Diseno y Analisis de Experimentos M Parte19

8/10/2019 Diseno y Analisis de Experimentos M Parte19

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4-5 PROBLEMAS 7

1

i=1, 2, , pj 2 , p

Yijkh = l + P h + a h ) -r j + f3k h + -rp ji . +8 ijid. k = 1 2, , , Ph= 2 , n

B = 8A = 8D = 9C=14

Operador

D = 14 A = 7C = 18 D = 11B = 10 C = 11A = 10 B = 12

2 3

C = l OB = 7A =SD = 10

11234

Orden deensamblaje

D a

Lote 1 2 3 4 S1 A = 8 B = 7 D = 1 C = 7 E = 32 C=11 E = 2 A = 7 D =3 B = 83 B = 4 A = 9 C = 10 E = 1 D = S4 D = 6 C = 8 E = 6 B = 6 A = l OS E = 4 D = 2 B = 3 A = 8 C = 8

4-1S. Un ingeniero industrial investiga el efecto de cuatro mtodos de ensamblaje A B C y D sobre el tiempo deensamblaje de un componente de televisores a color. Se seleccionan cuatro operadores para el estudio. Adems, el ingeniero sabe que todos los mtodos de ensamblaje producen fatiga, de tal modo que el t iempo requerido para el ltimo ensamblaje puede ser mayor qu e para el primero, independientemente del mtodo.Es decir, se desarrolla una tendencia en el tiempo de ensamblaje requerido. Para tomar en cuenta estafuentede variabilidad, el ingeniero emplea el diseo del cuadrado latino qu e se presenta a continuacin. Analizarlos datos de este experimento a = O.OS y sacar las conclusiones apropiadas.

4-16. Suponga que en el problema 4-14 falta la observacin del lote 3 en el da 4. Estimar el valor faltante con laecuacin 4-24, y realizar el anlisis utilizando este valor.

4-17. Considere un cuadrado latino p x p con renglones a , columnas A y tratamientos i J fijos. Obtener estimaciones de mnimos cuadrados de los parmetros del modelo a k y Tj

4-18. Deducir la frmula del valor fal tante ecuacin 4-24 para el diseo del cuadrado latino.4-19. Diseos que incluyen varios cuadrados latinos Ver Cochran y Cox [26] y John [61d]. El cuadrado latino p x p

contiene nicamente p observaciones para cada tratamiento. Para obtener ms rplicas, el experimentadorpuede usar varios cuadrados, po r ejemplo n. No es relevante si los cuadrados usados son el mismo o son diferentes. El modelo apropiado es

4-14. Se estud ia e le fecto de cinco ingredientes diferentes A, B, C, Dy E sobre el tiempo de reaccin d e u n proceso qumico. Cada lote de material nuevD slo alcanza para permitir la realizacin de cinco corridas. Adems,cada corrida requiere aproximadamente 1 1/ 2 horas, po r lo qu e slo pueden realizarse cinco corridas en unda. El experimentador decide realizar el experimento como un cuadrado latino para que los efectos del da yel lote puedan controlarse sistemticamente. Obtiene los datos qu e se muestran enseguida. Analizar los datos de este experimento utilizar O.OS y sacar conclusiones.


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8 CAPTULO 4 BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEOS RELACIONADOS

dondeYjkhes la observacin del tratamientoj en el renglni y la columnak del cuadradoh-simo. Obseque a h Yf3k h son los efectos del renglny la columnaen el cuadradoh-simo Ph es el efecto del cuadrh-simo y r:P jh es la interaccin entre los tratamientosy los cuadrados.a Establecer las ecuaciones normales para este modeloy resolverlaspara las estimaciones de los par

tros del modelo. Suponga que las condiciones auxiliares apropiadas de los parmetros soLhPh =La h = OYLkf3k h = Opara cadah L r j = L/ip j1 = Opara cadah y Lh ip j11 = Opara cadajb Desarrollar la tabla del anlisis de varianzapara este diseo.

4-20. Comentarla forma en que puedenutilizarse las curvas de operacin caracterstica del apndice cdel cuadrado latino.

4-21. Suponga que en el problema 4-14 los datos tornadosen el da 5 se analizaron incorrectamentey fue necesadescartarlos. Desarrollar un anlisis apropiadopara los datos restantes.

4-22. El rendimiento deun proceso qumico se midi utilizando cinco lotes de materia prima, cinco concnes del cido, cinco tiempos de procesamiento A B C D y Ycinco concentraciones del catalizado a,y, o, e . Se us el cuadrado grecolatino siguiente. Analizar los datos de este experimento utilizara = 0.05sacar conclusiones.

