strumento del primo ordine ci da’ una risposta di tipo esponenziale in cui l’unico parametro caratterizzante è τ . Consideriamo adesso il caso di un ingresso sinusoidale e lo facciamo attraverso il sistema in Figura 3.

Figura 8-3 Vogliamo conoscere la funzione di trasferimento. Conosciamo la temperatura t , e quindi otteniamo dalla (6) la temperatura misurata mt .

mmR

m ZZZ

tt ⋅

+= (6)

dove RZeCi

1

cmi

1Z Rm ===

ωω.

Il rapporto tra la temperatura misurata e la temperatura effettiva ci da’ la funzione di trasferimento.

( )R

cmi

1cmi

1

ZZ

Z

t

tT

mR

mm

+=

+==

ω

ωω

( )1CRi

1

Ci

1CiR1

Ci

1T

+=

+⋅=

ωω

ωωω (7)

valutiamo ora la resistenza termica nel caso convettivo.

∆=

∆=

R

tq

tAq α

A

1R

α=→

sostituendo il termine R nella (7), otteniamo

55

( )1i

1T

+=

ωτω (8)

Anche per la funzione di trasferimento nel caso di ingresso sinusoidale abbiamo ottenuto una relazione in cui l’unico parametro caratterizzante è la costante di tempo τ . Supponiamo di avere un ingresso del tipo tsentt 10 ω= . Attraverso la (9) determiniamo la

temperatura misurata. ( ) ( )ϕωω += tsenTtt 110m (9)

La funzione ( )1TT ω= dipende evidentemente da ω , e quindi dipende da ω anche l’ampiezza

dell’uscita ( ( )10 Tt ω= ). Essendo f2πω = , dire che l’ampiezza dell’uscita dipende da ω , equivale

a dire che essa dipende dalla frequenza f dell’ingresso; infatti, variando tale frequenza, varia la costante che lega l’ampiezza dell’uscita all’ingresso. La (10) e la (11) rappresentano gli andamenti del modulo e della fase della risposta in funzione di ω :

( )( )

T1

1C

2=

+=

ωτω (10)

( ) ( )ωτωϕ arctg−= (11) Vediamo ora come varia T al variare di ω in tre punti significativi:

Se 1T0 =⇒→ω ; otteniamo come grandezza misurata esattamente l’ingresso, che è un

segnale costante nel tempo.

Se 2

1T

1 =⇒→τ

ω ; in questo caso il segnale di uscita si è ridotto del 33%.

Se 0T =⇒∞→ω ; un segnale ad alta frequenza, o meglio, ad una frequenza elevata rispetto

alla τ1

dello strumento, fornisce una risposta di ampiezza nulla, cioè una costante.

Possiamo notare che anche per ingressi di tipo sinusoidale tutto dipende dalla τ dello strumento, la quale ci indica qual è la frequenza massima che possiamo valutare senza un’eccessiva attenuazione del segnale. L’attenuazione massima che consideriamo accettabile la stabiliamo noi attraverso una quantità detta banda passante. Si definisce banda passante di uno strumento di misura il campo di frequenze entro cui il valore di attenuazione del segnale sia minore di un valore di tolleranza da noi prefissato. Il criterio di progetto di tale banda sarà che la banda di interesse del fenomeno da misurare deve essere interamente contenuta nella banda passante dello strumento.

2maxmin1 ffff ≤<≤

Un valore di attenuazione che viene spesso indicato è quello di 3db, al quale corrisponde un valore

di τ

ω 1= ; questo valore indica che il campo di frequenze nel quale lo strumento attenua il segnale

56

di meno di 3db è compreso tra τωω 1e0 == . Avere un’attenuazione del 30%, in generale, non è accettabile e questa banda passante a 3db viene data solo per identificare le caratteristiche di uno strumento, fornendo essa immediatamente la costante di tempo τ . A volte ci viene fornito, in un grafico, l’andamento del modulo della funzione di trasferimento in funzione della frequenza dell’ingresso.

Figura 8-4 ESEMPIO: vogliamo trovare uno strumento in grado di misurare una grandezza in ingresso con frequenza di 50Hz.

s

rad314Hz50fse =→= ω

ciò che dobbiamo verificare è che τω 1<< cioè che ωτ 1<< . Questo è l’unico parametro che ci serve nel scegliere uno

strumento del primo ordine per quanto riguarda l’attenuazione della risposta. Avremo quindi che:

314

1<<τ

TARATURA DINAMICA DEGLI STRUMENTI DEL I ORDINE

Per caratterizzare dal punto di vista dinamico uno strumento del primo ordine, come ormai abbiamo più volte ribadito, ci basta conoscere la costante di tempo τ . Consideriamo l’andamento generico della risposta ad un ingresso a gradino di Figura 5.

Figura 8-5 Ci sono tre modi per conoscere τ :

57

Il tempo in cui lo strumento legge il 63% del gradino della grandezza in ingresso. Partendo dal punto d’intersezione tra la tangente alla curva uscente da 0y e l’asintoto orizzontale

( fy ), scendiamo verticalmente fino ad incontrare l’asse delle ascisse, dove leggiamo il valore di τ .

Il terzo metodo si basa (come nella taratura statica) su di una retta di regressione. Vediamo come: considerando sempre la Figura 5, possiamo scrivere le equazioni (12) e (13).

τt

0f

f eyy

yy −=−−

(12)

τt

yy

yyln

0f

f −=−−

(13)

La (13) ha la forma di una retta con coefficiente angolare pari a τ1− (Figura 6).

Figura 8-6 Il procedimento è lo stesso di quello di una taratura statica; infatti misuriamo una serie di y nel

tempo e calcoliamo il 0f

f

yy

yyln

−−

. Otteniamo una serie di punti rappresentati con le loro incertezze

e ne facciamo una regressione lineare, ottenendo la retta il cui coefficiente angolare è τ1− e da cui ricaviamo banalmente la τ dello strumento.

58

9. Strumenti del Secondo Ordine Ricordiamo innanzi tutto che per “ordine” si intende l’ordine massimo di derivazione che compare nell’equazione differenziale che descrive l’andamento dello strumento. Gli strumenti con componenti meccaniche quali rigidezze e momenti inerziali, danno origine a strumenti del secondo ordine proprio perché l’accelerazione è una derivata seconda dello spostamento e quindi la relazione che comprende le forze inerziali ed elastiche ( )∑= iFam è legata alle derivate seconde.

Consideriamo un dinamometro: in Figura 1 abbiamo una rappresentazione dello strumento ideale. In questo modo l’abbiamo rappresentato come un elemento elastico e cioè come uno strumento di ordine zero. Infatti lo spostamento è proporzionale alla forza; vale a dire che l’uscita è proporzionale attraverso una costante all’ingresso. Abbiamo considerato di non avere nessuna inerzia associata, il che, dal punto di vista fisico, corrisponde al trascurare la massa mobile del dinamometro. Un’approssimazione del genere però potrà, in altri casi, produrre un errore non trascurabile e dovremo quindi ricorrere ad una rappresentazione un po’ più corretta (Figura 2).

( )1kyyCymF

kyyCFam

Fam i

++=−−=

∑=

&&&

&

Figura 2 Possiamo notare come ora compaiano, oltre alla rigidezza dell’elemento, anche una parte inerziale e un dissipatore viscoso in modo da considerare sia la massa mobile dello strumento sia la dissipazione energetica che genera qualsiasi oggetto che venga deformato. L’equazione (1), che rappresenta la relazione di

equilibrio delle forze e descrive il comportamento dello strumento, contiene i termini di derivata prima e seconda dello spostamento della massa mobile e, proprio in virtù di questo grado di derivazione, lo strumento in questione si dice del secondo ordine. Come abbiamo fatto per gli strumenti del primo ordine, caratterizzati da τ , anche per quelli del secondo cerchiamo dei parametri che ne caratterizzino il comportamento. Nella (1) ci sono tre costanti, ma soltanto due sono indipendenti e quindi è sufficiente definire due parametri per descrivere il comportamento di questi strumenti: La pulsazione naturale 0ω

m

k

2

1

2

1f 00 π

ωπ

==

FIGURA 1

59

Il fattore di smorzamento

0m2

c

ωζ =

in definitiva si può dire che attraverso questi due parametri si caratterizza il comportamento dinamico degli strumenti del secondo ordine. Mentre è abbastanza immediato comprendere il significato di pulsazione propria, conviene spendere due parole per descrivere l’effetto del valore assunto dal fattore di smorzamento. Si distinguono due casi: Se 1<ζ ⇒ il sistema si dice sottosmorzato (Figura 1)

Figura 9-1 Se ⇒> 1ζ il sistema si dice sovrasmorzato (Figura 2)

Figura 9-2 In Figura 1 e in Figura 2 sono riportati gli andamenti di due risposte al gradino nei casi diversi di nei casi diversi di fattore di smorzamento minore e maggiore di uno. Nel primo caso si anno delle oscillazioni dell’uscita, con ampiezza decrescente col tempo, intorno al valore di regime; cioè l’uscita nel punto A è maggiore del valore del gradino, poi diventa minore nel punto B per stabilizzarsi intorno al valore di regime (valore del gradino) col passare del tempo. Aumentando il fattore di smorzamento, la sovraelongazione35 si riduce e, quando csupera il valore critico 0m2 ω ,

si ricade nel secondo caso dove non c’è più una prime oscillazione di ampiezza maggiore, ma l’andamento dell’uscita somiglia molto a quello di uno strumento del primo ordine che tende

35 Valore dell’ampiezza della prima oscillazione.

60

asintoticamente al valore di regime. Come facciamo allora a distinguere se si tratta di uno strumento del primo ordine o di uno del secondo sovrasmorzato? Tracciando la derivata che esce dall’origine di una curva di uno strumento del primo ordine siamo in grado di determinare τ , mentre la stessa derivata di uno strumento del secondo ordine è orizzontale. La curva che caratterizza gli strumenti di quest’ultimo tipo, infatti, parte sempre con tangente nulla. Questo tratto iniziale, a tangente nulla orizzontale, sarà tanto più lungo quanto più aumenta il fattore di smorzamento. Ovviamente non è possibile, in questa sede, verificare qualsiasi ingresso per vederne l’uscita, perché bisognerebbe risolvere l’equazione differenziale caratteristica per ogni caso, ma, come abbiamo fatto per gli strumenti del primo ordine, analizzeremo l’uscita in due casi molto importanti dal punto di vista pratico: la risposta al gradino e la risposta ad un ingresso sinusoidale. INGRESSO A GRADINO

Consideriamo sempre un dinamometro. Come si realizza fisicamente un ingresso a gradino? In pratica si può applicare una massa sullo strumento ottenendo una variazione istantanea della forza in ingresso, da un valore nullo ad uno di regime che è la forza peso esercitata dalla massa stessa (questo però cambierà la massa mobile dello strumento, per un gradino ideale l’applicazione della forza dovrebbe avvenire senza modifica delle caratteristiche del sistema. Dalla risposta che otteniamo con un ingresso a gradino riusciamo a ricavare i parametri di immediato interesse applicativo, quali tempo di risposta, di salita e di assestamento e i parametri dinamici 0ω e ζ . Vediamo come vengono definiti i parametri di interesse applicativo:

Tempo di risposta (response time) ⇒ è l’intervallo di tempo tra l’istante iniziale e quello in cui lo strumento raggiunge una prefissata frazione, relativamente alta (90%, 95%), del valore di regime. È immediato vedere dalle figure 3 e 4 che il tempo di risposta è più piccolo quanto più piccolo è il fattore di smorzamento, ma è altresì vero che quanto più velocemente il segnale raggiunge la percentuale prestabilita tanto più la supera con un’ampiezza che è inversamente proporzionale a ζ . Tempo di salita (rise time) ⇒ fissate due frazioni del valore di regime dell’uscita, una relativamente piccola (5%, 10%), l’altra relativamente grande (90%, 95%), è l’intervallo di tempo fra l’istante in cui viene superata la prime e quello in cui viene raggiunta la seconda. Tempo di assestamento (settling time) ⇒ è l’intervallo di tempo tra l’istante iniziale e il momento in cui l’uscita si stabilizza entro una prefissata fascia del valore di regime. Questo è il parametro più importante in quanto ci dice dopo quanto tempo possiamo considerare corretta la nostra lettura. Se facciamo riferimento alla figura 3, possiamo dire che il tempo di assestamento è dato dall’ultima intersezione del diagramma con la banda prefissata.

Figura 9-3 Vediamo ora invece come si trovano i parametri caratteristici.

61

Il metodo del decremento logaritmico ci fornisce una comoda relazione per il calcolo di .ζ consideriamo l’espressione che rappresenta l’uscita di un ingresso a gradino:

( ) ( ) ( )

−

−−−−= − ttekty t 2

02

20 1sen

11cos1 0 ζω

ζζζωζω

la parte all’interno delle parentesi quadre rappresenta un termine oscillante con l’andamento di Figura 4.

