161

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias

Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL fred@mat.ufpb.br

Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br

Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br

Site do curso www.mat.ufpb.br/ead

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04

Ementa

Limites, Continuidade e Derivadas.

Descrição

Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades,

resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites,

Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de

princípio que os mesmos tenham cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram

apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais. O

estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente

interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle.

Objetivos

Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para:

� Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades;

� Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades;

� Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais

propriedades;

� Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas

derivadas;

� Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas.

162

Conteúdo

Unidade I Limites

• Noção Intuitiva

• Definição

• Propriedades dos Limites

• Limites Laterais

• Cálculo de Limites

• Limites no Infinito

• Limites Infinitos

• Propriedades dos Limites Infinitos

• Limites Fundamentais

Unidade II Continuidade

• Continuidade em um ponto

• Teste de Continuidade

• Propriedades de Funções Contínuas

• Composta de Funções Contínuas

• Teorema do Valor Intermediário:

Unidade III Derivada

• A Derivada de uma Função num Ponto

• A Reta Tangente

• Continuidade de Funções Deriváveis

• Derivadas Laterais

• Regras de Derivação

• Derivada das Funções Elementares do Cálculo

• Regras de L’Hospital

• Derivação de Função Composta

• Derivada da Função Inversa

• A Derivada de uma Função na Forma Implícita

163

Unidade I Limites

1. Situando a Temática

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria

matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem

estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além

disso, para compreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de

Funções que são regras bem definidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida,

denominado Domínio, um único elemento em um conjunto de chegada, denominado Contra-

Domínio. Mais precisamente,

BAf →: é função BxfyA ∈=∃∈∀⇔ )( !, x .

Os conjuntos BA e representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função

f . O elemento )(xf denomina-se a imagem do elemento x pela função f .

Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das

funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do

conteúdo de limites.

O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de

uma maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a limites de

funções. Tais resultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem

demonstrações, através de alguns exemplos ou exercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse

em estudá-los poderá encontrá-los nas referências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão

das demonstrações é tornar o texto conciso.

Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e

atividades relacionadas com o texto. Os exercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que

vamos adotar uma metodologia apoiada na resolução de exercícios.

164

Problematizando a Temática

Limite na vida prática

Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de limite:

1. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$ 1,73, então o valor pago

por 100 dólares estabiliza em torno de R$ 173,00. Logo, podemos falar que o limite (valor

pago por 100 dólares) é igual a R$ 173,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 1,73 .

Podemos representar tal situação por:

17373,1

100lim =

→

x

x

2. Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente por estar sendo

aquecida. Se x representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2)( xxA = .

Evidentemente, quando x se aproxima de 3 , a área da placa A se aproxima de 9 .

Expressamos essa situação simbolicamente por

9

3

2lim =

→

x

x

3. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para

baixo em torno de 2 cm, então a velocidade se manterá próximo aos 60 Km/h. Logo, podemos

dizer que o limite (velocidade instantânea do automóvel) é igual a 60 Km/h, quando o

acelerador tender a 2 cm para baixo. Matematicamente escrevemos tal situação por

60)(

2lim =

→

xv

x

,

onde )(xv é a velocidade instantânea do automóvel e x é a medida em

centímetros do deslocamento do pedal do acelerador.

4. Outra aplicação interessante do limite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de

um corpo em queda livre sob a ação da gravidade.

O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes:

• Noção Intuitiva

• Definição

• Propriedades dos Limites

• Limites Laterais

• Cálculo de Limites

165

• Limites no Infinito

• Limites Infinitos

• Propriedades dos Limites Infinitos

• Limites Fundamentais

3. Conhecendo a Temática

3.1 Limites

3.1.1 Noção Intuitiva

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar

idéias, consideremos a função :f ℝ \ {1}→ℝ definida por:

11

)1)(1(

1

1)(

2

+=−

+−=

−

−= x

x

xx

x

xxf

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto 1=x , ponto este que não

pertence ao domínio de f , constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor 2=L ,

quando os valores de x se aproximam de 1=x , tanto por valores de 1<x (à esquerda de 1) como

por valores 1>x (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, a tabela abaixo mostra o comportamento da função f , para valores x à

esquerda e à direita de 1=x .

TABELA

Pela esquerda de 1=x Pela direita de 1=x

x 0 5,0 8,0 9,0 99,0 999,0 1 x 2 5,1 2,1 1,1 01,1 001,1 1

)(xf 1 5,1 8,1 9,1 99,1 999,1 2 )(xf 3 5,2 2,2 1,2 01,2 001,2 2

Neste caso, dizemos 2=L é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos

por:

2)(

1lim =

→

xf

x

166

3.1.2 Definição Informal de Limite

Seja )(xf definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se )(xf fica

arbitrariamente próximo de L , para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, dizemos

que f tem limite L quando x tende a x0 e escrevemos

Lxf

xx

=

→

)(lim0

Essa definição é “informal” porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente

próximos” são imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um

pistão, próximo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda

galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é

suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções

específicas.

Exemplo 1: O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em 0x

Com efeito, consideremos as seguintes funções:

a) 1 ,1

1 )(

2

≠−

−= x

x

xxf

b)

=

≠−

−

=

1 ,1

1 ,1

1

g(x)

2

x

xx

x

c) 1 )( += xxh

Note que 2)(

1

)(

1

)(

1limlimlim =

→

=

→

=

→

xh

x

xg

x

xf

x

sem que exista )1(f , com 21)1( ≠=g e

2)1( =h (Veja Figura 1).

