UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE FISICA

DISEÑO DE ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE HABILIDADES GEOMETRICAS EN LOS TEMAS DE

CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS PARA NM2, CON USO DE GEOGEBRA

Autora: JAZMÍN DEL CARMEN LAGOS MORA

Profesora Guía: Claudia Amelia Matus Zúñiga

Tesis para obtener el grado de Licenciado en Educación de Física y Matemática.

Santiago - Chile 2012

0154555© JAZMÍN DEL CARMEN LAGOS MORA

Se autoriza la reproducción parcial o total de esta obra, con fines académicos, por cualquier forma, medio o procedimiento, siempre y

cuando se incluya la cita bibliográfica del documento

Diseño de actividades para el desarrollo de habilidades geométricas en los temas de circunferencia y sus ángulos

para NM2, con uso de GeoGebra.

Jazmín del Carmen Lagos Mora

Este trabajo de graduación fue elaborado bajo la supervisión de la profesora Claudia Amelia Matus Zúñiga del Departamento de Matemáticas y ha sido aprobado por los miembros de la Comisión Calificadora, Srta. Johanna Camacho y el Sr. Sergio Saez.

Srta. Johanna Camacho Profesora Correctora

Sr. Sergio Saez Profesor Corrector

Sr. Bernardo Carrasco Puentes Director

Srta. Claudia Matus Zúñiga Profesora Guía

Agradecimientos

Descubrirme como una persona adulta ha sido la parte fundamental de este

trabajo y quienes han visto el cambio producido en mi, son quienes me

acompañan en este momento. A todo ellos muchas gracias por acompañarme.

A mis padres, por darme la educación que me ha hecho ser quien soy, a

mis compañeros de universidad, que me contuvieron en los momentos difíciles

y a mi esposo quien supo darme el apoyo que necesitaba y fue incondicional en

todo momento.

Dios es quien me ciñe y hace perfecto mi camino. Mi infinito amor a él me

ha llevado al logro de mis metas y él es quien te puso en mi vereda.

Jazmín Lagos Mora

TABLA DE CONTENIDOS

Resumen……………………………………………………………………..

1

Abstract……………………………………………………………………….

2

Palabras claves y Key words ……………………………………………...

3

1. Introducción….………………………………………………………………

4

1.1. Objetivo general del trabajo……………………………………….

9

1.2. Objetivos específicos………………………………………………

10

2. Marco teórico………………………………………………………………..

11

2.1. Geometría y su enseñanza………………………………………..

11

2.2. Habilidades desarrolladas con la geometría…………………..

13

2.2.1. Habilidad de visualización………………………………………

14

2.2.2. Habilidad de comunicación……………………………………

16

2.2.3. Habilidad de dibujo o construcción.……………………………

16

2.2.4. Habilidad de razonamiento……………………………………..

18

2.2.5. Habilidad de aplicación o transferencia..…………………….

19

2.2.6. Habilidades matemáticas en las bases curriculares 2012…..

20

2.3. Enfoques de enseñanza de la geometría………………………..

22

2.3.1. Van Hiele………………………………………………………….

22

2.3.1.1. Niveles de razonamiento…………………………………

23

2.3.1.2. Fases de aprendizaje…………………………………….

25

2.3.2. NCTM……………………………………………………………..

26

2.4. Recursos tecnológicos para el proceso enseñanza–aprendizaje de la geometría…..……………………………….

29

2.4.1. ¿Qué es un procesador geométrico?.....................................

30

2.4.2. Cualidades de GeoGebra……………………………………….

31

3. Metodología………………………………………………………………….

34

3.1. Observación de clases…………………………………………….

34

3.1.1. Tipo de investigación……………………………………………

35

3.1.2. Fuente de información…………………………………………..

36

3.1.3. Pregunta de investigación.……………………………………...

36

3.1.4. Marco situacional….……………………………………………..

37

3.1.5. Para el análisis de los registros de observación…………….

38

3.2. Para el diseño de material didáctico…………………………….

40

3.2.1. Contenidos a abordar…………………………………………..

40

3.2.2. Habilidades y enfoques de enseñanza a desarrollar………..

40

3.2.3. Material a elaborar….……………………………………………

41

3.2.4. Uso de GeoGebra……………………………………………….

43

3.3. Para la validación del material……………………………………

43

4. Resultados metodológicos…………………………………………………

45

4.1. Revisión de enfoques de enseñanza…………………………….

45

4.2. Análisis y resultados de investigación de observación….…….

45

4.2.1. Desarrollo de habilidades y uso de procesador geométrico.

46

4.2.2. Descubrimiento de propiedades………………………………

48

4.2.3. Problemas y ejercicios…………………………………………

49

4.2.4. Importancia de la unidad………………………………………

50

4.3. Propuesta de material……………………………………………..

52

4.3.1. Enfoque de Van Hiele en los materiales……………………

52

4.3.2. Desarrollo de habilidades geométricas en los materiales….

54

4.3.3. Estándares de NCTM en los materiales……………….........

54

4.4. Resultados de la validación………………………...……………..

56

4.4.1. Pauta de observación para el validador…………………….

56

4.4.2. Análisis de resultados de validación………………………….

61

4.5. Propuesta de material con modificaciones……………….……..

63

4.5.1. Actividad 1 con modificaciones……………………………….

64

4.5.2. Actividad 2 con modificaciones……………………………….

72

4.5.3. Material para el profesor con modificaciones………………..

79

5. Conclusiones……………………………………………………………….

86

6. Anexos……………………………………………………………………...

91

6.1. Observación de clases de la unidad de circunferencia y sus ángulos.……………………………………………………………..

91

6.2. Encuesta al profesor 2………………………………………….

97

6.3. Material elaborado……………………………………………..

101

6.3.1. Actividad 1……………………………………………………

101

6.3.2. Actividad 2……………………………………………………

109

6.3.3. Recomendaciones al profesor……………………………..

115

6.4. Pauta de observación para el evaluador…...........................

122

Referencias…………………………………………………………………

125

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

Ilustración 1: Paralelepípedo…..…………………………………………..

15

Ilustración 2: Construcción de triángulos equiláteros...…………………

17

Ilustración 3: Principios y estándares de NCTM………………………...

27

Ilustración 4: Estándares de conocimientos según NCTM……………..

29

Ilustración 5: Barra de herramientas de GeoGebra……………………..

32

Ilustración 6: Interfaz GeoGebra…………………………………………..

33

Ilustración 7: Interfaz entrada en GeoGebra……………………………..

33

RESUMEN

Este seminario de grado se propuso como objetivo diseñar actividades de

aprendizaje en geometría para el desarrollo de conjeturas, razonamiento

geométrico, teoremas y demostraciones para estudiantes de segundo medio,

con uso de un procesador geométrico. Para ello, el trabajo se dividió en tres

partes fundamentales: una investigación cualitativa sobre cómo se implementan

clases de geometría en algunas aulas de segundo año medio en Chile, el

diseño y desarrollo del material didáctico para contribuir a fortalecer aquellas

habilidades geométricas que fueran detectadas como débiles en los estudiantes

observados, y finalmente, una validación del material elaborado, por parte de un

experto curricular, con el propósito de mejorar la propuesta didáctica.

El material elaborado corresponde a dos actividades para el estudiante y

dos guías con recomendaciones al docente, relativas a cada una de las

actividades. Los contenidos matemáticos y objetivos de aprendizaje abordados

en el material fueron los relativos a la circunferencia y sus ángulos,

correspondientes a la unidad de geometría, según se indica en el programa de

estudio y los contenidos mínimos obligatorios para segundo medio del

Ministerio de Educación (MINEDUC, 2011).

Para la elaboración de las actividades, se tomó en cuenta

recomendaciones que entrega la literatura especializada, respecto de:

desarrollo de habilidades de visualización, comunicación, dibujo y construcción,

razonamiento y aplicación o transferencia (Breassan, 2000 y García & López,

2008), además de, las fases de aprendizaje que propone Van Hiele y los

estándares de proceso que propone la National Council of Teachers of

Mathematics (NCTM), junto con el uso de herramientas del procesador

geométrico.

ABSTRACT

This current seminar set a target design learning activities on geometry for

developing conjectures, geometric reasoning, theorems and proofs in 10 Grade

students, using a geometry processor. To do this, this work was divided in three

fundamental parts: a qualitative study about how geometry classes are

implemented in some classrooms in ten Grade in Chile, the design and

production of the didactic material to help to strengthen those geometric skills

that were detected as weak in the students observed, and finally, a validation of

the learning materials, by a curriculum expert to improve the didactic proposal.

The material designed consists in two activities for students and two

guides with didactic recommendations for mathematics teachers, related to each

of those activities. The math topics and learning goals addresses by this

proposal were the ones related to circumference and its angles belonged to the

geometry unit in the high school math program and the minimal obligatory

contents for ten grades, indicated in by the Minister of Education (MINEDUC,

2011).

To develop the learning activities, recommendations from the specialized

literature were taken in count, respect to: the development of the geometric

visualization, communication, drawing and construction skills, reasoning skills,

and application or transference skills (according to Hoffer, 1981; Breassan,

2000 y García & López, 2008), the learning phases proposed early by Van

Hiele, as well as, the process standards described by National Council of

Teachers of Mathematics (NCTM), in addition to the use of tools from a

geometric processor.

PALABRAS CLAVES

Habilidad de visualización

Habilidad de comunicación

Habilidad de dibujo y construcción

Habilidad de razonamiento

Habilidad de aplicación y transferencia

Estándares de proceso en matemáticas

Fases de aprendizaje

KEY WORDS

Visualization skills

Communication skills

Drawing and construction skills

Reasoning ability

Application and transfer skills

Math process standards

Learning phases

1. INTRODCUCIÓN

La geometría es una rama de la matemática que puede ser un gran apoyo

en el desarrollo personal y en otras áreas del aprendizaje, si está bien enfocada

en la educación regular. Variados autores e instituciones se han dedicado a

realzar la importancia de enseñar geometría, argumentando que es necesaria y

útil para representar y resolver problemas, no tan solo en la misma geometría

sino que también en otras áreas de aprendizaje y de nuestra vida cotidiana

(Orozco, 2003; Bressan, 2000; Instituto Nacional para la evaluación de la

educación de México 2008; NCTM, 2000; SAEM Thales, 2005).

En esta disciplina de la matemática llamada geometría, el estudiante debe

describir relaciones y razonarlas, esto implica que, el estudiante está utilizando

habilidades de visualización, exploración y razonamiento, llegando a la

demostración de conjeturas. Estas mismas habilidades son las que el

estudiante debe utilizar cuando se ve enfrentado a problemas de la vida

cotidiana, es decir, el debe visualizar el problema al cual se ve enfrentado,

explorar aquellas cosas que están afectando el desarrollo del problema, las

posibles salidas de éste y las consecuencias que esto conlleve, por tanto,

realiza el razonamientos específicos para cada aérea, la cuales pueden ser el

álgebra, la historia, la computación, el arte, nuestro entorno, etcétera. Es Sergio

A. Hojman (1997, p.450), en su ensayo Matemáticas en Chile, quien muestra

claramente esta idea diciendo:

Se escucha con frecuencia que las personas sabrían más

matemáticas si sus labores diarias incluyeran actividades que las

requirieran. La falta de práctica sería entonces la responsable de

olvidar aquello que se aprendió en la época de estudiante. Aunque

en algunos casos esta situación puede ser verdadera, es también

cierto que algunos problemas que muchas personas enfrentan

infructuosamente en su vida diaria puedan resolverse fácilmente con

aplicaciones elementales de matemáticas escolares.

Entendemos entonces que, es de gran importancia, la utilidad que

represente para cada uno el aprendizaje de los contenidos en su vida y entorno,

pero no debemos olvidar que la forma de aprender también influirá en que estos

conocimientos no sean desechados y puedan conformarse como un

aprendizaje significativo. Es por esto que, para los profesores debe representar

un desafío el poder realizar actividades que leven al aprendizaje efectivo y

permanente. Pero también nos vemos enfrentados al problema de que algunos

profesores no saben exactamente el cómo contextualizar las actividades al

entorno real de los estudiantes, o que en otras ocasiones, no conocen la utilidad

del contenido especifico, tal como sucede con los teoremas asociados al

estudio de la circunferencia y circulo.

En un estudio sobre la cobertura curricular en el sector de matemáticas en

la enseñanza media, realizado por el Ministerio de Educación mediante una

encuesta abierta a profesores reveló que tan sólo un 69,7% de ellos manifestó

haber trabajado el contenido referido a geometría en segundo medio, pese a

que declararon implementar el programa oficial del Mineduc (MINEDUC, 2004

b) lo cual contrasta enormemente con la importancia entregada a este eje en el

programa de estudio de este mismo curso. Hasta hace algunos años atrás,

dentro del programa de estudio de segundos medio, se proponía que,

aproximadamente un tercio del año escolar se debía trabajar en el contenidos

de geometría, donde dentro de las indicaciones al docente, se decía que, en los

temas relativos a la medida del ángulo del centro y ángulo inscrito, señalando

de manera implícita y explicita, expectativas de trabajo de conjeturas, de

propiedades que es necesario demostrar, y donde además se recalca que la

geometría es un terreno propicio para cultivar este tipo de habilidades

(MINEDUC, 2005. p 78). Sin embargo, se consta que, estas habilidades no han

sido desarrolladas apropiadamente, en la enseñanza regular, siendo su reflejo

los resultados sistemáticamente deficientes de nuestro país en las pruebas

SIMCE, PISA y TIMSS, a los que nuestros estudiantes han sido sometidos.

En efecto, en diversas investigaciones sobre los resultados de los

estudiantes chilenos en pruebas, como SIMCE y TIMSS, se han detectado

dificultades en matemática, específicamente, en el área de la geometría. Por

ejemplo, en el informe de resultados del SIMCE 2003 para 2° medio, realizado

por el Ministerio de Educación (MINEDUC), Unidad de Currículum y Evaluación

(UCE) y el Sistema de Medición de la Calidad de la Educación (SIMCE), se

destaca que las preguntas que requerían aplicar procedimientos, conceptos y

teoremas frente a figuras geométricas (triángulos y cuadriláteros) presentaron

menor dificultad para los alumnos, que aquellas que exigían aplicar el mismo

tipo de conceptos y teoremas, pero en situaciones que requerían, por ejemplo,

ampliar y reducir figuras, encontrar una distancia desconocida, etc. También se

observaron dificultades en las preguntas referidas a ángulos inscritos en una

circunferencia (MINEDUC, 2004d, p. 47).

En la prueba TIMSS 2003 (MINEDUC, 2004c) se evidencia que, en el área

de la geometría es donde los estudiantes tienen un mayor grado de dificultad,

puesto que obtienen el menor puntaje promedio. Dramáticamente en esta

prueba, el 0% de los estudiantes alcanzó un nivel de logro “Avanzado en

Matemáticas”, donde se especifica entre otras cosas, habilidades como:

“pueden aplicar su conocimiento de medición y geometría en situaciones

problemáticas complejas”. En la misma prueba, tan solo un 3% de los

estudiantes tuvo un nivel de logro “Alto en Matemáticas”, donde se especifica,

entre otras cosas habilidades como “pueden encontrar el área y volumen de

figuras geométricas simples y utilizar su conocimiento acerca de propiedades

geométricas para resolver problemas”. Más recientemente, se ha observado un

progreso en los resultados de la prueba TIMSS 2011, respecto de su anterior

aplicación en Chile el año 2003, dado que el contenido de geometría es uno de

los contenidos mejor evaluados si se compara con el promedio de puntajes

obtenidos en los contenidos de números y álgebra. Sin embargo, es importante

mencionar que, ha bajado considerablemente la cantidad de estudiantes que se

encuentran fuera de nivel de competencias, es decir que promediaron menos

de 400 puntos, y en contraparte, ha bajado la cantidad de estudiantes que

logran tener un nivel avanzado.

Parte de los resultados deficientes de los estudiantes, se pueden explicar

por el trabajo que realiza el profesor de matemáticas en el aula. En efecto, un

estudio realizado por Roberto Araya (2007), en donde analizó 720 videos de

profesores realizando clases en aulas chilenas, permitió recopilar información

detallada acerca de cómo se realizan las actividades de clase, específicamente

las de matemáticas. De este informe se obtuvo variadas conclusiones entre las

cuales se destacan:

Existen sólo dos tipos de trabajo en aula: uno consiste en

explicaciones y preguntas del profesor desde el pizarrón, y en el otro,

los estudiantes trabajan una guía y el docente pasea por los puestos

entregando explicaciones individuales.

La evidencia encontrada da lugar a estimar que el uso tanto de textos

escolares y de tecnología informática y comunicaciones TIC en

matemáticas es bajo.

Los profesores que trabajaron el eje de geometría dedicaron gran

parte del tiempo a mostrar, dibujar, recortar y pegar figuras

geométricas, pero poco tiempo al análisis de la situación.

Todo esto descrito, no asegura el hecho que no existan posiblemente

otras prácticas pedagógicas en clases de matemática y de geometría en

nuestras aulas chilenas, pero al menos muestra una clara tendencia, por parte

de los profesores de matemáticas, a realizar clases carentes de los

requerimientos mínimos establecidos en el marco curricular, como es análisis

de situaciones, desarrollo de conjeturas y uso de software educativo (MINEDUC

2011).

Por otra parte, en los estudios de videos de clases del TIMMS (Stigler &

Hiebert, 2004), se ubicaron muy pocos casos donde el profesor trabajaba

demostraciones matemáticas a través del razonamiento deductivo. De esta

manera, se evidencia que, la enseñanza de teoremas y demostraciones es algo

que se dejaría de lado, por parte de los profesores, pese a que la enseñanza de

estas habilidades son, precisamente, las habilidades que la misma geometría

pretende incentivar en los estudiantes.

También se resalta que la forma de abordar los contenidos de geometría,

está lejano al uso de tecnología informática y telecomunicaciones (TIC),

contradiciéndose con estudios que evidencian los buenos resultados obtenidos

cuando se ha implementado el uso de estas tecnologías. En este contexto, es

que Iranzo y Forlury (2009) realizaron una investigación llamada “La influencia

conjunta de uso de GeoGebra y lápiz y papel, en la adquisición de

competencias del alumnado”, donde pudieron verificar que el uso de un

procesador geométrico llamado GeoGebra es una herramienta que promueve

de mayor forma el pensamiento geométrico y que facilita la visualización.

También se destaca, que ayuda a evitar obstáculos algebraicos permitiendo

concentrarse en los conceptos geométricos, al igual como lo comprobaron

Bernardis y Moriena (s.f.) en su artículo “Análisis de pruebas en un entorno de

geometría dinámica”, donde pudieron constatar de que el uso de un procesador

geométrico, motiva a los estudiantes a realizar exploración y su uso favorece al

convencimiento de la veracidad de las conjeturas.

Esto muestra que, un trabajo adecuado, con las herramientas apropiadas,

puede lograr cambios importantes que conlleven un avance en el aprendizaje

de habilidades matemáticas. Es importante no olvidar que, esto es un caso

entre tantos, ya que tal como fue posible observar en el estudio de Roberto

Araya (FONIDE, 2007), la tendencia es a realizar una clase formal, donde el

profesor está en el pizarrón mostrando algún teorema o realizando guías de

trabajo y sólo podemos encontrar casos excepcionales de trabajo donde los

estudiantes realicen deducción de demostraciones o hipótesis o de uso de TIC.

En contraparte, la bibliografía especializada (NCTM, 2000; García &

López, 2008), ha dado claros indicios de que la geometría es una de las áreas

que debe ser mayormente abordada por el currículum, dado su potencial en el

desarrollo de habilidades como la visualización de objetos y de problemas,

además de la habilidad de razonamiento, siendo la herramienta TIC, la que

demuestra mejores resultados en esa materia. En el caso particular de la

geometría, el uso del procesador geométrico GeoGebra es uno de los más

usados en Chile y en el mundo debido a su cualidad de software libre y por su

amplia utilidad (GeoGebra.org).

Dado este conjunto de antecedentes acerca de la enseñanza de la

matemática y la geometría, se constata la necesidad de apoyar el aprendizaje

significativo de ellas, diseñando propuestas, tanto para los estudiantes, como

para los profesores, que ayuden al desarrollo de las habilidades de

visualización, exploración, razonamiento y de demostración, que se

favorecerían mejor de acuerdo a las experiencias revisadas, con la ayuda de los

procesadores geométricos, entre los cuales se destaca, GeoGebra.