Figura 9-4 Se andiamo a tracciare due curve tangenti rispettivamente ai punti massimi e minimi della curva,

otteniamo due esponenziali con andamento t0e ζω−± . Facendo il rapporto tra il primo massimo, rispetto al valore di regime, e un massimo n–esimo successivo si ottiene ζ nel modo seguente:

( )

−≅

n

1

x

xln

1n2

1

πζ (2)

dove 1x è l’ampiezza della prima e nx è l’ampiezza della n–esima oscillazione. Il termine 1n − ci

dice quante sono le oscillazioni complete considerate, cioè quanti periodi abbiamo tra la prime e la n–esima ampiezza. Vediamo più specificatamente come si ottiene la relazione (2); consideriamo

l’andamento generico delle ampiezze t0

0eAA ζω−= , e calcoliamo il valore delle ampiezze 1A e

2A 36.

( )Tt2

t1

10

10

eA

eA+−

−

=

=ζω

ζω

e facendo il rapporto tra i due otteniamo:

36 La relazione corretta di nω sarebbe ( )2

0n 1 ζωω −= , ma per smorzamenti che vanno fino a circa il 10%

possiamo considerare accettabile una semplificazione del tipo 0n ωω = .

62

( )

( )

=

−−=

≅−−=

= −−−

2

1

00

2

1

002

1

Ttt

2

1

A

Aln

2

1

cuida2

A

Aln

2TmaTA

Aln

eA

A110

πζ

ωπζω

ωπζω

ζω

Una soluzione più generica e utilizzata per smorzamenti maggiori del 10%, la si può ottenere

sostituendo al periodo, anziché 02T ωπ= , la relazione 02T ωπ= 21 ζ− .

La relazione (3) ci consente di trovare la frequenza naturale del sistema.

2

00

0 1T

1

2f

1

2T

ζπω

ζωπ

−==→

−= (3)

Se avessimo un ingresso impulsivo37, cioè un ingresso che raggiunge un determinato valore e torna a zero in un tempo infinitesimo, l’oscillazione data dallo strumento sarà simile a quella data in un caso di ingresso a gradino con la sostanziale differenza che a regime tende ad un valore nullo. L’unico parametro applicabile in un caso di questo tipo è il tempo di assestamento. Ingresso Sinusoidale Analizziamo il caso di un ingresso sinusoidale facendo sempre riferimento ad un dinamometro e quindi al sistema meccanico in Figura 2, considerando però che la forza abbia un andamento del tipo ( ) ( )tcosFtF 0 ω= , mentre l’uscita ( )ty rimane sempre lo spostamento della massa. Attraverso

un’analisi a parametri concentrati (Figura 5), riusciamo ad ottenere la funzione di trasferimento sinusoidale facendo il rapporto tra uscita e ingresso, e cioè

( ) FyT =ω . Figura 5 Quello che riusciamo ad ottenere con lo schema ad impedenze è un rapporto tra y& ed F .

Figura 9-5

cimk

i

F

y

cmii

k1

FZFy

2

eq

ωωω

ωω

+−=

++=⋅=

&

&

37 Nel caso considerato di un dinamometro una buona approssimazione di un ingresso impulsivo è costituita da un urto.

63

Per ottenere la funzione di trasferimento bisognerà dividere per ωi 38.

( )cimk

1T

2 ωωω

+−= (4)

mettiamo in evidenza i parametri significativi raccogliendo k a denominatore

( )

( )1

i2

i

k1Tquindi

2

k

c

k2

c

m2

ce

km

m

kma

1k

ci

k

m1

k

1T

0

2

0

0

0

0

20

0

2

++

=

=⇒==

=⇒=

++−⋅=

ωωζ

ωω

ω

ωζω

ωζ

ωω

ωωω

la relazione che abbiamo ottenuto è la forma classica di una funzione di trasferimento sinusoidale di uno strumento del secondo ordine, e tale relazione ci serve proprio per ottenere una risposta, dato un ingresso armonico; cioè, se abbiamo ( ) ( )tcosFtF 10 ω= come ingresso, otteniamo:

( ) ( ) ( )ϕωω += tcosTFty 110

la (5) ci fornisce il modulo dell’uscita39

( )2

0

22

0

21

1T

+

−

=

ωωζ

ωω

ω (5)

il diagramma di Bode, rappresentato in Figura 8, ci fornisce l’andamento del modulo dell’uscita in funzione della frequenza dell’ingresso.

38 Consideriamo il seguente esempio: ω

ωω

i

xxxixexx ti

0

&& =⇒=⇒=

39 consideriamo il caso di sensibilità k =1.

64

Figura 9-6 Il punto di 0ω , rappresentato sul grafico, corrisponde alla frequenza fino alla quale il modulo della

funzione di trasferimento è unitario; infatti se 00 →ωω , sia la parte reale che quella immaginaria

del modulo si annullano e rimane 1/1. Se ∞→0ωω , il modulo avrà un andamento del tipo

( )2

0

1T

=

ωω

ω , che sul grafico doppio logaritmico rappresenta una retta con un coefficiente

angolare di dec

db40− . In Figura 6 è rappresentato, in linea tratteggiata, un sistema a smorzamento

nullo, mentre, con linea punteggiata, sono rappresentati gli andamenti del modulo al variare del fattore di smorzamento40. Per 0=ζ sparisce la parte immaginaria della (5) e, quando 0ωω = , abbiamo che il modulo è

uguale a 1/0 e quindi tende ad infinito. La funzione quindi presenta un asintoto verticale in 0ω per

un valore nullo del fattore di smorzamento. Comunque è evidente che non esistono strumenti reali a smorzamento nullo. Per 1>ζ si riesce a scomporre il termine a denominatore del modulo ottenendo la (6):

)i1)(1i(

1)(T

21 ωτωτω

++= (6)

e la rappresentazione sul diagramma di Bode di tale funzione è la seguente (figura 9):

40 Queste curve tratteggiate rappresentano l’andamento reale del modulo della funzione di trasferimento.

65

Figura 9-7 Naturalmente la curva di figura 7 risulta da un’approssimazione delle curve tratteggiate in figura 8 dove si nota come aumenti la diminuzione del modulo dell’uscita all’aumentare del fattore di smorzamento. Vediamo in pratica come possiamo utilizzare uno strumento di questo tipo. Consideriamo che il costruttore fornisca un diagramma di Bode di questo tipo (figura 8):

Figura 9-8 Fissiamo, arbitrariamente, a seconda dell’utilizzo che dobbiamo fare dello strumento, una tolleranza (in figura abbiamo scelto dB3± 41), e attraverso queste limitazioni fissiamo le frequenze entro le quali possiamo utilizzare in modo corretto lo strumento. Le intersezioni della curva con la banda individuata dalle rette a dB3± delimitano le fasce di frequenze entro le quali non è possibile utilizzare lo strumento, cioè quelle frequenze alle quali la curva si trova al di fuori della banda da noi stabilita. Se il segnale di ingresso avesse delle frequenze pari a queste dovremmo cambiare strumento. In conclusione possiamo dire che ζ e 0ω ci forniscono tutte le informazioni per la costruzione del

diagramma di Bode e, quindi, per la scelta dello strumento, partendo dal presupposto, però, di conoscere almeno approssimativamente la banda di frequenza del misurando.

41 Il valore di 3 dB è un valore che, in termini di amplificazione e di riduzione del segnale in uscita, corrisponde al 30% dell’ingresso ed è quindi molto elevato. Viene comunemente usato come riferimento, soprattutto perché negli strumenti del I° ordine è individuata dalla frequenza di tagl io ma nell’utilizzo reale degli strumenti si utilizzano valori in generale molto inferiori.

66

TARATURA DINAMICA DI STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE

Per conoscere il comportamento dinamico di uno strumento dobbiamo conoscere ad esempio l’andamento della funzione di trasferimento armonica. Per determinare tale funzione si può ricorrere, soprattutto in fase di progettazione degli strumenti, ad uno studio analitico (ad esempio con schemi a parametri concentrati come abbiamo fatto per il dinamometro), oppure se lo strumento è disponibile, si può effettuare una taratura dinamica che ci consente di determinare i parametri fondamentali senza dover conoscere le caratteristiche costruttive dello strumento. Da un ingresso a gradino è possibile ottenere immediatamente i parametri dinamici 0ω e ζ . Infatti

il fattore di smorzamento è dato dal decremento logaritmico (relazione (2) della lezione 6) e la pulsazione si ottiene valutando il periodo della funzione e utilizzando la relazione

201

2

ζπω−

=T

. Dato quindi un ingresso a gradino la taratura dinamica consiste semplicemente

nella valutazione del fattore di smorzamento, attraverso il decremento logaritmico, e della pulsazione, che ricaviamo dal periodo T . Un altro procedimento di taratura dinamica sfrutta un ingresso armonico. Facendo riferimento ad un dinamometro ed alla Figura 9, consideriamo un ingresso armonico del tipo ( )tFF 10 cosω= .

Figura 9-9 Il procedimento, dal punto di vista concettuale, è molto semplice. Data la grandezza armonica in ingresso, misuriamo l’uscita ricavandone la funzione di trasferimento. Se lo strumento fosse ideale l’uscita sarebbe rappresentata dalla curva 2 in cui lo zero, i massimi e i minimi coincidono con la curva dell’ingresso, cioè si avrebbe la stessa forma d’onda moltiplicata per una costante (sensibilità statica). Quello che otteniamo con uno strumento reale invece è la curva 3, in cui, oltre alla costante che lo lega all’ingresso si denota anche un ritardo nella risposta. Come facciamo ora a costruire la funzione di trasferimento? Dalla funzione di Figura 11 determiniamo l’uscita:

( ) ( ) ( )ϕωωϕω +=+= tTFtyy 11010 coscos

per cui possiamo rappresentare su di un diagramma di Bode il valore del rapporto tra uscita e ingresso in corrispondenza di 1ω (Figura 12).

67

Figura 9-10 Per ottenere tutta la funzione di trasferimento dovremmo ripetere questa operazione per ω che va da zero ad infinito, che in scala logaritmica diventa Logω che va da meno a più infinito. In realtà si sceglie un intervallo di interesse, che dipende dall’utilizzo che dovremo fare di quello strumento, e quindi si ripete l’operazione, descritta per 1ω , per altri valori di frequenza e, congiungendo i punti

trovati, si traccia la funzione di trasferimento (Figura 11).

Figura 9-11 Siamo in grado ora, almeno qualitativamente, di dire se si tratta di uno strumento del primo, del secondo o di qualunque ordine42 senza necessariamente conoscere nulla sulle sue caratteristiche. Se verifichiamo che si tratta di uno strumento del primo ordine, possiamo determinare il valore della costante di tempo in un modo molto semplice: sappiamo che l’asintoto che ci da’ l’attenuazione del segnale al crescere della frequenza ha una pendenza di decdB20− e quindi, escludendo i primi

punti della funzione di trasferimento, facciamo una regressione lineare dei punti in cui si denota un’attenuazione e troviamo una retta che ha la pendenza dell’asintoto di cui sopra. Prolungando questa retta fino ad incontrare il tratto orizzontale della funzione di trasferimento, troviamo un punto la cui ascissa ci da’ proprio la pulsazione di taglio τω 10 = . Se invece lo strumento fosse

del secondo ordine, bisognerebbe considerare una pendenza di decdB40− , ma il procedimento

sarebbe lo stesso e permetterebbe di ottenere 0ω cioè la pulsazione naturale.

42 Questa procedura può essere applicata ad uno strumento qualsiasi.

68

In entrambi i casi, comunque, tracciato il modulo della funzione di trasferimento riusciamo ad ottenere il parametro caratteristico 0ω . Più complicato sarebbe la valutazione del fattore di

smorzamento. Si può ottenere un valore indicativo direttamente dal diagramma scendendo di dB3 dal massimo della curva (Figura 12) e valutando la cosiddetta “larghezza di banda” in quel punto. La ζ , infatti, ci dice quanto la curva sia più o meno aperta.

Figura 9-12 Possiamo concludere quindi che la taratura dinamica di uno strumento43, dato un ingresso di tipo armonico, non è altro che la costruzione punto per punto della funzione di trasferimento. Per costruire tale funzione abbiamo visto che è necessario un numero ben determinato di ingressi armonici con pulsazione diversa; come facciamo ad ottenere una variazione dell’ingresso di questo tipo? Consideriamo ancora di avere come ingresso la forza ( )tFF ωcos0= . Questa forza sarà

generata attraverso un eccitatore elettrodinamico e, variando la frequenza della corrente di eccitazione del magnete, otteniamo pulsazioni diverse della forza che ci servono per ottenere tutti i punti di taratura. La scelta della taratura con ingresso a gradino piuttosto che armonico dipende dalla grandezza che dobbiamo misurare, cioè dalla più o meno grande difficoltà di introdurre un ingresso sinusoidale o a gradino. Sarebbe, ad esempio, molto difficile fare una taratura con ingresso sinusoidale nella misura di temperature; l’unico modo sarebbe quello di alimentare una resistenza con una corrente alternata, ma l'inerzia termica della resistenza tenderebbe comunque a dare un valore medio di temperatura e impedirebbe la generazione di alte frequenze. D’altro canto invece si tende ad effettuare tarature con ingresso armonico su accelerometri o su trasduttori di spostamento in quanto è molto facile ottenere uno spostamento di tipo sinusoidale. È sufficiente, infatti, disporre di un eccentrico che ruotando origina proprio uno spostamento sinusoidale e, si può cambiare la pulsazione di tale spostamento, cambiando la velocità di rotazione.

43 Lo strumento può essere di qualsiasi ordine perché, come abbiamo detto, questo tipo di taratura è a prescindere da conoscenze pregresse sulle caratteristiche dello strumento.

