Capítulo 5

Óptimo del Consumidor

Racionalidad Económica

◆ El principal postulado acerca del comportamiento del consumidor dice que escoje la mejor alternativa del conjunto de alternativas factibles.

◆ Las alternativas disponibles constituyen el conjunto factible.

◆ ¿Cuál es la mejor canasta del conjunto factible?

x1

x2

x1

x2Utilidad

Utilidad x2

x1

x1

x2

Utilidad

Utilidad

x1

x2

Utilidad

x1

x2

Utilidad

x1

x2

Utilidad

x1

x2

Utilidad

x1

x2

Factible, pero no es la mejor de las alternativas factibles.

x1

x2

Utilidad La mejor de lascanastas factibles

Factible, pero no es la mejor de las alternativas factibles.

x1

x2

Utilidad

Utilidad

x1

x2

Utilidad

x1

x2

Utilidadx1

x2

x1

x2

x1

x2

Canastasfactibles

x1

x2

Canastasfactibles

x1

x2

Canastas que sonmás preferidas

Canastasfactibles

x1

x2

Canastasfactibles

Canastas que sonmás preferidas

x1

x2

x1*

x2*

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es la mejorDe las canastafactibles.

◆ La mejor de las canastas factibles es conocida como la DEMANDA ORDINARIA a los precios y el ingreso dados.

◆ La demanda ordinaria se denota porx1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m).

◆ Cuando x1* > 0 y x2* > 0 la canasta demandada es INTERIOR.

◆ Si se compra (x1*,x2*) el costo es m entonces se agota el ingreso.

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es interior.

(x1*,x2*) agota el ingreso.

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es interior.(a) (x1*,x2*) agota elingreso:p1x1* + p2x2* = m.

x1

x2

x1*

x2*

(x1*,x2*) es interior .(b) la pendiente de lacurva de indiferencia en (x1*,x2*) es igual a lapendiente de la restricciónde presupuesto.

◆ (x1*,x2*) satisface dos condiciones:

◆ (a) el ingreso se agota: p1x1* + p2x2* = m

◆ (b) la pendiente de la restricción de presupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la curva de indiferencia que contiene a (x1*,x2*) son iguales en (x1*,x2*).

Estimando la Demanda Ordinaria

◆ ¿Cómo podemos emplear esta información para poder encontrar la canasta (x1*,x2*) para los precios p1, p2 y el ingreso m?

Estimando la demanda ordinara. Ejemplo para una Cobb Douglas

◆ Supongamos que las preferencias del consumidor son del tipo Cobb-Douglas.

U x x x xa b( , )1 2 1 2=

◆ En consecuencia:

ba xaxx

UTUMg 2

11

11

−==∂∂

121

22

−== baxbxx

UTUMg

∂∂

◆ Y la TMgS:

./

/

1

21

21

21

1

2

1

1

2

bx

ax

xbx

xax

xTU

xUT

dx

dxTMgS

ba

ba

−=−=−== −

−

∂∂∂∂

◆ En (x1*,x2*), se debe cumplir que TMgS = -p1/p2 , en consecuencia

− = − ⇒ =ax

bx

pp

xbpap

x2

1

1

22

1

21

*

** * . (A)

◆ Y sabemos que (x1*,x2*) agota el presupuesto del consumidor:

p x p x m1 1 2 2* * .+ = (B)

◆ En consecuencia, sabemos que:

xbpap

x21

21

* *= (A)

p x p x m1 1 2 2* * .+ = (B)

xbpap

x21

21

* *= (A)

p x p x m1 1 2 2* * .+ = (B)

Sustituyendo

xbpap

x21

21

* *= (A)

p x p x m1 1 2 2* * .+ = (B)

p x pbpap

x m1 1 21

21

* * .+ =y tenemos:

y simplificando ….

xam

a b p11

*

( ).=

+

y sustituyendo este valor de x1* en p x p x m1 1 2 2

* *+ =

Obtenemos:

xam

a b p11

*

( ).=

+

xbm

a b p22

*

( ).=

+

Así hemos descubierto que la mejor canasta factible para el consumidor con preferencias Cobb-Douglas es

( , )( )

,( )

.* * ( )x xam

a b pbm

a b p1 21 2

=+ +

x1

x2

xam

a b p11

*

( )=

+

x

bma b p

2

2

*

( )

=

+

U x x x xa b( , )1 2 1 2=

Restricciones para el óptimo del consumidor

◆ Cuando x1* > 0 y x2* > 0 y (x1*,x2*) agota el ingreso,y la curva de indiferencia tiene una forma regular, no especial , la demanda ordinaria se obtiene mediante:

◆ (a) p1x1* + p2x2* = m

◆ (b) la pendiente de la restricción de presupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la curva de indiferencia en la canasta (x1*,x2*) son iguales.

◆ ¿Pero, y si x1* = 0?

◆ ¿Pero y si x2* = 0?

◆ Si x1* = 0 ó x2* = 0 entonces la demanda ordinaria (x1*,x2*) es una solución de esquina.

Ejemplo de soluciones de esquina – el caso de sustitutos perfectos

x1

x2

TMgS = -1

x1

x2

pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.

TMgS = -1

x1

x2

TMgS = -1

pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.

x1

x2

xy

p22

* =

x1 0* =

TMgS = -1

pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.

x1

x2

xyp11

* =

x2 0* =

pendiente = -p1/p2 con p1 < p2.

TMgS = -1

En consecuencia, si la función de utilidades = x1 + x2, la canasta óptima es (x1*,x2*)donde:

= 0,py

)x,x(1

*2

*1

y

=

2

*2

*1 p

y,0)x,x(

si p1 < p2

si p1 > p2.

x1

x2

TMgS = -1pendiente = -p1/p2 con p1 = p2.

yp1

yp2

x1

x2

Todas las canastas en larestricción de presupuestoson canastas óptimas si p1 = p2.

yp2

yp1

Ejemplo de soluciones de esquina – el caso de las preferencias no convexas

x1

x2m

ejor

x1

x2

x1

x2

¿Cuál es la canasta óptima?

x1

x2

La canasta óptima

x1

x2

Observe que la solución detangencia no es la canasta óptima.

La canasta óptima

Ejemplos de soluciones en “punta” – el caso de complementarios perfectos

x1

x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

x1

x2

TMgS = 0

U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

x1

x2

TMgS = - ∞

TMgS = 0

U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

x1

x2

TMgS es indefinida

U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

TMgS = - ∞

TMgS = 0

x1

x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

x1

x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

¿Cúal es la canasta óptima?

x1

x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

La canasta óptima

x1

x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*

x2*

x1

x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*

x2*

(a) p1x1* + p2x2* = m

x1

x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

x1*

x2*

(a) p1x1* + p2x2* = m(b) x2* = ax1*

(a) p1x1* + p2x2* = m;

(b) x2* = ax1*.

(a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*.

Substituyendo, tenemos

p1x1* + p2ax1* = m

21

*1 app

mx

+=

Y sustituyendo este resultado para obtener x2*:

.21

*2 app

amx

+=

x1

x2U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

xm

p ap11 2

* =+

x

amp ap

2

1 2

* =

+