En este contexto me pregunté:

¿Es posible diseñar materiales de enseñanza que apoyen la adquisición

de habilidades de visualización, razonamiento, construcción geométrica y

demostración, con el uso de procesadores geométricos?

¿Se puede implementar actividades de geometría con TIC, en el contexto

de una clase de matemáticas dentro de las aulas chilenas?

¿Son estas actividades apreciadas por profesores y estudiantes, como

una herramienta útil y beneficiosa para el aprendizaje?

1.2 Objetivo general

Diseñar actividades de geometría para el desarrollo de conjeturas,

razonamiento geométrico, teoremas y demostraciones en temas de la

circunferencia, para segundo medio, con uso de un procesador geométrico.

1.3. Objetivos específicos

1. Revisar enfoques de la enseñanza de la geometría y en la

literatura, pertinentes al área de estudio.

2. Indagar aspectos de la enseñanza de la geometría, y en

particular de la unidad de circunferencia, que son

implementados en un aula regular de segundo año medio.

3. Diseñar y crear materiales de enseñanza y documentos

complementarios (archivos, guías, sugerencias metodológicas,

pautas de evaluación, y otros según se requiera) necesarios

para la implementación de las actividades seleccionadas de

geometría para circunferencia, incorporando el uso de software

geométrico, de acuerdo a las sugerencias de la literatura y el

análisis de las experiencias de aula.

2. MARCO TEÓRICO

Pensando que la geometría nace desde nuestro entorno, debemos

entender que los estudiantes presentan muchos conocimientos previos sobre la

geometría, los cuales deben ser formalizados. “Si tuviera que reducir toda la

Psicología Educativa a un solo principio diría lo siguiente: el factor más

importante que el influye en el aprendizaje es lo que el alumno/a sabe.

Averígüese esto y enséñese en consecuencia” (Ausubel, 1978). Pero se puede

preguntar, si la formalización de estos conocimientos, se ha realizado en forma

adecuada en el contexto escolar. En consecuencia, en este marco teórico se

muestra una visión de cómo se ha enfrentado la geometría en las aulas

chilenas y cuál es el enfoque recomendado para poder lograr que el proceso de

enseñanza aprendizaje sea más efectivo, a través del logro de habilidades

relacionadas, entendiendo que el logro de estas habilidades no constituyen una

“fórmula secreta” para el logro de un aprendizaje significativo, si no que

orientaciones al docente para enriquecer el proceso de enseñanza. Así mismo,

se presenta a la tecnología como una herramienta de gran utilidad y que ha

demostrado buenos resultados en los estudiantes, específicamente, se hablará

de los procesadores geométricos, sus efectos y utilidades.

2.1. Geometría y su enseñanza

Para nadie es un secreto que en la enseñanza de la geometría hay algo

que no se está realizando bien, esto deducido de las diversas investigaciones

sobre los resultados de los estudiantes chilenos, en pruebas de evaluación de

aprendizajes, como SIMCE y TIMSS 2003, para primeramente es importante

darnos cuentas de que no existe una linealidad en el proceso de enseñanza y

aprendizaje, es decir, todo lo que se enseña no corresponde a todo lo

aprendido. Dado esto, debemos advertir que los estudiantes tienen como

necesidad básica, que el docente tenga las herramientas para formular diversas

maneras de enseñanza, pensando en los distintos estilos de aprendizaje de sus

educando, lo que resulta para el docente en un proceso de alta complejidad, ya

que el proceso de enseñanza–aprendizaje no lo puede limitar sólo a la

transmisión de métodos y técnicas (Assaél & Soto, 1992).

En el libro “Enseñanza de la geometría”, escrito por Silvia García y Olga

López en 2008, es posible evidenciar que muchos de los profesores, limitan la

geometría a cuestiones métricas, de área, volumen y ángulos, mientras que

para otros la geometría se relaciona con el conocer figuras o relaciones

geométricas con dibujos, reconociendo a esto como un glosario geométrico

ilustrado. Ahí se afirma que los estudiantes manifiestan poco aprendizaje y los

profesores, en su mayoría, no tienen las herramientas y estrategias para lograr

revertir ésta situación. La enseñanza de la geometría se ha convertido en un

círculo de repetición de experiencias que no ayudan, ni llevan a una mejoría en

los resultados en las evaluaciones, a las cuales se someten los estudiantes.

En cuanto a la enseñanza de demostraciones, se constata que la

enseñanza por imitación es la forma más utilizada para su enseñanza. El

profesor realiza una demostración, y luego, les solicita a los estudiantes hacer

lo mismo (Balacheff, 1988). Esto implica que, no porque un profesor “exhiba”

cómo se demuestra, será suficiente para decir que el profesor ha ensañado a

demostrar, porque cada nuevo contexto problema puede requerir una forma

distinta de demostración. De esta forma Balacheff realiza una clasificación entre

demostración pragmática y demostración conceptual, siendo la primera el tipo

de demostración en la que se recurren a la acción real o a la ostentación, es

decir, donde se hace una manipulación de los objetos en estudio y se realizan

las mediciones pertinentes, mientras que la segunda, la demostración

conceptual, está basada en un razonamiento deductivo, mediante la

formulación de definiciones y propiedades.

Como consecuencia de lo anterior, se reafirma que la enseñanza de la

geometría no se ha realizado de forma correcta, tanto por el enfoque que se le

entrega y el poco uso de las demostraciones como herramienta de desarrollo

del pensamiento. Al mismo tiempo, los problemas relacionados al proceso de

enseñanza–aprendizaje se ven maximizados cuando se observa que el tiempo

empleado para la cobertura de los contenidos mínimos obligatorios es muy

precario y en oportunidades es omitido, tal como se observa en el estudio sobre

la cobertura curricular en el sector de matemáticas, en la enseñanza media,

realizado por el Ministerio de Educación, donde se reveló que tan sólo un

69,7% de los profesores trabajan el contenido referido a geometría en 2° medio,

pese a que declararon implementar el programa oficial del Mineduc (MINEDUC,

2004).

2.2. Habilidades desarrolladas con la geometría

“Si el maestro tiene claro el porqué se enseña, estará en condiciones de

tomar decisiones más acertadas acerca de cómo enseñar”. (García & López,

2008, p. 27). El por qué enseñar geometría radica principalmente en dos cosas:

primero en el uso que este tiene respecto de nuestro entorno cercano, pues la

geometría nos permite modelar el mundo en que vivimos, y tal cómo lo dice

Breassan (2000), la geometría, es la matemática del espacio. La segunda

razón por la cual es importante enseñar geometría, radica en las habilidades de

pensamiento que ésta ayudaría a desarrollar. Esas habilidades pueden ser

varias, tales como, las habilidades de visualización, las habilidades de

construcción y/o de razonamiento, las que tienen múltiples usos para la vida

cotidiana, ya sea para resolver problemas o adaptarse al entorno, aunque esto

se vea contrariado con lo que ocurre de hecho en las aulas, por la ausencia de

estas mismas habilidades en la enseñanza y el aprendizaje escolar.

Los sistemas tradicionales de enseñanza no dan a los

estudiantes las herramientas para indagar, analizar y discernir la

información que los lleve a la verdadera toma de decisiones. Los

conocimientos impartidos son más bien atomizados, memorísticos y

no fomentan el desarrollo de la iniciativa, la creatividad, ni la

capacidad de comunicarse efectivamente por distintas vías. (Segura

& Chacón, 1996, p. 29).

Las habilidades específicas que se desarrolla en una buena enseñanza de

la geometría, según Hoffer (1981), Breassan (2000) y García & López (2008)

son clasificadas en 5 aéreas: visuales, verbales o de comunicación, de dibujo o

construcción, lógicas o de razonamiento y de aplicación o transferencia. Cada

una de ellas, se explican a continuación.

2.2.1. Habilidad de visualización

Esta es una de las habilidades principales y que de ser desarrollada

tempranamente en los estudiantes de educación básica, tal como lo propone el

ministerio de educación en los programas de estudio del MINEDUC (2012). Por

ejemplo, podemos ver que en el programa de estudio para primero básico, en el

eje temático de geometría se plantea como objetivo de aprendizaje que el

estudiante aprenda a visualizar las características y propiedades de figuras en

2D y 3D, teniendo como orientación didáctica, que esto se realice con material

concreto. Con esto podemos advertir que, en la enseñanza de la geometría, la

visualización es una de las habilidades adquiridas tempranamente, y que en

relación a lo postulado por Van Hiele (1982), corresponde al primer nivel de

pensamiento y conocimiento, pero diferenciado a que aquí entenderemos la

visualización también como un análisis de las componentes, mientras que Van

Hiele, propone en un nivel superior al análisis.

En forma muy acertada, se considera se puede referenciar el documento

llamado “Visualización y pensamiento matemático” de Cantoral y Montiel, donde

se define la visualización en los siguientes términos (2002, p. 2):

Se entiende la visualización no como el simple acto de ver,

pues visualizar una función, por ejemplo, no significa solamente

verla, mirarla o contemplar su gráfica, de hecho es posible

visualizarla sin verla… en un sentido más amplio, se entenderá que

la visualización en la habilidad para representar, generar, comunicar,

documentar y reflejar información visual en el pensamiento y el

lenguaje del que aprende… la visualización entonces, trata con el

funcionamiento de las estructuras cognitivas que se emplean para

resolver problemas, con las relaciones abstractas que formulamos

entre diversas representaciones de un objeto matemático a fin de

operar con ellas y obtener un resultado.

En consecuencia, es posible entender la visualización como el proceso

cognitivo basado en el uso de elementos visuales espaciales, tanto mentales

(representaciones mentales) como físicos, utilizados para resolver problemas o

probar propiedades. En este proceso se debe reconocer las componentes y

propiedades que son inherentes a elemento geométrico. La visualización por

tanto está muy ligada a la imaginación espacial, por ejemplo, la siguiente figura

es una imagen plana, sin volumen, sin embargo es posible identificarlo como

una figura 3D si imaginado aristas conformando un paralelepípedo.

Ilustración 1: paralelepípedo.

2.2.2. Habilidad de comunicación

Una vez que el estudiante sea capaz de realizar alguna visualización física

o mental es importante que éste logre transmitir la información que infiere, es

decir, debe él pasar por el proceso de interpretar, entender y comunicar

información geométrica, ya sea en forma oral o en forma escrita, es a esto a lo

cual se llama habilidad de comunicar.

Si bien, Van Hiele no define a la habilidad de comunicar, como un nivel de

aprendizaje, este autor le entrega una gran relevancia a esta habilidad,

indicando que, en la base del aprendizaje de la geometría, hay dos elementos

importantes, “el lenguaje utilizado”, es decir que los estudiantes debe dominar

un leguaje adecuado, para poder designar por su nombre a las relaciones y

objetos geométricos, y como segundo elemento, propone “la significatividad de

los contenidos”, refiriéndose a la capacidad del los estudiantes para

comprender lo que se les presenta dado sus conocimientos previos y niveles de

razonamiento, entregado en particular por la edad del estudiante. Es así que,

Van Hiele propone por tanto, como un acto fundamental, que el profesor invite a

los estudiantes, siempre, a comunicar sus ideas y a argumentar sus respuestas

con el lenguaje correspondiente a su nivel de aprendizaje y a los términos ya

conocidos o estudiados.

2.2.3. Habilidad de dibujo o construcción

Esta habilidad está referida a la capacidad de los estudiantes de realizar

representaciones que constituyan un medio para que ellos mismos puedan

realizar exploraciones que lo lleven a construir nuevos conocimientos y/o

profundizar los conocimientos que ya tienen. Esto requiere que el estudiante

sea capaz de intuir los patrones necesarios para construir o reproducir algún

objeto, por ejemplo:

- Un estudiante de educación básica, que necesita reproducir un

cuadrado, en su cuaderno, considerando que la hoja donde lo realiza es

completamente blanca (no tiene líneas cuadriculadas que lo guíen),

tendrá que ver que los cuatro segmentos que conforman la figura tienen

la misma longitud y que los segmentos forman ángulos rectos, estos son

dos patrones que el estudiante debe tener en cuenta para realizar bien el

ejercicio.

- Un estudiante de enseñanza media, que debe dibujar un triángulo

equilátero, podrá realizarlo con la ayuda de un compás. Si se da cuenta

de que, dado uno de los vértices, que represente el centro de una

circunferencia de radio definido, uno de los puntos de esa circunferencia

podrá ser otro vértice de la circunferencia, si de él se crea una

circunferencia del mismo radio que la primera, luego entendiendo que la

intersección de estas dos circunferencias da origen al tercer vértice de un

triangulo equilátero, porque la distancia entre cada vértice define un radio

de alguna de las circunferencias congruentes.

Ilustración2: Construcción de triangulo equilátero

En estas situaciones los estudiantes identifican las figuras involucradas y

la manera en que estas se relacionan dentro de la figura completa, y tal como

se ve en estos casos, es importante el uso de materiales geométricos, tales

como la regla, el compás, la escuadra y transportador, con esto podemos decir

que esta habilidad se potencia mayormente si el docente promueve

continuamente el uso, por parte de los estudiantes, de instrumentos

geométricos. Sin embargo, tal como advierte Castellanos (2010), el instrumento

de la regla debe considerarse como un instrumento para trazar rectas y no para

medir, de esta forma es necesario tener una regla que no esté graduada, esto

por la poca precisión del instrumento.

La habilidad de dibujo, a la vez, es capaz de desarrollar o reforzar la

habilidad de visualización, entendiéndola como la construcción de objetos

geométricos, en forma gráfica o mental, y en ambas, se realiza una

representación de lo indicado en forma oral, escrita o simbólica.

2.2.4. Habilidad de razonamiento

La habilidad de razonamiento es considerada como una variedad de

acciones o como una secuencia lógica que tiene como objetivo el desarrollar

una demostración argumentativa de algo, realizada con un orden o método.

Entre las acciones consideradas podemos destacar:

- Hacer conjeturas y tratar de justificarlas o demostrarlas.

- Demostrar la falsedad de una conjetura al plantear un contraejemplo.

- Seguir una serie de argumentos lógicos.

- Identificar cuándo un razonamiento no es lógico.

- Hacer deducciones lógicas.

Es importante que los docentes puedan identificar dos tipos de

razonamientos: un razonamiento considerado como un proceso discursivo

natural, donde el estudiante busca demostrar, describiendo, explicando o

argumentando de manera espontánea, y otro tipo de razonamiento, como un

proceso discursivo teórico, donde el estudiante utiliza teoremas, axiomas o

definiciones para llegar a alguna conclusión, quedando a criterio del profesor, la

exigencia de uno o de otro, dependiendo de la etapa de aprendizaje. En este

razonamiento, es importante considerar, lo señalado por García & López (2008,

p. 65):

A pesar de que tradicionalmente la Geometría ha sido

considerada como el prototipo de una disciplina deductiva (sus

demostraciones son deductivas porque algunas propiedades se

demuestran o derivan a partir de otras ya demostradas o aceptadas

como verdades), en la enseñanza es conveniente usar la inducción

para elaborar conjeturas o construir conceptos.

2.2.5. Habilidad de aplicación o transferencia

Tal como se puede inferir de su nombre, la habilidad de aplicación, consta

que el estudiante pueda realizar la aplicación de lo aprendido, no solo en

ejercicios, sino que también en problemas geométricos. De esta forma,

podemos asegurar que el aprendizaje será significativo si se realiza la

aplicación del conocimiento en nuevos contextos, sobre todo si es capaz de

moldear geométricamente situaciones en su entorno, que no necesariamente

sean relacionados con la misma geometría.

En el programa de estudio de segundo medio (2011) del MINEDUC, la

habilidad de aplicación es muy poco mencionada, pues solo podemos

identificarla en los aprendizajes esperados, donde estipula el resolver

problemas relacionados con el teorema de Thales y Euclides, pero en relación a

esto, es legítimo preguntarse si los profesores, realmente, realizan problemas

contextualizados o sólo realizan ejercicios tipo de estas materias. Los

resultados nacionales de SIMCE y TIMMS dan respuesta negativa a este

cuestionamiento.

2.2.6. Habilidades matemáticas en las bases curriculares 2012

Dentro del cambio de las bases curriculares, las cuales fueron publicadas

el año pasado (MINEDUC, 2012), para la educación básica (de 1° a 6° básico),

es posible destacar el gran énfasis que se le entrega a las habilidades que los

estudiantes deben desarrollar en cada una de las áreas de aprendizaje. Aquí

podemos reconocer habilidades matemáticas que se ven perfectamente

relacionadas con las habilidades geométricas, que hemos descrito

anteriormente.

Es imperioso mencionar que las habilidades geométricas son una

especificación de las habilidades matemáticas, es decir, las habilidades

geométricas anteriormente descritas, son habilidades matemáticas, descritas

para el eje temático de geometría.

Las habilidades descritas en las bases curriculares, educación matemática

(2012), son las siguientes:

Resolver problemas: se propone que los estudiantes puedan resolver

problemas, en lugar de simples ejercicios, realizándolo sin que se le haya

indicado un procedimiento a seguir. Luego de aplicar variadas

estrategias y obtener respuestas, el estudiante deber determinar la

pertinencia de esta.

Argumentar y comunicar: esta habilidad, la utilizan los estudiantes en

discusiones colectivas al tratar de convencer a otros de la validez de los

resultados obtenidos, se espera que los estudiantes sean capaces de

utilizar un amplio abanico de formas de comunicación de ideas,

apuntando principalmente a que ellos establezcan progresivamente

deducciones.

Modelar: el objetivo de esta habilidad es lograr que el estudiante

construya una versión simplificada y abstracta de un sistema,

usualmente más complejo, pero que capture los patrones claves y lo

exprese mediante lenguaje matemático (Bases curriculares 2012). Con

esto se propone por ejemplo comenzar por actividades de modelación

tan básicas como formular una ecuación que presente a una situación de

la vida cotidiana

Representar: en esta habilidad se espera que el estudiante sea capaz de

aprendan a usar representaciones pictóricas como diagramas, esquemas

y gráficos, para comunicar cantidades, operaciones y relaciones, y que

luego conozcan y utilicen el lenguaje simbólico y el vocabulario propio de

la disciplina.

Dada estas definiciones, podemos relacionar directamente la habilidad de

resolver problemas con la habilidad de aplicación y transferencia, porque en

ambas se espera que el estudiante sea capaz de resolver problemas y no tan

solo ejercicios. Por otro lado tenemos, la habilidad de argumentar y comunicar

con la habilidad geométrica de comunicación, siendo evidente su relación dado

el nombre que reciben; es con esta habilidad que los estudiantes comparten en

forma verbal o escrita, las relaciones que ellos están observando, pero también

podemos relacionar la habilidad de argumentar y comunicar con la habilidad

geométrica de razonamiento, dado que en esta última se pretende que los

estudiantes sean capaces de establecer deducciones argumentativas, tal como

lo propone la habilidad matemática de argumentar.

La habilidad de modelar, es posible relacionarla con la habilidad

geométrica de visualización, dodo que en estas dos habilidades encontramos

esencial que el estudiante sea capaz de captar patrones claves para luego

realizar análisis de la situación dada. Finalmente, es posible ver una

correspondencia entre la habilidad de representar con la habilidad geométrica

de dibujo y construcción, ya que en ambas se espera el trabajo con

representaciones graficas del objeto de estudio, aunque en la primera sólo se

espera el uso y en la segunda se espera que el estudiante las cree y luego las

use.

En forma específica la habilidad geométrica de razonamiento se describe

como un medio, sin embargo en el las bases curriculares se espera que el

estudiante bajo todas las otras habilidades (habilidad de resolver problema, de

argumentación y comunicación, la habilidad de modelar y la habilidad de

representar.) logre hacer razonamiento matemático.

2.3. Enfoques de enseñanza de la geometría

Respecto de la enseñanza de la geometría, es posible encontrar variadas

maneras de concebir su proceso de enseñanza aprendizaje, y donde se

estipulan indicaciones o definiciones del quehacer docente. Dentro de los más

destacados y los cuales se consideraron para la elaboración del diseño de

material en este trabajo, es posible nombrar a Van Hiele, Duval y también los

informes con orientaciones de NCTM.