69

10. Estensimetria La creazione degli estensimetri nasce dalla necessità di misurare le deformazioni, e quindi gli sforzi applicati che si generano su parti meccaniche durante il loro utilizzo, senza dover raggiungere i limiti di rottura del materiale. Gli estensimetri trovano applicazione in svariati campi, non solo nell’ingegneria meccanica. Sono molto utilizzati nell’ingegneria civile per investigare gli stress delle costruzioni. Anche in campo aeronautico si fa abbondante uso degli estensimetri, in quanto, oltre che a sondare gli sforzi applicati alle strutture, vi è la necessità di controllare le vibrazioni che generano problemi di resistenza a fatica. Vediamo quali sono le caratteristiche fondamentali di un estensimetro: la costante di taratura dell’estensimetro (che verrà definita più avanti) deve essere stabile e non variare nel tempo, per effetti termici o altri fattori ambientali. Deve misurare la deformazione locale, cioè lo spostamento tra due punti molto vicini, e non quella media. Deve avere una buona risposta in frequenza. Deve essere economicamente accessibile per permettere un largo impiego.

TIPI DI ESTENSIMETRI

Estensimetri meccanici ⇒ sono stati i primi ad essere sviluppati in ambito industriale, ma,

non avendo un accettabile rapporto tra livello di precisione e costi di realizzazione44, sono stati soppiantati da altri tipi. Un altro limite è costituito dal fatto che gli elementi meccanici presentano inevitabilmente inerzia e attriti che non consentono di fare misure di deformazioni dinamiche. Un esempio classico di estensimetro meccanico è rappresentato da un particolare utilizzo dell’LVDT. Attraverso questo strumento, infatti, possiamo determinare la deformazione rilevando la lunghezza a carico e a scarico di un elemento. Estensimetri ottici ⇒ sono strumenti che garantiscono elevate precisioni, ma, avendo

costi relativamente elevati, vengono utilizzati per lo più nei laboratori per la taratura di altri strumenti. Di questa categoria fanno parte gli estensimetri a leva ottica, fotoelastici e interferometrici. Estensimetri acustici ⇒ sono strumenti che sfruttano il principio della “corda vibrante”.

Una corda emette una vibrazione ad una determinata frequenza in funzione della tensione a cui è sottoposta. Gli estensimetri di questo tipo funzionano nel modo seguente: si vincola una corda all’oggetto di cui si vuole misurare la deformazione, e si valuta quest’ultima valutando le variazioni di frequenza della vibrazione emessa dalla corda stessa. Estensimetri a resistenza elettrica ⇒ il principio fisico su cui si basano gli estensimetri

elettrici è semplice: l’allungamento di un conduttore filiforme è proporzionale alla variazione della resistenza interna. Gli estensimetri sono quindi formati da griglie di conduttori filiformi, disposti tutti su di un supporto che viene incollato al materiale da testare. Quindi un allungamento del materiale provoca anche quello delle griglie dell’estensimetro. Per effettuare misurazioni attendibili vi è la necessità di costruire i conduttori che formano la griglia degli estensimetri con una resistenza elevata, per poterne misurare la variazione. Inoltre l’intero estensimetro deve avere dimensioni contenute per riuscire ad effettuare una misurazione locale della deformazione. La forma e le dimensioni di questi elementi variano notevolmente a seconda del tipo di impiego richiesto. Per la costruzione dei reticoli che compongono la griglia degli estensimetri moderni si utilizza la fotoincisione.

44 Gli elevati costi sono dovuti alla necessità di ottenere elevate precisioni con dimensioni molto contenute.

70

Questo tipo di estensimetri presenta un elevato numero di punti favorevoli che li rendono di gran lunga i preferiti e più diffusi. Innanzi tutto è possibile realizzarli di dimensioni notevolmente diverse (da qualche mm fino a decine di centimetri), sono poco sensibili a quasi tutte le grandezze di disturbo, si riesce ad ottenere un livello di precisione molto elevato, l’apparato di lettura di cui necessitano è molto semplice, e in ultimo, ma non meno importante, c’è il fatto che hanno dei costi molto contenuti. Tutti i paragrafi seguenti saranno dedicati alla descrizione di questo tipo di strumenti. LEGAME TRA DEFORMAZIONE E VARIAZIONE DI RESISTENZA

La resistenza elettrica R di un conduttore filiforme vale:

A

lR

ρ= (1)

dove ρ è la resistività elettrica del materiale (mΩ ) , l è la lunghezza del conduttore (m) e A è la

sua sezione trasversale (2m ). La variazione della resistenza relativa del conduttore sarà quindi:

A

A

l

l

R

R ∆−∆+∆=∆ρρ

(2)

dove ll∆ ci dà la deformazione ε (misurata in mmµ , ovvero mµ di deformazione per ogni

metro di materiale). Un allungamento di un materiale provoca anche una diminuzione del suo spessore, per cui, facendo ricorso al coefficiente di Poisson ν , che lega la deformazione trasversale a quella assiale e per estensimetri metallici vale circa 0.3, per un conduttore a sezione circolare si può anche scrivere la seguente relazione:

εν22 −=∆=∆D

D

A

A (3)

Sostituendo la (3) nella (2), si ricava la relazione fondamentale degli estensimetri:

( ) εεερ

ρεν Kd

d

R

R =++=∆21 (4)

dove ερ

ρν

d

dK

1)21( ++= . Siamo riusciti perciò a trovare una relazione lineare che lega

l’allungamento del pezzo con la variazione della resistenza interna dell’estensimetro. La (4) può essere comodamente rappresentata come una retta passante per l’origine e di pendenza

=K su di un piano uscita – ingresso45 (Figura 1).

45 L’uscita sarà la variazione relativa di resistenza, mentre l’ingresso è la deformazione.

71

Figura 10-1 K prende il nome di fattore di taratura dell’estensimetro o, se consideriamo la nomenclatura anglosassone, di gauge factor, da cui il simbolo fG che verrà usato nel seguito.

La variazione di resistività dovuta alla deformazione, “ ερρ dd ”, viene definita componente “piezoresistiva“ della sensibilità e per le leghe metalliche assume valori inferiori all’unità, pertanto il valore di Gf risulta nell’intervallo 1.7÷2.5. Nel caso di materiali come i semiconduttori il valore della componente piezoresistiva della sensibilità può variare tra 100 e 1000, diventando quindi la componente dominante, e permettendo di ottenere sensibilità di oltre un ordine di grandezza più elevate per gli estensimetri di questo tipo. Per contro tale termine risulta essere fortemente dipendente dalla temperatura, rendendo così problematico l’utilizzo generalizzato di tali estensimetri. EFFETTI DELLA TEMPERATURA SUGLI ESTENSIMETRI

La temperatura ha diversi effetti sugli estensimetri, il più evidente è legato alla variazione di resistività del materiale che costituisce la griglia. La resistività per i materiali metallici ha un andamento con la temperatura dato dalla relazione 5

( )( )00 1 tt −+= ραρρ (5)

t∆+= ραρρρ 00 (6)

dove 0ρ è la resistività del materiale alla temperatura di riferimento (200 C) ed è una costante del

materiale stesso. Sostituendo nella (1) la (6) otteniamo la (7).

tRRR ∆+= ρα00 (7)

Ora dobbiamo considerare anche il fatto che le variazioni rilevanti di temperatura influenzano anche l’allungamento dei conduttori dell’estensimetro e possiamo dare un andamento della deformazione dovuta proprio a questo fenomeno:

tl

lg ∆=

∆ α (8)

dove gα è il coefficiente di dilatazione termica del materiale del conduttore dell’estensimetro. A

questo punto, dobbiamo considerare che il materiale su cui l’estensimetro è applicato si dilaterà secondo una legge analoga alla (8) ma con αm

coefficiente di dilatazione del materiale

72

tl

lm∆=

∆ α ……………………………..(9)

Quindi la deformazione imposta sulla griglia risulterà dalla differenza tra la dilatazione del materiale su cui è incollata e quella che essa avrebbe in assenza di azioni esterne

tl

lgm ∆−=

∆= )( ααε (10)

La deformazione della (10) produrrà una variazione di resistenza che in base alla (4) varrà:

tGGR

Rgmff ∆−==∆)( ααε (11)

A questo punto, considerando la (7) e la (11), possiamo dare un andamento generale della variazione relativa di resistenza in funzione della temperatura:

( )[ ] ( )afef GtGR

R εεααα ρ +=∆−+=∆

(12)

dove si è posto ( ) tG e

fa ∆

−+= αα

αε ρ

, la aε è la deformazione apparente dovuta agli effetti

termici. E’ possibile effettuare una autocompensazione degli estensimetri facendo in modo che la differenza di coefficienti di dilatazione termica di materiale ed estensimetro compensi il termine

dovuto alla variazione di resistività ovvero 46. ( ) 0=

−+ e

fGαα

α ρ L’autocompensazione, oltre ad

essere legata ad un particolare materiale, ovvero valore del coefficiente di dilatazione è sempre parziale e comunque efficace in campi di temperatura ristretti attorno alla temperatura ambiente. La temperatura, oltre ad un effetto interferente, che abbiamo appena visto, ha anche un effetto modificante poiché cambia il valore della componente piezoresistiva del fattore di taratura.

( )tfd

d

d

dG f =++=

ερρ

ερρν21

[ ])24(1)24( ooff tGG −+= β

β prende il nome di fattore di sensibilità alla temperatura del fG .

SENSIBILITÀ TRASVERSALE

La relazione ingresso uscita per un estensimetro ideale, la (4) non tiene conto che una griglia di estensimetro ha dei tratti di conduttore disposti con asse perpendicolare all’asse griglia che costituiscono il collegamento tra i tratti “principali”. In figura 2, che rappresenta una conformazione tipica di griglia sono cerchiati tali tratti.

46 Ovviamente ciascun estensimetro autocompensato è necessariamente dedicato per un determinato materiale.

73

Figura 10-2 Per i tratti trasversali il ragionamento che ha portato a scrivere la relazione 4 può essere applicato quando sia presente una deformazione in senso trasversale all’asse griglia. Si può notare turravia che i tratti trasversali hanno piccola lunghezza ed elevata sezione trasversale quindi una resistenza elettrica piccola, di conseguenza anche le variazioni di resistenza dovute a deformazioni trasversali sono piccole e spesso trascurabili. Quando siano contemporaneamente presenti deformazioni lungo i due assi la relazione (4) diventa (4’):

)( ttf kGR

R εε +=∆ (4’)

Dove il parametro εt è la componente di deformazione in direzione trasversale all’asse griglia mentre kt viene definito “sensibilità trasversale” e tiene conto dell’effetto globale della deformazione trasversale. kt che idealmente dovrebbe essere zero assume normalmente valori inferiori a 1% e il fatto che sia ridotto è un indice di qualità dell’estensimetro. Caratteristiche Generali e Scelta di un Estensimetro Per la scelte degli estensimetri da utilizzare in una determinata prova bisogna fare accurate scelte riguardanti la griglia da utilizzare, il supporto, i terminali e l’adesivo. Per misurazioni fatte su materiali non omogenei e per deformazioni uniformi si utilizzano griglie con basi di misura lunghe, comprese tra 3 mm e 50 mm (un estensimetro con una base di misura di 50 mm può essere utilizzato per verificare la deformazione su di muro, tenendo presente che i materiali da costruzione edile sono poco omogenei), mentre, se si hanno forti gradienti di deformazione, ovvero se le deformazioni sul pezzo variano molto tra punti relativamente vicini, si utilizzano griglie con base di misura corta, compresa tra 0.2 mm e 3 mm. I materiali con cui sono costruite le griglie degli estensimetri sono leghe Cu - Ni, chiamate anche costantane che hanno un fattore di taratura 5.22 ÷=K e un coefficiente di temperatura

1051021 −−⋅÷= Cβ . Altri materiali utilizzati sono le leghe Ni – Cr che hanno un fattore di taratura circa doppio, e quindi generano segnali di lettura più forti, ma hanno anche un coefficiente di temperatura più elevato di uno o due ordini di grandezza, risultando quindi più sensibili alle variazioni di temperatura. Generalmente per l’analisi delle sollecitazioni di materiali metallici si utilizzano estensimetri con una resistenza elettrica pari a Ω120 , mentre per la costruzione dei trasduttori si usano resistenze di

Ω350 . Per usi più specifici esistono estensimetri con resistenze di Ω1000 .

Per effettuare buone misurazioni anche il supporto su cui è stampata la griglia dell’estensimetro deve avere caratteristiche specifiche. Il supporto deve essere sottile per non falsare la misura in caso di flessione, inoltre deve resistere alla temperatura per tutta la durata della prova e deve permettere un agevole incollaggio al materiale della struttura da testare. I materiali che vengono utilizzati per la realizzazione dei supporti sono resine acriliche, con temperature di utilizzo tra –40 0C e +60 0C, resine fenoliche (-40 0C ÷ +160 0C), resine epossidiche (-40 0C ÷ +140 0C), resine poli-immidiche (-200 0C ÷ +200 0C), resine vetro – fenoliche (-230 0C ÷ +310 0C), resine epossifenoliche (-20 0C ÷ +200 0C), piastrine metalliche (fino a 500 0C per prove statiche e fino a 800 0C per prove dinamiche, se saldate per punti).