Concentracin del cidoLote 1 2 3 4 5

1 Aa= 6 Bf3 = 16 Cy = 19 Do = 16 = 32 By = 18 Ca = 21 De = 18 Ea = 11 Af3 =3 Ce = 20 Da= 12 Ef3 = 16 Ay= Bo =4 Df3 = 15 Ey = 15 Aa = 22 Be = 14 Ca =5 Ea = 10 Ae = 24 Ba = 17 Cf3 = 17 Dy =

4-23. Supongaque enel problema4 15 el ingeniero sospecha que los sitios de trabajo usadospo r los cuatro ope

dores puedenrepresentaruna fuente adicional de variacin. Es posible introducirun cuarto factor, elsititrabajo a, 3y o , y realizar otro experimento, de donde resulta el cuadrado grecolatino siguientelos datos de este experimento utilizara = 0.05 Y sacar conclusiones.

Orden deensamblaje

1234

1Cf3 = 11Ba =8Aa =9Dy=9

Operador2 3

By = Do = 14CA = 12 Ay = Da = 11 Bf3 = 7Af3 = 8 Ca = 18

4

A a = 8Df3 = 12Cy = 15Bo = 6

4-24. Construirun hipercuadrado 5x 5para estudiar los efectos de cinco factores. Desarrollar la tabla delde varianza para este diseo.

4-25. Considere los datos de los problemas4 15 y 4-23. Despus de eliminar las letras griegas del problemanalizar los datos utilizando el mtodo desarrolladoen el problema 4-19.

4-26. Considere eldiseo debloques aleatorizados conun valorfaltanteen la tabla 4-7. Analizar los datos utildo el anlisis exacto del problemadel valor faltante revisadoen la seccin 4-1.4. Comparar los resultadel anlisis aproximado de estos datos que se presentaen la tabla 4-8.

4-27. Un ingeniero estudia las caractersticas del rendimiento de combustible de cinco tipos de aditivona. En laprueba de carretera el ingeniero desea usar los automviles corno bloques; sin embargo


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4-5 PROBLEMAS 9

una restriccin de tiempo, debe utilizar un diseo de bloques incompletos. Realiza el diseo balanceado conlos cinco bloques siguientes. Analizar los datos de este experimento utilizar a = 0.05) Ysacar conclusiones.

Automvil

Aditivo 1 2 3 4 51 17 14 13 122 14 14 13 103 12 13 12 94 13 11 11 125 11 12 10 8

4-28. Const ru ir un conjunto de contrastes ortogonales para los datos del problema 4-27. Calcular la suma de cuadrados para cada contraste.

4 29 Se estudian siete concentraciones diferentes de madera dura para determinar su efecto sobre la resistenciadel papel producido. Sin embargo, en la planta piloto slo pueden hacerse tres corridas de produccin porda. a do que los das pueden diferir, el analista utiliza el diseo de bloques incompletos balanceados que se

muestra abajo. Analizar los datos de este experimento utilizar a = 0.05) Y sacar conclusiones.

Concentracin de Das

madera dura ) 1 2 3 4 5 6 7

2 114 120 1174 126 120 1196 137 117 1348 141 129 149

10 145 150 14312 120 118 12314 136 130 127

4 30Analizar los datos del ejemplo 4-6 utilizando la prueba general de significacin de la regresin.4 31 emostrar que k 2 . ~ = l Q/ Aa es la suma de cuadrados ajustada de los tratamientos en un BIBD.

4 32 Un experimentador quiere comparar cuatro tratamientos en bloques de dos corridas. Encontrar un BIBDpara este experimento con seis bloques.

4 33 Un experimentador quiere comparar ocho tratamientos en bloques de cuatro corridas. Encontrar un BIBDcon 14 bloques y = 3.

4 34 Realizar el anlisis interbloques del diseo del problema 4-27.4 35 Realizar el anlisis interbloques del diseo del problema 4-29.4 36 Comprobar que no existe un BIBD con parmetros a = 8, r = 8, k = 4 Y b = 16.4 37 Demostrar que la varianza de los estimadores intrabloques { iJ es k a a 2 / 1 a 2 4-38. iseos ertendidos bloques incompletos Ocasionalmente, el tamao delbloque cumple con la relacin < k

< 2a. Un diseo extendido de bloques incompletos consiste en una sola rplica de cada tratamiento en cada

bloque junto con un diseo de bloques incompletos con k = k a . n el caso balanceado, el diseo de bloques incompletos tendr los parmetros k* = k - a, r* = r - by..1. . Desarrollar el anlisis estadstico. Sugerencia: en el diseo extendido de bloques incompletos, se tiene 1 = 2r - b .