2.3.1. Van Hiele

En el libro, “Structure and Insight”, Van Hiele, se refiere a su postulado de

que la enseñanza de la geometría se debe realizar cumpliendo cinco niveles de

razonamiento (comenzando desde nivel 0 al nivel 4) y por otra parte describe

cinco fases de aprendizaje. Respecto a esto, se aclara que, alcanzar un nivel

superior de pensamiento, significa que, con un nuevo orden de pensamiento,

una persona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a

nuevos objetos, además se da gran énfasis a que en la base del aprendizaje de

la geometría, hay dos elementos importantes: “el lenguaje utilizado” y “la

significatividad de los contenidos”. Lo primero implica que los niveles, y su

adquisición, van muy unidos al dominio del lenguaje adecuado y, lo segundo,

que sólo van a asimilar aquello que les es presentado a nivel de su

razonamiento. Si no es así se debe esperar a que lo alcancen para enseñarles

un contenido matemático nuevo (Fouz, F. & de Donosti, B., s.f.). Estas son

indicaciones, planteadas por Van Hiele, de suma importancia para un buen

desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje.

2.3.1.1. Niveles de razonamiento

Los niveles de razonamiento de, Van Hiele, se proponen de modo que, el

paso de un nivel a otro depende esencialmente de la enseñanza recibida y no

tanto de la edad o madurez de los estudiantes, es decir, dan una gran

importancia a la organización del proceso de enseñanza-aprendizaje así como

a las actividades diseñadas y los materiales utilizados. Además es importante

destacar, que aquello que es implícito en un nivel, se convierte en explícito en el

siguiente nivel (Gregorio, 2004; Fouz, F. & de Donosti, B., s.f.). A continuación,

se describe cada uno de los niveles propuestos por Van Heile, para el

aprendizaje de la geometría.

NIVEL 0 (de RECONOCIMIENTO). En este nivel, se reconocen las

siguientes acciones: los objetos se describen por su apariencia física mediante

descripciones meramente visuales, y asemejándoles a elementos familiares del

entorno. No hay lenguaje geométrico básico para llamar a las figuras por su

nombre correcto y no reconocen de forma explícita componentes y propiedades

de los objetos motivo de trabajo.

NIVEL 1 (de ANÁLISIS). En este nivel se reconocen las siguientes

acciones: se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias)

de los objetos y figuras. Esto se obtiene tanto desde la observación como de la

experimentación. Experimentando con figuras u objetos pueden establecer

nuevas propiedades, sin embargo, no realizan clasificaciones de objetos y

figuras a partir de sus propiedades o la elaboración de definiciones a partir de lo

observado.

NIVEL 2 (CLASIFICACIÓN). En este nivel, se reconocen las siguientes

acciones: se describen las figuras de manera formal, es decir, se señalan las

condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es importante,

pues conlleva entender el significado de las definiciones, su papel dentro de la

Geometría y los requisitos que siempre requieren. También, se realizan

clasificaciones lógicas de manera formal ya que el nivel de su razonamiento

matemático ya está iniciado. Esto significa que, reconocen cómo unas

propiedades derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las

consecuencias de esas relaciones; llevando consigo la estructuración de

demostraciones pero, en la mayoría de los casos, no las entienden en cuanto a

su estructura.

NIVEL 3 (DEDUCCIÓN FORMAL). En este nivel se reconocen las

siguientes acciones: se realizan deducciones y demostraciones lógicas y

formales, viendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas; se

comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan en

sistemas axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de las

Matemáticas; se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados

partiendo de proposiciones o premisas distintas lo que permite entender que se

puedan realizar distintas forma de demostraciones para obtener un mismo

resultado. Es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto nivel de

razonamiento lógico, se tiene una visión globalizadora de las Matemáticas.

NIVEL 4 (RIGOR). En este nivel se reconocen las siguientes acciones: se

conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se pueden analizar y

comparar permitiendo comparar diferentes geometrías; se puede trabajar la

Geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos,

alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático.

2.3.1.2. Fases de aprendizaje

FASE 1 de PREGUNTAS/INFORMACIÓN. Se trata de lograr determinar

los conocimientos previos de los estudiantes, está fase es oral y mediante el

uso de test, preguntas abiertas o individualizadas de parte del profesor que

ayuden a determinar el punto de partida de sus estudiantes y el camino a seguir

de las actividades siguientes, marcado principalmente por las respuestas

entregadas por los estudiantes.

FASE 2 de ORIENTACIÓN DIRIGIDA. Esta fase corresponde al momento

en que los estudiantes deben descubrir, asimilar, aplicar, comprender

conceptos, propiedades o relaciones, siendo está fase donde la importancia de

la capacidad didáctica del profesor/a más se va a necesitar, para determinar el

diseño de actividad más factible para el aprendizaje de sus estudiantes.

FASE 3 de EXPLICACIÓN (EXPLICITACIÓN). Es una fase de interacción

(intercambio de ideas y experiencias) entre estudiantes y en la que el papel del

profesor/a se reduce en cuanto a contenidos nuevos y, sin embargo, su

actuación va dirigida a corregir el lenguaje de los alumnos/as conforme a lo

requerido en ese nivel. La interacción entre alumnos/as es importante ya que

les obliga o ordenar sus ideas, analizarlas y expresarlas de modo comprensible

para los demás.

FASE 4 de ORIENTACIÓN LIBRE. En esta fase, los estudiantes se

enfrentan a desafíos de aplicación de contenidos, idealmente con problemas

abiertos, para que puedan ser abordables de diferentes maneras o puedan ser

de varias respuestas válidas conforme a la interpretación del enunciado. Esta

idea les obliga a una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un

razonamiento y lenguaje cada vez más potente.

FASE 5 de INTEGRACIÓN. En esta fase no se trabajan contenidos

nuevos sino que sólo se sintetizan los ya trabajados. Se trata de crear una red

interna de conocimientos aprendidos. En esta estructura de actividades se

pueden integrar perfectamente actividades de recuperación para los alumnos/as

que presenten algún retraso en la adquisición de los conocimientos

geométricos.

2.3.2. NCTM

El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) es una

organización definida como una organización profesional internacional

comprometida con la excelencia de la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas para todos los estudiantes. Esta organización, en el año 1998,

publica un borrador llamado “Principles and Standards for School Mathematics”,

teniendo la publicación final el año 2000, donde explicita los principios y

Estándares para la organización de currículo, entregando guía y herramientas

para la toma de decisiones para el desarrollo de los programas escolares de

alta calidad en la enseñanza de las matemáticas.

Los principios orientan la acción educativa. Forman parte de las grandes

decisiones subyacentes a todo currículo e implican a los ámbitos políticos,

sociales y económicos, estos principios son definidos como seis temas

centrales: equidad, currículo, enseñanza, aprendizaje, evaluación y tecnología.

Por otra parte los Estándares curriculares representan los contenidos y

procesos matemáticos que los estudiantes debiesen dominar, estos cinco

estándares de contenidos son: Números y Operaciones, Algebra, Geometría,

Medida y Análisis de datos y Probabilidad. Conjuntamente, hay otros cinco

estándares de procesos en los que se presentan modos destacados de adquirir

y usar el conocimiento: Resolución de Problemas, Razonamiento y

Demostración, Comunicación, Conexiones y Representación.

Ilustración 3: Principios y Estándares de NCTM

Nota: La ilustración muestra en forma gráfica lo que indica la NCTM en su

publicación Principles and Standards for School Mathematics.

Entre los fundamentos, respecto de cada principio, para la educación, que

propone la NCTM es posible destacar en cada uno que:

Igualdad. La excelencia en la educación matemática requiere igualdad:

grandes expectativas y un fuerte apoyo para todos los estudiantes.

NCTM

Principios

Equidad

Currículo

Enseñanza

Aprendizaje

Evaluación

Tecnología

Estándares

Contenidos

Números

Operaciones

Álgebra

Geometría

Medidas y análisis de datos y probabilidad

Procesos

Resolución de problemas

Razonamiento y demostraciones

Comunicación

Conexiones

Representaciones

Currículum. Un currículum es más que una colección de actividades.

Este debe ser coherente, estar focalizado en matemáticas relevantes y

estar bien articulado a través de los diferentes niveles.

Enseñanza. Una enseñanza efectiva de las matemáticas requiere

saber y comprender qué es lo que los estudiantes saben y necesitan

aprender de las matemáticas; y luego motivarlos y apoyarlo para que

las aprendan bien.

Aprendizaje. Los estudiantes deben aprender las matemáticas

entendiéndolas, construyendo activamente el nuevo conocimiento a

partir de sus experiencias y conocimientos previos.

Tecnología. La tecnología es esencial en el aprendizaje y la enseñanza

de las matemáticas. Este medio es capaz de influenciar positivamente

en lo que se enseña e incrementar a su vez el aprendizaje de los

estudiantes

Evaluación. La evaluación debe apoyar el aprendizaje de matemáticas

relevantes y proveer de información útil tanto a profesores como

estudiantes.

Por otro lado la NCTM, propone que los estándares de conocimiento

deben recibir diferentes énfasis a través de los grados (según el currículo

chileno, niveles de enseñanza: de primero básico a cuarto medio).

Ilustración 4: Estándares de conocimiento según NCTM

Fuente: Resumen ejecutivo. Principios y estándares para educación

matemática.

Finalmente, es necesario rescatar que dentro de los estándares de

proceso se menciona la importancia de que los estudiantes se enfrenten

continuamente a problemas, la importancia de realizar demostraciones para

desarrollar un comprensión en sus amplio sentido, la calidad educativa cuando

los contenidos se ven articulados, ya que las matemáticas no es un conjunto

separado de ejes.

2.4. Recursos tecnológicos para el proceso enseñanza-

aprendizaje de la Geometría

Todo docente, a la hora de enfrentarse a una planificación de clase,

necesita seleccionar los recursos materiales didácticos que ayuden a cumplir de

mejor manera con los objetivos propuestos. En consecuencia, es fundamental

elegir adecuadamente los recursos y materiales didácticos, porque constituyen

una herramienta fundamental para el desarrollo y enriquecimiento del proceso

enseñanza–aprendizaje de los estudiantes. En este contexto, podemos

encontrar el uso de las TIC (tecnología informática y de comunicaciones), como

una herramienta de gran relevancia, y que está generado cambios positivos al

momento de observar los resultados en evaluaciones de aprendizajes, tales

como el SIMCE, los cuales se evidencian en las experiencias reportadas en los

últimos años.

En efecto, diversos estudios revelan los logros obtenidos con el uso de

algún procesador geométrico como GeoGebra, tal como sucedió en los estudios

realizados por Iranzo, N y Forlury, J (2009) y por Bernardis, S y Moriena, S

(s.f.), en sus artículos llamados “La influencia conjunta de uso de GeoGebra y

lápiz y papel en la adquisición de competencias del alumnado” y “Análisis de

pruebas en un entorno de geometría dinámica”, respectivamente, donde los

resultados apuntan siempre hacia la promoción de las habilidades geométricas,

al usar procesador, especialmente la de visualización, además de que motivan

el interés de los estudiantes a realizar exploración y verificación de conjeturas.

En los últimos años, gran cantidad de instituciones han reconocido a la

tecnología como una herramienta potente para el desarrollo de aprendizaje

siendo la National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) una de las que

propone que el uso de tecnologías de la información y la comunicación en la

educación constituye un apoyo significativo en el proceso enseñanza-

aprendizaje: “La tecnología es uno de los principios para las matemáticas

escolares por lo tanto, la tecnología es fundamental en la enseñanza de las

matemáticas, influyen en las matemáticas que se enseñan y enriquecen el

aprendizaje” (NCTM, 2000, p. 26).

2.4.1. ¿Qué es un procesador geométrico?

Principalmente, un procesador geométrico (también llamados con el

nombre de software de geometría dinámica), es un programa de edición gráfico

que da la posibilidad de dibujar diagramas geométricos en la pantalla del

computador, teniendo la particularidad de que el diagrama representado se

redibuja de manera continua, conservando intactas las relaciones geométricas

que hayan sido declaradas en su construcción, así como todas las propiedades

geométricas implícitas en ella. Así, la naturaleza de las figuras que se hacen en

un procesador geométrico es diferente a la de los dibujos que hacemos con

papel y lápiz.

Existen diversos programas que se definen como procesadores

geométricos, tales como GeoGebra, Cabri y Geometry Stketch Pad, donde cada

uno se puede diferenciar por funcionamiento, calidad gráfica, precisión

matemática y costos. En particular se ha seleccionado describir en este trabajo,

GeoGebra, debido a su calidad y cualidad de software libre.

2.4.2. Cualidades de GeoGebra

GeoGebra es un software de matemáticas desarrollado por Markus

Hohenware de la Universidad de Salzburgo, Australia. Este procesador, es

capaz de englobar diversas áreas tales como la geometría, el algebra y el

cálculo, debido a que por un lado es un sistema de geometría dinámica, que

permite realizar construcciones geométricas, que posteriormente pueden ser

modificadas dinámicamente, mientras que, por otro lado, es posible introducir

ecuaciones o coordenadas en forma directamente y ofrece un repertorio de

comandos propios del análisis matemático (Castellanos, 2010).

Este procesador, ha tenido la distinción, que reconocen sus cualidades,

siendo galardonado por variadas instituciones internacionales tales como el

European Academic Software Award (Suiza, 2002), el International Free

Software, categoría Education (Francia, 2005) y la Association for Educational

Communication and Technology (USA, 2008).

En el proceso de uso de este programa, es posible advertir la facilidad con

que se logra tener dominio de los elementos de construcción geométrica, esto

debido a dos factores fundamentales, el hecho de que GeoGebra tiene una

versión en español, con lo cual el usuario (de habla hispana), asocia todas las

herramientas que este posee con su nombre, y por otra parte todos los

comandos de la barra de herramienta y barra de menú, tienen nombres que

explicitan su función que además, están señalados con una imagen que ayudan

a su comprensión.

Ilustración 5: barra de herramientas de GeoGebra.

Nota: La ilustración muestra las herramientas que presenta GeoGebra

(Lagos, J. 2012)

Para comenzar a graficar, basta con seleccionar alguno de los iconos

disponibles en la barra de herramientas, que al seleccionarlos, es posible

visualizar en la parte superior la forma en que se debe realizar el dibujo, por

ejemplo, al querer crear un polígono, es posible usar el icono llamado polígono,

el cual indica la forma en que se puede dibujar de la siguiente forma:

Ilustración 6: Interfaz GeoGebra

Nota: La ilustración muestra las herramientas que presenta GeoGebra

(Lagos, J. 2012)

En esta misma imagen, es posible ver que, además existe la interfaz,

donde es posible visualizar la formulación algebraica de los elementos

dibujados. En forma contraria es posible ingresar la expresión algebraica, para

luego observar el elemento que representa, esto se realiza a través de la barra

de entrada que se encuentra en la parte interior, la cual tiene comandos

predeterminados.

Ilustración 7: interfaz entrada en GeoGebra

Nota: La ilustración muestra la interfaz de entrada, para la fotma

algebraica de los elementos, en GeoGebra (Lagos, J. 2012)

3. METODOLOGÍA

Primeramente se realiza una investigación sobre los enfoques de

enseñanza que la literatura especializada entrega, como metodologías,

recomendaciones u orientaciones para el proceso enseñanza aprendizaje de la

geometría. Todo esto se remite a la misma creación del marco teórico donde se

resumen los puntos más importantes.

Luego de esto se realiza una investigación de observación de clases, esto

en vista de los problemas presentados en el aprendizaje del área de geometría,

mostrados en la literatura especializada, por lo cual se vuelve necesario

diagnosticar esta realidad en aulas y advertir la forma en que se está abordando

estos contenidos en aulas chilenas, previo a cualquier diseño de material

didáctico que se proponga.

En consecuencia en este trabajo, la metodología contempló cuatro partes:

la primera relativa a una revisión en la literatura especializada para determinar

enfoques y recomendaciones para la enseñanza de la geometría, lo cual se

reporta en el Marco Teórico; luego una segunda, dedicada a la observación de

clases, para determinar el cómo se presentan contenidos de geometría relativos

a circunferencia y sus ángulos, sección que se le llamó “Observación de

clases”. Luego, una tercera parte de diseño de materiales de enseñanza en

geometría de la circunferencia y sus ángulos, guiándose con las orientaciones

que nos entrega la literatura y con apoyo de un procesador geométrico, la cual

se llama “diseño de material” la cual exige una fase donde se realiza la

validación del material creado, que responde a la cuarta y última parte. En este

capítulo, se describen las tres últimas para una mayor comprensión.

3.1. Observación de clases

En esta sección se especifica la forma en que se realizó el proceso de la

observación de clases, es decir, el tipo de investigación realizada y las

preguntas de investigación que la orientaron, las fuentes de información

recabadas y la forma en que la información recopilada en esta investigación fue

analizada para obtener una muestra de la situación actual de la enseñanza de

las geometría, en aulas chilenas.

3.1.1. Tipo de investigación

La observación de clases se plantea como una forma de investigación

sobre aspectos importantes de la enseñanza de la geometría, en algunas de las

aulas chilenas. El tipo de investigación elegida corresponde a una cualitativa, a

través del método de investigación educativa llamada “estudio de caso”. Los

estudios de casos son descritos por Yin (1989), como el tipo de investigación

donde se describe y analiza una unidad social o entidad educativa única. Este

tipo de investigación es de gran ayuda para este trabajo debido al objetivo que

esta persigue. Tal como la define Walker, en su libro “Método de investigación

para el profesor”, el estudio de caso es un método de investigación, que todo

profesor debiese utilizar, ya que permite llevar a cabo una reflexión profunda

sobre lo que acontece en el aula, para poder formular una hipótesis y nuevas

formas de trabajo que mejoren el aprendizaje. Con esto, se manifiesta que este

trabajo partió con una investigación cuyo propósito fue describir y explicar, la

manera en que se enseñan los contenidos de geometría, pero que como

objetivo de trabajo se traduce en la creación de materiales y metodologías

alternativas que ayuden con soluciones para el problema observado, de malos

resultados obtenidos en evaluaciones nacionales, por parte de los estudiantes

en las pruebas de matemáticas, específicamente en el contenido de geometría.

Por otro lado, este tipo de investigación tiene carácter heurístico, debido a

que pretende corroborar en aula, lo descrito en el marco teórico como el foco

problema.

3.1.2. Fuente de información

En el estudio de campo realizado, las fuentes de información con las

cuales se trabajó fueron tres. La primera corresponde a notas de campo de la

observación de clases a un profesor 1 (Ver anexos), con un enfoque de

observación de forma intencionada, luego una encuesta a un profesor 2, que

tiene características similares al profesor 1, y finalmente, la revisión del

cuaderno de algún estudiante del profesor 1, de modo de complementaran la

información de la observación de clases con las notas de los estudiantes.

Se afirma que la observación fue intencionada porque se esperó

responder las siguientes preguntas ejes, a través del registro de las clases

observadas:

¿Se realizan actividades que ayuden a lo visualización de los teoremas y

conceptos tratados en clases? ¿De qué forma? ¿Se utiliza procesadores

geométricos?

¿Los estudiantes descubren por si mismos las propiedades de los ángulos

de la circunferencia? ¿De qué modo?

¿Se presentan problemas contextualizados o que representen desafíos

para los estudiantes?

3.1.3. Pregunta de investigación

¿Cómo se enseña teoremas y demostraciones de circunferencia en un

segundo medio?

3.1.4. Marco situacional

La investigación se desarrolló en el liceo Nuestra Señora de las Mercedes

de Puente Alto, colegio que pertenece a la Corporación Educacional del

Arzobispado de Santiago. Este establecimiento es mixto, de financiamiento

compartido, de jornada escolar completa y que imparte educación científico

humanista.

Es importante señalar que, este establecimiento corresponde al centro

donde la autora de este trabajo realizó su práctica profesional docente, por lo

cual, tanto directivos, profesor y estudiantes, conocen al observador.

El estudio de caso, se realizó al curso segundo medio A, el cual estaba

constituido por 36 estudiantes, con edades promedios de 16 años, mientras que

el profesor a cargo, al cual llamaremos profesor 1, es un profesor titulado de

Licenciatura en Educación en Matemática y Computación, de la Universidad de

Santiago de Chile.

Las clases observadas son precisamente las correspondientes a la unidad

de geometría, orientada a la sección de circunferencia y sus ángulos1. La

unidad se comenzó a estudiar el día 28 de noviembre del 2012, mientras que

las observaciones se iniciaron el día 30 de noviembre, habiendo una sola

sesión no observada, teniendo un total de 5 sesiones observadas, lo que

equivale a 7 horas pedagógicas, es decir 5,25 horas cronológicas.