74

Per applicare gli estensimetri al materiale, per prove a breve durata, si utilizzano adesivi a presa rapida (ad esempio i cianoacrilici); per prove a lunga durata o a temperature di esercizio severe, invece, si utilizzano adesivi a trattamento termico (fenolici, epossidici, ceramici)

MISURAZIONE ATTRAVERSO IL PONTE DI WHEATSTONE

Come abbiamo visto, si ricerca la variazione della resistenza interna degli estensimetri, per la determinazione delle deformazioni. Tale variazione è proporzionale alla deformazione con un fattore di proporzionalità che è definito dal fattore di taratura fG .

Figura 10-3 La misurazione della variazione di resistenza interna degli estensimetri viene effettuata utilizzando dei circuiti elettrici chiamati Ponti di Wheatstone. il Ponte di Wheatstone (Figura 3) è formato da un sistema di alimentazione a corrente alternata o continua e da un voltmetro che è disposto in modo da rilevare lo sbilanciamento tra i due rami del ponte. Infatti se vi è una variazione della resistenza di uno dei quattro estensimetri si ha lo sbilanciamento di uno dei due rami del ponte, e quindi si ha il passaggio di corrente attraverso il voltmetro. La relazione (13) è la relazione che caratterizza il ponte:

∆−

∆+

∆−

∆=

4

4

3

3

2

2

1

1

4 R

R

R

R

R

R

R

RVKE (13)

che può anche essere scritta nel modo seguente:

( )44 4321

TVKVKE

εεεεε =−+−= (14)

dove V è la tensione di alimentazione del ponte (Volt), K è il fattore di taratura, Tε è la

deformazione totale rilevata dal segnale elettrico ed E è la tensione misurata dal voltmetro del ponte. È’ importante notare che le deformazioni corrispondenti ad estensimetri su lati adiacenti del ponte si sottraggono, mentre quelle su lati opposti si sommano. Spesso nelle misure non si utilizza un ponte di Wheatstone completo, ma circuiti a quarto di ponte o a mezzo ponte. Nei circuiti a quarto di ponte solo una delle resistenze del ponte è data da quella interna dell’estensimetro (quindi variabile), mentre le altre tre resistenze che completano il ponte sono costanti. Nei circuiti a mezzo ponte, invece, si hanno due resistenze date dagli estensimetri e due resistenze fisse. La scelta del tipo di ponte da utilizzare è condizionata dalla natura della sollecitazione che interessa il materiale di prova e dal tipo di misurazione che si vuole effettuare. Come già abbiamo accennato, i

75

collegamenti che vengono impiegati per la costruzione dei ponti devono compensare la deformazione termica apparente, devono depurare la misura dagli effetti di deformazioni indesiderate47, ed inoltre innalzare il segnale misurato. Nei collegamenti a quarto di ponte si ha solo la variazione di una delle resistenze che formano il quadrilatero del ponte (quella dell’estensimetro), quindi si ha una sola ε , e perciò:

441 Tff VGVG

Eεε

== (15)

dove aT εεε += , in cui ε è la deformazione dovuta alla tensione meccanica e aε è la

deformazione apparente. Il collegamento a quarto di ponte può essere utilizzato per determinare le deformazioni provocate da sollecitazioni di trazione, flessione o torsione, ma in tutti i casi la deformazione misurata è contaminata dalla deformazione apparente, quindi in questa configurazione il ponte non è compensato in temperatura. Per la misurazione della deformazione massima, l’estensimetro va disposto sulla superficie del pezzo lungo la direzione della tensione massima. Tale direzione è una delle direzioni principale di deformazione. Per qualsiasi tipo di sollecitazione, in un solido a tre dimensioni, esistono sempre tre direzioni principali, ortogonali fra loro, lungo le quali vi sono le tensioni massime e minime. Nel caso della ricerca di sollecitazioni su un piano (è il caso proprio della misura con estensimetri), invece, le direzioni principali saranno due sempre mutuamente ortogonali. Per geometrie e carichi applicati semplici, risultano facilmente determinabili le direzioni principali di sollecitazione, mentre per geometrie o per carichi complessi, bisogna effettuare un’analisi tramite misura delle deformazioni lungo tre direzioni per determinare le direzioni principali, e quindi trovare la direzione lungo la quale vi è la tensione massima. Utilizzando un circuito a mezzo ponte vi è la possibilità di eliminare la deformazione apparente dalla misurazione, usando uno dei due estensimetri come compensatore (Figura 4).

Figura 10-4 L’estensimetro applicato alla faccia superiore del pezzo (estensimetro 1) misura la deformazione massima generata sulla superficie del pezzo dal carico flettente, mentre l’estensimetro compensatore (estensimetro 2), applicato sulla faccia laterale, rileva solo la deformazione apparente, in quanto sulla faccia del pezzo su cui è applicato (nella direzione della griglia dell’estensimetro) non vi sono deformazioni reali. Quindi il ponte rileverà una tensione:

47 Possiamo, ad esempio, considerare la deformazione della griglia secondo direzioni diverse da quella principale di deformazione.

76

( )43214εεεε −+−= fVG

E (16)

dove le deformazioni 3ε ed 4ε sono nulle, in quanto non sono date da estensimetri, ma al loro

posto, per completare il ponte, vi sono resistenze costanti. La deformazione 1ε sarà invece data

dalla somma della deformazione meccanica più quella apparente, mentre la 2ε sarà data solo dalle

deformazione apparente. Riassumendo il tutto nella (17) abbiamo:

εεεεεε4

)(4

)(4 21

VGVGVGE

f

aa

ff =−+=−= (17)

in questo caso abbiamo che il ponte rileva solo la deformazione reale e risulta quindi compensato. Con il circuito a mezzo ponte si può utilizzare una disposizione degli estensimetri che realizza sia compensazione termica che un aumento della sensibilità (Figura 5).

Figura 10-5 Applicando entrambi gli estensimetri sulle due facce del pezzo, lungo la direzione delle tensioni massime a trazione e a compressione, si ha anche il secondo estensimetro sottoposto a deformazione. Tale tensione risulta uguale in modulo, ma opposta in segno rispetto alla tensione massima a trazione, rilevata dal primo estensimetro. La deformazione totale che otteniamo con questo sistema di misurazione è la seguente:

( ) εεεεεεε 24

][4

)(4 21

f

aa

ff VGVGVGE =+−−+=−= (18)

dalla (18) si nota come il ponte rilevi un segnale amplificato (doppio) che risulta più facilmente misurabile. Un’ulteriore disposizione degli estensimetri, con il circuito a mezzo ponte, permette di effettuare compensazione termica nel caso di misura di sforzo normale (Figura 6), applicando entrambi gli estensimetri sulla stessa faccia del pezzo.

77

Figura 10-6 la deformazione trasversale si può ricavare da quella principale utilizzando il coefficiente di Poisson; avremo quindi che maxνεε −=trasv , e lo sbilanciamento rilevata dal ponte sarà:

( ) ( )ενενεεεεε +=+−−+=−= 14

][4

)(4 21

f

aa

ff VGVGVGE (19)

anche in questo caso il segnale misurato risulta amplificato. Se si utilizza un circuito di misura a ponte intero, cioè con quattro estensimetri, per misura di momento flettente, questi ultimi si possono disporre sulle due facce del pezzo, lungo le direzione delle tensioni massime a trazione e a compressione (Figura 7), in modo da compensare il ponte e amplificare il segnale d’uscita.

Figura 10-7 Il ponte genera il seguente sbilanciamento totale:

( ) ( ) εεεεεεεεε faa

ffVG

VGVGE =+−−+=−+−= ]22[

4)(

4 4321 (20)

in questo caso il segnale misurato risulta notevolmente amplificato. Un’altra disposizione a ponte intero si ottiene applicando quattro estensimetri nel caso di misura di sforzo di trazione, facciamo riferimento alla Figura 8.

78

Figura 10-8 In questo modo si somma la deformazione principale a quella trasversale, sempre realizzando un ponte compensato termicamente. La deformazione totale rilevata sarà:

( ) ( ) ( )ενενεεεεεεε +=+−−+=−+−= 12

]22[4

)(4 4321

f

aa

ff VGVGVGE (21)

come si vede dalla (21), anche in questa configurazione il ponte risulta compensato, ed il segnale amplificato. EFFETTO DEI CAVI LUNGHI

Il circuito do alimentazione del ponte può essere a corrente alternata o continua. Se si utilizza la corrente continua, bisogna considerare l’effetto termoelettrico nelle giunzioni tra cavi e griglia degli estensimetri che può falsare la misura e provocare una maggiore “deriva dello zero”. L’alimentazione a corrente continua risulta preferibile nel caso di sollecitazione dinamica, mentre quella a corrente alternata veniva normalmente utilizzata per misure statiche, al fine di evitare i problemi di deriva dello zero caratteristici degli amplificatori DC/DC. La potenza di alimentazione del circuito non deve essere eccessiva, in quanto, ovviamente, può provocare il riscaldamento dell’estensimetro per effetto Joule. I valori di alimentazione consigliati sono di

2310168 mmW−⋅÷ per l’alluminio e il rame a forte spessore, di 231083 mmW−⋅÷ per

l’acciaio a forte spessore, e di 231035.1 mmW−⋅÷ per l’alluminio e il rame a piccolo spessore.

Un altro importante fattore da considerare nella costruzione dei circuiti di misurazione è l’effetto dei cavi lunghi. Le resistenze elettriche interne dei cavi sui lati del ponte provocano variazioni della temperatura dei cavi stessi, generando una deformazione termica apparente che falsa la misurazione dello strumento e provoca un’attenuazione del segnale. Per l’eliminazione della deformazione apparente dovuta ai cavi lunghi si utilizzano collegamenti a quarto di ponte e a mezzo ponte con tre fili e collegamenti a ponte intero con quattro fili48. Consideriamo la Figura 9.

48 In tutti questi casi si riesce ad eliminare il problema della deformazione apparente, ma non quello relativo all’attenuazione del segnale.

79

Figura 10-9 Se si realizza il ponte di Wheatstone con collegamento a quarto di ponte e soli due cavi lunghi, si provoca uno sfalsamento della misurazione per effetto delle derive termiche dei cavi. Nel collegamento con tre cavi lunghi (Figura 10) si ottiene la compensazione delle derive termiche dei cavi esterni, mentre nel cavo centrale che raggiunge lo strumento di misura non si hanno perdite rilevabili in quanto il voltmetro ha una impedenza elevata e quindi non consente il passaggio di corrente, non provocando così perdite termiche per effetto Joule.

Figura 10-10 anche con il collegamento a mezzo ponte con tre cavi lunghi si ottiene la reciproca compensazione delle resistenze apparenti dei cavi ai lati del ponte e il cavo centrale non produce deriva termica per gli stessi motivi del collegamento a quarto di ponte. Abbiamo detto che, se da un lato riusciamo ad eliminare gli effetti termici, dall’altro non possiamo evitare un ‘attenuazione del segnale dovuta alla presenza di cavi lunghi. In particolare, per circuiti a tre cavi lunghi, sia ad un quarto di ponte che a mezzo ponte, la misurazione va corretta tenendo conto della (22).

( ) RRR cavoTT +′= εε (22)

dove Tε è la deformazione effettiva, Tε ′ è la deformazione misurata dallo strumento, R è la

resistenza dell’estensimetro e Rcavo è la resistenza del cavo. Le deformazioni apparenti dovute ai cavi lunghi in una disposizione a ponte intero, sono compensate, permane l’effetto modificante per correggere il quale si può sfruttare un collegamento a sei fili al ponte . In questo caso la variazione di sensibilità è dovuta al fatto che la tensione effettiva di alimentazione del ponte risulta inferiore per effetto della caduta di tensione sui cavi collegano il ponte all’alimentatore, l’aggiunta di due cavi addizionali permette di misurare l’effettiva tensione applicata al ponte invece di quella al generatore. Nel caso in cui non si usi il collegamento a sei fili la deformazione letta deve essere corretta tramite la (23).

( ) RRR cavoTT 2+′= εε (23)

80

ROSETTE ESTENSIMETRICHE

Come abbiamo visto, la scelta dell’estensimetro da utilizzare per effettuare una misurazione verrà condizionata da molti fattori. Bisognerà effettuare scelte oculate per ottenere risultati significativi e veritieri. Oltre alla dimensione della griglia, al tipo di supporto, di adesivo e di terminali da utilizzare, sarà di fondamentale importanza la scelta del tipo di griglia dell’estensimetro. Ve ne sono alcuni, infatti, dotati di una sola (determinano la deformazione lungo la direzione della griglia), altri dotati di due, tre o più griglie. Gli estensimetri a tre griglie vengono chiamati rosette, e permettono di ricavare la deformazione su tre assi distinti. Questi estensimetri vengono usati nei casi in cui non si può determinare a priori la direzione delle due tensioni principali49. Infatti, se fossero note tali direzioni, per effettuare l’analisi delle deformazioni del pezzo, basterebbe applicare l’estensimetro, o gli estensimetri, lungo le direzioni principali, in quanto lungo tali direzioni si hanno le deformazioni massime e minime. Le direzioni principali sono facilmente determinabili in casi in cui si hanno geometrie e configurazioni di carico semplici . Per casi più complessi generalmente non si possono determinare a priori le direzioni principali. È proprio in questi casi che si ricorre all’utilizzo di rosette; queste rosette solitamente si trovano con griglie disposte a 00/450/900oppure a 00/600/1200 e quindi riescono a fornire tre deformazioni in tre diverse direzioni dalle quali si ricava la direzione delle tensioni principali.