Figura 1: Funções do Exemplo 1.

167

Exemplo 2: Os Limites Podem Não Existir

De fato: discutamos o comportamento quando 0→x das seguintes funções:

(a) A função de salto unitário definida por

≥

<=

0 ,1

0 ,0 )(

x

xxU

(b) A função

=

≠=

0 ,0

0 ,1

)(

x

xxxg

(c) A função

>

≤

=0 ,

1

0 ,0

)(x

xsen

x

xf

Soluções:

(a) A função de salto unitário )(xU não tem limite quando 0→x porque seus valores “saltam”

em 0=x . Para valores negativos de x arbitrariamente próximos de zero, 0)( =xU . Para valores

positivos de x , arbitrariamente próximos de zero, 1)( =xU . Não há um único valor de L do qual

)(xU se aproxime quando 0→x (Figura 2 (a)).

(b) A função cresce demais para ter um limite: )(xg não tem um valor limite quando 0→x

porque g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando 0→x e não se mantém próximo de

nenhum valor real (Figura 2 (b)).

(c) A função oscila demais para ter um limite: )(xf não tem limite quando 0→x porque os

valores da função oscilam entre 1 e 1− em cada intervalo aberto que contém 0 . Os valores não

se mantêm próximos de nenhum número quando 0→x

(Figura 2 (c)).

Figura 2: Funções do Exemplo 2.

168

3.1.3 Definição Formal de Limite

Definição:Seja )(xf uma definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto

possivelmente em 0x . Dizemos que )(xf tem limite L quando 0xx → e escrevemos

Lxf

xx

=

→

)(lim0

,

se, para cada número 0>ε , existir um número correspondente 0>δ tal que para todos os

valores de x,

εδ <−⇒<−< Lxfxx )(0 0 .

Graficamente temos:

Exemplo: Testando a Definição

Mostre que 2)1(

1lim =+

→

x

x

Solução: sejam 10 =x , 1)( += xxf e 2=L na definição de limite. Para qualquer 0>ε ,

precisamos encontrar um 0>δ adequado ( )(εδδ = , isto é, o número real δ depende do número

real ε fornecido), tal que se 1≠x e x está a uma distância menor do que δ de 10 =x , ou seja, se

δ<−< 10 x , então )(xf está a uma distância menor do que ε de 2=L , isto é, ε<− 2)(xf .

Encontraremos δ ao resolvermos a inequação:

169

ε<+=−+ 121 xx .Daí, basta escolher εδ = e verifica-se que 2)1(

1lim =+

→

x

x

.

3.1.4 Propriedades dos Limites

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e

potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as

funções mais elaboradas.

Teorema 3.1: Unicidade do Limite: O limite de uma função, quando existe, é único, isto é,

Se Lxf

xx

=

→

)(lim0

e Mxf

xx

=

→

)(lim0

, então ML =

Teorema 3.2: Se 0,, xML e k são números reais e

Lxfxx

=→

)(lim0

e Mxgxx

=→

)(lim0

então:

1. Regra da Soma: O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites, isto é,

( ) MLxgxfxx

+=+→

)()(lim0

2. Regra da Diferença: O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites,

isto é,

( ) MLxgxfxx

−=−→

)()(lim0

3. Regra do Produto: O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites, isto

é,

( ) MLxgxfxx

⋅=⋅→

)()(lim0

4. Regra da Multiplicação por Constante: O limite de uma constante multiplicada pela função

é a constante multiplicada pelo limite da função, isto é,

( ) Lkxfk

xx

⋅=⋅

→

)(lim0

Em particular,

kk

xx

=

→lim

0

170

5. Regra do Quociente: O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites,

desde que o limite do denominador seja diferente de zero, isto é,

0M ,.

)(

)( lim

0

≠=

→M

L

xg

xf

xx

6. Regra da Potenciação: O limite de uma potência racional de uma função é a potência do

limite da função, desde que a última seja um número real, isto é,

Se r e s são números inteiros e 0≠s , então ( ) srsrLxf

xx

=

→

)(lim0

desde que srL seja um

número real.

Exemplo: Usando as Regras do Limite, calcule

3

2

5

32

3

12

1lim

+

++

→x

xx

x

Solução:

3

2

5

32

3

12

1lim

+

++

→x

xx

x

=

( )

( )

114

4

31

1121

3

1

1

1

2

1

3

11

1

1

2

11

3

1

12

1

3

12

1

3

23

2

3

2

5

32

3

2

5

32

3

2

5

323

2

5

32

3

2

5

32

lim

limlim

limlim

limlimlim

lim

lim

lim

==

=

+

+⋅+=

+

→

+

→

+

→

=

→

+

→

→

+

→

+

→=

+

→

++

→=

+

++

→

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

Observação: A Regra da Soma que vale para duas funções, também vale para um número finito de funções. Além disso, se somente uma das parcelas não possui limite, então o limite da soma de todas as parcelas não existirá. Verifique esta afirmação.

Observação: O Teorema 3.2 só é válido se ambas as funções f e g possuírem limites. Verifique esta afirmação.

171

Teorema 3.3 (Teorema do Sanduíche): Se valem as desigualdades )()()( xhxgxf ≤≤ para todo

x em um intervalo aberto contendo x0, exceto talvez em x = x0 e se )()( limlim00

xh

xx

Lxf

xx →

==

→

,

então Lxg

xx

=

→

)(lim0

Definição: Dizemos que uma função f é limitada quando existe uma constante C > 0 tal que

Cxf ≤)( , para todo Dx ∈ , onde D representa o Domínio da função f .