En cada una de estas clases, se realizó la observación pertinente,

habiendo una transcripción de estas mismas (ver Anexo 1). El observador se

ubicó en la parte posterior de la sala, de modo de no interrumpir el desarrollo

normal de la clase, y sin distraer a los estudiantes, siendo muy importante la

confianza existente entre el profesor de la clase y la observadora. Debido a la

1 La unidad de geometría se puede subdividir en dos unidades diferentes, tal como se explicita

en el libro de texto del estudiante. La primera unidad es de triángulos y semejanza y la segunda unidad corresponde a circunferencia y sus ángulos.

relación profesor guía y practicante, es que el profesor observado, no se sintió

presionado a realizar una clase perfeccionada y se realizaron clases en forma

normal, en similares condiciones a las realizadas en el contexto de la práctica

de la autora, con un observador presente.

Posteriormente, en la etapa de análisis de los registros, el profesor

observado fue contactado para completar el proceso de realización de una

encuesta. Sin embargo, la encuesta no fue posible de completarse debido a que

el profesor observado, fue desvinculado del establecimiento, al igual que la jefa

de unidad técnica y director, por razones que no se pudieron determinar.

De este modo, en el curso de la investigación, se decidió incorporar la

opinión de un segundo profesor, de similar perfil al profesor observado, con el

propósito de comparar las información recolectada de las observaciones de

clase, lo propuesto por la literatura revisada, y lo que declara un profesor de

matemática, acerca del tema de estudio. A este nuevo participante, lo

llamaremos en adelante Profesor 2. Este profesor 2, corresponde a otro

profesional de la educación titulado de la carrera Licenciatura en educación

matemática y computación, de la Universidad de Santiago de Chile, quien

realiza clases de matemática en el colegio Pablo Apóstol de Buin, es decir,

tiene similares características similares al Profesor 1, al cual se observó en su

desarrollo de las clases. La entrevista completa al Profesor 2, fue reproducida

en Anexo 6.2.

3.1.5. Para el análisis de los registros de observación

Una vez realizada la observación de las clases, del tema circunferencia y

sus ángulos, y de realizar la transcripción de las clases observadas, fue

necesario responder las preguntas ejes de la investigación, las cuales fueron

planteadas antes de realizar la misma observación, dado que con esta acción,

es posible hacer un primer acercamiento para contrastar lo realizado en las

clases, tanto por el profesor como por los estudiantes, con las orientaciones

pedagógicas entregadas por la literatura especializada. En particular, se

preguntó:

¿Se realizan actividades que ayuden a desarrollar algunas de las

habilidades geométricas (visualización, comunicación, dibujo y

construcción, razonamiento y/o aplicación o transferencia)? ¿De qué

forma? ¿Se utiliza procesadores geométricos?

¿Los estudiantes descubren por si mismos las propiedades de los

ángulos de la circunferencia? ¿De qué modo?

¿Se presentan problemas contextualizados o que representen desafíos

para los estudiantes?

En base a esas preguntas, a continuación, se realizó una revisión y

análisis de las acciones realizadas en las clases, para determinar la presencia

y/o ausencia de aspectos relevantes propuestos en la literatura, tales como las

habilidades promovidas, niveles de razonamiento obtenidos, correcto desarrollo

de fases de aprendizaje, principios para la educación presentes y los

estándares de proceso utilizados. También se buscó destacar acciones nuevas,

que no se identificaran dentro de la literatura, y que contribuyeran al desarrollo

de los aprendizajes de los estudiantes. Se buscó complementar y diferenciar los

resultados preliminares de las observaciones con las explicaciones dadas por el

profesor 2, pero que nos informa acerca de las decisiones didácticas típicas que

realiza, tales como, el tiempo de dedicación a cada actividad, el uso de

visualizaciones, el uso de tecnología y otras. Con todo lo anterior, se obtuvo

una caracterización acerca de las clases correspondientes al contenido

circunferencia y sus ángulos, de segundo medio, en un aula chilena.

3.2. Diseño de material didáctico

En esta sección, se explican aspectos metodológicos contemplados en el

diseño de los materiales, es decir, se da a conocer la forma y los materiales

necesarios para el desarrollo de la propuesta de material que se elaboró, por

ejemplo, el contenido a abordado, las habilidades que se deseó fomentar y

enfoques de enseñanza que se utilizaron, especificando el tipo de material que

elaboró y la herramienta tecnológica que se utilizó en este material.

3.2.1. Contenidos a abordar

El contenido a trabajar, en la propuesta de material didáctico, es aquel

planteado por el MINEDUC (2011), entre los contenidos mínimos obligatorios

para segundo medio, en la segunda unidad, la unidad de geometría,

específicamente el contenidos de ángulo del centro de la circunferencia y

ángulo inscrito de la circunferencia, donde además se proponen como

aprendizajes esperados, que los estudiantes logren:

Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia, y

relacionar las medidas de dichos ángulos.

Demostrar relaciones que se establecen entre trazos determinados por

cuerdas y secantes de una circunferencia.

3.2.2. Habilidades y enfoques de enseñanza a desarrollar

En diferentes niveles y con distintas frecuencia, dentro de los materiales a

elaborar se vio necesario abordar los contenidos con cada una de las

habilidades nombradas en el marco teórico: visualización, comunicación, dibujo

o construcción, razonamiento y aplicación o transferencia, estando presente los

primeros 4 niveles de razonamiento de Van Hiele, es decir, con el material que

se desarrolla, no se espera que los estudiantes logren el nivel de rigor, pero si

se espera que, al menos, la gran mayoría de los estudiantes puedan lograr

realizar en forma “correcta” la deducción formal (no es necesario que siempre

este bien realizada una deducción formal, pero sí que los estudiantes, hagan

sus esfuerzos pará realizarlo).

Respecto de los estándares de proceso, propuestos por la NCTM, es

necesario advertir, que estos se encuentran presentes en las habilidades

descritas anteriormente. Se puede ver que las habilidades de razonamiento,

comunicación y representación se presentan como parte de los estándares de

proceso de razonamiento y demostración, comunicación y representación (en

algunos casos vemos que tienen el mismo nombre), mientras que la habilidad

de aplicación y transferencia, se presenta como parte de los estándares de

resolución de problemas y conexión.

3.2.3. Material a elaborar

Los materiales a elaborar fueron precisamente dos: el primero

corresponde al material para los estudiantes, donde se pretendió desarrollar las

habilidades geométricas ya descritas y presentadas en este mismo trabajo, a

través de los estándares de proceso propuestos por la NCTM. Se propuso

trabajar con 2 Actividades del estudiante, que se describen a continuación:

Mundo circular: donde se trabaja los trazos que se encuentran en una

circunferencia y las relaciones que existen entre el ángulo del centro y

el ángulo inscrito.

Relacionando segmentos de la circunferencia: donde se trabajo los

contenidos de propiedades entre cuerdas de circunferencia,

propiedades entre secantes de una circunferencia y propiedades

entre secante y tangente de una circunferencia.

Su estructura es común y se determina en 6 partes fundamentales, que

los estudiantes deberán trabajar en cada guía de trabajo, para cada contenido,

las cuales los estudiantes podrán reconocer con los siguientes nombres.

Explora: donde se pretende que el estudiante desarrolle la habilidad

de visualización

Exprésate: donde se pretende que el estudiante desarrolle la

habilidad de comunicación

Construye: donde se pretende que el estudiante desarrolle la

habilidad de dibujo y construcción, y donde los estudiantes realizar

trabajo con GeoGebra.

Demuestra: donde se pretende que el estudiante desarrolle la

habilidad de razonamiento, y donde es necesario conectarse con lo

realizado en GeoGebra.

¿Cómo estoy?: donde se pretende que el estudiante desarrolle la

habilidad de aplicación y transferencia y donde debe realizar

ejercicios y se enfrentan a problemas

Algo más: en esta sección también se trabaja la habilidad de

aplicación transferencia pero entregando datos que completen o

cierre el aprendizaje.

Es necesario destacar que, para cada contenido a trabajar, no es

necesario que se utilicen todas y cada una de las partes de una guía recién

presentadas, pero si es fundamental el realizarlo en el orden indicado,

respondiendo a los niveles de aprendizaje que propone Van Hiele.

El segundo material diseñado, corresponde al material para el profesor,

donde se le entrega las orientaciones didácticas para que realice correctamente

las fases de aprendizaje, y donde se presenta la forma en que es posible llegar

a desarrollar el razonamiento y las demostraciones geométricas.

3.2.4. Uso de GeoGebra

Gracias a que este procesador geométrico es amigable con el usuario, no

es necesario tener una clase específica para aprender a utilizarlo. De esta

manera, se propuso el uso del procesador, directamente en las actividades, sin

necesidad de apresto más que la propia exploración del estudiante. Sin

embargo, sí se ve necesario que el profesor sea capaz de revisar las opciones

del programa anteriormente o de revisar el manual en línea, disponible en

http://www.geogebra.org/cms/, para poder tener un manejo óptimo de las

herramientas que este dispone. Así, el uso del procesador geométrico

GeoGebra, se hizo con dos propósitos. Primero para poder hacer la

visualización de los objetos geométricos, y luego, para poder realizar y revisar

los procesos geométricos en la construcción, para poder lograr la deducciones

necesarias para las demostraciones.

3.3. Para la validación de material propuesto

Tras la elaboración de las actividades para el estudiante y las

recomendaciones para el profesor, el material desarrollado, fue enviado a un

profesor experto, el que actuó como validador de la propuesta, haciendo

observaciones, correcciones y sugerencias respecto del contenido y tratamiento

de los contenidos, así como, de la metodología empleada en el uso del

procesador geométrico GeoGebra.

La validación del material elaborado, la realizó el profesor Mauricio Moya

Gaete, quien es un profesor de matemática y computación de la Universidad de

Santiago, magister en educación con especialidad en didáctica de la

Universidad Humanismo Cristiano, y que ejerce como docente en las áreas de

tecnología educativa, didáctica de las matemáticas y práctica profesional

docente, tanto en Universidad Academia de Humanismo Cristiano como en la

Universidad Diego Portales.

Esta persona presenta una alta idoneidad para cumplir con el papel de

validador, puesto la mayor parte de su tiempo lo ha dedicado a ser diseñador

curricular y creador de material didáctico, para el área de matemática, por lo

cual tiene una vasta experiencia en la evaluación de guías, actividades, pautas,

etc., para el trabajo con estudiantes de educación media.

Al evaluador, se le entregó una pauta de apreciación con puntos

fundamentales que debía contemplar el diseño del material, la cual se adjunta

en el Anexo 6. 8. Con las observaciones del validador, se trabajó en las mejoras

del material para responder a los estándares señalados en esta propuesta.

4. RESULTADOS METODOLÓGICOS

Respondiendo a las cuatro partes en que se dividió la propuesta

metodológica, más la necesidad emergente de validación de la propuesta

didáctica, es que en este capítulo se presentan precisamente, los resultados en

cuatro secciones: primero los resultados de investigación de enfoques de

enseñanza, luego el análisis de los aspectos de enseñanza en algunas aula

chilenas, donde se realizó la observación de clases y en forma conjunta, una

entrevista a un profesor, tercero el desarrollo del diseño de material propuesto,

y finalmente, los resultados de la validación del mismo material.

4.1. Revisión de enfoques de enseñanza de la geometría

Esta sección se trabajo íntegramente en el marco teórico, donde se

especifica los dos enfoques de enseñanza que se toman como referencia para

la observación de clases y para el desarrollo de material, siendo estos, la

propuesto de Van hiele y sus fases de aprendizaje, y por otro lado, los

estándares de proceso que propone la NCTM. Por otra parte, se toma como

objetivo el poder desarrollar las habilidades geométricas que se describe en la

literatura y por tanto también en el marco teórico. La integración de todo esto,

es lo que se propone como orientaciones para enfocar la enseñanza de la

geometría.

4.2. Análisis y resultados de investigación de aspectos de

enseñanza en aulas chilenas.

Un primer resultado del análisis de las observaciones de clases realizadas

al profesor 1 y la entrevista al profesor 2, permitió primeramente advertir una

tendencia al poco desarrollo de conjeturas y demostraciones de los estudiantes

de enseñanza media en clases de matemática, tal como lo reporta Roberto

Araya (2007) y los videos de clases del TIMMS (2004) realizadas en aulas

chilenas, y por otra parte, la escasa implementación de las recomendaciones

que entrega la literatura, acerca de la importancia del desarrollo de habilidades

geométricas, de estructurar la enseñanza en fases de aprendizaje, como lo

propone Van Hiele, y otras, que no fueron observadas en el desarrollo de las

clases. Para organizar los resultados del análisis realizado, se retoman ahora

las preguntas ejes, que se propusieron como fuentes de información, de este

modo, se reporta un análisis parcelado en cada uno de los puntos importantes y

por cada profesor participante del estudio.

4.2.1. Desarrollo de habilidades y uso de procesador

geométrico

Una pregunta propuesta para la observación del Profesor 1 fue: ¿Se

realizan actividades que ayuden a desarrollar algunas de las habilidades

geométricas (visualización, comunicación, dibujo y construcción, razonamiento

y/o aplicación o transferencia)? ¿De qué forma? ¿Se utiliza procesadores

geométricos?

Entendiendo la visualización como un proceso, en donde el estudiante ve

una imagen para el estudio de sus propiedades, es posible decir que, sí se

realizaron actividades de visualización en las clases observadas, pero ellas

estuvieron ausentes de una parte muy fundamental, que el estudiante pueda

cambiar las condiciones o algunos patrones para explorar de lo que sucede con

ciertos cambios. Esto se constató en la primera observación hecha al profesor

1, donde él presenta una ilustración para acompañar cada definición, como la

medida de longitud de un arco, relacionándolo con el ángulo del centro y la

visualización de un ángulo semi-inscrito, pero esta visualización es única y fija,

y no permite la exploración.

Otro aspecto ausente, fue el desarrollo de la habilidad de comunicación, la

cual fue muy poco practicada por parte del mismo Profesor 1 y también de sus

estudiantes. Por ejemplo, para explicar un concepto matemático, el profesor 1

se remitía a tomar como referencia la definición de su libro (Santillana de 2°

medio, el cual no corresponde al libro entregado por el Ministerio de Educación

en 2012) y a realizar el dictado de la definición dada en el libro para que la

copiaran los estudiantes a su cuaderno. Otro ejemplo de la falta de

comunicación en las clases analizadas del Profesor 1, fue encontrado cuando

los estudiantes tuvieron que resolver problemas. De las clases observadas, fue

nulo el registro de de estudiantes tratando de explicar el método de resolución

que utilizó para cierto problema o de las conjeturas que realizó para algún

ejercicio.

En cuanto al desarrollo de la habilidad de dibujo y construcción, se

observó que esta se limitó a la reproducción en el cuaderno de un dibujo

realizado por el Profesor 1 en la pizarra, y que en muchos casos, los

estudiantes lo hicieron de manera incorrecta, ya sea de forma

desproporcionada, es decir, sin las propiedades que conlleva un dibujo

geométrico. Las otras dos habilidades, razonamiento y aplicación o

transferencia, estuvieron totalmente ausentes en las observaciones de clases

realizadas. Por ejemplo, ninguno de los estudiantes realizó conjeturas, por si

mismo, ni mucho menos demostraciones de propiedades geométricas

estudiadas, y el profesor tampoco los estimuló a realizarlas.

De todo lo anterior, es posible inferir que las habilidades geométricas

fueron poco trabajadas y que la única herramienta metodológica utilizada fue el

pizarrón, es decir, no se utilizó ninguna herramienta tecnológica ni mucho

menos un procesador geométrico. Por otra parte, si se analiza lo que declara el

Profesor 2 en su entrevista, se constata que él entrega gran importancia al

desarrollo de habilidades matemáticas para esta unidad, pero que no tiene

claridad sobre su significado o las confunde. Por ejemplo, ante la pregunta:

¿Considera usted que en esta unidad es posible desarrollar habilidades de

razonamiento?, el Profesor 2 entrega una respuesta en la cual evidencia que

asimila la habilidad de razonamiento con la de aplicación y transferencia,

indicando que esta unidad permite el desarrollo de otros contenidos como

“Thales”.

Sin embargo, no se puede negar que este Profesor 2, sí intenta que sus

estudiantes realicen razonamientos matemáticos, puesto que él declara que si

realiza demostraciones en sus clases, las cuales son parte de las habilidades

de razonamiento geométrico. Un punto muy favorable destacado en este

Profesor 2, es que él realiza actividades con uso de un procesador geométrico

(GeoGebra) y bajo su experiencia, esto ha tenido buenos resultados en su

práctica, debido al interés que produce en los estudiantes el trabajar con este

tipo de herramientas, favoreciendo en gran parte el aprendizaje. Pero tal como

él lo menciona, esta herramienta la está utilizando solamente, para el desarrollo

de la habilidad de visualización.

4.2.2. Descubrimiento de propiedades geométricas

La segunda pregunta eje propuesta fue: ¿Los estudiantes descubren por

si mismos las propiedades de los ángulos de la circunferencia? ¿De qué modo?

Para la cual, dentro de los registros de las observaciones al Profesor 1, se

obtiene una respuesta clara y categórica: no se realizan actividades de

descubrimiento. Cabe destacar que, a pesar de que el profesor propuso en la

segunda clase, como objetivo el descubrir los teoremas de los ángulos de las

circunferencias, el desarrollo de todas las clases fue proponer una relación con

ángulos y aplicarla a ejercicios tipo.

Respecto del Profesor 2, es importante señalar que de la entrevista, no es

posible inferir si las demostraciones y descubrimiento de propiedades las

realizan los mismos estudiantes o no, pero ante la pregunta realizada:

¿Considera usted que en esta unidad es posible desarrollar habilidades de

comunicación?, es posible desprender que la clase se centra en lo que el

profesor comunica, más que lo que los estudiantes son capaces de comunicar,

a partir de las situaciones presentadas en clase. Lo cual denota un enfoque

centrado en la actividad del profesor por sobre un enfoque centrado en lo que

los estudiantes descubren.

4.2.3. Problemas y ejercicios propuestos

La tercera pregunta eje que se propuso para la observación de clases del

profesor 1 fue: ¿Se presentan problemas contextualizados o que representen

desafíos para los estudiantes? Las respuestas a las anteriores preguntas,

hacen inferir que es evidente que en la unidad desarrollada, se trabajó con

ejercicios descontextualizados, es decir, con un nivel de abstracción de la

realidad, lo cual posiblemente conlleva a una desmotivación por el aprendizaje

matemático, debido a que para el profesor y para el estudiante, está unidad de

trabajo representa un contenido que no tiene aplicabilidad y que por tanto no es

importante conocer.

El profesor 1 no presentó o propuso algún problema para que los

estudiantes resolvieran, sino más bien ejercicios donde se aplicaba cierta

propiedad. Se puede evidenciar en la tercera observación de clases, que el

profesor presentó un ejercicio el cual comprende un mayor grado de dificultad,

pues involucraba conocimientos anteriores, pero este ejercicio aún así, no

cumple con los requerimientos de un problema tal como se propone en la

literatura, es decir, que promueva la habilidad aplicación y transferencia, y

también, como un estándar de proceso de la educación propuesto por la NCTM.

Respecto del profesor 2, no se le preguntó directamente sobre el uso de

problemas reales en esta unidad, pero dada las respuestas que entrega en

variadas preguntas (preguntas 1, 2, 8 y 13), es posible inferir que la aplicación

que trabaja el profesor 2, está referida igualmente a ejercicios y no a problemas,

tales como se definen en este trabajo en la habilidad de aplicación y

transferencia y como NCTM propone en el estándar de proceso de conexión,

puesto que el profesor hizo alusión a los ejercicios que están en el libro de

matemática del estudiante, ejercicios que no cumplen con los requerimientos

de un problema real, al igual que lo que fue observado en las clases con el

Profesor 1.

4.2.4. Importancia de la unidad circunferencia

Otra de las observaciones importantes que se realizó durante el desarrollo

de las clases, y que no fue propuesto como una pregunta eje de la observación

para el profesor 1, pero que emergió de las observaciones realizadas, fue el

hecho que el profesor mismo aludido, no le asigna mucha importancia a la

unidad de circunferencia y sus ángulos en el currículum de segundo medio, lo

cual es transmitido por él mismo a los estudiantes con frases tales como: “este

teorema no se utiliza mucho, pero tienen que conocer” o “esto es algo

pequeño”. Frases como estas, pueden incidir en gran forma en el entusiasmo

del estudiante por el aprendizaje de la unidad.