49 Tali direzioni sono sempre ortogonali tra loro.

81

11. Misure di temperatura L’unità di misura della temperatura, il kelvin, simbolo K, è definita tramite la definizione di temperatura termodinamica e assegnando al punto triplo dell’acqua il valore di 273.16 K. Per la definizione della scala di temperatura lo strumento cui si fa riferimento è basato sulla legge dei gas perfetti ed è un termometro a pressione di gas. Fissato il volume, infatti, utilizzando la relazione dei gas perfetti si ha:

00

00 P

PTTquindi

T

T

P

P==

Ovvero se P0 è la pressione del gas a T0=273.16 K la temperatura in un’altra condizione si ottiene dalla misura della pressione P. Tramite i termometri a pressione sono stati determinati i valori di temperatura dei punti fissi della scala internazionale pratica di temperatura, ITS90, alcuni sono riportati nella tabella seguente.

T [K] T [°C] Elemento Transizione 13.8033 -259.3467 H2 P.TRIPLO 24.5561 -248.5939 Ne P.TRIPLO 54.3584 -218.7916 O2 P.TRIPLO 83.8058 -189.3442 Ar P.TRIPLO 234.3156 -38.8344 Hg P.TRIPLO 273.16 0.01 H20 P.TRIPLO 302.9146 29.7646 Ga P. LIQUEFAZIONE 429.7485 156.5985 In P.SOLIDIFICAZIONE 505.078 231.928 Sn P.SOLIDIFICAZIONE 692.677 419.527 Zn P.SOLIDIFICAZIONE 933.473 660.323 Al P.SOLIDIFICAZIONE 1234.93 961.78 Ag P.SOLIDIFICAZIONE 1337.33 1064.18 Au P.SOLIDIFICAZIONE 1357.77 1084.62 Cu P.SOLIDIFICAZIONE

Come strumenti di riferimento la ITS90 prevede tra 13.8 K e 1234.93 K (il punto di fusione dell’argento) l’utilizzo del termometro a resistenza al platino, per temperature superiori un pirometro e per temperature inferiori ancora il termometro a pressione di gas. TERMOMETRI A RESISTENZA

I termometri a resistenza sfruttano la variazione di resistività elettrica con la temperatura caratteristica di molti materiali. In prima approssimazione la variazione con la temperatura viene ritenuta costante ed è ben nota la relazione utilizzata:

)1(0 tαρρ +=

Dove ρ0 è la resistività a 0 °C e t la temperatura in gradi celsius. In realtà i materiali hanno comportamenti non lineari con la temperatura e l’approssimazione lineare è valida solo in campi limitati, secondo l’errore che si ritiene accettabile. Tra i materiali impiegati vi sono ad esempio il nichel, il rame, il platino. Nel confronto di sensibilità il nichel manifesta la sensibilità più alta quindi vengono il rame da ultimo il platino. In virtù della migliore linearità tuttavia il platino è il materiale di gran lunga più utilizzato. In ambito industriale i termometri a resistenza al platino sono largamente utilizzati pertanto sono stati oggetto di standardizzazione da parte di vari enti normatori. In ambito europeo la standard utilizzato è quello che corrisponde alla norma IEC751, recepita con la EN60751. Tale normativa definisce le caratteristiche che una termoresistenza al platino deve avere per essere dichiarata conforme. In particolare vengono definiti il polinomio che lega il valore di resistenza elettrica alla temperatura e che è dato da:

82

R=Ro(1+At+Bt2) per temperature comprese tra 0 e 850 °C R=Ro[1+At+Bt2+C(t-100)t3] per temperature tra –200 e 0 °C I coefficienti A, C,B valgono rispettivamente: A=3.9083·10-3 °C-1, B=-5.775·10-7 °C-2, C=-4.183·10-12 °C-4. R0 è la resistenza a 0°C e assume comunemente il valore di 100 Ω anche se valori diversi (10, 20, 1000 Ω) sono talvolta realizzati. Viene inoltre definito il coefficiente α come α=(R100-R0)/(100R0) e dovrebbe valere 0.00385 per termometri per i quali valgono le relazioni temperatura resistenza scritte sopra. Per i sensori conformi alla norma sono previste due classi di precisione, cui corrispondono due diversi valori dell’errore massimo consentito (da verificare in taratura). Classe A: e=0.15+0.002|t| Classe B: e=0.3+0.005|t| dove t è la temperatura misurata in °C. Per la classe A il campo in cui deve essere soddisfatta la condizione di errore è limitato superiormente a 650°C. La designazione di un termometro assume la forma: Pt R0/Classe quindi ad esempio Pt 100/A, viene a volte aggiunto (anche se non previsto dalla norma) il valore 0.385 a ricordare il valore di α. CIRCUITI DI LETTURA

Per la lettura si impiegano talvolta i circuiti ponte di wheatstone già visti per le misure estensimetriche. L’impiego di tali circuiti è tuttavia limitato in quanto viste le rilevanti variazioni di resistenza che si hanno con questi trasduttori (oltre il 100%), a differenza di quanto avviene con gli estensimetri (circa 0.1%), che fa sì che la relazione lineare tra sbilanciamento e variazione di resistenza non sia più applicabile. Il più semplice circuito di misura utilizzato è quello potenziometrico del tipo di quello in figura. Figura 11-1 Circuito potenziometrico per lettura di termometro a resistenza al platino.

Con riferimento al circuito di figura 1 la resistenza R del termometro viene semplicemente ottenuta dal rapporto R=V/I. La corrente del generatore, I è normalmente di 1-2 mA con Pt100, il valore viene mantenuto basso per evitare riscaldamento del sensore per effetto Joule che porterebbe a un errore nella misura. Un circuite reale deve però considerare il fatto che i fili che collegano il sensore alla parte di lettura (cioè l’insieme generatore di corrente e voltmetro) hanno una resistenza non nulla ed essa stessa variabile per effetto di variazioni di temperatura. Figura 11-2 Circuito di misura reale includendo la resistenza dei cavi di collegamento.

V R I

I V

Rc

Rc

R

83

In questo caso il rapporto V/I non fornisce il valore di R in quanto in serie vi sono le resistenze dei cavi di collegamento quindi V/I=R+2Rc Per misurare correttamente R, il parametro necessario per ricavare la temperatura, bisognerebbe correggere la misura per il termine 2Rc. Qualora Rc fosse costante la correzione potrebbe essere applicata sistematicamente, ad esempio misurando Rc prima del collegamento dei fili al sensore, così tuttavia non è perchè anche Rc varierà al variare della temperatura dei fili. Una configurazione che permette la correzione è la cosiddetta misura a tre fili che si effettua secondo lo schema seguente:

Figura 11-3 Circuito di misura a tre fili. La misura di R viene fatta utilizzando due letture di V, una prima volta con il deviatore in posizione 1 e quindi in posizione 2. La tensione con il deviatore in posizione 1 vale come nel caso precedente a 2 fili: V1=(R+2Rc)I Con il deviatore in posizione 2 si leggerà invece: V2=(R+Rc)I Infatti sul conduttore di resistenza Rc che arriva al terminale 2 circola una corrente trascurabile in quanto in serie si trova il voltmetro che idealmente non fa circolare corrente al suo interno e che nella realtà ha un’impedenza interna di almeno qualche MΩ. Pertanto Rc=(V1-V2)/I e da questo si può determinare R=V2/I-(V1-V2)/I=(2V2-V1)/I La misura in questo caso impone di effettuare due diverse misure di tensione e la correzione è basata sull’ipotesi che le resistenze dei tre cavi siano uguali, (ragionevole visto che i tre conduttori avranno la stessa lunghezza e sezione e correndo vicini tra loro anche la temperature molto vicine) tutto ciò introduce delle componenti di incertezza. La configurazione di misura che garantisce la migliore accuratezza è quella a quattro fili che corrisponde allo schema di Figura 11-4. L’unico svantaggio rispetto allo schema a tre fili è rappresentato dal maggior costo dovuto all’utilizzo di un filo ulteriore, qui però la resistenza R si ottiene direttamente da: R=V/I E non si devono introdurre ipotesi riguardo le resistenze dei cavi che possono anche avere resistenze diverse.

V I

Rc

Rc

R

1

2

Rc

84

Figura 11-4 Circuito di misura a quattro fili A completamento di quanto detto riguardo la designazione dei termometri al platino, si deve dire che in base alla norma se un termometro presenta un collegamento a due fili non gli può essere applicata la classe di precisione A e che il tipo di collegamento e il campo di temperatura di utilizzo possono essere indicati nella designazione es: Pt100/A/3/-50/+400 indica un termometro a resistenza al platino con resistenza a 0°C pari a 100 Ω, di classe di precisione A, con collegamento a tre fili, per quale la conformità alla norma è garantita nel campo .-50÷400°C. TERMOCOPPIE

Le termocoppie permettono di effettuare misure di temperatura sfruttando l’effetto termoelettrico chiamato “effetto Seebeck”. In base a tale effetto se un circuito elettrico è realizzato con due materiali diversi A e B e le giunzioni tra i due materiali sono mantenute a temperature diverse T1, T2, si genera, a circuito aperto, una forza elettromotrice che è proporzionale alla differenza tra le temperature T1 e T2. Dato questo effetto la misura di temperatura con una termocoppia può essere effettuata misurando la tensione V, e mantenendo un giunto a temperatura nota, V in questo caso

risulta dipendere solo dalla temperatura dell’altro giunto. L’effetto Seebeck non è l’unico effetto termoelettrico presente sulle termocoppie. Nel caso in cui circoli corrente in una termocoppia si genera l’effetto Peltier. In base all’effetto Peltier vi è uno scambio di calore tra i due giunti che è proporzionale alla corrente che circola. Il fatto interessante è che se la corrente circola nel verso indotto da V si ha passaggio di calore dal giunto caldo a quello freddo (e conversione di energia termica in elettrica). Se invece la corrente viene forzata, tramite un generatore di tensione esterno, a circolare in verso opposto rispetto a quello spontaneo si ha passaggio di calore dal giunto freddo a quello caldo (e conversione di energia elettrica in termica). Sfruttando questo effetto vengono quindi realizzate le pompe di calore comunemente denominate celle Peltier. Nel caso delle termocoppie per misura di temperatura qualsiasi scambio di calore tra i giunti porterebbe ad una alterazione della misura quindi per ridurre l’effetto Peltier si mantengono le

I

Rc

Rc

R

Rc

Rc

V

A A

B

T1 T2

V

85

correnti sul circuito prossime a zero, utilizzando voltmetri per la misura di V che tipicamente hanno impedenze almeno superiori a qualche MΩ. Un ulteriore effetto termoelettrico è l’effetto Thomson, in base a tale effetto nei tratti di conduttore in cui si ha un gradiente di temperatura positivo in direzione della corrente vi è trasformazione di energia termica in elettrica e il conduttore assorbe quindi calore dall’ambiente, il fenomeno opposto si verifica se il gradiente è negativo nella direzione della corrente. Anche tale effetto viene ridotto se la corrente circolante tende a valori nulli. Nella realizzazione dei termometri a termocoppia si sfruttano 5 proprietà che consentono di effettuare le misure in ambienti generali e valutare gli errori che si possono commettere nei circuiti che includono connessioni elettriche, strumenti di misura.

1) L’inserzione di un materiale “C”, diverso da quelli della coppia A,B, non altera il valore

della forza elettromotrice se i punti di giunzione così creati sono isotermi ovvero, con

riferimento alla figura seguente V1=V se T3=T4

Figura 11-5 2) Corrisponde alla proprietà 1 solo con il materiale C interpostro tra A e B in una delle

giunzioni. Non varia la tensione V se la giunzione è isoterma.

3) La temperatura assunta dai due conduttori al di fuori delle giunzioni non influenza la forza

elettromotrice indotta. Con riferimento alla figura 6 V1= V qualunque sia il valore della T3.

Questa proprietà permette di avere fili di collegamento di lunghezza qualsiasi e che seguono

percorsi diversi senza curarsi che variazioni di temperatura degli stessi possano produrre

errori di misura.

Figura 11-6

A A

B

T1 T2

VVV =

A A

B

T1 T2

V1

T3 T4 T

C

A A

B

T1 T2

V A A

B

T1 T2

V1

T3

86

4) La tensione generata da una coppia di materiali può essere ottenuta quando sia nota quella

di ogni singolo materiale rispetto ad un terzo.

Figura 11-7 5) Vale la sovrapposizione delle forze elettromotrici con intervalli di temperatura del giunto

contigui. La situazione è schematizzata in figura 8.