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5-1 DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BSICOS 171

+ 30 52 + 40 12 Alto

D Alto

D l l lo ti

u u

BajoBajo 20 40 20 50

+ + Bajo Alto Bajo Alto

Factor

Figura 51 Experimento factorial de dosfactores con la respuesta y indicada en losvrtices.

ctor

Figura 5-2 Experimento factorial de dosfactores con interaccin.

n entre los factores.Por ejemplo, considere el experimento factorial de dos factores que se ilustraen la

figura5-2. Con el nivel bajo del factorB o B- , el efecto deA esA = 50 20= 30

y con el nivel alto del factorB o B , el efecto deA es

A = 1 2 4 0 = 2 8

Puesto que el efectodeA depende del nivel que se eligepara elfactorB, se observa que existeuna interaccinentre yB La magnitud del efecto de lainteraccin es ladiferenci promedio de estos dos efectos deA o AB = -28 - 30 /2 = -29.Evidentemente,en este experimento la interaccines grande.

Estas ideas pueden ilustrarse grficamente.En la figura5-3 se grafican los datos de las respuestas dela figura 5-1 contra el factorApara ambos niveles del factorB. Observe que lasrectasB y son aproximadamente paralelas, lo cual indica la ausencia de interaccin entre los factoresA yB. De manera similar, en la figura 5-4 se grafican los datos de las respuestas de la figura 5-2.En este caso se observa que lasrectasB- y no son paralelas. Esto indicauna interaccin entre los factoresA yB. Grficas como stasson de gran ayudapara interpretar las interacciones significativas ypara reportar los resultados al personal sin preparacin estadstica. Sin embargo, no debern utilizarse como la nica tcnicapara el anlisisde datos, ya que su interpretacin es subjetiva y su apariencia con frecuencia es engaosa.

60 60 B

50 50 m40 m40 30 30al ala: 20 a: 20

10B

10

+ +Factor ctor

Figura5-3 Experimento factorial sin in- Figura 5-4 Experimento factorial con inter-teraccin. accin.


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172 CAPTULO 5 INTRODUCCIN ALOS DISEOS FACTORIALES

El concepto de interaccin puede ilustrarse de otra manera. Suponga que los dos factores dtratado son cuantitativos temperatura, presin, tiempo, etc. . Entonces una representacin co modelo de regresin del experimento factorial de dos factores podra escribirse como

y= 3 31 X1 32 X 2 31 2 X1X 2

dondey es la respuesta, las 3 son parmetros cuyos valores deben determinarse,Xl es una variable que rpresentaal factorA,x 2 es unavariable que representaal factorB, ye es un trmino del error aleat.orio.variablesXl yX2 se definen en una escala codificada de a los niveles bajo y altodeA yB , YX 1X2 representa la interaccin entreXl y X2

Las estimaciones de los parmetros en este modelo de regresin resultan estar relacionadestimaciones de los efectos. Para el experimento ilustrado en la figura5 1 se encuentra que los efecprincipalesde A yB sanA = 21 YB = 11. Las estimaciones de 31 y/32son la mitad del valor del efecto pcipal correspondiente;po r lo tanto,~ = 21/2 = 10.5 Y 2 = 11 /2 = 5.5. El efecto de la interaccin dfigura5 1 es = 1 por lo que el valor del coeficiente de la interaccin en el modelo de regree~ =1/2 = 0.5. El parmetro 3 se estima con el promedio de las cuatro respuesta = 20+40+30+52 /4= 35.5. Por lo tanto, el modelo de regresin ajustadoes

= 35.5 10.5x 1 5.5x 2 0.5x 1x 2

49

y 39

29

-0.2 0.2 0.6

al superficie de respuesta

grfica de contorno

Figura 5-5 La superficie de respuestayla grfica de contornopara el modelo y = 35.5 lO.5x1 5.5xz.


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5-1 DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BSICOS173

Las estimaciones de los parmetros obtenidas de esta manerapara el diseo factorial en el que todos losfactores tienen dos niveles - y resultan ser estimaciones de mnimos cuadrados se abundar sobre eltema ms adelante .