En forma general, es posible afirmar, que las clases se limitaron a la

entrega de una definición y luego a un conjunto de ejercicios

descontextualizados, con lo cual se puede inferir que la planificación de

actividades no tuvo la dedicación necesaria para provocar interés o motivación

de parte de los estudiantes, sino más bien, se toma como objetivo, el completar

la transmisión de algunos de los contenidos mínimo obligatorios del programa

vigente, lo cual se suma al poco tiempo que se cuenta para la desarrollo de esta

unidad, debido a que se comenzó a desarrollar ésta al termino del mes de

noviembre, sabiendo que en el mes de diciembre, solo se dispone de 2

semanas antes del cierre del año escolar y que las calificaciones deben estar

procesadas a esa fecha. Esto revela, como a menudo, se realiza una mala

planificación anual de los contenidos a enseñar, que no se contempla la

dedicación del tiempo necesario para todas y cualquiera de las unidades, y por

tanto, algunas de ellas son casi condenadas a la poca importancia, como

ocurrió con la unidad de circunferencia y sus ángulos. También es importante

aludir a la ausencia de evaluación de la unidad, lo cual se contradice con lo que

nos propone la NCTM, como un principio de evaluación, dado que es

importante entenderlo como un apoyo al aprendizaje y que revela información

importante para el estudiante y para el profesor.

En forma contraria el profesor 2, en sus respuestas se refiere a un alto

grado de importancia de la unidad de circunferencia, y éste se refiere a la

relevancia de planificar bien esta unidad y que además se incluya trabajo con

GeoGebra para acrecentar el interés de los estudiantes en esta unidad, pero

lamentablemente, en la pregunta 8 que se refiere a que la importancia de esta

unidad, es el mismo profesor quien se remite a indicar que este contenido se

enseña por tradición, que por su utilidad para el desarrollo de habilidades o a su

aplicación en el entorno, recordándonos que este mismo profesor es quién

declara no conocer alguna aplicación del contenido a la vida real.

Finalmente, siendo la pregunta de investigación: ¿Cómo se enseña

teoremas y demostraciones de circunferencia, en segundo año medio?, es

posible decir que en muchos de los casos observados, se realizó una clase

centrada en el profesor, donde se entrega una relación y luego se realizan

ejercicios de aplicación, los cuales son descontextualizados. A pesar de las

recomendaciones sobre el uso de tic, y específicamente de procesadores

geométricos para fomentar el aprendizaje, se constata que no está siendo

incorporado como una herramienta importante para el desarrollo de habilidades

geométricas, y el problema es que, ante el poco y nulo uso de procesadores

geométricos, hasta donde se ha observado, estamos en ausencia de otros

métodos que novedosos y que produzcan mejoras en los resultados en el área

de geometría en pruebas nacionales e internacionales, por tanto, podríamos

erróneamente estar desechando un método servicial, al alcance de cualquier

profesor.

4.3. Propuesta de materiales

El material que se elaboró, constó de 2 actividades para el estudiante, y

para cada una de ellas, se confeccionó además una guía con indicaciones al

profesor, tal como se expuso en el capítulo 3.2. Diseño de material didáctico. El

material diseñado en una primera instancia, se adjunta en forma completa en el

Anexo 6.7, tal como se presentó al experto para su evaluación, de acuerdo a lo

que se describe en la metodología, sección 3.3, permitiendo dar origen a los

resultados de la validación, los cuales sirvieron para implementar las mejoras

en el material propuesto.

El material creado persiguió una estrecha relación con las habilidades

geométricas que se describieron en el marco teórico, implementando las fases

de aprendizaje que propuso Van hiele, junto con los estándares de proceso que

propone la NCTM. De acuerdo a lo anterior, en esta sección, se describen

explícitamente los elementos presentes en el diseño de cada uno de los

materiales del estudiante, y que se alinean a las sugerencias de la literatura.

4.3.1. Enfoque de Van Hiele en los materiales

Actividad 1: Mundo circular

La fase 1, propuesta por Van Hiele, referida a preguntas/información se

refleja en la sección COMENCEMOS, dado que es aquí donde se identifican

los conocimientos previos.

En la sección EXPLORA, se trabaja la fase 2, de orientación dirigida, porque

es aquí donde se pretende que el estudiante descubra propiedades y/

relaciones

En la sección EXPRESATE, se trabaja la fase 3, ya que aquí se espera que

el estudiante realice conjeturas y las exprese en forma escrita.

En las secciones CONSTRUYE y DEMUESTRA, se trabaja la fase 4, de

Orientación libre, ya que ambas secciones corresponden a una problemática

abierta, donde el estudiante debe usar sus conjeturas y generalizarlas.

En la sección ¿CÓMO ESTOY?, se trabaja la fase 5, de integración, ya que

en esta parte el estudiante debe sintetizar sus conocimientos adquiridos,

primeramente resumiéndolos para darlos a conocer a otros y luego

aplicándolos en ejercicios.

Actividad 2: Relacionando segmentos en la circunferencia

La fase 1, propuesta por Van Hiele, referida a preguntas/información se

refleja en la sección COMENCEMOS, dado que es aquí donde se identifican

los conocimientos previos.

La sección CONSTRUYE es capaz de sintetizar las fases 2 y 3, dado que en

esta misma sección, los estudiantes descubren propiedades y las van

expresando en forma inmediata, con las preguntas que se plantean para

cuadro de completación.

En la sección DEMUESTRA, se trabaja la fase 4, siendo la demostración el

desafío, como un problema abierto.

La sección ¿CÓMO ESTOY?, actúa de la misma forma que para la actividad

1, trabajándose la fase 5.

4.3.2. Desarrollo de habilidades geométricas en los materiales

En cuanto al desarrollo de las habilidades geométricas, es importante

mencionar que algunas de ellas, se trabajan en forma transversal durante el

desarrollo de la actividad, o a veces, como enfoque central de una sección de la

actividad, por lo cual, se describe de manera explícita la manera en que se

abordó su desarrollo, a continuación:

La habilidad de visualización, se trabaja en las secciones de EXPLORA y

CONSTRUYE, ya que en estas se construye, observa y manipulan los

objetos geométricos y se analizan ciertas propiedades.

La habilidad de comunicación, se trabaja en ambas actividades de forma

transversal, dado que en cada sección se pregunta, pide comunicar o

compartir sus descubrimientos o conjeturas, pero esta habilidad se trabaja

especialmente en la sección EXPRESTE.

La habilidad de dibujo o construcción se trabaja en la sección CONSTRUYE,

ya que el estudiantes debe reproducir la imagen que se le presenta.

La habilidad de razonamiento, se trabaja esencialmente en la sección

DEMUESTRA, dado que esta actividad representa la esencia de esta

habilidad.

La habilidad de aplicación y transferencia para la actividad 1, se trabaja con

las imágenes que entregan contexto a la sección EXPLORA, pero en la

actividad 2, se trabaja en forma transversal, dado que la transferencia se

realiza con el contenido de proporcionalidad de segmentos.

4.3.3. Estándares de NCTM en los materiales

Es importante mencionar que los estándares de proceso que propone

NCTM, se relacionan en forma directa con las habilidades geométricas que se

han presentado, dándose las siguientes coincidencias.

En el estándar de proceso resolución de problemas, se trabajan las

habilidades de conexión y de aplicación y transferencia.

En el estándar de proceso de razonamiento y demostraciones, se trabaja la

habilidad de razonamiento.

En el estándar de proceso de comunicación se trabaja la habilidad que lleva

el mismo nombre, es decir la habilidad de comunicación.

En el estándar de proceso de Representación se trabaja la habilidad de

visualización y la habilidad de dibujo y construcción.

4.4. Resultados de la validación

Una vez entregado el material elaborado al validador, él reportó por escrito

todas las observaciones y recomendaciones para mejorar las actividades para

el estudiante y la guía con sugerencias para el profesor. Las recomendaciones

han sido íntegramente transcritas a continuación.

4.4.1. Pauta de observación para el evaluador.

En esta pauta, se presenta una pauta de apreciación de los puntos

fundamentes con los cuales se diseñó la propuesta de actividades de

circunferencia. En la pauta, se proponen los siguientes niveles de apreciación

para cada afirmación:

5: Estoy totalmente de acuerdo con lo que ahí se dice.

4: Estoy de acuerdo, pero con ciertas restricciones.

3: Estoy en desacuerdo, pero con ciertas restricciones.

2: Estoy en total desacuerdo.

1: No observado o no corresponde.

Afirmaciones 5 4 3 2 1

La estructura de las actividades representa un orden lógico,

que ayude al entendimiento de los estudiantes.

X

La estructura de las actividades, responde adecuadamente los

niveles de aprendizaje que propone Van Hiele.

X

Los contenidos tratados en las actividades, corresponden a

los estipulados para 2° medio.

X

La aplicación que se entrega en cada actividad es adecuada X

en su relación con el contenido.

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían

desarrollar efectivamente la habilidad de visualización.

X

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían

desarrollar efectivamente la habilidad de comunicación.

X

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían

desarrollar efectivamente la habilidad de dibujo y construcción.

X

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían

desarrollar efectivamente la habilidad de razonamiento.

X

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes podrían

desarrollar efectivamente la habilidad de aplicación y

transferencia.

X

La forma en que se propone el desarrollo de conjeturas y

demostraciones, es coherente con el desarrollo de las demás

secciones de la actividad.

X

La forma en que se propone el desarrollo de conjeturas y

demostraciones, está conforme con los aprendizajes

esperados propuestos por el Ministerio de Educación.

X

El uso de GeoGebra, responde a una necesidad de la

actividad, enriqueciendo el proceso de aprendizaje

X

El uso de GeoGebra está propuesto en las secciones

correctas para el buen desarrollo de la actividad.

X

Las actividades en su complemento, corresponden a una

propuesta novedosa.

X

Las actividades en su complemento, corresponden a una

propuesta que ayude al fortalecimiento del aprendizaje de la

unidad de circunferencia y sus ángulos,

X

1. ¿Qué recomendaciones propondría para mejorar esta propuesta de

actividades?

Se recomienda hacer revisión de estilo, ortografía, errores tipográficos,

redacción…

Se recomienda unificar la notación matemática usando un solo tipo de

editor de ecuaciones, ya sea el incorporado o MathType. Es importante

cuando se trata de un material de esta naturaleza.

Las imágenes deben ser tratadas con la misma calidad en toda la guía.

Por ejemplo todas hechas con GeoGebra en resolución 300 dpi

Acorde al diseño propuesto mejorar las tablas…

En lo metodológico la guía se aprecia muy individualista. No se propone

un trabajo cooperativo que es importante en el aprendizaje matemático.

Sobre todo en la parte de conjeturar.

Intencionar más el uso de GeoGebra, justamente para potenciar la parte

de las conjeturas.

La sección de demostraciones requiere más orientación y guía para el

alumno. Muy abierto no opera.

Las definiciones y teoremas deben quedar fuera de este material. Eso es

más propio de un glosario o material de referencia.

La secuencia de INCIO – DESARROLLO – CIERRE no está muy clara,

especialmente el cierre o síntesis de la actividad. Antes de pasar a la

práctica es necesario un cierre o síntesis que integre los hallazgos.

En general se recomienda que la motivación o inicio incorpore algún

contexto que justamente motive el tema a introducir.

El lenguaje debe uniformarse hacia un lenguaje cercano al alumno o

coloquial. En algunas instrucciones se utiliza tratamiento formal.

2. ¿Qué fortalezas y qué debilidades presentan estas actividades?

Las fortalezas tienen que ver una actividad que pretende que los

estudiantes exploren, descubran y conjeturen. Además propone la

habilidad de demostrar matemáticamente. Por otra parte el uso de

GeoGebra es clave como elemento tecnológico que apoye la

visualización y la generación de conjeturas y posterior verificación.

La debilidad es parte de lo expuesto en el punto 1. Pero en esencia la

secuencia puede mejorar. Por ejemplo saltar de la demostración a la

práctica si hacer un cierre, síntesis y reflexión hace un corte importante

en el esquema INICIO – DESARROLLO – CIERRE. Por otra parte se

podría potenciar más el uso de GeoGebra para apoyar el descubrimiento

y conjeturas. Por ejemplo, en el caso de proporcionalidad que

establezcan en el software las razones y vean lo que sucede

La demostración queda muy abierta.

Por otro lado la actividad no intenciona un trabajo cooperativo, tan vital

en matemática.

A la actividad le faltaron componentes, por ejemplo un glosario.

3. Indique a continuación, si desea, nuevas observaciones a la propuesta

de actividades.

MATERIAL DEL PROFESOR:

El material del profesor tiene un esquema muy rígido, por ejemplo en la

propuesta “ANTE… ”. Se recomienda hacerlo más flexible y en un tono de

sugerencias.

Aquí habría que dar más orientaciones de la secuencia que debería

realizarse para la demostración en cada caso, o al menos los aspectos

claves. La parte de demostración es importante y falta más orientación en

ambos materiales.

No queda claro el rol de la SÍNTESIS o CIERRE en este material y tampoco

en la guía del estudiante. Mejorar la secuencia.

4.4.2. Análisis de resultados de validación

Dentro de las observaciones que realizo el validador, se da cuenta de

que las fortalezas de las actividades están precisamente en las acciones que

desarrollan habilidades geométricas, que dada las observaciones realizadas en

la investigación cualitativa, son necesarias de fortalecer, es decir, en las

actividades propuestas, el estudiante debe explorar, descubrir y conjeturar,

siendo estas una de las habilidades que no fueron vistas en las observaciones

de clases. Junto con esto, es importante que el mismo validador haya

destacado que en las actividades se desarrolla la habilidad de demostración

con un método matemático. Por otro lado, se destaca el buen uso que se da al

procesador GeoGebra, aunque igualmente se recomienda darle mayor

intencionalidad a su uso.

En relación a las recomendaciones que realiza el validador, y que fueron

tomadas en cuenta para realizar cambios en el material creado, están:

Unificar la notación matemática y formato de imágenes gráficas.

Fomentar más el trabajo en grupo en ambas actividades.

Dar más orientaciones a los estudiantes, en la sección de demostración.

Entregar un lenguaje más cercano a lo estudiantes, en los enunciados o

indicaciones.

Secuenciar mejor el inicio, desarrollo y cierre, especialmente el cierre,

dado que no se ve un momento de integración de los contenidos.

Uno de los puntos más débiles encontrados en los materiales, según es

observado en la evaluación que realizó el validador, es el hecho de que las

actividades no mostrarían, en forma clara, que se está utilizando las fases de

aprendizaje de Van Hiele. Se constata entonces la necesidad, de que al menos,

se indique en el las sugerencias al profesor, la intención de cada sección, de

manera de aclarar el propósito de las mismas y que quede claro para cualquier

profesor que tome la guía, las habilidades que se fomentan en cada sección y la

importancia de las mismas.

Finalmente, el validador propone que el material del profesor no sea tan rígido

respecto de las recomendaciones que se le entrega al profesor, y que más bien,

se realice en tono de sugerencias, de modo que el desarrollo sea también

amigable con el profesor que determine trabajar con este material, además de,

mayores orientaciones para que el pueda trabajar las demostraciones.

4.5. Propuesta de material con modificaciones

El material elaborado en primera instancia (Anexo 6.7) fue modificado,

respetando algunas de las recomendaciones dada por el profesor evaluador,

del modo que se especificó en el análisis de resultados de la validación, por lo

cual se mostrará a continuación las 2 actividades para el estudiante y para cada

una de ellas, la guía con sugerencias e indicaciones para el profesor.

4.5.1. Actividad 1 con modificaciones

__________________________________________

Actividad N°1 MUNDO CIRCULAR.

_________________________________

Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el comparar las medidas de ángulos del centro y ángulo inscrito y comprobar la existencia de relación entre ellos. Para ello, debes leer atentamente cada sección de esta actividad de trabajo y responder todas las preguntas y completar las actividades que se te proponen.

Dibuja en el esquema los siguientes elementos:

RADIO – CUERDA – DIAMETRO – RECTA SECANTE – RECTA TANGENTE

Indica cual es el ángulo del centro y ángulo inscrito y luego mide con un

transportador la medida de cada ángulo.

COMENCEMOS

El siguiente esquema representa un escenario al aire libre, en la que se observa el ángulo de visión que debe tener cada persona que se ubiquen en la primera fila.

Con la ayuda de un transportador mide el ángulo de visión del

escenario, que tiene cada persona que está representada por un punto rojo.

Teatro al aire libre El teatro al aire libre nació en la antigua Grecia y era muy parecido a los que se muestran en las ilustraciones adjuntas.

1. ¿Cuál es la medida del ángulo de observación que tiene la persona A?¿Y la B, C

,D y E?

2. ¿Qué relación hay entre esos ángulos?

3. ¿Qué pasaría si el teatro fuese más grande o más chico? ¿Qué pasa con el

ángulo de visión de las personas? Conjetura acerca de lo que podría pasar.

EXPLORA

La imagen adjunta muestra a dos personas que están en un escenario. Ellas son las encargadas de iluminación para una obra de teatro. Ellas tienen como tarea colocar 5 focos que iluminen el escenario completo.

4. Discute con tus amigos sobre el lugar en que se deben ubicar los focos para que

cada haz de luz, ilumine el escenario completo y con la misma intensidad. Escribe

las conjeturas más interesantes

5. Representa la situación con elementos geométricos:

6. Dada la situación de focos en el escenario ¿Qué característica tienen en común

los ángulos que forman los haces de luz, que iluminan el escenario?

7. ¿Cómo podrías generalizar la situación anterior?

EXPRESATE

Trabajemos ahora con GeoGebra: PASO 1. En GeoGebra construye una circunferencia de radio 8 centímetros, agrega un ángulo del centro y un ángulo inscrito, de modo que subtiendan el mismo arco. Tal como la imagen que se muestra adjunta.

PASO 2. Haz que la figara muestre la medida del ángulo del centro y del ángulo inscrito y responde:

¿Cuál es la medida del ángulo del centro? ¿Cuál es la medida del ángulo inscrito? ¿Qué relación numérica hay en las medidas de los ángulos?

PASO 3. Cambia la imagen que creaste. Puedes mover el punto B, C y D o incluso puedes cambiar la medida del radio de la circunferencia. Luego responde las siguientes preguntas:

¿Qué pasa con la medida del ángulo inscrito si mueves el punto D, vértice del ángulo, pasando por sobre la circunferencia?

¿Qué pasa con el ángulo inscrito cuando si ángulo del centro mide 180°?

¿Qué pasa con la relación entre los ángulos cuando el radio de la circunferencia es aumentado o disminuido?

CONSTRUYE

Completa la siguiente tabla, ayudándose de lo que usted observa al manipular la figura en GeoGebra.

Medida del ángulo del centro Medida del ángulo inscrito

75°

22°

De qué forma podrías generalizar la relación encontrada entre el ángulo.

Puedes revisar tu respuesta con el profesor.

De lo anterior plantea la hipótesis y la tesis correspondiente y luego realiza la demostración correspondiente. Recuerda que para hacer una demostración debes usar aquellas propiedades que ya conoces, tales como las propiedades de los triángulos.

Hipótesis: Aquí debes describir las condiciones iniciales o ideas que hasta ahora son

ciertas.

Tesis: Aquí debes escribir aquello que buscar demostrar.

Demostración: Aquí debes hacer una construcción geométrica que te ayude a

verificar tu tesis, escribiendo cada paso que haces y describir cada relación que se crea entre segmentos o igualdades de ángulos, mencionando la propiedad que cumplen.

DEMUESTRA

Explica a tus compañeros aquello que has aprendido y compáralo con lo

que ellos aprendieron

Entre todos los del curso formalicen alguna relación y colóquenla en tu

cuaderno y enmárcalo.

¿Crees que ante algún ejercicio te irá bien? Entonces ponte a prueba.

1. ¿Cuál es el valor del ángulo AOD, si O es el centro de la circunferencia?

a) -

b) -

c) 180 -

d) + e) Ninguna del las anteriores

2. En la figura, DO // CA, AB es diámetro y O es el centro. El ángulo DOC = , determine el ángulo BOD.

a) 180 - 2

b) 90 -

c) 2

d)

e) 2

¿CÓMO ESTOY?