Corolário 3.3: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que 0)(lim0

=

→

xg

xx

, então

0)()(lim0

=⋅

→

xgxf

xx

, mesmo que não exista )(lim0

xf

xx→

.

Exemplo: Mostre que 01

0lim =

→x

xsen

x

Solução: Como 0,11

≠∀≤

x

xsen e 0

0lim =

→

x

x

, conclui-se, pelo Corolário 3.3, que

01

0lim =

→x

xsen

x

3.1.5 Limites Laterais

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )bx ,0 , onde bx <0 .

Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para x0, e escrevemos

Lxf

xx

=

→ +

)(lim0

se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que δ+<< 00 xxx .

Notação:

00 xxxx →⇒→ + com 0xx >

172

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )0, xc , onde 0xc < . Dizemos que

um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para 0x , e escrevemos

Lxf

xx

=

→ −

)(lim0

se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que 00 xxx <<− δ .

Exemplo: Seja

=

≠−=

0 ,3

0 , )(

x

xx

x

xf

Como

<+

>−=−

0 ,1

0 ,1

x

x

x

x conclui-se que 1)(

0lim −=

→ +

xf

x

e )(

0lim xf

x−→

= 1

Teorema 3.4. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente

no ponto x0, então Lxf

xx

=

→

)(lim0

se, e somente se,

Lxf

xx

=

→ +

)(lim0

e Lxf

xx

=

→ −

)(lim0

.

Exemplo: Utilizando o Teorema 3.4

Como 1)(

0lim −=

→ +

xf

x

e 1)(

0lim =

→ −

xf

x

, conclui-se, do exemplo anterior, que não existe

)(

0lim xf

x→

.

Notação:

00 xxxx →⇒→ − com

0xx <

Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando substituímos 0xx → por

+→ 0xx ou −→ 0xx .

173

3.1.6 Cálculo de Limites

Antes de apresentar exemplos de cálculos de limites, vamos falar um pouco sobre expressões

indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões:

São indeterminadas. O que significa isto?

Exemplo: Verificando a indeterminação 0

0.

(a) Sejam 3)( xxf = e 2)( xxg = .

Temos que 0)(

0

)(

0limlim =

→

=

→

xg

x

xf

x

e 0

0

0)(

)(

0limlimlim 2

3

=

→

=

→

=

→

x

xx

x

xxg

xf

x

(b) Sejam 2)( xxf = e 22)( xxg = .

Temos que 0)(

0

)(

0limlim =

→

=

→

xg

x

xf

x

e neste caso,

2

1

2

1

02

0)(

)(

0 limlimlim 2

2

=

→

=

→

=

→ xx

x

xxg

xf

x

Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são

necessários: são casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num

determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto.

Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 0

0.

∞∞∞⋅∞∞∞

∞1 , ,0 ,0 ,- , ,

0

0 00

174

Exemplo: Calcule 4

23

22

3

lim−

+−

−→x

xx

x

Solução:

=−+

++−

−→

=−

+−

−→)2)(2(

)2)(12(

24

23

2

2

2

3

limlimxx

xxx

xx

xx

x

49

2

2

12

2

2

12

2 lim

lim

lim

2

2

−=−

−→

+−

−→=−

+−

−→

=x

x

xx

x

x

xx

x

Exemplo: Calcule x

x

x

22

0lim

−+

→

Solução: Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue

então,

( ) ( )( )22

2222

0

22

0limlim

++⋅

++⋅−+

→

=−+

→ xx

xx

xx

x

x

=

( ) ( )( ) ( ) ( ) 22

1

22

1

022

22

022

22

0limlimlim

22

=++→

=++⋅

−+

→

=++⋅

−+

→ xxxx

x

xxx

x

x

3.1.7 Limites no Infinito

O símbolo ∞ não representa nenhum número real. Usamos ∞ para descrever o comportamento de

uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam todos os limites finitos. Por

exemplo, a função x

xf1

)( = é definida para qualquer valor de 0≠x (Figura 3). Quando x vai se

tornando cada vez maior, x

1 se torna “próximo de zero”. Podemos sintetizar esse fato dizendo

xxf

1)( = tem limite 0 quando ±∞→x .

175

Figura 3: Gráfico de x

y1

=

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )+∞,a . Escrevemos,

.)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒>>∃>∀⇔=

+∞→

LxfMxMLxf

x

Analogamente,

Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )b,∞− . Escrevemos,

.)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒<<∃>∀⇔=

−∞→

LxfNxNLxf

x

Definição. A reta by = é uma assíntota horizontal do gráfico da função )(xfy =

Se bxf

x

=

+∞→

)(lim ou bxf

x

=

−∞→

)(lim

Teorema 3.5. Se n é um número inteiro positivo, então

(a) 01

lim =

+∞→n

xx

(b) 01

lim =

−∞→n

xx

(c) KK

x

=

±∞→lim ,onde K é uma constante

Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando

substituímos 0xx → por +∞→x ou −∞→x .

