DISEO DE UN TANQUE CON EL MENOR COSTO Del libro "Mtodos Nmericos para Ingenieros" 5 Ed. de Steven Chapra, Captulo 16, pgina 424.

Antecedentes. Los ingenieros qumicos (as como otros especialistas tales como los ingenieros mecnicos y civiles) con frecuencia se enfrentan al problema general del diseo de recipientes que transporten lquidos o gases. Suponga que se le pide determi-nar las dimensiones de un tanque cilndrico pequeo para el transporte de desechos txicos que se van a trasladar en un camin. Su objetivo general ser minimizar el cos-

to del tanque. Sin embargo, adems del costo, usted debe asegurar que pueda contener la cantidad requerida de lquido y que no exceda las dimensiones de la caja del camin. Debido a que el tanque transportar desechos txicos, se requiere que ste sea de un espesor determinado, dentro de ciertos reglamentos. Un esquema del tanque y de la caja se muestra en la figura 16.1. Como se observa, el tanque es un cilindro con dos placas soldadas en cada extremo. El costo del tanque tiene dos componentes: 1. gastos del material, que estn basados en el peso, y 2. gastos de soldadura que se basan en la longitud a soldar. Note que esto ltimo consiste en soldar tanto la junta interior como la junta exterior donde las placas se unen con el cilindro. Los datos necesarios para el problema se resumen en la tabla 16.1.Solucin. El objetivo aqu es construir un tanque a un costo mnimo. El costo est relacionado con las variables de diseo (longitud y dimetro), ya que tienen efecto sobre la masa del tanque y las longitudes a soldar. Adems, el problema tiene restricciones, pues el tanque debe 1. caber en la caja del camin y 2. tener capacidad para el volumen requerido de material.

El costo se obtiene de los costos del material del tanque y de la soldadura. Por lo tanto, la funcin objetivo se formula como una minimizacin de

donde C = costo ($), m = masa (kg), lw = longitud a soldar (m), c m y c w = factores de costo por masa ($/kg) y longitud de soldadura ($/m), respectivamente. Despus, se relacionan la masa y la longitud de soldadura con las dimensiones del tambor. Primero, se calcula la masa como el volumen del material por su densidad. El volumen del material usado para construir las paredes laterales (es decir, el cilindro) se calcula as:

La longitud de soldadura para unir cada placa es igual a la circunferencia interior y exterior del cilindro. Para las dos placas, la longitud total de soldadura ser

Dados los valores para D y L (recuerde que el espesor t es fijado por un reglamento), las ecuaciones (16.1), (16.2) y (16.3) ofrecen un medio para calcular el costo. Tambin ob-serve que cuando las ecuaciones (16.2) y (16.3) se sustituyen en la ecuacin (16.1), la funcin objetivo que se obtiene es no lineal. Despus, se formulan las restricciones. Primero, se debe calcular el volumen que el tanque terminado puede contener,

Este valor debe ser igual al volumen deseado. As, una restriccin es

donde V o es el volumen deseado (m 3 ).Las restricciones restantes tienen que ver con que el tanque se ajuste a las dimen-siones de la caja del camin,

El problema ahora est especificado. Con la sustitucin de los valores de la tabla 16.1, se resume comoMinimizar C = 4.5m + 20 lwsujeto a

C = c m m + c w l w

donde = densidad (kg/m 3 ).

L L mxD D mx

El problema ahora se puede resolver de diferentes formas. Sin embargo, el mtodo ms simple para un problema de esta magnitud consiste en utilizar una herramienta como el Solver de Excel. La hoja de clculo para realizar esto se muestra en la figura 16.2.En el caso mostrado, se introducen los lmites superiores para D y L. En este caso, el volumen es mayor que el requerido (1.57 > 0.8).

Una vez creada la hoja de clculo, la seleccin Solver se elije del men Tools (Herra-mientas). Aqu aparecer una ventana de dilogo que le solicitar la informacin perti-nente. Las celdas correspondientes para el cuadro de dilogo Solver se pueden llenar as

Al seleccionar el botn Resolver, un cuadro de dilogo se abrir mostrando un re-porte sobre el xito de la operacin. En el presente caso, Solver obtiene la solucin co-rrecta, la cual se muestra en la figura 16.3. Observe que el dimetro ptimo es casi el valor de la restriccin de 1 m. As, si aumentara la capacidad requerida del tanque, podra quitarse esta restriccin y el problema se reducira a una bsqueda unidimensional para la longitud.

DISEO DE UN TANQUE CON EL MENOR COSTO Del libro "Mtodos Nmericos para Ingenieros" 5 Ed. de Steven Chapra, Captulo 16, pgina 424.