3. En la figura siguiente, se tiene un semicírculo de centro O y <BAC = 20. El valor del ángulo CBD es:

a) 20° b) 35° c) 40° d) 55° e) 70º

4. En la figura, circunferencia de centro O, entonces el valor del ángulo ADO

a) 105º b) 90º c) 60º d) 45º e) 30º

5. ¿Cuánto mide el ángulo BAC?

6. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?

7. 75ºCBA , ¿Cuál es la medida

del arco Y?

8. º72 , ¿Cuánto mide el ángulo

BAC y el arco Y?

4.5.2. Actividad 2 con modificaciones

__________________________________________

Actividad N°2 RELACIONANDO SEGMENTOS EN LA

CIRCUNFERENCIA. _________________________________

Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el encontrar la proporcionalidad entre trazos en una circunferencia. Para ello debes leer atentamente cada sección de esta actividad de trabajo y responder todas las preguntas y completar las actividades que se te proponen.

¿Te acuerdas que es una proporcionalidad?

Proporcionalidad directa Si dos variables, x e y, cumplen que y = k · x donde k es una constante, entonces se

dice que x e y son directamente proporcionales

Sean dos triángulos, tales como los que se muestran en la figura, de los cuales se sabe que son semejante.

1. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que hay entre dos lados

homólogos y por tanto también de los triángulos?

2. ¿Cómo puedes buscar la medada del lado “e”, del cual no se tiene la

medida?¿Cuál es su medida?

COMENCEMOS

Trabajemos ahora con GeoGebra: PASO 1. En GeoGebra construye una circunferencia de radio 5 centímetros, agrega dos cuerdas que se crucen entre si, como el que se muestra en la figura, asignándole el nombre P al punto de intersección de las cuerdas

PASO 2. Haz que la figura muestre la medida de los segmentos AP, PB, CP y PD y luego realiza la siguiente actividad:

Completa la siguiente tabla con las medidas de los segmentos, para circunferencias con distintos radios y prueba con otro que tu quieras

Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]

5

6

3. ¿Encuentras alguna regularidad entre los segmentos? ¿Cuál?

Completa la siguiente tabla, pero ahora con el radio igual a 4 centímetros y cambiando la posición de cualquiera de los puntos.

Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]

4

4

Encuentra alguna relación de proporcionalidad entre las medidas de los segmentos.

4. ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos?

CONSTRUYE

PASO 3. En GeoGebra construye una circunferencia de radio 5 centímetros de modo que se ubiquen dos cuerda, que al extenderlas, se intercepten en el exterior de la circunferencia, al encontrar el punto de intercepción, asignándole el nombre P.

PASO 4. Realiza el mismo procedimiento de observar las medidas de los segmentos en GeoGebra y repórtalos en las siguientes tablas.

Complete la siguiente tabla con las medidas de los segmentos, para circunferencias con distintos radios y prueba con otro radio a tu elección

Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]

5

6

5. ¿Encuentras alguna regularidad entre los segmentos? ¿Cuál?

Complete la siguiente tabla, pero ahora con el radio igual a 4 centímetros y cambiando la posición de cualquiera de los puntos.

Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]

4

4

Encuentra alguna relación de proporcionalidad entre las medidas de los segmentos.

6. ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos?

7. ¿Qué pasara con la proporcionalidad cuando los puntos D y E están sobre puestos? Revísalo en GeoGebra.

De qué forma podrías generalizar la relación encontrada entre el ángulo.

Puedes revisar tu respuesta con el profesor.

De lo anterior plantea la hipótesis y la tesis correspondiente y luego realiza la demostración correspondiente. Recuerda que para hacer una demostración debes usar aquellas propiedades que ya conoces, tales como las propiedades de los triángulos.

Hipótesis: Aquí debes describir las condiciones iniciales o ideas que hasta ahora son

ciertas.

Tesis: Aquí debes escribir aquello que buscar demostrar.

Demostración: Aquí debes hacer una construcción geométrica que te ayude a

verificar tu tesis, escribiendo cada paso que haces y describir cada relación que se crea entre segmentos o igualdades de ángulos, mencionando la propiedad que cumplen.

DEMUESTRA

Explica a tus compañeros aquello que has aprendido y compáralo con lo

que ellos aprendieron

Entre todos los del curso formalicen alguna relación y colóquenla en tu

cuaderno y enmárcalo.

¿Crees que ante algún ejercicio te irá bien? Entonces ponte a prueba.

1. En la figura, O centro de la circunferencia de radio 12, AB es diámetro y AD = DO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) AC = 12 II) CD = 6√3 III) BC = 12√3

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III

2. En la figura, AB y CD cuerdas, ED = 4, AE = 20 y BE = 5. ¿Cuánto mide CD?

a) 29 b) 25 c) 21 d) 14 e) Ninguno de los valores anteriores

¿CÓMO ESTOY?

3. En la figura, el diámetro AB de la circunferencia mide 20 cm, la distancia entre el centro de la circunferencia a la cuerda CD es de 5 cm, entonces la cuerda CD mide

a) 5√3 cm b) 10 cm c) 10√3 cm d) 20 cm e) faltan datos para determinarla.

4. En la figura, AB y AE son secantes, AC = 2 cm, AE = 20 cm y ED = 16 cm. La medida de AB es

a) 41 cm b) 40 cm c) 39 cm d) 38 cm e) ninguna de las medidas anteriores.

5. En la figura, O centro de la circunferencia, AC y DC son secantes, BC = 6 cm, DC = 12 cm y DE = 5 cm. El diámetro de la circunferencia mide

a) 2 cm b) 4 cm c) 6,5 cm d) 8 cm e) 13 cm

6. En la circunferencia de la fi gura, PQ tangente, RQ secante, si RQ = 64 y RS = 48, ¿cuál es el valor de PQ ?

a) 32 b) 16√3 c) 12 d) 8 e) Ninguno de los valores anteriores

4.5.3. Material del profesor con modificaciones

Recomendaciones para el profesor

NOMBRE DEL DOCENTE: _____________________________________________________________ COLEG CURSO: 2° medio ____ SUBSECTOR: Matemática TÍTULO DE LA UNIDAD: Circunferencia y sus ángulos CONTENIDOS: ángulo del centro y ángulo inscrito APRENDIZAJES ESPERADOS: identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia y relacionar las medidas de dichos ángulos y demostrar relaciones de proporcionalidad que se establecen entre trazos determinados por cuerdas y secantes de una circunferencia OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES (OFT): Adquirir un sentido positivo del aprendizaje sistemático. Resolver problemas de manera reflexiva, explorando nuevos métodos de resolución de problemas. TIEMPO ESTIMADO: 5 clases (90 minutos c/u) HERRAMIENTAS: transportador, computadores, Data Show y GeoGebra.

SUGERENCIAS PEDAGÓGICAS ______________________________________________________________________________________________________

Actividad N°1 MUNDO CIRCULAR

______________________________________________________________________________________________________

Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el comparar las medidas de ángulos del centro y ángulo inscrito y demostrar la existencia de relación entre ellos.

Para esta primera actividad, se estima se dedique un tiempo de 3 clases de 90 minutos para completarla. En una primera clase, es probable que se trabaje hasta la sección EXPRÉSATE, luego en la segunda clase hasta la sección CONSTRUYE y finalmente, en la tercera clase se trabaje para completar las dos últimas secciones, DEMUESTRA Y ¿CÓMO ESTOY? La declaración del objetivo de clase es importante que la realice el profesor mismo, para que los estudiantes puedan orientar sus energías al logro de estos y que éste no pase desapercibido en el desarrollo de la ACTIVIDAD.

En esta sección, se revisan los conocimientos previos de los estudiantes a través del desarrollo de actividades, donde el estudiante debe identificar los objetos geométricos que serán utilizados más adelante, por lo tanto, es importante que el profesor revise minuciosamente que estos conocimientos estén bien logrados.

En esta sección, se espera que el estudiante sea capaz de indagar en una situación nueva y busque patrones. Esencialmente, se espera que imagine y realice mediciones geométricas, en los ángulos. Es en esta sección, se debe utilizar transportador, y por lo tanto, es importante asegurarse que sepan utilizarlo correctamente.

COMENCEMOS

EXPLORA

SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Cuál es la medida del ángulo de observación que tiene la persona A? ¿Y la B, C , D y E? Es importante que el estudiante registre las mediciones y el cómo las realizo, estimulándolo a tener un orden en su trabajo. SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Qué relación hay entre esos ángulos? Pueden aparecer dos posibles respuestas: una donde relacionen la medida de los ángulos, diciendo que son de igual medida u otra donde se refieren al arco que subtienden. En este caso se vuelve importante que los estudiantes expongan sus respuestas para hacer una retroalimentación con los mismos compañeros. SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Qué pasaría si el teatro fuese más grande o más chico? ¿Qué pasa con el ángulo de visión de las personas? Si los estudiantes ya se manejan con GeoGebra, podrían hacer esta exploración con el programa, para complementar el aprendizaje. Es posible que algunos estudiantes respondan que el ángulo se hace más chico si el teatro se hace más grande, por lo cual el profesor debe guiar la respuesta generando distintos ejemplos donde se visualicen las condiciones para observar que todo crece proporcionalmente.

Esta es la sección donde los estudiantes deben comunicar sus ideas. El rol del profesor se debe enfocar a poner mayor énfasis, a ampliar o corregir el vocabulario geométrico que están utilizando los estudiantes para expresar sus deducciones. Es posible que en el desarrollo de la clase el profesor tenga que realizar la completación de un glosario en el cuaderno de los estudiantes, lo cual complementa el desarrollo de las actividades.

SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: Conjetura sobre el lugar en que se deben ubicar los focos para que cada haz de luz, ilumine el escenario completo: Es posible que el estudiante responda que se debe colocar los focos más arriba o más abajo, correrlos hacia un lado u otro, pero es el profesor quien debe guiar a los estudiantes para que encuentren el lugar geométrico, es decir, que identifiquen los posibles lados del ángulo que determinan que el haz de luz coincida exactamente con el ancho del escenario. Idealmente, se espera que, el estudiante identifique un arco de circunferencia que cumple con este requerimiento para así pasar a representar la situación.

SUGERENCIAS PARA LA INDICACIÓN: Represente la situación con objetos y elementos geométricos Si los estudiantes presentan alguna dificultad para realizar esta actividad, será necesario indicarles a los estudiantes que revisen la primera ilustración de la parte de exploración con la imagen de los focos, para ver las similitudes y llegar a la visualización correcta de la situación

EXPRESATE

planteada. Es posible que haya que clarificar a los estudiantes que esto es una simplificación de un problema de iluminación, porque este trabajo comprende un desafío mucho mayor.

SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Qué característica tienen en común los ángulos que forman los haces de luz, que iluminan el escenario?

Esta respuesta, puede ser muy parecida a la segunda pregunta de la parte de exploración, por lo cual se debe pedir a los estudiantes que expresen, cada vez, de manera más completa su respuesta, antes de dar paso a la siguiente pregunta.

SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Cómo podrías generalizar la situación anterior? Aquí se debe hacer una conjetura más formal de todo lo visto anteriormente, nombrando los objetos y elementos geométricos que están presentes y la medida en la que se relacionan. Esta sección es muy dependiente del avance que tengan los estudiantes, para determinar si es posible que lo realicen los estudiantes en forma personal o en conjunto con el profesor, teniendo una ayuda para completarla

Esta sección, se debe trabajar con procesador geométrico (GeoGebra), por lo cual sería importante que el profesor pueda realizar previamente, las construcciones geométricas que se realizarán en esta actividad, para así estar más interiorizada en el proceso que deben enfrentar los estudiantes y poder dirigir de mejor forma el trabajo de ellos. Se espera que los estudiantes tengan experiencias previas de trabajo con GeoGebra, de modo que estén familiarizados con su uso y funciones Por otra parte es importante tener en cuenta la implementación necesaria para trabajar, para asegurar tener el material que se necesita. Puede usar un laboratorio donde los estudiantes trabajen en parejas o en grupo, o con proyección en el aula, todo esto dependiendo de las herramientas y disponibilidad de la tecnología, que tenga el establecimiento. Es importante que esta sección la trabajen al menos en pareja, para complementar los aprendizajes, entre compañeros. En el caso de usar una proyección en la sala de clases, es importante que la manipulación de los objetos sea realizada principalmente por los estudiantes, pues son ellos los deben descubrir las relaciones. Así, esta sección está centrada en la actividad personal de los estudiantes, puesto que el descubrimiento lo realizan ellos y el profesor debe limitarse a enseñar a utilizar ciertas aplicaciones de GeoGebra para la construcción Sólo al final de la clase, se espera que el profesor dirija la actividad para que los estudiantes compartan sus resultados.

CONSTRUYE

Esta sección, está abierta a la decisión del profesor de cómo trabajar la demostración del teorema. Se puede realizar en pizarra con participación de algún estudiante en forma conjunta con el profesor o en forma grupal o individual con apoyo del profesor, esto dependiendo del nivel de experiencia de los estudiantes haciendo demostraciones, puesto que para algunos estudiantes esta será la primera vez que deben realizar una demostración en formalmente.

La sugerencia, que se le entrega a los estudiantes, es que recuerde propiedades de triángulos, sugiriendo realizar esta construcción geométrica es posible trabajar una demostración relacionada con la figura siguiente.

Es importante que antes de comenzar esta sección, los estudiantes puedan resumir y transmitir los conocimientos adquiridos, por ello el profesor debe motivar a los estudiantes a que compartan sus apreciaciones. También es importante en esta sección, que los estudiantes realicen ejercicios tipo SIMCE, porque es la realidad, que ellos están viendo como más inmediata que tendrán que enfrentar. Por otra parte, estos ejercicios representan un desafío de abstracción de todos los contenidos que se han visto en la ACTIVIDAD. Solucionario de ¿CÓMO ESTOY?:

1.- D 2.- D 3.- B 4.- C

5.- 48° 6.- 34° 7.- 90° 8.- 90° y 144°

DEMUESTRA

¿CÓMO ESTOY?

Recomendaciones para el profesor

______________________________________________________________________________________________________

Actividad N°2 RELACIONANDO SEGMENTOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

______________________________________________________________________________________________________

Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el encontrar la proporcionalidad entre trazos en una circunferencia.

Para esta segunda actividad, se estima un tiempo de 2 clases de 90 minutos. En una de ellas se probable y espera que se trabaje las secciones COMENCEMOS y CONSTRUYE, mientras que en una última clase se trabaje las secciones, DEMUESTRA Y ¿CÓMO ESTOY? Es fundamental, tomar en cuenta las indicaciones entregadas en la actividad 1, sobre el cómo enfrentar cada sección se la actividad, considerándose el objetivo que tiene cada una.

En esta sección los estudiantes deben llegar a proponer las ecuación que representa la proporcionalidad de los segmentos que conforman el triangulo. Recordar que este es un aprendizaje que debió ser trabajado justamente antes de proponer el contenido de circunferencia, pues estas relaciones se trabajan en semejanza de triángulos, por lo cual no debería revestir mayor dificultad, si se trabajo adecuadamente el contenido de proporcionalidad, de no ser así, se necesitara orientaciones didácticas.

Esta sección se debe trabajar con procesador geométrico (GeoGebra), por lo cual, al igual que en la actividad anterior queda a criterio del profesor, según las herramientas disponibles. Esta sección es para uso exclusivo de los estudiantes, puesto que el descubrimiento lo realizan ellos y el profesor debe limitarse a enseñar a utilizar ciertas aplicaciones de GeoGebra.

SUGERENCIAS PARA LA PREGUNTA: ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos? Para que los estudiantes puedan encontrar las relaciones correctas, puede ser necesario, motivarlos a probar, calculando la razón entre las medidas de pares de segmentos o la multiplicación de la medida de los segmentos e ir observando alguna regularidad. Es probable que al revisar el trabajo de los estudiantes haya que preguntar ¿Ves alguna regularidad o igualdad?. Ellos debiesen descubrir, que corresponde a una proporcionalidad, tal como lo visto

COMENCEMOS

CONSTRUYE

en los triángulos. El profesor puede guiar el descubrimiento por medio de preguntas, tales como: ¿cómo son las medidas de los segmentos? ¿Cómo se los puede comparar? Luego puede sugerir realicen algunos cálculos con las medidas que les permitan deducir la proporcionalidad.

La sugerencia, que se le entrega a los estudiantes, es que recuerde propiedades encontrada en la actividad 1, sobre la relación de las medidas del ángulo del centro y el ángulo inscrito de triángulos, sugiriendo la construcción de dos triángulos y así el estudiante podrá realizar observación sobre los ángulos congruentes, dado que son opuestos por el vértice y que los ángulos subtienden el mismo arco, como en la siguiente figura.

ORIENTACION: Se deben crear triángulos, que se definen con los puntos de las secantes sobre la circunferencia y luego ver los ángulos congruentes, por ser opuestos por el vértice y aquellos que subtienden el mismo arco.

Es importante que antes de comenzar esta sección, los estudiantes puedan resumir y transmitir los conocimientos adquiridos, por ello el profesor debe motivar a los estudiantes a que compartan sus apreciaciones. Los ejercicios propuestos los debe hacer el estudiante en forma individual, para que pueda poner a prueba sus propios conocimientos, para luego hacer paso a una revisión, en forma grupal, de los resultados obtenidos. Solucionario de ¿CÓMO ESTOY?:

1.- E 2.- A 3.- C

4.- B 5.- B 6.- D

Para finalizar el proceso el profesor debe incentivar a los estudiantes para que ellos mismos puedan evaluar los conocimientos adquiridos y que nombren los conocimientos relevantes.

DEMUESTRA

¿CÓMO ESTOY?

5. CONCLUSIONES

En este seminario de titulo se plantearon tres objetivos, siendo el primero

de estos, realizar una revisión en la literatura especializada, sobre enfoques de

enseñanza de la geometría, que sirviera como referencia para la posterior

creación de material didáctico.

De las propuestas revisadas, destacan las escritas por el National Council

of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) y la Sociedad Andaluza de

Educación Matemática Thales (SAEM Thales, 2005), junto a la robusta

presentada por el doctor en matemática Van Hiele (Van Heile 1959 citado por

Fouz, F. & de Donosti, B., sf), pero a pesar del prestigio que presentan estos

autores e instituciones y de la completa propuesta teórica que ellos proponen,

se constató que existen escasos trabajos que desarrollen esas estas mismas

metodológicas, especialmente, aplicados a los contenidos de circunferencia y

sus ángulos. Esto resulta preocupante, debido a que, estudios que nos

demuestran el poco abordaje que tienen los contenidos de geometría en la

enseñanza media (Araya, 2007) y los bajos niveles de logro que han obtenido

los estudiantes chilenos, en diversas pruebas nacionales e internacionales

(MINEDUC 2004c; MINEDUC & IEA, 2011).

Dado esto mismo, es que tomó sentido desarrollar el segundo objetivo de

este seminario, que estaba referido a investigar sobre cómo se estaban

realizando las clases de geometría en enseñanza media chilena,

específicamente, en el tema de circunferencia. Para realizar esto, se asistió

para realizar observación, a las clases de matemática, de un curso que

estuviese revisando el contenido de circunferencia y sus ángulos. En las

observaciones de clases, se pudo verificar el hecho de que los enfoques de

enseñanza de la geometría y las habilidades geométricas que se proponen en

la literatura, no corresponden a la forma con que se está abordando la

enseñanza de la geometría, y por el contrario más bien se detectó, grandes

debilidades de parte del profesor para implementar actividades que motiven el

aprendizaje y conlleven a un proceso de enseñanza aprendizaje más efectivo,

esto debido a que las actividades realizadas, se limitaron al texto un libro y no

se trabajo con ninguna otra herramienta más que el cuaderno y la pizarra.

Posteriormente a la observación de clases, se buscó comparar la

información recopilada a través de una encuesta al profesor observado, sin

embargo no fue posible de realizarla debido a la negativa del profesor para

responder la encuesta. Entonces, se optó por realizar una encuesta similar a un

profesor que cumpliera con el mismo perfil profesional del profesor observado,

de modo que pudiese comparar la información declarada y evidenciada en

ambos casos, respecto a las preguntas indagadas. Respecto a lo anterior, es

justo reconocer que, metodológicamente, hubiese sido más robusto realizar un

proceso de observación de las clases al segundo profesor, al cual sí se

encuestó, sin embargo, esto no fue posible dadas las restricciones de tiempo y

la programación del contenido de circunferencia en el segundo semestre. Todo

lo anterior constata, las dificultades emergentes que tiene el proponerse

estudios de enfoque cualitativo en el aula.