176

Exemplo: Usando as propriedades de limites, calcule

432

1

2

2

lim+−

++

+∞→xx

xx

x

Solução:

=

+−

+∞→

++

+∞→=

+−

++

+∞→

=+−

++

+∞→2

2

2

2

2

2

2

2

432

111

43

2

111

432

1

lim

lim

limlim

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xx

x

2

1

002

001

1 4

1 3 2

1

1 1

2

2

limlimlim

limlimlim=

+−

++=

+∞→

+

+∞→

−

+∞→

+∞→

+

+∞→

+

+∞→=

xxxxx

xx

xxx

3.1.8 Limites Infinitos

Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto,

possivelmente, em x = x0. Dizemos que

+∞=

→

)(lim0

xf

xx

0 ,0 >∃>∀⇔ δM ; Mxfxx >⇒<−< )(0 0 δ

Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto,

possivelmente, em x = x0. Dizemos que

−∞=

→

)(lim0

xf

xx

0 ,0 >∃>∀⇔ δN ; Nxfxx −<⇒<−< )(0 0 δ

177

Definição. A reta 0xx = é uma assíntota vertical do gráfico da função )(xfy = se

±∞=

→ +

)(lim0

xf

xx

ou ±∞=

→ −

)(lim0

xf

xx

.

Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico da função

4

8)(

2 −−=

xxf

(Veja figura 4).

Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando ±∞→x e quando

2±→x , onde o denominador é zero. Observe que f é uma função par de x , isto é, )()( xfxf =− ,

para todo 2±≠x . Neste caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y .

O comportamento quando ±∞→x . Como 0)(lim =

±∞→

xf

x

, tem-se que a reta 0=y é uma

assíntota horizontal.

O comportamento quando 2±→x . Uma vez que −∞=

→ +

)(

2lim xf

x

e +∞=

→ −

)(

2lim xf

x

, a reta

2=x é uma assíntota vertical. Analogamente, por simetria,

2−=x , também é uma assíntota vertical.

Figura 4: Gráfico de 4

82 −

−=

xy

178

)(lim xf )(lim xg =)(xh )(lim xh simbolicamente

01 ∞± ∞± )()( xgxf + ∞± ∞± =∞± ∞±

02 ∞+ ∞+ )()( xgxf − ? ( ) ( )∞+−∞+ é indeterminação

03 ∞+ k )()( xgxf ± ∞+ ( ) +∞=±∞+ k

04 ∞− k )()( xgxf ± ∞− ( ) −∞=±∞− k

05 ∞+ ∞+ )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) ( ) +∞=∞+⋅∞+

06 ∞+ ∞− )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+

07 ∞+ 0>k )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) +∞=⋅∞+ k , 0>k

08 ∞+ 0<k )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) −∞=⋅∞+ k , 0<k

09 ∞± 0 )()( xgxf ⋅ ? ( )∞± 0⋅ é indeterminação

10 k ∞± )()( xgxf 0 0=∞±k

11 ∞± ∞± )()( xgxf ? ∞±∞± é indeterminação

12 0>k +0 )()( xgxf ∞+ +∞=+0k , 0>k

13 ∞+ +0 )()( xgxf ∞+ +∞=∞+ +0

14 0>k −0 )()( xgxf ∞− −∞=−0k , 0>k

15 ∞+ −0 )()( xgxf ∞− −∞=∞+ −0

16 0 0 )()( xgxf ? 00 é indeterminação

Exemplo: Determinar )143( 35

lim +−

+∞→

xx

x

Solução: Neste caso, temos uma indeterminação ∞−∞ . Para determinar o limite usamos o seguinte

artifício de cálculo. Escrevemos,

)143( 35

lim +−

+∞→

xx

x

=

+−

+∞→52

5 143lim

xxx

x

= ∞+ ( )003 +− = ∞+

Observação:

A tabela abaixo nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites infinitos, onde podemos ter 0xx → ,

+→ 0xx , −→ 0xx , +∞→x ou −∞→x .

179

3.1.9 Limites Fundamentais

Teorema 3.6.

(a) 1

0lim =

→x

senx

x

(b) ( ) ex

x

x=+

→

11

0lim , onde e é o número irracional neperiano cujo valor é ...597182818284,2 ,

(c) ax

a

x

x

ln1

0lim =

−

→

( 0>a , 1≠a )

Exemplo: Calcule xsen

xsen

x3

2

0lim→

Solução:

xsen

xsen

x3

2

0lim→

=

⋅⋅

→xsen

x

x

x

x

xsen

x3

3

3

2

2

2

0lim =

xsen

x

xx

x

xx

xsen

x3

3

03

2

02

2

0limlimlim→

⋅

→

⋅

→

=

x

xsen

x

x

x

xx

xsen

x3

3

0

1

3

2

02

2

0 limlimlim

→

⋅

→

⋅

→

= 1

1

3

21 ⋅⋅ =

3

2.

Neste exemplo,

x

xsen

x 2

2

0lim→

= u

senu

ulim

0→

= 1 , onde xu 2= e 0→u quando 0→x .

Analogamente,

x

xsen

x3

3

0lim→

= 1 e 3

2

3

2

0lim =

→x

x

x

4. Avaliando o que foi construído

Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de limites de funções, foi

apresentado ao conteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos exemplos,

usando as propriedades, alguns limites de funções. Porém, fique certo, ainda há muito que aprender

dentro de tema.

No Moodle...

180

5. Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E

INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987.

2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994.

3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a

Edição, 2002.

Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial I na plataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, eu não pretendo seguir adiante sem que você me acompanhe. Aguardo você no MOODLE!

181

Unidade II Continuidade

1. Situando a Temática

Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma

função cujos valores foram gerados em laboratórios ou coletados no campo, geralmente unimos

esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da

função em todos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomos que estamos

trabalhando com uma função contínua, uma função cujos valores variam continuamente e não

saltam de um valor para outro sem assumir todos os valores entre eles.

Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínio em um único movimento

contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de função contínua. Mas uma função pode ser contínua

e seu gráfico se compor de dois “pedaços” distintos. Verifique esta afirmação. Estudaremos, nesta

unidade, a idéia de continuidade.