Figura 11-8

A A

B

T1 T2

V C A

B

T1 T2

V1

A A

C

T1 T2

V3=V-V1

T2

A A

B

T1 T2

V C A

B

T3

V1

A A

C

T1 T3

V3=V+V1

87

TERMOCOPPIE AD USO INDUSTRIALE

Le termocoppie per misure industriali sono standardizzate dalla norma IEC 60584 che prevede i materiali delle coppie che vengono codificate con una lettera. In tabella alcune termocoppie

Materiali Codice Campo di temperatura

[°C] Rame/Constantana T -200÷350

Platino/Platino-10% Radio S 0÷1600 Platino/Platino-13% Radio R 0÷1600

Chromel/Alumel K -200÷1200 Ferro/Constantana J -40÷750

Chromel/Constantana E -200÷900 Tabella 2. Codifica di comuni termocoppie

I tipi più utilizzati sono la K ,T ,J la prima in particolare può essere utilizzata fino ad oltre 1200 °C per la buona resistenza all’ossidazione mentre le altre sono particolarmente economiche. Un termometro a termocoppia ha bisogno di realizzare al suo interno il giunto di riferimento che nella misura in laboratorio viene ottenuto con un bagno a ghiaccio fondente, corrispondente allo 0°C. I termometri industriali operano con due principi diversi ovvero la stabilizzazione del giunto o la misura e correzione. Nella stabilizzazione il giunto viene mantenuto a temperatura superiore a quella ambiente tramite, controllata tramite un circuito che alimenta riscaldatori elettrici. Nel caso della compensazione della temperatura un termometro misura la temperatura del giunto interno in parallelo alla FEM della termocoppia e viene operata la compensazione per le temperatura del giunto interno al fine di ottenere la temperatura del giunto di misura.

12. Trasduttori di spostamento relativo

In questo paragrafo descriveremo il funzionamento dei trasduttori per misure di lunghezza e spostamento che, servendo come base per il funzionamento di numerosi altri trasduttori, rivestono un ruolo di particolare importanza. POTENZIOMETRI (TRASDUTTORI RESISTIVI)

Un potenziometro resistivo consiste fondamentalmente in un resistore munito di un contatto mobile. Il contatto mobile si sposta sulla resistenza ed è solidale con la parte di cui si vuol conoscere lo spostamento, come visibile in Errore. L'origine riferimento non è stata trovata.. In base alla variazione della resistenza elettrica si può quindi risalire allo spostamento. Il contatto può essere traslante, per le misure di spostamento rettilineo, rotante per le misure di spostamento angolare, o roto-traslante.

Figura 12-1: Schema di un potenziometro resistivo ideale. I dispositivi traslanti consentono misure che vanno da qualche millimetro a circa 0,5 m mentre i dispositivi rotanti permettono di misurare quantità fra 10 gradi e 60 rivoluzioni. Il resistore può essere eccitato con corrente continua o alternata; la tensione d’uscita è idealmente funzione lineare dello spostamento. Qualora la resistenza dipenda linearmente dalla traslazione o dal movimento angolare della parte mobile, la tensione in uscita duplicherà fedelmente l’ingresso. La situazione reale, per contro, prevede effetti di carico dovuti alla presenza di un circuito di misura della tensione stessa. La relazione che regola il funzionamento del circuito potenziometrico considerando anche la resistenza interna del misuratore è la seguente:

)/1)(/()//(1

1

00 LxRRLxe

e

mpal

u

−+=

Dove con xi è indicata la misura da effettuare mentre con L0 la massima misura effettuabile, Rp è la resistenza del potenziometro mentre Rm è la resistenza del Voltmetro utilizzato per effettuare la misura. Se il valore di Rp/Rm è sufficientemente contenuto (es Rp<0.001 Rm), l’errore causato dagli effetti di carico si può ritenere trascurabile. Questo requisito tuttavia è in contrasto con i requisiti di una buona sensibilità. La sensibilità vale e0/L0, fissata la corsa quindi un aumento di sensibilità si può ottenere solo aumentando la tensione di alimentazione del potenziometro. Tuttavia la tensione di alimentazione non può essere aumentata oltre un certo limite a causa delle dissipazioni per effetto Joule. Il limite nella tensione di alimentazione è quindi fornito dalla massima potenza termica dissipabile.

pPRe =0max

Il valore di Rp quindi deve essere più elevato possibile, ma ciò è in contrasto con quanto visto prima sulla linearità. Il valore di Rp deve essere scelto in modo da avere una buona sensibilità ed effetti di carico contenuti. Tenuto conto che comunque normalmente non si vogliono utiilzzare tensioni di alimentazioni superiori a circa 50 V si ha che i trasduttori di spostamento a potenziometro normalmente in commercio hanno valori di resistenza Rp nel campo 500 Ω÷500 kΩ. Nel caso vi fossero problemi di linearità dovuti all’effetto di inserzione del voltmetro è utile notare che l’inserimento di resistenze di shunt nel circuito di misura permette di migliorare la linearità del trasduttore senza variare Rm. Per ciò che riguarda la costruzione di questi tipi di trasduttori, il metodo più intuitivo sarebbe quello di un singolo conduttore lineare ottenendo la resistenza voluta tramite la scelta della sezione trasversale. Tale tecnica costruttiva è limitata dalla sezione minima che si riesce a realizzare, legata alla robustezza della costruzione, e la linearità dello strumento dipende fortemente dalla uniformità del materiale con cui il filo è costruito. Per ottenere resistenze sufficientemente elevate senza ridurre la sezione oltre i limiti tecnologicamente possibili, il filo può essere avvolto attorno ad un isolante per aumentarne la lunghezza a parità di corsa del potenziometro. Tuttavia, utilizzando il filo avvolto, l’uscita non è lineare con lo spostamento ma a “gradini” come indicato in Figura 12-2.

Figura 12-2: Funzionamento del potenziometro resistivo a filo avvolto.

La risoluzione dello strumento dipende quindi dalla spaziatura fra una spira e la successiva; il limite di risoluzione è dato quindi dal numero di avvolgimenti per unità di lunghezza che a sua volta dipende direttamente dal diametro del filo. La risoluzione limite è attualmente circa 200 avvolgimenti per mm. Una soluzione costruttiva diversa utilizza un conduttore ad elevata resistività in modo da non richiedere lunghezze elevate del conduttore per ottenere i valori di resistenza totale voluti. Si utilizzano allo scopo due soluzioni, partendo da una matrice in materiale isolante, generalmente polimerica o ceramica, si ottiene una parziale conducibilità tramite aggiunta di polvere di grafite. I potenziometri così realizzati vengono denominati “a strato” ovvero “a film” perché la parte conduttiva viene ottenuta come una pellicola su una superficie del supporto che è realizzato con la matrice senza carica conduttiva. La risoluzione dei potenziometri a film teoricamente infinita non praticamente tale perchè si hanno variazioni discrete della resistenza in presenza di spostamenti continui, tuttavia è difficilmente valutabile e con caratteristiche casuali perchè dipende da vari fattori come la resistenza del contatto strisciante, la modalità di realizzazione dello strato conduttivo, la granulometria della carica conduttiva. Viene quindi fornito un valore di accuratezza o di linearità o di “equivalente risoluzione”, indicato normalmente come percentuale del valore di fondoscala. Una soluzione che mantiene i vantaggi delle due tipologie è rappresentata dai potenziometri ibridi, che abbinano un film conduttivo sovrapposto al tradizionale filo avvolto, tuttavia sono penalizzati dal costo elevato. Il rumore nelle misure potenziometriche è imputabile ad elementi spuri sull’uscita che possono essere dovuti a cause meccaniche o elettriche.

Il contatto fra tastatore e resistenza è garantito da una molla, possono sorgere problemi qualora la velocità di traslazione della slitta sia tale da generare per effetto delle irregolarità della pista delle forze con pulsazioni prossime alle pulsazioni proprie del sistema. Utilizzando due tastatori con leve di differente lunghezza le rigidezze e quindi le frequenze proprie dei due contatti risulteranno diverse e non potendosi avere la contemporanea risonanza dei due contatti il collegamento elettrico sarà garantito a qualsiasi frequenza di funzionamento. Per quanto concerne le caratteristiche dinamiche dei potenziometri, essi sono assimilabili a strumenti di ordine 0 entro il loro campo di utilizzo. Devono tuttavia essere considerate le perdite dovute all’attrito e quelle dovute all’inerzia delle parti mobili del potenziometro stesso che generano errori di inserzione. L’attrito è generalmente “attrito secco”, ed il costruttore dichiara i valori di forza o coppia di attrito statico e dinamico. La scelta del potenziometro deve tener conto dei vari fattori ambientali, come la temperatura (se particolarmente alta o bassa), presenza di urti e vibrazioni, umidità, etc. La vita utile di un potenziometro si aggira solitamente fra i 2 e i 50 di milioni di cicli in funzione delle tecnologie costruttive. I potenziometri di minor durata sono quelli a filo avvolto. LVDT (LINEAR VARIABLE DIFFERENTIAL TRANSFORMER).

Questo tipo di trasduttore si basa sulla concatenazione del flusso magnetico fra due avvolgimenti. Un variazione del traferro genera una variazione di corrente indotta sull’avvolgimento secondario; misurando tale variazione è possibile determinare lo spostamento del nucleo ferromagnetico. Uno schema semplificato del funzionamento dell’LVDT è visibile in Figura 12-3; l’avvolgimento primario viene normalmente eccitato con una tensione compresa fra 3 e 15 Vrms e una frequenza fra 50 e 20000 Hz. I due avvolgimenti secondari sono identici e sono sottoposti ad una tensione sinusoidale indotta della stessa ampiezza dell’eccitatore; l’ampiezza su ciascuno dei secondari comunque varia con la posizione del nucleo metallico. Quando i due avvolgimenti sono connessi in serie ma con avvolgimenti opposti (vedi figura), il trasduttore è dotato di una posizione di 0. Una variazione di posizione del nucleo genera una variazione della mutua induttanza fra le spire del primario e dei secondari, e l’ampiezza del segnale indotto diviene circa lineare attorno alla posizione di 0.

Figura 12-3: LVDT: schema di funzionamento e campo di linearità.

Vi è tuttavia un’inversione di fase della tensione in uscita rispetto a quella di alimentazione passando dal valore di zero del trasduttore. La tensione all’uscita nella posizione di zero è idealmente nulla; tuttavia, a causa degli accoppiamenti capacitivi tra gli avvolgimenti, vi è una tensione residua anche nella posizione di 0. In condizioni normali tale tensione assume valori percentuali piuttosto ridotti, quantificabili circa nell’1 % del valore di fondoscala. L’uscita dell’LVDT è un’onda sinusoidale con ampiezza che dipende dalla posizione del nucleo ferromagnetico. Se tale uscita viene misurata da un voltmetro, la misura dello strumento può essere direttamente calibrata in unità di spostamento. Questo vale per misure statiche o per spostamenti particolarmente lenti. Inoltre l’uscita sarà esattamente la stessa per spostamenti simmetrici rispetto alla posizione di 0. Un possibile metodo per conoscere la direzione dello spostamento è l’utilizzo di demodulatori sensibili alle variazioni di fase e di filtri passa basso. Tale costruzione prevede ad

esempio l’utilizzo di ponti raddrizzatori che permettono (idealmente) il passaggio della corrente in una sola direzione. La risposta dinamica dello LVDT è limitata dalla frequenza di eccitazione, che deve essere più alta della frequenza con cui il nucleo ferromagnetico si muove, in modo da poterle distinguere nel segnale di uscita (modulato in frequenza). Per poter tuttavia effettuare correttamente la demodulazione ed il filtraggio dei segnali provenienti dall’LVDT è necessario che la frequenza della portante sia circa 2-5 volte la frequenza massima dello spostamento. Siccome i trasformatori differenziali di uso comune sono normalmente progettati per funzionare fino a frequenze di circa 10 kHz, il comune utilizzo dell’LVDT è limitato a una frequenza massima di 2-5 kHz. Si trovano comunemente in commercio trasduttori identificati con la sigla DC-DC o detti anche in continua.Dato il principio di funzionamento un LVDT non può essere alimentato in tensione continua, questi strumenti, che richiedono un ingresso di alimentazione in tensione continua, presentano al loro interno un circuito che sfruttando la tensione di alimentazione genera la tensione alternata necessaria al funzionamento del trasduttore. Essendo incluso al loro interno anche il circuito per la demodulazione ed il filtraggio il segnale in uscita sarà costituito da una tensione continua. La sigla DC-DC con gli acronimi inglesi per la tensione continua riassume il concetto di alimentazione in continua-uscita in continua. I valori normali di campo di misura per gli LVDT vanno da pochi millimetri fino a 500 mm, le sensibilità da 10 mV/mm fino a 10V/mm, la linearità da 0.05 %fs a 1%fs. TRASDUTTORI A VARIAZIONE DI INDUTTANZA.

Dal punto di vista dello schema costruttivo questi trasduttori sono corrispondenti ad un LVDT senza l’avvolgimento primario. Lo strumento sfrutta in questo caso la variazione di induttanza che si ha sui due avvolgimenti quando il nucleo ferromagnetico si sposta rispetto alla posizione centrale. In posizione asimmetrica del nucleo aumenterà l’induttanza dell’avvolgimento che si trova dal lato verso cui è spostato il nucleo e diminuirà quella dell’altro. Per rilevare lo spostamento si utilizza quindi la misura della differenza tra le induttanze dei due avvolgimenti. La misura della differenza tra le induttanze viene ottenuta con un ponte di wheatstone di cui due lati sono costituiti dai due avvolgimenti.