Pese a las restricciones antes descritas, se pudo establecer

comparaciones entre los dos objetos de estudio, a decir, las observaciones de

clases y las declaraciones en encuesta del profesor. Un factor relevante que se

repitió en ambos registros, es la poca importancia que se asigna a la unidad de

circunferencia, dado que uno de los participantes declara abiertamente que los

contenidos no son muy importantes, mientras que el otro le da una importancia

atribuible únicamente a la tradición, implicando además el desconocimiento de

aplicaciones de los contenidos tratados. Además, mediante la observación de

clases fue posible ratificar la afirmación de García y López (2008), acerca de

que los profesores limitan la geometría a cuestiones métricas o a un glosario

geométrico ilustrado, dado que nula o vagamente los profesores propone a la

geometría como un área propicia para el desarrollo de las habilidades

matemáticas, que puedan inferir en aprendizaje de otras áreas.

Respecto al diseño y desarrollo de materiales de enseñanza que fomenten

el desarrollo de habilidades geométricas, que fue el tercer objetivo de este

trabajo, se constató problemas para encontrar aplicaciones de los contenidos

propuestos para esta unidad, lo cual se reflejó en el diseño de la actividad 2. En

ella, no fue posible encontrar alguna referencia a objetos o situaciones del

entorno cercano o cotidiano del estudiante, donde se aplique la

proporcionalidad de trazos en la circunferencia, en comparación a lo que ocurrió

con la relación de ángulo inscrito y ángulo del centro, donde sí fue posible

estudiar casos de ángulo de visión de un escenario y su iluminación. Sin

embargo, sí se pudo encontrar una aplicación y la transferencia de contenidos a

contenidos de números y álgebra, dado que en la circunferencia se observa un

caso donde la proporcionalidad de trazos se cumple.

Un segundo desafío en la creación del material para geometría, fue lograr

la complementación, en una sola propuesta, de fases de aprendizaje

propuestas por Van Heile y el desarrollo de habilidades generales de la

matemática propuesta por NCTM. En efecto, el trabajar en forma conjunta con

dos enfoques reunidos en un mismo material, presentó un reto metodológico no

menor. Así, el material abordó en forma completa las fases de aprendizaje, tal

como se propusieron en el marco teórico y metodológico, logrando que las

habilidades geométricas vayan surgiendo en el mismo desarrollo de las

actividades o en la continuidad del trabajo realizado, según las sugerencias

indicadas al profesor.

Respecto del material destinado a los profesores, las sugerencias

pedagógicas, es importante mencionar que es posible que para algunos

profesores encuentren que están ausentes algunas orientaciones más explicitas

de las demostraciones que se deben realizar para estos contenidos, sin

embargo es necesario aclarar que en este trabajo se consideró que escribir en

forma completa una demostración, limitaría la experiencia a una sola forma de

demostrar, lo cual resulta metodológicamente errado pues no permitiría que

surgieran nuevas maneras de abordar la actividad, además incluirla, podría ser

percibido como un remedial ante la incapacidad de los profesores de realizar

demostraciones matemáticas en ese ámbito.

Acerca de la validación del material creado, resulta importante destacar

que fue un gran aporte al trabajo realizado de diseño de materiales, puesto que

esta permitió constatar problemas de diseño técnico y metodológico, que no

hubiesen sido posibles de corregir a tiempo, si se hubiese obviado este

proceso. Producto de la validación, se pudo realizar cambios que fueron desde

la presentación de imágenes hasta mejoras al material dirigido a los profesores,

todas las cuales dada la inexperiencia de la autora en el ámbito de creación de

material didáctico, representaron un desafío importante y enriquecedor. De esta

manera, se concluye que diseñar actividades interesantes para los estudiantes

requiere de tiempo y conocimiento especializado, el cuál puede no estar al

alcance de todos los profesores de enseñanza media, por lo que el diseño de

actividades con bases metodológicas como el propuesto, resulta muy relevante.

Finalmente, respecto al hecho que el material desarrollo fue validado por

un solo experto, se determinó que éste tenía el perfil y experiencia necesaria

para realizar esta labor, la cual es escasa entre los docentes del área. Más

importantemente, se sugiere la validación del material desarrollado en

ambientes reales de salas de clases, donde los estudiantes y profesores

puedan poner a prueba la efectividad del material para el desarrollo de

habilidades geométricas. Este tipo de estudios requerirían un tiempo de

desarrollo más prolongado, pues el contenido es abordado una vez al año y

sólo en 2 año medio. Complementariamente, en un proceso de investigación y

desarrollo, nuevas adaptaciones del material serían necesarias para cubrir las

diferentes realidades educativas del país.

6. ANEXOS

6.1. Observación de clases de la unidad de circunferencia y sus

ángulos.

La observación se desarrollo en el liceo Nuestra Señora de las Mercedes

de Puente Alto, en el curso 2° medio A, el cual cuenta con 36 estudiantes, todos

con edades promedios de 16 años. Las clases observadas fueron realizadas

por el profesor Sergio Maldonado, quien es titulado de Licenciatura en

educación en matemática y computación de la Universidad de Santiago de

Chile.

Las clases observadas son precisamente las correspondientes a la unidad

de geometría, orientada a la sección de circunferencia y sus ángulos. La unidad

se comenzó a estudiar el día 28 de noviembre del 2012, mientras que las

observaciones se iniciaron el día 30 de noviembre, habiendo una sola sesión no

observada y que finalmente tuvo una duración total de tan sólo 5 sesiones.

Se realizo una revisión del cuaderno de un estudiante del curso, quien sí

estuvo presente en el día que no se realizo la observación, es decir el día 28 de

noviembre y se le realizo un par de preguntas.

Clase no observada.

Para esta clase el profesor propuso como objetivo el reconocer estructuras

y medidas de una circunferencia. Es posible evidenciar en el cuaderno del

estudiante que el profesor presento una imagen donde se identificaban

elementos como radio, diámetro, cuerda, tangente y arco, además se realizo el

cálculos de área y perímetro de una circunferencia siendo dos de cada uno y

otros tres ejercicios de cálculo de área de un sector circular. Finalmente se deja

planteado otros tres ejercicios de cálculo de arco de circunferencia.

Se le pregunto al estudiantes si algunas de las propiedades estudiadas,

ese día, se habían demostrado, de alguna manera, a lo cual el estudiante

declara que las clases fueron todas iguales, donde el profesor presentaba una

imagen, daba una relación matemática, luego un ejemplo y los estudiantes

desarrollaban ejercicios.

1° observación.

Al comenzar la clase el profesor le recuerda a los estudiantes que la clase

anterior se había dejado una serie de tres ejercicios planteados, donde ellos

debían realizar el cálculo de la longitud de un arco y asigna a algunos de los

estudiantes que realicen los ejercicios en la pizarra.

Ejemplo: Mida la longitud de

Los estudiantes salen al pizarrón a solucionar los ejercicios, escribiendo la

solución del problema, pero no hay un momento donde ellos expliquen qué y

cómo se realizo. El profesor tampoco se encarga de hacer una explicación.

Luego se entrega el objetivo de clase presente, definido como: Descubrir y

aplicar los teoremas de los ángulos de la circunferencia.

Luego de esto el profesor procede a dictar el teorema del ángulo inscrito y

se presenta la relación entre el ángulo inscrito y el ángulo del centro. Se puede

inferir, mediante las preguntas y comentarios, planteadas por los estudiantes,

que ellos no conocen los conceptos de ángulo inscrito, ángulo del centro o arco.

El profesor plantea un caso especial de este teorema, siendo este el de un

triangulo rectángulo inscrito en la circunferencia, a lo cual alguno estudiantes

preguntan entre ellos el significado de “inscrito”, pero al n o llegar al profesor

esta interrogativa, los estudiantes no se sienten seguros de la respuesta que se

dan entre ellos mismos. Se dicta: Todo triangulo inscrito en una circunferencia y

el diámetro sea un lado de esté, entonces estamos en presencia de un triangulo

recto.

El profesor dice: “Ahora veremos

en teorema del ángulo semi-inscrito,

este es un teorema que no se utiliza

mucho, pero tienen que conocer”, con

lo cual estimo que el profesor le quita

importancia a los contenidos que está

entregando. Respecto de este

teorema no se dicta y solo se

presenta un dibujo

El profesor le pregunta a los

estudiantes la relación existe entre los ángulos α y β, hasta que los estudiantes

adivinen y digan que α = β y no se pregunta el porqué.

El profesor presenta una serie de ejercicios, a lo cual sólo algunos

responden, mientras que otros conversan. El profesor se dirige solo a los

estudiantes que realizan consultas. Esos ejercicios propuestos no son

solucionados en ningún instante en conjunto con los estudiantes, ni se revisan

los resultados.

Para finalizar se hace revisión de cuaderno con los ejercicios

completados2.

2° observación.

El inicio de la clase se comienza con gran retraso y con un gran alboroto

de los estudiantes, donde algunos de los estudiantes se me acercan y me

comentan que ya no habrá clases y que por tanto la unidad de circunferencia no

será evaluada.

El objetivo de la clase se declara como “aplicar las propiedades de los

ángulos de la circunferencia”, luego el profesor comienza a anotar en la pizarra,

sin preocuparse del orden o de la atención por parte de los estudiantes, la

relación entre los ángulos de un cuadrilátero inscriptible, a lo cual el profesor

realiza el comentario “Esto es algo pequeño” y luego se dicta: “En un cuadrado

inscriptible los ángulos opuestos suman 180° (son suplementarios)”. Luego el

profesor propone ejercicios, los cuales son extraídos del libros Santillana, el

cual no es precisamente el entregado por el ministerio de educación. Para

revisar los ejercicios el profesor va puesto por puesto, aclarando las dudas de

quienes tengan algún tengan algún problema.

Posteriormente, el profesor vuelve a dictar, ahora tomando como subtitulo

los ángulos interiores de la circunferencia, definiéndola como la semisuma de

los arcos que comprende, para lo cual el profesor propone un ejemplo y un

conjunto de ejercicios.

Entre tanto hay al menos 3 estudiantes que se encuentran durmiendo.

La dinámica se repite para definir el teorema del ángulo exterior de la

circunferencia, definiéndolo como la semi resta de los ángulos que comprende,

luego propone un ejemplo y un conjunto de ejercicios, los cuales no son

2 El profesor durante todo el año ha realizado la actividad de revisión de cuaderno al finalizar la clase,

dándole a los estudiantes que tengan la clase completa un timbre, lo cual al finalizar el año será evaluado

como una nota de participación en clases.

revisados en la pizarra, mientras que la clase se da por terminada con la

revisión de los cuadernos.

3° observación

Al inicial la clase el profesor escribe en la pizarra el objetivo de la clase,

declarado como: Aplicar el teorema del ángulo interior y exterior de una

circunferencia” y luego vuelve a escribir los ejercicios propuestos en la clase

anterior y el mismo los soluciona, consecutivamente el profesor presenta

nuevos ejercicios relacionado con los dos teoremas, estos ejercicios presentan

un mayor grado de dificultad que los presentados en las clases anteriores,

porque no representan un único teorema, si no que consideran una

combinación del teorema del ángulo interior y exterior de la circunferencia. Si

bien los estudiantes son capaces de advertir que se debe utilizar las relaciones

de ambos teoremas, no son capaces de encontrar una forma de encontrar la

solución, sólo hasta que el profesor les dice que deben hacer un sistema de

ecuaciones para llegar a la respuesta correcta, con lo cual una pequeña parte

del curso es capaz de llegar a la respuesta.

Al igual que en veces anteriores, los estudiantes que tienen las respuestas

salen al pizarrón a solucionar el ejercicio, pero hay ausencia de refuerzos

positivos o alguna forma de asegurarse que el resto del curso haya

comprendido la forma de solucionar el problema presentado. Se finaliza la clase

dado el toque de timbre, con lo cual los estudiantes solo salen de la sala.

4° Y 5° Observación

En las siguientes dos clases de la unidad, el profesor no realizo la

declaración de los objetivos, siendo la dinámica de clases la misma para las dos

sesiones. El profesor entraba a la sala y le comunicaba a los estudiantes que se

realizaría la revisión de los timbres que tiene cada estudiante en sus cuadernos,

para poder traducirlos en la 7° nota del semestre.

El profesor le solicita a los estudiantes realizar los ejercicios propuestos en

el libro de clases, mientras que llama uno a uno a los estudiantes para contar la

cantidad de timbre. Es importante destacar que, la cantidad de estudiantes que

realizaron los ejercicios de la unidad, propuestos en el libro, fue mínima

(alrededor de 3 estudiantes), mientras que la mayoría sólo se dedicaba a

conversar.

6.2. Encuesta al profesor 2.

Dada la situación de desvinculación del profesor1 observado del

establecimiento escolar donde se realizo la observación misma, y del nulo

contacto con él, desde el término del año escolar 2012, es que se opto por

realizar una encuesta similar a la que se proponía para el profesor 1. Se debe

tomar en cuenta que el profesor 2, tiene características similares al profesor 1,

es decir, ambos ejercen como profesor de matemática en un establecimiento

particular subvencionado, mixto que cuenta con laboratorio de computación,

además que ambos tienen título de profesor de matemáticas y ambos tienen

edades similares.

El profesor 2, trabaja en el colegio Pablo Apóstol de Buin, donde lleva

trabajando 2 años, en los cuales siempre ha realizado clases en 2° medio. La

encuesta se realizo en el establecimiento y el profesor está al tanto de que la

entrevista se realiza debido a problemas con el profesor observado. Él también

fue informado medianamente del desarrollo de las clases observadas.

La entrevista realizada fue la siguiente:

1. ¿Usted considera que, los contenidos de la unidad de

circunferencia y sus ángulos, tienen aplicabilidad en la vida cotidiana?

No, puesto que hasta ahora no he conocido ninguna. Tal vez exista

alguna, pero yo no la conozco

2. ¿Usted considera necesario que los estudiantes conozcan

alguna aplicación del contenido para fortalecer el aprendizaje?

Si, para cualquier contenido, incluyendo este, es muy necesario

conocer las aplicaciones de lo que se está estudiando, porque se aprende a

mirar de otro modo el contenido. Son necesarias representan experiencias

significativas, y que ayudaran a aclarar el concepto, para poder tomar

decisiones y ordenar ideas y secuencias. Priorizar medio y fines

3. ¿Usted considera que este contenido puede ser utilizado o

abordado en alguna otra unidad temática, como el algebra o el

cálculo?

Sí, porque en esta unidad se estudian las relaciones de ángulos y

trazos y las son relaciones, y las relaciones son transversales

4. ¿Considera usted que en esta unidad es posible

desarrollar habilidades de razonamiento?

Si, por supuesto, con esta afirmación estoy muy de acuerdo, por

ejemplo, como consecuencia del ángulo inscrito se puede llegar a la

semicircunferencia de Thales y eso representa un desafío de razonamiento

para los estudiantes.

5. ¿Considera usted que en esta unidad es posible

desarrollar habilidades de comunicación?

Si. Ligado con la expresión Verbal que el profesor utilice se puede

lograr que el receptor desarrolle la comprensión y ampliación del lenguaje

matemático.

6. ¿Considera importante y necesario que los estudiantes

realicen demostraciones, dentro de esta unidad?

Si, es muy importante puesto es uno de los contenidos mínimos que

están en los planes y programas.

7. ¿De qué forma realizan las demostraciones sus

estudiantes?

Los estudiantes realizan demostraciones con los pasos hipótesis, tesis

y demostración. Pero necesitan mucha ayuda para poder lograr llegar a una

solución coherente completando cada uno de los pasos.

8. ¿Qué grado de importancia le entrega usted a la unidad de

circunferencia y sus ángulos?

Es importante debido a una tradición. Siempre se ha visto este

contenido y los estudiantes saben que este contenido lo verán en algún

momento de su vida de estudiantes.

Esta unidad es importante y muy práctica en el uso de ejercicios,

puesto que tiene aplicabilidad, se usa y demuestran teoremas.

En el libro de clases, entregado por el ministerio, esta unidad es la que

tiene mayor cantidad de ejercicios.

9. ¿Usted conoce y domina algún procesador geométrico, el

cual pueda ser utilizado en la enseñanza de la unidad de

circunferencia y sus ángulos?

Si, GeoGebra

10. ¿Ha utilizado este procesador con sus estudiantes y en

qué contexto?

Si lo he utilizado y precisamente tome este recurso para este contexto,

de modo que los estudiantes tuvieron que trabajar en pareja en un

computador, para poder hacer construcción de objetos geométricos.

11. ¿Considera apropiado el uso de Tic en la unidad de

circunferencia y sus ángulos?

Si estoy totalmente de acuerdo, porque cuando los estudiantes

trabajan con GeoGebra se interesan mucho más por el contenido,

comparado con las veces que fue visto sólo en la sala de clases, con

pizarra.

Los estudiantes se involucran más con el contenido, siendo un

recurso muy favorable para el aprendizaje.

12. ¿Cuál es el tiempo (cantidad de horas de clases), que

usted considera necesario, para que el desarrollo de la unidad de

circunferencia y sus ángulos sea en forma completa y apropiada?

Solo circunferencia y sus ángulos yo utilizo aproximadamente 3

semanas, teniendo 6 horas semanales.

13. ¿Qué factores cree usted que aportaron para el desarrollo

de la unidad y cuáles dificultaron el logro de los objetivos?

El tener hecha una buena planificación, mostrar a los estudiantes

inmediatamente una aplicación, donde ellos tengan que resolver problemas,

es decir, que los niños vallan aplicando los teoremas, valla viendo un

ejemplo y realizando ejercicios

Tener un buen orden en la sala de clases, contar con materiales de

pizarra, tales como compas y reglas

14. ¿Considera que usted tiene un buen dominio de los

contenidos de la unidad de circunferencia? ¿Dónde y cómo los

adquirió?

Si tengo un buen dominio de este contenido, básicamente gracias a

los conocimientos que adquirí en el colegio, pues en la universidad solo

tuve 2 semestres de geometría, pero ninguno de ellos se relacionaba con

este contenido en particular.

6.3. Material elaborado 6.7.1. Actividad 1

____________________________

Actividad N°1 MUNDO CIRCULAR.

______________________________

Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el comparar las medidas de ángulos del centro y ángulo inscrito y comprobar la existencia de relación entre ellos. Para ello, debes leer atentamente cada sección de esta actividad de trabajo y responder todas las preguntas y completar las actividades que se te proponen.

Antes de comenzar a explorar, debes tener muy claro que la circunferencia es el

lugar geométrico de todos los puntos del plano que están equidistantes de un punto fijo llamado centro.

Dibuja en el esquema los siguientes elementos:

RADIO – CUERDA – DIAMETRO – RECTA SECANTE – RECTA TANGENTE

En una circunferencia se pueden subtender distintos ángulos, entre ellos el

ángulo del centro y el ángulo inscrito, tal como los que se muestran en las siguientes figuras.

Indica cual es el ángulo del centro y ángulo inscrito y luego mide con un

transportador la medida de cada ángulo.

COMENCEMOS

El siguiente esquema representa un escenario al aire libre, en la que se observa el

ángulo de visión que debe tener cada persona que se ubiquen en la primera fila.

Con la ayuda de un transportador mide el ángulo de visión del

escenario, que tiene cada persona que está representada por un punto rojo.

Teatro al aire libre El teatro al aire libre nació en la

antigua Grecia y era muy parecido a los que se muestran en las ilustraciones

adjuntas.

1. ¿Cuál es la medida del ángulo de observación que tiene la persona A?¿Y

la B, C ,D y E?

2. ¿Qué relación hay entre esos ángulos?

EXPLORA

3. ¿Qué pasaría si el teatro fuese más grande o más chico? ¿Qué pasa con

el ángulo de visión de las personas?

La imagen adjunta muestra a dos personas que están en un escenario. Ellas son las encargadas de iluminación para una obra de teatro. Ellas tienen como tarea colocar 5 focos que iluminen el escenario completo.

4. Conjetura sobre el lugar en que se deben ubicar los focos para que cada

haz de luz, ilumine el escenario completo:

5. Representa la situación con objetos y elementos geométricos:

6. Dada las observaciones anteriores ¿Qué característica tienen en común

los ángulos que forman los haces de luz, que iluminan el escenario?