Figura 5: Mostra como os batimentos cardíacos retornam ao normal depois de uma corrida.

O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes:

• Continuidade em um ponto

• Teste de Continuidade

• Propriedades de Funções Contínuas

• Composta de Funções Contínuas

• Teorema do Valor Intermediário

182

2. Problematizando a Temática

As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se

aproxima do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as

funções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a

velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem

de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo

de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos descobriram, em 1920, que a luz vem em

partículas e que os átomos aquecidos emitem luz em freqüências distintas (Figura 6). Como

conseqüência dessas e de outras descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas

na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se

tornou importante tanto prática quanto teoricamente.

Figura 6

3. Conhecendo a Temática

3.1. Continuidade em um Ponto

Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua em um ponto Ia ∈ quando

)()(lim afxf

ax

=

→

183

Exemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto

A função Salto Unitário definida por

≥

<=

0 ,1

0 ,0)(

x

xxU é contínua à direita em 0=x , mas não

é contínua à esquerda nem contínua aí (Veja Figura 2(a)). Ela apresenta descontinuidade de salto

em 0=x

3.2 Continuidade

Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua quando f é contínua em

todo ponto Ia ∈

Exemplo: Identificando Funções Contínuas

A função x

xf1

)( = ( Figura 3) é contínua em todo 0≠x .

3.3 Propriedades de Funções Contínuas.

Teorema 3.3: Se f e g são funções contínuas em ax = , então as seguintes combinações são

contínuas em ax = .

1. Soma: gf +

2. Diferença: gf −

3. Produto: gf ⋅

4. Constantes Múltiplas: fk ⋅ , para qualquer número k

5. Quociente: gf , desde que 0)( ≠ag

Considerações sobre a Definição

(a) Quando f não é contínua em um ponto a , dizemos que f é descontínua em a e que a

é um ponto de descontinuidade de f ;

(b) f contínua à esquerda no ponto ax = quando )()(lim afxf

ax

=

→ −

;

(c) f contínua à direita no ponto ax = quando )()(lim afxf

ax

=

→ +

.

184

3.4. Composta de Funções Contínuas.

Teorema 3.4. Se f é contínua em a e g em )(afb = , então a composta fg o é contínua em a ,

isto é, ))(())(())(( limlim afgxf

ax

gxfg

ax

=

→

=

→

Exemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função

1

1)(

2 +

+=

x

xxh é contínua em 1=x

Solução: Sejam 1

1)(

2 +

+=

x

xxf e xxg =)( . Daí, ))(())(()( xfgxfgxh == o . Sendo

111

11)1(

2=

+

+=f e 11)1())1(( === gfg , tem-se que

))1((1

11

11

1

1)())((

22limlimlim111

fgx

xxhxfg

xxx

==+

+=

+

+==

→→→

3.5. Teorema do Valor Intermediário

Teorema 3.5. .Seja [ ] →baf ,: ℝ uma função contínua em um intervalo fechado [ ]ba, tal que

)()( 0 bfyaf ≤≤ , então )(0 cfy = para algum c em [ ]ba, .

185

Exemplo: Aplicando o Teorema 3.5

Existe algum número real que somado a 1 seja exatamente igual ao seu cubo?

Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor Intermediário.

Com efeito, seja x este tal número que deve satisfazer a equação 31 xx =+ ou, equivalentemente,

013 =−− xx . Portanto, estamos procurando um zero da função contínua 1)( 3 −−= xxxf (Veja

Figura 7 abaixo). Esta função muda de sinal no intervalo [ ]2,1 , pois 5)2(0)1(1 =<<=− ff , logo

deve existir um ponto c entre 1 e 2 tal que 0)( =cf

Figura 7

Ampliando o seu Conhecimento

Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que qualquer reta horizontal dy = cruzando o eixo y entre os números )(af

e )(bf cruzará a curva )(xfy = pelo menos uma vez no intervalo [ ]ba, ,

desde que f seja contínua em [ ]ba, .

186

4. Avaliando o que foi construído

No Moodle...

Dialogando e Construindo Conhecimento

Dialogando e Construindo Conhecimento

5. Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E

INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987

2. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994.

3. Thomas, George B., CÁLCULO. Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição,

2002.

Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas ao assunto desta unidade. Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no estudo das funções contínuas vai depender de você visitar constantemente a plataforma e procurar resolver os exercícios nela proposta.

Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte conosco.

187

Unidade III Derivadas

1. Situando a Temática

No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável,

constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em x e em

y . Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”.

A partir daí, com a introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial

torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos

mais diversos campos da Ciência. Por exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia,

Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração

instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita pela equação de movimento

)(tss = , onde t representa o tempo, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a

diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as

conseqüências de erros cometidos durante as medições.

A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do “mundo” das derivadas.

Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos:

• A Derivada de uma Função num Ponto

• A Reta Tangente

• Continuidade de Funções Deriváveis

• Derivadas Laterais

• Regras de Derivação

• Derivada das Funções Elementares do Cálculo

• Regras de L’Hospital

• Derivação de Função Composta

• Derivada da Função Inversa

• A Derivada de uma Função na Forma Implícita

188

2. Problematizando a Temática

Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função

num ponto. A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e

outros problemas que envolvem derivadas.

3. Conhecendo a Temática

3.1 A Derivada de uma Função

Definição. A derivada de uma função )(xfy = em relação à variável x é a função f ′ cujo valor em x é

h

xfhxf

h

xf)()(

0

)( lim−+

→

=′ ,

desde que este limite exista.