Figura 12-4: Trasduttore induttivo schema di funzionamento.

x

L1

L2

~

E0 Vu

Anche per questo trasduttore, come per i ponti estensimetrici alimentati in alternata, al fine di determinare il segno dello sbilanciamento del ponte bisogna inserire un circuito di demodulazione e filtraggio. La banda passante dello strumento risulta quindi dell’ordine di metà della frequenza della tensione di alimentazione (E0). Anche per questi strumenti le frequenze delle tensioni di alimentazione possono arrivare fino a 10 kHz. Anche le caratteristiche statiche sono analoghe a quelle degli LVDT, sia per i campi di misura che per la linearità. TRASDUTTORI A CORRENTI PARASSITE.

Il principio di funzionamento di questi trasduttori è basato sulla generazione di correnti parassite all’interno di un materiale elettricamente conduttivo per effetto di un campo magnetico ad alta frequenza. Lo schema del trasduttore è rappresentato in figura 5. La bobina 1 è alimentata da una tensione alternata ad alta frequenza, tipicamente 1 MHz, genera pertanto un campo magnetico avente la stessa frequenza e che induce nel materiale delle correnti parassite le quali a loro volta alterano il campo magnetico.

Figura 12-5 Schema del trasduttore a correnti parassite

Anche per questi trasduttori una modalità di misura sfrutta la variazione di induttanza dovuta alle correnti parassite, variazione che è funzione della distanza e delle caratteristiche di permeabilità magnetica e conducibilità elettrica del materiale dell’oggetto su cui viene applicato il trasduttore. La configurazione del circuito di misura è equivalente a quella dei trasduttori induttivi, una bobina “di compensazione” identica a quella principale ma che non risente della presenza del target è spesso collegata su un lato adiacente del ponte per compensare le variazioni di resistenza degli avvolgimenti dovute alla temperatura. La dipendenza della risposta dalla conducibilità elettrica del materiale del target rende questi trasduttori sensibili alla temperatura che modifica le resistività del materiale stesso ma anche ad eventuali variazioni della composizione, stato di incrudimento o trattamento termico dei materiali stessi. Di fatto la taratura del sensore sullo specifico materiale diventa necessaria se non si utilizza esattamente lo stesso materiale per composizione e trattamento termico, per il quale sono note le caratteristiche di taratura. Il campo di misura di questi strumenti è limitato ad una frazione del diametro della sonda, tipicamente da 1/5 a 1/2 D, dove i valori maggiori si ottengono a costo di maggiori errori di linearità. Le caratteristiche tipiche sono quindi: campo di misura da 0.5÷10 mm, linearità 0.5÷5 % del fondo scala,

oossccii ll llaattoorree.. bboobbiinnaa

ll iinneeee ddii ff lluussssoo

ccoorr rreenntt ii ppaarraassssii ttee

ssuuppeerr ff iicc iiee mmeettaall ll iiccaa

93

y

C

M

K

x

13. Trasduttori di moto assoluto I trasduttori di spostamento visti fino a questo momento permettono di rilevare uno spostamento relativo tra due punti dello strumento stesso, come è il caso dello spostamento relativo tra gli avvolgimenti dell’LVDT e l’anima ferromagnetica o tra il cursore e il resistore del potenziometro. Gli strumenti che si analizzeranno di seguito hanno la particolarità di rilevare il moto di un punto rispetto ad un riferimento inerziale, sono quindi caratterizzati da un solo punto di collegamento. Lo schema dinamico, comune agli strumenti di questa classe è costituito dal sistema massa-molla-smorzatore rappresentato in figura.

( )xmkyyCym

kyyCyxm

yxa

kyyCam

Fam i

&&&&&

&&&&&

&&&&

&

−=++−−=+

+=−−=

=∑

1)(

VIBROMETRI

Se si considera come ingresso lo spostamento x lo strumento viene denominato vibrometro, sismometro o sismografo, vista la sua classica applicazione nella rilevazione degli eventi sismici. La (1) si particolarizza considerando che x&& rappresenta la derivata seconda della grandezza in ingresso, x, la corrispondente funzione di trasferimento armonica è:

km

C

m

kcon

ii

i

TnormaleformainekCiim

im

iX

iYT

n

nn

n

2

12

)()(

)(

)(

)()(

2

2

2

2

==

+

+

−

=++

−==

ζω

ωωζ

ωω

ωω

ωωω

ωωωω

(2)

Il diagramma di Bode della (2) è rappresentato in figura 2, dove si è trascurato l’effetto del segno della costante al numeratore che corrisponde ad un cambio del verso della y.

Figura 13-1

94

0.1 1 10 100 1.103150

100

50

0

50

Mod ω 100,( )

Mod ω 10,( )

Mod ω 1,( )

ω

0.1 1 10 100 1.1030

1

2

3

4

Faseω 100,( )

Faseω 10,( )

Faseω 1,( )

ω

Figura 13-2 Diagrammi di Bode della funzione (2) per diversi valori di ωωωωn e ζζζζ=2% La banda passante di uno strumento di questo tipo è per pulsazioni superiori ad ω*, in generale maggiore di ωn, e il cui valore risulta dipendere dalla tolleranza e da rapporto di smorzamento. Ad esempio per ζ=2% la banda passante a 3dB è per ω>ω*=1.9ωn mentre la banda a 0.5dB vale ω>ω*=4.2ωn Per avere ampie bande passanti si devono quindi realizzare sistemi con basse

frequenze proprie; ricordando che m

kn =ω

questo significa avere basse rigidezze e masse elevate. Un requisito di questo tipo si scontra con la deflessione statica corrispondente al peso proprio che vale δ=mg/k ovvero δ=g/ωn2, risulta quindi che per pulsazioni naturali dell’ordine del rad/s una deflessione statica dell’ordine della decina di metri!

95

Questo inconveniente è di scarsa rilevanza per strumenti fissi come i sismometri in cui la deflessione statica rappresenta semplicemente un pre-tensionamento degli elementi elastici che viene generato nella fase di installazione, risulta invece un limite per strumenti mobili in cui la direzione della accelerazione di gravità rispetto all’asse dello strumento può variare nelle diverse applicazioni generando un corrispondente spostamento della massa mobile.

ACCELEROMETRI.

La relazione (1) nel caso la variabile di misura sia l’accelerazione x&& porta alla funzione di trasferimento armonica:

km

C

m

kcon

iiTnormaleformaine

kCiim

m

iX

iYT

n

nn

n

2

12

1

)()()(

)()(

2

2

2

==

+

+

−

=++

−==

ζω

ωωζ

ωω

ωω

ωωωωω

&&

(3) I diagrammi di Bode della (3) sono rappresentati in figura (3) per tre diversi valori di ωn e per ζ=2%. In questo caso la banda passante dello strumento è del tipo ω<ω* con ω* in generale minore di ωn. La condizione limite per cui il modulo è sempre decrescente è ζ=0.707, per rapporti di smorzamento inferiori si ha una amplificazione nella zona della risonanza e successivamente una attenuazione, rapporti di smorzamento prossimi a 0.7 quindi assicurano a parità di pulsazione naturale la massima banda passante. L’amplificazione in risonanza può dare origine a problemi di saturazione dell’accelerometro anche quando la banda che interessa misurare sia inferiore ad ωn normalmente infatti il filtraggio (es. antialiasing) viene fatto con filtri elettrici a valle dell’accelerometro quindi la saturazione può avvenire malgrado il segnale poi acquisito a valle del filtro sia di basso livello. Figura (3) Diagrammi di Bode della funzione (3), per diversi valori di ωn e ζ=2% e non considerando il segno della costante al numeratore che corrisponde ad un cambio del verso della y. .

96

0.1 1 10 100 1.103150

100

50

0

50

Mod ω 100,( )

Mod ω 10,( )

Mod ω 1,( )

ω

0.1 1 10 100 1.1034

3

2

1

0

Faseω 100,( )

Faseω 10,( )

Faseω 1,( )

ωx 1.1

Figura 13-3 Diagrammi di Bode della funzione (3) per diversi valori di ωωωωn e ζζζζ=2%

ACCELEROMETRI PIEZOELETTRICI

A fronte della configurazione dinamica di figura 2 si ottengono diverse tipologie costruttive secondo il tipo di trasduttore che si utilizza per la misura dello spostamento relativo y. La soluzione in assoluto più comune utilizza un cristallo piezoelettrico per la misura dello spostamento, si realizzano in questa configurazioni gli accelerometri piezoelettrici. Il cristallo disposto tra la massa e la carcassa dello strumento svolge le funzioni rappresentate nello schema dai parametri elastico e dissipativo. Visti gli elevati moduli elastici dei cristalli piezoelettrici la rigidezza che si ottiene è molto elevata, pertanto le frequenze naturali sono comunemente nel campo 1-50 kHz anche se per applicazioni particolari si realizzano anche strumenti con pulsazioni inferiori o superiori. L’effetto piezoelettrico.

97

Un cristallo con caratteristiche piezoelettriche quando soggetto ad una deformazione secondo l’asse principale genera uno spostamento di carica proporzionale alla deformazione. Q=αε La relazione carica-accelerazione risulta pertanto dalla spostamento-accelerazione, con la semplice moltiplicazione della costante piezoelettrica. La misura diretta della carica tuttavia non è realizzabile senza introdurre una per quanto minima corrente di lettura che porta nel tempo alla scarica del condensatore (effetto che peraltro si avrebbe per effetto della resistenza elettrica interna del cristallo molto elevata ma pur sempre non infinita). Lo schema elettrico equivalente di qualsiasi circuito di lettura è schematizzato in figura .

Asse diPolarizzazione

RiCiRaCa

Vu

Ip

Superficie sensibile

Elettrodi

Strato di cristalli orientati

Figura 4 Schema elettrico di un elemento piezoelettrico La modalità di lettura basata sulla derivata rispetto al tempo della carica, ovvero la corrente, porta all’introduzione di un ulteriore elemento nella funzione di trasferimento che ha la forma del filtro passa alto del I ordine, come si può ricavare risolvendo la rete elettrica dello schema di figura 4.In sintesi la funzione di trasferimento armonica di un accelerometro piezoelettrico risulta:

ωτωτ

ωωζ

ωω

ωωωω

i

i

ii

S

iX

iVuT

nn

n

++

+

==1

12

1

)(

)()(

2

2

&& (4)

Dove con V si è indicata la tensione in uscita dell’amplificatore con cui viene fatta la lettura di corrente. La costante di tempo τ viene detta tempo di scarica dell’accelerometro e determina la frequenza di taglio inferiore della sua banda passante. In figura 5 è diagrammata una funzione di trasferimento dove si sono assunti a titolo di esempio τ=10s, ωn=1000Hz, ζ=0.02.

98

1 .104

1 .103

0.01 0.1 1 10 100 1.103

1 .104

160

140

120

100

80

60

40

Mod ωk

100,

ωk

Figura (5) Funzione di risposta armonica per un accelerometro a cristallo piezoelettrico. Sia la sensibilità S che il tempo di scarica τ dipendono dalle caratteristiche elettriche, capacità e resistenza di isolamento del cavo e dall’impedenza dello strumento a valle per la lettura di Vu. Al fine di evitare la dipendenza delle caratteristiche dello strumento dal cavo si realizzano strumenti in cui la lettura e amplificazione del segnale Vu viene fatta in un circuito elettronico inserito all’interno dell’accelerometro stesso, tali strumenti vengono spesso indicati con la sigla “ICP” che è un marchio commerciale utilizzato da un costruttore. Gli accelerometri di tipo ICP si possono anche distinguere da quelli in carica per l’unità di misura della sensibilità che in questo caso è dimensionalmente un rapporto tra tensione ed accelerazione mentre per gli accelerometri in carica è un rapporto tra carica ed accelerazione.

99

14. Analisi dei Sistemi a Parametri Concentrati Uno strumento, di qualsiasi tipo e qualsiasi cosa misuri, disturberà il sistema in cui viene inserito. Supponiamo, ad esempio, di voler misurare le vibrazioni di una corda di violino; se utilizziamo un accelerometro, montandolo sulla corda, questo ne cambierà la massa variandone la vibrazione e misurando delle grandezze per nulla significative. Si introduce quindi un errore di inserzione per definire proprio la variazione sulle grandezze misurate dovute allo strumento che le misura. Lo strumento, è evidente, dovrebbe disturbare il meno possibile, cioè dovrebbe sottrarre la minor quantità di energia possibile dal sistema che misura50. Abbiamo quindi bisogno di uno strumento matematico che ci permetta di valutare il flusso di energia all’interno dei sistemi e uno strumento è l’analisi dei sistemi a parametri concentrati, già visto per i sistemi elettrici che utilizzano componenti discreti a rappresentare il rapporto tra tensione e corrente da cui si ricava il flusso di

potenza nei sistemi ( )IVW ⋅= . Considerando l’esempio di un micrometro, vediamo come può essere schematizzato uno strumento di misura. Il micrometro trasforma la rotazione del tamburo in uno spostamento del tastatore, per cui avremo due grandezze in ingresso (coppia e angolo di rotazione) e due in uscita (forza e spostamento).

Figura 14-1 Facendo il prodotto rispettivamente delle due grandezze in ingresso e di quelle in uscita otteniamo sempre come risultato energia, per cui, in generale, un sistema fisico si potrà rappresentare mediante un ingresso e un’uscita date da due grandezze il cui prodotto da’ energia (o potenza nel caso dinamico) ; questo metodo ci consente di valutare l’errore di inserzione valutando l’energia in ingresso e quella in uscita dallo strumento. Ecco come viene rappresentato l’errore dovuto allo strumento di misura in un caso statico per componenti meccanici:

Figura 14-2

A caratterizzare il comportamento del componente è la relazione tra le variabili 2211 x,Fex,F in questo caso legate dal solo parametro k. In un caso dinamico invece dovremo tenere conto anche delle masse degli oggetti spostati:

Figura 14-3

50 dal punto di vista teorico non è possibile che uno strumento non modifichi la grandezza che deve misurare, perché trasferire un’informazione comporta sempre trasferire dell’energia.