El coeficiente interaccin /312= O.S es pequeo en comparacin con los coeficientes de losefectos principales 31y 32 La interpretacin que sehar de este hecho es que la interaccin es pequeaypuede ignorarse. Por lo tanto,al eliminar el trmino0 Sx x 2 se obtiene el modelo

y= 3S.S 10 Sx l S Sx 2En la figuraS S se muestran las representaciones grficas de este modelo.En la figuraS Sa se tiene unagrfica del plano de los valores deygeneradospo r las diferentes combinaciones deXl yX2 A esta grficatridimensional se le llama grfica de superficie de respuesta.En la figuraS Sb se muestran las lneas decontorno para las respuestas constantesy enelplanoXl x2 Observe que como la superficie de respuestaesun plano, la grfica de contorno contiene lneas rectas paralelas.

Suponga ahora que la contribucin de la interaccinen el experimento no fuera insignificante; es decir que el coeficiente 3 2no fuera pequeo.En la figuraS 6 se presenta la superficie de respuestayla grfica de contorno del modelo

0.2 0.6

al superficie de respuesta

0.6

0 2

-0.2

-0.6

-1

b l grfica de contorno

Figura56 La superficie de respuestayla grfica de contorno para el modelo

y= 35.5 lD 5x 5.5x

2 8xx

2


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174 CAPTULO 5 INTRODUCCIN ALO S DISEOS FACTORIALES

Se ha hecho que el efecto de la interaccin sea el promedio de los dos efectos principales.) Obel efecto significativo de la interaccin provoca el torcimiento del plano de la figuraS 6a Este torcmiento de la superficie de respuesta produce lneas de contorno curvas para las respuestas conel planox1 x 2, como se muestra en la figuraS 6b Por lo tanto,un a interaccines una forma de curvatuen el modelo de superficie de respuesta fundamental del experimento.

El modelo de superficie de respuesta deun experimento es de gran importanciay utilidad. El teampliar en la seccin y en captulos posteriores.

En general, cuando una interaccin es grande, los efectos principales correspondientes tiensignificado prctico.En elexperimento de la figura 5-2, la estimacin del efecto principalde A sera

A= 50+12_20 40 =12 2

que es muypequeo, y se llegara a concluirque no hay ningn efecto debido aA. Sin embargo, cuandoexaminan los efectosdeA conniveles diferentes del factor E se observa que no es ste el caso. El factiene un efecto, perodepende del nivel del factor E. Es decir, el conocimiento de la interaccinAB etil que el conocimiento del efecto principal.Una interaccin significativa suele enmascarar la sigcin de los efectos principales. Estos puntos se ponen de manifiesto con claridad en la grfica daccin de la figura 5-4.En presencia deuna interaccin significativa, el experimentador deberpo r lgeneral examinar los niveles de uno de los factores,por ejemplo del factorA manteniendo fijos los niles de los otros factores para sacar conclusiones acerca del efecto principal deA.

~ LA VENTAJA DE LOS DISEOS FACTORIALES

Es sencillo ilustrar la ventaja de los diseos factoriales. Suponga que se tienen dos factoresA yE caduno con dos niveles. Los niveles de los factores se denotanporA- A E-y E Podra obtenerse informcin acerca de ambos factores hacindolos variar uno a la vez, como se muestra en lafigura 5-7de cambiar el factorA est dado porA E- -A-E- y el efecto de cambiar el factorE est dado porA- E A E . Debido a que estpresente el error-experimental, es deseable realizar dos observaciones,plo, para cada combinacin de tratamientos y estimar los efectos de los factores utilizando laspromedio. Por lo tanto, se necesita un total de seis observaciones.

Si se hubiera efectuado un experimento factorial, se habra registradoun a combinacin adiciode los tratamientos,A E Ahora, utilizando slocuatro observaciones, pueden hacerse dos estimnes del efectodeA:A E- A E yA E A E . De manera similar, pueden hacerse dos estimacione

A-B

~

A B A B-

FactorA

Figura 57 Experimento con un factor a la vez.


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5-3 DISEO FACTORIAL DE DOS FACTORES 175

4.0

3.5

3.0 ;:~ 2.5 lIII

2.0

1.5

1.02 3 4 5 6

N mero de factores

Figura 58 Eficiencia relativa de un diseo factorial conrespecto a un experimento deun factor a lavez dos nivelesdel factor).

efecto de Estas dos estimaciones de cada efecto principal podran promediarse para producir efectosprincipales promedio que tienen lamisma precisin que las estimaciones del experimento con un solofactor, pero slo se requieren cuatro observaciones en total, y nosotros diramos que la eficiencia relativa del diseo factorial con respecto al experimento deun factor a la vez es de 6/4)= 1.5. n general,esta eficiencia relativa aumentar conforme se incrementeel nmero de factores, como se muestra enla figura 5-8.