Exemplo: Aplicando a Definição

Considerações sobre a Definição:

(a) O domínio de f ′ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite existe.

Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor;

(b) Se f ′ existe para um determinado valor de x , dizemos que f é derivável em x ;

Calculando )(xf ′ a partir da Definição de Derivada Passo 1. Escreva expressões para

)(xf e )( hxf + Passo 2. Desenvolva e simplifique o quociente

h

xfhxf )()( −+

Passo 3. Usando o quociente simplificado, encontre )(xf ′ calculando o limite

h

xfhxf

h

xf)()(

0

)( lim−+

→

=′

Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva )(xfy = no ponto

),( 00 yxP , onde )( 00 xfy =

189

Encontre a derivada de xy = para 0>x .

Solução:

Passo 1: xxf =)( e hxhxf +=+ )(

Passo 2 : h

xfhxf )()( −+ =

h

xhx −+

= ( ) ( )

( )xhx

xhx

h

xhx

++

++⋅

−+

=( )xhxh

xhx

++⋅

−+

= ( )xhx ++

1

Passo 3 : lim)(

oh

xf

→

=′( )xhx ++

1 =

x2

1 (Veja Figura 8 (a) e 8(b) )

Figura 8

Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função )(xfy = . Além

de )(xf ′ , as notações mais comuns são: (i) y′ ( lê-se y linha). Esta notação foi dada por Newton

(ii) dx

dy ( lê-se dydx ). Esta notação foi dada por Leibniz

190

3.2. A Reta Tangente

Definição. Dada uma curva de equação )(xfy = , seja ),( 00 yxP um ponto sobre ela, ou seja ,

)( 00 xfy = . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo

coeficiente angular Tm é dado pela expressão

h

xfhxfm

h

T

)()( 00

0lim

−+=

→

,

quando este limite existe. Assim,

)( 0xfmT′= .

Exemplo: Determine a equação da reta tangente à curva xy = em 4=x

Solução: Do Exemplo 3.1, vimos que

xxf

2

1)( =′

Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em 4=x é dado por

4

1

42

1)4( ==′= fmT .

A reta tangente passa pelo ponto )2,4(P e tem como equação

)4(4

12 −⋅=− xy ⇔ 1

4

1+= xy

Figura 9

191

3.3 Continuidade de Funções Deriváveis

Teorema 3.3. Se f é derivável em 0xx = , então f é contínua 0xx = .

Corolário 3.3. Se f não é contínua em 0x , então f não é derivável em 0x

Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir

Exemplo: A função xxf =)( , 0≥x é contínua em 0=x mas não é derivável aí, pois

xxf

2

1)( =′ x > 0 e

hhh

h

hh

hf

hh

fhf

x

f1

00

)(

0

)0()(

0

)0( limlimlimlim→

=

→

=

→

=−

→

=′

que não existe e, portanto, f não é derivável neste ponto.

Prova: Como )( 0xf ′ existe, devemos mostrar que )()( 0

0

lim xfxf

xx

=

→

ou , equivalentemente,

que )()(

000lim xfhxf

h

=+

→

.

Com efeito, se 0≠h , então

hh

xfhxfxfhxf ⋅

−++=+

)()()()( 00

00

Assim,

h

hh

xfhxf

h

xf

h

hxf

hlimlimlimlim

0

)()(

0

)(

0

)(

0

0000

→

⋅−+

→

+

→

=+

→

)(0)()( 000 xfxfxf =⋅′+=

192

3.4 Derivadas Laterais

Definição Se a função )(xfy = está definida em 0x ,então a derivada à direita de f em 0x ,

denotada por )( 0xf+′ , é definida por

h

xfhxf

h

xf)()(

0

)( 00

0 lim−+

→

=′+

+

0

0

0

)()(lim

xx

xfxf

xx−

−

→

=+

,

caso este limite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em 0x , denotada por )( 0xf−′ , é

definida por

h

xfhxf

h

xf)()(

0

)( 000 lim

−+

→

=′−

−

0

0

0

)()(lim

xx

xfxf

xx−

−

→

=−

,

desde que este limite exista.

Exemplo: A função xxf =)( não é derivável em 0=x , embora seja contínua aí

Solução: À direita da origem ( 0>x )

( ) 1)( == xdx

dx

dx

d

Considerações sobre a Definição:

(a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais;

(b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um

ponto 0x , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função )(xfy = . Neste

caso, f não é derivável em 0x ;

(c) Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto 0x , então f não será derivável

em 0x .

193

e

1

0

)0()0(

0

)0( limlim =

→

=−+

→

=′++

+h

h

hh

fhf

h

f

À esquerda da origem )0( <x ,

( ) 1)( −=−= xdx

dx

dx

d

e

1

0

)0()0(

0

)0( limlim −=−

→

=−+

→

=′−−

−h

h

hh

fhf

h

f

Como )0()0( −+

′≠′ ff , tem-se que f não é derivável 0=x

(Veja Figura 10).

Figura 10

194

3.5 Regras de Derivação

Teorema 3.5. Se f e g são funções deriváveis em x , então as seguintes combinações são

deriváveis em x

1. Soma: gf + e ( ) )()()( xgxfxgf ′+′=′

+ ;

2. Diferença: gf − e ( ) )()()( xgxfxgf ′−′=′

− ;

3. Produto: )( gf ⋅ e )()()()()()( xgxfxgxfxgf ′+′=′⋅ ;

4. Quociente

g

f e

[ ]2)(

)()()()()(

xg

xgxfxfxgx

g

f ′−′=

′

, desde que 0)( ≠xg ;

5. Constantes Múltiplas: fk ⋅ e )()()( xfkxfk ′⋅=′⋅ , para todo número real k .

No Moodle...

Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes exercícios: (i) Prove o Teorema 3.5 (Regras de Derivação)

(ii) Mostre que 1)( −= nnnxx

dx

d , onde n é um número real

(Derivada da Potência)

(iii) Mostre que ( ) 0=Cdx

d, onde C é uma constante.

195

Exemplo: Aplicando as regras de derivação

Determine as derivadas das seguintes funções: (a) )1)(2()( 32 ++= xxxxf

(b) 1

2)(

3

5

+=

x

xxg

(c) xxxxh 2)( 34 ++= (d) xxy =

Solução: (a)

[()2()1(])2()[( 3232 ⋅+++⋅′+′= xxxxxx

)03()2()1()22( 223 +⋅+++++= xxxxx

)3()2()1()22( 223xxxxx ⋅+++++=

(b)

23

3535

)1(

)1()2()1()2()(

+

′+⋅−+⋅′=′

x

xxxxxg

23

2534

)1(

)03()2()1(10

+

+⋅−+⋅=

x

xxxx

23

2534

)1(

)3()2()1(10

+

⋅−+⋅=

x

xxxx

(c)

)2()()()( 34 ′+′+′=′ xxxxh

234 23 ++= xx

)1)(2()1()2()( 3232 ′++++⋅′+=′ xxxxxxxf

196

(d) )( ′=′ xxy

)()( ′⋅+⋅′= xxxx

])[(1 21 ′⋅+⋅= xxx

−

⋅⋅+= 2

11

2

1xxx

x

xx

2+=

x

x

x

xx ⋅+=

2

( )2

2 x

xxx +=

x

xxx

2+=

2

xx +=

3.6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo

Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e

trigonométricas.

Função Derivada

)(xf )(xf ′

01 xe x

e

02 xln 0 x,1

>x

03 senx xcos

04 xcos senx−

05 tgx x2sec

06 gxcot x2seccos−

07 xsec tgxx ⋅sec

08 xseccos gxx cotseccos ⋅−

197

Exemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções:

(a) senxxy += 2

(b) xetgxy 2+=

(c) xxy ln=

(d) xxxy cossec +=

Solução:

(a)

)( 2 ′+=′ senxxy

xx cos2 +=

(b)

)2( ′+=′ xetgxy

)2()( ′+′= xetgx

xex 2sec2 +=

(c)

)(lnln)()ln( ′+′=′=′ xxxxxxy

xx

xx ln11

ln +=⋅+=

(d)

)cos()(sec ′+′=′ xxxy

)(cos1sec senxxxtgxx −⋅+⋅+⋅=

senxxxtgxx ⋅−+⋅= cossec

198

3.7. Regras de L’Hospital

Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo ∞

∞ou

0

0. Esse

método é dado pelas Regras de L’Hospital dadas a seguir.

Teorema 3.7.(Regras de L’hospital): Sejam g e f funções deriváveis num intervalo aberto I ,

exceto, possivelmente, em um ponto Ia ∈ . Suponhamos que I em ax ,0)( ≠∀≠′ xg .

(i) Se Lxg

xf

xg

xfL

xg

xfxg

ax

xf

ax

=′

′

→

=

→

=′

′

→

=

→

=

→)(

)(

ax)(

)(

ax

então ,)(

)(

ax

e 0)()( limlimlimlimlim

(ii) Se Lxg

xf

xg

xfL

xg

xfxg

ax

xf

ax

=′

′

→

=

→

=′

′

→

∞=

→

=

→)(

)(

ax)(

)(

ax

então ,)(

)(

ax

e )()( limlimlimlimlim

Exemplo: Determine os seguintes limites:

(a) 23

6

22

2

lim+−

−+

→xx

xx

x

(b) 2

0lim

−+

+−

→−xx

ee

senxx

x

Considerações sobre o Teorema 3.7:

(i) Se L(x)g

(x)f

ax

xg

ax

xf

ax

=′′

′′

→

=′

→

=′

→limlimlim e 0)()( , então L

xg

xf=

′

′

→)(

)(

axlim

e assim sucessivamente...

(ii) Se L(x)g

(x)f

ax

xg

ax

xf

ax

=′′

′′

→

∞=′

→

=′

→limlimlim e )()( , então

Lxg

xf=

′

′

→)(

)(

axlim e assim sucessivamente...

199

(c) xx

e

x

x

4

1

3lim+

−

∞→

Solução: Aplicando as Regras de L’hospital, temos

(a) 51

5

322

122

32

12

2

23

6

2limlim 2

2

==−⋅

+⋅=

−

+

→

=+−

−+

→x

x

xxx

xx

x

(b) 0

0

cos1

02

0limlimlim =

+

−

→

=−

+−

→

=−+

+−

→−−− xxxxxx

ee

senx

xee

x

xee

senxx

x

(c) +∞=

+∞→

=

+∞→

=+

+∞→

=+

−

+∞→6

6

43

4

1 limlimlimlim 23

xxxxe

xx

e

xx

e

xxx

e

x

3.8. Derivação de Função Composta

Consideremos duas funções f e g onde )(xgu = . Para todo x tal que )(xg está no domínio de

f , podemos escrever ))(()( xgfufy == , isto é, podemos considerar a função composta

))(())(( xgfxgf =o . Por exemplo, uma função tal como 72 )25( ++= xxy pode ser vista como a

composta das funções )(7 ufuy == e )(252 xgxxu =++= (Ver Figura 2.29 Thomas página 180) Teorema 3.8. A Regra da Cadeia

Se )(uf é derivável no ponto )(xgu = e )(xg é derivável em x , então a função composta

))(())(( xgfxgf =o è derivável em x e

uufxgxgfxgf ′⋅′=′⋅′=′ )()())(()()( o

Na notação de Leibniz, se )(ufy = e )(xgu = , então

dx

du

du

dy

dx

dy⋅= ,

onde du

dy é calculado em )(xgu = .

