DISEÑO DE UN TANQUE CON EL MENOR COSTO Del libro "Métodos Númericos para Ingenieros" 5º Ed. de Steven Chapra, Capítulo 16, página 424.

Antecedentes. Los ingenieros químicos (así como otros especialistas tales como los ingenieros mecánicos y civiles) con frecuencia se enfrentan al problema general del diseño de recipientes que transporten líquidos o gases. Suponga que se le pide determi-nar las dimensiones de un tanque cilíndrico pequeño para el transporte de desechos tóxicos que se van a trasladar en un camión. Su objetivo general será minimizar el cos-

to del tanque. Sin embargo, además del costo, usted debe asegurar que pueda contener la cantidad requerida de líquido y que no exceda las dimensiones de la caja del camión. Debido a que el tanque transportará desechos tóxicos, se requiere que éste sea de un espesor determinado, dentro de ciertos reglamentos. Un esquema del tanque y de la caja se muestra en la figura 16.1. Como se observa, el tanque es un cilindro con dos placas soldadas en cada extremo. El costo del tanque tiene dos componentes: 1. gastos del material, que están basados en el peso, y 2. gastos de soldadura que se basan en la longitud a soldar. Note que esto último consiste en soldar tanto la junta interior como la junta exterior donde las placas se unen con el cilindro. Los datos necesarios para el problema se resumen en la tabla 16.1.Solución. El objetivo aquí es construir un tanque a un costo mínimo. El costo está relacionado con las variables de diseño (longitud y diámetro), ya que tienen efecto sobre la masa del tanque y las longitudes a soldar. Además, el problema tiene restricciones, pues el tanque debe 1. caber en la caja del camión y 2. tener capacidad para el volumen requerido de material. El costo se obtiene de los costos del material del tanque y de la soldadura. Por lo tanto, la función objetivo se formula como una minimización de

(16.1)C = c m m + c w l w

donde C = costo ($), m = masa (kg), lw = longitud a soldar (m), c m y c w = factores de costo por masa ($/kg) y longitud de soldadura ($/m), respectivamente. Después, se relacionan la masa y la longitud de soldadura con las dimensiones del tambor. Primero, se calcula la masa como el volumen del material por su densidad. El volumen del material usado para construir las paredes laterales (es decir, el cilindro) se calcula así:

(16.4)

(16.5)

La longitud de soldadura para unir cada placa es igual a la circunferencia interior y exterior del cilindro. Para las dos placas, la longitud total de soldadura será

Dados los valores para D y L (recuerde que el espesor t es fijado por un reglamento), las ecuaciones (16.1), (16.2) y (16.3) ofrecen un medio para calcular el costo. También ob-serve que cuando las ecuaciones (16.2) y (16.3) se sustituyen en la ecuación (16.1), la función objetivo que se obtiene es no lineal. Después, se formulan las restricciones. Primero, se debe calcular el volumen que el tanque terminado puede contener,

(16.6)

Este valor debe ser igual al volumen deseado. Así, una restricción es

donde V o es el volumen deseado (m 3 ).Las restricciones restantes tienen que ver con que el tanque se ajuste a las dimen-siones de la caja del camión,

El problema ahora está especificado. Con la sustitución de los valores de la tabla 16.1, se resume comoMinimizar C = 4.5m + 20 lwsujeto a

donde r = densidad (kg/m 3 ).

L ≤ L máxD ≤ D máx

El problema ahora se puede resolver de diferentes formas. Sin embargo, el método más simple para un problema de esta magnitud consiste en utilizar una herramienta como el Solver de Excel. La hoja de cálculo para realizar esto se muestra en la figura 16.2.En el caso mostrado, se introducen los límites superiores para D y L. En este caso, el volumen es mayor que el requerido (1.57 > 0.8).

Una vez creada la hoja de cálculo, la selección Solver se elije del menú Tools (Herra-mientas). Aquí aparecerá una ventana de diálogo que le solicitará la información perti-nente. Las celdas correspondientes para el cuadro de diálogo Solver se pueden llenar así

Al seleccionar el botón Resolver, un cuadro de diálogo se abrirá mostrando un re-porte sobre el éxito de la operación. En el presente caso, Solver obtiene la solución co-rrecta, la cual se muestra en la figura 16.3. Observe que el diámetro óptimo es casi el valor de la restricción de 1 m. Así, si aumentara la capacidad requerida del tanque, podría quitarse esta restricción y el problema se reduciría a una búsqueda unidimensional para la longitud.

Diseño del tanque óptimo(Introducir valores sólo en celdas amarillas. Luego ir a Datos/Solver/Resolver)

Parámetros: Variables de diseñoVolumen requerido (Vo) 0.8 m3 D 0.98334393 m

Espesor (t) 0.03 m L 1.05339102 m8000 Kg/m3

Longitud de la caja (Lmax) 2 m RestriccionesAncho de la caja (Dmax) 1 m D 0.98334393 ≤

4.5 $/Kg L 1.05339102 ≤

20 $/Kg Vol Tk 0.80000073 =

Valores calculados Función objetivoMasa de chapa (m) 1215.21631 Kg (Ec. 16.2) Costo (C) $ 5,723.15 $ (Ec. 16.1)

12.7340554 m (Ec. 16.3)

0.10060455 m3 (Ec.16.4)

0.05129749 m3 (Ec. 16.5)

Densidad del metal (ρ)

Costos del material (cm)

Costo de soldadura (cw)

Longitud a soldar (lw)

Vcilindro

Vplaca

1 m

2 m

0.8 m3 (Ec. 16.6)