7. ¿Cómo podrías generalizar la situación anterior?

EXPRESATE

Trabajemos ahora con GeoGebra: junto con el profesor, dirigirse a un laboratorio

de computación o a una sala multimedia donde puedan proyectar el trabajo que se realice en el procesador geométrico.

PASO 1. En GeoGebra construye una circunferencia

de radio 8 centímetros, agrega un ángulo del centro y un ángulo inscrito, de modo que subtiendan el mismo arco. Tal como la imagen que se muestra adjunta.

PASO 2. Haz que la figara muestre la medida del ángulo del centro y del ángulo

inscrito y responde:

¿Cuál es la medida del ángulo del centro? ¿Cuál es la medida del ángulo inscrito? ¿Qué relación numérica hay en las medidas de los ángulos?

PASO 3. Cambia la imagen que creaste. Puedes mover el punto D, C y E o incluso

puedes cambiar la medida del radio de la circunferencia. Luego responde las siguientes preguntas:

¿Qué pasa si mueves el punto D que está sobre la circunferencia?

¿Qué pasa con el ángulo inscrito cuando si el ángulo del centro mide 180°?

CONSTRUYE

¿Qué pasa con los ángulos cuando el radio de la circunferencia es aumentado o disminuido?

Complete la siguiente tabla, ayudándose de lo que usted observa al manipular la figura en GeoGebra.

Medida del ángulo del centro

Medida del ángulo inscrito

75°

22°

Teorema: Para cada ángulo inscrito α, el ángulo del centro β que subtiende el

mismo arco de la circunferencia, cumple con que 2α= β. Distingue en el teorema anterior la hipótesis y la tesis correspondiente y luego

realiza la demostración correspondiente. Recuerda que para hacer una demostración debes usar aquellas propiedades que ya conoces, tales como las propiedades de los triángulos.

Hipótesis: Tesis: Demostración:

DEMUESTRA

1. ¿Cuál es el valor del ángulo x, si O es el centro de la circunferencia?

f) -

g) -

h) 180 -

i) + j) Ninguna del las anteriores

2. En la figura, DO // CA, AB es diámetro y O es el centro. El ángulo DOC = , determine el ángulo BOD.

a) 180 - 2

b) 90 -

c) 2

d)

e) 2

3. En la figura siguiente, se tiene un semicírculo de centro O y <BAC = 20. El valor del < x es:

a) 20° b) 35° c) 40° d) 55° e) 70º

4. En la figura, circunferencia de centro O, entonces x - y =

f) 105º g) 90º h) 60º i)45º j)30º

A

B

C

E

O x

y

60º

D

¿CÓMO ESTOY?

O

A

B

C

D

x

B

O

A

D

C

5. Hallar

BAC

6. º112y ,

x ______

7. º75x

, y ____

8. º72 ,

x ____ y ___

6.7.2. Actividad 2

________________________________________

Actividad N°2 RELACIONANDO SEGMENTOS EN LA

CIRCUNFERENCIA. ______________________________

Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el encontrar la proporcionalidad entre trazos en una circunferencia. Para ello debes leer atentamente cada sección de esta actividad de trabajo y responder todas las preguntas y completar las actividades que se te proponen.

¿Te acuerdas que es una proporcionalidad?

Proporcionalidad directa Si dos variables, x e y, cumplen que

y = k · x donde k es una constante, entonces se dice que x e y son directamente proporcionales

Sean dos triángulos, tales como los que se muestran en la figura, de los cuales se

sabe que son proporcionales.

8. ¿Cuál es la proporcionalidad que hay entre los triángulos?

9. ¿Cómo puedes buscar la medada del lado “e”, del cual no se tiene

la medida?

COMENCEMOS

Trabajemos ahora con GeoGebra: junto con el profesor, dirigirse a un

laboratorio de computación o a una sala multimedia donde puedan proyectar el trabajo que se realice en el procesador geométrico.

PASO 1. En GeoGebra construye una circunferencia de radio 5 centímetros, agrega dos cuerdas que se crucen entre si, como el que se muestra en la figura, asignándole el nombre P al punto de intersección de las cuerdas

PASO 2. Haz que la figura muestre la medida de los segmentos AP, PB, PC y PD y

luego realiza las siguiente actividad:

Complete la siguiente tabla con las medidas de los segmentos, para circunferencias con distintos radios.

Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]

5

6

Complete la siguiente tabla, pero ahora con el radio igual a 4 centímetros y cambiando la posición de cualquiera de los puntos.

Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]

4

4

Encuentra alguna relación de proporcionalidad entre las medidas de los segmentos.

10. ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos? PASO 3. En GeoGebra construye una

circunferencia de radio 5 centímetros, pero ahora que de modo que los radios no se intercepten en el interior de la circunferencia, así deberás prolongar los segmentos de modo que puedas encontrar el punto de intercepción, al cual deberás asignándole el nombre P.

CONSTRUYE

PASO 4. Realiza el mismo procedimiento de observar las medida de los segmentos y repórtalos en las siguientes tablas.

Complete la siguiente tabla con las medidas de los segmentos, para circunferencias con distintos radios.

Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]

5

6

Complete la siguiente tabla, pero ahora con el radio igual a 4 centímetros y cambiando la posición de cualquiera de los puntos.

Radio [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]

4

4

Encuentra alguna relación de proporcionalidad entre las medidas de los segmentos.

11. ¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos?

12. ¿Qué pasara con la proporcionalidad cuando los puntos D y E están sobre puestos? Revísalo en GeoGebra.

Teorema: En una circunferencia, cuando dos cuerdas se cortan, el producto de

los segmentos de una de ellas es igual al producto de los segmentos de la otra. Distingue en el teorema anterior la hipótesis y la tesis correspondiente y luego

realiza la demostración correspondiente. Recuerda que para hacer una demostración

DEMUESTRA

puedes agregar o dibujar elementos geométricos que te ayuden y debes usar aquellas propiedades que ya conoces, tal como la propiedad descubierta en la actividad 1, donde 2 ángulos inscritos son iguales si subtienden el mismo arco.

Hipótesis: Tesis: Demostración:

7. En la figura, O centro de la circunferencia de radio 12, AB es diámetro y AD = DO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) AC = 12 II) CD = 6√3 III) BC = 12√3

f) Sólo I g) Sólo II h) Sólo I y II i) Sólo II y III j) I, II y III

¿CÓMO ESTOY?

8. En la figura, AB y CD cuerdas, ED = 4, AE = 20 y BE = 5. ¿Cuánto mide CD?

f) 29 g) 25 h) 21 i) 14 j) Ninguno de los valores anteriores

9. En la figura, el diámetro AB de la circunferencia mide 20 cm, la distancia entre el centro de la circunferencia a la cuerda CD es de 5 cm, entonces la cuerda CD mide

f) 5√3 cm g) 10 cm h) 10√3 cm i) 20 cm j) faltan datos para determinarla.

10. En la figura, AB y AE son secantes, AC = 2 cm, AE = 20 cm y ED = 16 cm. La medida de AB es

f) 41 cm g) 40 cm h) 39 cm i) 38 cm j) ninguna de las medidas anteriores.

11. En la figura, O centro de la circunferencia, AC y DC son secantes, BC = 6 cm, DC = 12 cm y DE = 5 cm. El diámetro de la circunferencia mide

f) 2 cm g) 4 cm h) 6,5 cm i) 8 cm j) 13 cm

12. En la circunferencia de la fi gura, PQ tangente, RQ secante, si RQ = 64 y RS = 48, ¿cuál es el valor de PQ?

f) 32 g) 16√3 h) 12 i) 8 j) Ninguno de los valores anteriores

6.3.1. Recomendaciones al profesor

Recomendaciones para el profesor

NOMBRE DEL DOCENTE:

_____________________________________________________________ COLEGIO: CURSO: 2° medio ____ SUBSECTOR: Matemática TÍTULO DE LA UNIDAD: Circunferencia y sus ángulos CONTENIDOS: ángulo del centro y ángulo inscrito APRENDIZAJES ESPERADOS: identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia y

relacionar las medidas de dichos ángulos y de mostrar relaciones que se establecen entre trazos determinados por cuerdas y secantes de una circunferencia

OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES (OFT): Adquirir un sentido positivo del aprendizaje sistemático. Resolver problemas de manera reflexiva, explorando nuevos métodos de resolución de

problemas. TIEMPO ESTIMADO: 5 clases (90 minutos) HERRAMIENTAS: transportador, computadores y Data Show.

RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS ____________________________________________________________________________________________________

Actividad N°1 MUNDO CIRCULAR

____________________________________________________________________________________________________

Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el comparar las medidas de ángulos del centro y ángulo inscrito y comprobar la existencia de relación entre ellos.

Para esta primera actividad, se estima se dedique un tiempo de 3 clases de 90 minutos para completarla. En una primera clase, se espera que se trabaje hasta la sección EXPRÉSATE, luego en la segunda clase hasta la sección CONSTRUYE y finalmente, en la tercera clase se trabaje para completar las dos últimas secciones, DEMUESTRA Y ¿CÓMO ESTOY?

La declaración del objetivo de clase es importante que la realice el profesor mismo, para que los estudiantes puedan orientar sus energías al logro de estos objetivos, y que este no pase éste desapercibido en el desarrollo de la ACTIVIDAD.

En esta sección, se revisan los conocimientos previos de los estudiantes a través

del desarrollo de actividades, donde el estudiante debe identificar los objetos geométricos que serán utilizados más adelante, por lo tanto, es importante que el profesor revise minuciosamente que estos conocimientos estén bien logrados.

En esta sección, se espera que el estudiante sea capaz de indagar en una

situación nueva y busque patrones. Esencialmente, se espera que imagine y realice mediciones geométricas. Es en esta sección, donde deben utilizar transportador, y por lo tanto, es importante que asegurarse que sepan utilizarlo correctamente.

COMENCEMOS

EXPLORA

ANTE LA PREGUNTA: ¿Cuál es la medida del ángulo de observación que tiene la persona A? ¿Y la B, C ,

D y E? Es importante que el estudiante registre las mediciones, estimulándolo a tener

un orden en su trabajo. ANTE LA PREGUNTA: ¿Qué relación hay entre esos ángulos? Pueden aparecer dos posibles respuestas: una donde relacionen la medida de los

ángulos, diciendo que son de igual medida u otra donde se refieren al ángulo que subtienden. En este caso se vuelve importante que los estudiantes expongan sus respuestas para hacer una retroalimentación con los mismos compañeros.

ANTE LA PREGUNTA: ¿Qué pasaría si el teatro fuese más grande o más chico? ¿Qué pasa con el ángulo

de visión de las personas? Es posible que algunos estudiantes respondan que el ángulo se hace más chico si

el teatro se hace más grande, por lo cual el profesor debe guiar la respuesta generando distintos ejemplos donde se visualicen las condiciones para observar que todo crece proporcionalmente.

Esta es la sección donde los estudiantes deben comunicar sus ideas. El rol del profesor

se debe enfocar a poner mayor énfasis, a ampliar o corregir el vocabulario geométrico que están utilizando los estudiantes para expresar sus deducciones.

ANTE LA INDICACIÓN: Conjetura sobre el lugar en que se deben ubicar los focos para que cada haz de

luz, ilumine el escenario completo: Es posible que el estudiante responda que se debe colocar los focos más arriba o más

abajo, correrlos hacia un lado u otro, pero es el profesor quien debe guiar a los estudiantes a los estudiantes para que encuentren el lugar geométrico, es decir, que identifiquen los posibles lados del ángulo que determinan que el haz de luz coincida exactamente con el ancho del escenario. Idealmente, se espera que, el estudiante identifique un arco de circunferencia que cumple con este requerimiento para así pasar a representar la situación.

ANTE LA INDICACIÓN: Represente la situación con objetos y elementos geométricos Si los estudiantes presentan alguna dificultad para realizar esta actividad, será necesario

indicarles a los estudiantes que revisen la primera ilustración de la parte de exploración con la imagen de los focos, para ver las similitudes y llegar a la visualización correcta de la situación planteada.

ANTE LA PREGUNTA:

¿Qué característica tienen en común los ángulos que forman los haces de luz, que iluminan el escenario?

EXPRESATE

Esta respuesta, puede ser muy parecida a la segunda pregunta de la parte de exploración, por lo cual se debe pedir a los estudiantes que expresen, cada vez, de manera más completa su respuesta, antes de dar paso a la siguiente pregunta.

ANTE LA PREGUNTA:

¿Cómo podrías generalizar la situación anterior? Aquí se debe hacer una conjetura más formal de todo lo visto anteriormente,

nombrando los objetos y elementos geométricos que están presentes y la medida en la que se relacionan.

Esta sección, se debe trabajar con procesador geométrico (GeoGebra), por lo cual sería

importante que el profesor pueda realizar las construcciones geométricas que se realizarán en esta actividad, para así estar más interiorizada en el proceso que deben enfrentar los estudiantes y poder dirigir de mejor forma el trabajo de ellos. Por otra parte es importante tener en cuenta la implementación necesaria para trabajar, para asegurar tener el material que se necesita. Puede usar un laboratorio donde los estudiantes trabajen individualmente o en grupo, o con proyección en el aula, todo esto dependiendo de las herramientas y disponibilidad de la tecnología, que tenga el establecimiento. En el caso de usar una proyección en la sala de clases, es importante que la manipulación de los objetos sea realizada principalmente por los estudiantes, pues son ellos los deben descubrir las relaciones.

Así, esta sección está centrada en la actividad personal de los estudiantes, puesto que el descubrimiento lo realizan ellos y el profesor debe limitarse a enseñar a utilizar ciertas aplicaciones de GeoGebra para la construcción

Sólo al final de la clase, se espera que el profesor dirija la actividad para que los estudiantes compartan sus resultados.

Esta sección, está abierta a la decisión del profesor de cómo trabajar la demostración

del teorema. Se puede realizar en pizarra con participación de algún estudiante en forma conjunta con el profesor o en forma grupal o individual con apoyo del profesor, esto dependiendo del nivel de experiencia de los estudiantes haciendo demostraciones, puesto que para algunos estudiantes esta será la primera vez que deben realizar una demostración en formalmente.

La sugerencia, que se le entrega a los estudiantes, es que recuerde propiedades de triángulos, sugiriendo realizar esta construcción geométrica es posible trabajar una demostración relacionada con la figura siguiente.

CONSTRUYE

DEMUESTRA

En importante esta sección los estudiantes realicen ejercicios tipo SIMCE, porque es la

realidad, que ellos están viendo como más inmediata que tendrán que enfrentar. Por otra parte, estos ejercicios representan un desafío de abstracción de todos los contenidos que se han visto en la ACTIVIDAD.

Solucionario de ¿CÓMO ESTOY?: 1.- D 2.- D 3.- B 4.- C

5.- 48° 6.- 34° 7.- 90° 8.- 90° y 144°

¿CÓMO ESTOY?

Recomendaciones para el profesor

____________________________________________________________________________________________________

Actividad N°2 RELACIONANDO SEGMENTOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

____________________________________________________________________________________________________

Esta guía de trabajo tiene como objetivo de aprendizaje el encontrar la

proporcionalidad entre trazos en una circunferencia.

Para esta segunda actividad, se estima un tiempo de 2 clases de 90 minutos. En una de ellas se espera que se trabaje las secciones COMENCEMOS y CONSTRUYE, mientras que en una última clase se trabaje las secciones, DEMUESTRA Y ¿CÓMO ESTOY?

Es fundamental, tomar en cuenta las indicaciones entregadas en la actividad 1, sobre el cómo enfrentar cada sección se la actividad, considerándose el objetivo que tiene cada una.

En esta sección los estudiantes deben llegar a proponer las ecuación que

representa la proporcionalidad de los segmentos que conforman el triangulo. Recordar que este es un aprendizaje que debió ser trabajado justamente antes de proponer el contenido de circunferencia, pues estas relaciones se trabajan en semejanza de triángulos, por lo cual no debería revestir mayor dificultad.

Esta sección se debe trabajar con procesador geométrico (GeoGebra), por lo cual, al

igual que en la actividad anterior queda a criterio del profesor, según las herramientas disponibles.

Esta sección es para uso exclusivo de los estudiantes, puesto que el descubrimiento lo realizan ellos y el profesor debe limitarse a enseñar a utilizar ciertas aplicaciones de GeoGebra.

ANTE LA PREGUNTA:

¿Cuál es la proporcionalidad que se forma entre los segmentos? Para que los estudiantes puedan encontrar las relaciones correctas, puede ser

necesario, motivarlos a probar calculando la razón entre las medidas de pares de segmentos o la multiplicación de la medida de los segmentos e ir observando alguna regularidad. Ellos

COMENCEMOS

CONSTRUYE

debiesen descubrir, que corresponde a una proporcionalidad, tal como lo visto en los triángulos. El profesor puede guiar el descubrimiento por medio de preguntas, tales como: ¿cómo son las medidas de los segmentos? ¿Cómo se los puede comparar? Luego puede sugerir realicen algunos cálculos con las medidas que les permitan deducir la proporcionalidad.

La sugerencia, que se le entrega a los estudiantes, es que recuerde propiedades

encontrada en la actividad 1, sobre la relación de las medidas del ángulo del centro y el ángulo inscrito de triángulos, sugiriendo la construcción de dos triángulos y así el estudiante podrá realizar observación sobre los ángulos congruentes, dado que son opuestos por el vértice y que los ángulos subtienden el mismo arco, como en la siguiente figura.

Los ejercicios propuestos los debe hacer el estudiante en forma individual, para que

pueda poner a prueba sus propios conocimientos, para luego hacer paso a una revisión, en forma grupal, de los resultados obtenidos.

Solucionario de ¿CÓMO ESTOY?: 1.- E 2.- A 3.- C

4.- B 5.- B 6.- D

Para finalizar el proceso el profesor debe incentivar a los estudiantes para que ellos

mismos puedan evaluar los conocimientos adquiridos y que nombren los conocimientos relevantes.

DEMUESTRA

¿CÓMO ESTOY?

6.4. Pauta de observación para el evaluador.

En esta pauta, se presenta una pauta de apreciación de los puntos

fundamentales con los cuales se diseñó la propuesta de actividades de

circunferencia. En la pauta, se proponen los siguientes s niveles de apreciación

para cada afirmación:

5: Estoy totalmente de acuerdo con lo que ahí se dice.

4: Estoy de acuerdo, pero con ciertas restricciones.

3: Estoy en desacuerdo, pero con ciertas restricciones.

2: Estoy en total desacuerdo.

1: No observado o no corresponde.

Afirmaciones 5 4 3 2 1

La estructura de las actividades representa un

orden lógico, que ayude al entendimiento de los

estudiantes.

La estructura de las actividades, responde

adecuadamente los niveles de aprendizaje que

propone Van Hiele.

Los contenidos tratados en las actividades,

corresponden a los estipulados para 2° medio.

La aplicación que se entrega en cada actividad es

adecuada en su relación con el contenido.

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes

podrían desarrollar efectivamente la habilidad de

visualización.

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes

podrían desarrollar efectivamente la habilidad de

comunicación.

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes

podrían desarrollar efectivamente la habilidad de

dibujo y construcción.

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes

podrían desarrollar efectivamente la habilidad de

razonamiento.

Con el desarrollo de la actividad, los estudiantes

podrían desarrollar efectivamente la habilidad de

aplicación y transferencia.

La forma en que se propone el desarrollo de

conjeturas y demostraciones, es coherente con el

desarrollo de las demás secciones de la actividad.

La forma en que se propone el desarrollo de

conjeturas y demostraciones, está conforme con los

aprendizajes esperados propuestos por el Ministerio

de Educación.

El uso de GeoGebra, responde a una necesidad

de la actividad, enriqueciendo el proceso de

aprendizaje

El uso de GeoGebra está propuesto en las

secciones correctas para el buen desarrollo de la

actividad.

Las actividades en su complemento,

corresponden a una propuesta novedosa.

Las actividades en su complemento,

corresponden a una propuesta que ayude al

fortalecimiento del aprendizaje de la unidad de

circunferencia y sus ángulos,

1. ¿Qué recomendaciones propondría para mejor esta

propuesta de actividades?

2. ¿Qué fortalezas y qué debilidades presentan estas

actividades?

3. Indique a continuación, si desea, nuevas observaciones a la

propuesta de actividades.

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