Observação: As Regras de L’hospital são válidas para limites laterais e limites no infinito.

200

Exemplo: Dada a função 72 )25( ++= xxy , determinar dx

dy.

Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever

)(7 ufuy == , onde )(252 xgxxu =++=

Assim, pela Regra da Cadeia,

dx

du

du

dy

dx

dy⋅=

)52(7 6 +⋅= xu

)52()25(7 62 +⋅++= xxx .

Exemplo: Dada a função xxseneyx 2

cos)2(3

++= , determinar dx

dy

Solução: Sejam xvxu 2,2

== e xw cos= . Assim, podemos escrever

2wsenvey

u ++=

Assim, pela Regra da Cadeia,

)()cos)2((223

′++=′++=′ wsenvexxseneyux

wwvvuewsenveuu ′⋅+′⋅+′=′+′+′= )2()(cos)()()( 2

)()cos2(2))2(cos(3 23

senxxxxex −⋅+⋅+⋅=

xsenxxexx

cos2)2cos(2332

⋅−+⋅=

3.9. Derivada da Função Inversa

Teorema 3.9. Derivada da Função Inversa

Seja )(xfy = uma função definida em um intervalo aberto ),( ba . Suponhamos que )(xf Admita

uma função inversa )(ygx = contínua. Se )(xf ′ existe e é diferente de zero para qualquer ponto

),( bax ∈ , então 1−= fg é derivável e vale

))((

1

)(

1)(

ygfxfyg

′=

′=′ ou

)(

1))((

xfxfg

′=′

201

Exemplo 3.9: Seja 12)( −== xxfy , 0>x . Determine )3(g ′ , onde 1−= fg .

Solução 1: 2

1

)1(1)( +=+== yyygx (Verifique !). Daí,

12

12

1

12

1

+=

−

+=′y

)(y(y)g .

Em particular,

4

1

132

1 )3( =

+=′g

Solução 2: Pelo Teorema 3.8 ,

xxfxfgyg

2

1

)(

1 ))(( )( =

′=′=′

Em particular,

3 2 =⇔= yx Assim,

4

1

22

1

)2(

1 )3( =

⋅=

′=′

fg .

3.9. Derivada da Função Implícita

3.9.1. Função na Forma Implícita

Dizemos que a função )(xfy = é definida implicitamente pela equação 0 ),( =yxF se ao

substituirmos y por )(xf nesta equação obtemos uma identidade, isto é, 0 ))(,( =xfxF .

Exemplo: A equação 012

12 =−+ yx define implicitamente a função )21(2 xy −⋅= .

Prova: Sendo 1−= fg , tem-se que xxfg =))(( , para todo ),( bax ∈ e usando a Regra da Cadeia, conclui-se

)(

1))((1)())((

xfxfgxfxfg

′=′⇔=′⋅′

202

De fato, substituindo )1(2 2xy −⋅= na equação 012

12 =−+ yx , obtemos a identidade

01)1( 2 2

12 2 =−−⋅+ xx .

3.9.2. A Derivada de uma Função na Forma Implícita

Suponhamos que a equação 0 ),( =yxF define implicitamente uma função derivável )(xfy = . Usaremos a Regra da Cadeia para determinar y′ sem explicitar y . Exemplo: Sabendo que )(xfy = é definida implicitamente pela equação

yxyxy 2322 +=+ , determinar y′ . Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à x e supondo que )(xfy = é derivável, obtém-se:

)2()322( ′+=′+ yxyxy

c

)2()()32()2( ′+′=′+′ yxyxy

c

yyyyyxy ′+=′⋅+′⋅⋅+ 212622 Isolando y′ na última igualdade, temos

2262

21

−+

−=′

yxy

yy

Em particular, o ponto )1,1(P está na curva )(xfy = e aí,

0)1,1( =′y E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por

1)1(01 =⇔−⋅=− yxy

203

se

Co cime

nto

Ampliando o seu Conhecimento Ampliando

Você sabia que só no século XVII, quando Decartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções? A Matemática recebeu assim um grande impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daí, todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis.

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto. Esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema da Tangente”.

Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido num desses pontos

))(,( xfxP com valor assumido no outro ponto ))(,( hxfhxQ ++

próximo de P , a diferença entre )( hxf + e )(xf era muito pequena,

quase nula, quando comparada com o valor de h , diferença das abcisssas de Q e P . Assim, o problema de determinar extremos e de determinar

tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy , para designar os infinitésimos em x e em y . Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Infinitesimal”

204

4. Avaliando o que foi construído

No Moodle...

Dialogando e Construindo Conhecimento

5.Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÀLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E

INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987.

2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994.

3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição,

2002.

Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial e Integral I, você poderá testar seus conhecimentos a respeito do tema Derivadas. Dedique-se à resolução das tarefas relacionadas a este assunto. Encontrar-nos-emos no MOODLE. Até lá!

Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite constantemente a plataforma MOODLE, faça as tarefas nela propostas Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em seu potencial e conte conosco.