Revisin oct 2015Antecedentes. Los ingenieros qumicos (as como otros especialistas tales como los ingenieros mecnicos y civiles) con frecuencia se enfrentan al problema general del diseo de recipientes que transporten lquidos o gases. Suponga que se le pide determi-nar las dimensiones de un tanque cilndrico pequeo para el transporte de desechos txicos que se van a trasladar en un camin. Su objetivo general ser minimizar el cos-

to del tanque. Sin embargo, adems del costo, usted debe asegurar que pueda contener la cantidad requerida de lquido y que no exceda las dimensiones de la caja del camin. Debido a que el tanque transportar desechos txicos, se requiere que ste sea de un

Un esquema del tanque y de la caja se muestra en la figura 16.1. Como se observa,

El costo del tanque tiene dos componentes: 1. gastos del material, que estn basados en el peso, y 2. gastos de soldadura que se basan en la longitud a soldar. Note que esto ltimo consiste en soldar tanto la junta interior como la junta exterior donde las placas se unen con el cilindro. Los datos necesarios para el problema se resumen en la tabla 16.1.Solucin. El objetivo aqu es construir un tanque a un costo mnimo. El costo est relacionado con las variables de diseo (longitud y dimetro), ya que tienen efecto sobre la masa del tanque y las longitudes a soldar. Adems, el problema tiene restricciones, pues el tanque debe 1. caber en la caja del camin y 2. tener capacidad para el volumen

El costo se obtiene de los costos del material del tanque y de la soldadura. Por lo

(16.1)donde C = costo ($), m = masa (kg), lw = longitud a soldar (m), c m y c w = factores de

Despus, se relacionan la masa y la longitud de soldadura con las dimensiones del tambor. Primero, se calcula la masa como el volumen del material por su densidad. El volumen del material usado para construir las paredes laterales (es decir, el cilindro) se

(16.4)

(16.5)

La longitud de soldadura para unir cada placa es igual a la circunferencia interior y

Dados los valores para D y L (recuerde que el espesor t es fijado por un reglamento), las ecuaciones (16.1), (16.2) y (16.3) ofrecen un medio para calcular el costo. Tambin ob-serve que cuando las ecuaciones (16.2) y (16.3) se sustituyen en la ecuacin (16.1), la

Despus, se formulan las restricciones. Primero, se debe calcular el volumen que el

(16.6)

Las restricciones restantes tienen que ver con que el tanque se ajuste a las dimen-

El problema ahora est especificado. Con la sustitucin de los valores de la tabla 16.1,

El problema ahora se puede resolver de diferentes formas. Sin embargo, el mtodo ms simple para un problema de esta magnitud consiste en utilizar una herramienta como el Solver de Excel. La hoja de clculo para realizar esto se muestra en la figura 16.2.En el caso mostrado, se introducen los lmites superiores para D y L. En este caso,

Una vez creada la hoja de clculo, la seleccin Solver se elije del men Tools (Herra-mientas). Aqu aparecer una ventana de dilogo que le solicitar la informacin perti-nente. Las celdas correspondientes para el cuadro de dilogo Solver se pueden llenar as

Al seleccionar el botn Resolver, un cuadro de dilogo se abrir mostrando un re-porte sobre el xito de la operacin. En el presente caso, Solver obtiene la solucin co-rrecta, la cual se muestra en la figura 16.3. Observe que el dimetro ptimo es casi el valor de la restriccin de 1 m. As, si aumentara la capacidad requerida del tanque, podra quitarse esta restriccin y el problema se reducira a una bsqueda unidimensional para

Diseo del tanque ptimo(Introducir valores slo en celdas amarillas. Luego ir a Datos/Solver/Resolver)

Parmetros: Variables de diseoVolumen requerido (Vo) 0.8 m3 D 0.98334393

Espesor (t) 0.03 m L 1.053391028000 Kg/m3

Longitud de la caja (Lmax) 2 m RestriccionesAncho de la caja (Dmax) 1 m D 0.98334393

4.5 $/Kg L 1.0533910220 $/Kg Vol Tk 0.80000073

Valores calculados Funcin objetivoMasa de chapa (m) 1215.21631 Kg (Ec. 16.2) Costo (C) $ 5,723.15

12.7340554 m (Ec. 16.3)0.10060455 m3 (Ec.16.4)0.05129749 m3 (Ec. 16.5)

Densidad del metal ()

Costos del material (cm)Costo de soldadura (cw)

Longitud a soldar (lw)VcilindroVplaca

(Introducir valores slo en celdas amarillas. Luego ir a Datos/Solver/Resolver)

Variables de diseomm

1 m 2 m= 0.8 m3 (Ec. 16.6)

Funcin objetivo$ (Ec. 16.1)

ProblemaSolucin