Suponga ahora que est presente una interaccin.Si el diseo deun factor ala vez indicaraqueA-ByA dieron mejores respuestasqueA-B- una conclusin lgica sera queA sera todava mejor. Sinembargo, si est presente una interaccin, esta conclusin puede serun a equivocacin grave Para un

ejemplo, referirseal experimento de la figura 5-2. n resumen, observe que los diseos Jactoriales ofrecen varias ventajas. Son ms eficientes que losexperimentos deun factor a lavez Adems, un diseo factorial es necesario cuando puede haber interacciones presentes a fin de evitarllegar a conclusiones incorrectas. Por ltimo, los diseos factoriales permiten la estimacin de los efectos de un factor con varios niveles de los factores restantes, produciendoconclusiones que son vlidas para un rango de condiciones experimentales.

~ IS O F TORI L DE DOS F TORES

5 ~ 3 n ejemplo

Los tipos ms simples de diseos factoriales incluyen nicamente dos factores o conjuntos de tratamientos. Haya niveles del factorA yb niveles del factor los cuales se disponen en un diseo factorial;es decir cada rplica del experimento contiene todas lasab combinaciones de los tratamientos. n general,hay n rplicas.

Como ejemplo de un diseo factorial en el que intervienen dos factores, un ingeniero est diseandouna batera que se usar en un dispositivo que se someter a variaciones de temperatura extremas. El nico parmetro del diseo que puede seleccionar en este punto es elmaterial de la placa o nodo de labatera, y tiene tres elecciones posibles. Cuando el dispositivo est fabricado y se enveal campo, el ingenierono tendr control sobre las temperaturas extremas en las que operar el dispositivo, pero sabe por expe-


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, .

7 CAPTULO 5 INTRODUCCIN ALOS DISEOS FACTORIALES

Tabla 5-1 Datosde la vida en horas) para el ejemplo del diseode la batera

Tipo de Temperatura OFmaterial 15 70 125

1 130 155 34 40 20 70

74 180 80 75 82 582 150 188 136 122 25 70159 126 106 115 58 45

3 138 110 174 120 96 104168 160 150 139 82 60

riencia que la temperatura probablemente afectar la vida efectiva de la batera. Sin embargratura puede controlarse en el laboratorio donde se desarrolla el producto para fines de

El ingeniero decide probar los tres materiales de la placa con tres niveles de temperatur-15 7012S oP ya que estos niveles de temperatura son consistentes con elmedio ambiente donde semente el producto.Se prueban cuatro bateras con cada combinacin del material de la placay la tempratura, y las 36 pruebas se corren de manera aleatoria. n la tabla 5 se presentan los datosexperimentoy de la vida observada de la batera.

n este problema, el ingeniero quiere responder las preguntas siguientes:

1 Qu efectos tienen el tipo de materialy la temperatura sobre la vida de la batera?2 Existe alguna eleccin del material que produzcade manera regular una vida l r de la bate

independientemente de l temperatura?

La segunda pregunta es de particular importancia. Quiz sea posible encontraruna alternativrial que no resulte afectada considerablementepor la temperatura. e ser ste elcaso, el ingeniero phacer que la batera searobusta para la variacin de la temperatura en el campo.Se trata de un ejemde la aplicacin del diseo experimental estadstico en eldiseo de productos robustos un problemaingeniera muy importante.

El anterior es un ejemplo especfico del caso general deun diseo factorial de dos factores. Pasar al caso general, seaYijk la respuesta observada cuando el factorA tiene el nivel i-simo i = 1 2 oo ae1factorB tiene el nivelj-simo j =1,2, oo b en la rplicak-sima k =1,2, oo n . n general, el expmento factorial de dos factores aparecer como en la tabla5-2. El orden en que se hacen lasabn obserciones se selecciona al azar, porlo que este diseo esun diseo completamente aleatorizado

Tabla 5-2 Arreglo generalde un diseo factorialde dos factoresFactorB

1 2 b1 Yl l l ,Y1 l2 , Yl2lo Yl22, Ylbl ,Ylb2,

,Y l1n Y I2J . Y l b n

FactorA 2 Y2ll,Y212, Y221,Y222 Y2bI,Y2b2, Y 2 I n Y22J1 Y 2 b n

a Ya 11 Ya12 Ya21,Ya22, Yabl,Yab2, ,Yaln Ya2n ,Yabn

Diseno y Analisis de Experimentos M Parte19

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