100

In pratica il sistema viene rappresentato con “oggetti elementari” di cui è nota la relazione tra le due grandezze da cui dipende il flusso di energia, e il comportamento di un elemento è descritto da un parametro che esprime il rapporto tra le due grandezze dal cui prodotto dipende il flusso di energia ( forza e spostamento nel caso meccanico). Per poter utilizzare questi sistemi di analisi a parametri concentrati occorre classificare le grandezze di portata e le grandezze di sforzo.

GRANDEZZE DI PORTATA

Considerando una sezione di un qualsiasi sistema, una grandezza di portata ci dice cosa viene scambiato attraverso quella sezione, cioè sono grandezze caratterizzate da una sezione di flusso. La forza per un sistema meccanico e la corrente per un sistema elettrico sono grandezze di questo tipo, infatti entrambe ci dicono cosa viene scambiato dal sistema attraverso una determinata sezione. Una variabile di portata attraversa gli elementi ed è la stessa per elementi in serie.

Figura 14-4

321

321

xxx

FFF

∆≠∆≠∆==

GRANDEZZE DI SFORZO

Le grandezze di sforzo sono legate semplicemente ad una posizione fisica (ad un punto materiale); considerando un punto qualsiasi di un sistema, esso sarà caratterizzato da un determinato valore di velocità in un caso meccanico, e da un determinato valore di tensione in un caso elettrico. Una variabile di sforzo è definita agli estremi di un elemento ed è la stessa in elementi in parallelo.

Figura 14-5

321

321

xxx

FFF

∆=∆=∆≠≠

Tutti i componenti elementari sono caratterizzati da un parametro detto impedenza generalizzata che è data da:

101

portatadiGrandezza

sforzodiGrandezzaZ =

avremo quindi in elettrotecnica I

VZ

∆= e in meccanica F

xZ

&∆= . L’utilizzo di impedenze

generalizzate consente di usare i metodi di analisi delle reti elettriche anche per i sistemi meccanici o ibridi e trattare quindi con lo stesso formalismo problemi diversi. APPLICAZIONE AL CASO MECCANICO

Nell’applicazione dell’analisi a parametri concentrati al caso meccanico distinguiamo il caso statico da quello dinamico. Caso statico: esiste un solo componente elementare, la rigidezza, la relazione costitutiva e:

( )21 xxkF −=

Pertanto l’impedenza generalizzata vale:

κ1=Z

Caso dinamico (facciamo l’ipotesi di considerare tutti gli spostamenti sinusoidali che costituiscono un caso particolare ma molto importante nelle misure di tipo dinamico):

ti0

2

ti0

ti0

exx

exix

exx

ω

ω

ω

ωω

−=

=

=

&&

&

Studiamo tre elementi fondamentali: Elementi di tipo elastico Elementi che danno dissipazione di energia Elementi di tipo inerziale

ELEMENTI DI TIPO ELASTICO

Sono di tipo elastico quei sistemi per i quali la relazione tra spostamento degli estremi e forza applicata è del tipo xkF = .

( )

( )( ) k

i

xxk

xxiZ

quindixixmaF

xxZ

F

xZ

k

1

xxk

xxZ

F

xZ

21

21D

21DD

21

21SS

ωωω

=−−=

=

−=→=

=−

−=→=

&

&&&

102

Attraverso queste relazioni possiamo conoscere spostamenti e velocità di tutti i punti di una rete meccanica, e le forze trasmesse essendo note le forze/velocità applicate. ESEMPIO: Consideriamo il sistema in Figura 7.

Figura 14-6 Conoscendo la forza F applicata ad un estremo e le relazioni che esistono tra i tre elementi, possiamo ricavare la velocità di un qualsiasi punto. La prima cosa da fare è quella di ricondurre il sistema ad uno schema a parametri concentrati (Figura 8), (analogo ad una rete elettrica).

Figura 14-7 Per riuscire ad esercitare la forza F dobbiamo scaricare la reazione da qualche parte, anche quando non c’è apparentemente un collegamento “esterno” . Ecco perché il generatore di forza va collegato a terra. Ora sostituiamo agli elementi elastici i corrispondenti valori di Z e troviamo la Z equivalente del sistema.

kk2

k2ki

k2

i

k

i

k

i2

k

i

k

i

k

iZ

1

1

11eq

+=+=

⋅+= ωωω

ω

ωωω

Possiamo sapere adesso con che velocità si muove l’estremo a cui è applicata la forza.

+=

⋅=−

kk2

k2kFix

FZxx

1

11

21

ω&

&&

L’ipotesi di considerare gli spostamenti sinusoidali implica di considerare sinusoidali anche le forzanti. L’aver ottenuto un risultato in forma complessa potrebbe sembrare strano; in realtà il termine i ci dice soltanto se lo spostamento del punto considerato è in fase o meno con la forzante F. Spesso a noi interessa conoscere soltanto l’ampiezza della sinusoide che descrive lo spostamento e cioè il modulo. Del valore complesso.

103

ELEMENTI CHE DANNO DISSIPAZIONE DI ENERGIA

Consideriamo uno smorzatore di tipo viscoso per il quale la forza è proporzionale alla differenza di velocità dei suoi due estremi mobili.

Figura 14-8

( )21 xxCF && −=

C

1

F

xZ =∆=

&

ELEMENTI INERZIALI

Le masse di un sistema fisico in movimento avranno un’inerzia la quale deve essere considerata nell’analisi a parametri concentrati. Posta in un punto qualsiasi una massa in un sistema fisico, dovremo sempre considerare un secondo estremo di tale massa attaccato al telaio. La procedura per calcolare Z è la stessa seguita per la rigidezza; infatti a noi interessa il rapporto tra la velocità del punto di applicazione della forza e la forza stessa.

mi

1

Fi

xZ

quindii

xxma

F

xZ

xmF

ωω

ω

==

==

=

&&

&&&

&

&&

Bisogna evidenziare come, a differenza dei due elementi precedenti, la forza dipenda non da una differenza di velocità tra due estremi “fisici “ della massa ma dalla velocità assoluta, parimenti la forza d’inerzia non viene “trasmessa” ad un secondo estremo “fisico”. L’apparente incongruenza si risolve considerando un secondo estremo “fittizio” della massa da collegarsi ad un riferimento inerziale, con questo accorgimento l’impedenza risulta essere analoga alle precedenti solo la velocità del secondo estremo è sempre nulla ed è quindi collegato al riferimento inerziale anche non esiste alcun collegamento “reale” di questo tipo. Un suggerimento per non compiere errori nel tracciamento degli schemi a parametri concentrati è di disegnare la parte mobile collegata al resto del circuito nel punto corrispondente e l’estremo fittizio ad una “terra” locale, a tracciamento completato collegare tutte le “terre” degli elementi inerziali con la linea (che rappresenta i punti a velocità nulla). Con i tre elementi sopra descritti è possibile rappresentare qualsiasi sistema meccanico (lineare) perché tutto può essere ridotto a elementi elastici, a elementi inerziali o a elementi dissipativi. Per poter completare un sistema meccanico si devono introdurre i generatori di forza e di velocità. Un generatore ideale di velocità è un elemento che produce una velocità costante. Si tratta evidentemente di un’astrazione teorica perché in realtà non esiste un oggetto simile; se infatti applichiamo una massa molto grande (al limite infinita) ad un generatore che tenta di mantenere una velocità costante, arriveremo ad avere una forza che tende ad infinito. Un generatore ideale di forza invece rappresenta un elemento che mantiene costante la forza. Anche in questo caso si tratta di un’astrazione perché se applichiamo una massa molto piccola (al limite tendente a zero) ad una sua

104

estremità, questa dovrebbe subire un’accelerazione che tende ad infinito. Per passare dalla condizione ideale a quella reale è sufficiente aggiungere, per ciascuno dei generatori la propria impedenza interna (Figura 9).

Figura 14-9 Qualsiasi sistema costituito da più generatori e più impedenze può essere ridotto ad un generatore reale di forza o di velocità. L’impedenza equivalente del sistema la si può calcolare aprendo tutti i generatori di forza e cortocircuitando tutti quelli di velocità; in pratica non facciamo altro che annullare la grandezza che i generatori impongono, ottenendo l’impedenza interna del generatore equivalente. La forza e la velocità equivalenti si ottengono sfruttando i teoremi di Thevenin e Norton: la forza del generatore equivalente corrisponde alla forza che passa sui morsetti quando questi vengano cortocircuitati, la velocità alla differenza di velocità a morsetti aperti. Noi considereremo, in generale, come uZ l’impedenza dello strumento di misura inserito nel

sistema con lo scopo di valutare l’interferenza che quest’ultimo genera sulla misura effettuata. 4.3 Trasferimento di Potenza L’analisi a parametri concentrati che abbiamo fino ad ora descritto, serve a noi proprio a valutare l’entità del disturbo di uno strumento di misura sulla misura stessa. Lo strumento, è evidente, deve assorbire poca energia per non disturbare il sistema, ma allo stesso tempo questa energia è necessaria per non avere un segnale di uscita troppo basso; si tratta quindi di trovare un giusto compromesso tra le due necessità. Il sistema viene ridotto tramite il principio del generatore equivalente ad un generatore reale e si valuta il valore dell’impedenza dello strumento ( )uZ .

Figura 14-10 L’espressione della potenza assorbita dallo strumento sarà:

ugug

uuuu ZZ

V

ZZ

ZVZVW

+⋅

+=⋅=

da questa espressione si nota che il disturbo sarà nullo (e quindi anche il segnale trasferito) sia che l’impedenza dello strumento tenda a zero sia che tenda ad infinito, mentre ci sarà il massimo trasferimento di potenza e quindi il massimo disturbo per ug ZZ = .

105

ERRORE DI INSERZIONE

Vogliamo poter misurare sia la forza che la velocità e, ovviamente, gli strumenti utilizzati nei due casi saranno completamente diversi. Nella misurazione della forza l’oggetto inserito nel sistema dovrà avere una rigidezza infinita poiché si va ad inserire tra due punti che inizialmente erano coincidenti (quindi con la stessa velocità) al fine di valutare la FORZA che si trasmette. Nella misurazione della velocità la rigidezza dovrà essere nulla perché si va ad inserire tra due punti che inizialmente erano privi del collegamento . Naturalmente questi due casi sono soltanto ideali perché non esistono nella realtà strumenti simili e a noi non resta che valutare l’errore che commettiamo inserendoli nel sistema. ESEMPIO: vogliamo misurare la rigidezza di una molla.

Figura 14-11

Noi vorremmo una misura di k senza misuratore.

Figura 14-12

k

vero

Z

xF =

In realtà la possiamo ottenere soltanto inserendo lo strumento, e quindi:

mk

mkmm

mk

mk

mk

eq ZZ

ZZFxx

ZZ

ZZF

Z

1

Z

11

Z+

=→⋅

+=→

+=

dove mx sta’ per “spostamento misurato”. A questo punto, siccome lo spostamento misurato è diverso da quello vero, possiamo

definire un errore ε .

v

vm

x

xx −=ε

sostituendo i valori sopra ottenuti, troviamo:

1Z

Z1

ZZ

Z

ZF

ZFZZ

ZZF

k

mmk

k

k

kmk

mk

+−=→

+=→

−+

= εεε

Noi vorremmo uno ∞→mZ cioè, essendo m

m k

1Z = , vorremmo che 0km → .

Conoscendo ε a priori potremmo correggere le misurazioni effettuate, infatti:

106

εε

+=→=−

1

xxxxx m

vvvm

ESEMPIO: utilizzando un dinamometro, vogliamo misurare la forza F (Figura 14).

Figura 14-13

m

k

k

kmk

m

mk

mm

k

Z

Z1

1

x

Z

Z

1

ZZ

1x

F

FF

ZZ

xF

Z

xF

+−=

−

+=

−=

+==

ε

l’errore è piccolo se l’impedenza del dinamometro tende a zero, cioè se ∞→mk .

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ARMONICA

Fino a questo punto abbiamo visto misure di tipo statico. Consideriamo ora lo schema di figura 15 di un dinamometro in cui la forzante sia pulsante con andamento sinusoidale.

Figura 14-14 L’inerzia della massa del dinamometro modificherà la misura in maniera proporzionale alla frequenza della forza. Si definisce allora una relazione tra gli spostamenti degli estremi del dinamometro, che ci forniscono il valore di forza misurato, e l’andamento effettivo della forza.

( )ωω

Tmk

k

ZZ

Z

F

F

ZZ

ZZZ

Z

ZFF

2md

mAB

md

mdT

d

TAB =

−=

+=

+==

107

se F è l’ingresso di uno strumento e ABF ne è l’uscita, la ( )ωT lega ingresso e uscita nel caso di ingresso armonico, che, come sappiamo, è l’ipotesi di lavoro per poter usare schemi ad impedenze. la ( )ωT rappresenta in pratica una curva di taratura per la “famiglia di ingressi” di tipo armonico.